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title: "Superficies"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/19-superficies
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# Capítulo 19 — Superficies

Tras las curvas, las superficies: objetos de dos parámetros en $\R^3$. El cálculo diferencial del [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) proporciona todo lo que necesitamos: las derivadas parciales dan los vectores tangentes, el producto vectorial da la normal y los [determinantes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) dan las [áreas](#def-b2-surfaces-area). Definimos las [superficies parametrizadas](#def-b2-surfaces-param) regulares, sus [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) y la *[primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff)*, que codifica todas las medidas de [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) y de [área](#def-b2-surfaces-area) sobre la superficie. Las superficies también aparecen como conjuntos de nivel $f(x, y, z) = c$; el gradiente dirige entonces la normal.

## 19.1 Superficies parametrizadas

**Definición 19.1 (Superficie parametrizada regular).**

Sea $U \subseteq \R^2$ un [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology). Una *superficie parametrizada* de clase $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) es una aplicación $\sigma \colon U \to
\R^3$, $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$, de clase $\mathcal{C}^k$. Un punto es *regular* si los vectores de derivadas parciales

$$
\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v),
\qquad
\sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)
$$

son linealmente independientes, es decir, si $\sigma_u \wedge
\sigma_v \neq 0$; la superficie es *regular* si lo es todo punto.

**Ejemplo 19.2 (Las tres descripciones estándar).**

1. *Grafo:* $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Siempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ y $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ son independientes.
2. *Esfera (coordenadas esféricas):* para la esfera de radio $R$, $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$ con $\theta$ la [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) y $\varphi$ la latitud. Se comprueba que $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: regular fuera de los polos (que esta carta omite).
3. *Conjunto de nivel:* $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ con $f$ de clase $\mathcal{C}^1$ y $\nabla f \neq 0$ sobre $S$ . Cerca de cada punto, una coordenada puede expresarse como función de las otras dos por el teorema de la función implícita ( [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) ), de modo que $S$ es localmente un grafo.

**Ejemplo 19.3 (Del conjunto de nivel al grafo).**

El teorema de la función implícita del punto 3 merece una ejecución explícita. Tomemos la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ cerca de su polo norte $(0, 0, R)$: allí $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq
0$, y despejar $z$ da la carta de grafo

$$
z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2},
\qquad x^2 + y^2 < R^2 ,
$$

regular en todo su dominio ([abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology)), incluido el polo que la carta esférica se dejaba. Cerca de un punto del ecuador como $(R, 0, 0)$, el mismo teorema despeja $x$ en su lugar ($\frac{\partial f}{\partial
x} = 2R \neq 0$). La regla práctica: una superficie de nivel es un grafo sobre el plano coordenado *ortogonal a la mayor componente del gradiente*, y cubriendo la esfera con seis cartas de grafo de ese tipo se comprueba su regularidad en todas partes sin trigonometría alguna.

## 19.2 Plano tangente y normal

**Definición 19.4 (Plano tangente).**

Sea $\sigma$ regular en $(u_0, v_0)$, y $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$. El *plano tangente* $T_{M_0}S$ es el plano que pasa por $M_0$ y tiene dirección $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (con las parciales en $(u_0, v_0)$). La *normal unitaria* es

$$
n(u_0, v_0)
= \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v}
       {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .
$$

**Proposición 19.5 (Los vectores tangentes son vectores velocidad).**

La dirección de $T_{M_0}S$ es exactamente el conjunto de vectores $\gamma'(0)$, donde $\gamma = \sigma \circ c$ recorre las curvas $\mathcal{C}^1$ trazadas sobre la superficie que pasan por $M_0$ (es decir, $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ es $\mathcal{C}^1$ con $c(0) = (u_0, v_0)$).

**Demostración.** Si $c(t) = (u(t), v(t))$, la regla de la cadena ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc)) da

$$
\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v
\in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).
$$

Recíprocamente, el vector $a\sigma_u + b\sigma_v$ se alcanza con la curva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$, que permanece en el [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) $U$ para $\abs t$ pequeño. ∎

**Ejemplo 19.6 (El plano tangente del helicoide).**

Para el helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$, en el punto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

$$
\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0),
\qquad
\sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),
$$

de modo que el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) es $a\,y = z$. Contiene toda la generatriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (dirección $\sigma_v$): como en el cono del [Ejercicio 19.1](#exo-b2-surfaces-1), en una superficie reglada por rectas cada generatriz está dentro del [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) a lo largo de ella. La otra dirección tangente $\sigma_u$ es la velocidad de la hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$: una carta, dos curvas trazadas y todo el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) queda [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated); la [Proposición 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity) en acción.

**Proposición 19.7 (Normal de una superficie de nivel).**

Sea $S = \{f = c\}$ con $f$ de clase $\mathcal{C}^1$ y $\nabla
f(M_0) \neq 0$. Entonces el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) de $S$ en $M_0$ es el plano que pasa por $M_0$ y es ortogonal a $\nabla f(M_0)$:

$$
T_{M_0}S :\quad
\langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .
$$

**Demostración.** Para toda curva $\gamma$ trazada sobre $S$ que pase por $M_0$, $f(\gamma(t)) = c$ idénticamente, de modo que la regla de la cadena da $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$: todos los vectores velocidad son ortogonales al gradiente, luego la dirección tangente está contenida en el plano $\nabla f(M_0)^\perp$. Ambos son subespacios de dimensión $2$ —la dirección tangente porque $S$ es localmente un grafo regular ([Ejemplo 19.2](#ex-b2-surfaces-standard)), y el complemento ortogonal porque $\nabla f(M_0) \neq 0$—, luego son iguales. ∎

**Ejemplo 19.8.**

Para la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$: $\nabla f = 2(x, y, z)$, luego el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) en $M_0$ es ortogonal al radio $\vect{OM_0}$; el hecho clásico de que el radio y el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) son perpendiculares, con ecuación $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

**Ejemplo 19.9 (Plano tangente de un grafo).**

Para $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$: aplicando la [Proposición 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$,

$$
z = f(x_0, y_0)
+ f_x(x_0, y_0)(x - x_0)
+ f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,
$$

la parte [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) del desarrollo de Taylor de primer orden: el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) es el grafo de la [diferencial](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential), como debe ser.

**Ejemplo 19.10 (El punto más próximo de una superficie).**

¿Qué punto del paraboloide $z = x^2 + y^2$ está más cerca de $P =
(0, 0, 1)$? Minimicemos la distancia al cuadrado sobre la superficie: con $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2,
\qquad
g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0
\iff \rho^2 = \tfrac12 ,
$$

lo que da la circunferencia de puntos de altura $z = \frac12$ y distancia $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$. La firma geométrica de la minimalidad: en un punto $M$ así, el vector $\vect{MP}$ debe ser *normal* a la superficie; de lo contrario, deslizarse por una curva trazada con velocidad de componente hacia $P$ disminuiría la distancia. Comprobación: $\nabla(z - x^2 - y^2) =
(-2x, -2y, 1)$ en $M = (x, y, \tfrac12)$, mientras que $\vect{MP} =
(-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$: paralelos, como se predijo. La condición de primer orden “pie de la perpendicular” es la misma que guiará los extremos sobre conjuntos de nivel en el [Ejercicio 19.12](#exo-b2-surfaces-12).

**Ejemplo 19.11 (Planos tangentes de las cuádricas: la regla de polarización).**

Sean $S : xy + yz + zx = 1$ y $M_0 = (1, 1, 0) \in S$. Aquí $\nabla f
= (y + z,\ x + z,\ x + y)$, luego $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ y el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) es

$$
(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0,
\qquad\text{es decir,}\qquad x + y + 2z = 2 .
$$

La misma respuesta sale de la *regla de [polarización](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def)* que generaliza el [Ejemplo 19.8](#ex-b2-surfaces-spheretangent) y el [Ejercicio 19.2](#exo-b2-surfaces-2): en la ecuación de la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1), sustitúyase $x^2$ por $x_0x$, y cada producto $xy$ por $\frac{x_0y +
y_0x}2$ (y cíclicamente):

$$
\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x +
x_0z}2 = 1
\;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\;
\frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,
$$

que es de nuevo $x + y + 2z = 2$. La regla funciona porque el $\nabla$ de una [forma cuadrática](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def) es la forma bilineal asociada evaluada contra el punto base: la tangencia a una [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) es [polarización](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def), una cara más del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic).

## 19.3 La primera forma fundamental

**Definición 19.12 (Primera forma fundamental).**

Sea $\sigma \colon U \to \R^3$ una superficie $\mathcal{C}^1$ regular. Su *primera forma fundamental* en $(u,v)$ es la [forma cuadrática](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def) definida positiva sobre $\R^2$

$$
I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2
= E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,
$$

donde

$$
E = \norm{\sigma_u}^2,
\qquad
F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle,
\qquad
G = \norm{\sigma_v}^2 .
$$

**Observación 19.13.**

$I$ es la restricción del producto escalar euclídeo ambiente al [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent), leída en la base $(\sigma_u, \sigma_v)$: es definida positiva precisamente porque $\sigma_u, \sigma_v$ son independientes ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic)). Toda magnitud métrica sobre la superficie —longitudes de curvas trazadas, ángulos entre ellas, áreas— se calcula solo a partir de $E, F, G$. Dos superficies con los mismos $E, F, G$ en parámetros adecuados son *isométricas* aunque estén situadas de manera distinta en el espacio: este es el punto de partida de la geometría intrínseca.

**Ejemplo 19.14 (Ángulos entre las curvas coordenadas).**

La [primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) mide también ángulos: las curvas coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ y $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se cortan formando el ángulo $\theta$ con

$$
\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u,
\sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}}
= \frac{F}{\sqrt{EG}} :
$$

el único coeficiente $F$ decide la ortogonalidad de la red de parámetros. Para la carta de la esfera y para el helicoide, $F = 0$: los meridianos cortan a los paralelos, y las hélices a las generatrices horizontales, en ángulo recto; por eso sus integrandos de [área](#def-b2-surfaces-area) colapsaron a $\sqrt{EG}$. Para una carta de grafo, $F =
f_xf_y$ solo se anula donde lo hace alguna derivada parcial: la red coordenada de un grafo inclinado *no* es ortogonal, aunque la red $(x, y)$ de abajo sí lo sea. Cuando los cálculos sobre una superficie se ponen pesados, el primer movimiento es buscar una carta con $F = 0$.

**Ejemplo 19.15 (La carta de la silla de montar).**

Para la silla de montar $z = xy$ con la carta $\sigma(u, v) = (u, v,
uv)$:

$$
\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u),
\qquad
E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,
$$

y $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$: regular en todas partes. Las dos curvas coordenadas por un punto son *rectas* de $\R^3$ (fíjese $u$ o fíjese $v$: las generatrices de la silla doblemente reglada) y, sin embargo, $F \neq 0$ fuera de los ejes: las generatrices por un punto genérico no son ortogonales. Ambas generatrices están en el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent), al que generan, de modo que el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) corta a la superficie a lo largo de dos rectas enteras, el extremo opuesto de la esfera, cuyos [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) tocan en un solo punto. El signo del “contacto de segundo orden” entre una superficie y sus [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) es una historia de [curvatura](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#thm-b2-curves-frenet2d), retomada en el volumen del tercer año.

**Proposición 19.16 (Longitud de una curva trazada sobre una superficie).**

Si $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$, $t \in [a, b]$, es $\mathcal{C}^1$, entonces

$$
L(\gamma) = \int_a^b
\sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,
$$

con $E, F, G$ evaluados en $(u(t), v(t))$.

**Demostración.** $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ por la regla de la cadena, luego $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$; intégrese $\norm{\gamma'}$ ([Definición 18.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length)). ∎

**Ejemplo 19.17 (Por qué los aviones vuelan sobre el polo).**

Dos aeropuertos están a la latitud $\varphi_0$ y en longitudes opuestas: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ y $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ sobre la esfera de radio $R$. A lo largo del paralelo ($\varphi
\equiv \varphi_0$), la [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) es $\int_0^\pi
R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$. Por la ruta sobre el polo (subiendo por el meridiano $\theta = 0$ y bajando por el meridiano $\theta = \pi$), es $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$. A la latitud $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sesenta grados): ruta por el paralelo $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, ruta polar $\pi R/3 \approx
1.047\,R$; un tercio más corta. De hecho, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi
- 2\varphi_0$ sobre $\intcc0{\pi/2}$ (la función $\pi\cos\varphi -
\pi + 2\varphi$ se anula en ambos extremos y su derivada $2 -
\pi\sin\varphi$ cambia de signo una vez, de modo que primero crece y luego decrece, y por tanto es no negativa): la ruta polar nunca pierde. La [primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) convirtió una cuestión de navegación en dos integrales de una línea; el [Ejercicio 19.6](#exo-b2-surfaces-6) lleva la idea hasta una demostración genuina de minimalidad para los meridianos.

**Lema 19.18 (Identidad de Lagrange).**

Para todos $a, b \in \R^3$: $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm
b^2 - \langle a, b\rangle^2$. En particular,

$$
\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.
$$

**Demostración.** Ambos miembros quedan inalterados si sustituimos $b$ por su componente $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ ortogonal a $a$ (para $a \neq 0$; el caso $a = 0$ es trivial): el izquierdo porque $a \wedge a = 0$, y el derecho desarrollando $\norm{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm
a^2}$ y $\langle a, b_\perp\rangle = 0$. Basta, pues, demostrar la identidad para $a, b$ ortogonales, donde se lee $\norm{a \wedge b} =
\norm a \norm b$: cierto, ya que para vectores ortogonales el producto vectorial tiene [norma](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) $\norm a\norm
b\,\abs{\sin\frac\pi2}$. La fórmula mostrada es el caso $a =
\sigma_u$, $b = \sigma_v$. ∎

**Observación 19.19.**

La identidad de Lagrange dice que $EG - F^2 =
\det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ es el *[determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) de Gram* de $(\sigma_u, \sigma_v)$: el cuadrado del [área](#def-b2-surfaces-area) del paralelogramo que generan. La regularidad, el carácter definido positivo de la [primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) y la positividad del [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) de Gram son tres formulaciones de una misma condición; por eso el integrando de [área](#def-b2-surfaces-area) de más abajo nunca se anula sobre una carta regular.

**Definición 19.20 (Área).**

Sea $\sigma \colon U \to \R^3$ una superficie $\mathcal{C}^1$ regular e inyectiva, y $K \subseteq U$ un dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) sobre el que tengan sentido las integrales dobles ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint)). El *área* del trozo $\sigma(K)$ es

$$
\mathcal{A}
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v
= \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .
$$

**Observación 19.21 (Por qué esta fórmula).**

El rectángulo $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ se aplica, a primer orden, sobre el paralelogramo [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por $\sigma_u\,\dd u$ y $\sigma_v\,\dd v$, cuya [área](#def-b2-surfaces-area) es $\norm{\sigma_u \wedge
\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$: la definición integra el factor local de distorsión de [área](#def-b2-surfaces-area), exactamente como la [longitud de arco](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) integra la rapidez local. La coherencia con los [cambios de parámetro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) es el [Ejercicio 19.8](#exo-b2-surfaces-8); la coherencia con la fórmula del cambio de variables para integrales dobles se discute en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint).

**Ejemplo 19.22 (Dos grafos distintos, una misma área).**

Sobre el disco unidad, comparemos el cuenco $z = \frac12(x^2 + y^2)$ y la silla de montar $z = xy$. Sus integrandos de [área](#def-b2-surfaces-area) ([Ejercicio 19.5](#exo-b2-surfaces-5)) son

$$
\sqrt{1 + x^2 + y^2}
\qquad\text{y}\qquad
\sqrt{1 + y^2 + x^2} :
$$

idénticos. Las dos superficies —una que se curva igual en todas las direcciones, la otra con forma de silla— tienen [áreas](#def-b2-surfaces-area) exactamente iguales sobre todo dominio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre el disco unidad. El elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) solo ve la *[longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length)* del gradiente, no la disposición de la flexión; distinguir el cuenco de la silla exige datos de segundo orden (la estructura de signos exhibida en la [Figura 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle)), que ninguna medida de [área](#def-b2-surfaces-area) detecta. [Primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff): métrica, ciega a la forma; la segunda forma, que sí ve la forma, pertenece al tercer año.

**Ejemplo 19.23 (Área de la esfera).**

Para la carta esférica del [Ejemplo 19.2](#ex-b2-surfaces-standard):

$$
\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\
\cos\theta\cos\varphi,\ 0),
\qquad
\sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\
-\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),
$$

luego $E = R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$ y $\sqrt{EG - F^2} =
R^2\cos\varphi$. De ahí,

$$
\mathcal{A}
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \boxed{4\pi R^2} .
$$

**Ejemplo 19.24 (El cono, contrastado con la fórmula escolar).**

Para el cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre la corona $a \leq \rho \leq
b$, la fórmula para grafos del [Ejercicio 19.5](#exo-b2-surfaces-5) da $1 + f_x^2
+ f_y^2 = 2$ (calcúlense $f_x = x/\rho$, $f_y = y/\rho$), luego

$$
\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .
$$

Comprobación de coherencia con la fórmula de la generatriz $\pi\rho\ell$ del [Ejemplo 19.26](#ex-b2-surfaces-revolution): los conos completos de radios de base $b$ y $a$ tienen [áreas](#def-b2-surfaces-area) laterales $\pi b\cdot b\sqrt2$ y $\pi
a\cdot a\sqrt2$, cuya diferencia es exactamente $\sqrt2\pi(b^2 -
a^2)$. Dos cartas, dos fórmulas, un [área](#def-b2-surfaces-area): la invariancia demostrada en el [Ejercicio 19.8](#exo-b2-surfaces-8), vista en libertad.

**Observación 19.25 (Comprobaciones de sensatez para las áreas).**

Tres comprobaciones instantáneas cazan la mayoría de los errores en un cálculo de [área](#def-b2-surfaces-area). *Escalado*: dilatar una superficie por $\lambda$ multiplica $E, F, G$ por $\lambda^2$ y el [área](#def-b2-surfaces-area) por $\lambda^2$; una respuesta cuya dependencia de $R$ no sea cuadrática (como $4\pi R^2$) está mal. *Positividad del elemento*: $\sqrt{EG - F^2}$ ha de ser estrictamente positivo en el interior de la carta; un valor nulo señala una degeneración de la carta, que hay que extirpar como en los polos de la esfera. *Simetría*: un cálculo sobre un trozo [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) debe ser coherente con sumar sus partes congruentes; más vale que el hemisferio dé $2\pi R^2$.

**Ejemplo 19.26 (Superficie de revolución).**

Gírese la curva $z \mapsto (r(z), 0, z)$, con $r > 0$ de clase $\mathcal{C}^1$, en torno al eje $z$:

$$
\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).
$$

Entonces $E = r(z)^2$, $F = 0$, $G = 1 + r'(z)^2$, luego

$$
\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi}
r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z
= 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,
$$

la fórmula clásica (la circunferencia $2\pi r$ por el elemento de [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de la generatriz). Para el cono $r(z) = kz$, $z \in [0, h]$: $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ con $\rho = kh$ el radio de la base y $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ la generatriz; la fórmula escolar, ahora deducida en vez de admitida.

**Ejemplo 19.27 (El catenoide).**

Gírese la catenaria $r(z) = \cosh z$, $z \in \intcc{-1}{1}$, en torno a su eje: el *catenoide* resultante tiene, por la fórmula de revolución y $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$,

$$
\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\,
\dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z
= \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},
$$

es decir,

$$
\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .
$$

El factor de la generatriz $\sqrt{1 + r'^2}$ se fundió con el radio en un cuadrado perfecto; la misma identidad que hizo elemental la [longitud de arco](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de la catenaria en el capítulo de curvas. No es un accidente algebraico: entre todas las superficies de revolución que abarcan las dos circunferencias de borde, el catenoide minimiza el [área](#def-b2-surfaces-area) (es la forma de una película de jabón entre dos aros), y esa propiedad variacional es precisamente lo que singulariza a $\cosh$; el volumen del tercer año lo demuestra con el cálculo de variaciones.

![La silla de montar z = x2 - y2 cerca del origen, con sus curvas coordenadas (las curvas u en azul, las curvas v en verde), el plano tangente en M_0 = (0,0,0) (a trazos) y la normal unitaria n. La superficie cruza su plano tangente: el análogo bidimensional de una inflexión.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-b28608515b89.svg)

***Figura 19.1.** La silla de montar $z = x^2 - y^2$ cerca del origen, con sus curvas coordenadas (las curvas $u$ en azul, las curvas $v$ en verde), el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) en $M_0 = (0,0,0)$ (a trazos) y la [normal unitaria](#def-b2-surfaces-tangent) $n$. La superficie cruza su [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent): el análogo bidimensional de una inflexión.*

**Observación 19.28 (Errores frecuentes).**

(i) *Las singularidades de una carta no son singularidades de la superficie*: la carta esférica degenera en los polos ($\cos\varphi =
0$), pero la esfera es perfectamente regular allí; otra carta (intercambiando los papeles de los ejes) es regular en los polos. Antes de declarar singular un punto, pruébese con una segunda parametrización. (ii) *La regularidad de $\sigma$ concierne a la parametrización, no a la imagen*: $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ no es regular sobre $u = 0$ aunque su imagen sea un plano. (iii) La fórmula del [área](#def-b2-surfaces-area) exige que $\sigma$ sea *inyectiva* sobre $K$: una carta que cubra un trozo dos veces lo cuenta dos veces (con $\theta$ recorriendo $\intcc0{4\pi}$ se duplica el [área](#def-b2-surfaces-area) de la esfera). (iv) La [normal unitaria](#def-b2-surfaces-tangent) queda definida salvo signo por la superficie, pero la *elige* la carta (el orden de $u, v$); los enunciados sobre orientación deben fijar esa elección. (v) Por último, $EG - F^2
> 0$ no es una hipótesis adicional: es exactamente la regularidad, por la identidad de Lagrange; si se anula en algún punto, el problema es la carta, y allí no se aplica ninguna fórmula de [área](#def-b2-surfaces-area) ni de [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent).

**Observación 19.29 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Enlaces hacia delante desde aquí. El elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) $\sqrt{EG -
F^2}\,\dd u\,\dd v$ es un jacobiano bidimensional disfrazado, y el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint) hace exacta la analogía con el teorema del cambio de variables: las integrales de superficie de allí son las [áreas](#def-b2-surfaces-area) de este capítulo con un integrando a bordo. La [primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) es un campo de [formas cuadráticas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def) positivas, tratadas punto a punto con las herramientas del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic), cuyo teorema espectral impulsa también la clasificación de [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) del problema de fin de semana de este capítulo. Y la recta normal guía los problemas de extremos sobre conjuntos de restricciones ([Ejemplo 19.10](#ex-b2-surfaces-closest)), el germen geométrico del método de los multiplicadores de Lagrange esbozado con el [Teorema 15.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#thm-b2-diffcalc-extrema).

![Cuatro de las nueve superficies cuádricas clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-daa07e991473.svg)

![Cuatro de las nueve superficies cuádricas clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-dfaf44793a1e.svg)

![Cuatro de las nueve superficies cuádricas clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-460a5b06a590.svg)

![Cuatro de las nueve superficies cuádricas clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-9851a9457302.svg)

*Cuatro de las nueve superficies [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.*

**Observación 19.30 (Dónde se usa).**

El elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ es la medida de las integrales de superficie del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint), donde se encuentra con la fórmula de Green; la [primera forma fundamental](#def-b2-surfaces-fff) es el prototipo de un campo de [formas cuadráticas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def), estudiadas punto a punto con las herramientas del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic); y el problema de fin de semana de este capítulo clasifica todas las superficies [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) con el teorema espectral. El volumen del tercer año vuelve a las superficies con las formas [diferenciales](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) y el teorema de la divergencia, y la [curvatura](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#thm-b2-curves-frenet2d) intrínseca —lo que $E, F, G$ saben sobre la flexión— es la puerta de entrada a la geometría diferencial propiamente dicha.

## 19.4 Ejercicios

**Ejercicio 19.1 ★.**

Prueba que los [planos tangentes](#def-b2-surfaces-tangent) del cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (menos su vértice) pasan todos por el vértice. *(Parametriza mediante $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$, $r >
0$.)*

**Solución de Ejercicio 19.1.**

Con $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$:

$$
\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0),
\qquad
\sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),
$$

independientes para $r > 0$. El [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) en $M_0 =
\sigma(\theta_0, r_0)$ pasa por $M_0$ con direcciones $\sigma_\theta,
\sigma_r$. Ahora bien, $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1)
= r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ es él mismo una dirección tangente: el vértice $O$ está en el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent). (Este es el comportamiento general de los conos: están reglados por rectas que pasan por el vértice, y un [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) contiene la generatriz que pasa por el punto de tangencia.)

**Ejercicio 19.2 ★.**

Halla el [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) del elipsoide $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ en un punto $(x_0, y_0, z_0)$ de la superficie.

**Solución de Ejercicio 19.2.**

Aplíquese la [Proposición 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) a $f(x,y,z) =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$: $\nabla
f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ sobre la superficie. El [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) es

$$
\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0)
+ \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0,
\qquad\text{es decir,}\qquad
\frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,
$$

usando que $(x_0, y_0, z_0)$ satisface la ecuación del elipsoide: la regla de “desdoblar los cuadrados” que generaliza el $\langle M_0,
M \rangle = R^2$ de la esfera.

**Ejercicio 19.3 ★.**

Calcula $E, F, G$ para el helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin
u,\ au)$, $a > 0$, y el [área](#def-b2-surfaces-area) del trozo $0 \leq u \leq 2\pi$, $0 \leq
v \leq 1$, en forma de integral (evalúala usando $\int\sqrt{v^2 +
a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 +
a^2})\bigr) + C$).

**Solución de Ejercicio 19.3.**

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ y $\sigma_v = (\cos u,\ \sin
u,\ 0)$, luego

$$
E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1,
\qquad
\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0
$$

(el helicoide es regular en todas partes, incluso sobre su eje $v =
0$). [Área](#def-b2-surfaces-area) del trozo:

$$
\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1
\sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u
= 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2}
+ a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,
$$

es decir, $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 +
\sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$.

**Ejercicio 19.4 ★★.**

(Toro) Parametriza el toro obtenido al girar la circunferencia de centro $(R, 0, 0)$ y radio $r < R$ del plano $xz$ en torno al eje $z$:

$$
\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\
(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).
$$

Calcula $E, F, G$, comprueba la regularidad y prueba que el [área](#def-b2-surfaces-area) es $4\pi^2 R r$ (Pappus: la circunferencia media $2\pi R$ por la [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi r$ de la circunferencia).

**Solución de Ejercicio 19.4.**

Derivadas:

$$
\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\
(R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr),
\qquad
\sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\
-r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).
$$

Entonces

$$
E = (R + r\cos\psi)^2,
\qquad
F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi)
\bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0,
\qquad
G = r^2 ,
$$

luego $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$: regular en todas partes. [Área](#def-b2-surfaces-area):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi)
\,\dd\theta\,\dd\psi
= 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr)
= 4\pi^2 R r ,
$$

pues el término en $\cos\psi$ integra cero; el teorema de Pappus: [área](#def-b2-surfaces-area) $=$ ([longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de la circunferencia girada) $\times$ (distancia recorrida por su centro).

**Ejercicio 19.5 ★★.**

Prueba que el [área](#def-b2-surfaces-area) del grafo de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ es $\iint_K
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$, y calcúlala para el trozo de paraboloide $z = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre el disco $x^2 + y^2 \leq
1$ (coordenadas polares, [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint)).

**Solución de Ejercicio 19.5.**

Para $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$: $\sigma_x = (1, 0, f_x)$, $\sigma_y = (0, 1, f_y)$, de modo que $E = 1 + f_x^2$, $F = f_xf_y$, $G = 1 + f_y^2$ y

$$
EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2
= 1 + f_x^2 + f_y^2 ,
$$

lo que da la fórmula de [área](#def-b2-surfaces-area) enunciada. Para $f = \frac12(x^2 +
y^2)$ sobre el disco unidad: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$, y en coordenadas polares ($x = \rho\cos\alpha$, $y = \rho\sin\alpha$, jacobiano $\rho$, [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint)):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho
\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1
= \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).
$$

**Ejercicio 19.6 ★★.**

Una curva trazada $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ sobre la esfera de radio $R$ (carta esférica) tiene $u = \theta(t)$, $v = \varphi(t)$. Escribe su [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) como integral en $\theta, \varphi$ y demuestra que, entre las curvas que unen dos puntos de un mismo meridiano $\theta = \theta_0$, el arco de meridiano es la más corta. *(Acota el integrando inferiormente por $R\abs{\varphi'}$.)*

**Solución de Ejercicio 19.6.**

Por el cálculo del [Ejemplo 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea), $E =
R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$, así que, por la [Proposición 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength),

$$
L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2
+ \varphi'(t)^2}\;\dd t .
$$

Sean los extremos $(\theta_0, \varphi_1)$ y $(\theta_0, \varphi_2)$, con $\varphi_1 < \varphi_2$. Para cualquier curva que los una,

$$
L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t
\geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr|
= R\,(\varphi_2 - \varphi_1),
$$

descartando el término no negativo $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ y usando la desigualdad triangular para integrales. El arco de meridiano $\theta \equiv \theta_0$, con $\varphi$ creciendo de $\varphi_1$ a $\varphi_2$, tiene [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) exactamente $R(\varphi_2 -
\varphi_1)$: es el más corto. (Los meridianos son circunferencias máximas; este es el primer caso, elemental, del hecho de que las geodésicas de la esfera son las circunferencias máximas.)

**Ejercicio 19.7 ★★★.**

(Rectas normales de una esfera) Sea $S$ una superficie de nivel regular $\{f = c\}$, [conexa](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-connected), cuyas rectas normales pasan todas por un punto fijo $\Omega$. Prueba que $S$ está contenida en una esfera centrada en $\Omega$. *(Prueba que $\norm{M - \Omega}^2$ tiene derivada nula a lo largo de toda curva trazada sobre $S$.)*

**Solución de Ejercicio 19.7.**

Fíjese una curva $\gamma$ trazada sobre $S$ y sea $g(t) =
\norm{\gamma(t) - \Omega}^2$. Entonces $g'(t) = 2\langle
\gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$. La recta normal en $M =
\gamma(t)$ pasa por $\Omega$ por hipótesis, de modo que $\gamma(t) -
\Omega$ es un vector *normal*, ortogonal al [plano tangente](#def-b2-surfaces-tangent) y, en particular, a la velocidad $\gamma'(t)$ ([Proposición 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity)): $g' = 0$, y $g$ es constante a lo largo de toda curva trazada.

Ahora bien, el conjunto $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ es cerrado en $S$; y también es [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) en $S$: cerca de cualquiera de sus puntos, $S$ es un grafo regular, así que todo punto próximo de $S$ se une a él por una curva trazada (un segmento levantado), a lo largo de la cual $g$ es constante. Como $S$ es [conexa](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-connected) y $S_c$ es no vacío para el $c$ adecuado, $S = S_c \subseteq$ la esfera de centro $\Omega$ y radio $\sqrt c$ ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#ch-b2-metric): argumento de [conexidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-connected)).

**Ejercicio 19.8 ★★★.**

(El [área](#def-b2-surfaces-area) es geométrica) Sea $\Phi \colon U' \to U$ un difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre [abiertos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) de $\R^2$ y sea $\tilde\sigma = \sigma
\circ \Phi$. Prueba que

$$
\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
= \abs{\det J_\Phi}\,
\norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,
$$

y deduce, usando la fórmula del cambio de variables del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint), que el [área](#def-b2-surfaces-area) de la [Definición 19.20](#def-b2-surfaces-area) no depende de la parametrización regular elegida.

**Solución de Ejercicio 19.8.**

Escríbase $\Phi(u', v') = (u, v)$. Por la regla de la cadena,

$$
\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v,
\qquad
\tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,
$$

con las parciales de $\sigma$ evaluadas en $\Phi(u',v')$. Desarrollando el producto vectorial bilinealmente y usando $\sigma_u
\wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ y $\sigma_v \wedge
\sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$:

$$
\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}
= \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'}
\frac{\partial v}{\partial v'}
- \frac{\partial v}{\partial u'}
\frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\,
\sigma_u \wedge \sigma_v
= \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .
$$

Tomando [normas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) se obtiene la identidad. Después, por la fórmula del cambio de variables ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint)) aplicada a la aplicación $\Phi$ sobre $K' = \Phi^{-1}(K)$:

$$
\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
\,\dd u'\dd v'
= \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\;
\abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v'
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :
$$

las dos parametrizaciones asignan la misma [área](#def-b2-surfaces-area) al mismo trozo de superficie.

**Ejercicio 19.9 ★.**

(Teorema de la caja de sombreros de Arquímedes) Sobre la esfera de radio $R$, la *zona* comprendida entre las latitudes con $z_1
\leq z \leq z_2$ ($-R \leq z_1 < z_2 \leq R$) tiene [área](#def-b2-surfaces-area) $2\pi
R\,(z_2 - z_1)$: demuéstralo con la carta esférica y concluye que el [área](#def-b2-surfaces-area) de una zona depende solo de su altura; cortar una naranja en rodajas de igual grosor da cantidades iguales de piel.

**Solución de Ejercicio 19.9.**

En la carta esférica, $z = R\sin\varphi$, y la zona corresponde a $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ con $z_i = R\sin\varphi_i$. Con el elemento de [área](#def-b2-surfaces-area) $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Ejemplo 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea)):

$$
\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)
= 2\pi R\,(z_2 - z_1) .
$$

El resultado depende solo de la altura $z_2 - z_1$: las rodajas de igual grosor llevan [áreas](#def-b2-surfaces-area) iguales, se corten en el ecuador o en el polo; el teorema de la caja de sombreros de Arquímedes, y la razón de que el [área](#def-b2-surfaces-area) lateral del cilindro circunscrito ($2\pi R \cdot 2R =
4\pi R^2$) coincida con el [área](#def-b2-surfaces-area) de la esfera.

**Ejercicio 19.10 ★★.**

Prueba que toda recta normal de una superficie de revolución $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ($r > 0$ de clase $\mathcal C^1$) corta al eje de revolución, y localiza el punto de intersección.

**Solución de Ejercicio 19.10.**

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ y $\sigma_z =
(r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$, luego

$$
\sigma_\theta \wedge \sigma_z
= (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,
$$

un vector normal en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$. La recta normal es

$$
t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\
z - t\,r\,r'\bigr),
$$

que en $t = -1$ alcanza $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$: toda recta normal corta al eje, a la altura $z + rr'$. (Esta es la razón tridimensional de que la simetría de rotación sobreviva en el campo normal.)

**Ejercicio 19.11 ★★.**

(Desenrollar el cilindro) La carta $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin
u,\ v)$ del cilindro unidad tiene $E = G = 1$, $F = 0$: compruébalo y explica por qué toda curva trazada $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ tiene la misma [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) que la curva plana $t \mapsto (u(t),
v(t))$. Deduce que la hélice que va de $(1, 0, 0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ dando una vuelta tiene [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$, y que ninguna curva trazada con los mismos extremos y una vuelta completa es más corta.

**Solución de Ejercicio 19.11.**

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$, $\sigma_v = (0, 0, 1)$: $E = 1$, $F = 0$, $G = 1$. Por la [Proposición 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength), la [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de una curva trazada es $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$: la [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) de su sombra en los parámetros $(u(t), v(t))$ en el plano; la carta es una isometría local (el desenrollado del cilindro). La hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$, $t \in \intcc0{2\pi}$, tiene por sombra el segmento de $(0,0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$, de [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$. Toda curva trazada de $(1,0,0)$ a $(1, 0, 2\pi
c)$ que dé una vuelta completa tiene una sombra [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) que une $(0, 0)$ con $(2\pi, 2\pi c)$, de [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) en el plano $\geq$ la del segmento recto; y como las longitudes coinciden, la hélice es la más corta.

**Ejercicio 19.12 ★★★.**

Sea $S = \{f = c\}$ una superficie de nivel regular [compacta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) y $M_0
\in S$ un punto a distancia máxima del origen. Prueba que $\nabla
f(M_0)$ es colineal con $\vect{OM_0}$: la normal en el punto más lejano es radial. Aplícalo al elipsoide $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ($a > b > c > 0$): halla todos los puntos donde la normal es radial e identifica los más lejanos.

**Solución de Ejercicio 19.12.**

La función $g(M) = \norm{M}^2$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre el [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) $S$, así que alcanza su máximo en cierto $M_0$. Para toda curva $\gamma$ trazada sobre $S$ con $\gamma(0) = M_0$, la función $t \mapsto
\norm{\gamma(t)}^2$ tiene un máximo en $t = 0$, luego su derivada $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ se anula: $M_0$ es ortogonal a todo vector tangente, es decir, normal a $S$ en $M_0$. Como $\nabla
f(M_0) \neq 0$ dirige también la recta normal ([Proposición 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient)), $\nabla f(M_0)$ y $\vect{OM_0}$ son colineales. Para el elipsoide, la radialidad significa

$$
\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :
$$

cada coordenada cumple $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$, etc.; y como $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ son distintos, a lo sumo una coordenada es no nula, y las soluciones sobre la superficie son los seis extremos de los ejes $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm b, 0)$, $(0, 0, \pm c)$. Los puntos más lejanos son $(\pm a, 0, 0)$, a distancia $a = \max(a,b,c)$.

## 19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de $\R^3$

**Problema 19.1.**

Problema de fin de semana — todas las superficies cuádricas, ordenadas por el teorema espectral

Una *cuádrica* es el conjunto de ceros en $\R^3$ de un polinomio de grado dos

$$
q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c,
\qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\
c \in \R .
$$

Las superficies de las figuras de este capítulo —esferas, elipsoides, sillas de montar, conos, cilindros— son todas [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1). Este problema las clasifica *todas*: el teorema espectral ([Teorema 12.13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-spectral)) endereza la parte cuadrática, las traslaciones [afines](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#ch-b2-affine)) absorben la parte lineal, y lo que queda es una lista corta y completa de formas normales.

**Parte I — La máquina de reducción.**

1. Sea $X = PY + t$ con $P \in O(3)$ y $t \in \R^3$ (un cambio rígido de coordenadas). Prueba que $q(PY + t) = Y^{\mathsf  T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ con $$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad  b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad  c' = q(t) .$$ Deduce que el [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ (y por tanto su rango y su signatura) es un invariante rígido de la ecuación, y explica por qué la ecuación de una [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) dada solo está determinada salvo un factor escalar no nulo.
2. Usando el teorema espectral, prueba que tras una rotación la ecuación pasa a ser $\sum_i \lambda_i y_i^2 +  2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ con $\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3$ los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ .
3. Para cada $i$ con $\lambda_i \neq 0$ , absorbe $\beta_iy_i$ mediante una traslación ( $y_i \mapsto y_i -  \beta_i/\lambda_i$ ). Escribe la ecuación reducida cuando $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 +  2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
4. Un *centro* de la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) de ecuación $q = 0$ es un punto $\Omega$ con $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$ : la simetría central en $\Omega$ conserva la ecuación y, por tanto, la superficie. Prueba que $q(2\Omega - X) - q(X) =  -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b,  \Omega\rangle$ , y deduce que los centros son exactamente las soluciones de $A\Omega = -b$ ; existen si y solo si $b \in  \operatorname{im}A$ , y el centro es único si y solo si $A$ es invertible.

**Parte II — [Cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) con centro ($\operatorname{rank}A = 3$).** Aquí la ecuación reducida es $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$.

5. Multiplicando por $-1$ si hace falta, supóngase que al menos dos $\lambda_i > 0$ . Enumera las posibilidades: signatura $(3, 0)$ con $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; y signatura $(2, 1)$ con $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; nombra los seis conjuntos resultantes (elipsoide, punto, conjunto vacío, hiperboloide de una hoja, cono, hiperboloide de dos hojas) y pon cada uno en su forma normal euclídea ( $\frac{x^2}{a^2} +  \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , etc.).
6. Clasifica $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : prueba que $A = 2J - I$ con $J$ la matriz de unos, calcula el [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$ e identifica un hiperboloide de dos hojas de revolución en torno al eje $\R(1,1,1)$ .
7. (Generatrices) Para el hiperboloide de una hoja $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$, factoriza $$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr)  \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr)  = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$$ y produce dos familias uniparamétricas de rectas contenidas en la superficie.
8. Prueba que por cada punto del hiperboloide de una hoja pasa exactamente una recta de cada familia: la superficie es *doblemente reglada* .
9. El *cono asintótico* del hiperboloide de una hoja es $C  : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Con $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , prueba que todo punto del hiperboloide está a distancia a lo sumo $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho +  \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , de modo que la superficie se abraza a su cono en el infinito. ¿Cuáles son las secciones del hiperboloide por los planos $x = \pm a$ ?

**Parte III — Rango $2$ y rango $1$: paraboloides, cilindros, planos.**

10. Supongamos $\operatorname{rank}A = 2$, digamos $\lambda_1,  \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$. Partiendo de la pregunta 3, sepárense dos casos según sea $\beta_3 \neq 0$ (sin centro, por la pregunta 4) o $\beta_3 = 0$ (una recta de centros), y redúzcase a $$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0  \qquad\text{o}\qquad  \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$$ paraboloides elípticos o hiperbólicos en el primer caso, y cilindros sobre cónicas con centro (o pares de planos que se cortan, una recta, el conjunto vacío) en el segundo.
11. Prueba que la silla de montar $z = xy$ es un paraboloide hiperbólico: gírese $\pi/4$ en el plano $xy$ para llegar a $z  = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , la superficie de la [Figura 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle) salvo escala.
12. Prueba que la silla de montar $z = xy$ lleva las dos familias de rectas $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ y $\{y = y_0,\ z =  xy_0\}$ , con exactamente una recta de cada familia por cada punto: la segunda [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) doblemente reglada.
13. Clasifica $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ en $\R^3$ (complétense los cuadrados; identifica un cilindro circular recto y da su eje y su radio).
14. Sea ahora $\operatorname{rank}A = 1$, digamos $\lambda_1 \neq  0 = \lambda_2 = \lambda_3$. Girando dentro del plano núcleo y trasladando, redúzcase a $$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0)  \qquad\text{o}\qquad  \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$$ un cilindro parabólico, o bien un par de planos paralelos, un plano doble o el conjunto vacío. Clasifica $(x + y)^2 = z$ por completo (forma normal, eje de invariancia por traslación).

**Parte IV — El teorema de clasificación.**

15. Ensambla las partes I–III en un teorema: *toda [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) de $\R^3$ se lleva mediante un movimiento rígido a exactamente una forma normal* . Enumera los diecisiete tipos [afines](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) (cuenta las variantes vacías y los conjuntos degenerados) y destaca las nueve *superficies* [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) : elipsoide, hiperboloides de una y de dos hojas, cono, paraboloides elíptico e hiperbólico, y cilindros elíptico, hiperbólico y parabólico.
16. Escribe el *algoritmo* de clasificación: dados $(A, b,  c)$ , ¿qué magnitudes calculas, en qué orden y qué rama decide qué tipo? Justifica que cada paso es efectivo ( [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de una matriz [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) $3\times3$ , rango, resolubilidad de $A\Omega = -b$ ).
17. Ejecuta el algoritmo sobre $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz -  2zx = 1$ : prueba que $A = 2I - J$ tiene [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2, 2,  -1\}$ y concluye: un hiperboloide de una hoja de revolución en torno a $\R(1,1,1)$ .
18. Ejecútalo sobre $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : halla el centro e identifica la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) .
19. Ejecútalo sobre $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonaliza el bloque $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) e identifica la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) .
20. Euclídeo frente a [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) . Prueba que dos [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) con centro en forma normal son *rígidamente* equivalentes si y solo si tienen las mismas listas de coeficientes (salvo permutación y un escalar positivo común sobre la ecuación), mientras que *afínmente* solo sobreviven los datos de la signatura: todo elipsoide es imagen [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) de la esfera redonda. ¿Qué teorema garantiza que la signatura no puede cambiar por el camino ( [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-sylvester) )?

**Parte V — Dividendos.**

21. Prueba que toda sección de una [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) por un plano [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) es una cónica (posiblemente degenerada) de ese plano. Identifica las secciones de la silla de montar $z = xy$ por los planos $z = c$ ( $c \neq 0$ y $c = 0$ ).
22. ¿Qué superficies [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) contienen rectas? Prueba que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el paraboloide elíptico no contienen ninguna *(restringe $q$ a una recta y usa la desigualdad de Cauchy–Schwarz para el caso de dos hojas)* ; que el cono y los cilindros están reglados por una familia; y concluye que las superficies [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) doblemente regladas son exactamente el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico.
23. Cuando solo se busca el tipo *[afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace)* , la [reducción de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) ( [Teorema 12.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) ) sale más barata que diagonalizar. Rehaz la pregunta 17 con el algoritmo de Gauss y comprueba la signatura $(2, 1)$ ; ¿qué información euclídea pierde Gauss?
24. Todos los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de una matriz [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) son reales; prueba que, en consecuencia, los *signos* de los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ pueden leerse en el [polinomio característico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) mediante la regla de los signos de Descartes, y verifícalo sobre la pregunta 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ tiene exactamente un cambio de signo, luego signatura $(1,  2)$ .
25. Síntesis. Resume el algoritmo en unas pocas líneas; enuncia el papel exacto que desempeñan (i) el teorema espectral, (ii) la ecuación del centro $A\Omega = -b$ , (iii) el teorema de inercia de Sylvester y (iv) la [reducción de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) . ¿Qué da la misma máquina en $\R^2$ , y qué cambia en $\R^n$ ?

**Solución de Problema 19.1.**

**1.** Desarrollando, y usando la simetría de $A$ ($t^{\mathsf
T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$):

$$
q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY +
2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At +
2b^{\mathsf T}t + c\bigr),
$$

que es la terna mostrada. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ es semejante a $A$: mismo [polinomio característico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly), [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), rango y signatura. Por último, $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ para $s \neq 0$, de modo que al conjunto solo va asociada la ecuación *salvo un escalar*; escalar por $s$ multiplica todos los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) por $s$.

**2.** El teorema espectral proporciona una $P \in O(3)$ con $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,
\lambda_3)$; la pregunta 1 con $t = 0$ convierte la ecuación en $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$, donde $\beta =
P^{\mathsf T}b$.

**3.** Para $\lambda_i \neq 0$: $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i =
\lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 -
\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$; la traslación $z_i = y_i +
\beta_i/\lambda_i$ (y $z_i = y_i$ para $i > r$) da

$$
\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i +
c'' = 0, \qquad
c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.
$$

**4.** $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega -
X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$; desarrollando y restando $q(X)$, los términos cuadráticos se cancelan y

$$
q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle +
4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .
$$

Si $A\Omega + b = 0$, esto se anula idénticamente: la simetría central conserva $q$ y, por tanto, la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1). Recíprocamente, “$q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$” dice que la función [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) anterior se anula en todo $\R^3$, lo que fuerza a que su parte lineal $A\Omega + b$ sea nula. Así pues, los centros son las soluciones de $A\Omega = -b$: un conjunto no vacío si y solo si $b \in
\operatorname{im}A$ (un subespacio [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) de dirección $\ker A$), y un único punto si y solo si $A$ es invertible.

**5.** Signatura $(3,0)$ (todos los $\lambda_i > 0$): $\delta >
0$ da $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ con $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$, etc.: un elipsoide; $\delta = 0$: el único punto $O$; $\delta < 0$: vacío. Signatura $(2,1)$ ($\lambda_1,
\lambda_2 > 0 > \lambda_3$): $\delta > 0$: $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$, el hiperboloide de una hoja; $\delta = 0$: el cono $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
\frac{z^2}{c^2}$; $\delta < 0$: $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} -
\frac{y^2}{b^2} = 1$, el hiperboloide de dos hojas ($\abs z \geq c$: dos componentes).

**6.** La parte cuadrática tiene matriz $A$ con diagonal $1$ y entradas fuera de la diagonal $2$: $A = 2J - I$. Como $J$ tiene [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{3, 0, 0\}$ (con [vector propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(1,1,1)$ para $3$), $A$ tiene [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$, con el [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $5$ llevado por $\R(1,1,1)$. En las coordenadas giradas: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$, es decir, $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$: un hiperboloide de dos hojas, de revolución ([valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $-1$ iguales) en torno al eje $\R(1,1,1)$.

**7.** La superficie es $\bigl(\frac xa - \frac
zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac
yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$. Para $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ defínase la recta

$$
D_{\lambda:\mu} :\quad
\lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac
yb\Bigr), \qquad
\mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac
yb\Bigr)
$$

(dos ecuaciones [afines](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) independientes: una recta). Multiplicar las dos ecuaciones muestra que todo punto de $D_{\lambda:\mu}$ está sobre la superficie cuando $\lambda\mu \neq 0$; los casos $\lambda = 0$ o $\mu = 0$ se comprueban directamente (por ejemplo, $\lambda = 0$: $y
= b$, $\frac xa = -\frac zc$, que satisface la ecuación). La segunda familia $D'_{\lambda:\mu}$ intercambia los dos factores del segundo miembro.

**8.** Fíjese $M$ sobre la superficie. Las condiciones para que $M \in D_{\lambda:\mu}$ forman un sistema lineal homogéneo $2\times2$ en $(\lambda, \mu)$ cuyo [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) es

$$
\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 -
\frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0
$$

precisamente porque $M$ está sobre la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1): existe una solución no trivial $(\lambda : \mu)$. La matriz de coeficientes nunca es nula (eso forzaría $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$), así que su rango es $1$ y la solución es única salvo escala: por $M$ pasa exactamente una recta de la familia. Lo mismo vale para la segunda familia, y las dos rectas son distintas (en $(a, 0, 0)$ son $\{x = a,\ \frac zc = \frac
yb\}$ y $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$): el hiperboloide de una hoja es doblemente reglado.

**9.** Sea $M = (x, y, z)$ sobre el hiperboloide, con $\rho^2 =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$. El punto $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$, con $\varepsilon$ el signo de $z$, cumple $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -
\frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$: $N \in C$, y

$$
d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho}
= c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr)
= \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .
$$

Si $\norm M \to \infty$, entonces $\rho \to \infty$ (las tres coordenadas están acotadas por múltiplos de $\rho$), luego $d(M, C)
\to 0$. La sección $x = a$: $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$, el par de rectas que se cortan de la pregunta 8; e igualmente en $x =
-a$.

**10.** Con $\lambda_3 = 0$, la pregunta 3 deja $\lambda_1z_1^2
+ \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$. En la base de [vectores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, así que por la pregunta 4 hay centros si y solo si $\beta_3 = 0$. Si $\beta_3 \neq 0$: la traslación $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ elimina la constante y deja $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 +
2\beta_3z_3 = 0$, es decir, $z_3 = px^2 + qy^2$ tras renombrar: un *paraboloide elíptico* si $\lambda_1\lambda_2 > 0$, y un *paraboloide hiperbólico* si $\lambda_1\lambda_2 < 0$; y, en efecto, sin centro. Si $\beta_3 = 0$: la ecuación $\lambda_1z_1^2 +
\lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ no involucra $z_3$: la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) es un cilindro sobre la cónica plana correspondiente —cilindro elíptico, recta o conjunto vacío cuando $\lambda_1\lambda_2 > 0$; cilindro hiperbólico o par de planos que se cortan cuando $\lambda_1\lambda_2
< 0$— con toda una recta de centros $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$.

**11.** $xy - z = 0$. Sustituyendo $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$, $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotación de $\pi/4$): $xy = \frac{u^2 -
v^2}2$, de modo que la ecuación pasa a ser $z = \frac12(u^2 - v^2)$: un paraboloide hiperbólico, la silla de montar de la figura salvo el factor $\frac12$.

**12.** La recta $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (parametrizada por $y$) está claramente sobre $z = xy$, y lo mismo $\{y = y_0,\ z =
xy_0\}$; por $(x_0, y_0, x_0y_0)$ pasan las dos. Unicidad: si $t
\mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ permanece sobre la superficie, el coeficiente de $t^2$ en $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) -
z_0 - tv_3$ da $v_1v_2 = 0$, luego $v_1 = 0$ o $v_2 = 0$, y se cae en una de las dos familias: una recta de cada una por cada punto; la segunda [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) doblemente reglada.

**13.** Completando cuadrados: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$, sin condición sobre $z$: un cilindro circular recto de radio $\sqrt2$ y eje la recta vertical $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$; una recta de centros, como predice la pregunta 10.

**14.** Con $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$, la ecuación reducida es $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$. Una rotación del plano núcleo $(z_2, z_3)$ alinea la forma lineal: $2\beta_2z_2 +
2\beta_3z_3 = 2\beta w$ con $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$. Si $\beta \neq 0$, trasládese $w$ para absorber $c''$: $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$, un *cilindro parabólico*; si $\beta = 0$: $\lambda_1z_1^2 = -c''$ da dos planos paralelos ($c''
\lambda_1 < 0$), un plano doble ($c'' = 0$) o el conjunto vacío. Para $(x + y)^2 = z$: con $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$, la ecuación se lee $z = 2u^2$: un cilindro parabólico, invariante por traslaciones a lo largo de $(1, -1, 0)$.

**15.** Toda [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) se lleva por una rotación más traslaciones a una de estas: (rango 3) elipsoide, punto, conjunto vacío, hiperboloide de una hoja, cono, hiperboloide de dos hojas; (rango 2) paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cilindro elíptico, recta, conjunto vacío, cilindro hiperbólico, par de planos que se cortan; (rango 1) cilindro parabólico, par de planos paralelos, plano doble, conjunto vacío. Contando las tres variantes vacías como *tipos [afines](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace)* de ecuación distintos, el recuento es diecisiete; y entre ellos, nueve son superficies honestas: elipsoide, los dos hiperboloides, el cono, los dos paraboloides y los tres cilindros.

**16.** Algoritmo. (i) Léanse $(A, b, c)$; calcúlense el [polinomio característico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) de $A$, sus [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (reales, por el teorema espectral) y $r = \operatorname{rank}A$. (ii) Resuélvase $A\Omega = -b$ (eliminación gaussiana): tiene o no solución, es decir, hay centros o no. (iii) Si tiene solución, trasládese a un centro: la ecuación pasa a ser $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ con $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$; clasifíquese por $r$, la signatura y el signo de $c''$ usando las preguntas 5, 10 y 14. (iv) Si no tiene solución ($r \leq 2$), gírese y redúzcase como en las preguntas 10 y 14: paraboloide ($r = 2$) o cilindro parabólico ($r =
1$), elíptico o hiperbólico según el signo de $\lambda_1\lambda_2$. Cada paso es un cálculo finito: raíces de una cúbica con raíces reales, rangos y sistemas lineales.

**17.** $A$ tiene diagonal $1$ y entradas fuera de la diagonal $-1$: $A = 2I - J$, con [espectro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ y el $-1$ sobre $\R(1,1,1)$. Signatura $(2,1)$, $b = 0$, segundo miembro $\delta = 1 > 0$: $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$, un hiperboloide de una hoja de revolución en torno al eje $\R(1,1,1)$.

**18.** Completando cuadrados: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 +
(-1 - 4 + 1 + 4) = 0$, es decir,

$$
(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :
$$

la constante se anuló; un *cono* circular recto de vértice (y único centro) $(1, -2, 1)$ y eje paralelo a $Oz$.

**19.** La parte cuadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tiene matriz $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (en el plano $xy$), con [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ (sobre $(1,1)$) y $-1$ (sobre $(1,-1)$): con $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$, $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ vale $3u^2 - v^2$, y la [cuádrica](#pb-b2-surfaces-1) es

$$
z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :
$$

un paraboloide hiperbólico ($A$ tiene rango $2$ y $b$ tiene componente a lo largo de $\ker A = \R e_z$: sin centro).

**20.** Un movimiento rígido transforma los datos de la ecuación mediante $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mismos [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)), y las formas normales no tienen más libertad residual que permutar coordenadas y multiplicar toda la ecuación por un escalar ($> 0$ para conservar la escritura): dos formas normales con centro coinciden salvo isometría si y solo si las listas de coeficientes coinciden salvo permutación y un factor positivo común; para el elipsoide, si y solo si coinciden los semiejes $(a, b, c)$. Afínmente puede además escalarse cada coordenada por separado ($z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs
{\lambda_i}}$), lo que borra los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) y deja solo sus signos: todo elipsoide se convierte en $u^2 + v^2 + w^2 = 1$, la esfera. El teorema de inercia de Sylvester ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-sylvester)) garantiza que la signatura sobrevive a todo cambio lineal invertible: los tipos [afines](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) de la pregunta 15 son genuinamente distintos.

**21.** Parametrícese el plano afínmente: $M = P + su + tv$. Entonces $q(P + su + tv)$ es un polinomio de grado $\leq 2$ en $(s,
t)$ (desarróllese bilinealmente la [forma cuadrática](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def)), de modo que la sección $\{q = 0\}$ es una cónica del plano, posiblemente degenerada. Para $z = xy$ y el plano $z = c$: $xy = c$, una hipérbola para $c
\neq 0$; y para $c = 0$, las dos rectas coordenadas, el par de generatrices por el origen.

**22.** *Elipsoide*: acotado, no contiene ninguna recta. *Hiperboloide de dos hojas* $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} -
\frac{y^2}{b^2} = 1$: restrínjase a $p + tv$; el coeficiente de $t^2$ $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ ha de anularse, luego $v_3 \neq 0$ (si no, $v = 0$); el coeficiente de $t$ da $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$, y Cauchy–Schwarz rinde

$$
\frac{p_3^2}{c^2}
= \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} +
\frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2
\leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} +
\frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2}
= \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},
$$

de modo que el término constante es $\leq 0 \neq 1$: no hay recta. *Paraboloide elíptico* $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$: el coeficiente de $t^2$ fuerza $v_1 = v_2 = 0$, y entonces la ecuación es lineal no constante en $t$: no hay recta. *Cono* $x^2 + y^2 = z^2$: una recta contenida en él cumple $q(p) = q(v) =
B(p, v) = 0$ para la forma de Lorentz; la igualdad en el Cauchy–Schwarz plano $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} =
\sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ fuerza $(p_1, p_2) \parallel
(v_1, v_2)$ y después $p = kv$: todas las rectas pasan por el vértice; una sola familia. *Cilindros*: para los cilindros elíptico y parabólico, el coeficiente de $t^2$ fuerza $v_1 = v_2 = 0$ (solo las generatrices); para el cilindro hiperbólico $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, $\frac{v_1}a = \pm
\frac{v_2}b$ con $v_2 \neq 0$ lleva, vía el coeficiente de $t$, a $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$, en contradicción con el término constante $1$: de nuevo, solo las generatrices verticales. Así pues, las superficies [cuádricas](#pb-b2-surfaces-1) doblemente regladas son exactamente el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico.

**23.** Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 -
2yz$, luego

$$
q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y +
z)^2 :
$$

tres cuadrados independientes con signos $(+, +, -)$; signatura $(2,
1)$, que casa con la pregunta 17, sin calcular ningún [valor propio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). Gauss pierde los datos métricos: las nuevas coordenadas no son ortonormales, de modo que los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (la forma del hiperboloide, sus ejes y sus [longitudes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length)) desaparecen; solo queda el tipo [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace).

**24.** Sean $p$, $n$, $z$ los números de [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) positivos, negativos y nulos, con $p + n + z = 3$. La regla de Descartes acota $p$ por el número $V$ de cambios de signo de $\chi_A$, y $n$ por el número $V'$ de cambios de signo de $\chi_A(-\lambda)$; además, cada par de coeficientes consecutivos no nulos produce un cambio en exactamente uno de los dos polinomios, así que $V + V' \leq 3 - z$ (las raíces nulas son visibles como coeficientes finales que se anulan). Entonces $p + n = 3 - z \geq V +
V' \geq p + n$: hay igualdad, luego $p = V$ exactamente; los signos de los [valores propios](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) pueden leerse. Para $\chi_A(\lambda) =
\lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$: los signos $+,-,-,-$ dan $V =
1$, y $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ tiene signos $-,-,+,-$: $V' = 2$. Signatura $(1, 2)$, coherente con la factorización exacta $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ de la pregunta 6.

**25.** Algoritmo: diagonalícese ortonormalmente la parte cuadrática (teorema espectral: es el único paso [analíticamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-analytic) profundo, y es lo que hace *euclídea* la clasificación); resuélvase $A\Omega = -b$ para decidir entre los tipos con centro y los parabólicos y para trasladar y eliminar la parte lineal cuando sea posible (geometría [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace)); léase el tipo en el rango, la signatura y la constante (Sylvester garantiza que son invariantes); y cuando solo importa el tipo [afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace), la [reducción de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#thm-b2-quadratic-gauss) sustituye al teorema espectral a costa de la información métrica. En $\R^2$, la misma máquina clasifica las cónicas: elipse, hipérbola, parábola, más pares de rectas, una recta, un punto y conjuntos vacíos. En $\R^n$ no cambia nada salvo la contabilidad: los tipos se indexan por la signatura de $A$, la posición de $b$ respecto de $\operatorname{im}A$ y una constante, y la matriz orlada de dimensión $(n{+}2)$ de $(A, b, c)$ proporciona un invariante [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact).