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title: "Series de potencias"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias
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# Capítulo 11 — Series de potencias

Las series de potencias son las series de funciones que mejor se portan de toda la matemática: dentro de su disco de convergencia convergen [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) sobre los [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact), pueden derivarse e integrarse término a término sin pensárselo dos veces, y sus sumas —las *[funciones analíticas](#def-b2-powerseries-analytic)*— quedan determinadas por sus coeficientes. Este capítulo demuestra ese paquete completo y recupera honestamente todos los desarrollos de Taylor del volumen del primer año; las [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) lo cierran con dividendos algebraicos.

## 11.1 Radio de convergencia

**Lema 11.1 (Abel).**

Si la sucesión $(a_n z_0^n)$ está acotada para algún $z_0 \neq 0$, entonces $\sum a_n z^n$ converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) para todo $\abs z <
\abs {z_0}$, y [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) sobre cada disco $\abs z \leq r <
\abs{z_0}$.

**Demostración.** Con $\abs{a_n z_0^n} \leq M$ y $\abs z \leq r$:

$$
\abs{a_n z^n} = \abs{a_n z_0^n}\,\Bigl|\frac{z}{z_0}\Bigr|^n
\leq M\Bigl(\frac{r}{\abs{z_0}}\Bigr)^{\!n},
$$

una cota geométrica convergente y uniforme sobre el disco. ∎

**Definición 11.2 (Radio de convergencia).**

El *radio de convergencia* de $\sum a_n z^n$ es

$$
R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ está acotada}\} \in
\intcc{0}{+\infty} .
$$

Por el [Lema 11.1](#lem-b2-powerseries-abel): convergencia absoluta para $\abs z < R$ (normal sobre subdiscos [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact)) y divergencia —de hecho, términos no acotados— para $\abs z > R$. Sobre la circunferencia frontera puede ocurrir cualquier cosa ([Ejercicio 11.2](#exo-b2-powerseries-2)). En la práctica, $R$ se calcula con el criterio del cociente de d’Alembert sobre $\abs{a_n}\abs z^n$ o por comparación.

**Ejemplo 11.3 (Un radio sin criterio del cociente).**

¿Cuál es el radio de $\sum \sin(n)\,z^n$? El cociente $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ no tiene límite, pero la definición funciona directamente. *$R \geq 1$:* $\abs{\sin n} \leq 1$, luego $(\sin n\cdot r^n)$ está acotada para todo $r < 1$ —de hecho, para $r = 1$—. *$R \leq 1$:* basta con que $\sin n
\not\to 0$. Supongamos $\sin n \to 0$; la fórmula de adición

$$
\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1
$$

forzaría $\cos n \to 0$ (despejando $\cos n$, pues $\sin 1 \neq
0$), en contra de $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$. Así pues, los términos $\sin(n)\,1^n$ no tienden a $0$: la serie diverge en $z = 1$ y $R
\leq 1$. Conclusión: $R = 1$. Moraleja: el radio es un enunciado sobre la acotación de $\abs{a_n}r^n$; nunca hace falta ningún límite de cocientes, y los argumentos de acotación zanjan casos que el criterio del cociente ni siquiera toca (compárese con los coeficientes oscilantes del [Ejercicio 11.1](#exo-b2-powerseries-1)).

**Proposición 11.4 (Operaciones).**

Sean $\sum a_nz^n$ y $\sum b_nz^n$ de radios $R_a, R_b$. Entonces, para $\abs z < \min(R_a, R_b)$,

$$
\sum (a_n + b_n)z^n = \sum a_nz^n + \sum b_nz^n,
\qquad
\Bigl(\sum a_nz^n\Bigr)\Bigl(\sum b_nz^n\Bigr) = \sum c_n z^n,
\quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_kb_{n-k},
$$

y ambas series tienen radio $\geq \min(R_a, R_b)$. (El producto es el [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini), legítimo por la convergencia absoluta y el [Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini).)

**Demostración.** La fórmula de la suma es la linealidad de las series convergentes, y $(a_n + b_n)r^n$ está acotada siempre que lo estén $a_nr^n$ y $b_nr^n$: radio $\geq \min(R_a, R_b)$. Para el producto, fijemos $\abs z < \min(R_a, R_b)$: ambas series convergen allí *[absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def)* ([Lema 11.1](#lem-b2-powerseries-abel)), de modo que la familia doblemente indexada $(a_kz^k\,b_lz^l)_{k,l}$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) y el [Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) autoriza cualquier agrupación. Agrupando por $k + l = n$:

$$
\Bigl(\sum_k a_kz^k\Bigr)\Bigl(\sum_l b_lz^l\Bigr)
= \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k+l=n}a_kb_l\Bigr)z^n
= \sum_{n\geq0}c_nz^n ,
$$

[absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente para todo $z$ así: la serie producto tiene también radio $\geq \min(R_a, R_b)$. ∎

**Ejemplo 11.5 (Un cuadrado de Cauchy, contrastado).**

Elevemos al cuadrado la serie geométrica: para $\abs x < 1$, el coeficiente de $x^n$ en $\bigl(\sum x^k\bigr)^2$ es $c_n =
\sum_{k+l=n} 1\cdot1 = n + 1$, luego

$$
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n\geq0}(n+1)\,x^n .
$$

Contraste por derivación término a término ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus) de más abajo): derivando $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ resulta $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum
nx^{n-1} = \sum(n+1)x^n$; la misma serie por dos mecanismos sin relación. Moraleja: cuando una identidad entre coeficientes parece misteriosa, uno de estos dos motores (convolución o derivación) suele producirla en una línea; la pregunta del problema de fin de semana sobre $\sum\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n$ hace funcionar el motor de la convolución a plena potencia.

**Ejemplo 11.6 (Multiplicar por 11−x\frac{1}{1-x}1−x1​ suma los coeficientes).**

Un [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) contra la serie geométrica tiene un significado memorable: para toda $\sum a_nx^n$ de radio $R > 0$ y $\abs x < \min(R, 1)$,

$$
\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n
= \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :
$$

multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ sustituye los coeficientes por sus sumas parciales (convolución con la sucesión de unos). Ejemplo: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ con $s_n = \sum_{k\leq
n}\frac{1}{k!}$, las sumas parciales de $\eu$; compárese con el [Ejercicio 11.11](#exo-b2-powerseries-11), donde el mismo producto con $\eu^{-x}$ codifica los recuentos de desarreglos. Moraleja: las operaciones sobre series de potencias son operaciones sobre sucesiones de coeficientes disfrazadas (multiplicar por $\frac1{1-x}$: sumar; multiplicar por $x$: desplazar; derivar: multiplicar por $n$ y desplazar), un diccionario que el capítulo de [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) leerá con soltura.

## 11.2 Regularidad de la suma

**Teorema 11.7 (Cálculo término a término).**

Sea $f(x) = \sum_{n\geq0} a_n x^n$ de radio $R > 0$ (variable real $x \in \intoo{-R}{R}$).

1. La serie derivada $\sum n\,a_n x^{n-1}$ tiene el *mismo* radio $R$, y $f$ es de clase $C^1$ con $f'(x) =  \sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$. Iterando, $f$ es $C^\infty$ y $$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} :$$ los coeficientes de una serie de potencias son únicos (dos series con la misma suma cerca de $0$ tienen los mismos coeficientes).
2. Primitiva término a término: $\sum \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ tiene radio $R$ y derivada $f$ .

**Demostración.** *Mismo radio:* si $(a_nr^n)$ está acotada y $r' < r$, entonces $n\abs{a_n} r'^{\,n-1} = \frac{n}{r'}\abs{a_nr^n}
\bigl(\frac{r'}{r}\bigr)^n$ está acotada (de hecho, $\to 0$: lo geométrico gana a $n$), luego $R' \geq R$; recíprocamente, $\abs{a_n
x^n} \leq \abs x \cdot n\abs{a_n}\abs x^{n-1}$ da $R \geq R'$.

*Derivación:* sobre $\intcc{-r}{r}$ con $r < R$, la serie derivada converge [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) ($n\abs{a_n}r^{n-1}$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) por el cálculo del radio); la original converge en $x = 0$: el teorema de derivación para series ([Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-seriestransfer)) se aplica sobre cada segmento así y, por tanto, sobre $\intoo{-R}{R}$. Iterando $k$ veces y evaluando en $0$: explícitamente, la serie derivada $k$-ésima es

$$
f^{(k)}(x) = \sum_{n\geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\,a_n\,x^{n-k},
$$

y en $x = 0$ se anula todo término con $n > k$, quedando solo el término constante $k(k-1)\cdots1\cdot a_k$: $f^{(k)}(0) =
k!\,a_k$. De ahí se sigue la unicidad de los coeficientes: dos series de potencias con la misma suma cerca de $0$ tienen las mismas derivadas en $0$ y, por tanto, los mismos $a_k$. Primitivas: mismo radio por el mismo cálculo, y se deriva término a término de vuelta. ∎

**Ejemplo 11.8 (Evaluar una serie en un punto).**

¿Cuánto vale $\sum_{n\geq1}\dfrac{n^2}{2^n}$? Es la suma $\sum
n^2x^n$ del [Ejercicio 11.3](#exo-b2-powerseries-3) evaluada *dentro* del disco, en $x = \frac12 < 1 = R$, donde toda manipulación empleada para deducir la forma cerrada era legítima:

$$
\sum_{n\geq1} n^2x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}
\quad\Longrightarrow\quad
\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n}
= \frac{\frac12\cdot\frac32}{(\frac12)^3}
= \frac{3/4}{1/8} = 6 .
$$

Mismo motor, otros mandos: $x = \frac13$ da $\sum\frac{n^2}{3^n} =
\frac{\frac13\cdot\frac43}{(2/3)^3} = \frac32$. Moraleja: una identidad entre series de potencias es una máquina y no una sola fórmula; una única deducción tarifa de golpe todas las series numéricas $\sum n^2q^n$ para todo $\abs q < 1$, y así es como el capítulo de [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) calculará esperanzas y varianzas al por mayor.

**Ejemplo 11.9 (Los clásicos, esta vez honestamente).**

$\displaystyle\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ($R = 1$); integrando término a término ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus) (2)):

$$
-\ln(1 - x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^n}{n},
\qquad
\arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}
\quad (\abs x < 1),
$$

la segunda en dos pasos: sustitúyase $-x^2$ en la serie geométrica para obtener $\frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (de radio $1$, ya que $\abs{x^2} < 1 \iff \abs x < 1$) y tómese después la primitiva término a término que se anula en $0$; ambos miembros son primitivas de la misma función con el mismo valor en $0$ y, por tanto, son iguales sobre $\intoo{-1}{1}$. Y $\exp$: la serie $E(x) = \sum
\frac{x^n}{n!}$ ($R = \infty$) cumple $E' = E$ y $E(0) = 1$ por derivación término a término, luego $E = \exp$ por la unicidad del primer año. Todo “desarrollo estándar” del volumen del primer año es ya un teorema sobre su serie de potencias completa.

**Ejemplo 11.10 (Un logaritmo calculado desde dentro del disco).**

Evaluando $-\ln(1-x) = \sum\frac{x^n}{n}$ en el punto interior $x =
\frac12$:

$$
\sum_{n\geq1}\frac{1}{n\,2^n} = \ln 2 ,
$$

una representación de $\ln 2$ de convergencia rápida (diez términos dan ya $0.69306\ldots$ frente a $\ln 2 = 0.69314\ldots$), mucho mejor que la serie alternada $1 - \frac12 + \frac13 - \dots$, disponible solo en la frontera. Moraleja: siempre que una constante sea alcanzable tanto en el borde como estrictamente dentro del disco, gana numéricamente el interior: decrecimiento geométrico contra decrecimiento armónico.

**Ejemplo 11.11 (La derivación conserva el radio, no la frontera).**

La serie $\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n^2}$ tiene radio $1$ y converge en *ambos* extremos ($\sum\frac1{n^2}$ y su gemela alternada). Su serie derivada,

$$
\sum_{n\geq1}\frac{x^{n-1}}{n} ,
$$

tiene el mismo radio $1$ —como garantiza el [Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)—, pero ahora diverge en $x = 1$ (serie armónica) mientras que sigue convergiendo en $x = -1$ (alternada). Una derivación más da $\sum_{n\geq2}\frac{n-1}{n}
x^{n-2}$, divergente en ambos extremos (los términos no tienden a $0$). Moraleja: cada derivación multiplica los coeficientes por $n$, lo que nunca mueve el radio (lo geométrico gana a lo polinómico) pero se come un orden de decrecimiento en la frontera; el cálculo término a término es un deporte de interior, y lo que ocurra en el borde ha de reexaminarse: la teoría de Abel–Tauber del problema de fin de semana es exactamente ese reexamen.

**Ejemplo 11.12 (Separar una serie por restos —hasta el final).**

Calculemos $f(x) = \sum_{n\geq0} \dfrac{x^{4n}}{(4n)!}$ en forma cerrada. Tanto $\cosh x = \sum \frac{x^{2m}}{(2m)!}$ como $\cos x =
\sum \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}$ tienen radio $\infty$, de modo que su media puede calcularse término a término:

$$
\frac{\cosh x + \cos x}{2}
= \sum_{m\geq0}\frac{1 + (-1)^m}{2}\,\frac{x^{2m}}{(2m)!}
= \sum_{m \text{ par}}\frac{x^{2m}}{(2m)!}
= \sum_{n\geq0}\frac{x^{4n}}{(4n)!} = f(x) .
$$

El filtro $\frac{1+(-1)^m}{2}$ retiene exactamente los $m$ pares: este es el avatar real del filtro por raíces de la unidad (la versión compleja, con $\iu^n$, extrae los restos módulo $4$ de un golpe). Comprobación final: $f$ resuelve $f'''' = f$ con $f(0) = 1$ y $f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$ —derívese la serie cuatro veces ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)) y véase cómo se reproduce—; y $\frac{\cosh + \cos}{2}$ satisface los mismos datos.

**Definición 11.13 (Funciones analíticas).**

$f$ es *analítica* en $x_0$ cuando es la suma de una serie de potencias en $(x - x_0)$ sobre un entorno; y sobre un intervalo, cuando lo es en todo punto. Las sumas de series de potencias son analíticas dentro de su disco (por reordenación del desarrollo, admitida a este nivel para el recentrado; el caso $x_0 =
0$ es el [Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)). Analítica implica $C^\infty$; el recíproco *falla*: la función plana $\eu^{-1/x^2}$ ([Ejercicio 11.7](#exo-b2-powerseries-7)).

**Ejemplo 11.14 (Recentrar, y el radio como distancia).**

Desarrollemos $f(x) = \frac{1}{1-x}$ alrededor de $x_0 = \frac12$: escribiendo $x = \frac12 + h$,

$$
\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h}
= \frac{2}{1 - 2h}
= \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n
= \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},
$$

válido para $\abs{2h} < 1$, es decir, $\abs{x - \frac12} <
\frac12$. El nuevo radio es exactamente la distancia del nuevo centro a la singularidad $x = 1$: recentrar encoge (o agranda) el disco hasta ajustarlo a la obstrucción más próxima. Moraleja: esta es la imagen que hay tras la definición de analiticidad —una función, muchas series de potencias locales, cada una viviendo en el mayor disco que evita el problema—; el volumen del tercer año convierte la heurística “radio $=$ distancia a la singularidad compleja más próxima” en un teorema.

**Observación 11.15 (Errores frecuentes).**

*(i) El criterio del cociente es suficiente, no necesario:* cuando $\abs{a_{n+1}/a_n}$ no tiene límite ([Ejemplo 11.3](#ex-b2-powerseries-sinn), [Ejercicio 11.1](#exo-b2-powerseries-1)), hay que volver a la definición: $R = \sup\{r : (a_nr^n)$ acotada$\}$. *(ii) Nada cruza la frontera gratis:* la derivación y la integración término a término son teoremas *dentro* del disco [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology); en $\abs x = R$, cada serie ha de reexaminarse (ese es todo el tema del problema de fin de semana). *(iii) Radio de una suma:* $\min(R_a, R_b)$ es solo una cota inferior, pues las cancelaciones pueden agrandarlo ($a_n = 1$, $b_n = -1$: suma idénticamente $0$, radio $\infty$). *(iv) $C^\infty$ no es [analítica](#def-b2-powerseries-analytic):* una serie de Taylor convergente puede converger a la función *equivocada* ([Ejercicio 11.7](#exo-b2-powerseries-7)); antes de escribir $f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ hay que demostrarlo, vía una ecuación diferencial ([Método 11.17](#met-b2-powerseries-ode)), una estimación del resto o una fórmula integral.

**Observación 11.16 (Dónde se usa).**

Las series de potencias son el caballo de batalla de tres capítulos posteriores: el de ecuaciones diferenciales resuelve ecuaciones lineales inyectando $\sum a_nx^n$ (el recuadro de método de más abajo, industrializado); el de [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) convierte identidades sobre probabilidades en identidades sobre series de potencias y viceversa; y el volumen del tercer año oficializa la variable compleja, donde la analiticidad pasa a ser equivalente a la derivabilidad compleja y el “recentrado admitido” de más arriba recibe su demostración honesta. El problema de fin de semana explora el único lugar donde los teoremas de este capítulo callan: la propia frontera $\abs x = R$.

**Método 11.17 (Desarrollar mediante una ecuación diferencial).**

Para desarrollar una función $f$ en serie de potencias: hállese una ecuación diferencial lineal con coeficientes polinómicos que satisfaga $f$; inyéctese $\sum a_nx^n$; identifíquense coeficientes para obtener una recurrencia sobre $(a_n)$; resuélvase y compruébense el radio y las condiciones iniciales. Ejemplo —la serie binomial—: $f(x) = (1+x)^\alpha$ satisface $(1+x)f' = \alpha
f$ con $f(0) = 1$; al inyectar resulta $(n+1)a_{n+1} = (\alpha -
n)a_n$, luego $a_n = \binom{\alpha}{n}$, con radio $1$ (criterio del cociente), y la suma, que satisface la misma ecuación con el mismo valor inicial, vale $(1 + x)^\alpha$ por el teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales lineales (volumen del primer año).

**Ejemplo 11.18 (El método sobre una ecuación con término forzante).**

Resolvamos $y' = y + x$, $y(0) = 0$, por series de potencias. Inyectando $y = \sum a_nx^n$:

$$
\sum_{n\geq0}(n+1)a_{n+1}x^n
= \sum_{n\geq0}a_nx^n + x ,
$$

e identificando coeficientes: $a_1 = a_0 = 0$, $2a_2 = a_1 + 1 = 1$ y $(n+1)a_{n+1} = a_n$ para $n \geq 2$. Así pues, $a_2 =
\frac{1}{2!}$ y, por inducción, $a_n = \frac{1}{n!}$ para todo $n
\geq 2$: radio $\infty$, y

$$
y(x) = \sum_{n\geq2}\frac{x^n}{n!} = \eu^x - 1 - x .
$$

Comprobación: $y' = \eu^x - 1 = y + x$ y $y(0) = 0$. Moraleja: la recurrencia *es* la ecuación, coeficiente a coeficiente; el término forzante solo perturba un número finito de coeficientes iniciales, tras los cuales toma el relevo el patrón homogéneo: una sombra discreta de “solución particular más solución homogénea”.

## 11.3 Funciones generatrices

**Ejemplo 11.19 (Fibonacci).**

Sea $F(x) = \sum_{n\geq0} F_n x^n$ (números de Fibonacci, con $F_0 =
0$ y $F_1 = 1$). La recurrencia $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ se traduce, multiplicando por $x^{n+2}$ y sumando, en

$$
F(x) - x = x\,F(x) + x^2 F(x)
\quad\Longrightarrow\quad
F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} ,
$$

válido donde la serie converge. El radio es $\frac{1}{\varphi}$: de $F_n \sim \frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ (Binet, ejemplo siguiente; o bien la inducción tosca $F_n \leq 2^n$ más la recurrencia), el criterio del cociente da

$$
\frac{F_{n+1}\abs x^{n+1}}{F_n\abs x^n}
\longrightarrow \varphi\abs x ,
\qquad\text{convergencia si y solo si } \abs x < \frac1\varphi
\approx 0.618 .
$$

La descomposición en fracciones simples de $\frac{x}{1 - x - x^2}$ y la serie geométrica vuelven a deducir la fórmula de Binet: las [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) industrializan las recurrencias lineales.

**Ejemplo 11.20 (La fórmula de Binet, ejecutada).**

Sean $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ y $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$, las raíces de $X^2 = X + 1$; como $\varphi + \psi = 1$ y $\varphi\psi = -1$,

$$
1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .
$$

Fracciones simples: buscando $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} =
\frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$, el término constante da $A + B = 0$ y el coeficiente en $x$ da $-A\psi -
B\varphi = 1$, luego $A(\varphi - \psi) = 1$: $A =
\frac{1}{\sqrt5} = -B$. Dos series geométricas después,

$$
F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0}
\bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n
\quad\Longrightarrow\quad
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}
$$

por la unicidad de los coeficientes ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)). Como $\abs\psi < 1$, el término $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ tiene valor absoluto $< \frac12$: $F_n$ es el *entero más próximo* a $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$. Moraleja: el radio $\frac1\varphi$ de $F$ es el inverso de la raíz dominante; el crecimiento de los coeficientes y el [radio de convergencia](#def-b2-powerseries-radius) son la misma información leída en direcciones opuestas.

**Ejemplo 11.21 (Números de Catalan).**

Los [números de Catalan](#ex-b2-powerseries-catalan) $C_n$ (número de triangulaciones, de formas de poner paréntesis, de caminos de Dyck, …) cumplen $C_0
= 1$ y $C_{n+1} = \sum_{k=0}^n C_kC_{n-k}$. La [función generatriz](#ex-b2-powerseries-fibonacci) $C(x) = \sum C_nx^n$ satisface entonces (¡[producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini)!)

$$
C(x) = 1 + x\,C(x)^2
\quad\Longrightarrow\quad
C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} ,
$$

eligiendo la raíz con $C(0) = 1$: resolver la cuadrática $xC^2 - C +
1 = 0$ da los dos candidatos $\frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}$ y, cuando $x \to 0$, la raíz con “$+$” explota como $\frac1x$ mientras que la de “$-$” tiende a $1$ (desarróllese $\sqrt{1-4x} =
1 - 2x + O(x^2)$): solo el signo menos puede llevar una serie de potencias con $C_0 = 1$. Desarrollando $\sqrt{1 - 4x}$ con la serie binomial se obtiene la forma cerrada

$$
C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} ,
$$

ejecutada en el [Ejercicio 11.8](#exo-b2-powerseries-8).

**Observación 11.22 (Series formales frente a series convergentes).**

Todo cálculo con [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) de más arriba termina invocando la unicidad de los coeficientes, y ese teorema vive *dentro* de un disco de radio positivo: antes de “leer” $F_n$ o $C_n$ hay que saber que $R > 0$. Basta una cota tosca a priori: $F_n \leq 2^n$ (inducción inmediata) da $R \geq \frac12$ para Fibonacci; $C_n \leq 4^n$ (cada [número de Catalan](#ex-b2-powerseries-catalan) cuenta subconjuntos de caminos) da $R \geq \frac14$. Cuidado con el extremo degenerado de la escala: $\sum n!\,x^n$ tiene radio $0$, y manipularla como una función carece de sentido; las identidades que involucran series así pertenecen al cálculo *formal* de coeficientes, un juego puramente algebraico con sus propias reglas (distintas). A este nivel: asegúrese siempre primero un radio positivo y calcúlese después con libertad dentro de él.

**Observación 11.23 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Las series de potencias son una de las dos grandes máquinas de desarrollo del libro; la otra son las series de Fourier de los capítulos armónicos, y compararlas resulta instructivo. Una serie de potencias es rígida: sus coeficientes están forzados ($a_n =
f^{(n)}(0)/n!$), su convergencia es implacable (normal dentro, imposible fuera) y su suma es [analítica](#def-b2-powerseries-analytic), es decir, infinitamente rígida ([Definición 11.13](#def-b2-powerseries-analytic)). Una serie de Fourier es flexible: representa incluso señales meramente suaves a trozos, al precio de delicadas cuestiones de convergencia en la frontera de la suavidad. Las dos teorías se encuentran en el problema de fin de semana de este capítulo: la sumación de Cesàro y la [sumación de Abel](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-abel), desarrolladas aquí para la circunferencia frontera, regresan en el capítulo de Fourier como los núcleos de Fejér y de Poisson. Entretanto, el capítulo de ecuaciones diferenciales consume series de potencias directamente ($\eu^{tA}$, soluciones en serie), y el de [funciones generatrices](#ex-b2-powerseries-fibonacci) convierte el truco del [Ejemplo 11.19](#ex-b2-powerseries-fibonacci) en un cálculo sistemático para probabilidades.

## 11.4 Ejercicios

**Ejercicio 11.1 ★.**

[Radios de convergencia](#def-b2-powerseries-radius): $\sum \dfrac{n^2}{2^n}z^n$; $\;\sum
\dfrac{z^n}{\binom{2n}{n}}$; $\;\sum z^{n!}$; $\;\sum \bigl(2 +
(-1)^n\bigr)^n z^n$.

**Solución de Ejercicio 11.1.**

$\sum \frac{n^2}{2^n}z^n$: cociente $\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot
\frac{2^n}{n^2} \to \frac12$: $R = 2$.

$\sum \frac{z^n}{\binom{2n}{n}}$: $\binom{2n}{n} \sim
\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ([Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial)), de modo que $\abs{a_n}^{-1} \approx 4^n$ salvo factores polinómicos: $R = 4$ (criterio del cociente: $\frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2n+2}{n+1}} =
\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \to \frac14$).

$\sum z^{n!}$: coeficientes $a_k = 1$ si $k = n!$ y $0$ en otro caso. Para $\abs z < 1$, $\sum \abs z^{n!}$ converge (dominada por una geométrica); y para $\abs z \geq 1$ los términos no tienden a $0$: $R = 1$.

$\sum (2 + (-1)^n)^n z^n$: coeficientes $3^n$ ($n$ par) y $1$ ($n$ impar). La acotación de $a_nr^n$ exige $3r \leq 1$; y todo $r <
\frac13$ funciona: $R = \frac13$.

**Ejercicio 11.2 ★.**

Prueba que $\sum z^n$, $\sum \frac{z^n}{n}$ y $\sum
\frac{z^n}{n^2}$ tienen todas radio $1$ pero se comportan de manera distinta en $z = 1$ y $z = -1$: divergencia/divergencia, divergencia/convergencia, convergencia/convergencia.

**Solución de Ejercicio 11.2.**

Las tres tienen radio $1$ (criterio del cociente). En $z = 1$: $\sum
1$ diverge; $\sum\frac1n$ diverge; $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. En $z = -1$: $\sum(-1)^n$ diverge; $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge (alternada); $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ converge ([absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def)). El comportamiento en la frontera es invisible para el radio.

**Ejercicio 11.3 ★.**

Calcula las sumas, para $\abs x < 1$:

$$
\sum_{n\geq0} n x^n,
\qquad
\sum_{n\geq0} n^2 x^n,
\qquad
\sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} .
$$

**Solución de Ejercicio 11.3.**

De $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$, derivando y multiplicando por $x$ ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)):

$$
\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} .
$$

Derivando una vez más y multiplicando de nuevo por $x$:

$$
\sum n^2 x^n = x\,\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(\frac{x}{(1-x)^2}\Bigr)
= \frac{x(1 + x)}{(1-x)^3} .
$$

Tercera suma: es la parte impar de $-\ln(1 - x)$:

$$
\sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
= \frac{-\ln(1-x) + \ln(1+x)}{2}
= \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}
= \operatorname{artanh} x .
$$

**Ejercicio 11.4 ★★.**

Desarrolla en serie de potencias en $0$, con su radio: $\dfrac{1}{(1-x)(2-x)}$ (fracciones simples); $\;\ln(1 + x + x^2)$ *(escribe $1 + x + x^2 = \frac{1 - x^3}{1 - x}$)*.

**Solución de Ejercicio 11.4.**

Fracciones simples: $\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \frac{1}{1-x} -
\frac{1}{2 - x} = \sum x^n - \frac12\sum \bigl(\frac x2\bigr)^n$:

$$
\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \sum_{n\geq0} \Bigl(1 -
\frac{1}{2^{n+1}}\Bigr)x^n,
\qquad R = 1 .
$$

$\ln(1 + x + x^2) = \ln\frac{1 - x^3}{1 - x} = \ln(1 - x^3) - \ln(1
- x) = \sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n} -
\sum_{m\geq1}\frac{x^{3m}}{m}$: el coeficiente de $x^n$ es $\frac1n$ si $3 \nmid n$, y $\frac1n - \frac{3}{n} = -\frac2n$ si $3
\mid n$. Radio $1$ (la obstrucción más próxima: la serie de $\ln(1 -
x^3)$).

**Ejercicio 11.5 ★★.**

Demuestra que $f(x) = \sum_{n\geq1} H_n x^n = -\dfrac{\ln(1 - x)}{1
- x}$ para $\abs x < 1$, donde $H_n$ es el número armónico *([producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) de $\sum x^n$ y $\sum \frac{x^n}{n}$)*.

**Solución de Ejercicio 11.5.**

[Producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) de $\sum_{m \geq 0} x^m$ (coeficientes $1$) y $\sum_{k\geq1} \frac{x^k}{k}$ (coeficientes $\frac1k$, $k \geq 1$), ambas [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergentes para $\abs x < 1$: el coeficiente de $x^n$ en el producto es $\sum_{k=1}^{n} \frac1k \cdot
1 = H_n$. Por tanto

$$
\Bigl(\sum x^m\Bigr)\Bigl(\sum \frac{x^k}{k}\Bigr)
= \frac{1}{1-x}\cdot\bigl(-\ln(1-x)\bigr)
= \sum_{n\geq1} H_n x^n .
$$

**Ejercicio 11.6 ★★.**

Resuelve mediante [función generatriz](#ex-b2-powerseries-fibonacci) la recurrencia $u_0 = 1$, $u_{n+1} = 2u_n + n$: calcula $U(x) = \sum u_nx^n$ en forma cerrada, descompón y lee $u_n = 2^{n+1} - n - 1$.

**Solución de Ejercicio 11.6.**

Multipliquemos la recurrencia por $x^{n+1}$ y sumemos (para $\abs x
< \frac12$):

$$
U(x) - 1 = 2x\,U(x) + \sum_{n\geq0} n\,x^{n+1}
= 2x\,U(x) + \frac{x^2}{(1-x)^2} ,
$$

usando el [Ejercicio 11.3](#exo-b2-powerseries-3). Por tanto

$$
U(x) = \frac{1}{1 - 2x}\Bigl(1 + \frac{x^2}{(1-x)^2}\Bigr)
= \frac{1 - 2x + 2x^2}{(1-2x)(1-x)^2} .
$$

Fracciones simples (tapando en $x = \frac12$ sale el coeficiente $2$; en el polo doble $x = 1$, el coeficiente $-1$; y el coeficiente central se anula evaluando en $x = 0$):

$$
U(x) = \frac{2}{1-2x} - \frac{1}{(1 - x)^2} .
$$

Desarrollando ambos:

$$
u_n = 2\cdot 2^n - (n + 1) = 2^{n+1} - n - 1 .
$$

(Comprobación: $u_0 = 1$, $u_1 = 2u_0 + 0 = 2 = 4 - 2$.)

**Ejercicio 11.7 ★★.**

Sea $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$. Demuestra que $f$ es de clase $C^\infty$ sobre $\R$ con $f^{(n)}(0) = 0$ para todo $n$ *(prueba por inducción que $f^{(n)}(x) =
P_n\bigl(\frac1x\bigr) \eu^{-1/x^2}$ para ciertos polinomios $P_n$, y usa la comparación de crecimientos)*. Concluye que $f$ no es [analítica](#def-b2-powerseries-analytic) en $0$: su serie de Taylor en $0$ converge, pero a la función equivocada.

**Solución de Ejercicio 11.7.**

Inducción: $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$ y, si $f^{(n)}(x) =
P_n(\tfrac1x)\eu^{-1/x^2}$, entonces

$$
f^{(n+1)}(x) =
\Bigl(-\frac{1}{x^2}\,P_n'\Bigl(\frac1x\Bigr) +
\frac{2}{x^3}\,P_n\Bigl(\frac1x\Bigr)\Bigr)\eu^{-1/x^2} :
$$

de nuevo de la forma indicada. En $0$: los cocientes incrementales $\frac{f^{(n)}(h)}{h} = \frac1h P_n(\frac1h)\eu^{-1/h^2} \to 0$ cuando $h \to 0$, ya que $Q(u)\,\eu^{-u^2} \to 0$ cuando $u \to
\pm\infty$ para todo polinomio $Q$ (la exponencial gana a las potencias): por inducción, todas las $f^{(n)}(0)$ existen y se anulan, y cada $f^{(n)}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $0$ por el mismo límite. Así pues, $f \in C^\infty$ con serie de Taylor nula en $0$; esa serie suma $0 \neq f$: no es [analítica](#def-b2-powerseries-analytic) en $0$.

**Ejercicio 11.8 ★★★.**

Completa el [Ejemplo 11.21](#ex-b2-powerseries-catalan): desarrolla $\sqrt{1 -
4x}$ con la serie binomial, probando que

$$
\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n},
$$

y deduce $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$; determina el [radio de convergencia](#def-b2-powerseries-radius) de $C(x)$ y la asintótica de $C_n$ mediante Stirling.

**Solución de Ejercicio 11.8.**

Serie binomial: $\sqrt{1-4x} = \sum_{k\geq0}
\binom{1/2}{k}(-4x)^k$. Para $k = n + 1 \geq 1$:

$$
\begin{align*}
\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1}
&= \frac{\frac12\bigl(\frac12 - 1\bigr)\cdots\bigl(\frac12 -
n\bigr)}{(n+1)!}\,(-4)^{n+1}\\
&= \frac{(-1)^n\,1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}(n+1)!}\,(-4)^{n+1}
= -\frac{2}{n+1}\cdot\frac{(2n)!}{n!\,n!} ,
\end{align*}
$$

usando $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$. Por tanto

$$
C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}
= \frac{1}{2x}\sum_{n\geq0}\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n}x^{n+1}
= \sum_{n\geq0} \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\,x^n :
$$

$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. Radio: $\frac14$ (la serie binomial en $4x$). Asintótica vía el [Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial):

$$
C_n \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi}\; n^{3/2}} .
$$

**Ejercicio 11.9 ★★★.**

(Teorema del límite radial de Abel, caso particular) Supongamos que $\sum a_n$ converge. Demuestra que $\lim_{x \to 1^-} \sum_{n} a_n
x^n = \sum_n a_n$. *([Sumación de Abel](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-abel): con $A_n$ las sumas parciales y $A = \lim A_n$, escribe $\sum a_nx^n = (1 - x)\sum A_n
x^n$; después $\sum a_nx^n - A = (1-x)\sum (A_n - A)x^n$, y separa la suma en un $N$ grande.)* Aplicación: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} =
\ln 2$ y $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac\pi4$, vueltos a demostrar a partir de la serie de potencias.

**Solución de Ejercicio 11.9.**

Con $A_n = \sum_{k \leq n} a_k \to A$, la [sumación de Abel](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-abel) da, para $0 \leq x < 1$,

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n
$$

(ambos miembros convergen, pues $(A_n)$ está acotada; y la identidad se sigue de $a_n = A_n - A_{n-1}$ y de reindexar). Como $(1 -
x)\sum x^n = 1$:

$$
\sum_n a_nx^n - A = (1-x)\sum_{n} (A_n - A)x^n .
$$

Dado $\varepsilon$, elíjase $N$ con $\abs{A_n - A} \leq
\varepsilon$ para $n > N$; entonces

$$
\Bigl|\sum a_nx^n - A\Bigr|
\leq (1-x)\sum_{n \leq N}\abs{A_n - A} + \varepsilon(1 -
x)\sum_{n > N}x^n
\leq (1-x)\,C_N + \varepsilon ,
$$

y haciendo $x \to 1^-$: el límite superior es $\leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$. Por tanto, el límite radial vale $A$.

Aplicaciones: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converge (alternada) y, para $x < 1$, su serie de potencias suma $\ln(1 + x)$: por Abel, la suma es $\ln 2$. Análogamente, $\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} =
\arctan x$ da $\frac\pi4$ en $x = 1$: las demostraciones integrales del primer año, ahora estructurales.

**Ejercicio 11.10 ★.**

Prueba que $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = 1 +
\frac{1-x}{x}\,\ln(1-x)$ para $0 < \abs x < 1$, determina el radio y comprueba que la convergencia es normal sobre $\intcc{-1}{1}$; verifica que el valor en $x = 1$ predicho por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) concuerda con la suma telescópica $\sum \frac{1}{n(n+1)} = 1$.

**Solución de Ejercicio 11.10.**

Tanto $\sum\frac{x^n}{n}$ como $\sum\frac{x^n}{n+1}$ tienen radio $1$, y $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$, de modo que para $0 < \abs x < 1$:

$$
\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)}
= -\ln(1-x) - \frac1x\sum_{n\geq1}\frac{x^{n+1}}{n+1}
= -\ln(1-x) - \frac{-\ln(1-x) - x}{x}
= 1 + \frac{1-x}{x}\ln(1-x) .
$$

Radio $1$; y $\norm{x^n/(n(n+1))}_{\infty,\intcc{-1}1} =
\frac{1}{n(n+1)}$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable): hay [convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) sobre $\intcc{-1}{1}$, luego la suma es allí [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity). Cuando $x \to
1^-$, $(1-x)\ln(1-x) \to 0$ y la forma cerrada tiende a $1$, de acuerdo con el valor telescópico $\sum\frac{1}{n(n+1)} = \lim_N\bigl(1
- \frac{1}{N+1}\bigr) = 1$ en $x = 1$.

**Ejercicio 11.11 ★★.**

(Desarreglos) Sea $D_n$ el número de permutaciones de $n$ objetos sin punto fijo ($D_0 = 1$). Clasificando las permutaciones de $\{1,
\dots, n\}$ según su conjunto de puntos fijos resulta $n! =
\sum_{k=0}^{n}\binom nk D_{n-k}$. Multiplica por $\frac{x^n}{n!}$, suma y reconoce un [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) para obtener la [función generatriz](#ex-b2-powerseries-fibonacci) exponencial

$$
\sum_{n\geq0} D_n\,\frac{x^n}{n!} = \frac{\eu^{-x}}{1-x}
\qquad (\abs x < 1),
$$

y lee después la forma cerrada $\dfrac{D_n}{n!} =
\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}$ y el límite $\dfrac{D_n}{n!} \to
\eu^{-1}$.

**Solución de Ejercicio 11.11.**

Clasificando las $n!$ permutaciones por su conjunto de puntos fijos: elegir los $k$ puntos fijos ($\binom nk$ maneras) y desarreglar los otros $n - k$ objetos da $n! = \sum_{k=0}^n\binom nk D_{n-k}$. Dividiendo por $n!$:

$$
1 = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{D_{n-k}}{(n-k)!} ,
$$

que dice exactamente que el [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) de $\eu^x =
\sum\frac{x^k}{k!}$ y $D(x) = \sum D_n\frac{x^n}{n!}$ es $\sum x^n =
\frac{1}{1-x}$. Ambos factores convergen [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) para $\abs x
< 1$ ($D_n \leq n!$, de modo que $D$ está dominada por la serie geométrica): la identidad del producto es legítima ([Proposición 11.4](#prop-b2-powerseries-operations)) y

$$
D(x) = \frac{\eu^{-x}}{1-x} .
$$

[Producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) de $\eu^{-x} = \sum\frac{(-1)^kx^k}{k!}$ y $\sum x^m$: el coeficiente de $x^n$ es $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$ y, por la unicidad de los coeficientes de una serie de potencias ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)):

$$
\frac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}
\xrightarrow[n\to\infty]{} \eu^{-1} :
$$

alrededor del $37\,\%$ de todas las permutaciones son desarreglos, sea cual sea $n$.

**Ejercicio 11.12 ★★★.**

Demuestra, con la serie binomial del [Método 11.17](#met-b2-powerseries-ode), que

$$
\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}} = \sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n
\qquad \Bigl(\abs x < \frac14\Bigr),
$$

y deduce, elevando al cuadrado ([producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) contra $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$), la identidad de convolución

$$
\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .
$$

**Solución de Ejercicio 11.12.**

Serie binomial con $\alpha = -\frac12$ en $-4x$:

$$
\binom{-1/2}{n}(-4)^n
= \frac{\bigl(-\frac12\bigr)\bigl(-\frac32\bigr)\cdots
\bigl(-\frac{2n-1}2\bigr)}{n!}(-4)^n
= \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^n\,n!}\,4^n
= \frac{(2n)!}{2^n n!}\cdot\frac{2^n}{n!}
= \binom{2n}{n},
$$

usando $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^nn!}$. Por tanto, $(1-4x)^{-1/2} = \sum\binom{2n}nx^n$ para $\abs{4x} < 1$. Elevando al cuadrado ([producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini), legítimo por la convergencia absoluta) y comparando con $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$: el coeficiente de $x^n$ en el cuadrado es $\sum_{k=0}^n\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$, y la unicidad de los coeficientes da

$$
\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .
$$

## 11.5 Problema: Abel, Tauber y la frontera de la convergencia

**Problema 11.1.**

Dentro del disco de convergencia todo es fácil; todo el drama de las series de potencias ocurre *sobre* la frontera. Este problema construye la teoría de frontera en la variable real: el teorema de Abel en su forma uniforme, su recíproco bajo la condición de Tauber, la jerarquía de métodos de sumación de Cesàro y Abel (con el teorema de Frobenius), la integración término a término hasta la frontera con constantes clásicas como dividendos y, por último, la rigidez de las [funciones analíticas](#def-b2-powerseries-analytic): el teorema de identidad. En todo él, $(a_n)$ es una sucesión real, $f(x) = \sum_{n\geq0} a_nx^n$ y $A_n = a_0 + \dots + a_n$.

**Parte I — El teorema de Abel, [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def).** Supongamos en esta parte que $\sum a_n$ converge, y pongamos $r_n =
\sum_{k\geq n} a_k$ (de modo que $r_n \to 0$ y $a_n = r_n -
r_{n+1}$).

1. Demuestra, mediante sumación por partes, que para todos $0  \leq x \leq 1$ y $N \leq M$, $$\Bigl|\sum_{n=N}^{M} a_n x^n\Bigr|  \leq 2\sup_{n \geq N}\,\abs{r_n} .$$
2. Deduce que $\sum a_nx^n$ converge *[uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def)* sobre $\intcc{0}{1}$ , que su suma es allí [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) , y recupera el límite radial del [Ejercicio 11.9](#exo-b2-powerseries-9) : $f(x) \to \sum a_n$ cuando $x \to 1^-$ .
3. (Teorema de Abel para [productos de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) ) Sean $\sum a_n =  A$ y $\sum b_n = B$ , y supongamos que el [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) $\sum c_n$ , con $c_n = \sum_{k} a_kb_{n-k}$ , *converge* , de suma $C$ . Demuestra que $C = AB$ *(dentro del disco vale la identidad del producto por la [Proposición 11.4](#prop-b2-powerseries-operations); hágase $x \to  1^-$)* .
4. Prueba que la hipótesis importa: para $a_n = b_n =  \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ , ambas series convergen y sin embargo $\abs{c_n} \geq \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1$ *(acota cada factor $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}$ por la desigualdad entre medias)* : el [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) de dos series convergentes puede diverger.
5. (Un dividendo del [Ejercicio 11.5](#exo-b2-powerseries-5)) Prueba que $\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2 = 2\sum_{n\geq1}  \frac{H_n}{n+1}x^{n+1}$ sobre $\intoo{-1}{1}$, comprueba que $\bigl(\frac{H_n}{n+1}\bigr)_{n\geq1}$ decrece a $0$ y concluye con Abel: $$\sum_{n\geq1} (-1)^{n+1}\,\frac{H_n}{n+1}  = \frac{(\ln 2)^2}{2} .$$

**Parte II — El recíproco de Tauber.** Diremos que $\sum a_n$ es *[Abel-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable)* a $L$ cuando $f(x) \to L$ al tender $x \to 1^-$.

6. Prueba que $\sum (-1)^n$ es [Abel-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) a $\frac12$ y sin embargo divergente: el teorema de Abel no tiene recíproco incondicional.
7. (Lema de Cesàro) Si $u_n \to 0$ , entonces $\frac{u_1 +  \dots + u_N}{N} \to 0$ *(sepárese la suma en un $m$ fijo)* .
8. Supongamos ahora $n\,a_n \to 0$ y $f(x) \to L$. Con $x_N = 1  - \frac1N$, demuestra las dos estimaciones $$\Bigl|\sum_{n=0}^{N} a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr)\Bigr|  \leq \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} n\,\abs{a_n},  \qquad  \Bigl|\sum_{n>N} a_n x_N^n\Bigr|  \leq \sup_{n>N}\bigl(n\abs{a_n}\bigr)$$ *(para la primera, $1 - x^n \leq n(1-x)$; para la segunda, $\abs{a_n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N} m\abs{a_m}$ y $\sum x_N^n \leq N$)*.
9. Concluye el *teorema de Tauber* : si $n\,a_n \to 0$ y $\sum a_n$ es [Abel-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) a $L$ , entonces $\sum a_n$ converge a $L$ .
10. (El tauberiano fácil para coeficientes positivos) Si $a_n  \geq 0$ y $f$ está acotada sobre $\intco{0}{1}$ , prueba que $\sum a_n$ converge y que $\sum a_n = \lim_{x\to1^-} f(x)$ *(acota $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x)$, haz $x \to  1^-$ y usa después Abel)* .

**Parte III — Medias de Cesàro y teorema de Frobenius.** Diremos que $\sum a_n$ es *[Cesàro-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable)* a $L$ cuando $\sigma_N = \frac{A_0 + \dots + A_{N-1}}{N} \to L$.

11. Prueba que una serie convergente es [Cesàro-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) a su suma *(pregunta 7 aplicada a $A_n - L$)* .
12. Calcula el valor de Cesàro de $\sum(-1)^n$ y comprueba que coincide con el valor de Abel $\frac12$ de la pregunta 6.
13. Con $S_n = A_0 + \dots + A_n = (n+1)\,\sigma_{n+1}$, demuestra las dos identidades, para $0 \leq x < 1$: $$f(x) = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)\,\sigma_{n+1}x^n,  \qquad  (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)x^n = 1 .$$
14. (Frobenius) Deduce que si $\sigma_N \to L$ entonces $f(x)  \to L$ cuando $x \to 1^-$ : [Cesàro-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) implica [Abel-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) , con el mismo valor *(resta las dos identidades y separa la suma en un $N$ grande, como en el [Ejercicio 11.9](#exo-b2-powerseries-9))* .
15. Prueba que la jerarquía $$\text{convergente} \;\Longrightarrow\;  \text{Cesàro-sumable} \;\Longrightarrow\;  \text{Abel-sumable}$$ es estricta en ambas flechas: la pregunta 6 para la primera; para la segunda, prueba que $\sum(-1)^n(n+1)$ es [Abel-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) a $\frac14$ (calcula $f$) pero no [Cesàro-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) (calcula $\sigma_N$ por separado para $N$ par e impar).

**Parte IV — Integrar hasta la frontera.**

16. Supongamos que $\sum a_nx^n$ converge sobre $\intco{0}{1}$ y que $\sum \frac{a_n}{n+1}$ converge. Demuestra que la [integral impropia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#def-b2-integration-improper) $\int_0^1 f$ existe y que $$\int_0^1 \Bigl(\sum_{n\geq0} a_nx^n\Bigr)\dd x  = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1}$$ *(la primitiva $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $1$ por la parte I)*.
17. Sea $\eta = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ . Prueba que $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ y, separando índices pares e impares en la serie [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente $\sum \frac1{n^2}$ , que $\eta =  \frac12\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}$ . (El problema de fin de semana del capítulo de Fourier evalúa $\sum\frac1{n^2} =  \frac{\pi^2}{6}$ .)
18. Demuestra que $$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{3n+1}  = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}  = \frac13\Bigl(\ln 2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)$$ *(la serie converge por Leibniz; intégrese la serie geométrica $\sum(-1)^nx^{3n}$ con la pregunta 16; después, fracciones simples: $\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} +  \frac{(2-x)/3}{x^2-x+1}$)*.
19. A partir de la serie binomial de $(1-t)^{-1/2}$ ([Ejercicio 11.12](#exo-b2-powerseries-12)), deduce $$\arcsin x = \sum_{n\geq0}  \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}\,x^{2n+1}  \quad(\abs x < 1),  \qquad\text{y después}\qquad  \sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}  = \frac\pi2 ,$$ justificando el valor en la frontera mediante la convergencia *normal* sobre $\intcc{-1}{1}$ (úsese $\binom{2n}n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$, [Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial)); aquí ni siquiera hace falta Abel.
20. (Catalan en la frontera) Prueba que $\sum C_n 4^{-n} = 2$ : la serie de Catalan del [Ejemplo 11.21](#ex-b2-powerseries-catalan) converge *en* su radio $\frac14$ (asintótica del [Ejercicio 11.8](#exo-b2-powerseries-8) ), su suma es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intcc{0}{\frac14}$ y allí la forma cerrada tiene límite $2$ .

**Parte V — Rigidez: el teorema de identidad.**

21. (Ceros aislados) Sea $f = \sum a_nx^n$ de radio $R > 0$ con no todos los $a_n$ nulos, y sea $m$ el menor índice con $a_m \neq 0$ . Prueba que $f(x) = x^m g(x)$ con $g$ una serie de potencias de radio $R$ y $g(0) = a_m \neq 0$ , y deduce que $f$ no tiene ningún cero en algún entorno perforado de $0$ .
22. (Teorema de identidad) Sean $f, h$ sumas de series de potencias cerca de $0$ y $(x_k)$ una sucesión de puntos *no nulos* con $x_k \to 0$ y $f(x_k) = h(x_k)$ . Demuestra que $f$ y $h$ tienen los mismos coeficientes y, por tanto, coinciden cerca de $0$ .
23. Halla *todas* las funciones $f$ [analíticas](#def-b2-powerseries-analytic) cerca de $0$ con $$f\Bigl(\frac1k\Bigr) = \frac{k^2}{k^2+1}  \qquad\text{para todo entero } k \text{ grande.}$$
24. Prueba que una [función analítica](#def-b2-powerseries-analytic) sobre un intervalo [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) $I$ que se anula sobre un subintervalo se anula idénticamente sobre $I$ *(el conjunto de los puntos en torno a los cuales $f$ se anula idénticamente es [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) y, por el teorema de identidad aplicado en los puntos de acumulación, cerrado en $I$)* . Concluye que ninguna [función analítica](#def-b2-powerseries-analytic) no nula sobre $\R$ tiene soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) , mientras que sí existen funciones meseta de clase $C^\infty$ (el [Ejercicio 11.7](#exo-b2-powerseries-7) proporciona la pieza básica): la analiticidad es rígida y la suavidad es blanda.
25. Síntesis. Una frase para cada punto: (i) qué añade el teorema de Abel al paquete de [convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) del [Lema 11.1](#lem-b2-powerseries-abel) ; (ii) bajo qué hipótesis exactas vale el recíproco (Tauber) y cuál es el peldaño intermedio (Frobenius); (iii) una constante de frontera de la parte IV que ya podrías deducirle a un amigo en dos líneas; (iv) dónde reaparecerán las medias de Cesàro en este libro, para series de naturaleza muy distinta.

**Solución de Problema 11.1.**

**1.** Con $a_n = r_n - r_{n+1}$, la sumación por partes da

$$
\sum_{n=N}^{M} a_nx^n
= r_Nx^N + \sum_{n=N+1}^{M} r_n\bigl(x^n - x^{n-1}\bigr)
- r_{M+1}x^M .
$$

Para $0 \leq x \leq 1$, los incrementos $x^{n-1} - x^n$ son no negativos y telescopan a $x^N - x^M$; con $s = \sup_{n\geq
N}\abs{r_n}$:

$$
\Bigl|\sum_{n=N}^{M}a_nx^n\Bigr|
\leq s\bigl(x^N + (x^N - x^M) + x^M\bigr) = 2s\,x^N \leq 2s .
$$

**2.** Como $r_n \to 0$, $\sup_{n\geq N}\abs{r_n} \to 0$: la pregunta 1 es exactamente el criterio de Cauchy uniforme sobre $\intcc{0}{1}$, de modo que $\sum a_nx^n$ converge allí [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) y su suma es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-seriestransfer)). Siendo el valor en $1$ igual a $\sum a_n$, la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $1$ es el límite radial del [Ejercicio 11.9](#exo-b2-powerseries-9).

**3.** Para $\abs x < 1$, las tres series de potencias convergen [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) y $\bigl(\sum a_nx^n\bigr)\bigl(\sum
b_nx^n\bigr) = \sum c_nx^n$ ([Proposición 11.4](#prop-b2-powerseries-operations)). Por la pregunta 2, cada factor y el miembro del producto son [continuos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intcc{0}{1}$ (sus series de coeficientes convergen por hipótesis); haciendo $x \to 1^-$ en la identidad: $AB = C$.

**4.** Aquí

$$
\abs{c_n} = \sum_{k=0}^{n}
\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}
\geq \sum_{k=0}^{n}\frac{2}{n+2}
= \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1,
$$

por la desigualdad entre medias: $\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \leq
\frac{(k+1) + (n-k+1)}{2} = \frac{n+2}{2}$. El término general de $\sum c_n$ no tiende a $0$: el [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) diverge, pese a que ambos factores convergen (series alternadas).

**5.** El [Ejercicio 11.5](#exo-b2-powerseries-5) da $\frac{-\ln(1-x)}{1-x}
= \sum H_nx^n$ ($\abs x < 1$). Primitivas término a término ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus) (2)), anulándose ambos miembros en $0$:

$$
\frac{\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2}{2}
= \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}\,x^{n+1} .
$$

Decrecimiento: $(n+2)H_n \geq (n+1)H_{n+1}$ equivale a $H_n \geq
1$, cierto para $n \geq 1$; y $\frac{H_n}{n+1} \sim \frac{\ln n}{n}
\to 0$: en $x = -1$ la serie converge por el criterio de las alternadas. Sustituyendo $x \mapsto -x$ y aplicando la pregunta 2 en $x = 1$:

$$
\frac{(\ln 2)^2}{2}
= \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}(-1)^{n+1},
$$

el valor anunciado.

**6.** $f(x) = \sum(-1)^nx^n = \frac{1}{1+x} \to \frac12$ cuando $x \to 1^-$: [Abel-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) a $\frac12$. Pero las sumas parciales son $1, 0, 1, 0, \dots$: divergente.

**7.** Dado $\varepsilon > 0$, elíjase $m$ con $\abs{u_n} \leq
\varepsilon$ para $n > m$; para $N \geq m$:

$$
\Bigl|\frac{u_1 + \dots + u_N}{N}\Bigr|
\leq \frac{\abs{u_1} + \dots + \abs{u_m}}{N} +
\varepsilon\,\frac{N - m}{N}
\leq \frac{C_m}{N} + \varepsilon,
$$

luego el límite superior es $\leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$: las medias tienden a $0$.

**8.** Para $0 \leq x \leq 1$: $1 - x^n = (1-x)(1 + x + \dots +
x^{n-1}) \leq n(1-x)$, luego

$$
\Bigl|\sum_{n=0}^N a_n(1 - x_N^n)\Bigr|
\leq (1 - x_N)\sum_{n=1}^N n\abs{a_n}
= \frac1N\sum_{n=1}^{N}n\abs{a_n} .
$$

Para $n > N$: $\abs{a_n} = \frac{n\abs{a_n}}{n} \leq
\frac{1}{N}\sup_{m>N}m\abs{a_m}$, y $\sum_{n>N}x_N^n \leq \frac{1}{1
- x_N} = N$:

$$
\Bigl|\sum_{n>N}a_nx_N^n\Bigr|
\leq \frac{\sup_{m>N}m\abs{a_m}}{N}\cdot N
= \sup_{m>N}\,m\abs{a_m} .
$$

**9.** Descompongamos

$$
A_N - L = \sum_{n=0}^{N}a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr)
- \sum_{n>N}a_nx_N^n + \bigl(f(x_N) - L\bigr) .
$$

El primer término tiende a $0$ por la pregunta 7 (las medias de $n\abs{a_n} \to 0$), el segundo por la pregunta 8 (el supremo tiende a $0$) y el tercero porque $x_N \to 1^-$ y $f(x) \to L$. Por tanto $A_N \to L$: el teorema de Tauber.

**10.** Para $x \in \intco{0}{1}$ y todo $N$: $\sum_{n\leq
N}a_nx^n \leq f(x) \leq M$ (términos no negativos). Haciendo $x \to
1^-$ en la suma finita: $\sum_{n\leq N}a_n \leq M$. Las sumas parciales son crecientes y acotadas: $\sum a_n$ converge, y entonces la pregunta 2 da $\lim_{x\to1^-}f(x) = \sum a_n$.

**11.** $\sigma_N - L$ es la media de los $N$ números $A_n - L$ ($0 \leq n < N$), que tienden a $0$: pregunta 7.

**12.** $A_n = 1$ para $n$ par y $0$ para $n$ impar: $A_0 +
\dots + A_{N-1} = \lceil N/2\rceil$, de modo que $\sigma_N =
\frac{\lceil N/2\rceil}{N} \to \frac12$, el valor de Abel de la pregunta 6.

**13.** Bajo $\sigma_N \to L$ se tiene $S_n = O(n)$, de donde $A_n = S_n - S_{n-1} = O(n)$ y $a_n = O(n)$: todas las series de más abajo tienen radio $\geq 1$. Para $\abs x < 1$, de $a_n = A_n -
A_{n-1}$ y $A_nx^n \to 0$:

$$
(1-x)\sum_n A_nx^n = \sum_n A_nx^n - \sum_n A_nx^{n+1}
= \sum_n a_nx^n = f(x),
$$

e idénticamente $(1-x)\sum S_nx^n = \sum A_nx^n$, luego $f(x) =
(1-x)^2\sum_n S_nx^n = (1-x)^2\sum_n(n+1)\sigma_{n+1}x^n$. Por último, $\sum(n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$ ([Ejercicio 11.3](#exo-b2-powerseries-3)), que es la segunda identidad.

**14.** Restando $L$ veces la segunda identidad de la primera:

$$
f(x) - L = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)
\bigl(\sigma_{n+1} - L\bigr)x^n .
$$

Dado $\varepsilon$, elíjase $N$ con $\abs{\sigma_{n+1} - L} \leq
\varepsilon$ para $n \geq N$; entonces

$$
\abs{f(x) - L} \leq (1-x)^2 C_N +
\varepsilon(1-x)^2\sum_{n}(n+1)x^n
= (1-x)^2C_N + \varepsilon ,
$$

y haciendo $x \to 1^-$: el límite superior es $\leq \varepsilon$. Por tanto $f(x) \to L$: el teorema de Frobenius.

**15.** $f(x) = \sum(-1)^n(n+1)x^n = \frac{1}{(1+x)^2}$ (derívese la serie geométrica en $-x$): valor de Abel $\frac14$. Sumas parciales: $A_{2k} = k+1$ y $A_{2k+1} = -(k+1)$ (inducción inmediata). Entonces $S_{2m-1} = 0$ (los pares consecutivos se cancelan) y $S_{2m} = m + 1$, de modo que

$$
\sigma_{2m} = \frac{S_{2m-1}}{2m} = 0,
\qquad
\sigma_{2m+1} = \frac{m+1}{2m+1} \to \frac12 :
$$

$(\sigma_N)$ tiene dos valores de acumulación distintos: no es [Cesàro-sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable). Con las preguntas 6 y 11–14, la jerarquía convergente $\Rightarrow$ Cesàro $\Rightarrow$ Abel es estricta en ambas flechas.

**16.** La serie primitiva $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ tiene el mismo radio y $F' = f$ sobre $\intco{0}{1}$ ([Teorema 11.7](#thm-b2-powerseries-calculus)); y como $\sum\frac{a_n}{n+1}$ converge, la parte I (pregunta 2) hace $F$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intcc{0}{1}$. Como $\int_0^x f = F(x)$ (derivadas iguales, valor $0$ en $0$),

$$
\int_0^x f \xrightarrow[x\to1^-]{} F(1)
= \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1} :
$$

la [integral impropia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#def-b2-integration-improper) existe con el valor indicado.

**17.** $\frac{\ln(1+x)}{x} =
\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n-1}$ (radio $1$; [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $0$). La serie de los $\frac{a_m}{m+1}$ es $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$, [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente: la pregunta 16 da $\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$. En la serie [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente $\sum\frac1{n^2}$, reagrupemos pares e impares:

$$
\eta = \sum_{\text{impares}}\frac1{n^2} -
\sum_{\text{pares}}\frac1{n^2}
= \sum_{n}\frac1{n^2} - 2\sum_{k}\frac1{(2k)^2}
= \Bigl(1 - \frac12\Bigr)\sum_n\frac1{n^2}
= \frac12\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} .
$$

**18.** Leibniz: $\frac{1}{3n+1}\downarrow0$, luego la serie converge. Sobre $\intco{0}{1}$, $\sum(-1)^nx^{3n} =
\frac{1}{1+x^3}$, y $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1}$ converge: la pregunta 16 da $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$. Fracciones simples (compruébese: $\frac13(x^2-x+1) +
\frac{2-x}{3}(1+x) = 1$):

$$
\int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}
= \frac13\ln2 + \frac13\int_0^1\frac{2-x}{x^2-x+1}\dd x .
$$

Escribiendo $2 - x = -\frac12(2x-1) + \frac32$: la parte en $\ln(x^2-x+1)$ se anula en ambos extremos, y

$$
\frac32\int_0^1\frac{\dd x}{(x-\frac12)^2 + \frac34}
= \frac32\cdot\frac{2}{\sqrt3}
\Bigl[\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr]_0^1
= \sqrt3\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{\sqrt3} .
$$

Total: $\frac13\bigl(\ln2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\bigr)$.

**19.** Sustituyendo $t = x^2$ en la serie del [Ejercicio 11.12](#exo-b2-powerseries-12) e integrando término a término (la primitiva de $(1-x^2)^{-1/2}$ que se anula en $0$ es $\arcsin$):

$$
\arcsin x = \sum_{n\geq0}
\frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)}x^{2n+1}
\qquad(\abs x < 1) .
$$

Los coeficientes son $\sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ ([Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial)), [sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable): la serie converge *[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series)* sobre $\intcc{-1}{1}$, su suma es allí [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y coincide con la función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $\arcsin$ sobre $\intoo{-1}{1}$ y, por tanto, también en $x = 1$:

$$
\sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)}
= \arcsin 1 = \frac\pi2 .
$$

**20.** $C_n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ ([Ejercicio 11.8](#exo-b2-powerseries-8)): hay [convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) de $\sum
C_nx^n$ sobre $\intcc{0}{\frac14}$, luego su suma es allí [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); sobre $\intoo{0}{\frac14}$ vale $\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ ([Ejemplo 11.21](#ex-b2-powerseries-catalan)), cuyo límite en $\frac14^-$ es $\frac{1-0}{1/2} = 2$. Por tanto, $\sum_{n\geq0} C_n4^{-n} = 2$.

**21.** $f(x) = \sum_{n\geq m}a_nx^n = x^m g(x)$ con $g(x) =
\sum_{k\geq0}a_{m+k}x^k$; si $(a_nr^n)$ está acotada, también lo está $(a_{m+k}r^k)$ (divídase por $r^m$): $g$ tiene radio $\geq R$. Y $g$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) con $g(0) = a_m \neq 0$, de modo que $g \neq 0$ sobre algún $\intcc{-\delta}{\delta}$ y $f(x) = x^mg(x) \neq 0$ para $0 < \abs x \leq \delta$.

**22.** $d = f - h$ es la suma de una serie de potencias cerca de $0$ que se anula en los puntos no nulos $x_k \to 0$. Si algún coeficiente de $d$ fuera no nulo, la pregunta 21 daría un entorno perforado de $0$ libre de ceros de $d$, en contra de $d(x_k) = 0$. Así pues, todos los coeficientes de $d$ se anulan: $f$ y $h$ tienen los mismos coeficientes y coinciden cerca de $0$.

**23.** La función $h(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (radio $1$) cumple $h(\frac1k) = \frac{1}{1 + 1/k^2} =
\frac{k^2}{k^2+1}$. Toda $f$ [analítica](#def-b2-powerseries-analytic) con los mismos valores coincide con $h$ en los puntos $\frac1k \to 0$: por el teorema de identidad (pregunta 22), $f = \frac{1}{1+x^2}$ cerca de $0$; la solución única.

**24.** Sea $Z$ el conjunto de los puntos de $I$ que tienen un entorno sobre el cual $f$ se anula idénticamente: es [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) por definición y no vacío (el subintervalo). Cerrado en $I$: si $y \in
I$ es límite de puntos de $Z$, entonces $y$ es punto de acumulación de ceros de $f$; desarrollando $f$ en serie de potencias en $y$ (por analiticidad) y aplicando las preguntas 21–22 recentradas en $y$, todos los coeficientes en $y$ se anulan, luego $f \equiv 0$ cerca de $y$: $y \in Z$. Un intervalo es [conexo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-connected), así que $Z = I$: $f \equiv
0$ sobre $I$. En particular, una [función analítica](#def-b2-powerseries-analytic) sobre $\R$ que se anula fuera de un [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) se anula sobre un intervalo y, por tanto, en todas partes: no hay mesetas [analíticas](#def-b2-powerseries-analytic) no nulas. El mundo $C^\infty$ es distinto: pegando la función plana del [Ejercicio 11.7](#exo-b2-powerseries-7) (por ejemplo, $x \mapsto
\eu^{-1/x^2}\mathbf 1_{x>0}$ y su reflejada) se obtienen mesetas suaves de soporte [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact).

**25.** (i) La [convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) vive sobre subdiscos [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) estrictamente interiores al disco; el teorema de Abel extiende la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a un punto de la frontera bajo la única hipótesis de que la serie de coeficientes converja allí. (ii) El recíproco vale bajo la condición de Tauber $na_n \to 0$ (pregunta 9), y la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) de Cesàro se sitúa estrictamente entre la convergencia y la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) de Abel (Frobenius, preguntas 14–15). (iii) Para un amigo: $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} =
\int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$, integrando la serie geométrica hasta la frontera y aplicando después fracciones simples. (iv) Las medias de Cesàro regresan en el capítulo de Fourier como el teorema de Fejér, donde promediar las sumas parciales repara el fallo de la [convergencia puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def): misma medicina, paciente nuevo.