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title: "Topología de los espacios métricos"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos
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# Capítulo 4 — Topología de los espacios métricos

La topología de la recta real (volumen del primer año) se generaliza, casi sin cambiar una palabra, a cualquier conjunto dotado de una distancia. La ganancia es enorme: sucesiones de funciones, matrices, curvas —todas pasan a ser puntos de [espacios métricos](#def-b2-metric-def), y los tres pilares que aquí se demuestran —la [completitud](#def-b2-metric-complete) con el teorema del punto fijo de Banach, la [compacidad](#def-b2-metric-compact) y la conexidad— se les aplican de manera uniforme. Este capítulo es la columna vertebral de toda la mitad de análisis del libro.

## 4.1 Espacios métricos

**Definición 4.1.**

Un *espacio métrico* es un conjunto $X$ dotado de una aplicación $d \colon X \times X \to \R_+$ tal que, para todos $x, y, z$:

$$
d(x,y) = 0 \iff x = y,
\qquad
d(x,y) = d(y,x),
\qquad
d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).
$$

Bolas: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ ([abierta](#def-b2-metric-topology)), $\overline B(a,r) =
\{x : d(a,x) \leq r\}$ (cerrada). Un subconjunto $A \subseteq X$ pasa a ser un espacio métrico con la distancia inducida.

**Ejemplo 4.2.**

$\R$ con $\abs{x - y}$; $\R^n$ con cualquiera de las distancias

$$
d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i},
\quad
d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2},
\quad
d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};
$$

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de las funciones [continuas](#def-b2-metric-continuity) con la *distancia del supremo* $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}}
\abs{f - g}$ (finita, pues $f - g$ está acotada); cualquier conjunto con la distancia *discreta* ($d(x,y) = 1$ para $x \neq y$). Las distancias procedentes de normas son el objeto del [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs).

**Definición 4.3 (Topología de un espacio métrico).**

$U \subseteq X$ es *abierto* cuando todo punto de $U$ es centro de una bola contenida en $U$; $F$ es *cerrado* cuando su complementario es abierto. Los entornos, el interior, la clausura, la densidad y la frontera se definen exactamente como en la recta real (volumen del primer año), con bolas en lugar de intervalos, y los enunciados allí demostrados —uniones e intersecciones de abiertos, caracterizaciones del interior y de la clausura, la clausura como el menor cerrado que contiene al conjunto— se trasladan con las mismas demostraciones. Las bolas abiertas son abiertas y las cerradas, cerradas (desigualdad triangular).

**Ejemplo 4.4 (Interior, clausura y frontera de un mismo conjunto).**

En $\R$, sea $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interior: $\intoo{0}{1}$ —alrededor de cualquier $x \in \intoo01$ una bola pequeña se queda dentro de $A$; alrededor de $1$, toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ se sale de $A$ por la derecha, luego $1$ no es interior; y el punto aislado $2$ tampoco lo es—. Clausura: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (el punto $0$ es límite de puntos de $A$ y no se añade nada más). Frontera (clausura menos interior): $\{0,
1, 2\}$. Conviene recordar las asimetrías: un extremo puede pertenecer al conjunto sin ser interior ($1$), puede ser adherente sin pertenecer ($0$), y un punto aislado es su propia frontera ($2$). La misma contabilidad funciona literalmente en cualquier [espacio métrico](#def-b2-metric-def), con bolas en lugar de intervalos.

**Definición 4.5 (Límites, continuidad).**

$x_n \to x$ en $X$ cuando $d(x_n, x) \to 0$. Una aplicación $f \colon
X \to Y$ entre [espacios métricos](#def-b2-metric-def) es *continua* en $a$ cuando

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad
d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq
\varepsilon ;
$$

equivalentemente (misma demostración que en $\R$), $f(x_n) \to f(a)$ para toda sucesión $x_n \to a$. $f$ es *lipschitziana* de constante $k$ cuando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ siempre; entonces es uniformemente continua y, en particular, continua.

**Teorema 4.6 (Caracterización global de la continuidad).**

$f \colon X \to Y$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) (en todo punto) si y solo si la imagen recíproca de todo [abierto](#def-b2-metric-topology) es [abierta](#def-b2-metric-topology), si y solo si la imagen recíproca de todo cerrado es cerrada.

**Demostración.** ($\Rightarrow$) Sea $V \subseteq Y$ [abierto](#def-b2-metric-topology) y $a \in f^{-1}(V)$: alguna bola $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$; la [continuidad](#def-b2-metric-continuity) en $a$ proporciona un $\delta$ con $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a),
\varepsilon)$, luego $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$.

($\Leftarrow$) Dados $a$ y $\varepsilon$, el conjunto $f^{-1}\bigl(B(f(a), \varepsilon)\bigr)$ es [abierto](#def-b2-metric-topology) y contiene a $a$, luego contiene una bola $B(a, \delta)$: esa es la definición de [continuidad](#def-b2-metric-continuity) en $a$. Los cerrados: por paso al complementario ([Proposición 1.1](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#prop-b2-structures-images)). ∎

## 4.2 Espacios completos

**Definición 4.7.**

Una sucesión $(x_n)$ es *de Cauchy* cuando $\sup_{p, q \geq N}
d(x_p, x_q) \to 0$ al tender $N \to \infty$. Un [espacio métrico](#def-b2-metric-def) es *completo* cuando toda sucesión de Cauchy converge. Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy siempre; los subconjuntos cerrados de un espacio completo son completos, y los subconjuntos completos de cualquier espacio son cerrados (mismas demostraciones que en $\R$: volumen del primer año).

**Ejemplo 4.8 (De Cauchy pero sin límite).**

En $X = \Q$ con la distancia usual, las truncaciones decimales de $\sqrt2$,

$$
x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414,
\quad\dots
$$

cumplen $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: son de Cauchy en $\Q$. Un límite en $\Q$ sería también el límite en $\R$, a saber $\sqrt2 \notin \Q$: no existe límite en $X$. La incompletitud es la presencia de esos “límites fantasma”; la [completitud](#def-b2-metric-complete) de $\R$ se diseñó en el volumen del primer año precisamente para dar hogar a toda sucesión de Cauchy.

**Teorema 4.9.**

$\R^n$ (con cualquiera de las tres distancias del [Ejemplo 4.2](#ex-b2-metric-examples)) y $\bigl(C(\intcc{a}{b}),
d_\infty\bigr)$ son [completos](#def-b2-metric-complete).

**Demostración.** $\R^n$: una sucesión de Cauchy lo es en cada coordenada (pues $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ para las tres distancias), así que cada coordenada converge ([completitud](#def-b2-metric-complete) de $\R$, volumen del primer año), y la convergencia coordenada a coordenada implica la convergencia para $d_\infty$ (hay un número finito de coordenadas) y por tanto para las tres (las tres distancias se dominan mutuamente salvo constantes: $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$).

$C(\intcc{a}{b})$: sea $(f_n)$ de Cauchy para $d_\infty$. Para cada $x$, la sucesión $(f_n(x))$ es de Cauchy en $\R$ (pues $\abs{f_p(x) -
f_q(x)} \leq d_\infty(f_p, f_q)$) y converge a cierto $f(x)$. Pasando al límite en $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (válido para $p, q \geq N_\varepsilon$ y todo $x$) cuando $q \to \infty$: $\abs{f_p(x) - f(x)} \leq \varepsilon$ para todo $x$, es decir, $d_\infty(f_p, f) \leq \varepsilon$: convergencia uniforme. El límite es [continuo](#def-b2-metric-continuity): dado $\varepsilon$, tómese $p$ con $\sup\abs{f_p - f}
\leq \varepsilon$ y úsese después la [continuidad](#def-b2-metric-continuity) de $f_p$ en $a$ junto con la descomposición en tres términos

$$
\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)}
+ \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon
$$

para $x$ próximo a $a$. (Este “argumento de los $3\varepsilon$” reaparece como teorema del límite uniforme en el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq).) ∎

**Ejemplo 4.10 (Abiertos y cerrados reconocidos por continuidad).**

La caracterización global ([Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)) es la herramienta cotidiana para la contabilidad topológica. En $\R^2$: el conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ es [abierto](#def-b2-metric-topology), pues es $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap
h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para las funciones [continuas](#def-b2-metric-continuity) $g(x,y) =
x^2 + y^2$ y $h(x, y) = y - x^3$: intersección de dos imágenes recíprocas [abiertas](#def-b2-metric-topology). En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: el conjunto de las funciones con $f(0) = f(1)$ y $\int_0^1 f = 0$ es cerrado, pues es la imagen recíproca de $\{(0,0)\}$ por la aplicación [continua](#def-b2-metric-continuity) $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1
f\bigr)$ con valores en $\R^2$ (cada coordenada es $1$-lipschitziana, como en el [Ejercicio 4.3](#exo-b2-metric-3)). El método no dibuja nunca: se exhibe una aplicación [continua](#def-b2-metric-continuity), se lee el conjunto como imagen recíproca y se invoca el teorema.

**Ejemplo 4.11 (Un cerrado definido por infinitas condiciones).**

En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$, el conjunto

$$
L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y}
\ \text{para todos } x, y\}
$$

de las funciones $1$-lipschitzianas es cerrado, pese a estar recortado por una cantidad no [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) de condiciones: para cada par fijo $(x, y)$, la aplicación $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} -
\abs{x - y}$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) (las evaluaciones son $1$-lipschitzianas), de modo que cada condición aislada define un cerrado, y $L$ es la *intersección* de esa familia; y una intersección arbitraria de cerrados es cerrada. La misma plantilla certifica el carácter cerrado del conjunto de funciones monótonas, del de funciones convexas y del de funciones acotadas por una $g$ fija: los límites uniformes heredan toda propiedad expresable como familia de restricciones puntuales cerradas. Lo que los límites uniformes *no* heredan automáticamente —la derivabilidad, por ejemplo— es justamente lo que al [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq) le costará trabajo.

**Teorema 4.12 (Teorema del punto fijo de Banach).**

Sea $X$ un [espacio métrico completo](#def-b2-metric-complete) no vacío y $f \colon X \to X$ una *contracción*: [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) de constante $k < 1$. Entonces $f$ tiene un único punto fijo $\ell$, y toda órbita $x_{n+1} =
f(x_n)$ converge a $\ell$, con

$$
d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .
$$

**Demostración.** Unicidad: dos puntos fijos están a distancia $\leq k$ veces esa misma distancia. Existencia: $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ por inducción, de modo que para $q > p$,

$$
d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j)
\leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j
= \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :
$$

la sucesión es de Cauchy y por tanto converge a cierto $\ell$; la [continuidad](#def-b2-metric-continuity) de $f$ permite pasar $x_{n+1} = f(x_n)$ al límite: $\ell
= f(\ell)$. La cota del error es la estimación anterior con $q \to
\infty$. ∎

**Ejemplo 4.13 (Una ecuación integral).**

Sobre $X = C(\intcc{0}{1})$ ([completo](#def-b2-metric-complete), [Teorema 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)), consideremos $T(f)(x) = 1 +
\frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. Para $f, g \in X$:

$$
\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq
\frac12\, d_\infty(f, g),
$$

así que $T$ es una contracción de razón $\frac12$: tiene un único punto fijo [continuo](#def-b2-metric-continuity), la solución de $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$, es decir, $\eu^{x/2}$. Este esquema, industrializado, se convierte en el teorema de Cauchy–Lipschitz del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq).

**Ejemplo 4.14 (Un punto fijo numérico: x=cos⁡xx = \cos xx=cosx).**

Sobre el [completo](#def-b2-metric-complete) $X = \intcc{0}{1}$, la aplicación $f = \cos$ envía $X$ en $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ y es una contracción: por la desigualdad del valor medio,

$$
\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr)
\abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y},
\qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .
$$

Banach: hay una única solución de $x = \cos x$ en $\intcc01$ (y por tanto en $\R$: todo punto fijo real está en $\intcc{-1}{1}$ y, tras una aplicación, en $\intcc{\cos 1}{1}$), y la iteración $x_{n+1} =
\cos x_n$ converge a ella desde cualquier punto de partida: $x_\infty \approx 0.739085$, el célebre número que se obtiene aporreando la tecla del coseno de una calculadora. La cota del error predice un decrecimiento en $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$, es decir, alrededor de una cifra por cada $13$ pulsaciones; la cota a posteriori del problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 14) certifica cada paso sobre la marcha.

## 4.3 Compacidad

**Definición 4.15.**

Un [espacio métrico](#def-b2-metric-def) $X$ es *compacto* cuando toda sucesión de $X$ admite una subsucesión convergente *en* $X$ (la propiedad de Bolzano–Weierstrass). Un subconjunto es compacto cuando lo es con la distancia inducida.

**Teorema 4.16 (Primeras propiedades).**

1. Un subconjunto [compacto](#def-b2-metric-compact) es cerrado y acotado; un subconjunto cerrado de un espacio [compacto](#def-b2-metric-compact) es [compacto](#def-b2-metric-compact) .
2. En $\R^n$ vale el recíproco: [compacto](#def-b2-metric-compact) $\iff$ cerrado y acotado.
3. La imagen [continua](#def-b2-metric-continuity) de un espacio [compacto](#def-b2-metric-compact) es [compacta](#def-b2-metric-compact) ; una función real [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre un [compacto](#def-b2-metric-compact) no vacío está acotada y alcanza sus cotas.
4. (Heine) Una aplicación [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre un espacio [compacto](#def-b2-metric-compact) es uniformemente continua.
5. Productos: si $X, Y$ son [compactos](#def-b2-metric-compact) , también lo es $X \times Y$ (con $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

**Demostración.** (1) Los mismos argumentos que en la recta (volumen del primer año): una sucesión que se escapa al infinito o que converge fuera no tiene subsucesión convergente dentro; para la segunda afirmación, extráigase en el [compacto](#def-b2-metric-compact) ambiente y úsese que el subconjunto es cerrado.

(2) Las sucesiones acotadas de $\R^n$ tienen subsucesiones convergentes componente a componente: extráigase sobre la primera coordenada (Bolzano–Weierstrass en $\R$), después, de esa subsucesión, sobre la segunda, y así sucesivamente ($n$ extracciones sucesivas); el ser cerrado mantiene el límite dentro.

(3) Dada $(f(x_n))$, extráigase $x_{\varphi(n)} \to x \in X$; la [continuidad](#def-b2-metric-continuity) da $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$. Caso real: la [compacidad](#def-b2-metric-compact) de $f(X) \subseteq \R$ lo hace cerrado y acotado, y $\sup
f(X) \in f(X)$ (el supremo de un conjunto es adherente a él, y $f(X)$ es cerrado).

(4) La demostración del primer año se traslada literalmente; hela aquí, en versión métrica. Supongamos $f \colon X \to Y$ [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre el [compacto](#def-b2-metric-compact) $X$ pero no uniformemente continua: algún $\varepsilon > 0$ admite, para todo $n$, puntos con

$$
d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1}
\qquad\text{y}\qquad
d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .
$$

Extraigamos $x_{\varphi(n)} \to a \in X$; entonces también $y_{\varphi(n)} \to a$ (las distancias mutuas tienden a $0$). La [continuidad](#def-b2-metric-continuity) en $a$ envía ambas sucesiones imagen a $f(a)$, luego $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$, en contradicción con la separación uniforme $> \varepsilon$. La [compacidad](#def-b2-metric-compact) aportó exactamente una cosa: el punto de acumulación $a$ en el que aplicar la [continuidad](#def-b2-metric-continuity) ordinaria.

(5) Extráigase sobre las coordenadas en $X$ y después, de nuevo, sobre las coordenadas en $Y$. ∎

**Ejemplo 4.17 (El teorema de Heine, con y sin compacidad).**

Sobre $\intcc{0}{1}$, la función $x \mapsto x^2$ es uniformemente continua —Heine lo afirma sin cálculo alguno, pero la estimación directa es instructiva—:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},
$$

de modo que $\delta = \varepsilon/2$ sirve *para todos los puntos a la vez*. Sobre $\R$, esa misma función no es uniformemente continua: con $x_n = n$ e $y_n = n + \frac1n$, la separación $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ mientras que $\abs{x_n^2 -
y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$: ningún $\delta$ único sirve para $\varepsilon = 1$. El mecanismo queda a la vista: la constante de Lipschitz local $\abs{x + y}$ está acotada sobre un [compacto](#def-b2-metric-compact) y no lo está sobre $\R$; el teorema de Heine es exactamente la afirmación de que la [compacidad](#def-b2-metric-compact) pone un techo uniforme a esas constantes locales.

**Método 4.18 (Cómo demostrar que un conjunto es compacto).**

Tres vías, por orden de frecuencia. (1) *Reconocimiento en el ambiente:* en $\R^n$ (o en cualquier espacio normado de dimensión finita, [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs)), compruébese que es cerrado —por lo general como imagen recíproca, [Ejemplo 4.10](#ex-b2-metric-recognize)— y acotado. (2) *Herencia:* un cerrado dentro de un [compacto](#def-b2-metric-compact) conocido es [compacto](#def-b2-metric-compact); una unión finita o un producto de [compactos](#def-b2-metric-compact) es [compacto](#def-b2-metric-compact); la imagen [continua](#def-b2-metric-continuity) de un [compacto](#def-b2-metric-compact) es [compacta](#def-b2-metric-compact). (3) *A mano:* extráigase una subsucesión convergente de una sucesión arbitraria, normalmente mediante extracciones sucesivas coordenada a coordenada. Para demostrar la *no* [compacidad](#def-b2-metric-compact) basta un testigo: una sucesión sin subsucesión convergente, casi siempre puntos a distancia mutua $\geq
\varepsilon$.

**Ejemplo 4.19 (Distancias entre conjuntos: la compacidad se gana el sueldo).**

Sean $K$ [compacto](#def-b2-metric-compact), $F$ cerrado y $K \cap F = \emptyset$ en un [espacio métrico](#def-b2-metric-def). Entonces

$$
d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :
$$

la función $x \mapsto d(x, F)$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) ([Ejercicio 4.11](#exo-b2-metric-11)) y positiva sobre $K$ (pues $d(x, F) = 0$ pondría $x \in \overline F = F$), luego alcanza un mínimo positivo sobre el [compacto](#def-b2-metric-compact) $K$ ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (3)). La [compacidad](#def-b2-metric-compact) no es decorativa: para dos *cerrados* el ínfimo puede anularse sin alcanzarse; en $\R^2$, la hipérbola $F_1 = \{xy = 1\}$ y el eje $F_2 = \{y = 0\}$ son cerrados disjuntos con $d(F_1, F_2) = 0$ (los puntos $(n, \frac1n)$ se acercan al eje). La huida al infinito es justamente lo que la [compacidad](#def-b2-metric-compact) prohíbe.

**Teorema 4.20 (Borel–Lebesgue).**

Un [espacio métrico](#def-b2-metric-def) $X$ es [compacto](#def-b2-metric-compact) si y solo si todo recubrimiento de $X$ por [abiertos](#def-b2-metric-topology) admite un subrecubrimiento *finito*.

**Demostración.** ($\Leftarrow$) Supongamos que $(x_n)$ no tiene ninguna subsucesión convergente. Afirmamos que todo $x \in X$ tiene una bola $B(x,
r_x)$ que contiene $x_n$ solo para un número finito de índices $n$: en caso contrario, toda bola $B(x, \frac1{k+1})$ contendría infinitos términos y, eligiendo índices

$$
\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots
\quad\text{con}\quad
x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)
$$

(posible en cada paso precisamente porque quedan infinitos candidatos), se construiría una subsucesión convergente a $x$. Las bolas $B(x, r_x)$ recubren $X$; si un número finito de ellas recubriera $X$, el conjunto de índices $\N$ sería unión finita de conjuntos finitos: absurdo.

($\Rightarrow$) Dos pasos. *Número de Lebesgue:* para un recubrimiento [abierto](#def-b2-metric-topology) $(U_i)$ de un [compacto](#def-b2-metric-compact) $X$ existe $\rho > 0$ tal que toda bola de radio $\rho$ está contenida en algún $U_i$. En caso contrario, para cada $n$ tómese $x_n$ tal que $B(x_n,
\frac{1}{n+1})$ no esté en ningún $U_i$; extráigase $x_{\varphi(n)}
\to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$; para $n$ grande, $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r)
\subseteq U_{i_0}$: contradicción. *Precompacidad:* para todo $\rho > 0$, un número finito de bolas de radio $\rho$ recubre $X$. En caso contrario, elíjase inductivamente $x_{n+1}$ fuera de $B(x_0,
\rho) \cup \dots \cup B(x_n, \rho)$: la sucesión tiene distancias mutuas $\geq \rho$, luego no tiene ninguna subsucesión de Cauchy y, por tanto, ninguna convergente: contradicción. Combinando ambos: recúbrase $X$ con un número finito de bolas de radio $\rho$ (el número de Lebesgue), cada una dentro de algún $U_i$; se obtiene un subrecubrimiento finito. ∎

**Ejemplo 4.21 (Una ε\varepsilonε-red, contada).**

La precompacidad (de la demostración del [Teorema 4.20](#thm-b2-metric-borellebesgue)) es muy concreta en $\intcc{0}{1}$: para $\varepsilon > 0$, las $\lceil
\frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bolas de radio $\varepsilon$ centradas en $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ lo recubren —unas $\frac1{2\varepsilon}$ bolas—, y ningún recubrimiento puede arreglárselas con menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ (cada bola cubre longitud a lo sumo $2\varepsilon$). En $\intcc01^2$ el recuento se eleva al cuadrado, al orden $\varepsilon^{-2}$: los números de recubrimiento crecen como $\varepsilon^{-d}$ en dimensión $d$, una cara cuantitativa de la [compacidad](#def-b2-metric-compact) y la razón de que las bolas unidad de dimensión infinita del [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs) (donde no existe ninguna $\frac13$-red finita) no puedan ser [compactas](#def-b2-metric-compact).

**Ejemplo 4.22 (La compacidad leída en los recubrimientos).**

El intervalo semiabierto $\intoc{0}{1}$ está recubierto por los [abiertos](#def-b2-metric-topology) $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$; toda subfamilia finita tiene un índice máximo $N$ y deja fuera $\intoc{0}{\frac1N}$: no hay subrecubrimiento finito, luego $\intoc{0}{1}$ no es [compacto](#def-b2-metric-compact), cosa que la definición sucesional ve mediante $x_n =
\frac1n$, cuyo límite $0$ se escapa. En cambio, añadir el único punto $0$ repara ambos diagnósticos a la vez: sobre $\intcc{0}{1}$, todo recubrimiento de ese tipo ha de contener un [abierto](#def-b2-metric-topology) que contenga a $0$, el cual se traga todo un segmento inicial, y un número finito de [abiertos](#def-b2-metric-topology) remata el resto. Los dos lenguajes del [Teorema 4.20](#thm-b2-metric-borellebesgue) fallan o triunfan siempre a la vez: los recubrimientos detectan la huida exactamente allí donde lo hacen las sucesiones.

**Observación 4.23 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Este capítulo es el muro de carga del volumen; conviene ver dónde soporta peso cada pilar. *[Completitud](#def-b2-metric-complete)*: el criterio de Cauchy pasa a ser el criterio de convergencia de series en espacios de Banach ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#ch-b2-series)), la convergencia uniforme del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq) es exactamente la convergencia en el [completo](#def-b2-metric-complete) $\bigl(C, d_\infty\bigr)$, y Cauchy–Lipschitz ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq)) es el teorema del punto fijo de Banach disfrazado de ecuación integral. *[Compacidad](#def-b2-metric-compact)*: demuestra la equivalencia de normas ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs)), la existencia de extremos para la optimización del [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) y la existencia de mejores aproximaciones (problema de fin de semana del [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs)). *[Conexidad](#def-b2-metric-connected)*: globaliza enunciados locales —la unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, el teorema del valor intermedio sobre curvas ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/18-curvas#ch-b2-curves)) y las dos componentes de $GL_n(\R)$ que la teoría de la orientación ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint)) mantendrá separadas—.

**Observación 4.24 (Errores frecuentes).**

(i) “Cerrado y acotado implica [compacto](#def-b2-metric-compact)” es un teorema sobre $\R^n$, no sobre [espacios métricos](#def-b2-metric-def): un conjunto infinito con la métrica discreta es cerrado y acotado en sí mismo y no es [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Ejercicio 4.4](#exo-b2-metric-4)), y la bola unidad cerrada de $C(\intcc01)$ también falla ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs)). (ii) La [completitud](#def-b2-metric-complete) es una propiedad de la *distancia*, no de la topología: $\R$ con $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ tiene las sucesiones convergentes de siempre y no es [completo](#def-b2-metric-complete) ([Ejercicio 4.1](#exo-b2-metric-1)). (iii) Una biyección [continua](#def-b2-metric-continuity) no tiene por qué ser un homeomorfismo —la parametrización de la circunferencia del [Ejercicio 4.7](#exo-b2-metric-7)—; la [compacidad](#def-b2-metric-compact) del espacio de partida lo repara. (iv) El teorema de Banach necesita $k < 1$ de manera *uniforme*: la condición $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ por sí sola no garantiza nada en un espacio no [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Ejercicio 4.5](#exo-b2-metric-5)). (v) [Conexo](#def-b2-metric-connected) no implica [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos en general, aunque para los [abiertos](#def-b2-metric-topology) de espacios normados que aparecen en este libro ambas nociones coinciden ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs)).

**Observación 4.25 (Dónde se usa este capítulo).**

En toda la mitad de análisis. La [completitud](#def-b2-metric-complete) de $C(\intcc{a}{b})$ alimenta los teoremas de convergencia del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq) y la teoría de Cauchy–Lipschitz del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq) (el problema de fin de semana de este capítulo ya demuestra el teorema local de Picard–Lindelöf); la [compacidad](#def-b2-metric-compact) da la equivalencia de normas en dimensión finita ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs)) y la existencia de extremos en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc); la [conexidad](#def-b2-metric-connected) sostiene los argumentos de valor intermedio del [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun) y la globalización de la unicidad para ecuaciones diferenciales. En el volumen del tercer año, la [compacidad](#def-b2-metric-compact) en espacios de funciones (el teorema de Arzelà–Ascoli) y el teorema de Baire (aquí, [Ejercicio 4.12](#exo-b2-metric-12)) pasan a ser herramientas de uso diario.

![Las primeras etapas del conjunto de Cantor (): cada nivel suprime el tercio central abierto de cada segmento. La intersección C = _n C_n es compacta, tiene interior vacío y longitud nula y, sin embargo, es equipotente a ℝ; además reaparece como punto fijo de una contracción sobre conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-metric/fig-a9e39f8f0d70.svg)

*Las primeras etapas del conjunto de Cantor ([Ejercicio 4.8](#exo-b2-metric-8)): cada nivel suprime el tercio central [abierto](#def-b2-metric-topology) de cada segmento. La intersección $C = \bigcap_n C_n$ es [compacta](#def-b2-metric-compact), tiene interior vacío y longitud nula y, sin embargo, es [equipotente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) a $\R$; además reaparece como *punto fijo* de una contracción sobre conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22).*

## 4.4 Conexidad

**Definición 4.26.**

$X$ es *conexo* cuando no admite ninguna partición en dos [abiertos](#def-b2-metric-topology) no vacíos; equivalentemente, cuando sus únicos subconjuntos a la vez [abiertos](#def-b2-metric-topology) y cerrados son $\emptyset$ y $X$. $X$ es *conexo por caminos* cuando dos puntos cualesquiera se unen mediante una aplicación [continua](#def-b2-metric-continuity) $\gamma \colon \intcc{0}{1}
\to X$.

**Teorema 4.27.**

1. Los subconjuntos [conexos](#def-b2-metric-connected) de $\R$ son exactamente los intervalos.
2. La imagen [continua](#def-b2-metric-continuity) de un [espacio conexo](#def-b2-metric-connected) es [conexa](#def-b2-metric-connected) , de donde el teorema del valor intermedio general: una función real [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre un [espacio conexo](#def-b2-metric-connected) toma todos los valores comprendidos entre dos cualesquiera de sus valores.
3. [Conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos $\Rightarrow$ [conexo](#def-b2-metric-connected) . (El recíproco es falso en general; sí vale para los [abiertos](#def-b2-metric-topology) de espacios normados, [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ch-b2-nvs) .)

**Demostración.** (1) Un conjunto $A$ que no sea intervalo se salta algún $z$ comprendido entre dos de sus puntos: $A = (A \cap
\intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ lo parte en dos piezas no vacías y [abiertas](#def-b2-metric-topology) en $A$. Recíprocamente, sea $I$ un intervalo e $I = U \cup V$ una partición en [abiertos](#def-b2-metric-topology) relativos no vacíos; tómense $a \in U$ y $b \in V$, digamos $a < b$, y póngase $s
= \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$, punto de $\intcc{a}{b} \subseteq I$. Si $s \in U$: entonces $s \neq b$, y el ser $U$ [abierto](#def-b2-metric-topology) relativo coloca todo un intervalo alrededor de $s$ (intersecado con $I$) dentro de $U$, de modo que hay puntos de $U \cap \intcc{a}{b}$ que superan a $s$, en contra del supremo. Si $s \in V$: el ser $V$ [abierto](#def-b2-metric-topology) relativo coloca un intervalo $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ dentro de $V$; pero el supremo es adherente a $U \cap \intcc{a}{b}$, que ha de cortar a ese intervalo, en contradicción con $U \cap V =
\emptyset$. (Este es el argumento de abierto-y-cerrado del primer año para $\R$, ejecutado dentro de $I$.)

(2) Si $f(X) = U' \cup V'$ se parte en [abiertos](#def-b2-metric-topology) relativos no vacíos, entonces $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ parte $X$ ([Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)). Valor intermedio: $f(X)
\subseteq \R$ es [conexo](#def-b2-metric-connected) y por tanto un intervalo, por (1).

(3) Supongamos $X = U \cup V$ con ambos [abiertos](#def-b2-metric-topology) no vacíos, y unamos $a \in U$ con $b \in V$ mediante un camino $\gamma$: entonces $\gamma^{-1}(U)$ y $\gamma^{-1}(V)$ parten $\intcc{0}{1}$, en contra de (1). ∎

**Ejemplo 4.28.**

$GL_n(\R)$ no es [conexo](#def-b2-metric-connected): $\det$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) (un polinomio en las entradas) sobre $\R^*$, que no es [conexo](#def-b2-metric-connected); las imágenes recíprocas de $\R_+^*$ y $\R_-^*$ parten $GL_n(\R)$. (Cada pieza es de hecho [conexa](#def-b2-metric-connected) por caminos, un ejercicio agradable que va más allá de lo que necesitamos.) En cambio, $GL_n(\C)$ *sí* es [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos: [Ejercicio 4.10](#exo-b2-metric-10).

**Ejemplo 4.29 (Un punto fijo que solo debe a la conexidad).**

Toda $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ [continua](#def-b2-metric-continuity) tiene un punto fijo, sin hipótesis de contracción ni iteración alguna. Consideremos $g(x) = f(x) - x$, [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre el [conexo](#def-b2-metric-connected) $\intcc01$:

$$
g(0) = f(0) \geq 0,
\qquad
g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,
$$

y el teorema del valor intermedio ([Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) (2)) proporciona un cero de $g$, es decir, un punto fijo de $f$. Contrástese con Banach ([Teorema 4.12](#thm-b2-metric-banach)): aquí la existencia es topológica y gratuita, pero se pierden la unicidad y el algoritmo —$f =
\mathrm{id}$ tiene todos los puntos fijos, y la iteración de una $f$ que no contrae puede ciclar indefinidamente—. Los dos teoremas de punto fijo de este capítulo responden a preguntas distintas y con monedas distintas.

**Ejemplo 4.30 (R\RR y R2\R^2R2 no son homeomorfos).**

La [conexidad](#def-b2-metric-connected) es una huella dactilar topológica. Supongamos que $h
\colon \R^2 \to \R$ fuera un homeomorfismo (una biyección [continua](#def-b2-metric-continuity) con inversa [continua](#def-b2-metric-continuity)). Quitemos un punto $a \in \R^2$: la restricción $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ sigue siendo un homeomorfismo. Pero $\R^2$ menos un punto es [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos —únanse dos puntos cualesquiera por un segmento, dando un rodeo por un segundo segmento a través de un punto auxiliar si $a$ bloquea el directo—, luego es [conexo](#def-b2-metric-connected) ([Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) (3)); mientras que $\R$ menos un punto se parte en dos semirrectas [abiertas](#def-b2-metric-topology) no vacías: no es [conexo](#def-b2-metric-connected). Y la [conexidad](#def-b2-metric-connected) se conserva por aplicaciones [continuas](#def-b2-metric-continuity): contradicción. El plano y la recta son genuinamente distintos *como espacios topológicos*, hecho que el cardinal por sí solo (¡las biyecciones al estilo del [Ejercicio 1.3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#exo-b2-structures-3) existen!) es demasiado grosero para percibir.

## 4.5 Ejercicios

**Ejercicio 4.1 ★.**

Sobre $\R$, comprueba que $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ y $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ son distancias. ¿Qué sucesiones convergen para cada una? ¿Es $(\R, d)$ [completo](#def-b2-metric-complete)?

**Solución de Ejercicio 4.1.**

$\delta$: la simetría y la separación son claras; desigualdad triangular: $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ para $u, v
\geq 0$ (si alguno de los dos mínimos vale $1$, el miembro derecho es $\geq 1$; en caso contrario vale $u + v$). $d$: es el retroceso de $\abs{\cdot}$ por la aplicación inyectiva $\arctan$, y los tres axiomas se transfieren.

Convergencia: para $\delta$, $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x}
\to 0$ (para valores pequeños ambas distancias coinciden): las mismas sucesiones convergentes de siempre. Para $d$: $d(x_n, x) \to 0 \iff
\arctan x_n \to \arctan x \iff x_n \to x$ ([continuidad](#def-b2-metric-continuity) y monotonía estricta de $\arctan$ y de su inversa en los rangos pertinentes): de nuevo, la convergencia usual.

$(\R, d)$ *no* es [completo](#def-b2-metric-complete): $x_n = n$ cumple $d(x_p, x_q) =
\abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (ambos tienden a $\frac\pi2$), luego es de Cauchy; pero $(x_n)$ no converge para $d$ (su $d$-límite sería un límite ordinario). La [completitud](#def-b2-metric-complete) es una propiedad de la *distancia*, no solo de las sucesiones convergentes.

**Ejercicio 4.2 ★.**

En un [espacio métrico](#def-b2-metric-def), demuestra que toda sucesión convergente es de Cauchy y está acotada, y que una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente converge. Deduce de nuevo que los [espacios métricos compactos](#def-b2-metric-compact) son [completos](#def-b2-metric-complete).

**Solución de Ejercicio 4.2.**

Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) +
d(\ell, x_q)$. Acotada: a partir de $N$, $d(x_n, \ell) \leq 1$; y los finitos primeros términos también caben en algún radio.

De Cauchy con subsucesión convergente $x_{\varphi(n)} \to \ell$: dado $\varepsilon$, para $n$ grande, $d(x_n, \ell) \leq d(x_n,
x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (el primer término, por ser de Cauchy, ya que $\varphi(n) \geq n$).

[Compacto](#def-b2-metric-compact) $\Rightarrow$ [completo](#def-b2-metric-complete): una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente ([compacidad](#def-b2-metric-compact)) y por tanto converge.

**Ejercicio 4.3 ★.**

En $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$, calcula la distancia entre $f(x) = x$ y $g(x) = x^2$; describe la bola cerrada $\overline
B(0, 1)$; y demuestra que el conjunto $\{f : f(0) = 0\}$ es cerrado mientras que $\{f : f(0) > 0\}$ es [abierto](#def-b2-metric-topology).

**Solución de Ejercicio 4.3.**

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (máximo de $x - x^2$ en $x = \frac12$).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$: las funciones [continuas](#def-b2-metric-continuity) con valores en $\intcc{-1}{1}$.

$\{f : f(0) = 0\}$ es la imagen recíproca de $\{0\}$ por la *evaluación* $f \mapsto f(0)$, que es $1$-lipschitziana ($\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$) y por tanto [continua](#def-b2-metric-continuity): el conjunto es cerrado ([Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)). Análogamente, $\{f : f(0) > 0\}$ es la imagen recíproca del [abierto](#def-b2-metric-topology) $\intoo{0}{+\infty}$, luego es [abierto](#def-b2-metric-topology).

**Ejercicio 4.4 ★★.**

Demuestra que el [espacio métrico](#def-b2-metric-def) discreto $X$ (un conjunto cualquiera) es [completo](#def-b2-metric-complete) y que es [compacto](#def-b2-metric-compact) si y solo si $X$ es finito. ¿Qué subconjuntos son [conexos](#def-b2-metric-connected)?

**Solución de Ejercicio 4.4.**

*[Completo](#def-b2-metric-complete):* una sucesión de Cauchy con $\varepsilon = \frac12$ es constante a partir de un índice y, por tanto, convergente.

*[Compacto](#def-b2-metric-compact) si y solo si finito:* si $X$ es finito, toda sucesión toma algún valor infinitas veces (subsucesión constante). Si $X$ es infinito, una sucesión de puntos distintos dos a dos tiene todas sus distancias mutuas iguales a $1$: no hay subsucesión de Cauchy y, por tanto, tampoco convergente.

*Subconjuntos [conexos](#def-b2-metric-connected):* los conjuntos unitarios (y $\emptyset$). Todo $A$ con dos puntos $x \neq y$ se parte como $\{x\}
\cup (A \setminus\{x\})$, ambos [abiertos](#def-b2-metric-topology) en $A$ (todo subconjunto de un espacio discreto es [abierto](#def-b2-metric-topology), pues las bolas de radio $\frac12$ son unitarias).

**Ejercicio 4.5 ★★.**

Sea $X$ [compacto](#def-b2-metric-compact) y $f \colon X \to X$ tal que

$$
d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{para todos } x \neq y .
$$

Demuestra que $f$ tiene un único punto fijo *(minimiza $x
\mapsto d(x, f(x))$)*, y da un ejemplo sobre $X =
\intco{1}{+\infty}$ (no [compacto](#def-b2-metric-compact)) sin punto fijo.

**Solución de Ejercicio 4.5.**

La función $g(x) = d(x, f(x))$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre el [compacto](#def-b2-metric-compact) $X$ (pues $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$, por dos desigualdades triangulares), así que alcanza su mínimo en cierto $a$ ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops)). Si $f(a) \neq a$:

$$
g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),
$$

en contra de la minimalidad. Luego $f(a) = a$; la unicidad es la de siempre (dos puntos fijos $a \neq b$ darían $d(a,b) = d(f(a), f(b)) <
d(a,b)$).

Ejemplo no [compacto](#def-b2-metric-compact): $f(x) = x + \frac1x$ sobre $\intco{1}{+\infty}$: $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 -
\frac{1}{xy}} < \abs{x - y}$ para $x \neq y$ (ya que $xy > 1$) y, sin embargo, $f(x) > x$ en todas partes.

**Ejercicio 4.6 ★★.**

([Compactos](#def-b2-metric-compact) encajados) Sea $(K_n)$ una sucesión decreciente de subconjuntos [compactos](#def-b2-metric-compact) no vacíos de un [espacio métrico](#def-b2-metric-def). Demuestra que $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ *(toma $x_n \in K_n$ y extrae)*. Muestra con un ejemplo que unos *cerrados* encajados no vacíos de $\R$ pueden tener intersección vacía.

**Solución de Ejercicio 4.6.**

Tomemos $x_n \in K_n$. Todos los términos a partir del índice $n$ están en $K_n$; en particular, toda la sucesión está en el [compacto](#def-b2-metric-compact) $K_0$: extraigamos $x_{\varphi(k)} \to \ell$. Para cada $n$ fijo, los términos $x_{\varphi(k)}$ con $\varphi(k) \geq n$ están en el *cerrado* $K_n$, luego el límite $\ell \in K_n$. Por tanto $\ell \in \bigcap K_n$.

Contraejemplo con cerrados: $F_n = \intco{n}{+\infty}$ en $\R$: encajados, cerrados, no vacíos y de intersección vacía.

**Ejercicio 4.7 ★★.**

Sea $K$ [compacto](#def-b2-metric-compact) y $f \colon K \to Y$ [continua](#def-b2-metric-continuity) y biyectiva. Demuestra que $f^{-1}$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) *(usa los cerrados: [Teorema 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity) y [Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops))*. Da un contraejemplo sin [compacidad](#def-b2-metric-compact) ($\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ sobre $\intco{0}{2\pi}$).

**Solución de Ejercicio 4.7.**

Que $f^{-1}$ sea [continua](#def-b2-metric-continuity) significa que las imágenes $f(F)$ de los cerrados $F \subseteq K$ son cerradas (las imágenes recíprocas por $f^{-1}$ son las imágenes por $f$). Un cerrado $F$ del [compacto](#def-b2-metric-compact) $K$ es [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (1)); su imagen [continua](#def-b2-metric-continuity) $f(F)$ es [compacta](#def-b2-metric-compact) y, por tanto, cerrada. Luego $f^{-1}$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) y $f$ es un homeomorfismo.

Contraejemplo: $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ de $\intco{0}{2\pi}$ (no [compacto](#def-b2-metric-compact)) sobre la circunferencia unidad es una biyección [continua](#def-b2-metric-continuity), pero $\gamma^{-1}$ es discontinua en $(1,0)$: los puntos de la circunferencia justo por debajo del eje tienen parámetros cercanos a $2\pi$, no a $0$.

**Ejercicio 4.8 ★★.**

El *conjunto de Cantor* $C$ se obtiene de $\intcc{0}{1}$ suprimiendo reiteradamente los tercios centrales [abiertos](#def-b2-metric-topology). Demuestra que $C$ es [compacto](#def-b2-metric-compact), tiene interior vacío y es infinito; de hecho, [equipotente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) a $\{0,1\}^{\N}$ *(desarrollos en base $3$ con cifras $0$ y $2$; [Ejercicio 1.3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#exo-b2-structures-3))*.

**Solución de Ejercicio 4.8.**

$C = \bigcap_n C_n$, donde cada $C_n$ (unión de $2^n$ intervalos cerrados de longitud $3^{-n}$) es cerrado: $C$ es cerrado y acotado en $\R$ y, por tanto, [compacto](#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (2)).

Interior vacío: $C$ no contiene ningún intervalo de longitud $>
3^{-n}$ (está dentro de $C_n$, cuyas componentes tienen esa longitud), y esto para todo $n$.

Cardinal: los puntos de $C$ son exactamente los reales $\sum_{n\geq1} a_n 3^{-n}$ con cifras $a_n \in \{0, 2\}$ (en cada etapa, el tercio central suprimido elimina la cifra $1$); la aplicación $(a_n) \mapsto \sum a_n 3^{-n}$ es una biyección de $\{0,2\}^{\N^*}$ sobre $C$ (la inyectividad, como en el [Ejercicio 1.3](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#exo-b2-structures-3)). Así pues, $C$ es [equipotente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) a $\{0,1\}^{\N}$: no [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable), pese a tener “longitud nula”.

**Ejercicio 4.9 ★★★.**

Sea $X$ un [espacio métrico](#def-b2-metric-def) *[compacto](#def-b2-metric-compact)* y $f \colon X \to X$ una isometría: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$. Demuestra que $f$ es sobreyectiva. *Indicación: si $a \notin f(X)$, entonces $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (¿por qué?); estudia la órbita $a,
f(a), f^2(a), \dots$ y prueba que sus puntos están a distancia mutua $\geq \varepsilon$, en contradicción con la [compacidad](#def-b2-metric-compact).*

**Solución de Ejercicio 4.9.**

Supongamos $a \notin f(X)$. La imagen $f(X)$ es [compacta](#def-b2-metric-compact) (imagen [continua](#def-b2-metric-continuity)) y, por tanto, cerrada; luego

$$
\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr)
= \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0
$$

(el ínfimo de una función [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre un [compacto](#def-b2-metric-compact) se alcanza; si fuera $0$, $a$ sería adherente al cerrado $f(X)$ y por tanto pertenecería a él).

Consideremos la órbita $x_n = f^n(a)$ (con $x_0 = a$). Para $p < q$:

$$
d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr)
= d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,
$$

(la isometría iterada $p$ veces; y $f^{q-p}(a) \in f(X)$ porque $q -
p \geq 1$). Una sucesión con distancias mutuas $\geq \varepsilon$ no tiene subsucesión convergente, en contra de la [compacidad](#def-b2-metric-compact). Por tanto $f(X) = X$.

**Ejercicio 4.10 ★★★.**

Demuestra que $GL_n(\C)$ es [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos. *Indicación: dadas $A, B$ invertibles, considera $p(z) = \det\bigl((1 - z)A +
zB\bigr)$ para $z \in \C$: es un polinomio en $z$ no idénticamente nulo, luego tiene un número finito de raíces; une $0$ con $1$ en $\C$ mediante un camino que las evite.*

**Solución de Ejercicio 4.10.**

Sean $A, B \in GL_n(\C)$ y $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$: un polinomio en $z$ (cada entrada es afín en $z$ y el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) es polinómico en las entradas). Como $p(0) = \det A \neq 0$, $p$ no es idénticamente nulo y tiene un número finito de raíces $z_1, \dots,
z_m$ (ninguna igual a $0$ ni a $1$, pues $p(1) = \det B \neq 0$). El plano $\C$ menos un número finito de puntos es [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos: existe un camino de $0$ a $1$ que evita los $z_i$ (tómese una línea quebrada que pase por un punto alejado de todas las raíces, o un arco de circunferencia; los obstáculos son finitos). A lo largo de un camino así, $\gamma$, la aplicación $t \mapsto (1 - \gamma(t))A +
\gamma(t)B$ es un camino [continuo](#def-b2-metric-continuity) *dentro* de $GL_n(\C)$ que va de $A$ a $B$ (el [determinante](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/2-algebra-lineal#def-b2-linalg-det) no se anula en él). Así pues, $GL_n(\C)$ es [conexo](#def-b2-metric-connected) por caminos, al contrario que su primo real ([Ejemplo 4.28](#ex-b2-metric-glnr)): el plano complejo tiene sitio para rodear los obstáculos.

**Ejercicio 4.11 ★★.**

Para $\emptyset \neq A \subseteq X$, pongamos $d(x, A) = \inf_{a \in
A} d(x, a)$. Demuestra que $x \mapsto d(x, A)$ es $1$-lipschitziana, que $d(x, A) = 0$ si y solo si $x \in \overline A$, y que para *cerrados* disjuntos no vacíos $A, B$ la función

$$
\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}
$$

está bien definida, es [continua](#def-b2-metric-continuity) y vale $0$ exactamente sobre $A$ y $1$ exactamente sobre $B$: un “interruptor” [continuo](#def-b2-metric-continuity) que separa dos cerrados disjuntos cualesquiera.

**Solución de Ejercicio 4.11.**

*Lipschitz:* para $a \in A$, $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y,
a)$; tomando el ínfimo sobre $a$: $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$, e intercambiando $x$ e $y$: $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$.

*Anulación:* $d(x, A) = 0$ si y solo si existen $a_n \in A$ con $d(x, a_n) \to 0$, si y solo si $x$ es límite de puntos de $A$, si y solo si $x \in \overline A$.

*El interruptor:* para cerrados disjuntos $A, B$, el denominador $d(x,A) + d(x,B)$ no se anula nunca (ello obligaría a $x
\in \overline A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$), de modo que $\varphi$ está bien definida y es [continua](#def-b2-metric-continuity) como cociente de funciones [continuas](#def-b2-metric-continuity) con denominador no nulo. $\varphi(x) = 0$ si y solo si $d(x, A) = 0$, si y solo si $x \in A$; $\varphi(x) = 1$ si y solo si $d(x, B) = 0$, si y solo si $x \in B$; y $0 \leq \varphi \leq
1$ en todas partes.

**Ejercicio 4.12 ★★★.**

(Baire) Sea $X$ un [espacio métrico completo](#def-b2-metric-complete) y $(U_n)_{n\geq1}$ una sucesión de [abiertos](#def-b2-metric-topology) densos. Demuestra que $\bigcap_n U_n$ es denso en $X$ *(dentro de cualquier bola, constrúyanse bolas cerradas encajadas $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ con $r_n \to 0$ y úsese la [completitud](#def-b2-metric-complete))*. Deduce que $\R$ no es unión [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) de cerrados de interior vacío y recupera —una vez más— que $\R$ no es [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable).

**Solución de Ejercicio 4.12.**

Sea $B(x_0, r_0)$ una bola cualquiera; hallemos en ella un punto de $\bigcap U_n$. Como $U_1$ es denso y [abierto](#def-b2-metric-topology), $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ es no vacío y [abierto](#def-b2-metric-topology): contiene una bola cerrada $\overline
B(x_1, r_1)$ con $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (redúzcase el radio). Por inducción, $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ es [abierto](#def-b2-metric-topology) no vacío: tómese $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap
B(x_n, r_n)$ con $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$. Para $p, q \geq n$, tanto $x_p$ como $x_q$ están en $B(x_n, r_n)$ con $r_n \leq
2^{-n}r_0$: la sucesión es de Cauchy y converge a cierto $\ell$ por [completitud](#def-b2-metric-complete). Para cada $n$, la cola de la sucesión está en la bola *cerrada* $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq
U_{n+1} \cap B(x_0, r_0)$, luego $\ell \in U_{n+1}$ para todo $n$ y $\ell \in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$. Por tanto $\bigcap_n U_n$ corta a toda bola: es denso.

*Aplicación:* si $\R = \bigcup_n F_n$ con $F_n$ cerrados de interior vacío, entonces los $U_n = \R \setminus F_n$ son densos ($\overline{U_n} = \R$ si y solo si $F_n$ tiene interior vacío) y [abiertos](#def-b2-metric-topology), y Baire da un punto de $\bigcap U_n = \R \setminus
\bigcup F_n$: contradicción. En particular, $\R \neq \bigcup_{x
\in D} \{x\}$ para un $D$ [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) (los conjuntos unitarios son cerrados de interior vacío): $\R$ no es [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable), el [Teorema 1.9](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#thm-b2-structures-cantor) por otro camino.

## 4.6 Problema: la iteración de Picard

[Completitud](#def-b2-metric-complete) más contracción es una máquina de resolver: se le da una ecuación escrita como problema de punto fijo y devuelve existencia, unicidad, algoritmo y barras de error. Este problema de fin de semana pone la máquina a plena potencia sobre la ecuación $y' =
f(t, y)$: demostramos el *teorema local de Picard–Lindelöf* (el corazón no lineal de la teoría de Cauchy–Lipschitz del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq)), vemos cómo cada hipótesis se gana el sueldo a través de contraejemplos y recogemos dividendos puramente métricos: la dependencia [continua](#def-b2-metric-continuity) respecto de los datos, la ecuación de Kepler y la autosemejanza del conjunto de Cantor.

![Iteradas de Picard para y' = y, y(0) = 1: cada pasada por T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y añade un término de Taylor, y la contracción comprime uniformemente toda la sucesión sobre \,t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-metric/fig-ca7ff92a0207.svg)

*Iteradas de Picard para $y' = y$, $y(0) = 1$: cada pasada por $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ añade un término de Taylor, y la contracción comprime uniformemente toda la sucesión sobre $\eu^{\,t}$.*

**Problema 4.1.**

Problema de fin de semana — el teorema de Picard–Lindelöf

En todo el problema, $t_0 \in \R$, $y_0 \in \R$, $a, b > 0$, y $f$ es una función [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre el rectángulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0
+ a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$, acotada por $M = \sup_R\,\abs
f$ y *$L$-lipschitziana en su segunda variable*: $\abs{f(t, y)
- f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ siempre que ambos puntos estén en $R$. Pongamos

$$
h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{con } h = a
\text{ si } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.
$$

**Parte I — El escenario completo.**

1. Demuestra las dos afirmaciones citadas en la [Definición 4.7](#def-b2-metric-complete) : un cerrado de un [espacio métrico completo](#def-b2-metric-complete) es [completo](#def-b2-metric-complete) , y un subconjunto [completo](#def-b2-metric-complete) de cualquier [espacio métrico](#def-b2-metric-def) es cerrado. Deduce que todo cerrado de $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ es un [espacio métrico completo](#def-b2-metric-complete) .
2. Prueba que la aplicación $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto  \bigl(t \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , es $h$ -lipschitziana para $d_\infty$ .
3. (Los puntos fijos se mueven menos que las aplicaciones) Sea $g \colon X \to X$ una contracción de razón $k$ de un [espacio métrico](#def-b2-metric-def), con punto fijo $\ell_g$, y $\widetilde g  \colon X \to X$ una aplicación *cualquiera* con un punto fijo $\ell_{\widetilde g}$. Demuestra que $$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq  \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}),  \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k}  \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde  g(x)\bigr)}{1 - k}.$$
4. (El truco de la iterada) Sea $X$ [completo](#def-b2-metric-complete) y no vacío y $g  \colon X \to X$ una aplicación —sin suponerla continua— tal que alguna iterada $g^m$ sea una contracción de razón $k$ . Demuestra que $g$ tiene un único punto fijo $\ell$ y que *toda* órbita $x_{n+1} =  g(x_n)$ converge a $\ell$ . *(Los puntos fijos de $g$ lo son de $g^m$; recíprocamente, $g(\ell)$ es punto fijo de $g^m$; sepárese la órbita según los restos módulo $m$.)*

**Parte II — El teorema de Picard–Lindelöf.**

5. Prueba que una función $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0  + b}$ es de clase $C^1$ con $y(t_0) = y_0$ e $y' = f(t,  y)$ sobre $I$ si y solo si es [continua](#def-b2-metric-continuity) y satisface la ecuación integral $$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s  \qquad (t \in I).$$
6. Sea $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b \text{  sobre } I\}$ y sea $T$ definida por $T(y)(t) = y_0 +  \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . Prueba que $X_h$ es un cerrado no vacío de $C(I)$ , y por tanto [completo](#def-b2-metric-complete) , y que $T$ envía $X_h$ en $X_h$ ; aquí es donde trabaja $h \leq b/M$ .
7. Prueba que $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq  Lh\,d_\infty(y, z)$ sobre $X_h$ : si $Lh < 1$ , el teorema de Banach ya concluye. A continuación eliminamos esa condición de pequeñez.
8. Demuestra por inducción sobre $n$ que $$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq  \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\,  d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$$ de modo que alguna iterada de $T$ es una contracción. Concluye con la pregunta 4 (*el teorema de Picard–Lindelöf*): el problema de Cauchy $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ tiene exactamente una solución sobre $I =  \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ con valores en $\intcc{y_0 -  b}{y_0 + b}$.
9. Prueba que la restricción “con valores en $\intcc{y_0 -  b}{y_0 + b}$ ” es automática: toda solución del problema de Cauchy definida sobre $I$ cuya gráfica arranque dentro de $R$ permanece en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ *(considera el primer instante de salida y acota $\abs{y(t) - y_0}$ por $M\abs{t - t_0}$)* . Por tanto, la unicidad vale entre todas las soluciones sobre $I$ .
10. Pon en marcha la máquina sobre $y' = y$ , $y(0) = 1$ , partiendo de la constante $y^{(0)} \equiv 1$ : calcula las iteradas de Picard $y^{(n)}$ , identifícalas y describe la convergencia.

**Parte III — Cada hipótesis se gana el sueldo.**

11. (Sin Lipschitz no hay unicidad) Para $y' = 2\sqrt{\abs  y}$ , $y(0) = 0$ : comprueba que $y \equiv 0$ y, para todo $c  \geq 0$ , la función $y_c(t) = 0$ si $t \leq c$ e $y_c(t) =  (t - c)^2$ si $t > c$ , son todas soluciones de clase $C^1$ sobre $\R$ . ¿Dónde exactamente deja $y \mapsto 2\sqrt{\abs  y}$ de ser [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) ?
12. (La localidad es real) Para $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : resuelve explícitamente, da el intervalo maximal de existencia y calcula el mejor $h$ que el teorema puede certificar sobre todas las elecciones del rectángulo ( $a$ grande, $b$ libre): prueba que $h_{\max} = \sup_{b>0}  \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , mientras que la solución verdadera vive sobre $\intoo{-\infty}{1}$ .
13. (La [completitud](#def-b2-metric-complete) no es decoración) Sobre $X = \Q \cap  \intcc{1}{2}$ con la distancia usual, sea $g(x) = \frac x2  + \frac1x$ . Prueba que $g(X) \subseteq X$ , que $g$ es una contracción de razón $\frac12$ *(desigualdad del valor medio)* y que $g$ no tiene ningún punto fijo en $X$ . ¿Qué hipótesis del teorema de Banach falla y cuál es el punto fijo en el completado?
14. (Barras de error) Para una contracción $g$ de razón $k$ sobre un espacio [completo](#def-b2-metric-complete) , demuestra la estimación *a posteriori* $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n,  x_{n-1})$ . Para la aplicación de Herón $g(x) = \frac x2 +  \frac 1x$ sobre $\intcc{1}{2}$ (con punto fijo $\sqrt2$ ), partiendo de $x_0 = \frac32$ : ¿cuántos pasos exige la cota *a priori* $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ para una precisión de $10^{-6}$ , y cuántos bastan en realidad? (Calcula $x_1, x_2, x_3$ y sus errores; la cota de la contracción es honesta pero pesimista, porque Herón converge cuadráticamente.)

**Parte IV — Dependencia [continua](#def-b2-metric-continuity).** En esta parte $Lh < 1$, de modo que el propio $T$ es una contracción sobre $X_h$ (pregunta 7); escribimos $y[\,y_0\,]$ para la solución de valor inicial $y_0$.

15. (Dependencia del valor inicial) Sea $z_0$ otro valor inicial con $\abs{z_0 - y_0}$ lo bastante pequeño para que ambos problemas quepan en el rectángulo. Usando la pregunta 3, demuestra que $$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq  \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$$
16. (Intervalos largos por encadenamiento) Supongamos que las soluciones existen sobre un segmento largo cortado en $m$ trozos consecutivos en cada uno de los cuales se aplica la cota anterior con $Lh \leq \frac12$ . Prueba que la desviación crece a lo sumo en un factor $2$ por trozo, de donde $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ en total: una cota exponencial en la longitud, sombra discreta del $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ del lema de Gronwall ( [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq) ).
17. (Dependencia del campo) Sea $g$ otro campo sobre $R$ , también $L$ -lipschitziano en $y$ , con $\sup_R \abs{f - g}  \leq \varepsilon$ . Demuestra que las soluciones correspondientes cumplen $d_\infty \leq \frac{\varepsilon  h}{1 - Lh}$ : el error de modelización se propaga linealmente.
18. (Parámetros) Si una familia $f_\lambda$ de campos es $L$ -lipschitziana en $y$ de manera uniforme y $\sup_R\abs{f_\lambda - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , deduce que $\lambda \mapsto y_\lambda$ es [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) del espacio de parámetros en $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
19. (Los sistemas no cuestan nada) Explica por qué las partes I, II y IV valen literalmente para $y$ con valores en $\R^n$ (distancias del supremo construidas sobre cualquiera de las distancias del [Ejemplo 4.2](#ex-b2-metric-examples) ), y calcula después todas las iteradas de Picard para el sistema $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1,  c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 &  0\end{smallmatrix}\right)$ : prueba que la iteración se estaciona en la solución exacta después de un solo paso.

**Parte V — Dividendos métricos y síntesis.**

20. (Perturbación de la identidad) Sea $X$ un escenario completo de tipo espacio normado: tómese $X = C(I)$ o $X =  \R^n$ . Si $\eta \colon X \to X$ es $k$ -lipschitziana con $k  < 1$ , demuestra que $x \mapsto x + \eta(x)$ es una biyección de $X$ cuya inversa es $\frac1{1-k}$ -lipschitziana *(para cada $y$, aplica Banach a $x \mapsto y - \eta(x)$)* . Este es el corazón métrico del teorema de la función inversa ( [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/15-calculo-diferencial#ch-b2-diffcalc) ).
21. (La ecuación de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ y $m \in \R$ , demuestra que $x = m + e\sin x$ tiene exactamente una solución, que la iteración $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ converge a ella desde cualquier punto de partida, y estima: para $e = \frac12$ y $m = 1$ , ¿cuántas iteraciones garantizan un error $\leq 10^{-3}$ según la cota a priori? (La solución es $x \approx 1.4987$ .)
22. (El conjunto de Cantor es un punto fijo) Sean $S_1(x) =  \frac x3$ y $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ sobre $\R$ , y sea $C$ el conjunto de Cantor del [Ejercicio 4.8](#exo-b2-metric-8) . Demuestra que $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ y explica en una frase por qué ningún *otro* [compacto](#def-b2-metric-compact) no vacío satisface esa ecuación (la aplicación $A \mapsto S_1(A)  \cup S_2(A)$ es una contracción para una distancia entre [compactos](#def-b2-metric-compact) : la distancia de Hausdorff, formalizada en el volumen del tercer año).
23. (La [conexidad](#def-b2-metric-connected) globaliza la unicidad) Sea $f$ localmente [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) en $y$ sobre un [abierto](#def-b2-metric-topology) , y sean $y, z$ dos soluciones de $y' = f(t, y)$ sobre un intervalo común $J$ con $y(t_0) = z(t_0)$ . Demuestra que $y = z$ sobre $J$ : prueba que $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ es no vacío, cerrado en $J$ y [abierto](#def-b2-metric-topology) en $J$ (por unicidad local), y usa la [conexidad](#def-b2-metric-connected) de los intervalos ( [Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) ).
24. (Sin pequeñez para las ecuaciones lineales) Para $y' =  \alpha(t)y + \beta(t)$ con $\alpha, \beta$ [continuas](#def-b2-metric-continuity) sobre un segmento $\intcc{A}{B}$ , adapta la pregunta 8 para probar que la cota factorial vale sobre el segmento *entero* , de modo que allí la existencia y la unicidad son globales: el caso escalar del teorema de Cauchy–Lipschitz del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq) , sin restricción alguna sobre la longitud $B - A$ .
25. (Síntesis) Una frase para cada punto: qué aportó la [completitud](#def-b2-metric-complete) ; qué aportó la contracción; qué se ganó con el truco de la iterada frente al Banach simple; dónde intervino la [conexidad](#def-b2-metric-connected) ; y qué contraejemplo de la parte III custodia cada hipótesis. Nombra el teorema cumbre y di qué sustituye a la contracción cuando $f$ es meramente [continua](#def-b2-metric-continuity) (el teorema de Peano, vía [compacidad](#def-b2-metric-compact) en espacios de funciones: el Arzelà–Ascoli del volumen del tercer año).

**Solución de Problema 4.1.**

**1.** Sea $F$ cerrado en el [completo](#def-b2-metric-complete) $X$ y $(x_n) \subseteq
F$ de Cauchy: converge en $X$ a cierto $\ell$, y $\ell \in F$ porque $F$ es cerrado (los límites de sucesiones de $F$ se quedan en $\overline F = F$): $F$ es [completo](#def-b2-metric-complete). Recíprocamente, sea $A
\subseteq X$ [completo](#def-b2-metric-complete) y $x \in \overline A$: alguna sucesión de $A$ converge a $x$; es de Cauchy, luego converge *en* $A$; y como los límites son únicos, $x \in A$, es decir, $A$ es cerrado. Puesto que $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ es [completo](#def-b2-metric-complete) ([Teorema 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)), sus cerrados son [completos](#def-b2-metric-complete).

**2.** Para $y, z \in C(I)$ y $t \in I$:

$$
\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq
\abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),
$$

y se toma el supremo sobre $t$.

**3.** Usando las dos ecuaciones de punto fijo y la desigualdad triangular:

$$
d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})
= d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)
\leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) +
d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde
g})\bigr)
\leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) +
d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde
g})\bigr),
$$

y se despeja $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (el coeficiente $1 -
k$ es positivo). La segunda desigualdad acota la separación evaluada por la uniforme.

**4.** $g^m$ es una contracción de un espacio [completo](#def-b2-metric-complete) no vacío: tiene un único punto fijo $\ell$ ([Teorema 4.12](#thm-b2-metric-banach)). Entonces $g^m(g(\ell)) =
g(g^m(\ell)) = g(\ell)$, así que $g(\ell)$ es punto fijo de $g^m$ y, por unicidad, $g(\ell) = \ell$. Todo punto fijo de $g$ lo es de $g^m$: de ahí la unicidad para $g$. Órbitas: fijemos $r \in \{0,
\dots, m-1\}$; la subsucesión $(x_{qm + r})_q$ es la órbita de $g^m$ que arranca en $x_r$, luego converge a $\ell$ cuando $q \to
\infty$ (Banach de nuevo). Las $m$ subsucesiones convergen al mismo $\ell$, de donde $x_n \to \ell$: dado $\varepsilon$, cada clase de restos acaba a distancia $< \varepsilon$, y las clases son finitas en número.

**5.** Si $y$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) con valores en $\intcc{y_0 -
b}{y_0 + b}$, el integrando $s \mapsto f(s, y(s))$ es [continuo](#def-b2-metric-continuity) sobre $I$ (composición), de modo que el miembro derecho es de clase $C^1$ con derivada $f(t, y(t))$ (teorema fundamental del cálculo, volumen del primer año). Si $y$ satisface la ecuación integral, es esa función $C^1$, cumple $y(t_0) = y_0$ e $y' = f(t,
y)$. Recíprocamente, integrando $y' = f(s, y(s))$ de $t_0$ a $t$ se obtiene la ecuación integral.

**6.** $X_h$ contiene la función constante $y_0$; es cerrado por ser la imagen recíproca de $\intcc{0}{b}$ por la aplicación [continua](#def-b2-metric-continuity) $y \mapsto d_\infty(y, y_0)$ (las distancias son $1$-lipschitzianas) y, por tanto, [completo](#def-b2-metric-complete) por la pregunta 1. Estabilidad: para $y \in X_h$ y $t \in I$,

$$
\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr|
\leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,
$$

donde el último paso usa $h \leq b/M$ (o $M = 0$, caso trivial). Y $T(y)$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) (incluso $C^1$, pregunta 5): $T(y) \in X_h$.

**7.** Para $t \in I$:

$$
\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) -
f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z)
\leq Lh\,d_\infty(y,z).
$$

Si $Lh < 1$, $T$ es una contracción del [completo](#def-b2-metric-complete) no vacío $X_h$ y Banach da un único punto fijo que, por la pregunta 5, es la única solución.

**8.** Por inducción; el caso $n = 1$ es la desigualdad central de la pregunta 7. Supuesta la cota para $n$, y para $t
\geq t_0$ (el caso $t \leq t_0$ es simétrico):

$$
\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)}
\leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s
\leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\;
d_\infty(y,z),
$$

y la integral vale $\frac{L^n(t - t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$: la cota para $n + 1$. Por tanto $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq
\frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$, y $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (la serie exponencial converge): alguna $T^m$ es una contracción. La pregunta 4 se aplica sobre el [completo](#def-b2-metric-complete) $X_h$: $T$ tiene un único punto fijo, es decir, el problema de Cauchy tiene exactamente una solución sobre $I$ con valores en $\intcc{y_0 -
b}{y_0 + b}$.

**9.** Sea $y$ solución del problema sobre $I$ y supongamos que el conjunto $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ es no vacío (el lado $t < t_0$ es simétrico); sea $\tau = \inf E$. Por [continuidad](#def-b2-metric-continuity), $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ para $s \in
\intcc{t_0}{\tau}$, de modo que allí la gráfica está en $R$, la ecuación integral vale hasta $\tau$ y

$$
\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s,
y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .
$$

Si $\tau < t_0 + h$, los puntos de $E$ arbitrariamente próximos a $\tau$ por la derecha dan, por [continuidad](#def-b2-metric-continuity), $\abs{y(\tau) - y_0}
\geq b$ y por tanto $= b$; pero entonces la fórmula anterior obliga a $M(\tau - t_0) = Mh$, es decir, $\tau = t_0 + h$: contradicción. Así pues, $\tau = t_0 + h$, $E \subseteq \{t_0 +
h\}$, y la fórmula (en $\tau = t_0 + h$) da $\abs{y(t_0 + h) -
y_0} \leq b$, en contra de la pertenencia a $E$. Luego $E =
\emptyset$: toda solución sobre $I$ permanece en la banda, es punto fijo de $T$ en $X_h$, y la unicidad es incondicional.

**10.** $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$. Partiendo de $y^{(0)}
\equiv 1$:

$$
y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad
y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad
y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}
$$

(por inducción: integrar la suma parcial añade el término siguiente). Son las sumas parciales de Taylor de $\eu^{\,t}$; sobre cualquier $I$ acotado convergen uniformemente a $\eu^{\,t}$ (la cola está dominada por la serie numérica convergente $\sum
h^k/k!$), que es en efecto la única solución.

**11.** $y \equiv 0$ es solución. Para $y_c$: es de clase $C^1$ (ambos trozos lo son y en $t = c$ las derivadas coinciden: $0$ y $2(t - c) \to 0$), y para $t > c$ se tiene $y_c' = 2(t - c)
= 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$; para $t \leq c$ ambos miembros se anulan. Así pues, el problema de Cauchy $y(0) = 0$ tiene infinitas soluciones ($c \geq 0$ arbitrario, más $y \equiv
0$). El campo $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ no es [lipschitziano](#def-b2-metric-continuity) cerca de $0$: $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} =
\frac{2}{\sqrt y} \to +\infty$ cuando $y \to 0^+$, de modo que ninguna constante $L$ sirve en ningún entorno de $0$, justo donde todas las soluciones se ramifican.

**12.** Separando variables (o comprobando directamente), la única solución local es $y(t) = \frac1{1 - t}$, definida sobre $\intoo{-\infty}{1}$ y con explosión en $t = 1$. Para el rectángulo $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$: $M = \sup
y^2 = (1 + b)^2$, luego la semianchura certificada es $h =
\min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$. Maximizando $\frac{b}{(1+b)^2}$: la derivada se anula en $b = 1$, con valor $\frac14$. Así pues, el teorema solo garantiza vida sobre $\intcc{-\frac14}{\frac14}$, correctamente menos que la duración verdadera $1$ hacia delante e infinitamente menos hacia atrás: el teorema es local por naturaleza, y la explosión muestra que no puede ser de otro modo.

**13.** $g$ envía $\intcc12$ en sí mismo: $g$ decrece sobre $\intcc{1}{\sqrt2}$ y crece después (estúdiese $g'(x) = \frac12 -
\frac1{x^2}$), con $g(1) = g(2) = \frac32$ y mínimo $g(\sqrt2) =
\sqrt2 > 1$: $g(\intcc12) \subseteq \intcc{\sqrt2}{\frac32}
\subseteq \intcc12$; y $g$ envía racionales a racionales. Contracción: $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12 - \frac1{x^2}} \leq
\frac12$ sobre $\intcc12$ (pues $\frac1{x^2} \in
\intcc{\frac14}{1}$), de modo que la desigualdad del valor medio da $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$. Un punto fijo cumpliría $\frac x2 = \frac1x$, es decir, $x^2 = 2$: imposible en $\Q$. La hipótesis que falla es la [completitud](#def-b2-metric-complete) de $X$ ($\Q \cap
\intcc12$ no es [completo](#def-b2-metric-complete)); en el completado $\intcc12$ el punto fijo es $\sqrt2$: el teorema de Banach ejecutado sobre los racionales *crea* el irracional.

**14.** A posteriori: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) +
d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$, de donde $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$. Herón desde $x_0 = \frac32$: $x_1 = \frac{17}{12}$, $d(x_1, x_0) =
\frac1{12}$, $k = \frac12$; la cota a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ baja de $10^{-6}$ por primera vez en $n = 18$. En realidad, $x_1 =
\frac{17}{12} \approx 1.41667$ (error $2.5\cdot10^{-3}$), $x_2 =
\frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (error $2.1\cdot10^{-6}$) y $x_3 \approx 1.41421356237469$ (error $1.6\cdot10^{-12}$): bastan tres pasos. Cada paso de Herón *eleva al cuadrado* aproximadamente el error (convergencia cuadrática, fenómeno de Newton: [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#ch-b2-realfun)); la estimación de la contracción, que solo lo reduce a la mitad, es honesta para el peor caso pero aquí resulta pesimista.

**15.** Apliquemos la pregunta 3 con $g = T_{y_0}$ (una contracción de razón $Lh < 1$) y $\widetilde g = T_{z_0}$, cuyo punto fijo es $y[z_0]$. Para cualquier $y$,

$$
\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},
$$

(las integrales son idénticas), de modo que $\sup_y
d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$, y la pregunta 3 da

$$
d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .
$$

**16.** En cada trozo, la pregunta 15 aplicada tomando como datos iniciales los valores en el extremo izquierdo acota la desviación en el extremo derecho:

$$
d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{desviación izquierda})
= 2\,(\text{desviación izquierda}) .
$$

Por inducción sobre los $m$ trozos, la desviación final es a lo sumo $2^m\abs{y_0 - z_0}$, y la desviación uniforme sobre todo el segmento obedece la misma cota (el supremo de cada trozo queda controlado en su etapa). Con trozos de longitud $h \asymp
\frac1{2L}$, el factor es $2^m = 2^{\,\text{longitud}\cdot 2L}$: exponencial en la longitud del intervalo, exactamente como predice la cota $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ de Gronwall, con mejores constantes.

**17.** Mismo esquema: para $y \in X_h$,

$$
\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) -
g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,
$$

de modo que la pregunta 3 (con $T_f$ como contracción y $T_g$ como aplicación perturbada) da $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 -
Lh}$.

**18.** Por la pregunta 17 aplicada a $f = f_\lambda$, $g =
f_\mu$: $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 -
Lh}\abs{\lambda - \mu}$; la aplicación solución es [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) de constante $\frac{Ch}{1-Lh}$.

**19.** Todos los argumentos usaron únicamente los axiomas métricos, la [completitud](#def-b2-metric-complete) del escenario, la cota $\abs{\int} \leq
\int\abs{\cdot}$ y el carácter [lipschitziano](#def-b2-metric-continuity) de $f$, todo ello disponible para funciones con valores en $\R^n$ y $d_\infty$ construida sobre cualquiera de las distancias equivalentes del [Ejemplo 4.2](#ex-b2-metric-examples) ([completo](#def-b2-metric-complete) por el [Teorema 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)). Para $y' = Ay$ con $A$ nilpotente: $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$,

$$
y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s
= (c_1 + tc_2,\; c_2),
$$

y de nuevo $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$: luego $y^{(2)} = y^{(1)}$. La iteración se estaciona a partir de $n = 1$ en la solución exacta $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$: la nilpotencia trunca la serie exponencial, y Picard se da cuenta.

**20.** Fijemos $y \in X$ y sea $g_y(x) = y - \eta(x)$: una contracción de razón $k$ del [completo](#def-b2-metric-complete) $X$, luego hay exactamente un $x$ con $x + \eta(x) = y$, es decir, la aplicación $\Phi =
\mathrm{id} + \eta$ es biyectiva. Inversa [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity): si $\Phi(x) = y$ y $\Phi(x') = y'$, entonces

$$
d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr)
\leq d(y, y') + k\,d(x, x'),
$$

luego $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$. (Las distancias proceden aquí de la estructura de norma, de modo que $d(a - c, b -
c) = d(a, b)$, hecho que usa la primera desigualdad.)

**21.** $g(x) = m + e\sin x$ es $e$-lipschitziana sobre el [completo](#def-b2-metric-complete) $\R$ (desigualdad del valor medio: $\abs{g'} =
\abs{e\cos x} \leq e < 1$), así que Banach da una única solución y la convergencia global de la iteración. Para $e = \frac12$, $m =
1$ y $x_0 = 1$: $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$, $d(x_1,
x_0) \approx 0.4207$, y la cota a priori $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ se cumple por primera vez en $n = 10$: diez iteraciones certificadas (el valor verdadero $x \approx 1.4987$ se alcanza de hecho con precisión $10^{-3}$ hacia $n = 5$).

**22.** Usemos la descripción por cifras ([Ejercicio 4.8](#exo-b2-metric-8)): $C$ es el conjunto de las sumas $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ con $a_n \in \{0, 2\}$. Entonces $S_1(C)
= \{x/3 : x \in C\}$ es el subconjunto con $a_1 = 0$, y $S_2(C) =
\{x/3 + 2/3\}$ el subconjunto con $a_1 = 2$: su unión, al recorrer libremente $a_1$, es exactamente $C$. Unicidad en una frase: sobre el espacio de los [compactos](#def-b2-metric-compact) no vacíos de $\intcc01$ dotado de la distancia de Hausdorff, $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ es una contracción de razón $\frac13$ de un espacio [completo](#def-b2-metric-complete), luego Banach solo permite un conjunto fijo; el volumen del tercer año formaliza la métrica de Hausdorff y este argumento.

**23.** Sea $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$: es no vacío ($t_0 \in Z$) y cerrado en $J$ (igualador de dos aplicaciones [continuas](#def-b2-metric-continuity): imagen recíproca de $\{0\}$ por $y - z$). [Abierto](#def-b2-metric-topology): si $t_1 \in Z$, apliquemos el teorema local (pregunta 8) en el punto $(t_1, y(t_1))$, dentro de un rectángulo donde $f$ sea [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity): sobre un intervalo pequeño en torno a $t_1$, tanto $y$ como $z$ resuelven el mismo problema de Cauchy y por tanto coinciden allí (unicidad incondicional de la pregunta 9), de modo que un entorno de $t_1$ está en $Z$. Un subconjunto no vacío del intervalo $J$ que sea a la vez [abierto](#def-b2-metric-topology) y cerrado en $J$ es todo $J$ (los intervalos son [conexos](#def-b2-metric-connected), [Teorema 4.27](#thm-b2-metric-connectedness)): $y = z$ sobre $J$.

**24.** Aquí $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ es $L$-lipschitziana en $y$ sobre todo $\intcc AB \times \R$ con $L =
\sup\abs\alpha$ (finito, pues $\alpha$ es [continua](#def-b2-metric-continuity) sobre un segmento), y no hace falta ninguna banda $\intcc{y_0 - b}{y_0 +
b}$: tómese $X = C(\intcc AB)$ entero, sobre el cual $T$ está bien definida. La inducción de la pregunta 8 se repite literalmente y da $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq \frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y,
z)$: alguna iterada es una contracción sea cual sea la longitud $B
- A$, y la pregunta 4 concluye: una y solo una solución sobre todo el segmento. La linealidad interviene exactamente una vez: hace global en $y$ la cota [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity), eliminando el rectángulo y su condición $h \leq b/M$.

**25.** La *[completitud](#def-b2-metric-complete)* convirtió la sucesión de Cauchy de iteradas en una solución de verdad (preguntas 1, 6 y 8), y su ausencia dejó escapar $\sqrt2$ de $\Q$ (pregunta 13). La *contracción* dio la unicidad, el algoritmo y las barras de error (preguntas 7 y 14). El *truco de la iterada* eliminó la condición de pequeñez $Lh < 1$, de modo que el intervalo certificado solo depende de $M$ y no de $L$, y volvió globales las ecuaciones lineales (preguntas 8 y 24). La *[conexidad](#def-b2-metric-connected)* ascendió la unicidad local a unicidad global (pregunta 23). Los contraejemplos: $2\sqrt{\abs y}$ custodia la hipótesis [lipschitziana](#def-b2-metric-continuity) (pregunta 11), $y^2$ custodia la localidad (pregunta 12) y $\Q$ custodia la [completitud](#def-b2-metric-complete) (pregunta 13). La cumbre es el teorema de Picard–Lindelöf (pregunta 8); cuando $f$ es meramente [continua](#def-b2-metric-continuity), la existencia sobrevive pero la unicidad muere, y la demostración cambia la contracción por la [compacidad](#def-b2-metric-compact) de conjuntos de funciones: el teorema de Peano vía Arzelà–Ascoli, en el volumen del tercer año.