--- title: "الفضاءات المتجهية المعيارية" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2" subject: math language: ar chapter: 5 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces --- # الفصل 5 — الفضاءات المتجهية المعيارية حين يكون [الفضاء المتري](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-def) فضاءً متجهيًا وتأتي المسافة من [معيار](#def-b2-nvs-norm)، تبدأ الطوبولوجيا [والجبر](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-algebra) الخطي بالتفاعل: فالتطبيقات الخطية تكون متصلة بالضبط حين تكون محدودة على كرة الوحدة، ويفرض البعد المنتهي تكافؤ كل المعايير، ويحوّل التمام المتسلسلات المتقاربة بإطلاق إلى متسلسلات متقاربة. والفاصل بين البعد المنتهي وغير المنتهي — المتبلور في مبرهنة ريس — هو أعمق درس في الفصل. وفي كل ما يلي، $E, F$ فضاءات متجهية على $K = \R$ أو $\C$. ## 5.1 المعايير **تعريف 5.1.** *المعيار* على $E$ تطبيق $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ يحقق، من أجل كل $x, y \in E$ و$\lambda \in K$: $$ \norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y . $$ عندئذٍ يكون $d(x, y) = \norm{x - y}$ مسافة، وينطبق كل ما في [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric). وتجعل متراجحة المثلث المعكوسة $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ المعيارَ نفسه [ليبشيتزيًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) بالثابت $1$؛ والجمع والضرب السلّمي متصلان (بالتقديرات $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$، وغيرها). **مثال 5.2.** على $K^n$: $$ \norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i} $$ (و$\norm\cdot_2$ [معيار](#def-b2-nvs-norm) بمتراجحة كوشي–شوارتز، مجلد السنة الأولى). وعلى $C(\intcc{a}{b})$: $$ \norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2}, $$ والأخيران معياران بفضل الإيجابية التامة للتكامل ومتراجحة كوشي–شوارتز التكاملية (مجلد السنة الأولى). وعلى المصفوفات: أي [معيار](#def-b2-nvs-norm) على $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$؛ ومعايير المؤثرات أدناه هي المهمة بنيويًا. **تعريف 5.3 (المعايير المتكافئة).** يكون معياران $N_1, N_2$ على $E$ *متكافئين* إذا وُجد ثابتان $c, C > 0$ يحققان $$ c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 . $$ وللمعايير المتكافئة المفتوحات نفسها، والمتتاليات المتقاربة والكوشية نفسها، والأجزاء المتراصة والتامة نفسها: أي التحليل نفسه. **مثال 5.4 (عدم التكافؤ في البعد غير المنتهي).** على $C(\intcc{0}{1})$: $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ دائمًا، لكن لا يصحّ أي حدّ معاكس: فالدالة $f_n(x) = x^n$ لها $\norm{f_n}_\infty = 1$ و$\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. ومنه $f_n \to 0$ من أجل $\norm\cdot_1$ لا من أجل $\norm\cdot_\infty$: فالمعياران يختلفان في التقارب نفسه. **مثال 5.5 (ثوابت صريحة في البعد nnn).** على $K^n$ تتكافأ المعايير الكلاسيكية الثلاثة بثوابت مثلى: $$ \norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty , $$ والحدّ الأوسط $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ آتٍ من متراجحة كوشي–شوارتز في مقابل المتجهة ذات الواحدات. والمتجهات الحدّية: $e_1$ تجعل المتراجحتين الأوليين مساواتين، و$(1, 1, \dots, 1)$ تجعل الأخيرتين كذلك. ويظهر البعد $n$ بوضوح في الثوابت — وهو البذرة الكمّية للفشل في البعد غير المنتهي: فحين $n \to \infty$ لا يبقى أي ثابت منتظم، وهذا بالضبط ما يُبرزه [المثال 5.4](#ex-b2-nvs-nonequivalent) على فضاءات الدوال. ![كرات الوحدة للمعايير الكلاسيكية الثلاثة في ℝ2، متداخلة كما تقتضي متراجحات : فكلما صغرت الكرة كبر المعيار. والاستدارة مهمة: فالأضلاع المستقيمة للمعيّن والمربّع هي بالضبط مواضع فشل التحدب التام المستغَلة في مسألة نهاية الأسبوع في وفي مسألة هذا الفصل (السؤال 4).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-nvs/fig-89dd87920119.svg) *كرات الوحدة للمعايير الكلاسيكية الثلاثة في $\R^2$، متداخلة كما تقتضي متراجحات [المثال 5.5](#ex-b2-nvs-constants): فكلما صغرت الكرة كبر [المعيار](#def-b2-nvs-norm). والاستدارة مهمة: فالأضلاع المستقيمة للمعيّن والمربّع هي بالضبط مواضع فشل التحدب التام المستغَلة في مسألة نهاية الأسبوع في [الفصل 8](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun) وفي مسألة هذا الفصل (السؤال 4).* ## 5.2 التطبيقات الخطية المتصلة **مبرهنة 5.6 (توصيف).** من أجل تطبيق خطي $u \colon E \to F$ بين فضاءين معياريين، تتكافأ الأقوال التالية: 1. $u$ [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) ؛ 2. $u$ [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) عند $0$ ؛ 3. $u$ محدود على كرة الوحدة المغلقة: $\sup_{\norm x \leq 1} \norm{u(x)} < \infty$ ؛ 4. يوجد $C \geq 0$ يحقق $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ من أجل كل $x$ ؛ 5. $u$ [ليبشيتزي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) . وأصغر عدد $C$ كهذا هو *معيار المؤثر* $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$؛ وهو يجعل فضاء التطبيقات الخطية المتصلة $\mathcal{L}_c(E, F)$ فضاءً معياريًا، مع $$ \vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u . $$ **برهان.** (1 $\Rightarrow$ 2) بديهي. (2 $\Rightarrow$ 3): يعطي الاتصال عند $0$ مع $\varepsilon = 1$ عددًا $\delta$ يحقق $\norm x \leq \delta \Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$؛ ثم تُنزل التجانسية أي $x$ يحقق $\norm x \leq 1$ إلى تلك الكرة وتعيده: $$ \norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq \frac1\delta , $$ لأن $\norm{\delta x} \leq \delta$. (3 $\Rightarrow$ 4): من أجل $x \neq 0$، نطبّق الحدّ على $\frac{x}{\norm x}$. (4 $\Rightarrow$ 5): $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq C\norm{x - y}$. (5 $\Rightarrow$ 1) معلوم. بديهيات [المعيار](#def-b2-nvs-norm) من أجل $\vertiii\cdot$: التجانسية والفصل واضحان (فالشرط $\vertiii u = 0$ يفرض $u = 0$ على الكرة، ومن ثم في كل مكان)؛ ومتراجحة المثلث من $\norm{(u + v)(x)} \leq \norm{u(x)} + \norm{v(x)}$. والضربية التحتية: $\norm{v(u(x))} \leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$. ∎ **مثال 5.7.** على $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$: للتقييم $f \mapsto f(0)$ [معيار](#def-b2-nvs-norm) مؤثر $1$؛ وللتكامل $f \mapsto \int_0^1 f$ [معيار](#def-b2-nvs-norm) $1$؛ وللتطبيق $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ [معيار](#def-b2-nvs-norm) $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (والحدّ الأعلى بمتراجحة المثلث للتكاملات؛ وهو مبلوغ عند $f \equiv 1$). أما الاشتقاق، من $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ إلى $(C^0, \norm\cdot_\infty)$، *فليس* [متصلًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity): إذ إن $\norm{\sin(nx)}_\infty = 1$ في حين أن [معيار](#def-b2-nvs-norm) النهاية العليا للمشتق $n$. فالخطية لا تستلزم الاتصال في البعد غير المنتهي. **مثال 5.8 (معياران، وحكمان على متتالية واحدة).** على $C(\intcc01)$، لتكن $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$. عندئذٍ $$ \norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0, \qquad \norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12, \qquad \norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty : $$ متتالية واحدة، وثلاثة معايير، وثلاثة سلوكات — تقارب إلى الصفر، وعدم تقارب (فالمعايير تستقر عند $\frac1{\sqrt2}$ لكن النهاية النقطية $0$)، وانفجار. وتركّز الكتلة قرب $x = 1$ غير مرئي [للمعيار](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_1$، ومرئي نصفًا [للمعيار](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_2$، ومهيمن من أجل $\norm\cdot_\infty$. وفي البعد غير المنتهي، ليس السؤال “هل تتقارب؟” سؤالًا عن متتالية: بل هو سؤال عن متتالية *[ومعيار](#def-b2-nvs-norm)*. **طريقة 5.9 (كيف نحسب معيار مؤثر).** دائمًا بحركتين. *الحدّ الأعلى:* قدّر $\norm{u(x)}$ بالمقدار $C\norm x$ باستعمال متراجحات المثلث أو كوشي–شوارتز أو حدود التكاملات — وهذا يبرهن على $\vertiii u \leq C$. *الشاهد:* أبرِز إما عنصرًا بعينه $x_0 \neq 0$ يحقق $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (فيكون الحدّ مبلوغًا)، وإما متتالية من متجهات الوحدة $x_n$ تحقق $\norm{u(x_n)} \to C$ (فيكون الحدّ مقارَبًا). والحركتان إلزاميتان: فالحدّ الأعلى وحده لا يعطي إلا $\vertiii u \leq C$، والشاهد وحده لا يعطي إلا $\vertiii u \geq C$. وفي البعد غير المنتهي قد يضطر الشاهد أن يكون متتالية — إذ لا يلزم أن تكون النهاية العليا مبلوغة ([التمرين 5.8](#exo-b2-nvs-8)). **مثال 5.10 (المؤثرات القطرية ترى كل المعايير سواءً).** من أجل $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ على $K^n$ *بأيٍّ* من المعايير $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2, \norm\cdot_\infty$: من $\abs{d_ix_i} \leq \bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ إحداثيةً إحداثية، نجد $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$؛ ويبلغه $x = e_{j_0}$ (بدليل معظِّم). ومنه $\vertiii D = \max_j\abs{d_j}$ في الحالات الثلاث: فمن أجل التطبيقات القطرية، تحكي كل المعايير المعقولة الحكاية نفسها، وهي أكبر معامل تمديد. وكل ما هو صعب في معايير المؤثرات يتعلق بالسلوك *غير* القطري — ولهذا تعمل المعايير المكيَّفة في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (السؤال 22) بأن تجبر المصفوفة على أن تصير قطرية أولًا. **مثال 5.11 (مجاميع الأعمدة: توأم 111 للمعيار التمرين 5.4).** على $(\R^n, \norm\cdot_1)$، [معيار](#def-b2-nvs-norm) مؤثر مصفوفة $A$ هو أكبر مجموع مطلق *لعمود*. ونشغّل الطريقة: من أجل $\norm x_1 \leq 1$، $$ \norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}} \leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 , $$ ويُبلغ الحدّ عند $x = e_{j_0}$ من أجل عمود معظِّم $j_0$ — وهو أنظف شاهد يمكن تصوّره. ومن أجل $A = \left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$: $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$، في حين أن $\vertiii A_\infty = 4$ أيضًا (بالأسطر) — وهي مصادفة هنا لا قانون: فبدّل عناصر المصفوفة بغير تناظر ويفترق المعياران. الأسطر من أجل $\norm\cdot_\infty$، والأعمدة من أجل $\norm\cdot_1$: والقاعدة الذهنية أن متجهات الوحدة لكل [معيار](#def-b2-nvs-norm) (أنماط الإشارات، وأما متجهات الأساس فللآخر) تلتقط المجاميع الموافقة. **قضية 5.12 (التطبيقات ثنائية الخطية).** يكون التطبيق ثنائي الخطية $b \colon E \times F \to G$ [متصلًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) إذا وفقط إذا كان $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ من أجل $C$ ما؛ ويكون عندئذٍ [ليبشيتزيًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) على المجموعات المحدودة. (بنمط البرهان نفسه؛ والجداء $(u, v) \mapsto v \circ u$ وضرب المصفوفات هما المثالان الأساسيان.) **برهان.** إذا صحّ الحدّ: $$ b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0), $$ ومنه $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y + C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$: أي الاتصال عند $(x_0, y_0)$، وحدّ [ليبشيتزي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) حيث $\norm x, \norm y \leq R$. وعكسيًا، يعطي الاتصال عند $(0,0)$ عددًا $\delta$ يحقق $\norm{b(x,y)} \leq 1$ على $\norm x, \norm y \leq \delta$؛ ثم نغيّر سلّم المتغيرين. ∎ ## 5.3 البعد المنتهي **مبرهنة 5.13 (تكافؤ المعايير في البعد المنتهي).** على فضاء منتهي البعد، *كل [المعايير متكافئة](#def-b2-nvs-equivalent)*. ومن ثم، في البعد المنتهي: يكون التقارب والانفتاح والتراص والتمام مفاهيم لا تتعلق [بالمعيار](#def-b2-nvs-norm)؛ ويكون المتراص $=$ مغلقًا ومحدودًا؛ ويكون الفضاء [تامًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete)؛ ويكون كل تطبيق خطي (أو متعدد الخطية) *منطلق* من فضاء منتهي البعد [متصلًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity). **برهان.** نثبّت أساسًا ونماهي $E \simeq K^n$؛ ويكفي أن نقارن أي [معيار](#def-b2-nvs-norm) $N$ [بالمعيار](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_\infty$. *أحد الاتجاهين جبر:* $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq \sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ مع $C = \sum N(e_i)$. وهذا يبيّن أيضًا أن $N$ [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) على $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ (فهو [ليبشيتزي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) بالثابت $C$: $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$). *والآخر طوبولوجيا:* الكرة الواحدية $S = \{x : \norm{x}_\infty = 1\}$ مغلقة ومحدودة في $(K^n, \norm\cdot_\infty)$، ومن ثم متراصة ([المبرهنة 4.16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-compactprops) (2)، وهي صالحة من أجل $\C^n \simeq \R^{2n}$). وتبلغ الدالة المتصلة $N$ حدّها الأدنى $c$ على $S$؛ و$c > 0$ لأن $N$ لا ينعدم إلا عند $0 \notin S$. وتنشر التجانسية الحدَّ: $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ من أجل كل $x$. النتائج: تؤول كل الأقوال إلى الفضاء $(K^n, \norm\cdot_\infty)$، حيث هي معلومة ([المبرهنة 4.9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-rncomplete)، [المبرهنة 4.16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-compactprops))؛ ويحقق التطبيق الخطي $u$ المنطلق من فضاء منتهي البعد $E$ العلاقةَ $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i} \norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$: أي الحدّ (4) في [المبرهنة 5.6](#thm-b2-nvs-continuouslinear). ∎ **نتيجة 5.14.** كل فضاء جزئي منتهي البعد من أي فضاء معياري مغلق. **برهان.** هو تام من أجل [المعيار](#def-b2-nvs-norm) المستحثّ ([المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim))، والأجزاء التامة مغلقة ([التعريف 4.7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete)). ∎ **مثال 5.15 (أفضل تقريب محسوب بالتناظر).** في $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$، كم تبعد $f(x) = \abs x$ عن الفضاء الجزئي (المغلق ذي البعد اثنين) المكوَّن من الدوال الأفينية $a + bx$؟ بالتناظر، لا يغيّر تعويض $a + bx$ بالمقدار $a - bx$ المقدارَ $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$، وتفي النقطة الوسطى $a$ بالغرض على الأقل (بمتراجحة المثلث على المتوسط): فيكفي النظر في الثوابت. ومن أجل ثابت $a$: $$ \norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a) \geq \frac12 , $$ وهو أصغري عند $a = \frac12$: فالمسافة $\frac12$، وهي مبلوغة بالثابت $\frac12$. ولاحظ منحني الخطأ $\abs x - \frac12$: فهو يبلغ $\pm\frac12$ بالتناوب عند $x = -1, 0, 1$ — أي ثلاثة حدود قصوى متناوبة الإشارة من أجل أفضل تقريب من عائلة ذات وسيطين. وليس نمط *التذبذب المتساوي* هذا مصادفةً؛ بل هو بصمة الأمثلية التي تحوّلها مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل إلى مبرهنة تشيبيشيف. **مثال 5.16 (الفضاءات الجزئية المغلقة في مقابل الكثيفة).** في $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$: كل فضاء $\R_n[X]$ (كثيرات الحدود من الدرجة $\leq n$، مقصورة على $\intcc01$) فضاء جزئي منتهي البعد، ومن ثم *مغلق* — فالنهاية المنتظمة لكثيرات حدود من الدرجة $\leq n$ كذلك. لكن اتحادها كلها $\R[X]$ *كثيف* في $E$ (وهي مبرهنة فايرشتراس في التقريب، المبرهَن عليها في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq))، والفضاءات الجزئية الفعلية الكثيفة غير مغلقة إلى أقصى حدّ. والعبرة: انغلاق الفضاءات الجزئية امتياز للبعد المنتهي؛ وتكديس طوابق مغلقة قد يبني ناطحة سحاب كثيفة. **مبرهنة 5.17 (ريس).** تكون كرة الوحدة المغلقة لفضاء معياري $E$ متراصة *إذا وفقط إذا* كان $\dim E < \infty$. **برهان.** البعد المنتهي: يكفي أنها مغلقة ومحدودة ([المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)). وعكسيًا، لنفترض $\dim E = \infty$. *مبرهنة ريس المساعدة:* من أجل كل فضاء جزئي مغلق فعلي $F \subsetneq E$ وكل $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$، توجد متجهة واحدية $x$ تحقق $d(x, F) \geq 1 - \varepsilon$. البرهان: نختار $y \notin F$، ونضع $\delta = d(y, F) > 0$ (وهي موجبة لأن $F$ مغلق)، ونختار $f \in F$ تحقق $\norm{y - f} \leq \frac{\delta}{1 - \varepsilon}$، ونضع $x = \frac{y - f}{\norm{y - f}}$: فمن أجل أي $g \in F$، $$ \norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}} \geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon , $$ لأن البسط مسافة من $y$ إلى نقطة من $F$. ثم نبني متجهات واحدية $x_1, x_2, \dots$ بالتراجع: فالفضاء $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ منتهي البعد، ومن ثم مغلق ([النتيجة 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)) وفعلي؛ وتعطي مبرهنة ريس المساعدة مع $\varepsilon = \frac12$ متجهةً واحدية $x_{k+1}$ تحقق $d(x_{k+1}, F_k) \geq \frac12$. وتحقق المتتالية $\norm{x_p - x_q} \geq \frac12$ من أجل $p \neq q$: فلا متتالية جزئية متقاربة — أي إن كرة الوحدة ليست متراصة. ∎ **مثال 5.18 (ريس بوصفه كاشفًا للبعد).** هل $C(\intcc01)$ منتهي البعد؟ يجيب ريس دون إبراز أي عائلة حرة غير منتهية صريحة: فالمتتالية $f_n(x) = x^n$ تقع في كرة الوحدة المغلقة وتحقق، من أجل $m > n$، $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ عند نقاط مناسبة — وهو ما يُقدَّر بدقة في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (السؤال 16)، حيث تبقى متتالية جزئية على مسافة متبادلة $\geq \frac14$. فلا متتالية جزئية متقاربة، ومن ثم فالكرة غير متراصة، ومنه $\dim C(\intcc01) = \infty$ حسب [المبرهنة 5.17](#thm-b2-nvs-riesz). وتراص كرة الوحدة انقسام تامّ: فهو يصحّ في البعد المنتهي ويفشل في البعد غير المنتهي، بلا أرض وسطى — فالهندسة وحدها تقرأ نوع البعد. ## 5.4 فضاءات باناخ **تعريف 5.19.** *فضاء باناخ* فضاء معياري تام. أمثلة: كل فضاء معياري منتهي البعد ([المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim))؛ و$\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ ([المبرهنة 4.9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-rncomplete))؛ و$\mathcal{L}_c(E, F)$ من أجل $F$ فضاءَ باناخ (بنمط البرهان نفسه المستعمل من أجل الدوال المتصلة). ومثال مضاد: $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ ([التمرين 5.7](#exo-b2-nvs-7)). **مثال 5.20 (معيار مؤثر التكامل).** على $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$، ليكن $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (وهو تشاكل ذاتي: فالدالة $T(f)$ متصلة). ونشغّل [الطريقة 5.9](#met-b2-nvs-opnorm). الحدّ الأعلى: $$ \abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq \norm f_\infty , $$ ومنه $\vertiii T \leq 1$. والشاهد: يعطي $f \equiv 1$ أن $T(f)(x) = x$ و$\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: فهو مبلوغ، و$\vertiii T = 1$. لكن لاحظ أن $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: فعلًا، $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ له $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$، وهو مبلوغ من جديد عند $f \equiv 1$؛ وعمومًا $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — فالحدّ الضربي التحتي $\vertiii T^n = 1$ يخطئ بمقدار عاملي. وهذه بالضبط هي الظاهرة التي تحوّلها حيلة التكرار في مسألة نهاية الأسبوع في [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric) إلى قابلية حلّ شمولية للمعادلات التفاضلية الخطية. **مبرهنة 5.21 (التقارب المطلق في فضاءات باناخ).** في [فضاء باناخ](#def-b2-nvs-banach)، إذا كان $\sum \norm{u_n} < \infty$ فإن $\sum u_n$ تتقارب، ويكون $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$. (وتُعالَج نظرية المتسلسلات في [الفضاءات المعيارية](#def-b2-nvs-norm) كاملةً في [الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series).) **برهان.** المجاميع الجزئية $S_N$: من أجل $q > p$، $\norm{S_q - S_p} \leq \sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$، وهذا يؤول إلى $0$ (بمحك كوشي للمتسلسلة الحقيقية للمعايير): ومن ثم فإن $(S_N)$ كوشي، فمتقاربة. وتنتقل المتراجحة إلى النهاية من متراجحة المثلث المنتهية. ∎ **مثال 5.22 (الأسّي المصفوفي، أول لقاء).** *الأسّي المصفوفي*: $\mathcal{M}_n(K)$ مع أي [معيار](#def-b2-nvs-norm) ضربي تحتي ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) [فضاء باناخ](#def-b2-nvs-banach) (لأنه منتهي البعد). عندئذٍ، من أجل كل $A$، $$ \eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} $$ تتقارب بإطلاق (لأن $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$، وهي قابلة للجمع): فهي معرَّفة جيدًا. ويستغلّ [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) ذلك منهجيًا. **مثال 5.23 (متسلسلة نويمان تنتهي).** من أجل $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$: $\vertiii A < 1$ في أي [معيار](#def-b2-nvs-norm) مؤثر مبني على معايير [المثال 5.2](#ex-b2-nvs-examples)، و$A^2 = 0$، ومن ثم تنهار المتسلسلة الهندسية: $$ (I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A = \begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix}, $$ وهو ما يتحقق منه $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$. فانعدام القوى يقتطع المتسلسلة تمامًا كما اقتطع الأسّي في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction)؛ ويعاير المثال التوقعات: فمقلوب نويمان متسلسلة غير منتهية عمومًا، وكثيرُ حدود بالضبط حين يكون الاضطراب عديم القوى، والخطأ بعد $N$ حدًّا محدود دائمًا بالذيل الهندسي $\vertiii A^{N+1}/(1 - \vertiii A)$. **مثال 5.24 (أسّي مولّد دوران).** لتكن $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{smallmatrix}\right)$. عندئذٍ $A^2 = -\theta^2 I$، ومن ثم تدور القوى بدور قدره أربعة، وتنقسم المتسلسلة إلى جزأين زوجي وفردي: $$ \eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!} = \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I + \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr) \frac{A}{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, $$ وكل إعادة ترتيب مرخَّصة بالتقارب المطلق. فأسّي مولّد ضدّ متماثل دوران — محسوبٌ هنا من المتسلسلة وحدها، قبل ثلاثة فصول من شرح المعادلة التفاضلية $x' = Ax$ ([الفصل 16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq)) *لماذا*: فالمقدار $\eu^{tA}$ حركة دائرية منتظمة. والفكرة الختامية: تُبرهن المتطابقات بين المتسلسلات المصفوفية تمامًا كما تُبرهن المتطابقات العددية، متى صدّق [معيار](#def-b2-nvs-norm) ضربي تحتي التقارب المطلق. **مثال 5.25 (معيار النهاية العليا يعني الانتظام: المعجم).** القول $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ *هو* التقارب المنتظم: فعدد واحد، وهو $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$، يحدّ الخطأ عند كل نقطة في آن واحد. والمعجم في العمل على $f_n(x) = x^n$ فوق $\intcc{0}{1}$: نقطيًا، $f_n \to 0$ على $\intco{0}{1}$ و$f_n(1) = 1$؛ وبالمعيار، $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$، وفعلًا فالنهاية النقطية غير متصلة، ومن ثم فهي بعيدة عن متناول نهاية [بالمعيار](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_\infty$ في $C(\intcc01)$ (المغلق تحت النهايات المنتظمة، [المبرهنة 4.9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-rncomplete)). وعلى $\intcc{0}{a}$، $a < 1$: $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ — فيُستعاد التقارب المنتظم بتصغير مجال التعريف. وكل قول في التقارب في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) قول عن هذا [المعيار](#def-b2-nvs-norm) الواحد؛ وإبقاء المعجم في الذهن ينصّف ذلك الفصل. **ملاحظة 5.26 (مزالق شائعة).** (1) يتعلق [معيار المؤثر](#thm-b2-nvs-continuouslinear) *بكلا* المعيارين المختارين: فالمصفوفة نفسها لها $\vertiii\cdot_\infty$ معطى بمجاميع الأسطر ([التمرين 5.4](#exo-b2-nvs-4)) و$\vertiii\cdot_1$ مختلف (مجاميع الأعمدة)؛ وذكرُ “[معيار](#def-b2-nvs-norm)” مصفوفة دون تسمية المعيارين الأساسيين لا معنى له. (2) المتراجحة $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ عادةً تامة — فقد تتقلص القوى أسرع بكثير مما يوحي به الحدّ $\vertiii A^k$، وهذا هو كل المغزى من المعايير المكيَّفة (مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل، السؤال 22). (3) قول “الخطية تستلزم الاتصال” امتياز للبعد المنتهي: فالاشتقاق على كثيرات الحدود خطي وغير محدود ([المثال 5.7](#ex-b2-nvs-operatornorms)). (4) لا يفيد التقارب المطلق للمتسلسلة $\sum u_n$ إلا حين يكون الفضاء [تامًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete) (ويبني [التمرين 7.9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#exo-b2-series-9) المثالَ المضاد). (5) في البعد غير المنتهي تكون النهاية العليا على كرة الوحدة نهاية عليا حقيقية: فلا تفترض أنها مبلوغة ([التمرين 5.8](#exo-b2-nvs-8)). **ملاحظة 5.27 (آفاق داخل هذا المجلد).** ثلاثة مواعيد صارت الآن محدَّدة. مع [الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series): في [فضاء باناخ](#def-b2-nvs-banach)، تتقارب المتسلسلات المتقاربة بإطلاق، ومن ثم تصير المتسلسلتان الهندسية والأسّية للمؤثرات أدواتٍ يومية — لقلب $I - A$، ولتعريف $\eu^{A}$ ([المثال 7.2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ex-b2-series-neumann)). ومع [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) و[الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries): يكون تقارب متتاليات الدوال ومتسلسلات القوى تقاربًا في $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ ([المثال 5.25](#ex-b2-nvs-uniformdictionary))، ويكون نصف قطر التقارب قولًا في أي المتسلسلات الهندسية تهيمن. ومع [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ch-b2-fourier): يختلف المعياران $\norm\cdot_2$ و$\norm\cdot_\infty$ اختلافًا حقيقيًا على $C(\intcc{0}{1})$ ([المثال 5.8](#ex-b2-nvs-sqrtnxn))، وهذا بالضبط هو السبب في أن تقارب متسلسلات فورييه في المتوسط التربيعي والتقارب المنتظم مبرهنتان مختلفتان بثمنين مختلفين. **ملاحظة 5.28 (أين يُستعمَل هذا الفصل).** تُدير معايير المؤثرات والمتسلسلة الهندسية حجج الاضطراب في [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc) (مبرهنة الدالة العكسية) و [الأسّي المصفوفي](#ex-b2-nvs-matrixexp) في [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq)؛ ويرخّص [تكافؤ المعايير](#thm-b2-nvs-finitedim) صامتًا كل حجة من نمط “اختر معيارك المفضّل” في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) وما بعده؛ والفاصل بين البعد المنتهي وغير المنتهي في مبرهنة ريس — المُصاغ كمّيًا في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل — هو السبب في أن مجلد السنة الثالثة يحتاج أدوات جديدة (التقارب الضعيف، وأرزيلا–أسكولي، وإسقاطات فضاء هيلبرت) حيث كان هذا المجلد ما يزال يستخرج متتاليات جزئية متقاربة. ## 5.5 تمارين **تمرين 5.1 ★.** على $\R^2$، ارسم كرات الوحدة للمعايير $\norm\cdot_1$ و$\norm\cdot_2$ و$\norm\cdot_\infty$، وبرهن على المتراجحات $\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ بأفضل الثوابت في البعد $2$. **حل التمرين 5.1.** كرات الوحدة: معيّن ($\norm\cdot_1$)، وقرص ($\norm\cdot_2$)، ومربّع ($\norm\cdot_\infty$)، متداخلة بهذا الترتيب. المتراجحات: $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (فمربّع واحد لا يتجاوز المجموع)؛ $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (بالتربيع: $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1} + \abs{x_2})^2$)؛ $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (حدّان، كلٌّ منهما $\leq \max$). والحدّية: $(1, 0)$ تجعل الأوليين مساواتين؛ و$(1, 1)$ تجعل $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ وتبيّن أيضًا أن $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ و$\norm x_1 = \sqrt2 \norm x_2$ نسبتان حدّيتان في الاتجاه الآخر. **تمرين 5.2 ★.** هل $N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ [معيار](#def-b2-nvs-norm) على $C^1(\intcc{0}{1})$؟ قارنه [بالمعيار](#def-b2-nvs-norm) $\norm{f}_\infty$: فمتراجحة واحدة تصحّ والأخرى تفشل (أبرِز ذلك). **حل التمرين 5.2.** بديهيات [المعيار](#def-b2-nvs-norm): تُورَّث التجانسية ومتراجحة المثلث حدًّا حدًّا؛ وأما الفصل: فالشرط $N(f) = 0$ يفرض $f' = 0$ (ومنه $f$ ثابتة) و$f(0) = 0$: أي $f = 0$. فهو [معيار](#def-b2-nvs-norm) إذن. المقارنة: $\norm f_\infty \leq N(f)$، لأن $\abs{f(x)} \leq \abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$. والعكس يفشل: نأخذ $f_n(x) = \frac1n \sin(nx)$: عندئذٍ $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ في حين أن $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$. فلا ثابت $C$ يعطي $N \leq C\norm\cdot_\infty$. **تمرين 5.3 ★.** احسب [معيار المؤثر](#thm-b2-nvs-continuouslinear) $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ على $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr) \to \R$، [ومعيار](#def-b2-nvs-norm) الإزاحة $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ على $(K^n, \norm\cdot_\infty)$. **حل التمرين 5.3.** $\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu - 1)\norm f_\infty$، مع المساواة من أجل $f \equiv 1$: ومنه $\vertiii u = \eu - 1$. الإزاحة: $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq \norm x_\infty$، والمساواة عند $x = e_2$: ومنه $\vertiii S = 1$ (من أجل $n \geq 2$). **تمرين 5.4 ★★.** على $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$، برهن على أن [معيار](#def-b2-nvs-norm) مؤثر مصفوفة $A$ هو $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (أي أكبر مجموع مطلق لسطر). واحسبه من أجل $\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{pmatrix}$. **حل التمرين 5.4.** الحدّ الأعلى: من أجل $\norm x_\infty \leq 1$، $$ \abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{a_{ij}}, $$ ومنه $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$. وهو مبلوغ: فليحقق $i_0$ الأعظمية ونأخذ $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0 j})$ (بعناصر طويلتها $1$): عندئذٍ $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0 j}}$. ومنه الصيغة. ومن أجل المصفوفة المعطاة: مجاميع الأسطر $3$ و $4$: ومنه $\vertiii A_\infty = 4$. **تمرين 5.5 ★★.** برهن على أن $GL_n(K)$ [مفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) في $\mathcal{M}_n(K)$ وأن $A \mapsto A^{-1}$ [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) عليها. *إرشاد: من أجل الانفتاح، إذا كانت $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ فإن $A + H = A(I + A^{-1}H)$ مع $\vertiii{A^{-1}H} < 1$، وتكون $I + B$ قابلة للقلب من أجل $\vertiii B < 1$ بالمتسلسلة الهندسية ([المبرهنة 5.21](#thm-b2-nvs-absoluteconvergence))؛ ومن أجل الاتصال، حُدّ $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ باستعمال المتسلسلة نفسها.* **حل التمرين 5.5.** *المتسلسلة الهندسية:* من أجل $\vertiii B < 1$، تتقارب المتسلسلة $\sum B^k$ بإطلاق في [فضاء باناخ](#def-b2-nvs-banach) $\mathcal{M}_n(K)$ ([المبرهنة 5.21](#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)، $\vertiii{B^k} \leq \vertiii B^k$)، ويكون $$ (I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I : $$ باتصال الجداء ([القضية 5.12](#prop-b2-nvs-bilinear))، $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$، ومن ثم فإن $I - B$ قابلة للقلب ومقلوبها هو المجموع (مع $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$). *الانفتاح:* من أجل $A$ قابلة للقلب و$\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$: $A + H = A(I + A^{-1}H)$ مع $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$: فهي قابلة للقلب. ومنه فإن كرة حول $A$ تبقى في $GL_n$. *اتصال القلب:* مع $B = -A^{-1}H$، $$ (A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1} = \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1}, $$ ومعياره $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}} \to 0$ حين $H \to 0$. **تمرين 5.6 ★★.** لتكن $\varphi$ صيغة خطية على فضاء معياري $E$. برهن على أن $\varphi$ متصلة إذا وفقط إذا كانت $\ker\varphi$ مغلقة. *(إذا كانت $\ker\varphi$ مغلقة و$\varphi \neq 0$، فاختر $a$ مع $\varphi(a) = 1$ و$r > 0$ مع $B(a, r) \cap \ker\varphi = \emptyset$؛ واستنتج $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ بحجة تغيير سلّم على $a - \frac{h}{\varphi(h)}$.)* **حل التمرين 5.6.** متصلة $\Rightarrow$ نواة مغلقة: فهي الصورة العكسية للمغلقة $\{0\}$ ([المبرهنة 4.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-globalcontinuity)). وعكسيًا، لنفترض $\ker\varphi$ مغلقة و$\varphi \neq 0$. نختار $a$ مع $\varphi(a) = 1$؛ وبما أن $a \notin \ker\varphi$ والنواة مغلقة، فإن كرة ما $B(a, r)$ لا تلتقيها. ولتكن الآن $h \in E$ مع $\varphi(h) \neq 0$: فالمتجهة $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ تقع في $\ker\varphi$، ومن ثم خارج $B(a, r)$: $$ \Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r \quad\Longrightarrow\quad \abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r}, $$ وهي متراجحة صحيحة بداهةً حين $\varphi(h) = 0$ أيضًا: أي الحدّ (4) في [المبرهنة 5.6](#thm-b2-nvs-continuouslinear): فهي متصلة. **تمرين 5.7 ★★.** برهن على أن $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ ليس [تامًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete): بيّن أن الدوال $f_n$، وهي منحدرات أفينية من $0$ إلى $1$ على $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (بالقيمة $0$ قبله و$1$ بعده)، تشكّل متتالية كوشي بلا نهاية متصلة من أجل $\norm\cdot_1$. **حل التمرين 5.7.** لتكن $f_n$ تساوي $0$ على $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$، وأفينية صاعدة إلى القيمة $1$ عند $\frac12$، ثم $1$ على $\intcc{\frac12}{1}$. من أجل $m \geq n$، يكون حامل $f_m - f_n$ فترةً طولها $\frac1n$ وقيمه في $\intcc{-1}{1}$: ومنه $\norm{f_m - f_n}_1 \leq \frac1n$: فهي كوشي. لنفترض $f_n \to f$ في $\norm\cdot_1$ مع $f$ متصلة. على $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ (من أجل $\delta$ ثابت): $\int \abs{f} = \int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ من أجل $n > \frac1\delta$، ومنه $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$، وبالإيجابية التامة $f = 0$ هناك — ومن أجل كل $\delta$: أي $f = 0$ على $\intoo{0}{\frac12}$. وكذلك $f = 1$ على $\intcc{\frac12}{1}$ (فالدوال $f_n$ كلها تساوي $1$ هناك). وبالاتصال عند $\frac12$: $0 = 1$، وهذا محال. فلا نهاية موجودة: أي إن الفضاء ليس [تامًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete). **تمرين 5.8 ★★★.** على $E = C(\intcc{0}{1})$ مع $\norm\cdot_\infty$، لننظر في $$ \varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr). $$ برهن على أن $\varphi$ صيغة خطية متصلة معرَّفة جيدًا مع $\vertiii\varphi = 1$، لكن النهاية العليا التي تعرّف $\vertiii\varphi$ *ليست مبلوغة* على كرة الوحدة المغلقة. *(الحدّ الأعلى: بمتراجحة المثلث. [والمعيار](#def-b2-nvs-norm) $= 1$: ابنِ دوالًا متصلة $f_K$ بحيث $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ و$f_K(\frac1n) = (-1)^n$ من أجل $n \leq K$ — فالنقاط $\frac1n$ معزولة بعضها عن بعض. وعدم البلوغ: تفرض المساواة أن $f(\frac1n) = (-1)^n$ من أجل كل $n$، وهذا يتنافى مع اتصال $f$ عند $0$ لأن $\frac1n \to 0$.)* **حل التمرين 5.8.** معرَّفة جيدًا ومتصلة: $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n} \norm f_\infty = \norm f_\infty$، ومن ثم فإن $\varphi$ صيغة خطية مع $\vertiii\varphi \leq 1$ (فالمتسلسلة تتقارب بإطلاق من أجل كل $f$). [المعيار](#def-b2-nvs-norm) $1$: نثبّت $K$؛ فالنقاط $1, \frac12, \dots, \frac1K$ مختلفة مثنى مثنى، ومن ثم توجد دالة متصلة $f_K$، مع $\norm{f_K}_\infty \leq 1$، تحقق $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ من أجل $n \leq K$ (باستكمال أفيني على قطع، وثابتة قرب $0$). عندئذٍ $$ \varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n} = 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 . $$ وغير مبلوغ: فإذا كان $\norm f_\infty \leq 1$ و$\varphi(f) = 1$، فلا بد أن يسهم كل حدّ بأعظميته: أي $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ من أجل كل $n$ (وإلا لتعذّر تعويض النقص التام في حدّ واحد، لأن كل الحدود $\leq 2^{-n}$). ومنه $f(\frac1n) = (-1)^n$؛ لكن $\frac1n \to 0$ و$f$ متصلة عند $0$، وهذا يفرض تقاربًا متناقضًا للمتسلسلة $(-1)^n$. ومن ثم فالنهاية العليا ليست أعظمية — وهذا مستحيل في البعد المنتهي، حيث تكون كرة الوحدة المغلقة متراصة. **تمرين 5.9 ★★★.** ليكن $E$ فضاءً معياريًا كرة الوحدة المغلقة فيه متراصة. أعد استنباط أن لكل متتالية محدودة متتاليةً جزئية متقاربة، دون الاستشهاد بالمبرهنة [المبرهنة 5.17](#thm-b2-nvs-riesz)، وبرهن على أن كل صيغة خطية على $E$ متصلة إذا وفقط إذا كان $\dim E < \infty$. *(من أجل البعد غير المنتهي، ابنِ صيغة غير متصلة بتعريفها بحرية على متتالية مستقلة خطيًا منظَّمة ثم تمديدها — مع قبول وجود مكمّل جبري.)* **حل التمرين 5.9.** *المتتاليات المحدودة:* تقع المتتالية المحدودة في كرة مغلقة ما $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$، وهي متراصة (فهي صورة كرة الوحدة المتراصة بالتماثل الطوبولوجي $x \mapsto Rx$): فنستخرج هناك. *الصيغ الخطية:* إذا كان $\dim E < \infty$، فإن كل تطبيق خطي منطلق من $E$ [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) ([المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)). وعكسيًا، لنفترض $\dim E = \infty$ (وهو ما تستبعده فرضية التراص فعلًا حسب [المبرهنة 5.17](#thm-b2-nvs-riesz) — والمقصود من هذا السؤال هو الاستلزام بين الخاصيتين في [الفضاءات المعيارية](#def-b2-nvs-norm) العامة): نختار متتالية مستقلة خطيًا منظَّمة $(e_n)$، ونُتمّها إلى أساس جبري (مقبول)، ونعرّف $\varphi(e_n) = n$، و$\varphi = 0$ على متجهات الأساس الأخرى، ثم نمدّد خطيًا. عندئذٍ $\abs{\varphi(e_n)} = n$ مع $\norm{e_n} = 1$: فهي غير محدودة على كرة الوحدة، وغير متصلة. ومن ثم فإن “كل الصيغ متصلة” يفرض البعد المنتهي. **تمرين 5.10 ★★.** على $C(\intcc{0}{1})$، برهن على أن $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm f_\infty$ *(بكوشي–شوارتز من أجل الأولى)*، وبيّن بالعائلة $f_n(x) = x^n$ أنه لا يمكن عكس أي من المتراجحتين إلى حدّ ثابت: أي إن المعايير الثلاثة غير متكافئة مثنى مثنى. **حل التمرين 5.10.** كوشي–شوارتز مع الدالة الثابتة $1$: $\norm f_1 = \int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1 f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$. و $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$. ومن أجل $f_n(x) = x^n$: $$ \norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad \norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad \norm{f_n}_\infty = 1 . $$ عندئذٍ $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to \infty$ و$\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to \infty$: فلا متراجحات معاكسة، ولا زوج متكافئ. **تمرين 5.11 ★★.** (المسافة إلى فضاء فوقي) لتكن $\varphi$ صيغة خطية متصلة غير معدومة على فضاء معياري $E$. برهن على أن $$ d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi} \qquad (x \in E), $$ وتحقق على [التمرين 5.8](#exo-b2-nvs-8) من أن النهاية الدنيا لا يلزم أن تُبلغ عند أي نقطة من الفضاء الفوقي. **حل التمرين 5.11.** *الحدّ الأدنى للمسافة:* من أجل $h \in \ker\varphi$، $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq \vertiii\varphi\,\norm{x - h}$؛ ونأخذ النهاية الدنيا على $h$: $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$. *الحدّ الأعلى:* يمكن أن نفترض $\varphi(x) \neq 0$. من أجل $\varepsilon > 0$، نختار متجهة واحدية $u$ تحقق $\abs{\varphi(u)} \geq \vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ ونضع $h = x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$: عندئذٍ $\varphi(h) = 0$ و $$ \norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}} \leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}. $$ ثم نأخذ $\varepsilon \to 0$: $d(x, \ker\varphi) \leq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$؛ أي المساواة. *عدم البلوغ:* نأخذ $\varphi$ من [التمرين 5.8](#exo-b2-nvs-8) ($\vertiii\varphi = 1$، وهي غير مبلوغة) وأي $x$ مع $\varphi(x) \neq 0$. فلو حقق $h \in \ker\varphi$ ما $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$، لحققت المتجهة الواحدية $v = (x - h)/\norm{x - h}$ العلاقةَ $\abs{\varphi(v)} = \abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$: أي إن [معيار المؤثر](#thm-b2-nvs-continuouslinear) يكون مبلوغًا — وهو تناقض. **تمرين 5.12 ★★★.** على $E = \R[X]$ (أي كل كثيرات الحدود)، ليكن $N_1(P) = \sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ و$N_2(P) = \sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$. بيّن أن $N_1 \leq N_2$ لكن $N_1$ و$N_2$ *غير* متكافئين؛ واستنتج أن المطابق $(E, N_2) \to (E, N_1)$ تقابل خطي [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) مقلوبه غير [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity). وبيّن أخيرًا أن $(E, N_1)$ ليس [تامًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete) *(بالمجاميع الجزئية لتايلور للدالة $\eu^x$)*. والظواهر الثلاث مستحيلة في البعد المنتهي — فقل لماذا. **حل التمرين 5.12.** المتراجحة $N_1 \leq N_2$ هي رتابة النهاية العليا في مجال التعريف، ومن ثم فإن المطابق $(E, N_2) \to (E, N_1)$ [ليبشيتزي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) بالثابت $1$. ومن أجل $P_n(x) = (x/2)^n$: $N_2(P_n) = 1$ (مبلوغة عند $x = 2$) في حين أن $N_1(P_n) = 2^{-n}$: فحدٌّ $N_2 \leq CN_1$ يعطي $1 \leq C2^{-n}$ من أجل كل $n$: وهذا مستحيل. ومن ثم فالمعياران غير متكافئين والمطابق العكسي تقابل خطي غير [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity). *عدم التمام:* لتكن $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$. من أجل $m > n$، $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$: فهي كوشي من أجل $N_1$. فإذا كان $S_n \to P$ في $(E, N_1)$، فإن $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ نقطيًا على $\intcc{0}{1}$؛ لكن كثير حدود من الدرجة $d$ لا يمكن أن يساوي $\eu^x$ على فترة (فاشتق $d + 1$ مرة: يموت الطرف الأيسر ولا يموت $\eu^x$). فلا نهاية في $E$: أي إنه ليس [تامًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete). وفي البعد المنتهي تستحيل الظواهر الثلاث: فكل [المعايير متكافئة](#def-b2-nvs-equivalent)، وكل فضاء معياري تام، ومقلوب تقابل خطي تطبيقٌ خطي منطلق من فضاء منتهي البعد، ومن ثم فهو [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) ([المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)). ## 5.6 مسألة: أفضل تقريب ومبرهنة تشيبيشيف إلى أي حدّ يمكن تقريب دالة بكثيرات حدود من درجة معطاة، وأي كثير حدود يقرّبها أفضل تقريب؟ أما جانب الوجود فجوابه من هذا الفصل: فالتراص في البعد المنتهي يجعل أفضل التقريبات موجودة. وأما الجانب الصريح، فحالة واحدة غير بديهية تُحلّ كاملةً باليدين المجرّدتين — فمن بين كل كثيرات الحدود *الموحَّدة* من الدرجة $n$، أصغرها معيارًا أعلى على $\intcc{-1}{1}$ هو كثير حدود تشيبيشيف (المنظَّم)، ومعياره $2^{1-n}$: وهي *مبرهنة تشيبيشيف الحدّية*. وتبرهن المسألة على الجانبين، ثم تقيس إلى أي حدّ يفشل التراص في البعد غير المنتهي: فكرة الوحدة في $C(\intcc{0}{1})$ تحتوي كوكبات غير منتهية من النقاط على مسافة متبادلة $1$. **مسألة 5.1.** مسألة نهاية الأسبوع — مبرهنة تشيبيشيف الحدّية وهندسة كرة الوحدة المعايير بلا دليل سفلي هي معايير النهاية العليا على القطعة المذكورة. **الجزء الأول — أفضل تقريب في [الفضاءات المعيارية](#def-b2-nvs-norm).** 1. ليكن $F$ فضاءً جزئيًا منتهي البعد من فضاء معياري $E$ وليكن $x \in E$ . برهن على أن المسافة $d(x, F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ *مبلوغة* *(أرجِع المسألة إلى جزء مغلق محدود من $F$ واستعمل [المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim))* . 2. يكون [المعيار](#def-b2-nvs-norm) *محدبًا تمامًا* إذا كان $\norm u = \norm v = 1$ و $u \neq v$ يستلزمان $\bigl\Vert\frac{u + v}2\bigr\Vert < 1$ . بيّن أن $\norm\cdot_2$ على $\R^n$ محدب تمامًا *(بمتطابقة متوازي الأضلاع)* ، وأن $\norm\cdot_1$ و $\norm\cdot_\infty$ ليسا كذلك من أجل $n \geq 2$ . 3. برهن على أن أفضل تقريب في السؤال 1 *وحيد* من أجل [معيار](#def-b2-nvs-norm) محدب تمامًا. 4. في $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ ، احسب كل أفضل التقريبات للعنصر $x = (0, 1)$ بالمستقيم $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : فتحصل على فترة من المصغِّرات. 5. في $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ ، بيّن أن أفضل تقريب للدالة $f$ *بالثوابت* وحيد ويساوي $c^* = \frac{\max f + \min f}{2}$ ، بمسافة $\frac{\max f - \min f}{2}$ ؛ واحسب الاثنين من أجل $f(x) = x^2$ على $\intcc{0}{1}$ . **الجزء الثاني — كثيرات حدود تشيبيشيف.** 6. بيّن أنه يوجد كثير حدود واحد بالضبط $T_n$ يحقق $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ من أجل كل $\theta$ *(بالتراجع $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ الآتي من صيغة جمع جيوب التمام)* ، وأن $\deg T_n = n$ ، وأن معامله الرئيسي $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ . 7. بيّن أن $\abs{T_n} \leq 1$ على $\intcc{-1}{1}$ ، مع $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ عند النقاط $n + 1$ وعددها $\eta_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ (مع $k = 0, \dots, n$ )، وأن جذور $T_n$ هي النقاط $n$ وعددها $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ ، متداخلةً مع النقاط $\eta_k$ . 8. احسب $T_2, T_3, T_4$ ، وتحقق من تناوب $T_3$ عند $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12, -1$ بالتقييم المباشر. 9. من أجل $\abs x \geq 1$، برهن على أن $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$$ واستنتج $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n \to \infty$ هندسيًا من أجل $x > 1$ ثابت. 10. برهن على قانون التركيب $T_m \circ T_n = T_{mn}$ *(تحقق منه على $\intcc{-1}{1}$ واستشهد بصلابة كثيرات الحدود)* . **الجزء الثالث — مبرهنة تشيبيشيف الحدّية.** نكتب $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (وهو موحَّد، حسب السؤال 6). 11. ليكن $P$ موحَّدًا من الدرجة $n \geq 1$ مع $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$. وبتقييم $D = Q_n - P$ عند النقاط $\eta_k$ وعدّ تغيّرات الإشارة، استنتج تناقضًا. واختم بأن: $$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n} \qquad\text{من أجل كل كثير حدود موحَّد } P \text{ من الدرجة } n.$$ 12. (حالة المساواة) لنفترض $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n}$ مع $P$ موحَّد من الدرجة $n$ ، وليكن $D = Q_n - P \neq 0$ . بيّن أن $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ من أجل كل $k$ ؛ وبيّن أن كلًا من الفترات $n$ $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ يحتوي جذرًا للكثير $D$ ، وأن الجذر المشترك بين فترتين متتاليتين نقطةٌ *داخلية* $\eta_k$ يكون عندها $D' = 0$ أيضًا. واختم بأن للكثير $D$ عدد $n$ من الجذور محسوبةً بتضاعفاتها، ومن ثم $D = 0$ : أي إن المصغِّر هو بالضبط $Q_n$ — وهي *مبرهنة تشيبيشيف الحدّية* . 13. أعد صياغة المبرهنة بوصفها مسافة: على $\intcc{-1}{1}$، $$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$$ بأفضل تقريب وحيد $X^n - Q_n$؛ وبيّن بالتعويض الأفيني $x = \frac{1+t}2$ أن المسافة تصير على $\intcc{0}{1}$ هي $2^{1-2n}$. 14. (عقد الاستكمال المثلى) من أجل $n$ عقدة $x_1, \dots, x_n \in \intcc{-1}{1}$ ، يكون كثير حدود العقد $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ موحَّدًا من الدرجة $n$ . استنتج من السؤال 12 أي اختيار للعقد يصغّر $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ ، وهو العامل المتعلق بالعقد في حدّ خطأ الاستكمال الكلاسيكي، وأعطِ القيمة الدنيا. 15. تحقق يدويًا من حالة $n = 2$ في المبرهنة (جد $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ مباشرةً)، واحسب عدديًا مسافة السؤال 13 على $\intcc{0}{1}$ من أجل $n = 10$ . وماذا يقول حجمها عن منحني $x^{10}$ ؟ **الجزء الرابع — كرة الوحدة في $C(\intcc{0}{1})$.** 16. لتكن $g_k(x) = x^{2^k}$ . بيّن أن $\norm{g_k}_\infty = 1$ وأن $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ من أجل $j > k$ *(قيّم عند النقطة التي يكون فيها $x^{2^k} = \frac12$)* : فنحصل على متتالية محدودة صريحة بلا متتالية جزئية متقاربة — أي إن كرة الوحدة المغلقة غير متراصة، باليدين المجرّدتين. 17. (مبرهنة ريس المساعدة، مشحوذةً) ليكن $F$ فضاءً جزئيًا فعليًا *منتهي البعد* من فضاء معياري $E$ . باستعمال السؤال 1، أنتج متجهة واحدية $x$ تحقق $d(x, F) = 1$ بالضبط — لا مجرد $\geq 1 - \varepsilon$ كما في مبرهنة [المبرهنة 5.17](#thm-b2-nvs-riesz) المساعدة. 18. استنتج: في كل فضاء معياري غير منتهي البعد توجد متتالية من متجهات الوحدة المسافات بينها مثنى مثنى $\geq 1$ ، وأعد استنباط مبرهنة ريس منها. 19. في $C(\intcc{0}{1})$ ، أبرِز كوكبة كهذه صراحةً: أي دوال الخيمة $h_n$ ذوات الحامل $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ والقيمة القصوى $1$ . وتحقق من $\norm{h_n} = 1$ ، ومن $\norm{h_n - h_m} = 1$ من أجل $n \neq m$ ، ولاحظ أن $h_n \to 0$ نقطيًا لا بانتظام. 20. (يفشل الحدّ الكلي) بيّن أن كرة الوحدة المغلقة في $C(\intcc{0}{1})$ لا يمكن تغطيتها بعدد منته من الكرات ذوات نصف القطر $\frac13$ *(فكل كرة كهذه تحتوي عنصرًا واحدًا على الأكثر من العناصر $h_n$)* — وقارِن بخطوة الحدّ الكلي في برهان [المبرهنة 4.20](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-borellebesgue) . **الجزء الخامس — المعايير في العمل على المصفوفات، والتركيب.** 21. برهن على أن كل [قيمة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\lambda$ للمصفوفة $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ تحقق $\abs\lambda \leq \vertiii A$ من أجل كل [معيار](#def-b2-nvs-norm) مؤثر؛ وطبّق [التمرين 5.4](#exo-b2-nvs-4) لتحدّ [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) للمصفوفة $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ وقارِن بطويلتها الحقيقية. 22. (المعايير المكيَّفة) لتكن $A$ قابلة للتقطير، مع $A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . بيّن أن $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ [معيار](#def-b2-nvs-norm) يحقق [معيار](#def-b2-nvs-norm) مؤثره $\vertiii A_{N_P} = \max_i\abs{\lambda_i}$ . 23. استنتج: من أجل $A$ قابلة للتقطير، يكون $A^k \to 0$ إذا وفقط إذا حققت كل [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\abs{\lambda_i} < 1$ — ويجعل [تكافؤ المعايير](#thm-b2-nvs-finitedim) النتيجةَ غير متعلقة [بالمعيار](#def-b2-nvs-norm) . وتحقق على $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ . 24. (ثوابت التكافؤ تنفجر) على $\R_n[X]$ ، قارِن $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (بالمعاملات) و $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : فكلاهما [معيار](#def-b2-nvs-norm) ، ومن ثم فهما متكافئان من أجل كل $n$ ثابت؛ لكن بيّن، باستعمال المصغِّر الموحَّد في السؤال 13 على $\intcc{0}{1}$ ، أن أفضل ثابت $C_n$ في $N_c \leq C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ يحقق $C_n \geq 2^{2n-1}$ . واختم بجملة واحدة عن سبب موت قول “كل [المعايير متكافئة](#def-b2-nvs-equivalent) ” في البعد غير المنتهي. 25. (تركيب) بجملة واحدة لكل بند: أين عمل تراص كرات البعد المنتهي (السؤالان 1 و12)؛ وماذا يحكم التحدب التام؛ وماذا تهدم كوكبة السؤالين 18–19؛ وكيف يقيس السؤال 24 الفشل كمّيًا. وسمِّ القمة (مبرهنة تشيبيشيف الحدّية) وقل أين يجد أفضل تقريب موطنه الحديث (مبرهنة الإسقاط على فضاءات هيلبرت، مجلد السنة الثالثة، حيث يحلّ التمام محلّ التراص). **حل المسألة 5.1.** **1.** تشكّل المرشحات الجديرة بالنظر المجموعةَ $K = \{f \in F : \norm{x - f} \leq \norm x\}$: وهي غير خالية ($0 \in K$)، ومغلقة (فهي الصورة العكسية لفترة مغلقة بالتطبيق [المتصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) $f \mapsto \norm{x - f}$، متقاطعةً مع المغلقة $F$، [النتيجة 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace))، ومحدودة ($\norm f \leq \norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$). وفي الفضاء $F$ المنتهي البعد، يعني المغلق المحدود المتراص ([المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim))؛ وتبلغ الدالة المتصلة $f \mapsto \norm{x - f}$ على $K$ نهايتها الدنيا، وهي تساوي النهاية الدنيا على $F$ كله (فأي $f \notin K$ يعطي $\norm{x - f} > \norm x \geq \inf$). **2.** متطابقة متوازي الأضلاع في $(\R^n, \norm\cdot_2)$: $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 + 2\norm v^2$ (بنشر مربّعات مجاميع الإحداثيات). ومن أجل $u \neq v$ واحديتين: $$ \Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u - v}^2}{4} < 1 . $$ وغير محدب تمامًا: فمن أجل $\norm\cdot_\infty$، نأخذ $u = (1, 1, 0, \dots)$، $v = (1, -1, 0, \dots)$: متجهتان واحديتان نقطتهما الوسطى $(1, 0, \dots)$ ومعيارها $1$؛ ومن أجل $\norm\cdot_1$، نأخذ $u = (1, 0, \dots)$، $v = (0, 1, 0, \dots)$: فالنقطة الوسطى $(\frac12, \frac12, 0, \dots)$ ومعيارها $1$. **3.** ليكن $d = d(x, F)$. فإذا كان $d = 0$: فإن $x \in \overline F = F$ والمصغِّر الوحيد هو $x$. وإذا كانت $d > 0$ و$f_1 \neq f_2$ مصغِّرتين معًا: فإن $u = \frac{x - f_1}{d}$ و$v = \frac{x - f_2}{d}$ متجهتان واحديتان مختلفتان، ومنه $$ \Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert = d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d , $$ مع $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$: وهذا يناقض تعريف $d$. فالمصغِّر وحيد. **4.** $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1) \geq 1$، مع المساواة إذا وفقط إذا $\abs t \leq 1$: فالمصغِّرات تشكّل القطعة $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$، وكلها على مسافة $1$ — وتفشل الوحدانية بالضبط لأن للكرة المربّعة أضلاعًا مستقيمة (السؤال 2). **5.** ليكن $M = \max f$، $m = \min f$ (وهما مبلوغان: بالتراص). ومن أجل أي ثابت $c$: $\sup\abs{f - c} \geq \max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$، والمتراجحة الأخيرة لأن متوسط المقدارين $\frac{M-m}2$؛ وتفرض المساواة في كليهما أن $M - c = c - m$، أي $c = c^* = \frac{M + m}2$. وعكسيًا $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) = \frac{M - m}2$. فأفضل ثابت وحيد. ومن أجل $f(x) = x^2$ على $\intcc01$: $c^* = \frac12$، والمسافة $\frac12$. **6.** من $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$: تحقق كثيرات الحدود المعرَّفة بالعلاقات $T_0 = 1$، $T_1 = X$، $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ الشرطَ $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ بالتراجع. الوحدانية: كثيرا حدود يتفقان على $\intcc{-1}{1}$ (وهي نقاط غير منتهية العدد) متساويان. وبالتراجع من جديد: $\deg T_n = n$ بمعامل رئيسي $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ (فمن أجل $T_1$: المعامل $1 = 2^0$؛ ويضاعفه التراجع). **7.** كل $x \in \intcc{-1}{1}$ يساوي $\cos\theta$، و $\abs{\cos n\theta} \leq 1$. وعند $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$: $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$، و$1 = \eta_0 > \eta_1 > \dots > \eta_n = -1$. والجذور: $\cos n\theta = 0$ إذا وفقط إذا $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$: أي النقاط $n$ المختلفة $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$، وبما أن $\frac{(k-1)\pi}n < \frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$، يقع كل جذر تمامًا بين حدّين قصويين متتاليين. **8.** $T_2 = 2X^2 - 1$، $T_3 = 4X^3 - 3X$، $T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1$. ومن أجل $T_3$: $T_3(1) = 1$، $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 - \tfrac32 = -1$، $T_3(-\tfrac12) = 1$، $T_3(-1) = -1$: أي تناوب تامّ. **9.** ليكن $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ من أجل $x \geq 1$: وهما جذرا $z^2 - 2xz + 1$، مع $u_+u_- = 1$. وتحقق المتتالية $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ العلاقةَ $s_{n+1} = 2x\,s_n - s_{n-1}$ (وهي تراجع من نمط نيوتن آتٍ من المعادلة من الدرجة الثانية)، مع $s_0 = 1$، $s_1 = x$: أي التراجع نفسه والقيم الابتدائية نفسها كما في $n \mapsto T_n(x)$، ومنه $s_n = T_n(x)$ من أجل كل $n$. وبما أن $0 < u_- \leq 1 \leq u_+$ مع $u_+ > 1$ من أجل $x > 1$: فإن $T_n(x) \geq \frac{u_+^n}2 \to \infty$ و$T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr)^n$. (ومن أجل $x \leq -1$ نستعمل التماثل $T_n(-x) = (-1)^nT_n(x)$، وهو واضح من التراجع.) **10.** من أجل كل $\theta$: $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr) = T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta = T_{mn}(\cos\theta)$. وكثيرا الحدود $T_m \circ T_n$ و $T_{mn}$ يتفقان على $\intcc{-1}{1}$، ومن ثم فهما متساويان. **11.** درجة $D = Q_n - P$ هي $\leq n - 1$ (فالحدود الرئيسية الموحَّدة تتلاشى). وعند الحدود القصوى: $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ بحكم الفرض. ومن ثم يأخذ $D$ قيمًا غير معدومة متناوبة الإشارة عند النقاط المتناقصة $n + 1$ وعددها $\eta_0 > \dots > \eta_n$: فتعطي مبرهنة القيم الوسطى $n$ جذرًا مختلفًا على الأقل، واحدًا في كل فترة [مفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$. ولا يمكن لكثير حدود غير معدوم درجته $\leq n - 1$ أن يملك $n$ جذرًا؛ و$D = 0$ يناقض الإشارات التامة. وهو تناقض: ومنه $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ من أجل كل كثير حدود موحَّد $P$ من الدرجة $n$. **12.** الآن $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 0$ لأن $\abs{P} \leq 2^{1-n}$. وعلى كل فترة $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ (مع $k = 1, \dots, n$) تكون قيم $D$ عند الطرفين ذوات إشارتين ضعيفتين متعاكستين: فتعطي مبرهنة القيم الوسطى جذرًا $z_k$ في الفترة المغلقة. فإذا أمكن اختيار الجذور $z_k$ مختلفة مثنى مثنى، لكان لكثير الحدود $D \neq 0$ ذي الدرجة $\leq n-1$ عدد $n$ من الجذور: وهو تناقض. ولا يمكن لفترتين متتاليتين أن تتشاركا إلا الجذر $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ مع $0 < k < n$ (وهو داخلي). وهناك يعني $D(\eta_k) = 0$ أن $P(\eta_k) = (-1)^k2^{1-n}$، وهي قيمة حدّية للمقدار $P$ على $\intcc{-1}{1}$ مبلوغة عند نقطة *داخلية*: ومنه $P'(\eta_k) = 0$؛ و $\eta_k$ حدّ أقصى داخلي للمقدار $T_n$ أيضًا: أي $Q_n'(\eta_k) = 0$. ومنه $D'(\eta_k) = 0$: أي إن $\eta_k$ جذر تضاعفه $\geq 2$، فيعوّض الفترةَ المشتركة. وفي كل الحالات يملك $D$ عددًا من الجذور لا يقلّ عن $n$ محسوبةً بتضاعفاتها، ودرجته $\leq n - 1$، ومن ثم $D = 0$: أي $P = Q_n$. وقد بُرهن على مبرهنة تشيبيشيف الحدّية: فالمصغِّر الموحَّد الوحيد هو $2^{1-n}T_n$، ومعياره الأعلى $2^{1-n}$. **13.** كثيرات الحدود الموحَّدة من الدرجة $n$ هي بالضبط المقادير $X^n - R$ مع $R \in \R_{n-1}[X]$، ومن ثم $$ d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{ موحَّد}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n}, $$ بكيفية وحيدة عند $R^* = X^n - Q_n$. وبالتعويض $x = \frac{1+t}2$: إذا كان $P$ موحَّدًا من الدرجة $n$ على $\intcc01$، فإن $t \mapsto 2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ موحَّد على $\intcc{-1}{1}$ ونهايته العليا تساوي $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$: ومنه $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$، مع المساواة بالضبط من أجل $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$: أي إن المسافة على $\intcc{0}{1}$ هي $2^{1-2n}$. **14.** $\omega$ موحَّد من الدرجة $n$، ومن ثم $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ مع المساواة إذا وفقط إذا كان $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$، أي إذا وفقط إذا كانت العقد هي الجذور $n$ لكثير الحدود $T_n$: أي $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ — وهي *عقد تشيبيشيف*. والقيمة الدنيا: $2^{1-n}$. والعقد المتساوية التباعد أسوأ تمامًا؛ ويصغَّر عامل خطأ الاستكمال بتكثيف العقد قرب الطرفين. **15.** الحالة $n = 2$ يدويًا: يجري $x^2$ على $\intcc01$، ومنه $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c}) \geq \frac12$، وهو أصغري عند $c = \frac12$: فأصغر كثير حدود موحَّد من الدرجة الثانية هو $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$، وقيمته $\frac12 = 2^{1-2}$. ومن أجل $n = 10$ على $\intcc{0}{1}$: $2^{1-20} = 2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$. فثمة كثير حدود من الدرجة $9$ يبقى ضمن جزأين من مليون من $x^{10}$ على $\intcc01$ كلها: وعند هذا السلّم يتعذّر تمييز المنحنيين — فانبساط $x^{10}$ قرب $0$ يترك للدرجات الأدنى كل العمل. **16.** $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$. ومن أجل $j > k$ نضع $a = 2^k$، $b = 2^j \geq 2a$، ونقيّم عند $x_0 = 2^{-1/a}$ (بحيث $x_0^a = \frac12$): $$ g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a} \geq \frac12 - \frac14 = \frac14 . $$ ومنه $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ من أجل كل $j \neq k$: فلا متتالية جزئية كوشي، ولا متقاربة. فكرة الوحدة المغلقة في $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ ليست متراصة. **17.** $F$ مغلق ([النتيجة 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)) وفعلي: فنختار $y \notin F$، ومنه $\delta = d(y, F) > 0$. وحسب السؤال 1 تُبلغ المسافة عند $f^* \in F$ ما. ونضع $x = \frac{y - f^*}{\delta}$، وهي متجهة واحدية (لأن $\norm{y - f^*} = \delta$). ومن أجل كل $g \in F$: $$ \norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta} \geq \frac{\delta}{\delta} = 1 , $$ لأن $f^* + \delta g \in F$. ومنه $d(x, F) \geq 1$؛ و$d(x, F) \leq \norm{x - 0} = 1$: أي $1$ بالضبط. **18.** في فضاء غير منتهي البعد $E$، نبني متجهات واحدية بالتراجع: $x_1$ كيفية؛ وإذا أُعطيت $x_1, \dots, x_k$، فإن الفضاء الجزئي $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ منتهي البعد، ومن ثم فعلي، ويعطي السؤال 17 متجهة واحدية $x_{k+1}$ تحقق $d(x_{k+1}, F_k) = 1$: وعلى الخصوص $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ من أجل $i \leq k$. والمسافات بين حدود المتتالية مثنى مثنى $\geq 1$: فكرة الوحدة تحتوي متتالية بلا متتالية جزئية متقاربة، ومن ثم فهي غير متراصة — أي مبرهنة ريس، بالثابت الأمثل $1$. **19.** لتكن $h_n$ أفينية على كل نصف من $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$، صاعدةً من $0$ إلى $1$ عند النقطة الوسطى ثم عائدةً إلى $0$، ومعدومة في ما عدا ذلك: فهي متصلة و $\norm{h_n}_\infty = 1$. ومن أجل $n \neq m$ يلتقي الحاملان على الأكثر عند طرف مشترك تنعدم عنده الدالتان؛ وعند قمة $h_n$، $h_m = 0$: أي $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ بالضبط. ومن أجل $x > 0$ ثابت: $h_n(x) = 0$ بمجرد أن $\frac1n < x$، و $h_n(0) = 0$ دائمًا: أي $h_n \to 0$ نقطيًا؛ لكن $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$: فليس بانتظام. وهي كوكبة صريحة على مسافة متبادلة $1$ داخل كرة الوحدة. **20.** قطر الكرة ذات نصف القطر $\frac13$ هو $\leq \frac23 < 1$، ومن ثم فهي تحتوي عنصرًا واحدًا على الأكثر من العناصر $h_n$ (فالمسافة بين اثنين منها $1$). وعدد منته من هذه الكرات يحتوي عددًا منتهيًا من العناصر $h_n$ غير المنتهية العدد: فلا يمكنها تغطية كرة الوحدة. فالحدّ الكلي — الذي تتمتع به [الفضاءات المترية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-def) المتراصة، حسب برهان [المبرهنة 4.20](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-borellebesgue) — يفشل إلى أقصى حدّ ممكن. **21.** إذا كان $Ax = \lambda x$ مع $x \neq 0$: $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$، ومنه $\abs\lambda \leq \vertiii A$. ومن أجل $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$: $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ ([التمرين 5.4](#exo-b2-nvs-4))، ومن ثم فطويلة كل [قيمة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\leq 4$؛ وفعلًا يعطي $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ أن $\lambda = 1 \pm \iu\sqrt6$ ذات طويلة $\sqrt7 \approx 2.65$: فالحدّ صحيح لا أمثل. **22.** $N_P$ [معيار](#def-b2-nvs-norm): فالشرط $N_P(x) = 0$ يفرض $P^{-1}x = 0$، ومنه $x = 0$؛ وتُورَّث التجانسية ومتراجحة المثلث من $\norm\cdot_\infty$ عبر التطبيق الخطي $P^{-1}$. [ومعيار المؤثر](#thm-b2-nvs-continuouslinear): مع $y = P^{-1}x$ و$D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$، $$ N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty, $$ ومن ثم فإن $\vertiii A_{N_P}$ هو [معيار المؤثر](#thm-b2-nvs-continuouslinear) من أجل $\norm\cdot_\infty$ للمصفوفة $D$، وهو أكبر مجموع مطلق لسطر ([التمرين 5.4](#exo-b2-nvs-4)): أي $\max_i\abs{\lambda_i}$. **23.** إذا كانت كل $\abs{\lambda_i} < 1$: فإن $N_P(A^kx) \leq \rho^kN_P(x)$ مع $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$، ومنه $A^kx \to 0$ من أجل كل $x$، و$A^k \to 0$ في أي [معيار](#def-b2-nvs-norm) على $\mathcal{M}_n$ (فكلها متكافئة في البعد المنتهي، [المبرهنة 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)؛ وتقارب $A^ke_j$ من أجل كل $j$ هو التقارب عنصرًا عنصرًا). وإذا كان $\abs{\lambda} \geq 1$ ما [بمتجهة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $x$: فإن $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x \not\to 0$. ومن أجل $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$: [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\frac14(1 \pm 2) = \frac34, -\frac14$، وطويلتاهما $< 1$: ومنه $A^k \to 0$. **24.** كلاهما [معيار](#def-b2-nvs-norm) على الفضاء المنتهي البعد $\R_n[X]$، ومن ثم فهما متكافئان من أجل كل $n$. ونأخذ كثير الحدود الموحَّد الأصغري $P^*_n$ في السؤال 13 على $\intcc01$: فمعامله من أجل $X^n$ هو $1$، ومنه $N_c(P^*_n) \geq 1$، في حين أن $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$. ومنه $$ C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}} \geq 2^{2n-1} . $$ فثوابت التكافؤ تنفجر مع البعد: وعلى الاتحاد $\R[X]$ لا يفي أي ثابت واحد، وهذا بالضبط هو عدم التكافؤ المرئي في [التمرين 5.12](#exo-b2-nvs-12) — فقول “كل [المعايير متكافئة](#def-b2-nvs-equivalent)” مبرهنة عن بعد واحد في كل مرة، والبعد غير المنتهي هو حيث تموت. **25.** أنتج تراص المجموعات المغلقة المحدودة في البعد المنتهي وجودَ أفضل التقريبات (السؤال 1) وشغّل عدّ الجذور عند النقاط الحدّية $n + 1$ (السؤالان 11–12، عبر النهايات العليا المبلوغة). ويحكم التحدب التام وحدانيةَ أفضل تقريب — فالكرات المستديرة تعطي مصغِّرًا واحدًا، والكرات ذوات الأضلاع المستقيمة تعطي قطعًا منها (الأسئلة 2–4). وتهدم كوكبة متجهات الوحدة على مسافة متبادلة $1$ (الأسئلة 17–19) تراصَ كرة الوحدة ومعه الحدَّ الكلي (السؤال 20). ويقيس السؤال 24 الانهيار كمّيًا: فالثوابت الرابطة بين معيارين على $\R_n[X]$ تنمو مثل $4^n$، ومن ثم لا تصمد أي مقارنة منتظمة عند الانتقال إلى $\R[X]$. والقمة هي مبرهنة تشيبيشيف الحدّية (السؤالان 11–12): فالمصغِّر الموحَّد الوحيد $2^{1-n}T_n$. ويجد أفضل تقريب موطنه الحديث في فضاءات هيلبرت، حيث تحلّ مبرهنة الإسقاط محلّ التراص بالتمام مع متطابقة متوازي الأضلاع — مبرهَنةً بأمانة في مجلد السنة الثالثة.