--- title: "دوال المتغير الحقيقي" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2" subject: math language: ar chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/8-functions-of-a-real-variable --- # الفصل 8 — دوال المتغير الحقيقي قبل أن ينتقل التحليل إلى دوال الدوال ([الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq)) يجدر أن نعرف منظر المتغير الواحد بتفصيل أدقّ مما اقتضته السنة الأولى: إلى أي حدّ يمكن أن تكون دالة رتيبة غير متصلة، وإلى أي حدّ يجب أن تكون دالة محدبة منتظمة، وما الخواص الخاصة التي تتمتع بها المشتقات (داربو). وهذه النتائج البنيوية قصيرة وحادّة، ومحبّبة إلى الممتحِنين. ## 8.1 الدوال الرتيبة **مبرهنة 8.1 (انتظام الدوال الرتيبة).** لتكن $f \colon I \to \R$ متزايدة على فترة. 1. عند كل نقطة داخلية $a$، توجد النهايتان من جهة واحدة: $$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$$ فكل عدم اتصال *قفزة*. 2. مجموعة نقاط عدم اتصال $f$ [قابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) على الأكثر. **برهان.** (1) المجموعة $\{f(x) : x < a\}$ غير خالية ومحدودة من أعلى بالمقدار $f(a)$: وتحقق نهايتها العليا $s$ أن $f(x) \to s$ حين $x \to a^-$ (فمن أجل $\varepsilon$، يوجد $f(x_0) > s - \varepsilon$، وتحصر الرتابة $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ من أجل $x \in \intoo{x_0}{a}$). وبالتناظر على اليمين. (2) نُرفق بكل نقطة عدم اتصال $a$ الفترةَ [المفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) غير الخالية $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (وهو قفزة حقيقية). ومن أجل نقطتَي عدم اتصال $a < b$، يكون $J_a$ و$J_b$ منفصلين: إذ $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ من أجل أي $c$ بينهما. ويحتوي كل $J_a$ عددًا ناطقًا؛ وتحصل نقاط عدم الاتصال المختلفة على أعداد ناطقة مختلفة: أي غرسة لمجموعة نقاط عدم الاتصال في $\Q$، وهي [قابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) ([القضية 1.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#prop-b2-structures-countablestable)). ∎ **مثال 8.2.** الحدّ أمثل: نثبّت ترقيمًا $(r_n)$ للمجموعة $\Q \cap \intoo{0}{1}$ ونضع $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (وهو تعريف [بعائلة قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable)، [التعريف 7.8](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable)). عندئذٍ تكون $f$ متزايدة على $\intcc{0}{1}$ وغير متصلة بالضبط عند كل عدد ناطق من $\intoo{0}{1}$ (بقفزة $2^{-n}$ عند $r_n$): فالدالة الرتيبة *يمكن* أن تكون غير متصلة على مجموعة كثيفة [قابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable). **مثال 8.3 (القفزات لا يمكن أن تفوق الصعود).** من أجل $f$ متزايدة على $\intcc{a}{b}$، للقفزات ميزانية: فإذا كانت $a < c_1 < \dots < c_m < b$ نقاط عدم اتصال بقفزات $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$، فباختيار نقاط متداخلة $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ واستعمال الرتابة على كل قطعة، $$ \sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) : $$ يحدّ الصعود الكلي القفزَ الكلي. ومن ثم: من أجل كل $k$، لا تتجاوز نقاط عدم الاتصال ذوات القفزة $\geq \frac1k$ العددَ $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ — وهو تنقيح كمّي للبند (2) في [المبرهنة 8.1](#thm-b2-realfun-monotone)، لأن مجموعة نقاط عدم الاتصال هي الاتحاد القابل للعد على $k$ لهذه المجموعات المنتهية. وفي دالة القفزات الناطقة أعلاه، تُنفَق الميزانية بالضبط: فمجموع القفزات $2^{-n}$ هو $1 = f(1^+) - f(0^-)$ بالمعنى الموسَّع الواضح. فالدوال الرتيبة قد تقفز بكثافة، لكن ضمن مخصَّص صارم. ## 8.2 الدوال المحدبة **مبرهنة مساعدة 8.4 (متراجحة الميول).** لتكن $f$ محدبة على $I$ ولتكن $x < y < z$ في $I$. عندئذٍ $$ \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} : $$ فميول الأوتار تتزايد في الطرفين معًا. **برهان.** نكتب $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$: وهو تركيب محدب، لأن المعاملين موجبان ومجموعهما $1$. ويعطي التحدب أن $$ f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z). $$ ومن أجل المتراجحة اليسرى، نطرح $f(x)$ من الطرفين، مستعملين $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$: $$ f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr), $$ ثم نقسم على $y - x > 0$. ومن أجل المتراجحة اليمنى، نطرح بدل ذلك من $f(z)$: $$ f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr), $$ ثم نقسم على $z - y > 0$. والخطوتان المعروضتان هما المتطابقة المركزية نفسها مقروءةً في مقابل طرف مختلف. ∎ **مبرهنة 8.5 (انتظام الدوال المحدبة).** لتكن $f$ محدبة على فترة $I$. 1. عند كل نقطة داخلية، يكون للدالة $f$ مشتقان منتهيان من جهة واحدة $f'_g \leq f'_d$ ؛ وكلاهما دالة متزايدة في النقطة؛ وعلى الخصوص تكون $f$ متصلة على داخل $I$ (وقد لا تكون كذلك عند الطرفين). 2. تقع $f$ فوق كل *مستقيم مساند*: فمن أجل $a$ داخلية وأي $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$، $$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$$ 3. (جنسن، الموزون) من أجل $x_i \in I$ وأوزان $\lambda_i \geq 0$، $\sum\lambda_i = 1$: $$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$$ **برهان.** (1) نثبّت $a$ داخلية. وحسب [المبرهنة المساعدة 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)، يكون الميل $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ دالة متزايدة في $h$ (على الجهتين، مع $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ من أجل $h_- < 0 < h_+$). ومن ثم فللمقدار $\tau$ نهاية منتهية حين $h \to 0^-$ (فهو متزايد ومحدود من أعلى بأي ميل يميني) — وهي $f'_g(a)$ — وحين $h \to 0^+$ ($f'_d(a)$)، مع $f'_g(a) \leq f'_d(a)$. ووجود مشتقين منتهيين من جهة واحدة يفرض الاتصال عند $a$. وأما الرتابة في النقطة: فمن أجل $a < b$ داخليتين، $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$، وذلك بمتراجحة الميول من جديد. (2) من أجل $x > a$: $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$؛ ومن أجل $x < a$: $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$. وكلاهما يُعاد ترتيبه ليعطي المطلوب. (3) بالتراجع على عدد النقاط تمامًا كما في مجلد السنة الأولى (فحالة النقطتين هي التعريف) — أو دفعةً واحدة: نطبّق (2) عند $a = \sum\lambda_i x_i$ ونأخذ متوسط متراجحات المستقيم المساند عند النقاط $x_i$ بالأوزان $\lambda_i$: $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$. ∎ ![التحدب في صورة واحدة: بين -1.5 و2 يبقى منحني f(x) = x2 تحت وتره (وهو التعريف) و فوق المستقيم المساند عند x = 0.5 ( (2)) — وكل متراجحة في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل إعادةُ ترتيب لهذين الوضعين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-155c0c77e4ff.svg) *التحدب في صورة واحدة: بين $-1.5$ و$2$ يبقى منحني $f(x) = x^2$ تحت وتره (وهو التعريف) و فوق المستقيم المساند عند $x = 0.5$ ([المبرهنة 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)) — وكل متراجحة في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل إعادةُ ترتيب لهذين الوضعين.* **مثال 8.6 (عدم اتصال عند الطرف).** على $\intcc{0}{1}$، الدالة $f(0) = 1$، $f(x) = 0$ من أجل $x > 0$ محدبة لكنها غير متصلة عند الطرف $0$: فالبند (1) أمثل. **مثال 8.7 (الزوايا وحزمة المستقيمات المساندة).** من أجل $f(x) = \abs x$ عند $a = 0$: يكون المشتقان من جهة واحدة $f'_g(0) = -1$ و$f'_d(0) = +1$، ويوزّع البند (2) في [المبرهنة 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) مستقيمًا مساندًا من أجل *كل* ميل $m \in \intcc{-1}{1}$: $$ \abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1), $$ وكلٌّ منها مساواة بالضبط على نصف مستقيم أو عند $0$. وتكون الدالة المحدبة قابلة للاشتقاق عند $a$ بالضبط حين تنهار الحزمة إلى مستقيم واحد ($f'_g(a) = f'_d(a)$)؛ أما الزوايا فتحمل فترةً من المماسات. وهذه الحزمة هي البذرة المنتهية البعد *للمشتق التحتي* في التحسين المحدب — والسبب في أن الدوال المحدبة بالغة المتانة: فحتى حيث يفشل المشتق، تنجو الهندسة المساندة، وهي كل ما استعمله برهان جنسن. **مثال 8.8 (متراجحة المتوسطات القوية).** من أجل $0 < p < q$ وأعداد موجبة $x_i$ بأوزان $\lambda_i$ مجموعها $1$، وبتطبيق جنسن على الدالة المحدبة $t \mapsto t^{q/p}$ عند النقاط $x_i^p$: $$ \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} : $$ فالمتوسطات القوية تتزايد مع الأس — وهذا يتضمن متراجحة الحسابي والتربيعي، ويعطي، في النهاية $p \to 0$ ([التمرين 8.6](#exo-b2-realfun-6))، متراجحةَ الحسابي والهندسي مرة أخرى. ![المتوسط القوي M_p للقيم 1, 2, 4 (بأوزان متساوية)، بوصفه دالة في الأس p: متزايد من = 1 (حين p -∈fty) إلى = 4 (حين p +∈fty)، مرورًا بالمتوسط التوافقي (p = -1) والهندسي (وهو الفجوة عند p = 0، بالقيمة 2) والحسابي (p = 1) والتربيعي (p = 2). فسلسلة متراجحات المتوسطات الكلاسيكية كلها منحنى متزايد واحد — مبرهَنًا عليه في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل، الجزء الثالث.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-251ea49e8840.svg) *المتوسط القوي $M_p$ للقيم $1, 2, 4$ (بأوزان متساوية)، بوصفه دالة في الأس $p$: متزايد من $\min = 1$ (حين $p \to -\infty$) إلى $\max = 4$ (حين $p \to +\infty$)، مرورًا بالمتوسط التوافقي ($p = -1$) والهندسي (وهو الفجوة عند $p = 0$، بالقيمة $2$) والحسابي ($p = 1$) والتربيعي ($p = 2$). فسلسلة متراجحات المتوسطات الكلاسيكية كلها منحنى متزايد واحد — مبرهَنًا عليه في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل، الجزء الثالث.* **مثال 8.9 (الإنتروبيا العظمى).** من أجل متجهة احتمال $(p_1, \dots, p_n)$ (موجبة، مجموعها $1$)، تحقق الإنتروبيا $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ العلاقةَ $$ H(p) \leq \ln n , \qquad\text{مع المساواة إذا وفقط إذا } p_i = \frac1n \text{ من أجل كل } i . $$ والبرهان بجنسن (البند (3) في [المبرهنة 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg)) مطبَّقًا على الدالة *المقعرة* $\ln$ بأوزان $p_i$ عند النقاط $\frac{1}{p_i}$: $$ H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n , $$ وتفرض المساواة تساوي كل النقاط $\frac1{p_i}$ (بالتقعر التام)، أي أن تكون $p$ منتظمة. وبكيفية مكافئة، هذا هو [التمرين 8.7](#exo-b2-realfun-7) مع $q$ منتظمًا. فيبلغ الارتياب أعظمه بجهلٍ موزَّع بانتظام — وهو المبدأ التغايري وراء الترميز والميكانيك الإحصائي وظهورات الإنتروبيا في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar). **طريقة 8.10 (كيف نجد الدالة المحدبة وراء متراجحة).** معظم المتراجحات الكلاسيكية جنسن بلباس؛ ولخلع اللباس: (1) نظّم بحيث يظهر *متوسط موزون* (بأوزان موجبة مجموعها $1$ — بالقسمة على كتلة كلية عند الحاجة)؛ (2) انظر إلى الدالة المطبَّقة داخل المتوسط في مقابل المطبَّقة خارجه: فالادعاء “$f(\text{متوسط}) \leq$ متوسط $f$” يسمّي الدالة المحدبة $f$؛ (3) صدّق التحدب بالمشتق الثاني، وعالج المساواة بالتمامية؛ (4) وإذا لم يظهر أي متوسط، فخذ اللوغاريتمات أولًا — فتصير الجداءات والقوى متوسطات، ويحمل تقعّر $\ln$ متراجحاتِ الحسابي والهندسي ويونغ وأقاربها (وتشغّل مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل الخطوات 1–4 على كل منها). وإذا لم تكشف اللوغاريتمات نفسها أي متوسط، فحاول قراءة المتراجحة بوصفها رتابة ميول ([المبرهنة المساعدة 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) — فأقوال فوق الجمعية مثل [التمرين 8.9](#exo-b2-realfun-9) تسكن هناك. **ملاحظة 8.11 (مزالق شائعة).** (1) لا يُحفظ التحدب بالجداء: فالدالتان $x$ و$(x - 1)^2$ محدبتان على $\intcc{0}{2}$، لكن جداءهما $x(x-1)^2$ مشتقه الثاني $6x - 4$، وهو سالب على $\intco{0}{\frac23}$ — فليست محدبة؛ ولا يُحفظ التحدب بالتركيب دون رتابة ([التمرين 8.10](#exo-b2-realfun-10)). (2) ينقلب جنسن من أجل الدوال المقعرة: فنصف المتراجحات الكلاسيكية هو النسخة المقعرة $\ln$؛ وتطبيق الصيغة المحدبة على $\ln$ أسرع طريق لبرهان متراجحة الحسابي والهندسي *بالمقلوب*. (3) التحدب عند النقطة الوسطى وحده لا يستلزم التحدب — بل يلزم الاتصال (أو مجرد كون الدالة محدودة) ([التمرين 8.8](#exo-b2-realfun-8))؛ أما الأمثلة المضادة المرضية فتعيش وراء بديهيات هذا الكتاب. (4) الدالة المحدبة على فترة *[مفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology)* متصلة، بل ليبشيتزية محليًا ([التمرين 8.12](#exo-b2-realfun-12))؛ وعند الطرفين، لا شيء مجاني. (5) تخضع المشتقات لداربو لكن لا يلزم أن تكون متصلة ([المثال 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation)): فقول “ليس للمقدار $f'$ قفزات” لا يعني أبدًا “$f'$ متصلة”. ## 8.3 خاصية داربو **مبرهنة 8.12 (داربو).** لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على فترة $I$. عندئذٍ تأخذ $f'$ كل قيمة بين أي قيمتين من قيمها — وإن لم يلزم أن تكون $f'$ متصلة. **برهان.** ليكن $a < b$ في $I$ وليكن $v$ واقعًا تمامًا بين $f'(a)$ و$f'(b)$، ولنفترض $f'(a) < v < f'(b)$. الدالة $g(x) = f(x) - vx$ قابلة للاشتقاق مع $g'(a) < 0 < g'(b)$: وحدّها الأدنى على $\intcc{a}{b}$ (وهو مبلوغ: بالاتصال على متراص) ليس عند $a$ (فبُعيد $a$ مباشرةً تتناقص $g$ تحت $g(a)$) ولا عند $b$ (فقُبيل $b$ مباشرةً تكون $g$ تحت $g(b)$): فهو داخلي، وهناك $g'(c) = 0$، أي $f'(c) = v$. (وقد كان هذا تمرينًا بنجمة في السنة الأولى؛ وموضعه في النظرية هنا.) ∎ **مثال 8.13 (أي الدوال مشتقات؟).** مبرهنة داربو آلة عدم وجود. فدالة الجزء الصحيح $\lfloor x\rfloor$ ليست مشتقًا لأي دالة على $\R$: فهي تأخذ القيمتين $0$ و$1$ لكنها تتخطى $\frac12$ على $\intcc{0}{1}$، وهذا ما تمنعه [المبرهنة 8.12](#thm-b2-realfun-darboux) من أجل المشتقات. والحكم نفسه يصيب كل دالة ذات قفزة — كدالة الإشارة وهيفيسايد وكل الدوال الدرجية — مهما بدت بريئة؛ و“دوالها الأصلية” ($\abs x$ من أجل الإشارة، وهكذا) لا توجد إلا بعيدًا عن القفزة وتنعقد هناك بزاوية. وفي المقابل: فإن الدالة $f'$ الشديدة عدم الاتصال في [المثال 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation) *هي* مشتق — إذ إن عدم اتصالها تذبذب، وداربو يحتمله. والحدّ بين السلوكين هو بالضبط النتيجة أدناه في انعدام القفزات. **نتيجة 8.14.** ليس للمشتق أي عدم اتصال من نوع القفزة: فإذا وُجدت $f'(a^-)$ و $f'(a^+)$، فإنهما تساويان $f'(a)$. ونقاط عدم اتصال المشتق تكون دائمًا من نوع التذبذب (مشتق $x^2\sin\frac1x$ عند $0$، مجلد السنة الأولى). **برهان.** إذا وُجدت $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ واختلفت عن $f'(a)$، لتخطّت $f'$ القيم الواقعة تمامًا بينهما على جوار يميني — وهذا يناقض داربو على الفترات $\intcc{a}{a + h}$. (أو بديلًا: تفرض مبرهنة التزايدات المنتهية أن $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$، لأن نسبة الفرق قيمةٌ للمقدار $f'$ عند نقطة وسيطة.) والأمر نفسه على اليسار. ∎ **مثال 8.15 (المشتق المتذبذب القانوني).** لتكن $f(x) = x^2\sin\frac1x$ من أجل $x \neq 0$ و$f(0) = 0$. وعند $0$: $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$، ومن ثم فإن $f'(0) = 0$ موجود. وبعيدًا عن $0$، $$ f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x , $$ ويؤول حدّها الأول إلى $0$ في حين أن $\cos\frac1x$ يتذبذب عبر $\intcc{-1}{1}$ على كل فترة $\intoo{0}{\delta}$: فالنهاية $f'(0^+)$ غير موجودة. ومن ثم فإن $f'$ معرَّفة في كل مكان لكنها غير متصلة عند $0$ — وكما تتنبأ [النتيجة 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps) بالضبط، فإن عدم الاتصال تذبذب لا قفزة: إذ على كل $\intoo{0}{\delta}$، ما تزال $f'$ تمسح فترةً كاملةً حول $0$. فقد تكون المشتقات جامحة، لكن بالطريقة المتوافقة مع داربو فقط. **ملاحظة 8.16 (أين يُستعمَل هذا الفصل).** التحدب محرّك صناعة المتراجحات: فمسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل تصنع منه متراجحات يونغ وهولدر ومينكوفسكي وسلسلة المتوسطات القوية، وتستهلكها نظريةُ المعايير في [الفصل 5](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs) وتقديراتُ التكاملات في [الفصل 9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/9-integration#ch-b2-integration)؛ ويعود جنسن في الاحتمال بوصفه متراجحات العزوم في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar). ويعود انتظام الرتيبات في [الفصل 9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/9-integration#ch-b2-integration) (فالدوال الرتيبة قابلة للمكاملة)، وفي مجلد السنة الثالثة بوصفه قابلية اشتقاق الدوال الرتيبة في كل مكان تقريبًا — حيث يصير “عدد قابل للعد من القفزات” الخطوةَ الأولى في نظرية لوبيغ. ## 8.4 تمارين **تمرين 8.1 ★.** عيّن مجموعات نقاط عدم الاتصال وأحجام القفزات: $\lfloor x \rfloor$؛ و$\;x - \lfloor x\rfloor$؛ و$\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$؛ ودالة المثال الذي يلي [المبرهنة 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) مقصورةً على الأعداد الناطقة الثنائية $r_n$. **حل التمرين 8.1.** $\lfloor x\rfloor$: قفزات حجمها $1$ عند كل عدد صحيح. و$x - \lfloor x\rfloor$: قفزات حجمها $-1$ عند الأعداد الصحيحة (فالنهاية اليسرى $1$، والقيمة $0$). و$\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$: عند عدد صحيح $n$، النهاية اليسرى $(n - 1) + 1 = n$ والقيمة $n$: فهي *متصلة* في كل مكان (فالجذر التربيعي يصلح القفزة)، وإن لم تكن قابلة للاشتقاق عند الأعداد الصحيحة. ودالة القفزات الناطقة: بقصر الإنشاء على ترقيم للأعداد الثنائية، فإنها تقفز بمقدار $2^{-n}$ بالضبط عند العدد الثنائي رقم $n$ وتكون متصلة في ما عدا ذلك. **تمرين 8.2 ★.** برهن على أن الدالة المتزايدة $f \colon I \to \R$ ذات خاصية القيم الوسطى (أي إن صورة أي فترة جزئية بها فترة) تكون متصلة. **حل التمرين 8.2.** لنفترض أن $f$ المتزايدة غير متصلة عند نقطة داخلية $a$: عندئذٍ $f(a^-) < f(a^+)$ ([المبرهنة 8.1](#thm-b2-realfun-monotone)) وتفوت صورةَ $I$ الفترةُ [المفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) غير الخالية $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ إلا القيمة الواحدة $f(a)$ ربما: فصورة أي فترة جزئية تحتوي $a$ في داخلها ليست فترةً (ففيها فجوة على أحد جانبَي $f(a)$ على الأقل). وهذا يناقض خاصية القيم الوسطى. ويُستبعَد عدم الاتصال عند الطرفين بالطريقة نفسها بفجوات من جهة واحدة. **تمرين 8.3 ★.** أي مما يلي محدب على مجال تعريفه؟ $x \mapsto x\ln x$ (مع $x > 0$)؛ $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$؛ $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$؛ $\;x \mapsto x^3$. **حل التمرين 8.3.** $x\ln x$: المشتق الثاني $\frac1x > 0$: فهي محدبة. و$\ln(1 + \eu^x)$: المشتق $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$، وهو متزايد: فهي محدبة. و$\sqrt{1 + x^2}$: المشتق الثاني $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$: فهي محدبة. و$x^3$: ليست محدبة على $\R$ (إذ إن $f'' = 6x$ تغيّر إشارتها)؛ وهي محدبة على $\R_+$ فقط. **تمرين 8.4 ★★.** لتكن $f$ محدبة على $\R$ ومحدودة من أعلى. برهن على أن $f$ ثابتة. *(إذا كان $f(a) \neq f(b)$، فإن متراجحة الميول تنشر ميل الوتر غير المعدوم: فبعد النقطة ذات القيمة الأكبر، تنمو $f$ نموًا خطيًا على الأقل — وهذا يناقض كونها محدودة. وعالج إشارتَي الميل معًا.)* استنتج أن الدالة المحدبة على $\R$ ولها مقارب عند الطرفين تكون أفينية. **حل التمرين 8.4.** لنفترض $f(a) \neq f(b)$، وليكن مثلًا $f(b) > f(a)$ مع $a < b$ (والحالة $f(b) < f(a)$ متناظرة، بالنظر إلى اليسار). من أجل $x > b$، تعطي متراجحة الميول ([المبرهنة المساعدة 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) على $a < b < x$ أن $$ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty, $$ وهذا يناقض كونها محدودة من أعلى. ومنه فإن $f$ ثابتة. المقاربات: إذا كان $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ عند $+\infty$ و $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ عند $-\infty$، فإن الدالة المحدبة $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ محدودة من أعلى قرب $+\infty$؛ والتحدب مع وجود مقارب عند $-\infty$ (وهذا يفرض $\alpha' \leq \alpha$ ثم $\alpha' = \alpha$ بمقارنة الميول عند $\mp\infty$: فميول الدالة المحدبة تتزايد) يجعل $g$ محدودة من أعلى على $\R$ كلها، ومن ثم ثابتة، و$= 0$ في النهاية: أي إن $f$ أفينية. **تمرين 8.5 ★★.** لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على $I$ مع $f'$ رتيبة. برهن على أن $f'$ متصلة *(اجمع بين [المبرهنة 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) و [النتيجة 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps))*. **حل التمرين 8.5.** $f'$ رتيبة، ومن ثم فإن نقاط عدم اتصالها الممكنة الوحيدة، حسب [المبرهنة 8.1](#thm-b2-realfun-monotone)، قفزات، مع وجود النهايتين من جهة واحدة في كل مكان. وحسب [النتيجة 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps)، ليس للمشتق أي عدم اتصال من نوع القفزة. ومنه فليس للمقدار $f'$ أي نقطة عدم اتصال إطلاقًا: فهو [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity). **تمرين 8.6 ★★.** (المتوسط الهندسي بوصفه نهاية) من أجل أعداد موجبة $x_i$ وأوزان $\lambda_i$ مجموعها $1$، برهن على أن $$ \lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} , $$ عبر $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$، واستنتج متراجحة الحسابي والهندسي الموزونة من [المثال 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans). **حل التمرين 8.6.** نأخذ اللوغاريتمات: $$ \frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i , $$ باستعمال $\sum\lambda_i = 1$ و$\ln(1 + u) = u + O(u^2)$. وبأخذ الأسّي نحصل على المتوسط الهندسي. والآن من أجل كل $p \in \intoo{0}{1}$، تعطي متراجحة المتوسطات القوية ([المثال 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans)، بالأسّين $p < 1$) أن $$ \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ; $$ وبأخذ $p \to 0^+$ في الطرف الأيسر نجد $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$: وهي متراجحة الحسابي والهندسي الموزونة. **تمرين 8.7 ★★.** (متراجحة الإنتروبيا) باستعمال التحدب التام للدالة $t \mapsto t\ln t$، برهن على أنه من أجل أعداد موجبة $p_i, q_i$ مع $\sum p_i = \sum q_i = 1$: $$ \sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 , $$ مع المساواة إذا وفقط إذا $p = q$. *(اكتب الطرف الأيسر على صورة $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ مع $\varphi(t) = t\ln t$ ثم طبّق جنسن بالأوزان $q_i$.)* **حل التمرين 8.7.** مع $\varphi(t) = t\ln t$ (وهي محدبة: $\varphi'' = \frac1t > 0$) و أوزان $q_i$ عند النقاط $t_i = \frac{p_i}{q_i}$: $$ \sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 , $$ بجنسن (البند (3) في [المبرهنة 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg)). وتفرض المساواة في جنسن من أجل دالة محدبة *تمامًا* تطابقَ كل النقاط $t_i$: أي إن $\frac{p_i}{q_i}$ ثابت، وبالجمع يكون الثابت $1$: أي $p = q$. (وهذا المقدار — تباعد كولباك–لايبلر — يعود في عالم [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar).) **تمرين 8.8 ★★★.** (التحدب عند النقطة الوسطى) تكون $f \colon I \to \R$ *محدبة عند النقطة الوسطى* إذا كان $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ دائمًا. برهن على أن الدالة *المتصلة* المحدبة عند النقطة الوسطى تكون محدبة. *(أثبت متراجحة التحدب من أجل الأوزان الثنائية $\frac{k}{2^m}$ بالتراجع على $m$، ثم انتقل إلى النهاية مستعملًا الكثافة والاتصال.)* **حل التمرين 8.8.** *الأوزان الثنائية.* بالتراجع على $m$: فالحالة $m = 1$ هي الفرضية. ومن أجل الوزن $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (مع $k$ فردي)، نكتب $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ مع $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$، وكلاهما بمقام $2^m$ بعد الاختزال؛ عندئذٍ $$ f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y), $$ حيث $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ و$v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$، باستعمال التحدب عند النقطة الوسطى ثم فرضية التراجع على $u, v$. *الانتقال إلى النهاية.* من أجل $\lambda \in \intcc{0}{1}$ كيفي، نأخذ أعدادًا ثنائية $\lambda_n \to \lambda$: فيمرّر اتصال $f$ واتصال التطبيقات الأفينية المتراجحةَ $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ إلى النهاية: أي إن $f$ محدبة. **تمرين 8.9 ★★★.** لتكن $f$ محدبة على $\intco{0}{+\infty}$ مع $f(0) \leq 0$. برهن على أن $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ متزايدة على $\intoo{0}{+\infty}$، واستنتج أنه من أجل $f$ محدبة مع $f(0) = 0$: $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ من أجل $x, y \geq 0$ (فوق الجمعية). **حل التمرين 8.9.** من أجل $0 < x < y$: تعطي متراجحة الميول ([المبرهنة المساعدة 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) عند النقاط $0 < x < y$ أن $$ \frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{أي}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr). $$ وبما أن $f(0) \leq 0$ و$\frac1x - \frac1y > 0$، فإن الحدّ الأخير $\leq 0$: أي $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$. ومن ثم فإن $x \mapsto \frac{f(x)}x$ متزايدة. فوق الجمعية من أجل $f(0) = 0$: من أجل $x, y > 0$ (والحالات ذوات المتغير المعدوم بديهية)، $$ f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y}, $$ بالرتابة المبرهَن عليها للتوّ؛ وبالجمع نجد $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$. **تمرين 8.10 ★.** لتكن $f$ محدبة على $I$ ولتكن $g$ محدبة *متزايدة* على فترة تحتوي $f(I)$. برهن على أن $g \circ f$ محدبة، و بيّن بمثال مضاد أنه لا يمكن إسقاط رتابة $g$. **حل التمرين 8.10.** من أجل $x, y \in I$ و$\lambda \in \intcc01$: بتحدب $f$، ثم برتابة $g$، ثم بتحدب $g$: $$ g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)). $$ مثال مضاد بلا رتابة: $g(t) = -t$ محدبة (أفينية) لكنها متناقصة، و$f(x) = x^2$ محدبة، و$g \circ f = -x^2$ مقعرة تمامًا. **تمرين 8.11 ★★.** (هيرميت–هادامار) لتكن $f$ محدبة ومتصلة على $\intcc{a}{b}$. برهن على أن $$ f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} . $$ *(اليسار: كامِل مستقيمًا مساندًا عند النقطة الوسطى. واليمين: حُدّ $f$ بالوتر.)* **حل التمرين 8.11.** *المتراجحة اليسرى:* ليكن $m = \frac{a+b}2$ ونأخذ مستقيمًا مساندًا عند $m$ (البند (2) في [المبرهنة 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg)): $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ من أجل كل $t \in \intcc ab$. وبالمكاملة على $\intcc{a}{b}$: يعطي الحدّ الخطي بالمكاملة $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (بالتناظر حول $m$)، ومنه $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$. *المتراجحة اليمنى:* على $\intcc ab$، يحدّ التحدب $f$ بوترها: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$. وبالمكاملة: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$. ثم نقسم على $b - a$. **تمرين 8.12 ★★★.** برهن على أن الدالة المحدبة على فترة *[مفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology)* $I$ تكون ليبشيتزية محليًا: فمن أجل كل قطعة $\intcc{a}{b} \subseteq I$ وهامش $\delta > 0$ مع $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$، يكون مقصور $f$ على $\intcc{a}{b}$ [ليبشيتزيًا](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) بالثابت $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ *(احصر كل ميل وتر بين هذين بمتراجحة الميول)*. **حل التمرين 8.12.** لتكن $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$، وكلها في $I$. وبتطبيقين لمتراجحة الميول ([المبرهنة المساعدة 8.4](#lem-b2-realfun-slopes))، أولًا على $a - \delta < a \leq x < y$، ثم على $x < y \leq b < b + \delta$: $$ \frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta} $$ (فميول الأوتار تتزايد حين يتحرك الطرفان إلى اليمين). ومن ثم يكون كل ميل وتر داخل $\intcc ab$ محصورًا بين عددين ثابتين، ويكون $$ \abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr): $$ أي إن $f$ ليبشيتزية على $\intcc ab$. ولكل نقطة من المفتوح $I$ قطعة كهذه بهامش حولها: فهي ليبشيتزية محليًا، ومن ثم (مرة أخرى) متصلة على $I$. ## 8.5 مسألة: صندوق أدوات التحدب تعريف واحد — الوتر فوق المنحني — يولّد صندوق أدوات المتراجحات الكلاسيكية كله. وتبني مسألة نهاية الأسبوع هذه الصندوقَ بترتيب منطقي: محكّات التحدب وجنسن التام، ثم يونغ وهولدر ومينكوفسكي (وهي شهادات ميلاد المعايير $p$)، وسلسلة المتوسطات القوية كاملةً من الأصغر إلى الأكبر، وربحان تاجيان — متراجحة كارلمان، وهولدر مقروءًا بوصفه ثنوية. وكل شيء مبرهَن عليه؛ ولا شيء مستورد. **مسألة 8.1.** مسألة نهاية الأسبوع — يونغ وهولدر ومينكوفسكي، وسلسلة المتوسطات القوية في كل ما يلي، $p, q > 1$ *أسّان مترافقان*: $\frac1p + \frac1q = 1$؛ والمتجهات $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$؛ والأوزان $\lambda_i > 0$ تحقق $\sum_i\lambda_i = 1$. **الجزء الأول — المحكّات وجنسن التام.** 1. لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على فترة $I$ . برهن على أن $f$ محدبة إذا وفقط إذا كانت $f'$ متزايدة *(اتجاه بالانتقال إلى النهاية في متراجحة الميول [المبرهنة المساعدة 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)؛ والاتجاه الآخر بمبرهنة التزايدات المنتهية)* . واستنتج محك $C^2$ : $f'' \geq 0$ . 2. لنفترض $f''> 0$ على $I$ . برهن على أن $f$ *محدبة تمامًا* (بمتراجحة تامة من أجل $x \neq y$ و $\lambda \in \intoo01$ )، وأن الدالة المحدبة تمامًا تحقق متراجحة جنسن (البند (3) في [المبرهنة 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) ) بالمساواة *فقط* حين تتطابق كل القيم $x_i$ . 3. صدّق المواد الخام لصندوق الأدوات: $-\ln$ محدبة تمامًا على $\intoo{0}{+\infty}$ ؛ و $t \mapsto t^r$ محدبة تمامًا هناك من أجل $r > 1$ ومقعرة تمامًا من أجل $0 < r < 1$ ؛ و $\exp$ محدبة تمامًا على $\R$ . 4. (متراجحة يونغ) من أجل $a, b \geq 0$، برهن على أن $$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$$ مع المساواة إذا وفقط إذا $a^p = b^q$ *(طبّق تقعّر $\ln$ على النقطتين $a^p, b^q$ بالأوزان $\frac1p, \frac1q$)*. 5. أعد استنباط متراجحة الحسابي والهندسي الموزونة في سطر واحد من تقعّر $\ln$: $$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$$ مع حالة المساواة؛ وقارِن بطريق النهاية في [التمرين 8.6](#exo-b2-realfun-6). **الجزء الثاني — هولدر ومينكوفسكي.** نكتب $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ و $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$. 6. (هولدر) برهن على أن $$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$$ مع المساواة إذا وفقط إذا تناسبت المتجهتان $(\abs{a_i}^p)$ و $(\abs{b_i}^q)$ *(نظّم $\norm a_p = \norm b_q = 1$ وطبّق يونغ حدًّا حدًّا)*. 7. عيّن الحالات الخاصة: $p = q = 2$ (كوشي–شوارتز)، والزوج الحدّي $(p, q) = (1, \infty)$ : صُغ وبرهن على $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ . 8. (مينكوفسكي) من أجل $p \geq 1$، برهن على أن $$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$$ *(اكتب $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ وطبّق هولدر على كل جداء)*. واختم: $\norm\cdot_p$ [معيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) على $\R^n$ من أجل كل $p \in \intco{1}{+\infty}$، فيكتمل مشهد [الفصل 5](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs). 9. النسخ التكاملية: من أجل $f, g$ متصلتين على $\intcc{a}{b}$ ، صُغ وبرهن على هولدر ومينكوفسكي من أجل $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ *(بالبراهين نفسها، مع الإيجابية التامة للتكامل من أجل مناقشة المساواة)* . 10. برهن على الرتابة $\norm a_q \leq \norm a_p$ من أجل $1 \leq p \leq q$، وعلى النهاية $\norm a_p \to \norm a_\infty$ حين $p \to \infty$، وعلى المقارنة العكسية بالثابت الأمثل: $$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$$ *(هولدر في مقابل المتجهة الثابتة)*. وعيّن المتجهات المحققة لكل مساواة. 11. (الاستكمال) من أجل $1 \leq p < r < q$ و$\theta \in \intoo01$ مع $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$، برهن على أن $$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$$ *(طبّق هولدر بالأسّين $\frac{p}{\theta r}$ و$\frac{q}{(1-\theta)r}$ على $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$)*. **الجزء الثالث — سلسلة المتوسطات القوية، كاملةً.** من أجل $p \neq 0$ نضع $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ (مع $x_i > 0$)، و$M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$. 12. برهن على أن $p \mapsto M_p$ متزايد على $\R^*$ كله: وعالج $p < q < 0$ بمتطابقة المقلوب $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ ، وأنشئ الجسر عبر $0$ بأن تبيّن $M_p \leq M_0 \leq M_q$ من أجل $p < 0 < q$ *(طبّق تقعّر $\ln$ على $x_i^q$، والمتراجحة المعكوسة من أجل الأسس السالبة)* . 13. برهن على النهايتين $M_p \to \max_i x_i$ حين $p \to +\infty$ و $M_p \to \min_i x_i$ حين $p \to -\infty$ . 14. اكتب السلسلة $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ من أجل أوزان متساوية، وبرهن على النتيجة الكلاسيكية: من أجل أعداد موجبة $a_1, \dots, a_n$، $$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$$ 15. اربط المتوسطات بالمعايير: من أجل أوزان متساوية $\lambda_i = \frac1n$ ، $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . ووفّق بين الرتابتين — فالمتوسطات *تتزايد* مع $p$ في حين أن المعايير *تتناقص* (السؤال 10) — بجملة واحدة عن العامل $n^{-1/p}$ . 16. عيّن حالات المساواة على امتداد سلسلة السؤال 14 كلها (بأوزان موجبة): فالمساواة في أي موضع تفرض تساوي كل القيم $x_i$ — وهنا يؤتي التحدب التام ثماره. **الجزء الرابع — الأرباح.** 17. (يونغ بمقبض) من أجل $a, b \geq 0$ و$\varepsilon > 0$، برهن على أن $$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$$ وعلى الحالة العملية $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$: وهي حيلة الامتصاص المستعملة في التحليل كله. 18. (نحو كارلمان) لتكن $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$. برهن على المتطابقة التلسكوبية $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$، واستنتج، بتطبيق متراجحة الحسابي والهندسي على الأعداد $c_ka_k$، $$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$$ 19. (متراجحة كارلمان) اجمع على $n$، وبدّل ترتيب الجمع (فهي عائلات موجبة [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable)، [المبرهنة 7.14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini))، واستعمل $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ و$c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ لتختم: من أجل كل متسلسلة متقاربة $\sum a_k$ ذات حدود موجبة، $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$$ 20. من أجل $f$ متصلة وموجبة على $\intcc{0}{1}$، برهن على أن $$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$$ مع المساواة إذا وفقط إذا كانت $f$ ثابتة *(كوشي–شوارتز على $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$)*. 21. (هندسة الكرات) باستعمال حالة المساواة في مينكوفسكي، بيّن أنه من أجل $1 < p < \infty$ لا تحتوي الكرة الواحدية في $\norm\cdot_p$ أي قطعة ( [فالمعيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) محدب تمامًا بمعنى [المسألة 5.1](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#pb-b2-nvs-1) )، في حين أنها تحتويها من أجل $p = 1$ و $p = \infty$ : أبرِز القطع المستقيمة. **الجزء الخامس — الثنوية والتركيب.** 22. (هولدر بوصفه ثنوية) برهن على أنه من أجل كل $a \in \R^n$، $$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$$ مع إبراز $b$ معظِّمة صراحةً. ([فالمعيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $p$ هو ثنوي [المعيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $q$ — وهو البذرة المنتهية البعد لثنوية $L^p$.) 23. (العزوم) ليكن $X$ متغيرًا عشوائيًا يأخذ عددًا منتهيًا من القيم الموجبة $x_i$ باحتمالات $\lambda_i$ . أعد صياغة السؤال 12 هكذا: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ متزايد — وهي متراجحة العزوم (ليابونوف)، التي سيُعاد استعمالها في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar) . 24. حُلّ بأدوات مسمّاة، في سطرين لكل بند: (1) من أجل أعداد موجبة $a, b, c$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ؛ (2) من أجل أعداد موجبة $x_1, \dots, x_n$ : $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ . 25. (تركيب) ارسم شجرة النسب في خمس جمل: من تعريف الوتر إلى مبرهنة الميول المساعدة؛ ومن الميول إلى المستقيمات المساندة إلى جنسن؛ ومن تقعّر $\ln$ إلى يونغ إلى هولدر إلى مينكوفسكي إلى المعايير $p$ ؛ ومن جنسن إلى سلسلة المتوسطات القوية إلى العزوم؛ ومن متراجحة الحسابي والهندسي إلى كارلمان. وسمِّ القمتين (هولدر–مينكوفسكي؛ وكارلمان)، وقل إلى أين يتجه صندوق الأدوات: إلى فضاءات $L^p$ في مجلد السنة الثالثة، التي بديهياتها هي بالضبط السؤالان 6 و8. **حل المسألة 8.1.** **1.** *محدبة $\Rightarrow$ $f'$ متزايدة:* من أجل $a < b$، تعطي متراجحة الميول، من أجل $h > 0$ صغيرة، أن $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$؛ وبأخذ $h \to 0$: $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$. *وعكسيًا*، إذا كانت $f'$ متزايدة وكان $x < y < z$: فتعطي مبرهنة التزايدات المنتهية $c_1 \in \intoo{x}{y}$، $c_2 \in \intoo yz$ مع $$ \frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y}, $$ وتُعاد صياغة متراجحة الميول ذات النقاط الثلاث هذه، مطبَّقةً مع $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$، لتصير متراجحة التحدب. ومن أجل $C^2$: $f'' \geq 0$ إذا وفقط إذا كانت $f'$ متزايدة. **2.** إذا كان $f'' > 0$، تكون $f'$ متزايدة تمامًا، ويعطي حساب التزايدات المنتهية أعلاه متراجحة *تامة* بين ميلَي الوترين: أي التحدب التام. *والمساندة التامة:* عند نقطة داخلية $a$ بميل مساند $m$، إذا كان $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ من أجل $x_0 \neq a$ ما، فإن المستقيم المساند والوتر يتطابقان على القطعة من $a$ إلى $x_0$، ويعطي التحدب التام عند النقطة الوسطى أن $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$، وهذا يناقض متراجحة المساندة. ومنه $f(x) > f(a) + m(x - a)$ من أجل كل $x \neq a$. *وجنسن التام:* مع $a = \sum\lambda_ix_i$، يعطي أخذ متوسط متراجحات المساندة أن $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$، مع المساواة إذا وفقط إذا كان كل حدّ مساواةً، أي إذا وفقط إذا كان كل $x_i = a$. **3.** $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$؛ و$(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$، وهو موجب من أجل $r > 1$، وسالب من أجل $0 < r < 1$؛ و$\exp'' = \exp > 0$. وكلها تامة حسب السؤال 2. **4.** الحالتان $ab = 0$ بديهيتان. ومن أجل $a, b > 0$، يعطي تقعّر $\ln$ عند النقطتين $a^p, b^q$ بالأوزان $\frac1p, \frac1q$: $$ \ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab), $$ و$\ln$ متزايد: ومنه $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$. والمساواة إذا وفقط إذا تطابقت النقطتان (بالتقعر التام): أي $a^p = b^q$. **5.** تقعّر $\ln$ بالأوزان $\lambda_i$: $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$؛ ثم نأخذ الأسّي. والمساواة إذا وفقط إذا تساوت كل $x_i$ (السؤال 2). وقد حصل طريق [التمرين 8.6](#exo-b2-realfun-6) على المتراجحة نفسها بوصفها نهاية متوسطات قوية؛ وهي هنا تطبيق واحد لجنسن — ففي صندوق الأدوات فائضٌ مبني فيه. **6.** إذا كان $a = 0$ أو $b = 0$ فالمتراجحة بديهية. ولننظّم: بتعويض $a$ بالمقدار $a/\norm a_p$ و$b$ بالمقدار $b/\norm b_q$، يمكن أن نفترض $\norm a_p = \norm b_q = 1$ وأن نبيّن $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$. ويونغ حدًّا حدًّا: $$ \sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 . $$ والمساواة إذا وفقط إذا كانت كل متراجحة يونغ محكمة: أي $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ من أجل كل $i$ — وبإلغاء التنظيم، تكون $(\abs{a_i}^p)$ متناسبة مع $(\abs{b_i}^q)$. **7.** $p = q = 2$ هي كوشي–شوارتز بحالة المساواة نفسها (التناسب). والزوج الحدّي: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$، وهي مباشرة حدًّا حدًّا. **8.** من أجل $p = 1$ هي متراجحة المثلث حدًّا حدًّا. ومن أجل $p > 1$، مع $q$ مترافقين: $$ \norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i}, $$ وهولدر على كل مجموع، ملاحظين أن $(p - 1)q = p$: $$ \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p , $$ وكذلك مع $b$. ومنه $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$؛ فإذا كان $a + b \neq 0$، نقسم على $\norm{a+b}_p^{p/q}$ ونستعمل $p - \frac pq = 1$. ومع التجانسية والفصل (وهما واضحان)، يكون $\norm\cdot_p$ معيارًا على $\R^n$. **9.** من أجل $f, g$ متصلتين على $\intcc ab$: هولدر $$ \int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q} $$ بالتنظيم نفسه مع يونغ نقطيًا، ثم بالمكاملة؛ ومينكوفسكي $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ بالتقسيم نفسه، ثم هولدر على كل قطعة. ويستعمل فصلُ [المعيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) الإيجابيةَ التامة: فالدالة المتصلة $\abs f^p$ ذات التكامل المعدوم منعدمة تمامًا (مجلد السنة الأولى). **10.** *الرتابة:* يمكن أن نفترض $\norm a_p = 1$؛ عندئذٍ يكون كل $\abs{a_i} \leq 1$، ومنه $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ و$\norm a_q^q \leq 1$: أي $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$. وتقتضي المساواة أن $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ من أجل كل $i$، أي أن يكون كل $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$؛ ومع $\sum\abs{a_i}^p = 1$ يترك هذا إحداثية واحدة بالضبط طويلتها $1$: فالمساواة إذا وفقط إذا كان للمتجهة $a$ إحداثية غير معدومة واحدة على الأكثر. *والنهاية:* $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$، و$n^{1/p} \to 1$. *والمقارنة العكسية:* هولدر بالأسّين $\frac qp$ ومرافقه $\frac{q}{q-p}$، مطبَّقًا على $\abs{a_i}^p\cdot 1$: $$ \norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q}, $$ ومنه $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$، مع المساواة إذا وفقط إذا تساوت كل $\abs{a_i}$ (وهي حالة المساواة في هولدر في مقابل المتجهة الثابتة). **11.** نكتب $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ونطبّق هولدر بالأسّين المترافقين $\frac{p}{\theta r}$ و $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (وهما مترافقان بالضبط لأن $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$): $$ \norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} . $$ ثم نأخذ الجذور من الرتبة $r$: فالمعايير $p$ محدبة لوغاريتميًا في $\frac1p$. **12.** *كلاهما سالب:* إذا كان $p < q < 0$ فإن $0 < -q < -p$، و$M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ من أجل الأسّين الموجبين (وهي حالة الدرس، [المثال 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans)) مطبَّقةً على $y = (1/x_i)$؛ وقلب المتطابقة $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ يعكس المتراجحة فتصير $M_p(x) \leq M_q(x)$. *والجسر:* من أجل $q > 0$، يعطي تقعّر $\ln$ أن $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$؛ ومن أجل $p < 0$، يعطي التقعّر نفسه أن $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$، والقسمة على $p < 0$ تقلب: $\ln M_p \leq \ln M_0$. ومنه $M_p \leq M_0 \leq M_q$ كلما كان $p < 0 < q$: ومع الحالتين ذواتَي الإشارة نفسها، يكون $M$ متزايدًا على $\R^*$ كله (ومرورًا بالقيمة $0$). **13.** ليكن $x_{\max} = \max x_i$، وهو مبلوغ عند $i^*$. ومن أجل $p > 0$: $$ \lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max}, $$ و$\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$: ومنه $M_p \to x_{\max}$. ومن أجل $p \to -\infty$: $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$. **14.** مع $\lambda_i = \frac1n$، تُقرأ السلسلة $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ هكذا: $$ \min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max . $$ وتُعاد صياغة متراجحة الحسابي والتوافقي ($M_{-1} \leq M_1$) مباشرةً لتصير $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$. **15.** بأوزان متساوية، $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$. وحين يكبر $p$، يتناقص $\norm x_p$ (السؤال 10) لكن عامل التنظيم $n^{-1/p}$ يتزايد أسرع، ويتزايد الجداء (السؤال 12): فالمتوسطات تُعدِّل، والمعايير تُراكِم، و العامل $n^{-1/p}$ هو بالضبط سعر الصرف بين اصطلاحَي مسك الدفاتر. **16.** كل حلقة حالةٌ من جنسن التام (السؤال 2) بالدوال المحدبة أو المقعرة تمامًا في السؤال 3 ($t^{q/p}$، $\ln$)، ومن ثم تفرض المساواة عند أي حلقة تساوي كل القيم $x_i$؛ وكذلك يفرض $\min = M_p$ أو $M_p = \max$ تساوي كل القيم بالحدّ الأقصى المشترك. وتكون السلسلة تامة بمجرد اختلاف قيمتين $x_i$. **17.** نطبّق يونغ (السؤال 4) على الزوج $\varepsilon^{1/p}a$ و$\varepsilon^{-1/p}b$: $$ ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q . $$ ومن أجل $p = q = 2$، بتعويض $\varepsilon$ بالمقدار $2\varepsilon$: $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — وهي متراجحة الامتصاص: فيُستبدل بالجداء مضاعفٌ صغير لأحد المربعين مضافًا إليه مضاعف كبير للآخر. **18.** بالتلسكوب: $$ \prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n, $$ إذ يتلاشى كل عامل $(k+1)^k$ من البسط في مقابل الحدّ التالي في المقام. ومتراجحة الحسابي والهندسي على الأعداد $n$، أي $c_ka_k$: $$ (a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k . $$ **19.** بالجمع على $n$ وتبديل ترتيب الجمعين (وكل الحدود موجبة: [المبرهنة 7.14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini)): $$ \sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k}, $$ باستعمال التلسكوب $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$. وأخيرًا $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (وهي متتالية متزايدة نهايتها $\eu$، مجلد السنة الأولى): $$ \sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k : $$ وهي متراجحة كارلمان. (والثابت $\eu$ أمثل، وإن كنا لا نبرهن على ذلك.) **20.** كوشي–شوارتز (السؤال 9، مع $p = q = 2$) مطبَّقة على $\sqrt f$ و$\frac1{\sqrt f}$: $$ 1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr). $$ والمساواة إذا وفقط إذا تناسبت $\sqrt f$ و$\frac1{\sqrt f}$، أي إذا كانت $f^2$ ثابتة، أي إذا كانت $f$ ثابتة (لأن $f > 0$ متصلة). **21.** لتكن $1 < p < \infty$، $\norm a_p = \norm b_p = 1$، $a \neq b$، ولنفترض $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$، أي أن مينكوفسكي مساواة من أجل $a, b$. وبتتبع برهان السؤال 8، تفرض المساواة تحققَ المساواة في تطبيقَي هولدر وفي متراجحات المثلث حدًّا حدًّا: أي إن $(\abs{a_i}^p)$ و $(\abs{b_i}^p)$ متناسبتان مع $(\abs{a_i + b_i}^p)$، وأن $a_i, b_i$ لهما الإشارة نفسها — ومن ثم $b = ta$ من أجل $t \geq 0$ ما، ويعطي $\norm b_p = \norm a_p$ أن $t = 1$: أي $b = a$، وهو تناقض. ومن ثم فإن الكرة الواحدية في $p$ لا تحتوي أي نقطة وسطى لنقطتين مختلفتين منها: أي لا قطعة فيها. ومن أجل $p = \infty$ في $\R^2$: تقع كل المتجهات $(1, t)$، مع $\abs t \leq 1$، على الكرة الواحدية — وهي حافة مستقيمة؛ ومن أجل $p = 1$: فالقطعة $(t, 1 - t)$، مع $t \in \intcc01$، كذلك. **22.** من أجل $a = 0$ ينعدم الطرفان. وإلا فإن هولدر يحدّ كل $\sum a_ib_i$ بالمقدار $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$. والبلوغ: نأخذ $$ b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p , $$ باستعمال $(p-1)q = p$ و$p - \frac pq = 1$. ومن ثم فالنهاية العليا أعظمية، وتساوي $\norm a_p$: أي إن كل [معيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $p$ هو [المعيار](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) [الثنوي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-dual) لمرافقه — وهو بذرة ثنوية $L^p$–$L^q$. **23.** $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$، ومنه $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$، وهو متزايد في $r$ حسب السؤال 12 (ومرورًا بالقيمة $r \to 0, \pm\infty$ حسب السؤالين 12–13): وهي متراجحة العزوم عند ليابونوف، وهي قول محض عن المتوسطات القوية الموزونة. وتعود من أجل متغيرات عشوائية حقيقية في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar). **24.** (1) المتوسطات القوية $M_1 \leq M_3$ بأوزان متساوية: $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$؛ ثم نكعّب ونضرب في $3$: $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$. (2) كوشي–شوارتز في مقابل المتجهة الثابتة: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$؛ ثم نربّع. **25.** يعطي تعريف الوتر مبرهنةَ الميول المساعدة بإعادة صياغة جبرية واحدة؛ وتُنتج الميول المحصورة عند نقطة مشتقين من جهة واحدة ومستقيمات مساندة، ومتوسطها الموزون هو جنسن. وبتطبيقه على $-\ln$، يصير جنسن يونغ، الذي يصير هولدر بالجمع في مقابل متجهات منظَّمة، والذي يصير مينكوفسكي بالتقسيم وإعادة الامتصاص — وتولد المعايير $p$ في [الفصل 5](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs)، بثنويتها (السؤال 22) وهندستها (السؤال 21). ويسلسل جنسن، مطبَّقًا على سلّم القوى، كل المتوسطات من $\min$ إلى $\max$ (الأسئلة 12–14)، وهذا مقروءًا على المتغيرات العشوائية هو متراجحة العزوم (السؤال 23). وتعطي متراجحة الحسابي والهندسي، موزونةً بحيلة تلسكوب واحدة، حدَّ كارلمان بثابته غير القابل للاختزال $\eu$ (السؤالان 18–19). والقمتان: هولدر–مينكوفسكي، وكارلمان. والوجهة: فضاءات $L^p$ في مجلد السنة الثالثة، وبديهياتها التأسيسية هي بالضبط السؤالان 6 و8 بتكاملات بدل المجاميع.