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title: "Formas cuadráticas"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas
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# Capítulo 12 — Formas cuadráticas

Una [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) es la sombra algebraica de una geometría: las partes de signatura nula aplanan, las positivas curvan en un sentido y las negativas en el otro. Este capítulo reduce toda [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) real a una suma de cuadrados con signos $\pm$ (Gauss), demuestra que los recuentos de signos son intrínsecos (Sylvester) y corona después la geometría euclídea con el *teorema espectral*: los [endomorfismos simétricos](#def-b2-quadratic-adjoint) se diagonalizan en bases ortonormales, el teorema más utilizado del álgebra lineal aplicada.

## 12.1 Formas bilineales y cuadráticas

**Definición 12.1.**

Una *forma bilineal [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint)* sobre un espacio vectorial real $E$ es una aplicación bilineal $\varphi \colon E \times E \to \R$ con $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$; la *forma cuadrática* asociada es $q(x) = \varphi(x, x)$. La forma $\varphi$ se recupera de $q$ por *polarización*:

$$
\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).
$$

En una base $(e_i)$, la *matriz* de $\varphi$ es la matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) $B = (\varphi(e_i, e_j))$, con $q(x) = X^{\mathsf T} B
X$; un cambio de base de matriz $P$ sustituye $B$ por $P^{\mathsf T}
B P$ (*congruencia*, ¡no semejanza!). El *rango* de $q$ es $\operatorname{rk} B$ (invariante: la congruencia multiplica por matrices invertibles).

**Ejemplo 12.2.**

Sobre $\R^2$: $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ tiene matriz $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$. Un producto escalar es exactamente una [forma bilineal simétrica](#def-b2-quadratic-def) cuya [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) es definida positiva; este capítulo estudia el caso general, de signo indefinido.

**Ejemplo 12.3 (La congruencia en acción).**

Tomemos $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (de matriz $B = \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$) y la nueva base $e_1' = (1, 1)$, $e_2'
= (1, -1)$, es decir, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &
-1\end{pmatrix}$. Entonces

$$
P^{\mathsf T}BP
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :
$$

en las coordenadas $(u, v)$ respecto de la nueva base, $q = 6u^2 -
2v^2$; compruébese: $x = u + v$, $y = u - v$ da $x^2 + 4xy + y^2 =
6u^2 - 2v^2$ directamente. Obsérvese que las nuevas entradas diagonales $6, -2$ *no* son los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ de $B$: la [congruencia](#def-b2-quadratic-def) reescala, y solo la semejanza conserva los [espectros](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen); pero los signos coinciden, como exige el teorema de Sylvester. (La base de aquí es ortogonal pero no ortonormal; normalizándola por $\frac{1}{\sqrt2}$ se dividiría la diagonal entre $2$ y se recuperarían los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).)

**Ejemplo 12.4 (Los determinantes de Gram miden áreas).**

Para $v_1, v_2$ en un espacio euclídeo, la matriz de Gram $G =
\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ empaqueta longitudes y ángulo; su [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) empaqueta el *área*:

$$
\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2
= \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr)
= \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,
$$

el cuadrado del área del paralelogramo sobre $v_1, v_2$; y Cauchy–Schwarz es exactamente el enunciado $\det G \geq 0$. Ejemplo resuelto: $v_1 = (1, 2, 2)$, $v_2 = (2, 1, -2)$ en $\R^3$:

$$
G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix},
\qquad
\det G = 81 :
$$

los vectores son ortogonales de longitud $3$ y generan un paralelogramo (aquí, un cuadrado) de área $\sqrt{81} = 9$. Moraleja: no se ha usado ningún producto vectorial ni magia de la dimensión $3$; $\sqrt{\det G}$ mide el volumen $k$-dimensional en *cualquier* dimensión, punto de partida de la parte I del problema de fin de semana y de las integrales de área de superficie posteriores de este volumen.

## 12.2 Reducción de Gauss e inercia de Sylvester

**Teorema 12.5 (Reducción de Gauss).**

Toda [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) $q$ sobre un espacio real de dimensión finita puede escribirse

$$
q = \sum_{i=1}^{s} \ell_i^2 - \sum_{j=1}^{t} m_j^2 ,
$$

donde $\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t$ son formas lineales linealmente independientes; equivalentemente, alguna base hace diagonal la matriz de $q$, con entradas $+1$ ($s$ veces), $-1$ ($t$ veces) y $0$.

**Demostración.** Inducción sobre el número de variables, en coordenadas: $q(x_1,
\dots, x_n)$.

*Caso 1: aparece algún cuadrado*, digamos que el coeficiente $a$ de $x_1^2$ es no nulo. Agrúpense todos los términos en $x_1$ y complétese el cuadrado:

$$
q = a\Bigl(x_1 + \frac{1}{a}\,\lambda(x_2, \dots,
x_n)\Bigr)^{\!2} + q_1(x_2, \dots, x_n),
$$

donde $\lambda$ es lineal y $q_1$ cuadrática en las variables restantes: se ha separado una forma independiente (esta contiene $x_1$ y las demás no), la inducción se aplica a $q_1$, y los signos $\pm$ provienen del signo de $a$ tras reescalar por $\sqrt{\abs a}$.

*Caso 2: no hay cuadrados, pero sí algún término cruzado*, digamos $b\,x_1x_2$ con $b \neq 0$. Úsese la identidad

$$
x_1x_2 = \tfrac14\bigl((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\bigr)
$$

tras agrupar: escribiendo $q = b\,x_1x_2 + x_1\alpha + x_2\beta +
q_2$ (con $\alpha, \beta, q_2$ en las demás variables), se comprueba que

$$
q = \frac{b}{4}\Bigl[\Bigl(x_1 + x_2 + \frac{\alpha +
\beta}{b}\Bigr)^{2} - \Bigl(x_1 - x_2 + \frac{\beta -
\alpha}{b}\Bigr)^{2}\Bigr] + \widetilde q ,
$$

con $\widetilde q$ libre de $x_1, x_2$: se separan dos formas independientes y la inducción remata.

Independencia de las formas recogidas: ordénense los lotes según se producen. Las formas del primer lote contienen $x_1$ (caso 1) o $x_1, x_2$ (caso 2); todas las posteriores están libres de esas variables. Supongamos que se anula una combinación lineal de todas las formas recogidas. Leyendo el coeficiente de $x_1$ (y de $x_2$): solo aporta el primer lote, y dentro de él las una o dos formas son visiblemente independientes ($\ell$ sola, o bien $\ell \pm m$ con $\ell, m$ independientes): se anulan los coeficientes del primer lote. Elimínese el lote y repítase: por inducción sobre los lotes, todos los coeficientes se anulan; la familia entera es libre, con triangularidad explícita. ∎

**Teorema 12.6 (Ley de inercia de Sylvester).**

El par $(s, t)$ del [Teorema 12.5](#thm-b2-quadratic-gauss) depende solo de $q$ y no de la reducción: es la *signatura* de $q$. Además,

$$
s = \max\{\dim F : q|_F \text{ es definida positiva}\},
$$

y simétricamente para $t$.

**Demostración.** Sea $q = \sum_{i \leq s}\ell_i^2 - \sum_{j\leq t} m_j^2$ y sea $F_+$ la envoltura de los vectores preduales sobre los que las $(\ell_i)$ se restringen a coordenadas; en concreto: complétese la familia independiente $(\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t)$ hasta una base del [dual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-dual) $E^*$ y sea $(u_1, \dots, u_n)$ la base de $E$ de la que esas son las formas coordenadas (la base predual: $\ell_i(u_k) = \delta_{ik}$ para $k \leq s$, y las formas posteriores se anulan sobre los vectores anteriores). Pongamos $F_+
= \operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_s)$: para $x = \sum_{i\leq
s}x_iu_i \in F_+$,

$$
\ell_i(x) = x_i,
\qquad m_j(x) = 0,
\qquad\text{luego}\qquad
q(x) = \sum_{i\leq s}x_i^2 > 0 \quad (x \neq 0) :
$$

$q|_{F_+}$ es definida positiva y el máximo de la fórmula es $\geq
s$. Recíprocamente, sea $F$ un subespacio cualquiera con $q|_F$ definida positiva, y $G = \{x : \ell_1(x) = \dots = \ell_s(x) =
0\}$, de codimensión $\leq s$; sobre $G$, $q(x) = -\sum m_j^2 \leq
0$. Entonces $F \cap G = \{0\}$ (un vector no nulo allí tendría $q >
0$ y $q \leq 0$), de modo que $\dim F \leq \dim E - \dim G \leq s$. Por tanto, el máximo vale $s$ para *toda* reducción: $s$ es intrínseco, y $t = \operatorname{rk} q - s$ también. ∎

**Ejemplo 12.7.**

$q(x, y, z) = xy + yz + zx$ (sin cuadrados). Con $x_1 = x$, $x_2 =
y$: $q = xy + z(x + y)$, y la identidad de los dos cuadrados da

$$
q = \tfrac14(x + y + 2z)^2 - \tfrac14(x - y)^2 - z^2 ,
$$

(desarróllese para comprobar). Tres formas independientes: signatura $(1, 2)$, rango $3$. Una dirección positiva y dos negativas: la geometría de “cono de luz” de esta forma.

**Ejemplo 12.8 (Una forma degenerada, reducida por completo).**

$q(x, y, z) = xy + yz$ sobre $\R^3$: no hay cuadrados, así que caso 2 con la agrupación $q = y(x + z)$. La identidad de los dos cuadrados sobre el producto de las formas independientes $y$ y $x +
z$:

$$
q = \frac14\bigl(y + x + z\bigr)^2 -
\frac14\bigl(y - x - z\bigr)^2 .
$$

Las dos formas lineales $y + x + z$ e $y - x - z$ son independientes (su diferencia es $2(x+z)$ y su suma $2y$), de modo que Sylvester permite leer: signatura $(1, 1)$, rango $2$; *degenerada*. El núcleo de la forma polar se halla resolviendo $\varphi(v, \cdot) =
0$: con matriz $\frac12\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\
0&1&0\end{pmatrix}$, el núcleo es $\{y = 0,\ x + z = 0\} = \R\,(1,
0, -1)$, la dirección a lo largo de la cual $q$ no ve nada. Moraleja: la deficiencia de rango aparece en Gauss como “quedarse sin variables”; la reducción produjo solo dos cuadrados en tres dimensiones, y la dimensión que falta es exactamente el núcleo.

**Ejemplo 12.9 (Una forma, dos caminos hacia la signatura).**

$q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz$, de matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$. *Camino 1, Gauss:* complétense cuadrados en orden,

$$
q = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32 y^2 + 2yz + 2z^2
= 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2}
+ \frac32\Bigl(y + \frac{2z}{3}\Bigr)^{\!2} + \frac43 z^2 :
$$

tres cuadrados positivos sobre formas independientes, signatura $(3, 0)$: definida positiva. *Camino 2, [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen):* la matriz es la tridiagonal $2I + N$ con $N$ la matriz de vecinos; sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son $2 + \sqrt2$, $2$ y $2 - \sqrt2$ (compruébense los [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ y $(1, 0, -1)$), todos positivos: mismo veredicto, por el [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes). Gauss es más rápido; los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) dicen más (dan los ejes principales y los valores extremos de $q$ sobre la esfera). Moraleja: los pivotes positivos $2, \frac32, \frac43$ de Gauss son exactamente los cocientes $\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}$ de menores principales dominantes ($\Delta_1 = 2$, $\Delta_2 = 3$, $\Delta_3 = 4$); el problema de fin de semana lo demuestra en general.

**Método 12.10 (Calcular una signatura: tres vías).**

1. *Gauss* (siempre funciona; la más rápida a mano): complétense cuadrados en orden, con el caso 2 cuando no haya ningún cuadrado disponible, y cuéntense los signos. Compruébese que las formas lineales recogidas son independientes; menos formas que variables significa que hay núcleo ( [Ejemplo 12.8](#ex-b2-quadratic-degenerate) ).
2. *Menores dominantes* (para tests de definición): todos los $\Delta_k > 0$ si y solo si es definida positiva ( [Ejercicio 12.8](#exo-b2-quadratic-8) ); los pivotes $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ dan incluso los coeficientes de Gauss (problema de fin de semana). Falla en silencio si algún $\Delta_k = 0$ : recúrrase entonces a la vía 1.
3. *[Valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)* (la más informativa, la más cara): signos del [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ( [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ); da además los ejes principales y los valores extremos de $q$ sobre la esfera unidad. Es preferible cuando de todos modos se necesita la estructura propia.

## 12.3 El teorema espectral

Sea ahora $E$ euclídeo (con producto escalar $\langle\cdot,\cdot\rangle$, volumen del primer año).

**Definición 12.11 (Adjunto; endomorfismos simétricos).**

Para $u \in \mathcal{L}(E)$, el *adjunto* $u^*$ es el único endomorfismo con

$$
\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle
\qquad (x, y \in E);
$$

en una base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) =
\operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$. $u$ es *simétrico* (autoadjunto) cuando $u^* = u$; equivalentemente, cuando su matriz en una base ortonormal es simétrica.

**Existencia y unicidad del adjunto.** Para $y$ fijo, la forma $x \mapsto \langle u(x), y\rangle$ es lineal, luego (dimensión finita) es de la forma $\langle x,
z_y\rangle$ para un único $z_y$, y la aplicación $y \mapsto z_y =:
u^*(y)$ es lineal por unicidad. La identificación matricial: léase $\langle u(e_i), e_j\rangle$ de las dos maneras. ∎

**Ejemplo 12.12 (El adjunto depende del producto escalar).**

Sobre $\R^2$, tomemos el producto escalar *con pesos* $\langle
x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (de matriz $D =
\operatorname{diag}(1,2)$) y $u$ de matriz $A = \begin{pmatrix} 0 &
1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica. De $\langle u(x),
y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ y $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$, la matriz del adjunto es

$$
A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D
= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix}
\neq A^{\mathsf T} .
$$

Comprobación de sensatez en $x = (1,0)$, $y = (0,1)$:

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D
= \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;
$$

y en $x = (0,1)$, $y = (1,0)$:

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D =
\langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .
$$

Moraleja: “$\operatorname{Mat}(u^*) =
\operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$” es un enunciado sobre bases *ortonormales* únicamente; en general interviene la métrica $D$, exactamente como en la reducción simultánea del problema de fin de semana.

**Teorema 12.13 (Teorema espectral).**

Sea $u$ un [endomorfismo simétrico](#def-b2-quadratic-adjoint) de un espacio euclídeo $E$. Entonces $E$ tiene una *base ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)* de $u$; todos los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son reales y los [subespacios propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) distintos son ortogonales. Forma matricial: toda matriz real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) $A$ se escribe

$$
A = P\,D\,P^{\mathsf T},
\qquad P \text{ ortogonal } (P^{\mathsf T} P = I),\ D
\text{ diagonal}.
$$

**Demostración.** *Existe un [vector propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).* La función $x \mapsto \langle u(x),
x\rangle$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre la esfera unidad $S$ de $E$, que es [compacta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) (dimensión finita, [Teorema 5.13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#thm-b2-nvs-finitedim)): alcanza su máximo $\lambda$ en cierto $a \in S$. Afirmamos que $u(a) = \lambda
a$. Para todo $y \perp a$ con $\norm y = 1$ y todo $t \in \R$, el vector $x_t = \frac{a + ty}{\sqrt{1 + t^2}}$ está en $S$ ($\norm{a +
ty}^2 = 1 + t^2$ por Pitágoras); desarrollando la función maximizada,

$$
g(t) = \langle u(x_t), x_t\rangle
= \frac{\langle u(a), a\rangle + 2t\langle u(a), y\rangle +
t^2\langle u(y), y\rangle}{1 + t^2}
$$

(la simetría de $u$ ha fundido los dos términos cruzados: $\langle
u(a), y\rangle = \langle a, u(y)\rangle = \langle u(y), a\rangle$). $g$ es una función derivable de $t$ con un máximo en $t = 0$; la regla del cociente en $0$ da

$$
g'(0) = \frac{2\langle u(a), y\rangle\cdot 1 - \langle u(a),
a\rangle\cdot 0}{1} = 2\langle u(a), y\rangle = 0 .
$$

Así pues, $u(a)$ es ortogonal a todo el hiperplano $a^\perp$: $u(a)
\in (a^{\perp})^{\perp} = \R a$, es decir, $u(a) = \mu a$; y $\mu =
\langle u(a), a\rangle = \lambda$.

*Inducción.* El complemento ortogonal $F = a^\perp$ es estable por $u$: para $x \perp a$, $\langle u(x), a\rangle = \langle x,
u(a)\rangle = \lambda\langle x, a\rangle = 0$. La restricción $u|_F$ es [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) para el producto escalar inducido; por inducción sobre la dimensión, $F$ tiene una base ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), y se antepone $a$.

*Complementos.* Los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son los números reales $\langle u(e), e\rangle$ sobre la base propia. Ortogonalidad de los [subespacios propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): de $u(x) = \lambda x$ y $u(y) = \mu y$ resulta $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x,
u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$, luego $\langle x, y\rangle =
0$ cuando $\lambda \neq \mu$. Forma matricial: las columnas de $P$ son la base ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). ∎

**Ejemplo 12.14 (Una ejecución espectral completa).**

Diagonalicemos ortogonalmente $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 &
1\end{pmatrix}$. [Polinomio característico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) $(1 - \lambda)^2 - 4$: [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ y $-1$. [Vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): $(A - 3I)v = 0$ da $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$, y $(A + I)v = 0$ da $v_2 =
\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$; ortogonales, como garantiza el [Teorema 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral) sin cálculo alguno. Con $P = (v_1\
v_2)$ (una rotación de $\frac\pi4$):

$$
P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix},
\qquad
x^2 + 4xy + y^2 = 3u^2 - v^2
\quad\text{en el sistema girado} .
$$

Así pues, la forma del [Ejercicio 12.1](#exo-b2-quadratic-1) es de tipo hiperbólico: signatura $(1,1)$, coherente con su [reducción de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) $(x + 2y)^2 - 3y^2$; cuadrados distintos, misma signatura, como exige Sylvester. Moraleja: Gauss dio la respuesta más deprisa, pero la vía espectral informa además de que sobre la circunferencia unidad $q$ recorre exactamente $\intcc{-1}{3}$, alcanzados a lo largo de $v_2$ y de $v_1$: el trabajo extra compra geometría.

**Corolario 12.15 (Ejes principales; tests de positividad).**

1. Toda [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) $q$ sobre un espacio euclídeo se diagonaliza en alguna base *ortonormal* : $q(x) = \sum_i  \lambda_i x_i^2$ , con los $\lambda_i$ los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de la matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) de $q$ ; y la signatura cuenta los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) positivos y negativos.
2. Una matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) es semidefinida positiva (o definida positiva) si y solo si todos sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son $\geq 0$ (o $> 0$); y entonces los valores extremos del cociente de Rayleigh son $$\min_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\min},  \qquad  \max_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\max} .$$

**Demostración.** (1) Escríbase $q(x) = \langle A x, x\rangle$ con $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) (la matriz de $q$ en una base ortonormal) y diagonalícese $A$ por el teorema espectral: para $x = \sum x_ie_i$ en la base ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen),

$$
q(x) = \Bigl\langle \sum_i \lambda_ix_ie_i,\ \sum_j
x_je_j\Bigr\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2
$$

(la ortonormalidad mata los términos cruzados). Los signos $\pm$ de los $\lambda_i$ cuentan la signatura por Sylvester: reescalar cada coordenada por $\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ exhibe una [reducción de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) con formas independientes.

(2) En la base de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $\langle Ax, x\rangle = \sum
\lambda_i x_i^2$, atrapado entre $\lambda_{\min}\norm x^2$ y $\lambda_{\max}\norm x^2$, con igualdad en los [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) correspondientes; la positividad de todos los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) equivale, pues, a la positividad de la forma. ∎

**Ejemplo 12.16.**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ (con [vector propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$) y $1$ (con $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$). La [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) $2x^2 + 2xy + 2y^2$ pasa a ser $3X^2 + Y^2$ en el sistema ortonormal girado: los ejes principales de una elipse, calculados. La [reducción de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) alcanza también una forma diagonal, pero solo el teorema espectral la alcanza *sin distorsionar longitudes*.

**Ejemplo 12.17 (Una elipse plenamente identificada).**

¿Qué curva es $5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6$? La matriz $\begin{pmatrix} 5
& 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$ tiene [polinomio característico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) $\lambda^2
- 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda - 6)$: [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$ y $6$, ambos positivos; es una elipse. [Vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ortonormales: para $\lambda = 1$, resuélvase $\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 &
1\end{pmatrix}v = 0$: $v_1 = \frac{1}{\sqrt5}(1, -2)$; y para $\lambda = 6$: $v_2 = \frac{1}{\sqrt5}(2, 1)$. En las coordenadas giradas $(X, Y)$ a lo largo de $(v_2, v_1)$, la ecuación pasa a ser

$$
6X^2 + Y^2 = 6,
\qquad\text{es decir,}\qquad
X^2 + \frac{Y^2}{6} = 1 :
$$

semiejes $1$ (a lo largo de $v_2$) y $\sqrt6$ (a lo largo de $v_1$). Moraleja: la forma aproximada salió gratis —$\det = 6 > 0$ y traza positiva anuncian una elipse antes de calcular ningún vector propio—, pero solo el teorema espectral entrega las direcciones y las longitudes de los ejes, es decir, la geometría real.

**Ejemplo 12.18 (Extremos sobre la esfera, leídos en el espectro).**

¿Cuáles son los valores extremos de $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ sobre la esfera unidad? Su matriz (la de unos fuera de la diagonal del [Ejercicio 12.2](#exo-b2-quadratic-2)) tiene [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2$ y $-1$ (doble), de modo que por el [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) (2):

$$
\max_{\norm v = 1} q(v) = 2
\ \text{ en } v = \tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),
\qquad
\min_{\norm v = 1} q(v) = -1
\ \text{ sobre la circunferencia } x + y + z = 0 .
$$

Sin cálculo diferencial y sin multiplicadores de Lagrange: el teorema espectral resuelve esta optimización con restricciones de golpe, y exhibe el maximizador. Moraleja: compárese con el método de los multiplicadores del capítulo de cálculo diferencial, que halla los mismos puntos críticos con más trabajo; para objetivos *cuadráticos* sobre esferas, los [espectros](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son el camino real (el problema de fin de semana del capítulo hermítico construye toda la teoría de Courant–Fischer sobre esta observación).

**Observación 12.19 (Errores frecuentes).**

*(i) La [congruencia](#def-b2-quadratic-def) no es la semejanza:* un cambio de base para una forma actúa por $P^{\mathsf T}BP$, no por $P^{-1}BP$; los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) *no* son invariantes de una [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) ($I$ y $4I$ son congruentes mediante $P = 2I$), y solo lo son sus signos (Sylvester). Hablar de los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de una forma solo es lícito una vez fijado un producto escalar. *(ii) Las entradas positivas no demuestran nada:* $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 &
1\end{pmatrix}$ tiene todas sus entradas positivas y signatura $(1,1)$ ($\det = -3$); y recíprocamente, una matriz definida positiva puede tener entradas negativas fuera de la diagonal (el [Ejemplo 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads) desplazado: $2I - N$ sirve igualmente). Úsese el [Método 12.10](#met-b2-quadratic-signature). *(iii) Cuadrados dependientes:* escribir $q = \ell_1^2 -
\ell_2^2$ no dice nada si $\ell_1, \ell_2$ son proporcionales: $x^2
+ 2xy + y^2 = (x+y)^2$ tiene rango $1$ y no $2$; compruébese siempre la independencia antes de leer la signatura. *(iv) Extremos sobre la esfera sin [compacidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact):* las cotas de Rayleigh del [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) se alcanzan porque la esfera es [compacta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact); sobre la bola [abierta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) o sobre todo el espacio, una forma indefinida no tiene ni máximo ni mínimo.

**Observación 12.20 (Dónde se usa).**

El teorema espectral es el resultado más exportado de este libro: la estadística diagonaliza con él las matrices de covarianza (análisis de componentes principales), la mecánica extrae de él los modos normales de oscilación (la reducción simultánea del problema de fin de semana), el análisis numérico construye sobre él las descomposiciones de Cholesky y en valores singulares (mismo problema), y el capítulo siguiente lo transporta a los espacios hermíticos complejos. El volumen del tercer año demuestra su avatar en dimensión infinita para operadores [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) autoadjuntos, donde el argumento de [compacidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) de la demostración en dimensión finita se convierte en toda la historia.

**Observación 12.21 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Las [formas cuadráticas](#def-b2-quadratic-def) atraviesan el resto del libro 4 bajo tres disfraces. Como *hessianas*: el capítulo de cálculo diferencial clasifica los puntos críticos por la signatura de la forma de segundo orden, de modo que la invariancia de Sylvester es lo que hace de “punto de silla” una palabra bien definida. Como *energías*: los osciladores del capítulo de ecuaciones diferenciales llevan la energía cuadrática $\frac12x'^2 +
\frac12\omega^2x^2$, y la reducción simultánea del problema de fin de semana de este capítulo es exactamente la extracción de los modos normales. Como *geometría*: las cónicas de este capítulo crecen hasta las cuádricas de los capítulos de geometría, donde la segunda forma fundamental de una superficie —una [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) sobre cada plano tangente— tiene una signatura que decide si la superficie se curva como un cuenco o como una silla de montar. El capítulo hermítico, a continuación, vuelve a tocar toda la partitura sobre $\C$.

## 12.4 Ejercicios

**Ejercicio 12.1 ★.**

Reduce por Gauss y da el rango y la signatura de

$$
q_1(x,y) = x^2 + 4xy + y^2,
\qquad
q_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz .
$$

**Solución de Ejercicio 12.1.**

$q_1 = (x + 2y)^2 - 3y^2$: rango $2$, signatura $(1, 1)$ (una forma de tipo hiperbólico).

$q_2$: complétese el cuadrado en $x$: $q_2 = (x + y)^2 + y^2 + 2yz +
3z^2 = (x+y)^2 + (y + z)^2 + 2z^2$: rango $3$, signatura $(3, 0)$; definida positiva.

**Ejercicio 12.2 ★.**

Diagonaliza ortogonalmente $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ (los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) salen del cálculo del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction); hazlo ahora con base ortonormal) y reduce a ejes principales la forma $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$.

**Solución de Ejercicio 12.2.**

[Valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2$ (sobre $\operatorname{Vect}(1,1,1)$) y $-1$ (sobre el plano $x + y + z = 0$). Ortonormalicemos: $e_1 =
\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$; en el plano, Gram–Schmidt sobre $(1,-1,0),
(1,0,-1)$ da $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$ y $e_3 =
\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$. Entonces $P = (e_1\ e_2\ e_3)$ es ortogonal con $P^{\mathsf T}AP = \operatorname{diag}(2,-1,-1)$.

La forma $q = 2xy + 2yz + 2zx$ tiene matriz $A$: en las coordenadas giradas, $q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$ —ejes principales—; signatura $(1,2)$, de acuerdo con el [Ejemplo 12.7](#ex-b2-quadratic-gaussexample) (¡es la misma forma!).

**Ejercicio 12.3 ★.**

Demuestra que $u^{**} = u$, que $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$ y que $\ker u^* = (\operatorname{im} u)^{\perp}$. Deduce $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$.

**Solución de Ejercicio 12.3.**

$u^{**} = u$: $\langle u^{**}x, y\rangle = \langle x, u^*y\rangle =
\langle ux, y\rangle$ para todo $y$. $(uv)^* = v^*u^*$: $\langle uvx,
y\rangle = \langle vx, u^*y\rangle = \langle x, v^*u^*y\rangle$. Núcleo: $y \in \ker u^* \iff \langle x, u^*y \rangle = 0\ \forall x
\iff \langle u(x), y\rangle = 0\ \forall x \iff y \perp
\operatorname{im} u$. Rangos: $\dim\ker u^* = n - \operatorname{rk} u$ (complemento ortogonal), luego $\operatorname{rk} u^* =
\operatorname{rk} u$ por el teorema del rango; el avatar euclídeo del teorema del rango de la [traspuesta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-transpose).

**Ejercicio 12.4 ★★.**

Sea $A$ real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) con $A^3 = A$. Demuestra que $A^2$ es la matriz de una proyección ortogonal. Más en general, relaciona las descomposiciones espectrales de $A$ y de $P(A)$ para un polinomio $P$.

**Solución de Ejercicio 12.4.**

Espectral: $A = PDP^{\mathsf T}$, con $D$ diagonal de entradas $\lambda_i$ que cumplen $\lambda_i^3 = \lambda_i$: $\lambda_i \in \{-1,
0, 1\}$. Entonces $A^2 = PD^2P^{\mathsf T}$ con $D^2$ diagonal de entradas $0/1$: $A^2$ es [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) e idempotente ($(A^2)^2 = A^4 =
A\cdot A^3 = A^2$), y [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) idempotente $=$ proyección ortogonal (es la proyección sobre $\ker(A^2 - I) = \ker(A-I)\oplus\ker(A+I)$ a lo largo de $\ker A$, y estos son ortogonales por el teorema espectral).

En general, $P(A) = P\!\left(\text{diag}\right)$: $P(A)$ tiene los mismos [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) y [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $P(\lambda_i)$; la “aplicación espectral” en el marco [diagonalizable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag).

**Ejercicio 12.5 ★★.**

Demuestra que $O(n) = \{P : P^{\mathsf T}P = I\}$ es un subconjunto [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) de $\mathcal{M}_n(\R)$ *(cerrado: imagen recíproca de $\{I\}$ por una aplicación [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); acotado: las columnas son vectores unitarios)*. ¿Es [conexo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-connected)?

**Solución de Ejercicio 12.5.**

Cerrado: $O(n) = g^{-1}(\{I\})$ para la aplicación [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $g(P) =
P^{\mathsf T}P$ (de entradas polinómicas). Acotado: cada columna de $P
\in O(n)$ es un vector unitario, luego todas las entradas están en $\intcc{-1}{1}$. Cerrado y acotado en $\mathcal{M}_n(\R) \simeq
\R^{n^2}$: [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#thm-b2-metric-compactprops) (2)).

No es [conexo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-connected): $\det$ toma los dos valores $\pm1$ sobre $O(n)$, y una sobreyección [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\{-1, 1\}$ escinde el espacio (el argumento del [Ejemplo 4.28](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#ex-b2-metric-glnr)).

**Ejercicio 12.6 ★★.**

(Raíz cuadrada) Sea $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva. Construye una $B$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva con $B^2 = A$ y demuestra que es *única* *(existencia: tómense raíces cuadradas de los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) en una base espectral; unicidad: una candidata $B$ conmuta con $A = B^2$, luego conserva sus [subespacios propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen); redúzcase al caso escalar sobre cada uno)*.

**Solución de Ejercicio 12.6.**

*Existencia:* $A = PDP^{\mathsf T}$ con $D =
\operatorname{diag}(\lambda_i)$, $\lambda_i \geq 0$; póngase $B =
P\sqrt D P^{\mathsf T}$ con $\sqrt D =
\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})$: [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint), semidefinida positiva y $B^2 = A$.

*Unicidad:* sea $B$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva con $B^2 = A$. $B$ conmuta con $A$, luego $B$ conserva cada [subespacio propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $E_\lambda(A)$ (si $Ax = \lambda x$, entonces $A(Bx) = BAx = \lambda
Bx$). Sobre $E_\lambda(A)$, la restricción de $B$ es [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva con cuadrado $\lambda\,\mathrm{id}$; sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mu$ cumplen $\mu^2 = \lambda$ y $\mu \geq 0$, o sea, $\mu = \sqrt\lambda$; así pues, la restricción, al ser [diagonalizable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) con el único [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt\lambda$, *es* $\sqrt\lambda\,\mathrm{id}$. Como $E = \bigoplus E_\lambda(A)$, $B$ queda determinada: $B = \sqrt A$.

**Ejercicio 12.7 ★★.**

Para $A$ real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint), demuestra que $\vertiii{A}_2 :=
\sup_{\norm x_2 = 1}\norm{Ax}_2 = \max_i \abs{\lambda_i}$ (radio espectral) y calcula $\vertiii{A}_2$ para $A = \begin{pmatrix} 1 &
2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$.

**Solución de Ejercicio 12.7.**

En una base ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $\norm{Ax}_2^2 = \sum
\lambda_i^2 x_i^2 \leq (\max_i \lambda_i^2)\norm x_2^2$, con igualdad en el [vector propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) correspondiente: $\vertiii A_2 =
\max\abs{\lambda_i}$. Para la matriz dada: [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ (la gemela del [Ejemplo 12.16](#ex-b2-quadratic-spectralexample)): $\vertiii A_2 = 3$.

**Ejercicio 12.8 ★★★.**

(Criterio de Sylvester) Sea $A$ real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) con menores principales dominantes $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ ([determinantes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) de los bloques superiores izquierdos). Demuestra que $A$ es definida positiva si y solo si todos los $\Delta_k > 0$. *(Para $\Rightarrow$: las restricciones de una forma definida son definidas, y el [determinante de una matriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) definida positiva —el producto de sus valores propios— es positivo. Para $\Leftarrow$: inducción sobre $n$; el bloque superior izquierdo de tamaño $n-1$ es definido positivo, diagonalícese la forma sobre ese subespacio y complétese el cuadrado en la última variable; el signo de la última entrada diagonal lo gobierna $\det A = \Delta_n > 0$.)*

**Solución de Ejercicio 12.8.**

($\Rightarrow$) El bloque superior izquierdo $A_k$, de tamaño $k \times
k$, es la matriz de la restricción de la forma (definida) al subespacio [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por los $k$ primeros vectores de la base: es definida positiva, luego sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son positivos y $\Delta_k = \det A_k
> 0$.

($\Leftarrow$) Inducción sobre $n$; el caso $n = 1$ es claro. Supongamos que todos los $\Delta_k > 0$. Por hipótesis de inducción, $A_{n-1}$ es definida positiva: la forma $q$ restringida a $F =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ es definida. Diagonalícese $q|_F$ (Gauss): coordenadas $y_1, \dots, y_{n-1}$ con $q|_F = \sum
y_i^2$. En el espacio [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete), completando el cuadrado en la última variable,

$$
q = \sum_{i=1}^{n-1} \bigl(y_i + c_i x_n\bigr)^2 + c\,x_n^2
$$

para constantes adecuadas (recójanse los términos cruzados dentro de los cuadrados). La reducción exhibe la signatura $(n-1 + \epsilon,
\cdot)$, con $\epsilon$ la contribución del signo de $c$; y el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) conserva el signo del producto de los coeficientes diagonales bajo [congruencia](#def-b2-quadratic-def) ($\det(P^{\mathsf T}AP) = (\det P)^2\det
A$): $\Delta_n > 0$ obliga a $c > 0$. Por tanto, $q$ es suma de $n$ cuadrados de formas independientes: definida positiva.

**Ejercicio 12.9 ★★★.**

(Courant–Fischer, segundo [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)) Sea $u$ [simétrico](#def-b2-quadratic-adjoint) con [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$. Demuestra que

$$
\lambda_2 = \min_{\substack{H \text{ hiperplano}}}\;
\max_{\substack{x \in H,\ \norm x = 1}} \langle u(x), x\rangle .
$$

*(Para $\leq$: todo hiperplano corta al $2$-plano [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por los dos [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) superiores. Para $\geq$: tómese $H =
(e_1)^{\perp}$.)*

**Solución de Ejercicio 12.9.**

Sea $(e_1, \dots, e_n)$ una base ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) para $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$.

*$\lambda_2 \leq$ el mín-máx:* para todo hiperplano $H$, el subespacio $V = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, de dimensión $2$, cumple $\dim(H \cap V) \geq 1$ (Grassmann): tómese un $x \in H \cap V$ unitario, $x = ae_1 + be_2$ con $a^2 + b^2 = 1$:

$$
\langle u(x), x\rangle = \lambda_1 a^2 + \lambda_2 b^2 \geq
\lambda_2 :
$$

el máximo de todo hiperplano es $\geq \lambda_2$.

*$\geq$:* para $H = e_1^{\perp}$, todo $x = \sum_{i\geq2} x_ie_i
\in H$ unitario cumple $\langle u(x), x\rangle = \sum_{i \geq 2}
\lambda_i x_i^2 \leq \lambda_2$, alcanzado en $e_2$: el máximo de este hiperplano es exactamente $\lambda_2$. Por consiguiente, el mínimo sobre $H$ vale $\lambda_2$.

**Ejercicio 12.10 ★★.**

Determina el rango y la signatura de $q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i <
j} x_ix_j$ sobre $\R^n$ ($n \geq 2$), de dos maneras: mediante la identidad algebraica $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ junto con la restricción de $q$ al hiperplano $\sum x_i = 0$; y calculando los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de su matriz $\frac12(J - I)$, donde $J$ es la matriz de unos.

**Solución de Ejercicio 12.10.**

*Vía algebraica:* $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$. Sobre el hiperplano $H : \sum x_i = 0$ (de dimensión $n - 1$), $q =
-\frac12\sum x_i^2$ es definida negativa; sobre la recta $\R(1, \dots,
1)$, $q(t, \dots, t) = \binom n2 t^2 > 0$. Un subespacio en el que $q$ sea definida positiva corta a $H$ trivialmente, luego tiene dimensión $\leq 1$: por Sylvester ([Teorema 12.6](#thm-b2-quadratic-sylvester)), $s = 1$, y $t \geq n-1$ gracias a $H$; que el rango sea $\leq n$ fuerza la signatura $(1, n-1)$ y el rango $n$.

*Vía espectral:* la matriz es $\frac12(J - I)$; $J$ tiene [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $n$ (sobre $(1,\dots,1)$) y $0$ (sobre $H$), de modo que $\frac12(J-I)$ tiene [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\frac{n-1}{2}$ (una vez) y $-\frac12$ ($n-1$ veces): uno positivo y $n-1$ negativos; misma signatura, por el [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes).

**Ejercicio 12.11 ★★.**

Sean $A$ y $B$ reales [simétricas](#def-b2-quadratic-adjoint) con $B$ semidefinida positiva. Demuestra que

$$
\lambda_{\min}(A)\operatorname{tr} B
\;\leq\;
\operatorname{tr}(AB)
\;\leq\;
\lambda_{\max}(A)\operatorname{tr} B .
$$

*(Escribe $B = C^{\mathsf T}C$ y $\operatorname{tr}(AB) =
\sum_i \langle A c_i, c_i\rangle$ sobre las columnas $c_i$ de $C^{\mathsf T}$.)* En particular, $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ cuando ambas son semidefinidas positivas.

**Solución de Ejercicio 12.11.**

Escríbase $B = C^{\mathsf T}C$ ([Ejercicio 12.6](#exo-b2-quadratic-6) mediante $C =
\sqrt B$). Entonces, con $c_1, \dots, c_n$ las columnas de $C^{\mathsf
T}$:

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AC^{\mathsf T}C)
= \operatorname{tr}(CAC^{\mathsf T})
= \sum_{i=1}^n \langle A c_i, c_i\rangle .
$$

Por el [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) (2), cada término está entre $\lambda_{\min}(A)\norm{c_i}^2$ y $\lambda_{\max}(A)
\norm{c_i}^2$, y $\sum\norm{c_i}^2 = \operatorname{tr}(C^{\mathsf
T}C)^{\vphantom1} = \operatorname{tr} B$: se sigue la doble desigualdad. Si además $A$ es semidefinida positiva, $\lambda_{\min}(A) \geq 0$, de donde $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$.

**Ejercicio 12.12 ★★★.**

Sobre $E = \mathcal{M}_n(\R)$, consideremos $q(M) =
\operatorname{tr}(M^2)$.

1. Prueba que $q$ es una [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) de forma polar $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ .
2. Prueba que las matrices [simétricas](#def-b2-quadratic-adjoint) y las antisimétricas forman subespacios $\varphi$ -ortogonales sobre los que $q$ es, respectivamente, definida positiva y definida negativa *(calcula $\operatorname{tr}(M^2)$ entrada a entrada en cada caso)* .
3. Concluye que $q$ tiene signatura $\bigl(\frac{n(n+1)}{2},  \frac{n(n-1)}{2}\bigr)$ y rango $n^2$ .

**Solución de Ejercicio 12.12.**

1. $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ es bilineal y [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) ( $\operatorname{tr}(MN) =  \operatorname{tr}(NM)$ ), y $\varphi(M, M) = q(M)$ : $q$ es la [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) de $\varphi$ .
2. Para $S$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) y $K$ antisimétrica: $\operatorname{tr}(SK) =  \operatorname{tr}\bigl((SK)^{\mathsf T}\bigr) =  \operatorname{tr}(K^{\mathsf T}S^{\mathsf T}) =  -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)$ , luego $\varphi(S, K) = 0$ : los dos subespacios son $\varphi$ -ortogonales. Entrada a entrada, $\operatorname{tr}(M^2) = \sum_{i,j} m_{ij}m_{ji}$ : para $M$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) esto vale $\sum m_{ij}^2 > 0$ ( $M \neq 0$ ); para $M$ antisimétrica vale $-\sum m_{ij}^2 < 0$ .
3. $\mathcal M_n(\R) = S_n \oplus A_n$ con dimensiones $\frac{n(n+1)}2$ y $\frac{n(n-1)}2$ ; una [reducción de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) adaptada a esta descomposición $\varphi$ -ortogonal escribe $q$ como $\frac{n(n+1)}2$ cuadrados positivos y $\frac{n(n-1)}2$ negativos: signatura $\bigl(\frac{n(n+1)}2, \frac{n(n-1)}2\bigr)$ (Sylvester) y rango $n^2$ ; la forma es no degenerada.

## 12.5 Problema: Cholesky, Hadamard y la descomposición polar

**Problema 12.1.**

El teorema espectral es un microscopio; este problema lo usa como fábrica. A partir de las matrices de Gram fabricamos la *factorización de Cholesky* (e identificamos los pivotes de Gauss como cocientes de menores), demostramos después la *desigualdad de Hadamard* sobre [determinantes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det), construimos la *descomposición polar* $A = QS$ y la *descomposición en valores singulares*, clasificamos las cónicas del plano y terminamos con la reducción simultánea de dos formas: el teorema que hay tras los modos normales de oscilación. En todo el problema, $E = \R^n$ con su producto escalar estándar.

**Parte I — Matrices de Gram y Cholesky.** Para vectores $v_1, \dots, v_n \in E$, su *matriz de Gram* es $G =
\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{i,j}$.

1. Prueba que $G$ es [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva, y definida positiva si y solo si $(v_1, \dots, v_n)$ es linealmente independiente *(calcula $X^{\mathsf  T}GX$)* .
2. Recíprocamente, prueba que toda $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva es una matriz de Gram: $A = C^{\mathsf T}C$ para cierta $C$ (úsese la raíz cuadrada del [Ejercicio 12.6](#exo-b2-quadratic-6) ), con $C$ invertible si y solo si $A$ es definida.
3. Deduce que una $A$ semidefinida positiva cumple $\abs{a_{ij}} \leq \sqrt{a_{ii}\,a_{jj}}$ para todos $i, j$ *(restrínjase a dos coordenadas)* : la desigualdad de Cauchy–Schwarz releída matricialmente.
4. (Cholesky) Sea $A$ definida positiva. Demuestra que existe una *única* matriz triangular superior $T$ con entradas diagonales positivas tal que $$A = T^{\mathsf T}\,T$$ *(existencia: aplíquese Gram–Schmidt a vectores que realicen $A$ como matriz de Gram; unicidad: si $T_1^{\mathsf  T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$, pruébese que $T_1T_2^{-1}$ es ortogonal y triangular con diagonal positiva, luego $I$)*.
5. Prueba que los menores principales dominantes cumplen $\Delta_k = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$ y deduce que los pivotes producidos por la [reducción de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) de una forma definida positiva, tomados en el orden natural de las variables, son $$d_k = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}  \qquad (\Delta_0 = 1) :$$ los menores del criterio de Sylvester ([Ejercicio 12.8](#exo-b2-quadratic-8)) y los pivotes de Gauss son el mismo dato. Compruébalo sobre el [Ejemplo 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads).

**Parte II — La desigualdad de Hadamard.**

6. Sea $A$ definida positiva. Demuestra que $$\det A \leq a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}$$ *(normalícese: $B = DAD$ con $D =  \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ tiene diagonal de unos; acótese $\det B = \prod \mu_i$ mediante la desigualdad entre medias contra $\operatorname{tr} B = n$)*.
7. Prueba que hay igualdad si y solo si $A$ es diagonal.
8. Deduce la *desigualdad de Hadamard*: para toda matriz cuadrada real $M$ de columnas $c_1, \dots, c_n$, $$\abs{\det M} \leq \prod_{i=1}^{n}\norm{c_i}_2 ,$$ con igualdad (para $M$ invertible) si y solo si las columnas son ortogonales dos a dos *(aplíquense las preguntas 6–7 a $M^{\mathsf T}M$)*.
9. Dividendos geométricos y combinatorios: interpreta la pregunta 8 como “el volumen de un paralelepípedo es a lo sumo el producto de las longitudes de sus aristas”, y prueba que una matriz con todas sus entradas en $\intcc{-1}{1}$ cumple $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ . (Las matrices que alcanzan esa cota —las matrices de Hadamard— existen para $n = 1, 2$ y para muchos múltiplos de $4$ ; si existen para *todos* los múltiplos de $4$ es un famoso problema [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) .)

**Parte III — [Descomposición polar](#pb-b2-quadratic-1) y valores singulares.**

10. Sea $A$ invertible. Prueba que $A^{\mathsf T}A$ es definida positiva y que $$S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}  \quad\text{(la raíz cuadrada del~\text{Ejercicio 12.6})},  \qquad Q = AS^{-1}$$ dan una factorización $A = QS$ con $Q$ ortogonal y $S$ definida positiva.
11. Demuestra que esta factorización de una $A$ invertible es única.
12. Extiende la existencia a una $A$ arbitraria: elíjanse $\varepsilon_k \to 0$ con $A + \varepsilon_k I$ invertible, escríbase $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ y úsese la [compacidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) de $O(n)$ ( [Ejercicio 12.5](#exo-b2-quadratic-5) ) para extraer $Q_k \to Q$ ; prueba que $S_k = Q_k^{\mathsf T}(A +  \varepsilon_kI)$ converge a cierta $S$ semidefinida positiva con $A = QS$ y $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ . ¿Dónde falla la unicidad para $A$ singular?
13. (Descomposición en valores singulares) Deduce que toda $A$ real cuadrada se escribe $$A = U\,\Sigma\,V^{\mathsf T},  \qquad U, V \in O(n),\quad  \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots,  \sigma_n),\ \sigma_i \geq 0 ,$$ donde los $\sigma_i$ (los *valores singulares*) son los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\sqrt{A^{\mathsf T}A}$.
14. Tres consecuencias: $\vertiii{A}_2 = \sigma_{\max}$ para *toda* $A$ real (generalizando el [Ejercicio 12.7](#exo-b2-quadratic-7) ); $\abs{\det A} =  \sigma_1\cdots\sigma_n$ ; y la imagen de la esfera unidad por una $A$ invertible es un elipsoide de semiejes $\sigma_1,  \dots, \sigma_n$ a lo largo de las columnas de $U$ .

**Parte IV — Cónicas, por el teorema espectral.** Una cónica del plano es el conjunto de ceros de $f(x) = q(x) +
\langle b, x\rangle + c$, con $q \neq 0$ una [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) de matriz $A$, $b \in \R^2$ y $c \in \R$.

15. Reduce $f$ mediante una rotación (ejes principales, [Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ) seguida de una traslación, y clasifica las formas posibles no vacías y no degeneradas según la signatura de $q$ : elipse ( $\det A >  0$ ), hipérbola ( $\det A < 0$ ), parábola ( $\det A = 0$ , rango $1$ , con el término lineal no absorbido).
16. Ejecuta la reducción completa para $$x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y = 4 :$$ coordenadas giradas, ecuación reducida, naturaleza y centro de la cónica.
17. (Cónicas con centro) Supongamos $\det A \neq 0$. Prueba que el *centro* es $x_0 = -\frac12 A^{-1}b$ y que la [congruencia](#def-b2-quadratic-def) por $\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &  1\end{pmatrix}$ de la matriz $3\times3$ $\widetilde Q =  \begin{pmatrix} A & b/2 \\ b^{\mathsf T}/2 &  c\end{pmatrix}$ da $$\det\widetilde Q = f(x_0)\,\det A :$$ la cónica con centro es degenerada (un punto o dos rectas) exactamente cuando $\det\widetilde Q = 0$.
18. Verifica la pregunta 17 sobre el ejemplo de la pregunta 16: calcula $x_0$ , $f(x_0)$ y $\det\widetilde Q$ , y concluye de nuevo que la cónica es una hipérbola no degenerada.
19. (Un haz de cuádricas) Para $\lambda \in \R$, clasifica la superficie $$x^2 + y^2 + z^2 + 2\lambda(xy + yz + zx) = 1$$ mediante los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de su matriz *(estructura de unos: [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ y $1 - \lambda$ doble)*: esfera o elipsoide, cilindro, par de planos, hiperboloides de una y de dos hojas, según $\lambda$.

**Parte V — Dos formas a la vez: reducción simultánea.**

20. Sea $q$ definida positiva y $q'$ una [forma cuadrática](#def-b2-quadratic-def) arbitraria sobre $E$ . Demuestra que existe una base de $E$ ortonormal para $q$ y ortogonal para $q'$ : en ella, $q =  \sum x_i^2$ y $q' = \sum \mu_i x_i^2$ *(úsese $q$ como producto escalar y aplíquese el teorema espectral al endomorfismo que representa $q'$)* .
21. Forma matricial: para $A$ definida positiva y $B$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) , existe una $P$ invertible con $P^{\mathsf T}AP =  I$ y $P^{\mathsf T}BP = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots,  \mu_n)$ , donde los $\mu_i$ son las raíces de $\det(B - \mu  A) = 0$ .
22. Ejecútalo por completo para $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} :$$ los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) generalizados $\mu_\pm$ y unos vectores que diagonalicen ambas formas.
23. Prueba que no puede prescindirse de la definición positiva: para $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$$ ninguna base diagonaliza ambas formas *(si $P$ diagonalizara ambas, $\det(B - \mu A)$ se escindiría con raíces reales; calcúlese)*.
24. Prueba que los $\mu_i$ de la pregunta 21 son los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A^{-1}B$ , y que $A^{-1}B$ , sin ser [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) en general, es siempre [diagonalizable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) con [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reales *(conjúguese por $\sqrt A$)* .
25. Síntesis. Una frase para cada punto: (i) el único teorema en el que se apoyó cada parte; (ii) qué resultados de las partes I–III sobreviven para matrices *semi* definidas positivas y cuáles necesitan la definición estricta; (iii) el sistema físico cuyas pequeñas oscilaciones diagonalizan las preguntas 20–22 (las energías cinética y potencial como las dos formas) y qué significan allí los $\mu_i$ .

**Solución de Problema 12.1.**

**1.** $G$ es [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) por la simetría del producto escalar, y

$$
X^{\mathsf T}GX = \sum_{i,j}x_ix_j\langle v_i, v_j\rangle
= \Bigl\|\sum_i x_iv_i\Bigr\|^2 \geq 0 ,
$$

con igualdad si y solo si $\sum x_iv_i = 0$: $G$ es definida si y solo si la única combinación nula es la trivial, es decir, si y solo si la familia es independiente.

**2.** Con $B = \sqrt A$ ([Ejercicio 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $A = B^2 =
B^{\mathsf T}B$, la matriz de Gram de las columnas de $B$; tómese $C =
B$. Y $X^{\mathsf T}AX = \norm{CX}^2$, así que $A$ es definida si y solo si $CX \neq 0$ para $X \neq 0$, o sea, si y solo si $C$ es invertible.

**3.** La restricción de la forma a $\operatorname{Vect}(e_i,
e_j)$ tiene matriz $\begin{pmatrix} a_{ii} & a_{ij}\\ a_{ij} & a_{jj}
\end{pmatrix}$, aún semidefinida positiva: su [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) (producto de sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) no negativos) es $\geq 0$, de donde $a_{ij}^2 \leq
a_{ii}a_{jj}$. Esto es Cauchy–Schwarz para los vectores $v_i, v_j$ de una realización de Gram.

**4.** *Existencia:* escríbase $A$ como matriz de Gram de una familia independiente $(v_1, \dots, v_n)$ (preguntas 1–2). Gram–Schmidt produce una base ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ con

$$
v_k = \sum_{i \leq k} t_{ik}\,e_i,
\qquad t_{kk} = \bigl\| v_k - \operatorname{proj}_{k-1}v_k
\bigr\| > 0 ,
$$

de modo que $T = (t_{ik})$ es triangular superior con diagonal positiva, y

$$
a_{jk} = \langle v_j, v_k\rangle
= \sum_i t_{ij}t_{ik} = (T^{\mathsf T}T)_{jk} .
$$

*Unicidad:* si $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$, entonces $R = T_1T_2^{-1}$ cumple $R^{\mathsf T}R = I$: $R$ es ortogonal, y además triangular superior con diagonal positiva (producto de tales). Entonces $R^{-1} = R^{\mathsf T}$ es simultáneamente triangular superior (inversa de una superior) e inferior ([traspuesta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-transpose) de una superior): es diagonal; una matriz diagonal ortogonal tiene entradas $\pm1$, y la positividad fuerza $R = I$, o sea, $T_1 = T_2$.

**5.** Para $i, j \leq k$, $(T^{\mathsf T}T)_{ij} = \sum_m
t_{mi}t_{mj}$ solo involucra $m \leq \min(i,j) \leq k$: el bloque dominante $k\times k$ de $A$ es $T_k^{\mathsf T}T_k$, con $T_k$ el bloque dominante de $T$. Por tanto, $\Delta_k = (\det T_k)^2 =
(t_{11}\cdots t_{kk})^2$. Ahora bien, la [reducción de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) de una forma definida positiva en el orden natural nunca encuentra un coeficiente cuadrático nulo (los pivotes son las entradas diagonales de los bloques definidos positivos sucesivamente reducidos): produce $q =
\sum_k d_k\ell_k^2$ con $\ell_k = x_k + (\text{términos en } x_{k+1},
\dots)$, es decir, $A = L^{\mathsf T}DL$ con $L$ triangular unipotente; entonces $T = \sqrt D\,L$ es un factor de Cholesky, así que por unicidad $t_{kk}^2 = d_k$ y

$$
d_k = \frac{(t_{11}\cdots t_{kk})^2}
{(t_{11}\cdots t_{k-1,k-1})^2}
= \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} .
$$

Sobre el [Ejemplo 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads): $\Delta_1, \Delta_2,
\Delta_3 = 2, 3, 4$ y los pivotes eran $2, \frac32, \frac43$.

**6.** Cada $a_{ii} = e_i^{\mathsf T}Ae_i > 0$. Sean $D =
\operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ y $B = DAD$: definida positiva ([congruencia](#def-b2-quadratic-def)), con $b_{ii} = 1$, de modo que $\operatorname{tr} B = n$. Sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mu_i > 0$ cumplen, por la desigualdad entre medias,

$$
\det B = \prod_i\mu_i
\leq \Bigl(\frac{\sum\mu_i}{n}\Bigr)^{\!n} = 1 ,
$$

y $\det B = (\det D)^2\det A = \dfrac{\det A}{\prod a_{ii}}$: luego $\det A \leq \prod a_{ii}$.

**7.** La desigualdad entre medias es una igualdad si y solo si todos los $\mu_i$ son iguales (a $1$); y una matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) con $1$ como único [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) es $PIP^{\mathsf T} = I$. Así pues, hay igualdad si y solo si $B = I$, es decir, si y solo si $a_{ij} = 0$ para $i \neq j$: $A$ diagonal.

**8.** Si $M$ es singular, ambos miembros son $\geq 0 = \abs{\det
M}$. En caso contrario, $A = M^{\mathsf T}M$ es definida positiva con $a_{ii} = \norm{c_i}^2$ y $\det A = (\det M)^2$: la pregunta 6 da $(\det M)^2 \leq \prod\norm{c_i}^2$. Hay igualdad si y solo si $A =
M^{\mathsf T}M$ es diagonal (pregunta 7), es decir, si y solo si las columnas son ortogonales dos a dos.

**9.** $\abs{\det M}$ es el volumen del paralelepípedo [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por las columnas: el volumen es a lo sumo el producto de las longitudes de las aristas, con igualdad exactamente para las cajas rectangulares. Si $\abs{m_{ij}} \leq 1$, entonces $\norm{c_i} \leq \sqrt n$, luego $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$. (Alcanzarlo obliga a que las columnas sean ortogonales y de entradas $\pm1$: una matriz de Hadamard.)

**10.** $X^{\mathsf T}A^{\mathsf T}AX = \norm{AX}^2 > 0$ para $X
\neq 0$ ($A$ invertible): $A^{\mathsf T}A$ es definida positiva. Su raíz cuadrada $S$ es definida positiva ([valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt{\lambda_i} > 0$), luego invertible, y $Q = AS^{-1}$ cumple

$$
Q^{\mathsf T}Q = S^{-1}A^{\mathsf T}AS^{-1}
= S^{-1}S^2S^{-1} = I :
$$

$A = QS$ con $Q$ ortogonal y $S$ definida positiva.

**11.** Si $A = QS = Q'S'$, entonces $S'^{\,2} = S'^{\mathsf
T}Q'^{\mathsf T}Q'S' = A^{\mathsf T}A = S^2$; y dos matrices semidefinidas positivas con el mismo cuadrado coinciden ([Ejercicio 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $S' = S$, y después $Q' = AS^{-1} = Q$.

**12.** $\det(A + \varepsilon I)$ es un polinomio no nulo en $\varepsilon$: tiene un número finito de raíces, así que alguna sucesión $\varepsilon_k \to 0$ las evita. Escríbase $A + \varepsilon_kI
= Q_kS_k$ (pregunta 10). $O(n)$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) ([Ejercicio 12.5](#exo-b2-quadratic-5)): una subsucesión da $Q_{\varphi(k)} \to Q
\in O(n)$. Entonces

$$
S_{\varphi(k)} = Q_{\varphi(k)}^{\mathsf T}
\bigl(A + \varepsilon_{\varphi(k)}I\bigr)
\longrightarrow Q^{\mathsf T}A =: S,
$$

[simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) semidefinida positiva por ser límite de tales (condiciones cerradas), y $A = QS$. Además, $S^2 = S^{\mathsf T}S = A^{\mathsf
T}QQ^{\mathsf T}A = A^{\mathsf T}A$, luego $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ por unicidad. Para $A$ singular, $S$ es singular y $Q$ no es única: puede modificarse arbitrariamente sobre $(\operatorname{im}
S)^{\perp}$; caso extremo $A = 0$, donde sirve cualquier $Q$ ortogonal.

**13.** Diagonalícese $S = P\Sigma P^{\mathsf T}$ (teorema espectral), con $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_i)$ y $\sigma_i
\geq 0$ los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$. Entonces

$$
A = QS = (QP)\,\Sigma\,P^{\mathsf T} = U\Sigma V^{\mathsf T},
\qquad U = QP,\ V = P \in O(n) .
$$

**14.** $\norm{Ax}^2 = x^{\mathsf T}S^2x \leq
\sigma_{\max}^2\norm x^2$, con igualdad en un [vector propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) máximo de $S$: $\vertiii A_2 = \sigma_{\max}$; para $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint), $S =
\sqrt{A^2}$ tiene [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\abs{\lambda_i}$, y se recupera el [Ejercicio 12.7](#exo-b2-quadratic-7). [Determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det): $\abs{\det A} = \abs{\det
U}\det\Sigma\abs{\det V} = \sigma_1\cdots\sigma_n$. Esfera: escribiendo $x = Vy$ con $\norm y = 1$, $Ax = U\Sigma y$ tiene coordenadas $z_i =
\sigma_iy_i$ en el sistema ortonormal de las columnas de $U$: la imagen es $\{\sum z_i^2/\sigma_i^2 = 1\}$, un elipsoide de semiejes $\sigma_i$.

**15.** Una rotación a ejes principales ([Corolario 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes)) convierte $f$ en $\lambda_1X^2
+ \lambda_2Y^2 + \beta_1X + \beta_2Y + c$, con $\lambda_1\lambda_2 =
\det A$. Si $\det A \neq 0$, absórbanse los términos lineales mediante la traslación $X \mapsto X - \frac{\beta_1}{2\lambda_1}$ (y análogamente $Y$): $\lambda_1X'^2 + \lambda_2Y'^2 = c'$. Para $\det A > 0$ (signos iguales): una elipse ($c'$ del signo correcto), un punto o el vacío. Para $\det A < 0$: una hipérbola ($c' \neq 0$) o dos rectas que se cortan. Si $\det A = 0$ con rango $1$ (digamos $\lambda_2 = 0 \neq
\lambda_1$): $\lambda_1X'^2 + \beta_2Y + c''$, una parábola cuando $\beta_2 \neq 0$; en caso contrario, dos rectas paralelas, una recta o el vacío. Formas no degeneradas: elipse, hipérbola y parábola, gobernadas por el signo de $\det A$.

**16.** La parte cuadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tiene matriz $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, con [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ y $-1$ y direcciones ortonormales $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ y $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$. En las coordenadas giradas $u =
\frac{x+y}{\sqrt2}$, $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$: $x^2 + y^2 = u^2 + v^2$ y $2xy = u^2 - v^2$, de modo que la forma es $3u^2 - v^2$, y $2x - 2y =
2\sqrt2\,v$. La ecuación pasa a ser

$$
3u^2 - v^2 + 2\sqrt2\,v = 4
\quad\Longleftrightarrow\quad
3u^2 - \bigl(v - \sqrt2\bigr)^2 = 2 :
$$

una hipérbola de centro $(u, v) = (0, \sqrt2)$, es decir, $(x, y) = (1,
-1)$, con ejes a lo largo del sistema girado.

**17.** $f(x) = (x - x_0)^{\mathsf T}A(x - x_0) + f(x_0)$ siempre que $Ax_0 = -\frac b2$, o sea, $x_0 = -\frac12A^{-1}b$: el gradiente de $f$ se anula exactamente ahí ($x_0$ es el centro de simetría). Con $M =
\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$:

$$
M^{\mathsf T}\widetilde QM
= \begin{pmatrix}
A & Ax_0 + \frac b2\\[2pt]
\bigl(Ax_0 + \frac b2\bigr)^{\mathsf T} &
x_0^{\mathsf T}Ax_0 + b^{\mathsf T}x_0 + c
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & f(x_0)\end{pmatrix},
$$

y $\det M = 1$: $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A$. La ecuación centrada se lee $q(X) = -f(x_0)$: para $f(x_0) = 0$ degenera en $q(X) = 0$ (dos rectas por el centro si la signatura es $(1,1)$, y el único punto $x_0$ si $q$ es definida); para $f(x_0) \neq 0$, la cónica es una elipse o una hipérbola genuinas.

**18.** $A^{-1} = -\frac13\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 &
1\end{pmatrix}$ y $\frac b2 = (1, -1)$: $x_0 = -A^{-1}\frac b2 = (1,
-1)$, como se halló en la pregunta 16. $f(x_0) = q(1,-1) + 2 + 2 - 4 =
(1 - 4 + 1) + 0 = -2 \neq 0$, y $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A =
(-2)(-3) = 6 \neq 0$: no degenerada; y $\det A = -3 < 0$: una hipérbola. En efecto, la ecuación centrada $3u^2 - (v - \sqrt2)^2 =
-f(x_0) = 2$ coincide con la de la pregunta 16.

**19.** La matriz es $(1-\lambda)I + \lambda J$: [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ (dirección $(1,1,1)$) y $1 - \lambda$ (doble, sobre $x +
y + z = 0$). Casos:

- $-\frac12 < \lambda < 1$ : todos los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son positivos; un elipsoide de revolución en torno a $(1,1,1)$ (una esfera para $\lambda = 0$ );
- $\lambda = 1$ : $q = (x+y+z)^2$ , y la ecuación da los dos planos paralelos $x + y + z = \pm1$ ;
- $\lambda = -\frac12$ : [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $0, \frac32,  \frac32$ : un cilindro circular de eje $(1,1,1)$ ;
- $\lambda > 1$ : signatura $(1, 2)$ : un hiperboloide de dos hojas;
- $\lambda < -\frac12$ : signatura $(2, 1)$ : un hiperboloide de una hoja.

**20.** La forma polar de $q$ es un producto escalar $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ sobre $E$. Para $x$ fijo, $y \mapsto
\varphi'(x, y)$ (forma polar de $q'$) es lineal, luego vale $\langle
z_x, y\rangle_q$ para un único $z_x$; $u(x) := z_x$ es lineal (por unicidad), y $\langle u(x), y\rangle_q = \varphi'(x,y) = \varphi'(y,x)
= \langle u(y), x\rangle_q$: $u$ es [simétrico](#def-b2-quadratic-adjoint) en el espacio euclídeo $(E, \langle\cdot,\cdot\rangle_q)$. El teorema espectral ([Teorema 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral)) da una base $q$-ortonormal de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(\varepsilon_i)$, con $u(\varepsilon_i) =
\mu_i\varepsilon_i$: en ella, $q(x) = \sum x_i^2$ y $q'(x) = \langle
u(x), x\rangle_q = \sum\mu_ix_i^2$.

**21.** Sea $P$ la matriz de esa base: la [congruencia](#def-b2-quadratic-def) da $P^{\mathsf T}AP = I$ y $P^{\mathsf T}BP = \operatorname{diag}(\mu_i)$. Entonces

$$
\det(B - \mu A) = \det(P^{-\mathsf T})
\det\bigl(\operatorname{diag}(\mu_i) - \mu I\bigr)
\det(P^{-1})
= (\det P)^{-2}\prod_i(\mu_i - \mu) :
$$

los $\mu_i$ son las raíces del haz $\det(B - \mu A)$.

**22.** $\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -2\mu & 1-\mu\\
1-\mu & -\mu\end{pmatrix} = 2\mu^2 - (1-\mu)^2 = \mu^2 + 2\mu - 1$: de raíces $\mu_\pm = -1 \pm \sqrt2$. Resolviendo $(B - \mu_\pm A)v = 0$: $v_\pm = (1 - \mu_\pm,\ 2\mu_\pm)$ (la identidad $(1-\mu)^2 = 2\mu^2$ en las raíces, procedente de la segunda fila, lo confirma). Las [normas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) respecto de $A$ salen limpias: $q_A(v_\pm) = 2(1 + \mu_\pm^2)$, y se comprueba que $\varphi_A(v_+, v_-) = 0$ usando $\mu_+ + \mu_- = -2$ y $\mu_+\mu_- = -1$. La base $\Bigl(\frac{v_+}{\sqrt{2(1 + \mu_+^2)}},
\frac{v_-}{\sqrt{2(1+\mu_-^2)}}\Bigr)$ es ortonormal para $A$ y diagonaliza $B$ con entradas $\mu_\pm$.

**23.** Si alguna $P$ invertible diagonalizara ambas formas, el cálculo de la pregunta 21 daría $\det(B - \mu A) = (\det
P)^{-2}\prod(d_{2i} - \mu d_{1i})$, un polinomio real escindido en factores lineales reales. Pero aquí

$$
\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -\mu & 1\\ 1 &
\mu\end{pmatrix} = -\mu^2 - 1 ,
$$

de grado $2$ y sin raíces reales: contradicción. (La $A$ de signatura de Lorentz admite “rotaciones” de $B$ sin ejes reales.)

**24.** $A^{-1}B = A^{-1/2}\bigl(A^{-1/2}BA^{-1/2}\bigr) A^{1/2}$ con $A^{1/2} = \sqrt A$ definida positiva ([Ejercicio 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $A^{-1}B$ es semejante a la matriz *[simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint)* $A^{-1/2}BA^{-1/2}$, luego es [diagonalizable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) con [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reales. Y $\det(B - \mu A) = \det A\cdot \det(A^{-1}B - \mu I)$: las raíces $\mu_i$ del haz de la pregunta 21 son exactamente los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A^{-1}B$.

**25.** (i) Todas las partes se apoyaron en el teorema espectral: a través de la raíz cuadrada (Cholesky, polar), de las cotas por [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (Hadamard), de los ejes principales (cónicas) y de su versión adaptada a $q$ (reducción simultánea). (ii) Las realizaciones de Gram, Hadamard y la [descomposición polar](#pb-b2-quadratic-1) sobreviven en el mundo semidefinido; la unicidad de Cholesky, la fórmula de los pivotes y la reducción simultánea necesitan la definición estricta (las preguntas 12 y 23 muestran exactamente cómo fallan). (iii) Pequeñas oscilaciones acopladas: la energía cinética (definida positiva) y la energía potencial son dos [formas cuadráticas](#def-b2-quadratic-def); la base de las preguntas 20–22 la forman los *modos normales* del sistema, y los $\mu_i$ son los cuadrados de las frecuencias angulares.