--- title: "Variables aleatorias discretas" book: "Matemáticas universitarias — Grado 2" subject: math language: es chapter: 22 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas --- # Capítulo 22 — Variables aleatorias discretas Las [variables aleatorias](#def-b2-randomvar-law) organizan los cálculos de probabilidad en torno a funciones y no a [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space). Sobre espacios [numerables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable), la teoría se apoya en las [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) del [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series): la [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) es la suma de una familia indexada por el [espacio muestral](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space), y todas sus propiedades —linealidad, transferencia, fórmula del producto para variables independientes— son teoremas sobre [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable). El capítulo demuestra las desigualdades clave de Markov, Chebyshev, Cauchy–Schwarz y Jensen, y termina con las [leyes](#def-b2-randomvar-law) clásicas y la ley débil de los grandes números, cuya demostración ocupa dos líneas en cuanto se dispone de Chebyshev. ## 22.1 Variables aleatorias y sus leyes **Definición 22.1 (Variable aleatoria discreta; ley).** Sea $(\Omega, \P)$ un [espacio de probabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable). Una *variable aleatoria* es una aplicación $X \colon \Omega \to E$ ($E$ un conjunto cualquiera; variable aleatoria *real* cuando $E = \R$). Su *ley* (o *distribución*) es la [medida de probabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\P_X$ sobre el [conjunto numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) $X(\Omega)$ definida por $$ \P_X(\{x\}) = \P(X = x) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x\}\bigr) . $$ **Ejemplo 22.2 (Las leyes clásicas).** - *Bernoulli* $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$ , $\P(X = 1) = p$ . La indicatriz de un [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) . - *Binomial* $\mathcal{B}(n, p)$ : $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ , $0 \leq k \leq n$ : el número de éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) (volumen de secundaria; se vuelve a demostrar más abajo mediante sumas de variables [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) ). - *Geométrica* $\mathcal{G}(p)$ : $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ , $k \in \N^*$ : el rango del primer éxito ( [Ejemplo 21.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#ex-b2-proba-geometric) ). - *Poisson* $\mathcal{P}(\lambda)$ : $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ , $k \in \N$ ; una [medida de probabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) por la serie exponencial. La ley de los sucesos raros ( [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun) ). **Observación 22.3 (Qué modela cada ley).** Las cuatro [leyes](#def-b2-randomvar-law) responden a cuatro preguntas primitivas: la de Bernoulli, “¿ocurrió?”; la binomial, “¿cuántas veces en $n$ intentos?”; la geométrica, “¿cuánto hasta la primera vez?”; y la de Poisson, “¿cuántos [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) a una tasa dada, cuando los intentos son muchos e individualmente improbables?”. Reconocer la pregunta es nueve décimas partes de la modelización: las sumas de indicatrices apuntan a la binomial, los tiempos de espera a la geométrica y los recuentos de [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) raros a la de Poisson, con el paso de la binomial a la de Poisson precisado por la ley de los sucesos raros en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun). **Proposición 22.4 (Ausencia de memoria de la ley geométrica).** Si $X \sim \mathcal{G}(p)$, entonces, para todos $m, n \in \N$: $$ \P(X > m + n \mid X > m) = \P(X > n) , $$ y las [leyes](#def-b2-randomvar-law) geométricas son las únicas [leyes](#def-b2-randomvar-law) sobre $\N^*$ con esta propiedad. **Demostración.** Sumando los pesos geométricos, $\P(X > n) = (1-p)^n$. De ahí, $$ \P(X > m + n \mid X > m) = \frac{\P(X > m + n)}{\P(X > m)} = \frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m} = (1-p)^n = \P(X > n). $$ Recíprocamente, si $G(n) = \P(X > n)$ cumple $G(m + n) = G(m)G(n)$ con $G(0) = 1$, entonces $G(n) = G(1)^n$ por inducción; con $q = G(1) \in \intco{0}{1}$, o bien $q = 0$, o bien la [ley](#def-b2-randomvar-law) es $\mathcal{G}(1 - q)$: $\P(X = k) = G(k-1) - G(k) = q^{k-1}(1 - q)$. ∎ **Ejemplo 22.5 (Ningún número está nunca “a punto de salir”).** Lánzase un dado esperando un seis: el tiempo de espera es $X \sim \mathcal G(1/6)$. La ausencia de memoria dice que, tras $10$ tiradas infructuosas, la espera *restante* $X - 10$, dado $X > 10$, es de nuevo $\mathcal G(1/6)$: la espera esperada condicionada sigue siendo de $6$ tiradas, exactamente como al principio. El dado no recuerda, y ningún seis está nunca “a punto de salir”; la falacia del jugador es la creencia de que la [ley](#def-b2-randomvar-law) condicionada debería haberse desplazado. Recíprocamente, la mitad de unicidad de la proposición dice que esa indiferencia *caracteriza* los tiempos de espera geométricos: todo tiempo de espera cuya previsión nunca se actualiza es geométrico. Las colas y los tiempos de vida reales sí suelen actualizarse, que es precisamente cómo se detecta que no son geométricos. ## 22.2 Esperanza **Definición 22.6 (Esperanza).** Una [variable aleatoria](#def-b2-randomvar-law) real $X$ sobre $(\Omega, \P)$ *tiene esperanza* si la familia $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)); y su *esperanza* es entonces $$ \E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) . $$ **Teorema 22.7 (Teorema de transferencia).** $X$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) si y solo si la familia $\bigl(x\,\P(X = x)\bigr)_{x \in X(\Omega)}$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable), y entonces $$ \E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x\,\P(X = x) . $$ Más en general, para $f \colon X(\Omega) \to \R$, la variable $f(X)$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) si y solo si $\sum_x \abs{f(x)}\,\P(X = x) < \infty$, y entonces $\E(f(X)) = \sum_x f(x)\,\P(X = x)$. **Demostración.** Pártase $\Omega$ en los conjuntos de nivel $\Omega_x = \{X = x\}$, $x \in X(\Omega)$. Por el teorema de sumación por paquetes para [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)), la familia $(X(\omega)\P(\{\omega\}))_\omega$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) si y solo si lo es cada paquete (automático: $\sum_{\omega \in \Omega_x}\abs{x}\P(\{\omega\}) = \abs x\,\P(X = x)$) *y* la familia de sumas de paquetes $\bigl(x\,\P(X = x)\bigr)_x$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable); y entonces las sumas totales coinciden. Para $f(X)$: aplíquese el enunciado ya demostrado a la variable $Y = f \circ X$, cuyos conjuntos de nivel son $\{Y = y\} = \bigsqcup_{x : f(x) = y}\{X = x\}$; una segunda sumación por paquetes convierte $\sum_y y\,\P(Y = y)$ en $\sum_x f(x)\,\P(X = x)$, agrupando ahora los paquetes los valores $x$ según su imagen $f(x)$, con la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) absoluta de una familia equivalente a la de la otra. ∎ **Teorema 22.8 (Propiedades de la esperanza).** Sobre el conjunto de las [variables aleatorias](#def-b2-randomvar-law) con [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation): 1. (Linealidad) $\E(aX + bY) = a\,\E(X) + b\,\E(Y)$ . 2. (Positividad y monotonía) $X \geq 0 \Rightarrow \E(X) \geq 0$ ; $X \leq Y \Rightarrow \E(X) \leq \E(Y)$ ; y $\abs{\E(X)} \leq \E(\abs X)$ . 3. (Dominación) Si $\abs X \leq Z$ y $Z$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) , entonces $X$ también. **Demostración.** Todas son propiedades de las sumas de [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)): la linealidad de la suma, la positividad término a término y el criterio de dominación para la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable). (Nótese que la linealidad es inmediata sobre la *definición* como suma sobre $\Omega$, mientras que resultaría incómoda sobre la fórmula de transferencia; una ventaja de definir $\E$ aguas arriba.) ∎ **Ejemplo 22.9.** $X \sim \mathcal{B}(n, p)$: escribiendo $X = X_1 + \dots + X_n$ como suma de indicatrices de Bernoulli y usando la linealidad, $\E(X) = np$; sin necesidad de coeficientes binomiales. $X \sim \mathcal{G}(p)$: $\E(X) = \sum_{k\geq1}k(1-p)^{k-1}p = p\cdot\frac{1}{(1 - (1-p))^2} = \frac1p$, derivando la serie geométrica dentro de su disco ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)). $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$: $\E(X) = \sum_{k\geq1}k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda e^{-\lambda}\sum_{j\geq0}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda$. **Ejemplo 22.10 (La transferencia en acción).** Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$, calculemos $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$; la [ley](#def-b2-randomvar-law) de $\frac1{1+X}$ es incómoda, pero la transferencia no la pide nunca: $$ \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} . $$ Dos lecciones. En lo computacional: reconocer una serie exponencial desplazada es todo el trabajo; la transferencia reduce las [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation) de $f(X)$ a manipulación de series. En lo estructural: el valor ingenuo de sustituir sería $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$, y la respuesta verdadera es mayor, $$ \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda}, $$ exactamente como exige la desigualdad de Jensen para la función convexa $t \mapsto \frac1{1+t}$. Las [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation) de imágenes [convexas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-convex) quedan por encima del valor ingenuo de sustituir, y la transferencia más una comprobación con series hace concreta la desigualdad abstracta. **Teorema 22.11 (Independencia y productos).** Dos [variables aleatorias](#def-b2-randomvar-law) $X, Y$ son *[independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence)* si $\P(X = x, Y = y) = \P(X = x)\P(Y = y)$ para todos $x, y$; equivalentemente, si los [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\{X \in A\}$ y $\{Y \in B\}$ son [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) para todos $A, B$. Si $X$ e $Y$ son variables reales [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) con [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation), entonces $XY$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) y $$ \E(XY) = \E(X)\,\E(Y) . $$ **Demostración.** La equivalencia de las dos formulaciones se sigue sumando la identidad [puntual](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def) sobre $(x, y) \in A \times B$ ($\sigma$-aditividad dos veces). Para el producto: la familia doble $\bigl(xy\,\P(X = x)\P(Y = y)\bigr)_{(x,y)}$ es [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable), pues por Fubini para familias ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)) $$ \sum_{x, y}\abs x \abs y\,\P(X{=}x)\P(Y{=}y) = \Bigl(\sum_x \abs x \P(X{=}x)\Bigr) \Bigl(\sum_y \abs y \P(Y{=}y)\Bigr) < \infty ; $$ y por la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), esta familia es exactamente $\bigl(xy\,\P(X = x, Y = y)\bigr)$, cuya suma es $\E(XY)$ por transferencia aplicada a la variable $(X, Y) \mapsto xy$; Fubini evalúa de nuevo la suma sin signos como el producto $\E(X)\E(Y)$. ∎ **Ejemplo 22.12 (Productos, con y sin independencia).** Lánzense dos dados equilibrados. Si $Y$ es el segundo dado ([independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) del primero), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. Si, en cambio, $Y = X$ (el “producto” de un dado consigo mismo), $$ \E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 : $$ las mismas [leyes](#def-b2-randomvar-law) marginales en ambos escenarios, [leyes](#def-b2-randomvar-law) conjuntas distintas y [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation) del producto distintas. La moraleja, digna de grabarse: $\E(XY)$ es un funcional del *par*, no de las dos marginales; y la diferencia $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ es, por König–Huygens, precisamente la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) $\frac{35}{12}$ del dado. ## 22.3 Varianza, covarianza y las desigualdades clásicas **Definición 22.13 (Momentos, varianza).** $X$ tiene *momento de orden 2* si $X^2$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) (entonces $X$ también, por dominación: $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$). Su *varianza* y su *desviación típica* son entonces $$ V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} , $$ (la segunda forma —la fórmula de *König–Huygens*— desarrollando el cuadrado y usando la linealidad: $$ \E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 , $$ donde el término central usa que $\E X$ es una constante). Para $X, Y$ con momentos de orden dos, la *covarianza* es $$ \operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) . $$ **Teorema 22.14 (Caja de herramientas de la varianza).** Para variables con momentos de orden dos: 1. $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ ; 2. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$ y, más en general, $$V\Bigl(\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n V(X_i) + 2\sum_{i < j}\operatorname{Cov}(X_i, X_j) ;$$ 3. si $X, Y$ son [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) , $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ (el recíproco es falso), de modo que las [varianzas](#def-b2-randomvar-variance) de variables [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) se suman. **Demostración.** *1* y *2* son desarrollos de cuadrados más linealidad; los productos $X_iX_j$ tienen [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) por Cauchy–Schwarz más abajo (o por $\abs{X_iX_j} \leq \frac{X_i^2 + X_j^2}{2}$). *3* es el [Teorema 22.11](#thm-b2-randomvar-product) aplicado a las variables centradas. Un contraejemplo estándar del recíproco: $X$ uniforme sobre $\{-1, 0, 1\}$ e $Y = X^2$ están incorreladas ($\E(XY) = \E(X^3) = 0 = \E X \cdot \E Y$), pero son claramente dependientes. ∎ **Teorema 22.15 (Desigualdades de Markov y de Chebyshev).** 1. (Markov) Si $X \geq 0$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation), entonces, para todo $a > 0$: $$\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a} .$$ 2. (Chebyshev) Si $X$ tiene momento de orden dos, entonces, para todo $\varepsilon > 0$: $$\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2} .$$ **Demostración.** *1.* Punto a punto, $a\,\mathbf{1}_{X \geq a} \leq X$ (sobre el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space), el miembro izquierdo es $a \leq X$; fuera de él, $0 \leq X$). Tómense [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation): $a\,\P(X \geq a) \leq \E(X)$ por monotonía y $\E(\mathbf{1}_A) = \P(A)$. *2.* Aplíquese Markov a la variable no negativa $(X - \E X)^2$ al nivel $a = \varepsilon^2$: el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\{(X - \E X)^2 \geq \varepsilon^2\}$ es exactamente $\{\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\}$. ∎ **Ejemplo 22.16 (Incorreladas pero pegadas la una a la otra).** Lánzense dos dados equilibrados, $X$ e $Y$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), y póngase $S = X + Y$, $D = X - Y$. Por la bilinealidad de la [covarianza](#def-b2-randomvar-variance), $$ \operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 : $$ la suma y la diferencia están incorreladas. ¿[Independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence)? Desde luego que no: $S = 12$ fuerza $D = 0$, mientras que $\P(D = 0) = \frac16$ incondicionalmente. La correlación solo pone a prueba la parte *lineal* de una dependencia; aquí, la dependencia la lleva la restricción de que $S$ y $D$ tengan la misma paridad, invisible para la [covarianza](#def-b2-randomvar-variance). (Para este par, la [covarianza](#def-b2-randomvar-variance) nula necesitaba $V(X) = V(Y)$: fueron las distribuciones idénticas, y no la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), las que hicieron el trabajo.) **Ejemplo 22.17 (Cuándo es exacta la de Markov).** La desigualdad de Markov es una igualdad precisamente cuando no se desperdicia nada en la cota $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$: la variable ha de tomar solo los valores $0$ y $a$. En concreto, si $\P(X = a) = \pi$ y $\P(X = 0) = 1 - \pi$, entonces $\E(X) = a\pi$ y $$ \P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} . $$ Una lectura realista: en una población cuya riqueza media es $100$ y donde la riqueza es $0$ o $10^6$, la proporción de millonarios es exactamente $10^{-4}$; la cota de Markov, alcanzada exactamente por una desigualdad maximal. Siempre que $X$ se reparta por valores intermedios, la cota es estricta, a menudo desaforadamente; pero, como muestra el caso extremo, de la sola media no puede extraerse ninguna desigualdad mejor. **Ejemplo 22.18 (Chebyshev es óptima, sin hipótesis adicionales).** Fíjense $\varepsilon > 0$ y $q \in \intoc01$, y sea $X$ la variable que toma los valores $\pm\varepsilon$ con probabilidad $\frac q2$ cada uno y $0$ con probabilidad $1 - q$. Entonces $\E(X) = 0$, $V(X) = q\varepsilon^2$, y $$ \P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} : $$ igualdad en Chebyshev. Así pues, la desigualdad no puede mejorarse usando solo la [varianza](#def-b2-randomvar-variance); el decaimiento $1/\varepsilon^2$ es el precio exacto de la información de segundo momento. Un decaimiento más rápido exige hipótesis más fuertes: la acotación de la variable compra concentración *exponencial*, como anticipa el [Ejercicio 22.7](#exo-b2-randomvar-7) y desarrolla sistemáticamente el problema de fin de semana de este capítulo. **Teorema 22.19 (Cauchy–Schwarz y Jensen).** 1. (Cauchy–Schwarz) Si $X, Y$ tienen momentos de orden dos, $XY$ tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) y $\E(XY)^2 \leq \E(X^2)\,\E(Y^2)$ ; en consecuencia, $\operatorname{Cov}(X,Y)^2 \leq V(X)V(Y)$ . 2. (Jensen) Si $\varphi \colon I \to \R$ es convexa sobre un intervalo que contiene $X(\Omega)$, y $X$ y $\varphi(X)$ tienen [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation), entonces $$\varphi\bigl(\E(X)\bigr) \leq \E\bigl(\varphi(X)\bigr) .$$ **Demostración.** *1.* [Sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) de $XY$: $\abs{XY} \leq \frac{X^2 + Y^2}2$. La aplicación $(X, Y) \mapsto \E(XY)$ es una [forma bilineal simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-def) positiva sobre el espacio de las variables con momento de orden dos, así que se aplica la desigualdad de Cauchy–Schwarz abstracta del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic) (para la desigualdad basta con que sea *semi*definida positiva). Aplicándola a las variables centradas se obtiene la cota de la [covarianza](#def-b2-randomvar-variance). *2.* Primero, $m = \E(X)$ está en $I$: $I$ es un intervalo que contiene todos los valores de $X$, y la [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) es monótona, de modo que $m$ está entre $\inf X(\Omega)$ y $\sup X(\Omega)$. Por el teorema de la recta de apoyo para funciones convexas ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun)), hay $\alpha, \beta$ con $\varphi(t) \geq \alpha t + \beta$ para todo $t \in I$ y $\varphi(m) = \alpha m + \beta$. Entonces, punto a punto sobre $\Omega$, $\varphi(X) \geq \alpha X + \beta$; tomando [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation), $$ \E\bigl(\varphi(X)\bigr) \geq \alpha\,\E(X) + \beta = \varphi\bigl(\E(X)\bigr). \qedhere $$ ∎ **Ejemplo 22.20.** Jensen con $\varphi(t) = t^2$ da $\E(X)^2 \leq \E(X^2)$: la positividad de la [varianza](#def-b2-randomvar-variance); y con $\varphi(t) = 1/t$ sobre $\intoo{0}{\infty}$: $\frac{1}{\E X} \leq \E\bigl(\frac1X\bigr)$; la media armónica está por debajo de la aritmética, ahora en forma aleatoria. **Observación 22.21 (Errores frecuentes).** (i) $\E(XY) = \E(X)\E(Y)$ *exige* [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) (o, al menos, [covarianza](#def-b2-randomvar-variance) nula): tomando $Y = X$ resulta $\E(X^2) \neq \E(X)^2$ siempre que $V(X) > 0$. (ii) Igualmente, $V(X + X) = 4V(X)$, y no $2V(X)$: las [varianzas](#def-b2-randomvar-variance) solo se suman entre sumandos [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) (o incorrelados). (iii) $\E(f(X))$ no es $f(\E(X))$; para $f$ convexa, Jensen dice incluso en qué dirección va el error, como en el [Ejemplo 22.10](#ex-b2-randomvar-transferex). (iv) La existencia es una hipótesis real: para la variable de San Petersburgo $X = 2^K$ con $\P(K = k) = 2^{-k}$ ($k \geq 1$), $$ \sum_{k\geq1}2^k\cdot2^{-k} = \sum_{k\geq1}1 = \infty : $$ $X$ es finita casi seguramente y, sin embargo, no tiene [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation), y no existe ningún precio de entrada justo para el juego. La [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) en la definición de $\E$ no es pedantería contable: es donde se detectan las colas pesadas. (v) Por último, el teorema de transferencia necesita la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) *absoluta* antes de que sea legítimo reordenar la suma sobre los valores ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)). **Ejemplo 22.22 (Chebyshev sobre cien lanzamientos).** Para $X \sim \mathcal B(100, \frac12)$: $\E X = 50$ y $V(X) = 25$. Chebyshev con $\varepsilon = 6$: $$ \P(45 \leq X \leq 55) = \P(\abs{X - 50} < 6) \geq 1 - \frac{25}{36} \approx 0.31 , $$ mientras que la suma binomial exacta da $\approx 0.73$. El $31\,\%$ garantizado queda lejos de la verdad, pero solo necesitó la media y la [varianza](#def-b2-randomvar-variance); el mismo certificado se aplica palabra por palabra a cualquier variable con $\E = 50$ y $V = 25$, por exótica que sea, y el [Ejemplo 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp) muestra que alguna variable así lo satura. La universalidad tiene un precio; cuando la [distribución](#def-b2-randomvar-law) es genuinamente binomial, las herramientas exponenciales del problema de fin de semana cierran casi toda la brecha. **Ejemplo 22.23 (La correlación de una parte con su todo).** Para $X, Y$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) e idénticamente distribuidas con [varianza](#def-b2-randomvar-variance) $\sigma^2 > 0$, ¿cuán correlacionado está un sumando con la suma $S = X + Y$? Calculemos $$ \operatorname{Cov}(X, S) = \operatorname{Cov}(X, X) + \operatorname{Cov}(X, Y) = \sigma^2 + 0 = \sigma^2, \qquad V(S) = 2\sigma^2, $$ de modo que el coeficiente de correlación es $$ \rho(X, S) = \frac{\operatorname{Cov}(X, S)}{\sigma(X)\,\sigma(S)} = \frac{\sigma^2}{\sigma\cdot\sigma\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707 , $$ sea cual sea la [ley](#def-b2-randomvar-law) común: dados, monedas, recuentos de Poisson. Con $n$ sumandos, el mismo cálculo da $\rho(X_1, S_n) = 1/\sqrt n$: la influencia de cada término individual sobre el total se diluye como una raíz cuadrada, que es la sombra correlacional de la escala $\sqrt n$ de las fluctuaciones. Cauchy–Schwarz garantiza $\abs\rho \leq 1$ siempre; aquí la cota se alcanza exactamente en el caso degenerado $n = 1$ y decae de manera previsible después. **Ejemplo 22.24 (La desigualdad de las medias ponderada, desde Jensen).** Sea $Y$ la variable que toma los valores positivos $a_1, \dots, a_k$ con probabilidades $\lambda_1, \dots, \lambda_k$. La función $-\ln$ es convexa sobre $\intoo0\infty$, de modo que Jensen da $-\ln\E(Y) \leq \E(-\ln Y)$, es decir, $$ a_1^{\lambda_1}a_2^{\lambda_2}\cdots a_k^{\lambda_k} \;\leq\; \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \dots + \lambda_ka_k : $$ la desigualdad aritmético-geométrica ponderada, con igualdad si y solo si $Y$ es constante. Con pesos iguales $\lambda_i = \frac1k$ se recupera la desigualdad de las medias clásica. La probabilidad ha demostrado calladamente un teorema puramente algebraico: elegir una [ley](#def-b2-randomvar-law) de probabilidad no es más que un instrumento contable para combinaciones [convexas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-convex); el punto de vista baricéntrico del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#ch-b2-affine) una vez más, ahora con Jensen de motor. ## 22.4 La ley débil de los grandes números **Teorema 22.25 (Ley débil de los grandes números).** Sean $(X_k)_{k \geq 1}$ [variables aleatorias](#def-b2-randomvar-law) [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) dos a dos con la misma [ley](#def-b2-randomvar-law) y con momento de orden dos; escríbanse $m = \E(X_1)$ y $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Entonces, para todo $\varepsilon > 0$: $$ \P\Bigl(\,\Bigl|\frac{S_n}{n} - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \;\leq\; \frac{V(X_1)}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 . $$ **Demostración.** Por linealidad, $\E(S_n/n) = m$; por el [Teorema 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules) (la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) dos a dos mata las [covarianzas](#def-b2-randomvar-variance)), $V(S_n) = n\,V(X_1)$, de modo que $V(S_n/n) = V(X_1)/n$. La desigualdad de Chebyshev aplicada a $S_n/n$ da la cota. ∎ **Observación 22.26.** Este es el teorema que conecta la probabilidad con la frecuencia: para $X_k$ la indicatriz de un [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $A$ en repeticiones [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), $S_n/n$ es la frecuencia observada de $A$, y la ley de los grandes números dice que se concentra en torno a $\P(A)$ a un ritmo $\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$. La [ley](#def-b2-randomvar-law) *fuerte* ($S_n/n \to m$ casi seguramente) es un teorema del tercer año; su demostración con momentos de orden cuatro sí está al alcance, no obstante: véase el [Ejercicio 22.9](#exo-b2-randomvar-9), que ejecuta Borel–Cantelli sobre la cota de tipo Chebyshev. La misma estimación de Chebyshev impulsó la demostración con [polinomios de Bernstein](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-weierstrass) del teorema de aproximación de Weierstrass del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq): el lema de conteo de allí *era* la ley débil de los grandes números disfrazada. **Ejemplo 22.27 (Coleccionar cincuenta cromos).** El coleccionista de cromos del [Ejercicio 22.3](#exo-b2-randomvar-3) con $n = 50$ juguetes distintos: el total esperado es $$ \E(T_{50}) = 50\,H_{50} = 50\sum_{k=1}^{50}\frac1k \approx 50 \times 4.499 \approx 225 $$ cajas; cuatro veces y media la conjetura ingenua $50$. El crecimiento armónico es toda la historia: los primeros $25$ juguetes llegan en unas $50\ln2 \approx 35$ cajas, mientras que el *último* juguete cuesta él solo $50$ cajas de media (una espera geométrica de parámetro $\frac1{50}$). Los problemas de compleción están dominados por su final de partida, y por eso el [Ejercicio 22.12](#exo-b2-randomvar-12) encuentra fluctuaciones de orden $n$ —el tamaño de esa última espera geométrica— en torno a la media $n\ln n$. **Ejemplo 22.28 (¿Cuán grande ha de ser nnn?).** Para fijar la frecuencia observada a menos de $\varepsilon = 0.01$ de $\P(A)$ con una confianza del $95\,\%$, la cota de Chebyshev exige $$ \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2} \leq 0.05, \qquad\text{es decir,}\qquad n \geq \frac{1}{4\cdot0.05\cdot(0.01)^2} = 50\,000 . $$ La dependencia es brutal en $\varepsilon$ (cuadrática) y suave en la confianza (lineal en $1/\alpha$). Ambos rasgos son propiedades de la *cota*, no de la verdad: las desigualdades exponenciales del problema de fin de semana rebajan el precio de la confianza de $1/\alpha$ a $\ln(1/\alpha)$ —la misma especificación costará allí unas $18\,500$ muestras—, mientras que la escala $1/\varepsilon^2$ es genuina e inmejorable. Saber qué parte de una cota está floja es tan útil como la cota misma. ![La ley de los grandes números en imagen: la ley de S_n/n (dibujada esquemáticamente) conserva su centro m pero se estrecha a medida que n crece, de modo que la probabilidad fuera de la banda (m- , m+ ) —las dos colas— se encoge hacia cero. Chebyshev acota las colas por V(X_1)/(n 2); el problema de fin de semana muestra que en realidad son exponencialmente pequeñas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-randomvar/fig-917c7a253622.svg) *La ley de los grandes números en imagen: la [ley](#def-b2-randomvar-law) de $S_n/n$ (dibujada esquemáticamente) conserva su centro $m$ pero se estrecha a medida que $n$ crece, de modo que la probabilidad fuera de la banda $\intcc{m-\varepsilon}{m+\varepsilon}$ —las dos colas— se encoge hacia cero. Chebyshev acota las colas por $V(X_1)/(n\varepsilon^2)$; el problema de fin de semana muestra que en realidad son exponencialmente pequeñas.* **Observación 22.29 (Perspectivas dentro de este volumen).** Hacia delante, todo lo de aquí alimenta el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun): la [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) $\E(t^X)$ de una astuta función de $X$ empaqueta toda la [ley](#def-b2-randomvar-law) en una serie de potencias, los momentos se convierten en derivadas en $1$, y las identidades de tipo Wald para sumas aleatorias sostienen la teoría de los procesos de ramificación; el teorema del producto para variables [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) se convierte en la multiplicatividad de las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci). Hacia atrás, la [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) es un [baricentro](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#def-b2-affine-barycenter) con pesos de probabilidad ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#ch-b2-affine)), la desigualdad de Jensen es la geometría de las rectas de apoyo de las funciones convexas ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun)), y el método de los momentos exponenciales del problema de fin de semana de este capítulo es Markov aplicado a $\eu^{tX}$: una desigualdad, mejorada por un buen cambio de variable, abarcando tres capítulos. ## 22.5 Ejercicios **Ejercicio 22.1 ★.** Calcula $\E(X)$ y $V(X)$ para $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (mediante indicatrices), para $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ (prueba que $V(X) = \lambda$) y para $X \sim \mathcal{G}(p)$ (prueba que $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$; usa $\E(X(X-1))$ y la derivada segunda de la serie geométrica). **Solución de Ejercicio 22.1.** *Binomial:* $X = \sum_{i=1}^n X_i$ con $X_i$ de Bernoulli [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence); $V(X_i) = \E(X_i^2) - \E(X_i)^2 = p - p^2$, y las [varianzas](#def-b2-randomvar-variance) de variables [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) se suman ([Teorema 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules)): $$ \E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p) . $$ *Poisson:* $\E\bigl(X(X-1)\bigr) = \sum_{k\geq2}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{j\geq0}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda^2$, luego $$ V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda . $$ *Geométrica* ($q = 1 - p$): derivando $\sum_{k\geq0}q^k = \frac{1}{1-q}$ dos veces dentro del disco ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), $\sum_{k\geq2}k(k-1)q^{k-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$, de modo que $$ \E\bigl(X(X-1)\bigr) = pq\sum_{k\geq2}k(k-1)q^{k-2} = \frac{2q}{p^2}, \qquad V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2} = \frac{q}{p^2} = \frac{1-p}{p^2} . $$ **Ejercicio 22.2 ★.** Sean $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ e $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence). Prueba que $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ (convolución de los pesos; teorema del binomio), y que la [ley](#def-b2-randomvar-law) condicionada de $X$ dado $X + Y = n$ es la binomial $\mathcal{B}\bigl(n, \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\bigr)$. **Solución de Ejercicio 22.2.** *Suma:* para $n \in \N$, por disjunción e [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), $$ \P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k) = e^{-(\lambda + \mu)}\frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom nk \lambda^k\mu^{n-k} = e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda + \mu)^n}{n!} $$ por el teorema del binomio: $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$. *[Ley](#def-b2-randomvar-law) condicionada:* para $0 \leq k \leq n$, $$ \P(X = k \mid X + Y = n) = \frac{\P(X = k)\P(Y = n - k)}{\P(X + Y = n)} = \binom nk \Bigl(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\Bigr)^{k} \Bigl(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\Bigr)^{n-k} , $$ la [ley](#def-b2-randomvar-law) binomial $\mathcal{B}\bigl(n, \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\bigr)$: dado el recuento total, cada [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) “elige” de manera [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) la primera fuente con probabilidad proporcional a su tasa. **Ejercicio 22.3 ★.** (Coleccionista de cromos, [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation)) Una marca de cereales esconde uno de $n$ juguetes distintos, uniformemente, en cada caja. Sea $T_n$ el número de cajas necesarias para reunir los $n$ juguetes. Escribiendo $T_n$ como suma de variables geométricas [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) (el tiempo hasta ver un juguete *nuevo* cuando aún faltan $k$), prueba que $$ \E(T_n) = n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sim n\ln n $$ (equivalente por la comparación serie-integral del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ch-b2-comparison)). **Solución de Ejercicio 22.3.** Cuando aún faltan $k$ juguetes, cada caja nueva trae uno nuevo con probabilidad $\frac kn$, independientemente del pasado: el tiempo de espera $W_k$ hasta el siguiente juguete nuevo es geométrico $\mathcal{G}\bigl(\frac kn\bigr)$, con $\E(W_k) = \frac nk$, y $T_n = W_n + W_{n-1} + \dots + W_1$ (la primera caja siempre da un juguete nuevo: $W_n = 1$, coherente con $\E = n/n$). Por linealidad, $$ \E(T_n) = \sum_{k=1}^n \frac nk = n\sum_{k=1}^n\frac1k \sim n\ln n , $$ usando $\sum_{k\leq n}\frac1k = \ln n + \gamma + o(1)$ ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ch-b2-comparison)). Lo caro es reunir los últimos juguetes: la mitad de las cajas se va en el puñado final. **Ejercicio 22.4 ★★.** Sea $X \geq 0$ con valores enteros. Demuestra la *fórmula de la cola* $$ \E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} \P(X \geq n) $$ (cuando alguno de los dos miembros es finito), escribiendo $X = \sum_{n\geq1}\mathbf{1}_{X \geq n}$ e intercambiando las sumaciones (Fubini para familias no negativas). Recupera $\E(X) = \frac1p$ para la [ley](#def-b2-randomvar-law) geométrica. **Solución de Ejercicio 22.4.** Punto a punto, $X(\omega) = \#\{n \geq 1 : X(\omega) \geq n\} = \sum_{n\geq1}\mathbf{1}_{X \geq n}(\omega)$. La familia doble $\bigl(\mathbf{1}_{X \geq n}(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{n, \omega}$ es no negativa, así que Fubini para familias ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)) se aplica incondicionalmente: sumando primero en $n$ se obtiene $\E(X)$, y sumando primero en $\omega$, $\sum_n \P(X \geq n)$; ambas son simultáneamente finitas e iguales. Para $X \sim \mathcal{G}(p)$: $\P(X \geq n) = q^{n-1}$ ($q = 1-p$), luego $\E(X) = \sum_{n\geq1}q^{n-1} = \frac{1}{1 - q} = \frac1p$. **Ejercicio 22.5 ★★.** (El muestreo sin reemplazamiento está más concentrado) Una urna contiene $N$ bolas, $M$ de ellas blancas. Extráiganse $n \leq N$ sin reemplazamiento y sea $X$ el número de blancas ([ley](#def-b2-randomvar-law) *hipergeométrica*). Usando indicatrices $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ con $Y_i$ la $i$-ésima extracción: prueba que cada $Y_i$ es de Bernoulli de parámetro $p = M/N$ (¡simetría!), concluye que $\E(X) = np$ exactamente igual que con reemplazamiento, y prueba que $\operatorname{Cov}(Y_i, Y_j) = -\frac{p(1-p)}{N-1} < 0$ para $i \neq j$, de donde $V(X) = np(1-p)\frac{N - n}{N - 1} \leq np(1-p)$. **Solución de Ejercicio 22.5.** *Simetría:* la $i$-ésima bola extraída es una bola de la urna elegida uniformemente al azar (cualquiera de las $N$ bolas tiene la misma probabilidad de caer en la posición $i$ del orden de extracción), de modo que $\P(Y_i = 1) = \frac MN = p$ y $\E(X) = np$ por linealidad; sin necesitar [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence). *[Covarianza](#def-b2-randomvar-variance):* para $i \neq j$, $\E(Y_iY_j) = \P(\text{las extracciones } i, j \text{ son ambas blancas}) = \frac{M(M-1)}{N(N-1)}$ (a pares ordenados de posiciones distintas les corresponde un par ordenado de bolas distintas, uniformemente). De ahí, $$ \operatorname{Cov}(Y_i, Y_j) = \frac{M(M-1)}{N(N-1)} - \frac{M^2}{N^2} = \frac{M(N - M)}{N^2}\cdot\frac{-1}{N-1} = -\frac{p(1-p)}{N-1} < 0 : $$ extraer una bola blanca hace las blancas más escasas para las demás extracciones. Por el [Teorema 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules), $$ V(X) = np(1-p) + n(n-1)\Bigl(-\frac{p(1-p)}{N-1}\Bigr) = np(1-p)\,\frac{N - n}{N - 1} \leq np(1-p) : $$ el muestreo sin reemplazamiento tiene la misma media pero *menor* [varianza](#def-b2-randomvar-variance) que con reemplazamiento (con igualdad solo para $n = 1$), actuando las correlaciones negativas como estabilizador. Para $n = N$ la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) se anula: el recuento es entonces determinista. **Ejercicio 22.6 ★★.** Sea $X$ con momento de orden dos. Prueba que $c \mapsto \E\bigl((X - c)^2\bigr)$ es mínima exactamente en $c = \E(X)$, con mínimo $V(X)$. Prueba después que $\P(X = \E(X)) = 1$ si y solo si $V(X) = 0$. *(Para el segundo punto: si $V(X) = 0$, usa Chebyshev con $\varepsilon = 1/n$ y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) monótona, [Teorema 21.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-continuity).)* **Solución de Ejercicio 22.6.** Desarrollando en torno a $m = \E(X)$: $$ \E\bigl((X - c)^2\bigr) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) + 2(m - c)\,\E(X - m) + (m - c)^2 = V(X) + (m - c)^2 , $$ mínima exactamente en $c = m$ y con valor $V(X)$; la [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) es el mejor predictor constante en media cuadrática. Si $\P(X = m) = 1$, entonces $(X - m)^2$ se anula con probabilidad $1$, luego $V(X) = 0$ (la familia que la define tiene términos nulos salvo sobre un conjunto nulo). Recíprocamente, si $V(X) = 0$, Chebyshev ([Teorema 22.15](#thm-b2-randomvar-markov)) da $\P\bigl(\abs{X - m} \geq \frac1n\bigr) \leq n^2\,V(X) = 0$ para todo $n$; los [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\bigl\{\abs{X - m} \geq \frac1n\bigr\}$ crecen hacia $\{X \neq m\}$, de modo que la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) monótona ([Teorema 21.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-continuity)) da $\P(X \neq m) = 0$. **Ejercicio 22.7 ★★★.** (La concentración gana a Markov) Sea $S_n \sim \mathcal{B}(n, \frac12)$ (número de caras en $n$ lanzamientos equilibrados). Compara las cotas que dan Markov (para $\P(S_n \geq \frac{3n}{4})$), Chebyshev y el método exponencial (de Chernoff): $$ \P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr) \leq \E\bigl(e^{tS_n}\bigr)e^{-3nt/4} = \Bigl(\frac{1 + e^t}{2}\Bigr)^n e^{-3nt/4} \quad (t > 0), $$ y optimiza en $t$ para obtener una cota exponencialmente pequeña. *(En $t = \ln 3$: cota $\bigl(2\cdot 3^{-3/4}\bigr)^n \approx (0.877)^n$.)* **Solución de Ejercicio 22.7.** $\E(S_n) = \frac n2$ y $V(S_n) = \frac n4$. *Markov:* $\P\bigl(S_n \geq \frac{3n}4\bigr) \leq \frac{n/2}{3n/4} = \frac23$: una cota constante, inútil para $n$ grande. *Chebyshev:* el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) implica $\abs{S_n - \frac n2} \geq \frac n4$, luego la probabilidad es $\leq \frac{n/4}{(n/4)^2} = \frac4n$: decae, pero solo polinómicamente. *Chernoff:* por [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), $\E(e^{tS_n}) = \prod_{i=1}^n\E(e^{tX_i}) = \bigl(\frac{1 + e^t}{2}\bigr)^n$, y Markov aplicado a $e^{tS_n} \geq e^{3nt/4}$ da, para todo $t > 0$, $$ \P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr) \leq \Bigl(\frac{1 + e^t}{2}\Bigr)^n e^{-3nt/4} = \exp\Bigl(n\bigl(\ln\tfrac{1 + e^t}{2} - \tfrac{3t}4\bigr)\Bigr). $$ Minimícese el exponente: $\frac{\dd}{\dd t}\ln\frac{1+e^t}{2} = \frac{e^t}{1 + e^t} = \frac34$ en $e^t = 3$, es decir, $t = \ln 3$, lo que da $$ \P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr) \leq \Bigl(\frac{4}{2}\Bigr)^n 3^{-3n/4} = \bigl(2 \cdot 3^{-3/4}\bigr)^n \approx (0.877)^n , $$ exponencialmente pequeño. La jerarquía Markov $\to$ Chebyshev $\to$ Chernoff es la escalera estándar: cada peldaño aplica Markov a una función de la variable que crece más deprisa. **Ejercicio 22.8 ★★★.** (Weierstrass otra vez, probabilísticamente) Sean $f \colon [0,1] \to \R$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y $S_n \sim \mathcal{B}(n, x)$. Prueba que el [polinomio de Bernstein](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-weierstrass) $B_nf(x) = \sum_{k=0}^n f\bigl(\frac kn\bigr)\binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ vale $\E\bigl[f\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr)\bigr]$, y vuelve a deducir la estimación $\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \omega_f(\delta) + \frac{2\norm f_\infty}{4n\delta^2}$ del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq) en este lenguaje probabilista (pártase según $\bigl|\frac{S_n}{n} - x\bigr| \geq \delta$ y úsese Chebyshev). **Solución de Ejercicio 22.8.** Por el teorema de transferencia ([Teorema 22.7](#thm-b2-randomvar-transfer)) aplicado a $f\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr)$ con $S_n \sim \mathcal{B}(n, x)$: $$ \E\Bigl[f\Bigl(\frac{S_n}{n}\Bigr)\Bigr] = \sum_{k=0}^n f\Bigl(\frac kn\Bigr)\binom nk x^k(1-x)^{n-k} = B_nf(x) . $$ Fíjese $\delta > 0$ y pártase $\abs{f(S_n/n) - f(x)}$ según el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $D = \bigl\{\abs{\frac{S_n}{n} - x} \geq \delta\bigr\}$: fuera de $D$, la diferencia es a lo sumo el módulo de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $\omega_f(\delta) = \sup_{\abs{s - t}\leq\delta}\abs{f(s) - f(t)}$; y sobre $D$, a lo sumo $2\norm f_\infty$. Tomando [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation) y usando Chebyshev con $V\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr) = \frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{1}{4n}$: $$ \abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \E\,\abs{f(S_n/n) - f(x)} \leq \omega_f(\delta) + 2\norm f_\infty\,\P(D) \leq \omega_f(\delta) + \frac{2\norm f_\infty}{4n\delta^2} . $$ La [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme de $f$ sobre $[0, 1]$ hace $\omega_f(\delta) \to 0$: elíjase $\delta$ y después $n$, y $B_nf \to f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-def); el teorema de aproximación de Weierstrass del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq), cuyo “lema de conteo” es ahora reconocible como la desigualdad de Chebyshev para la [ley](#def-b2-randomvar-law) binomial. **Ejercicio 22.9 ★★★.** ([Ley](#def-b2-randomvar-law) fuerte con momentos de orden cuatro) Sean $(X_k)$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), idénticamente distribuidas y centradas ($\E X_1 = 0$), con $\E(X_1^4) < \infty$. Desarrollando $\E(S_n^4)$ y contando los términos que sobreviven (solo los de $\E(X_i^4)$ y $\E(X_i^2X_j^2)$, con $i \neq j$), prueba que $\E(S_n^4) \leq C n^2$ para una constante $C$. Deduce que $\sum_n \P\bigl(\abs{S_n/n} \geq \varepsilon\bigr) < \infty$ para cada $\varepsilon > 0$ (Markov de orden 4) y concluye con Borel–Cantelli ([Teorema 21.25](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-borelcantelli)) que $S_n/n \to 0$ casi seguramente, en la formulación adecuada: el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\bigcap_{j}\bigcup_N\bigcap_{n \geq N}\{\abs{S_n/n} < \frac1j\}$ tiene probabilidad $1$. **Solución de Ejercicio 22.9.** Desarróllese $S_n^4 = \sum_{i,j,k,l}X_iX_jX_kX_l$ y tómense [esperanzas](#def-b2-randomvar-expectation). Por la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) y el centrado, todo término que contenga un índice que aparezca exactamente una vez se anula ($\E(X_i) = 0$ sale factor). Términos supervivientes: los $n$ diagonales $\E(X_i^4)$ y los que emparejan dos parejas de índices iguales, $\E(X_i^2X_j^2) = \E(X_1^2)^2$ para $i \neq j$, que aparecen $3n(n-1)$ veces: elíjase la pareja no ordenada de valores ($\binom n2$ maneras) y después las $\frac{4!}{2!\,2!} = 6$ maneras de colocarlos en las cuatro ranuras: $6\binom n2 = 3n(n-1)$. Por tanto, con $\E(X_1^2)^2 \leq \E(X_1^4)$ (Jensen o Cauchy–Schwarz), $$ \E(S_n^4) = n\,\E(X_1^4) + 3n(n-1)\,\E(X_1^2)^2 \leq C n^2, \qquad C = 4\,\E(X_1^4) . $$ Markov de orden 4: $$ \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}{n}\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) = \P\bigl(S_n^4 \geq n^4\varepsilon^4\bigr) \leq \frac{Cn^2}{n^4\varepsilon^4} = \frac{C}{n^2\varepsilon^4} , $$ una serie [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable). Por Borel–Cantelli 1 ([Teorema 21.25](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-borelcantelli)), para cada $j$ el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $B_j = \limsup_n\bigl\{\abs{S_n/n} \geq \frac1j\bigr\}$ tiene probabilidad $0$, luego $\P\bigl(\bigcup_j B_j\bigr) = 0$ por subaditividad [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable). Sobre el complementario —de probabilidad $1$— para todo $j$ hay un $N$ con $\abs{S_n/n} < \frac1j$ para todo $n \geq N$: precisamente $S_n/n \to 0$. La ley fuerte de los grandes números vale con momento de orden cuatro; suprimir esa hipótesis (el teorema de Kolmogórov) es tarea del tercer año. **Ejercicio 22.10 ★.** Se lanzan dos dados equilibrados; sea $M$ el mayor de los dos resultados. Usando la fórmula de la cola del [Ejercicio 22.4](#exo-b2-randomvar-4) (versión finita), prueba que $$ \E(M) = \sum_{k=1}^{6}\P(M \geq k) = 6 - \sum_{j=0}^5\Bigl(\frac j6\Bigr)^2 = \frac{161}{36} \approx 4.47 . $$ **Solución de Ejercicio 22.10.** $\P(M \leq k) = \bigl(\frac k6\bigr)^2$ (ambos dados a lo sumo $k$, independientemente), de modo que $\P(M \geq k) = 1 - \bigl(\frac{k-1}6\bigr)^2$ y $$ \E(M) = \sum_{k=1}^6\P(M \geq k) = 6 - \frac{0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25}{36} = 6 - \frac{55}{36} = \frac{161}{36} \approx 4.47 , $$ holgadamente por encima de la media $3.5$ de un solo dado, como debe ser en un máximo. **Ejercicio 22.11 ★★.** Sea $F_n$ el número de puntos fijos de una permutación uniformemente aleatoria de $\{1, \dots, n\}$ ($n \geq 2$). Escribiendo $F_n = \sum_i\mathbf 1_{\sigma(i) = i}$, calcula $\E(F_n) = 1$, $\operatorname{Cov}(\mathbf 1_{\sigma(i)=i}, \mathbf 1_{\sigma(j)=j}) = \frac1{n^2(n-1)}$ para $i \neq j$, y concluye que $V(F_n) = 1$: de media queda una letra fija, con [varianza](#def-b2-randomvar-variance) exactamente $1$, sea cual sea $n$. **Solución de Ejercicio 22.11.** Con $I_i = \mathbf 1_{\sigma(i) = i}$: $\P(\sigma(i) = i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac1n$, luego $\E(F_n) = n\cdot\frac1n = 1$. Para $i \neq j$: $\P(\sigma(i) = i, \sigma(j) = j) = \frac{(n-2)!}{n!} = \frac1{n(n-1)}$, de donde $$ \operatorname{Cov}(I_i, I_j) = \frac1{n(n-1)} - \frac1{n^2} = \frac{1}{n^2(n-1)} . $$ Por la caja de herramientas de la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) ([Teorema 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules)), $$ V(F_n) = n\cdot\frac1n\Bigl(1 - \frac1n\Bigr) + n(n-1)\cdot\frac1{n^2(n-1)} = 1 - \frac1n + \frac1n = 1 . $$ Media $1$, [varianza](#def-b2-randomvar-variance) $1$, independientes de $n$; coherente con el límite de Poisson del problema de los emparejamientos ([Ejercicio 21.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#exo-b2-proba-5)). **Ejercicio 22.12 ★★★.** (Coleccionista de cromos, concentración) En el marco del [Ejercicio 22.3](#exo-b2-randomvar-3), prueba que $$ V(T_n) = \sum_{k=1}^n\frac{1 - k/n}{(k/n)^2} \leq n^2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} \leq \frac{\pi^2}{6}n^2, $$ usando la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) de las etapas geométricas y $V(\mathcal G(p)) = \frac{1-p}{p^2}$ ([Ejercicio 22.1](#exo-b2-randomvar-1); el valor $\pi^2/6$ es el [Ejemplo 14.12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel)). Deduce con Chebyshev que $\dfrac{T_n}{n\ln n} \to 1$ *en probabilidad*: el tiempo total del coleccionista es $n\ln n$ salvo fluctuaciones de orden $n$. **Solución de Ejercicio 22.12.** $T_n = \sum_{k=1}^nG_k$, donde $G_k \sim \mathcal G(k/n)$ es el tiempo hasta ver un juguete nuevo cuando faltan $k$, siendo las etapas [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence). De ahí, $$ V(T_n) = \sum_{k=1}^n\frac{1 - k/n}{(k/n)^2} \leq \sum_{k=1}^n\frac{n^2}{k^2} \leq \frac{\pi^2}6\,n^2 , $$ por el [Ejemplo 14.12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel). Con $\E(T_n) = nH_n$ y $H_n = \sum_1^n\frac1k$ ([Ejercicio 22.3](#exo-b2-randomvar-3)), Chebyshev da, para $\varepsilon > 0$, $$ \P\bigl(\abs{T_n - nH_n} \geq \varepsilon\,n\ln n\bigr) \leq \frac{\pi^2n^2/6}{\varepsilon^2n^2\ln^2 n} = \frac{\pi^2}{6\,\varepsilon^2\ln^2n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 . $$ Como $H_n \sim \ln n$, dividiendo entre $n\ln n$ se ve que $T_n/(n\ln n) \to 1$ en probabilidad: las fluctuaciones de $T_n$ son de orden $n$, despreciables frente a la media $n\ln n$. ## 22.6 Problema: la caja de herramientas de la concentración, de Markov a Hoeffding **Problema 22.1.** Problema de fin de semana — concentración exponencial a mano, y a cuánta gente ha de preguntar una encuesta La desigualdad de Markov cuesta un momento y compra un decaimiento $1/a$; Chebyshev cuesta dos momentos y compra $1/\varepsilon^2$; y el [Ejemplo 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp) muestra que eso es todo lo que esos momentos pueden comprar. Este problema sube el resto de la escalera: el método exponencial (de Chernoff) con su ritmo *exacto* para lanzamientos de moneda, la desigualdad de Hoeffding para todas las variables acotadas, y la recompensa: tamaños de muestra explícitos y honestos para encuestas, adjudicaciones electorales y contraste de monedas. En todo el problema, $S_n \sim \mathcal B(n, p)$ es una suma de $n$ variables de Bernoulli [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) y $\widehat p_n = S_n/n$ la frecuencia empírica. **Parte I — Calibración sobre la moneda equilibrada.** Aquí $p = \frac12$ y $a \in \intoo{\frac12}{1}$. 1. Markov al nivel $an$ : prueba que $\P(S_n \geq an) \leq \frac1{2a}$ , una cota que ni siquiera tiende a $0$ . ¿Dónde pierde tanto Markov? 2. Chebyshev: usando la simetría de la binomial equilibrada respecto de $n/2$, prueba que $$\P(S_n \geq an) = \tfrac12\, \P\bigl(\abs{S_n - \tfrac n2} \geq n(a - \tfrac12)\bigr) \leq \frac{1}{8n(a - 1/2)^2},$$ es decir, $\frac2n$ en $a = \frac34$: por fin, decaimiento polinómico. 3. (Chernoff, nivel general) Calcula $\E(\eu^{tS_n}) = \bigl(\frac{1 + \eu^t}2\bigr)^n$ y optimiza $\P(S_n \geq an) \leq \E(\eu^{tS_n})\eu^{-tan}$ en $t > 0$: prueba que el $t$ óptimo es $\ln\frac{a}{1-a}$ y que $$\P(S_n \geq an) \leq \eu^{-n\,I(a)}, \qquad I(a) = \ln 2 + a\ln a + (1-a)\ln(1-a) > 0 .$$ Comprueba que $a = \frac34$ recupera la cota $\bigl(2\cdot3^{-3/4}\bigr)^n$ del [Ejercicio 22.7](#exo-b2-randomvar-7). 4. (El exponente es exacto) Sea $k = an$ un entero. A partir de que $\binom nk a^k(1-a)^{n-k}$ es el mayor de los $n + 1$ términos de una [distribución](#def-b2-randomvar-law) de probabilidad, demuestra que $\binom nk \geq \frac{\eu^{nH(a)}}{n+1}$ con $H(a) = -a\ln a - (1-a)\ln(1-a)$, y deduce la cota inferior correspondiente $$\P(S_n \geq an) \geq \binom{n}{an}2^{-n} \geq \frac{\eu^{-n\,I(a)}}{n + 1} .$$ 5. Tabula las tres cotas en $n = 100$ , $a = \frac34$ : Markov $\frac23$ , Chebyshev $0.02$ , Chernoff $\approx 2.1\cdot10^{-6}$ (el valor verdadero es $\approx 2.8\cdot10^{-7}$ ). ¿La moraleja, en una frase? **Parte II — La desigualdad de Hoeffding.** 6. (Caso de Rademacher) Para $\varepsilon = \pm1$ con probabilidad $\frac12$ cada uno, demuestra que $$\E(\eu^{t\varepsilon}) = \cosh t \leq \eu^{t^2/2} \qquad (t \in \R)$$ comparando las dos series término a término ($(2k)! \geq 2^kk!$). 7. Deduce, para variables de Rademacher [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ y todo $s > 0$: $$\P\Bigl(\sum_{i=1}^n\varepsilon_i \geq s\Bigr) \leq \eu^{-s^2/(2n)} .$$ 8. Tradúcelo a monedas equilibradas ( $X_i = \frac{1+\varepsilon_i}2$ ): $\P\bigl(\widehat p_n - \tfrac12 \geq \delta\bigr) \leq \eu^{-2n\delta^2}$ , y la versión bilateral con un factor $2$ . 9. (Lema de Hoeffding) Sea $X \in \intcc01$ con $\E X = p$, y $\psi(t) = \ln\E(\eu^{tX})$. Justifica que $\psi$ es dos veces [diferenciable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) con $$\psi''(t) = \E_t(X^2) - \E_t(X)^2, \qquad \E_t(Y) := \frac{\E(Y\eu^{tX})}{\E(\eu^{tX})},$$ una *[varianza](#def-b2-randomvar-variance)* de una variable reponderada que sigue tomando valores en $\intcc01$; acótala por $\frac14$ (el argumento de minimalidad del [Ejercicio 22.6](#exo-b2-randomvar-6)) y concluye por Taylor: $$\E\bigl(\eu^{t(X - p)}\bigr) \leq \eu^{t^2/8} .$$ 10. (Desigualdad de Hoeffding) Para $X_i \in \intcc01$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) con media común $p$, deduce que $$\P\bigl(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta\bigr) \leq 2\,\eu^{-2n\delta^2} \qquad (\delta > 0).$$ 11. Compara el ritmo de Chebyshev $\frac{p(1-p)}{n\delta^2}$ con el $2\eu^{-2n\delta^2}$ de Hoeffding: ¿qué hipótesis exige cada uno, y a partir de qué $n$ (aproximadamente) gana la cota exponencial en $\delta = 0.03$ , $p = \frac12$ ? **Parte III — ¿A cuánta gente ha de preguntar una encuesta?** Una encuesta pregunta a $n$ votantes elegidos uniformemente y de manera [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence); cada uno responde con sinceridad; $p$ es el resultado verdadero y $\widehat p_n$ la cifra de la encuesta. 12. Prueba que la encuesta es precisa hasta $\pm\delta$ con confianza $1 - \alpha$ (es decir, $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq \alpha$) en cuanto $$n \;\geq\; \frac{\ln(2/\alpha)}{2\,\delta^2} .$$ 13. Calcula el $n$ necesario para la especificación estándar de “tres puntos, noventa y cinco por ciento” ( $\delta = 0.03$ , $\alpha = 0.05$ ): $n \geq 2050$ ; y para un punto: $n \geq 18\,445$ . Obsérvese —y explíquese— el hecho llamativo de que la respuesta no involucra el tamaño de la población. 14. Rehaz la pregunta 13 con Chebyshev ( $V(X_1) = p(1-p) \leq \frac14$ ): $n \geq \frac1{4\alpha\delta^2} = 5556$ con tres puntos. Nótese que muestrear *sin* reemplazamiento solo ayuda ( [Ejercicio 22.5](#exo-b2-randomvar-5) : la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) se encoge en $\frac{N-n}{N-1}$ ). 15. (Adjudicar una elección) El resultado verdadero de un candidato es $p = 0.52$ . ¿A cuántos votantes hay que encuestar para que $\P(\widehat p_n \leq \tfrac12) \leq 0.01$ ? Prueba que $n \geq \frac{\ln 100}{2\cdot(0.02)^2} \approx 5757$ : adjudicar una carrera reñida cuesta mucho más que estimar un resultado. 16. Lo que la matemática *no* cubre: enumera las hipótesis de modelización usadas (muestreo uniforme [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) , respuestas sinceras, $p$ fijo) y explica en un párrafo breve por qué los errores reales de las encuestas están dominados por el *sesgo* (muestreo no uniforme, falta de respuesta), que ningún aumento de $n$ reduce. **Parte IV — Más afiladas y más baratas.** 17. (Mediana de medias: decaimiento exponencial a partir de dos momentos) Repártase un presupuesto de $km$ muestras en $k$ grupos independientes de $m$; sean $\widehat p^{(1)}, \dots, \widehat p^{(k)}$ las medias de los grupos y $M$ su mediana. Elíjase $m$ de modo que cada grupo cumpla $\P(\abs{\widehat p^{(i)} - p} \geq \delta) \leq \frac18$ (Chebyshev: basta $m \geq \frac2{\delta^2}$). Prueba que si $\abs{M - p} \geq \delta$, entonces al menos $k/2$ grupos yerran, y deduce que $$\P(\abs{M - p} \geq \delta) \leq \binom{k}{\lceil k/2\rceil}\Bigl(\frac18 \Bigr)^{k/2} \leq 2^k\cdot 8^{-k/2} = 2^{-k/2} :$$ concentración exponencial usando nada más allá de las [varianzas](#def-b2-randomvar-variance). 18. (Paley–Zygmund) Para $X \geq 0$ con momento de orden dos, demuestra que $\P(X > 0) \geq \dfrac{\E(X)^2}{\E(X^2)}$ *(Cauchy–Schwarz sobre $X\mathbf 1_{X>0}$)* : la herramienta en sentido inverso; los momentos también pueden forzar a los [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) a ocurrir. 19. (Pinsker en versión ligera) Prueba que $I(a) \geq 2\bigl(a - \tfrac12\bigr)^2$ sobre $\intoo{\frac12}1$ *(la diferencia se anula hasta el segundo orden en $\frac12$ y su derivada segunda es $\frac1{a(1-a)} - 4 \geq 0$)* : el exponente exacto de Chernoff siempre gana al cuadrático de Hoeffding. 20. Desarrolla $I\bigl(\tfrac12 + \delta\bigr) = 2\delta^2 + O(\delta^4)$ y combínalo con la pregunta 4: para desviaciones pequeñas, el exponente $2n\delta^2$ de Hoeffding es asintóticamente *exacto* ; ningún método puede mejorarlo en más que factores polinómicos. 21. Redacta la tabla de la caja de herramientas: para Markov, Chebyshev, la cota de cuarto momento del [Ejercicio 22.9](#exo-b2-randomvar-9) , Hoeffding y Chernoff con exponente $I$ , indica en una línea cada uno: hipótesis requerida, decaimiento obtenido y la pregunta de este problema donde resultó más afilado. **Parte V — Dividendos.** 22. (Contrastar una moneda) Una moneda es equilibrada o está sesgada con $p = 0.55$ . Se lanza $n$ veces y se declara “sesgada” cuando $\widehat p_n > 0.525$ . Prueba que ambas probabilidades de error son a lo sumo $\eu^{-2n(0.025)^2}$ , y que $n \geq 3685$ lanzamientos garantizan que ambas queden por debajo del $1\,\%$ . 23. (Los [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) raros necesitan una cota consciente de la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) ) Sea $p = 0.01$ y tómese la especificación relativa $\delta = p/2 = 0.005$ , $\alpha = 0.05$ . Compara los tamaños de muestra que exigen Hoeffding ( $n \approx 74\,000$ ) y Chebyshev con la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) verdadera $p(1-p)$ ( $n \approx 7920$ ): la cota exponencial, ciega a la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) , pierde frente al humilde momento de orden dos. Enuncia la moraleja y di de dónde vendrá la herramienta que falta (una cota exponencial consciente de la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) ; la aproximación de Poisson del [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun) ). 24. ( [Ley](#def-b2-randomvar-law) fuerte para monedas) A partir de $\sum_n 2\eu^{-2n\delta^2} < \infty$ y de Borel–Cantelli ( [Teorema 21.25](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-borelcantelli) ), demuestra que $\widehat p_n \to p$ casi seguramente para lanzamientos de moneda [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) : formula el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) casi seguro como $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N} \{\abs{\widehat p_n - p} < \tfrac1j\}$ , como en el [Ejercicio 22.9](#exo-b2-randomvar-9) , y concluye. (La acotación sustituye al cuarto momento usado allí.) 25. Síntesis. En cinco frases: qué cuesta y qué compra cada peldaño de la escalera (momentos uno, dos y cuatro; exponencial acotada; exponente exacto); por qué encuestar a $2050$ personas basta para un país de cualquier tamaño; y cuál de estas cotas afilará el volumen del tercer año hasta las constantes exactas del teorema central del límite. **Solución de Problema 22.1.** **1.** $\E(S_n) = \frac n2$ y Markov ([Teorema 22.15](#thm-b2-randomvar-markov)) dan $\P(S_n \geq an) \leq \frac{n/2}{an} = \frac1{2a}$. Markov solo conoce la media: no puede distinguir una variable concentrada en $n/2$ de otra repartida entre $0$ y $n$, así que tarifa la cola como si toda la masa pudiera estar allí. **2.** La binomial equilibrada es [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) respecto de $n/2$ ($S_n$ y $n - S_n$ tienen la misma [ley](#def-b2-randomvar-law)), de modo que, con $x = n(a - \frac12) > 0$, los dos [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\{S_n - \frac n2 \geq x\}$ y $\{S_n - \frac n2 \leq -x\}$ son disjuntos y equiprobables: $\P(S_n \geq an) = \frac12\P(\abs{S_n - \frac n2} \geq x)$. Chebyshev con $V(S_n) = \frac n4$: $$ \P(S_n \geq an) \leq \frac12\cdot\frac{n/4}{n^2(a - 1/2)^2} = \frac1{8n(a - 1/2)^2}, $$ que vale $\frac2n$ en $a = \frac34$. **3.** Por la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) y el teorema del producto, $\E(\eu^{tS_n}) = \bigl(\E \eu^{tX_1}\bigr)^n = \bigl(\frac{1 + \eu^t}2\bigr)^n$. Markov aplicado a $\eu^{tS_n}$: $$ \P(S_n \geq an) \leq \eu^{-tan}\Bigl(\frac{1 + \eu^t}2\Bigr)^{\!n} = \exp\Bigl(n\bigl(\ln\tfrac{1 + \eu^t}2 - ta\bigr)\Bigr). $$ La derivada del exponente en $t$ es $\frac{\eu^t}{1 + \eu^t} - a$, que se anula en $\eu^t = \frac a{1-a}$, es decir, $t^* = \ln\frac a{1-a} > 0$; allí, $\frac{1 + \eu^{t^*}}2 = \frac1{2(1-a)}$ y el exponente vale $$ n\Bigl(-\ln 2 - \ln(1-a) - a\ln\frac a{1-a}\Bigr) = -n\bigl(\ln2 + a\ln a + (1-a)\ln(1-a)\bigr) = -n\,I(a), $$ con $I(\frac12) = 0$ e $I'(a) = \ln\frac a{1-a} > 0$ sobre $\intoo{\frac12}1$: $I(a) > 0$. En $a = \frac34$: $\eu^{-I(3/4)} = \frac12(\tfrac34)^{-3/4}(\tfrac14)^{-1/4} = 2\cdot3^{-3/4}$, la cota del [Ejercicio 22.7](#exo-b2-randomvar-7). **4.** Los $n + 1$ números $\binom nja^j(1-a)^{n-j}$ suman $1$, y el mayor es el de $j = k = an$ (la moda de $\mathcal B(n, a)$ es $\floor{(n+1)a} = k$ aquí). Un máximo de $n + 1$ números que suman $1$ es al menos $\frac1{n+1}$: $$ \binom nk a^k(1-a)^{n-k} \geq \frac1{n+1} \quad\Longrightarrow\quad \binom nk \geq \frac{a^{-an}(1-a)^{-n(1-a)}}{n+1} = \frac{\eu^{nH(a)}}{n+1}. $$ De ahí, $\P(S_n \geq an) \geq \binom{n}{an}2^{-n} \geq \eu^{n(H(a) - \ln2)}/(n+1) = \eu^{-nI(a)}/(n+1)$: salvo el factor polinómico $n + 1$, el exponente de Chernoff es la verdad. **5.** $n = 100$, $a = \frac34$: Markov $\frac23$; Chebyshev $\frac2{100} = 0.02$; Chernoff $(2\cdot3^{-3/4})^{100} = \eu^{-100\,I(3/4)} \approx 2.1\cdot10^{-6}$, frente al valor exacto $2.8\cdot10^{-7}$. Moraleja: cada momento de información divide la cota polinómicamente; el momento exponencial cambia su *naturaleza*. **6.** $\cosh t = \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{(2k)!}$ y $\eu^{t^2/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{2^kk!}$; la afirmación se sigue término a término de $(2k)! \geq 2^kk!$, que vale por inducción: $(2k)! = 2k(2k-1)\cdot(2k-2)! \geq 2k\cdot 2^{k-1}(k-1)! = 2^kk!\cdot(2k-1) \geq 2^kk!$. **7.** Por la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), $\E\bigl(\eu^{t\sum\varepsilon_i} \bigr) = (\cosh t)^n \leq \eu^{nt^2/2}$, de modo que Markov da $\P(\sum\varepsilon_i \geq s) \leq \eu^{nt^2/2 - ts}$; minimizando en $t = s/n$ resulta $\eu^{-s^2/(2n)}$. **8.** Con $X_i = \frac{1 + \varepsilon_i}2$, $\widehat p_n - \frac12 = \frac1{2n}\sum\varepsilon_i$, luego $\{\widehat p_n - \frac12 \geq \delta\} = \{\sum\varepsilon_i \geq 2n\delta\}$ y la pregunta 7 da la cota $\eu^{-(2n\delta)^2/(2n)} = \eu^{-2n\delta^2}$. El suceso simétrico tiene la misma cota, de donde el factor $2$ para $\abs{\widehat p_n - \frac12} \geq \delta$. **9.** $\E(\eu^{tX}) = \sum_x\eu^{tx}\P(X = x)$ es una serie de funciones regulares de $t$ cuyas derivadas término a término están dominadas, sobre todo intervalo [compacto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) de $t$, por $\eu^{\abs t}\P(X = x)$ (pues $0 \leq x \leq 1$): por el teorema de derivación para series [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) convergentes ([Teorema 10.7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-differentiation)) es dos veces [diferenciable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential), y la regla del cociente da $\psi' = \E_t(X)$ y $\psi'' = \E_t(X^2) - \E_t(X)^2$, donde $\E_t$ es la [esperanza](#def-b2-randomvar-expectation) para los pesos reponderados $\eu^{tx}\P(X{=}x)/\E(\eu^{tX})$: no negativos, de suma $1$ y llevados por los mismos valores $x \in \intcc01$. Una [varianza](#def-b2-randomvar-variance) de una variable con valores en $\intcc01$ es a lo sumo $\frac14$: por el [Ejercicio 22.6](#exo-b2-randomvar-6), vale $\min_c\E_t((X - c)^2) \leq \E_t\bigl((X - \tfrac12)^2\bigr) \leq \tfrac14$. Taylor con resto integral, usando $\psi(0) = 0$ y $\psi'(0) = p$: $$ \psi(t) = tp + \int_0^t(t - s)\,\psi''(s)\,\dd s \leq tp + \frac{t^2}2\cdot\frac14, $$ es decir, $\E(\eu^{t(X - p)}) \leq \eu^{t^2/8}$ para todo $t$ real. **10.** Por la [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), $\E\bigl(\eu^{t(S_n - np)}\bigr) \leq \eu^{nt^2/8}$; Markov y la optimización $t = 4\delta$ dan $$ \P(\widehat p_n - p \geq \delta) \leq \eu^{nt^2/8 - tn\delta}\Big|_{t = 4\delta} = \eu^{-2n\delta^2}; $$ y aplicar esto a las variables $1 - X_i$ (también en $\intcc01$) acota la otra cola, de donde el $2\eu^{-2n\delta^2}$ bilateral. **11.** Chebyshev solo necesita un momento de orden dos y da $\frac{p(1-p)}{n\delta^2}$; Hoeffding necesita la *acotación* y da $2\eu^{-2n\delta^2}$. En $p = \frac12$, $\delta = 0.03$: las cotas son $\frac{278}{n}$ (aproximadamente) frente a $2\eu^{-0.0018n}$; se cruzan cerca de $n \approx 1200$, a partir de donde gana la cota exponencial, y con creces ($n = 5000$: $0.056$ frente a $2.5\cdot10^{-4}$). **12.** Por Hoeffding (pregunta 10), $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq 2\eu^{-2n\delta^2} \leq \alpha$ en cuanto $2n\delta^2 \geq \ln\frac2\alpha$, es decir, $n \geq \frac{\ln(2/\alpha)}{2\delta^2}$. **13.** $\delta = 0.03$, $\alpha = 0.05$: $n \geq \frac{\ln 40}{2\cdot0.0009} \approx 2049.4$: $2050$ personas. Para $\delta = 0.01$: $n \geq \frac{\ln40}{0.0002} \approx 18\,445$. El tamaño de la población no aparece nunca porque cada votante muestreado se modela como una extracción de Bernoulli$(p)$ nueva: la dificultad de la encuesta es la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) de una moneda, no el tamaño del país. Reducir a la mitad el margen cuesta cuatro veces la muestra: la [ley](#def-b2-randomvar-law) $1/\delta^2$. **14.** Chebyshev: $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq \frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leq \frac1{4n\delta^2} \leq \alpha$ para $n \geq \frac1{4\alpha\delta^2}$, es decir, $5556$ con tres puntos: unas $2.7$ veces lo que exige Hoeffding. Sin reemplazamiento, la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) queda multiplicada por $\frac{N - n}{N-1} < 1$ ([Ejercicio 22.5](#exo-b2-randomvar-5)), de modo que el mismo $n$ solo puede hacerlo mejor: el cálculo con reemplazamiento es el conservador. **15.** $\{\widehat p_n \leq \frac12\} \subseteq \{\widehat p_n - 0.52 \leq -0.02\}$, así que, por la cota unilateral de Hoeffding, $\P(\widehat p_n \leq \tfrac12) \leq \eu^{-2n(0.02)^2} \leq 0.01$ en cuanto $n \geq \frac{\ln 100}{2\cdot0.0004} \approx 5756.5$: $5757$ votantes. El coste escala como el inverso del cuadrado de la *ventaja*, no de la precisión deseada: las carreras reñidas son caras. **16.** Se usó: que la muestra se extrae uniformemente y de manera [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) del electorado; que toda persona muestreada responde, y con sinceridad; y que $p$ no se mueve durante el trabajo de campo. Las encuestas reales violan las tres: las personas localizables y dispuestas no son una muestra uniforme (sesgo de selección y de no respuesta), y las respuestas pueden ser insinceras o inestables. Son errores de *sesgo*: desplazan $\E(\widehat p_n)$ respecto de $p$ en una cantidad independiente de $n$, de modo que ningún tamaño de muestra los reduce; la matemática de esta parte controla únicamente el término de fluctuación. **17.** Chebyshev para un grupo de tamaño $m$: $\P(\abs{ \widehat p^{(i)} - p} \geq \delta) \leq \frac{1}{4m\delta^2} \leq \frac18$ para $m \geq \frac2{\delta^2}$. Si yerran menos de $k/2$ grupos, entonces más de $k/2$ de los valores $\widehat p^{(i)}$ están en el intervalo [abierto](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology) $\intoo{p - \delta}{p + \delta}$, y su mediana también; de modo que $\{\abs{M - p} \geq \delta\}$ fuerza al menos $\lceil k/2\rceil$ errores entre $k$ grupos [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence). La cota de la unión sobre los $\binom k{\lceil k/2\rceil}$ conjuntos posibles de grupos que yerran da $$ \P(\abs{M - p} \geq \delta) \leq \binom{k}{\lceil k/2\rceil} \Bigl(\frac18\Bigr)^{k/2} \leq 2^k\,8^{-k/2} = 2^{-k/2} : $$ decaimiento exponencial en el número de grupos, comprado con nada más que [varianzas](#def-b2-randomvar-variance); útil precisamente cuando los sumandos no están acotados y Hoeffding no está disponible. **18.** Cauchy–Schwarz ([Teorema 22.19](#thm-b2-randomvar-jensen)): $$ \E(X) = \E(X\,\mathbf 1_{X>0}) \leq \sqrt{\E(X^2)}\sqrt{\E(\mathbf 1_{X>0}^2)} = \sqrt{\E(X^2)\,\P(X > 0)} ; $$ elévese al cuadrado y divídase. **19.** Sea $h(a) = I(a) - 2(a - \tfrac12)^2$. Entonces $h(\tfrac12) = 0$, $h'(a) = \ln\frac a{1-a} - 4(a - \tfrac12)$ se anula en $\tfrac12$, y $$ h''(a) = \frac1a + \frac1{1-a} - 4 = \frac{1}{a(1-a)} - 4 \geq 0 $$ puesto que $a(1-a) \leq \frac14$. Así pues, $h'$ crece desde $0$ sobre $\intco{\frac12}1$, luego $h' \geq 0$ y $h \geq 0$: $I(a) \geq 2(a - \tfrac12)^2$. **20.** $I(\tfrac12) = I'(\tfrac12) = 0$ y $I''(a) = \frac1{a(1-a)}$ dan $I''(\tfrac12) = 4$, y $I'''(\tfrac12) = 0$ (la función es [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) respecto de $\tfrac12$), de modo que $I(\tfrac12 + \delta) = 2\delta^2 + O(\delta^4)$. La pregunta 4 acota entonces la cola verdadera *por debajo* mediante $\eu^{-n(2\delta^2 + O(\delta^4))}/(n+1)$: para $\delta$ pequeño, el exponente $2n\delta^2$ de Hoeffding es asintóticamente exacto; solo son posibles mejoras polinómicas en $n$. **21.** Markov: un momento, decaimiento $1/a$, útil solo como motor de los demás (la pregunta 1 lo muestra plano). Chebyshev: dos momentos, decaimiento $\frac{V}{n\delta^2}$, óptimo sin hipótesis adicionales ([Ejemplo 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp)), y la mejor herramienta en la pregunta 23. Cuarto momento ([Ejercicio 22.9](#exo-b2-randomvar-9)): decaimiento $C/n^2$, justo la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) necesaria para una ley fuerte. Hoeffding: variables acotadas, decaimiento $2\eu^{-2n\delta^2}$, el caballo de batalla de la parte III. Chernoff con el ritmo exacto $I(a)$: momentos exponenciales [completos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete), exponente insuperable (preguntas 4 y 20), el punto de referencia de todo lo demás. **22.** Si la moneda es equilibrada: $\P(\widehat p_n > 0.525) \leq \P(\widehat p_n - \tfrac12 \geq 0.025) \leq \eu^{-2n(0.025)^2}$. Si $p = 0.55$: $\P(\widehat p_n \leq 0.525) \leq \P(\widehat p_n - 0.55 \leq -0.025) \leq \eu^{-2n(0.025)^2}$. Ambos errores quedan por debajo de $0.01$ cuando $2n(0.025)^2 \geq \ln 100$, es decir, $n \geq 3684.2$: $3685$ lanzamientos. (Distinguir hipótesis separadas $2.5$ puntos cuesta lo mismo que estimar con $\pm2.5$ puntos.) **23.** Hoeffding: $n \geq \frac{\ln 40}{2(0.005)^2} \approx 73\,778$. Chebyshev con la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) verdadera $p(1-p) = 0.0099$: $n \geq \frac{0.0099}{0.05\cdot(0.005)^2} = 7920$: nueve veces más barato. El exponente $2n\delta^2$ de Hoeffding tarifa la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) en su peor caso $\frac14$, absurdamente pesimista cuando $p = 0.01$; el humilde momento de orden dos sabe más. La herramienta que falta es una cota exponencial consciente de la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) (la desigualdad de Bernstein, tercer año) o, para [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) raros, la aproximación de Poisson demostrada en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun), que trabaja en la escala relativa natural. **24.** Fíjese $\delta > 0$: $\sum_n 2\eu^{-2n\delta^2} < \infty$ (una serie de tipo geométrico), de modo que Borel–Cantelli 1 ([Teorema 21.25](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-borelcantelli)) da $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta \text{ infinitas veces}) = 0$; es decir, el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $E_j = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - p} < \tfrac1j\}$ tiene probabilidad $1$ para cada $j$. La intersección [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) $\bigcap_jE_j$ sigue teniendo probabilidad $1$ (subaditividad sobre los complementarios), y sobre ella $\widehat p_n \to p$: la ley fuerte de los grandes números para lanzamientos de moneda, con la acotación desempeñando el papel que allí desempeñaba el cuarto momento ([Ejercicio 22.9](#exo-b2-randomvar-9)). **25.** Un momento compra una cota plana; dos compran $1/(n\delta^2)$, y no más (el ejemplo de optimalidad); cuatro compran $1/n^2$, suficiente para telescopar en una [ley](#def-b2-randomvar-law) casi segura; la acotación compra $\eu^{-2n\delta^2}$; y el momento exponencial [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) compra el ritmo exacto $I$, que ningún método supera. Encuestar a $2050$ personas basta para cualquier país porque la fluctuación de la muestra la gobierna la [varianza](#def-b2-randomvar-variance) de la moneda, no el tamaño de la población; las etiquetas de precio $1/\delta^2$ y $\ln(1/\alpha)$ son universales. El teorema central del límite del volumen del tercer año sustituye estas desigualdades, en la escala $\sqrt n$, por una [ley](#def-b2-randomvar-law) límite exacta con constantes explícitas, convirtiendo toda cota de este problema en una igualdad asintótica.