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title: "Series de Fourier"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier
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# Capítulo 14 — Series de Fourier

¿Puede reconstruirse toda señal periódica a partir de senos y cosenos puros? El audaz “sí” de Fourier creó un siglo de análisis. Este capítulo demuestra los dos pilares al alcance de este nivel: el *teorema de Dirichlet* (reconstrucción [puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) para funciones $C^1$ a trozos, mediante el [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel)) y la *identidad de Parseval* (la energía de una señal es la suma de las energías de sus armónicos), y cosecha las series numéricas clásicas, con la de Basilea $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ a la cabeza.

En todo el capítulo, las funciones son $2\pi$-periódicas, [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos y con valores complejos; $\mathcal{C}$ denota las [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity).

## 14.1 Coeficientes de Fourier

**Definición 14.1.**

Los *coeficientes de Fourier* de $f$ son

$$
c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd
t \qquad (n \in \Z),
$$

y los coeficientes en forma real son $a_n = c_n + c_{-n}$, $b_n =
\iu(c_n - c_{-n})$, de modo que las *sumas parciales de Fourier* son

$$
S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt}
= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin
nt\bigr).
$$

Sobre $\mathcal{C}$ definimos el [producto escalar hermítico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#def-b2-hermitian-def) $\langle
f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$: las exponenciales $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ son *ortonormales* ($\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$, por cálculo directo) y $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$: el análisis de Fourier es geometría [hermítica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#def-b2-hermitian-adjoint) ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#ch-b2-hermitian)) en dimensión infinita.

**Proposición 14.2 (Desigualdad de Bessel).**

$S_N(f)$ es la proyección ortogonal de $f$ sobre el espacio $\mathcal{T}_N$ de los polinomios trigonométricos de grado $\leq N$, y

$$
\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 =
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :
$$

la serie $\sum \abs{c_n}^2$ converge y $c_n(f) \to 0$ cuando $\abs n
\to \infty$ (Riemann–Lebesgue para coeficientes).

**Demostración.** $f - S_N(f)$ es ortogonal a cada $e_k$ con $\abs k \leq N$ ($\langle
e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$): $S_Nf$ es la proyección ortogonal sobre $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots,
e_N)$ (el teorema de la proyección del volumen del primer año, palabra por palabra en el marco [hermítico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#def-b2-hermitian-adjoint)). Pitágoras: $\norm f_2^2 =
\norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 =
\sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$; hágase $N \to \infty$. ∎

**Ejemplo 14.3 (La mejor aproximación, medida).**

¿Con qué precisión aproximan los polinomios trigonométricos de grado bajo a la señal en diente de sierra $f(t) = t$ (sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$) en media cuadrática? Por la [Proposición 14.2](#prop-b2-fourier-bessel), la mejor aproximación de grado $N$ *es* $S_N(f)$, con error cuadrático

$$
\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 -
\sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .
$$

Aquí $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t =
\frac{\pi^2}{3}$, y de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ ([Ejemplo 14.12](#ex-b2-fourier-basel)) resulta $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 =
\frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$. Por tanto,

$$
\norm{f - S_Nf}_2^2
= \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2}
\qquad\text{: numéricamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44
$$

para $N = 1, 2, 3, 4$: decreciente, pero despacio; la cola $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ la gobierna el lento decaimiento $\frac1n$ de los coeficientes, que a su vez es la firma del salto (el [Ejercicio 14.6](#exo-b2-fourier-6) leído al revés). Moraleja: Parseval convierte la calidad de la aproximación en la cola de una serie numérica, y predice, antes de dibujar nada, que los saltos hacen que las series de Fourier converjan de mala gana.

**Método 14.4 (Calcular coeficientes de Fourier con eficacia).**

Antes de integrar nada:

1. *Paridad:* si $f$ es par, $b_n = 0$ ; si es impar, $a_n  = 0$ , y las integrales supervivientes se reducen a $\frac2\pi \int_0^\pi$ : la mitad de trabajo y el doble de fiabilidad.
2. *Los polinomios trigonométricos ya están hechos:* linealícense los productos ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) y léanse los coeficientes ( [Ejercicio 14.9](#exo-b2-fourier-9) ); la ortonormalidad hace redundante cualquier integración posterior.
3. *Exponenciales complejas para las exponenciales:* ante factores $\eu^{at}$ u oscilaciones amortiguadas, calcúlese $c_n$ directamente; una integral de $\eu^{(a - \iu n)t}$ gana a dos integraciones por partes ( [Ejercicio 14.10](#exo-b2-fourier-10) ).
4. *Derívese un desarrollo conocido:* si se conocen los coeficientes de $f'$ y $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) , $c_n(f) =  \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) recupera todos salvo $c_0$ , que es la media; a menudo es la vía más rápida, y es legítima exactamente bajo las hipótesis del [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1).

## 14.2 El teorema de Dirichlet

**Lema 14.5 (Núcleo de Dirichlet).**

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd
u$, donde

$$
D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu}
= \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2}
\quad (u \notin 2\pi\Z),
\qquad
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .
$$

**Demostración.** Insértese la definición de $c_n$ en $S_N$ e intercámbiense suma e integral (es legítimo: la suma es finita):

$$
S_N(f)(x)
= \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx}
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)
\sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;
$$

sustitúyase $u = t - x$ y deslícese el segmento de integración de vuelta a $\intcc{-\pi}{\pi}$ mediante la $2\pi$-periodicidad del integrando; el rango [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) de índices hace que $\sum_n\eu^{-\iu
nu} = D_N(u)$. La forma cerrada: suma geométrica de razón $\eu^{\iu
u}$,

$$
D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} -
1}
= \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}}
{\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,
$$

que es el cociente de senos. Su media vale $1$: solo contribuye $n =
0$. ∎

**Teorema 14.6 (Lema de Riemann–Lebesgue).**

Para $g$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos sobre un segmento, $\int_a^b
g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ cuando $\lambda \to
+\infty$.

**Demostración.** Aproxímese $g$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) por funciones escalonadas (no hace falta el [Teorema 10.16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-weierstrass): basta la aproximación elemental de las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos por funciones escalonadas) e intégrese cada escalón explícitamente: cada trozo aporta $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$, y el error de aproximación aporta $\varepsilon(b - a)$. Este argumento se desarrolló por completo como último ejercicio del capítulo de integración del volumen del primer año; para trozos $C^1$ puede integrarse en su lugar por partes y acotarse por $\frac C\lambda$. ∎

**Ejemplo 14.7 (¿Con qué rapidez mueren los coeficientes?).**

Riemann–Lebesgue dice que los coeficientes tienden a $0$; su *ritmo* es un medidor de regularidad. Tres especímenes de este capítulo y de sus ejercicios:

$$
\text{onda cuadrada: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{impar}),
\qquad
\abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{impar}),
\qquad
\abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .
$$

Un salto en $f$ (onda cuadrada, diente de sierra) deja coeficientes de orden $\frac1n$: no hay [convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series), y sí sobreoscilación de Gibbs en los saltos. La [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) con un pico —un salto solo en $f'$— mejora el orden a $\frac{1}{n^2}$: [convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) y reconstrucción uniforme. En general, $k$ derivadas compran $c_n =
O(n^{-k})$ ([Ejercicio 14.6](#exo-b2-fourier-6)) y, recíprocamente, un [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) que decae más deprisa que toda potencia fuerza a $f$ a ser $C^\infty$ (derívese término a término, ahora legítimamente). Moraleja: la regularidad de la señal y el decaimiento del [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) son la misma información; un ingeniero lee una en la pendiente del otro sin llegar a dibujar la función.

**Teorema 14.8 (Dirichlet).**

Sea $f$ $2\pi$-periódica y $C^1$ a trozos. Entonces, para todo $x$,

$$
S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{}
\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}
$$

(la media de los límites laterales); en particular, $S_N(f)(x) \to
f(x)$ en todo punto de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Demostración.** Por el lema del núcleo y su media unidad, partiendo la integral en las mitades $u > 0$ y $u < 0$ (cada una de media $\frac12$):

$$
\begin{align*}
S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}
&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) -
f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\
&\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) -
f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u .
\end{align*}
$$

Tratemos la primera (la segunda es [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint)). Escribamos

$$
\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u)
= \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\,
\sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .
$$

La función $g$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos sobre $\intoc{0}{\pi}$ y tiene *límite finito en $0^+$*: escribiendo

$$
g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,
$$

el primer factor tiende a $f'(x^+)$ (derivabilidad lateral, consecuencia de ser $C^1$ a trozos) y el segundo a $2$ (el límite estándar $\frac{\sin v}{v} \to 1$ con $v = \frac u2$): existe $g(0^+) = 2f'(x^+)$. Así pues, $g$ se extiende de manera [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos a $\intcc{0}{\pi}$, y Riemann–Lebesgue ([Teorema 14.6](#thm-b2-fourier-riemannlebesgue)) manda la integral a $0$. En esto consiste precisamente la hipótesis: sin derivadas laterales, el factor $\frac{1}{\sin(u/2)}$ estalla en $0$ más deprisa de lo que Riemann–Lebesgue puede compensar, y la [convergencia puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) puede fallar de verdad para $f$ meramente [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); la laguna que el teorema de Fejér (problema de fin de semana) cierra promediando. ∎

**Ejemplo 14.9 (Dirichlet en un salto).**

Para el diente de sierra $f(t) = t$ sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$ ([Ejemplo 14.12](#ex-b2-fourier-basel) más abajo), la extensión periódica salta en $t = \pi$ de $f(\pi^-) = \pi$ a $f(\pi^+) = -\pi$. Dirichlet promete allí el valor $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$, y, en efecto, todos los términos de $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ se anulan en $t = \pi$: la serie converge educadamente al punto medio, ignorando ambos valores laterales. Si en cambio se evalúa en $t =
\frac\pi2$ (un punto de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)), esa misma serie se convierte en el $\frac\pi4$ de Leibniz. Una serie, dos comportamientos: exactamente las dos cláusulas del teorema.

**Teorema 14.10 (Convergencia normal para C1C^1C1; Parseval).**

1. Si $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) , $2\pi$ -periódica y $C^1$ a trozos, entonces $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , la serie de Fourier de $f$ converge *[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series)* sobre $\R$ y su suma es $f$ .
2. (Parseval) Para toda $f$ $2\pi$-periódica [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos: $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2  = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2  = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1}  \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$$ *(Se demuestra aquí para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y $C^1$ a trozos; se admite en general.)*

**Demostración.** (1) Integración por partes en cada trozo $C^1$ (los términos de frontera se cancelan por [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y periodicidad): $c_n(f') = \iu n
c_n(f)$. Entonces, por Cauchy–Schwarz sobre las dos [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) al cuadrado ([Proposición 14.2](#prop-b2-fourier-bessel) aplicada a $f'$):

$$
\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0}
\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n}
\leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :
$$

[convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) de la serie de Fourier. Su suma es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y coincide con $f$ en todo punto por Dirichlet ([Teorema 14.8](#thm-b2-fourier-dirichlet): $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)): la serie converge a $f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def).

(2) Para tal $f$: $S_N f \to f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def), luego $\norm{f -
S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$, y Pitágoras ($\norm
f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$) pasa al límite. La forma real es contabilidad con $a_n$ y $b_n$. ∎

**Ejemplo 14.11 (La cota de la cola en el caso C1C^1C1, cuantificada).**

La demostración del [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1) esconde una estimación utilizable. Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y $C^1$ a trozos, el mismo Cauchy–Schwarz aplicado solo a la cola da

$$
\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)}
= \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n}
\leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2}
\Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2}
\leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,
$$

usando Bessel para $f'$ y $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$. Así pues, el error uniforme de las sumas parciales obedece

$$
\norm{f - S_Nf}_\infty
\leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)}
\leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .
$$

Para $f(t) = \abs t$: $\norm{f'}_2 = 1$ (la derivada vale $\pm1$), de modo que diez términos ya reconstruyen $\abs t$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) con error $\sqrt{0.2} \approx 0.45$, y $N = 10^4$ con error $0.015$. Moraleja: una derivada compra el ritmo uniforme $\frac{1}{\sqrt N}$; comparado con el mundo de coeficientes $\frac1n$ de la onda cuadrada (sin [convergencia uniforme](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) en absoluto), el diccionario del [Ejemplo 14.7](#ex-b2-fourier-decaytable) adquiere números.

**Ejemplo 14.12 (Basilea y compañía).**

Sea $f(t) = t$ sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$, extendida $2\pi$-periódicamente (un diente de sierra, $C^1$ a trozos). Calculando, $a_n = 0$ (por imparidad) y

$$
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t
= \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .
$$

Dirichlet en $t = \frac\pi2$ recupera el $\frac\pi4 = 1 - \frac13 +
\frac15 - \dots$ de Leibniz; y Parseval da

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3}
= \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2}
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}
$$

la suma de Basilea de Euler, en dos líneas. La función $f(t) = t^2$ da análogamente $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ ([Ejercicio 14.3](#exo-b2-fourier-3)).

**Ejemplo 14.13 (Un desarrollo completo con comprobación incorporada: ∣sin⁡t∣\abs{\sin t}∣sint∣).**

La función $f(t) = \abs{\sin t}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), par, $\pi$-periódica (luego $2\pi$-periódica) y $C^1$ a trozos. La paridad mata los $b_n$; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$; y para $n \geq 1$, la fórmula de producto a suma da

$$
a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t +
\sin(1-n)t\bigr)\dd t
= \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}
$$

para $n \neq 1$ (y $a_1 = 0$ directamente): cero para $n$ impar, y $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$. Por el [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1), la convergencia es normal, y

$$
\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}
\sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1}
\qquad (t \in \R) .
$$

Comprobación incorporada en $t = 0$: la identidad exige $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$, lo que confirma un telescopaje:

$$
\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1}
= \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} -
\frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark
$$

Moraleja: el [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\abs{\sin}$ vive solo en las frecuencias *pares*; rectificar un seno duplica su contenido frecuencial, y por eso los rectificadores de onda completa zumban a $100$ o $120$ hercios, el doble de la frecuencia de la red.

**Ejemplo 14.14 (Parseval como máquina de calcular).**

Parseval convierte desarrollos en series numéricas al por mayor. Apliquémoslo a $f(t) = \abs t$ ([Ejercicio 14.2](#exo-b2-fourier-2): $a_0 = \pi$, $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ para $n$ impar, y los demás nulos):

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3}
= \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ impar}} a_n^2
= \frac{\pi^2}{4} +
\frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^4} ,
$$

de donde

$$
\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^4}
= \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} -
\frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .
$$

Contraste con el [Ejercicio 14.3](#exo-b2-fourier-3): partir $\sum\frac1{n^4}$ en sus partes impar y par da la contabilidad al estilo $\zeta$ $S =
S_{\mathrm{impar}} + \frac{S}{16}$, luego $S =
\frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$, exactamente el valor hallado allí con otra función. Dos desarrollos, un número: la coherencia es la isometría de Parseval en acción. Moraleja: cada nuevo desarrollo de Fourier es una máquina de generar identidades entre series; la parte II del problema de fin de semana explica por qué la máquina nunca puede contradecirse.

![La onda cuadrada (gris) y las sumas parciales de Fourier S_1 (azul) y S_9 (roja): convergencia en todo punto de continuidad, pero con una sobreoscilación persistente de 9\,\% cerca de los saltos, el fenómeno de Gibbs. La convergencia uniforme falla justamente porque el límite es discontinuo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-fourier/fig-6ce52b3434ba.svg)

*La onda cuadrada (gris) y las [sumas parciales de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients) $S_1$ (azul) y $S_9$ (roja): convergencia en todo punto de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), pero con una sobreoscilación persistente de $\sim 9\,\%$ cerca de los saltos, el *fenómeno de Gibbs*. La [convergencia uniforme](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) falla justamente porque el límite es discontinuo.*

**Ejemplo 14.15 (Traslación y modulación).**

Dos reglas de una línea generan muchos desarrollos a partir de uno. Para $a \in \R$, sustituyendo $s = t - a$:

$$
c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr)
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t
= \eu^{-\iu na}\,c_n(f)
\qquad\text{(trasladar modula el espectro)},
$$

y, directamente de la definición,

$$
c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f)
\qquad\text{(modular traslada el espectro)}.
$$

Ejemplo resuelto: el diente de sierra desplazado en $\pi$, $g(t) =
f(t - \pi)$ con $f(t) = t$, tiene coeficientes $b_n$ iguales a $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$: el desarrollo $g \sim
-2\sum\frac{\sin nt}{n}$ del diente de sierra que salta en $0$ en vez de en $\pi$, sin recalcular ninguna integral. Moraleja: los desplazamientos temporales solo giran fases, nunca amplitudes ($\abs{c_n}$ es invariante por traslación), y por eso la energía (Parseval) y la clase de convergencia son propiedades de la *forma* de la señal, no de dónde empieza el reloj.

**Observación 14.16 (Errores frecuentes).**

*(i) Tres convergencias, tres monedas:* la [puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) (Dirichlet: exige $C^1$ a trozos y paga el *punto medio* en cada salto, nunca el valor lateral), la uniforme (exige un límite [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); imposible a través de un salto, y Gibbs es el síntoma visible) y la de la media cuadrática (Parseval: la más robusta, ciega a los puntos aislados). Dígase siempre cuál se está afirmando. *(ii) Nada de derivar término a término por defecto:* derivar término a término la serie del diente de sierra del [Ejemplo 14.12](#ex-b2-fourier-basel) produce $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$, cuyos términos ni siquiera tienden a $0$; los teoremas de transferencia del capítulo de sucesiones de funciones exigen la [convergencia uniforme](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) de la serie *derivada*, que el salto destruye. Primero la regularidad, después la derivación (el [Ejercicio 14.6](#exo-b2-fourier-6) es el diccionario). *(iii) Sumas parciales [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint):* el teorema de Dirichlet se refiere a $S_N =
\sum_{-N}^{N}$; reordenar o sumar primero un lado puede convertir la divergencia en convergencia y viceversa. *(iv) Deriva de normalización:* los convenios difieren de un libro a otro ($\frac{1}{2\pi}$ o $\frac1\pi$ delante, periodo $2\pi$ o $1$); los invariantes fiables son las relaciones de ortonormalidad: recalcúlese $\langle e_m, e_n\rangle$ en el convenio en uso antes de fiarse de ninguna fórmula.

**Observación 14.17 (Dónde se usa).**

Parseval es el germen de la teoría $L^2$ de las series de Fourier: el volumen del tercer año completa el cuadro (las exponenciales son una base de Hilbert de $L^2$, y la aplicación $f \mapsto (c_n)$ es una isometría biyectiva). Dentro de este volumen, el problema de fin de semana demuestra el *teorema de Fejér* —las medias de Cesàro de la serie de Fourier convergen [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) para toda $f$ periódica continua—, que asciende a teorema el Parseval general admitido, da el teorema de Weierstrass trigonométrico y rinde dos dividendos espectaculares: el teorema de equidistribución de Weyl y la desigualdad isoperimétrica. La matemática aplicada lee este capítulo a diario: [espectros](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de señales, armónicos de sistemas vibrantes y la transformada rápida de Fourier (cuyo avatar finito fue el [Ejercicio 13.10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#exo-b2-hermitian-10)).

**Observación 14.18 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Tres capítulos conversan con este. Hacia atrás: el capítulo [hermítico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#def-b2-hermitian-adjoint) suministró la geometría (familias ortonormales, proyecciones, Bessel) y el de sucesiones de funciones, el análisis ([convergencia uniforme](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def), teoremas de transferencia, identidades aproximadas: el núcleo de Fejér es a las series de Fourier lo que los [polinomios de Bernstein](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-weierstrass) fueron a Weierstrass). De lado: la teoría de la frontera del capítulo de series de potencias vuelve mediante la [sumación de Abel](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-abel), realizada aquí por el núcleo de Poisson ([Ejercicio 14.12](#exo-b2-fourier-12)), donde el radio $r$ del disco hace de parámetro de sumación. Hacia delante: el capítulo de ecuaciones diferenciales descompone en armónicos las excitaciones periódicas y alimenta con cada uno la respuesta en frecuencia del oscilador; hay resonancia cuando un modo de Fourier de la entrada coincide con una frecuencia propia, razón por la cual su problema de fin de semana y el de este capítulo son dos mitades de una misma historia.

![El núcleo de Dirichlet D_8 (azul) oscila y toma valores negativos; el núcleo de Fejér F_8 (rojo) es no negativo, se concentra en 0 y tiene media 1: una identidad aproximada. La positividad es exactamente lo que le falta al núcleo de Dirichlet, y lo que hace incondicional el teorema de Fejér del problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-fourier/fig-01aa640fe8e7.svg)

*El [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel) $D_8$ (azul) oscila y toma valores negativos; el núcleo de Fejér $F_8$ (rojo) es no negativo, se concentra en $0$ y tiene media $1$: una *identidad aproximada*. La positividad es exactamente lo que le falta al [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel), y lo que hace incondicional el teorema de Fejér del problema de fin de semana.*

## 14.3 Ejercicios

**Ejercicio 14.1 ★.**

Calcula los [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients) de la onda cuadrada ($f = -1$ sobre $\intoo{-\pi}{0}$ y $+1$ sobre $\intoo{0}{\pi}$), enuncia la conclusión de Dirichlet en $t = \frac\pi2$ y en el salto $t = 0$, y recupera la serie de Leibniz.

**Solución de Ejercicio 14.1.**

La imparidad mata los $a_n$. Para $n \geq 1$:

$$
b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n}
= \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ impar},\\ 0 & n
\text{ par}. \end{cases}
$$

Por tanto, $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0}
\frac{\sin\bigl((2k+1)t\bigr)}{2k+1}$. Dirichlet en $t = \frac\pi2$ (un punto de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), de valor $1$): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$, lo que da

$$
1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1}
\quad\Longrightarrow\quad
\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}
\quad\text{(Leibniz)}.
$$

En el salto $t = 0$, la serie suma $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$, como prescribe Dirichlet (todos los términos se anulan: coherente).

**Ejercicio 14.2 ★.**

Desarrolla en serie de Fourier $f(t) = \abs t$ ($\abs t \leq \pi$, $2\pi$-periódica); justifica la convergencia *normal*; evalúa en $t = 0$ para obtener $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} =
\frac{\pi^2}{8}$ y vuelve a deducir de ahí la suma de Basilea.

**Solución de Ejercicio 14.2.**

La paridad mata los $b_n$; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs
t\,\dd t = \pi$, y para $n \geq 1$:

$$
a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2}
= \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ impar},\\ 0 & n
\text{ par}, \end{cases}
$$

(una integración por partes). De ahí,

$$
\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0}
\frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,
$$

con convergencia *normal* ($\sum (2k+1)^{-2} < \infty$), como predice el [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1) para esta función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y $C^1$ a trozos. En $t = 0$:

$$
0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2}
\quad\Longrightarrow\quad
\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .
$$

Partiendo $\sum \frac{1}{n^2}$ en sus partes impar y par: $S =
\frac{\pi^2}{8} + \frac S4$, luego $S = \frac{\pi^2}{6}$: Basilea de nuevo.

**Ejercicio 14.3 ★.**

Desarrolla $f(t) = t^2$ ($\abs t \leq \pi$) y deduce

$$
\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12},
\qquad
\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}
\quad\text{(Parseval)}.
$$

**Solución de Ejercicio 14.3.**

Paridad: $b_n = 0$; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 =
\frac{2\pi^2}{3}$; dos integraciones por partes dan $a_n =
\frac{4(-1)^n}{n^2}$ ($n \geq 1$). De ahí,

$$
t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1}
\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt
\qquad (\abs t \leq \pi),
$$

[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) convergente. En $t = 0$: $0 = \frac{\pi^2}{3} +
4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$, es decir, $\sum_{n\geq1}
\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$. Parseval:

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5}
= \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2
= \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,
$$

luego $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} -
\frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$.

**Ejercicio 14.4 ★★.**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $2\pi$-periódica con $c_n(f) = 0$ para todo $n$. Demuestra que $f = 0$ *(Parseval; ¿para qué clase se demuestra aquí? justifica que la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y el ser $C^1$ a trozos pueden suprimirse admitiendo el Parseval general, o esboza el argumento de densidad)*.

**Solución de Ejercicio 14.4.**

Si además $f$ es $C^1$ a trozos: Parseval (ya demostrado) da $\norm
f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$, y la positividad estricta de la integral de la función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $\abs f^2$ fuerza $f = 0$.

Para $f$ meramente [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), admítase el Parseval general: la misma demostración de una línea. (Esbozo de la vía por densidad: la aproximación trigonométrica de tipo Fejér–Weierstrass muestra que los polinomios trigonométricos son densos en $\norm\cdot_2$ entre las funciones periódicas [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); como $f \perp$ a todos ellos, $\norm
f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ para los aproximantes $P$, lo que fuerza $\norm f_2 = 0$.)

**Ejercicio 14.5 ★★.**

Para $\alpha \notin \Z$, desarrolla $f(t) = \cos(\alpha t)$ ($\abs t
\leq \pi$) y deduce el desarrollo en fracciones simples de la cotangente:

$$
\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}
\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .
$$

**Solución de Ejercicio 14.5.**

Paridad: $b_n = 0$;

$$
a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\cdot
\frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}
$$

(fórmula de producto a suma y después integrar; $a_0 =
\frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$). Dirichlet en $t = \pi$ (un punto de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de la extensión periódica, cuyos valores laterales coinciden por paridad):

$$
\cos(\pi\alpha)
= \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}
+ \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 -
n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi)
= \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} +
\sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),
$$

usando $(-1)^n\cos n\pi = 1$. Dividiendo entre $\sin(\pi\alpha)/\pi$ se obtiene el desarrollo de la cotangente.

**Ejercicio 14.6 ★★.**

Demuestra que si $f$ es $2\pi$-periódica y de clase $C^k$ con $f^{(k)}$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos, entonces $c_n(f) = O\bigl(\abs
n^{-k}\bigr)$: regularidad de la señal $=$ decaimiento de su [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).

**Solución de Ejercicio 14.6.**

Iterando $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ($k$ veces, con integración por partes a través de los trozos $C^{k}$ y valores de frontera que casan): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$. Los coeficientes de la función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos $f^{(k)}$ están acotados (de hecho, $\to 0$, por Bessel):

$$
\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k}
= O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .
$$

**Ejercicio 14.7 ★★★.**

(Desigualdad de Wirtinger) Sea $f$ de clase $C^1$, $2\pi$-periódica y con $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$. Demuestra que

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,
$$

con igualdad si y solo si $f(t) = a\cos t + b\sin t$. *(Parseval en ambos miembros; compara $\abs{c_n}^2$ con $n^2\abs{c_n}^2$.)*

**Solución de Ejercicio 14.7.**

Parseval para $f$ y para $f'$ (ambos legítimos: $f$ es $C^1$ y $f'$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos, de hecho [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)):

$$
\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2
\quad (c_0 = 0 \text{ por la hipótesis de media nula}),
\qquad
\frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .
$$

Término a término, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ para $\abs n
\geq 1$: se sigue la desigualdad. La igualdad fuerza $(n^2 -
1)\abs{c_n}^2 = 0$ para todo $n$, es decir, $c_n = 0$ para $\abs n
\geq 2$: $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t +
b\sin t$ (forma real); y recíprocamente, tales $f$ dan la igualdad.

**Ejercicio 14.8 ★★★.**

(La constante de Gibbs) Para la onda cuadrada del [Ejercicio 14.1](#exo-b2-fourier-1), evalúa la suma parcial en $x_N =
\frac{\pi}{2N}$: escribiendo $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ y $\Delta u
= \frac{\pi}{N}$, prueba que

$$
S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr)
= \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1}
= \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u
\xrightarrow[N\to\infty]{}
\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :
$$

una suma de Riemann de $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ sobre $\intcc{0}{\pi}$ en los puntos medios. Concluye que la sobreoscilación por encima del valor de salto $1$ no se desvanece cuando $N \to \infty$.

**Solución de Ejercicio 14.8.**

Por el [Ejercicio 14.1](#exo-b2-fourier-1), $S_{2N-1}(x) =
\frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$. En $x_N =
\frac{\pi}{2N}$, con $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$:

$$
S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1}
= \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot
\frac{u_k}{2k+1}
= \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot
\frac{\pi}{N},
$$

puesto que $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$. Los puntos $u_k$ son los puntos medios de los $N$ subintervalos de $\intcc{0}{\pi}$ de longitud $\frac{\pi}{N}$: la suma es una suma de Riemann por el punto medio de la función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$, luego converge a

$$
\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u
\approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .
$$

Las sumas parciales cerca del salto sobrepasan el valor $1$ en un $\approx 18\,\%$ de la semialtura del salto para siempre: el fenómeno de Gibbs, cuantificado.

**Ejercicio 14.9 ★.**

Desarrolla $\cos^3 t$ y $\sin^2 t\,\cos t$ en serie de Fourier *(linealiza; un polinomio trigonométrico es su propia serie de Fourier, por la unicidad de los coeficientes)*. ¿Cuánto valen $c_n$, $a_n$ y $b_n$ en cada caso?

**Solución de Ejercicio 14.9.**

De $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$:

$$
\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4},
\qquad
\sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t
= \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .
$$

Cada uno es un polinomio trigonométrico, luego igual a su propia serie de Fourier (por unicidad de los coeficientes: dos desarrollos diferirían en un polinomio trigonométrico de coeficientes todos nulos). Para $\cos^3t$: $a_1 = \frac34$, $a_3 = \frac14$, todos los demás $a_n$ y todos los $b_n$ nulos; $c_{\pm1} = \frac38$, $c_{\pm3}
= \frac18$. Para $\sin^2t\cos t$: $a_1 = \frac14$, $a_3 = -\frac14$; $c_{\pm1} = \frac18$, $c_{\pm3} = -\frac18$.

**Ejercicio 14.10 ★★.**

Sean $a > 0$ y $f(t) = \eu^{at}$ sobre $\intoc{-\pi}{\pi}$, extendida $2\pi$-periódicamente. Calcula

$$
c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,
$$

aplica el teorema de Dirichlet en el salto $t = \pi$ y deduce el desarrollo en fracciones simples de la cotangente hiperbólica:

$$
\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}
\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .
$$

**Solución de Ejercicio 14.10.**

Cálculo directo:

$$
c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t
= \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}}
{2\pi(a - \iu n)}
= \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,
$$

usando $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$. En $t = \pi$, la extensión periódica salta de $\eu^{a\pi}$ a $\eu^{-a\pi}$; Dirichlet (con sumas parciales [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint)) da

$$
\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\,
= \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a +
\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} +
\frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr)
= \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a +
\sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,
$$

pues las partes imaginarias de los términos apareados se cancelan. Dividiendo entre $\sinh(a\pi)$:

$$
\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} +
\sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,
$$

la gemela hiperbólica del [Ejercicio 14.5](#exo-b2-fourier-5).

**Ejercicio 14.11 ★★.**

(Convolución) Para $f, g$ [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y $2\pi$-periódicas definimos

$$
(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\,
\dd t .
$$

Prueba que $f * g = g * f$, que $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ *(para intercambiar las dos integrales de un integrando [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), compara las dos funciones del límite superior: ambas se anulan en el extremo izquierdo y tienen la misma derivada, por [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y derivación bajo el signo integral)*, y que $S_N(f) = f
* D_N$ para el [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel). (Las medias de Fejér del problema de fin de semana son también convoluciones, $\sigma_N(f) = f
* F_N$.)

**Solución de Ejercicio 14.11.**

Conmutatividad: sustitúyase $s = x - t$ y úsese la periodicidad del integrando. Para $c_n(f * g)$, el integrando $(x, t) \mapsto
f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); las dos integrales iteradas coinciden (ambas, como funciones del límite superior de la variable exterior, se anulan en el extremo izquierdo y tienen la misma derivada: la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) más el [Teorema 9.10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#thm-b2-integration-continuity) justifican derivar la integral iterada). Por tanto,

$$
c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt}
\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t
= c_n(f)\,c_n(g),
$$

pues la integral interior vale $c_n(f)$ para todo $t$ (sustitución y periodicidad). Por último, el [Lema 14.5](#lem-b2-fourier-kernel) dice que $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$; la sustitución $u
\mapsto -t$ y la paridad de $D_N$ convierten esto en $(f * D_N)(x)$.

**Ejercicio 14.12 ★★★.**

(Núcleo de Poisson: medias de Abel de las series de Fourier) Para $0
\leq r < 1$, pongamos $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu
nt}$.

1. Suma las dos series geométricas y prueba que $$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0,  \qquad  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$$
2. Prueba que para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq  \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ cuando $r \to  1^-$ , [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) .
3. Deduce que, para toda $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $2\pi$ -periódica, las *medias de Abel* $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs  n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ convergen a $f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) cuando $r \to 1^-$ : la hermana de parámetro [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) del teorema de Fejér, y la encarnación en Fourier de la [sumación de Abel](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-abel) del capítulo de series de potencias.

**Solución de Ejercicio 14.12.**

1. Con $w = r\eu^{\iu t}$: $$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w}  = \Re\frac{1 + w}{1 - w}  = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2}  = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$$ Media $1$: la integración término a término de la serie [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) convergente solo conserva $n = 0$.
2. Para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq  \cos\delta$ , luego $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 -  2r\cos\delta + r^2}$ , cuyo denominador tiende a $2 -  2\cos\delta > 0$ mientras el numerador tiende a $0$ : [convergencia uniforme](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) a $0$ fuera de todo entorno de $0$ .
3. La integración término a término ([convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) en $t$) da $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu  nx}$. El argumento de identidad aproximada: con media $1$ y positividad, $$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)}  \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}  \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$$ pártase en $\abs t = \delta$: a lo sumo $\varepsilon$ (Heine) más $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs  t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$: [convergencia uniforme](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) cuando $r \to 1^-$. Esta es la [sumación de Abel](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-abel) de la serie de Fourier: la gemela en Fourier de la teoría de la frontera del capítulo de series de potencias.

## 14.4 Problema: el teorema de Fejér y sus dividendos

**Problema 14.1.**

El teorema de Dirichlet necesita que $f$ sea $C^1$ a trozos; para $f$ meramente [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), las sumas parciales $S_N(f)$ pueden portarse mal. El descubrimiento de Fejér: sus *medias de Cesàro* nunca lo hacen. El motor es la positividad del núcleo de Fejér, y la cosecha es inmensa: aproximación trigonométrica uniforme (Weierstrass), unicidad de los [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients), Parseval para toda función de este capítulo (lo que elimina el “admitido” del [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval)), el teorema de equidistribución de Weyl y —coronando un siglo de geometría— la desigualdad isoperimétrica. En todo el problema, $f$ es $2\pi$-periódica y [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos, y

$$
\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots +
S_{N-1}(f)}{N} .
$$

**Parte I — El núcleo de Fejér.**

1. Prueba que $\sigma_N(f)(x) =  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ con $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , y que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
2. Demuestra la forma cerrada, para $u \notin 2\pi\Z$: $$F_N(u) = \frac{1}{N}\,  \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)}  {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$$ *(suma $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ como parte imaginaria de una serie geométrica)*.
3. Prueba la estimación de concentración: para $0 < \delta \leq  \abs u \leq \pi$, $$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2}  \xrightarrow[N\to\infty]{} 0  \quad\text{uniformemente} :$$ $(F_N)$ es una identidad aproximada positiva.
4. (Teorema de Fejér) Demuestra que si $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y $2\pi$ -periódica, entonces $\sigma_N(f) \to f$ *[uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def)* sobre $\R$ *(parte la integral de $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ en $\abs u = \delta$; usa Heine y las preguntas 1–3)* .
5. Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos, prueba la versión [puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en todo $x$ , y la cota uniforme $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm  f_\infty$ *(¡positividad!)* .

**Parte II — Weierstrass, unicidad, Parseval.**

6. (Weierstrass trigonométrico) Deduce que toda función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $2\pi$ -periódica es límite uniforme de polinomios trigonométricos.
7. (Unicidad) Deduce que una $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) con $c_n(f) = 0$ para todo $n$ es idénticamente nula: dos funciones periódicas [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) con los mismos [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients) coinciden ( [Ejercicio 14.4](#exo-b2-fourier-4) , ahora sin nada admitido).
8. (Parseval, caso [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)) Usando la propiedad de proyección de $S_N$ ([Proposición 14.2](#prop-b2-fourier-bessel)) y que $\sigma_Nf \in  \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$, demuestra que $$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2  \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty  \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$$ y concluye la identidad de Parseval para toda $f$ $2\pi$-periódica *[continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)*.
9. (Parseval, caso [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos) Dadas $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos y $\varepsilon > 0$ , construye una $g$ periódica [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) con $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ *(sustituye $f$ por una interpolación afín en intervalos minúsculos alrededor de los saltos)* y deduce que $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ *(usa Bessel: $\norm{S_Nh}_2  \leq \norm h_2$)* : Parseval vale en toda la generalidad enunciada en el [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) ; el “admitido” ha desaparecido.
10. (Sin Gibbs para Fejér) Contrasta con el [Ejercicio 14.8](#exo-b2-fourier-8) : prueba que, para la onda cuadrada $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ en todas partes y para todo $N$ ; promediar al modo de Cesàro borra la sobreoscilación que persigue a $S_N$ . Explica en una frase qué propiedad de $F_N$ es la responsable.

**Parte III — Ritmos.**

11. Demuestra las dos cotas del núcleo, para $0 < \abs u \leq  \pi$: $$F_N(u) \leq N,  \qquad  F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$$ *(para la primera, $\abs{\sin N\theta} \leq  N\abs{\sin\theta}$ por inducción; para la segunda, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ sobre $\intcc{0}{\pi}$)*.
12. Deduce la estimación del primer momento $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u  \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N}  \qquad (N \geq 2)$$ para una constante explícita *(parte en $\abs u =  \frac1N$)*.
13. Concluye: si $f$ es $L$-lipschitziana y $2\pi$-periódica, entonces $$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$$
14. (Saturación) Calcula $\sigma_N(e_1)$ para $e_1(t) = \eu^{\iu  t}$ y prueba que $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty =  \frac1N$ : incluso para las funciones más regulares, Fejér no converge más deprisa que $\frac1N$ ; el análogo exacto de la saturación de Bernstein del problema de fin de semana del capítulo de sucesiones de funciones.
15. (Localización) Prueba que si $f$ ( [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos) se anula sobre $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , entonces $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , por muy salvaje que sea $f$ en el resto: la convergencia de las medias en $x$ solo ve a $f$ cerca de $x$ .

**Parte IV — El teorema de equidistribución de Weyl.** Una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ de $\intco{0}{1}$ está *equidistribuida* cuando, para todo intervalo $\intcc{a}{b}
\subseteq \intcc{0}{1}$,

$$
\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N}
\xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .
$$

16. Prueba que $(x_n)$ está equidistribuida en cuanto $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ para toda $f$ $1$ -periódica *[continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)* *(encaja la indicatriz de $\intcc ab$ entre dos funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) afines a trozos cuyas integrales difieran en $\varepsilon$)* .
17. (Criterio de Weyl, suficiencia) Supongamos que $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n}  \xrightarrow[N\to\infty]{} 0  \qquad\text{para todo } k \in \Z\setminus\{0\} .$$ Prueba que $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ primero para los polinomios trigonométricos y después para toda $f$ $1$-periódica [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) gracias a la pregunta 6 (trasladada al periodo $1$): con la pregunta 16, $(x_n)$ está equidistribuida.
18. Sea $\alpha$ irracional y $x_n = \{n\alpha\}$ (la parte fraccionaria). Acota la suma geométrica $$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr|  \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}}  \qquad (k \neq 0),$$ y concluye el *teorema de Weyl*: $(\{n\alpha\})$ está equidistribuida en $\intco{0}{1}$.
19. Deduce que $(\{n\alpha\})$ es densa en $\intcc{0}{1}$ para $\alpha$ irracional, y explica en una frase por qué la equidistribución es estrictamente más fuerte que la densidad.
20. (Dígitos iniciales) Demuestra que la proporción de enteros $n \leq N$ tales que $2^n$ tiene por primer dígito (decimal) un $1$ tiende a $\log_{10}2 \approx 0.301$ *(que el primer dígito sea $1$ significa $\{n\log_{10}2\} \in  \intco{0}{\log_{10}2}$; prueba que $\log_{10}2$ es irracional)* .

**Parte V — La desigualdad isoperimétrica.** Sea $\Gamma$ una curva cerrada simple de clase $C^1$, de longitud $L$, que encierra un área con signo $A$, parametrizada por longitud de arco reescalada: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$, $2\pi$-periódica, con $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constante; el área encerrada es

$$
A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t
= \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t
$$

(tomada aquí como definición del área con signo; el capítulo de integrales múltiples demuestra que coincide con la intuitiva, mediante la fórmula de Green).

21. Desarrolla $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (la serie de una función $C^1$, [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) convergente) y demuestra, aplicando Parseval a $z'$, que $$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t  = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$$
22. Demuestra igualmente que $A = \pi\sum_{n\in\Z}  n\,\abs{c_n}^2$ *(Parseval en su forma polarizada: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$, aplicada a $f = z$, $g = z'$)* .
23. (Hurwitz) Concluye que $$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}  (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$$ con igualdad si y solo si $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$, es decir, una circunferencia. La desigualdad isoperimétrica: entre las curvas cerradas de longitud $L$, solo la circunferencia encierra un área $\frac{L^2}{4\pi}$.
24. Comprobaciones de sensatez: verifica la igualdad para la circunferencia de radio $R$ y la desigualdad estricta para el cuadrado de lado $a$ ; explica por qué $n^2 - n \geq 0$ para todo entero $n$ , incluidos los negativos, y dónde se usó que la parametrización tiene velocidad constante.
25. Síntesis. Una frase para cada punto: (i) la única propiedad de $F_N$ de la que fluyen las partes I–III, y de la que carece $D_N$ ; (ii) cómo se relaciona aquí la sumación de Cesàro con el problema de fin de semana del capítulo de series de potencias (Frobenius); (iii) qué dividendo usó solo Weierstrass (pregunta 6) y cuál necesitó el Parseval [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) ; (iv) una frase sobre lo que añade el volumen del tercer año (la [completitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) de $L^2$ : las series de Fourier como base de Hilbert).

**Solución de Problema 14.1.**

**1.** Promediando el [Lema 14.5](#lem-b2-fourier-kernel) sobre $n = 0,
\dots, N-1$ (linealidad de la integral) se obtiene $\sigma_N(f)(x) =
\frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$; cada $D_n$ tiene media $1$, luego $F_N$ tiene media $1$.

**2.** Con $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$:

$$
\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr)
= \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u}
- 1}\Bigr]
= \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2}
= \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2}
= \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .
$$

Dividiendo entre $N\sin\frac u2$:

$$
F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2}
= \frac{1}{N}\,
\frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .
$$

**3.** Sobre $\delta \leq \abs u \leq \pi$: $\sin^2\frac u2 \geq
\sin^2\frac\delta2$ y $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$, luego $F_N \leq
\frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) ahí.

**4.** Por la media unidad, $\sigma_Nf(x) - f(x) =
\frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$. Dado $\varepsilon$, Heine proporciona un $\delta$ con $\abs{f(x+u) -
f(x)} \leq \varepsilon$ para $\abs u \leq \delta$, uniformemente en $x$. Entonces, usando $F_N \geq 0$ y su media unidad,

$$
\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)}
\leq \varepsilon +
2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi}
\int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N
\leq \varepsilon + \frac{2\norm
f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2}
\leq 2\varepsilon
$$

para $N$ grande, uniformemente en $x$: el teorema de Fejér.

**5.** $F_N$ es par y de media $1$: cada mitad $\intcc{0}{\pi}$ e $\intcc{-\pi}{0}$ aporta media $\frac12$. Entonces

$$
\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}
= \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) -
f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u
+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) -
f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;
$$

en cada mitad, pártase en $\abs u = \delta$, donde el límite lateral está $\varepsilon$-cerca, y que la pregunta 3 mate la parte lejana: ambas integrales tienden a $0$. La cota: $F_N \geq 0$ da $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm
f_\infty$.

**6.** Cada $\sigma_N(f)$ es un polinomio trigonométrico (una media de las $S_n(f)$, $n < N$), y $\sigma_N(f) \to f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def): el teorema de Weierstrass trigonométrico.

**7.** Que $c_n(f) = 0$ para todo $n$ hace que toda $S_n(f) =
0$, luego toda $\sigma_N(f) = 0$; por Fejér, $f = \lim\sigma_Nf =
0$. Aplicándolo a una diferencia: las funciones periódicas [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) quedan determinadas por sus [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients).

**8.** $S_Nf$ es la proyección ortogonal de $f$ sobre $\mathcal
T_N$ ([Proposición 14.2](#prop-b2-fourier-bessel)), de modo que minimiza $\norm{f -
P}_2$ sobre $P \in \mathcal T_N$; y como $\sigma_Nf \in \mathcal
T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$:

$$
\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2
\leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0
$$

(la desigualdad central, porque la media de $\abs\cdot^2$ es a lo sumo el supremo al cuadrado). Pitágoras, $\norm f_2^2 = \sum_{\abs
n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$, pasa entonces al límite: Parseval para toda $f$ periódica [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity).

**9.** Sean $t_1, \dots, t_p$ los saltos de $f$ en un periodo y $M = \norm f_\infty$. Para $\eta$ pequeño, defínase $g = f$ fuera de los intervalos $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ y como la cuerda afín a través de cada uno de ellos: $g$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), periódica, $\norm
g_\infty \leq M$, y

$$
\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta
\leq \varepsilon^2
$$

para $\eta$ pequeño. Bessel hace de $S_N$ una contracción para $\norm\cdot_2$, así que

$$
\norm{f - S_Nf}_2
\leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g -
f)}_2
\leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,
$$

y la pregunta 8 da $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ para todo $\varepsilon$: $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$, y Pitágoras rinde Parseval para toda $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos; el “admitido” del [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) es ya un teorema.

**10.** La onda cuadrada tiene $\norm f_\infty = 1$, luego la pregunta 5 da $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ en todas partes y para todo $N$ —nunca hay sobreoscilación—, mientras que el [Ejercicio 14.8](#exo-b2-fourier-8) muestra que $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx
1.179$. La propiedad responsable: $F_N \geq 0$, de modo que $\sigma_Nf(x)$ es una *media* ponderada de valores de $f$ y nunca puede salir de $\intcc{\min f}{\max f}$; $D_N$ toma valores negativos, y por eso $S_N$ sí puede.

**11.** $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por inducción ($\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin
N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq
(N+1)\abs{\sin\theta}$): con $\theta = \frac u2$,

$$
F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2}
\leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .
$$

La concavidad de $\sin$ sobre $\intcc{0}{\frac\pi2}$ da $\sin\frac u2
\geq \frac{u}{\pi}$ para $0 \leq u \leq \pi$, luego $F_N(u) \leq
\frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$.

**12.** Por paridad y partiendo en $\frac1N$:

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N
= \frac1\pi\int_0^\pi uF_N
\leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u +
\int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr)
= \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .
$$

Para $N \geq 2$: $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 +
\frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ y $\frac{1}{2\pi N}
\leq \frac{\ln N}{N}$, de modo que el momento es $\leq \frac{9\ln
N}{N}$.

**13.** Para $f$ $L$-lipschitziana:

$$
\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)}
\leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u
\leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N
\leq \frac{9L\ln N}{N},
$$

uniformemente en $x$.

**14.** $c_0(e_1) = 0$ da $S_0(e_1) = 0$, mientras que $S_n(e_1)
= e_1$ para $n \geq 1$: $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$, luego $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$. Incluso para esta señal entera y de banda limitada, el ritmo es $\frac1N$: Fejér se satura, exactamente igual que el operador de Bernstein se satura en $\frac1n$ (Voronovskaya, en el problema de fin de semana del capítulo de sucesiones de funciones).

**15.** Si $f$ se anula sobre $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$, entonces $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq
\pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$, de valor absoluto a lo sumo $\frac{\norm
f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$: las medias de Cesàro en $x$ solo ven a $f$ cerca de $x$.

**16.** Dados $\intcc ab$ y $\varepsilon$, elíjanse funciones $\varphi^\pm$ [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), $1$-periódicas y afines a trozos con $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ y $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapecios con rampas sobre intervalos de longitud total $\varepsilon$). Entonces

$$
\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N}
\leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n)
= \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,
$$

y simétricamente $\liminf \geq b - a - \varepsilon$: la proporción tiende a $b - a$.

**17.** Para $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ con $k \neq 0$, la hipótesis da el límite $0 = \int_0^1f$; para $k = 0$, ambos miembros valen $1$; y la linealidad cubre todo polinomio trigonométrico. Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $1$-periódica y $\varepsilon > 0$, la pregunta 6 (trasladada mediante $t = 2\pi x$) proporciona un polinomio trigonométrico $P$ con $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$:

$$
\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr|
\leq 2\varepsilon +
\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr|
\longrightarrow 2\varepsilon .
$$

Con la pregunta 16: $(x_n)$ está equidistribuida.

**18.** Para $k \neq 0$ y $\alpha$ irracional, $w =
\eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$:

$$
\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr|
= \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr|
\leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,
$$

una cota independiente de $N$; dividiendo entre $N$ se obtiene el criterio de Weyl, y la pregunta 17 concluye: $(\{n\alpha\})$ está equidistribuida.

**19.** Todo subintervalo recibe una proporción asintótica igual a su longitud, en particular infinitos puntos: $(\{n\alpha\})$ es densa. La equidistribución es más fuerte: una sucesión puede ser densa y pasar casi todo su tiempo en un rincón (la densidad dice *adónde* va la sucesión; la equidistribución, *con qué frecuencia*).

**20.** $2^n$ tiene primer dígito $1$ si y solo si $10^m \leq
2^n < 2\cdot10^m$ para algún $m$, es decir, si y solo si $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$. Irracionalidad: $\log_{10}2 = \frac pq$ daría $2^q = 10^p = 2^p5^p$, imposible para $p \geq 1$ por la factorización única. El teorema de Weyl (pregunta 18 con $\alpha = \log_{10}2$; el intervalo semiabierto se encaja entre cerrados de longitudes próximas) da la proporción $\log_{10}2 \approx 0.301$: los primeros dígitos de $2^n$ siguen la ley de Benford.

**21.** $z$ es $C^1$, así que su serie de Fourier converge [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) con suma $z$ ([Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1)), y $c_n(z') = \iu n\,c_n$. Como $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ es constante,

$$
\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t
= 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2}
= \frac{L^2}{2\pi} ,
$$

y Parseval aplicado a la función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $z'$ da $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$, es decir, $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$.

**22.** El Parseval polarizado $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg =
\sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ se sigue de aplicar Parseval a $f + g$ y a $f + \iu g$ ([identidad de polarización](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def)), ambas [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity). Con $f =
z$, $g = z'$:

$$
A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z'
= \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n)
= \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .
$$

**23.** Combinando las preguntas 21–22:

$$
L^2 - 4\pi A
= 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 -
4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2
= 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,
$$

puesto que $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ para todo entero. La igualdad fuerza $c_n = 0$ para todo $n \notin \{0, 1\}$: $z(t) = c_0 +
c_1\eu^{\iu t}$, una circunferencia de centro $c_0$ y radio $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (velocidad constante). La demostración de Hurwitz de la desigualdad isoperimétrica: $A \leq
\frac{L^2}{4\pi}$, y solo la circunferencia.

**24.** Circunferencia de radio $R$: $L = 2\pi R$, $A = \pi R^2$ y $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$: igualdad. Cuadrado de lado $a$: $L^2 =
16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (pues $16 > 4\pi \approx 12.57$). Para $n$ negativo, $n^2 - n = n(n - 1)$ es producto de dos enteros negativos, luego positivo: los modos que giran hacia atrás cuestan área por partida doble. La velocidad constante entró en la pregunta 21, al convertir $\int\abs{z'}^2$ en $\frac{L^2}{2\pi}$; con velocidad no constante, Cauchy–Schwarz da $\int\abs{z'}^2 \geq
\frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$, de modo que la desigualdad sobrevive, y la circunferencia sigue siendo el único caso de igualdad.

**25.** (i) Todo fluye de $F_N \geq 0$ (junto con la media unidad y la concentración); $D_N$ tiene media unidad y concentración de la oscilación, pero no positividad, y Gibbs es el precio. (ii) La [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) Cesàro de la serie de Fourier implica su [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) Abel con la misma suma (Frobenius, demostrado en el problema de fin de semana del capítulo de series de potencias): la vía del núcleo de Poisson del [Ejercicio 14.12](#exo-b2-fourier-12) es exactamente el método de Abel. (iii) El teorema de Weyl solo necesitó la aproximación uniforme (pregunta 6); la desigualdad isoperimétrica necesitó el propio Parseval (preguntas 8 y 21–22). (iv) El volumen del tercer año demuestra la [completitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete): las exponenciales forman una base de Hilbert de $L^2$, Parseval se convierte en una isometría de espacios de Hilbert y el teorema de Fejér pasa a decir que esa isometría es calculable mediante medias positivas.