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title: "Reducción de endomorfismos"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/3-reduccion-de-endomorfismos
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# Capítulo 3 — Reducción de endomorfismos

Para entender un endomorfismo hay que hallar las direcciones que se limita a dilatar. Este capítulo construye la maquinaria —valores propios, [polinomios característico](#def-b2-reduction-charpoly) y mínimo, lema de descomposición en núcleos— y recoge sus frutos: criterios de diagonalización y de trigonalización, Cayley–Hamilton, la [descomposición de Dunford](#thm-b2-reduction-dunford) y el cálculo de potencias y exponenciales del que se alimentará el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq). En todo el capítulo, $E$ es un $K$-espacio vectorial de dimensión finita ($K = \R$ o $\C$), $u \in \mathcal{L}(E)$ y $n = \dim E$.

## 3.1 Valores y vectores propios

**Definición 3.1.**

$\lambda \in K$ es un *valor propio* de $u$ cuando $u(x) = \lambda x$ para algún $x \neq 0$ (un *vector propio*); el *subespacio propio* es $E_\lambda(u) = \ker(u -
\lambda\,\mathrm{id})$. El conjunto de los valores propios es el *espectro* $\operatorname{Sp}(u)$. Un subespacio $F$ es *estable* cuando $u(F) \subseteq F$; los subespacios propios son estables, y los subespacios estables permiten definir endomorfismos inducidos $u|_F$.

**Teorema 3.2 (Independencia de los subespacios propios).**

Los [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) asociados a [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) distintos dos a dos forman una familia libre; equivalentemente, la suma de los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) $E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_r}$ (con $\lambda_i$ distintos) es directa. En particular, $u$ tiene a lo sumo $n$ [valores propios](#def-b2-reduction-eigen).

**Demostración.** Por inducción sobre $r$. Supongamos $x_1 + \dots + x_r = 0$ con $x_i
\in E_{\lambda_i}$, conocido el enunciado para $r - 1$. Apliquemos $u$ y restemos $\lambda_r$ veces la relación:

$$
\sum_{i=1}^{r-1} (\lambda_i - \lambda_r)\, x_i = 0 ,
$$

así que por inducción cada $(\lambda_i - \lambda_r)x_i = 0$, es decir, $x_i = 0$ para $i < r$, y entonces $x_r = 0$. Una suma directa de espacios no nulos dentro de un espacio de dimensión $n$ tiene a lo sumo $n$ sumandos. ∎

![La matriz A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix actuando sobre el plano: el vector genérico e_1 sale despedido de su recta, pero las direcciones propias v_1 = (1,1) y v_2 = (1,-1) se limitan a dilatarse, por 3 y por 1 (así que Av_2 = v_2: la imagen discontinua coincide con v_2). Diagonalizar es cambiar a la base (v_1, v_2), donde A pasa a ser diag(3, 1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-reduction/fig-d4dd394c1370.svg)

*La matriz $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$ actuando sobre el plano: el vector genérico $e_1$ sale despedido de su recta, pero las direcciones propias $v_1 =
(1,1)$ y $v_2 = (1,-1)$ se limitan a dilatarse, por $3$ y por $1$ (así que $Av_2 = v_2$: la imagen discontinua coincide con $v_2$). Diagonalizar es cambiar a la base $(v_1, v_2)$, donde $A$ pasa a ser $\operatorname{diag}(3, 1)$.*

**Definición 3.3 (Polinomio característico).**

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$, calculado en cualquier base como $\det(XI_n - A)$; es un polinomio mónico de grado $n$, invariante por semejanza ([Teorema 2.17](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#thm-b2-linalg-detrules)). Sus raíces en $K$ son exactamente los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) ($\lambda$ es [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $\iff u -
\lambda\,\mathrm{id}$ no es inyectiva $\iff \chi_u(\lambda) = 0$), y

$$
\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots +
(-1)^n \det u .
$$

La *multiplicidad algebraica* $m_\lambda$ de un [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) es su multiplicidad como raíz de $\chi_u$; la *multiplicidad geométrica* es $\dim E_\lambda$, y se cumple $1 \leq \dim E_\lambda
\leq m_\lambda$.

**Demostración de los hechos enunciados.** Sobre los coeficientes: desarróllese $\det(XI - A)$ por la fórmula de las permutaciones; la permutación identidad aporta $\prod_i (X -
a_{ii}) = X^n - (\sum a_{ii})X^{n-1} + \dots$, y cualquier otra permutación deja fijas a lo sumo $n - 2$ posiciones diagonales, con lo que aporta grado $\leq n - 2$: los dos coeficientes superiores son los indicados; y $X = 0$ da el término constante $\det(-A) =
(-1)^n\det A$.

Geométrica $\leq$ algebraica: sea $d = \dim E_\lambda$ y complétese una base de $E_\lambda$ hasta una base de $E$; la matriz de $u$ es triangular superior por bloques con bloque superior izquierdo $\lambda I_d$, luego $\chi_u(X) = (X -
\lambda)^d\, \chi_{\text{(bloque inferior)}}(X)$: la multiplicidad de $\lambda$ es al menos $d$. ∎

**Ejemplo 3.4 (Mismo χ\chiχ, geometría distinta).**

Las matrices

$$
\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
\qquad\text{y}\qquad
\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
$$

comparten el [polinomio característico](#def-b2-reduction-charpoly) $(X - 2)^2$, la traza, el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) y el [espectro](#def-b2-reduction-eigen), y sin embargo no son semejantes: la primera tiene $E_2$ de dimensión $2$ ([multiplicidad geométrica](#def-b2-reduction-charpoly) $2$) y la segunda de dimensión $1$. El [polinomio característico](#def-b2-reduction-charpoly) solo ve las [multiplicidades algebraicas](#def-b2-reduction-charpoly); las dimensiones de los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) son el invariante más fino, y el [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu) es quien arbitra ($X - 2$ frente a $(X - 2)^2$). Moraleja para toda discusión sobre [diagonalizabilidad](#def-b2-reduction-diag): $\chi$ preselecciona a los candidatos, pero quienes votan son los núcleos.

**Definición 3.5 (Diagonalizable, trigonalizable).**

$u$ es *diagonalizable* cuando $E$ tiene una base de [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) (en términos matriciales: semejante a una matriz diagonal); es *trigonalizable* cuando su matriz en alguna base es triangular superior.

**Teorema 3.6 (Criterios de diagonalizabilidad).**

Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ;
2. $E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp} u} E_\lambda$ ;
3. $\chi_u$ se escinde sobre $K$ y $\dim E_\lambda = m_\lambda$ para todo [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) ;
4. (suficiente, no necesaria) $\chi_u$ tiene $n$ raíces distintas en $K$ .

**Demostración.** (1 $\iff$ 2): una base de [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) se reparte en bases de los $E_\lambda$, y recíprocamente, concatenando bases de los sumandos directos se obtiene una base de $E$ (el [Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence) hace la suma directa; la igualdad de dimensiones hace que lo llene todo).

(2 $\iff$ 3): en la base diagonal, $\chi_u = \prod (X -
\lambda)^{\dim E_\lambda}$ se escinde con multiplicidades que coinciden. Recíprocamente, supongamos que $\chi_u$ se escinde con $\dim E_\lambda = m_\lambda$ en todos los casos; entonces la suma directa de los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) (directa por el [Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence)) tiene dimensión

$$
\sum_{\lambda}\dim E_\lambda = \sum_{\lambda} m_\lambda =
\deg\chi_u = n ,
$$

donde la igualdad central se debe a que el grado de un polinomio escindido es la suma de las multiplicidades de sus raíces: la suma es todo $E$. Obsérvese dónde ha trabajado cada hipótesis: la escisión ha llenado el grado y la igualdad de multiplicidades ha llenado las dimensiones.

(4 $\Rightarrow$ 1): $n$ [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) distintos dan $n$ [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) independientes ([Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence)): una base. ∎

**Método 3.7 (Cómo decidir la diagonalizabilidad).**

En la práctica conviene comprobar en este orden, pues cada paso puede zanjar el asunto. (1) ¿Se presenta por sí solo un polinomio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) escindido con raíces simples ($u^2 = \mathrm{id}$, $u^2 =
u$, $u^k = \mathrm{id}$)? Si es así: [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag), sin ningún cálculo ([Corolario 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit) más abajo). (2) Calcúlese $\chi_u$; si tiene $n$ raíces distintas en $K$: [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (4)). (3) En caso contrario, y solo para cada raíz múltiple $\lambda$, compárese $\dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ con la multiplicidad $m_\lambda$: cualquier déficit mata la [diagonalizabilidad](#def-b2-reduction-diag), y la igualdad en todos los casos la demuestra. Nunca hay que calcular los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) de las raíces simples (su dimensión está forzada a ser $1$), ni trigonalizar solo para decidir.

**Ejemplo 3.8 (La diagonalización puesta a trabajar).**

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$, con $J$ la matriz de unos: de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ ([Ejemplo 2.19](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#ex-b2-linalg-onesmatrix)) se sigue $\operatorname{Sp}(A) =
\{4, 1\}$, con [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) $\R(1,1,1)$ y el plano $\{x + y
+ z = 0\}$: dimensiones $1 + 2 = 3$, luego [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (2)). Potencias sin ninguna matriz de cambio de base: con $\Pi = J/3$ el proyector sobre $\R(1,1,1)$,

$$
A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi)
\quad\Longrightarrow\quad
A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi)
= \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .
$$

(Comprobación con $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) La moraleja: cuando los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) son visibles, los *proyectores* espectrales calculan potencias más deprisa de lo que jamás lo hará $PDP^{-1}$, y además la fórmula muestra la dinámica: $A^k$ crece como $4^k$ a lo largo de $(1,1,1)$ y se queda quieto en el plano ortogonal.

**Teorema 3.9 (Trigonalización).**

$u$ es [trigonalizable](#def-b2-reduction-diag) sobre $K$ si y solo si $\chi_u$ se escinde sobre $K$. En particular, todo endomorfismo de un $\C$-espacio vectorial es [trigonalizable](#def-b2-reduction-diag).

**Demostración.** ($\Rightarrow$) El [polinomio característico](#def-b2-reduction-charpoly) de una matriz triangular es $\prod(X - t_{ii})$: escindido.

($\Leftarrow$) Por inducción sobre $n$. Como $\chi_u$ se escinde, tiene una raíz $\lambda$: tomemos un [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) $e_1$. En una base que empiece por $e_1$, la matriz es $\begin{pmatrix} \lambda &
\ast\\ 0 & B\end{pmatrix}$, y $\chi_u = (X - \lambda)\chi_B$, así que $\chi_B$ también se escinde. Por la hipótesis de inducción aplicada a la matriz $B$ de tamaño $(n-1) \times (n-1)$, existe una $Q$ invertible con $Q^{-1}BQ$ triangular superior; conjugar la matriz entera por $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & Q\end{pmatrix}$ la triangulariza. ∎

**Ejemplo 3.10 (Trigonalizando a mano).**

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_B = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, y $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 &
-1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ es la recta [generada](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por $e_1' = (1,
1)$: un solo [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) y un [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) de dimensión uno; no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag), pero sí [trigonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)). Completemos la base con $e_2' = (1, 0)$ y calculemos:

$$
u(e_1') = (2, 2) = 2e_1',
\qquad
u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,
$$

de modo que en la base $(e_1', e_2')$ la matriz es $T =
\left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. La moraleja: la diagonal de $T$ estaba forzada (ambas entradas han de ser el [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) doble $2$); solo la entrada de la esquina dependía de la elección de $e_2'$, y reescalar $e_2'$ permite darle cualquier valor no nulo. Ese “$1$” que se resiste es la sombra de la parte nilpotente que Dunford aislará.

## 3.2 Polinomios de un endomorfismo

**Definición 3.11.**

Para $P = \sum a_k X^k \in K[X]$, pongamos $P(u) = \sum a_k u^k \in
\mathcal{L}(E)$. La aplicación $P \mapsto P(u)$ es un morfismo de álgebras $K[X] \to \mathcal{L}(E)$ ([Definición 1.33](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-algebra)); su núcleo $\{P : P(u) = 0\}$ es un [ideal](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-ideal) de $K[X]$, no nulo (la familia $(\mathrm{id}, u, \dots,
u^{n^2})$ está ligada en $\mathcal{L}(E)$, de dimensión $n^2$), y por tanto está [generado](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated) por un único polinomio mónico $\mu_u$: el *polinomio mínimo* ([Teorema 1.26](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#thm-b2-structures-principal)).

**Proposición 3.12.**

1. $P(u) = 0 \iff \mu_u \mid P$ ; los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ son raíces de todo polinomio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) , y las raíces de $\mu_u$ son *exactamente* los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) .
2. Si $F$ es estable, entonces $\mu_{u|_F} \mid \mu_u$ .

**Demostración.** (1) La divisibilidad es la definición de generador. Si $u(x) =
\lambda x$ con $x \neq 0$, entonces $0 = P(u)(x) = P(\lambda)x$, luego $P(\lambda) = 0$: los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) son raíces de los [anuladores](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) y, en particular, de $\mu_u$. Recíprocamente, si $\lambda$ es raíz, $\mu_u = (X - \lambda)Q$ con $Q(u) \neq 0$ (el grado de $\mu_u$ es mínimo): tómese $y$ con $Q(u)(y) \neq 0$; entonces $(u - \lambda)(Q(u)(y)) = \mu_u(u)(y) = 0$ exhibe el [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) $Q(u)(y)$.

(2) $\mu_u(u|_F) = \mu_u(u)|_F = 0$, y se aplica (1) a $u|_F$. ∎

**Ejemplo 3.13 (Polinomios mínimos hallados a mano).**

El [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu) se calcula probando grados sucesivos. Para la matriz de unos $J \in \mathcal{M}_3(\R)$: $J \neq \lambda I$ (queda descartado el grado $1$) y $J^2 = 3J$, luego

$$
\mu_J = X^2 - 3X = X(X - 3) :
$$

grado $2$, escindido, con raíces simples; $J$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) con [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\{0, 3\}$ ([Corolario 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit) más abajo), lo que confirma el [Ejemplo 2.19](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#ex-b2-linalg-onesmatrix) sin calcular ni un solo [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det). Para la matriz de intercambio $A$ del [Ejemplo 3.15](#ex-b2-reduction-projectorswork): de $A \neq \pm I$ y $A^2
= I$ resulta $\mu_A = X^2 - 1$. En ambos casos el patrón es el mismo: adivínese a partir de la estructura una identidad de grado bajo (el rango uno obliga a $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$; una involución obliga a $A^2 = I$) y compruébese después que ningún divisor propio anula. Los [polinomios mínimos](#def-b2-reduction-polyu) suelen *encontrarse*, no calcularse a partir de $\chi$.

**Teorema 3.14 (Lema de descomposición en núcleos).**

Si $P = P_1 P_2 \cdots P_r$ con los $P_i$ primos entre sí dos a dos, entonces

$$
\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \dots \oplus \ker P_r(u),
$$

y las proyecciones sobre los sumandos son polinomios en $u$.

**Demostración.** Basta tratar el caso $r = 2$ e inducir. Por Bézout en $K[X]$ ([Teorema 1.26](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#thm-b2-structures-principal)), $U P_1 + V P_2 = 1$, luego para todo $x$,

$$
x = \underbrace{U(u)P_1(u)(x)}_{=:\,x_2}
+ \underbrace{V(u)P_2(u)(x)}_{=:\,x_1}.
$$

Si $x \in \ker P(u)$, entonces $P_2(u)(x_2) = U(u)\,P(u)(x) = 0$ (los polinomios en $u$ conmutan), luego $x_2 \in \ker P_2(u)$, y simétricamente $x_1 \in \ker P_1(u)$: la suma llena $\ker P(u)$; y ambos sumandos están dentro de $\ker P(u)$ (pues $P_i \mid P$). Carácter directo: si $x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)$, entonces $x = U(u)P_1(u)x + V(u)P_2(u)x = 0$. Las fórmulas para $x_1, x_2$ exhiben las proyecciones como $V(u)P_2(u)$ y $U(u)P_1(u)$. ∎

**Ejemplo 3.15 (El lema de los núcleos con proyectores explícitos).**

Sea $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
1\end{smallmatrix}\right)$ (intercambia las dos primeras coordenadas). Entonces $A^2 = I$: el polinomio $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ anula $A$, sus factores son primos entre sí y Bézout es explícito:

$$
\frac{1}{2}(X + 1) - \frac12(X - 1) = 1 .
$$

Siguiendo la demostración del [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels), las proyecciones sobre $\ker(A - I)$ y $\ker(A + I)$ son los polinomios en $A$

$$
\pi_+ = \frac{A + I}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},
\qquad
\pi_- = \frac{I - A}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
$$

Comprobación: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 =
\pi_\pm$, y las imágenes son el plano $\{x = y\}$ (vectores simétricos, [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $1$) y la recta $\R(1, -1, 0)$ (antisimétricos, [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $-1$). El lema de los núcleos no es un enunciado de existencia: los coeficientes de Bézout *son* las fórmulas de los proyectores.

**Ejemplo 3.16 (Los proyectores calculan también la exponencial).**

La misma matriz de intercambio, un dividendo más allá. Como $A =
\pi_+ - \pi_-$ con proyectores ortogonales en sentido algebraico ($\pi_+\pi_- = 0$), toda potencia cumple $A^k = \pi_+ +
(-1)^k\pi_-$, y la serie exponencial se reagrupa por proyectores:

$$
\eu^{tA} = \sum_k \frac{t^k}{k!}\bigl(\pi_+ +
(-1)^k\pi_-\bigr)
= \eu^{t}\,\pi_+ + \eu^{-t}\,\pi_- =
\begin{pmatrix}
\cosh t & \sinh t & 0\\
\sinh t & \cosh t & 0\\
0 & 0 & \eu^{t}
\end{pmatrix}.
$$

(Comprobación en $t = 0$: la identidad; derivada en $0$: $A$.) La descomposición espectral convierte una serie de matrices en dos series escalares, que es exactamente el mecanismo que el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq) aplicará a todo sistema [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag), y la razón de que las funciones hiperbólicas gobiernen los acoplamientos simétricos.

**Corolario 3.17 (Diagonalizabilidad mediante el polinomio mínimo).**

$u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) $\iff$ $\mu_u$ se escinde sobre $K$ con raíces *simples* $\iff$ algún polinomio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) de $u$ se escinde con raíces simples.

**Demostración.** Si $P(u) = 0$ con $P = \prod_{i}(X - \lambda_i)$ (los $\lambda_i$ distintos), el lema da $E = \ker P(u) = \bigoplus_i \ker(u -
\lambda_i)$: una suma directa de [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen), luego $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Recíprocamente, un $u$ [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) es anulado por $\prod_{\lambda \in
\operatorname{Sp}u}(X - \lambda)$ (que anula cada [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen)), polinomio escindido con raíces simples; y $\mu_u$ lo divide teniendo las mismas raíces ([Proposición 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)): $\mu_u$ es exactamente ese producto. ∎

**Ejemplo 3.18.**

Las proyecciones cumplen $p^2 = p$: las anula $X(X-1)$, escindido con raíces simples, luego son [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag) con [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{0, 1\}$, y $E = \ker p \oplus \ker(p - \mathrm{id})$: el análisis geométrico del primer año, vuelto a demostrar en una línea. Las simetrías ($s^2 = \mathrm{id}$, [anulador](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) $X^2 - 1$) son [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag) cuando $\operatorname{char} K \neq 2$, con [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{\pm 1\}$. Un endomorfismo con $u^3 = u^2$ y $u^2 \neq u$ está anulado por $X^2(X - 1)$ y *no* es necesariamente [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag): el criterio lo detecta (hay que examinar la raíz doble $0$; es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) si y solo si además $\ker u^2 = \ker u$).

**Ejemplo 3.19 (El cuerpo decide: una rotación en R3\R^3R3).**

Sea $R$ el cuarto de vuelta alrededor del eje $z$:

$$
R = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
\chi_R = (X - 1)(X^2 + 1).
$$

Sobre $\R$: el único [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) es $1$, con [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) el eje $\R e_3$ —una sola recta de vectores fijos y ninguna reducción más—: $R$ no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ni [trigonalizable](#def-b2-reduction-diag) en $\mathcal{M}_3(\R)$ (pues $\chi_R$ no se escinde). Sobre $\C$: tres [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) distintos $1, \iu, -\iu$, luego $R$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag), con [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) $e_3$ y $e_1 \mp \iu e_2$. La geometría se oía ya en el álgebra: las rotaciones del plano no tienen direcciones invariantes reales, y los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) complejos $\pm\iu$, de módulo $1$, guardan el ángulo ($\pm\frac\pi2$) que la matriz real solo puede expresar mezclando coordenadas.

**Ejemplo 3.20 (Mínimo frente a característico).**

Para $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X -
3)$, pero $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, ya que $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (compruébese sobre la base canónica) mientras que ninguno de los dos factores anula $D$ por separado. Para el bloque de desplazamiento $N
= \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, es decir, $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
3\end{smallmatrix}\right)$: se tiene $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ *y* $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$; la raíz doble hace verdadera falta porque $N'$ no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) del lado del núcleo ($N'e_2 = e_1 \neq
0$). Regla práctica: $\mu$ y $\chi$ comparten sus raíces ([Proposición 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)); la multiplicidad en $\mu$ mide el tamaño del mayor bloque nilpotente, y la de $\chi$ la dimensión total del subespacio característico.

**Teorema 3.21 (Cayley–Hamilton).**

$\chi_u(u) = 0$; en consecuencia, $\mu_u \mid \chi_u$ y $\deg \mu_u
\leq n$.

**Demostración.** Fijemos $x \neq 0$ y sea $d$ máximo tal que $(x, u(x), \dots,
u^{d-1}(x))$ sea libre; escribamos

$$
u^d(x) = -a_0 x - a_1 u(x) - \dots - a_{d-1}u^{d-1}(x),
$$

y pongamos $P_x = X^d + a_{d-1}X^{d-1} + \dots + a_0$, de modo que $P_x(u)(x) = 0$. Completemos la familia libre hasta una base de $E$: en ella, $u$ tiene forma por bloques $\begin{pmatrix} C & \ast\\ 0 &
D\end{pmatrix}$, donde $C$ es la matriz compañera de $P_x$, cuyo [polinomio característico](#def-b2-reduction-charpoly) es $P_x$ (desarróllese $\det(XI - C)$ por la primera columna, por inducción sobre $d$). Por tanto $\chi_u = P_x
\cdot \chi_D$, y

$$
\chi_u(u)(x) = \chi_D(u)\bigl(P_x(u)(x)\bigr) = 0 .
$$

El argumento vale para todo $x$: $\chi_u(u) = 0$. ∎

**Ejemplo 3.22 (Cayley–Hamilton en acción).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 - 5X
- 2$, luego $A^2 = 5A + 2I$. Toda potencia de $A$ se reduce a una combinación de $I$ y $A$:

$$
A^4 = (5A + 2I)^2 = 25A^2 + 20A + 4I = 145A + 54I =
\begin{pmatrix} 199 & 290\\ 435 & 634\end{pmatrix},
$$

y la inversa sale gratis: de $A(A - 5I) = 2I$ se obtiene

$$
A^{-1} = \tfrac12(A - 5I)
= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{pmatrix}.
$$

La moraleja: Cayley–Hamilton comprime toda el álgebra $K[A]$ en $\operatorname{Vect}(I, A, \dots, A^{n-1})$ —se tiene $\dim K[A] =
\deg\mu_A \leq n$, por grandes que sean las potencias que necesites—.

**Observación 3.23 (Errores frecuentes).**

(i) Los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) no se suman: $\operatorname{Sp}(A + B)$ no es $\operatorname{Sp}A + \operatorname{Sp}B$, y una suma de matrices [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag) no tiene por qué ser [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag); $\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) +
\left(\begin{smallmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ es suma de dos matrices [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag) (cada una con [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) distintos) y no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag); solo se portan bien las familias que *conmutan* ([Ejercicio 3.9](#exo-b2-reduction-9)). (ii) “$\chi_u$ se escinde” es una hipótesis sobre el *cuerpo*: una rotación del plano tiene $\chi = X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, escindido sobre $\C$ pero no sobre $\R$; es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) en $\mathcal{M}_2(\C)$ y ni siquiera [trigonalizable](#def-b2-reduction-diag) en $\mathcal{M}_2(\R)$. (iii) La desigualdad va de geométrica $\leq$ algebraica, nunca al revés; comprobar solo que $\dim E_\lambda \geq
1$ no demuestra nada sobre la [diagonalizabilidad](#def-b2-reduction-diag). (iv) $\mu_u$ no es $\chi_u$: la igualdad se da exactamente cuando cada [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) tiene una única cadena de bloques (por ejemplo, las matrices compañeras del problema de fin de semana de este capítulo); usar $\chi$ donde hace falta $\mu$ infla todos los cálculos de potencias. (v) El $d$ y el $\nu$ de Dunford son polinomios en $u$: una descomposición $u = d' + \nu'$ con las propiedades adecuadas pero con $d'\nu' \neq \nu'd'$ *no* es la de Dunford y nunca es única.

**Observación 3.24 (Dónde se usa este capítulo).**

La reducción es el caballo de batalla del resto del libro: las potencias y exponenciales de matrices mueven los sistemas diferenciales lineales del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq); el teorema espectral del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic) es la diagonalización hecha ortogonal; las funciones generatrices ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun)) vuelven a deducir analíticamente las asintóticas de recurrencias del problema de fin de semana de este capítulo. En el volumen del tercer año el mismo programa se ejecuta en dimensión infinita: la teoría espectral de los operadores compactos autoadjuntos, donde sucesiones de [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) sustituyen a los [espectros](#def-b2-reduction-eigen) finitos, y la teoría de Perron–Frobenius de las matrices positivas, que explica *por qué* los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) dominantes de los problemas de recuento son positivos y simples.

## 3.3 Nilpotentes y descomposición de Dunford

**Proposición 3.25 (Endomorfismos nilpotentes).**

Para $u$ con $\chi_u$ escindido, las afirmaciones siguientes son equivalentes: $u^n = 0$; $u^k = 0$ para algún $k$; $\operatorname{Sp}(u) = \{0\}$; $\chi_u = X^n$; $u$ es [trigonalizable](#def-b2-reduction-diag) con diagonal nula. Un [endomorfismo nilpotente](#prop-b2-reduction-nilpotent) tiene $\mu_u = X^{\text{(índice de nilpotencia)}}$, con índice $\leq
n$.

**Demostración.** Si $u^k = 0$, todo [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) es raíz de $X^k$: el [espectro](#def-b2-reduction-eigen) es $\{0\}$ (no vacío cuando $\chi$ se escinde, y sobre $\C$ siempre). Entonces $\chi_u = X^n$ (todas las raíces nulas) y Cayley–Hamilton da $u^n = 0$; la trigonalización ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)) pone ceros en la diagonal (la diagonal lleva los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen)). Recíprocamente, sea $A$ estrictamente triangular superior: $a_{ij} = 0$ para $j \leq i$. Veamos por inducción que

$$
(A^k)_{ij} = 0 \qquad \text{siempre que } j \leq i + k - 1,
$$

es decir, que cada potencia empuja la región de ceros una diagonal más arriba. Para $k = 1$ es la hipótesis. Para el paso inductivo,

$$
(A^{k+1})_{ij} = \sum_{\ell} (A^k)_{i\ell}\,a_{\ell j} ,
$$

y cada término se anula: o bien $\ell \leq i + k - 1$ (el primer factor es $0$ por inducción), o bien $\ell \geq i + k$, en cuyo caso $j \leq i + k \leq \ell$ mata el segundo factor. Para $k = n$, la condición $j \leq i + n - 1$ se cumple para todos los $i, j \leq n$: $A^n = 0$. El [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu) divide a $X^n$ y la anulación define el índice. ∎

**Teorema 3.26 (Descomposición de Dunford).**

Supongamos que $\chi_u$ se escinde sobre $K$ (automático si $K =
\C$). Entonces existe un *único* par $(d, \nu)$ con

$$
u = d + \nu, \qquad d \text{ diagonalizable}, \quad \nu
\text{ nilpotente}, \quad d\nu = \nu d ,
$$

y además $d$ y $\nu$ son polinomios en $u$.

**Demostración.** *Existencia.* Escribamos $\chi_u = \prod_{i=1}^{r} (X -
\lambda_i)^{m_i}$ (los $\lambda_i$ distintos) y pongamos $N_i =
\ker(u - \lambda_i)^{m_i}$, los *subespacios característicos*. Por Cayley–Hamilton y el lema de los núcleos ([Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels)),

$$
E = N_1 \oplus \dots \oplus N_r ,
$$

con proyecciones $\pi_i$ polinómicas en $u$; cada $N_i$ es estable (los polinomios en $u$ conmutan con $u$). Definamos $d = \sum_i
\lambda_i \pi_i$: es un polinomio en $u$ y es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) (actúa como $\lambda_i$ sobre $N_i$, de modo que $E$ se descompone en sus [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen)). Entonces $\nu = u - d$ es un polinomio en $u$ (y por tanto conmuta con $d$) y actúa sobre cada $N_i$ como $u -
\lambda_i$, con $(u - \lambda_i)^{m_i} = 0$ allí: $\nu^{\max m_i} =
0$ en cada sumando, luego $\nu$ es nilpotente.

*Unicidad.* Sea $u = d' + \nu'$ otro par en esas condiciones. Como $d'$ y $\nu'$ conmutan entre sí, conmutan con $u = d' + \nu'$ y por tanto con todo polinomio en $u$; en particular, con $d$ y con $\nu$. Entonces $d - d'$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) (dos aplicaciones [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag) que conmutan son simultáneamente [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag): [Ejercicio 3.9](#exo-b2-reduction-9)) e igual a $\nu' - \nu$, que es nilpotente: si $\nu^k = 0$ y $\nu'^{k'} = 0$, la conmutación autoriza el desarrollo del binomio

$$
(\nu' - \nu)^{k + k' - 1}
= \sum_{j=0}^{k+k'-1}\binom{k + k' - 1}{j}
\,\nu'^{\,j}\,(-\nu)^{k + k' - 1 - j} ,
$$

en el que todos los términos mueren: o bien $j \geq k'$ (primer factor nulo), o bien $k + k' - 1 - j \geq k$ (segundo factor nulo), y siempre se da una de las dos. Un nilpotente [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) es nulo (su [espectro](#def-b2-reduction-eigen) es $\{0\}$ y es diagonal en alguna base): luego $d = d'$ y $\nu = \nu'$. ∎

**Ejemplo 3.27 (Potencias y exponenciales).**

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
4X + 4 = (X-2)^2$, con un único [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $2$ y [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) de dimensión $1$: no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag). Dunford: $D = 2I$, $N = A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$, con $N^2 = 0$. Entonces

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N ,
\qquad
\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN),
$$

por el teorema del binomio para elementos que conmutan y por la serie exponencial ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq)) separada sobre sumandos que conmutan. La reducción convierte la dinámica matricial en dinámica escalar.

**Observación 3.28 (Perspectivas dentro de este volumen).**

La reducción es un nudo de comunicaciones; conviene vigilar cuatro ramales. En el [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs), las normas adaptadas convierten “todos los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de módulo $< 1$” en “alguna norma de operador $< 1$”, con lo que los [espectros](#def-b2-reduction-eigen) gobiernan la convergencia de potencias y series. En el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq), la receta del [Ejemplo 3.27](#ex-b2-reduction-powers) pasa a ser la solución general de $X'
= AX$: Dunford separa $\eu^{tA}$ en bloques de tipo polinomio por exponencial, y la estabilidad se lee en las partes reales de los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen). En el [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/12-formas-cuadraticas#ch-b2-quadratic), un producto escalar impone lo que el álgebra lineal por sí sola no puede: las matrices simétricas resultan *ortogonalmente* [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag), sin parte nilpotente alguna. Y en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun), las asintóticas por [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) dominante del problema de fin de semana de este capítulo reaparecen analíticamente, como la singularidad más pequeña de una función generatriz: dos lenguajes para una misma tasa de crecimiento.

## 3.4 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

Diagonaliza ([valores propios](#def-b2-reduction-eigen), bases de los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen), matriz invertible $P$):

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\qquad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
$$

**Solución de Ejercicio 3.1.**

$A$: $\chi_A = X^2 - 2X - 3 = (X - 3)(X + 1)$. [Vectores propios](#def-b2-reduction-eigen): para $3$, $(1,1)$; para $-1$, $(1,-1)$. Así pues, $P =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ da $P^{-1}AP =
\operatorname{diag}(3, -1)$.

$B = J - I$, donde $J$ es la matriz de unos. $J$ tiene rango $1$, con $Jv = 3v$ para $v = (1,1,1)$ y $Jw = 0$ sobre el plano $x + y + z =
0$: el [espectro](#def-b2-reduction-eigen) de $B$ es $\{2, -1\}$, con [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ (de dimensión $1$) y $\{x + y + z = 0\}$ (de dimensión $2$, con base $(1,-1,0), (1,0,-1)$). La matriz $P$ con esas tres columnas da $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$.

**Ejercicio 3.2 ★.**

Prueba que $C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) de dos maneras: mediante los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) y mediante el [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu).

**Solución de Ejercicio 3.2.**

*Por [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen):* $\chi_C = (X-1)^2$, con único [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $1$; $\ker(C - I) = \ker\begin{pmatrix} 0&1\\
0&0\end{pmatrix}$ es la recta $\operatorname{Vect}(e_1)$, de dimensión $1 < 2 = m_1$, luego no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)).

*Por el [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu):* $\mu_C$ divide a $(X-1)^2$ y $C
\neq I$, luego $\mu_C = (X-1)^2$: una raíz doble, así que no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Corolario 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)).

**Ejercicio 3.3 ★.**

Sea $u$ tal que $u^2 - 5u + 6\,\mathrm{id} = 0$. Demuestra que $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag), determina los [espectros](#def-b2-reduction-eigen) posibles y calcula $u^k$ como combinación de $\mathrm{id}$ y $u$.

**Solución de Ejercicio 3.3.**

$X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)$: escindido con raíces simples, luego $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Corolario 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)), con $\operatorname{Sp}(u) \subseteq \{2, 3\}$. [Espectros](#def-b2-reduction-eigen) posibles: $\{2\}$ ($u = 2\,\mathrm{id}$), $\{3\}$ ($u = 3\,\mathrm{id}$) o $\{2, 3\}$.

Potencias: busquemos $u^k = a_k\,\mathrm{id} + b_k\,u$. Sobre los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) esto se lee $2^k = a_k + 2b_k$ y $3^k = a_k +
3b_k$; resolviendo, $b_k = 3^k - 2^k$ y $a_k = 3\cdot2^k - 2\cdot
3^k$:

$$
u^k = (3\cdot 2^k - 2\cdot 3^k)\,\mathrm{id} + (3^k - 2^k)\, u .
$$

(Válido para los tres [espectros](#def-b2-reduction-eigen): las identidades se cumplen [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) a [valor propio](#def-b2-reduction-eigen).)

**Ejercicio 3.4 ★★.**

Sea $u$ [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) y $F$ un subespacio estable. Demuestra que $u|_F$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) *(restringe un polinomio [anulador](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) escindido con raíces simples)*.

**Solución de Ejercicio 3.4.**

$u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag): $P = \prod_{\lambda}(X - \lambda)$ sobre el [espectro](#def-b2-reduction-eigen) anula $u$, es escindido y tiene raíces simples. Entonces $P(u|_F) = P(u)|_F = 0$: la restricción está anulada por un polinomio escindido con raíces simples, luego es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Corolario 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)).

**Ejercicio 3.5 ★★.**

(Fibonacci) Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Diagonaliza $A$ sobre $\R$ y deduce la fórmula de Binet para la sucesión de Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+1} = F_n +
F_{n-1}$):

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5},
\qquad \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1 -
\sqrt5}{2}.
$$

**Solución de Ejercicio 3.5.**

$\chi_A = X^2 - X - 1$, con raíces $\varphi$ y $\psi$ (distintas): [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag), con [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) $(\varphi, 1)$ y $(\psi,
1)$. La recurrencia da $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} =
A^n \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$. Descompongamos $(1, 0)$ sobre los [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen): $(1,0) = \frac{1}{\varphi -
\psi}\bigl((\varphi, 1) - (\psi, 1)\bigr)$ con $\varphi - \psi =
\sqrt5$. Aplicar $A^n$ multiplica cada componente propia por la potencia $n$-ésima de su [valor propio](#def-b2-reduction-eigen); leyendo la segunda coordenada:

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5} .
$$

(Comprobación: para $n = 1$ se obtiene $\frac{\varphi -
\psi}{\sqrt5} = 1$.)

**Ejercicio 3.6 ★★.**

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con $u^2$ [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) y $u$ invertible ($K = \C$). Demuestra que $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag). Da un contraejemplo cuando $u$ no es invertible.

**Solución de Ejercicio 3.6.**

Sea $P = \prod_i (X - \mu_i)$ un polinomio que anula $u^2$, escindido con raíces simples $\mu_i$ (el [espectro](#def-b2-reduction-eigen) de $u^2$). Como $u$ es invertible, $0$ no es [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) de $u^2$ (pues $\det u^2 = (\det
u)^2 \neq 0$), así que todos los $\mu_i \neq 0$. Entonces

$$
Q(X) = \prod_i (X^2 - \mu_i) = \prod_i (X - \sqrt{\mu_i})(X +
\sqrt{\mu_i})
$$

anula $u$: en efecto, $Q(u) = \prod_i (u^2 - \mu_i\,\mathrm{id}) =
P(u^2) = 0$. Sus raíces $\pm \sqrt{\mu_i}$ (raíces cuadradas complejas) son distintas dos a dos porque los $\mu_i$ son distintos y no nulos ($\sqrt{\mu_i} = -\sqrt{\mu_j}$ daría $\mu_i = \mu_j$). Escindido y con raíces simples: $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag).

Contraejemplo sin invertibilidad: $u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 &
0\end{pmatrix}$: $u^2 = 0$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) y $u$ no lo es.

**Ejercicio 3.7 ★★.**

Calcula la [descomposición de Dunford](#thm-b2-reduction-dunford), $A^k$ y $\eu^{tA}$ para

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

**Solución de Ejercicio 3.7.**

$A = 2I + N$ con $N$ el desplazamiento ($N e_2 = e_1$, $Ne_3 = e_2$), $N^3 = 0$ y $N^2 = E_{13}$: esta *es* la [descomposición de Dunford](#thm-b2-reduction-dunford) ($2I$ diagonal, $N$ nilpotente, y conmutan; la unicidad hace que sea la única). Binomio con términos que conmutan:

$$
A^k = 2^k I + k 2^{k-1} N + \binom k2 2^{k-2} N^2
= \begin{pmatrix}
2^k & k2^{k-1} & \binom k2 2^{k-2}\\
0 & 2^k & k2^{k-1}\\
0 & 0 & 2^k
\end{pmatrix},
$$

$$
\eu^{tA} = \eu^{2t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr)
= \eu^{2t}\begin{pmatrix}
1 & t & t^2/2\\
0 & 1 & t\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Ejercicio 3.8 ★★.**

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ con $A^k = I$ para algún $k \geq 1$. Demuestra que $A$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) y que sus [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) son raíces $k$-ésimas de la unidad. Deduce que una matriz compleja invertible de orden finito semejante a una matriz triangular con diagonal de unos es la identidad.

**Solución de Ejercicio 3.8.**

$X^k - 1$ anula $A$ y se escinde sobre $\C$ con las $k$ raíces distintas $\eu^{2\iu\pi j/k}$: $A$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Corolario 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)) y sus [valores propios](#def-b2-reduction-eigen), raíces de $X^k - 1$, son raíces $k$-ésimas de la unidad.

Si además $A$ es semejante a una matriz triangular con diagonal de unos, todos los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) valen $1$, y $A$, [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) con único [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $1$, vale $P\,I\,P^{-1} = I$.

**Ejercicio 3.9 ★★★.**

(Diagonalización simultánea) Sean $u, v$ [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag) y que conmutan. Demuestra que son *simultáneamente* [diagonalizables](#def-b2-reduction-diag): alguna base diagonaliza ambos. *(Cada [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ es estable por $v$; diagonaliza allí las restricciones de $v$ usando el [Ejercicio 3.4](#exo-b2-reduction-4).)*

**Solución de Ejercicio 3.9.**

Escribamos $E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)$ ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Cada $E_\lambda(u)$ es estable por $v$: para $x \in E_\lambda$, $u(v(x)) = v(u(x)) = \lambda v(x)$. La restricción de $v$ a $E_\lambda(u)$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Ejercicio 3.4](#exo-b2-reduction-4)): elíjase una base de $E_\lambda(u)$ formada por [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $v$. Concatenando esas bases sobre todos los $\lambda$ se obtiene una base de $E$ cuyos vectores son [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) de *ambos*, de $u$ (por pertenecer a $E_\lambda(u)$) y de $v$ (por construcción).

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

Sea $u \in \mathcal{L}(\C^n)$. Demuestra que $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) si y solo si todo subespacio estable por $u$ admite un suplementario estable por $u$. *(Para $\Leftarrow$: aplica la propiedad a $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$, la suma de todos los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen); si un suplementario estable $G$ fuera no nulo, trigonalizar $u|_G$ produciría un [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ dentro de $G$, en contradicción con $G \cap F = \{0\}$.)*

**Solución de Ejercicio 3.10.**

($\Rightarrow$) Sea $u$ [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) y $F$ estable. Entonces $u|_F$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Ejercicio 3.4](#exo-b2-reduction-4)): $F$ tiene una base de [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) que se extiende, dentro de cada [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) global $E_\lambda$, a una base de $E_\lambda$ (teorema de la base incompleta dentro de $E_\lambda$, partiendo de la parte de la base de $F$ que allí se aloja; obsérvese que $F =
\bigoplus_\lambda (F \cap E_\lambda)$ porque $u|_F$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag)). Los vectores añadidos generan un suplementario estable (cada uno está en algún $E_\lambda$, luego su envoltura es estable por $u$).

($\Leftarrow$) Sea $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ (subespacio estable) y $G$ un suplementario estable. Si $G \neq \{0\}$, entonces $\chi_{u|_G}$ se escinde sobre $\C$, así que $u|_G$ tiene un [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) $x \in G$ ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization), o directamente la existencia de una raíz); pero todo [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) de $u$ está en $F$, luego $x \in F \cap G = \{0\}$: contradicción. Por tanto $G = \{0\}$ y $E = F$: los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) llenan $E$, es decir, $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag).

**Ejercicio 3.11 ★★★.**

(Radio espectral en versión ligera de Gelfand, un anticipo $2\times2$ del análisis que viene) Sea $A \in \mathcal{M}_2(\C)$ con ambos [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de módulo $< 1$. Demuestra que $A^k \to 0$ entrada a entrada cuando $k \to \infty$. *(Trigonaliza: $A =
P(T)P^{-1}$ con $T$ triangular superior; calcula $T^k$ explícitamente —distinguiendo [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) iguales y distintos— y acota.)*

**Solución de Ejercicio 3.11.**

Trigonalicemos: $A = PTP^{-1}$, $T = \begin{pmatrix} \lambda & c\\ 0
& \mu\end{pmatrix}$, con $\abs\lambda, \abs\mu < 1$. Entonces $A^k =
PT^kP^{-1}$, y basta con que $T^k \to 0$.

*[Valores propios](#def-b2-reduction-eigen) distintos:* por inducción,

$$
T^k = \begin{pmatrix}
\lambda^k & c\,\dfrac{\lambda^k - \mu^k}{\lambda - \mu}\\[4pt]
0 & \mu^k
\end{pmatrix},
$$

y cada entrada tiende a $0$ (pues $\abs{\lambda}^k, \abs\mu^k \to
0$).

*[Valores propios](#def-b2-reduction-eigen) iguales ($\mu = \lambda$):* $T = \lambda I +
cE_{12}$ y $T^k = \lambda^k I + k\lambda^{k-1}cE_{12}$; la entrada $k\lambda^{k-1} \to 0$, ya que $\abs\lambda < 1$ (lo geométrico gana a lo polinómico). En ambos casos $T^k \to 0$ entrada a entrada, luego $A^k = PT^kP^{-1} \to 0$ (multiplicar por las matrices fijas $P,
P^{-1}$ es continuo en las entradas: cada entrada del producto es una combinación lineal fija).

**Ejercicio 3.12 ★★.**

Sea $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ con $\operatorname{rk} u = 1$ ($n \geq
2$). Prueba que $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$ y que $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) si y solo si $\operatorname{tr} u \neq 0$. *(Recuerda del [Ejercicio 2.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#exo-b2-linalg-5) que $u^2 =
(\operatorname{tr} u)\,u$.)*

**Solución de Ejercicio 3.12.**

$\ker u$ tiene dimensión $n - 1$ (teorema del rango), de modo que $0$ es un [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) de [multiplicidad geométrica](#def-b2-reduction-charpoly) $n - 1$, y $\chi_u$ es divisible por $X^{n-1}$ ([Definición 3.3](#def-b2-reduction-charpoly): geométrica $\leq$ algebraica). Escribamos $\chi_u = X^{n-1}(X - \alpha)$; como el coeficiente de $X^{n-1}$ es $-\operatorname{tr} u$, resulta $\alpha =
\operatorname{tr} u$: $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$.

Si $\operatorname{tr} u \neq 0$: el [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) $\operatorname{tr}
u$ es raíz de $\chi_u$, luego lleva asociado un [vector propio](#def-b2-reduction-eigen); los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) de $0$ y de $\operatorname{tr} u$ tienen dimensiones $n - 1$ y $\geq 1$, que suman $\geq n$: llenan $E$ y $u$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Si $\operatorname{tr} u = 0$: por el [Ejercicio 2.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#exo-b2-linalg-5), $u^2 =
(\operatorname{tr} u)u = 0$ con $u \neq 0$, así que $u$ es un nilpotente no nulo, y un nilpotente [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) es nulo ([Proposición 3.25](#prop-b2-reduction-nilpotent)): no es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag).

## 3.5 Problema: recurrencias lineales y matrices compañeras

Una recurrencia lineal $u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots + a_0 u_n$ es una potencia de matriz disfrazada, y la reducción la convierte en fórmulas cerradas, tasas de crecimiento y estimaciones del error. Este problema de fin de semana desarrolla el diccionario —matrices compañeras de un lado, operador de desplazamiento sobre el espacio de las sucesiones del otro—, demuestra el *teorema fundamental de las recurrencias lineales* (la solución general es $\sum_i
Q_i(n)\lambda_i^n$ sobre las raíces del [polinomio característico](#def-b2-reduction-charpoly)) y gasta los dividendos en la aproximación diofántica de $\sqrt2$, en el recuento de caminos y palabras, y en un anillo de sucesiones acopladas que solo la diagonalización simultánea consigue desenredar.

**Problema 3.1.**

Problema de fin de semana — el teorema fundamental de las recurrencias lineales

Fijemos $k \geq 1$, escalares $a_0, \dots, a_{k-1} \in \C$ con $a_0
\neq 0$, el polinomio mónico $P = X^k - a_{k-1}X^{k-1} - \dots - a_1
X - a_0$ y la recurrencia

$$
(\mathcal R)\colon\quad u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots +
a_1 u_{n+1} + a_0 u_n \qquad (n \geq 0).
$$

La *matriz compañera* de $P$ es

$$
C =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\
 & \ddots & \ddots & \\
 & & 0 & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_{k-1}
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_k(\C).
$$

**Parte I — El diccionario de la matriz compañera.**

1. Prueba que una sucesión $(u_n)$ satisface $(\mathcal R)$ si y solo si los vectores $v_n = (u_n, u_{n+1}, \dots,  u_{n+k-1})^{\mathsf T}$ satisfacen $v_{n+1} = Cv_n$ , de donde $v_n = C^n v_0$ .
2. Demuestra que $\chi_C = P$ (desarrolla $\det(XI - C)$ por la primera columna e induce sobre $k$ ) y después que también $\mu_C = P$ *(pasa a $C^{\mathsf T}$, para la que $e_1$ es [cíclico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated), y observa que una matriz y su [traspuesta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-transpose) tienen el mismo [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu))* .
3. Prueba que, para cada raíz $\lambda$ de $P$ , el vector $(1,  \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf T}$ genera el [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) de $C$ asociado a $\lambda$ ; deduce que *todos* los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) de $C$ tienen dimensión $1$ y que $C$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) si y solo si $P$ tiene $k$ raíces distintas.
4. Supongamos que $P$ tiene raíces distintas $\lambda_1, \dots,  \lambda_k$ . Prueba que las sucesiones geométricas $(\lambda_i^n)_n$ forman una base del espacio de soluciones de $(\mathcal R)$ , de modo que toda solución es $u_n =  \sum_i c_i\lambda_i^n$ para constantes $c_i$ únicas.
5. Resuelve por completo: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 =  1$ , $u_1 = 8$ .

**Parte II — El operador de desplazamiento y el teorema fundamental.** Sea $\mathcal{S}$ el $\C$-espacio vectorial de todas las sucesiones complejas y $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$ el desplazamiento, $S\bigl((u_n)_n\bigr) = (u_{n+1})_n$.

6. Prueba que el conjunto de soluciones de $(\mathcal R)$ es $\ker P(S)$ y que tiene dimensión exactamente $k$ *(envía cada solución a sus valores iniciales)* .
7. Explica por qué el lema de descomposición en núcleos ( [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) ) se aplica a $S$ sobre el espacio $\mathcal{S}$ , de dimensión infinita, sin ningún cambio, y escribe la descomposición resultante de $\ker  P(S)$ para $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ (los $\lambda_i$ distintos, todos no nulos porque $a_0 \neq 0$ ).
8. Para $\lambda \neq 0$ y $m \geq 1$, prueba que $$\ker\,(S - \lambda\,\mathrm{id})^m  = \bigl\{\,\bigl(Q(n)\,\lambda^n\bigr)_n : Q \in  \C_{m-1}[X]\,\bigr\},$$ de dimensión $m$. *(Calcula $(S -  \lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =  \lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ con $\Delta Q = Q(X + 1) -  Q(X)$, y usa que $\Delta$ baja el grado; para la dimensión, acótala por $m$ mediante los valores iniciales.)*
9. (El teorema fundamental de las recurrencias lineales) Concluye: si $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ con los $\lambda_i$ distintos y no nulos, las soluciones de $(\mathcal R)$ son exactamente las sucesiones $$u_n = \sum_{i=1}^{r} Q_i(n)\,\lambda_i^n,  \qquad Q_i \in \C_{m_i - 1}[X],$$ con polinomios $Q_i$ determinados de manera única.
10. Resuelve por completo: $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n$ , $u_0 =  1$ , $u_1 = 0$ , y comprueba la respuesta sobre $u_2$ .

**Parte III — Raíces dominantes y dividendos diofánticos.**

11. Supongamos las raíces simples con $\abs{\lambda_1} >  \abs{\lambda_i}$ para $i \geq 2$ , y $u_n = \sum_i c_i  \lambda_i^n$ con $c_1 \neq 0$ . Prueba que $u_n \sim  c_1\lambda_1^n$ y que $u_{n+1}/u_n \to \lambda_1$ .
12. (Pell) Definamos $a_{n+1} = a_n + 2b_n$ , $b_{n+1} = a_n +  b_n$ , $a_0 = b_0 = 1$ . Prueba que $q(a, b) = a^2 - 2b^2$ cumple $q(a_{n+1}, b_{n+1}) = -q(a_n, b_n)$ , de donde $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$ ; relaciónalo con el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) de $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 1 &  1\end{smallmatrix}\right)$ .
13. Deduce la estimación del error $$\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|  = \frac{1}{b_n\,(a_n + \sqrt2\,b_n)}  \leq \frac{1}{2b_n^2},$$ y prueba que decrece geométricamente con razón $3 -  2\sqrt2$ *(halla los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $M$ y el crecimiento de $b_n$)*.
14. (Crecimiento general) A partir de la pregunta 9, demuestra: (a) si toda raíz cumple $\abs{\lambda_i} \leq \rho$ , entonces $\abs{u_n} \leq C\,n^{m-1}\rho^n$ con $m = \max_i  m_i$ ; (b) si hay una única raíz $\lambda_1$ de módulo máximo y $Q_1 \neq 0$ , entonces $u_{n+1}/u_n \to  \lambda_1$ ; compruébalo sobre la solución de la pregunta 10.

**Parte IV — Contar caminos y palabras.** Para un grafo finito con conjunto de vértices $\{1, \dots, N\}$, la *matriz de adyacencia* $A$ tiene $A_{ij} = 1$ si $ij$ es una arista y $0$ en caso contrario.

15. Demuestra que $(A^n)_{ij}$ es el número de caminos de longitud $n$ de $i$ a $j$ (sucesiones de $n$ aristas, cada paso a lo largo de una arista).
16. (El triángulo) Para el grafo completo de $3$ vértices, $A =  J - I$: usando el [espectro](#def-b2-reduction-eigen) de $J$ ([Ejemplo 2.19](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#ex-b2-linalg-onesmatrix)), prueba que $$(A^n)_{ii} = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3},  \qquad  (A^n)_{ij} = \frac{2^n - (-1)^n}{3} \quad (i \neq j),$$ y comprueba ambas fórmulas para $n = 2$ enumerando caminos.
17. (Palabras sin $11$ ) Sea $w_n$ el número de palabras binarias de longitud $n$ sin dos $1$ consecutivos. Codifica las palabras por su última letra para obtener una matriz de transferencia, prueba que $w_{n+2} = w_{n+1} +  w_n$ , deduce $w_n = F_{n+2}$ (Fibonacci, [Ejercicio 3.5](#exo-b2-reduction-5) ) y da la tasa de crecimiento $\lim w_{n+1}/w_n$ .
18. (El camino) Para el grafo camino $1 - 2 - 3$ , prueba que los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $A$ son $\sqrt2, 0, -\sqrt2$ , con [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ y $(1, 0, -1)$ , y deduce que el número de caminos de longitud $n$ de un extremo al otro es $\bigl((\sqrt2)^n +  (-\sqrt2)^n\bigr)/4$ : cero para $n$ impar y $2^{\,n/2 - 1}$ para $n$ par. Compruébalo para $n = 4$ .
19. (Fórmula de la traza) Prueba que el número total de caminos cerrados de longitud $n$ (con todos los puntos de partida) es $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i \lambda_i^n$ , y verifícalo en el triángulo.

**Parte V — Un anillo de sucesiones: diagonalización simultánea.** Fijemos $k \geq 3$, sea $\omega =
\eu^{2\iu\pi/k}$ y sea $W \in \mathcal{M}_k(\C)$ el desplazamiento [cíclico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-generated): $W e_i = e_{i+1}$ (índices módulo $k$, columnas indexadas $0, \dots, k-1$).

20. Prueba que $W^{\mathsf T}$ es la matriz compañera de $X^k -  1$ , deduce que $\chi_W = \mu_W = X^k - 1$ y que $W$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) con los $k$ [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) simples $\omega^j$ y [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) $f_j = (1, \omega^{-j},  \omega^{-2j}, \dots, \omega^{-(k-1)j})^{\mathsf T}$ .
21. Una matriz *circulante* es $C = c_0 I + c_1 W + \dots  + c_{k-1}W^{k-1}$ . Prueba que todas las circulantes conmutan, que la base $(f_0, \dots, f_{k-1})$ las diagonaliza *todas* simultáneamente y que los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $C$ son $\widehat c(\omega^j) = \sum_m  c_m \omega^{jm}$ , $j = 0, \dots, k-1$ .
22. Deduce que $\det C = \prod_{j=0}^{k-1} \widehat  c(\omega^j)$ , y comprueba que $k = 3$ recupera la factorización del [Ejercicio 2.8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#exo-b2-linalg-8) .
23. (La media en el collar) Sea $x^{(n+1)} = Mx^{(n)}$ con $M =  \frac12(W + W^{-1})$ : cada uno de los $k$ números dispuestos en anillo se sustituye por la media de sus dos vecinos. Prueba que los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $M$ son $\cos(2\pi j/k)$ y que el coeficiente de $x^{(0)}$ sobre $f_0$ es la media $\frac1k\sum_m x^{(0)}_m$ *(suma las coordenadas de los $f_j$)* .
24. Concluye: para $k$ impar, $x^{(n)}$ converge al vector constante cuyo valor es la media de los valores iniciales; para $k = 4$ , exhibe el [valor propio](#def-b2-reduction-eigen) responsable de la no convergencia y la obstrucción exacta (un coeficiente de media alternada que debe anularse).
25. (Síntesis) En una frase cada uno: cómo la matriz compañera convierte el análisis de $(\mathcal R)$ en reducción; dónde el lema de descomposición en núcleos no necesitó dimensión finita; por qué los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) dominantes gobiernan las tasas de crecimiento y el error diofántico; por qué las potencias de la matriz de adyacencia cuentan caminos; y qué se gana con matrices que conmutan. Nombra las dos cumbres: el teorema fundamental de las recurrencias lineales y —en el volumen del tercer año, para las matrices positivas de la parte IV— el teorema de Perron–Frobenius.

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** Las $k - 1$ primeras coordenadas de $Cv_n$ son $u_{n+1}, \dots, u_{n+k-1}$ (la superdiagonal desplaza), y la última es $a_0 u_n + \dots + a_{k-1}u_{n+k-1}$. Así pues, $v_{n+1} = Cv_n$ se cumple para todo $n$ si y solo si coinciden las últimas coordenadas para todo $n$, es decir, si y solo si se cumple $(\mathcal R)$. Iterando, $v_n = C^nv_0$.

**2.** Desarrollemos $D_k(X) = \det(XI_k - C)$ por la primera columna: las dos entradas no nulas son $X$ (posición $(1,1)$) y $-a_0$ (posición $(k,1)$). El primer menor tiene la forma de $D_{k-1}$ para los coeficientes $a_1, \dots, a_{k-1}$; el segundo menor es triangular superior con diagonal $-1$, de [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) $(-1)^{k-1}$, y le corresponde el signo $(-1)^{k+1}$ por la posición. La inducción sobre $k$ (caso base $k = 1$: $X - a_0$) da

$$
D_k(X) = X\bigl(X^{k-1} - a_{k-1}X^{k-2} - \dots - a_1\bigr) -
a_0 = P(X).
$$

Para $\mu_C$: como $Q(C^{\mathsf T}) = Q(C)^{\mathsf T}$ para todo polinomio, $C$ y $C^{\mathsf T}$ tienen los mismos [anuladores](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-annihilator) y, por tanto, el mismo [polinomio mínimo](#def-b2-reduction-polyu). Para $C^{\mathsf T}$: las columnas dan $C^{\mathsf T}e_1 = e_2$, …, $C^{\mathsf
T}e_{k-1} = e_k$, de modo que $(e_1, C^{\mathsf T}e_1, \dots,
(C^{\mathsf T})^{k-1}e_1)$ es la base canónica, que es libre. Un polinomio $Q \neq 0$ de grado $< k$ cumple entonces $Q(C^{\mathsf
T})e_1 \neq 0$ (es una combinación no trivial de vectores de la base): $\deg\mu \geq k$. Y como $\mu \mid \chi = P$ con $\deg P =
k$, resulta $\mu_C = P$.

**3.** Para $v = (1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf
T}$: las filas $1$ a $k-1$ de $Cv$ dan $\lambda, \lambda^2, \dots,
\lambda^{k-1}$, es decir, $\lambda$ por las $k - 1$ primeras entradas de $v$; la última fila da $\sum_m a_m\lambda^m =
\lambda^k - P(\lambda) = \lambda^k = \lambda\cdot\lambda^{k-1}$. Luego $Cv = \lambda v$. Recíprocamente, las ecuaciones $(Cx)_i =
\lambda x_i$ para $i < k$ se leen $x_{i+1} = \lambda x_i$: todo [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) es proporcional a $v$, y por tanto todo [subespacio propio](#def-b2-reduction-eigen) tiene dimensión exactamente $1$. Es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) si y solo si las dimensiones de los [subespacios propios](#def-b2-reduction-eigen) suman $k$ ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)), si y solo si hay $k$ [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) distintos, si y solo si $P$ tiene $k$ raíces distintas (los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) son las raíces de $\chi_C = P$).

**4.** Cada $(\lambda_i^n)_n$ es solución de $(\mathcal R)$: $\lambda_i^{n+k} = \lambda_i^n\,\lambda_i^k = \lambda_i^n\sum_m
a_m\lambda_i^m$. Libertad: una combinación nula $\sum_i
c_i\lambda_i^n = 0$ para $n = 0, \dots, k-1$ es un sistema de Vandermonde ([Ejercicio 2.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#exo-b2-linalg-11)) en los $c_i$: todos los $c_i
= 0$. El espacio de soluciones tiene dimensión $k$ (pregunta 6, cuya demostración es elemental e independiente): $k$ soluciones libres forman una base, y las coordenadas son únicas.

**5.** $P = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$: solución general $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$. Condiciones iniciales: $A + B = 1$, $3A -
2B = 8$, luego $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

(Comprobación: $u_2 = u_1 + 6u_0 = 14$ y $2\cdot9 - 4 = 14$.)

**6.** $P(S)\bigl((u_n)\bigr)$ es la sucesión $n \mapsto
u_{n+k} - a_{k-1}u_{n+k-1} - \dots - a_0u_n$: se anula si y solo si se cumple $(\mathcal R)$, de modo que el conjunto de soluciones es $\ker P(S)$, un subespacio. La aplicación $\ker P(S) \to \C^k$, $u
\mapsto (u_0, \dots, u_{k-1})$, es lineal, inyectiva (la recurrencia determina $u_{k}, u_{k+1}, \dots$ a partir de los $k$ primeros valores, por inducción) y sobreyectiva (defínase $u_n$ recursivamente a partir de cualesquiera datos iniciales): la dimensión es $k$.

**7.** La demostración del [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) solo usa la identidad de Bézout en $\C[X]$ y el hecho de que los polinomios en un endomorfismo fijo conmutan. Ninguna de las dos cosas menciona la dimensión del espacio ambiente: el lema vale literalmente para $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$. Por tanto,

$$
\ker P(S) = \bigoplus_{i=1}^{r}
\ker\,(S - \lambda_i\,\mathrm{id})^{m_i}.
$$

**8.** Para $Q \in \C[X]$, la sucesión $(S -
\lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr)_n$ tiene término $n$-ésimo $Q(n{+}1)\lambda^{n+1} - \lambda Q(n)\lambda^n =
\lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$, con $\Delta Q = Q(X{+}1) - Q(X)$ de grado $\deg Q - 1$ (los términos dominantes se cancelan). Iterando, $(S - \lambda)^m\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =
\bigl(\lambda^{n+m}(\Delta^m Q)(n)\bigr)_n$, y $\Delta^m Q = 0$ cuando $\deg Q \leq m - 1$: el conjunto del miembro derecho está contenido en el núcleo. Es un subespacio de dimensión $m$: las sucesiones $(n^j\lambda^n)_n$, $0 \leq j < m$, son libres, ya que $\sum_j c_j n^j\lambda^n = 0$ para todo $n$ obliga (dividiendo por $\lambda^n \neq 0$) a que el polinomio $\sum_j c_jX^j$ se anule en todo $n \in \N$ y por tanto sea nulo. Recíprocamente, $\dim\ker(S
- \lambda)^m \leq m$: desarrollando $(S - \lambda)^m = \sum_j
\binom mj(-\lambda)^{m-j}S^j$, la ecuación $(S - \lambda)^m u = 0$ es una recurrencia lineal de orden $m$ (con coeficiente director $1$), así que $u$ queda determinada por $u_0, \dots, u_{m-1}$ como en la pregunta 6. La igualdad de dimensiones concluye.

**9.** Combinando las preguntas 7 y 8: toda solución se descompone de manera única como suma de elementos de los $\ker(S -
\lambda_i)^{m_i}$, es decir, $u_n = \sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ con $\deg Q_i \leq m_i - 1$; los $Q_i$ son únicos porque la descomposición es directa y, dentro de cada sumando, los coeficientes de $Q_i$ son las coordenadas en la base $(n^j\lambda_i^n)_j$ (pregunta 8). Comprobación de sensatez sobre las dimensiones: $\sum_i m_i = k$.

**10.** $P = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$: las soluciones son $(a + bn)2^n$. Datos iniciales: $a = 1$ y $2(a + b) = 0$, luego $b
= -1$:

$$
u_n = (1 - n)\,2^n .
$$

Comprobación: $u_2 = 4u_1 - 4u_0 = -4$, y $(1 - 2)\cdot4 = -4$.

**11.** Escribamos $u_n = \lambda_1^n\bigl(c_1 +
\sum_{i\geq2} c_i(\lambda_i/\lambda_1)^n\bigr)$; cada cociente tiene módulo $< 1$, así que el paréntesis tiende a $c_1 \neq 0$: $u_n \sim c_1\lambda_1^n$. En particular $u_n \neq 0$ para $n$ grande, y

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} =
\lambda_1\,\frac{c_1 + o(1)}{c_1 + o(1)} \longrightarrow
\lambda_1 .
$$

**12.** Calculemos:

$$
q(a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n + 2b_n)^2 - 2(a_n + b_n)^2
= -a_n^2 + 2b_n^2 = -q(a_n, b_n).
$$

Con $q(a_0, b_0) = 1 - 2 = -1$: $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$. Estructuralmente: $q(a, b) = (a - \sqrt2\,b)(a + \sqrt2\,b)$, y la aplicación lineal $M$ multiplica el factor $a + \sqrt2 b$ por $1 +
\sqrt2$ y el factor $a - \sqrt2 b$ por $1 - \sqrt2$ (calcúlese: $a_{n+1} + \sqrt2 b_{n+1} = (1 + \sqrt2)(a_n + \sqrt2 b_n)$); el producto queda multiplicado en cada paso por $(1 + \sqrt2)(1 -
\sqrt2) = -1 = \det M$.

**13.** Como $a_n^2 - 2b_n^2 = (a_n - \sqrt2 b_n)(a_n +
\sqrt2 b_n) = (-1)^{n+1}$,

$$
\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|
= \frac{\abs{a_n^2 - 2b_n^2}}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)}
= \frac{1}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)} \leq \frac1{2b_n^2},
$$

usando $a_n \geq b_n \geq 1$ (por inducción, ambas crecen), de donde $a_n + \sqrt2 b_n \geq (1 + \sqrt2)b_n \geq 2b_n$. [Valores propios](#def-b2-reduction-eigen) de $M$: $\chi_M = X^2 - 2X - 1$, con raíces $1 \pm
\sqrt2$; como $(a_0, b_0)$ tiene componente no nula sobre el [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) dominante (todas sus entradas son positivas), $b_n
\sim c(1 + \sqrt2)^n$ con $c > 0$ (pregunta 11). Por tanto, el error es $\asymp (1 + \sqrt2)^{-2n} = (3 + 2\sqrt2)^{-n}$: decrecimiento geométrico de razón $1/(3 + 2\sqrt2) = 3 - 2\sqrt2
\approx 0.172$.

**14.** (a) De la pregunta 9: $\abs{u_n} \leq \sum_i
\abs{Q_i(n)}\abs{\lambda_i}^n \leq \bigl(\sum_i
\abs{Q_i(n)}\bigr)\rho^n$, y cada $\abs{Q_i(n)} \leq C_i n^{m_i -
1} \leq C_i n^{m-1}$ para $n \geq 1$: basta sumar las constantes. (b) Sea $\rho' = \max_{i \geq 2}\abs{\lambda_i} <
\abs{\lambda_1}$, $d = \deg Q_1$ y $c \neq 0$ su coeficiente director. Entonces $u_n = Q_1(n)\lambda_1^n + R_n$ con $\abs{R_n}
\leq Cn^{m-1}\rho'^n$, y

$$
\frac{R_n}{Q_1(n)\lambda_1^n} = O\Bigl(n^{m-1-d}
\bigl(\rho'/\abs{\lambda_1}\bigr)^n\Bigr) \longrightarrow 0
$$

(lo geométrico gana a lo polinómico). Así pues,

$$
u_n \sim Q_1(n)\,\lambda_1^n \sim c\,n^d\lambda_1^n,
\qquad
\frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \lambda_1
\quad\text{(pues } Q_1(n{+}1)/Q_1(n) \to 1\text{)}.
$$

Comprobación sobre la pregunta 10: para $u_n = (1-n)2^n$ el cociente es

$$
\frac{(-n)2^{n+1}}{(1-n)2^n} = 2\,\frac{-n}{1-n}
\longrightarrow 2 = \lambda_1 .
$$

**15.** Por inducción sobre $n$. Para $n = 1$, $A_{ij}$ cuenta los caminos de longitud $1$. Paso inductivo: un camino de longitud $n + 1$ de $i$ a $j$ es un camino de longitud $n$ de $i$ a algún vértice $\ell$ seguido de una arista $\ell j$:

$$
\#\{\text{caminos}\} = \sum_{\ell} (A^n)_{i\ell}A_{\ell j} =
(A^{n+1})_{ij}.
$$

**16.** $J = 3\Pi$, donde $\Pi = J/3$ es la proyección sobre $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ paralelamente al plano $x + y + z =
0$ ($\Pi^2 = \Pi$ porque $J^2 = 3J$). Entonces $A = J - I = 2\Pi -
(I - \Pi)$ y, al ser $\Pi$ e $I - \Pi$ proyecciones complementarias,

$$
A^n = 2^n\,\Pi + (-1)^n (I - \Pi),
\qquad\text{es decir,}\qquad
(A^n)_{ij} = \frac{2^n}3 + (-1)^n\Bigl(\delta_{ij} -
\frac13\Bigr),
$$

lo que da las dos fórmulas del enunciado. Para $n = 2$: en la diagonal, $(4 + 2)/3 = 2$ (los caminos $i \to \ell \to i$ por cada uno de los dos vecinos $\ell$); fuera de la diagonal, $(4 - 1)/3 =
1$ (el único camino $i \to \ell \to j$ pasando por el tercer vértice).

**17.** Sean $w_n^{(0)}$ y $w_n^{(1)}$ el número de palabras admisibles de longitud $n$ terminadas en $0$ y en $1$, respectivamente. Al añadir una letra: un $0$ puede seguir a cualquier cosa, y un $1$ solo a un $0$:

$$
\begin{pmatrix} w_{n+1}^{(0)}\\ w_{n+1}^{(1)}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} w_n^{(0)}\\ w_n^{(1)}\end{pmatrix}.
$$

Sumando, $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ (o bien: condiciónese sobre la primera letra). Con $w_1 = 2$ y $w_2 = 3$ resulta $w_n = F_{n+2}$ por inducción ($F_3 = 2$, $F_4 = 3$, misma recurrencia). Crecimiento: las raíces de $X^2 - X - 1$ son $\varphi >
\abs\psi$ ([Ejercicio 3.5](#exo-b2-reduction-5)) y la componente en $\varphi$ es no nula (los $w_n$ son positivos y $\psi^n \to 0$), así que la pregunta 11 da $w_{n+1}/w_n \to \varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$.

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\
0&1&0\end{smallmatrix}\right)$. Comprobemos:

$$
A(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T}
= (\pm\sqrt2, 2, \pm\sqrt2)^{\mathsf T}
= \pm\sqrt2\,(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T},
\qquad
A(1, 0, -1)^{\mathsf T} = 0 :
$$

[valores propios](#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt2, -\sqrt2, 0$ ($= 2\cos\frac\pi4,
2\cos\frac{3\pi}4, 2\cos\frac\pi2$). Descompóngase $e_1$ en la base de [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen) y léase la tercera coordenada, o úsese la simetría: con $v_\pm = (1, \pm\sqrt2, 1)$ y $v_0 = (1, 0, -1)$ se comprueba que $e_1 = \frac14 v_+ + \frac14 v_- + \frac12 v_0$, luego para $n \geq 1$

$$
(A^n)_{13} = \Bigl(\tfrac14(\sqrt2)^n v_+ +
\tfrac14(-\sqrt2)^n v_- + 0\Bigr)_{\!3}
= \frac{(\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n}{4},
$$

que vale cero para $n$ impar (el grafo es bipartito: los extremos están a distancia par) y $2\cdot 2^{n/2}/4 = 2^{n/2 - 1}$ para $n$ par. Para $n = 4$: $2^{1} = 2$, que corresponde a los dos caminos $1\,2\,1\,2\,3$ y $1\,2\,3\,2\,3$.

**19.** Los caminos cerrados de longitud $n$ que parten de $i$ son $(A^n)_{ii}$; sumando sobre $i$ se obtiene $\operatorname{tr}(A^n)$. Trigonalizando $A$ (sobre $\C$), $A^n$ es triangular con diagonal $\lambda_i^n$: $\operatorname{tr}(A^n)
= \sum_i\lambda_i^n$. En el triángulo: $\operatorname{tr}(A^n) =
3\,\frac{2^n + 2(-1)^n}3 = 2^n + 2(-1)^n = 2^n + (-1)^n +
(-1)^n$, correspondiente al [espectro](#def-b2-reduction-eigen) $\{2, -1, -1\}$, en coherencia con la pregunta 16.

**20.** Las columnas de $W^{\mathsf T}$: $W^{\mathsf T}e_i =
e_{i-1}$ para $i \geq 1$ y $W^{\mathsf T}e_0 = e_{k-1}$; reetiquetando en el orden $e_0, e_1, \dots$, esto es exactamente la matriz compañera de $X^k - 1$ ($a_0 = 1$ y los demás $a_m =
0$). Por la pregunta 2, $\chi_{W} = \chi_{W^{\mathsf T}} = X^k - 1
= \mu_{W}$. Las raíces $\omega^j$ ($j = 0, \dots, k-1$) son las $k$ raíces $k$-ésimas distintas de la unidad: $W$ es [diagonalizable](#def-b2-reduction-diag) (pregunta 3, o [Ejercicio 3.8](#exo-b2-reduction-8): $W^k =
I$). [Vectores propios](#def-b2-reduction-eigen): $Wf_j = \sum_m \omega^{-jm}e_{m+1} =
\sum_{m'}\omega^{-j(m'-1)}e_{m'} = \omega^j f_j$.

**21.** Las circulantes son polinomios en $W$, y los polinomios en una matriz fija conmutan entre sí. Cada $f_j$ es [vector propio](#def-b2-reduction-eigen) de toda potencia: $W^m f_j = \omega^{jm}f_j$, luego

$$
Cf_j = \sum_m c_m\omega^{jm} f_j = \widehat c(\omega^j)\,f_j :
$$

la base $(f_0, \dots, f_{k-1})$ (libre: Vandermonde en los $\omega^{-j}$ distintos, [Ejercicio 2.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#exo-b2-linalg-11)) diagonaliza todas las circulantes a la vez, con los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) indicados.

**22.** El [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) es el producto de los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) (diagonalícese): $\det C = \prod_{j}\widehat c(\omega^j)$. Para $k
= 3$, con $c_0 = a$, $c_1 = b$, $c_2 = c$ y $\omega = j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj^4),
$$

y $j^4 = j$: exactamente la factorización del [Ejercicio 2.8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#exo-b2-linalg-8).

**23.** $M = \frac12(W + W^{-1})$ es una circulante ($W^{-1}
= W^{k-1}$), con [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) $\frac12(\omega^j + \omega^{-j})
= \cos\frac{2\pi j}k$ sobre la misma base $f_j$. Coordenadas: escribamos $x^{(0)} = \sum_j \alpha_j f_j$. Las coordenadas de $f_j$ suman $\sum_m \omega^{-jm}$, que vale $k$ para $j = 0$ y $0$ en los demás casos (suma geométrica de razón $\omega^{-j} \neq
1$). Sumando las coordenadas de $x^{(0)}$: $\sum_m x^{(0)}_m =
\alpha_0\,k$, luego $\alpha_0 = \frac1k\sum_m x^{(0)}_m$, la media.

**24.** $x^{(n)} = M^nx^{(0)} = \sum_j
\alpha_j\cos^n\bigl(\tfrac{2\pi j}k\bigr)f_j$. Para $k$ impar, $\abs{\cos(2\pi j/k)} < 1$ para todo $j \neq 0$ (el ángulo nunca vale $0$ ni $\pi$), luego todos los términos salvo el de $j = 0$ tienden a $0$: $x^{(n)} \to \alpha_0 f_0$, el vector constante igual a la media; promediar en un anillo impar iguala. Para $k =
4$ los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) son $1, 0, -1, 0$: el término $j = 2$, $\alpha_2(-1)^nf_2$ con $f_2 = (1, -1, 1, -1)^{\mathsf T}$, oscila indefinidamente. La obstrucción es la media alternada: multiplicando las coordenadas de $x^{(0)}$ por $(-1)^m$ y sumando, el mismo cálculo de suma geométrica da $\sum_m (-1)^mx^{(0)}_m =
4\alpha_2$; el proceso converge si y solo si $x^{(0)}_0 -
x^{(0)}_1 + x^{(0)}_2 - x^{(0)}_3 = 0$, y entonces converge a la media.

**25.** La matriz compañera convierte una recurrencia escalar de orden $k$ en una recurrencia vectorial de primer orden, de modo que las fórmulas cerradas pasan a ser enunciados sobre $C^n$, terreno propio de la reducción (preguntas 1–5). El lema de descomposición en núcleos es álgebra polinómica pura (Bézout más conmutación), así que parte $\ker P(S)$ aunque $\mathcal{S}$ tenga dimensión infinita (preguntas 7–9). Los [valores propios](#def-b2-reduction-eigen) dominantes gobiernan el crecimiento porque cualquier otra contribución es geométricamente despreciable tras normalizar, y esa es también la razón de que el error de Pell decrezca como el cuadrado de la raíz dominante (preguntas 11–14). Las potencias de la matriz de adyacencia cuentan caminos porque la multiplicación de matrices suma sobre los vértices intermedios, de modo que los [espectros](#def-b2-reduction-eigen) cuentan caminos cerrados (preguntas 15–19). Las matrices que conmutan comparten una base de [vectores propios](#def-b2-reduction-eigen), y entonces una única base de Fourier diagonaliza de un golpe toda el álgebra de las circulantes (preguntas 20–24). Cumbres: el teorema fundamental de las recurrencias lineales (pregunta 9); y, para las matrices no negativas, la razón de que raíces dominantes como $\varphi$ o $1 + \sqrt2$ sean automáticamente reales, positivas y simples es el teorema de Perron–Frobenius, demostrado en el volumen del tercer año.