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title: "Funciones generatrices de probabilidad"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad
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# Capítulo 23 — Funciones generatrices de probabilidad

Las series de potencias del [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries) vuelven con una misión probabilista: a una [variable aleatoria](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) con valores en $\N$ le asociamos la serie de potencias de coeficientes $\P(X = n)$. Esta *[función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci)* convierte las sumas de variables [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) en productos, los momentos en derivadas en $1$ y las identidades combinatorias difíciles en multiplicaciones de una línea. El capítulo cierra el libro con dos piezas de lucimiento: la aproximación de Poisson de los [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) raros y el criterio de extinción de los [procesos de ramificación](#pb-b2-genfun-1), un cálculo probabilista genuinamente infinito resuelto por entero mediante la geometría de una curva convexa.

## 23.1 Definición y propiedades básicas

**Definición 23.1 (Función generatriz de probabilidad).**

Sea $X$ una [variable aleatoria](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) con valores en $\N$, y $p_n = \P(X =
n)$. La *función generatriz de probabilidad* de $X$ es la suma de la serie de potencias

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

**Ejemplo 23.2 (Primeros reflejos).**

Una variable constante $X = c$ tiene $G_X(t) = t^c$; un desplazamiento obedece a $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; y evaluar en puntos especiales permite leer información sin desarrollo alguno: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$ y $G_X(-1) = \P(X\text{ par}) -
\P(X\text{ impar})$, el balance de paridades explotado en el [Ejercicio 23.10](#exo-b2-genfun-10). Estas fórmulas de una línea se usan calladamente en todo lo que sigue; y la evaluación $G_X(0)$ es exactamente cómo se extraerán las probabilidades de extinción de las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) iteradas al final del capítulo.

**Proposición 23.3 (Radio y primeras propiedades).**

La serie que define $G_X$ tiene [radio de convergencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-radius) $\geq 1$; $G_X$ está definida y es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intcc{-1}{1}$ y $\mathcal{C}^\infty$ sobre $\intoo{-1}{1}$, con $G_X(1) = 1$ y $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ahí. Además, $G_X$ determina la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de $X$:

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**Demostración.** Como $\sum p_n = 1$ converge, los términos $p_n\,1^n$ están acotados, de modo que el radio es $\geq 1$ (lema de Abel, [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)); en $t = \pm1$ la serie converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) ($\sum p_n = 1$ la domina); mejor aún, sobre todo el intervalo $\intcc{-1}1$,

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{con}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

la serie converge *[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series)* sobre $\intcc{-1}1$, así que su suma es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) ahí (Teoremas [10.16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-weierstrass) y [10.4](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#thm-b2-funcseq-continuity)). La regularidad en el interior y la fórmula de los coeficientes son la teoría general de las series de potencias; y como los coeficientes se recuperan, dos variables con la misma [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) tienen la misma [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law). ∎

**Ejemplo 23.4 (Las leyes clásicas).**

- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
- Binomial $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (teorema del binomio).
- Geométrica $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (radio $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (radio $\infty$ ).

**Ejemplo 23.5 (Integrar la función generatriz).**

Las derivadas de $G_X$ en $1$ dan los momentos positivos; la *integral* da uno negativo. De $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ y la integración término a término ([convergencia normal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#def-b2-funcseq-series) sobre $\intcc01$):

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

lo que recupera en una línea el cálculo con series del [Ejemplo 22.10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ex-b2-randomvar-transferex). La [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) es un instrumento de doble sentido: derívese en $1$ para los momentos $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, e intégrese sobre $\intcc01$ para $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$; un único objeto [analítico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-analytic), interrogado en la dirección que el problema necesite.

**Ejemplo 23.6 (Una ley de radio exactamente uno).**

Sea $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ para $k \geq 1$; una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de probabilidad por la identidad de Basilea ([Ejemplo 14.12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel)). Su [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G(t) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ tiene [radio de convergencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-radius) exactamente $1$: la cota general “radio $\geq
1$” de la [Proposición 23.3](#prop-b2-genfun-radius) no puede mejorarse. Y la media es

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

$G$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intcc{-1}1$ y regular en el interior, pero su derivada estalla en $1^-$; la gráfica llega al punto $(1, 1)$ con tangente vertical. Las colas pesadas son visibles *geométricamente* en la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), en el único punto $t
= 1$; el teorema de los momentos de más abajo hace exacta esa correspondencia.

**Teorema 23.7 (Momentos a partir de la función generatriz).**

$X$ tiene [esperanza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation) si y solo si $G_X$ es [diferenciable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) en $1^-$ (derivada por la izquierda, finita), y entonces $\E(X) = G_X'(1)$. Análogamente, $X$ tiene momento de orden dos si y solo si $G_X$ es dos veces [diferenciable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) en $1^-$, y entonces

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**Demostración.** Para $t \in \intoo{0}{1}$, la derivación término a término dentro del disco da $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$, una serie de coeficientes no negativos: $t \mapsto G_X'(t)$ es no decreciente sobre $\intoo{0}{1}$ y, por la convergencia monótona de las sumas parciales (o el teorema de Abel para coeficientes no negativos, [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)),

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

siendo cada miembro finito exactamente cuando lo es el otro. Cuando es finito, el teorema del valor medio encaja los cocientes incrementales $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ entre valores de $G_X'$, de modo que $G_X$ es [diferenciable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential) en $1^-$ con $G_X'(1) =
\sum np_n = \E(X)$ (por transferencia). El enunciado de segundo orden repite el argumento un nivel más arriba: $G''_X(t) =
\sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ es no decreciente sobre $\intoo01$ con límite monótono $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$, finito exactamente cuando $X$ tiene momento de orden dos. La fórmula de la [varianza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance) se sigue entonces de König–Huygens:

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**Ejemplo 23.8.**

Poisson: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, luego $\E(X) = \lambda$; y $G''(1) = \lambda^2$, luego $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2
= \lambda$; los cálculos del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar) en una línea cada uno.

**Ejemplo 23.9 (La moda de una ley de Poisson).**

¿Dónde es mayor $\P(X = k)$ para $X \sim \mathcal P(\lambda)$? Los pesos consecutivos se comparan mediante el cociente

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

que supera $1$ mientras $k < \lambda - 1$ y cae por debajo de $1$ en cuanto $k > \lambda - 1$: los pesos suben y luego bajan, con moda $\floor\lambda$ (y un empate entre $\lambda - 1$ y $\lambda$ cuando $\lambda$ es entero: para $\lambda = 3$, $\P(X = 2) = \P(X = 3) =
\frac92\eu^{-3} \approx 0.224$). Los criterios del cociente sobre los coeficientes suelen ser la vía más rápida hacia los hechos cualitativos de una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) discreta; no hace falta ninguna [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), pero los coeficientes *son* la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), leída término a término.

## 23.2 Sumas de variables independientes

**Teorema 23.10 (Multiplicatividad).**

Si $X$ e $Y$ son [variables aleatorias](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) con valores en $\N$, entonces

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

y por inducción, $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ para $X_1,
\dots, X_n$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence).

**Demostración.** Dos demostraciones, ambas instructivas. *Vía [esperanzas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation):* $t^X$ y $t^Y$ son variables acotadas [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), de modo que ([Teorema 22.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*Vía [productos de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini):* la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de $X + Y$ es la convolución $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$, y el teorema del [producto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#thm-b2-series-fubini) para series [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergentes ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)) multiplica las dos series de potencias exactamente a lo largo de esa convolución. ∎

**Ejemplo 23.11 (Estabilidad de las leyes clásicas).**

Las binomiales [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) con el mismo $p$ se suman: $(1 - p +
pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$, luego $\mathcal{B}(m, p) +
\mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$; en particular, una suma de $n$ variables de Bernoulli [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) es binomial, lo que vuelve a demostrar la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) del número de éxitos. Las de Poisson [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) se suman: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda +
\mu)(t-1)}$, luego $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) =
\mathcal{P}(\lambda + \mu)$; el cálculo de convolución del [Ejercicio 22.2](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#exo-b2-randomvar-2), ahora sin cálculo.

**Ejemplo 23.12 (Dos dados, un polinomio al cuadrado).**

Para un dado equilibrado, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$; para la suma de dos,

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) triangular de las sumas de dados ($7$ es la moda, con probabilidad $\frac6{36} = \frac16$), leída en un cuadrado de polinomio que se desarrolla una vez en la vida. La fórmula de la convolución habría exigido once argumentos de recuento por separado; la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) los hace todos a la vez, porque multiplicar polinomios *es* convolucionar coeficientes. Esta traducción mecánica —leyes a coeficientes, sumas a productos— es todo el modelo de negocio del capítulo, y el [Ejercicio 23.11](#exo-b2-genfun-11) lo lleva hasta los sorprendentes dados de Sicherman.

**Ejemplo 23.13 (Tres dados y una extracción de coeficiente).**

Para la suma $S$ de tres dados equilibrados, $\P(S = 10)$ es el coeficiente de $t^{10}$ en $\bigl(\frac{t + \dots + t^6}6\bigr)^3$. Factorícese y desarróllese con las series binomial y geométrica:

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

El coeficiente de $t^{10}$ requiere un $t^7$ del producto: $j = 7$ con el término $1$, y $j = 1$ con el término $-3t^6$:

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

Enumerar directamente las $27$ ternas es propenso a errores; el álgebra es mecánica y escala a cualquier número de dados: la inclusión-exclusión visible en $(1 - t^6)^3$ hace el análisis de casos automáticamente.

**Ejemplo 23.14 (Leer una ley en su función generatriz).**

¿Qué [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) tiene $G(t) = \dfrac1{2 - t}$? Desarróllese en serie de potencias:

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

coeficientes no negativos que suman $G(1) = 1$, de modo que es una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) genuina, $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ sobre $\N$; una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica que empieza en $0$. Por la unicidad ([Proposición 23.3](#prop-b2-genfun-radius)), ninguna otra [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) comparte esta $G$. Reconocer [leyes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) a partir de sus [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) es una destreza que conviene ejercitar: así se desenmascara el iterado crítico de ramificación $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ del problema de fin de semana como una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica condicionada a la supervivencia.

**Observación 23.15.**

La estabilidad va en un solo sentido: las sumas de variables de Poisson [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) son de Poisson, pero las diferencias no; $X -
Y$ toma valores negativos, de modo que no tiene [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) en absoluto, y su [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) (la [distribución](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de Skellam) queda fuera de la caja de herramientas de este capítulo. Igualmente, $\mathcal B(m, p)
+ \mathcal B(n, p')$ con $p \neq p'$ *no* es binomial: el producto $(1 - p + pt)^m(1 - p' + p't)^n$ tiene dos localizaciones distintas de raíces, mientras que toda [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) binomial tiene una única raíz repetida. Leer la estabilidad en los patrones de raíces es un pequeño anticipo de cuánta estructura codifica el polinomio.

**Observación 23.16 (El filtro de las raíces de la unidad).**

Evaluar en $-1$ separa lo par de lo impar; evaluar en todas las raíces $m$-ésimas de la unidad separa cada clase de restos: con $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$,

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

ya que promediar $\omega^{j(k-r)}$ sobre $j$ da $1$ si $k \equiv r$ y $0$ en caso contrario. Dividendo de muestra: para la suma $S$ de dos dados equilibrados, cada $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6
\omega^{jk} = -\frac16$ para $j \neq 0$ (las siete raíces séptimas de la unidad suman cero), de modo que

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

lo que confirma el recuento del [Ejemplo 23.12](#ex-b2-genfun-twodice); y el método escala a preguntas donde el recuento directo no llega.

**Teorema 23.17 (Sumas aleatorias: la identidad de Wald para funciones generatrices).**

Sean $(X_k)_{k\geq1}$ variables [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) con valores en $\N$, la misma [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) y [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, y sea $N$ una variable con valores en $\N$, [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) de las $X_k$ y de [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_N$. Entonces la suma aleatoria $S = X_1 + \dots +
X_N$ (con $S = 0$ cuando $N = 0$) tiene [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

En particular, si $N$ y $X_1$ tienen [esperanza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation), $\E(S) =
\E(N)\,\E(X_1)$.

**Demostración.** Condiciónese a $N$ (probabilidad total, [Teorema 21.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-bayes)): para $\abs t \leq 1$,

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

usando la multiplicatividad para cada $n$ fijo y la [sumabilidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) de toda la familia doble ($\abs{G_X(t)} \leq 1$). El intercambio de sumaciones es Fubini para [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)). Derivando en $1^-$ por la regla de la cadena y el [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments): $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1) =
G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$. ∎

**Ejemplo 23.18 (Poisson compuesta: las pérdidas anuales de una aseguradora).**

Una aseguradora recibe $N \sim \mathcal P(\lambda)$ siniestros en un año, y cada siniestro cuesta $X_k$ (unidades enteras, i.i.d., con [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, media $\mu$ e independiente de $N$). Por el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), la pérdida total $S$ tiene

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

y derivando dos veces en $1^-$:

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

La [varianza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance) involucra el momento *segundo* de un siniestro aislado, y no su [varianza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance): una suma de Poisson compuesta siente dos veces el siniestro grande ocasional, una por cuántos y otra por lo grande. Para $\lambda = 10$ siniestros de [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica de media $2$ ($\E X^2 = 6$): $\E S = 20$, $V(S) = 60$, y Chebyshev ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)) ya rinde márgenes de solvencia utilizables. Este patrón de “suma detenida al azar” es el mismo que impulsará la recursión de ramificación de la [Proposición 23.23](#prop-b2-genfun-branching): la composición de [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) es el álgebra de las poblaciones aleatorias.

**Observación 23.19.**

La [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) de $N$ respecto de los sumandos no es decorativa. Tómense $X_k \in \{0, 2\}$ con igual probabilidad y hágase $N = X_1$ (flagrantemente dependiente): entonces $S = X_1 + \dots + X_N$ vale $0$ cuando $X_1 = 0$, y $2 + X_2$ cuando $X_1 = 2$, de modo que $\E(S) = \frac12(2 + 1) = \frac32$, mientras que $\E(N)\E(X_1) =
1\cdot1 = 1$: la identidad de Wald falla. Cuando se permite que el número de términos *reaccione* a los propios términos, la estructura limpia de producto se derrumba; la teoría completa de esas reglas de “parada” es el capítulo de martingalas del volumen del tercer año.

## 23.3 Aproximación de Poisson

**Teorema 23.20 (Ley de los sucesos raros).**

Sea $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ con $n\,p_n \to \lambda > 0$. Entonces, para todo $k \in \N$:

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) binomial de muchos [sucesos independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) raros converge a la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de Poisson de parámetro $\lambda$.

**Demostración.** Cálculo directo con $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$, $\lambda_n \to
\lambda$:

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

Cuando $n \to \infty$ con $k$ fijo: el primer factor tiende a $1$ (producto de $k$ factores $\to 1$); $\lambda_n^k \to \lambda^k$; y $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} = \exp\bigl((n-k)\ln(1 -
\frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to e^{-\lambda}$, pues $(n - k)\ln\bigl(1
- \frac{\lambda_n}{n}\bigr) \sim -\lambda_n \to -\lambda$ ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ch-b2-comparison)). Alternativamente, al nivel de las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci): $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ para cada $t \in [0, 1]$ fijo; la convergencia de las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), que (para variables con valores en $\N$) equivale a la convergencia de cada $\P(X_n = k)$; véase el [Ejercicio 23.9](#exo-b2-genfun-9). ∎

**Observación 23.21.**

Por eso las [leyes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de Poisson modelan recuentos de [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) raros —erratas por página, desintegraciones radiactivas por segundo, accidentes diarios en un cruce—: cada oportunidad es casi despreciable, las oportunidades son muchas y en el límite solo sobrevive la tasa media $\lambda$.

**Ejemplo 23.22 (Ver converger el límite de Poisson).**

Fíjese $\lambda = 2$ y sea $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$. La probabilidad de ningún [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) es exactamente $\P(X_n = 0) = (1 -
2/n)^n$:

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

frente al límite $\eu^{-2} \approx 0.135$. La convergencia es monótona y de velocidad $O(1/n)$ —desarrollando, $(1 - 2/n)^n =
\eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$—, de modo que para $n$ en los cientos el modelo de Poisson ya es preciso hasta la tercera cifra. Ese es el contenido práctico de la ley de los sucesos raros: quien modela nunca conoce $n$ y $p$ por separado (¿cuántas microoportunidades de errata alberga una página?), sino solo su producto $\lambda$, y la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) límite, misericordiosamente, no depende de nada más.

## 23.4 Procesos de ramificación

Considérese una población que arranca de un único antepasado; cada individuo, de manera [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), tiene un número aleatorio de hijos con [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k \in \N}$ y [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ (la *[distribución](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de la descendencia*). Sea $Z_n$ el tamaño de la generación $n$ ($Z_0 = 1$), y sea $m = G'(1) = \E(Z_1)$ el número medio de hijos.

**Proposición 23.23.**

La [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de $Z_n$ es el $n$-ésimo iterado $G_{Z_n} = G
\circ G \circ \dots \circ G$ ($n$ veces), y las probabilidades de extinción $q_n = \P(Z_n = 0)$ cumplen

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

y crecen hasta la probabilidad $q$ de extinción final, que es un punto fijo de $G$.

**Demostración.** La generación $n + 1$ es la suma aleatoria de la descendencia de los $Z_n$ miembros de la generación $n$, con recuentos [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) entre sí y de $Z_n$: el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound) da $G_{Z_{n+1}}
= G_{Z_n} \circ G$, y la inducción desde $G_{Z_0}(t) = t$ rinde el iterado $n$-ésimo, que, por la asociatividad de la composición, puede leerse igualmente como $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$. Evaluando esta segunda forma en $0$: $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) =
G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$. Los [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) $\{Z_n = 0\}$ crecen (las poblaciones extinguidas siguen extinguidas), de modo que $q_n
\uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) monótona ([Teorema 21.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#thm-b2-proba-continuity)), y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $G$ sobre $[0, 1]$ convierte $q_{n+1} = G(q_n)$ en $q =
G(q)$ al pasar al límite. ∎

**Ejemplo 23.24 (Ver converger la extinción).**

Para la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14, \tfrac14,
\tfrac12)$ del [Ejemplo 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample), $G(t) = \tfrac14
+ \tfrac14t + \tfrac12t^2$ y la iteración $q_{n+1} = G(q_n)$ da

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

subiendo hacia la probabilidad de extinción $q = \tfrac12$. Las diferencias $q - q_n$ valen $0.25$, $0.156$, $0.105$, $0.073$, $0.052$: cada una es aproximadamente $\tfrac34$ de la anterior y, en efecto, el teorema del valor medio da $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q -
q_n)$ con $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$. Dos moralejas: un linaje todavía vivo en la generación $n$ tiene, incorporada en el mismo cálculo, probabilidad $q - q_n$ de estar condenado más tarde; y el ritmo de convergencia de la escalera de la figura de más abajo es la derivada en el punto fijo. El problema de fin de semana convierte ambas observaciones en teoremas.

**Teorema 23.25 (Criterio de extinción).**

Supongamos $p_1 \neq 1$. La probabilidad de extinción $q$ es el punto fijo *más pequeño* de $G$ en $\intcc{0}{1}$, y:

- si $m \leq 1$ (subcrítico o crítico), $q = 1$ : la extinción es cierta;
- si $m > 1$ (supercrítico), $q < 1$ : la población sobrevive para siempre con probabilidad positiva $1 - q$ .

**Demostración.** $G$ es convexa sobre $\intcc{0}{1}$ (serie de potencias de coeficientes no negativos: $G'' \geq 0$), no decreciente, y con $G(1)
= 1$.

*Punto fijo más pequeño:* sea $r \in \intcc{0}{1}$ un punto fijo cualquiera. Entonces $q_0 = 0 \leq r$ y, por inducción, $q_{n+1} =
G(q_n) \leq G(r) = r$ (monotonía): luego $q = \lim q_n \leq r$.

*Caso $m \leq 1$:* supóngase que $r < 1$ es un punto fijo. Por el teorema del valor medio sobre $[r, 1]$, hay un $c \in
\intoo{r}{1}$ con $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1
- r} = 1$. Pero $G'$ es no decreciente (por convexidad) con $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m \leq 1$, de modo que $G' \leq 1$ sobre $\intoo{0}{1}$; la igualdad $G'(c) = 1$ fuerza entonces a $G'$ a ser constante igual a $1$ sobre $\intco{c}{1}$, luego $G'' = \sum
n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ ahí. Una serie de potencias de coeficientes no negativos que se anula sobre un intervalo tiene todos esos coeficientes nulos: $p_n = 0$ para $n \geq 2$, luego $G(t) = p_0
+ p_1t$ y $1 = G'(c) = p_1$, en contradicción con la hipótesis $p_1
\neq 1$. Así pues, $1$ es el único punto fijo: $q = 1$.

*Caso $m > 1$:* cerca de $1$, $G(t) - t$ tiene derivada $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ cuando $t \to 1^-$, de modo que $G(t) - t < G(1) - 1
= 0$ sobre algún intervalo $\intoo{1 - \delta}{1}$: la función [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) $G(t) - t$ es $\geq 0$ en $t = 0$ ($G(0) = p_0 \geq 0$) y $<
0$ justo por debajo de $1$, así que se anula en algún $r < 1$ (teorema del valor intermedio). El punto fijo más pequeño cumple entonces $q \leq r < 1$. ∎

![Las probabilidades de extinción como iteración de punto fijo q_n+1 = G(q_n) arrancando en q_0 = 0 (escalera roja). Izquierda: una ley de descendencia subcrítica; la curva convexa se mantiene por encima de la diagonal y la iteración sube hasta el único punto fijo 1. Derecha: una ley supercrítica; la curva cruza la diagonal en q < 1, donde la iteración se detiene: la supervivencia tiene probabilidad 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-b000951f5d4d.svg)

![Las probabilidades de extinción como iteración de punto fijo q_n+1 = G(q_n) arrancando en q_0 = 0 (escalera roja). Izquierda: una ley de descendencia subcrítica; la curva convexa se mantiene por encima de la diagonal y la iteración sube hasta el único punto fijo 1. Derecha: una ley supercrítica; la curva cruza la diagonal en q < 1, donde la iteración se detiene: la supervivencia tiene probabilidad 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-126f02aa14b3.svg)

***Figura 23.1.** Las probabilidades de extinción como iteración de punto fijo $q_{n+1} = G(q_n)$ arrancando en $q_0 = 0$ (escalera roja). Izquierda: una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia subcrítica; la curva convexa se mantiene por encima de la diagonal y la iteración sube hasta el único punto fijo $1$. Derecha: una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) supercrítica; la curva cruza la diagonal en $q < 1$, donde la iteración se detiene: la supervivencia tiene probabilidad $1 - q > 0$.*

**Observación 23.26 (Cómo leer la telaraña).**

En la figura, un movimiento vertical aplica $G$ (de $(q_n, q_n)$ a $(q_n, G(q_n))$) y un movimiento horizontal hasta la diagonal convierte la salida en entrada: la escalera *es* la recursión $q_{n+1} = G(q_n)$. La convexidad de $G$ y $G(1) = 1$ dejan solo dos geometrías. O bien la curva se mantiene por encima de la diagonal sobre $\intco01$ (media $m \leq 1$): la escalera no tiene dónde detenerse antes de $1$. O bien la curva cruza en algún $q < 1$ ($m >
1$): la escalera queda atrapada por debajo del cruce y converge a él, al ritmo geométrico $G'(q) < 1$ cuantificado en el [Ejemplo 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics). Todo el análisis del teorema de extinción es visible en esta única imagen; por eso vale la pena dibujarla antes de calcular.

**Ejemplo 23.27.**

[Ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia: ningún hijo, un hijo o dos hijos con probabilidades $\frac14, \frac14, \frac12$. Entonces $m = \frac14 + 1
= \frac54 > 1$ y $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$. Puntos fijos: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$, es decir, $2t^2 - 3t
+ 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$: $q = \frac12$. El linaje se extingue con probabilidad $\frac12$ y, con probabilidad $\frac12$, vive para siempre.

**Observación 23.28 (Perspectivas dentro de este volumen).**

El capítulo es la encrucijada del libro, y cada ingrediente llegó de un lugar con nombre: el álgebra de series, del [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series) y del [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries); la probabilidad, del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#ch-b2-proba) (la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) monótona demuestra $q_n \uparrow
q$) y del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar) ($G_X = \E(t^X)$ es una [esperanza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation), y la multiplicatividad es el teorema del producto); y la convexidad, del [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun) a través del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/17-espacios-afines#ch-b2-affine). Hasta las patologías de cola pesada conectan: la variable de San Petersburgo del capítulo anterior tiene $G(t) =
\sum_k2^{-k}t^{2^k}$, una serie perfectamente convergente sobre $\intcc01$ cuya derivada en $1^-$ diverge; media infinita, visible de un vistazo. Un solo objeto, todas las herramientas del año: un último capítulo apropiado.

**Observación 23.29 (Errores frecuentes).**

(i) Las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) solo se aplican a variables con valores en $\N$: para variables con signo o no enteras, el objeto $\E(t^X)$ pierde su estructura de serie de potencias (el tercer año lo sustituye por transformadas adaptadas a $\R$). (ii) La primera comprobación de sensatez de toda $G$ calculada es $G(1) = 1$; la segunda, que los coeficientes sean no negativos: un coeficiente negativo significa un desliz algebraico, no una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) nueva. (iii) En las sumas aleatorias importa el orden de composición: $G_S = G_N
\circ G_X$, con la función *exterior* contando los términos; componer al revés carece de sentido ($G_X \circ G_N$ contaría elementos de elementos). (iv) La multiplicatividad necesita [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) y fuentes de aleatoriedad distintas: $G_{2X}(t) =
G_X(t^2)$, y no $G_X(t)^2$. (v) Derivar en $1$ es una operación de frontera: cuando el radio es exactamente $1$, como en el [Ejemplo 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail), $G'(1^-)$ puede ser infinita, y la formulación con límite monótono del teorema de los momentos no es una sutileza pedante, sino el enunciado honesto.

## Cierre del volumen

La [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) es un objeto final apropiado para este libro: es simultáneamente una serie de potencias ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), una herramienta de [familias sumables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)), una [esperanza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation) ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)), una función convexa cuya geometría decide la extinción ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun)) y una iteración de punto fijo ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#ch-b2-metric)). La matemática del segundo año es una sola materia. El volumen del tercer año abrirá las puertas deliberadamente dejadas cerradas aquí: la integración de Lebesgue (saldando el teorema de convergencia dominada del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion#ch-b2-integration)), la probabilidad en el marco de la teoría de la medida sobre espacios no [numerables](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) y la demostración completa del teorema de la función inversa ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc)) en el marco de la geometría diferencial.

## 23.5 Ejercicios

**Ejercicio 23.1 ★.**

Calcula la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) uniforme sobre $\{1, 2,
\dots, 6\}$ (un dado equilibrado). Prueba que la suma de dos dados equilibrados *no puede* ser uniforme sobre $\{2, \dots, 12\}$: factoriza $G_{X+Y}$ y cuenta raíces. *(Una suma uniforme forzaría $G_X(t)G_Y(t) = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$, cuyas raíces no nulas son las raíces $11$-ésimas de la unidad distintas de $1$ —ninguna de ellas real—, mientras que $G_X/t$ y $G_Y/t$ son polinomios reales de grado $5$, cada uno con al menos una raíz real.)*

**Solución de Ejercicio 23.1.**

Dado equilibrado: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac
t6(1 + t + \dots + t^5)$. Si la suma de dos dados equilibrados fuera uniforme sobre $\{2, \dots, 12\}$, entonces

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

Ahora bien, $h$ es un polinomio real de grado impar $5$, luego tiene una raíz real (teorema del valor intermedio; en concreto, $h(-1) =
0$), y por tanto $h^2$ también. Pero $\sum_{k=0}^{10}t^k$ no tiene ninguna: es positivo para $t \geq 0$ y, para $t < 0$, vale $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$, un cociente de dos números negativos. Contradicción; la suma de dos dados equilibrados nunca es uniforme (como confirma la familiar [distribución](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) triangular de las sumas de dados).

**Ejercicio 23.2 ★.**

Usando [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci), recupera $\E$ y $V$ para las [leyes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) binomial y geométrica ([Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments)).

**Solución de Ejercicio 23.2.**

*Binomial:* $G(t) = (1 - p + pt)^n$, $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$, $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$, de modo que

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*Geométrica* ($q = 1 - p$): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$, luego $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ y $G''(t) = \frac{2pq}{(1 - qt)^3}$; en $t = 1$ (usando $1 - q = p$):

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

que coincide con el [Ejercicio 22.1](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#exo-b2-randomvar-1) con menos trabajo.

**Ejercicio 23.3 ★.**

Dos dados trucados: ¿es posible trucar dos dados (de manera [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), igual o no) para que su suma sea uniforme sobre $\{2,
\dots, 12\}$? *(La misma obstrucción de factorización del [Ejercicio 23.1](#exo-b2-genfun-1): la respuesta es no ni siquiera con trucajes distintos, porque cada factor $G_X(t)/t$ tiene grado impar $5$ y, por tanto, una raíz real, mientras que el objetivo no tiene ninguna.)*

**Solución de Ejercicio 23.3.**

No, ni siquiera con trucajes distintos. Supongamos que $X, Y$ son [leyes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) sobre $\{1, \dots, 6\}$ con suma uniforme. Entonces $G_X(t) =
t\,a(t)$ y $G_Y(t) = t\,b(t)$ con $a, b$ polinomios reales de grado *a lo sumo* $5$; y sus grados han de sumar $10$ (la suma alcanza $12$ con probabilidad positiva), de modo que $\deg a = \deg b = 5$, ambos impares. Como en el [Ejercicio 23.1](#exo-b2-genfun-1),

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

forzaría una raíz real en el miembro izquierdo (todo polinomio real de grado impar tiene una) y ninguna en el derecho. Así pues, ningún trucaje de dos dados [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) —iguales o no— produce una suma uniforme.

**Ejercicio 23.4 ★★.**

Sean $X_1, X_2, \dots$ de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) y $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ [independiente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) de ellas. Prueba, vía el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), que $S = X_1 + \dots + X_N \sim
\mathcal{P}(\lambda p)$: un número de Poisson de elementos, cada uno conservado con probabilidad $p$, deja un número de Poisson; el *adelgazamiento*. Calcula también la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) del recuento descartado y admira: es $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$, y puede probarse que es independiente de $S$.

**Solución de Ejercicio 23.4.**

Por el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound) con $G_N(s) =
e^{\lambda(s-1)}$ y $G_X(t) = 1 - p + pt$:

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$. El recuento descartado $D = N - S$ cuenta los mismos elementos conservados con probabilidad $1 - p$, así que, por el mismo cálculo, $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$. [Independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), directamente: para $j, k \in \N$,

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

con $q = 1 - p$: la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) conjunta factoriza como $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$. Un flujo de Poisson dividido al azar rinde flujos de Poisson *[independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence)*; un pequeño milagro usado constantemente en teoría de colas.

**Ejercicio 23.5 ★★.**

(Binomial negativa) Sea $T_r$ el número de lanzamientos para obtener $r$ caras (con probabilidad de cara $p$). Escribe $T_r$ como suma de $r$ variables geométricas [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), deduce

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

y desarrolla $G_{T_r}$ para hallar $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$.

**Solución de Ejercicio 23.5.**

Los tiempos de espera entre caras consecutivas son variables geométricas $\mathcal{G}(p)$ [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence) (ausencia de memoria: tras cada cara el juego recomienza), de modo que $T_r = W_1 + \dots + W_r$ y la multiplicatividad ([Teorema 23.10](#thm-b2-genfun-product)) da

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$; las [varianzas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-variance) se suman por [independencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence)). Desarrollo: por la serie binomial generalizada ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), $(1 -
qt)^{-r} = \sum_{m\geq0} \binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$, de modo que el coeficiente de $t^n$ en $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ es (con $m = n - r$)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) *binomial negativa*; combinatoriamente: la $r$-ésima cara cae en el lanzamiento $n$ si y solo si las $r - 1$ caras anteriores eligen sus posiciones entre los $n - 1$ primeros lanzamientos.

**Ejercicio 23.6 ★★.**

Para la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia $p_0 = \frac18$, $p_1 = \frac38$, $p_2 =
\frac38$, $p_3 = \frac18$: calcula $m$, decide la supercriticalidad y calcula exactamente la probabilidad de extinción $q$. *(Sáquese factor la raíz $t = 1$ de $G(t) - t$.)*

**Solución de Ejercicio 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$: supercrítico. La [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) es

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

así que los puntos fijos resuelven $(1 + t)^3 = 8t$, es decir, $t^3 +
3t^2 - 5t + 1 = 0$. Sacando factor la raíz garantizada $t = 1$:

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

y $t^2 + 4t - 1 = 0$ da $t = -2 \pm \sqrt5$. La raíz de $\intco{0}{1}$ es $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$: por el [Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction),

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(Una comprobación agradable: la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia es la de $3$ monedas equilibradas [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), $Z_1 \sim \mathcal{B}(3,
\frac12)$.)

**Ejercicio 23.7 ★★★.**

(Descendencia total) En un [proceso de ramificación](#pb-b2-genfun-1) subcrítico ($m <
1$), sea $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ el número total de individuos nacidos alguna vez. Prueba que $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (justifica el intercambio de sumaciones) y demuestra que la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ satisface la ecuación funcional $H(t) =
t\,G(H(t))$. *(El antepasado, más las descendencias totales de cada uno de sus hijos, que son copias independientes de $Y$.)*

**Solución de Ejercicio 23.7.**

*[Esperanza](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation).* Primero, $\E(Z_n) = m^n$: por el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$, y $\E(Z_0) = 1$. La familia $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ es no negativa, así que Fubini para familias se aplica incondicionalmente:

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(en particular, $Y$ es finita casi seguramente, coherentemente con la extinción cierta del caso subcrítico).

*Ecuación funcional.* Descompóngase la población según los hijos del antepasado: si el antepasado tiene $Z_1 = k$ hijos, la descendencia total es $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$, donde $Y_i$ es la descendencia total del linaje del $i$-ésimo hijo; y las $Y_i$ son copias independientes de $Y$, independientes de $Z_1$ (linajes distintos usan [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) de reproducción disjuntos e [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence)). Condicionando a $Z_1$ como en el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound):

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

donde el factor $t$ da cuenta del propio antepasado. (Para la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) $p_0 = 1 - p$, $p_2 = p$ de la ramificación binaria, esta ecuación cuadrática en $H$ puede resolverse explícitamente y desarrollarse: los [números de Catalan](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-catalan) del [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries) cuentan los árboles genealógicos.)

**Ejercicio 23.8 ★★★.**

Sea $X$ con [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ de [radio de convergencia](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#def-b2-powerseries-radius) $> 1$. Demuestra la *cota exponencial de la cola*: existen $C > 0$ y $\rho \in \intoo{0}{1}$ con $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$. *(Markov aplicado a $t^X$ para un $t > 1$ fijo dentro del disco.)* Recíprocamente, prueba que si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ con $\rho <
1$, el radio de $G$ es $\geq 1/\rho > 1$.

**Solución de Ejercicio 23.8.**

Sea $R > 1$ el radio y fíjese $t \in \intoo{1}{R}$. Entonces $\E(t^X) = G(t) < \infty$, y la desigualdad de Markov ([Teorema 22.15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#thm-b2-randomvar-markov)) aplicada a la variable no negativa $t^X$ al nivel $t^n$:

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*Recíproco:* si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, entonces $p_n \leq
\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, de modo que para $\abs t < \frac1\rho$ la serie $\sum p_n\abs t^n$ está dominada por la serie geométrica convergente $C\sum(\rho\abs t)^n$: el radio es al menos $\frac1\rho > 1$. El radio de la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) y el decaimiento geométrico de la cola son dos caras de una misma propiedad.

**Ejercicio 23.9 ★★★.**

(Teorema de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), caso elemental) Sean $X, X_1, X_2, \dots$ con valores en $\N$ y tales que $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ para todo $t \in
\intco{0}{1}$. Prueba que $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ para todo $k$. *(Inducción sobre $k$: para $k = 0$, hágase $t \to 0$, pero con cuidado: fíjese $t$ pequeño y úsese $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)}
\leq \frac{t}{1-t}$, válido porque la cola $\sum_{j \geq 1}p_jt^j \leq
\frac{t}{1 - t}$; después, diagonalícese. Para el paso de inducción, considérese $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$, la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) desplazada.)*

**Solución de Ejercicio 23.9.**

Escríbanse $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$ y $p_k = \P(X = k)$.

*Caso $k = 0$.* Para $t \in \intoo{0}{1}$ y cualquier [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) $(q_j)$ con $\sum_j q_j \leq 1$:

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

De ahí,

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

Dado $\varepsilon > 0$, elíjase $t$ con $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$ y después $n_0$ tal que el último término sea $<
\frac\varepsilon2$ para $n \geq n_0$: así, $p_0^{(n)} \to p_0$.

*Paso de inducción.* Supongamos $p_j^{(n)} \to p_j$ para $j <
k$. Considérense las funciones *desplazadas*

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

[funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de las sucesiones subprobabilísticas $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (masa total $\leq 1$, que es todo lo que usaba el argumento del caso $k = 0$). Para $t \in \intoo{0}{1}$ fijo, $g_n(t)
\to g(t)$ por hipótesis y por el caso $k = 0$. Aplicando el argumento del caso $k = 0$ a $g_n$ resulta $p_1^{(n)} \to p_1$; e iterando el desplazamiento $k$ veces se obtiene $p_k^{(n)} \to p_k$ para todo $k$. (Esta es la instancia discreta y elemental del teorema de [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de Lévy, cuya forma general —para funciones características— es un hito del tercer año.)

**Ejercicio 23.10 ★.**

(El truco de la paridad) Prueba que, para una variable $X$ con valores en $\N$,

$$
\P(X \text{ par}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,
$$

y calcula esta probabilidad para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ y para $X \sim \mathcal B(n, p)$. ¿Qué significa probabilísticamente $G_X(-1)
\to 0$?

**Solución de Ejercicio 23.10.**

Punto a punto, $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ vale $1$ cuando $X$ es par y $0$ cuando es impar, de modo que, tomando [esperanzas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-expectation) (transferencia),

$$
\P(X \text{ par}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

Poisson: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ cuando $\lambda$ crece. Binomial: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$. En ambos casos, $G_X(-1)
\to 0$ dice que la paridad de $X$ se vuelve una moneda equilibrada: la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) se reparte sobre muchos enteros y olvida su paridad.

**Ejercicio 23.11 ★★.**

(Dados de Sicherman) Verifica la factorización de la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) del dado equilibrado

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

y prueba que los dos dados de caras $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ y $\{1, 3,
4, 5, 6, 8\}$ tienen [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ y $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$, cuyo producto es el de dos dados estándar: esos dados exóticos producen cada total $2, \dots, 12$ exactamente con las probabilidades estándar.

**Solución de Ejercicio 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ y $1 - t^6 = (1 - t)(1 +
t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$, lo que da la factorización enunciada. Para el primer dado, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 + 2t + 2t^2 + t^3$, de modo que $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t + 2t^2 + 2t^3 + t^4}6$: caras $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$. Para el segundo, desarrollando

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

resulta $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4 +
t^5 + t^6 + t^8}6$: caras $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. El producto de las dos [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) reagrupa los seis factores en $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6 \bigr)^2$, el cuadrado de la función del dado estándar: el par de Sicherman tiene exactamente la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) estándar para el total; las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) clasifican todas esas reagrupaciones.

**Ejercicio 23.12 ★★★.**

(Esperando dos caras seguidas) Se lanza una moneda con probabilidad de cara $p$ hasta que aparecen dos caras consecutivas; sea $T$ el número de lanzamientos (el juego del [Ejercicio 21.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#exo-b2-proba-6)). Condicionando a los primeros lanzamientos, deduce un sistema lineal para las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) desde los estados “sin cara actual” y “con una cara actual”, y concluye que

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p);
$$

comprueba $G_T(1) = 1$ y $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ($= 6$ para una moneda equilibrada).

**Solución de Ejercicio 23.12.**

Sean $A$ y $B$ las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de la duración restante arrancando desde “sin cara actual” y desde “con una cara actual”. Se gasta un lanzamiento y entonces: desde el estado $0$, una cruz devuelve al estado $0$ y una cara pasa al estado $1$; desde el estado $1$, una cara termina el juego y una cruz devuelve al estado $0$:

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

Sustituyendo: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$, de donde

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

En $t = 1$ el denominador vale $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$: $G_T(1) = 1$, el juego termina casi seguramente (como mostraba el [Ejercicio 21.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#exo-b2-proba-6) por recursión). Derivación logarítmica en $1$: $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ con $D(t) = 1 - qt - pqt^2$ y $D'(1) = -q - 2pq$:

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

que vale $6$ para $p = \frac12$.

## 23.6 Problema: el proceso de Galton–Watson, resuelto

**Problema 23.1.**

Problema de fin de semana — ritmos de crecimiento, soluciones exactas, descendencia total y la estimación crítica de Kolmogórov

El criterio de extinción ([Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) reparte los [procesos de ramificación](#pb-b2-genfun-1) en subcríticos, críticos y supercríticos; pero no dice nada de los *ritmos*: cuán deprisa muere un linaje condenado, cuánto crece uno que sobrevive. Este problema los calcula. Mantenemos la notación del capítulo: [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia $(p_k)$ con [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$, media $m = G'(1)$, tamaños de generación $Z_n$ ($Z_0 = 1$), iterados $G_n = G_{Z_n}$ y probabilidades de extinción $q_n = \P(Z_n
= 0) \uparrow q$; suponemos siempre $p_1 \neq 1$ y, donde aparezcan momentos de orden dos, $G''(1) < \infty$, y escribimos $\sigma^2 =
V(Z_1)$.

**Parte I — Momentos de las generaciones.**

1. Prueba que $\E(Z_n) = m^n$ *(regla de la cadena sobre $G_n = G \circ G_{n-1}$ en $1^-$, usando $G_{n-1}(1) = 1$ y el [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments))* .
2. Establece la recursión $G_n''(1) = G''(1)\,m^{2(n-1)} +  m\,G_{n-1}''(1)$ y resuélvela: $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ para $m \neq 1$ , y $G_n''(1) = n\,G''(1)$ para $m = 1$ .
3. Deduce que $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (Ritmo subcrítico, cota superior) Para $m < 1$ , prueba que $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(Markov sobre la $Z_n$ de valores enteros)* : la extinción es cierta con ritmo geométrico; un refinamiento cuantitativo del criterio del capítulo.
5. (Ritmo subcrítico, cota inferior) Usando Cauchy–Schwarz sobre $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$, prueba que $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{con}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ el ritmo geométrico $m^n$ es exacto salvo constantes.

**Parte II — La familia geométrica, resuelta exactamente.** Sea la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia geométrica sobre $\N$: $p_k
= qp^k$ ($k \geq 0$), con $0 < p < 1$ y $q = 1 - p$.

6. Calcula $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ y $m = \dfrac pq$ ; sitúa los tres regímenes en términos de $p$ .
7. Resuelve $G(t) = t$ : prueba que los puntos fijos son $1$ y $q/p = 1/m$ , y recupera la probabilidad de extinción $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
8. Demuestra por inducción las [formas cerradas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#def-b2-multint-exact) $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. Deduce los ritmos exactos: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ en el caso subcrítico, y $q_{\mathrm{ext}} - q_n \sim \dfrac{m -  1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ en el supercrítico; comprueba que la razón de contracción supercrítica es $G'(q_{\mathrm{ext}}) =  1/m$ .
10. Caso crítico ( $p = \tfrac12$ ): calcula $\sigma^2 = 2$ y obsérvese que $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la supervivencia decae como $\frac1n$ ; ni geométricamente ni de manera [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable) .
11. Todavía en el caso crítico: demuestra por inducción el iterado [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ y deduce que, condicionada a la supervivencia, $Z_n$ es geométrica sobre $\N^*$ de parámetro $\frac1{n+1}$: $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ El linaje medio muere, pero los que sobreviven tienen tamaño de orden $n$.

**Parte III — Descendencia total.** Sea $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ el número total de individuos nacidos alguna vez, y $H(t) = \sum_{k\geq1}\P(Y =
k)t^k$.

12. Justifica que $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ , y recuerda del [Ejercicio 23.7](#exo-b2-genfun-7) la ecuación funcional $H(t) =  t\,G(H(t))$ (cuya deducción no usaba $m < 1$ ).
13. (Ramificación binaria) Para $p_0 = p_2 = \frac12$ (crítico), resuelve la ecuación funcional: $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ y desarróllala con el [Ejemplo 11.21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-catalan) para obtener $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$$ comprueba los valores $\P(Y = 1) = \frac12$ y $\P(Y = 3) =  \frac18$ por recuento directo.
14. Derivando la ecuación funcional en $1^-$ , prueba que $\E(Y) =  \frac{1}{1-m}$ para $m < 1$ , mientras que la criticidad fuerza $\E(Y) = \infty$ : la descendencia total crítica es finita casi seguramente, con media infinita.
15. Con las asintóticas del coeficiente binomial central ([Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial)), prueba que $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ una cola pesada $k^{-3/2}$, y deduce que $\P(Y > n) \asymp  n^{-1/2}$ (bastan cotas superior e inferior de ese orden).
16. Compara con el [paseo aleatorio](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#pb-b2-proba-1) equilibrado (el problema de fin de semana del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#ch-b2-proba) ): allí, tiempos de retorno ciertos y de media infinita; aquí, descendencia total cierta y de media infinita, ambos con leyes locales $n^{-3/2}$ . Un párrafo sobre por qué la criticidad produce esta firma.

**Parte IV — La estimación de Kolmogórov en la criticidad.** Supongamos $m = 1$ y $0 < \sigma^2 = G''(1) < \infty$.

17. Prueba que $G''$ se extiende de manera [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a $\intcc01$ *(no negativa, creciente y con límite finito)* y deduce el desarrollo de Taylor en $1$: $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. Para $t \in \intco01$, póngase $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} -  \dfrac1{1 - t}$. Prueba que $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. Telescopa a lo largo de la iteración $q_{j+1} = G(q_j)$: $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ y concluye con un argumento de Cesàro que $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ —la *estimación de Kolmogórov*: todo [proceso de ramificación](#pb-b2-genfun-1) crítico muere al ritmo universal $1/n$, y solo la constante recuerda la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia.
20. Comprueba la estimación contra el caso geométrico crítico de la pregunta 10.
21. Deduce que $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n} \sim  \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ *(obsérvese que $\E(Z_n \mathbf  1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* , y contrástalo con la pregunta 11: condicionada a la supervivencia, la población crece *linealmente* ; la cuerda floja crítica entre la muerte y la explosión.

**Parte V — Aplicaciones y síntesis.**

22. (Epidemias, reacciones en cadena) Para una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ —cada caso contagia a $\mathcal P(\lambda)$ casos nuevos—, escribe la ecuación de extinción $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ y resuélvela numéricamente para $\lambda = 1.5$ ( $q \approx 0.417$ ) y $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): partiendo de un solo caso, un brote grande *no* es seguro ni siquiera cuando $\lambda > 1$ . Explica por qué la iteración $q_{n+1} =  \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ desde $q_0 = 0$ converge a la raíz correcta.
23. Partiendo de $k$ antepasados en vez de uno, prueba que la probabilidad de extinción es $q^k$ . Aplicación: con $\lambda  = 1.5$ , ¿cuántos casos iniciales hacen que un brote sea al menos un $99\,\%$ probable?
24. (Condicionar a la extinción un proceso supercrítico) Para $m  > 1$ con probabilidad de extinción $q \in \intoo01$ : demuestra primero, por convexidad, que $G'(q) < 1$ en el punto fijo más pequeño, y deduce que $q_{\mathrm{ext}} - q_n  = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (convergencia geométrica, como ejemplificaba la pregunta 9). Prueba después que $\widehat  G(t) = G(qt)/q$ es la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de una [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia legítima, de media $\widehat m = G'(q) < 1$ : un proceso compañero subcrítico. Verifícalo sobre la familia geométrica: condicionar a la extinción el proceso supercrítico $(p, q)$ intercambia $p$ y $q$ . (El enunciado [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) —que el proceso condicionado *es* el proceso compañero— se demuestra en el volumen del tercer año; aquí has verificado su sombra en las [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) .)
25. Síntesis: redacta la tabla de la tricotomía —para $m < 1$ , $m = 1$ y $m > 1$ : valor de $q$ ; ritmo de $\P(Z_n > 0)$ o de $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; tamaño de una generación que sobrevive. Enuncia, en una frase por herramienta, cómo la composición de [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) , la convexidad, Taylor en $1^-$ y el promedio de Cesàro sostuvieron todo el problema, y qué añade el volumen del tercer año (la martingala $Z_n/m^n$ y la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) límite exponencial de Yaglom).

**Solución de Problema 23.1.**

**1.** Para $t \in \intoo01$, la regla de la cadena sobre $G_n =
G \circ G_{n-1}$ da $G_n'(t) = G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$. Cuando $t \to 1^-$, $G_{n-1}(t) \uparrow 1$, y $G'$ es no decreciente con límite por la izquierda $m$ en $1$, de modo que el primer factor tiende a $m$; y por inducción, el segundo tiende a $m^{n-1}$. Por el [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments), $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$.

**2.** Derivando una vez más,

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

y haciendo $t \to 1^-$: $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\, a_{n-1}$ con $a_n = G_n''(1)$ y $a_1 = G''(1)$. Para $m \neq 1$ se comprueba por inducción que $a_n = G''(1)\,m^{n-1} \frac{m^n - 1}{m - 1}$ (la recursión suma $G''(1)m^{2n-2}$ a $m\cdot
G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$, y $m^{n-1} +
\frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$); para $m = 1$, $a_n =
a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$.

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ y $G''(1) = \sigma^2 + m^2
- m$. Para $m \neq 1$, la pieza $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ cancela exactamente $m^n -
m^{2n}$, y queda $V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$. Para $m
= 1$: $V(Z_n) = nG''(1) = n\sigma^2$.

**4.** $Z_n$ es una variable entera no negativa, de modo que $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ por Markov ([Teorema 22.15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#thm-b2-randomvar-markov)). Para $m < 1$ esto decae geométricamente —y de manera sumable—, así que Borel–Cantelli da incluso que solo un número finito de generaciones son no vacías, que es de nuevo la extinción.

**5.** Cauchy–Schwarz: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf 1_{Z_n>0})^2
\leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$. Con la pregunta 3 y $m < 1$:

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

de modo que, dividiendo $m^{2n}$ por esta cota y simplificando por $m^n$,

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

usando $m^n \leq 1$ en el denominador. Con la pregunta 4: $\P(Z_n >
0) \asymp m^n$.

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$, y $m = G'(1) =
\frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$. Subcrítico para $p < \frac12$, crítico para $p = \frac12$ y supercrítico para $p > \frac12$.

**7.** $G(t) = t$ se lee $pt^2 - t + q = 0$, con raíces $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$, es decir, $1$ y $\frac qp = \frac1m$. La probabilidad de extinción es el punto fijo más pequeño de $\intcc01$ ([Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)): $q_{\mathrm{ext}} = 1$ si $m \leq 1$, y $\frac1m$ si $m > 1$.

**8.** Para $m \neq 1$, con $p = \frac m{m+1}$ y $q =
\frac1{m+1}$: si $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$, entonces

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

luego $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} - 1}{m^{n+2} -
1}$; y el caso base $q_0 = 0$ se cumple. Para $m = 1$: $G(t) =
\frac1{2 - t}$ y $q_{n+1} = \frac1{2 - \frac{n}{n+1}} =
\frac{n+1}{n+2}$, con $q_0 = 0$.

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$. Para $m < 1$ el denominador tiende a $-1$: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$. Para $m >
1$:

$$
q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

Y $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ evaluada en $t = \frac qp$ (donde $1 - pt = 1 - q = p$) da $G'(q_{\mathrm{ext}}) = \frac qp =
\frac1m$: la razón observada $m^{-1}$ es exactamente la derivada en el punto fijo atractor.

**10.** Para $p = \frac12$: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 - t/2)^3}$, de modo que $G''(1) = 2$ y $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 = 2$. La [forma cerrada](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#def-b2-multint-exact) da $1 - q_n = \frac1{n+1}$: la probabilidad de supervivencia decae como $1/n$; demasiado despacio para ser [sumable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-summable), a diferencia de cualquier ritmo subcrítico.

**11.** Inducción: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ casa con la fórmula para $n = 1$, y

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

Entonces

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

la [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) de la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) geométrica $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1} \bigr)$ sobre $\N^*$ ([Ejemplo 23.4](#ex-b2-genfun-classical)): dada la supervivencia, $\P(Z_n = k
\mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$, con media condicionada $n + 1$. La media incondicionada $1 = \E(Z_n)$ es el producto de una probabilidad de supervivencia evanescente por un tamaño condicionado que crece linealmente.

**12.** Si el linaje se extingue en la generación $n$, entonces $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ es finito; y si no se extingue nunca, $Y
\geq \sum_n 1 = \infty$. Así pues, $\{Y < \infty\}$ es el [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) de extinción y $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$. La deducción de $H(t) = tG(H(t))$ del [Ejercicio 23.7](#exo-b2-genfun-7) —el antepasado aporta el factor $t$, y sus hijos fundan copias independientes de $Y$ contabilizadas por $G$— solo usó el [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), válido en todos los regímenes.

**13.** Con $G(s) = \frac{1 + s^2}2$, la ecuación se lee $tH^2 -
2H + t = 0$, luego $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (la raíz con $H(0) = 0$). Comparando con la serie de Catalan $C(x) = \frac{1 -
\sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([Ejemplo 11.21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-catalan)): $H(t) =
\frac t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$, es decir, $\P(Y = 2k+1)
= C_k2^{-2k-1}$. Comprobaciones: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (el antepasado no tiene hijos); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (dos hijos, ambos sin descendencia: $\frac12\cdot\frac12\cdot \frac12$).

**14.** Derivando $H = tG(H)$ sobre $\intoo01$ y haciendo $t \to
1^-$ (límites monótonos como en el [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments)): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr) =
G(H(1))$. En el caso subcrítico, $H(1) = 1$ y $\E(Y) = H'(1) =
\frac1{1 - m}$. En el caso crítico, $G'(1) = 1$ anula el factor de la izquierda mientras que el miembro derecho vale $1$: no puede existir ningún $H'(1)$ finito, luego $\E(Y) = \infty$; y sin embargo $\P(Y <
\infty) = q = 1$.

**15.** $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ por el [Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial), de modo que

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

Sumando la cola (por comparación con $\int_K^\infty k^{-3/2}\dd k =
2K^{-1/2}$, por arriba y por abajo): $\P(Y > 2K) \asymp K^{-1/2}$, es decir, $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$; una cola pesada con media infinita, que cuantifica la pregunta 14.

**16.** Ambos objetos críticos —el tiempo de retorno del paseo equilibrado (el problema de fin de semana del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#ch-b2-proba)) y la descendencia total crítica— son finitos casi seguramente y de media infinita, con leyes locales de exponente $-3/2$ y colas de exponente $-1/2$. No es casualidad: explorar un árbol genealógico hijo a hijo produce un camino de $\pm1$ (un paso arriba por nacimiento, uno abajo por muerte) que es exactamente un paseo equilibrado, e $Y$ se convierte en un tiempo de primer paso. La criticidad significa deriva nula: el proceso está siempre al borde tanto de la extinción como de la explosión, y las fluctuaciones a escala $\sqrt{}$ de una aleatoriedad sin deriva producen precisamente esos exponentes.

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ tiene términos no negativos, así que es no decreciente sobre $\intco01$ con límite finito $G''(1) = \sigma^2$ (la criticidad hace $\E Z_1(Z_1 - 1) =
\sigma^2$); y una función no decreciente cuyo límite coincide con el valor en la frontera es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $1$. Taylor con resto integral en el punto $1$:

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

puesto que $G''(s) = G''(1) + o(1)$ cuando $s \to 1^-$.

**18.** Reduciendo a común denominador, $h(t) = \frac{G(t) -
t}{(1 - G(t))(1 - t)}$. Por la pregunta 17, el numerador es $b(1-t)^2
+ o((1-t)^2)$ y $1 - G(t) = (1 - t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$, de modo que $h(t) \to b$.

**19.** Por la definición de $h$ en $t = q_j$ y $G(q_j) =
q_{j+1}$: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$; sumando desde $j = 0$ ($q_0 = 0$) se obtiene la fórmula mostrada. Como el proceso crítico se extingue, $q_j \uparrow 1$, luego $h(q_j) \to b$ y la media de Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$: $\frac1{1-q_n}
\sim bn$, es decir,

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** Caso geométrico crítico: $\sigma^2 = 2$ (pregunta 10), de modo que Kolmogórov predice $1 - q_n \sim \frac1n$; y el valor exacto es $\frac1{n+1}$.

**21.** Como $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$, $\E(Z_n \mid Z_n >
0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 - q_n} \sim
\frac{\sigma^2n}2$. En el caso geométrico esto vale $n + 1$, lo que casa exactamente con la pregunta 11 ($\sigma^2 = 2$). La imagen crítica: la extinción es cierta, el tamaño medio está congelado en $1$, y los raros linajes que sobreviven tienen tamaño creciendo linealmente; cada factor equilibrando al otro.

**22.** Para una descendencia $\mathcal P(\lambda)$, $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$ y la probabilidad de extinción es la menor raíz de $q = \eu^{\lambda(q-1)}$. Numéricamente: $\lambda = 1.5$ da $q
\approx 0.417$ (itérese $q \mapsto \eu^{1.5(q-1)}$: $0, 0.223, 0.312,
0.356, \dots \to 0.4172$); y $\lambda = 2$ da $q \approx 0.203$. Así pues, un caso índice desencadena un brote grande con probabilidad del $58\,\%$ ($\lambda = 1.5$) o del $80\,\%$ ($\lambda = 2$): probable, no seguro. La iteración desde $q_0 = 0$ converge a la raíz *menor* porque $G$ es no decreciente: por inducción, $q_n \leq
r$ para todo punto fijo $r$, y $(q_n)$ crece (es $\P(Z_n = 0)$), de modo que su límite es un punto fijo por debajo de todos los demás.

**23.** Los $k$ antepasados fundan árboles genealógicos [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence), y la extinción total es la intersección de $k$ [sucesos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) de extinción [independientes](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-independence): probabilidad $q^k$. Para $\lambda = 1.5$: que la probabilidad de brote $1 - q^k$ sea $\geq
0.99$ exige $q^k \leq 0.01$, es decir, $k \geq \frac{\ln 0.01}{\ln
0.417} \approx 5.3$: seis casos iniciales hacen el brote seguro al $99\,\%$.

**24.** *$G'(q) < 1$:* $G - \mathrm{id}$ es convexa y se anula en $q$ y en $1$, así que es $\leq 0$ sobre $\intcc q1$; si $G'(q) = 1$, la tangente en $q$ (que la convexidad sitúa por debajo de $G$) forzaría $G(t) \geq t$ sobre $\intcc q1$, luego $G \equiv
\mathrm{id}$ ahí, matando todos los coeficientes $p_n$ ($n \geq 2$) y contradiciendo $m > 1$. *Convergencia geométrica:* $q_n < q$ para todo $n$ (inducción, con $G$ creciente), y el teorema del valor medio da $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ con $c_n \in \intoo{q_n}q$, de modo que $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ y $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$. *Proceso compañero:* $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ tiene coeficientes no negativos y $\widehat G(1)
= G(q)/q = 1$: es una [función generatriz](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci); y su media es $\widehat
G'(1) = G'(q) < 1$: subcrítica. Familia geométrica: $G(t) =
\frac{q}{1-pt}$, $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$, y

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) de descendencia geométrica con $p$ y $q$ intercambiados; el proceso supercrítico visto sobre su [suceso](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/21-probabilidad-sobre-espacios-numerables#def-b2-proba-space) de extinción es el subcrítico especular.

**25.** La tabla: $m < 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ (preguntas 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$, y generaciones supervivientes de media condicionada acotada. $m = 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogórov), $\E(Y) = \infty$ con $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$, y supervivientes de tamaño $\sim
\frac{\sigma^2n}2$. $m > 1$: $q < 1$ es el punto fijo más pequeño, $q
- q_n = O(G'(q)^n)$, crecimiento $\E(Z_n) = m^n$, y, condicionado a morir, el proceso es el compañero subcrítico (pregunta 24). Las herramientas: la composición de [funciones generatrices](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ex-b2-powerseries-fibonacci) convirtió la recursión de poblaciones en iteración de funciones; la convexidad fijó la geometría de los puntos fijos; Taylor en $1^-$ convirtió las hipótesis de momentos en desarrollos locales; y el promedio de Cesàro extrajo el $1/n$ de Kolmogórov de una suma telescópica. El volumen del tercer año añade la martingala $Z_n/m^n$ —cuyo límite casi seguro refina $\E(Z_n) = m^n$ en un ritmo de crecimiento trayectoria a trayectoria— y el teorema de Yaglom, la [ley](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/22-variables-aleatorias-discretas#def-b2-randomvar-law) límite que hay tras la geometría condicionada observada en la pregunta 11.