--- title: "المتتاليات والمتسلسلات" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2" subject: math language: ar chapter: 7 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series --- # الفصل 7 — المتتاليات والمتسلسلات تنضج نظرية المتسلسلات العددية (مجلد السنة الأولى) هنا في ثلاثة اتجاهات: المتسلسلات ذوات القيم في فضاءات باناخ، حيث ينهض التقارب المطلق بالعمل؛ والمحكّات الأدقّ للمتسلسلات الحقيقية ([جمع آبل](#thm-b2-series-abel))؛ و*العائلات [القابلة للجمع](#def-b2-series-summable)* — أي الجمع محرَّرًا من ترتيب الحدود — مع مبرهنة فوبيني للمجاميع المزدوجة [وجداء كوشي](#thm-b2-series-fubini). وتحمل هذه الأدوات كل فصول متسلسلات الدوال الآتية. ## 7.1 المتسلسلات في الفضاءات المعيارية **تعريف 7.1.** من أجل متتالية $(u_n)$ في فضاء معياري $E$، تتقارب المتسلسلة $\sum u_n$ حين تتقارب مجاميعها الجزئية؛ وتتقارب *بإطلاق* حين يكون $\sum \norm{u_n} < \infty$. وفي فضاء *باناخ*، يستلزم التقارب المطلق التقاربَ ([المبرهنة 5.21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-absoluteconvergence))؛ وقد يفشل ذلك في فضاء غير تام ([التمرين 7.9](#exo-b2-series-9)). **مثال 7.2.** في $\mathcal{M}_n(K)$ (أو في $\mathcal{L}_c(E)$، حيث $E$ [فضاء باناخ](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-banach)): من أجل $\vertiii A < 1$، تتقارب *متسلسلة نويمان* $\sum A^k$ [بإطلاق](#def-b2-series-def) إلى $(I - A)^{-1}$ (وقد بُرهن على ذلك في [التمرين 5.5](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#exo-b2-nvs-5))؛ وتتقارب $\sum \frac{A^k}{k!}$ [بإطلاق](#def-b2-series-def) إلى $\eu^A$ من أجل كل $A$ ([المثال 5.22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#ex-b2-nvs-matrixexp)). فالمتسلسلتان الهندسية والأسّية ذواتا القيم المؤثِّرة تسلكان مثل نموذجيهما العدديين — وهو كل مغزى إطار باناخ. ## 7.2 جمع آبل **مبرهنة 7.3 (جمع آبل ومحكّه).** (الجمع بالتجزئة) من أجل أعداد $a_n$ ومتجهات $b_n$، مع $B_n = \sum_{k=0}^{n} b_k$: $$ \sum_{n=0}^{N} a_n b_n = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} (a_{n+1} - a_n) B_n . $$ (محك آبل) إذا كانت $(a_n)$ متتالية حقيقية متناقصة إلى $0$، وكانت المجاميع الجزئية $B_n$ *محدودة* (في [فضاء باناخ](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-banach))، فإن $\sum a_n b_n$ تتقارب. **برهان.** المتطابقة، خطوةً خطوة: مع $B_{-1} = 0$، نكتب $b_n = B_n - B_{n-1}$ ونفصل، $$ \sum_{n=0}^{N} a_nb_n = \sum_{n=0}^{N} a_nB_n - \sum_{n=0}^{N} a_nB_{n-1} = \sum_{n=0}^{N} a_nB_n - \sum_{n=0}^{N-1} a_{n+1}B_{n} , $$ ونعيد ترقيم المجموع الثاني بالدليل $n \mapsto n + 1$ (فالحدّ $B_{-1}$ ينعدم)؛ وبجمع المجال المشترك $0 \leq n \leq N-1$ يبقى $a_NB_N$ مضافًا إليه $\sum_{n\leq N-1}(a_n - a_{n+1})B_n$: وهي الصيغة المذكورة. وهي المكاملة بالتجزئة المتقطعة، مع $(B_n)$ بوصفه دالة أصلية للمقدار $(b_n)$، والفرق $a_{n+1} - a_n$ بوصفه مشتقًا للمقدار $(a_n)$. ومن أجل المحك، مع $\norm{B_n} \leq M$: يكون الحدّ الحدّي $a_N B_N \to 0$؛ وتتقارب المتسلسلة $\sum (a_n - a_{n+1})B_n$ [بإطلاق](#def-b2-series-def)، لأن $$ \sum_n \norm{(a_{n+1} - a_n)B_n} \leq M \sum_n (a_n - a_{n+1}) = M a_0 < \infty $$ (بالتلسكوب، مع $a_n \downarrow 0$). فيتقارب جزءا المتطابقة كلاهما، ومن ثم تتقارب $\sum a_n b_n$. ∎ **مثال 7.4.** $\sum \frac{\sin n}{n}$ تتقارب: فلدينا $a_n = \frac1n \downarrow 0$ و $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ محدودة — بل إنها $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$، وطويلتها $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. و*لا* تتقارب [بإطلاق](#def-b2-series-def) (إذ $\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$، و$\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ متباعدة لأن $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ متقاربة بمحك آبل نفسه في حين أن $\sum \frac{1}{2n}$ متباعدة). ومحك المتسلسلات المتناوبة هو الحالة الخاصة $b_n = (-1)^n$. **مثال 7.5 (آبل على دائرة التقارب).** من أجل أي أعداد عقدية $z$ بشرط $\abs z = 1$ تتقارب $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$؟ عند $z = 1$ تكون المتسلسلة التوافقية: فتتباعد. ومن أجل $z \neq 1$ على الدائرة، ينطبق محك آبل مع $a_n = \frac1n \downarrow 0$ ومع $b_n = z^n$، التي تكون مجاميعها الجزئية محدودة بغض النظر عن $N$: $$ \Bigl|\sum_{n=1}^{N} z^n\Bigr| = \Bigl|\frac{z(z^N - 1)}{z - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{z - 1}} . $$ فهي متقاربة — وإن لم تكن [بإطلاق](#def-b2-series-def) أبدًا ($\sum\frac1n$). متسلسلة واحدة ودائرة من السلوكات: تباعد عند نقطة واحدة، وتقارب نصفي في كل مكان آخر. وهذا هو السلوك الحدّي القياسي لمتسلسلات القوى ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries))، ملقىً هنا باليدين المجرّدتين؛ وعند $z = -1$ نستعيد المتسلسلة التوافقية المتناوبة، وعند $z = \eu^{\iu\theta}$ يكون جزآها الحقيقي والتخيلي هما المتسلسلتين $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ و$\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ في [التمرين 7.4](#exo-b2-series-4). **مثال 7.6 (متسلسلة متناوبة ملغومة).** هل تتقارب $\sum_{n\geq2} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$؟ الإشارات تتناوب والحدود تؤول إلى $0$ — ومع ذلك *لا* ينطبق محك المتناوبات: فالطوائل $\frac{1}{\sqrt n + (-1)^n}$ ليست متناقصة (إذ تقفز إلى أعلى عند كل $n$ فردي). فننشر بدل ذلك: $$ \frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n} = \frac{(-1)^n}{\sqrt n}\cdot \frac{1}{1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt n}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt n} - \frac{1}{n} + O\Bigl(\frac{1}{n^{3/2}}\Bigr). $$ الجزء الأول يتقارب (بمحك المتناوبات، مطبَّقًا بأمانة على $\frac1{\sqrt n}\downarrow0$)، والثالث يتقارب [بإطلاق](#def-b2-series-def) — لكن الجزء الأوسط هو المتسلسلة التوافقية المتباعدة: ومن ثم *يتباعد* المجموع إلى $-\infty$. والفكرة الختامية: حين تفشل الرتابة، انشر إلى أن يصير كل جزء إما متقاربًا [بإطلاق](#def-b2-series-def) وإما حالةَ محك نظيفة؛ فالمقدار $-\frac1n$ المختبئ غير مرئي لعدّ الإشارات. **ملاحظة 7.7 (مزالق شائعة).** (1) قولُ “الحدود تؤول إلى $0$” لا يبرهن على شيء: فالمتسلسلة التوافقية تتباعد. (2) يقتضي محك المتناوبات طوائل *متناقصة* — والمتسلسلة [المثال 7.6](#ex-b2-series-trap) هي المثال المضاد القانوني، والمتسلسلة الثالثة في [التمرين 7.1](#exo-b2-series-1) هي التمرين. (3) لا يجوز إعادة ترتيب المتسلسلات المتقاربة شرطيًا ([المثال 7.12](#ex-b2-series-rearrange))، وقد تتباعد جداءاتها الكوشية: فمن أجل مربّع $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$، تحقق الحدود القطرية $$ \abs{c_k} = \sum_{m=0}^{k} \frac{1}{\sqrt{(m+1)(k-m+1)}} \geq (k+1)\cdot\frac{2}{k+2} \longrightarrow 2 \neq 0 $$ (فكل عامل لا يتجاوز $\frac{k+2}2$ بمتراجحة المتوسطين)، ومن ثم تتباعد $\sum c_k$ — فالتقارب المطلق لأحد العاملين على الأقل ([التمرين 7.8](#exo-b2-series-8)) ليس ترفًا. (4) القابلية للجمع تتعلق بحدود *مطلقة* بحكم التعريف: فلا وجود [لعائلة قابلة للجمع](#def-b2-series-summable) شرطيًا. ## 7.3 العائلات القابلة للجمع **تعريف 7.8.** لتكن $I$ مجموعة أدلة [قابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable). تكون عائلة $(u_i)_{i \in I}$ من *الأعداد الحقيقية غير السالبة* *قابلة للجمع* إذا كانت مجاميعها الجزئية المنتهية محدودة؛ ويكون مجموعها $$ \sum_{i \in I} u_i = \sup_{F \subseteq I \text{ منته}} \sum_{i \in F} u_i \in \intcc{0}{+\infty} . $$ وتكون عائلة من الأعداد الحقيقية أو العقدية (أو من متجهات باناخ) قابلة للجمع إذا كانت $(\norm{u_i})$ كذلك؛ ويُعرَّف مجموعها عندئذٍ بالفصل إلى الجزأين الموجب والسالب (أو الحقيقي والتخيلي) — وبكيفية مكافئة، بوصفه القيمة المشتركة للمقدار $\sum_{n} u_{\sigma(n)}$ على كل ترقيمات $\sigma$ للمجموعة $I$ (انظر أدناه). **طريقة 7.9 (كيف نختار محكًّا).** أمام $\sum u_n$، وبهذا الترتيب: (1) إذا كان $u_n \not\to 0$، فتباعد، وتوقّف. (2) إذا كانت الحدود ثابتة الإشارة، فقارِن: جد مكافئًا ([الفصل 6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison)) وضعه على خريطة ريمان–برتران. (3) إذا تناوبت الإشارات بطوائل *متناقصة*، فمحك المتناوبات؛ وإذا لم تكن الطوائل رتيبة، فانشر الحدّ إلى أن يصير كل جزء متقاربًا [بإطلاق](#def-b2-series-def) أو حالةَ محك نظيفة ([المثال 7.6](#ex-b2-series-trap)). (4) إذا كان نمط الإشارات متذبذبًا لكنه منظَّم ($\sin n\theta$، $\eu^{\iu n\theta}$، أو قوى مصفوفات)، فمحك آبل بمجاميع جزئية محدودة. (5) والتقارب المطلق جدير بالفحص أولًا دائمًا: فهو أقوى، ولا يتأثر بالترتيب، ويفتح جداءات كوشي وفوبيني. **مثال 7.10 (القابلية للجمع بعدّ الأقطار).** من أجل أي $s > 0$ تكون العائلة $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable)؟ نجمّع المجاميع الجزئية المنتهية حسب الأقطار $m + n = k$: فالقطر $k$ يحمل $k - 1$ زوجًا، ويسهم كلٌّ منها بالمقدار $k^{-s}$، ومن ثم تُحدّ المجاميع المنتهية بالضبط (وتستنفد) $$ \sum_{k \geq 2} \frac{k - 1}{k^{s}} , $$ وهي متسلسلة ذات حدود موجبة مكافئة للمقدار $k^{1-s}$: فهي [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable) إذا وفقط إذا $s - 1 > 1$، أي $s > 2$. فالدليل ذو البعدين يلتهم قوة كاملة: أي إن مستويًا من الحدود “أكثر تباعدًا ببعد واحد” من مستقيم — فهندسة عدّ مجموعة الأدلة، لا حجم الحدود المفردة، هي التي تقرّر القابلية للجمع. (ويبيّن الإحصاء نفسه أن $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ ليست [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable): فعلى القطر $m + n = k$، كل حدّ لا يقلّ عن $k^{-2}$، و$(k-1)\cdot k^{-2}$ يُجمع مثل المتسلسلة التوافقية.) **مبرهنة 7.11 (القابلية للجمع والترتيب).** 1. من أجل العائلات غير السالبة، لا يتغير المجموع تحت أي ترقيم: $\sum_{i} u_i = \sum_{n=0}^{\infty} u_{\sigma(n)}$ من أجل كل تقابل $\sigma \colon \N \to I$ . 2. تكون متسلسلة حقيقية أو عقدية $\sum u_n$ *متقاربة تبديليًا* (أي إن كل إعادة ترتيب تتقارب، بالمجموع نفسه) إذا وفقط إذا كانت متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def) . **برهان.** (1) كل مجموع جزئي $\sum_{n \leq N} u_{\sigma(n)}$ هو مجموع جزئي منته للعائلة (ومن ثم فهو $\leq$ النهاية العليا)؛ وكل مجموعة منتهية $F$ محتواة في $\{\sigma(0), \dots, \sigma(N)\}$ ما (ومن ثم فالنهاية العليا $\leq$ نهاية المتسلسلة). فيتطابق الحدّان. (2) إذا كان $\sum\abs{u_n} < \infty$: فمن أجل أي إعادة ترتيب $\sigma$ وأي $\varepsilon > 0$، نختار $N$ بحيث $\sum_{n > N}\abs{u_n} \leq \varepsilon$؛ وبعد الرتبة التي يكون فيها $\sigma$ قد استنفد $\intint{0}{N}$، تختلف المجاميع الجزئية المعاد ترتيبها عن النهاية الأصلية بمقدار لا يتجاوز $\varepsilon$: أي المجموع نفسه. وإذا كان $\sum \abs{u_n} = \infty$ مع تقارب $\sum u_n$ (في الحالة الحقيقية؛ والعقدية تتبع إحداثيةً إحداثية): فإن الجزأين الموجب والسالب يتباعدان معًا، ويمكن إعادة الترتيب لبلوغ أي نهاية مفروضة — وهي مبرهنة ريمان، المنفَّذة في [التمرين 7.5](#exo-b2-series-5) — ومن ثم يفشل التقارب التبديلي. ∎ **مثال 7.12 (إعادة ترتيب متلبّسة بالجرم).** مجموع المتسلسلة التوافقية المتناوبة هو $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (مجلد السنة الأولى). ولنعد ترتيبها على صورة “موجب واحد، ثم سالبان”: $$ 1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18 + \frac15 - \cdots $$ وبتجميع كل كتلة من ثلاثة، $$ \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{4k-2} - \frac1{4k} = \frac{1}{4k-2} - \frac{1}{4k} = \frac12\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac1{2k}\Bigr), $$ ومن ثم تتقارب المتسلسلة المعاد ترتيبها إلى $\frac12\ln 2$ — أي نصف المجموع الأصلي، بالحدود نفسها بالضبط. فالمتسلسلات المتقاربة لا [بإطلاق](#def-b2-series-def) تتذكّر ترتيب حدودها؛ والعائلات [القابلة للجمع](#def-b2-series-summable) هي بالضبط تلك التي لا تتذكّره. **مثال 7.13 (التجميع آمن، وفكّ التجميع ليس كذلك).** لا يغيّر تجميع الحدود المتتالية لمتسلسلة *متقاربة* المجموعَ أبدًا: فالمجاميع الجزئية المجمَّعة متتالية جزئية من الأصلية. أما العملية العكسية فممنوعة: $$ (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0 + 0 + \cdots = 0, $$ ومع ذلك تتباعد $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ بعد فكّ التجميع (فمجاميعها الجزئية تتذبذب بين $1$ و$0$). ولا يكون فكّ التجميع مشروعًا إلا بفرضية معوِّضة — مثل أن تؤول الحدود إلى $0$ مع أطوال كتل محدودة: فبين مجموعين جزئيين مجمَّعين تنجرف المجاميع الأصلية بمقدار لا يتجاوز مجموع عدد محدود من الحدود $o(1)$، فينتقل التقارب رجوعًا. وهذا بالضبط هو الشرط الذي يجعل حساب الكتل في [المثال 7.12](#ex-b2-series-rearrange) برهانًا لا خفّة يد. **مبرهنة 7.14 (فوبيني للعائلات؛ جداءات كوشي).** لتكن $(u_{m,n})_{(m,n) \in \N^2}$ عائلة مزدوجة [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable) (أي $\sup_F \sum_F \abs{u_{m,n}} < \infty$). عندئذٍ $$ \sum_{(m,n)} u_{m,n} = \sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty} u_{m,n}\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty} u_{m,n}\Bigr) = \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{m+n=k} u_{m,n}\Bigr), $$ مع تقارب كل المتسلسلات الداخلية ([بإطلاق](#def-b2-series-def)). وعلى الخصوص، إذا تقاربت $\sum a_m$ و$\sum b_n$ [بإطلاق](#def-b2-series-def)، فإن *جداءهما الكوشي* يتقارب [بإطلاق](#def-b2-series-def) مع $$ \Bigl(\sum_m a_m\Bigr)\Bigl(\sum_n b_n\Bigr) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k, \qquad c_k = \sum_{m=0}^{k} a_m b_{k-m} . $$ **برهان.** *الحالة غير السالبة.* يحسب كل تجميع (بالأسطر أو الأعمدة أو الأقطار) النهاية العليا نفسها: فأي مجموعة منتهية من الأزواج محتواة في كتلة منتهية من الأسطر (فيُحدّ كل مجموع مجمَّع من أسفل بالمجاميع الجزئية المنتهية ومن أعلى بالمجموع الكلي)، ويقوم التقارب الرتيب للمجاميع الجزئية بالباقي — وبالتحديد، من أجل الأسطر: يعطي $\sum_{m \leq M}\sum_{n \leq N} u_{m,n} \leq S$، بأخذ $N \to \infty$ ثم $M \to \infty$، أن $\sum_m \sum_n u_{m,n} \leq S$؛ وعكسيًا تقع كل مجموعة منتهية $F$ في مستطيل كهذا، ومنه $S \leq \sum_m\sum_n u_{m,n}$. وأما الأقطار: فبالحدّين نفسيهما مع مثلثات بدل المستطيلات. *الحالة العامة.* نفصل إلى الجزأين الموجب والسالب (أو الحقيقي والتخيلي)، وكلٌّ منهما عائلة غير سالبة [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable)؛ وتتفق التجميعات الأربعة على كل جزء، ومن ثم على الفرق؛ ويأتي التقارب المطلق للمتسلسلات الداخلية من الحالة غير السالبة مطبَّقةً على $\abs{u_{m,n}}$. *[جداء كوشي](#thm-b2-series-fubini).* العائلة $u_{m,n} = a_m b_n$ [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable): فالمجاميع الجزئية المنتهية للمقدار $\abs{a_mb_n}$ محدودة بالمقدار $\bigl(\sum\abs{a_m}\bigr)\bigl(\sum\abs{b_n}\bigr)$. وتعطي الأسطر $\bigl(\sum a_m\bigr)\bigl(\sum b_n\bigr)$؛ وتعطي الأقطار $\sum_k c_k$. ∎ **مثال 7.15 (متطابقة الأسّي، بأمانة).** من أجل $a, b \in \C$ (أو مصفوفتين متبادلتين): $$ \Bigl(\sum_m \frac{a^m}{m!}\Bigr)\Bigl(\sum_n \frac{b^n}{n!}\Bigr) = \sum_k \sum_{m+n=k} \frac{a^m b^n}{m!\,n!} = \sum_k \frac{(a + b)^k}{k!}, $$ بمبرهنة ثنائي الحدّ على كل قطر: $\eu^a \eu^b = \eu^{a+b}$ — أي المعادلة الوظيفية للأسّي $\exp$ مستنبَطةً من المتسلسلة وحدها. (ويُستعمل التبادل في خطوة ثنائي الحدّ؛ ومن أجل المصفوفات غير المتبادلة تفشل المتطابقة فعلًا، [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq).) **مثال 7.16 (جداءات كوشي بوصفها أداة حساب).** من المتسلسلة الهندسية ومن المقدار $\sum_{n \geq 1} nz^n = \frac{z}{(1-z)^2}$ في [التمرين 7.2](#exo-b2-series-2) ($\abs z < 1$)، يُنهي [جداء كوشي](#thm-b2-series-fubini) إضافي العزمَ الثاني. نضرب $\sum_m mz^m$ في $\sum_n z^n$: فالمعامل القطري هو $\sum_{m=0}^k m = \frac{k(k+1)}2$، ومنه $$ \frac{z}{(1-z)^3} = \sum_{k\geq0}\frac{k(k+1)}{2}\,z^k , $$ وتُركّب المتطابقة $n^2 = 2\cdot\frac{n(n+1)}2 - n$ المقدارَ $$ \sum_{n\geq1} n^2z^n = \frac{2z}{(1-z)^3} - \frac{z}{(1-z)^2} = \frac{z(1+z)}{(1-z)^3} . $$ وعند $z = \frac12$: $\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12\cdot\frac32}{\frac18} = 6$ — أي قيمة مغلقة بلا أي اشتقاق، بمجرد ضرب متسلسلات متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def) كما تُضرب كثيرات الحدود. ويحسب تلسكوب المتطابقات نفسه كل مقدار $\sum n^dz^n$، وسيتعرّف أهل الاحتمال على العزم العاملي الثاني للقانون الهندسي ([الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun)). **مثال 7.17 (تقييم مجموع مزدوج).** من أجل $s > 1$ حقيقي، لتكن $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. وبعدّ القواسم بالجمع المزدوج — فالعائلة $(m^{-s}n^{-s})$ على $(m,n) \in (\N^*)^2$ [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable) (وهي جداء متسلسلتين موجبتين متقاربتين) — وبالتجميع حسب الجداء $q = mn$: $$ \zeta(s)^2 = \sum_{m,n} \frac{1}{(mn)^s} = \sum_{q=1}^{\infty} \frac{d(q)}{q^s}, $$ حيث $d(q)$ عدد قواسم $q$. فالعائلات [القابلة للجمع](#def-b2-series-summable) تحوّل التوافقيات إلى تحليل. **مثال 7.18 (تقييم بفوبيني: ∑n(ζ(n)−1)=1\sum_n (\zeta(n) - 1) = 1∑n​(ζ(n)−1)=1).** من أجل $n \geq 2$ صحيح، $\zeta(n) - 1 = \sum_{k \geq 2} k^{-n}$. والعائلة المزدوجة $(k^{-n})_{k, n \geq 2}$ [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable): فبجمع الأعمدة الهندسية أولًا، $$ \sum_{k\geq2}\sum_{n\geq2} \frac{1}{k^n} = \sum_{k\geq2} \frac{1/k^2}{1 - 1/k} = \sum_{k\geq2} \frac{1}{k(k-1)} = 1 $$ (بالتلسكوب)، وكل الحدود موجبة، ومن ثم تُرخّص [المبرهنة 7.14](#thm-b2-series-fubini) بالجمع حسب الأسطر بدلًا من ذلك: $$ \sum_{n\geq2}\bigl(\zeta(n) - 1\bigr) = 1 . $$ فقيم $\zeta$ غير المنتهية العدد، وكلٌّ منها يبدو متساميًا، لها ذيول تُجمع لتعطي $1$ بالضبط. والفكرة الختامية: حين تكون حدود مجموع مزدوج موجبة، فاحسبه بالترتيب الذي ينهار فيه — وهنا الأعمدة هندسية والأسطر غامضة، وينقل فوبيني الانهيار. **مثال 7.19 (المتسلسلة الهندسية تحلّ معادلة).** في [فضاء باناخ](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-banach) $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$، حُلّ $x - K(x) = y$ حيث $K(f)$ هي الدالة الثابتة $\frac12\int_0^1 f$. [معيار المؤثر](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-continuouslinear) هو $\vertiii K \leq \frac12 < 1$، ومن ثم تنطبق متسلسلة نويمان ([المثال 7.2](#ex-b2-series-neumann)): $x = \sum_{n\geq0} K^n(y)$. ونحسب التكرارات: $K(y) = \frac12\int_0^1 y$ (وهي ثابتة)، وتطبيق $K$ على ثابت $c$ يعطي $\frac c2$، ومنه $K^n(y) = \frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac12\int_0^1 y$ من أجل $n \geq 1$. وبجمع الثوابت الهندسية: $$ x = y + \Bigl(\int_0^1 y\Bigr) \sum_{n\geq1}\frac{1}{2^n} = y + \int_0^1 y . $$ وللتحقق: $x - K(x) = y + \int y - \frac12\bigl(\int y + \int y\bigr) = y$. متسلسلة غير منتهية، وجواب منته، وتحقق في سطر واحد — فالمتسلسلة الهندسية خوارزمية قلب، لا مجرّد قول في التقارب. **مثال 7.20 (التلسكوب بالكسور الجزئية).** الجمع الدقيق نادر؛ والتلسكوب مورده الرئيسي. نفكك $$ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr), $$ (بالتحقق بالتوحيد على مقام مشترك)، ومن ثم تنهار المجاميع الجزئية: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr) \longrightarrow \frac14 . $$ والنمط نفسه — أن نكتب الحدّ على صورة $c(u_n - u_{n+1})$ من أجل $(u_n)$ صريح — حلّ [التمرين 7.10](#exo-b2-series-10) (بالظلال العكسية) ويحسب كل مقدار $\sum\frac{1}{n(n+1)\cdots(n + k)} = \frac{1}{k\cdot k!}$. وحين يوجد مجموع دقيق عند هذا المستوى، يكون التلسكوب مختبئًا في الحدّ عادةً. **ملاحظة 7.21 (آفاق داخل هذا المجلد).** ثلاثة فصول آتية زبائن مباشرون. فمن أجل [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq): التقارب الناظمي للمقدار $\sum f_n$ هو تقارب مطلق للمقدار $\sum\norm{f_n}_\infty$ في [فضاء باناخ](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-banach) $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ — أي مبرهنة [المبرهنة 5.21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-absoluteconvergence) في هذا الفصل بلباس آخر. ومن أجل [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries): يكون كل شيء داخل قرص التقارب مطلقًا وقابلًا للجمع، ومن ثم تجري جداءات كوشي وإعادات الترتيب بحرية (ولهذا تُضرب متسلسلات القوى مثل كثيرات الحدود)؛ وأما على الحدّ فيتولى محك آبل ([المثال 7.5](#ex-b2-series-abelboundary)). ومن أجل [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun): تكون الدوال المولّدة الاحتمالية متسلسلات قوى تعالجها — بالجداءات من أجل مجاميع المتغيرات المستقلة، وبالمجاميع المزدوجة من أجل القوانين المركّبة — كلها بترخيص من [المبرهنة 7.14](#thm-b2-series-fubini). فالعائلات [القابلة للجمع](#def-b2-series-summable) هي الدائرة القانونية للتحليل الآتي. **ملاحظة 7.22 (أين يُستعمَل هذا الفصل).** كل ما فيه مجموع غير منته يمرّ من هنا: فمتسلسلات القوى ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)) عائلات [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable) متخفية، وتُضرب معاملات فورييه بجداءات كوشي ويُعاد ترتيبها ببارسفال ([الفصل 14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ch-b2-fourier))، والدوال المولّدة الاحتمالية ([الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun)) هي مبرهنة فوبيني مطبَّقةً على الآمال. ويستوعب مجلد السنة الثالثة العائلات [القابلة للجمع](#def-b2-series-summable) في تكامل لوبيغ على قياس العدّ — حيث تصير [المبرهنة 7.14](#thm-b2-series-fubini) حالةً خاصة من مبرهنة فوبيني–تونيللي. ## 7.4 تمارين **تمرين 7.1 ★.** حدّد طبيعة: $\sum \dfrac{\cos n}{n}$؛ و$\;\sum \dfrac{(-1)^n}{\ln n}$؛ و$\;\sum \dfrac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}$ *(انشرها كما في فخّ السنة الأولى: فمحك المتناوبات يحتاج الرتابة)*. **حل التمرين 7.1.** $\sum\frac{\cos n}{n}$: محك آبل مع $a_n = \frac1n$ ومع $b_n = \cos n$، التي مجاميعها الجزئية محدودة (فهي الجزء الحقيقي لمجموع هندسي، كما في [المثال 7.4](#ex-b2-series-sinn)): فهي متقاربة (لا [بإطلاق](#def-b2-series-def)، بحيلة $\cos^2$ نفسها). $\sum \frac{(-1)^n}{\ln n}$ (مع $n \geq 2$): محك المتناوبات، $\frac{1}{\ln n} \downarrow 0$: فهي متقاربة؛ ولا [بإطلاق](#def-b2-series-def) ($\ln n \leq n$). $\sum \frac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}$: ننشر، $$ \frac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n} = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}}\cdot \frac{1}{1 + \frac{\cos n}{n^{3/4}}} = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}} - \frac{(-1)^n\cos n}{n^{3/2}} + O\Bigl(\frac{1}{n^{9/4}}\Bigr). $$ المتسلسلة الأولى: متناوبة، فمتقاربة. والثانية: متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def) (بسلّم $\frac{1}{n^{3/2}}$). والثالثة: متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def). والمحصلة: متقاربة. **تمرين 7.2 ★.** برهن على أنه من أجل $\abs z < 1$: $\sum_{n\geq1} n z^{n} = \dfrac{z}{(1-z)^2}$، وذلك [بجداء كوشي](#thm-b2-series-fubini) للمتسلسلة $\sum z^n$ في نفسها. **حل التمرين 7.2.** [جداء كوشي](#thm-b2-series-fubini) للمتسلسلة $\sum_{m\geq0} z^m$ في نفسها (وكلتاهما متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def) من أجل $\abs z < 1$): فالمعامل القطري هو $c_k = \sum_{m=0}^{k} 1 = k + 1$، ومنه $$ \frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{k\geq0} (k+1)z^k . $$ وبالضرب في $z$ وإعادة الترقيم: $\sum_{n \geq 1} n z^n = \frac{z}{(1-z)^2}$. **تمرين 7.3 ★★.** (مبرهنة مساعدة من نمط كرونيكر) لتكن $\sum b_n$ متسلسلة حقيقية متقاربة. برهن، [بجمع آبل](#thm-b2-series-abel)، على أن $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k\,b_k \to 0$. **حل التمرين 7.3.** لتكن $B_n = \sum_{k \leq n} b_k \to B$. [جمع آبل](#thm-b2-series-abel) مع $a_k = k$: $$ \sum_{k=1}^{n} k\,b_k = n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k \quad\Longrightarrow\quad \frac1n \sum_{k=1}^{n} k b_k = B_n - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} B_k . $$ وتؤول متوسطات تشيزارو للمتسلسلة المتقاربة $(B_k)$ إلى نهايتها $B$ (مجلد السنة الأولى)، ومن ثم يؤول الطرف الأيمن إلى $B - B = 0$. **تمرين 7.4 ★★.** ادرس تقارب $\sum \dfrac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}$ (مع $\theta \in \R$، $\alpha > 0$) — ومن أجل أي $(\theta, \alpha)$ تكون متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def)، أو نصف متقاربة، أو متباعدة؟ **حل التمرين 7.4.** إذا كان $\theta \in \pi\Z$: فكل الحدود تنعدم — فهي متقاربة بداهةً. ولنفترض $\theta \notin \pi\Z$. $\alpha > 1$: متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def) (بالهيمنة بالمقدار $n^{-\alpha}$). $0 < \alpha \leq 1$: ينطبق محك آبل (إذ $a_n = n^{-\alpha} \downarrow 0$؛ والمجاميع الجزئية للمقدار $\sin n\theta$ محدودة بالمقدار $\frac{1}{\abs{\sin(\theta/2)}}$، وهو مجموع هندسي): فهي متقاربة. ولا [بإطلاق](#def-b2-series-def): إذ $\abs{\sin n\theta} \geq \sin^2 n\theta = \frac{1 - \cos 2n\theta}{2}$، و$\sum \frac{1 - \cos 2n\theta}{2n^\alpha}$ متباعدة (لأن $\sum n^{-\alpha}$ متباعدة؛ و$\sum \frac{\cos 2n\theta}{n^\alpha}$ متقاربة بمحك آبل حين $2\theta \notin 2\pi\Z$؛ والحالة المستبعَدة $2\theta \in 2\pi\Z$ تعني $\theta \in \pi\Z$، وقد عولجت). فهي نصف متقاربة. **تمرين 7.5 ★★★.** (إعادة ترتيب ريمان) لتكن $\sum u_n$ متسلسلة حقيقية متقاربة لا [بإطلاق](#def-b2-series-def)، وليكن $\ell \in \R$. برهن على أن إعادة ترتيب ما للمتسلسلة $\sum u_n$ تتقارب إلى $\ell$. *(بيّن أن كلتا المتسلسلتين الجزئيتين للحدود الموجبة والسالبة تتباعد؛ ثم ناوِب بجشع: خذ حدودًا موجبة إلى أن تتجاوز $\ell$، ثم سالبة إلى أن تنزل تحته، وهكذا؛ فالحدود تؤول إلى $0$، وهذا يفرض التقارب إلى $\ell$.)* **حل التمرين 7.5.** لتكن $p_1, p_2, \dots$ الحدود غير السالبة في $(u_n)$ بترتيبها، و$q_1, q_2, \dots$ الحدود السالبة. وتتباعد $\sum p_k$ و$\sum q_k$ معًا: فلو تقاربت إحداهما، لساوت الأخرى المتسلسلةَ المتقاربة $\sum u_n$ ناقصها، فتقاربت أيضًا — وعندئذٍ لتقاربت $\sum \abs{u_n} = \sum p_k - \sum q_k$، وهذا يناقض الفرض. وأيضًا $u_n \to 0$ (لأن $\sum u_n$ تتقارب). إعادة الترتيب الجشعة: خذ حدودًا موجبة $p_1, p_2, \dots$ إلى أن يتجاوز المجموع الجاري $\ell$ أول مرة (وهذا ممكن لأن $\sum p_k = +\infty$)؛ ثم حدودًا سالبة إلى أن ينزل المجموع تحت $\ell$ أول مرة (وهذا ممكن لأن $\sum q_k = -\infty$)؛ وكرّر إلى الأبد (فكل طور منته، ويُستعمل كل حدّ مرة واحدة بالضبط: فهي إعادة ترتيب حقيقية). وبعد كل تبديل، تكون المسافة من المجموع الجاري إلى $\ell$ لا تتجاوز آخر حدّ مستعمل؛ وبما أن الحدود المستعملة عند التبديل رقم $m$ لها دليل $\to \infty$، وبما أن $u_n \to 0$، فإن المجاميع الجارية تتقارب إلى $\ell$. **تمرين 7.6 ★★.** برهن على أن العائلة $\Bigl(\dfrac{x^{m+n}}{m!\,n!}\Bigr)_{(m,n)\in\N^2}$ [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable) من أجل كل $x \in \R$، وأعد استنباط المتطابقة $(\eu^x)^2 = \eu^{2x}$ بتجميع المجموع المزدوج على الأقطار $m + n = k$. **حل التمرين 7.6.** القابلية للجمع: المجاميع الجزئية المنتهية للمقدار $\frac{\abs x^{m+n}}{m!n!}$ محدودة بالمقدار $\bigl(\sum_m \frac{\abs x^m}{m!}\bigr)^2 = \eu^{2\abs x}$. والتجميع القطري ([المبرهنة 7.14](#thm-b2-series-fubini)): $$ (\eu^{x})^2 = \sum_{m,n} \frac{x^{m+n}}{m!\,n!} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k \sum_{m+n=k} \frac{1}{m!\,n!} = \sum_k \frac{x^k}{k!}\sum_{m=0}^{k}\binom km = \sum_k \frac{(2x)^k}{k!} = \eu^{2x} . $$ **تمرين 7.7 ★★.** برهن على أن العائلة $\bigl(\frac{1}{m^2 n^2}\bigr)_{m,n \geq 1}$ [قابلة للجمع](#def-b2-series-summable)، وأن التجميع حسب $\gcd$ يعطي: مع $q = \gcd(m,n)$، $$ \zeta(2)^2 = \sum_{q\geq1} \frac{1}{q^4} \sum_{\substack{a,b \geq 1\\ \gcd(a,b)=1}} \frac{1}{a^2b^2} = \zeta(4) \cdot S, $$ حيث $S = \sum_{\gcd(a,b)=1} \frac{1}{a^2b^2}$: واستنتج $S = \zeta(2)^2/\zeta(4)$. *(فكل زوج $(m,n)$ يُكتب بكيفية وحيدة $(qa, qb)$ مع $\gcd(a,b) = 1$.)* **حل التمرين 7.7.** القابلية للجمع: محدودة بالمقدار $\zeta(2)^2$ بوصفها عائلة جداء (بحجة [جداء كوشي](#thm-b2-series-fubini) في [المبرهنة 7.14](#thm-b2-series-fubini)). والتطبيق $(q, a, b) \mapsto (qa, qb)$، من الثلاثيات ذوات $\gcd(a, b) = 1$ إلى الأزواج $(m, n)$، تقابل (ضع $q = \gcd(m,n)$). وبتجميع [العائلة القابلة للجمع](#def-b2-series-summable) تبعًا لذلك (وهو تقسيم لمجموعة الأدلة — مشروع من أجل العائلات [القابلة للجمع](#def-b2-series-summable) حسب [المبرهنة 7.11](#thm-b2-series-rearrangement)/[المبرهنة 7.14](#thm-b2-series-fubini) مطبَّقة على التقسيم إلى أصناف [قابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable)): $$ \zeta(2)^2 = \sum_{q} \sum_{\gcd(a,b)=1} \frac{1}{q^4 a^2 b^2} = \zeta(4)\, S, \qquad\text{ومنه}\qquad S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} . $$ (ومع القيمتين $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ و $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ من [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ch-b2-fourier): $S = \frac{5}{2}$.) **تمرين 7.8 ★★★.** (مبرهنة آبل على الجداءات، نسخة خفيفة) لنفترض أن $\sum a_n$ تتقارب [بإطلاق](#def-b2-series-def) وأن $\sum b_n$ تتقارب. برهن على أن [جداءهما الكوشي](#thm-b2-series-fubini) $\sum c_n$ يتقارب، مع $\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)$. *(اكتب $C_N = \sum_{k\leq N} c_k = \sum_n a_n B_{N-n}$ حيث $B$ المجاميع الجزئية للمتسلسلة $b$؛ وافصل حسب $n \leq N/2$ أو لا، مستعملًا كون $(B_m)$ محدودة وذيلَ $(a_n)$ المطلق.)* **حل التمرين 7.8.** لتكن $A = \sum a_n$ ([بإطلاق](#def-b2-series-def))، و$B_m = \sum_{k\leq m} b_k \to B$، محدودة بالمقدار $M$. عندئذٍ $$ C_N = \sum_{k=0}^{N} c_k = \sum_{n=0}^{N} a_n B_{N-n} $$ (بالجمع حسب دليل $a$). ونكتب $$ C_N - AB = \sum_{n=0}^{N} a_n (B_{N-n} - B) - B\sum_{n > N} a_n . $$ ويؤول الحدّ الأخير إلى $0$. ونفصل المجموع عند $n = \lfloor N/2 \rfloor$: فمن أجل $n \leq N/2$، $N - n \geq N/2$، ومنه $\abs{B_{N-n} - B} \leq \varepsilon_N := \sup_{m \geq N/2}\abs{B_m - B} \to 0$، ويكون هذا الجزء $\leq \varepsilon_N \sum\abs{a_n}$؛ ومن أجل $n > N/2$، $\abs{B_{N-n} - B} \leq 2M$، ويكون هذا الجزء $\leq 2M \sum_{n > N/2} \abs{a_n} \to 0$. ومنه $C_N \to AB$. **تمرين 7.9 ★★★.** في الفضاء (غير التام) $E$ للمتتاليات الحقيقية المنعدمة ابتداءً من رتبة ما مزوَّدًا [بمعيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) النهاية العليا، أبرِز متسلسلة متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def) لا تتقارب في $E$. *(جرّب $u_n = 2^{-n} e_n$ حيث $(e_n)$ هي المتتاليات القانونية.)* **حل التمرين 7.9.** نأخذ $u_n = 2^{-n} e_n$ (حيث $e_n$ المتتالية التي فيها $1$ واحد في الموضع $n$). عندئذٍ $\sum \norm{u_n}_\infty = \sum 2^{-n} < \infty$: فهي متقاربة [بإطلاق](#def-b2-series-def). لكن المجاميع الجزئية $S_N = (1, \tfrac12, \dots, 2^{-N}, 0, \dots)$ كان يجب أن تتقارب إلى المتتالية $(2^{-n})_n$، وهي *ليست* منعدمة ابتداءً من رتبة ما: فهي خارج $E$. وداخل $E$، تكون $(S_N)$ كوشي بلا نهاية (إذ إن $\norm{S_N - x}_\infty \geq 2^{-N-1}$ لا يفيد أي متتالية $x$ منعدمة ابتداءً من رتبة ما: إذ من أجل أي $x \in E$ منعدمة بعد الرتبة $K$، يكون $\norm{S_N - x} \geq 2^{-K-1}$ من أجل $N > K$): فالمتسلسلة لا تتقارب في $E$. والتمام هو بالضبط ما تحتاجه [المبرهنة 5.21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-absoluteconvergence). **تمرين 7.10 ★★.** تحقق من المتطابقة $\arctan(n+1) - \arctan(n) = \arctan\dfrac{1}{n^2 + n + 1}$، واستنتج القيمة الدقيقة للمقدار $$ \sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{1}{n^2 + n + 1} . $$ **حل التمرين 7.10.** كلٌّ من $\arctan(n+1) - \arctan n$ و $\arctan\frac{1}{n^2+n+1}$ يقع في $\intoo{0}{\frac\pi2}$، وتعطي صيغة جمع الظلال أن $$ \tan\bigl(\arctan(n{+}1) - \arctan n\bigr) = \frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)} = \frac{1}{n^2 + n + 1} : $$ فالظلان متساويان في فترة يكون فيها $\tan$ متباينًا، ومن ثم تصحّ المتطابقة. وبالتلسكوب، $$ \sum_{n=1}^{N}\arctan\frac{1}{n^2+n+1} = \arctan(N{+}1) - \arctan 1 \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac\pi2 - \frac\pi4 = \frac\pi4 . $$ **تمرين 7.11 ★★.** عيّن الطبيعة (مع المكافئات) للمقادير $$ \sum_n \bigl(\sqrt{n+1} - \sqrt n\bigr)^{\alpha} \ (\alpha > 0), \qquad \sum_n \Bigl(1 - \cos\frac1n\Bigr), \qquad \sum_n \Bigl(\eu - \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{\!n}\Bigr). $$ **حل التمرين 7.11.** الأولى: $\sqrt{n+1} - \sqrt n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \sim \frac{1}{2\sqrt n}$، ومن ثم فالحدود $\sim 2^{-\alpha}n^{-\alpha/2}$: فالتقارب إذا وفقط إذا $\frac\alpha2 > 1$، أي $\alpha > 2$. والثانية: $1 - \cos\frac1n \sim \frac{1}{2n^2}$: فتتقارب. والثالثة: $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n = \eu^{\,n\ln(1 + 1/n)} = \eu^{\,1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac{1}{2n} + O(n^{-2})\bigr)$، ومنه $$ \eu - \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{\!n} \sim \frac{\eu}{2n} : $$ وهي حدود موجبة مكافئة لمضاعف توافقي: فتتباعد. **تمرين 7.12 ★★★.** لتكن $(a_n)$ موجبة و*متناقصة* مع تقارب $\sum a_n$. برهن على أن $n\,a_n \to 0$ *(حُدّ $n a_{2n}$ بذيل)*. وبيّن أن العكس يفشل، وأن الرتابة جوهرية، بأمثلة مضادة صريحة. **حل التمرين 7.12.** بالرتابة، $n\,a_{2n} \leq a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n} = S_{2n} - S_n \to 0$ (بمحك كوشي للمتسلسلة المتقاربة). ومنه $2n\,a_{2n} \to 0$، و$(2n{+}1)\, a_{2n+1} \leq (2n{+}1)a_{2n} = \frac{2n+1}{2n}\,(2n\,a_{2n}) \to 0$: فتؤول المتتاليتان الجزئيتان من $(na_n)$ إلى $0$، ومنه $na_n \to 0$. *ويفشل العكس:* فالمتتالية $a_n = \frac1{n\ln n}$ موجبة متناقصة مع $na_n = \frac1{\ln n} \to 0$، ومع ذلك تتباعد $\sum a_n$ (حدود برتران، [المسألة 7.1](#pb-b2-series-1)، السؤال 18). *والرتابة جوهرية:* فلتكن $a_n = \frac1n$ حين يكون $n$ قوة للعدد $2$، و$a_n = 2^{-n}$ فيما عدا ذلك: عندئذٍ $\sum a_n \leq \sum_k 2^{-k} + \sum_n 2^{-n} < \infty$، لكن $na_n = 1$ على قوى العدد $2$: أي $na_n \not\to 0$. ## 7.5 مسألة: مقدار أويلر $\zeta(2) = \pi^2/6$، بمجموع ظل التمام عند كوشي تقبل أشهر متطابقات أويلر، $1 + \frac14 + \frac19 + \cdots = \frac{\pi^2}6$، برهانًا أوّليًا تمامًا يعود إلى كوشي: فصيغة دي موافر تُنتج كثير حدود جذوره هي الأعداد $\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}$، وتجمع صيغ فييت تلك الجذور بالضبط، ويسحق الحصر $\cot^2\theta < \frac{1}{\theta^2} < 1 + \cot^2\theta$ المجاميعَ الجزئية للمقدار $\sum\frac1{k^2}$ بين حدّين ناطقين صريحين. ونشغّل البرهان كاملًا، ونستخرج $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ بالطريقة نفسها، ثم نرسم خريطة الحدود كلها بين التقارب والتباعد بمتسلسلات برتران — ونبرهن على أن هذه الحدود لا تحمل أي متسلسلة متقاربة أبطأ من كل ما سواها. **مسألة 7.1.** مسألة نهاية الأسبوع — $\zeta(2) = \pi^2/6$ وبانوراما برتران في كل ما يلي، $n \geq 1$ و$\theta_k = \dfrac{k\pi}{2n+1}$ من أجل $k = 1, \dots, n$؛ ولاحظ أن $0 < \theta_k < \frac\pi2$. **الجزء الأول — متطابقة ظل التمام.** 1. برهن على صيغة دي موافر $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^m = \cos m\theta + \iu\sin m\theta$ (مع $m \in \N$)، واستنتج، من أجل $m = 2n + 1$، $$\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}\cos^{2(n-j)}\theta\, \sin^{2j+1}\theta .$$ 2. استنتج أنه من أجل $\theta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$، $$\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sin^{2n+1}\theta\; P_n(\cot^2\theta), \qquad P_n(x) = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^{\,n-j},$$ وهو كثير حدود درجته $n$ ومعامله الرئيسي $2n + 1$. 3. بيّن أن الأعداد $x_k = \cot^2\theta_k$ ، مع $k = 1, \dots, n$ ، هي $n$ جذرًا *مختلفًا* لكثير الحدود $P_n$ — ومن ثم فهي كل جذوره. 4. بصيغ فييت، برهن على المتطابقة الدقيقة $$\sum_{k=1}^{n} \cot^2\frac{k\pi}{2n+1} = \frac{n(2n-1)}{3}.$$ 5. استنتج أيضًا $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin^2\theta_k} = \frac{2n(n+1)}{3}$ . 6. برهن على الحصر: $\cot^2\theta < \dfrac1{\theta^2} < \dfrac{1}{\sin^2\theta}$ من أجل $\theta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ *(من $\sin\theta < \theta < \tan\theta$)* . **الجزء الثاني — الحصر ينغلق: مبرهنة أويلر.** 7. بجمع السؤال 6 على $k = 1, \dots, n$ مع $\theta = \theta_k$، أثبت $$\frac{n(2n-1)}{3} \;<\; \frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} \;<\; \frac{2n(n+1)}{3}.$$ 8. اختم (*مبرهنة أويلر، ببرهان كوشي*): $$\zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$ 9. استخرج معدلًا من الحصر: بيّن أن $$\Bigl|\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} - \frac{\pi^2}6\Bigr| = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ وهو متوافق مع الذيل الدقيق $\sum_{k>n}k^{-2} = \frac1n - \frac{1}{2n^2} + O(n^{-3})$ في [التمرين 6.11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#exo-b2-comparison-11). 10. شغّل الآلة طابقًا أعلى: باستعمال دالة فييت المتناظرة الثانية للأعداد $P_n$، بيّن أن $$\sum_{k=1}^{n}\cot^4\theta_k = \Bigl(\frac{n(2n-1)}3\Bigr)^{\!2} - \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{60} \;\sim\; \frac{8n^4}{45},$$ واحصر بالمقدار $\cot^4 < \theta^{-4} < (1 + \cot^2)^2$ للحصول على $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$. **الجزء الثالث — الأرباح.** 11. استنتج من $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$: $$\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}, \qquad \sum_{k\geq1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}.$$ 12. اجمع ذلك مع [التمرين 7.7](#exo-b2-series-7) : احسب $S = \sum_{\gcd(a,b)=1}\frac{1}{a^2b^2} = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac52$ ، وفسّر $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.608$ بوصفه كثافة الأزواج الأولية فيما بينها (وصُغ الحدس بأمانة: فالعدّ الصارم مسألةٌ في مجلد السنة الثالثة). 13. (تسريع مصدَّق) تعطي صيغة الذيل في السؤال 9 أن $\sum_{k\leq n}k^{-2} + \frac1n - \frac1{2n^2} = \frac{\pi^2}6 + O(n^{-3})$ . قارِن الجهد اللازم من أجل ستة أرقام من $\zeta(2)$ : الجمع المباشر في مقابل المجموع المصحَّح عند $n = 100$ (حيث الخطأ $1.7\cdot10^{-7}$ ). 14. تحقق من السؤال 4 يدويًا عند $n = 1$ و $n = 2$ (والقيمتان $\cot^2\frac\pi3 = \frac13$ و $\cot^2\frac\pi5 + \cot^2\frac{2\pi}5 = 2$ )، مستعملًا $\cos\frac\pi5 = \frac{1+\sqrt5}4$ أو تقييمًا عدديًا. 15. برهن على المتطابقة المرافقة $$\sum_{k=1}^{n}\tan^2\frac{k\pi}{2n+1} = n(2n+1)$$ *(فالأعداد $\tan^2\theta_k$ هي جذور كثير الحدود المعكوس $x^nP_n(1/x)$)*، وتحقق منها عند $n = 1$. **الجزء الرابع — بانوراما برتران.** من أجل $\alpha, \beta \in \R$، لننظر في *متسلسلة برتران* $$ \sum_{n \geq 3} \frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}} . $$ 16. بيّن أنه من أجل $\alpha > 1$ تتقارب المتسلسلة، مهما كان $\beta$ *(بالمقارنة مع $n^{-(1+\alpha)/2}$)* . 17. بيّن أنه من أجل $\alpha < 1$ تتباعد، مهما كان $\beta$ . 18. ومن أجل $\alpha = 1$ : باستعمال مقارنة المتسلسلة بالتكامل ( [المبرهنة 6.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#thm-b2-comparison-seriesintegral) ) مع $f(t) = \frac{1}{t(\ln t)^\beta}$ ، برهن على أنها تتقارب إذا وفقط إذا $\beta > 1$ . 19. كرّر الحدود: بيّن أن $\sum\frac{1}{n\ln n\,\ln\ln n}$ تتباعد في حين أن $\sum\frac{1}{n\ln n\,(\ln\ln n)^2}$ تتقارب. 20. فخّان: عيّن طبيعة $$\sum_n \frac{1}{n^{1 + 1/\ln n}} \qquad\text{و}\qquad \sum_n \frac{1}{n^{1 + 1/\ln\ln n}}$$ *(احسب $n^{1/\ln n}$ بالضبط؛ وقارِن $n^{1/\ln\ln n}$ بكل قوة للمقدار $\ln n$)*. 21. (لا توجد متسلسلة متقاربة أبطأ من الجميع) لتكن $\sum a_n$ أي متسلسلة متقاربة مع $a_n > 0$ ، ولتكن $R_n = \sum_{k \geq n}a_k$ ذيولها. برهن على أن $\sum \frac{a_n}{\sqrt{R_n}}$ تبقى *متقاربة* *(بالمقارنة مع التلسكوب $2(\sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}})$)* ، رغم أن $\frac{a_n/\sqrt{R_n}}{a_n} \to \infty$ : أي إن كل متسلسلة متقاربة مهيمَن عليها تمامًا بمتسلسلة متقاربة أخرى. فحدود التقارب ليست منحنى بل ضباب. **الجزء الخامس — تحققات متقاطعة وتركيب.** 22. (تكثيف كوشي) برهن على أنه من أجل $(a_n)$ موجبة متناقصة، تتقارب $\sum a_n$ إذا وفقط إذا تقاربت $\sum 2^k a_{2^k}$ . وأعد استنباط حدود السؤال 18 منها. 23. (ثمن البطء) من أجل $\sum\frac1{n(\ln n)^2}$ ، حُدّ الذيل بتكامل وبيّن أن الجمع إلى غاية $N = 10^6$ يترك خطأً أكبر من $0.07$ : فالتقارب المصدَّق نظريًا قد يكون عديم الفائدة عدديًا — وقارِن بالسؤال 13. 24. صنّف (بتبريرات من سطر واحد): $\sum\frac1{n\ln n}$ ، $\sum\frac1{n^{1.01}}$ ، $\sum\frac{(\ln n)^{100}}{n^{1.001}}$ ، $\sum\frac1{n(\ln n)(\ln\ln n)^{3}}$ . 25. (تركيب) بجملة واحدة لكل بند: كيف حوّل دي موافر متطابقةً مثلثية إلى كثير حدود بمجاميع جذور قابلة للحساب؛ وأين احتاج الحصر إلى متطابقات *دقيقة* عند الطرفين لا إلى مكافئات؛ وأي أداة من [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison) شغّلت الجزء الرابع؛ وماذا يقول السؤال 21 عن حلم “محك المقارنة الشامل”. وسمِّ القمتين: مقدار أويلر $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ (وطابقه الأعلى، $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ )، وتصنيف برتران. ولاحظ أين سيُبرهن على $\zeta(2)$ من جديد: ببارسفال في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ch-b2-fourier) — مبرهنة واحدة، وحضارتان. **حل المسألة 7.1.** **1.** بالتراجع على $m$: من أجل $m = 0$ يساوي الطرفان $1$؛ وتضرب الخطوة في $\cos\theta + \iu\sin\theta$ وتستعمل صيغتَي الجمع $\cos(m\theta + \theta) = \cos m\theta\cos\theta - \sin m\theta\sin\theta$ و$\sin(m\theta + \theta) = \sin m\theta\cos\theta + \cos m\theta\sin\theta$. وبالنشر بدل ذلك بمبرهنة ثنائي الحدّ مع $m = 2n+1$ وجمع الجزء التخيلي (أي القوى الفردية للمقدار $\iu\sin\theta$، مع $\iu^{2j+1} = (-1)^j\iu$): $$ \sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sum_{j=0}^{n}(-1)^j \binom{2n+1}{2j+1}\cos^{2(n-j)}\theta\,\sin^{2j+1}\theta . $$ **2.** على $\intoo0{\frac\pi2}$، $\sin\theta \neq 0$: فنُخرِج $\sin^{2n+1}\theta$ من كل حدّ، فيبقى $\bigl(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\bigr)^{n-j} = (\cot^2\theta)^{n-j}$: أي المتطابقة المعروضة مع $P_n(x) = \sum_j(-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^{n-j}$. ومعاملها من الدرجة $n$ هو معامل $j = 0$ أي $\binom{2n+1}{1} = 2n + 1 \neq 0$. **3.** عند $\theta_k = \frac{k\pi}{2n+1}$: $\sin\bigl((2n{+}1)\theta_k\bigr) = \sin k\pi = 0$ في حين أن $\sin^{2n+1}\theta_k \neq 0$، ومنه $P_n(\cot^2\theta_k) = 0$. وتتزايد $\theta_k$ تمامًا في $\intoo0{\frac\pi2}$، حيث تتناقص $\cot^2$ تمامًا: فالقيم $x_k = \cot^2\theta_k$ مختلفة مثنى مثنى — أي $n$ جذرًا مختلفًا لكثير حدود درجته $n$، ومن ثم فهي كل جذوره. **4.** فييت: مجموع الجذور هو سالب نسبة معاملَي $x^{n-1}$ و$x^n$: $$ \sum_{k=1}^{n}\cot^2\theta_k = \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)/6}{2n+1} = \frac{n(2n-1)}{3}. $$ **5.** $\frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \cot^2\theta$: وبالجمع، $n + \frac{n(2n-1)}3 = \frac{3n + 2n^2 - n}{3} = \frac{2n(n+1)}{3}$. **6.** على $\intoo{0}{\frac\pi2}$: $\sin\theta < \theta < \tan\theta$ (مجلد السنة الأولى). وأخذ المقلوبات يعكس: $\cot\theta < \frac1\theta < \frac1{\sin\theta}$، والتربيع (وكلها موجبة) يعطي $\cot^2\theta < \frac1{\theta^2} < \frac1{\sin^2\theta}$. **7.** نجمع السؤال 6 عند $\theta = \theta_k$ على $k \leq n$، مستعملين السؤالين 4 و5، و$\frac1{\theta_k^2} = \frac{(2n+1)^2}{k^2\pi^2}$: $$ \frac{n(2n-1)}3 < \frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^n\frac1{k^2} < \frac{2n(n+1)}3 . $$ **8.** نضرب في $\frac{\pi^2}{(2n+1)^2}$: $$ \frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{n(2n-1)}{(2n+1)^2} < \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} < \frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}. $$ ويؤول الحدّان كلاهما إلى $\frac{\pi^2}3\cdot\frac12 = \frac{\pi^2}6$ (فالكسور الناطقة تؤول إلى $\frac12$). وتتزايد المجاميع الجزئية، ومن ثم فهي متقاربة، ويعطي الحصر $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$: وهي مبرهنة أويلر، ببرهان كوشي. **9.** تتزايد المجاميع الجزئية إلى $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$، ومنه $0 \leq \frac{\pi^2}6 - \sum_{k\leq n}k^{-2}$؛ ويعطي الحدّ الأدنى في السؤال 8 أن $$ \frac{\pi^2}6 - \sum_{k\leq n}\frac1{k^2} \leq \frac{\pi^2}6 - \frac{\pi^2}3\cdot\frac{n(2n-1)}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}6\cdot\frac{(2n+1)^2 - (4n^2 - 2n)}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}6\cdot\frac{6n + 1}{(2n+1)^2} = O\Bigl(\frac1n\Bigr), $$ وهو يطابق الذيل الدقيق $\frac1n - \frac1{2n^2} + O(n^{-3})$ في [التمرين 6.11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#exo-b2-comparison-11). **10.** دالة فييت المتناظرة الأولية الثانية للجذور هي $\sigma_2 = \frac{\binom{2n+1}5}{\binom{2n+1}1} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{120}$، ومن ثم $$ \sum_k\cot^4\theta_k = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = \Bigl(\frac{n(2n-1)}3\Bigr)^2 - \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{60} \sim \frac{4n^4}9 - \frac{4n^4}{15} = \frac{8n^4}{45}. $$ وبحصر $\cot^4\theta < \theta^{-4} < (1 + \cot^2\theta)^2 = 1 + 2\cot^2\theta + \cot^4\theta$ والجمع: يكون المجموعان الخارجيان $\frac{8n^4}{45}(1 + o(1))$ (فالمقدار المضاف $n + 2\sigma_1 = O(n^2)$ مهمَل)، في حين أن الأوسط $\frac{(2n+1)^4}{\pi^4}\sum_{k\leq n}k^{-4}$. ومنه $$ \sum_{k\leq n}\frac1{k^4} \longrightarrow \pi^4\cdot\frac{8/45}{16} = \frac{\pi^4}{90}. $$ **11.** بفصل $\zeta(2)$ حسب التماثل: $\sum_{\text{زوجي}} = \sum_j\frac{1}{(2j)^2} = \frac14\zeta(2) = \frac{\pi^2}{24}$، ومنه $\sum_{\text{فردي}} = \zeta(2) - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}8$. والمتناوبة: $\sum_k\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \sum_{\text{فردي}} - \sum_{\text{زوجي}} = \frac{\pi^2}8 - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{12}$ (ويبرّر التقارب المطلق إعادة التجميع، [المبرهنة 7.11](#thm-b2-series-rearrangement)). **12.** $S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac{(\pi^2/6)^2}{\pi^4/90} = \frac{90}{36} = \frac52$. والحدس: تقول المتطابقة $\zeta(2)^2 = \zeta(4)S$ في [التمرين 7.7](#exo-b2-series-7) إن إخراج العامل $\gcd$ يُنظّم الأزواج إلى أزواج أولية فيما بينها؛ ومقلوب المقدار $\frac1{\zeta(2)} = \frac6{\pi^2} \approx 0.608$ هو المرشح الطبيعي لكثافة الأزواج الأولية فيما بينها بين كل الأزواج — وهو قول عن $\lim_N \frac{1}{N^2}\#\{(m,n) \leq N : \gcd = 1\}$ برهانه الأمين (بحدود الخطأ) ينتمي إلى مجلد السنة الثالثة. **13.** خطأ الجمع المباشر $\sim \frac1n$: فستة أرقام تقتضي نحو $10^6$ حدّ. أما المجموع المصحَّح $\sum_{k\leq n}k^{-2} + \frac1n - \frac1{2n^2}$ فخطؤه $O(n^{-3})$: وعند $n = 100$ يساوي $1.6449339\dots$ في مقابل $\frac{\pi^2}6 = 1.6449341\dots$ — أي خطأ $1.7\cdot10^{-7}$، فسبعة أرقام من مئة حدّ. فالتصحيحات المقاربة تغلب الصبر الخام بأربع رتب من الحجم. **14.** $n = 1$: $P_1(x) = 3x - 1$، والجذر $\frac13$، وفعلًا $\cot^2\frac\pi3 = \bigl(\frac1{\sqrt3}\bigr)^2 = \frac13 = \frac{1\cdot1}3$. و$n = 2$: تتنبأ الصيغة بالقيمة $\frac{2\cdot3}3 = 2$؛ ومع $\cos\frac\pi5 = \frac{1 + \sqrt5}{4}$، نحسب $\cot^2 36^\circ \approx 1.894$ و $\cot^2 72^\circ \approx 0.106$: فالمجموع $2.000$. **15.** الأعداد $\tan^2\theta_k = \frac1{x_k}$ هي جذور $Q(x) = x^nP_n\bigl(\frac1x\bigr) = \sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^j$ (لأن الأعداد $x_k$ غير معدومة). وفييت على $Q$: المعامل الرئيسي هو $(-1)^n$ (الحدّ $j = n$)، والتالي هو $(-1)^{n-1}\binom{2n+1}{2n-1} = (-1)^{n-1}\binom{2n+1}{2}$، ومنه $$ \sum_{k=1}^n\tan^2\theta_k = -\frac{(-1)^{n-1}\binom{2n+1}2}{(-1)^n} = \binom{2n+1}2\cdot \frac{2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{2} = n(2n+1). $$ وللتحقق عند $n = 1$: $\tan^2\frac\pi3 = 3 = 1\cdot3$. **16.** ليكن $\gamma = \frac{1+\alpha}2 \in \intoo{1}{\alpha}$. عندئذٍ $\frac{n^{-\alpha}(\ln n)^{-\beta}}{n^{-\gamma}} = n^{\gamma - \alpha}(\ln n)^{-\beta} \to 0$ (فقوة سالبة للمقدار $n$ تغلب أي قوة للمقدار $\ln n$)، ومن ثم تصير الحدود ابتداءً من رتبة ما $\leq n^{-\gamma}$ مع $\gamma > 1$: فالتقارب بالمقارنة مع متسلسلة ريمان. **17.** ليكن $\gamma = \frac{1+\alpha}2 \in \intoo{\alpha}{1}$: فالآن $\frac{n^{-\gamma}}{n^{-\alpha}(\ln n)^{-\beta}} = n^{\alpha-\gamma}(\ln n)^{\beta} \to 0$، ومن ثم تصير الحدود ابتداءً من رتبة ما $\geq n^{-\gamma}$ مع $\gamma < 1$: فالتباعد. **18.** $f(t) = \frac1{t(\ln t)^\beta}$ موجبة ومتصلة ومتناقصة من أجل $t$ الكبيرة (فمشتق لوغاريتمها $-\frac1t\bigl(1 + \frac{\beta}{\ln t}\bigr) < 0$ ابتداءً من رتبة ما). والدوال الأصلية: من أجل $\beta \neq 1$، $\int^x f = \frac{(\ln x)^{1-\beta}}{1-\beta} + \text{ثابت}$، ولها نهاية منتهية إذا وفقط إذا $\beta > 1$؛ ومن أجل $\beta = 1$، $\int^x f = \ln\ln x \to \infty$. وحسب [المبرهنة 6.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#thm-b2-comparison-seriesintegral)، للمتسلسلة والتكامل الطبيعة نفسها: فالتقارب إذا وفقط إذا $\beta > 1$. **19.** المحك نفسه: $\frac{\dd}{\dd t}\ln\ln\ln t = \frac{1}{t\ln t\,\ln\ln t}$، و$\ln\ln\ln t \to \infty$: فالتباعد. و$\frac{\dd}{\dd t}\Bigl(-\frac1{\ln\ln t}\Bigr) = \frac{1}{t\ln t\,(\ln\ln t)^2}$ مع $-\frac1{\ln\ln t} \to 0$: فالتقارب. **20.** الأولى: $n^{1/\ln n} = \eu^{\ln n/\ln n} = \eu$، ومن ثم تكون الحدود بالضبط $\frac{1}{\eu\,n}$: أي مضاعف للمتسلسلة التوافقية، فهي *متباعدة* — إذ إن الأس $1 + \frac1{\ln n}$ يزحف إلى $1$ بسرعة زائدة. والثانية: $n^{1/\ln\ln n} = \eu^{\ln n/\ln\ln n}$، و$\frac{\ln n}{\ln\ln n} \geq 2\ln\ln n$ ابتداءً من رتبة ما، ومنه $n^{1/\ln\ln n} \geq (\ln n)^2$: فالحدود $\leq \frac1{n(\ln n)^2}$، وهي متسلسلة برتران متقاربة (السؤال 18): فهي *متقاربة*. وتمرّ الحدود تمامًا بين هذين الأسّين. **21.** $R_n \downarrow 0$ و $$ \sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}} = \frac{R_n - R_{n+1}}{\sqrt{R_n} + \sqrt{R_{n+1}}} = \frac{a_n}{\sqrt{R_n} + \sqrt{R_{n+1}}} \geq \frac{a_n}{2\sqrt{R_n}}, $$ ومنه $\sum_n \frac{a_n}{\sqrt{R_n}} \leq 2\sum_n(\sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}}) = 2\sqrt{R_1} < \infty$ (بالتلسكوب). ومع ذلك $\frac{a_n/\sqrt{R_n}}{a_n} = \frac1{\sqrt{R_n}} \to \infty$: فالمتسلسلة الجديدة تتقارب وهي أكبر بما لا نهاية. فلا توجد متسلسلة متقاربة أبطأ من الجميع؛ ولا يمكن لمحكّات المقارنة مع أي عائلة ثابتة أن تكون تامة أبدًا. **22.** من أجل $(a_n)$ موجبة متناقصة، نجمّع الحدود بين قوتين متتاليتين للعدد $2$: $$ 2^{k}a_{2^{k+1}} \leq \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a_n \leq 2^ka_{2^k} . $$ وبالجمع على $k$: إذا تقاربت $\sum 2^ka_{2^k}$، تكون المجاميع الجزئية للمتسلسلة $\sum a_n$ محدودة (فتتقارب)؛ وإذا تقاربت $\sum a_n$، فإن $\sum_k 2^{k+1}a_{2^{k+1}} \leq 2\sum_n a_n < \infty$. ومن أجل $a_n = \frac1{n(\ln n)^\beta}$: $2^ka_{2^k} = \frac{1}{(k\ln 2)^\beta}$، وتتقارب $\sum k^{-\beta}$ إذا وفقط إذا $\beta > 1$: أي حدود السؤال 18 من جديد، بلا تكاملات. **23.** بمقارنة التكامل، $$ \sum_{n > N}\frac{1}{n(\ln n)^2} \geq \int_{N+1}^{\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^2} = \frac{1}{\ln(N+1)}, $$ وهو عند $N = 10^6$ يساوي $\approx 0.0724$: فبعد مليون حدّ يبقى الذيل أكبر من $0.07$ — فالمتسلسلة تتقارب، لكن لا جمع مباشر يُظهر مجموعها أبدًا. وقارِن ذلك بالسؤال 13، حيث اشترى تصحيح مقارب واحد سبعة أرقام من مئة حدّ: فمعرفة *كيف* تتقارب متسلسلة أثمن من معرفة أنها تتقارب. **24.** $\sum\frac1{n\ln n}$: تتباعد ($\alpha = 1$، $\beta = 1$، السؤال 18). و$\sum\frac1{n^{1.01}}$: تتقارب (ريمان، $\alpha > 1$). و$\sum\frac{(\ln n)^{100}}{n^{1.001}}$: تتقارب ($\alpha = 1.001 > 1$، $\beta = -100$، السؤال 16). و$\sum\frac1{n\ln n(\ln\ln n)^3}$: تتقارب (بنمط السؤال 19: فالدالة الأصلية $-\frac12(\ln\ln t)^{-2}$، ولها نهاية منتهية). **25.** يحوّل دي موافر انعدام $\sin(2n{+}1) \theta_k$ إلى انعدام كثير حدود عند $\cot^2\theta_k$، ويقرأ فييت مجاميع الجذور الدقيقة التي لم يكن التحليل وحده ليقدّمها إلا تقديرًا (الأسئلة 1–5). واحتاج الحصر إلى القيمتين *الدقيقتين* $\frac{n(2n-1)}3$ و $\frac{2n(n+1)}3$ على الطرفين — فالمكافئات كانت ستصادر المطلوب، إذ إن كل المغزى هو الثابت $\frac{\pi^2}6$ (السؤالان 7–8). وجرى الجزء الرابع كله على مقارنة المتسلسلة بالتكامل في [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison)، وقامت الدوال الأصلية اللوغاريتمية بالتصنيف (السؤالان 18–19). ويهدم السؤال 21 حلمَ محك المقارنة الشامل: فتحت كل متسلسلة متقاربة تقع أخرى أبطأ منها بما لا نهاية — والسلالم مثل خريطة برتران ترسم الحدود بدقة متزايدة أبدًا لكنها لا تبلغها. والقمتان: مقدار أويلر $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ مع طابقه الأعلى $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ (السؤالان 8 و10)، وتصنيف برتران (الأسئلة 16–18)؛ ويعود $\zeta(2)$ في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ch-b2-fourier)، حيث تعيد متطابقة بارسفال برهانه في سطر واحد انطلاقًا من متسلسلة فورييه للموجة المسننة — ثابت واحد، وحضارتان.