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title: "Álgebra lineal"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal
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# Capítulo 2 — Álgebra lineal

El álgebra lineal del volumen del primer año trabajaba sobre $\R$ o $\C$ en dimensión finita y admitía el [determinante](#def-b2-linalg-det) general. Este capítulo levanta las tres restricciones: la teoría se enuncia sobre un cuerpo $K$ arbitrario, se desarrolla sistemáticamente el juego entre un espacio y su *[dual](#def-b2-linalg-dual)* ([bases duales](#def-b2-linalg-dual), [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator), [traspuestas](#def-b2-linalg-transpose)) y el [determinante](#def-b2-linalg-det) queda por fin *construido* a partir de las formas multilineales [alternadas](#def-b2-linalg-alternating) y de la signatura del [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#ch-b2-structures), saldando así todas las deudas del primer año.

En todo el capítulo, $K$ es un cuerpo ($\Q$, $\R$, $\C$ o $\Z/p\Z$; a la teoría le da igual) y, salvo mención expresa, los espacios son de dimensión finita sobre $K$. Los resultados del primer año (bases, dimensión, teorema del rango, matrices) se trasladan literalmente: sus demostraciones nunca usaron nada más que los axiomas de cuerpo.

## 2.1 Espacio dual

**Definición 2.1 (Espacio dual, base dual).**

El *dual* de $E$ es $E^* = \mathcal{L}(E,
K)$, el espacio de las formas lineales. Si $\mathcal{B} = (e_1, \dots,
e_n)$ es una base de $E$, las *formas coordenadas* $e_1^*, \dots,
e_n^*$ definidas por $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (delta de Kronecker: $1$ si $i = j$, y $0$ en otro caso) forman la *base dual* $\mathcal{B}^*$ de $E^*$; en particular $\dim
E^* = \dim E$, y

$$
x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E),
\qquad
\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in
E^*).
$$

**Demostración de que $\mathcal{B}^*$ es una base.** Libre: aplicando una combinación nula $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ a $e_j$ se obtiene $\lambda_j = 0$. Generadora: para $\varphi \in E^*$, la forma $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ anula todos los $e_j$ y por tanto es nula (una aplicación lineal que se anula sobre una base es nula). Las dos fórmulas destacadas son esos mismos cálculos leídos en sentido directo. ∎

**Ejemplo 2.2.**

En $K_n[X]$ con la base $(1, X, \dots, X^n)$, la [base dual](#def-b2-linalg-dual) es $P
\mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coeficientes de Taylor). Otra base del [dual](#def-b2-linalg-dual): las evaluaciones $P \mapsto P(x_i)$ en $n + 1$ puntos distintos; su base “predual” en $K_n[X]$ es exactamente la familia de los polinomios de Lagrange $L_i$ (volumen del primer año), ya que $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. La interpolación *es* dualidad.

**Método 2.3 (Bases duales y anteduales en la práctica).**

Para desarrollar una forma $\varphi$ sobre una base $(e_i)$ de $E$: las coordenadas son los *valores* $\varphi(e_i)$; no hay ningún sistema que resolver. Para hallar la base $(u_j)$ de $E$ cuya [dual](#def-b2-linalg-dual) es una base dada $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ (la *antedual*), se resuelven los $n$ sistemas lineales

$$
\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),
$$

una columna $u_j$ cada vez; en términos matriciales, si las filas de $M$ dan los coeficientes de los $\varphi_i$ en una base conocida de $E^*$, las columnas de $M^{-1}$ son los $u_j$. La existencia y la unicidad de la antedual se demuestran en el problema de fin de semana de este capítulo; el cálculo es siempre esta inversión.

**Ejemplo 2.4 (Una base dual de R2\R^2R2, calculada por completo).**

Para la base $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$, la [base dual](#def-b2-linalg-dual) $(b_1^*, b_2^*)$ ha de cumplir $b_i^*(b_j) =
\delta_{ij}$. Escribiendo $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, las condiciones $\alpha + \beta = 1$ y $\alpha - \beta = 0$ dan

$$
b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2},
\qquad\text{y análogamente}\qquad
b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .
$$

Comprobaciones de sensatez: $b_1^*$ *no* es $e_1^* + e_2^*$ evaluado ingenuamente; la [base dual](#def-b2-linalg-dual) depende de la base entera y no de cada vector por separado (al sustituir $b_2$ por $(0, 1)$, $b_1^*$ pasa a ser $x \mapsto x$). Y la fórmula de desarrollo funciona: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, la descomposición en parte par e impar de un par; las [bases duales](#def-b2-linalg-dual) son extractores de coordenadas, y esta extrae las partes simétrica y antisimétrica.

**Definición 2.5 (Anulador).**

Para un subespacio $F \subseteq E$, el *anulador* es

$$
F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},
$$

un subespacio de $E^*$.

**Teorema 2.6 (Dimensión del anulador).**

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$. Además, $F \mapsto F^\circ$ invierte las inclusiones, y $F$ se recupera a partir de su [anulador](#def-b2-linalg-annihilator):

$$
F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.
$$

En consecuencia, todo subespacio de dimensión $p$ en dimensión $n$ es el conjunto de soluciones de $n - p$ ecuaciones lineales independientes, y recíprocamente.

**Demostración.** Elijamos una base $(e_1, \dots, e_p)$ de $F$ completada hasta una base de $E$. Una forma $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ anula $F$ si y solo si se anulan sus $p$ primeros coeficientes: $F^\circ =
\operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$, de dimensión $n - p$. La inversión de las inclusiones es inmediata. Para la recuperación: el miembro derecho contiene a $F$; recíprocamente, si $x \notin F$, complétese una base de $F$ con $x$ y con otros vectores; la forma coordenada de $x$ en esa base anula $F$ pero no $x$. La lectura en términos de “ecuaciones” se obtiene tomando una base $(\varphi_1,
\dots, \varphi_{n-p})$ de $F^\circ$: entonces $F = \bigcap
\ker\varphi_j$, intersección de $n - p$ hiperplanos independientes. ∎

**Ejemplo 2.7 (Un anulador, en los dos sentidos).**

Sea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr)
\subseteq \R^3$. Una forma $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* +
c\,e_3^*$ anula $F$ si y solo si

$$
a + 2b + c = 0
\qquad\text{y}\qquad
a - c = 0 ,
$$

es decir, $c = a$ y $b = -a$: $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* +
e_3^*)$, de dimensión $3 - 2 = 1$, como exige el [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator). Leído al revés: $F = \{(x, y, z)
: x - y + z = 0\}$, el plano recuperado como núcleo de la única forma que genera $F^\circ$. Pasar de una familia generadora a unas ecuaciones *es* calcular un [anulador](#def-b2-linalg-annihilator); pasar de las ecuaciones a una parametrización es calcular un preanulador. (Comprobación: ambos vectores generadores cumplen $x - y + z = 0$.)

**Definición 2.8 (Aplicación traspuesta).**

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$, la *traspuesta* $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ es

$$
u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .
$$

Cumple $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf T}$ y, en [bases duales](#def-b2-linalg-dual), la matriz de $u^{\mathsf T}$ es la matriz traspuesta de la de $u$, lo que por fin *explica* la traspuesta del primer año.

**Ejemplo 2.9 (La traspuesta, entrada a entrada).**

Sea $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A =
\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ en las bases canónicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^*
\in (\R^3)^*$, calculemos $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ sobre la base de $\R^2$:

$$
(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3,
\qquad
(\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .
$$

Luego $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 +
b_2)\,e_2^*$, y en las [bases duales](#def-b2-linalg-dual) la matriz de $u^{\mathsf T}$ es

$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}
= A^{\mathsf T} :
$$

la [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose) abstracta *es* la matriz volteada, sin dejar ningún cálculo a la fe. Obsérvese el mecanismo: la *columna* $j$-ésima de $A$ pasó a ser la *fila* $j$-ésima de la nueva matriz porque $\psi \circ u$ lee las salidas de $u$ a través de los coeficientes de $\psi$.

**Proposición 2.10.**

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ y $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$. En consecuencia, $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) =
\operatorname{rk}(u)$: el rango por filas es igual al rango por columnas, demostrado estructuralmente.

**Demostración.** $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ anula $\operatorname{im} u$: esa es la primera identidad. Para la segunda: $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ anula siempre $\ker u$, luego $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$; las dimensiones coinciden por el teorema del rango y el [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator):

$$
\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr)
= \operatorname{rk} u
= \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere
$$

∎

**Ejemplo 2.11 (El rango leído por los dos lados).**

Sea

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix} .
$$

*Rango por columnas:* la tercera fila es la suma de las dos primeras, luego $\operatorname{rk} A \leq 2$; las columnas $1$ y $2$ son libres: $\operatorname{rk} A = 2$. *Núcleo de la [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose):* resolviendo $A^{\mathsf T}y = 0$ se obtiene $y \in
\R\,(1, 1, -1)$, de modo que $\ker A^{\mathsf T}$ tiene dimensión $1
= 3 - 2$: exactamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ bajo la identificación de $(\R^3)^*$ con los vectores fila, tal como afirma la [Proposición 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank); la única relación “fila$_3$ = fila$_1$ + fila$_2$” *es* el [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) del espacio de columnas. El rango por filas ($2$ filas libres) y el rango por columnas coinciden no por casualidad, sino porque ambos valen $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

**Ejemplo 2.12 (La dualidad lee una fórmula de cuadratura).**

¿Por qué existe una regla como la de Simpson ([Ejercicio 2.4](#exo-b2-linalg-4)) y por qué es única? La dualidad responde antes de todo cálculo. Sobre $E = \R_2[X]$, la integral $P \mapsto
\int_0^1 P$ es un vector concreto del [dual](#def-b2-linalg-dual) $E^*$, de dimensión tres; las evaluaciones en $0$, $\frac12$ y $1$ forman una *base* de $E^*$; por tanto la integral se desarrolla de manera única sobre ellas, y ese desarrollo *es* la regla de Simpson, con sus coeficientes incluidos. Un recuento de dimensiones también calibra las expectativas: sobre $\R_3[X]$, cuatro dimensiones de formas no pueden en general ser [generadas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por tres evaluaciones, de modo que la exactitud sobre las cúbicas no se la debemos a la dualidad; que Simpson integre las cúbicas exactamente pese a todo es una simetría de regalo (cancelación de los grados impares en torno a $\frac12$), y hay que comprobarla a mano. Las reglas con $n
+ 1$ nodos son desarrollos de la forma integración en una base de evaluaciones de $\R_n[X]^*$: la existencia y la unicidad cuestan un teorema sobre [bases duales](#def-b2-linalg-dual); solo los grados de regalo cuestan trabajo.

## 2.2 Formas multilineales alternadas

**Definición 2.13.**

Una aplicación $f \colon E^n \to K$ es *$n$-lineal* cuando es lineal en cada variable, y *alternada* cuando se anula siempre que dos argumentos son iguales. Ser alternada implica ser *antisimétrica*: intercambiar dos argumentos cambia el signo (desarróllese $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$); más en general, para $\sigma \in \mathfrak{S}_n$,

$$
f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) =
\varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),
$$

descomponiendo $\sigma$ en [transposiciones](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-sn) ([Teorema 1.21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#thm-b2-structures-signature)).

**Teorema 2.14 (Teorema fundamental de los determinantes).**

Sea $\dim E = n$ y $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ una base. El espacio de las formas $n$-lineales [alternadas](#def-b2-linalg-alternating) sobre $E$ tiene dimensión $1$: toda forma así es múltiplo de

$$
\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma)
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i},
\qquad
x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,
$$

y $\det_{\mathcal{B}}$ es la única que toma el valor $1$ sobre $\mathcal{B}$.

**Demostración.** Sea $f$ una forma $n$-lineal [alternada](#def-b2-linalg-alternating). Desarrollando cada argumento sobre $\mathcal{B}$ por multilinealidad,

$$
f(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\,
f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).
$$

Los términos con un índice repetido se anulan (por ser [alternada](#def-b2-linalg-alternating)); las tuplas $(i_1, \dots, i_n)$ que sobreviven son las inyectivas, es decir, $i_k = \sigma(k)$ para una permutación $\sigma$, y la antisimetría reordena $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) =
\varepsilon(\sigma) f(e_1, \dots, e_n)$. Por tanto

$$
f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :
$$

toda [forma alternada](#def-b2-linalg-alternating) es ese múltiplo, siempre que el propio $\det_{\mathcal{B}}$ (la suma destacada) *sea* $n$-lineal [alternada](#def-b2-linalg-alternating) y tome el valor $1$ sobre $\mathcal B$. La multilinealidad es clara (cada sumando es lineal en cada columna). Valor sobre $\mathcal B$: el único término no nulo es el de $\sigma
= \mathrm{id}$. [Alternada](#def-b2-linalg-alternating): supongamos $x_j = x_k$ ($j \neq k$), de modo que las columnas de coordenadas cumplen $a_{i j} = a_{i k}$ para todo $i$. Emparejemos cada $\sigma$ con $\sigma' =
\sigma\circ(j\,k)$, una involución sin puntos fijos de $\mathfrak{S}_n$. Los productos emparejados coinciden:

$$
\prod_i a_{\sigma'(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= \prod_i a_{\sigma(i),\,i},
$$

usando la igualdad de las columnas $j$ y $k$; mientras que $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$. Cada pareja aporta cero: la suma se anula. ∎

**Ejemplo 2.15 (Sarrus, deducida y demolida).**

Para $n = 3$, la fórmula de las permutaciones tiene exactamente $3!
= 6$ términos. Listando $\mathfrak{S}_3$ por signatura —$\mathrm{id}$, $(1\,2\,3)$, $(1\,3\,2)$ pares; $(1\,2)$, $(1\,3)$, $(2\,3)$ impares— se obtiene

$$
\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} +
a_{31}a_{12}a_{23}
- a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} -
a_{11}a_{32}a_{23} :
$$

precisamente la regla de las “diagonales” de Sarrus que se enseña en secundaria, ahora un teorema y con los signos misteriosos identificados como signaturas. La demolición: para $n
= 4$ hay $24$ permutaciones, de las cuales cualquier esquema de diagonales solo recoge $8$; Sarrus no tiene versión en grado $4$, y el desarrollo por cofactores ([Teorema 2.17](#thm-b2-linalg-detrules) (4)) toma el relevo. Contar términos es además una advertencia: la fórmula de las permutaciones tiene $n!$ sumandos, así que es una *definición*, no un algoritmo; el método de eliminación calcula $\det$ en $O(n^3)$ operaciones.

**Definición 2.16 (Determinantes).**

El *determinante de una familia* en una base es $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$; el *determinante de una matriz* $A$ es el determinante de sus columnas en la base canónica — la fórmula de las permutaciones de más arriba—; el *determinante de un endomorfismo* $u$ es el escalar $\det u$ tal que

$$
\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr)
= \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
\quad \text{para todos los } x_i
$$

(el miembro izquierdo es $n$-lineal alternado, luego múltiplo de $\det_\mathcal{B}$ por el [Teorema 2.14](#thm-b2-linalg-detspace); el factor no depende de $\mathcal{B}$).

**Teorema 2.17 (El cálculo de determinantes, demostrado).**

1. $\det(uv) = \det u\,\det v$ ; $\;\det(AB) = \det A \det B$ .
2. $u$ es invertible $\iff \det u \neq 0$ ; una familia es base $\iff$ su [determinante](#def-b2-linalg-det) en alguna base es no nulo.
3. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ .
4. El desarrollo por cofactores a lo largo de cualquier fila o columna, tal como se enunció en el volumen del primer año, es válido; y dos matrices semejantes tienen el mismo [determinante](#def-b2-linalg-det) .

**Demostración.** (1) Aplíquese dos veces la relación de definición: $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal
B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$.

(2) Si $u$ es invertible, $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} =
1 \neq 0$. Si no lo es, las imágenes $u(e_i)$ están ligadas; expresando una a través de las demás y desarrollando, $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (el carácter alternado mata las direcciones repetidas), luego $\det u = 0$. El criterio de base es el mismo enunciado para familias.

(3) En la fórmula de las permutaciones, reindexemos cada producto mediante $j = \sigma(i)$, es decir, $i = \tau(j)$ con $\tau =
\sigma^{-1}$: los factores son los mismos números en otro orden, así que

$$
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n}
a_{j,\,\tau(j)} ,
$$

y $\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} =
\varepsilon(\sigma)$ (los valores son $\pm1$ y $\varepsilon$ es un morfismo). Sumar sobre $\sigma$ es lo mismo que sumar sobre $\tau$ (la inversión es una biyección de $\mathfrak{S}_n$):

$$
\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)}
= \det(A^{\mathsf T}),
$$

siendo la última suma la fórmula de las permutaciones aplicada a las entradas [traspuestas](#def-b2-linalg-transpose) $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$.

(4) Fijemos la columna $j$ y separemos $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ por linealidad: $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$, y llevar $e_i$ a la última posición ($n - i$ [transposiciones](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-sn) de filas y $n - j$ de columnas, vía (3)) identifica $\det(\dots, e_i, \dots)
= (-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ con el menor: exactamente la regla de los cofactores del primer año. Semejanza: $\det(P^{-1}AP) = \det
P^{-1}\det A \det P = \det A$ por (1). ∎

**Ejemplo 2.18 (Desarrollo por cofactores, ejecutado).**

Calculemos

$$
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 4 & 1\\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
$$

a lo largo de la primera columna (con la pereza que permite un cero: uno). Los signos siguen el tablero $(-1)^{i+j}$:

$$
2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}
- 0
+ 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix}
= 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .
$$

Comprobación por Sarrus ([Ejemplo 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)): $0 + 1 + 0 -
12 - 0 - 4 = -15$. Estrategia, no dogma: desarróllese por la línea con más ceros y, cuando ninguna tenga, créense primero mediante operaciones elementales; una ronda de eliminación cuesta menos que dos capas de cofactores.

**Ejemplo 2.19 (Un determinante mediante las reglas).**

Sea $J \in \mathcal{M}_n(K)$ la matriz de unos y $a \in K$; calculemos $\det(aI_n + J)$ con las herramientas recién demostradas. Todas las columnas de $aI_n + J$ suman igual: sumemos todas las filas a la primera (el [determinante](#def-b2-linalg-det) no varía, pues sumar un múltiplo de una fila a otra añade un término con una dirección repetida, que la alternancia mata). La primera fila pasa a ser $(a
+ n, a + n, \dots, a + n)$; saquemos $a + n$ por linealidad en esa fila y restemos después la primera columna de todas las demás: lo que queda es triangular con diagonal $(1, a, \dots, a)$. Por tanto

$$
\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.
$$

La moraleja: las raíces $a = 0$ (de multiplicidad $n - 1$) y $a =
-n$ dicen que $J$ tiene el valor propio $0$ con multiplicidad $n -
1$ y el valor propio $n$ una vez, es decir, el espectro de la matriz $J$ de rango uno, un capítulo antes de tiempo (el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction) lo hará sistemático).

**Ejemplo 2.20 (Un determinante por la fórmula de las permutaciones).**

Para una matriz con muchos ceros la fórmula resulta práctica por sí sola: en

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & b & 0\\
0 & 0 & 0 & c\\
d & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$$

la única permutación que selecciona entradas no nulas es el [ciclo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-sn) de longitud $4$ $\sigma = (1\,2\,3\,4)$, que envía la columna $1$ a la fila $4$, etc.; como $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$, resulta $\det A = -abcd$. (Compruébese mediante tres intercambios de columnas hasta llegar a una matriz diagonal.)

**Ejemplo 2.21 (Un Vandermonde por la fórmula del producto).**

Para los nodos $0, 1, 2$ (usados por reglas de cuadratura como la del [Ejercicio 2.4](#exo-b2-linalg-4)), el [determinante](#def-b2-linalg-det) de Vandermonde del [Ejercicio 2.11](#exo-b2-linalg-11) se evalúa de un vistazo:

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}
= (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,
$$

y por desarrollo directo a lo largo de la primera columna: $1\cdot(4 - 2) = 2$; coinciden. Que no se anule cuando los nodos son distintos es toda la teoría de la interpolación en un solo [determinante](#def-b2-linalg-det): las formas de evaluación $P \mapsto P(a_i)$ son una base del [dual](#def-b2-linalg-dual) exactamente cuando este [determinante](#def-b2-linalg-det) no es nulo, es decir, siempre que los $a_i$ sean distintos; el [Ejemplo 2.2](#ex-b2-linalg-dualexamples), cuantificado.

## 2.3 La traza, revisitada

**Proposición 2.22.**

La traza $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ es la única forma lineal con $\operatorname{tr}(AB) =
\operatorname{tr}(BA)$ y $\operatorname{tr}(I_n) = n$ (si $\operatorname{char} K = 0$); la traza de un endomorfismo está bien definida a través de cualquier representación matricial, y

$$
\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)
$$

en cualquier base: la dualidad escribe la traza sin recurrir a una base.

**Demostración.** Las identidades $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ y la invariancia por cambio de base se demostraron en el primer año. Unicidad: una forma lineal $t$ con $t(AB) = t(BA)$ anula todo conmutador $AB - BA$. Afirmamos que los conmutadores generan el hiperplano de traza nula, de dimensión $n^2 - 1$. Bastan dos familias de conmutadores. La regla de multiplicación de las matrices elementales es $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$. Para $i \neq j$ da

$$
E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}
$$

(el segundo producto es $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$, pues $j \neq i$): toda $E_{ij}$ fuera de la diagonal es un conmutador. Y

$$
E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .
$$

Las $E_{ij}$ ($i \neq j$; hay $n^2 - n$) junto con las $E_{11} -
E_{jj}$ ($j \geq 2$; hay $n - 1$) son $n^2 - 1$ matrices de traza nula linealmente independientes: generan el hiperplano $\ker\operatorname{tr}$. Así pues, $t$ se anula donde lo hace $\operatorname{tr}$ y factoriza a través de ella: $t =
c\operatorname{tr}$; después, $t(I) = n$ obliga a $c = 1$. En cuanto a la fórmula destacada: la $i$-ésima entrada diagonal de la matriz de $u$ es precisamente $e_i^*(u(e_i))$. ∎

**Observación 2.23 (Errores frecuentes).**

(i) El [determinante](#def-b2-linalg-det) es $n$-lineal en las *columnas*, no lineal en la matriz: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ en general, y $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, no $\lambda\det A$. (ii) La trasposición invierte los productos: $(vu)^{\mathsf T} =
u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$; olvidar la inversión arruina todo cálculo con inversas. (iii) El [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ vive en $E^*$, no en $E$: solo se convierte en el familiar “complemento ortogonal” una vez que un producto escalar identifica $E$ con $E^*$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic)); ninguna identificación de ese tipo es canónica. (iv) “El rango por filas es igual al rango por columnas” no significa que el *espacio* de filas sea igual al de columnas: ambos viven en espacios distintos ($K^n$ y $K^m$) y se relacionan mediante la [Proposición 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank), no son iguales. (v) La fórmula de las permutaciones es un instrumento de demostración: para calcular con números, úsense operaciones elementales y cofactores ([Ejemplo 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)).

**Ejemplo 2.24 (El emparejamiento traza parte el espacio de matrices).**

Sobre $\mathcal{M}_2(\R)$, con el emparejamiento $\langle A,
B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ del [Ejercicio 2.9](#exo-b2-linalg-9), descompongamos $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 &
3\end{smallmatrix}\right)$ en sus partes simétrica y antisimétrica:

$$
M = S + A, \qquad
S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix},
\qquad
A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
$$

Entonces $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr}
\left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: las dos partes son “ortogonales” para el emparejamiento traza, caso particular del hecho general (demostrado en el problema de fin de semana de este capítulo) de que las matrices antisimétricas forman exactamente el [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) de las simétricas. La dualidad ve la descomposición $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ antes de que se elija ningún producto escalar.

**Observación 2.25 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Conviene observar cómo las tres construcciones de este capítulo se cambian de traje más adelante. La *[traspuesta](#def-b2-linalg-transpose)* vuelve en el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction): $u$ y $u^{\mathsf T}$ comparten valores propios con multiplicidades geométricas iguales (problema de fin de semana de este capítulo, pregunta 15), y por eso los análisis por filas y por columnas de una matriz nunca discrepan. El *[determinante](#def-b2-linalg-det)* pasa a ser función de un parámetro en el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction) ($\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$) y un jacobiano en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint), donde su multilinealidad se convierte en el factor del cambio de variable. La *traza* siembra los invariantes de semejanza: es el segundo coeficiente de $\chi_u$, la suma de los valores propios y, con el tiempo, la integral de la diagonal en identidades del estilo del [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier). Un capítulo de álgebra lineal, tres largas sombras.

**Observación 2.26 (Dónde se usa este capítulo).**

El [espacio dual](#def-b2-linalg-dual) no es una abstracción gratuita: los [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) y las [traspuestas](#def-b2-linalg-transpose) gobiernan la teoría de resolubilidad de los sistemas lineales (el problema de fin de semana de este capítulo demuestra a partir de ellos la alternativa de Fredholm en dimensión finita), los emparejamientos no degenerados reaparecen como la forma polar en el [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic) y el adjunto en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/13-formas-hermiticas#ch-b2-hermitian), y el [determinante](#def-b2-linalg-det) construido aquí mueve todo el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction). En el volumen del tercer año, esa misma dualidad, transportada a dimensión infinita, se convierte en el teorema de representación de Riesz y en la teoría de Fredholm sobre espacios de Hilbert, con la compacidad ocupando el lugar de los recuentos de dimensiones usados aquí.

## 2.4 Ejercicios

**Ejercicio 2.1 ★.**

En $\R^3$, sean $\varphi_1(x,y,z) = x + y$, $\varphi_2 = y + z$, $\varphi_3 = x + z$. Demuestra que $(\varphi_1, \varphi_2,
\varphi_3)$ es una base de $(\R^3)^*$ y halla la base de $\R^3$ de la que es la [dual](#def-b2-linalg-dual).

**Solución de Ejercicio 2.1.**

Tres formas en un [dual](#def-b2-linalg-dual) de dimensión $3$: basta con la libertad. Una relación $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ evaluada en $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ da $\alpha + \gamma = 0$, $\alpha + \beta = 0$, $\beta + \gamma = 0$, de donde $\alpha = \beta =
\gamma = 0$.

Base predual $(u_1, u_2, u_3)$: resolvemos $\varphi_i(u_j) =
\delta_{ij}$. Escribiendo $u_j = (x, y, z)$: para $u_1$, las ecuaciones $x + y = 1$, $y + z = 0$, $x + z = 0$ dan $u_1 =
\bigl(\tfrac12, \tfrac12, -\tfrac12\bigr)$; simétricamente, $u_2 =
\bigl(-\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12\bigr)$ y $u_3 = \bigl(\tfrac12,
-\tfrac12, \tfrac12\bigr)$.

**Ejercicio 2.2 ★.**

Calcula mediante la fórmula de las permutaciones los [determinantes](#def-b2-linalg-det) de

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
a & b & 0 & 0\\
c & d & 0 & 0\\
0 & 0 & e & f\\
0 & 0 & g & h
\end{pmatrix},
$$

y enuncia la regla para matrices diagonales por bloques que sugiere el segundo.

**Solución de Ejercicio 2.2.**

Primera matriz: la única permutación con producto no nulo envía $1
\mapsto 3$, $2 \mapsto 2$, $3 \mapsto 1$; es la [transposición](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-sn) $(1\,3)$, de signatura $-1$: el [determinante](#def-b2-linalg-det) vale $-abc$.

Segunda: una permutación con producto no nulo no puede mezclar los dos bloques (toda entrada que los une es $0$), luego se descompone como una permutación de $\{1,2\}$ por otra de $\{3,4\}$, y la signatura es el producto de las dos signaturas: la suma se factoriza como

$$
(ad - bc)(eh - fg) .
$$

Regla general que esto sugiere (y que es cierta, con la misma demostración): el [determinante de una matriz](#def-b2-linalg-det) diagonal por bloques es el producto de los [determinantes](#def-b2-linalg-det) de los bloques.

**Ejercicio 2.3 ★.**

Sea $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ y } x = 2y\}$. Da una base de $F^\circ$ y comprueba el [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) sobre las dimensiones.

**Solución de Ejercicio 2.3.**

$F$ viene definido por las dos ecuaciones independientes $\varphi_1(x,y,z,t) = x + y - z - t = 0$ y $\varphi_2 = x - 2y = 0$: por el [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) leído al revés, $F^\circ =
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ —pertenecen a $F^\circ$ por construcción, son libres (no son proporcionales) y $\dim F^\circ
= 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$, ya que $\dim F = 2$ (dos ecuaciones independientes en $\R^4$)—. Base: $(\varphi_1, \varphi_2)$; dimensiones: $2 + 2 = 4$, como exige el teorema.

**Ejercicio 2.4 ★★.**

Sean $a_0, \dots, a_n$ puntos distintos de $K$ y $\varphi_i \colon P
\mapsto P(a_i)$ sobre $K_n[X]$. Demuestra que $(\varphi_0, \dots,
\varphi_n)$ es una base de $K_n[X]^*$, identifica su base predual y desarrolla la forma $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ (para $K = \R$, $n = 2$, $a_i = 0, \frac12, 1$) en esa base, reconociendo la regla de Simpson.

**Solución de Ejercicio 2.4.**

Los $\varphi_i$ son $n + 1$ formas sobre un espacio de dimensión $n +
1$: basta con la libertad. Si $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$, evaluando en el polinomio de Lagrange $L_j$ de los nodos se obtiene $\lambda_j = 0$. La base predual es $(L_0, \dots, L_n)$, puesto que $\varphi_i(L_j) = L_j(a_i) = \delta_{ij}$.

Para la forma integral con nodos $0, \frac12, 1$ sobre $\R_2[X]$: $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ con $c_i = \int_0^1 L_i$. Calculemos: $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$, $\int_0^1 L_0 =
\frac16$; $L_1 = -4X(X-1)$, $\int_0^1 L_1 = \frac46$; $L_2 = 2X(X -
\tfrac12)$, $\int_0^1 L_2 = \frac16$. Por tanto

$$
\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) +
P(1)\Bigr)
\quad (P \in \R_2[X]) :
$$

la regla de Simpson, exacta sobre las cuadráticas; un enunciado sobre [bases duales](#def-b2-linalg-dual).

**Ejercicio 2.5 ★★.**

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con $\dim E = n$ y $\operatorname{rk} u =
1$. Demuestra que $u = \varphi(\cdot)\, a$ para cierto vector $a$ y cierta forma $\varphi$; que $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$; y que $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$. Deduce $\det(I + u) = 1 +
\operatorname{tr} u$.

**Solución de Ejercicio 2.5.**

$\operatorname{im} u = Ka$ para algún $a \neq 0$; entonces $u(x) =
\varphi(x)\,a$, donde $\varphi(x)$ es la coordenada de $u(x)$ sobre $a$, lineal en $x$. Traza: complétese $a = e_1$ hasta una base; la matriz de $u$ tiene columnas $\varphi(e_j)\,e_1$, de modo que su única entrada diagonal es $\varphi(e_1) = \varphi(a)$: $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$. Entonces

$$
u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a
= (\operatorname{tr} u)\, u(x).
$$

[Determinante](#def-b2-linalg-det), en dos casos. *Si $\varphi(a) \neq 0$:* tómese cualquier base del hiperplano $\ker\varphi$ y añádase $a$. Entonces $u$ anula $\ker\varphi$ (allí $u(x) = \varphi(x)a = 0$) y $u(a) =
\varphi(a)\,a$: la matriz de $I + u$ es diagonal, $(1, \dots, 1,\, 1
+ \varphi(a))$, luego $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 +
\operatorname{tr} u$. *Si $\varphi(a) = 0$:* entonces $a \in
\ker\varphi$; tómese una base de $\ker\varphi$ cuyo primer vector sea $a$ y añádase un vector $b$ con $\varphi(b) = 1$. Entonces $I + u$ deja fija la base de $\ker\varphi$ y envía $b \mapsto b + a$: triangular con diagonal de unos, $\det(I + u) = 1 = 1 +
\operatorname{tr} u$. Ambos casos concuerdan con la fórmula.

**Ejercicio 2.6 ★★.**

Demuestra que todo hiperplano de $\mathcal{M}_n(K)$ ($n \geq 2$) contiene una matriz invertible. *Indicación: un hiperplano es $\{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ para cierta $A \neq 0$ ([Ejercicio 2.9](#exo-b2-linalg-9)). Si $A$ es escalar, exhibe una matriz invertible de traza nula; en caso contrario, halla una $M$ invertible que haga que $AM$ tenga diagonal nula —una matriz de tipo permutación sirve—.*

**Solución de Ejercicio 2.6.**

Por el [Ejercicio 2.9](#exo-b2-linalg-9), el hiperplano es $H_A = \{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ con $A \neq 0$.

*Si $A = \lambda I$:* $H_A$ es el hiperplano de traza nula; la matriz de la permutación [cíclica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) de longitud $n$ (con unos en las posiciones $(i, i+1)$ y $(n, 1)$) es invertible (su [determinante](#def-b2-linalg-det) vale $\pm 1$ por el cálculo del [Ejemplo 2.20](#ex-b2-linalg-permexample)) y tiene traza nula.

*Si $A$ no es escalar:* hallemos primero una $P$ invertible tal que $B = P^{-1}AP$ tenga una entrada no diagonal $b_{ji} \neq 0$ ($j
\neq i$). En efecto, si $A$ ya tiene una, tómese $P = I$; si $A$ es diagonal con dos entradas distintas $d_1 \neq d_2$, conjugar por la transvección $P = I + E_{12}$ produce la entrada no diagonal $d_1 -
d_2 \neq 0$ (calcúlese: $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$); y una matriz diagonal con todas las entradas iguales es escalar, caso excluido. Pongamos ahora $M' = I + tE_{ij}$ con $t =
-\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$: entonces

$$
\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,
$$

y $M'$ es invertible (triangular con diagonal de unos). Deshaciendo la conjugación, $M = PM'P^{-1}$ es invertible y $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$: $M \in H_A$.

**Ejercicio 2.7 ★★.**

(Derivada del [determinante](#def-b2-linalg-det)) Para $A \in \mathcal{M}_n(\R)$, demuestra a partir de la multilinealidad que

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,
$$

y deduce $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ suponiendo la derivabilidad de $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ y la propiedad de grupo $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (establecida en el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq)).

**Solución de Ejercicio 2.7.**

Por la fórmula de las permutaciones, $\det(I + tA)$ es un polinomio en $t$; su término constante vale $1$ (para $t = 0$). Su coeficiente en $t$: desarróllese $\det$ como [forma alternada](#def-b2-linalg-alternating) de las columnas $e_j + t\,c_j(A)$; por multilinealidad, los términos lineales en $t$ sustituyen exactamente un $e_j$ por $c_j(A)$:

$$
\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n)
= \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,
$$

(el [determinante](#def-b2-linalg-det) con todas las columnas canónicas salvo $c_j(A)$ en el lugar $j$ recoge la $j$-ésima entrada diagonal). Así pues, la derivada en $0$ vale $\operatorname{tr} A$.

Sea $g(t) = \det(\eu^{tA})$. La propiedad de grupo da $g(s + t) =
g(s)g(t)$ (multiplicatividad de $\det$), $g$ es derivable y $g'(0) =
\operatorname{tr} A$ por lo anterior ($\eu^{tA} = I + tA + O(t^2)$). Un morfismo derivable $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ cumple $g' =
g'(0)\,g$ (derívese $g(s+t)$ respecto de $s$ en $0$), luego $g(t) =
\eu^{t\operatorname{tr} A}$ por la unicidad de las soluciones de $y'
= cy$ con $y(0) = 1$ (volumen del primer año).

**Ejercicio 2.8 ★★.**

(Circulante $3 \times 3$) Sea $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ y

$$
C = \begin{pmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).
$$

Comprueba que las columnas de la matriz de Vandermonde de $1, j, j^2$ son vectores propios de $C$ y deduce

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**Solución de Ejercicio 2.8.**

Sea $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ para $k = 0, 1, 2$. Usando $1 + j + j^2 = 0$ y $j^3 = 1$:

$$
C v_k =
\begin{pmatrix}
a + b j^k + c j^{2k}\\
c + a j^k + b j^{2k}\\
b + c j^k + a j^{2k}
\end{pmatrix}
= (a + b j^k + c j^{2k})
\begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},
$$

(compruébese la segunda fila: $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k +
bj^{2k} + cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$). Luego $v_k$ es un vector propio de valor propio $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$. Los $v_k$ forman una base (Vandermonde de los valores distintos $1, j, j^2$), así que $C$ es diagonalizable con esos valores propios y

$$
\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2
= (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**Ejercicio 2.9 ★★★.**

Demuestra que toda forma lineal $t$ sobre $\mathcal{M}_n(K)$ es $M
\mapsto \operatorname{tr}(AM)$ para una única $A$: la aplicación $A
\mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ es un isomorfismo de $\mathcal{M}_n(K)$ sobre su [dual](#def-b2-linalg-dual). Deduce de nuevo el enunciado de unicidad de la [Proposición 2.22](#prop-b2-linalg-trace).

**Solución de Ejercicio 2.9.**

La aplicación $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ es lineal de $\mathcal{M}_n(K)$ en su [dual](#def-b2-linalg-dual), entre espacios de la misma dimensión $n^2$: basta con la inyectividad. Si $\operatorname{tr}(AM) = 0$ para toda $M$, tómese $M = E_{ji}$: $\operatorname{tr}(A E_{ji}) = a_{ij} = 0$ para todos $i, j$, luego $A = 0$. Así pues, $\Theta$ es un isomorfismo.

Unicidad de la traza ([Proposición 2.22](#prop-b2-linalg-trace)): una forma $t$ que anula todos los conmutadores es $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ para cierta $A$ con $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ para todas $M, N$, es decir, $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ para toda $N$ (por ciclicidad), es decir, $AM = MA$ para toda $M$ (por inyectividad de $\Theta$): $A$ conmuta con todo y por tanto es escalar (conmutar con todas las $E_{ij}$ obliga a que las entradas no diagonales sean $0$ y las diagonales iguales), luego $t = c \operatorname{tr}$.

**Ejercicio 2.10 ★★★.**

Sean $u, v \in \mathcal{L}(E)$ con $u \circ v - v \circ u = u$. Demuestra que $u$ es nilpotente. *Indicación: prueba que $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ para todo $k \geq 1$ (calcula $u^k v - v
u^k$ por inducción) y usa después el hecho siguiente, que puede demostrarse con las identidades de Newton o por inducción sobre la dimensión: un endomorfismo de un $\C$-espacio vectorial cuyas potencias tienen todas traza nula es nilpotente. Trabaja sobre $\C$.*

**Solución de Ejercicio 2.10.**

Trabajemos sobre $\C$ (una matriz real es nilpotente si y solo si lo es como matriz compleja: la nilpotencia es $u^n = 0$).

*Paso 1: $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ para $k \geq 1$.* Por inducción, $u^k v - v u^k = k\, u^k$: para $k = 1$ es la hipótesis; para el paso inductivo,

$$
u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u
= u^{k+1} + k\,u^{k+1} .
$$

Tomando trazas: $0 = \operatorname{tr}(u^k v) -
\operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$, luego $\operatorname{tr}(u^k) = 0$.

*Paso 2: trazas de potencias nulas implican nilpotencia (sobre $\C$).* Sean $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ los valores propios no nulos distintos de $u$, con multiplicidades $m_1, \dots, m_r$ (en el polinomio característico, que se escinde sobre $\C$; véase el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction)). Las trazas de las potencias son $\operatorname{tr}(u^k) = \sum_i m_i \lambda_i^k$ (trigonalícese: la diagonal de la potencia $k$-ésima de una matriz triangular está formada por las potencias $k$-ésimas). El sistema $\sum_i m_i
\lambda_i^k = 0$ para $k = 1, \dots, r$ es invertible de tipo Vandermonde en las incógnitas $m_i\lambda_i$ (matriz $(\lambda_i^{k-1})$ por la diagonal $\lambda_i$, con todos los $\lambda_i \neq 0$ distintos): todo $m_i \lambda_i = 0$, imposible con $m_i \geq 1$ salvo que $r = 0$. Luego $u$ no tiene ningún valor propio no nulo: su polinomio característico es $(-X)^n$ y Cayley–Hamilton ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos#ch-b2-reduction)) da $u^n = 0$, es decir, $u$ es nilpotente.

**Ejercicio 2.11 ★★.**

(Vandermonde) Para $a_0, \dots, a_n \in K$, demuestra

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n
\end{pmatrix}
= \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).
$$

*(Considera el [determinante](#def-b2-linalg-det) como polinomio en $a_n$: identifica su grado, sus raíces y su coeficiente director; después induce.)*

**Solución de Ejercicio 2.11.**

Escribamos $V(a_0, \dots, a_n)$ para el [determinante](#def-b2-linalg-det) e induzcamos sobre $n$; el caso inicial es $V(a_0) = 1$. Fijemos $a_0, \dots,
a_{n-1}$ y consideremos $D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$, el [determinante](#def-b2-linalg-det) con última columna $(1, T, \dots, T^n)$: desarrollando por esa columna, $D$ es un polinomio de grado $\leq n$ en $T$ cuyo coeficiente en $T^n$ es el menor $V(a_0, \dots, a_{n-1})$. Supongamos primero que $a_0, \dots, a_{n-1}$ son distintos. Para cada $T = a_i$ ($i < n$) dos columnas coinciden, luego $D(a_i) = 0$: con $n$ raíces distintas y grado $\leq n$,

$$
D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),
$$

y tomando $T = a_n$ junto con la hipótesis de inducción se obtiene la fórmula del producto. Si dos de los $a_0, \dots, a_{n-1}$ coinciden, ambos miembros valen $0$ (columnas repetidas; factor repetido) y la fórmula se cumple trivialmente.

**Ejercicio 2.12 ★★★.**

Sean $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ con $K$ infinito, y supongamos $CD = DC$. Demuestra que

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}
= \det(AD - BC).
$$

*(Trata primero el caso $D$ invertible, multiplicando por la derecha por $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C &
I\end{smallmatrix}\right)$; después sustituye $D$ por $D + tI$ y compara dos polinomios en $t$.)*

**Solución de Ejercicio 2.12.**

*Caso $D$ invertible.* Multipliquemos por la derecha por la matriz por bloques $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C &
I\end{smallmatrix}\right)$, triangular por bloques con diagonal de unos, de $\det T = 1$ (su [determinante](#def-b2-linalg-det), por la fórmula de las permutaciones, solo recoge los bloques diagonales: la regla por bloques del [Ejercicio 2.2](#exo-b2-linalg-2)):

$$
\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},
$$

cuyo [determinante](#def-b2-linalg-det) vale $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A -
BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$. Como $CD = DC$, se tiene $BD^{-1}CD = BC$: el [determinante](#def-b2-linalg-det) es $\det(AD - BC)$.

*Caso general.* Sea $D_t = D + tI$; entonces sigue siendo $CD_t
= D_tC$. Ambas funciones

$$
f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix}
\qquad\text{y}\qquad
g(t) = \det(AD_t - BC)
$$

son polinómicas en $t$. El polinomio $\det(D + tI)$ es mónico de grado $n$, luego tiene a lo sumo $n$ raíces: para todos los $t$ salvo un número finito, $D_t$ es invertible y $f(t) = g(t)$ por el primer caso. Dos polinomios sobre un cuerpo infinito que coinciden en infinitos puntos son iguales: $f = g$, y $t = 0$ concluye.

## 2.5 Problema: la alternativa de Fredholm

¿Cuándo tiene solución el sistema lineal $u(x) = b$? La respuesta completa es un enunciado de dualidad: *exactamente cuando $b$ es anulado por toda forma lineal que anula la imagen de $u$*, y esas formas son calculables, pues son el núcleo de la [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose). Este problema de fin de semana construye el diccionario completo de la dualidad en dimensión finita (factorización de formas, bidualidad, cálculo de [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator), [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose)), demuestra la *alternativa de Fredholm* en dimensión finita y termina con la forma traza y una caracterización: la traza es el único invariante lineal de la semejanza. En todo el problema, $E$ y $F$ son $K$-espacios vectoriales de dimensión finita y $n = \dim E$.

**Problema 2.1.**

Problema de fin de semana — la dualidad en dimensión finita y la alternativa de Fredholm

Notación: para $S \subseteq E^*$, el *preanulador* es $S_\circ
= \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ para toda } \varphi \in S\}$; los [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ y las [traspuestas](#def-b2-linalg-transpose) $u^{\mathsf T}$ son los de la [Definición 2.5](#def-b2-linalg-annihilator) y de la [Definición 2.8](#def-b2-linalg-transpose).

**Parte I — El lema de factorización.** Sean $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$.

1. Sea $\Phi \colon E \to K^p$, $x \mapsto (\varphi_1(x),  \dots, \varphi_p(x))$. Identifica $\ker\Phi$, prueba que $\Phi^{\mathsf T}$ envía las formas coordenadas de $K^p$ a los $\varphi_i$, y deduce $$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap  \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim  \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$$
2. (Lema de factorización) Demuestra la equivalencia: $$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,  \varphi_p)  \iff  \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq  \ker\varphi .$$
3. Deduce que $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ es libre si y solo si $\bigcap_i \ker\varphi_i$ tiene dimensión $n - p$ ; y que un subespacio de codimensión $p$ es intersección de $p$ hiperplanos, nunca de menos.
4. En $\R^4$ , sean $\varphi_1 = x + y - z$ , $\varphi_2 = y + z  - t$ , $\psi = x + 2y - t$ y $\psi' = x + y + t$ . Decide, mediante el lema de factorización, si $\psi$ y $\psi'$ pertenecen a $\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ .
5. Sobre $E = \R_2[X]$ , prueba que $\psi_0 \colon P \mapsto  P(0)$ , $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ y $\psi_2 \colon P  \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ forman una base de $E^*$ , calcula la base $(P_0, P_1, P_2)$ de $E$ de la que es la [dual](#def-b2-linalg-dual) , y halla el único $P \in \R_2[X]$ con $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

**Parte II — Bidualidad y cálculo de [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator).**

6. Prueba que la *aplicación de evaluación* $J \colon E  \to E^{**}$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ , es lineal e inyectiva, y por tanto un isomorfismo en dimensión finita.
7. (Doble [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) ) Prueba que $J(F) = F^{\circ\circ} :=  (F^\circ)^\circ$ para todo subespacio $F \subseteq E$ : mediante la identificación $J$ , el [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) del [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) es el propio subespacio.
8. Demuestra el cálculo de [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) : $(F + G)^\circ =  F^\circ \cap G^\circ$ y $(F \cap G)^\circ = F^\circ +  G^\circ$ .
9. Deduce (y vuelve a demostrar directamente) que dos formas no nulas con el mismo núcleo son proporcionales.
10. (Base antedual) Prueba que para toda base $(\varphi_1,  \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ existe una única base $(u_1,  \dots, u_n)$ de $E$ con $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ .

**Parte III — El cálculo con [traspuestas](#def-b2-linalg-transpose).**

11. Prueba que $u \mapsto u^{\mathsf T}$ es una biyección lineal de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{L}(F^*,  E^*)$ , y que $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ cuando $u$ es invertible.
12. (Naturalidad) Prueba que $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E  = J_F \circ u$ : mediante los isomorfismos de evaluación, la doble [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose) *es* $u$ .
13. Prueba que $u$ es sobreyectiva si y solo si $u^{\mathsf T}$ es inyectiva, y que $u$ es inyectiva si y solo si $u^{\mathsf T}$ es sobreyectiva.
14. Para $u \in \mathcal{L}(E)$ : un subespacio $F$ es estable por $u$ si y solo si $F^\circ$ es estable por $u^{\mathsf  T}$ .
15. Prueba que $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\,  \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\,  \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ , y deduce que $u$ y $u^{\mathsf  T}$ tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades geométricas.

**Parte IV — La alternativa de Fredholm.**

16. Demuestra que $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf  T})_\circ$ para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , y deduce la *alternativa de Fredholm* en dimensión finita: la ecuación $u(x) = b$ tiene solución si y solo si toda $\psi  \in F^*$ con $u^{\mathsf T}\psi = 0$ cumple $\psi(b) = 0$ .
17. Forma matricial: para $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ y $b \in  K^m$ se cumple exactamente una de las dos afirmaciones siguientes: (i) $Ax = b$ tiene solución; (ii) existe $y \in  K^m$ con $A^{\mathsf T}y = 0$ e $y^{\mathsf T}b = 1$ . Demuestra tanto el “a lo sumo una” como el “al menos una”.
18. Halla todos los $b \in \R^3$ para los que el sistema $$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$$ tiene solución, calculando el núcleo de la matriz [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose).
19. (Un problema de Neumann discreto) Sobre $E = \R^n$ ( $n \geq  3$ ), definamos $L$ por $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} +  x_{k+1})$ , con índices módulo $n$ . Prueba que $L^{\mathsf T}  = L$ (con las identificaciones canónicas), que $\ker L$ es la recta de los vectores constantes *(examina una coordenada máxima)* , y concluye: $Lx = b$ tiene solución si y solo si $\sum_k b_k = 0$ .

**Parte V — La forma traza y el teorema de invariancia.** Recordemos del [Ejercicio 2.9](#exo-b2-linalg-9) que $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ identifica $\mathcal{M}_n(K)$ con su [dual](#def-b2-linalg-dual). Supongamos $\operatorname{char} K = 0$ (por ejemplo, $K =
\Q, \R, \C$).

20. Con esa identificación, prueba que el [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) del subespacio $\mathcal{S}_n$ de las matrices simétricas es el subespacio $\mathcal{A}_n$ de las antisimétricas, y recíprocamente.
21. Prueba que el [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) del hiperplano $\mathfrak{sl}_n =  \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ es la recta $K I_n$ ; equivalentemente, que toda forma lineal que se anula sobre las matrices de traza nula es múltiplo de la traza.
22. Prueba que toda matriz de $\mathcal{M}_n(K)$ es suma de dos matrices invertibles.
23. (La traza es el único invariante lineal de la semejanza) Sea $t$ una forma lineal sobre $\mathcal{M}_n(K)$ con $t(PMP^{-1}) = t(M)$ para toda $M$ y toda $P$ invertible. Prueba primero que $t(PX) = t(XP)$ para $P$ invertible, después que $t(BX) = t(XB)$ para *toda* $B$ , y concluye que $t = c \operatorname{tr}$ para cierto $c \in  K$ .
24. Prueba que $\operatorname{rk} u \leq r$ si y solo si $u$ es suma de $r$ aplicaciones de rango $\leq 1$ , es decir, $u =  \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ con $\psi_i \in E^*$ , $f_i \in F$ ; deduce $\operatorname{rk}(u + v) \leq  \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .
25. (Síntesis) Redacta el diccionario demostrado en este problema: subespacios frente a [anuladores](#def-b2-linalg-annihilator) , sumas frente a intersecciones, aplicaciones frente a [traspuestas](#def-b2-linalg-transpose) , resolubilidad frente a ortogonalidad al núcleo [traspuesto](#def-b2-linalg-transpose) , traza frente a semejanza. Cita para cada entrada la pregunta que la demostró y di en una frase qué sustituye a los recuentos de dimensiones cuando la dimensión pasa a ser infinita (el volumen del tercer año lo precisa sobre espacios de Hilbert).

**Solución de Problema 2.1.**

**1.** $\Phi$ es lineal y $\ker\Phi = \bigcap_i \ker\varphi_i$ (una $p$-tupla se anula si y solo si lo hace cada entrada). Para las formas coordenadas $\varepsilon_i$ de $K^p$: $\Phi^{\mathsf
T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$, luego $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq
\operatorname{Vect}(\varphi_i)$; recíprocamente, $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ está [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por los $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ (los $\varepsilon_i$ generan $(K^p)^*$). Así pues, $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk}
\Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,
\varphi_p) =: r$ ([Proposición 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank)), y el teorema del rango da $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$.

**2.** ($\Leftarrow$) Conservemos una subfamilia libre maximal, por ejemplo $\varphi_1, \dots, \varphi_r$, que genera el mismo espacio (de modo que la hipótesis sigue leyéndose $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq \ker\varphi$: la intersección sobre todos los $i$ coincide con la que va hasta $i
\leq r$, pues cada forma descartada es combinación de las demás). La aplicación $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to
K^r$ es sobreyectiva (pregunta 1: su rango es $r$). Si $\Psi(x) =
\Psi(y)$, entonces $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$, luego $\varphi(x) = \varphi(y)$: $\varphi$ factoriza como $\varphi
= \lambda \circ \Psi$ con $\lambda \colon K^r \to K$ bien definida; $\lambda$ es lineal porque $\Psi$ lo es y es sobreyectiva (para $t = \Psi(x)$, $t' = \Psi(x')$: $\lambda(t +
\alpha t') = \varphi(x + \alpha x') = \lambda(t) +
\alpha\lambda(t')$). Escribiendo $\lambda = \sum c_i
\varepsilon_i$ resulta $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$. ($\Rightarrow$) Si $\varphi = \sum c_i \varphi_i$, todo $x$ que anule cada $\varphi_i$ anula $\varphi$.

**3.** Por la pregunta 1, $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ con $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$, y $r = p$ si y solo si la familia es libre. Sea $F$ un subespacio de codimensión $p$: su [anulador](#def-b2-linalg-annihilator) tiene dimensión $p$ ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)); una base $(\varphi_1, \dots,
\varphi_p)$ de $F^\circ$ da $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ (fórmula de recuperación). Con menos hiperplanos no se puede: una intersección de $q$ hiperplanos tiene dimensión $\geq n - q > n -
p$ por la pregunta 1.

**4.** Calculemos $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$: de $x +
y - z = 0$ e $y + z - t = 0$, parametrizando por $(y, z)$ se obtiene $x = z - y$, $t = y + z$, es decir, el plano de los vectores $(z - y,\; y,\; z,\; y + z)$. Sobre él, $\psi = x + 2y -
t = (z - y) + 2y - (y + z) = 0$: por el lema de factorización, $\psi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ —en efecto, $\psi = \varphi_1 + \varphi_2$—. En cambio, $\psi' = x + y + t =
(z - y) + y + (y + z) = y + 2z$ no es idénticamente nula allí (para $y = 1, z = 0$ vale $1$): $\psi' \notin
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$.

**5.** Tres formas sobre un espacio de dimensión $3$: basta con la libertad. Si $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$, comprobemos en $1, X, X^2$: $a + b + c = 0$, $b + \frac c2 = 0$, $b + \frac c3 = 0$; restando las dos últimas se obtiene $c = 0$, después $b = 0$ y $a = 0$. Base antedual: escribiendo $P = \alpha
+ \beta X + \gamma X^2$ y resolviendo $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ ($P(0) = \alpha$, $P(1) = \alpha + \beta + \gamma$, $\int_0^1 P =
\alpha + \frac\beta2 + \frac\gamma3$):

$$
P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad
P_1 = -2X + 3X^2, \qquad
P_2 = 6X - 6X^2 .
$$

(Comprobación, por ejemplo: $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$, $P_2(0) =
P_2(1) = 0$.) El problema de interpolación se resuelve mediante las coordenadas en la base antedual:

$$
P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X
$$

(coeficiente en $X$: $-4 - 4 + 9 = 1$; coeficiente en $X^2$: $3 +
6 - 9 = 0$); en efecto, $P(0) = 1$, $P(1) = 2$, $\int_0^1 P =
\frac32$.

**6.** Linealidad: para toda $\varphi$, $J(x + \alpha
y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha
J(y)(\varphi)$, es decir, $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$. Inyectividad: si $x \neq 0$, complétese $x = e_1$ hasta una base; la forma coordenada $e_1^*$ cumple $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$. Como $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim E$, inyectiva implica biyectiva.

**7.** Inclusión: para $x \in F$ y $\varphi \in F^\circ$, $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$, luego $J(F) \subseteq
F^{\circ\circ}$. Dimensiones (aplicando dos veces el [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)):

$$
\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ
= n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),
$$

por ser $J$ inyectiva. Por tanto $J(F) = F^{\circ\circ}$.

**8.** Primera identidad: $\varphi$ anula $F + G$ si y solo si anula a la vez $F$ y $G$ (anula las sumas si y solo si anula las piezas): $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$. Segunda: la inclusión $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ es clara (cada sumando anula $F \cap G$). Dimensiones, usando la primera identidad y la fórmula de Grassmann:

$$
\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ -
\dim(F^\circ \cap G^\circ)
= (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F +
G)\bigr),
$$

que por Grassmann en $E$ vale $n - \dim(F \cap G) = \dim(F \cap
G)^\circ$: hay igualdad.

**9.** Mediante el lema: $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ con $p = 1$ da $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$, y $\varphi
\neq 0$ hace que el escalar sea no nulo. Directamente: tómese $x_0$ con $\psi(x_0) \neq 0$; todo $x$ se escribe $x = \bigl(x -
\frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}
x_0$, con el primer término en $\ker\psi = \ker\varphi$; aplicando $\varphi$: $\varphi(x) =
\frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$.

**10.** Tomemos la [base dual](#def-b2-linalg-dual) $(\varphi_1^*, \dots,
\varphi_n^*)$ de $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ dentro de $E^{**}$ ([Definición 2.1](#def-b2-linalg-dual) aplicada a $E^*$) y pongamos $u_j = J^{-1}(\varphi_j^*)$: se obtiene una base de $E$ ($J$ es un isomorfismo, pregunta 6), con $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i)
= \varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$. Unicidad: las condiciones $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ determinan $J(u_j)$ sobre la base $(\varphi_i)$ y, por tanto, determinan $u_j$.

**11.** Linealidad: $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi
\circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf
T}\psi$. Inyectividad: si $u \neq 0$, tómese $x$ con $u(x) \neq 0$ y $\psi$ con $\psi(u(x)) \neq 0$ (el truco de la forma coordenada de la pregunta 6): entonces $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$. Los espacios $\mathcal{L}(E,F)$ y $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ tienen ambos dimensión $\dim E \dim F$: es biyectiva. Si $u$ es invertible, la regla de inversión $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ da $u^{\mathsf T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} =
\mathrm{id}_{E^*}$ y $(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} =
(uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$, luego $(u^{\mathsf
T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$.

**12.** Para $x \in E$ y $\psi \in F^*$:

$$
\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi)
= (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr)
= (u^{\mathsf T}\psi)(x)
= \psi\bigl(u(x)\bigr)
= \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).
$$

Como $\psi$ es arbitraria, $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F
\circ u$.

**13.** Por la [Proposición 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank): $\ker
u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$, luego $u$ es sobreyectiva $\iff \operatorname{im} u = F \iff
(\operatorname{im}u)^\circ = \{0\}$ ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)) $\iff u^{\mathsf T}$ es inyectiva. Y $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$, así que $u$ es inyectiva $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker u)^\circ
= E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ es sobreyectiva.

**14.** Si $u(F) \subseteq F$ y $\varphi \in F^\circ$, entonces $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ para $x
\in F$, luego $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$. Recíprocamente, si $u(F) \not\subseteq F$, tómese $x \in F$ con $u(x) \notin F$; por la fórmula de recuperación del [Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) existe $\varphi \in F^\circ$ con $\varphi(u(x)) \neq 0$: entonces $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq
0$ pese a que $x \in F$, luego $u^{\mathsf T}\varphi \notin
F^\circ$ y $F^\circ$ no es estable.

**15.** $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u -
\lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (la trasposición es lineal y $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$), de modo que su núcleo es $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ ([Proposición 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank)), de dimensión

$$
n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id})
= \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})
$$

por el teorema del rango. En particular, uno de los núcleos es no nulo si y solo si lo es el otro: mismos valores propios y mismas multiplicidades geométricas.

**16.** Inclusión: si $b = u(x)$ y $u^{\mathsf T}\psi = 0$, entonces $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$; luego $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$. Dimensiones: para un subespacio $S \subseteq F^*$ se tiene $S_\circ = J_F^{-1}(S^\circ)$ (desplegando: $y \in S_\circ$ si y solo si toda $\psi \in S$ anula $y$, si y solo si $J_F(y) \in
S^\circ$), de modo que $\dim S_\circ = \dim F - \dim S$. Con $S =
\ker u^{\mathsf T}$:

$$
\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ
= \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :
$$

las dimensiones coinciden, luego $\operatorname{im} u = (\ker
u^{\mathsf T})_\circ$. Reformulado: $b \in \operatorname{im} u$ si y solo si $\psi(b) = 0$ para toda $\psi$ con $u^{\mathsf T}\psi =
0$; esa es la alternativa de Fredholm.

**17.** Identifiquemos $(K^m)^*$ con $K^m$ mediante $y
\mapsto \psi_y$, $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$; entonces $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf
T}y)^{\mathsf T}x$, luego $u^{\mathsf T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf
T}y}$: la [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose) es la matriz [traspuesta](#def-b2-linalg-transpose). *A lo sumo una:* si $Ax = b$ y $A^{\mathsf T}y = 0$, entonces $y^{\mathsf T}b
= y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$. *Al menos una:* si (i) falla, la pregunta 16 proporciona una $\psi_y$ con $A^{\mathsf T}y = 0$ e $y^{\mathsf T}b \neq 0$; reescálese $y$ para que valga $1$.

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 &
2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (tercera fila $=$ primera $+$ segunda, luego $A$ es singular). Resolvamos $A^{\mathsf T}y = 0$: $y_1 +
y_3 = 0$, $y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$, $y_2 + y_3 = 0$ dan $y_1 = y_2 =
-y_3$: la recta [generada](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por $y = (1, 1, -1)$. Fredholm: hay solución si y solo si $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$, es decir, $b_3 = b_1 + b_2$; visiblemente la condición correcta, puesto que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras.

**19.** La matriz de $L$ tiene $1$ en la diagonal y $-\frac12$ en las posiciones $(k, k\pm1)$ (módulo $n$): es simétrica, luego $L^{\mathsf T} = L$ con la identificación de la pregunta 17. *Núcleo:* si $Lx = 0$, entonces cada $x_k =
\frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$. Sea $k_0$ un índice que maximiza $x_k$; la media de los dos vecinos, ambos $\leq x_{k_0}$, vale $x_{k_0}$ solo si ambos valen $x_{k_0}$; propagando a lo largo del [ciclo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-sn), $x$ es constante. Recíprocamente, las constantes están en el núcleo. Así pues, $\ker L^{\mathsf T} = \ker L = \R(1,
\dots, 1)$, y la alternativa de Fredholm se lee: $Lx = b$ tiene solución si y solo si $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k =
0$, la condición discreta de compatibilidad: una “distribución de calor” sobre un anillo es realizable por un potencial si y solo si su flujo total se anula.

**20.** Si $A$ es antisimétrica y $S$ simétrica:

$$
\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf
T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) =
-\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),
$$

luego $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ y (si $\operatorname{char} K
\neq 2$) $\operatorname{tr}(AS) = 0$: $\mathcal{A}_n \subseteq
\mathcal{S}_n^\circ$ (identificando el [dual](#def-b2-linalg-dual) con las matrices). Dimensiones: $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$: hay igualdad. Intercambiando los papeles (mismo cálculo), $\mathcal{A}_n^\circ =
\mathcal{S}_n$.

**21.** $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ para $M \in \mathfrak{sl}_n$: la recta $KI_n$ está en el [anulador](#def-b2-linalg-annihilator), cuya dimensión es $n^2 - (n^2 - 1) = 1$: hay igualdad. Traducido mediante el isomorfismo $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$: una forma que se anula sobre $\mathfrak{sl}_n$ es $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) =
\lambda\operatorname{tr}$.

**22.** Sea $M \in \mathcal{M}_n(K)$. El polinomio $t \mapsto
\det(M - tI)$ es no nulo de grado $n$, luego tiene a lo sumo $n$ raíces; $K$ tiene característica $0$ y por tanto es infinito: tómese $\lambda \neq 0$ que no sea raíz. Entonces $M = (M -
\lambda I) + \lambda I$ escribe $M$ como suma de dos matrices invertibles.

**23.** *Paso 1:* para $P$ invertible y $X$ arbitraria, apliquemos la invariancia a $M = XP$: $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$, es decir, $t(PX) = t(XP)$. *Paso 2:* fijemos $X$; ambos miembros de $t(BX) = t(XB)$ son lineales en $B$ y coinciden sobre las $B$ invertibles; por la pregunta 22, toda $B$ es suma de dos invertibles, luego coinciden en todas partes. *Paso 3:* $t$ anula todo conmutador $XB - BX$; los conmutadores generan $\mathfrak{sl}_n$ (visto en la demostración de la [Proposición 2.22](#prop-b2-linalg-trace)), así que $t$ se anula sobre $\mathfrak{sl}_n$ y la pregunta 21 da $t = c\operatorname{tr}$. (Recíprocamente, toda $c\operatorname{tr}$ es invariante por semejanza: la traza es *el* invariante lineal de la semejanza.)

**24.** Si $\operatorname{rk} u = r' \leq r$: tómese una base $(f_1, \dots, f_{r'})$ de $\operatorname{im} u$ y escríbase $u(x)
= \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$; cada coordenada $\psi_i(x)$ de $u(x)$ es lineal en $x$ (composición de $u$ con una forma coordenada), de modo que $u$ es suma de $r' \leq r$ aplicaciones de rango $\leq 1$ (complétese con ceros). Recíprocamente, si $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$, entonces $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1, \dots,
f_r)$: $\operatorname{rk} u \leq r$. Subaditividad: escríbase $u$ con $\operatorname{rk} u$ términos y $v$ con $\operatorname{rk} v$ términos; la suma tiene $\operatorname{rk} u + \operatorname{rk}
v$ términos, luego $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk}
u + \operatorname{rk} v$.

**25.** El diccionario: a un subespacio $F$ le corresponde $F^\circ$, de dimensión complementaria ([Teorema 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)), y se vuelve atrás por bidualidad (preguntas 6–7); las sumas se intercambian con las intersecciones (pregunta 8); a una aplicación $u$ le corresponde $u^{\mathsf T}$, con $\ker u^{\mathsf T} =
(\operatorname{im}u)^\circ$, $\operatorname{im}u^{\mathsf T} =
(\ker u)^\circ$, rangos iguales, inyectividad y sobreyectividad intercambiadas, y subespacios estables y valores propios que se corresponden (preguntas 11–15); la ecuación $u(x) = b$ tiene solución si y solo si $b$ es ortogonal a $\ker u^{\mathsf T}$ (preguntas 16–19); y sobre $\mathcal{M}_n$ el emparejamiento traza realiza todo el diccionario de forma concreta, con la traza como único invariante lineal de la semejanza (preguntas 20–23) y el rango como longitud mínima de una descomposición en tensores elementales (pregunta 24). En dimensión infinita los recuentos de dimensiones fallan y se sustituyen por hipótesis de *cerrado* sobre las imágenes y por la completitud; sobre espacios de Hilbert esto se convierte en el teorema de representación de Riesz y en la teoría de Fredholm para operadores compactos, demostrada honestamente en el volumen del tercer año.