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title: "Integración"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 2"
subject: math
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/9-integracion
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# Capítulo 9 — Integración

El volumen del primer año construyó la integral sobre un segmento. Este capítulo la extiende a intervalos arbitrarios ([integrales impropias](#def-b2-integration-improper), con toda la caja de herramientas de comparación) y estudia después las integrales *dependientes de un parámetro* —continuidad y derivación bajo el signo integral—, movidas por el teorema de convergencia dominada, el único resultado de este capítulo que se acepta sin demostrar. La función $\Gamma$ hace de ejemplo conductor y de puerta de entrada a la mitad de las funciones especiales de las matemáticas.

## 9.1 Integrales sobre un intervalo cualquiera

**Definición 9.1.**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos sobre $\intco{a}{b}$ ($b \in \R$ o $+\infty$). La integral *converge* cuando existe $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$; se escribe entonces $\int_a^b f$ para el límite. (Análogamente sobre $\intoc{a}{b}$, y sobre $\intoo{a}{b}$ separando en un punto interior; la elección no importa, por Chasles.) La integral *converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def)* cuando converge $\int_a^b \abs f$; la convergencia absoluta implica la convergencia, por el criterio de Cauchy:

$$
\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f
$$

y la [completitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete) de $\R$ (la primitiva tiene la propiedad de Cauchy). En detalle: sean $F(x) = \int_a^x f$ y $G(x) = \int_a^x
\abs f$. Si $\int^b\abs f$ converge, $G$ tiene límite en $b^-$, de modo que para todo $\varepsilon > 0$ existe $c < b$ con $G(y) - G(x)
\leq \varepsilon$ siempre que $c \leq x \leq y < b$; la fórmula anterior transfiere esa propiedad de Cauchy a $F$. Para cualquier sucesión $x_n \to b^-$, los valores $F(x_n)$ forman entonces una sucesión de Cauchy de reales, convergente por [completitud](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete), e intercalar dos sucesiones así muestra que el límite es el mismo para todas: $F$ tiene límite en $b^-$.

**Teorema 9.2 (Herramientas de comparación en el caso positivo).**

Para $f, g \geq 0$ [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos sobre $\intco{a}{b}$:

1. $\int_a^b f$ [converge](#def-b2-integration-improper) si y solo si la primitiva $x \mapsto  \int_a^x f$ está acotada;
2. si $f \leq g$ : la convergencia de $\int g$ fuerza la de $\int f$ , y la divergencia se transfiere en sentido contrario;
3. si $f \sim g$ en $b$ : las dos integrales tienen el mismo carácter;
4. escalas de referencia: en $+\infty$ , $\int^{\infty}  \frac{\dd t}{t^\alpha}$ [converge](#def-b2-integration-improper) si y solo si $\alpha > 1$ , y $\int^\infty \frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ si y solo si $\beta > 1$ ; en un extremo finito $b$ , $\int^b \frac{\dd  t}{(b - t)^\alpha}$ [converge](#def-b2-integration-improper) si y solo si $\alpha < 1$ .

**Demostración.** (1) La primitiva $F(x) = \int_a^x f$ es no decreciente ($f \geq 0$). Si está acotada, $\ell = \sup_{x < b}F$ es finito y $F(x) \to \ell$: dado $\varepsilon > 0$, algún $F(x_0) > \ell - \varepsilon$, y la monotonía atrapa $F(x) \in \intoc{\ell - \varepsilon}{\ell}$ para $x_0 \leq x < b$. Si no está acotada, $F \to +\infty$: divergencia.

(2) De $f \leq g$: $\int_a^x f \leq \int_a^x g$ para todo $x$; si $\int^b g$ [converge](#def-b2-integration-improper), el miembro derecho está acotado y también el izquierdo, y (1) concluye. La contraposición transfiere la divergencia en sentido contrario.

(3) $f \sim g$ en $b$ proporciona un $c < b$ con

$$
\tfrac12\,g(t) \;\leq\; f(t) \;\leq\; 2\,g(t)
\qquad (c \leq t < b) :
$$

por (2), aplicado en ambos sentidos sobre $\intco{c}{b}$, las dos integrales tienen el mismo carácter; y el trozo inicial $\intcc{a}{c}$ es una integral propia y no cambia nada.

(4) Primitivas explícitas: para $\alpha \neq 1$ y $\beta \neq 1$,

$$
\int_c^x \frac{\dd t}{t^\alpha}
= \frac{x^{1-\alpha} - c^{1-\alpha}}{1 - \alpha},
\qquad
\int_c^x \frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}
= \frac{(\ln x)^{1-\beta} - (\ln c)^{1-\beta}}{1 - \beta},
$$

con logaritmos en los casos excluidos: acotadas cuando $x \to
+\infty$ exactamente si $\alpha > 1$, o si $\beta > 1$, respectivamente. En un extremo finito, la sustitución $u = b - t$ reduce a la escala $\int_0 u^{-\alpha}\,\dd u$, acotada si y solo si $\alpha < 1$. Aplíquese (1) en cada caso. ∎

**Ejemplo 9.3 (Dos calentamientos, hasta el final).**

*(a)* $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$: el integrando explota en $0^+$, pero allí $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ (los logaritmos pierden frente a las potencias) y $\int_0 t^{-1/2}$ [converge](#def-b2-integration-improper): convergencia absoluta. El valor, integrando por partes sobre $\intcc{\varepsilon}{1}$:

$$
\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t
= \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1
= -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon
\xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .
$$

*(b)* $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 +
t^2}\,\dd t$: hay problemas en ambos extremos, así que se separa en $1$. Cerca de $0$: $\abs{\ln t}$ es integrable como en (a); cerca de $\infty$: $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$: [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente. La sustitución $t = \frac1u$ envía $\intoo{0}{1}$ sobre $\intoo{1}{\infty}$ y

$$
\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t
= \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot
\frac{\dd u}{u^2}
= -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :
$$

las dos mitades se cancelan y la integral vale $0$. Moraleja: la simetría bajo $t \mapsto \frac1t$ vale por una página de cálculo; el mismo truco ya movía el [Ejercicio 9.3](#exo-b2-integration-3).

**Ejemplo 9.4 (Un valor, tres integrales).**

Estudiemos $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos
t}{t^2}\,\dd t$. En $0$: $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$, de modo que el integrando se extiende continuamente con el valor $\frac12$: no hay singularidad alguna. En $\infty$: $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2}
\leq \frac{2}{t^2}$: convergencia absoluta ([Teorema 9.2](#thm-b2-integration-comparison)). Valor: integremos por partes sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$ con $u = 1 - \cos t$ y $v' = t^{-2}$:

$$
\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t
= \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .
$$

El corchete se anula en ambos extremos ($\frac{1 -
\cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$; numerador acotado en $M$) y la integral tiende al valor de Dirichlet $\frac\pi2$ ([Ejercicio 9.10](#exo-b2-integration-10)): $I = \frac\pi2$. Moraleja: con $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ y $u = \frac t2$,

$$
I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u
= \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :
$$

los tres clásicos $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$, $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ ([Ejercicio 9.11](#exo-b2-integration-11)) e $I$ comparten el valor $\frac\pi2$, que se pasan unos a otros por partes y por sustitución; y solo el primero es semiconvergente: la integración por partes cambió la convergencia absoluta por un integrando más sencillo.

**Ejemplo 9.5 (Una integral semiconvergente).**

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper): integrando por partes,

$$
\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t
= \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos
t}{t^2}\dd t ,
$$

donde el corchete tiene límite y la última integral [converge](#def-b2-integration-improper) [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) ($\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$). Pero no [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def): de $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$,

$$
\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t
\;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t
= \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x
\ \to\ \infty}
\;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd
t}_{\text{convergente}} ,
$$

donde la última integral [converge](#def-b2-integration-improper) por la *misma* integración por partes de antes (con $\sin 2t$ en el corchete): una pieza divergente menos una convergente diverge. Así pues, $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) sin converger [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def): el análogo integral de la serie alternada, con la integración por partes en el papel del criterio de las alternadas.

## 9.2 El teorema de convergencia

**Teorema 9.6 (Convergencia dominada).**

Sea $(f_n)$ una sucesión de funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos sobre un intervalo $I$, convergente puntualmente a una $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos, y supongamos que existe una $\varphi \geq 0$ integrable fija ($\int_I \varphi < \infty$) con

$$
\abs{f_n(t)} \leq \varphi(t) \qquad (t \in I,\ n \in \N).
$$

Entonces todas las $\int_I f_n$ e $\int_I f$ convergen [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) y

$$
\int_I f_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_I f .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 9.7.**

La demostración honesta pertenece a la teoría de la integración de Lebesgue del tercer año; el enunciado, en cambio, se usa constantemente a partir de ahora. La hipótesis de *dominación* es todo el asunto: la convergencia puntual sola no basta ($f_n =
n\,\mathbf{1}_{\intoo{0}{1/n}}$, jorobas deslizantes: $\int f_n = 1
\not\to 0 = \int f$). El teorema vale también para un parámetro [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) ($f_\lambda$, $\lambda \to \lambda_0$), por la caracterización sucesional de los límites.

**Ejemplo 9.8 (Un límite gaussiano, por dominación).**

Calculemos $\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n$, donde $I_n =
\int_0^\infty \Bigl(1 + \frac{t^2}{n}\Bigr)^{\!-n}\dd t$. Puntualmente, $(1 + t^2/n)^n \to \eu^{t^2}$ (límite del interés compuesto), de modo que los integrandos tienden a $\eu^{-t^2}$. Dominación: la sucesión $n \mapsto (1 + u/n)^n$ es no decreciente para $u \geq 0$ (la desigualdad entre medias aritmética y geométrica sobre los $n + 1$ factores $1, 1 + \frac un, \dots, 1 + \frac un$ da $(1 + \frac u{n+1})^{n+1} \geq (1 + \frac un)^n$), luego para $n
\geq 2$:

$$
\Bigl(1 + \frac{t^2}{n}\Bigr)^{\!-n}
\leq \Bigl(1 + \frac{t^2}{2}\Bigr)^{\!-2},
$$

un dominador integrable ($\sim 4t^{-4}$ en el infinito). Por convergencia dominada:

$$
I_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t
= \frac{\sqrt\pi}{2}
$$

(la integral de Gauss del [Ejercicio 9.8](#exo-b2-integration-8)). Comprobación final: la sustitución $t = \sqrt n\tan\theta$ calcula $I_n$ exactamente, $I_n = \sqrt
n\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\,\dd\theta = \sqrt n\,W_{2n-2}$, y la asintótica de Wallis $W_m \sim \sqrt{\pi/(2m)}$ ([Lema 6.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#lem-b2-comparison-wallis)) vuelve a dar $\sqrt n\,W_{2n-2}
\to \frac{\sqrt\pi}2$: los dos pilares de este capítulo y del anterior concuerdan.

**Ejemplo 9.9 (Convergencia dominada con parámetro continuo).**

Calculemos

$$
\lim_{x\to+\infty}\int_0^\infty
\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\,\dd t .
$$

Para cada $t > 0$, $\arctan(xt) \to \frac\pi2$ cuando $x \to
\infty$; y la dominación

$$
\Bigl|\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\Bigr|
\leq \frac{\pi/2}{1+t^2},
\qquad\text{integrable e independiente de } x,
$$

vale para todo $x$. Por la forma con parámetro [continuo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) del [Teorema 9.6](#thm-b2-integration-dominated) (caracterización sucesional: compruébese a lo largo de toda $x_n \to \infty$),

$$
\int_0^\infty\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\,\dd t
\xrightarrow[x\to+\infty]{}
\frac\pi2\int_0^\infty\frac{\dd t}{1+t^2}
= \frac{\pi^2}{4} .
$$

Moraleja: el único punto $t = 0$, donde el límite puntual vale $0$ y no $\frac\pi2$, no cambia nada; la función límite solo interviene a través de su integral, una de las mercedes silenciosas del teorema.

## 9.3 Integrales con parámetro

**Teorema 9.10 (Continuidad bajo el signo integral).**

Sea $f \colon A \times I \to \R$ ($A$ un [espacio métrico](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-def) e $I$ un intervalo) tal que: $t \mapsto f(x, t)$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos para cada $x$; $x \mapsto f(x, t)$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) para cada $t$; y existe una *dominación* $\abs{f(x,t)} \leq \varphi(t)$ (con $\varphi$ integrable sobre $I$ e independiente de $x$). Entonces

$$
F(x) = \int_I f(x, t)\,\dd t
$$

está definida y es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $A$.

**Demostración.** Buena definición: la dominación da la convergencia absoluta. [Continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $x_0$: para toda sucesión $x_n \to x_0$, las funciones $g_n(t) = f(x_n, t)$ convergen puntualmente a $f(x_0, t)$ (por la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $x$) bajo la dominación fija $\varphi$: la convergencia dominada da $F(x_n) \to F(x_0)$; y se concluye por la caracterización sucesional de la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Definición 4.5](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity)). ∎

**Teorema 9.11 (Derivación bajo el signo integral).**

Sea $f \colon J \times I \to \R$ ($J$ un intervalo de parámetros) tal que: $t \mapsto f(x,t)$ es integrable sobre $I$ para cada $x$; $x
\mapsto f(x,t)$ es de clase $C^1$ para cada $t$, con derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) a trozos en $t$ y dominada: $\bigl|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigr| \leq
\psi(t)$ con $\psi$ integrable. Entonces $F(x) = \int_I f(x,t)\dd t$ es de clase $C^1$ sobre $J$ y

$$
F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\dd t .
$$

**Demostración.** Fijemos $x$ y $h_n \to 0$. Los cocientes incrementales

$$
\frac{F(x + h_n) - F(x)}{h_n}
= \int_I \frac{f(x + h_n, t) - f(x, t)}{h_n}\,\dd t
$$

tienen integrandos que convergen puntualmente a $\frac{\partial
f}{\partial x}(x, t)$ y están dominados por $\psi(t)$: por la desigualdad del valor medio aplicada en $x$ con $t$ fijo,

$$
\Bigl|\frac{f(x + h_n, t) - f(x,t)}{h_n}\Bigr|
\leq \sup_{\xi} \Bigl|\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, t)\Bigr|
\leq \psi(t) .
$$

La convergencia dominada da el límite $\int_I \frac{\partial
f}{\partial x}(x,t)\dd t$ de los cocientes: $F$ es derivable con la derivada anunciada, que es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) por el [Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity) aplicado a $\frac{\partial
f}{\partial x}$. ∎

**Ejemplo 9.12 (Una integral con parámetro contrastada con una fórmula).**

Sea $F(x) = \displaystyle\int_0^\infty \frac{\dd t}{t^2 + x}$ para $x > 0$. Sobre todo $\intcc{a}{b} \subset \intoo{0}{\infty}$, el integrando está dominado por $\frac{1}{t^2 + a}$, integrable e independiente de $x$: $F$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity)). Aquí el teorema puede contrastarse con un valor explícito:

$$
F(x) = \Bigl[\frac{1}{\sqrt x}\arctan\frac{t}{\sqrt
x}\Bigr]_0^\infty = \frac{\pi}{2\sqrt x} ,
$$

visiblemente [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity). Derivemos ahora bajo la integral: la derivada en $x$, $-\frac{1}{(t^2+x)^2}$, está dominada sobre $\intcc ab$ por $\frac{1}{(t^2+a)^2}$, integrable, y el [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) da

$$
F'(x) = -\int_0^\infty \frac{\dd t}{(t^2 + x)^2}
\qquad\text{mientras que}\qquad
F'(x) = -\frac{\pi}{4}\,x^{-3/2} ,
$$

de modo que hemos *calculado* gratis una integral nueva: $\int_0^\infty\frac{\dd t}{(t^2+x)^2} = \frac{\pi}{4x^{3/2}}$. Moraleja: derivar una [integral con parámetro](#thm-b2-integration-continuity) conocida es una fábrica de fórmulas nuevas; iterando se obtiene $\int_0^\infty\frac{\dd t}{(t^2+1)^n}$ para todo $n$, sin sustituciones trigonométricas.

**Método 9.13 (Cómo estudiar una integral impropia).**

Dada $\int_a^b f$:

1. Localícese el problema: enumérense los extremos (o los puntos interiores) donde $f$ no está acotada o el intervalo es infinito, y sepárese de modo que cada trozo tenga exactamente un extremo problemático.
2. Si $f$ tiene signo constante cerca de ese extremo, hállese un equivalente y compárese con las escalas de referencia del [Teorema 9.2](#thm-b2-integration-comparison) .
3. Si $f$ oscila, pruébese primero con $\abs f$ (convergencia absoluta). Si $\int\abs f$ diverge, intégrese por partes para cambiar la oscilación por decrecimiento, como en el [Ejemplo 9.5](#ex-b2-integration-sint) ; minoraciones del tipo $\abs{\sin t} \geq \sin^2t$ detectan la semiconvergencia auténtica.
4. Para obtener un valor, y no solo el carácter: partes, sustitución o un parámetro (derívese una integral más sencilla, como en el [Ejemplo 9.12](#ex-b2-integration-arctanparam) y el [Ejemplo 9.21](#ex-b2-integration-laplace) ).
5. Comprobaciones de sensatez sobre todo valor calculado: el signo y el tamaño aproximado contra una cota tosca ( $\int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t \in \intoo{0}{1 +  \int_1^\infty \eu^{-t}}$ , de modo que $\frac{\sqrt\pi}{2}  \approx 0.886$ es plausible); y la coherencia dimensional por escalado ( $t \mapsto \lambda t$ debe reescalar ambos miembros del mismo modo: el detector más rápido de un factor perdido).

**Observación 9.14 (Errores frecuentes).**

Tres errores recurrentes. *(i) Dominadores que dependen del parámetro:* la dominación $\abs{f(x,t)} \leq \varphi(t)$ ha de ser uniforme en $x$ sobre el conjunto considerado; suele valer sobre segmentos $\intcc ab$ pero no globalmente. Para $\int_0^\infty\eu^{-xt}\dd t$ no hay ningún dominador integrable válido para todo $x > 0$, y sin embargo dominar sobre $x \geq a > 0$ basta para trabajar en toda la semirrecta [abierta](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-topology), ya que la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y las derivadas son nociones locales. *(ii) Comparar integrandos con signo:* la caja de herramientas de comparación es para funciones *no negativas*; de $\abs f \leq
g$ con $\int g$ divergente no puede concluirse nada, pues $\int_1^\infty\frac{\sin t}t\,\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) aunque toda comparación con $\frac1t$ fracase. *(iii) Olvidar la mitad del problema:* sobre $\intoo{0}{\infty}$ hay que estudiar siempre los dos extremos por separado; $\int_0^\infty\frac{\dd t}{t}$ diverge en *ambos*, y una separación de aspecto convergente puede cancelar en silencio dos infinitos. El reflejo seguro es la lista del [Método 9.13](#met-b2-integration-study).

**Ejemplo 9.15 (Un caso frontera de Bertrand, hasta la cifra).**

La escala $\int^\infty\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ del [Teorema 9.2](#thm-b2-integration-comparison) se sitúa exactamente en el borde de las escalas de potencias; sus casos frontera merecen un cálculo [completo](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-complete). Para $\beta = 2$:

$$
\int_\eu^{\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{\ln t}\Bigr]_\eu^{\infty}
= 0 - (-1) = 1 ,
$$

una integral convergente con un valor agradablemente exacto; mientras que para $\beta = 1$,

$$
\int_\eu^{x}\frac{\dd t}{t\ln t}
= \bigl[\ln\ln t\bigr]_\eu^{x} = \ln\ln x
\longrightarrow \infty ,
$$

divergente, pero tan despacio que alcanzar $\ln\ln x = 10$ exige $x
= \eu^{\eu^{10}} \approx 10^{9566}$. Moraleja: entre “toda potencia $t^{-1-\varepsilon}$ [converge](#def-b2-integration-improper)” y “$t^{-1}$ diverge” vive una escalera infinita de escalas logarítmicas, cada una afinando la anterior; la sustitución $u = \ln t$ derrumba cada peldaño sobre el precedente, y por eso los criterios de Bertrand son el eco de los de Riemann un nivel más arriba.

**Observación 9.16 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Las herramientas de este capítulo están a punto de aparecer por todas partes. La convergencia dominada es el motor de las identidades aproximadas del capítulo siguiente (núcleos deslizantes, tanto los de Bernstein como los de Fejér); la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y la derivación bajo el signo integral producen el cálculo con los coeficientes de Fourier en el capítulo correspondiente, donde cada $c_n(f)$ es una [integral con parámetro](#thm-b2-integration-continuity) disfrazada. La función $\Gamma$ regresa dos veces: en el capítulo de integrales múltiples, donde una integral doble demuestra por fin la fórmula Beta–Gamma de Euler en toda su generalidad, y en los capítulos de probabilidad, donde las integrales de tipo $\Gamma$ normalizan las densidades estándar y calculan sus momentos. Y la semiconvergente $\int\frac{\sin t}{t}$ resurge como la constante de Gibbs del capítulo de Fourier: la misma integral, midiendo el sobrepaso de las sumas parciales en un salto.

**Definición 9.17 (La función Γ\GammaΓ).**

Para $x > 0$:

$$
\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1}\,\eu^{-t}\,\dd t ,
$$

convergente en ambos extremos ($t^{x-1}$ es integrable en $0^+$ para $x > 0$; y hay decrecimiento exponencial en $\infty$).

**Teorema 9.18.**

$\Gamma$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intoo{0}{+\infty}$, satisface la ecuación funcional

$$
\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x),
\qquad \Gamma(1) = 1,
\qquad\text{de donde}\qquad \Gamma(n + 1) = n! ,
$$

y es de clase $C^1$ (de hecho, $C^\infty$) con $\Gamma'(x) =
\int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\ln t\,\dd t$.

**Demostración.** Ecuación funcional: intégrese por partes sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$ y háganse tender los extremos: $\int
t^{x}\eu^{-t} = [-t^x\eu^{-t}] + x\int t^{x-1}\eu^{-t}$, con términos de frontera que se anulan; en efecto, $\varepsilon^x\eu^{-\varepsilon} \to 0$ cuando $\varepsilon \to 0^+$ porque $x > 0$, y $M^x\eu^{-M} \to 0$ cuando $M \to \infty$ porque la exponencial gana a toda potencia; y ambas integrales truncadas convergen a sus valores impropios por la convergencia establecida en la [Definición 9.17](#def-b2-integration-gamma). Además $\Gamma(1) = \int
\eu^{-t} = 1$, y la inducción da el factorial.

[Continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intcc{a}{b} \subset \intoo{0}{\infty}$: domínese $t^{x-1}\eu^{-t}$ por $\varphi(t) = (t^{a-1} +
t^{b-1})\eu^{-t}$, integrable e independiente de $x \in
\intcc{a}{b}$: el [Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity) se aplica en todo segmento así y, por tanto, en toda la semirrecta. Derivabilidad: la derivada en $x$, $t^{x-1}\eu^{-t}\ln t$, está dominada sobre $\intcc{a}{b}$ por $(t^{a-1} +
t^{b-1})\eu^{-t}\,\abs{\ln t}$, todavía integrable: aplíquese el [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule); iterando se obtienen todas las derivadas (cada una añade una potencia de $\ln t$, inofensiva). ∎

**Ejemplo 9.19 (Factoriales de semienteros).**

La ecuación funcional y $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = \sqrt\pi$ (a una sustitución del [Ejercicio 9.8](#exo-b2-integration-8): póngase $t = u^2$ en la integral que la define) generan todos los valores semienteros:

$$
\Gamma\Bigl(\frac32\Bigr) = \frac12\,\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{\sqrt\pi}{2},
\qquad
\Gamma\Bigl(\frac52\Bigr) = \frac32\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}
= \frac{3\sqrt\pi}{4},
\qquad
\Gamma\Bigl(\frac72\Bigr) = \frac{15\sqrt\pi}{8} .
$$

Como $\Gamma(n+1) = n!$, es lícito decir que “$\frac12! =
\frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0.886$”: el factorial ha quedado interpolado, y la curva interpoladora baja por debajo de $1$ entre $0! = 1$ y $1! = 1$ (su mínimo $\approx 0.8856$ en $x \approx
1.4616$ concuerda con la imagen de convexidad de la parte I del problema de fin de semana). Moraleja: nada en la integral $\int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\dd t$ privilegia a los enteros; el carácter discreto del factorial fue un accidente del recuento, y $\sqrt\pi$ es lo que vive entre $1$ y $1$.

**Observación 9.20 (Adónde va Γ\GammaΓ a partir de aquí).**

El problema de fin de semana de este capítulo construye todo el cálculo de Euler en torno a $\Gamma$: la [función Beta](#pb-b2-integration-1), sus recurrencias por integración por partes, las integrales de Wallis como valores de Beta y la fórmula límite de Gauss. El capítulo de integrales múltiples demuestra la fórmula Beta–Gamma de Euler para todos los argumentos mediante una integral doble; los capítulos de probabilidad reencuentran $\Gamma$ en la normalización de las densidades más frecuentes y en los momentos de los tiempos de espera. El volumen del tercer año reconstruye $\Gamma$ sobre cimientos de Lebesgue, demuestra el teorema de unicidad de Bohr–Mollerup y extiende la fórmula de Stirling de los enteros a la semirrecta real por convergencia dominada.

**Ejemplo 9.21 (Un cálculo clásico por derivación).**

Para $x \in \R$, sea $F(x) = \int_0^{\infty} \eu^{-t^2}\cos(xt)\,\dd
t$ ([absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente, dominada por $\eu^{-t^2}$). Por el [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) (dominación de la derivada en $x$ por $t\,\eu^{-t^2}$, integrable):

$$
F'(x) = -\int_0^\infty t\,\eu^{-t^2}\sin(xt)\,\dd t
= \Bigl[\frac{\eu^{-t^2}}{2}\sin(xt)\Bigr]_0^\infty
- \frac x2\int_0^\infty \eu^{-t^2}\cos(xt)\,\dd t
= -\frac x2\,F(x),
$$

(por partes con $u' = t\eu^{-t^2}$). La ecuación diferencial $F' =
-\frac x2 F$ se integra hasta $F(x) = F(0)\,\eu^{-x^2/4}$: la integral de tipo gaussiano se reproduce a sí misma. La constante $F(0) = \int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t = \frac{\sqrt\pi}{2}$ se calcula en el [Ejercicio 9.8](#exo-b2-integration-8) y, de nuevo, por integración doble, en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/20-integrales-curvilineas-e-integrales-multiples#ch-b2-multint).

## 9.4 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

Carácter de $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t(1-t)}}$; $\;\displaystyle\int_1^\infty \frac{\ln t}{t^2}\dd t$; $\;\displaystyle\int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}$ *(compara con el comportamiento divergente de tipo armónico cerca de $t = n\pi$)*.

**Solución de Ejercicio 9.1.**

$\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t(1-t)}}$: cerca de $0$ es $\sim
t^{-1/2}$ ($\alpha = \frac12 < 1$: [converge](#def-b2-integration-improper)); cerca de $1$ es $\sim
(1-t)^{-1/2}$: [converge](#def-b2-integration-improper). Convergente (su valor es $\pi$, mediante la sustitución $t = \sin^2\theta$).

$\int_1^\infty \frac{\ln t}{t^2}$: $\frac{\ln t}{t^2} =
o(t^{-3/2})$: convergente (de valor $1$, por partes).

$\int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}$: divergente. Cerca de $t = n\pi$, escribamos $t = n\pi + u$: $\sin^2 t = \sin^2 u \leq
u^2$, así que para $\abs u \leq \frac{1}{n}$ se tiene $1 + t^2\sin^2
t \leq 1 + (n\pi + 1)^2u^2 \leq C n^2 u^2 + 1$; por tanto

$$
\int_{n\pi - 1/n}^{n\pi + 1/n} \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}
\geq \int_{-1/n}^{1/n} \frac{\dd u}{1 + Cn^2u^2}
= \frac{2\arctan\sqrt C}{\sqrt C}\cdot\frac{1}{n} ,
$$

término de una serie divergente de tipo armónico: sumando sobre $n$, la primitiva no está acotada.

**Ejercicio 9.2 ★.**

Calcula $\displaystyle\int_0^\infty t^n \eu^{-\lambda t}\,\dd t$ ($\lambda > 0$) mediante $\Gamma$, y $\displaystyle\int_0^1 (\ln
t)^n \dd t$ mediante la sustitución $t = \eu^{-u}$.

**Solución de Ejercicio 9.2.**

Sustituyendo $u = \lambda t$:

$$
\int_0^\infty t^n \eu^{-\lambda t}\dd t
= \frac{1}{\lambda^{n+1}}\int_0^\infty u^n\eu^{-u}\dd u
= \frac{\Gamma(n+1)}{\lambda^{n+1}} = \frac{n!}{\lambda^{n+1}} .
$$

Con $t = \eu^{-u}$ ($\dd t = -\eu^{-u}\dd u$):

$$
\int_0^1 (\ln t)^n \dd t = \int_0^{\infty} (-u)^n \eu^{-u}\,\dd u
= (-1)^n\, n! .
$$

**Ejercicio 9.3 ★.**

Demuestra que $\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\dd t}{(1 +
t^2)(1 + t^x)}$ está bien definida para todo $x \in \R$ y no depende de $x$. *(Sustituye $t \mapsto \frac1t$ y promedia las dos expresiones.)* ¿Cuál es su valor?

**Solución de Ejercicio 9.3.**

Convergencia: el integrando es $\leq \frac{1}{1+t^2}$ cerca de $\infty$ y está acotado cerca de $0$ (ambos factores están acotados inferiormente lejos de $0$): [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/7-sucesiones-y-series#def-b2-series-def) convergente para todo $x$. Sustituyendo $t = \frac1u$ ($\dd t = -\frac{\dd u}{u^2}$):

$$
I(x) = \int_0^\infty \frac{1}{\bigl(1 +
\frac1{u^2}\bigr)\bigl(1 + u^{-x}\bigr)}\cdot\frac{\dd u}{u^2}
= \int_0^\infty \frac{u^x}{(1 + u^2)(1 + u^x)}\,\dd u .
$$

Sumando las dos expresiones de $I(x)$:

$$
2I(x) = \int_0^\infty \frac{1 + t^x}{(1+t^2)(1+t^x)}\dd t
= \int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2} :
$$

$I(x) = \frac\pi4$, independiente de $x$.

**Ejercicio 9.4 ★★.**

(Integrales de Bertrand en un extremo finito) ¿Para qué $(\alpha,
\beta)$ [converge](#def-b2-integration-improper) $\displaystyle\int_0^{1/2}
\frac{\dd t}{t^\alpha\,\abs{\ln t}^\beta}$?

**Solución de Ejercicio 9.4.**

Cerca de $0^+$, con $u = \abs{\ln t} \to \infty$. Si $\alpha < 1$: convergencia sea cual sea $\beta$ (compárese con $t^{-\alpha'}$ para $\alpha < \alpha' < 1$: el factor logarítmico queda vencido). Si $\alpha > 1$: divergencia sea cual sea $\beta$ (compárese con $t^{-\alpha''}$ con $1 < \alpha'' < \alpha$). Si $\alpha = 1$: sustitúyase $t = \eu^{-u}$:

$$
\int_0^{1/2} \frac{\dd t}{t\,\abs{\ln t}^\beta}
= \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{\dd u}{u^\beta},
$$

convergente si y solo si $\beta > 1$. En resumen: [converge](#def-b2-integration-improper) si y solo si $\alpha < 1$, o bien si $\alpha = 1$ y $\beta > 1$; el espejo de las series de Bertrand.

**Ejercicio 9.5 ★★.**

Sea $F(x) = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\eu^{-xt}}{1 +
t^2}\,\dd t$ para $x \geq 0$. Demuestra que $F$ es [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intco{0}{\infty}$, de clase $C^2$ sobre $\intoo{0}{\infty}$, que allí cumple $F'' + F = \frac1x$ y que $F(x) \to 0$ cuando $x \to
+\infty$.

**Solución de Ejercicio 9.5.**

[Continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intco{0}{\infty}$: dominación $\bigl|\frac{\eu^{-xt}}{1+t^2}\bigr| \leq \frac{1}{1+t^2}$, integrable y uniforme en $x \geq 0$: [Teorema 9.10](#thm-b2-integration-continuity).

$C^2$ sobre $\intoo{0}{\infty}$: para $x \geq a > 0$, las dos primeras derivadas en $x$, $\frac{-t\,\eu^{-xt}}{1+t^2}$ y $\frac{t^2\eu^{-xt}}{1+t^2}$, están dominadas por $t\,\eu^{-at}$ y $\eu^{-at}$: dos aplicaciones del [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule). Entonces

$$
F''(x) + F(x) = \int_0^\infty \frac{t^2 + 1}{1 + t^2}\,\eu^{-xt}\dd
t = \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x .
$$

Límite: $0 \leq F(x) \leq \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x \to
0$.

**Ejercicio 9.6 ★★.**

(Frullani) Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\intco{0}{+\infty}$ con límite finito $f(\infty)$ en $+\infty$. Demuestra que para $a, b > 0$:

$$
\int_0^{\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t}\,\dd t
= \bigl(f(0) - f(\infty)\bigr)\,\ln\frac ba .
$$

*(Sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$, sustituye en cada pieza y reagrupa hasta $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} - \int_{aM}^{bM}$ de $\frac{f(u)}u\,\dd u$; encaja usando la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) en $0$ y el límite en $\infty$.)* Calcula $\int_0^\infty \frac{\eu^{-t} -
\eu^{-2t}}{t}\dd t$.

**Solución de Ejercicio 9.6.**

Sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$, sustituyamos $u = at$ y $u = bt$ en las dos mitades:

$$
\int_\varepsilon^M \frac{f(at) - f(bt)}{t}\dd t
= \int_{a\varepsilon}^{aM}\frac{f(u)}{u}\dd u
- \int_{b\varepsilon}^{bM}\frac{f(u)}{u}\dd u
= \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u}\dd u
- \int_{aM}^{bM} \frac{f(u)}{u}\dd u .
$$

Primera pieza: $f(u) = f(0) + o(1)$ cerca de $0$, y $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{\dd u}{u} = \ln\frac ba$: la pieza tiende a $f(0)\ln\frac ba$. Segunda pieza: $f(u) \to
f(\infty)$, mismo cálculo: tiende a $f(\infty)\ln\frac ba$. Por tanto, la [integral impropia](#def-b2-integration-improper) [converge](#def-b2-integration-improper) a $\bigl(f(0) -
f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$.

Con $f(t) = \eu^{-t}$ ($f(0) = 1$, $f(\infty) = 0$), $a = 1$ y $b =
2$:

$$
\int_0^\infty \frac{\eu^{-t} - \eu^{-2t}}{t}\dd t = \ln 2 .
$$

**Ejercicio 9.7 ★★.**

Justifica y calcula $\lim_{n\to\infty} \displaystyle\int_0^n \Bigl(1
- \frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\,\dd t$ para $x > 0$ *(convergencia dominada con $\varphi(t) = \eu^{-t}t^{x-1}$, usando $(1 - t/n)^n \leq \eu^{-t}$; el límite es $\Gamma(x)$)*.

**Solución de Ejercicio 9.7.**

Extendamos el integrando por $0$ más allá de $t = n$: $g_n(t) = (1 -
\frac tn)^n t^{x-1}\mathbf{1}_{t \leq n}$. Puntualmente, $g_n(t) \to
\eu^{-t}t^{x-1}$ (límite del interés compuesto, volumen del primer año). Dominación: $\ln(1 - u) \leq -u$ da $(1 - \frac tn)^n \leq
\eu^{-t}$ sobre $\intcc{0}{n}$, de modo que $\abs{g_n(t)} \leq
\eu^{-t}t^{x-1} = \varphi(t)$, integrable. Convergencia dominada:

$$
\int_0^n \Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^n t^{x-1}\dd t
\xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^\infty \eu^{-t}t^{x-1}\dd t
= \Gamma(x) .
$$

(Calcular el miembro izquierdo por partes reiteradas da la forma de producto de Euler $\Gamma(x) = \lim
\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$.)

**Ejercicio 9.8 ★★★.**

(La integral de Gauss mediante un truco con parámetro) Para $x \geq
0$ pongamos

$$
G(x) = \Bigl(\int_0^x \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!2},
\qquad
H(x) = \int_0^1 \frac{\eu^{-x^2(1+t^2)}}{1 + t^2}\,\dd t .
$$

Demuestra que $G' + H' = 0$ (deriva $H$ bajo la integral y sustituye $u = xt$ en la integral resultante), deduce $G(x) + H(x) =
\frac\pi4$ para todo $x$, y concluye

$$
\int_0^{\infty} \eu^{-t^2}\,\dd t = \frac{\sqrt\pi}{2} .
$$

**Solución de Ejercicio 9.8.**

$H$ es derivable en $x$ (integrando de clase $C^1$ en $x$, con derivada $-2x(1+t^2)\cdot\frac{\eu^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} =
-2x\,\eu^{-x^2}\eu^{-x^2t^2}$, [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y acotada sobre los [compactos](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-compact) de $x$, con dominación trivial sobre $t \in
\intcc{0}{1}$):

$$
H'(x) = -2x\,\eu^{-x^2}\int_0^1 \eu^{-x^2t^2}\,\dd t
\overset{u = xt}{=} -2\,\eu^{-x^2}\int_0^x \eu^{-u^2}\,\dd u
= -G'(x),
$$

ya que $G'(x) = 2\eu^{-x^2}\int_0^x \eu^{-t^2}\dd t$ (regla de la cadena sobre el cuadrado y teorema fundamental del cálculo). Luego $G + H$ es constante e igual a $G(0) + H(0) = 0 + \int_0^1 \frac{\dd
t}{1+t^2} = \frac\pi4$.

Cuando $x \to \infty$: $0 \leq H(x) \leq \eu^{-x^2}\int_0^1 \dd t
\to 0$, de modo que $G(x) \to \frac\pi4$:

$$
\int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t = \sqrt{\frac\pi4} =
\frac{\sqrt\pi}{2} .
$$

(En consecuencia, $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = 2\int_0^\infty
\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$, por la sustitución $t = \sqrt u$.)

**Ejercicio 9.9 ★★★.**

Demuestra que $\Gamma$ es *log-convexa*: $\ln\Gamma$ es convexa sobre $\intoo{0}{\infty}$. *(La desigualdad de Cauchy–Schwarz para integrales aplicada a $t^{(x+y)/2 - 1}\eu^{-t} =
\bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2} \bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}$ da $\Gamma\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr)^2 \leq \Gamma(x)\Gamma(y)$; combina con la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) y el [Ejercicio 8.8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#exo-b2-realfun-8).)*

**Solución de Ejercicio 9.9.**

Cauchy–Schwarz (volumen del primer año, válida sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$ y pasada al límite) aplicada a la factorización $t^{\frac{x+y}{2}-1}\eu^{-t} =
\bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2} \bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}$:

$$
\Gamma\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) \leq
\Gamma(x)^{1/2}\,\Gamma(y)^{1/2}
\quad\Longrightarrow\quad
\ln\Gamma\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) \leq \frac{\ln\Gamma(x) +
\ln\Gamma(y)}{2} :
$$

$\ln\Gamma$ es convexa en el punto medio y, siendo [continua](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops)), es convexa ([Ejercicio 8.8](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/8-funciones-de-una-variable-real#exo-b2-realfun-8)). (La log-convexidad fija $\Gamma$ de manera única entre las interpolaciones del factorial: el teorema de Bohr–Mollerup, una perla del tercer año.)

**Ejercicio 9.10 ★★★.**

(Integral de Dirichlet) Pongamos $F(x) = \displaystyle\int_0^{\infty}
\frac{\sin t}{t}\,\eu^{-xt}\,\dd t$ para $x > 0$.

1. Justifica que $F'(x) = -\frac{1}{1 + x^2}$ (deriva bajo la integral; calcula $\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t$ con dos integraciones por partes).
2. Demuestra que $F(x) \to 0$ cuando $x \to +\infty$ y deduce $F(x) = \frac\pi2 - \arctan x$ .
3. Admitiendo la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $F$ en $0^+$ (un teorema de tipo Abel), concluye el valor de la integral semiconvergente: $$\int_0^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t = \frac{\pi}{2}.$$

**Solución de Ejercicio 9.10.**

1. Para $x \geq a > 0$: la derivada en $x$ del integrando es $-\sin t\,\eu^{-xt}$, dominada por $\eu^{-at}$; el [Teorema 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) da $F'(x) =  -\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t$. Dos integraciones por partes (o la exponencial compleja): $$\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t  = \Im \int_0^\infty \eu^{(-x+\iu)t}\dd t  = \Im\frac{1}{x - \iu} = \frac{1}{1 + x^2} .$$
2. $\abs{F(x)} \leq \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x \to  0$ . Integrando $F' = -\frac{1}{1+x^2}$ de $x$ a $\infty$ : $0  - F(x) = -\bigl(\frac\pi2 - \arctan x\bigr)$ , luego $F(x) =  \frac\pi2 - \arctan x$ .
3. Haciendo $x \to 0^+$ con la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) admitida: $F(0^+) =  \frac\pi2$ , y $F(0) = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\dd t$ (la integral semiconvergente de Dirichlet, [Ejemplo 9.5](#ex-b2-integration-sint) ): su valor es $\frac\pi2$ .

**Ejercicio 9.11 ★★.**

Justifica la convergencia de $\displaystyle\int_0^\infty
\Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t$ y calcúlala después con una integración por partes y el [Ejercicio 9.10](#exo-b2-integration-10):

$$
\int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t
= \frac{\pi}{2} .
$$

(El mismo valor que $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\dd t$, pero esta vez la convergencia es absoluta.)

**Solución de Ejercicio 9.11.**

Convergencia: cerca de $0$ el integrando se extiende continuamente con el valor $1$ ($\sin t \sim t$); en el infinito es $\leq t^{-2}$: convergencia absoluta. Sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$, integremos por partes con $u = \sin^2 t$ y $v' = t^{-2}$:

$$
\int_\varepsilon^M \frac{\sin^2 t}{t^2}\dd t
= \Bigl[-\frac{\sin^2 t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_\varepsilon^M \frac{2\sin t\cos t}{t}\dd t
= \Bigl[-\frac{\sin^2 t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_{2\varepsilon}^{2M} \frac{\sin u}{u}\dd u
$$

($u = 2t$ en la última integral). El corchete tiende a $0$ en ambos extremos ($\sin^2\varepsilon/\varepsilon \leq \varepsilon$; $\sin^2
M/M \leq 1/M$), y la última integral tiende a $\int_0^\infty
\frac{\sin u}{u}\dd u = \frac\pi2$ ([Ejercicio 9.10](#exo-b2-integration-10)). Por tanto

$$
\int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t
= \frac\pi2 .
$$

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

(La cola gaussiana) Para $x > 0$ pongamos $T(x) = \displaystyle
\int_x^\infty \eu^{-t^2}\dd t$.

1. Escribiendo $\eu^{-t^2} = \frac{1}{-2t}\cdot(-2t\,\eu^{-t^2})$, integra por partes dos veces para obtener $$T(x) = \eu^{-x^2}\Bigl(\frac{1}{2x} -  \frac{1}{4x^3}\Bigr) +  \frac34\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\,\dd t .$$
2. Acota el resto: $0 \leq \frac34\int_x^\infty  t^{-4}\eu^{-t^2}\dd t \leq \frac{3}{8x^5}\,\eu^{-x^2}$, y deduce el encaje $$\eu^{-x^2}\Bigl(\frac{1}{2x} - \frac{1}{4x^3}\Bigr)  \leq T(x) \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x},  \qquad\text{de donde}\qquad  T(x) \sim \frac{\eu^{-x^2}}{2x} \quad (x \to +\infty).$$
3. ¿Por qué la serie alternada completa que se obtiene iterando la integración por partes no puede converger nunca para $x$ fijo? *(Compara el crecimiento de los coeficientes $1\cdot3\cdots(2k-1)$ con el de las potencias $(2x^2)^k$.)*

**Solución de Ejercicio 9.12.**

1. Por partes con $u = \frac{-1}{2t}$ y $v' = -2t\,\eu^{-t^2}$ (de modo que $v = \eu^{-t^2}$): $$T(x) = \Bigl[\frac{-\eu^{-t^2}}{2t}\Bigr]_x^\infty  - \int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{2x}  - \int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t .$$ El mismo recurso sobre la nueva integral ($u =  \frac{-1}{4t^3}$, $v' = -2t\,\eu^{-t^2}$): $$\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{4x^3}  - \frac34\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\dd t ,$$ de donde la identidad anunciada.
2. Una integración por partes más acota el resto: $$\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{2x^5}  - \frac52\int_x^\infty\frac{\eu^{-t^2}}{t^6}\dd t  \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x^5},$$ luego $0 \leq \frac34\int_x^\infty t^{-4}\eu^{-t^2}\dd t  \leq \frac{3}{8x^5}\eu^{-x^2}$. Descartar el resto (positivo) en la identidad de la pregunta 1 da la cota inferior; descartar el segundo término (negativo) de la primera integración por partes da $T(x) \leq  \frac{\eu^{-x^2}}{2x}$. Dividiendo el encaje por $\frac{\eu^{-x^2}}{2x}$: el cociente queda comprimido entre $1 - \frac{1}{2x^2}$ y $1$, luego $T(x) \sim  \frac{\eu^{-x^2}}{2x}$.
3. Iterar las integraciones por partes produce la serie formal $$T(x) \approx \frac{\eu^{-x^2}}{2x}\Bigl(1 -  \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot3}{(2x^2)^2} -  \frac{1\cdot3\cdot5}{(2x^2)^3} + \cdots\Bigr),$$ cuyo coeficiente $k$-ésimo $1\cdot3\cdots(2k-1) =  \frac{(2k)!}{2^k k!}$ crece más deprisa que cualquier sucesión geométrica: para $x$ fijo, los términos $\frac{1\cdot3\cdots(2k-1)}{(2x^2)^k}$ tienden a infinito (su cociente es $\frac{2k+1}{2x^2} \to \infty$), así que la serie diverge para todo $x$. Es un desarrollo *asintótico*: truncado en cualquier orden fijo, el error es del orden del primer término omitido cuando $x \to  \infty$, pero nunca una serie convergente. (Esta estimación de la cola es la cota gaussiana estándar de los capítulos de probabilidad.)

## 9.5 Problema: las integrales de Euler —Beta, Gamma y la fórmula límite de Gauss

**Problema 9.1.**

La función $\Gamma$ de la [Definición 9.17](#def-b2-integration-gamma) es una mitad del cálculo de integrales de Euler; la otra mitad es la *función Beta*

$$
B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1 - t)^{y-1}\,\dd t .
$$

Este problema desarrolla el par $(\Gamma, B)$ solo con las herramientas de este capítulo —integración por partes, sustitución y convergencia dominada— y culmina en la *fórmula Beta–Gamma de Euler* $B(x,y) =
\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)} {\Gamma(x+y)}$ sobre los semienteros y en la *fórmula límite de Gauss* para $\Gamma$. Por el camino, las integrales de Wallis del [Lema 6.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#lem-b2-comparison-wallis) reaparecen como valores de Beta, y la fórmula de duplicación de Legendre cae por su propio peso.

**Parte I — Estructura fina de $\Gamma$.**

1. Recuerda por qué $\Gamma(x) = \int_0^\infty  t^{x-1}\eu^{-t}\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) exactamente para $x > 0$, y prueba que $$\Gamma(x) \sim \frac1x \qquad (x \to 0^+)$$ *(ecuación funcional más [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\Gamma$ en $1$)*.
2. Demuestra que $\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) = \sqrt\pi$ *(sustituye $t = u^2$ e invoca el [Ejercicio 9.8](#exo-b2-integration-8))* , y deduce $\int_\R  \eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ .
3. Prueba por inducción que, para $n \in \N$, $$\Gamma\Bigl(n + \frac12\Bigr)  = \frac{(2n)!}{4^n\,n!}\,\sqrt\pi .$$
4. Justifica que $\Gamma''(x) = \int_0^\infty  t^{x-1}\eu^{-t}(\ln t)^2\dd t > 0$ y deduce que $\Gamma$ es estrictamente convexa, alcanza un único mínimo en cierto $x_0 \in \intoo{1}{2}$ *($\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ y Rolle)* , decrece sobre $\intoo{0}{x_0}$ y crece sobre $\intoo{x_0}{\infty}$ .
5. Prueba que $\Gamma$ gana a toda potencia: para cada $k \in  \N$ , $x^k = o\bigl(\Gamma(x)\bigr)$ cuando $x \to +\infty$ *(encaja $x$ entre enteros y usa $\Gamma(n+1) = n!$ con la monotonía de la pregunta 4)* .

**Parte II — La [función Beta](#pb-b2-integration-1), por partes.**

6. Prueba que $B(x,y)$ [converge](#def-b2-integration-improper) exactamente para $x > 0$ e $y >  0$ , y que $B(x,y) = B(y,x)$ .
7. Calcula $B(x, 1) = \frac1x$ y demuestra por integración por partes que, para $x, y > 0$, $$B(x, y+1) = \frac{y}{x}\,B(x+1, y) .$$
8. A partir de la descomposición $t^{x-1}(1-t)^{y-1} =  t^{x}(1-t)^{y-1} + t^{x-1}(1-t)^{y}$, deduce $B(x,y) =  B(x+1,y) + B(x,y+1)$ y combínalo con la pregunta 7 hasta las *relaciones de descenso* $$B(x, y+1) = \frac{y}{x+y}\,B(x,y),  \qquad  B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}\,B(x,y) .$$
9. Deduce que, para $m, n \geq 1$ enteros, $$B(m, n) = \frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}  = \frac{1}{(m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1}} .$$
10. Demuestra la *fórmula de Euler con un argumento entero*: para todo $x > 0$ y todo $n \in \N^*$, $$B(x, n) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(n)}{\Gamma(x + n)}$$ *(inducción sobre $n$: ambos miembros valen $\frac1x$ en $n = 1$ y obedecen la misma relación de descenso)*.

**Parte III — Las integrales de Wallis como valores de Beta.**

11. Sustituye $t = \sin^2\theta$ para obtener la forma trigonométrica $$B(x, y) = 2\int_0^{\pi/2}  \sin^{2x-1}\theta\,\cos^{2y-1}\theta\,\dd\theta .$$
12. Deduce $W_n = \frac12\,B\bigl(\frac{n+1}2, \frac12\bigr)$ para la integral de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n  \theta\,\dd\theta$ , y recupera la recurrencia $W_n =  \frac{n-1}{n}W_{n-2}$ del [Lema 6.11](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#lem-b2-comparison-wallis) únicamente a partir de las relaciones de descenso de la pregunta 8.
13. Calcula $B\bigl(\frac12, \frac12\bigr) = 2W_0 = \pi$ y contrástalo con $\Gamma\bigl(\frac12\bigr)^2/\Gamma(1)$ : la fórmula de Euler se cumple en $\bigl(\frac12,  \frac12\bigr)$ .
14. Deduce de la recurrencia la forma cerrada $W_{2n} =  \frac\pi2\, \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ y verifica que $$B\Bigl(n + \frac12, \frac12\Bigr)  = \frac{\Gamma\bigl(n + \frac12\bigr)\Gamma\bigl(  \frac12\bigr)}{\Gamma(n+1)} .$$ Concluye, por inducción con las relaciones de descenso, que la fórmula de Euler $B(x,y) =  \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ vale siempre que $2x$ y $2y$ sean enteros positivos.
15. Sustituye $u = \frac{t}{1-t}$ para obtener la tercera forma clásica $$B(x,y) = \int_0^\infty  \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\dd u ,$$ y comprueba directamente el caso $x = y = \frac12$ ($u =  v^2$ lo reduce a $\int_0^\infty\frac{2\,\dd v}{1+v^2}$).

**Parte IV — La fórmula límite de Gauss.**

16. Para $x > 0$ y $n \in \N^*$, demuestra mediante $n$ integraciones por partes sucesivas que $$\int_0^n \Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\,\dd t  = \frac{n!\;n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} .$$
17. Concluye con el [Ejercicio 9.7](#exo-b2-integration-7) (convergencia dominada) la *fórmula límite de Gauss*: $$\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty}  \frac{n!\;n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}  \qquad (x > 0).$$
18. Tomando logaritmos, prueba que para $x > 0$ $$\ln\Gamma(x) = -\ln x - \gamma x +  \sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\frac xk -  \ln\Bigl(1 + \frac xk\Bigr)\Bigr),$$ donde $\gamma$ es la constante de Euler ([Ejemplo 6.7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-harmonic)); justifica la convergencia de la serie *(el término general es $\sim  \frac{x^2}{2k^2}$)*.
19. Usa la fórmula de Gauss en $x = \frac12$ y la asintótica del binomial central $\binom{2n}{n} \sim  \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ( [Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial) ) para volver a calcular $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = \sqrt\pi$ : la constante de Stirling y la integral de Gauss son el mismo número con dos disfraces.
20. Comprueba que la fórmula de Gauss vuelve a demostrar la ecuación funcional: a partir de la identidad exacta $$\frac{n!\,n^{x+1}}{(x+1)\cdots(x+n+1)}  = \frac{n!\,n^{x}}{x(x+1)\cdots(x+n)}\cdot  \frac{n\,x}{x+n+1},$$ concluye de nuevo $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$. (La fórmula de Gauss determina $\Gamma$ por completo; el volumen del tercer año demuestra el teorema más fino de Bohr–Mollerup: la ecuación funcional más la log-convexidad ya fijan $\Gamma$.)

**Parte V — Dividendos.**

21. Para $a > 0$ , prueba que $\int_0^\infty \eu^{-t^a}\dd t =  \Gamma\bigl(1 + \frac1a\bigr)$ y calcula el límite cuando $a  \to +\infty$ por convergencia dominada *(límite puntual $\mathbf 1_{t < 1}$; domínese por $1$ sobre $\intoc{0}{1}$ y por $\eu^{-t^2}$ más allá, para $a \geq 2$)* . Contrasta la respuesta con la [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\Gamma$ .
22. Para $n \geq 1$, prueba que $$\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{1 - t^n}}  = \frac1n\,B\Bigl(\frac1n, \frac12\Bigr),$$ y recupera los valores $2$ ($n = 1$) y $\frac\pi2$ ($n =  2$). (Para $n = 4$ esta es la *constante de la lemniscata*, que no tiene forma cerrada elemental; su historia pertenece a la teoría de las integrales elípticas.)
23. (Momentos) Para $x > 0$ y $k \in \N$, prueba que $$\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^\infty  t^{k}\,t^{x-1}\eu^{-t}\,\dd t  = \frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x)}  = x(x+1)\cdots(x+k-1),$$ el factorial ascendente; comprueba que $x = 1$ da $k!$. (En los capítulos de probabilidad, este es el momento $k$-ésimo de una densidad estándar de tiempo de espera.)
24. Demuestra la identidad de Beta, válida para *todo* $x >  0$: $$B(x, x) = 2^{1-2x}\,B\Bigl(x, \frac12\Bigr)$$ *(sustituye $t = \frac{1+s}2$, aprovecha la simetría en $s$ y pon después $s = \sqrt v$)*. Deduce, para $2x \in  \N^*$, la *fórmula de duplicación de Legendre* $$\Gamma(x)\,\Gamma\Bigl(x + \frac12\Bigr)  = 2^{1-2x}\,\sqrt\pi\;\Gamma(2x),$$ y verifícala directamente en $x = n$ mediante la pregunta 3. (Para $x$ general se sigue de la misma identidad una vez conocida la fórmula de Euler para todos los argumentos: la demostración por integral doble del capítulo de integrales múltiples.)
25. Síntesis. Una frase para cada punto: (i) dónde soportó la integración por partes toda la parte II; (ii) dónde intervino la convergencia dominada en las partes IV y V; (iii) qué insumos asintóticos se importaron del capítulo de comparación; (iv) qué queda ya demostrado de la fórmula de Euler $B(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ y qué le queda por zanjar a la integral doble.

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** En $0^+$ el integrando es $\sim t^{x-1}$: la escala de extremo finito [converge](#def-b2-integration-improper) si y solo si $1 - x < 1$, es decir, $x >
0$ (y para $x \leq 0$, $t^{x-1} \geq t^{-1}$ diverge); en $+\infty$, $t^{x-1}\eu^{-t} = o(t^{-2})$ [converge](#def-b2-integration-improper) para todo $x$. Después, $\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x}$ y $\Gamma(x+1) \to
\Gamma(1) = 1$ cuando $x \to 0^+$ ([continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity), [Teorema 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops)): $\Gamma(x) \sim \frac1x$.

**2.** Con $t = u^2$, $\dd t = 2u\,\dd u$:

$$
\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \int_0^\infty
t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t
= \int_0^\infty \frac{\eu^{-u^2}}{u}\,2u\,\dd u
= 2\int_0^\infty \eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi
$$

por el [Ejercicio 9.8](#exo-b2-integration-8). Con $u = v/\sqrt2$:

$$
\int_\R \eu^{-v^2/2}\dd v
= 2\sqrt2\int_0^\infty \eu^{-u^2}\dd u
= \sqrt2\,\sqrt\pi = \sqrt{2\pi} .
$$

**3.** Cierto para $n = 0$ (ambos miembros valen $\sqrt\pi$). Si $\Gamma(n + \frac12) = \frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi$, la ecuación funcional da

$$
\Gamma\Bigl(n + 1 + \frac12\Bigr)
= \Bigl(n + \frac12\Bigr)\Gamma\Bigl(n + \frac12\Bigr)
= \frac{2n+1}{2}\cdot\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi
= \frac{(2n+2)!}{4^{n+1}(n+1)!}\sqrt\pi ,
$$

el último paso porque $\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$ y $\frac{2n+1}{2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)}$.

**4.** El [Teorema 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops) da $\Gamma''(x)
= \int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}(\ln t)^2\dd t$ (dos aplicaciones de la regla de Leibniz, con dominaciones como en la demostración del teorema); el integrando es $\geq 0$ y no idénticamente nulo, luego $\Gamma'' > 0$: $\Gamma$ es estrictamente convexa y $\Gamma'$ es estrictamente creciente. Como $\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$, Rolle proporciona un $x_0 \in \intoo12$ con $\Gamma'(x_0) = 0$; la monotonía estricta de $\Gamma'$ hace de $x_0$ su único cero, con $\Gamma' < 0$ antes y $\Gamma' > 0$ después: $\Gamma$ decrece sobre $\intoo0{x_0}$, crece sobre $\intoo{x_0}\infty$ y $x_0$ es el mínimo único.

**5.** Sea $k \in \N$ y $x \geq 3$; elijamos el entero $n$ con $n + 1 \leq x < n + 2$ (de modo que $n \geq 1$). Por la monotonía de la pregunta 4 (válida a partir de $x_0 < 2$): $\Gamma(x) \geq
\Gamma(n + 1) = n!$, mientras que $x^k \leq (n+2)^k$. Como $\frac{n!}{(n+2)^k} \to \infty$ (los factoriales ganan a las potencias, volumen del primer año), $\frac{\Gamma(x)}{x^k} \geq
\frac{n!}{(n+2)^k} \to \infty$ cuando $x \to \infty$: $x^k =
o(\Gamma(x))$.

**6.** Cerca de $0$ el integrando es $\sim t^{x-1}$ (convergente si y solo si $x > 0$), y cerca de $1$ es $\sim
(1-t)^{y-1}$ (si y solo si $y > 0$); ambas comparaciones son entre funciones positivas, de modo que $B(x,y)$ [converge](#def-b2-integration-improper) exactamente para $x, y > 0$. La sustitución $t \mapsto 1 - t$ intercambia los dos factores: $B(x,y) = B(y,x)$.

**7.** $B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\dd t = \frac1x$. Por partes sobre $\intcc\varepsilon{1-\varepsilon}$ con $u = (1-t)^y$ y $v =
\frac{t^x}{x}$:

$$
\int t^{x-1}(1-t)^{y}\dd t
= \Bigl[\frac{t^x(1-t)^y}{x}\Bigr]
+ \frac{y}{x}\int t^{x}(1-t)^{y-1}\dd t ;
$$

el corchete se anula en ambos extremos cuando $\varepsilon \to 0$ ($x > 0$ en $0$, $y > 0$ en $1$), dejando $B(x, y+1) = \frac
yx\,B(x+1, y)$.

**8.** Como $t + (1-t) = 1$:

$$
t^{x-1}(1-t)^{y-1} = t^{x}(1-t)^{y-1} + t^{x-1}(1-t)^{y},
$$

luego $B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1)$. La pregunta 7 se lee $B(x+1,y) = \frac xy B(x,y+1)$; sustituyendo,

$$
B(x,y) = \Bigl(\frac xy + 1\Bigr)B(x,y+1)
= \frac{x+y}{y}\,B(x,y+1),
$$

es decir, $B(x,y+1) = \frac{y}{x+y}B(x,y)$; la relación gemela se sigue de la simetría de la pregunta 6.

**9.** Inducción sobre $n$ con $m$ fijo: $B(m,1) = \frac1m =
\frac{(m-1)!\,0!}{m!}$ y, si la fórmula vale en $n$,

$$
B(m, n+1) = \frac{n}{m+n}\,B(m,n)
= \frac{n}{m+n}\cdot\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}
= \frac{(m-1)!\,n!}{(m+n)!} .
$$

Reescribiendo: $B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} =
\bigl[(m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1}\bigr]^{-1}$.

**10.** Ambos miembros de $B(x,n) =
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n)}{\Gamma(x+n)}$ valen $\frac1x$ en $n = 1$ ($\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$). Si coinciden en $n$, entonces, por la relación de descenso y la ecuación funcional:

$$
B(x, n+1) = \frac{n}{x+n}\,B(x,n), \qquad
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)}
= \frac{n}{x+n}\cdot
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n)}{\Gamma(x+n)} :
$$

las dos sucesiones obedecen la misma recursión desde la misma semilla, luego coinciden para todo $n \in \N^*$ y todo $x > 0$.

**11.** Con $t = \sin^2\theta$ ($\theta \in \intoo0{\pi/2}$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$), $t^{x-1} =
\sin^{2x-2}\theta$ y $(1-t)^{y-1} = \cos^{2y-2}\theta$:

$$
B(x,y) = \int_0^{\pi/2}\sin^{2x-2}\theta\,\cos^{2y-2}\theta
\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\,\cos^{2y-1}\theta\,
\dd\theta .
$$

**12.** Tomemos $y = \frac12$ (lo que mata el factor coseno) y $2x - 1 = n$: $B\bigl(\frac{n+1}2, \frac12\bigr) = 2W_n$, es decir, $W_n = \frac12 B\bigl(\frac{n+1}2,\frac12\bigr)$. La relación de descenso en la primera variable da

$$
\frac{W_n}{W_{n-2}}
= \frac{B\bigl(\frac{n-1}2 + 1, \frac12\bigr)}
{B\bigl(\frac{n-1}2, \frac12\bigr)}
= \frac{\frac{n-1}2}{\frac{n-1}2 + \frac12}
= \frac{n-1}{n} :
$$

la recurrencia de Wallis, esta vez sin ninguna integración por partes sobre senos; la parte II hizo el trabajo de una vez por todas.

**13.** $B\bigl(\frac12,\frac12\bigr) = 2W_0 =
2\cdot\frac\pi2 = \pi$, mientras que $\Gamma\bigl(\frac12\bigr)^2/\Gamma(1) = (\sqrt\pi)^2 = \pi$: la fórmula de Euler se cumple en $\bigl(\frac12,\frac12\bigr)$.

**14.** Iterando $W_{2n} = \frac{2n-1}{2n}W_{2n-2}$ desde $W_0
= \frac\pi2$:

$$
W_{2n} = \frac\pi2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}
= \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2},
$$

ya que $\prod(2k-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ y $\prod 2k = 2^n n!$. Por tanto, usando la pregunta 3:

$$
B\Bigl(n+\frac12, \frac12\Bigr) = 2W_{2n}
= \pi\,\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}
= \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n!}\cdot\frac{\sqrt\pi}{n!}
= \frac{\Gamma\bigl(n+\frac12\bigr)\Gamma\bigl(\frac12\bigr)}
{\Gamma(n+1)} .
$$

Fijemos ahora $x \in \frac12\N^*$. La fórmula de Euler vale en $(x,
\frac12)$: para $x$ entero es la pregunta 10 (con la simetría), y para $x = n + \frac12$ es la fórmula anterior. Ambos miembros de la fórmula de Euler obedecen la recursión de descenso $y \mapsto y + 1$ (la pregunta 8 a la izquierda y la ecuación funcional a la derecha, como en la pregunta 10): la inducción propaga la fórmula desde $y =
\frac12$ e $y = 1$ hasta todo $y \in \frac12\N^*$. La fórmula de Euler vale, pues, siempre que $2x, 2y \in \N^*$.

**15.** Con $u = \frac{t}{1-t}$, es decir, $t =
\frac{u}{1+u}$, $1 - t = \frac{1}{1+u}$ y $\dd t = \frac{\dd
u}{(1+u)^2}$:

$$
B(x,y) = \int_0^\infty
\Bigl(\frac{u}{1+u}\Bigr)^{x-1}
\Bigl(\frac{1}{1+u}\Bigr)^{y-1}
\frac{\dd u}{(1+u)^2}
= \int_0^\infty \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\dd u .
$$

En $x = y = \frac12$, con $u = v^2$:

$$
\int_0^\infty \frac{u^{-1/2}}{1+u}\dd u
= \int_0^\infty \frac{2\,\dd v}{1+v^2} = \pi
= B\Bigl(\frac12,\frac12\Bigr) . \checkmark
$$

**16.** Una integración por partes, para $1 \leq k \leq n$ y $s > 0$ ($u = (1 - t/n)^k$, $v = t^s/s$; los términos de frontera se anulan):

$$
\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!k} t^{s-1}\dd t
= \frac{k}{ns}\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!k-1}
t^{s}\dd t .
$$

Partiendo de $k = n$, $s = x$ e iterando $n$ veces:

$$
\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\dd t
= \frac{n(n-1)\cdots1}{n^n\,x(x+1)\cdots(x+n-1)}
\int_0^n t^{x+n-1}\dd t
= \frac{n!}{n^n}\cdot
\frac{n^{x+n}}{x(x+1)\cdots(x+n)} ,
$$

que vale $\dfrac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$.

**17.** Por el [Ejercicio 9.7](#exo-b2-integration-7), el miembro izquierdo tiende a $\Gamma(x)$ (convergencia dominada con dominador $t^{x-1}\eu^{-t}$); y el derecho es el cociente de Gauss:

$$
\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty}
\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} .
$$

**18.** Tomando logaritmos en el cociente $G_n(x)$ de la pregunta 16 y separando $\ln(x+k) = \ln k + \ln(1 + x/k)$ para $k
\geq 1$:

$$
\ln G_n(x) = x\ln n - \ln x - \sum_{k=1}^n
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)
= -\ln x + x(\ln n - H_n)
+ \sum_{k=1}^n\Bigl(\frac xk -
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)\Bigr).
$$

Para $u \geq 0$ se tiene $u - \frac{u^2}2 \leq \ln(1+u) \leq u$, de modo que el término general está en $\intcc{0}{x^2/(2k^2)}$: la serie [converge](#def-b2-integration-improper) (comparación con $\sum k^{-2}$). Como $\ln n - H_n
\to -\gamma$ ([Ejemplo 6.7](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-harmonic)) y $\ln G_n(x) \to
\ln\Gamma(x)$ (pregunta 17 y [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\ln$):

$$
\ln\Gamma(x) = -\ln x - \gamma x
+ \sum_{k=1}^\infty\Bigl(\frac xk -
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)\Bigr) .
$$

**19.** En $x = \frac12$, el denominador es $\prod_{k=0}^n\bigl(k+\frac12\bigr) =
\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}$ (desarrollando las mitades), luego

$$
G_n\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{n!\,\sqrt n\;2^{2n+1}n!}{(2n+1)!}
= \frac{2\sqrt n\;4^n}{(2n+1)\binom{2n}{n}} .
$$

Con $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ([Ejemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/6-comparacion-de-funciones#ex-b2-comparison-centralbinomial)):

$$
G_n\Bigl(\frac12\Bigr)
\sim \frac{2\sqrt n\,\sqrt{\pi n}}{2n+1}
\longrightarrow \sqrt\pi = \Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) .
$$

El $\sqrt\pi$ del coeficiente binomial central (que venía de Wallis y, por tanto, de la constante de Stirling) y el $\sqrt\pi$ de la integral de Gauss son el mismo número.

**20.** La identidad es álgebra directa: multiplíquese $\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$ por $\frac{nx}{x+n+1}$ y absórbase $x$ en el producto y $n$ en $n^x$. Haciendo $n \to
\infty$: el miembro izquierdo tiende a $\Gamma(x+1)$ (Gauss en $x+1$) y el derecho a $\Gamma(x)\cdot x\cdot 1$, ya que $\frac{n}{x+n+1} \to 1$: $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$, recuperado sin una sola integración por partes.

**21.** Con $u = t^a$, $t = u^{1/a}$, $\dd t = \frac1a u^{1/a
- 1}\dd u$:

$$
\int_0^\infty \eu^{-t^a}\dd t
= \frac1a\int_0^\infty u^{\frac1a - 1}\eu^{-u}\dd u
= \frac1a\,\Gamma\Bigl(\frac1a\Bigr)
= \Gamma\Bigl(1 + \frac1a\Bigr) .
$$

Cuando $a \to +\infty$ (a lo largo de cualquier sucesión): $\eu^{-t^a} \to 1$ para $0 < t < 1$, $\to \eu^{-1}$ en $t = 1$ y $\to 0$ para $t > 1$; para $a \geq 2$ domínese por $\mathbf 1_{t
\leq 1} + \eu^{-t^2}\mathbf 1_{t > 1}$ ($t^a \geq t^2$ para $t
\geq 1$), integrable. Por convergencia dominada, la integral tiende a $\int_0^1 1\,\dd t = 1$, como debe ser, ya que $\Gamma(1
+ \frac1a) \to \Gamma(1) = 1$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/4/es/chapter/4-topologia-de-los-espacios-metricos#def-b2-metric-continuity).

**22.** Con $u = t^n$, $\dd t = \frac1n u^{1/n - 1}\dd u$:

$$
\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{1-t^n}}
= \frac1n\int_0^1 u^{\frac1n-1}(1-u)^{-1/2}\dd u
= \frac1n\,B\Bigl(\frac1n, \frac12\Bigr) .
$$

$n = 1$: $B\bigl(1,\frac12\bigr) = B\bigl(\frac12,1\bigr) = 2$, en concordancia con $\int_0^1\frac{\dd t}{\sqrt{1-t}} = 2$. $n = 2$: $\frac12 B\bigl(\frac12,\frac12\bigr) = \frac\pi2 = \arcsin 1$. Para $n = 4$, el valor $\frac14 B\bigl(\frac14,\frac12\bigr)$ es la constante de la lemniscata: sin forma cerrada elemental.

**23.** Iterando la ecuación funcional:

$$
\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^\infty t^{x+k-1}\eu^{-t}\dd t
= \frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x)}
= (x+k-1)(x+k-2)\cdots x ,
$$

el factorial ascendente con $k$ factores. En $x = 1$: $\Gamma(1+k)/\Gamma(1) = k!$, los momentos de $\eu^{-t}$ del [Ejercicio 9.2](#exo-b2-integration-2).

**24.** Sustituyamos $t = \frac{1+s}2$ ($s \in \intoo{-1}1$, $\dd t = \frac{\dd s}2$, $t(1-t) = \frac{1-s^2}4$):

$$
B(x,x) = \int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{1-s^2}{4}\Bigr)^{x-1}
\frac{\dd s}{2}
= 4^{1-x}\int_0^1 (1-s^2)^{x-1}\dd s
$$

(el integrando es par). Después, $s = \sqrt v$ ($\dd s = \frac{\dd
v}{2\sqrt v}$):

$$
B(x,x) = \frac{4^{1-x}}{2}\int_0^1
v^{-1/2}(1-v)^{x-1}\dd v
= 2^{1-2x}\,B\Bigl(\frac12, x\Bigr) .
$$

Para $2x \in \N^*$, todos los argumentos a la vista están en $\frac12\N^*$, así que la fórmula de Euler (pregunta 14) se aplica a ambos miembros:

$$
\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
= 2^{1-2x}\,
\frac{\Gamma\bigl(\frac12\bigr)\Gamma(x)}
{\Gamma\bigl(x+\frac12\bigr)}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Gamma(x)\,\Gamma\Bigl(x+\frac12\Bigr)
= 2^{1-2x}\sqrt\pi\;\Gamma(2x) .
$$

Comprobación directa en $x = n$: el miembro izquierdo vale $(n-1)!\cdot \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n!} = \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n
n}$, y el derecho $2\cdot4^{-n}\sqrt\pi\,(2n-1)! =
\frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n}$: iguales.

**25.** (i) La integración por partes produjo $B(x,y+1) =
\frac yx B(x+1,y)$, la única identidad de la que manan todas las relaciones de descenso, los valores enteros y semienteros y la recurrencia de Wallis. (ii) La convergencia dominada convirtió las integrales elementales $\int_0^n(1-t/n)^n t^{x-1}$ en $\Gamma(x)$ (fórmula de Gauss, pregunta 17) y calculó el límite $a \to \infty$ de la pregunta 21. (iii) Del capítulo de comparación importamos la constante de Euler ($\ln n - H_n \to -\gamma$, pregunta 18) y la asintótica del binomial central (pregunta 19), es decir, la fórmula de Stirling disfrazada. (iv) La fórmula de Euler $B(x,y) =
\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ queda demostrada para $y \in \N^*$ con $x > 0$ arbitrario (pregunta 10) y para todos los pares semienteros (pregunta 14); el caso general $x, y > 0$ espera al cálculo por integral doble del capítulo de integrales múltiples, que factoriza $\Gamma(x)\Gamma(y)$ sobre un cuadrante.