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title: "Integrales curvilíneas e integrales múltiples"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples
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# Capítulo 20 — Integrales curvilíneas e integrales múltiples

Este capítulo extiende la integración de los intervalos a las curvas y a los dominios del plano y del espacio. Las [integrales curvilíneas](#def-b2-multint-lineint) integran una *[forma diferencial](#def-b2-multint-lineint)* $P\,\dd x + Q\,\dd y$ a lo largo de un arco orientado; las integrales dobles y triples integran funciones sobre dominios de dimensión dos y tres. Las dos teorías se encuentran en el *teorema de Green–Riemann*, el teorema fundamental del cálculo en dimensión dos, y la principal herramienta de cálculo en todo el capítulo es la *fórmula del cambio de variables*, cuyo factor de distorsión es el valor absoluto del [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) jacobiano.

## 20.1 Integrales curvilíneas

**Definición 20.1 (Forma diferencial; integral curvilínea).**

Sea $U \subseteq \R^2$ un [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology). Una *forma diferencial* de grado $1$ y clase $\mathcal{C}^0$ sobre $U$ es una expresión $\omega = P\,\dd x +
Q\,\dd y$ con $P, Q \colon U \to \R$ [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); formalmente, una aplicación [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $U$ en el [dual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-dual) de $\R^2$, $\omega(M) =
P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$. Para un arco $\mathcal{C}^1$ $\gamma
\colon [a, b] \to U$, $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, la *integral curvilínea* de $\omega$ a lo largo de $\gamma$ es

$$
\int_\gamma \omega
= \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t)
+ Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .
$$

Las definiciones se extienden palabra por palabra a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$) y a los arcos $\mathcal{C}^1$ a trozos (sumando sobre los trozos).

**Proposición 20.2 (Invariancia y orientación).**

La [integral curvilínea](#def-b2-multint-lineint) no cambia bajo un [cambio de parámetro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) $\mathcal{C}^1$ creciente, y cambia de signo bajo uno decreciente. Por tanto, solo depende del [arco geométrico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) *orientado*.

**Demostración.** Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ es un [cambio de parámetro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-reparam) y $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$, entonces, por la regla de la cadena y el cambio de variables de una variable $t = \theta(u)$,

$$
\int_{\tilde\gamma}\omega
= \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u))
+ Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u
= \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,
$$

con signo $+$ si $\theta$ es creciente ($\theta(c) = a$) y $-$ si es decreciente (los límites se intercambian). ∎

**Ejemplo 20.3 (Trabajo de una fuerza; circulación).**

Si $F = (P, Q)$ es un campo de fuerzas, $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y
= \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ es el *trabajo* de $F$ a lo largo de $\gamma$. Para $\omega = -y\,\dd
x + x\,\dd y$ a lo largo de la circunferencia unidad recorrida en sentido antihorario $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$:

$$
\int_\gamma \omega
= \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t)
+ \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,
$$

el doble del [área](#def-b2-multint-domain) encerrada: un primer indicio de Green–Riemann.

**Ejemplo 20.4 (Una integral, dos parametrizaciones, una trampa de signo).**

Calculemos $\int_\gamma x\,\dd y$ a lo largo de la semicircunferencia unidad superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$. Con $\gamma(t) = (\cos t,
\sin t)$, $t \in \intcc0\pi$:

$$
\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .
$$

Con la parametrización por el grafo $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$, con $x$ de $1$ a $-1$ (¡atención al sentido!):

$$
\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x
= \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x
= \frac\pi2
$$

($x = \sin u$ la reduce a una [integral de Wallis](#pb-b2-multint-1)). El mismo valor, como garantiza la [Proposición 20.2](#prop-b2-multint-lineinv); pero solo porque ambos recorridos van de $(1,0)$ a $(-1,0)$: invertir el sentido cambia el signo. Cerrar el camino a lo largo del eje $x$ (donde $\dd
y = 0$) no añade nada, y el total $\frac\pi2$ es el [área](#def-b2-multint-domain) del semidisco: el primer caso de las fórmulas de [área](#def-b2-multint-domain) por la frontera de Green–Riemann de más abajo.

**Definición 20.5 (Formas exactas y cerradas).**

La forma $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de clase $\mathcal{C}^0$ es *exacta* sobre $U$ si existe $f \in
\mathcal{C}^1(U)$ (un *potencial*) con $\omega
= \dd f$, es decir, $P = f_x$ y $Q = f_y$. Una forma $\mathcal{C}^1$ es *cerrada* si $P_y = Q_x$ sobre $U$.

**Teorema 20.6 (Teorema fundamental para las integrales curvilíneas).**

Si $\omega = \dd f$ es [exacta](#def-b2-multint-exact) y $\gamma$ es un arco $\mathcal{C}^1$ a trozos en $U$ que va de $A$ a $B$, entonces

$$
\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .
$$

En particular, la integral de una [forma exacta](#def-b2-multint-exact) a lo largo de cualquier arco cerrado es nula, y toda forma $\mathcal{C}^1$ [exacta](#def-b2-multint-exact) es cerrada.

**Demostración.** $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) +
f_y(\gamma(t))y'(t)$ por la regla de la cadena ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc)), de modo que el integrando de la [Definición 20.1](#def-b2-multint-lineint) es la derivada de $t \mapsto
f(\gamma(t))$, y el teorema fundamental del cálculo da el resultado en cada trozo; los valores intermedios telescopian. Que las formas $\mathcal{C}^1$ [exactas](#def-b2-multint-exact) sean cerradas es el teorema de Schwarz: $P_y
= f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. ∎

**Ejemplo 20.7 (Reconstruir un potencial).**

Sea $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sobre $\R^2$. Es cerrada: ambas derivadas cruzadas valen $\eu^{xy}(1 +
xy)$. Para hallar un [potencial](#def-b2-multint-exact), intégrese $P$ en $x$ con $y$ fijo:

$$
f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),
$$

y ajústese después $c$ igualando $f_y$: $x\,\eu^{xy} + c'(y) =
x\,\eu^{xy} + 2y$ da $c(y) = y^2$. Así pues, $f(x,y) = \eu^{xy} +
y^2$, y para todo arco $\mathcal C^1$ a trozos de $(0,0)$ a $(1,1)$,

$$
\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,
$$

independientemente del camino; la receta en dos pasos (integrar en $x$, corregir en $y$) es el recíproco práctico del [Teorema 20.6](#thm-b2-multint-ftc) sobre los dominios donde las [formas cerradas](#def-b2-multint-exact) son [exactas](#def-b2-multint-exact).

**Ejemplo 20.8 (Cerrada no implica exacta).**

Sobre $U = \R^2 \setminus \{0\}$, la *forma ángulo*

$$
\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}
$$

es cerrada (cálculo directo: tanto $P_y$ como $Q_x$ valen $\frac{y^2
- x^2}{(x^2+y^2)^2}$), pero su integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$ (el mismo cálculo del [Ejemplo 20.3](#ex-b2-multint-work), dividido por $1$): $\omega$ no es [exacta](#def-b2-multint-exact) sobre $U$. Localmente, $\omega = \dd\theta$ para una determinación $\theta$ del ángulo polar; el fallo es global: el ángulo no puede definirse de manera [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) alrededor del pinchazo. Sobre dominios sin agujeros la patología desaparece: en un [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) *estrellado*, toda forma $\mathcal{C}^1$ cerrada es [exacta](#def-b2-multint-exact) (lema de Poincaré, [Ejercicio 20.8](#exo-b2-multint-8)).

## 20.2 Integrales dobles

Damos por sabida la teoría de la integral de Riemann en una variable (volumen del primer año, y [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration)) y esbozamos su versión de dos variables. Una función $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre un rectángulo $R = [a, b] \times [c, d]$ tiene una integral doble $\iint_R f$, definida por sumas de Riemann sobre retículas exactamente igual que en una variable, y calculada por iteración:

**Teorema 20.9 (Fubini sobre un rectángulo).**

Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$
\iint_R f
= \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x
= \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .
$$

**Demostración.** Póngase $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$. La [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme de $f$ sobre el [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) $R$ hace [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a $F$ (estimación dominada: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$). Subdivídanse ahora $[a,b]$ y $[c,d]$ en $n$ partes iguales, lo que da una retícula de celdas $R_{ij}$ de [área](#def-b2-multint-domain) $\Delta x\,\Delta y$. En cada celda, $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq
\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq
\sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ por la monotonía de la integral de una variable (aplicada dos veces). Sumando sobre las celdas, la integral iterada $\int_a^b F$ queda encajada entre las sumas de Riemann inferior y superior de la retícula; y por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme, ambas sumas convergen al valor común que define $\iint_R f$ cuando $n \to \infty$. El mismo argumento se aplica con los papeles de $x$ e $y$ intercambiados, así que ambas integrales iteradas valen $\iint_R f$. ∎

**Observación 20.10.**

La [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre un rectángulo [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) hace un trabajo real en la demostración de Fubini: proporciona la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme que encaja las sumas de Riemann. Para integrandos más salvajes, el enunciado falla de verdad: hay funciones cuyas dos integrales iteradas existen y difieren. El teorema general honesto, con la integrabilidad como única hipótesis, es el teorema de Fubini para la integral de Lebesgue, demostrado en el volumen del tercer año; todo lo de este capítulo se queda en el marco [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), donde la demostración elemental anterior es completa.

**Definición 20.11 (Dominios elementales).**

Un dominio $D \subseteq \R^2$ es *$y$-elemental* si

$$
D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\
\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}
$$

con $\varphi_1 \leq \varphi_2$ [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $[a,b]$ ($x$-elemental: simétricamente). Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre un $D$ $y$-elemental,

$$
\iint_D f
= \int_a^b\Bigl(
\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,
$$

y se comprueba (extendiendo $f$ por un argumento de aproximación, o subdividiendo) que cuando $D$ es elemental en ambas direcciones las dos integrales iteradas coinciden. Los dominios que se cortan en un número finito de trozos elementales se tratan por aditividad, y el *área* de $D$ es $\operatorname{Area}(D) = \iint_D 1$.

**Ejemplo 20.12.**

Sobre el triángulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$:

$$
\iint_D xy \,\dd x\,\dd y
= \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x
= \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .
$$

Intercambiando el orden ($x$ de $y$ a $1$): $\int_0^1
y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 -
y^2}{2}\,\dd y = \frac18$; el mismo valor, otro cálculo: elegir bien el orden de integración es la mitad del oficio.

**Ejemplo 20.13 (Cuando solo funciona un orden).**

Calculemos $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1
\eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. Tal como está escrita, la integral interior $\int\eu^{y^2}\dd y$ no tiene primitiva elemental: el cálculo se atasca. Pero el dominio es el triángulo $0 \leq x \leq y \leq 1$, que es elemental en ambas direcciones; intercambiando el orden,

$$
I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y
= \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y
= \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .
$$

La variable interior $x$ no aparecía en ninguna parte del integrando, así que integrarla primero produjo exactamente el factor $y$ que hace inmediata la integral exterior. Moraleja: Fubini no es solo una licencia para iterar, sino una licencia para *elegir*, y el orden correcto puede convertir una integral imposible en una línea. Dibújese siempre el dominio y léanse sus dos descripciones antes de empezar.

**Teorema 20.14 (Cambio de variables).**

Sea $\Phi \colon U' \to U$ un difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre [abiertos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) de $\R^2$, sea $K \subseteq U$ un dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) descompuesto en trozos elementales con $K' = \Phi^{-1}(K)$, y sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $K$. Entonces

$$
\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y
= \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\,
\abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 20.15.**

La demostración completa —aproximar $\Phi$ por su [diferencial](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) sobre una retícula fina y controlar las celdas de la frontera— es larga aunque no profunda; se hace por entero en la teoría de la medida del tercer año, como consecuencia de la teoría de Lebesgue. La heurística es la imagen ya usada para el [área](#def-b2-multint-domain) de una superficie: un cuadradito de lado $\dd u$ en $(u, v)$ se aplica, a primer orden, sobre el paralelogramo [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por $\Phi_u\,\dd u$ y $\Phi_v\,\dd v$, cuya [área](#def-b2-multint-domain) es $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ ([Lema 19.18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/19-superficies#lem-b2-surfaces-lagrange)).

**Observación 20.16 (Método: elegir el cambio de variables).**

Tres reflejos cubren la mayoría de los casos. *Simetría del integrando*: $x^2 + y^2$ pide coordenadas polares, y una estructura de producto pide conservar los ejes cartesianos. *Forma de la frontera*: unas fronteras $u(x,y) = c_1$, $v(x,y) = c_2$ están suplicando las propias coordenadas $(u, v)$, como en el ejemplo de la región hiperbólica de más abajo: el dominio se convierte en un rectángulo, que es toda la victoria. *Estructura lineal*: las expresiones en $x + y$ y $x - y$ invitan a la rotación de $45$ grados o a una cizalla ([Ejemplo 20.18](#ex-b2-multint-affine)). En todos los casos, tres casillas que marcar antes de integrar: que la aplicación sea una biyección del dominio nuevo sobre el viejo; que su jacobiano se calcule *en el sentido que realmente se usa* (invirtiendo al final si resulta más fácil); y que el jacobiano entre con su valor absoluto.

**Ejemplo 20.17 (Coordenadas polares).**

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ tiene

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\
\sin\alpha & \rho\cos\alpha
\end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = \rho ,
$$

de modo que $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$. Para el disco $D_R$ de radio $R$:

$$
\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr)
\xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .
$$

Comparando con el cuadrado $[-R, R]^2$ (encajado entre los discos $D_R$ y $D_{R\sqrt2}$, con todos los integrandos positivos) resulta $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$:

$$
\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }
$$

la integral de Gauss otra vez, ahora con su demostración más famosa (compárese con la deducción de una variable del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration)).

**Ejemplo 20.18 (Cambios de variables afines).**

Para una [aplicación afín](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-subspace) $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ con $M$ invertible, el jacobiano es la matriz constante $M$: las [áreas](#def-b2-multint-domain) quedan multiplicadas por el factor constante $\abs{\det M}$; la promesa hecha en el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#ch-b2-affine) es ya un teorema. Dos usos inmediatos. La elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ es la imagen del disco unidad por $(u, v) \mapsto (au, bv)$, de modo que su [área](#def-b2-multint-domain) es $ab \cdot \pi$, sin cálculo alguno. Y para la integral de $f(x + y)$ sobre el cuadrado $K = \intcc01^2$, la cizalla $\Phi(u, v)
= (u - v, v)$ (de [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $1$) la convierte en una integral de $f(u)$ sobre un paralelogramo, que Fubini rebana a $u$ constante: con $f = \exp$,

$$
\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y
= \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,
$$

como confirma la estructura de producto. Elegir coordenadas adaptadas al integrando —y no al dominio— es la otra mitad del oficio.

**Ejemplo 20.19 (Coordenadas adaptadas a un dominio curvilíneo).**

Sea $D$ la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas $xy = 1$ y $xy = 3$ y las rectas $y = x$ e $y = 3x$. En las coordenadas $u = xy$, $v = y/x$ el dominio se convierte en el cuadrado $\intcc13 \times \intcc13$; invirtiendo,

$$
x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv},
\qquad
\det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}
$$

(un cálculo de dos líneas con $x = u^{1/2}v^{-1/2}$, $y =
u^{1/2}v^{1/2}$). De ahí,

$$
\operatorname{Area}(D)
= \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v}
= 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .
$$

Intentar rebanar $D$ en coordenadas cartesianas obliga a cortarlo en tres trozos con fronteras hiperbólicas y lineales: factible, desagradable y propenso a errores. La moraleja repite el [Ejemplo 20.18](#ex-b2-multint-affine) con toda su fuerza: léanse las ecuaciones de la frontera y déjese que sean *ellas* las que elijan las coordenadas; el jacobiano convierte entonces el [área](#def-b2-multint-domain) de la celda de la malla curvilínea, exactamente como hacía $\rho$ para las coordenadas polares.

**Ejemplo 20.20 (Valores medios).**

El *valor medio* de $f$ sobre un dominio $D$ es $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$. Muestra: la distancia media al centro para un punto elegido uniformemente en el disco de radio $R$ es

$$
\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R
\rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,
$$

y no $R/2$: el [área](#def-b2-multint-domain) uniforme pone más masa en los radios grandes (la corona de radio $\rho$ tiene peso proporcional a $\rho$), así que la media queda más allá de la mitad. Acertar con este factor es exactamente el jacobiano polar en acción, y la misma ponderación explica que el centroide de la semibola calculado más adelante en el capítulo sea $\bar z = 3R/8$ y no $R/2$.

## 20.3 El teorema de Green–Riemann

**Teorema 20.21 (Green–Riemann).**

Sea $K \subseteq \R^2$ un dominio [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) elemental en ambas direcciones (o una unión finita de tales, pegados a lo largo de segmentos), con frontera $\partial K$ una curva cerrada $\mathcal{C}^1$ a trozos orientada en sentido *antihorario* (el dominio queda a la izquierda). Para $P, Q$ de clase $\mathcal{C}^1$ en un entorno de $K$:

$$
\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y
= \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}
- \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .
$$

**Demostración.** Primero, ambos miembros son aditivos al cortar $K$ a lo largo de un segmento en dos trozos $K_1, K_2$: las integrales dobles se suman por la aditividad de $\iint$; y en cuanto a las integrales de frontera, las fronteras antihorarias de $K_1$ y de $K_2$ recorren cada una el corte interior una vez, en sentidos *opuestos*, de modo que en la suma

$$
\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2}
= \oint_{\partial K} + (\text{el corte, en ambos sentidos})
= \oint_{\partial K},
$$

los dos pasos por el corte se cancelan ([Proposición 20.2](#prop-b2-multint-lineinv)) y solo sobrevive la frontera exterior. Iterando un número finito de cortes, basta tratar un dominio elemental. Demostramos $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ sobre un dominio $y$-elemental $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y
\leq \varphi_2(x)\}$; la identidad $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ es [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) ($x$-elemental), y el teorema es su suma.

Calculemos la integral doble por Fubini y el teorema fundamental de una variable:

$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y
= \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr)
\,\dd x .
$$

Ahora bien, la frontera de $D$, en sentido antihorario, consta del grafo inferior $y = \varphi_1(x)$ recorrido de izquierda a derecha, del segmento vertical derecho $x = b$ (hacia arriba), del grafo superior $y = \varphi_2(x)$ recorrido *de derecha a izquierda* y del segmento vertical izquierdo $x = a$ (hacia abajo). A lo largo de los segmentos verticales, $x$ es constante, así que aportan $0$ a $\oint P\,\dd x$; y los grafos, parametrizados por $x$, dan

$$
\oint_{\partial D} P\,\dd x
= \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x
- \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x
= -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y .
\qedhere
$$

∎

**Corolario 20.22 (Área por la frontera).**

Bajo las hipótesis del [Teorema 20.21](#thm-b2-multint-green),

$$
\operatorname{Area}(K)
= \oint_{\partial K} x\,\dd y
= -\oint_{\partial K} y\,\dd x
= \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .
$$

**Demostración.** Aplíquese Green–Riemann a $(P, Q) = (0, x)$, $(-y, 0)$ y $\frac12(-y, x)$: cada vez, $Q_x - P_y = 1$. ∎

**Observación 20.23 (Elegir entre las tres fórmulas del área).**

Las tres fórmulas de frontera son iguales, pero no intercambiables en la práctica. Úsese $\oint x\,\dd y$ cuando la parametrización haga sencillo $\dd y$ (grafos sobre el eje $y$), $-\oint y\,\dd x$ simétricamente, y la semisuma [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) cuando la parametrización trate a $x$ y a $y$ por igual: para la elipse produjo un integrando constante, sin ninguna linealización trigonométrica. Sobre fronteras poligonales, la semisuma se convierte en la fórmula del cordón del [Ejercicio 20.12](#exo-b2-multint-12), el algoritmo de los agrimensores. Y cuando la parametrización dada recorre la frontera en sentido horario, las tres fórmulas devuelven *menos* el [área](#def-b2-multint-domain): un resultado negativo no es un error de cálculo, sino un informe de orientación; cámbiese el signo, o la parametrización.

**Ejemplo 20.24 (Área de la elipse).**

Para $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $t \in [0, 2\pi]$:

$$
\operatorname{Area}
= \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t
- b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t
= \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .
$$

**Ejemplo 20.25 (Green–Riemann como contraste).**

Tomemos $P = -y^3$, $Q = x^3$ sobre el disco unidad cerrado $D$. Lado de la frontera, con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$:

$$
\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t
= 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,
$$

por linealización ($\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 + \tfrac14\cos4t$). Lado del interior:

$$
\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y
= \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y
= 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \frac{3\pi}2 .
$$

El mismo número, con dos cálculos muy distintos; y ese es el uso práctico: el lado de la identidad de Green que resulte más fácil se convierte en el cálculo, y el otro en la verificación. Para circulaciones de campos polinómicos alrededor de curvas cerradas, la integral doble es casi siempre el lado fácil.

**Observación 20.26.**

Green–Riemann explica el [Ejemplo 20.8](#ex-b2-multint-angleform): para una [forma cerrada](#def-b2-multint-exact) ($Q_x = P_y$), la integral alrededor de la frontera de cualquier dominio contenido en $U$ se anula. La forma ángulo deja de ser [exacta](#def-b2-multint-exact) solo porque el pinchazo del origen impide que el disco limitado por la circunferencia unidad esté dentro de $U$: las [integrales curvilíneas](#def-b2-multint-lineint) de [formas cerradas](#def-b2-multint-exact) detectan los agujeros del dominio. (Llevada más lejos, esta observación se convierte en la cohomología de De Rham.)

## 20.4 Integrales triples

La teoría se extiende a tres variables sin ninguna idea nueva: Fubini reduce $\iiint$ a tres integrales de una variable (bien *rebanando*: $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ sobre las rebanadas horizontales $K_z$, bien *apilando*: integrando primero en $z$ a lo largo de barritas verticales), y la fórmula del cambio de variables vale con el jacobiano $3 \times 3$.

**Ejemplo 20.27 (Coordenadas cilíndricas y esféricas).**

*Cilíndricas* $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha, z)$: $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$. *Esféricas* $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\
r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ($\theta$ la [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length), $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ la latitud): desarrollando el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $3 \times 3$ por la última fila,

$$
\det J = r^2\cos\varphi ,
\qquad
\dd x\,\dd y\,\dd z
= r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .
$$

[Volumen de la bola](#pb-b2-multint-1) de radio $R$:

$$
V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2}
r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r
= \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2
= \boxed{\frac43\pi R^3} ,
$$

saldando por fin la fórmula admitida en los capítulos de volúmenes de los libros anteriores.

**Ejemplo 20.28 (El tetraedro, dos veces).**

El volumen de $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$, apilando: para $(x, y)$ fijo en el triángulo $x + y \leq 1$, $z$ recorre $\intcc0{1 - x - y}$, luego

$$
V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x
= \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .
$$

Rebanando: la sección a la altura $z$ es el triángulo $\{x, y \geq
0,\ x + y \leq 1 - z\}$, de [área](#def-b2-multint-domain) $\frac{(1-z)^2}2$, y $V =
\int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ de nuevo; los dos cálculos son las mismas integrales en otro orden, que es todo lo que afirma Fubini. El valor $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ es la fórmula del cono ([Ejemplo 20.30](#ex-b2-multint-cone)) con base triangular, y la versión $n$-dimensional $1/n!$ se demuestra exactamente con este rebanado en el problema de fin de semana.

**Ejemplo 20.29 (Centroide de una semibola).**

Para la semibola superior $H$ de radio $R$ ($z \geq 0$), la altura del centroide es $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$, con $V = \frac23\pi
R^3$. En coordenadas esféricas ($z = r\sin\varphi$, $\varphi \in
\intcc0{\pi/2}$):

$$
\iiint_H z
= \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta
\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi
= \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,
$$

de modo que

$$
\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :
$$

el punto de equilibrio de un hemisferio macizo está a tres octavos del radio por encima de la cara plana, por debajo de la altura media $R/2$, como debe ser, ya que el sólido es más grueso cerca de la base. Todo cálculo de centroide tiene esta forma: una integral de momento, un volumen, un cociente y una comprobación de verosimilitud contra la geometría.

**Ejemplo 20.30 (Volumen por rebanado: el cono).**

Un cono de [área](#def-b2-multint-domain) de base $A$ y altura $h$ (vértice arriba, base en $z
= 0$): la rebanada a la altura $z$ es la base escalada por el factor $(1 - z/h)$, de [área](#def-b2-multint-domain) $A(1 - z/h)^2$. De ahí,

$$
V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :
$$

el tercio de las fórmulas escolares, válido para *cualquier* forma de base; el rebanado lo convierte en la integral de un cuadrado.

**Ejemplo 20.31 (Umbrales de integrabilidad en el plano).**

¿Para qué $\alpha > 0$ converge $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd x\,\dd
y$ sobre el disco unidad pinchado $D$ (como límite sobre coronas $\varepsilon \leq \rho \leq 1$)? En coordenadas polares,

$$
\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\,
\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,
$$

que converge cuando $\varepsilon \to 0$ si y solo si $1 - \alpha >
-1$, es decir, $\alpha < 2$: en dimensión $2$, el exponente crítico de singularidad es la propia dimensión, pues el $\rho$ extra del jacobiano suaviza la singularidad en una potencia. (Igualmente, $\alpha < 3$ para una singularidad puntual en el espacio, vía $r^2$.) Esta contabilidad radial es la manera de decidir la integrabilidad de un vistazo en el marco de Lebesgue del tercer año, y es la razón de que $\iiint 1/r$ convergiera sin esfuerzo en el [Ejercicio 20.7](#exo-b2-multint-7).

**Observación 20.32 (Errores frecuentes).**

(i) *Orientación*: una [integral curvilínea](#def-b2-multint-lineint) cambia de signo con el sentido del recorrido, y Green–Riemann exige la frontera en sentido antihorario (con el dominio a la izquierda); para un dominio con un agujero, la frontera interior se recorre en sentido *horario*. (ii) *El jacobiano entra con valor absoluto*: un cambio de variables nunca produce [área](#def-b2-multint-domain) negativa, y olvidar $\abs{\det}$ suele invertir los signos justo cuando la aplicación invierte la orientación. (iii) *El factor polar $\rho$*: $\dd
x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$, no $\dd\rho\,\dd\alpha$; el error más frecuente de todo el capítulo, que el análisis dimensional caza, ya que $\dd\rho\,\dd\alpha$ tiene dimensión de longitud y no de [área](#def-b2-multint-domain). (iv) *Integrales dobles impropias*: los límites sobre discos crecientes y sobre cuadrados crecientes coinciden aquí porque los integrandos son positivos (encaje); con integrandos de signo variable el límite puede depender del agotamiento, y no se afirma nada sin convergencia absoluta. (v) *Dominios frente a integrandos*: un integrando de tipo producto sobre un dominio que no es producto *no* factoriza la integral; la factorización necesita ambas cosas, como en el cuadrado del [Ejemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar).

**Observación 20.33 (Perspectivas dentro de este volumen).**

La integral de Gauss calculada aquí está calladamente en todas partes en los capítulos de probabilidad: la constante $\sqrt\pi$ que hay dentro de la fórmula de Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#thm-b2-comparison-stirling)) es esta integral del capítulo y, a través de Stirling, fija la asintótica $1/\sqrt{\pi n}$ de las probabilidades de retorno del paseo aleatorio del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#ch-b2-proba). Las [integrales de Wallis](#pb-b2-multint-1) del problema de fin de semana reaparecen también allí, impulsando las mismas estimaciones del coeficiente binomial central. En el otro sentido, los elementos de [área](#def-b2-multint-domain) y de volumen de este capítulo completan la geometría del [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces), y la fórmula de Green recalcula las [áreas](#def-b2-multint-domain) de [envolventes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1) del [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#ch-b2-curves) (la [astroide](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1), en el [Ejercicio 20.5](#exo-b2-multint-5)). Un capítulo, tres servicios: medida para la geometría, constantes para la probabilidad y la disciplina del cambio de variables usada por ambas.

## 20.5 Ejercicios

**Ejercicio 20.1 ★.**

Calcula $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ a lo largo de: (a) el segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$; (b) el arco de parábola $y = x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$. ¿Es [exacta](#def-b2-multint-exact) la forma?

**Solución de Ejercicio 20.1.**

(a) Segmento $\gamma(t) = (t, t)$, $t \in [0,1]$:

$$
\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y
= \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .
$$

(b) Parábola $\gamma(t) = (t, t^2)$:

$$
\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t
= \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .
$$

Los dos valores difieren, de modo que la integral depende del camino: la forma *no* es [exacta](#def-b2-multint-exact); coherentemente, $P_y = 2y \neq 1 =
Q_x$, así que ni siquiera es cerrada.

**Ejercicio 20.2 ★.**

Prueba que $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ es cerrada sobre $\R^2$, halla un [potencial](#def-b2-multint-exact) y calcula $\int_\gamma\omega$ a lo largo de un arco cualquiera de $(0, 0)$ a $(1, 2)$.

**Solución de Ejercicio 20.2.**

$P = 2xy + y^3$, $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$: $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$, cerrada sobre $\R^2$. Búsquese $f$ con $f_x = P$: $f = x^2y + xy^3 +
g(y)$; después, $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ fuerza $g'(y) = 1$, digamos $g(y) = y$. Así pues,

$$
f(x, y) = x^2y + xy^3 + y
$$

es un [potencial](#def-b2-multint-exact) ($\R^2$ es estrellado, de modo que tenía que existir un [potencial](#def-b2-multint-exact) por el lema de Poincaré; pero exhibirlo es más rápido). Por el [Teorema 20.6](#thm-b2-multint-ftc), para todo arco de $(0,0)$ a $(1,2)$:

$$
\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .
$$

**Ejercicio 20.3 ★.**

Calcula $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$, donde $D$ es el dominio limitado por $y = x^2$ e $y = x$ ($0 \leq x \leq 1$), en los dos órdenes de integración.

**Solución de Ejercicio 20.3.**

El dominio es $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$. Con $y$ primero:

$$
\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x
= \int_0^1\Bigl(x(x - x^2)
+ \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x
= \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x
= \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .
$$

Con $x$ primero: la rebanada a la altura $y \in [0, 1]$ es $y \leq x
\leq \sqrt y$, luego

$$
\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y
= \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2}
+ y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y
= \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .
$$

**Ejercicio 20.4 ★★.**

Usando coordenadas polares, calcula $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 +
x^2 + y^2)^2}$ sobre todo el plano (como límite sobre discos), y $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ sobre el cuarto de disco $D' = \{x, y
\geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$.

**Solución de Ejercicio 20.4.**

*Primera integral.* Sobre el disco $D_R$, en coordenadas polares:

$$
\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R
\frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2}
= 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R
= \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr)
\xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .
$$

*Segunda integral.* El cuarto de disco es $0 \leq \alpha \leq
\frac\pi2$, $0 \leq \rho \leq 1$, y $xy =
\rho^2\cos\alpha\sin\alpha$:

$$
\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha
\int_0^1 \rho^3\,\dd\rho
= \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .
$$

**Ejercicio 20.5 ★★.**

Calcula el [área](#def-b2-multint-domain) encerrada por la [astroide](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1) $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3
t$, $t \in [0, 2\pi]$, usando el [Corolario 20.22](#cor-b2-multint-area). *(Linealiza $\sin^2 t\cos^2 t$.)*

**Solución de Ejercicio 20.5.**

Por el [Corolario 20.22](#cor-b2-multint-area), con $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3
t$: $x' = -3\cos^2 t\sin t$, $y' = 3\sin^2 t\cos t$, luego

$$
xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t
= 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t
= \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .
$$

De ahí,

$$
A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t
= \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .
$$

(La [astroide](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#pb-b2-curves-1) cabe en el disco unidad, de [área](#def-b2-multint-domain) $\pi$; tres octavos de $\pi$ es verosímil para su forma de estrella de cuatro cúspides.)

**Ejercicio 20.6 ★★.**

Calcula el volumen del sólido limitado inferiormente por el paraboloide $z = x^2 + y^2$ y superiormente por el plano $z = 1$, por los dos métodos: apilando (intégrese $1 - x^2 - y^2$ sobre el disco unidad, en coordenadas polares) y rebanando (las rebanadas horizontales son discos de radio $\sqrt z$).

**Solución de Ejercicio 20.6.**

*Apilando:* sobre cada $(x, y)$ del disco unidad $D$, $z$ va de $x^2 + y^2$ a $1$:

$$
V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .
$$

*Rebanando:* la rebanada a la altura $z \in [0, 1]$ es el disco $x^2 + y^2 \leq z$, de [área](#def-b2-multint-domain) $\pi z$:

$$
V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .
$$

**Ejercicio 20.7 ★★.**

(Atracción gravitatoria de una bola: el teorema de Newton, caso particular) Prueba que el volumen de la corona esférica $a \leq r
\leq b$ es $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ y calcula $\iiint_{B} \frac{\dd
x\,\dd y\,\dd z}{r}$ sobre la bola $B$ de radio $R$ ($r$ la distancia al origen). *(Coordenadas esféricas.)*

**Solución de Ejercicio 20.7.**

En coordenadas esféricas, el elemento de volumen es $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Ejemplo 20.27](#ex-b2-multint-spherical)), y la parte angular integra $4\pi$ ($2\pi$ de $\theta$ y $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$). El volumen de la corona es

$$
\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).
$$

Para la segunda integral, el integrando $1/r$ depende solo de $r$:

$$
\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}
= \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r
= 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .
$$

(El integrando estalla en el origen, pero de manera inofensiva: $r^2/r = r$ es [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity); la integral sobre las coronas $\varepsilon
\leq r \leq R$ converge cuando $\varepsilon \to 0$, que es el sentido preciso del enunciado. Este tipo de cálculo es el primer paso hacia el teorema de Newton según el cual una bola homogénea atrae como una masa [puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) situada en su centro.)

**Ejercicio 20.8 ★★★.**

(Lema de Poincaré, caso estrellado) Sea $U$ estrellado respecto de $0$ (es decir, $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$) y sea $\omega = P\dd x + Q\dd y$ una forma $\mathcal{C}^1$ cerrada sobre $U$. Defínase

$$
f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .
$$

Usando la derivación bajo el signo integral ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration)) y $P_y = Q_x$, prueba que $f_x = P$ y $f_y
= Q$: toda [forma cerrada](#def-b2-multint-exact) sobre un [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) estrellado es [exacta](#def-b2-multint-exact).

**Solución de Ejercicio 20.8.**

El integrando $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ es $\mathcal{C}^1$ en $(x, y)$, [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $t$ y con derivadas parciales [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $[0,1] \times U$; la derivación bajo el signo integral ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration), aplicada sobre el intervalo [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) $[0,1]$ en $t$, donde la dominación es automática) da

$$
f_x(x, y)
= \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty)
+ ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .
$$

Usando que la forma es cerrada, $Q_x = P_y$:

$$
tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty)
= t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,
$$

de modo que el integrando es $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx,
ty) = \frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ y

$$
f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .
$$

Simétricamente, $f_y = Q$ (el mismo cálculo usando $P_y = Q_x$ en el otro sentido). Nótese dónde entra la hipótesis: $f$ se define integrando a lo largo del segmento $[0, M]$, que está en $U$ precisamente porque $U$ es estrellado.

**Ejercicio 20.9 ★★★.**

(La integral de Dirichlet por integración doble) Justifica y explota

$$
\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x
\quad\text{frente a}\quad
\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y
$$

sobre $[0, A] \times [0, \infty)$: prueba que $\int_0^A \frac{\sin
x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos
A}{1 + y^2}\dd y$ y recupera $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x =
\frac\pi2$, comparando con la demostración por [integrales con parámetro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#thm-b2-integration-continuity) del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration).

**Solución de Ejercicio 20.9.**

Sobre la banda $[0, A] \times [0, \infty)$, la función $(x, y)
\mapsto e^{-xy}\sin x$ no es [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) integrable hasta $y =
\infty$ de manera uniforme en el sentido ingenuo, pero cada integral iterada converge y su igualdad se sigue de Fubini sobre $[0, A]
\times [0, B]$ más un límite $B \to \infty$ (la cola $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq
\int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx}
\dd x\to 0$, usando $\abs{\sin x} \leq x$).

*Con $y$ primero:* $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ para $x > 0$, de modo que la primera integral es $\int_0^A
\frac{\sin x}{x}\,\dd x$.

*Con $x$ primero:* dos integraciones por partes (o tomar la parte imaginaria de $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$) dan

$$
\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x
= \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .
$$

Integrando en $y$ sobre $[0, \infty)$, el término $\int_0^\infty
\frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ se separa:

$$
\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x
= \frac{\pi}{2}
- \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .
$$

El resto está acotado por $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 +
y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y
\to 0$ cuando $A \to \infty$ (por convergencia dominada, o con la cota burda $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$, que da $\frac{3}{2A}$). Por tanto, $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x =
\frac\pi2$: el mismo valor obtenido en el [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration) derivando una [integral con parámetro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#thm-b2-integration-continuity); aquí es Fubini quien hace el trabajo.

**Ejercicio 20.10 ★★★.**

(Desigualdad isoperimétrica vía Wirtinger) Sea $\gamma$ una curva cerrada simple $\mathcal{C}^1$ de [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi$, parametrizada por [longitud de arco](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) sobre $[0, 2\pi]$, que encierra un [área](#def-b2-multint-domain) $A$. Usando el [Corolario 20.22](#cor-b2-multint-area), Parseval y la desigualdad de Wirtinger (ejercicios del [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier)), demuestra que $A \leq \pi$, con igualdad para la circunferencia. *(Normaliza $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$; escribe $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd
x$ y acota $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ con cuidado, vía $2A =
\int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ y $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$.)*

**Solución de Ejercicio 20.10.**

Parametrícese por [longitud de arco](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $s \in [0, 2\pi]$, de modo que $x'^2 + y'^2 = 1$, y trasládese para que $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s =
0$. Por el [Corolario 20.22](#cor-b2-multint-area),

$$
2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x
= \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .
$$

Integrando $\oint y\,\dd x$ por partes sobre el periodo (los términos de frontera se cancelan por periodicidad), $-\int yx' = \int y'x$, de manera que, de hecho, $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$. Entonces $2xy'
\leq x^2 + y'^2$ da

$$
2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s
= \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr)
= 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .
$$

La desigualdad de Wirtinger (ejercicios del [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier): para una función $\mathcal{C}^1$ $2\pi$-periódica de media nula, $\int x^2 \leq \int x'^2$) hace no negativa la última integral: $A
\leq \pi$. La igualdad exige la igualdad en Wirtinger ($x(s) = a\cos
s + b\sin s$) y en $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ($y' = x$ [puntualmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def)), lo que fuerza $y = a\sin s - b\cos s + c$: la curva es la circunferencia unidad (convenientemente centrada). Como una curva de [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $L$ se reescala a [longitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#def-b2-curves-length) $2\pi$, el enunciado general es $A
\leq \frac{L^2}{4\pi}$: entre todas las curvas cerradas de perímetro dado, la circunferencia encierra el mayor [área](#def-b2-multint-domain).

**Ejercicio 20.11 ★★.**

(Momentos de la bola) Para la bola $B$ de radio $R$ en $\R^3$, calcula $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ en coordenadas esféricas y deduce $\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ por simetría. Contrasta esto último con el cálculo por coronas $\int_0^R
r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$.

**Solución de Ejercicio 20.11.**

En coordenadas esféricas, $z = r\sin\varphi$ y $\dd x\,\dd y\,\dd z =
r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$:

$$
\iiint_B z^2
= \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi
= \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot
\Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \frac{4\pi R^5}{15}.
$$

Por la simetría de la bola al permutar coordenadas, $\iiint_B x^2 =
\iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$, de modo que $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2)
= 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$. Comprobación por coronas: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi R^5}5$; el integrando $r^2$ es constante sobre la esfera de radio $r$, de [área](#def-b2-multint-domain) $4\pi r^2$.

**Ejercicio 20.12 ★★.**

(Fórmula del cordón) Sea $K$ un polígono de vértices $(x_1, y_1),
\dots, (x_m, y_m)$ en orden antihorario (índices módulo $m$). Deduce del [Corolario 20.22](#cor-b2-multint-area) que

$$
\operatorname{Area}(K)
= \frac12\sum_{i=1}^m
\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,
$$

y comprueba la fórmula sobre el triángulo $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$.

**Solución de Ejercicio 20.12.**

Parametrícese el lado que va de $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ mediante $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i +
ty_{i+1}\bigr)$. Su contribución a $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd
x)$ es

$$
\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i +
tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i +
ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,
$$

y como $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$, esto vale

$$
\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i +
y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr)
= \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),
$$

pues los términos cruzados se cancelan. Sumando sobre los $m$ lados se obtiene la fórmula del cordón, por el [Corolario 20.22](#cor-b2-multint-area). Triángulo $(0,0), (1,0), (0,1)$: $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) +
(1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$, el [área](#def-b2-multint-domain) correcta.

## 20.6 Problema: el volumen de la bola en dimensión $n$

**Problema 20.1.**

Problema de fin de semana — $V_n =
\pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$, y la rareza de las dimensiones altas

El disco tiene [área](#def-b2-multint-domain) $\pi$, la bola tiene volumen $\frac43\pi$ — ¿y después? Este problema calcula el [volumen de la bola](#pb-b2-multint-1) unidad de $\R^n$ para todo $n$, dos veces (mediante una recursión por rebanado impulsada por las [integrales de Wallis](#pb-b2-multint-1), y después mediante la función $\Gamma$ y la integral de Gauss del [Ejemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar)), y lee después la geometría: los volúmenes alcanzan su máximo en la dimensión cinco y se precipitan a cero, y casi toda una bola de dimensión alta se esconde en una fina corona junto a su frontera. Para una función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre una bola de $\R^n$, la integral se entiende como la integral iterada $n$ veces (rebanando una coordenada cada vez, como en el capítulo para $n \leq 3$); escribimos $B_n(R)$ para la bola cerrada de radio $R$ centrada en $0$, $v_n(R)$ para su volumen y $V_n = v_n(1)$, con $V_0 = 1$ por convenio.

**Parte I — La recursión por rebanado.**

1. Sustituyendo $x_i = Ru_i$ en cada una de las $n$ integrales iteradas, prueba que $v_n(R) = V_nR^n$ .
2. Rebanando $B_n(1)$ a lo largo de su última coordenada, prueba que $$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 -  t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$$
3. Con $t = \sin\theta$ , identifica la integral como una [integral de Wallis](#pb-b2-multint-1) : $\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t  = 2W_n$ , donde $W_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta =  \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
4. Demuestra las dos identidades de Wallis (intégrese por partes; después telescópese $nW_nW_{n-1}$): $$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2),  \qquad  W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$$

**Parte II — La recursión resuelta.**

5. Combina las preguntas 2–4 en la recursión de dos pasos $$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2}  \qquad (n \geq 2).$$
6. Deduce las [formas cerradas](#def-b2-multint-exact), para $k \geq 0$: $$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!},  \qquad  V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots  (2k+1)} .$$
7. Tabula numéricamente $V_1, \dots, V_7$ . Usando el cociente $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ y los valores de $2W_5$ y $2W_6$ , demuestra que la sucesión $(V_n)$ crece hasta su máximo $V_5  = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ y decrece a partir de entonces.
8. Prueba que $V_n \to 0$ más deprisa que toda sucesión geométrica, y que $\sum_{n\geq1} V_n$ converge: todas las bolas unidad juntas tienen volumen total finito.
9. Demuestra la identidad generatriz $$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2}  \qquad (x \in \R),$$ y deduce $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$.

**Parte III — Segunda vía: $\Gamma$ y la integral de Gauss.**

10. Prueba por Fubini (el integrando es un producto) que $$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm  x^2}\dd x  = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}  \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$$ la integral de Gauss $n$-dimensional, entendida como límite sobre cubos $\intcc{-R}{R}^n$.
11. Recuérdese $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd t$ ([Definición 9.17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#def-b2-integration-gamma)). A partir de $\Gamma(s+1) =  s\,\Gamma(s)$ ([Teorema 9.18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#thm-b2-integration-gammaprops)) y $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (sustitúyase $t = u^2$ e invóquese la integral de Gauss), calcula $$\Gamma(k + 1) = k!,  \qquad  \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) =  \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$$
12. Demuestra, por inducción a través de la recursión de la pregunta 5, la fórmula única $$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 +  1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$$ y comprueba que reproduce las dos [formas cerradas](#def-b2-multint-exact) de la pregunta 6.
13. Prueba que $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r =  \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ y deduce la identidad $$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r.$$ Interprétala: la masa gaussiana de $\R^n$ se recoge a lo largo de coronas esféricas cuya “[área](#def-b2-multint-domain) $(n-1)$-dimensional” a radio $r$ es $nV_nr^{n-1}$; ambos miembros están ya demostrados de manera independiente, así que la interpretación no cuesta nada.
14. Póngase $s_{n-1} = nV_n$ (el [área](#def-b2-multint-domain) de la esfera unidad $S^{n-1}$ , coherentemente con $v_n(R) = \int_0^R  s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Tabula $s_0, \dots, s_3$ y comprueba que $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

**Parte IV — Las dimensiones altas son extrañas.**

15. A partir de la fórmula de Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#thm-b2-comparison-stirling)) aplicada a $k!$, prueba que, para $n = 2k$ par, $$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}  \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2}  \qquad (n \to \infty, \ n \text{ par}),$$ y explica por qué la misma cota de decaimiento supergeométrico se extiende a los $n$ impares mediante la recursión.
16. La bola unidad está dentro del cubo $\intcc{-1}1^n$ , de volumen $2^n$ . Calcula la razón de llenado $V_n/2^n$ para $n  = 2, 3, 10$ y prueba que tiende a $0$ : en dimensión alta, esencialmente todo el cubo está en sus esquinas.
17. Prueba que la fracción de $v_n(1)$ situada a distancia $\varepsilon$ o menos de la esfera frontera es $1 - (1 -  \varepsilon)^n \to 1$ ; numéricamente, ¿qué fracción de una bola de dimensión $100$ está en la corona exterior de grosor el $1\,\%$ ?
18. Demuestra la asintótica de Wallis $W_n \sim  \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ *(monotonía de $(W_n)$, el cociente $W_n/W_{n-2} \to 1$ y $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$)* , y la cota inferior $W_n \geq \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ para todo $n$ .
19. (Concentración en una banda) La fracción de la bola unidad con primera coordenada más allá de $\delta$ es $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$. Usando $1 - u \leq \eu^{-u}$ y la cota de la cola $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq  \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$, prueba que esa fracción es a lo sumo $$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta}  \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$$ y concluye: para $\delta = s/\sqrt{n-1}$, toda la bola salvo una fracción $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ está en la banda $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$. Una bola de dimensión alta es, estadísticamente, una tortita fina en todas las direcciones a la vez.
20. Ensambla las preguntas 16–19 en un párrafo: dónde está el volumen de $B_n(1)$ (junto a la esfera frontera y, a la vez, dentro de bandas de anchura $O(1/\sqrt n)$ de todo hiperplano por el centro), y por qué esas dos afirmaciones no se contradicen.

**Parte V — Otros cuerpos, y síntesis.**

21. (Símplice) Sea $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum  x_i \leq 1\}$ . Prueba por rebanado e inducción que $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
22. (Politopo cruzado) Deduce que $C_n = \{x : \sum\abs{x_i}  \leq 1\}$ tiene volumen $\frac{2^n}{n!}$ , y verifica el encaje $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ a nivel de volúmenes: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
23. Calcula $V_4$ de una tercera manera: rebana $\R^4 = \R^2  \times \R^2$ , integra el [área](#def-b2-multint-domain) del disco $(z, w)$ sobre el disco $(x, y)$ en coordenadas polares y recupera $V_4 =  \frac{\pi^2}2$ .
24. (Monte Carlo en apuros) Se sortea un punto uniformemente en el cubo $\intcc{-1}1^{20}$ . Prueba que la probabilidad de que caiga en la bola inscrita es $V_{20}/2^{20} \approx  2.5\cdot10^{-8}$ , de modo que hacen falta unos cuarenta millones de sorteos antes de esperar el primer acierto: estimar $V_n$ por muestreo de rechazo se derrumba en dimensión alta (la maldición de la dimensionalidad).
25. Síntesis. Dos deducciones independientes se encontraron en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : enumera qué teorema de este capítulo usó cada una (Fubini, cambio de variables, la integral de Gauss en polares) y qué insumos de una variable (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). ¿Dónde rehace el volumen del tercer año este cálculo con la teoría de Lebesgue, y qué añade?

**Solución de Problema 20.1.**

**1.** La bola $B_n(R)$ se describe mediante cotas iteradas $-R
\leq x_n \leq R$, después $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 - x_n^2}$, y así sucesivamente; sustituir $x_i = Ru_i$ en cada una de las $n$ integrales de una variable multiplica cada una por $R$ y lleva las cotas a las de $B_n(1)$: $v_n(R) = R^n\,v_n(1) = V_nR^n$.

**2.** Rebanando a lo largo de $x_n = t$: la rebanada de $B_n(1)$ es la bola $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$, de modo que, por la pregunta 1,

$$
V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t
= V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .
$$

**3.** Con $t = \sin\theta$, $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ y $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ sobre $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$:

$$
\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,
$$

y $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ intercambia las formas en seno y en coseno de $W_n$.

**4.** Escríbase $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ e intégrese $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ por partes (con $v =
\frac{\sin^{n-1}}{n-1}$):

$$
W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1}
\quad\Longrightarrow\quad
W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.
$$

De ahí, $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$: la sucesión $(nW_nW_{n-1})$ es constante e igual a $1\cdot W_1W_0 =
1\cdot\frac\pi2$, luego $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$.

**5.** Las preguntas 2–3 dan $V_n = 2W_nV_{n-1}$, dos veces:

$$
V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2}
= 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.
$$

**6.** A partir de $V_0 = 1$: $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2}
= \frac\pi kV_{2k-2}$, luego $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ por inducción. A partir de $V_1 = 2$: $V_{2k+1} =
\frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$, luego

$$
V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1}
= \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .
$$

**7.** $V_1 = 2$, $V_2 = \pi \approx 3.142$, $V_3 =
\frac{4\pi}3 \approx 4.189$, $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$, $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$, $V_6 = \frac{\pi^3}6 \approx
5.168$, $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$. El cociente de un paso es $V_n/V_{n-1} = 2W_n$, y $(W_n)$ es decreciente ($\sin^n \leq
\sin^{n-1}$ [puntualmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def)). Ahora bien, $2W_5 =
2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$, mientras que $2W_6 =
2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16}
< 1$: los cocientes superan $1$ hasta $n = 5$ y están por debajo de $1$ desde $n = 6$; $(V_n)$ crece hasta su máximo $V_5$ y después decrece.

**8.** Para $n \geq 13 > 4\pi$: $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n <
\tfrac12$, luego $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ con una constante fija; mejor aún, para todo $q > 0$, $2\pi/n < q^2$ para $n$ grande, de modo que $V_n/q^n \to 0$: el decaimiento vence a toda sucesión geométrica. La convergencia de $\sum V_n$ se sigue del cociente $V_n/V_{n-2} \to 0$ (compárese con una serie geométrica a partir de cierto rango).

**9.** $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi
x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$, la serie exponencial ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), convergente para todo $x$. En $x = 1$: $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$.

**10.** Sobre el cubo $\intcc{-R}R^n$, el integrando es el producto $\prod_i\eu^{-x_i^2}$, de modo que la integral iterada factoriza: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$. Haciendo $R
\to \infty$ y usando $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ ([Ejemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar)): $I_n = \pi^{n/2}$.

**11.** $t = u^2$ da $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty
t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$. Iterando $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$: $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) =
k!$, y

$$
\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr)
= \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots
\frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .
$$

**12.** Póngase $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$. Como $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac
n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$, resulta $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$: la misma recursión que $V_n$ (pregunta 5). Casos base: $F_1 =
\sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ y $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$. Por inducción, $V_n = F_n$ para todo $n$; y la pregunta 11 devuelve esto a las dos [formas cerradas](#def-b2-multint-exact) de la pregunta 6.

**13.** Con $r = \sqrt t$: $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r
= \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t =
\frac12\Gamma(\frac n2)$. De ahí,

$$
n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r
= V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr)
= V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .
$$

Demostrados ambos miembros, la identidad puede *leerse* como la descomposición en coronas de la integral gaussiana: la esfera de radio $r$ lleva [área](#def-b2-multint-domain) $nV_nr^{n-1}$, y el peso gaussiano $\eu^{-r^2}$ se integra sobre las coronas.

**14.** $s_0 = V_1 = 2$ (la $0$-esfera son dos puntos), $s_1 =
2V_2 = 2\pi$, $s_2 = 3V_3 = 4\pi$, $s_3 = 4V_4 = 2\pi^2$; y $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$: el [área](#def-b2-multint-domain) es la derivada radial del volumen.

**15.** Para $n = 2k$, Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#thm-b2-comparison-stirling)) da $k! \sim \sqrt{2\pi
k}\,(k/\eu)^k$, luego

$$
V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}
\sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}}
= \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2}
\qquad (n = 2k).
$$

Para $n$ impar: $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$, así que valen las mismas cotas de decaimiento supergeométrico (salvo un factor $2$ y un desplazamiento de uno en el exponente): para todo $q
> 0$, $V_n = o(q^n)$.

**16.** $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$; $V_3/8 = \pi/6 \approx
0.524$; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx 0.0025$. En general, $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} = \frac{2\pi}{4n} =
\frac{\pi}{2n} \to 0$: el cociente tiende a $0$ (supergeométricamente). La bola inscrita ocupa una fracción evanescente: el volumen del cubo emigra a sus esquinas.

**17.** Por la pregunta 1, la bola interior de radio $1 -
\varepsilon$ tiene volumen $V_n(1-\varepsilon)^n$, así que la corona exterior lleva la fracción $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$. Para $n =
100$ y $\varepsilon = 0.01$: $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99} \approx
\eu^{-1.005} \approx 0.366$: cerca del $63\,\%$ de la bola está a menos del $1\,\%$ de su superficie.

**18.** $(W_n)$ decrece, luego $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} =
\frac{n}{n-1}W_n$: por encaje, $W_{n-1}/W_n \to 1$. Multiplicando por $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$: $W_n^2 \sim \frac\pi{2n}$, es decir, $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$. Cota inferior: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} =
\frac{\pi}{2(n+1)}$, luego $W_n \geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ para todo $n$.

**19.** Numerador: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ da $(1 -
x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ y, con $a = \frac{n-1}2$,

$$
\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x
\leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x
\leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x
= \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}
= \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.
$$

Denominador: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ por la pregunta 18. Dividiendo se obtiene la cota mostrada. Para $\delta =
s/\sqrt{n-1}$ pasa a ser $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl(
\eu^{-s^2/2}/s\bigr)$, uniformemente en $n$: fuera de la banda $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ no hay casi volumen, para $s$ moderadamente grande; y por simetría lo mismo vale en todas las direcciones.

**20.** Las dos afirmaciones conviven porque describen coordenadas distintas del mismo punto. Casi todo punto de $B_n(1)$ tiene [norma](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) próxima a $1$ (pregunta 17: concentración radial junto a la esfera) y, sin embargo, cada una de sus $n$ coordenadas es pequeña, del orden de $1/\sqrt n$ (pregunta 19), lo que es coherente, ya que $n$ coordenadas de tamaño $1/\sqrt n$ tienen [norma](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) de orden $1$. El volumen en dimensión alta se concentra donde todas las coordenadas se reparten por igual el presupuesto de [norma](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm): junto a la esfera, pero lejos de todos los polos de los ejes coordenados.

**21.** Rebánese $\Delta_n$ en $x_n = t \in \intcc01$: la rebanada es $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 - t\} =
(1-t)\Delta_{n-1}$, de volumen $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ por homogeneidad. Así pues,

$$
\operatorname{vol}(\Delta_n) =
\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t =
\frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n}
\quad\Longrightarrow\quad
\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.
$$

**22.** Los $2^n$ ortantes de signos cortan $C_n$ en $2^n$ copias de $\Delta_n$ (con solapamientos despreciables sobre los hiperplanos coordenados): $\operatorname{vol}(C_n) =
\frac{2^n}{n!}$. Si $\sum\abs{x_i} \leq 1$, entonces $\sum x_i^2 \leq
\bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$: $C_n \subseteq B_n(1)$; y $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$, pues $\abs{x_i} \leq \norm x$. Por tanto, $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$, coherente con la pregunta 15, que sitúa $V_n$ entre las escalas factorial y geométrica.

**23.** Para $(x, y)$ en el disco unidad, la rebanada de $B_4(1)$ es el disco de radio $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ del plano $(z,
w)$, de [área](#def-b2-multint-domain) $\pi(1 - x^2 - y^2)$. En coordenadas polares:

$$
V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y
= \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\,
\dd\rho\,\dd\alpha
= \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,
$$

de acuerdo con la pregunta 6.

**24.** La probabilidad es el cociente de volúmenes $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx
\dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$. El número de sorteos hasta el primer acierto es del orden del inverso, unos $4\cdot10^7$: un muestreador de rechazo que funcionaba de maravilla para el disco ($\pi/4$ de aciertos) resulta inútil en dimensión $20$; la maldición de la dimensionalidad en una línea.

**25.** La primera vía (partes I–II) usó: el rebanado de tipo Fubini de la integral iterada, la sustitución de una variable en cada coordenada (homogeneidad) y las [integrales de Wallis](#pb-b2-multint-1); puro cálculo de una variable más inducción. La segunda vía (parte III) usó: Fubini para la estructura de producto de $I_n$, el cambio a coordenadas polares a través de la integral de Gauss del [Ejemplo 20.17](#ex-b2-multint-polar) y la ecuación funcional de la función $\Gamma$. Se encuentran en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$, con Stirling ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#thm-b2-comparison-stirling)) convirtiendo la fórmula en asintótica. El volumen del tercer año reconstruye todo esto sobre la integral de Lebesgue: allí, Fubini y el cambio de variables son teoremas para funciones integrables generales, las coordenadas esféricas existen en toda dimensión y los mismos volúmenes de bolas reaparecen como dividendos resueltos de los problemas de medida producto y de Stirling, con la convergencia dominada sustituyendo a nuestros encajes artesanales.