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title: "Sucesiones y series"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series
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# Capítulo 7 — Sucesiones y series

La teoría de las series numéricas (volumen del primer año) madura aquí en tres direcciones: las series con valores en [espacios de Banach](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-banach), donde el trabajo lo hace la convergencia absoluta; los criterios más finos para series reales ([sumación de Abel](#thm-b2-series-abel)); y las *[familias sumables](#def-b2-series-summable)* —la suma liberada del orden de los términos—, con el teorema de Fubini para sumas dobles y el [producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini). Estas herramientas sostienen todos los capítulos de series de funciones que vienen a continuación.

## 7.1 Series en espacios normados

**Definición 7.1.**

Para una sucesión $(u_n)$ de un espacio normado $E$, la serie $\sum
u_n$ converge cuando lo hacen sus sumas parciales; converge *absolutamente* cuando $\sum \norm{u_n} < \infty$. En un espacio de *Banach*, la convergencia absoluta implica la convergencia ([Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)); en un espacio no [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) esto puede fallar ([Ejercicio 7.9](#exo-b2-series-9)).

**Ejemplo 7.2.**

En $\mathcal{M}_n(K)$ (o en $\mathcal{L}_c(E)$ con $E$ de Banach): para $\vertiii A < 1$, la *serie de Neumann* $\sum A^k$ converge [absolutamente](#def-b2-series-def) a $(I - A)^{-1}$ (demostrado en el [Ejercicio 5.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#exo-b2-nvs-5)); y $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge [absolutamente](#def-b2-series-def) a $\eu^A$ para toda $A$ ([Ejemplo 5.22](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#ex-b2-nvs-matrixexp)). Las series geométrica y exponencial con valores en operadores se comportan como sus modelos escalares: ese es todo el sentido del marco de Banach.

## 7.2 Sumación de Abel

**Teorema 7.3 (Sumación de Abel y criterio de Abel).**

(Sumación por partes) Para escalares $a_n$ y vectores $b_n$, con $B_n = \sum_{k=0}^{n} b_k$:

$$
\sum_{n=0}^{N} a_n b_n
= a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} (a_{n+1} - a_n) B_n .
$$

(Criterio de Abel) Si $(a_n)$ es una sucesión real decreciente hacia $0$ y las sumas parciales $B_n$ están *acotadas* (en un [espacio de Banach](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-banach)), entonces $\sum a_n b_n$ converge.

**Demostración.** La identidad, paso a paso: con $B_{-1} = 0$, escribamos $b_n = B_n -
B_{n-1}$ y separemos,

$$
\sum_{n=0}^{N} a_nb_n
= \sum_{n=0}^{N} a_nB_n - \sum_{n=0}^{N} a_nB_{n-1}
= \sum_{n=0}^{N} a_nB_n - \sum_{n=0}^{N-1} a_{n+1}B_{n} ,
$$

reindexando la segunda suma mediante $n \mapsto n + 1$ (el término en $B_{-1}$ se anula); agrupando el rango común $0 \leq n \leq N-1$ queda $a_NB_N$ más $\sum_{n\leq N-1}(a_n - a_{n+1})B_n$: la fórmula del enunciado. Es la integración por partes discreta, con $(B_n)$ como primitiva de $(b_n)$ y la diferencia $a_{n+1} - a_n$ como derivada de $(a_n)$. Para el criterio, con $\norm{B_n} \leq M$: el término de frontera $a_N B_N \to 0$; y la serie $\sum (a_n -
a_{n+1})B_n$ converge [absolutamente](#def-b2-series-def), pues

$$
\sum_n \norm{(a_{n+1} - a_n)B_n} \leq M \sum_n (a_n - a_{n+1})
= M a_0 < \infty
$$

(suma telescópica, con $a_n \downarrow 0$). Ambas piezas de la identidad convergen, luego también lo hace $\sum a_n b_n$. ∎

**Ejemplo 7.4.**

$\sum \frac{\sin n}{n}$ converge: $a_n = \frac1n \downarrow 0$ y $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ está acotada; en efecto, $B_n =
\Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} -
1)}{\eu^{\iu} - 1}$, de módulo $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. *No* converge [absolutamente](#def-b2-series-def) ($\abs{\sin n} \geq \sin^2 n =
\frac{1 - \cos 2n}{2}$, y $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ diverge, puesto que $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ converge por el mismo criterio de Abel mientras que $\sum \frac{1}{2n}$ diverge). El criterio de las series alternadas es el caso particular $b_n = (-1)^n$.

**Ejemplo 7.5 (Abel sobre la circunferencia de convergencia).**

¿Para qué complejos $z$ con $\abs z = 1$ converge $\sum_{n \geq 1}
\frac{z^n}{n}$? En $z = 1$ es la serie armónica: divergente. Para $z \neq 1$ sobre la circunferencia se aplica el criterio de Abel con $a_n = \frac1n \downarrow 0$ y $b_n = z^n$, cuyas sumas parciales están acotadas independientemente de $N$:

$$
\Bigl|\sum_{n=1}^{N} z^n\Bigr|
= \Bigl|\frac{z(z^N - 1)}{z - 1}\Bigr|
\leq \frac{2}{\abs{z - 1}} .
$$

Convergente, aunque nunca [absolutamente](#def-b2-series-def) (por $\sum\frac1n$). Una sola serie, toda una circunferencia de comportamientos: divergencia en un único punto y semiconvergencia en todos los demás. Este es el comportamiento habitual de las series de potencias en la frontera ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)), encontrado aquí a mano; en $z = -1$ recupera la serie armónica alternada, y en $z = \eu^{\iu\theta}$ sus partes real e imaginaria son las series $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ y $\sum\frac{\sin
n\theta}{n}$ del [Ejercicio 7.4](#exo-b2-series-4).

**Ejemplo 7.6 (Una serie alternada con trampa).**

¿Converge $\sum_{n\geq2} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$? Los signos alternan y los términos tienden a $0$ y, sin embargo, el criterio de las alternadas *no* se aplica: los módulos $\frac{1}{\sqrt n + (-1)^n}$ no son decrecientes (dan un salto hacia arriba en cada $n$ impar). Desarrollemos en su lugar:

$$
\frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}
= \frac{(-1)^n}{\sqrt n}\cdot
\frac{1}{1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt n}}
= \frac{(-1)^n}{\sqrt n} - \frac{1}{n}
+ O\Bigl(\frac{1}{n^{3/2}}\Bigr).
$$

La primera pieza converge (criterio de las alternadas, aplicado honestamente a $\frac1{\sqrt n}\downarrow0$), la tercera converge [absolutamente](#def-b2-series-def), pero la pieza central es la serie armónica divergente: la suma *diverge* a $-\infty$. La moraleja: cuando falla la monotonía, hay que desarrollar hasta que cada pieza sea o bien [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente o bien un caso limpio de aplicación de un criterio; el $-\frac1n$ escondido es invisible para un recuento de signos.

**Observación 7.7 (Errores frecuentes).**

(i) “Los términos tienden a $0$” no demuestra nada: la serie armónica diverge. (ii) El criterio de las alternadas exige módulos *decrecientes*; el [Ejemplo 7.6](#ex-b2-series-trap) es el contraejemplo canónico, y la tercera serie del [Ejercicio 7.1](#exo-b2-series-1) el ejercicio de rigor. (iii) Las series condicionalmente convergentes no pueden reordenarse ([Ejemplo 7.12](#ex-b2-series-rearrange)), y sus [productos de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) pueden diverger: para el cuadrado de $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$, los términos diagonales cumplen

$$
\abs{c_k} = \sum_{m=0}^{k}
\frac{1}{\sqrt{(m+1)(k-m+1)}}
\geq (k+1)\cdot\frac{2}{k+2} \longrightarrow 2 \neq 0
$$

(cada factor es a lo sumo $\frac{k+2}2$ por la desigualdad entre medias), de modo que $\sum c_k$ diverge: la convergencia absoluta de al menos uno de los factores ([Ejercicio 7.8](#exo-b2-series-8)) no es un lujo. (iv) La [sumabilidad](#def-b2-series-summable) se refiere por definición a cotas *absolutas*: no existe tal cosa como una [familia sumable](#def-b2-series-summable) condicionalmente.

## 7.3 Familias sumables

**Definición 7.8.**

Sea $I$ un conjunto de índices [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable). Una familia $(u_i)_{i \in
I}$ de *reales no negativos* es *sumable* cuando las sumas parciales finitas están acotadas; su suma es

$$
\sum_{i \in I} u_i = \sup_{F \subseteq I \text{ finito}} \sum_{i
\in F} u_i \in \intcc{0}{+\infty} .
$$

Una familia de reales o de complejos (o de vectores de un Banach) es sumable cuando lo es $(\norm{u_i})$; su suma se define entonces separando las partes positiva y negativa (o real e imaginaria) o, equivalentemente, como el valor común de $\sum_{n} u_{\sigma(n)}$ sobre todas las enumeraciones $\sigma$ de $I$ (véase más abajo).

**Método 7.9 (Cómo elegir un criterio).**

Ante $\sum u_n$, por este orden: (1) si $u_n \not\to 0$, hay divergencia; se acabó. (2) Si los términos tienen signo constante, compárese: hállese un equivalente ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ch-b2-comparison)) y sitúese en el mapa de Riemann–Bertrand. (3) Si los signos alternan con módulos *decrecientes*, el criterio de las alternadas; si los módulos no son monótonos, desarróllese el término hasta que cada pieza sea [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente o un caso limpio ([Ejemplo 7.6](#ex-b2-series-trap)). (4) Si el patrón de signos es oscilatorio pero estructurado ($\sin n\theta$, $\eu^{\iu
n\theta}$, potencias de matrices), el criterio de Abel con sumas parciales acotadas. (5) La convergencia absoluta siempre merece comprobarse primero: es más fuerte, es inmune al orden y desbloquea los [productos de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) y el teorema de Fubini.

**Ejemplo 7.10 (Sumabilidad por recuento diagonal).**

¿Para qué $s > 0$ es [sumable](#def-b2-series-summable) la familia $\bigl((m +
n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$? Agrupemos las sumas parciales finitas por diagonales $m + n = k$: la diagonal $k$ contiene $k - 1$ pares, cada uno aportando $k^{-s}$, de modo que las sumas finitas están acotadas exactamente por (y agotan)

$$
\sum_{k \geq 2} \frac{k - 1}{k^{s}} ,
$$

serie de términos positivos equivalente a $k^{1-s}$: [sumable](#def-b2-series-summable) si y solo si $s - 1 > 1$, es decir, $s > 2$. El índice bidimensional se come una potencia entera: un plano de términos es “una dimensión más divergente” que una recta; quien decide la [sumabilidad](#def-b2-series-summable) es la geometría de recuento del conjunto de índices, no el tamaño de cada término. (El mismo censo muestra que $\bigl((m^2 +
n^2)^{-1}\bigr)$ no es [sumable](#def-b2-series-summable): sobre la diagonal $m + n = k$ cada término es al menos $k^{-2}$, y $(k-1)\cdot k^{-2}$ suma como la serie armónica.)

**Teorema 7.11 (Sumabilidad y orden).**

1. Para familias no negativas, la suma es invariante por cualquier enumeración: $\sum_{i} u_i = \sum_{n=0}^{\infty}  u_{\sigma(n)}$ para toda biyección $\sigma \colon \N \to I$ .
2. Una serie real o compleja $\sum u_n$ es *conmutativamente convergente* (toda reordenación converge, con la misma suma) si y solo si converge [absolutamente](#def-b2-series-def) .

**Demostración.** (1) Toda suma parcial $\sum_{n \leq N} u_{\sigma(n)}$ es una suma parcial finita de la familia (luego $\leq$ el supremo); y todo $F$ finito está contenido en algún $\{\sigma(0), \dots, \sigma(N)\}$ (luego el supremo es $\leq$ el límite de la serie). Las dos cotas coinciden.

(2) Si $\sum\abs{u_n} < \infty$: para toda reordenación $\sigma$ y todo $\varepsilon > 0$, elíjase $N$ con $\sum_{n > N}\abs{u_n} \leq
\varepsilon$; a partir del índice en que $\sigma$ ha agotado $\intint{0}{N}$, las sumas parciales reordenadas distan del límite original a lo sumo $\varepsilon$: misma suma. Si $\sum \abs{u_n} =
\infty$ pero $\sum u_n$ converge (caso real; el complejo se sigue coordenada a coordenada): las partes positiva y negativa divergen ambas, y se puede reordenar para alcanzar cualquier límite prefijado —teorema de Riemann, realizado en el [Ejercicio 7.5](#exo-b2-series-5)—, de modo que falla la convergencia conmutativa. ∎

**Ejemplo 7.12 (Una reordenación pillada in fraganti).**

La serie armónica alternada suma $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (volumen del primer año). Reordenémosla como “un positivo, dos negativos”:

$$
1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18 + \frac15 -
\cdots
$$

Agrupando cada bloque de tres,

$$
\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{4k-2} - \frac1{4k}
= \frac{1}{4k-2} - \frac{1}{4k}
= \frac12\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac1{2k}\Bigr),
$$

de modo que la serie reordenada converge a $\frac12\ln 2$: la mitad de la suma original, con exactamente los mismos términos. Las series convergentes no [absolutamente](#def-b2-series-def) recuerdan el orden de sus términos; las [familias sumables](#def-b2-series-summable) son precisamente las que no.

**Ejemplo 7.13 (Agrupar es seguro; desagrupar, no).**

Agrupar términos consecutivos de una serie *convergente* no altera nunca la suma: las sumas parciales agrupadas forman una subsucesión de las originales. La operación inversa está prohibida:

$$
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0 + 0 + \cdots = 0,
$$

y sin embargo la versión desagrupada $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ diverge (sus sumas parciales oscilan entre $1$ y $0$). Desagrupar solo es legítimo con una hipótesis compensatoria; por ejemplo, que los términos tiendan a $0$ con longitudes de grupo acotadas: entonces, entre dos sumas parciales agrupadas, las originales se desvían a lo sumo en una suma de un número acotado de términos $o(1)$, y la convergencia se transfiere de vuelta. Esa es exactamente la cláusula bajo la cual el cálculo por bloques del [Ejemplo 7.12](#ex-b2-series-rearrange) es una demostración y no un juego de manos.

**Teorema 7.14 (Fubini para familias; productos de Cauchy).**

Sea $(u_{m,n})_{(m,n) \in \N^2}$ una familia doble [sumable](#def-b2-series-summable) (es decir, con $\sup_F \sum_F \abs{u_{m,n}} < \infty$). Entonces

$$
\sum_{(m,n)} u_{m,n}
= \sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty} u_{m,n}\Bigr)
= \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty} u_{m,n}\Bigr)
= \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{m+n=k} u_{m,n}\Bigr),
$$

convergiendo todas las series interiores ([absolutamente](#def-b2-series-def)). En particular, si $\sum a_m$ y $\sum b_n$ convergen [absolutamente](#def-b2-series-def), su *producto de Cauchy* converge [absolutamente](#def-b2-series-def) y

$$
\Bigl(\sum_m a_m\Bigr)\Bigl(\sum_n b_n\Bigr)
= \sum_{k=0}^{\infty} c_k,
\qquad
c_k = \sum_{m=0}^{k} a_m b_{k-m} .
$$

**Demostración.** *Caso no negativo.* Cada agrupación (por filas, por columnas o por diagonales) calcula el mismo supremo: todo conjunto finito de pares está contenido en un bloque finito de filas (lo que acota cada suma agrupada por debajo mediante sumas parciales finitas y por encima mediante el total), y la convergencia monótona de las sumas parciales hace el resto; en concreto, para filas: de $\sum_{m \leq
M}\sum_{n \leq N} u_{m,n} \leq S$ se sigue, haciendo $N \to \infty$ y después $M \to \infty$, que $\sum_m \sum_n u_{m,n} \leq S$; y recíprocamente, todo $F$ finito cabe en un rectángulo así, luego $S
\leq \sum_m\sum_n u_{m,n}$. Diagonales: las mismas dos cotas con triángulos en lugar de rectángulos.

*Caso general.* Sepárense las partes positiva y negativa (real e imaginaria), cada una familia no negativa [sumable](#def-b2-series-summable); las cuatro agrupaciones coinciden en cada parte y, por tanto, en la diferencia; la convergencia absoluta de las series interiores procede del caso no negativo aplicado a $\abs{u_{m,n}}$.

*[Producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini).* La familia $u_{m,n} = a_m b_n$ es [sumable](#def-b2-series-summable): las sumas parciales finitas de $\abs{a_mb_n}$ están acotadas por $\bigl(\sum\abs{a_m}\bigr)\bigl(\sum\abs{b_n}\bigr)$. Las filas dan $\bigl(\sum a_m\bigr)\bigl(\sum b_n\bigr)$; las diagonales dan $\sum_k c_k$. ∎

**Ejemplo 7.15 (La identidad exponencial, honestamente).**

Para $a, b \in \C$ (o matrices que conmutan):

$$
\Bigl(\sum_m \frac{a^m}{m!}\Bigr)\Bigl(\sum_n
\frac{b^n}{n!}\Bigr)
= \sum_k \sum_{m+n=k} \frac{a^m b^n}{m!\,n!}
= \sum_k \frac{(a + b)^k}{k!},
$$

por el teorema del binomio en cada diagonal: $\eu^a \eu^b =
\eu^{a+b}$, la ecuación funcional de $\exp$ deducida solo de la serie. (La conmutación se usa en el paso del binomio; para matrices que no conmutan la identidad falla de verdad, [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/16-ecuaciones-diferenciales#ch-b2-diffeq).)

**Ejemplo 7.16 (Los productos de Cauchy como herramienta de cálculo).**

A partir de la serie geométrica y del $\sum_{n \geq 1} nz^n =
\frac{z}{(1-z)^2}$ ($\abs z < 1$) del [Ejercicio 7.2](#exo-b2-series-2), un [producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) más remata el segundo momento. Multipliquemos $\sum_m mz^m$ por $\sum_n z^n$: el coeficiente diagonal es $\sum_{m=0}^k m = \frac{k(k+1)}2$, luego

$$
\frac{z}{(1-z)^3} = \sum_{k\geq0}\frac{k(k+1)}{2}\,z^k ,
$$

y la identidad $n^2 = 2\cdot\frac{n(n+1)}2 - n$ ensambla

$$
\sum_{n\geq1} n^2z^n = \frac{2z}{(1-z)^3} - \frac{z}{(1-z)^2}
= \frac{z(1+z)}{(1-z)^3} .
$$

En $z = \frac12$: $\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n} =
\frac{\frac12\cdot\frac32}{\frac18} = 6$, un valor cerrado sin derivar en ningún momento, solo multiplicando como polinomios unas series [absolutamente](#def-b2-series-def) convergentes. El mismo encadenamiento de identidades calcula todo $\sum n^dz^n$, y quien se dedique a la probabilidad reconocerá el segundo momento factorial de la ley geométrica ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun)).

**Ejemplo 7.17 (Evaluación de una suma doble).**

Para $s > 1$ real, sea $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. Contando divisores mediante sumación doble —la familia $(m^{-s}n^{-s})$ sobre $(m,n) \in (\N^*)^2$ es [sumable](#def-b2-series-summable) (producto de series positivas convergentes)— y agrupando por el producto $q = mn$:

$$
\zeta(s)^2 = \sum_{m,n} \frac{1}{(mn)^s}
= \sum_{q=1}^{\infty} \frac{d(q)}{q^s},
$$

donde $d(q)$ es el número de divisores de $q$. Las [familias sumables](#def-b2-series-summable) convierten la combinatoria en análisis.

**Ejemplo 7.18 (Una evaluación por Fubini: ∑n(ζ(n)−1)=1\sum_n (\zeta(n) - 1) = 1∑n​(ζ(n)−1)=1).**

Para $n \geq 2$ entero, $\zeta(n) - 1 = \sum_{k \geq 2} k^{-n}$. La familia doble $(k^{-n})_{k, n \geq 2}$ es [sumable](#def-b2-series-summable): sumando primero las columnas geométricas,

$$
\sum_{k\geq2}\sum_{n\geq2} \frac{1}{k^n}
= \sum_{k\geq2} \frac{1/k^2}{1 - 1/k}
= \sum_{k\geq2} \frac{1}{k(k-1)} = 1
$$

(telescópica), y todos los términos son positivos, así que el [Teorema 7.14](#thm-b2-series-fubini) autoriza a sumar por filas en su lugar:

$$
\sum_{n\geq2}\bigl(\zeta(n) - 1\bigr) = 1 .
$$

Los infinitos valores de $\zeta$, cada uno de aspecto trascendente, tienen colas que suman exactamente $1$. Moraleja: cuando una suma doble tiene términos positivos, calcúlese en el orden que se derrumbe; aquí las columnas son geométricas, las filas son misteriosas, y Fubini transfiere el derrumbe.

**Ejemplo 7.19 (La serie geométrica resuelve una ecuación).**

En el [espacio de Banach](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-banach) $\bigl(C(\intcc01),
\norm\cdot_\infty\bigr)$, resolvamos $x - K(x) = y$, donde $K(f)$ es la función constante $\frac12\int_0^1 f$. La [norma de operador](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#thm-b2-nvs-continuouslinear) cumple $\vertiii K \leq \frac12 < 1$, de modo que se aplica la serie de Neumann ([Ejemplo 7.2](#ex-b2-series-neumann)): $x = \sum_{n\geq0}
K^n(y)$. Calculemos las iteradas: $K(y) = \frac12\int_0^1 y$ (una constante) y, aplicando $K$ a una constante $c$, se obtiene $\frac
c2$, de modo que $K^n(y) = \frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac12\int_0^1 y$ para $n \geq 1$. Sumando las constantes geométricas:

$$
x = y + \Bigl(\int_0^1 y\Bigr)
\sum_{n\geq1}\frac{1}{2^n} = y + \int_0^1 y .
$$

Comprobación: $x - K(x) = y + \int y - \frac12\bigl(\int y + \int
y\bigr) = y$. Una serie infinita, una respuesta finita y una verificación de una línea: la serie geométrica es un algoritmo de inversión, no solo un enunciado de convergencia.

**Ejemplo 7.20 (Telescopar por fracciones simples).**

La sumación exacta es rara; las sumas telescópicas son su principal proveedor. Descompongamos

$$
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
= \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n(n+1)} -
\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr),
$$

(compruébese reduciendo a común denominador), de modo que las sumas parciales se derrumban:

$$
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
= \frac12\Bigl(\frac{1}{1\cdot2} -
\frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr)
\longrightarrow \frac14 .
$$

El mismo patrón —escribir el término como $c(u_n - u_{n+1})$ para una $(u_n)$ explícita— resolvió el [Ejercicio 7.10](#exo-b2-series-10) (arcotangentes) y calcula todo $\sum\frac{1}{n(n+1)\cdots(n + k)} =
\frac{1}{k\cdot k!}$. Cuando a este nivel existe una suma exacta, por lo general hay un telescopio escondido en el término.

**Observación 7.21 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Tres capítulos posteriores son clientes directos. Para el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/10-sucesiones-y-series-de-funciones#ch-b2-funcseq): la convergencia normal de $\sum f_n$ es la convergencia absoluta de $\sum\norm{f_n}_\infty$ en el [espacio de Banach](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-banach) $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$, es decir, el [Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#thm-b2-nvs-absoluteconvergence) disfrazado. Para el [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries): dentro del disco de convergencia todo es absoluto y [sumable](#def-b2-series-summable), de modo que los [productos de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) y las reordenaciones circulan libremente (por eso las series de potencias se multiplican como polinomios); en la frontera toma el relevo el criterio de Abel ([Ejemplo 7.5](#ex-b2-series-abelboundary)). Para el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun): las funciones generatrices de probabilidad son series de potencias cuyas manipulaciones —productos para sumas de variables independientes, sumas dobles para leyes compuestas— están todas autorizadas por el [Teorema 7.14](#thm-b2-series-fubini). Las [familias sumables](#def-b2-series-summable) son la asesoría jurídica del análisis que viene.

**Observación 7.22 (Dónde se usa este capítulo).**

Todo lo que lleve una suma infinita pasa por aquí: las series de potencias ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)) son [familias sumables](#def-b2-series-summable) disfrazadas, los coeficientes de Fourier se multiplican mediante [productos de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) y se reordenan mediante Parseval ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier)), y las funciones generatrices de probabilidad ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/23-funciones-generatrices-de-probabilidad#ch-b2-genfun)) son el teorema de Fubini aplicado a esperanzas. El volumen del tercer año absorbe las [familias sumables](#def-b2-series-summable) dentro de la integración de Lebesgue respecto de la medida de contar, donde el [Teorema 7.14](#thm-b2-series-fubini) pasa a ser un caso particular del teorema de Fubini–Tonelli.

## 7.4 Ejercicios

**Ejercicio 7.1 ★.**

Carácter de $\sum \dfrac{\cos n}{n}$; $\;\sum \dfrac{(-1)^n}{\ln
n}$; $\;\sum \dfrac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}$ *(desarrolla como en la trampa del primer año: el criterio de las alternadas necesita monotonía)*.

**Solución de Ejercicio 7.1.**

$\sum\frac{\cos n}{n}$: criterio de Abel con $a_n = \frac1n$ y $b_n
= \cos n$, cuyas sumas parciales están acotadas (parte real de una suma geométrica, como en el [Ejemplo 7.4](#ex-b2-series-sinn)): convergente, y no [absolutamente](#def-b2-series-def), por el mismo truco del $\cos^2$.

$\sum \frac{(-1)^n}{\ln n}$ ($n \geq 2$): criterio de las alternadas, con $\frac{1}{\ln n} \downarrow 0$: convergente; y no [absolutamente](#def-b2-series-def) (pues $\ln n \leq n$).

$\sum \frac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}$: desarrollemos,

$$
\frac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}
= \frac{(-1)^n}{n^{3/4}}\cdot
\frac{1}{1 + \frac{\cos n}{n^{3/4}}}
= \frac{(-1)^n}{n^{3/4}}
- \frac{(-1)^n\cos n}{n^{3/2}} + O\Bigl(\frac{1}{n^{9/4}}\Bigr).
$$

Primera serie: alternada, convergente. Segunda: [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente (escala $\frac{1}{n^{3/2}}$). Tercera: [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente. En total: convergente.

**Ejercicio 7.2 ★.**

Demuestra que, para $\abs z < 1$, $\sum_{n\geq1} n z^{n} =
\dfrac{z}{(1-z)^2}$, mediante el [producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) de $\sum z^n$ consigo misma.

**Solución de Ejercicio 7.2.**

[Producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) de $\sum_{m\geq0} z^m$ consigo misma (ambas [absolutamente](#def-b2-series-def) convergentes para $\abs z < 1$): el coeficiente diagonal es $c_k = \sum_{m=0}^{k} 1 = k + 1$, luego

$$
\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{k\geq0} (k+1)z^k .
$$

Multiplicando por $z$ y reindexando: $\sum_{n \geq 1} n z^n =
\frac{z}{(1-z)^2}$.

**Ejercicio 7.3 ★★.**

(Lema de tipo Kronecker) Sea $\sum b_n$ una serie real convergente. Demuestra, mediante [sumación de Abel](#thm-b2-series-abel), que $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}
k\,b_k \to 0$.

**Solución de Ejercicio 7.3.**

Sea $B_n = \sum_{k \leq n} b_k \to B$. [Sumación de Abel](#thm-b2-series-abel) con $a_k =
k$:

$$
\sum_{k=1}^{n} k\,b_k = n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k
\quad\Longrightarrow\quad
\frac1n \sum_{k=1}^{n} k b_k = B_n - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}
B_k .
$$

Las medias de Cesàro de la sucesión convergente $(B_k)$ tienden a su límite $B$ (volumen del primer año), de modo que el miembro derecho tiende a $B - B = 0$.

**Ejercicio 7.4 ★★.**

Estudia la convergencia de $\sum \dfrac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}$ ($\theta \in \R$, $\alpha > 0$): ¿para qué $(\theta, \alpha)$ es [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente, semiconvergente o divergente?

**Solución de Ejercicio 7.4.**

Si $\theta \in \pi\Z$, todos los términos se anulan: convergente trivialmente. Supongamos $\theta \notin \pi\Z$.

$\alpha > 1$: [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente (dominación por $n^{-\alpha}$).

$0 < \alpha \leq 1$: se aplica el criterio de Abel ($a_n =
n^{-\alpha} \downarrow 0$; las sumas parciales de $\sin n\theta$ están acotadas por $\frac{1}{\abs{\sin(\theta/2)}}$, suma geométrica): convergente. No [absolutamente](#def-b2-series-def): $\abs{\sin n\theta} \geq
\sin^2 n\theta = \frac{1 - \cos 2n\theta}{2}$, y $\sum \frac{1 -
\cos 2n\theta}{2n^\alpha}$ diverge ($\sum n^{-\alpha}$ diverge y $\sum \frac{\cos 2n\theta}{n^\alpha}$ converge por Abel cuando $2\theta \notin 2\pi\Z$; el caso excluido $2\theta \in 2\pi\Z$ significa $\theta \in \pi\Z$, ya tratado). Semiconvergente.

**Ejercicio 7.5 ★★★.**

(Reordenación de Riemann) Sea $\sum u_n$ una serie real convergente pero no [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente, y sea $\ell \in \R$. Demuestra que alguna reordenación de $\sum u_n$ converge a $\ell$. *(Prueba que ambas subseries de términos positivos y negativos divergen; y alterna después con avidez: toma términos positivos hasta superar $\ell$, luego negativos hasta bajar de él, y así sucesivamente; los términos tienden a $0$, lo que fuerza la convergencia a $\ell$.)*

**Solución de Ejercicio 7.5.**

Sean $p_1, p_2, \dots$ los términos no negativos de $(u_n)$ en su orden, y $q_1, q_2, \dots$ los negativos. Tanto $\sum p_k$ como $\sum q_k$ divergen: si una de las dos convergiera, la otra sería la serie convergente $\sum u_n$ menos aquella y también convergería, y entonces $\sum \abs{u_n} = \sum p_k - \sum q_k$ convergería, en contra de la hipótesis. Además $u_n \to 0$ (pues $\sum u_n$ converge).

Reordenación ávida: tómense términos positivos $p_1, p_2, \dots$ hasta que la suma corriente supere por primera vez $\ell$ (posible, pues $\sum p_k = +\infty$); después términos negativos hasta que la suma baje por primera vez de $\ell$ (posible, pues $\sum q_k =
-\infty$); repítase indefinidamente (cada fase es finita y cada término se usa exactamente una vez: es una reordenación auténtica). Tras cada cambio, la distancia de la suma corriente a $\ell$ es a lo sumo el último término empleado; y como los términos usados en el cambio $m$-ésimo tienen índice $\to \infty$ y $u_n \to 0$, las sumas corrientes convergen a $\ell$.

**Ejercicio 7.6 ★★.**

Demuestra que la familia $\Bigl(\dfrac{x^{m+n}}{m!\,n!}\Bigr)_{(m,n)\in\N^2}$ es [sumable](#def-b2-series-summable) para todo $x \in \R$, y vuelve a deducir la identidad $(\eu^x)^2 =
\eu^{2x}$ agrupando la suma doble a lo largo de las diagonales $m +
n = k$.

**Solución de Ejercicio 7.6.**

[Sumabilidad](#def-b2-series-summable): las sumas parciales finitas de $\frac{\abs
x^{m+n}}{m!n!}$ están acotadas por $\bigl(\sum_m \frac{\abs
x^m}{m!}\bigr)^2 = \eu^{2\abs x}$. Agrupación diagonal ([Teorema 7.14](#thm-b2-series-fubini)):

$$
(\eu^{x})^2 = \sum_{m,n} \frac{x^{m+n}}{m!\,n!}
= \sum_{k=0}^{\infty} x^k \sum_{m+n=k} \frac{1}{m!\,n!}
= \sum_k \frac{x^k}{k!}\sum_{m=0}^{k}\binom km
= \sum_k \frac{(2x)^k}{k!} = \eu^{2x} .
$$

**Ejercicio 7.7 ★★.**

Demuestra que la familia $\bigl(\frac{1}{m^2 n^2}\bigr)_{m,n \geq
1}$ es [sumable](#def-b2-series-summable) y que, agrupando por el mcd, con $q = \gcd(m,n)$,

$$
\zeta(2)^2 = \sum_{q\geq1} \frac{1}{q^4}
\sum_{\substack{a,b \geq 1\\ \gcd(a,b)=1}} \frac{1}{a^2b^2}
= \zeta(4) \cdot S,
$$

donde $S = \sum_{\gcd(a,b)=1} \frac{1}{a^2b^2}$: deduce $S =
\zeta(2)^2/\zeta(4)$. *(Todo par $(m,n)$ se escribe de manera única como $(qa, qb)$ con $\gcd(a,b) = 1$.)*

**Solución de Ejercicio 7.7.**

[Sumabilidad](#def-b2-series-summable): está acotada por $\zeta(2)^2$ como familia producto (argumento del [producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) del [Teorema 7.14](#thm-b2-series-fubini)). La aplicación $(q, a, b) \mapsto (qa,
qb)$, de las ternas con $\gcd(a, b) = 1$ en los pares $(m, n)$, es una biyección (póngase $q = \gcd(m,n)$). Agrupando en consecuencia la [familia sumable](#def-b2-series-summable) (una partición del conjunto de índices, legítima para [familias sumables](#def-b2-series-summable) por el [Teorema 7.11](#thm-b2-series-rearrangement) o el [Teorema 7.14](#thm-b2-series-fubini) aplicado a la partición en una cantidad [numerable](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/1-conjuntos-y-estructuras#def-b2-structures-countable) de clases):

$$
\zeta(2)^2 = \sum_{q} \sum_{\gcd(a,b)=1} \frac{1}{q^4 a^2 b^2}
= \zeta(4)\, S,
\qquad\text{luego}\qquad
S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} .
$$

(Con los valores $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ y $\zeta(4) =
\frac{\pi^4}{90}$ del [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier): $S = \frac{5}{2}$.)

**Ejercicio 7.8 ★★★.**

(Teorema de Abel sobre productos, versión ligera) Supongamos que $\sum a_n$ converge [absolutamente](#def-b2-series-def) y que $\sum b_n$ converge. Demuestra que su [producto de Cauchy](#thm-b2-series-fubini) $\sum c_n$ converge, con $\sum
c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)$. *(Escribe $C_N = \sum_{k\leq N}
c_k = \sum_n a_n B_{N-n}$, con $B$ las sumas parciales de $b$; sepáralo según $n \leq N/2$ o no, usando la acotación de $(B_m)$ y la cola absoluta de $(a_n)$.)*

**Solución de Ejercicio 7.8.**

Sea $A = \sum a_n$ ([absolutamente](#def-b2-series-def) convergente), $B_m = \sum_{k\leq
m} b_k \to B$, acotada por $M$. Entonces

$$
C_N = \sum_{k=0}^{N} c_k = \sum_{n=0}^{N} a_n B_{N-n}
$$

(agrupando por el índice de $a$). Escribamos

$$
C_N - AB = \sum_{n=0}^{N} a_n (B_{N-n} - B) - B\sum_{n > N} a_n .
$$

El último término tiende a $0$. Separemos la suma en $n = \lfloor
N/2 \rfloor$: para $n \leq N/2$ se tiene $N - n \geq N/2$, luego $\abs{B_{N-n} - B} \leq \varepsilon_N := \sup_{m \geq
N/2}\abs{B_m - B} \to 0$, y esa parte es $\leq \varepsilon_N
\sum\abs{a_n}$; para $n > N/2$, $\abs{B_{N-n} - B} \leq 2M$, y esa parte es $\leq 2M \sum_{n > N/2} \abs{a_n} \to 0$. Por tanto $C_N
\to AB$.

**Ejercicio 7.9 ★★★.**

En el espacio $E$ (no [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete)) de las sucesiones reales nulas a partir de un índice, con la [norma](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#def-b2-nvs-norm) del supremo, exhibe una serie [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente que no converja en $E$. *(Prueba con $u_n = 2^{-n} e_n$, siendo $(e_n)$ las sucesiones canónicas.)*

**Solución de Ejercicio 7.9.**

Tomemos $u_n = 2^{-n} e_n$ (con $e_n$ la sucesión que tiene un único $1$ en la posición $n$). Entonces $\sum \norm{u_n}_\infty = \sum
2^{-n} < \infty$: [absolutamente](#def-b2-series-def) convergente. Pero las sumas parciales $S_N = (1, \tfrac12, \dots, 2^{-N}, 0, \dots)$ tendrían que converger a la sucesión $(2^{-n})_n$, que *no* es nula a partir de ningún índice: queda fuera de $E$. Dentro de $E$, $(S_N)$ es de Cauchy sin límite (para todo $x \in E$ que se anule a partir del índice $K$ se tiene $\norm{S_N - x} \geq 2^{-K-1}$ para $N >
K$): la serie no converge en $E$. La [completitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) es exactamente lo que necesita el [Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/5-espacios-vectoriales-normados#thm-b2-nvs-absoluteconvergence).

**Ejercicio 7.10 ★★.**

Verifica la identidad $\arctan(n+1) - \arctan(n) =
\arctan\dfrac{1}{n^2 + n + 1}$ y deduce el valor exacto de

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{1}{n^2 + n + 1} .
$$

**Solución de Ejercicio 7.10.**

Tanto $\arctan(n+1) - \arctan n$ como $\arctan\frac{1}{n^2+n+1}$ están en $\intoo{0}{\frac\pi2}$, y la fórmula de adición de la tangente da

$$
\tan\bigl(\arctan(n{+}1) - \arctan n\bigr)
= \frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)} = \frac{1}{n^2 + n + 1} :
$$

tangentes iguales en un intervalo donde $\tan$ es inyectiva, luego la identidad se cumple. Telescopando,

$$
\sum_{n=1}^{N}\arctan\frac{1}{n^2+n+1}
= \arctan(N{+}1) - \arctan 1 \xrightarrow[N\to\infty]{}
\frac\pi2 - \frac\pi4 = \frac\pi4 .
$$

**Ejercicio 7.11 ★★.**

Determina el carácter (con equivalentes) de

$$
\sum_n \bigl(\sqrt{n+1} - \sqrt n\bigr)^{\alpha}
\ (\alpha > 0), \qquad
\sum_n \Bigl(1 - \cos\frac1n\Bigr), \qquad
\sum_n \Bigl(\eu - \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{\!n}\Bigr).
$$

**Solución de Ejercicio 7.11.**

Primera: $\sqrt{n+1} - \sqrt n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \sim
\frac{1}{2\sqrt n}$, de modo que los términos son $\sim
2^{-\alpha}n^{-\alpha/2}$: converge si y solo si $\frac\alpha2 > 1$, es decir, $\alpha > 2$. Segunda: $1 - \cos\frac1n \sim
\frac{1}{2n^2}$: converge. Tercera: $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n =
\eu^{\,n\ln(1 + 1/n)} = \eu^{\,1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})} =
\eu\bigl(1 - \frac{1}{2n} + O(n^{-2})\bigr)$, luego

$$
\eu - \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{\!n} \sim \frac{\eu}{2n} :
$$

términos positivos equivalentes a un múltiplo del armónico: diverge.

**Ejercicio 7.12 ★★★.**

Sea $(a_n)$ positiva y *decreciente* con $\sum a_n$ convergente. Demuestra que $n\,a_n \to 0$ *(acota $n a_{2n}$ por una cola)*. Prueba que el recíproco es falso y que la monotonía es esencial, con contraejemplos explícitos.

**Solución de Ejercicio 7.12.**

Por monotonía, $n\,a_{2n} \leq a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n} =
S_{2n} - S_n \to 0$ (criterio de Cauchy para la serie convergente). Por tanto $2n\,a_{2n} \to 0$, y $(2n{+}1)\,a_{2n+1} \leq
(2n{+}1)a_{2n} = \frac{2n+1}{2n}\,(2n\,a_{2n}) \to 0$: las dos subsucesiones de $(na_n)$ tienden a $0$, luego $na_n \to 0$.

*El recíproco falla:* $a_n = \frac1{n\ln n}$ es positiva y decreciente con $na_n = \frac1{\ln n} \to 0$ y, sin embargo, $\sum
a_n$ diverge (frontera de Bertrand, [Problema 7.1](#pb-b2-series-1), pregunta 18). *La monotonía es esencial:* sea $a_n = \frac1n$ cuando $n$ es potencia de $2$ y $a_n = 2^{-n}$ en los demás casos: $\sum a_n
\leq \sum_k 2^{-k} + \sum_n 2^{-n} < \infty$, pero $na_n = 1$ a lo largo de las potencias de $2$, luego $na_n \not\to 0$.

## 7.5 Problema: el $\zeta(2) = \pi^2/6$ de Euler, por la suma de cotangentes de Cauchy

La identidad más célebre de Euler, $1 + \frac14 + \frac19 + \cdots =
\frac{\pi^2}6$, admite una demostración completamente elemental, debida a Cauchy: la fórmula de De Moivre produce un polinomio cuyas raíces son los números $\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}$, las fórmulas de Vieta suman esas raíces de forma exacta, y el encaje $\cot^2\theta <
\frac{1}{\theta^2} < 1 + \cot^2\theta$ aplasta las sumas parciales de $\sum\frac1{k^2}$ entre dos cotas racionales explícitas. Recorremos la demostración completa, extraemos $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ por el mismo método y cartografiamos después toda la frontera entre convergencia y divergencia con las series de Bertrand, demostrando además que esa frontera no alberga ninguna serie convergente más lenta que todas las demás.

**Problema 7.1.**

Problema de fin de semana — $\zeta(2) = \pi^2/6$ y el panorama de Bertrand

En todo el problema, $n \geq 1$ y $\theta_k = \dfrac{k\pi}{2n+1}$ para $k = 1, \dots, n$; obsérvese que $0 < \theta_k < \frac\pi2$.

**Parte I — La identidad de las cotangentes.**

1. Demuestra la fórmula de De Moivre $(\cos\theta +  \iu\sin\theta)^m = \cos m\theta + \iu\sin m\theta$ ($m \in  \N$) y deduce, para $m = 2n + 1$, $$\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sum_{j=0}^{n}  (-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}\cos^{2(n-j)}\theta\,  \sin^{2j+1}\theta .$$
2. Deduce que, para $\theta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$, $$\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) =  \sin^{2n+1}\theta\; P_n(\cot^2\theta),  \qquad  P_n(x) = \sum_{j=0}^{n}  (-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^{\,n-j},$$ polinomio de grado $n$ con coeficiente director $2n + 1$.
3. Prueba que los $x_k = \cot^2\theta_k$ , $k = 1, \dots, n$ , son $n$ raíces *distintas* de $P_n$ y, por tanto, todas ellas.
4. Mediante las fórmulas de Vieta, demuestra la identidad exacta $$\sum_{k=1}^{n} \cot^2\frac{k\pi}{2n+1}  = \frac{n(2n-1)}{3}.$$
5. Deduce también que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{\sin^2\theta_k} = \frac{2n(n+1)}{3}$ .
6. Demuestra el encaje $\cot^2\theta < \dfrac1{\theta^2} <  \dfrac{1}{\sin^2\theta}$ para $\theta \in  \intoo{0}{\frac\pi2}$ *(a partir de $\sin\theta <  \theta < \tan\theta$)* .

**Parte II — El encaje se cierra: el teorema de Euler.**

7. Sumando la pregunta 6 sobre $k = 1, \dots, n$ con $\theta =  \theta_k$, establece $$\frac{n(2n-1)}{3} \;<\;  \frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}  \;<\; \frac{2n(n+1)}{3}.$$
8. Concluye (*el teorema de Euler, por la demostración de Cauchy*): $$\zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} =  \frac{\pi^2}{6}.$$
9. Extrae una velocidad del encaje: prueba que $$\Bigl|\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} - \frac{\pi^2}6\Bigr|  = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ en coherencia con la cola exacta $\sum_{k>n}k^{-2} =  \frac1n - \frac{1}{2n^2} + O(n^{-3})$ del [Ejercicio 6.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#exo-b2-comparison-11).
10. Pon la máquina un piso más arriba: usando la segunda función de Vieta de $P_n$, prueba que $$\sum_{k=1}^{n}\cot^4\theta_k =  \Bigl(\frac{n(2n-1)}3\Bigr)^{\!2} -  \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{60}  \;\sim\; \frac{8n^4}{45},$$ y encaja con $\cot^4 < \theta^{-4} < (1 + \cot^2)^2$ para obtener $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$.

**Parte III — Dividendos.**

11. Deduce de $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$: $$\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8},  \qquad  \sum_{k\geq1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}.$$
12. Combina con el [Ejercicio 7.7](#exo-b2-series-7) : calcula $S =  \sum_{\gcd(a,b)=1}\frac{1}{a^2b^2} =  \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac52$ e interpreta $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.608$ como la densidad de los pares de enteros primos entre sí (enuncia la heurística con honestidad: el recuento riguroso es asunto del volumen del tercer año).
13. (Aceleración certificada) La fórmula de la cola de la pregunta 9 da $\sum_{k\leq n}k^{-2} + \frac1n -  \frac1{2n^2} = \frac{\pi^2}6 + O(n^{-3})$ . Compara el trabajo necesario para seis cifras de $\zeta(2)$ : sumación directa frente a la suma corregida en $n = 100$ (donde el error es $1.7\cdot10^{-7}$ ).
14. Comprueba la pregunta 4 a mano para $n = 1$ y $n = 2$ (los valores $\cot^2\frac\pi3 = \frac13$ y $\cot^2\frac\pi5 +  \cot^2\frac{2\pi}5 = 2$ ), usando $\cos\frac\pi5 =  \frac{1+\sqrt5}4$ o una evaluación numérica.
15. Demuestra la identidad compañera $$\sum_{k=1}^{n}\tan^2\frac{k\pi}{2n+1} = n(2n+1)$$ *(los números $\tan^2\theta_k$ son las raíces del polinomio invertido $x^nP_n(1/x)$)*, y verifícala en $n =  1$.

**Parte IV — El panorama de Bertrand.** Para $\alpha, \beta \in \R$, consideremos la *serie de Bertrand*

$$
\sum_{n \geq 3} \frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}} .
$$

16. Prueba que para $\alpha > 1$ la serie converge sea cual sea $\beta$ *(compara con $n^{-(1+\alpha)/2}$)* .
17. Prueba que para $\alpha < 1$ diverge sea cual sea $\beta$ .
18. Para $\alpha = 1$ : usando la comparación serie–integral ( [Teorema 6.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#thm-b2-comparison-seriesintegral) ) con $f(t) =  \frac{1}{t(\ln t)^\beta}$ , demuestra que converge si y solo si $\beta > 1$ .
19. Itera la frontera: prueba que $\sum\frac{1}{n\ln n\,\ln\ln  n}$ diverge mientras que $\sum\frac{1}{n\ln n\,(\ln\ln  n)^2}$ converge.
20. Dos trampas: determina el carácter de $$\sum_n \frac{1}{n^{1 + 1/\ln n}}  \qquad\text{y}\qquad  \sum_n \frac{1}{n^{1 + 1/\ln\ln n}}$$ *(calcula $n^{1/\ln n}$ exactamente; compara $n^{1/\ln\ln n}$ con toda potencia de $\ln n$)*.
21. (No hay serie convergente más lenta) Sea $\sum a_n$ una serie convergente cualquiera con $a_n > 0$ , y sean $R_n =  \sum_{k \geq n}a_k$ sus colas. Demuestra que $\sum  \frac{a_n}{\sqrt{R_n}}$ *sigue convergiendo* *(compara con la suma telescópica $2(\sqrt{R_n} -  \sqrt{R_{n+1}})$)* , pese a que $\frac{a_n/\sqrt{R_n}}{a_n} \to \infty$ : toda serie convergente está estrictamente dominada por otra serie convergente. La frontera de la convergencia no es una curva, sino una niebla.

**Parte V — Comprobaciones cruzadas y síntesis.**

22. (Condensación de Cauchy) Demuestra que, para $(a_n)$ positiva y decreciente, $\sum a_n$ converge si y solo si $\sum 2^k a_{2^k}$ converge. Vuelve a deducir de ahí la frontera de la pregunta 18.
23. (El coste de la lentitud) Para $\sum\frac1{n(\ln n)^2}$ , acota la cola mediante una integral y prueba que sumar hasta $N = 10^6$ deja todavía un error mayor que $0.07$ : una convergencia certificada por la teoría puede ser inútil para el cálculo numérico; contrástese con la pregunta 13.
24. Clasifica (con justificaciones de una línea): $\sum\frac1{n\ln n}$ , $\sum\frac1{n^{1.01}}$ , $\sum\frac{(\ln n)^{100}}{n^{1.001}}$ y $\sum\frac1{n(\ln n)(\ln\ln n)^{3}}$ .
25. (Síntesis) Una frase para cada punto: cómo De Moivre convirtió una identidad trigonométrica en un polinomio con sumas de raíces calculables; dónde necesitó el encaje identidades *exactas* en los extremos en lugar de equivalentes; qué herramienta del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ch-b2-comparison) movió la parte IV; y qué dice la pregunta 21 sobre el sueño de un “criterio universal de comparación”. Nombra las dos cumbres: el $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler (y su piso superior, $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ) y la clasificación de Bertrand. Señala dónde se volverá a demostrar $\zeta(2)$ : mediante Parseval en el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier) ; un teorema, dos civilizaciones.

**Solución de Problema 7.1.**

**1.** Inducción sobre $m$: para $m = 0$ ambos miembros valen $1$; el paso multiplica por $\cos\theta + \iu\sin\theta$ y usa las fórmulas de adición $\cos(m\theta + \theta) = \cos
m\theta\cos\theta - \sin m\theta\sin\theta$ y $\sin(m\theta +
\theta) = \sin m\theta\cos\theta + \cos m\theta\sin\theta$. Desarrollando en cambio por el teorema del binomio con $m = 2n+1$ y recogiendo la parte imaginaria (las potencias impares de $\iu\sin\theta$, con $\iu^{2j+1} = (-1)^j\iu$):

$$
\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sum_{j=0}^{n}(-1)^j
\binom{2n+1}{2j+1}\cos^{2(n-j)}\theta\,\sin^{2j+1}\theta .
$$

**2.** Sobre $\intoo0{\frac\pi2}$ se tiene $\sin\theta \neq
0$: sáquese $\sin^{2n+1}\theta$ como factor de cada término, quedando $\bigl(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\bigr)^{n-j} =
(\cot^2\theta)^{n-j}$: es la identidad del enunciado, con $P_n(x)
= \sum_j(-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^{n-j}$. Su coeficiente en $x^n$ es el de $j = 0$, es decir, $\binom{2n+1}{1} = 2n + 1 \neq
0$.

**3.** En $\theta_k = \frac{k\pi}{2n+1}$: $\sin\bigl((2n{+}1)\theta_k\bigr) = \sin k\pi = 0$ mientras que $\sin^{2n+1}\theta_k \neq 0$, luego $P_n(\cot^2\theta_k) = 0$. Los $\theta_k$ crecen estrictamente dentro de $\intoo0{\frac\pi2}$, donde $\cot^2$ decrece estrictamente: los valores $x_k =
\cot^2\theta_k$ son distintos dos a dos; son $n$ raíces distintas de un polinomio de grado $n$ y, por tanto, todas ellas.

**4.** Vieta: la suma de las raíces es menos el cociente de los coeficientes de $x^{n-1}$ y de $x^n$:

$$
\sum_{k=1}^{n}\cot^2\theta_k =
\frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}
= \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)/6}{2n+1} = \frac{n(2n-1)}{3}.
$$

**5.** $\frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \cot^2\theta$; sumando, $n + \frac{n(2n-1)}3 = \frac{3n + 2n^2 - n}{3} =
\frac{2n(n+1)}{3}$.

**6.** Sobre $\intoo{0}{\frac\pi2}$: $\sin\theta < \theta <
\tan\theta$ (volumen del primer año). Tomando inversos se invierten las desigualdades: $\cot\theta < \frac1\theta <
\frac1{\sin\theta}$, y elevando al cuadrado (todo positivo) queda $\cot^2\theta < \frac1{\theta^2} < \frac1{\sin^2\theta}$.

**7.** Sumemos la pregunta 6 en $\theta = \theta_k$ sobre $k
\leq n$, usando las preguntas 4 y 5 y $\frac1{\theta_k^2} =
\frac{(2n+1)^2}{k^2\pi^2}$:

$$
\frac{n(2n-1)}3 < \frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}
< \frac{2n(n+1)}3 .
$$

**8.** Multiplicando por $\frac{\pi^2}{(2n+1)^2}$:

$$
\frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{n(2n-1)}{(2n+1)^2}
< \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} <
\frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}.
$$

Ambas cotas tienden a $\frac{\pi^2}3\cdot\frac12 =
\frac{\pi^2}6$ (las fracciones racionales tienden a $\frac12$). Las sumas parciales crecen, luego convergen, y el encaje da $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$: el teorema de Euler, por la demostración de Cauchy.

**9.** Las sumas parciales crecen hacia $\zeta(2) =
\frac{\pi^2}6$, luego $0 \leq \frac{\pi^2}6 - \sum_{k\leq
n}k^{-2}$; y la cota inferior de la pregunta 8 da

$$
\frac{\pi^2}6 - \sum_{k\leq n}\frac1{k^2}
\leq \frac{\pi^2}6 - \frac{\pi^2}3\cdot\frac{n(2n-1)}{(2n+1)^2}
= \frac{\pi^2}6\cdot\frac{(2n+1)^2 - (4n^2 -
2n)}{(2n+1)^2}
= \frac{\pi^2}6\cdot\frac{6n + 1}{(2n+1)^2}
= O\Bigl(\frac1n\Bigr),
$$

en concordancia con la cola exacta $\frac1n - \frac1{2n^2} +
O(n^{-3})$ del [Ejercicio 6.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#exo-b2-comparison-11).

**10.** La segunda función simétrica elemental de las raíces es $\sigma_2 = \frac{\binom{2n+1}5}{\binom{2n+1}1} =
\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{120}$, luego

$$
\sum_k\cot^4\theta_k = \sigma_1^2 - 2\sigma_2
= \Bigl(\frac{n(2n-1)}3\Bigr)^2 -
\frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{60}
\sim \frac{4n^4}9 - \frac{4n^4}{15} = \frac{8n^4}{45}.
$$

Encajando $\cot^4\theta < \theta^{-4} < (1 + \cot^2\theta)^2 = 1 +
2\cot^2\theta + \cot^4\theta$ y sumando: ambas sumas exteriores valen $\frac{8n^4}{45}(1 + o(1))$ (el añadido $n + 2\sigma_1 =
O(n^2)$ es despreciable), mientras que la central es $\frac{(2n+1)^4}{\pi^4}\sum_{k\leq n}k^{-4}$. Por tanto

$$
\sum_{k\leq n}\frac1{k^4} \longrightarrow
\pi^4\cdot\frac{8/45}{16} = \frac{\pi^4}{90}.
$$

**11.** Separando $\zeta(2)$ según la paridad: $\sum_{\text{pares}} = \sum_j\frac{1}{(2j)^2} = \frac14\zeta(2) =
\frac{\pi^2}{24}$, luego $\sum_{\text{impares}} = \zeta(2) -
\frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}8$. Alternada: $\sum_k\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \sum_{\text{impares}} -
\sum_{\text{pares}} = \frac{\pi^2}8 - \frac{\pi^2}{24} =
\frac{\pi^2}{12}$ (la convergencia absoluta justifica el reagrupamiento, [Teorema 7.11](#thm-b2-series-rearrangement)).

**12.** $S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} =
\frac{(\pi^2/6)^2}{\pi^4/90} = \frac{90}{36} = \frac52$. Heurística: la identidad $\zeta(2)^2 = \zeta(4)S$ del [Ejercicio 7.7](#exo-b2-series-7) dice que extraer el mcd renormaliza los pares hasta convertirlos en pares coprimos; y el recíproco $\frac1{\zeta(2)} = \frac6{\pi^2} \approx 0.608$ es el candidato natural para la densidad de los pares coprimos entre todos los pares, un enunciado sobre $\lim_N \frac{1}{N^2}\#\{(m,n) \leq N :
\gcd = 1\}$ cuya demostración honesta (con términos de error) corresponde al volumen del tercer año.

**13.** La sumación directa tiene error $\sim \frac1n$: seis cifras exigen unos $10^6$ términos. La suma corregida $\sum_{k\leq n}k^{-2} + \frac1n - \frac1{2n^2}$ tiene error $O(n^{-3})$: en $n = 100$ vale $1.6449339\dots$ frente a $\frac{\pi^2}6 = 1.6449341\dots$, con error $1.7\cdot10^{-7}$: siete cifras con cien términos. Las correcciones asintóticas ganan a la paciencia bruta por cuatro órdenes de magnitud.

**14.** $n = 1$: $P_1(x) = 3x - 1$, de raíz $\frac13$, y en efecto $\cot^2\frac\pi3 = \bigl(\frac1{\sqrt3}\bigr)^2 = \frac13
= \frac{1\cdot1}3$. $n = 2$: la fórmula predice $\frac{2\cdot3}3 = 2$; con $\cos\frac\pi5 = \frac{1 + \sqrt5}{4}$ se calcula $\cot^2 36^\circ \approx 1.894$ y $\cot^2 72^\circ
\approx 0.106$: suma $2.000$.

**15.** Los números $\tan^2\theta_k = \frac1{x_k}$ son las raíces de $Q(x) = x^nP_n\bigl(\frac1x\bigr) =
\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^j$ (los $x_k$ no son nulos). Vieta sobre $Q$: el coeficiente director es $(-1)^n$ (término $j = n$) y el siguiente es $(-1)^{n-1}\binom{2n+1}{2n-1} = (-1)^{n-1}\binom{2n+1}{2}$, de donde

$$
\sum_{k=1}^n\tan^2\theta_k =
-\frac{(-1)^{n-1}\binom{2n+1}2}{(-1)^n} = \binom{2n+1}2\cdot
\frac{2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{2}
= n(2n+1).
$$

Comprobación para $n = 1$: $\tan^2\frac\pi3 = 3 = 1\cdot3$.

**16.** Sea $\gamma = \frac{1+\alpha}2 \in
\intoo{1}{\alpha}$. Entonces $\frac{n^{-\alpha}(\ln
n)^{-\beta}}{n^{-\gamma}} = n^{\gamma - \alpha}(\ln n)^{-\beta}
\to 0$ (una potencia negativa de $n$ gana a toda potencia de $\ln
n$), de modo que a partir de un índice los términos son $\leq
n^{-\gamma}$ con $\gamma > 1$: converge por comparación con una serie de Riemann.

**17.** Sea $\gamma = \frac{1+\alpha}2 \in
\intoo{\alpha}{1}$: ahora $\frac{n^{-\gamma}}{n^{-\alpha}(\ln
n)^{-\beta}} = n^{\alpha-\gamma}(\ln n)^{\beta} \to 0$, así que a partir de un índice los términos son $\geq n^{-\gamma}$ con $\gamma < 1$: diverge.

**18.** $f(t) = \frac1{t(\ln t)^\beta}$ es positiva, [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y decreciente para $t$ grande (su logaritmo tiene derivada $-\frac1t\bigl(1 + \frac{\beta}{\ln t}\bigr) < 0$ a partir de un punto). Primitivas: para $\beta \neq 1$, $\int^x f =
\frac{(\ln x)^{1-\beta}}{1-\beta} + \text{cte}$, que tiene límite finito si y solo si $\beta > 1$; para $\beta = 1$, $\int^x f =
\ln\ln x \to \infty$. Por el [Teorema 6.6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#thm-b2-comparison-seriesintegral), la serie y la integral comparten carácter: converge si y solo si $\beta > 1$.

**19.** Mismo criterio: $\frac{\dd}{\dd t}\ln\ln\ln t =
\frac{1}{t\ln t\,\ln\ln t}$, y $\ln\ln\ln t \to \infty$: divergencia. Y $\frac{\dd}{\dd t}\Bigl(-\frac1{\ln\ln t}\Bigr) =
\frac{1}{t\ln t\,(\ln\ln t)^2}$ con $-\frac1{\ln\ln t} \to 0$: convergencia.

**20.** Primera: $n^{1/\ln n} = \eu^{\ln n/\ln n} = \eu$, de modo que los términos valen exactamente $\frac{1}{\eu\,n}$: un múltiplo de la serie armónica, *divergente*; el exponente $1
+ \frac1{\ln n}$ se arrastra hacia $1$ demasiado deprisa. Segunda: $n^{1/\ln\ln n} = \eu^{\ln n/\ln\ln n}$, y $\frac{\ln
n}{\ln\ln n} \geq 2\ln\ln n$ a partir de un punto, luego $n^{1/\ln\ln n} \geq (\ln n)^2$: los términos son $\leq
\frac1{n(\ln n)^2}$, serie de Bertrand convergente (pregunta 18): *convergente*. La frontera pasa estrictamente entre esos dos exponentes.

**21.** $R_n \downarrow 0$ y

$$
\sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}} = \frac{R_n -
R_{n+1}}{\sqrt{R_n} + \sqrt{R_{n+1}}} =
\frac{a_n}{\sqrt{R_n} + \sqrt{R_{n+1}}} \geq
\frac{a_n}{2\sqrt{R_n}},
$$

luego $\sum_n \frac{a_n}{\sqrt{R_n}} \leq 2\sum_n(\sqrt{R_n} -
\sqrt{R_{n+1}}) = 2\sqrt{R_1} < \infty$ (suma telescópica). Y sin embargo $\frac{a_n/\sqrt{R_n}}{a_n} = \frac1{\sqrt{R_n}} \to
\infty$: la serie nueva converge siendo infinitamente mayor. Ninguna serie convergente es la más lenta, y ningún criterio de comparación contra una familia fija puede ser [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete).

**22.** Para $(a_n)$ positiva y decreciente, agrupemos los términos entre potencias consecutivas de $2$:

$$
2^{k}a_{2^{k+1}} \leq \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a_n \leq
2^ka_{2^k} .
$$

Sumando sobre $k$: si $\sum 2^ka_{2^k}$ converge, las sumas parciales de $\sum a_n$ están acotadas (converge); y si $\sum
a_n$ converge, entonces $\sum_k 2^{k+1}a_{2^{k+1}} \leq 2\sum_n
a_n < \infty$. Para $a_n = \frac1{n(\ln n)^\beta}$: $2^ka_{2^k} =
\frac{1}{(k\ln 2)^\beta}$, y $\sum k^{-\beta}$ converge si y solo si $\beta > 1$: de nuevo la frontera de la pregunta 18, sin integrales.

**23.** Por comparación integral,

$$
\sum_{n > N}\frac{1}{n(\ln n)^2} \geq
\int_{N+1}^{\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^2} =
\frac{1}{\ln(N+1)},
$$

que en $N = 10^6$ vale $\approx 0.0724$: tras un millón de términos la cola supera todavía $0.07$; la serie converge, pero ninguna sumación directa exhibirá jamás su suma. Contrástese con la pregunta 13, donde una sola corrección asintótica compró siete cifras con cien términos: saber *cómo* converge una serie vale más que saber que converge.

**24.** $\sum\frac1{n\ln n}$: diverge ($\alpha = 1$, $\beta =
1$, pregunta 18). $\sum\frac1{n^{1.01}}$: converge (Riemann, $\alpha > 1$). $\sum\frac{(\ln n)^{100}}{n^{1.001}}$: converge ($\alpha = 1.001 > 1$, $\beta = -100$, pregunta 16). $\sum\frac1{n\ln n(\ln\ln n)^3}$: converge (patrón de la pregunta 19: primitiva $-\frac12(\ln\ln t)^{-2}$, con límite finito).

**25.** De Moivre convierte la anulación de $\sin(2n{+}1)\theta_k$ en la anulación de un polinomio en $\cot^2\theta_k$, y Vieta lee las sumas exactas de raíces que el análisis por sí solo únicamente podría estimar (preguntas 1–5). El encaje necesitó los valores *exactos* $\frac{n(2n-1)}3$ y $\frac{2n(n+1)}3$ en ambos lados: unos equivalentes habrían supuesto la conclusión, ya que todo el objetivo es la constante $\frac{\pi^2}6$ (preguntas 7–8). La parte IV funcionó enteramente con la comparación serie–integral del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ch-b2-comparison), con las primitivas logarítmicas haciendo la clasificación (preguntas 18–19). La pregunta 21 destruye el sueño de un criterio universal de comparación: bajo toda serie convergente hay otra infinitamente más lenta; escalas como la de Bertrand cartografían la frontera cada vez con más finura, pero nunca la alcanzan. Cumbres: el $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler con su piso superior $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ (preguntas 8 y 10) y la clasificación de Bertrand (preguntas 16–18); $\zeta(2)$ regresa en el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier), donde la identidad de Parseval vuelve a demostrarlo en una línea a partir de la serie de Fourier del diente de sierra: una constante, dos civilizaciones.