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title: "Espacios afines"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 17
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines
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# Capítulo 17 — Espacios afines

Los espacios vectoriales tienen un punto privilegiado —el origen— que la geometría no quiere. Un *[espacio afín](#def-b2-affine-def)* es un espacio vectorial que ha olvidado su origen: los puntos y los vectores pasan a ser especies distintas, relacionadas por traslación. Este capítulo breve construye el diccionario (puntos, [baricentros](#def-b2-affine-barycenter), subespacios y [aplicaciones afines](#def-b2-affine-subspace)), la visión [afín](#def-b2-affine-subspace) de la convexidad y las herramientas de clasificación que se usarán en los capítulos de geometría siguientes.

## 17.1 Puntos y vectores

**Definición 17.1.**

Un *espacio afín* dirigido por un espacio vectorial real $E$ es un conjunto no vacío $\mathcal{E}$ dotado de una aplicación $(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E$ que cumple

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}
\quad \text{(Chasles)},
\qquad
\text{para cada } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ es una biyección }
\mathcal{E} \to E .
$$

Se escribe $B = A + u$ para el único punto con $\vect{AB} = u$. La *dimensión* de $\mathcal{E}$ es $\dim E$. Todo espacio vectorial es un espacio [afín](#def-b2-affine-subspace) sobre sí mismo ($\vect{AB} = B - A$), y toda elección de un origen $O \in \mathcal{E}$ identifica $\mathcal{E}$ con $E$ mediante $M \mapsto \vect{OM}$.

**Ejemplo 17.2 (Un espacio afín sin origen natural).**

El plano de soluciones $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y +
z = 1\}$ no es un subespacio vectorial ($0 \notin \mathcal E$), pero sí es un [espacio afín](#def-b2-affine-def) dirigido por $E = \{x + y + z = 0\}$: para $A,
B \in \mathcal E$, la diferencia $\vect{AB} = B - A$ cae en $E$ (las sumas se cancelan), Chasles se hereda de $\R^3$ y $B \mapsto
\vect{AB}$ es biyectiva sobre $E$. Ningún punto de $\mathcal E$ está distinguido: cualquier elección de “origen” $O \in \mathcal E$ sirve igual de bien, y todas las identificaciones $M \mapsto
\vect{OM}$ difieren en traslaciones. Esta es la situación típica: los conjuntos de soluciones de los problemas lineales no homogéneos (sistemas lineales, ecuaciones diferenciales lineales del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq)) son [afines](#def-b2-affine-subspace), nunca lineales, y el lema “solución particular más núcleo” es exactamente el enunciado $\mathcal F = A +
F$ de la definición siguiente.

**Definición 17.3 (Baricentro).**

Sean $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ puntos con pesos y $\sum\lambda_i \neq 0$. El *baricentro* $G =
\operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ es el único punto con

$$
\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0
\qquad\text{o, equivalentemente,}\qquad
\vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i}
\quad (\text{para cualquier } O).
$$

Los baricentros son *asociativos* (todo subgrupo de puntos puede sustituirse por su baricentro parcial con el peso sumado) e invariantes al reescalar todos los pesos.

**Demostración de la existencia y de las fórmulas.** Fíjese $O$ y escríbase $s = \sum_i\lambda_i \neq 0$. Por Chasles,

$$
\sum_i\lambda_i\,\vect{GA_i} = 0
\iff \sum_i\lambda_i\bigl(\vect{GO} + \vect{OA_i}\bigr) = 0
\iff s\,\vect{OG} = \sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i},
$$

lo que determina $G = O + \frac1s\sum_i\lambda_i\vect{OA_i}$ de manera única. *Independencia de $O$:* para otro origen $O'$,

$$
\frac1s\sum_i\lambda_i\,\vect{O'A_i}
= \frac1s\sum_i\lambda_i\bigl(\vect{O'O} + \vect{OA_i}\bigr)
= \vect{O'O} + \frac1s\sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i}
= \vect{O'G} :
$$

el mismo punto $G$. *Asociatividad:* pártase el conjunto de índices como $I \sqcup J$ con $s_I = \sum_{i\in I}\lambda_i \neq 0$, y sea $G_I$ el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(A_i, \lambda_i)_{i\in I}$, de modo que $\sum_{i\in I}\lambda_i\vect{OA_i} = s_I\,\vect{OG_I}$. Entonces

$$
s\,\vect{OG}
= \sum_{i\in I}\lambda_i\vect{OA_i} +
\sum_{j\in J}\lambda_j\vect{OA_j}
= s_I\,\vect{OG_I} + \sum_{j\in J}\lambda_j\vect{OA_j} :
$$

$G$ es el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(G_I, s_I)$ junto con $(A_j,
\lambda_j)_{j\in J}$, como se afirmaba. *Reescalado:* sustituir cada $\lambda_i$ por $t\lambda_i$ ($t \neq 0$) multiplica $s$ y la suma ponderada por $t$, y deja $\vect{OG}$ inalterado. ∎

**Observación 17.4 (Errores frecuentes).**

Dos trampas rodean la definición. Primera: si los pesos suman *cero*, no hay [baricentro](#def-b2-affine-barycenter); la aplicación $O \mapsto
\sum\lambda_i\vect{OA_i}$ es entonces independiente de $O$ y define un *vector*, no un punto; por ejemplo, $(A, -1;\ B, 1)$ codifica $\vect{AB}$. Llevar la cuenta de cuál de los dos objetos produce un cálculo es la mitad de la higiene baricéntrica. Segunda: los pesos solo tienen sentido salvo un factor común no nulo; las fórmulas del tipo “las coordenadas de $G$ son $\lambda_1, \dots,
\lambda_k$” presuponen una normalización (habitualmente $\sum\lambda_i = 1$), y olvidarse de normalizar es la fuente estándar de razones equivocadas sobre una figura.

**Definición 17.5 (Subespacios afines; aplicaciones afines).**

Un *subespacio afín* es un conjunto $\mathcal{F} = A + F = \{A
+ u : u \in F\}$ con $F$ un subespacio vectorial (su *dirección*); equivalentemente, un conjunto no vacío estable por [baricentros](#def-b2-affine-barycenter). Los subespacios afines de $\R^n$ son exactamente los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales $MX = B$ (primer año: solución particular más núcleo). Una aplicación $f
\colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ es *afín* cuando conserva los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter); equivalentemente, cuando

$$
f(A + u) = f(A) + \varphi(u)
$$

para una (única) aplicación lineal $\varphi = \vec f$, la *parte lineal*. Aplicaciones afines de $\R^n$: $X \mapsto MX +
C$. Las composiciones son afines con las partes lineales compuestas; $f$ es biyectiva si y solo si lo es $\vec f$.

**Demostración de la equivalencia para las aplicaciones.** Si $f(A + u) = f(A) + \varphi(u)$: para un [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) $G$ de $(A_i,
\lambda_i)$, desarrollando todos los puntos desde $A$, $f(G) = f(A)
+ \varphi(\vect{AG})$ y $\varphi(\vect{AG}) =
\frac{\sum\lambda_i\varphi(\vect{AA_i})}{\sum\lambda_i}$: $f(G)$ es el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de las imágenes. Recíprocamente, fíjese $A$ y defínase $\varphi(u) = \vect{f(A)\,f(A + u)}$. *Homogeneidad:* $A + tu = \operatorname{bar}\bigl(A, 1-t;\ A + u, t\bigr)$ para todo $t$ real, de modo que la conservación de los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) (con pesos reales arbitrarios, como se ha supuesto) da $\varphi(tu) =
t\,\varphi(u)$ directamente. *Aditividad:* $A + u + v =
\operatorname{bar}\bigl(A + 2u, \tfrac12;\ A + 2v, \tfrac12\bigr)$, luego $\varphi(u + v) = \tfrac12\varphi(2u) + \tfrac12\varphi(2v) =
\varphi(u) + \varphi(v)$, usando la homogeneidad. Por tanto, $\varphi$ es lineal. ∎

**Observación 17.6.**

La demostración usó [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) con pesos *reales arbitrarios*: el paso de homogeneidad toma $t$ fuera de $\intcc01$. Si solo se supone que una aplicación conserva los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) de pesos no negativos —equivalentemente, los puntos medios y los segmentos—, la linealidad de la aplicación vectorial ya no sale gratis: solo se obtiene $\Q$-linealidad, y hace falta una hipótesis de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) para concluir, exactamente como en el [Ejercicio 17.5](#exo-b2-affine-5). Distinguir “conserva todos los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter)” de “conserva las combinaciones [convexas](#def-b2-affine-convex)” es una sutileza pequeña pero real del vocabulario [afín](#def-b2-affine-subspace).

**Ejemplo 17.7 (Geometría baricéntrica clásica).**

El centroide de un triángulo $ABC$ es el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) $G =
\operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$. La asociatividad con el punto medio $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ muestra que

$$
G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :
$$

$G$ está sobre la mediana $AA'$ a dos tercios de ella; y lo mismo para las otras dos medianas: las tres medianas son concurrentes, en una línea de cálculo baricéntrico.

**Ejemplo 17.8 (Las bimedianas de un cuadrilátero).**

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cualquiera (¡plano o no!) y considérense sus *bimedianas*: los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos, $M_{AB}M_{CD}$ y $M_{BC}M_{DA}$. Introdúzcase el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) $G$ de $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ y agrúpense los pesos de dos maneras:

$$
G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr)
= \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :
$$

$G$ es el punto medio de *ambas* bimedianas, de modo que las dos bimedianas siempre se bisecan mutuamente, y el cuadrilátero de los cuatro puntos medios es un paralelogramo (sus diagonales son las bimedianas). Sin análisis de casos, sin coordenadas, y el argumento sobrevive sin cambios para un cuadrilátero alabeado de $\R^3$, donde una demostración basada en un dibujo ya sería delicada: a la asociatividad no le importa la dimensión.

**Ejemplo 17.9 (Clasificar una aplicación afín, de principio a fin).**

Sea $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ sobre $\R^2$. Su parte lineal es $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$, cuyo [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2, 3\}$ evita el $1$: por el criterio del punto fijo demostrado más abajo ([Proposición 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint)), $f$ tiene exactamente un punto fijo, hallado resolviendo

$$
x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4
\qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).
$$

Recentrando en $\Omega$ (póngase $x = 1 + u$, $y = 2 + v$):

$$
f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :
$$

en el sistema de referencia de $\Omega$, $f$ *es* su parte lineal, una dilatación anisótropa que estira por $2$ en horizontal y por $3$ en vertical desde el centro $(1, 2)$. La lección general: una [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) es “aplicación lineal más datos de posición”, y los datos de posición colapsan en un único origen bien elegido siempre que $1$ no sea [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). Recíprocamente, trasladar mal el origen *crea* los términos constantes: la geometría [afín](#def-b2-affine-subspace) es el arte de elegir dónde poner el $0$.

**Observación 17.10 (Método: concurrencia y alineación mediante baricentros).**

El [Ejemplo 17.7](#ex-b2-affine-median) es un caso de una receta general. Para demostrar que tres cevianas de un triángulo son concurrentes, exhíbase un *único* sistema con pesos $(A, \alpha; B, \beta; C,
\gamma)$ y úsese la asociatividad de tres maneras: agrupar $(B, C)$ muestra que el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) está sobre la ceviana desde $A$; agrupar $(C, A)$, sobre la ceviana desde $B$; y agrupar $(A, B)$, sobre la tercera. Para las medianas, el sistema $(A, 1; B, 1; C, 1)$ hace todo el trabajo; para cevianas que cortan los lados en razones prescritas, los pesos se leen en las razones. Para demostrar que tres puntos están *alineados*, escríbase uno como [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de los otros dos ([Ejercicio 17.2](#exo-b2-affine-2)), o úsese el criterio del [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) del [Ejercicio 17.11](#exo-b2-affine-11). Ambas recetas sustituyen el ingenio geométrico por contabilidad de pesos: exactamente para eso sirve el cálculo baricéntrico.

## 17.2 Convexidad, en clave afín

**Definición 17.11.**

Un subconjunto $C$ de un [espacio afín](#def-b2-affine-def) es *convexo* cuando contiene todo [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de pesos *no negativos* de sus puntos; equivalentemente, todo segmento $\intcc{A}{B} = \{\operatorname{bar}(A, 1-t; B, t) : t \in
\intcc{0}{1}\}$ entre sus puntos. La *envoltura convexa* $\operatorname{conv}(S)$ es el conjunto de todos los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) con pesos no negativos de puntos de $S$: el menor conjunto convexo que contiene a $S$.

**Ejemplo 17.12 (Los epigrafos son conjuntos convexos).**

La región $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ por encima de la parábola es [convexa](#def-b2-affine-convex): para $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ y $t \in \intcc01$, la desigualdad de convexidad de la función cuadrado da

$$
\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2
\leq (1-t)y_1 + ty_2 ,
$$

de modo que el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) se queda por encima de la parábola. El cálculo es general: $\{y \geq f(x)\}$ es [convexo](#def-b2-affine-convex) exactamente cuando $f$ es una función convexa; los *conjuntos* [convexos](#def-b2-affine-convex) y las *funciones* convexas ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun)) son dos caras de una misma noción, y los epigrafos son el diccionario. Esta es la razón geométrica de que las funciones convexas tengan rectas de apoyo, el hecho que demostrará la desigualdad de Jensen en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar).

**Ejemplo 17.13 (Generadores redundantes de una envoltura convexa).**

Consideremos el conjunto

$$
S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\} .
$$

El quinto punto es el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter)

$$
(1,1) = \operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (2,2),
\tfrac12\bigr),
$$

así que ya está en la envoltura de los otros cuatro: $\operatorname{conv}(S)$ es el cuadrado con las cuatro esquinas como vértices. En general, un punto de $S$ que sea [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de pesos no negativos de los *demás* puntos de $S$ puede suprimirse sin cambiar la envoltura; los puntos que nunca pueden suprimirse (aquí, las cuatro esquinas) son los *puntos extremos* de la envoltura. Determinarlos es un puro cálculo de [baricentros](#def-b2-affine-barycenter): $(2,0)$, por ejemplo, no puede escribirse como $\operatorname{bar}$ de los puntos restantes con pesos no negativos, porque la primera coordenada forzaría a poner todo el peso en los puntos con $x = 2$, y entonces la segunda coordenada falla. Las cuestiones de convexidad se reducen, una y otra vez, a resolver pequeños sistemas con pesos.

**Teorema 17.14 (Carathéodory).**

En un [espacio afín](#def-b2-affine-def) de dimensión $n$, todo punto de $\operatorname{conv}(S)$ es [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de a lo sumo $n + 1$ puntos de $S$.

**Demostración.** Sea $G = \operatorname{bar}(A_0, \lambda_0; \dots; A_k, \lambda_k)$ con $\lambda_i > 0$, $\sum\lambda_i = 1$ y $k + 1 > n + 1$ puntos. Los $k$ vectores $\vect{A_0A_i}$ ($i \geq 1$) son ligados ($k > n$): $\sum_{i\geq1}\mu_i \vect{A_0A_i} = 0$ de manera no trivial; poniendo $\mu_0 = -\sum_{i\geq1}\mu_i$, obtenemos pesos $(\mu_i)$ con $\sum\mu_i = 0$ y $\sum \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ (para cualquier $O$), no todos nulos. Entonces, para todo real $t$, los pesos $\lambda_i -
t\mu_i$ siguen sumando $1$ y, como $\sum_i\mu_i\vect{OA_i} = 0$,

$$
\sum_i(\lambda_i - t\mu_i)\,\vect{OA_i}
= \sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i} :
$$

producen el *mismo* punto $G$. Deslicemos ahora $t$ desde $0$: algún $\mu_i$ es positivo (suman cero y no son todos nulos), de modo que

$$
t^* = \min\Bigl\{\frac{\lambda_i}{\mu_i} : \mu_i > 0\Bigr\}
$$

está bien definido y es positivo. En $t = t^*$: para los índices con $\mu_i > 0$, $\lambda_i - t^*\mu_i \geq 0$ por minimalidad, con igualdad en un índice minimizante; y para los índices con $\mu_i \leq
0$, $\lambda_i - t^*\mu_i \geq \lambda_i > 0$. Todos los pesos siguen siendo no negativos y al menos uno ha muerto: $G$ queda reescrito como [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de menos puntos. Itérese mientras queden más de $n +
1$ puntos. ∎

**Ejemplo 17.15.**

En el plano ($n = 2$): todo punto de la [envoltura convexa](#def-b2-affine-convex) de un conjunto finito está en un triángulo con vértices en el conjunto; el contenido geométrico de Carathéodory, usado por igual en optimización y en probabilidad (mezclas).

**Ejemplo 17.16 (Ejecutando el algoritmo de Carathéodory).**

Escribamos el centro del cuadrado del [Ejemplo 17.13](#ex-b2-affine-squarehull) con sus cuatro esquinas $A_1 =
(0,0)$, $A_2 = (2,0)$, $A_3 = (2,2)$, $A_4 = (0,2)$:

$$
(1,1) = \operatorname{bar}\bigl(A_1, \tfrac14;\ A_2,
\tfrac14;\ A_3, \tfrac14;\ A_4, \tfrac14\bigr),
$$

cuatro puntos en dimensión $2$: uno de más. La receta de la demostración pide unos pesos $(\mu_i)$ con $\sum\mu_i = 0$ y $\sum\mu_i\vect{OA_i} = 0$: aquí sirve $\mu = (1, -1, 1, -1)$ (las dos diagonales comparten su punto medio). Deslizar $\lambda_i \mapsto
\lambda_i - t\mu_i$ mantiene fijo el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) para todo $t$; el valor admisible extremo $t = \frac14$ deja los pesos en $(0,
\tfrac12, 0, \tfrac12)$, matando $A_1$ y $A_3$ a la vez:

$$
(1,1) = \operatorname{bar}\bigl(A_2, \tfrac12;\ A_4,
\tfrac12\bigr),
$$

una representación con dos puntos, aún mejor que los tres que garantiza el teorema, porque el centro resulta estar sobre un segmento entre generadores. El algoritmo es enteramente mecánico: hállese una dependencia, deslícese hasta que muera un peso y repítase.

## 17.3 Herramientas de clasificación afín

**Proposición 17.17 (Puntos fijos de las aplicaciones afines).**

Sea $f$ un endomorfismo [afín](#def-b2-affine-subspace) de un [espacio afín](#def-b2-affine-def) de dimensión finita, con parte lineal $\varphi$. Si $1 \notin
\operatorname{Sp}(\varphi)$, entonces $f$ tiene exactamente un punto fijo $\Omega$ y, en la vectorialización en $\Omega$, $f$ *es* su parte lineal. (Las traslaciones, con $\varphi = \mathrm{id}$ y sin punto fijo, son la obstrucción básica.)

**Demostración.** Fíjese $O$ y escríbase $f(O + x) = f(O) + \varphi(x)$. El punto $O +
x$ es fijo si y solo si $O + x = f(O) + \varphi(x)$, es decir,

$$
(\mathrm{id} - \varphi)(x) = \vect{O f(O)} .
$$

En dimensión finita, $\mathrm{id} - \varphi$ es invertible si y solo si $0$ no es [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\mathrm{id} - \varphi$, o sea, si y solo si $1 \notin \operatorname{Sp}\varphi$; y en ese caso la ecuación mostrada tiene exactamente una solución $x^*$, lo que da el único punto fijo $\Omega = O + x^*$. Recentrado: para todo vector $u$,

$$
f(\Omega + u) = f(\Omega) + \varphi(u) = \Omega + \varphi(u),
$$

así que en el sistema de referencia de origen $\Omega$ la aplicación se lee $u \mapsto \varphi(u)$: puramente lineal. Cuando $1 \in
\operatorname{Sp}\varphi$, o bien no existe ningún punto fijo (la ecuación mostrada puede no tener solución, como para una traslación), o bien existe todo un subespacio [afín](#def-b2-affine-subspace) de ellos (súmese a una solución cualquier [vector propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$): la unicidad es exactamente la condición espectral. ∎

**Ejemplo 17.18 (Isometrías del plano, completadas).**

Una isometría [afín](#def-b2-affine-subspace) del plano euclídeo tiene parte lineal en $O(2)$: una rotación $R_\theta$ o una simetría axial (volumen del primer año). Si $\theta \neq 0$: $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$, luego la aplicación es una *rotación en torno a un único centro* ([Proposición 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint)). Si la parte lineal es una simetría axial: o bien es una simetría respecto de un eje (existen puntos fijos), o bien una *simetría con deslizamiento* (una simetría axial compuesta con una traslación a lo largo del eje, sin punto fijo). Junto con las traslaciones, esta es la clasificación completa de las isometrías del plano.

**Observación 17.19 (Las isometrías del plano, de un vistazo).**

Recogiendo los casos: identidad; traslaciones ($\vec f =
\mathrm{id}$, sin punto fijo salvo en el caso trivial); rotaciones (parte lineal $R_\theta$ con $\theta \neq 0$: un centro); simetrías axiales (parte lineal una simetría, con una recta de puntos fijos); y simetrías con deslizamiento (misma parte lineal, sin punto fijo). Cuatro familias más la identidad, cada una reconocible con solo dos datos: la parte lineal y el conjunto de puntos fijos; el patrón de la [Proposición 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) llevado hasta el final.

**Ejemplo 17.20 (Una simetría con deslizamiento, pillada en flagrante).**

Sea $f(x, y) = (y + 1,\ x + 1)$. La parte lineal $(x, y) \mapsto (y,
x)$ es la simetría respecto de la diagonal $y = x$, de modo que $1
\in \operatorname{Sp}\vec f$ y la [Proposición 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) calla. Los puntos fijos exigirían $x
= y + 1$ e $y = x + 1$ a la vez: imposible; no hay ninguno, así que $f$ no es una simetría axial. Elevar al cuadrado zanja la clasificación:

$$
f\bigl(f(x, y)\bigr) = f(y + 1,\ x + 1) = (x + 2,\ y + 2),
$$

la traslación de vector $(2, 2)$: $f$ es la *simetría con deslizamiento* de eje la recta $y = x$ (desplazada como corresponda: el punto medio de $M$ y $f(M)$ siempre está sobre $y = x + {}$una constante, aquí $y = x$, como se comprueba en $M = (0, 0) \mapsto
(1,1)$) y de vector de deslizamiento $(1, 1)$, la mitad de $f \circ
f$. Compárese con el [Ejercicio 17.6](#exo-b2-affine-6), donde la misma parte lineal pero otra constante produjo una simetría axial honesta: cuando está presente el [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$, el término constante lo decide todo.

**Ejemplo 17.21 (Las recurrencias afines son dinámica afín).**

La recurrencia clásica $u_{n+1} = au_n + b$ ($a \neq 1$) itera la [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) $f(x) = ax + b$ de la recta, cuya parte lineal $a$ evita el [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$: hay un único punto fijo $\omega =
\frac{b}{1-a}$, y recentrar ahí (el caso unidimensional de la proposición anterior) convierte $f$ en la multiplicación por $a$:

$$
u_{n+1} - \omega = a\,(u_n - \omega)
\qquad\Longrightarrow\qquad
u_n = \omega + a^n(u_0 - \omega) .
$$

Para $u_{n+1} = \frac{u_n}2 + 3$: $\omega = 6$ y $u_n = 6 + (u_0 -
6)2^{-n} \to 6$. La receta que se enseña para tales recurrencias en el [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series) —“réstese el punto fijo”— es exactamente la vectorialización de una [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) en su punto fijo; y la convergencia para $\abs a < 1$ es el fenómeno de contracción que el [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#ch-b2-metric) convirtió en el teorema del punto fijo de Banach. Una idea, tres capítulos.

**Ejemplo 17.22 (Hallar el centro de una rotación).**

Sea $f(x, y) = (-y + 2,\ x)$. La parte lineal es $\varphi(x, y) =
(-y, x)$: la rotación de ángulo $\frac\pi2$, cuyo [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{\iu,
-\iu\}$ evita el $1$. Por la [Proposición 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) hay exactamente un punto fijo: $x = -y + 2$ e $y = x$ dan $x = 1$, $y =
1$, luego $\Omega = (1, 1)$, y $f$ *es* la rotación de centro $(1, 1)$ y ángulo $\frac\pi2$. La lección general: cuando $1 \notin
\operatorname{Sp}\vec f$, clasificar $f$ cuesta un sistema lineal; la geometría está enteramente en la parte lineal, y la aritmética, enteramente en localizar el centro.

**Observación 17.23 (Dónde se usa el lenguaje afín a continuación).**

Los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) y las [aplicaciones afines](#def-b2-affine-subspace) son la gramática de los capítulos de geometría que vienen: las rectas y los planos tangentes son objetos [afines](#def-b2-affine-subspace) (Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#ch-b2-curves) y [19](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces)), un cambio de variables [afín](#def-b2-affine-subspace) multiplica áreas y volúmenes por $\abs{\det \vec f}$ ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint)), y la esperanza es un [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) con pesos dados por una ley de probabilidad, razón por la cual la convexidad gobierna la desigualdad de Jensen ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)). En el volumen del tercer año, el mismo vocabulario de convexidad sostiene el estudio de las [normas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) $L^p$ y de las desigualdades integrales.

**Observación 17.24 (Perspectivas dentro de este volumen).**

De este capítulo salen dos hilos. El hilo *[afín](#def-b2-affine-subspace)*: las rectas tangentes ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#ch-b2-curves)) y los planos tangentes ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces)) son subespacios [afines](#def-b2-affine-subspace) adosados a objetos no lineales, y la clasificación de las cuádricas del capítulo de superficies funciona con la ecuación del centro $A\Omega = -b$ de este capítulo. El hilo *[convexo](#def-b2-affine-convex)* es más largo: la convexidad de los semiplanos y de los discos impulsa la teoría de Helly del problema de fin de semana; la convexidad de funciones da la desigualdad de Jensen ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)); y el teorema final del libro —el criterio de extinción de los procesos de ramificación ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun))— lo decide la posición de una curva convexa respecto de la diagonal, una imagen que pertenece tanto a este capítulo como a la probabilidad. Los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) también vuelven allí: una esperanza es un [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) con pesos de probabilidad.

## 17.4 Ejercicios

**Ejercicio 17.1 ★.**

En $\R^3$, ¿son subespacios [afines](#def-b2-affine-subspace) los siguientes conjuntos? Da sus direcciones y dimensiones. $\{x + y + z = 1\}$; $\;\{x + y + z = 1,\
x - z = 3\}$; $\;\{x^2 + y^2 = 1\}$; y el conjunto de soluciones de $MX = B$ para un sistema compatible dado.

**Solución de Ejercicio 17.1.**

$\{x + y + z = 1\}$: plano [afín](#def-b2-affine-subspace), de dirección el plano vectorial $\{x
+ y + z = 0\}$ y dimensión $2$. Añadiendo $x - z = 3$: una recta [afín](#def-b2-affine-subspace) (dos ecuaciones independientes), de dirección $\{x + y + z = 0,\
x = z\} = \operatorname{Vect}\bigl((1, -2, 1)\bigr)$ y dimensión $1$. $\{x^2 + y^2 = 1\}$: un cilindro; no es estable por [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) (el punto medio de $(1,0,0)$ y $(-1,0,0)$ es el origen, fuera del cilindro): no es [afín](#def-b2-affine-subspace). Un sistema compatible $MX = B$: subespacio [afín](#def-b2-affine-subspace) $X_0 + \ker M$ de dimensión $\dim\ker M$, como se recordaba en la [Definición 17.5](#def-b2-affine-subspace).

**Ejercicio 17.2 ★.**

Demuestra que tres puntos distintos $A, B, C$ de un [espacio afín](#def-b2-affine-def) están alineados si y solo si $C$ es [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $A$ y $B$, y si y solo si los vectores $\vect{AB}, \vect{AC}$ son ligados. Deduce la contabilidad de pesos al estilo de Menelao: si $C =
\operatorname{bar}(A, 1 - t; B, t)$, localiza $C$ para $t =
\frac12$, $t = 2$ y $t = -1$.

**Solución de Ejercicio 17.2.**

$C = \operatorname{bar}(A, 1-t; B, t)$ significa $\vect{AC} =
t\,\vect{AB}$: la existencia de tal $t$ es exactamente que $\vect{AC}$ sea ligado con $\vect{AB} \neq 0$, es decir, la alineación. Posiciones: $t = \frac12$: punto medio; $t = 2$: más allá de $B$, a la distancia de $B$ desde este ($\vect{AC} = 2\vect{AB}$); $t = -1$: el [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) de $B$ respecto de $A$.

**Ejercicio 17.3 ★.**

Sea $f$ la [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) de $\R^2$ dada por $f(X) = MX + C$ con $M
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ y $C = (1,
0)^{\mathsf T}$. Determina la imagen de $f$, sus puntos fijos (si los hay) y $f \circ f$.

**Solución de Ejercicio 17.3.**

$M$ es la matriz de la proyección sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ en la dirección $(1,-1)$ (compruébese $M^2 = M$). Imagen de $f$: $\{MX +
C\} = C + \operatorname{im} M$: la recta [afín](#def-b2-affine-subspace) que pasa por $(1,0)$ y tiene dirección $(1,1)$. Puntos fijos: $X = MX + C$, es decir, $(I -
M)X = C$; pero $C = (1, 0)^{\mathsf T}$ y $\operatorname{im}(I - M) =
\operatorname{Vect}(1,-1)$; ¿está $(1,0)$ ahí? $(1, 0) =
\alpha(1,-1)$ obligaría a $\alpha = 1$ y $0 = -1$: no. No hay puntos fijos. Y

$$
f(f(X)) = M(MX + C) + C = MX + MC + C = f(X) + MC,
\qquad MC = \tfrac12(1,1)^{\mathsf T} :
$$

$f\circ f$ es $f$ seguida de una traslación a lo largo de la recta imagen; $f$ es una “proyección con deslizamiento”: proyección sobre la recta compuesta con un desplazamiento.

**Ejercicio 17.4 ★★.**

(La asociatividad en acción) En un triángulo $ABC$, sean $I, J, K$ los puntos que dividen $BC$, $CA$, $AB$ en las razones $\vect{BI} =
\frac13\vect{BC}$, $\vect{CJ} = \frac13\vect{CA}$, $\vect{AK} =
\frac13\vect{AB}$. Expresa $I, J, K$ como [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) y calcula el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(I,1;J,1;K,1)$: ¿qué encuentras y por qué era previsible?

**Solución de Ejercicio 17.4.**

$I = \operatorname{bar}(B, 2; C, 1)$ (pues $\vect{BI} =
\frac13\vect{BC}$ sitúa $I$ más cerca de $B$: pesos $2$ en $B$ y $1$ en $C$; compruébese: $\vect{BI} = \frac{1}{3}\vect{BC}$). Análogamente, $J = \operatorname{bar}(C, 2; A, 1)$ y $K =
\operatorname{bar}(A, 2; B, 1)$. Sumando los tres sistemas con pesos, el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(I, 1; J, 1; K, 1)$ (cada uno de peso total $3$, de modo que se sustituye $I$ por su sistema, etc.) es

$$
\operatorname{bar}\bigl(A, 1 + 2;\ B, 2 + 1;\ C, 1 + 2\bigr)
= \operatorname{bar}(A, 1; B, 1; C, 1) = G ,
$$

el centroide de $ABC$: el triángulo $IJK$ tiene el mismo centroide; previsible, porque la construcción trata $A, B, C$ cíclicamente y el centroide es el único punto fijo de la simetría [cíclica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) de los pesos.

**Ejercicio 17.5 ★★.**

Demuestra que una aplicación $f \colon \R^n \to \R^n$ que conserve los *puntos medios* ($f\bigl(\frac{A+B}{2}\bigr) = \frac{f(A) +
f(B)}{2}$) y sea *[continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)* es [afín](#def-b2-affine-subspace). *(Prueba que la aplicación vectorial $u \mapsto f(O + u) - f(O)$ es aditiva mediante los puntos medios, después $\Q$-homogénea y luego $\R$-homogénea por [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity): la misma estrategia de densidad usada para la ecuación funcional de Cauchy en el volumen del primer año; vuelve a deducir aquí los pasos necesarios.)*

**Solución de Ejercicio 17.5.**

Póngase $g(u) = f(O + u) - f(O)$ (trabajando en $\R^n$ vectorializado en $O$), con $g(0) = 0$.

*Aditividad:* $\frac{(O + u) + (O + v)}{2} = O + \frac{u +
v}{2}$, de modo que la conservación de los puntos medios da $g\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr) = \frac{g(u) + g(v)}{2}$; con $v = 0$: $g(u/2) = g(u)/2$; y combinando, $g(u + v) =
2g\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr) = g(u) + g(v)$.

*$\Q$-homogeneidad:* la aditividad da $g(nu) = ng(u)$ ($n \in
\N$, por inducción), luego $g(-u) = -g(u)$ (sumando) y después $g(\frac pq u) = \frac pq g(u)$ (aplíquese $q$ veces y úsese la inyectividad del escalado).

*$\R$-homogeneidad:* para $t \in \R$, tómense racionales $t_n
\to t$: $g(t_nu) = t_ng(u)$, y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $g$ (heredada de $f$) pasa al límite: $g(tu) = tg(u)$. Por tanto, $g$ es lineal y $f =
f(O) + g$: es [afín](#def-b2-affine-subspace).

**Ejercicio 17.6 ★★.**

Clasifica la [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) $f(x, y) = (y + 1,\; x - 1)$ del plano euclídeo: parte lineal, puntos fijos y naturaleza geométrica (¿simetría axial?, ¿con deslizamiento?). Calcula $f \circ f$ y concluye.

**Solución de Ejercicio 17.6.**

Parte lineal $\varphi(x,y) = (y, x)$: la simetría respecto de la diagonal $y = x$ (ortogonal, de [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $-1$). Puntos fijos: $(x,
y) = (y + 1, x - 1)$ se reduce a la única ecuación $y = x - 1$ (las dos componentes son equivalentes): todo punto de la recta $y = x - 1$ es fijo. Así pues, $f$ fija esa recta punto a punto: $f$ es la *simetría axial* respecto de ese eje (una isometría con una recta de puntos fijos y parte lineal una simetría). Coherentemente, $f \circ f(x,y) = f(y+1, x-1) = (x - 1 + 1, y + 1 - 1) = (x, y)$: una involución, como debe ser toda simetría axial.

**Ejercicio 17.7 ★★★.**

(Radon) Sean $A_1, \dots, A_{n+2}$ puntos de un [espacio afín](#def-b2-affine-def) de dimensión $n$. Demuestra que pueden repartirse en dos grupos disjuntos cuyas [envolturas convexas](#def-b2-affine-convex) se cortan. *(Como en la demostración de Carathéodory, halla pesos $\mu_i$, no todos nulos, con $\sum\mu_i = 0$ y $\sum\mu_i\vect{OA_i} = 0$; separa los pesos positivos de los negativos y normaliza ambos lados.)*

**Solución de Ejercicio 17.7.**

Los $n + 1$ vectores $\vect{A_1A_i}$ ($i \geq 2$) son ligados en dimensión $n$: hay $\mu_i$, no todos nulos, con $\sum_{i\geq2}
\mu_i\vect{A_1A_i} = 0$; póngase $\mu_1 = -\sum_{i \geq 2}\mu_i$, de modo que $\sum_{i}\mu_i = 0$ y $\sum_i \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ para todo $O$, sin que todos los $\mu_i$ sean nulos. Pártanse los índices: $P = \{i : \mu_i > 0\}$ y $N = \{i : \mu_i < 0\}$, ambos no vacíos (los $\mu_i$ suman cero y no son todos nulos). Con $s = \sum_{i\in
P}\mu_i = -\sum_{i \in N}\mu_i > 0$:

$$
\operatorname{bar}\bigl(A_i, \tfrac{\mu_i}{s}\bigr)_{i \in P}
= \operatorname{bar}\bigl(A_i, \tfrac{-\mu_i}{s}\bigr)_{i \in N},
$$

(ambos miembros valen el punto $X$ con $\vect{OX} =
\frac1s\sum_{i\in P}\mu_i\vect{OA_i}$, por la relación): un punto común de las dos [envolturas convexas](#def-b2-affine-convex), con grupos de índices disjuntos.

**Ejercicio 17.8 ★★★.**

Sea $f$ un endomorfismo [afín](#def-b2-affine-subspace) de $\R^n$ con $f \circ f = f$. Demuestra que $f$ es la proyección [afín](#def-b2-affine-subspace) sobre el subespacio [afín](#def-b2-affine-subspace) $\operatorname{Fix}(f) = \operatorname{im} f$ en la dirección $\ker\vec f$, y que, recíprocamente, todas esas proyecciones son idempotentes. *(Prueba primero que $\operatorname{im} f$ consta de puntos fijos.)*

**Solución de Ejercicio 17.8.**

*Imagen $=$ puntos fijos:* para $Y = f(X)$, $f(Y) = f(f(X)) =
f(X) = Y$: todo punto imagen es fijo; y recíprocamente, los puntos fijos son imágenes. Así pues, $\mathcal{F} = \operatorname{im} f =
\operatorname{Fix}(f)$ es no vacío y es un subespacio [afín](#def-b2-affine-subspace) (imagen de una [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace)), de dirección $\operatorname{im}\vec f$.

*Estructura de proyección:* $\vec f$ es idempotente ($\vec{f\circ
f} = \vec f^{\,2} = \vec f$), luego $E = \operatorname{im}\vec f
\oplus \ker \vec f$ ([Ejemplo 3.18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ex-b2-reduction-projections)). Para un punto $X$ cualquiera, considérese el vector $\vect{f(X)\,X}$; aplicando $\vec f$:

$$
\vec f\bigl(\vect{f(X)\,X}\bigr) = \vect{f(f(X))\,f(X)} = 0
\qquad (f \circ f = f),
$$

de modo que $\vect{f(X)\,X} \in \ker\vec f$. Por tanto, $X = f(X) +
\vect{f(X)X}$ exhibe $X$ como un punto de $\mathcal{F}$ trasladado por un vector de $\ker\vec f$: $f$ es exactamente la proyección sobre $\mathcal{F}$ en la dirección $\ker\vec f$. Recíprocamente, tales proyecciones cumplen claramente $f \circ f = f$.

**Ejercicio 17.9 ★.**

Sea $G = \operatorname{bar}(A, 1;\ B, 2;\ C, 3)$ en un triángulo $ABC$. Usando la asociatividad, prueba que la recta $AG$ corta a $BC$ en $M = \operatorname{bar}(B, 2;\ C, 3)$ y localiza $G$ sobre el segmento $\intcc AM$; localiza igualmente la intersección de $BG$ con $CA$.

**Solución de Ejercicio 17.9.**

Sea $M = \operatorname{bar}(B, 2;\ C, 3)$, de peso total $5$. La asociatividad da $G = \operatorname{bar}(A, 1;\ M, 5)$, luego $\vect{AG} = \frac56\,\vect{AM}$: $G$ está sobre el segmento $\intcc
AM$ a cinco sextos de él desde $A$. Como $A \notin (BC)$, la recta $(AG) = (AM)$ corta a $(BC)$ en el único punto $M$, con $\vect{BM} =
\frac35\,\vect{BC}$. Igualmente, con $N = \operatorname{bar}(C, 3;\
A, 1)$ (peso total $4$, $\vect{CN} = \frac14\,\vect{CA}$), la asociatividad da $G = \operatorname{bar}(B, 2;\ N, 4)$: la recta $(BG)$ corta a $(CA)$ en $N$, y $\vect{BG} = \frac46\,\vect{BN} =
\frac23\,\vect{BN}$.

**Ejercicio 17.10 ★★.**

Para $\lambda \neq 0$, la *homotecia* $h_{\Omega, \lambda}$ es la [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) que fija $\Omega$ y tiene parte lineal $\lambda\,\mathrm{id}$. Demuestra que la composición $h_{\Omega',
\mu} \circ h_{\Omega, \lambda}$ es una homotecia de razón $\lambda\mu$ cuando $\lambda\mu \neq 1$, y una traslación cuando $\lambda\mu = 1$; en el caso $\lambda = \mu = -1$ (dos simetrías centrales), calcula el vector de traslación.

**Solución de Ejercicio 17.10.**

Vectorialícese en un origen $O$ y escríbanse los puntos como vectores: $h_{\Omega, \lambda}(x) = \omega + \lambda(x - \omega)$ con $\omega = \vect{O\Omega}$. La composición $g = h_{\Omega', \mu} \circ
h_{\Omega, \lambda}$ es [afín](#def-b2-affine-subspace) con parte lineal $\mu\lambda\,\mathrm{id}$. Si $\lambda\mu \neq 1$: $1 \notin
\operatorname{Sp}(\lambda\mu\,\mathrm{id})$, de modo que la [Proposición 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) da un único punto fijo $\Omega''$ y, vectorializada ahí, $g = \lambda\mu\,\mathrm{id}$: la homotecia $h_{\Omega'', \lambda\mu}$. Si $\lambda\mu = 1$, la parte lineal es la identidad, así que $g$ es una traslación; desarrollando,

$$
g(x) = \omega' + \mu\bigl(\omega + \lambda(x - \omega) -
\omega'\bigr) = x + (1 - \mu)\,\omega' + \mu(1 -
\lambda)\,\omega .
$$

Para $\lambda = \mu = -1$ (simetrías centrales), el vector es $2\omega' - 2\omega = 2\,\vect{\Omega\Omega'}$: la composición de las simetrías centrales en $\Omega$ y luego en $\Omega'$ es la traslación de vector $2\,\vect{\Omega\Omega'}$.

**Ejercicio 17.11 ★★.**

(Menelao) En un triángulo $ABC$, sean $A' \in (BC)$, $B' \in (CA)$ y $C' \in (AB)$, todos distintos de los vértices, y defínanse $\alpha,
\beta, \gamma$ por $\vect{A'B} = \alpha\,\vect{A'C}$, $\vect{B'C} =
\beta\,\vect{B'A}$, $\vect{C'A} = \gamma\,\vect{C'B}$. Demuestra que $A', B', C'$ están alineados si y solo si $\alpha\beta\gamma = 1$. *(Escribe cada punto como [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de dos vértices; prueba que tres puntos están alineados si y solo si sus filas de coordenadas baricéntricas respecto de $(A, B, C)$ forman una matriz $3 \times 3$ singular.)*

**Solución de Ejercicio 17.11.**

$\vect{A'B} = \alpha\,\vect{A'C}$ dice exactamente que $1\cdot
\vect{A'B} - \alpha\,\vect{A'C} = 0$, es decir, $A' =
\operatorname{bar}(B, 1;\ C, -\alpha)$ (de peso total $1 - \alpha
\neq 0$, pues $B \neq C$); análogamente, $B' = \operatorname{bar}(C,
1;\ A, -\beta)$ y $C' = \operatorname{bar}(A, 1;\ B, -\gamma)$.

*El criterio de alineación.* Asígnese a cada punto $P$ su fila baricéntrica normalizada $p = (p_A, p_B, p_C)$, con $p_A + p_B + p_C
= 1$, respecto de $(A, B, C)$. Si $\sum_i c_i p_i = 0$ con $(c_1,
c_2, c_3) \neq 0$ para tres puntos $P_1, P_2, P_3$, entonces sumar las entradas da $\sum c_i = 0$, y $\sum_i c_i \vect{OP_i} = \sum_j
\bigl(\sum_i c_ip_{ij}\bigr)\vect{OV_j} = 0$: los $P_i$ son afínmente dependientes, es decir, están alineados. Recíprocamente, una dependencia [afín](#def-b2-affine-subspace) $(t_i)$ da $w = \sum t_ip_i$ con entradas de suma $0$ y $\sum_j w_j\vect{OV_j} = 0$; desarrollando desde $A$, $w_B
\vect{AB} + w_C\vect{AC} = 0$, luego $w = 0$ por la independencia [afín](#def-b2-affine-subspace) de $(A, B, C)$: las filas son linealmente dependientes. Así pues, la alineación equivale a que se anule un [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $3 \times
3$, y escalar las filas por los factores no nulos $1 - \alpha$, $1 -
\beta$, $1 - \gamma$ no cambia nada:

$$
\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -\alpha\\ -\beta & 0 & 1\\ 1 &
-\gamma & 0\end{pmatrix}
= 1 - \alpha\beta\gamma .
$$

Por tanto, $A', B', C'$ están alineados si y solo si $\alpha\beta\gamma = 1$: el teorema de Menelao.

**Ejercicio 17.12 ★★★.**

Demuestra que la [envoltura convexa](#def-b2-affine-convex) de un subconjunto [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) $K$ de $\R^n$ es [compacta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact). *(Por el [Teorema 17.14](#thm-b2-affine-caratheodory), $\operatorname{conv}(K)$ es la imagen de un conjunto [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) por una aplicación [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity).)* Prueba con un ejemplo en $\R^2$ que la [envoltura convexa](#def-b2-affine-convex) de un conjunto *cerrado* no tiene por qué ser cerrada.

**Solución de Ejercicio 17.12.**

Sea $\Delta = \{\lambda \in \R^{n+1} : \lambda_i \geq 0,\
\sum\lambda_i = 1\}$: cerrado y acotado en $\R^{n+1}$, luego [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact), y $K^{n+1}$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) como producto finito. La aplicación

$$
\Phi \colon \Delta \times K^{n+1} \to \R^n, \qquad
\Phi(\lambda, x_0, \dots, x_n) = \sum_{i=0}^n \lambda_i x_i
$$

es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), y el [Teorema 17.14](#thm-b2-affine-caratheodory) dice precisamente que $\operatorname{conv}(K) = \Phi(\Delta \times K^{n+1})$: imagen [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de un conjunto [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#thm-b2-metric-compactprops)), luego [compacta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact).

Para un conjunto cerrado: tómese $S = (\R \times \{0\}) \cup \{(0,
1)\}$, cerrado en $\R^2$. Una combinación [convexa](#def-b2-affine-convex) que ponga peso $t$ en $(0,1)$ y $1 - t$ en puntos del eje tiene segunda coordenada $t$, de modo que

$$
\operatorname{conv}(S) = \bigl(\R \times \intco01\bigr) \cup
\{(0,1)\}
$$

(para $0 \leq t < 1$, $(x, t) = t\,(0,1) + (1-t)\,\bigl(\tfrac
x{1-t}, 0\bigr)$). El punto $(1, 1) = \lim_{t \to 1}(1, t)$ es adherente pero no está en la envoltura: no es cerrada.

## 17.5 Problema: de Radon a Helly, puntos centrales y el teorema de Jung

![Los dos tipos de Radon para cuatro puntos del plano en posición general: un punto dentro del triángulo de los otros (partición \A_4\ \A_1, A_2, A_3\), o bien posición convexa, donde el punto de Radon (naranja) es la intersección de las dos diagonales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-affine/fig-3fd6518615fc.svg)

![Los dos tipos de Radon para cuatro puntos del plano en posición general: un punto dentro del triángulo de los otros (partición \A_4\ \A_1, A_2, A_3\), o bien posición convexa, donde el punto de Radon (naranja) es la intersección de las dos diagonales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-affine/fig-f12d89fd9901.svg)

*Los dos tipos de Radon para cuatro puntos del plano en posición general: un punto dentro del triángulo de los otros (partición $\{A_4\} \mid \{A_1, A_2, A_3\}$), o bien posición [convexa](#def-b2-affine-convex), donde el punto de Radon (naranja) es la intersección de las dos diagonales.*

**Problema 17.1.**

Problema de fin de semana — El teorema de Helly y dos de sus dividendos

El lema de Radon ([Ejercicio 17.7](#exo-b2-affine-7)) dice que $n + 2$ puntos de un [espacio afín](#def-b2-affine-def) de dimensión $n$ siempre se reparten en dos grupos con [envolturas convexas](#def-b2-affine-convex) que se cortan. Este problema convierte ese único hecho de álgebra lineal en una cadena de teoremas de geometría combinatoria: el teorema de intersección de Helly, el teorema del punto central (una mediana bidimensional) y el teorema de recubrimiento de Jung. En todo el problema, el plano es $\R^2$ con su estructura euclídea habitual, y $\det$ es el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) en la base canónica.

**Parte I — Coordenadas baricéntricas.** Unos puntos $A_0, \dots, A_k$ son *afínmente independientes* cuando los vectores $\vect{A_0A_1}, \dots, \vect{A_0A_k}$ son linealmente independientes.

1. Prueba que la independencia [afín](#def-b2-affine-subspace) no depende de la elección del punto base $A_0$ , y que equivale a lo siguiente: siempre que dos familias de pesos, cada una de suma $1$ , definan el mismo [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(A_0, \dots, A_k)$ , los pesos coinciden.
2. Sea $(A, B, C)$ afínmente independiente en el plano. Prueba que todo punto $M$ admite una única terna $(\alpha, \beta,  \gamma)$ con $\alpha + \beta + \gamma = 1$ y $M =  \operatorname{bar}(A, \alpha; B, \beta; C, \gamma)$ : sus *coordenadas baricéntricas* .
3. Demuestra las fórmulas con [determinantes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $$\alpha = \frac{\det(\vect{MB},  \vect{MC})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})},  \qquad  \beta = \frac{\det(\vect{MC},  \vect{MA})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})},  \qquad  \gamma = \frac{\det(\vect{MA},  \vect{MB})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})} :$$ las coordenadas baricéntricas son cocientes de áreas con signo.
4. Las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ son las rectas coordenadas $\{\alpha = 0\}$ , $\{\beta = 0\}$ , $\{\gamma = 0\}$ . Prueba que $M$ está en el triángulo cerrado $\operatorname{conv}\{A,  B, C\}$ si y solo si $\alpha, \beta, \gamma \geq 0$ , y que las tres rectas cortan el plano en exactamente siete regiones, clasificadas por los signos de $(\alpha, \beta,  \gamma)$ (siendo imposible el patrón de signos $(-, -, -)$ ).
5. Sea $u \colon \R^2 \to \R$ una [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) (una *forma [afín](#def-b2-affine-subspace)* ). Prueba que $u(M) = \alpha\,u(A) +  \beta\,u(B) + \gamma\,u(C)$ , que los conjuntos de nivel de una forma [afín](#def-b2-affine-subspace) no constante son rectas, que toda recta se obtiene así, y que los semiplanos cerrados $\{u \geq c\}$ son [convexos](#def-b2-affine-convex) .

**Parte II — Particiones de Radon, afinadas.** Una familia de $n + 2$ puntos de $\R^n$ está en *posición general* cuando cualesquiera $n + 1$ de ellos son afínmente independientes. Una *dependencia [afín](#def-b2-affine-subspace)* de $(A_1, \dots, A_{n+2})$ es una familia $(\mu_i)$ con $\sum_i \mu_i = 0$ y $\sum_i \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ para un origen $O$ (y por tanto para todos).

6. Calcula una dependencia [afín](#def-b2-affine-subspace) no nula de los cuatro puntos $A_1 = (0,0)$ , $A_2 = (3,0)$ , $A_3 = (0,3)$ , $A_4 = (1,1)$ ; da la partición de Radon y el punto de Radon.
7. Prueba que, para puntos en posición general, el espacio vectorial de las dependencias [afines](#def-b2-affine-subspace) tiene dimensión exactamente $1$ , y que una dependencia no nula *no* tiene ningún coeficiente nulo.
8. Deduce que la partición de Radon de $n + 2$ puntos en posición general es única (salvo intercambio de los dos bloques), siendo cada bloque el conjunto de índices donde $\mu_i$ tiene un signo fijo.
9. Para cuatro puntos del plano en posición general, prueba la dicotomía: o bien la partición es de tipo $(1, 3)$ —un punto interior al triángulo de los otros tres—, o bien es de tipo $(2, 2)$ : los cuatro puntos están en posición [convexa](#def-b2-affine-convex) y los segmentos que unen las dos parejas (las diagonales) se cortan en el punto de Radon.
10. Realiza la pregunta 6 para el cuadrado unidad $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(0,1)$ : dependencia, partición y punto de Radon.

**Parte III — El teorema de Helly en el plano.**

11. Sean $C_1, C_2, C_3, C_4$ subconjuntos [convexos](#def-b2-affine-convex) de $\R^2$ tales que cualesquiera tres de ellos tengan un punto común. Tómese $x_i \in \bigcap_{j \neq i} C_j$ y aplíquese el lema de Radon a $x_1, \dots, x_4$ : prueba que el punto de Radon pertenece a los cuatro conjuntos. *(Para cada $k$, el bloque que no contiene $x_k$ consta de puntos de $C_k$.)*
12. (Helly) Sean $C_1, \dots, C_m$ ( $m \geq 3$ ) subconjuntos [convexos](#def-b2-affine-convex) de $\R^2$ tales que cualesquiera tres se corten. Demuestra que $\bigcap_{i=1}^m C_i \neq \emptyset$ , por inducción sobre $m$ : sustitúyanse $C_{m-1}$ y $C_m$ por $C_{m-1} \cap C_m$ y compruébese la hipótesis para la nueva familia usando la pregunta 11.
13. Tres contraejemplos, uno por hipótesis: (a) los tres lados cerrados de un triángulo se cortan dos a dos, pero no tienen punto común (el $3$ no puede rebajarse a $2$ ); (b) los cuatro conjuntos $S_i = \{x_1, \dots, x_4\} \setminus \{x_i\}$ , para cuatro puntos en posición general, cumplen la hipótesis de intersección triple pero no la conclusión (la convexidad importa); (c) los semiplanos cerrados $H_k =  \intco{k}{+\infty} \times \R$ , $k \in \N$ , se cortan dos a dos y tres a tres, pero $\bigcap_k H_k = \emptyset$ (las familias infinitas necesitan [compacidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) ).
14. (Helly [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) ) Sea $(K_i)_{i \in I}$ una familia arbitraria de subconjuntos [convexos](#def-b2-affine-convex) [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) de $\R^2$ tales que cualesquiera tres se corten. Usando la pregunta 12 y la propiedad de Borel–Lebesgue ( [Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue) ), prueba que $\bigcap_{i  \in I} K_i \neq \emptyset$ .
15. (Primer dividendo) Sea $S$ un conjunto finito de puntos del plano y $r > 0$ . Prueba que si cada tres puntos de $S$ caben en algún disco cerrado de radio $r$ , entonces $S$ cabe en un único disco cerrado de radio $r$ . *(Aplica Helly a los discos $\overline D(p, r)$, $p \in S$.)*

**Parte IV — El teorema del punto central.** Un *punto central* de un conjunto finito $S$ de $n$ puntos del plano es un punto $c$ (no necesariamente de $S$) tal que todo semiplano cerrado que contenga a $c$ contiene al menos $n/3$ puntos de $S$.

16. (Dimensión $1$ ) Para reales $x_1 \leq \dots \leq x_n$ , prueba que la mediana $c = x_{\lceil n/2 \rceil}$ cumple que toda semirrecta cerrada que contenga a $c$ contiene al menos $n/2$ de los $x_i$ .
17. (Lema de conteo) Si $A, B, C$ son subconjuntos de $S$ con $\abs A, \abs B, \abs C > \tfrac{2n}3$ , prueba que $A \cap B  \cap C \neq \emptyset$ .
18. Sea $m = \floor{2n/3} + 1$ y sea $\mathcal F$ la familia (finita) de las [envolturas convexas](#def-b2-affine-convex) $\operatorname{conv}(T)$ , con $T \subseteq S$ y $\abs T = m$ . Prueba que cualesquiera tres miembros de $\mathcal F$ tienen un punto común y deduce de Helly un punto $c$ común a todos ellos.
19. Demuestra que ese $c$ es un punto central de $S$ : el *teorema del punto central* . *(Si un semiplano cerrado que pasa por $c$ contuviera menos de $n/3$ puntos, su complementario [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) contendría un conjunto $T$ de $m$ puntos, y $\operatorname{conv}(T)$ evitaría a $c$.)*
20. Optimalidad: sea $n = 3k$ y colóquense $k$ puntos en cada uno de tres discos de radio pequeño $\varepsilon$ centrados en los vértices de un triángulo grande. Prueba que para *todo* punto $c$ del plano hay algún semiplano cerrado que contiene a $c$ y a lo sumo $n/3$ puntos de $S$ , de modo que la constante $1/3$ no puede mejorarse. *(Entre las tres direcciones de $c$ a los centros de los discos, dos forman un ángulo de a lo sumo $2\pi/3$.)*

**Parte V — El teorema de Jung y síntesis.**

21. (Lema del triángulo) Sean $P, Q, R$ tres puntos con distancias mutuas $\leq 1$ . Prueba que caben en un disco cerrado de radio $1/\sqrt3$ . *(Si algún ángulo es $\geq  \pi/2$, tómese el disco que tiene por diámetro el lado más largo, usando la fórmula de la mediana $\norm{RM}^2 =  \tfrac12\norm{RP}^2 + \tfrac12\norm{RQ}^2 -  \tfrac14\norm{PQ}^2$; si el triángulo es acutángulo, acótese el circunradio $a/(2\sin \widehat A)$ mediante su mayor ángulo, que está en $\intco{\pi/3}{\pi/2}$.)*
22. (Jung) Deduce que todo subconjunto [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) del plano de diámetro $\leq 1$ está contenido en un disco cerrado de radio $1/\sqrt3$ .
23. Optimalidad: para el triángulo equilátero $A_1A_2A_3$ de lado $1$ con centroide $G$ , demuestra la identidad de Leibniz $\sum_i \norm{\vect{OA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + \sum_i  \norm{\vect{GA_i}}^2$ para todo punto $O$ , y concluye que todo disco que contenga los tres vértices tiene radio $\geq  1/\sqrt3$ , con igualdad solo para el disco circunscrito.
24. (Helly en $\R^n$ ) Enuncia y demuestra el teorema de Helly en $\R^n$ : si un número finito de [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex) es tal que cualesquiera $n + 1$ de ellos se cortan, entonces todos se cortan. *(El lema de Radon del [Ejercicio 17.7](#exo-b2-affine-7) se ocupa de $n + 2$ conjuntos; después, hágase inducción como en la pregunta 12.)*
25. Síntesis. Ensambla la cadena $$\text{dependencia afín} \Rightarrow \text{Radon}  \Rightarrow \text{Helly} \Rightarrow  \text{punto central y Jung},$$ indicando en una frase cada cosa: dónde entra el álgebra lineal, dónde entran los signos de los pesos, dónde entra la convexidad y qué único paso usó la dimensión del plano. ¿En qué se convierten las constantes $3$ (en Helly), $1/3$ (punto central) y $1/\sqrt3$ (Jung) en $\R^n$? (Enúncialo sin demostración.)

**Solución de Problema 17.1.**

**1.** Cámbiese la base a $A_j$: para $i \neq j$, $\vect{A_jA_i}
= \vect{A_0A_i} - \vect{A_0A_j}$. Si $\sum_{i \neq j}
c_i\vect{A_jA_i} = 0$, desarrollando resulta $\sum_{i \notin \{0,
j\}} c_i\,\vect{A_0A_i} - \bigl(\sum_{i\neq j}
c_i\bigr)\vect{A_0A_j} = 0$; la independencia de los $\vect{A_0A_i}$ fuerza $c_i = 0$ para $i \notin \{0, j\}$ y después $c_0 = 0$: independencia en $A_j$. Para la equivalencia: dos familias de pesos $(\lambda_i)$ y $(\lambda_i')$ de suma $1$ con el mismo [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) dan, con $\nu = \lambda - \lambda'$: $\sum\nu_i = 0$ y (con origen $A_0$) $\sum_{i \geq 1}\nu_i\,\vect{A_0A_i} = 0$, luego $\nu = 0$ bajo la independencia. Recíprocamente, una relación no trivial $\sum_{i\geq1}\mu_i \vect{A_0A_i} = 0$, completada con $\mu_0 =
-\sum_{i\geq1} \mu_i$, permite sumar $t(\mu_i)$ a cualquier familia de pesos sin mover el [baricentro](#def-b2-affine-barycenter): no unicidad.

**2.** $(\vect{AB}, \vect{AC})$ es una base de $\R^2$: escríbase $\vect{AM} = \beta\,\vect{AB} + \gamma\,\vect{AC}$ (de manera única) y póngase $\alpha = 1 - \beta - \gamma$; la condición de [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) con origen $A$ se lee exactamente $\vect{AM} =
\beta\,\vect{AB} + \gamma\,\vect{AC}$. La unicidad es la pregunta 1.

**3.** De $\alpha\vect{MA} + \beta\vect{MB} + \gamma\vect{MC} =
0$ y Chasles, $\vect{MA} = -\beta\,\vect{AB} - \gamma\,\vect{AC}$. Con $D = \det(\vect{AB}, \vect{AC})$:

$$
\begin{align*}
\det(\vect{MB}, \vect{MC})
&= \det(\vect{MA} + \vect{AB},\ \vect{MA} + \vect{AC})\\
&= \det(\vect{MA}, \vect{AC}) + \det(\vect{AB}, \vect{MA}) +
D = -\beta D - \gamma D + D = \alpha D,
\end{align*}
$$

usando la bilinealidad y $\det(\vect{MA}, \vect{AC}) = -\beta D$, $\det(\vect{AB}, \vect{MA}) = -\gamma D$. Las otras dos fórmulas se siguen del mismo cálculo con los papeles permutados cíclicamente.

**4.** Por definición, $\operatorname{conv}\{A, B, C\}$ es el conjunto de [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) con pesos no negativos; normalizando los pesos a suma $1$ e invocando la unicidad (pregunta 2), $M \in
\operatorname{conv}\{A,B,C\}$ si y solo si $\alpha, \beta, \gamma
\geq 0$. Cada coordenada es una función [afín](#def-b2-affine-subspace) de $M$ (pregunta 3: un [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $2\times2$ con una columna [afín](#def-b2-affine-subspace) en $M$), de modo que cada condición [abierta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) de signo define un semiplano [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology). El patrón $(-,-,-)$ contradice $\alpha + \beta + \gamma = 1$; y cada uno de los siete patrones restantes se realiza: escálese una terna de signos respetados con al menos una entrada $+$ de modo que la suma (positiva) valga $1$; por ejemplo, $(-1, 1, 1)$, $(3, -1, -1)$, $(\frac13, \frac13, \frac13)$ y sus permutaciones.

**5.** Una [aplicación afín](#def-b2-affine-subspace) conserva los [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) ([Definición 17.5](#def-b2-affine-subspace)), así que $u(M) = \alpha u(A) + \beta
u(B) + \gamma u(C)$. Escribiendo $u(x, y) = ax + by + c$ con $(a, b)
\neq (0,0)$: $\{u = c'\}$ es una recta, y toda recta $ax + by = c'$ es uno de esos conjuntos de nivel. Si $u(M), u(N) \geq c$ y $t \in
\intcc01$, entonces $u\bigl(\operatorname{bar}(M, 1-t; N, t)\bigr) =
(1-t)u(M) + tu(N) \geq c$: los semiplanos son [convexos](#def-b2-affine-convex).

**6.** Las condiciones $\sum\mu_i = 0$, $3\mu_2 + \mu_4 = 0$ y $3\mu_3 + \mu_4 = 0$ dan (tomando $\mu_4 = 3$) la dependencia $(\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4) = (-1, -1, -1, 3)$. Los signos se reparten como $\{A_4\} \mid \{A_1, A_2, A_3\}$, y normalizando cada lado entre $3$:

$$
A_4 = \operatorname{bar}\bigl(A_1, \tfrac13;\ A_2, \tfrac13;\
A_3, \tfrac13\bigr) = (1,1),
$$

el centroide del triángulo: el punto de Radon es el propio $A_4$, que en efecto está dentro del triángulo $A_1A_2A_3$.

**7.** La aplicación lineal $\Phi \colon \R^{n+2} \to \R \times
\R^n$, $\mu \mapsto (\sum\mu_i,\ \sum\mu_i\vect{OA_i})$, tiene rango $\leq n + 1$, luego $\dim\ker \Phi \geq 1$. Si existieran dos dependencias independientes $\mu, \mu'$, una combinación adecuada $\nu = \mu'_{n+2}\mu - \mu_{n+2}\mu'$ (o el propio $\mu$ si ambos últimos coeficientes se anulan) sería una dependencia *no nula* con $\nu_{n+2} = 0$; restringiendo a $A_1, \dots, A_{n+1}$ y cambiando la base a $A_1$, algún $\nu_i \neq 0$ con $i \geq 2$ (un único peso no nulo no puede sumar cero), lo que daría una relación no trivial $\sum_{i\geq2}\nu_i\vect{A_1A_i} = 0$: los $n+1$ puntos serían afínmente dependientes, en contra de la posición general. Así pues, $\dim\ker \Phi = 1$. El mismo argumento de restricción muestra que una dependencia no nula no tiene ningún coeficiente nulo.

**8.** Sea $\mu \neq 0$ una dependencia, $P = \{i : \mu_i > 0\}$ y $N = \{i : \mu_i < 0\}$: ambos no vacíos ($\sum\mu_i = 0$, $\mu
\neq 0$) y exhaustivos (ningún coeficiente nulo). La construcción de Radon ([Ejercicio 17.7](#exo-b2-affine-7)) produce el punto común de las envolturas a partir exactamente de esa partición. Como la dependencia es única salvo un escalar no nulo (pregunta 7), el par no ordenado $\{P, N\}$ —y por tanto la partición de Radon— es único.

**9.** Los bloques son no vacíos, así que el tipo es $(1,3)$ o $(2,2)$. Tipo $(1,3)$, con bloque $\{j\}$: el punto de Radon está en $\operatorname{conv}\{A_j\} = \{A_j\}$, luego $A_j \in
\operatorname{conv}$ de los otros tres; y no puede estar sobre un lado (tres de los puntos estarían alineados, en contra de la posición general), así que $A_j$ es interior al triángulo. Tipo $(2,2)$, con bloques $\{i,j\} \mid \{k,l\}$: el punto de Radon $z$ está en $\intcc{A_i}{A_j} \cap \intcc{A_k}{A_l}$, y $z$ no es un extremo (eso alinearía tres puntos): los dos segmentos se cruzan en un punto interior. Además, ningún punto está en la envoltura de los otros: una inclusión así, $A_l = \operatorname{bar}(A_i, \lambda_i)_{i \neq l}$ con $\lambda_i \geq 0$, es una dependencia [afín](#def-b2-affine-subspace) con patrón de signos $(+,+,+,-)$, lo que por unicidad (pregunta 8) haría que la partición fuera $(1,3)$. Así pues, en el caso $(2,2)$ los cuatro puntos están en posición [convexa](#def-b2-affine-convex) y los segmentos que se cruzan son las diagonales.

**10.** Las ecuaciones $\mu_2 + \mu_3 = 0$, $\mu_3 + \mu_4 = 0$ y $\sum\mu_i = 0$ dan la dependencia $(1, -1, 1, -1)$: partición $\{(0,0), (1,1)\} \mid \{(1,0), (0,1)\}$, y

$$
\operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (1,1),
\tfrac12\bigr) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr) =
\operatorname{bar}\bigl((1,0), \tfrac12;\ (0,1),
\tfrac12\bigr) :
$$

el punto de Radon es el centro del cuadrado, donde se cruzan las dos diagonales; tipo $(2,2)$, como predice la figura.

**11.** Radon aplicado a $x_1, \dots, x_4$ da bloques $I \mid J$ y un punto $z \in \operatorname{conv}\{x_i : i \in I\} \cap
\operatorname{conv}\{x_j : j \in J\}$. Fíjese $k \in \{1, \dots,
4\}$, digamos $k \in I$. Todo $j \in J$ cumple $j \neq k$, luego $x_j
\in C_k$ por la elección $x_j \in \bigcap_{l \neq j}C_l$; y como $C_k$ es [convexo](#def-b2-affine-convex), $z \in \operatorname{conv}\{x_j : j \in J\}
\subseteq C_k$. Como $k$ era arbitrario, $z \in C_1 \cap C_2 \cap C_3
\cap C_4$.

**12.** Inducción sobre $m$. Para $m = 3$, la hipótesis es la conclusión; $m = 4$ es la pregunta 11. Sea $m \geq 4$, supóngase el enunciado para $m$ conjuntos y tómense $C_1, \dots, C_{m+1}$ con la propiedad de intersección triple. Póngase $C_m' = C_m \cap C_{m+1}$, [convexo](#def-b2-affine-convex). La familia $C_1, \dots, C_{m-1}, C_m'$ tiene $m$ miembros; una terna que evite $C_m'$ se corta por hipótesis, y una terna $\{C_i, C_j, C_m'\}$ tiene intersección $C_i \cap C_j \cap C_m \cap
C_{m+1}$, no vacía por la pregunta 11 aplicada a $C_i, C_j, C_m,
C_{m+1}$ (cualesquiera tres de estos se cortan, por hipótesis). La hipótesis de inducción da entonces un punto común de la nueva familia, es decir, de los $m+1$ conjuntos.

**13.** (a) Los lados cerrados $\intcc PQ$, $\intcc QR$, $\intcc
RP$ de un triángulo no degenerado: dos cualesquiera comparten un vértice, pero un punto común a los tres estaría en $\intcc PQ \cap
\intcc RP = \{P\}$ y en $\intcc QR$, que excluye $P$. (b) Cualesquiera tres de los conjuntos $S_i = \{x_1, \dots, x_4\}
\setminus \{x_i\}$ omiten tres de los cuatro puntos y dejan exactamente un punto común; la intersección total omite todos los puntos. Los $S_i$ son finitos y no [convexos](#def-b2-affine-convex): la convexidad es esencial. (c) Un número finito de $H_k = \intco{k}{+\infty} \times
\R$ se cortan en $\intco{k_{\max}}{+\infty} \times \R \neq
\emptyset$, y sin embargo ningún punto cumple $x \geq k$ para todo $k
\in \N$: para las familias infinitas, la [compacidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) es esencial.

**14.** Supóngase $\bigcap_{i \in I}K_i = \emptyset$ y fíjese $i_0$. Todo $x \in K_{i_0}$ se escapa de algún $K_i$, de modo que $K_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in I}(\R^2 \setminus K_i)$, un recubrimiento por [abiertos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) ($K_i$ es [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact), luego cerrado). Por Borel–Lebesgue ([Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue)) bastan un número finito: $K_{i_0} \cap K_{i_1} \cap \dots \cap K_{i_N} = \emptyset$. Pero cualesquiera tres miembros de esta familia finita de [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex) se cortan, así que la pregunta 12 hace no vacía la intersección: contradicción.

**15.** Póngase $D_p = \overline D(p, r)$ para $p \in S$: [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex) [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact). Para $p, q, s \in S$, la hipótesis da un disco cerrado $\overline D(z, r)$ que contiene $p, q, s$; entonces $\norm{\vect{zp}}, \norm{\vect{zq}}, \norm{\vect{zs}} \leq r$, es decir, $z \in D_p \cap D_q \cap D_s$. Por Helly (pregunta 12; la familia es finita) hay un $c \in \bigcap_{p \in S}D_p$: todo $p \in
S$ cumple $\norm{\vect{cp}} \leq r$, luego $S \subseteq \overline
D(c, r)$.

**16.** Sea $c = x_{\lceil n/2\rceil}$. Una semirrecta cerrada que contenga a $c$ es $\intoc{-\infty}{t}$ con $t \geq c$, o $\intco{t}{+\infty}$ con $t \leq c$. La primera contiene $x_1, \dots,
x_{\lceil n/2\rceil}$: al menos $\lceil n/2\rceil \geq n/2$ puntos. La segunda contiene $x_{\lceil n/2\rceil}, \dots, x_n$: exactamente $n - \lceil n/2\rceil + 1 = \floor{n/2} + 1 > n/2$ puntos.

**17.** $\abs{A \cap B} = \abs A + \abs B - \abs{A \cup B} \geq
\abs A + \abs B - n > \tfrac{4n}3 - n = \tfrac n3$, y después

$$
\abs{A \cap B \cap C} \geq \abs{A \cap B} + \abs C - n >
\tfrac n3 + \tfrac{2n}3 - n = 0 .
$$

**18.** Nótese que $m > 2n/3$. Para $T_1, T_2, T_3 \subseteq S$ de cardinal $m$, la pregunta 17 proporciona un punto $x \in T_1 \cap
T_2 \cap T_3$; entonces $x \in \operatorname{conv}(T_i)$ para cada $i$: cualesquiera tres miembros de $\mathcal F$ se cortan. La familia es finita (hay un número finito de subconjuntos de $S$) y consta de [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex), así que Helly (pregunta 12) da $c \in
\bigcap_{\abs T = m}\operatorname{conv}(T)$.

**19.** Supóngase que algún semiplano cerrado $H \ni c$ contiene menos de $n/3$ puntos de $S$. Su complementario $U$ es un semiplano [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology), [convexo](#def-b2-affine-convex), con $\abs{S \cap U} > 2n/3$ y, por tanto, $\abs{S
\cap U} \geq \floor{2n/3} + 1 = m$; elíjase $T \subseteq S \cap U$ con $\abs T = m$. Entonces $\operatorname{conv}(T) \subseteq U$ por la convexidad de $U$, de modo que $c \in \operatorname{conv}(T)
\subseteq U$: contradicción con $c \in H$. Por tanto, todo semiplano cerrado que contenga a $c$ contiene al menos $n/3$ puntos: $c$ es un punto central.

**20.** Tómese el triángulo equilátero de lado $L$ y $\varepsilon = L/100$. Sea $c$ un punto cualquiera; exhibimos un semiplano cerrado que contiene a $c$ y a lo sumo $k$ puntos.

*Caso 1: $c$ dista menos de $L/10$ de un vértice, digamos $B$.* Las direcciones de $c$ a $A$ y a $C$ se desvían de las direcciones $B
\to A$ y $B \to C$ a lo sumo en $\arcsin\bigl(\tfrac{L/10}{9L/10}\bigr) = \arcsin\tfrac19$, de modo que forman un ángulo $\leq \tfrac\pi3 + 2\arcsin\tfrac19 <
\tfrac{2\pi}3$. *Caso 2: $c$ dista $> L/10$ de todos los vértices.* Si $c$ está en el triángulo, los tres huecos angulares entre las direcciones $u_A, u_B, u_C$ de $c$ a los vértices suman $2\pi$, luego algún hueco es $\leq 2\pi/3$; si $c$ está fuera, las tres direcciones están en un semiplano [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) de direcciones y dos de ellas forman un ángulo $< \pi/2$. En todos los casos hay dos direcciones, digamos hacia $X$ y hacia $Y$, que forman un ángulo $\leq 2\pi/3$; sea $w$ su bisectriz unitaria, de modo que $\langle
u_X, w\rangle, \langle u_Y, w\rangle \geq \cos\tfrac\pi3 =
\tfrac12$. Para todo punto $b$ del disco en torno a $X$:

$$
\langle \vect{cb}, w\rangle \geq
\tfrac12\norm{\vect{cX}} - \varepsilon > 0,
$$

pues $\norm{\vect{cX}} \geq L/10 > 2\varepsilon$ (e igualmente para $Y$): el semiplano [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) $\{\langle \vect{cx}, w\rangle > 0\}$ se traga ambos grupos. Su complementario cerrado contiene a $c$ y, a lo sumo, los $k$ puntos del tercer grupo. Así pues, ningún punto del plano mejora $n/3$: junto con la pregunta 19, la constante del punto central es exactamente $1/3$.

**21.** Ordénense los ángulos; el mayor, $\theta$, cumple $\theta \geq \pi/3$ (los tres suman $\pi$). Si $\theta \geq \pi/2$, digamos en $R$, sea $M$ el punto medio del lado opuesto $\intcc PQ$. La fórmula de la mediana ($\vect{RM} = \tfrac12(\vect{RP} +
\vect{RQ})$, desarróllese y elimínese $\langle\vect{RP},
\vect{RQ}\rangle$ con el teorema del coseno) da

$$
\norm{\vect{RM}}^2 = \tfrac12\norm{\vect{RP}}^2 +
\tfrac12\norm{\vect{RQ}}^2 - \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2 \leq
\tfrac12\norm{\vect{PQ}}^2 - \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2 =
\tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2,
$$

usando $\norm{\vect{PQ}}^2 = \norm{\vect{RP}}^2 +
\norm{\vect{RQ}}^2 - 2\langle\vect{RP}, \vect{RQ}\rangle \geq
\norm{\vect{RP}}^2 + \norm{\vect{RQ}}^2$ (el producto escalar es $\leq 0$). Así pues, el disco de diámetro $\intcc PQ$, de radio $\leq
\tfrac12 < \tfrac1{\sqrt3}$, contiene los tres puntos (las ternas degeneradas alineadas caen bajo $\theta = \pi$). Si $\theta < \pi/2$, el triángulo es acutángulo; por el teorema de los senos, el circunradio es $R_c = a/(2\sin\theta)$ con $a \leq 1$ el lado opuesto a $\theta$, y $\theta \in \intco{\pi/3}{\pi/2}$ da $\sin\theta \geq
\sqrt3/2$, luego $R_c \leq 1/\sqrt3$: el disco circunscrito sirve.

**22.** Para $p \in S$, sea $K_p = \overline D(p, 1/\sqrt3)$: [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) y [convexo](#def-b2-affine-convex). Cualesquiera tres puntos $p, q, s$ de $S$ están a distancia mutua $\leq 1$, de modo que la pregunta 21 da un disco de radio $1/\sqrt3$ que los contiene: su centro está en $K_p \cap K_q
\cap K_s$. Por el Helly [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) (pregunta 14, con familias arbitrarias permitidas) hay un $c \in \bigcap_{p\in S}K_p$: todo $p
\in S$ está a distancia $\leq 1/\sqrt3$ de $c$, es decir, $S
\subseteq \overline D(c, 1/\sqrt3)$. Este es el teorema de Jung en el plano.

**23.** Con $G$ el centroide, $\sum_i\vect{GA_i} = 0$, luego

$$
\sum_i\norm{\vect{OA_i}}^2 = \sum_i\norm{\vect{OG} +
\vect{GA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + 2\Bigl\langle
\vect{OG}, \sum_i\vect{GA_i}\Bigr\rangle +
\sum_i\norm{\vect{GA_i}}^2,
$$

y el término central se anula: la identidad de Leibniz. Para el triángulo equilátero de lado $1$, $\norm{\vect{GA_i}} = 1/\sqrt3$ (dos tercios de la altura $\sqrt3/2$), luego $\sum_i\norm{\vect{GA_i}}^2 = 1$. Si $\overline D(O, r)$ contiene los vértices, entonces $3r^2 \geq \sum_i\norm{\vect{OA_i}}^2 =
3\norm{\vect{OG}}^2 + 1 \geq 1$: $r \geq 1/\sqrt3$, y la igualdad fuerza $O = G$ y las tres distancias iguales a $r$: el disco circunscrito. La constante $1/\sqrt3$ de Jung es óptima.

**24.** *Helly en $\R^n$: si $C_1, \dots, C_m$ ($m \geq n +
1$) son subconjuntos [convexos](#def-b2-affine-convex) de $\R^n$ y cualesquiera $n + 1$ de ellos se cortan, entonces todos se cortan.* Caso base $m = n + 2$: tómese $x_i \in \bigcap_{j\neq i}C_j$; el lema de Radon ([Ejercicio 17.7](#exo-b2-affine-7)) parte $x_1, \dots, x_{n+2}$ en bloques $I
\mid J$ con un punto común de las envolturas $z$, y para cada $k$, el bloque que no contiene $k$ consta de puntos de $C_k$, de modo que $z
\in C_k$ por convexidad, exactamente como en la pregunta 11. Paso de inducción para $m \geq n + 2$: sustitúyanse $C_m$ y $C_{m+1}$ por $C_m \cap C_{m+1}$; una $(n+1)$-tupla de la nueva familia que contenga al miembro intersecado equivale a $n + 2$ de los conjuntos antiguos, tratados por el caso base, y las demás tuplas quedan cubiertas por hipótesis. Concluye la hipótesis de inducción.

**25.** El álgebra lineal entra una sola vez: $n + 2$ vectores del espacio $(n+1)$-dimensional de pares (peso total, posición ponderada) han de ser dependientes; esa es la dependencia [afín](#def-b2-affine-subspace). Los signos de sus coeficientes reparten los puntos en los dos bloques de Radon y convierten una relación lineal en una igualdad de dos [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) no negativos. La convexidad se usa exactamente dos veces: en el paso de Helly (la envoltura de puntos de $C_k$ se queda en $C_k$) y en las aplicaciones (los semiplanos y los discos son [convexos](#def-b2-affine-convex)). La dimensión del plano entró solo a través del número $4
= 2 + 2$ de puntos que se dan a Radon, es decir, del “$3 = 2 + 1$” de la hipótesis de Helly; todo lo demás era independiente de la dimensión, como confirma la pregunta 24. En $\R^n$ las constantes pasan a ser: número de Helly $n + 1$; constante del punto central $\frac1{n+1}$ (todo conjunto finito tiene un punto tal que todo semiespacio cerrado que pase por él contiene una fracción $\geq
\frac1{n+1}$ del conjunto); y radio de Jung $\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$ para conjuntos de diámetro $1$, igual a $1/\sqrt3$ cuando $n = 2$.