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title: "Formes quadratiques"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques
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# Chapitre 12 — Formes quadratiques

Une [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) est l’ombre algébrique d’une géométrie : les parties de signature nulle aplatissent, les parties positives courbent dans un sens, les négatives dans l’autre. Ce chapitre réduit toute [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) réelle à une somme de carrés $\pm$ (Gauss), prouve que les nombres de signes sont intrinsèques (Sylvester), puis couronne la géométrie euclidienne par le *théorème spectral* : les [endomorphismes symétriques](#def-b2-quadratic-adjoint) se diagonalisent dans des bases orthonormées — le théorème le plus utilisé de l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) linéaire appliquée.

## 12.1 Formes bilinéaires et quadratiques

**Définition 12.1.**

Une *forme bilinéaire [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint)* sur un espace vectoriel réel $E$ est une application bilinéaire $\varphi \colon E \times E \to
\R$ vérifiant $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; la *forme quadratique* associée est $q(x) =
\varphi(x, x)$. On retrouve $\varphi$ à partir de $q$ par *polarisation* :

$$
\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).
$$

Dans une base $(e_i)$, la *matrice* de $\varphi$ est la matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) $B = (\varphi(e_i, e_j))$, avec $q(x) = X^{\mathsf T} B
X$ ; un changement de base de matrice $P$ remplace $B$ par $P^{\mathsf T} B P$ (*congruence* — et non similitude !). Le *rang* de $q$ est $\operatorname{rk} B$ (invariant : la congruence multiplie par des matrices inversibles).

**Exemple 12.2.**

Sur $\R^2$ : $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ a pour matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$. Un produit scalaire est exactement une forme bilinéaire [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) dont la [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) est définie positive ; ce chapitre étudie le cas général, de signe indéfini.

**Exemple 12.3 (La congruence en action).**

Prenons $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (de matrice $B = \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$) et la nouvelle base $e_1' = (1, 1)$, $e_2' = (1, -1)$, c’est-à-dire $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &
-1\end{pmatrix}$. Alors

$$
P^{\mathsf T}BP
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :
$$

dans les coordonnées $(u, v)$ selon la nouvelle base, $q = 6u^2 -
2v^2$ — vérification : $x = u + v$, $y = u - v$ donne directement $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$. Remarquons que les nouveaux coefficients diagonaux $6, -2$ ne sont *pas* les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ de $B$ : la [congruence](#def-b2-quadratic-def) redimensionne, seule la similitude préserve les [spectres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) — mais les signes coïncident, comme l’exige le théorème de Sylvester. (La base est ici orthogonale mais non orthonormée ; la normaliser par $\frac{1}{\sqrt2}$ diviserait la diagonale par $2$ et redonnerait les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen).)

**Exemple 12.4 (Les déterminants de Gram mesurent une aire).**

Pour $v_1, v_2$ dans un espace euclidien, la matrice de Gram $G =
\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ encode les longueurs et l’angle ; son [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) encode l’*aire* :

$$
\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2
= \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr)
= \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,
$$

l’aire au carré du parallélogramme construit sur $v_1, v_2$ — et Cauchy–Schwarz n’est autre que l’énoncé $\det G \geq 0$. Cas concret : $v_1 = (1, 2, 2)$, $v_2 = (2, 1, -2)$ dans $\R^3$ :

$$
G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix},
\qquad
\det G = 81 :
$$

les vecteurs sont orthogonaux, de longueur $3$, et engendrent un parallélogramme (ici un carré) d’aire $\sqrt{81} = 9$. Éclairage final : aucun produit vectoriel ni magie propre à la dimension $3$ n’a été utilisé — $\sqrt{\det G}$ mesure le volume $k$-dimensionnel en *toute* dimension, point de départ de la partie I du problème du week-end et des intégrales d’aire de surface plus loin dans ce volume.

## 12.2 Réduction de Gauss et inertie de Sylvester

**Théorème 12.5 (Réduction de Gauss).**

Toute [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) $q$ sur un espace réel de dimension finie peut s’écrire

$$
q = \sum_{i=1}^{s} \ell_i^2 - \sum_{j=1}^{t} m_j^2 ,
$$

où $\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t$ sont des formes linéaires linéairement indépendantes ; de manière équivalente, une certaine base rend la matrice de $q$ diagonale, à coefficients $+1$ ($s$ fois), $-1$ ($t$ fois), $0$.

**Démonstration.** Récurrence sur le nombre de variables, en coordonnées : $q(x_1,
\dots, x_n)$.

*Cas 1 : un carré apparaît*, disons que le coefficient $a$ de $x_1^2$ est non nul. On regroupe tous les termes en $x_1$ et on complète le carré :

$$
q = a\Bigl(x_1 + \frac{1}{a}\,\lambda(x_2, \dots,
x_n)\Bigr)^{\!2} + q_1(x_2, \dots, x_n),
$$

où $\lambda$ est linéaire et $q_1$ quadratique en les variables restantes : une forme indépendante s’est détachée (elle fait intervenir $x_1$, les autres non), la récurrence s’applique à $q_1$, et les signes $\pm$ proviennent du signe de $a$ après redimensionnement par $\sqrt{\abs a}$.

*Cas 2 : aucun carré, mais un terme croisé*, disons $b\,x_1x_2$ avec $b \neq 0$. On utilise l’identité

$$
x_1x_2 = \tfrac14\bigl((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\bigr)
$$

après regroupement : en écrivant $q = b\,x_1x_2 + x_1\alpha +
x_2\beta + q_2$ (avec $\alpha, \beta, q_2$ en les autres variables), on vérifie

$$
q = \frac{b}{4}\Bigl[\Bigl(x_1 + x_2 + \frac{\alpha +
\beta}{b}\Bigr)^{2} - \Bigl(x_1 - x_2 + \frac{\beta -
\alpha}{b}\Bigr)^{2}\Bigr] + \widetilde q ,
$$

avec $\widetilde q$ ne dépendant pas de $x_1, x_2$ : deux formes indépendantes se détachent, et la récurrence conclut.

Indépendance des formes collectées : ordonnons les paquets dans l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de production. Les formes du premier paquet contiennent $x_1$ (cas 1) ou $x_1, x_2$ (cas 2) ; toutes les formes suivantes ne dépendent pas de ces variables. Supposons qu’une combinaison linéaire de toutes les formes collectées s’annule. En lisant le coefficient de $x_1$ (et de $x_2$) : seul le premier paquet contribue, et à l’intérieur de ce paquet la ou les deux formes sont manifestement indépendantes ($\ell$ seule ; ou $\ell \pm m$ avec $\ell, m$ indépendantes) : les coefficients du premier paquet s’annulent. On retire le paquet et on recommence : par récurrence le long des paquets, tous les coefficients s’annulent — la famille tout entière est libre, la triangularité rendue explicite. ∎

**Théorème 12.6 (Loi d’inertie de Sylvester).**

Le couple $(s, t)$ du [Théorème 12.5](#thm-b2-quadratic-gauss) ne dépend que de $q$, pas de la réduction : c’est la *signature* de $q$. De plus

$$
s = \max\{\dim F : q|_F \text{ définie positive}\},
$$

et symétriquement pour $t$.

**Démonstration.** Soit $q = \sum_{i \leq s}\ell_i^2 - \sum_{j\leq t} m_j^2$ et soit $F_+$ le sous-espace engendré par les vecteurs (pré-)duaux sur lesquels $(\ell_i)$ se restreignent en coordonnées — concrètement : on complète la famille indépendante $(\ell_1, \dots,
\ell_s, m_1, \dots, m_t)$ en une base du [dual](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-dual) $E^*$, et on note $(u_1, \dots, u_n)$ la base de $E$ dont ce sont les formes coordonnées (la base pré-duale : $\ell_i(u_k) = \delta_{ik}$ pour $k
\leq s$, et les formes suivantes s’annulent sur les vecteurs précédents). Posons $F_+ = \operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_s)$ : pour $x = \sum_{i\leq s}x_iu_i \in F_+$,

$$
\ell_i(x) = x_i,
\qquad m_j(x) = 0,
\qquad\text{donc}\qquad
q(x) = \sum_{i\leq s}x_i^2 > 0 \quad (x \neq 0) :
$$

$q|_{F_+}$ est définie positive et le maximum de la formule est $\geq s$. Réciproquement, soit $F$ un sous-espace quelconque tel que $q|_F$ soit définie positive, et $G = \{x : \ell_1(x) = \dots =
\ell_s(x) = 0\}$, de codimension $\leq s$ ; sur $G$, $q(x) = -\sum
m_j^2 \leq 0$. Alors $F \cap G = \{0\}$ (un vecteur non nul y vérifierait $q > 0$ et $q \leq 0$), donc $\dim F \leq \dim E - \dim
G \leq s$. Ainsi le maximum vaut $s$ pour *toute* réduction : $s$ est intrinsèque, et $t = \operatorname{rk} q - s$ de même. ∎

**Exemple 12.7.**

$q(x, y, z) = xy + yz + zx$ (aucun carré). Avec $x_1 = x$, $x_2 =
y$ : $q = xy + z(x + y)$, et l’identité des deux carrés donne

$$
q = \tfrac14(x + y + 2z)^2 - \tfrac14(x - y)^2 - z^2 ,
$$

(développer pour vérifier). Trois formes indépendantes : signature $(1, 2)$, rang $3$. Une direction positive, deux négatives : la géométrie en « cône de lumière » de cette forme.

**Exemple 12.8 (Une forme dégénérée, réduite complètement).**

$q(x, y, z) = xy + yz$ sur $\R^3$ : aucun carré, donc cas 2 avec le regroupement $q = y(x + z)$. L’identité des deux carrés sur le produit des formes indépendantes $y$ et $x + z$ :

$$
q = \frac14\bigl(y + x + z\bigr)^2 -
\frac14\bigl(y - x - z\bigr)^2 .
$$

Les deux formes linéaires $y + x + z$ et $y - x - z$ sont indépendantes (leur différence est $2(x+z)$, leur somme $2y$), donc Sylvester se lit directement : signature $(1, 1)$, rang $2$ — *dégénérée*. Le noyau de la forme polaire s’obtient en résolvant $\varphi(v, \cdot) = 0$ : avec la matrice $\frac12\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$, le noyau est $\{y = 0,\ x + z = 0\} = \R\,(1, 0, -1)$, la direction selon laquelle $q$ ne voit rien. Éclairage final : le défaut de rang se manifeste dans Gauss comme un « manque de variables » — la réduction n’a produit que deux carrés sur trois dimensions, et la dimension manquante est exactement le noyau.

**Exemple 12.9 (Une forme, deux chemins vers la signature).**

$q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz$, de matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$. *Chemin 1, Gauss :* on complète les carrés dans l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated),

$$
q = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32 y^2 + 2yz + 2z^2
= 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2}
+ \frac32\Bigl(y + \frac{2z}{3}\Bigr)^{\!2} + \frac43 z^2 :
$$

trois carrés positifs sur des formes indépendantes, signature $(3,
0)$ : définie positive. *Chemin 2, [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) :* la matrice est la tridiagonale $2I + N$ où $N$ est la matrice des voisins ; ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont $2 + \sqrt2$, $2$, $2 - \sqrt2$ (vérifier les vecteurs propres $(1, \pm\sqrt2, 1)$ et $(1, 0, -1)$), toutes positives : même verdict, d’après le [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes). Gauss est plus rapide ; les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) en disent plus (elles donnent les axes principaux et les valeurs extrêmes de $q$ sur la sphère). Éclairage final : les pivots positifs $2, \frac32, \frac43$ de Gauss sont exactement les rapports $\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}$ des mineurs principaux dominants ($\Delta_1 = 2$, $\Delta_2 = 3$, $\Delta_3 = 4$) — le problème du week-end le prouve en toute généralité.

**Méthode 12.10 (Calculer une signature : trois voies).**

1. *Gauss* (marche toujours, le plus rapide à la main) : compléter les carrés dans l’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) , cas 2 lorsqu’aucun carré n’est disponible ; compter les signes. Vérifier que les formes linéaires collectées sont indépendantes — moins de formes que de variables signale un noyau ( [Exemple 12.8](#ex-b2-quadratic-degenerate) ).
2. *Mineurs dominants* (pour les tests de définitude) : tous les $\Delta_k > 0$ ssi définie positive ( [Exercice 12.8](#exo-b2-quadratic-8) ) ; les pivots $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ donnent même les coefficients de Gauss (problème du week-end). Échoue silencieusement si un $\Delta_k = 0$ : revenir à la voie 1.
3. *[Valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen)* (le plus informatif, le plus coûteux) : signes du [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) ( [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ) ; fournit aussi les axes principaux et les valeurs extrêmes de $q$ sur la sphère unité. À privilégier lorsque la structure propre est de toute façon nécessaire.

## 12.3 Le théorème spectral

Soit désormais $E$ euclidien (produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$, volume de l’année 1).

**Définition 12.11 (Adjoint ; endomorphismes symétriques).**

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$, l’*adjoint* $u^*$ est l’unique endomorphisme vérifiant

$$
\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle
\qquad (x, y \in E);
$$

dans une base orthonormée, $\operatorname{Mat}(u^*) =
\operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$. On dit que $u$ est *symétrique* (auto-adjoint) lorsque $u^* = u$ — de manière équivalente, sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

**Existence et unicité de l’adjoint.** Pour $y$ fixé, la forme $x \mapsto \langle u(x), y\rangle$ est linéaire, donc (dimension finie) de la forme $\langle x,
z_y\rangle$ pour un unique $z_y$ — l’application $y \mapsto z_y =:
u^*(y)$ étant linéaire par unicité. L’identification matricielle : $\langle u(e_i), e_j\rangle$ lu dans les deux sens. ∎

**Exemple 12.12 (L’adjoint dépend du produit scalaire).**

Sur $\R^2$, prenons le produit scalaire *pondéré* $\langle x,
y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (de matrice $D =
\operatorname{diag}(1,2)$) et $u$ de matrice $A =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique. À partir de $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf
T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ et de $\langle x,
u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$, la matrice de l’[adjoint](#def-b2-quadratic-adjoint) est

$$
A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D
= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix}
\neq A^{\mathsf T} .
$$

Vérification sur $x = (1,0)$, $y = (0,1)$ :

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D
= \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;
$$

sur $x = (0,1)$, $y = (1,0)$ :

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D =
\langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .
$$

Éclairage final : « $\operatorname{Mat}(u^*)
= \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ » est un énoncé sur les bases *orthonormées* uniquement ; en général la métrique $D$ intervient, exactement comme dans la réduction simultanée du problème du week-end.

**Théorème 12.13 (Théorème spectral).**

Soit $u$ un [endomorphisme symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) d’un espace euclidien $E$. Alors $E$ possède une *base orthonormée de vecteurs propres* de $u$ ; toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont réelles, et les sous-espaces propres associés à des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) distinctes sont orthogonaux. Forme matricielle : toute matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) réelle $A$ s’écrit

$$
A = P\,D\,P^{\mathsf T},
\qquad P \text{ orthogonale } (P^{\mathsf T} P = I),\ D
\text{ diagonale}.
$$

**Démonstration.** *Existence d’un vecteur propre.* La fonction $x \mapsto \langle
u(x), x\rangle$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur la sphère unité $S$ de $E$, qui est compacte (dimension finie, [Théorème 5.13](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#thm-b2-nvs-finitedim)) : elle atteint son maximum $\lambda$ en un point $a \in S$. Montrons que $u(a) = \lambda a$. Pour tout $y \perp a$ avec $\norm y = 1$ et $t
\in \R$, le vecteur $x_t = \frac{a + ty}{\sqrt{1 + t^2}}$ est sur $S$ ($\norm{a + ty}^2 = 1 + t^2$ par Pythagore) ; en développant la fonction maximisée,

$$
g(t) = \langle u(x_t), x_t\rangle
= \frac{\langle u(a), a\rangle + 2t\langle u(a), y\rangle +
t^2\langle u(y), y\rangle}{1 + t^2}
$$

(la symétrie de $u$ a fusionné les deux termes croisés : $\langle
u(a), y\rangle = \langle a, u(y)\rangle = \langle u(y), a\rangle$). $g$ est une fonction dérivable de $t$ ayant un maximum en $t = 0$ ; la règle de dérivation d’un quotient en $0$ donne

$$
g'(0) = \frac{2\langle u(a), y\rangle\cdot 1 - \langle u(a),
a\rangle\cdot 0}{1} = 2\langle u(a), y\rangle = 0 .
$$

Ainsi $u(a)$ est orthogonal à l’hyperplan $a^\perp$ tout entier : $u(a) \in (a^{\perp})^{\perp} = \R a$, c’est-à-dire $u(a) = \mu a$ ; et $\mu = \langle u(a), a\rangle = \lambda$.

*Récurrence.* Le supplémentaire orthogonal $F = a^\perp$ est $u$-stable : pour $x \perp a$, $\langle u(x), a\rangle = \langle x,
u(a)\rangle = \lambda\langle x, a\rangle = 0$. La restriction $u|_F$ est [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) pour le produit scalaire induit ; par récurrence sur la dimension, $F$ possède une base orthonormée de vecteurs propres ; on préfixe $a$.

*Compléments.* Les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont les nombres réels $\langle u(e), e\rangle$ sur la base propre. Orthogonalité des sous-espaces propres : $u(x) = \lambda x$, $u(y) = \mu y$ donnent $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x,
u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$, donc $\langle x, y\rangle =
0$ lorsque $\lambda \neq \mu$. Forme matricielle : les colonnes de $P$ = la base orthonormée de vecteurs propres. ∎

**Exemple 12.14 (Un calcul spectral complet).**

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 &
1\end{pmatrix}$. [Polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-charpoly) $(1 - \lambda)^2 -
4$ : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $3$ et $-1$. Vecteurs propres : $(A - 3I)v = 0$ donne $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ; $(A + I)v = 0$ donne $v_2
= \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ — orthogonaux, comme le [Théorème 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral) le garantit sans calcul. Avec $P =
(v_1\ v_2)$ (une rotation d’angle $\frac\pi4$) :

$$
P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix},
\qquad
x^2 + 4xy + y^2 = 3u^2 - v^2
\quad\text{dans le repère tourné} .
$$

Ainsi la forme de l’[Exercice 12.1](#exo-b2-quadratic-1) est une forme de type hyperbolique : signature $(1,1)$, cohérente avec sa [réduction de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) $(x + 2y)^2 - 3y^2$ — des carrés différents, la même signature, comme l’exige Sylvester. Éclairage final : Gauss a donné la réponse plus vite, mais la voie spectrale signale aussi que sur le cercle unité $q$ parcourt exactement $\intcc{-1}{3}$, atteint le long de $v_2$ et $v_1$ : le travail supplémentaire achète de la géométrie.

**Corollaire 12.15 (Axes principaux ; tests de positivité).**

1. Toute [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) $q$ sur un espace euclidien se diagonalise dans une base *orthonormée* : $q(x) =  \sum_i \lambda_i x_i^2$ où les $\lambda_i$ sont les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de la matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) de $q$ ; la signature compte les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) positives et négatives.
2. Une matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) est semi-définie positive (resp. définie positive) ssi toutes ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont $\geq  0$ (resp. $> 0$) ; et alors les valeurs extrêmes du quotient de Rayleigh sont $$\min_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\min},  \qquad  \max_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\max} .$$

**Démonstration.** (1) Écrivons $q(x) = \langle A x, x\rangle$ avec $A$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) (la matrice de $q$ dans une base orthonormée) ; diagonalisons $A$ par le théorème spectral : pour $x = \sum x_ie_i$ dans la base propre orthonormée,

$$
q(x) = \Bigl\langle \sum_i \lambda_ix_ie_i,\ \sum_j
x_je_j\Bigr\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2
$$

(l’orthonormalité tue les termes croisés). Les signes $\pm$ des $\lambda_i$ comptent la signature d’après Sylvester : redimensionner chaque coordonnée par $\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ exhibe une [réduction de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) à formes indépendantes.

(2) Dans la base propre, $\langle Ax, x\rangle = \sum \lambda_i
x_i^2$, encadré entre $\lambda_{\min}\norm x^2$ et $\lambda_{\max}\norm x^2$, avec égalité aux vecteurs propres correspondants ; la positivité de toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) équivaut donc à la positivité de la forme. ∎

**Exemple 12.16.**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $3$ (vecteur propre $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$) et $1$ ($\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$). La [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) $2x^2 + 2xy + 2y^2$ devient $3X^2 + Y^2$ dans le repère orthonormé tourné : les axes principaux d’une ellipse, calculés. La [réduction de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) atteint elle aussi une forme diagonale, mais seul le théorème spectral l’atteint *sans distordre les longueurs*.

**Exemple 12.17 (Une ellipse entièrement identifiée).**

Quelle courbe est $5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6$ ? La matrice $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$ a pour [polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-charpoly) $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda -
6)$ : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $1$ et $6$, toutes deux positives — une ellipse. Vecteurs propres orthonormés : pour $\lambda = 1$, on résout $\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}v = 0$ : $v_1 =
\frac{1}{\sqrt5}(1, -2)$ ; pour $\lambda = 6$ : $v_2 =
\frac{1}{\sqrt5}(2, 1)$. Dans les coordonnées tournées $(X, Y)$ selon $(v_2, v_1)$ l’équation devient

$$
6X^2 + Y^2 = 6,
\qquad\text{c.-à-d.}\qquad
X^2 + \frac{Y^2}{6} = 1 :
$$

demi-axes $1$ (selon $v_2$) et $\sqrt6$ (selon $v_1$). Éclairage final : l’allure grossière était gratuite — $\det
= 6 > 0$ et une trace positive annoncent une ellipse avant tout calcul de vecteur propre — mais seul le théorème spectral livre les directions et longueurs des axes, c’est-à-dire la géométrie réelle.

**Exemple 12.18 (Extrema sur la sphère, lus sur le spectre).**

Quelles sont les valeurs extrêmes de $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ sur la sphère unité ? Sa matrice (celle dont la partie hors-diagonale ne contient que des uns, de l’[Exercice 12.2](#exo-b2-quadratic-2)) a pour [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $2$ et $-1$ (double), donc d’après le [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) (2) :

$$
\max_{\norm v = 1} q(v) = 2
\ \text{ en } v = \tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),
\qquad
\min_{\norm v = 1} q(v) = -1
\ \text{ sur le cercle } x + y + z = 0 .
$$

Aucun calcul différentiel, aucun multiplicateur de Lagrange : le théorème spectral résout d’emblée cette optimisation sous contrainte — et exhibe le maximiseur. Éclairage final : comparer avec la méthode des multiplicateurs du chapitre de calcul différentiel, qui trouve les mêmes points critiques au prix de plus de travail ; pour des objectifs *quadratiques* sur des sphères, les [spectres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont la voie royale (le problème du week-end du chapitre hermitien construit toute la théorie de Courant–Fischer sur cette observation).

**Remarque 12.19 (Pièges classiques).**

*(i) La [congruence](#def-b2-quadratic-def) n’est pas la similitude :* un changement de base pour une forme agit par $P^{\mathsf T}BP$, non par $P^{-1}BP$ ; les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) ne sont *pas* des invariants d’une [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) ($I$ et $4I$ sont congruentes via $P = 2I$) — seuls leurs signes le sont (Sylvester). Ne parler des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) d’une forme qu’une fois un produit scalaire fixé. *(ii) Des coefficients positifs ne prouvent rien :* $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2
& 1\end{pmatrix}$ a tous ses coefficients positifs et pourtant une signature $(1,1)$ ($\det = -3$) ; réciproquement une matrice définie positive peut avoir des coefficients hors-diagonaux négatifs (l’[Exemple 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads) décalé : $2I - N$ convient tout autant). Utiliser la [Méthode 12.10](#met-b2-quadratic-signature). *(iii) Carrés dépendants :* écrire $q = \ell_1^2 - \ell_2^2$ ne dit rien si $\ell_1, \ell_2$ sont proportionnelles — $x^2 + 2xy + y^2 =
(x+y)^2$ est de rang $1$, non $2$ ; toujours vérifier l’indépendance avant de lire la signature. *(iv) Extrema sur la sphère sans compacité :* les bornes de Rayleigh du [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) sont atteintes parce que la sphère est compacte ; sur la boule ouverte ou l’espace entier, une forme indéfinie n’a ni maximum ni minimum.

**Remarque 12.20 (Où cela sert).**

Le théorème spectral est le résultat le plus exporté de ce livre : la statistique s’en sert pour diagonaliser les matrices de covariance (analyse en composantes principales), la mécanique en extrait les modes propres d’oscillation (la réduction simultanée du problème du week-end), l’analyse numérique y bâtit les décompositions de Cholesky et en valeurs singulières (le même problème), et le chapitre suivant le transporte aux espaces hermitiens complexes. Le volume de l’année 3 en prouve l’avatar en dimension infinie pour les opérateurs [auto-adjoints](#def-b2-quadratic-adjoint) [compacts](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact), où l’argument de compacité de la preuve en dimension finie devient toute l’histoire.

**Remarque 12.21 (Perspectives au sein de ce volume).**

Les [formes quadratiques](#def-b2-quadratic-def) traversent le reste du livre 4 sous trois déguisements. En tant que *hessiennes* : le chapitre de calcul différentiel classe les points critiques par la signature de la forme du second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated), si bien que l’invariance de Sylvester est ce qui donne un sens précis au mot « selle ». En tant qu’*énergies* : les oscillateurs du chapitre d’équations différentielles portent l’énergie quadratique $\frac12x'^2 +
\frac12\omega^2x^2$, et la réduction simultanée du problème du week-end de ce chapitre est exactement l’extraction des modes propres. En tant que *géométrie* : les coniques de ce chapitre grandissent en les surfaces quadriques des chapitres de géométrie, où la seconde forme fondamentale d’une surface — une [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) sur chaque plan tangent — a une signature qui décide si la surface courbe comme un bol ou comme une selle. Le chapitre hermitien, ensuite, rejoue toute la partition sur $\C$.

## 12.4 Exercices

**Exercice 12.1 ★.**

Réduire par Gauss et donner le rang et la signature :

$$
q_1(x,y) = x^2 + 4xy + y^2,
\qquad
q_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz .
$$

**Solution de Exercice 12.1.**

$q_1 = (x + 2y)^2 - 3y^2$ : rang $2$, signature $(1, 1)$ (une forme de type hyperbolique).

$q_2$ : on complète le carré en $x$ : $q_2 = (x + y)^2 + y^2 + 2yz +
3z^2 = (x+y)^2 + (y + z)^2 + 2z^2$ : rang $3$, signature $(3, 0)$ — définie positive.

**Exercice 12.2 ★.**

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ([valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) issues du calcul du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction) ; rendre maintenant la base orthonormée) et réduire la forme $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ à ses axes principaux.

**Solution de Exercice 12.2.**

[Valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $2$ (sur $\operatorname{Vect}(1,1,1)$) et $-1$ (sur le plan $x + y + z = 0$). Orthonormalisation : $e_1 =
\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ ; dans le plan, Gram–Schmidt sur $(1,-1,0),
(1,0,-1)$ donne $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$, $e_3 =
\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$. Alors $P = (e_1\ e_2\ e_3)$ est orthogonale avec $P^{\mathsf T}AP = \operatorname{diag}(2,-1,-1)$.

La forme $q = 2xy + 2yz + 2zx$ a pour matrice $A$ : dans les coordonnées tournées $q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$ — axes principaux ; signature $(1,2)$, en accord avec l’[Exemple 12.7](#ex-b2-quadratic-gaussexample) (la même forme !).

**Exercice 12.3 ★.**

Prouver que $u^{**} = u$, $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$, et que $\ker u^* = (\operatorname{im} u)^{\perp}$. En déduire $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$.

**Solution de Exercice 12.3.**

$u^{**} = u$ : $\langle u^{**}x, y\rangle = \langle x, u^*y\rangle =
\langle ux, y\rangle$ pour tout $y$. $(uv)^* = v^*u^*$ : $\langle
uvx, y\rangle = \langle vx, u^*y\rangle = \langle x,
v^*u^*y\rangle$. Noyau : $y \in \ker u^* \iff \langle x, u^*y
\rangle = 0\ \forall x \iff \langle u(x), y\rangle = 0\ \forall x
\iff y \perp \operatorname{im} u$. Rangs : $\dim\ker u^* = n -
\operatorname{rk} u$ (supplémentaire orthogonal), donc $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ par le théorème du rang — l’avatar euclidien du théorème sur le rang de la [transposée](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-transpose).

**Exercice 12.4 ★★.**

Soit $A$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) réelle telle que $A^3 = A$. Prouver que $A^2$ est la matrice d’une projection orthogonale. Plus généralement, relier les décompositions spectrales de $A$ et de $P(A)$ pour un polynôme $P$.

**Solution de Exercice 12.4.**

Spectral : $A = PDP^{\mathsf T}$, $D$ diagonale à coefficients $\lambda_i$ vérifiant $\lambda_i^3 = \lambda_i$ : $\lambda_i \in
\{-1, 0, 1\}$. Alors $A^2 = PD^2P^{\mathsf T}$ avec $D^2$ diagonale à coefficients $0/1$ : $A^2$ est [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) et idempotente ($(A^2)^2 = A^4 = A\cdot A^3 = A^2$) — [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) idempotente $=$ projection orthogonale (c’est la projection sur $\ker(A^2 - I) = \ker(A-I)\oplus\ker(A+I)$ parallèlement à $\ker A$, et ceux-ci sont orthogonaux par le théorème spectral).

En général, $P(A) = P\!\left(\text{diag}\right)$ : $P(A)$ a les mêmes vecteurs propres, pour [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $P(\lambda_i)$ — l’« image spectrale » au niveau [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag).

**Exercice 12.5 ★★.**

Prouver que $O(n) = \{P : P^{\mathsf T}P = I\}$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n(\R)$ *(fermée : image réciproque de $\{I\}$ par une application [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ; bornée : les colonnes sont des vecteurs unitaires)*. Est-elle [connexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-connected) ?

**Solution de Exercice 12.5.**

Fermé : $O(n) = g^{-1}(\{I\})$ pour l’application [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $g(P) =
P^{\mathsf T}P$ (coefficients polynomiaux). Borné : chaque colonne de $P \in O(n)$ est un vecteur unitaire, donc tous les coefficients sont dans $\intcc{-1}{1}$. Fermé et borné dans $\mathcal{M}_n(\R)
\simeq \R^{n^2}$ : [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) ([Théorème 4.16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-compactprops) (2)).

Non [connexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-connected) : $\det$ prend les deux valeurs $\pm1$ sur $O(n)$, et une surjection [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\{-1, 1\}$ scinde l’espace (l’argument de l’[Exemple 4.28](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ex-b2-metric-glnr)).

**Exercice 12.6 ★★.**

(Racine carrée) Soit $A$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive. Construire une matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive $B$ telle que $B^2 = A$, et prouver qu’elle est *unique* *(existence : prendre les racines carrées des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) dans une base spectrale ; unicité : un candidat $B$ commute avec $A = B^2$, donc préserve ses sous-espaces propres — se ramener au cas scalaire sur chacun)*.

**Solution de Exercice 12.6.**

*Existence :* $A = PDP^{\mathsf T}$ avec $D =
\operatorname{diag}(\lambda_i)$, $\lambda_i \geq 0$ ; posons $B =
P\sqrt D P^{\mathsf T}$ avec $\sqrt D =
\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})$ : [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint), semi-définie positive, $B^2 = A$.

*Unicité :* soit $B$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive avec $B^2
= A$. $B$ commute avec $A$ ; donc $B$ préserve chaque sous-espace propre $E_\lambda(A)$ (pour $Ax = \lambda x$ : $A(Bx) = BAx =
\lambda Bx$). Sur $E_\lambda(A)$, la restriction de $B$ est [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive de carré $\lambda\,\mathrm{id}$ ; ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\mu$ vérifient $\mu^2 = \lambda$, $\mu \geq 0$ : $\mu = \sqrt\lambda$ — donc la restriction, étant [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag) de seule [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt\lambda$, *est* $\sqrt\lambda\,\mathrm{id}$. Comme $E = \bigoplus E_\lambda(A)$, $B$ est déterminée : $B = \sqrt A$.

**Exercice 12.7 ★★.**

Pour $A$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) réelle, prouver que $\vertiii{A}_2 :=
\sup_{\norm x_2 = 1}\norm{Ax}_2 = \max_i \abs{\lambda_i}$ (rayon spectral), et calculer $\vertiii{A}_2$ pour $A =
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$.

**Solution de Exercice 12.7.**

Dans une base propre orthonormée, $\norm{Ax}_2^2 = \sum \lambda_i^2
x_i^2 \leq (\max_i \lambda_i^2)\norm x_2^2$, avec égalité au vecteur propre correspondant : $\vertiii A_2 = \max\abs{\lambda_i}$. Pour la matrice donnée : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ (la jumelle de l’[Exemple 12.16](#ex-b2-quadratic-spectralexample)) : $\vertiii A_2 = 3$.

**Exercice 12.8 ★★★.**

(Critère de Sylvester) Soit $A$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) réelle de mineurs principaux dominants $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ ([déterminants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) des blocs en haut à gauche). Prouver que $A$ est définie positive si et seulement si tous les $\Delta_k > 0$. *(Pour $\Rightarrow$ : les restrictions d’une forme définie sont définies, et le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) d’une matrice définie positive — le produit de ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) — est positif. Pour $\Leftarrow$ : récurrence sur $n$ ; le bloc $(n-1)$ en haut à gauche est défini positif, diagonaliser la forme sur ce sous-espace et compléter le carré en la dernière variable ; le signe du dernier coefficient diagonal est gouverné par $\det A =
\Delta_n > 0$.)*

**Solution de Exercice 12.8.**

($\Rightarrow$) Le bloc $k \times k$ en haut à gauche $A_k$ est la matrice de la restriction de la forme (définie) au sous-espace engendré par les $k$ premiers vecteurs de base : définie positive, donc ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont positives et $\Delta_k = \det A_k >
0$.

($\Leftarrow$) Récurrence sur $n$ ; $n = 1$ clair. Supposons tous les $\Delta_k > 0$. Par récurrence, $A_{n-1}$ est définie positive : la forme $q$ restreinte à $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_{n-1})$ est définie. Diagonalisons $q|_F$ (Gauss) : coordonnées $y_1, \dots, y_{n-1}$ avec $q|_F = \sum y_i^2$. Dans l’espace entier, en complétant le carré en la dernière variable,

$$
q = \sum_{i=1}^{n-1} \bigl(y_i + c_i x_n\bigr)^2 + c\,x_n^2
$$

pour des constantes convenables (regrouper les termes croisés dans les carrés). La réduction exhibe une signature $(n-1 + \epsilon,
\cdot)$ où $\epsilon$ est la contribution de signe de $c$ ; et le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) conserve le signe du produit des coefficients diagonaux par [congruence](#def-b2-quadratic-def) ($\det(P^{\mathsf T}AP) = (\det P)^2\det A$) : $\Delta_n > 0$ force $c > 0$. Ainsi $q$ est une somme de $n$ carrés de formes indépendantes : définie positive.

**Exercice 12.9 ★★★.**

(Courant–Fischer, deuxième [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen)) Soit $u$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) de [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$. Prouver

$$
\lambda_2 = \min_{\substack{H \text{ hyperplan}}}\;
\max_{\substack{x \in H,\ \norm x = 1}} \langle u(x), x\rangle .
$$

*(Pour $\leq$ : tout hyperplan rencontre le $2$-plan engendré par les deux premiers vecteurs propres. Pour $\geq$ : choisir $H =
(e_1)^{\perp}$.)*

**Solution de Exercice 12.9.**

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base propre orthonormée pour $\lambda_1
\geq \dots \geq \lambda_n$.

*$\lambda_2 \leq$ le min-max :* pour tout hyperplan $H$, le sous-espace $V = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ de dimension $2$ vérifie $\dim(H \cap V) \geq 1$ (Grassmann) : on choisit un $x \in H
\cap V$ unitaire, $x = ae_1 + be_2$, $a^2 + b^2 = 1$ :

$$
\langle u(x), x\rangle = \lambda_1 a^2 + \lambda_2 b^2 \geq
\lambda_2 :
$$

le maximum de tout hyperplan est $\geq \lambda_2$.

*$\geq$ :* pour $H = e_1^{\perp}$, tout $x = \sum_{i\geq2}
x_ie_i \in H$ unitaire vérifie $\langle u(x), x\rangle = \sum_{i
\geq 2} \lambda_i x_i^2 \leq \lambda_2$, atteint en $e_2$ : le maximum de cet hyperplan est exactement $\lambda_2$. Le minimum sur $H$ est donc $\lambda_2$.

**Exercice 12.10 ★★.**

Déterminer le rang et la signature de $q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i
< j} x_ix_j$ sur $\R^n$ ($n \geq 2$), de deux façons : par l’identité algébrique $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ jointe à la restriction de $q$ à l’hyperplan $\sum x_i = 0$ ; et en calculant les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de sa matrice $\frac12(J - I)$, où $J$ est la matrice ne contenant que des uns.

**Solution de Exercice 12.10.**

*Voie algébrique :* $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum
x_i^2$. Sur l’hyperplan $H : \sum x_i = 0$ (dimension $n -
1$), $q = -\frac12\sum x_i^2$ est définie négative ; sur la droite $\R(1, \dots, 1)$, $q(t, \dots, t) = \binom n2 t^2 > 0$. Un sous-espace où $q$ est définie positive rencontre $H$ trivialement, donc est de dimension $\leq 1$ : par Sylvester ([Théorème 12.6](#thm-b2-quadratic-sylvester)), $s = 1$, et $t \geq n-1$ grâce à $H$ ; le rang $\leq n$ force la signature $(1, n-1)$, rang $n$.

*Voie spectrale :* la matrice est $\frac12(J - I)$ ; $J$ a pour [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $n$ (sur $(1,\dots,1)$) et $0$ (sur $H$), donc $\frac12(J-I)$ a pour [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\frac{n-1}{2}$ (une fois) et $-\frac12$ ($n-1$ fois) : une positive, $n-1$ négatives — la même signature, d’après le [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes).

**Exercice 12.11 ★★.**

Soient $A$, $B$ [symétriques](#def-b2-quadratic-adjoint) réelles avec $B$ semi-définie positive. Prouver

$$
\lambda_{\min}(A)\operatorname{tr} B
\;\leq\;
\operatorname{tr}(AB)
\;\leq\;
\lambda_{\max}(A)\operatorname{tr} B .
$$

*(Écrire $B = C^{\mathsf T}C$ et $\operatorname{tr}(AB) =
\sum_i \langle A c_i, c_i\rangle$ sur les colonnes $c_i$ de $C^{\mathsf T}$.)* En particulier $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ lorsque les deux sont semi-définies positives.

**Solution de Exercice 12.11.**

Écrivons $B = C^{\mathsf T}C$ ([Exercice 12.6](#exo-b2-quadratic-6) via $C =
\sqrt B$). Alors, avec $c_1, \dots, c_n$ les colonnes de $C^{\mathsf T}$ :

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AC^{\mathsf T}C)
= \operatorname{tr}(CAC^{\mathsf T})
= \sum_{i=1}^n \langle A c_i, c_i\rangle .
$$

D’après le [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) (2), chaque terme est compris entre $\lambda_{\min}(A)\norm{c_i}^2$ et $\lambda_{\max}(A)\norm{c_i}^2$, et $\sum\norm{c_i}^2 =
\operatorname{tr}(C^{\mathsf T}C)^{\vphantom1} =
\operatorname{tr} B$ : la double inégalité s’ensuit. Si $A$ est aussi semi-définie positive, $\lambda_{\min}(A) \geq 0$ : $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$.

**Exercice 12.12 ★★★.**

Sur $E = \mathcal{M}_n(\R)$, on considère $q(M) =
\operatorname{tr}(M^2)$.

1. Montrer que $q$ est une [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) de forme polaire $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ .
2. Montrer que les matrices [symétriques](#def-b2-quadratic-adjoint) et antisymétriques forment des sous-espaces $\varphi$ -orthogonaux sur lesquels $q$ est respectivement définie positive et définie négative *(calculer $\operatorname{tr}(M^2)$ coefficient par coefficient dans chaque cas)* .
3. Conclure : $q$ a pour signature $\bigl(\frac{n(n+1)}{2},  \frac{n(n-1)}{2}\bigr)$ et rang $n^2$ .

**Solution de Exercice 12.12.**

1. $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ est bilinéaire et [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) ( $\operatorname{tr}(MN) =  \operatorname{tr}(NM)$ ), et $\varphi(M, M) = q(M)$ : $q$ est la [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) de $\varphi$ .
2. Pour $S$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) et $K$ antisymétrique : $\operatorname{tr}(SK) =  \operatorname{tr}\bigl((SK)^{\mathsf T}\bigr) =  \operatorname{tr}(K^{\mathsf T}S^{\mathsf T}) =  -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)$ , donc $\varphi(S, K) = 0$ : les deux sous-espaces sont $\varphi$ -orthogonaux. Coefficient par coefficient, $\operatorname{tr} (M^2) = \sum_{i,j} m_{ij}m_{ji}$ : pour $M$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) cela vaut $\sum m_{ij}^2 > 0$ ( $M \neq 0$ ) ; pour $M$ antisymétrique cela vaut $-\sum m_{ij}^2 < 0$ .
3. $\mathcal M_n(\R) = S_n \oplus A_n$ de dimensions $\frac{n(n+1)}2$ et $\frac{n(n-1)}2$ ; une [réduction de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) adaptée à cette décomposition $\varphi$ -orthogonale écrit $q$ comme $\frac{n(n+1)}2$ carrés positifs et $\frac{n(n-1)}2$ carrés négatifs : signature $\bigl(\frac{n(n+1)}2, \frac{n(n-1)}2\bigr)$ (Sylvester), rang $n^2$ : la forme est non dégénérée.

## 12.5 Problème : Cholesky, Hadamard et la décomposition polaire

**Problème 12.1.**

Le théorème spectral est un microscope ; ce problème l’utilise comme une usine. À partir des matrices de Gram, on fabrique la *factorisation de Cholesky* (et on identifie les pivots de Gauss aux rapports de mineurs), puis on prouve l’*inégalité de Hadamard* sur les [déterminants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det), on construit la *décomposition polaire* $A = QS$ et la *décomposition en valeurs singulières*, on classe les coniques planes, et on termine par la réduction simultanée de deux formes — le théorème derrière les modes propres d’oscillation. Dans tout ce qui suit, $E = \R^n$ muni de son produit scalaire canonique.

**Partie I — Matrices de Gram et Cholesky.** Pour des vecteurs $v_1, \dots, v_n \in E$, leur *matrice de Gram* est $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{i,j}$.

1. Montrer que $G$ est [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive, et définie positive si et seulement si $(v_1, \dots, v_n)$ est linéairement indépendante *(calculer $X^{\mathsf T}GX$)* .
2. Réciproquement, montrer que toute matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive $A$ est une matrice de Gram : $A =  C^{\mathsf T}C$ pour un certain $C$ (utiliser la racine carrée de l’ [Exercice 12.6](#exo-b2-quadratic-6) ), avec $C$ inversible ssi $A$ est définie.
3. En déduire qu’une matrice semi-définie positive $A$ vérifie $\abs{a_{ij}} \leq \sqrt{a_{ii}\,a_{jj}}$ pour tous $i,  j$ *(restreindre à deux coordonnées)* — l’inégalité de Cauchy–Schwarz, relue matriciellement.
4. (Cholesky) Soit $A$ définie positive. Prouver qu’il existe une *unique* matrice triangulaire supérieure $T$ à coefficients diagonaux positifs telle que $$A = T^{\mathsf T}\,T$$ *(existence : appliquer Gram–Schmidt à des vecteurs réalisant $A$ comme matrice de Gram ; unicité : si $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$, montrer que $T_1T_2^{-1}$ est orthogonale et triangulaire à diagonale positive, donc $I$)*.
5. Montrer que les mineurs principaux dominants vérifient $\Delta_k = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$, et en déduire que les pivots produits par la [réduction de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) d’une forme définie positive, dans l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) naturel des variables, sont $$d_k = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}  \qquad (\Delta_0 = 1) :$$ les mineurs du critère de Sylvester ([Exercice 12.8](#exo-b2-quadratic-8)) et les pivots de Gauss sont la même donnée. Vérifier sur l’[Exemple 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads).

**Partie II — [Inégalité de Hadamard](#pb-b2-quadratic-1).**

6. Soit $A$ définie positive. Prouver $$\det A \leq a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}$$ *(normaliser : $B = DAD$ avec $D =  \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ a une diagonale unité ; majorer $\det B = \prod \mu_i$ par l’inégalité arithmético-géométrique face à $\operatorname{tr} B = n$)*.
7. Montrer que l’égalité a lieu ssi $A$ est diagonale.
8. En déduire l’*[inégalité de Hadamard](#pb-b2-quadratic-1)* : pour toute matrice carrée réelle $M$ de colonnes $c_1, \dots, c_n$, $$\abs{\det M} \leq \prod_{i=1}^{n}\norm{c_i}_2 ,$$ avec égalité (pour $M$ inversible) ssi les colonnes sont deux à deux orthogonales *(appliquer les questions 6–7 à $M^{\mathsf T}M$)*.
9. Dividendes géométriques et combinatoires : interpréter la question 8 comme « le volume d’un parallélépipède est au plus le produit de ses longueurs d’arêtes » ; et montrer qu’une matrice dont tous les coefficients sont dans $\intcc{-1}{1}$ vérifie $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ . (Les matrices atteignant cette borne — les matrices de Hadamard — existent pour $n = 1, 2$ et de nombreux multiples de $4$ ; savoir si c’est le cas pour *tous* les multiples de $4$ est un célèbre problème [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) .)

**Partie III — [Décomposition polaire](#pb-b2-quadratic-1) et valeurs singulières.**

10. Soit $A$ inversible. Montrer que $A^{\mathsf T}A$ est définie positive, et que $$S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}  \quad\text{(la racine carrée de l'\text{Exercice 12.6})},  \qquad Q = AS^{-1}$$ donnent une factorisation $A = QS$ avec $Q$ orthogonale et $S$ définie positive.
11. Prouver que cette factorisation d’un $A$ inversible est unique.
12. Étendre l’existence à un $A$ quelconque : choisir $\varepsilon_k \to 0$ tel que $A + \varepsilon_k I$ soit inversible, écrire $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ , et utiliser la compacité de $O(n)$ ( [Exercice 12.5](#exo-b2-quadratic-5) ) pour extraire $Q_k \to Q$ ; montrer que $S_k = Q_k^{\mathsf T}(A + \varepsilon_kI)$ [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) vers une matrice semi-définie positive $S$ avec $A  = QS$ et $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ . Où l’unicité échoue-t-elle pour $A$ singulière ?
13. (Décomposition en valeurs singulières) En déduire que toute matrice carrée réelle $A$ s’écrit $$A = U\,\Sigma\,V^{\mathsf T},  \qquad U, V \in O(n),\quad  \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots,  \sigma_n),\ \sigma_i \geq 0 ,$$ où les $\sigma_i$ (les *valeurs singulières*) sont les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $\sqrt{A^{\mathsf T}A}$.
14. Trois conséquences : $\vertiii{A}_2 = \sigma_{\max}$ pour *toute* matrice réelle $A$ (généralisant l’ [Exercice 12.7](#exo-b2-quadratic-7) ) ; $\abs{\det A} =  \sigma_1\cdots\sigma_n$ ; et l’image de la sphère unité par un $A$ inversible est un ellipsoïde de demi-axes $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ le long des colonnes de $U$ .

**Partie IV — Coniques, par le théorème spectral.** Une conique plane est l’ensemble des zéros de $f(x) = q(x) + \langle
b, x\rangle + c$, avec $q \neq 0$ une [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) de matrice $A$, $b \in \R^2$, $c \in \R$.

15. Réduire $f$ par une rotation (axes principaux, [Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ) suivie d’une translation, et classer les formes possibles non vides et non dégénérées selon la signature de $q$ : ellipse ( $\det A > 0$ ), hyperbole ( $\det A < 0$ ), parabole ( $\det A = 0$ , rang $1$ , avec le terme linéaire non absorbé).
16. Mener la réduction complète pour $$x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y = 4 :$$ coordonnées tournées, équation réduite, nature et centre de la conique.
17. (Coniques à centre) Supposons $\det A \neq 0$. Montrer que le *centre* est $x_0 = -\frac12 A^{-1}b$, et que la [congruence](#def-b2-quadratic-def) par $\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &  1\end{pmatrix}$ de la matrice $3\times3$ $\widetilde Q  = \begin{pmatrix} A & b/2 \\ b^{\mathsf T}/2 &  c\end{pmatrix}$ donne $$\det\widetilde Q = f(x_0)\,\det A :$$ la conique à centre est dégénérée (un point ou deux droites) exactement lorsque $\det\widetilde Q = 0$.
18. Vérifier la question 17 sur l’exemple de la question 16 : calculer $x_0$ , $f(x_0)$ et $\det\widetilde Q$ , et conclure de nouveau que la conique est une hyperbole non dégénérée.
19. (Un faisceau de quadriques) Pour $\lambda \in \R$, classer la surface $$x^2 + y^2 + z^2 + 2\lambda(xy + yz + zx) = 1$$ par les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de sa matrice *(structure ne contenant que des uns : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ et $1 - \lambda$ double)* : sphère/ellipsoïde, cylindre, paire de plans, hyperboloïdes à une et à deux nappes, selon $\lambda$.

**Partie V — Deux formes à la fois : réduction simultanée.**

20. Soit $q$ définie positive et $q'$ une [forme quadratique](#def-b2-quadratic-def) quelconque sur $E$ . Prouver qu’il existe une base de $E$ orthonormée pour $q$ et orthogonale pour $q'$ : dans celle-ci, $q = \sum x_i^2$ et $q' = \sum \mu_i x_i^2$ *(utiliser $q$ comme produit scalaire et appliquer le théorème spectral à l’endomorphisme représentant $q'$)* .
21. Forme matricielle : pour $A$ définie positive et $B$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) , il existe un $P$ inversible avec $P^{\mathsf T}AP = I$ et $P^{\mathsf T}BP =  \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ , où les $\mu_i$ sont les racines de $\det(B - \mu A) = 0$ .
22. La mener complètement pour $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} :$$ les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) généralisées $\mu_\pm$, et des vecteurs diagonalisant les deux formes.
23. Montrer que le caractère défini positif ne peut être abandonné : pour $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$$ aucune base ne diagonalise les deux formes *(si $P$ diagonalisait les deux, $\det(B - \mu A)$ serait scindé à racines réelles ; le calculer)*.
24. Montrer que les $\mu_i$ de la question 21 sont les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A^{-1}B$ , et que $A^{-1}B$ , bien que non [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) en général, est toujours [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag) à [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) réelles *(conjuguer par $\sqrt A$)* .
25. Synthèse. En une phrase chacune : (i) l’unique théorème sur lequel chaque partie s’est appuyée ; (ii) quels résultats des parties I–III survivent pour les matrices *semi* -définies positives, et lesquels exigent la définitude ; (iii) le système physique dont les petites oscillations des questions 20–22 diagonalisent (énergie cinétique et énergie potentielle comme les deux formes), et ce que les $\mu_i$ y signifient.

**Solution de Problème 12.1.**

**1.** $G$ est [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) par symétrie du produit scalaire, et

$$
X^{\mathsf T}GX = \sum_{i,j}x_ix_j\langle v_i, v_j\rangle
= \Bigl\|\sum_i x_iv_i\Bigr\|^2 \geq 0 ,
$$

avec égalité ssi $\sum x_iv_i = 0$ : $G$ est définie ssi la seule combinaison nulle est triviale, c’est-à-dire ssi la famille est indépendante.

**2.** Avec $B = \sqrt A$ ([Exercice 12.6](#exo-b2-quadratic-6)) : $A
= B^2 = B^{\mathsf T}B$, la matrice de Gram des colonnes de $B$ ; prendre $C = B$. Et $X^{\mathsf T}AX = \norm{CX}^2$, donc $A$ est définie ssi $CX \neq 0$ pour $X \neq 0$, ssi $C$ est inversible.

**3.** La restriction de la forme à $\operatorname{Vect}(e_i, e_j)$ a pour matrice $\begin{pmatrix} a_{ii} & a_{ij}\\ a_{ij} & a_{jj}
\end{pmatrix}$, encore semi-définie positive : son [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) (produit de ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) positives ou nulles) est $\geq 0$ : $a_{ij}^2 \leq a_{ii}a_{jj}$. C’est Cauchy–Schwarz pour les vecteurs $v_i, v_j$ d’une réalisation de Gram.

**4.** *Existence :* écrire $A$ comme la matrice de Gram d’une famille indépendante $(v_1, \dots, v_n)$ (questions 1–2). Gram–Schmidt produit une famille orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ avec

$$
v_k = \sum_{i \leq k} t_{ik}\,e_i,
\qquad t_{kk} = \bigl\| v_k - \operatorname{proj}_{k-1}v_k
\bigr\| > 0 ,
$$

donc $T = (t_{ik})$ est triangulaire supérieure à diagonale positive, et

$$
a_{jk} = \langle v_j, v_k\rangle
= \sum_i t_{ij}t_{ik} = (T^{\mathsf T}T)_{jk} .
$$

*Unicité :* si $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$ alors $R = T_1T_2^{-1}$ vérifie $R^{\mathsf T}R = I$ : $R$ est orthogonale, et aussi triangulaire supérieure à diagonale positive (produit de telles matrices). Alors $R^{-1} = R^{\mathsf T}$ est simultanément triangulaire supérieure (inverse d’une supérieure) et inférieure ([transposée](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-transpose) d’une supérieure) : diagonale ; une matrice diagonale orthogonale a des coefficients $\pm1$, et la positivité force $R = I$ : $T_1 = T_2$.

**5.** Pour $i, j \leq k$, $(T^{\mathsf T}T)_{ij} = \sum_m
t_{mi}t_{mj}$ ne fait intervenir que $m \leq \min(i,j) \leq k$ : le bloc $k\times k$ dominant de $A$ est $T_k^{\mathsf T}T_k$ où $T_k$ est le bloc dominant de $T$. Ainsi $\Delta_k = (\det T_k)^2
= (t_{11}\cdots t_{kk})^2$. Or la [réduction de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) d’une forme définie positive dans l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) naturel ne rencontre jamais un coefficient de carré nul (les pivots sont les coefficients diagonaux des blocs définis positifs successivement réduits) : elle produit $q = \sum_k d_k\ell_k^2$ avec $\ell_k = x_k + (\text{termes
en } x_{k+1}, \dots)$, c’est-à-dire $A = L^{\mathsf T}DL$ avec $L$ triangulaire unipotente ; alors $T = \sqrt D\,L$ est un facteur de Cholesky, donc par unicité $t_{kk}^2 = d_k$ et

$$
d_k = \frac{(t_{11}\cdots t_{kk})^2}
{(t_{11}\cdots t_{k-1,k-1})^2}
= \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} .
$$

Sur l’[Exemple 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads) : $\Delta_1, \Delta_2,
\Delta_3 = 2, 3, 4$ et les pivots étaient $2, \frac32, \frac43$.

**6.** Chaque $a_{ii} = e_i^{\mathsf T}Ae_i > 0$. Posons $D =
\operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ et $B = DAD$ : définie positive ([congruence](#def-b2-quadratic-def)), avec $b_{ii} = 1$, donc $\operatorname{tr}
B = n$. Ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\mu_i > 0$ vérifient, par l’inégalité arithmético-géométrique,

$$
\det B = \prod_i\mu_i
\leq \Bigl(\frac{\sum\mu_i}{n}\Bigr)^{\!n} = 1 ,
$$

et $\det B = (\det D)^2\det A = \dfrac{\det A}{\prod
a_{ii}}$ : $\det A \leq \prod a_{ii}$.

**7.** L’inégalité arithmético-géométrique est une égalité ssi tous les $\mu_i$ sont égaux (à $1$) ; une matrice [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) de seule [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $1$ est $PIP^{\mathsf T} = I$. Donc égalité ssi $B = I$ ssi $a_{ij} = 0$ pour $i \neq j$ : $A$ diagonale.

**8.** Si $M$ est singulière, les deux membres sont $\geq 0 =
\abs{\det M}$. Sinon $A = M^{\mathsf T}M$ est définie positive avec $a_{ii} = \norm{c_i}^2$ et $\det A = (\det M)^2$ : la question 6 donne $(\det M)^2 \leq \prod\norm{c_i}^2$. Égalité ssi $A =
M^{\mathsf T}M$ est diagonale (question 7), c’est-à-dire ssi les colonnes sont deux à deux orthogonales.

**9.** $\abs{\det M}$ est le volume du parallélépipède engendré par les colonnes : le volume est au plus le produit des longueurs d’arêtes, avec égalité exactement pour les pavés rectangles. Si $\abs{m_{ij}} \leq 1$ alors $\norm{c_i} \leq \sqrt
n$, donc $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$. (L’atteindre force des colonnes orthogonales à coefficients $\pm1$ : une matrice de Hadamard.)

**10.** $X^{\mathsf T}A^{\mathsf T}AX = \norm{AX}^2 > 0$ pour $X \neq 0$ ($A$ inversible) : $A^{\mathsf T}A$ est définie positive. Sa racine carrée $S$ est définie positive ([valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt{\lambda_i} > 0$), donc inversible, et $Q = AS^{-1}$ vérifie

$$
Q^{\mathsf T}Q = S^{-1}A^{\mathsf T}AS^{-1}
= S^{-1}S^2S^{-1} = I :
$$

$A = QS$ avec $Q$ orthogonale, $S$ définie positive.

**11.** Si $A = QS = Q'S'$ alors $S'^{\,2} =
S'^{\mathsf T}Q'^{\mathsf T}Q'S' = A^{\mathsf T}A = S^2$ ; deux matrices semi-définies positives de même carré coïncident ([Exercice 12.6](#exo-b2-quadratic-6)) : $S' = S$, puis $Q' = AS^{-1} =
Q$.

**12.** $\det(A + \varepsilon I)$ est un polynôme non nul en $\varepsilon$ : il a un nombre fini de racines, donc une suite $\varepsilon_k \to 0$ les évite. Écrire $A + \varepsilon_kI =
Q_kS_k$ (question 10). $O(n)$ est [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) ([Exercice 12.5](#exo-b2-quadratic-5)) : une sous-suite donne $Q_{\varphi(k)}
\to Q \in O(n)$. Alors

$$
S_{\varphi(k)} = Q_{\varphi(k)}^{\mathsf T}
\bigl(A + \varepsilon_{\varphi(k)}I\bigr)
\longrightarrow Q^{\mathsf T}A =: S,
$$

[symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) semi-définie positive comme limite de telles matrices (conditions fermées), et $A = QS$. De plus $S^2 = S^{\mathsf T}S =
A^{\mathsf T}QQ^{\mathsf T}A = A^{\mathsf T}A$, donc $S =
\sqrt{A^{\mathsf T}A}$ par unicité. Pour $A$ singulière, $S$ est singulière et $Q$ n’est pas unique : il peut être modifié arbitrairement sur $(\operatorname{im} S)^{\perp}$ — cas extrême $A = 0$, où tout $Q$ orthogonal convient.

**13.** Diagonaliser $S = P\Sigma P^{\mathsf T}$ (théorème spectral), $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_i)$ avec $\sigma_i \geq 0$ les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $S =
\sqrt{A^{\mathsf T}A}$. Alors

$$
A = QS = (QP)\,\Sigma\,P^{\mathsf T} = U\Sigma V^{\mathsf T},
\qquad U = QP,\ V = P \in O(n) .
$$

**14.** $\norm{Ax}^2 = x^{\mathsf T}S^2x \leq
\sigma_{\max}^2\norm x^2$ avec égalité en un vecteur propre dominant de $S$ : $\vertiii A_2 = \sigma_{\max}$ — pour $A$ [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint), $S = \sqrt{A^2}$ a pour [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\abs{\lambda_i}$, ce qui retrouve l’[Exercice 12.7](#exo-b2-quadratic-7). [Déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) : $\abs{\det A} =
\abs{\det U}\det\Sigma\abs{\det V} = \sigma_1\cdots\sigma_n$. Sphère : en écrivant $x = Vy$ avec $\norm y = 1$, $Ax = U\Sigma y$ a pour coordonnées $z_i = \sigma_iy_i$ dans le repère orthonormé des colonnes de $U$ : l’image est $\{\sum z_i^2/\sigma_i^2 =
1\}$, un ellipsoïde de demi-axes $\sigma_i$.

**15.** Une rotation vers les axes principaux ([Corollaire 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes)) transforme $f$ en $\lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2 + \beta_1X + \beta_2Y + c$, avec $\lambda_1\lambda_2 = \det A$. Si $\det A \neq 0$, absorber les termes linéaires par la translation $X \mapsto X -
\frac{\beta_1}{2\lambda_1}$ (et de même pour $Y$) : $\lambda_1X'^2
+ \lambda_2Y'^2 = c'$. Pour $\det A > 0$ (signes égaux) : une ellipse ($c'$ du bon signe), un point, ou l’ensemble vide. Pour $\det A < 0$ : une hyperbole ($c' \neq 0$) ou deux droites sécantes. Si $\det A = 0$ de rang $1$ (disons $\lambda_2 = 0 \neq
\lambda_1$) : $\lambda_1X'^2 + \beta_2Y + c''$, une parabole lorsque $\beta_2 \neq 0$ ; sinon deux droites parallèles, une droite, ou l’ensemble vide. Formes non dégénérées : ellipse, hyperbole, parabole, gouvernées par le signe de $\det A$.

**16.** La partie quadratique $x^2 + 4xy + y^2$ a pour matrice $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $3$ et $-1$ de directions orthonormées $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$, $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$. Dans les coordonnées tournées $u =
\frac{x+y}{\sqrt2}$, $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ : $x^2 + y^2 = u^2
+ v^2$, $2xy = u^2 - v^2$, donc la forme est $3u^2 - v^2$, et $2x
- 2y = 2\sqrt2\,v$. L’équation devient

$$
3u^2 - v^2 + 2\sqrt2\,v = 4
\quad\Longleftrightarrow\quad
3u^2 - \bigl(v - \sqrt2\bigr)^2 = 2 :
$$

une hyperbole, de centre $(u, v) = (0, \sqrt2)$, c’est-à-dire $(x,
y) = (1, -1)$, d’axes selon le repère tourné.

**17.** $f(x) = (x - x_0)^{\mathsf T}A(x - x_0) + f(x_0)$ dès que $Ax_0 = -\frac b2$, c’est-à-dire $x_0 = -\frac12A^{-1}b$ : le gradient de $f$ s’annule exactement là ($x_0$ est le centre de symétrie). Avec $M = \begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &
1\end{pmatrix}$ :

$$
M^{\mathsf T}\widetilde QM
= \begin{pmatrix}
A & Ax_0 + \frac b2\\[2pt]
\bigl(Ax_0 + \frac b2\bigr)^{\mathsf T} &
x_0^{\mathsf T}Ax_0 + b^{\mathsf T}x_0 + c
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & f(x_0)\end{pmatrix},
$$

et $\det M = 1$ : $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A$. L’équation centrée s’écrit $q(X) = -f(x_0)$ : pour $f(x_0) = 0$ elle dégénère en $q(X) = 0$ (deux droites passant par le centre si la signature est $(1,1)$, le point unique $x_0$ si $q$ est définie) ; pour $f(x_0) \neq 0$ la conique est une véritable ellipse ou hyperbole.

**18.** $A^{-1} = -\frac13\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 &
1\end{pmatrix}$, $\frac b2 = (1, -1)$ : $x_0 =
-A^{-1}\frac b2 = (1, -1)$, comme trouvé à la question 16. $f(x_0) =
q(1,-1) + 2 + 2 - 4 = (1 - 4 + 1) + 0 = -2 \neq 0$, et $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A = (-2)(-3) = 6 \neq 0$ : non dégénérée ; $\det A = -3 < 0$ : une hyperbole — et en effet l’équation centrée $3u^2 - (v - \sqrt2)^2 = -f(x_0) = 2$ correspond à la question 16.

**19.** La matrice est $(1-\lambda)I + \lambda J$ : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ (direction $(1,1,1)$) et $1 -
\lambda$ (double, sur $x + y + z = 0$). Cas :

- $-\frac12 < \lambda < 1$ : toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) positives : un ellipsoïde de révolution autour de $(1,1,1)$ (une sphère pour $\lambda = 0$ ) ;
- $\lambda = 1$ : $q = (x+y+z)^2$ : l’équation donne les deux plans parallèles $x + y + z = \pm1$ ;
- $\lambda = -\frac12$ : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $0, \frac32,  \frac32$ : un cylindre de révolution d’axe $(1,1,1)$ ;
- $\lambda > 1$ : signature $(1, 2)$ : un hyperboloïde à deux nappes ;
- $\lambda < -\frac12$ : signature $(2, 1)$ : un hyperboloïde à une nappe.

**20.** La forme polaire de $q$ est un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ sur $E$. Pour $x$ fixé, $y \mapsto
\varphi'(x, y)$ (forme polaire de $q'$) est linéaire, donc égale $\langle z_x, y\rangle_q$ pour un unique $z_x$ ; $u(x) := z_x$ est linéaire (unicité), et $\langle u(x), y\rangle_q =
\varphi'(x,y) = \varphi'(y,x) = \langle u(y), x\rangle_q$ : $u$ est [symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint) dans l’espace euclidien $(E,
\langle\cdot,\cdot\rangle_q)$. Le théorème spectral ([Théorème 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral)) donne une base propre $q$-orthonormée $(\varepsilon_i)$, $u(\varepsilon_i) =
\mu_i\varepsilon_i$ : dans celle-ci $q(x) = \sum x_i^2$ et $q'(x) =
\langle u(x), x\rangle_q = \sum\mu_ix_i^2$.

**21.** Soit $P$ la matrice de cette base : la [congruence](#def-b2-quadratic-def) donne $P^{\mathsf T}AP = I$ et $P^{\mathsf T}BP =
\operatorname{diag}(\mu_i)$. Alors

$$
\det(B - \mu A) = \det(P^{-\mathsf T})
\det\bigl(\operatorname{diag}(\mu_i) - \mu I\bigr)
\det(P^{-1})
= (\det P)^{-2}\prod_i(\mu_i - \mu) :
$$

les $\mu_i$ sont les racines du faisceau $\det(B - \mu A)$.

**22.** $\det(B - \mu A) =
\det\begin{pmatrix} -2\mu & 1-\mu\\ 1-\mu & -\mu\end{pmatrix}
= 2\mu^2 - (1-\mu)^2 = \mu^2 + 2\mu - 1$ : racines $\mu_\pm = -1
\pm \sqrt2$. En résolvant $(B - \mu_\pm A)v = 0$ : $v_\pm = (1 -
\mu_\pm,\ 2\mu_\pm)$ (l’identité de la deuxième ligne $(1-\mu)^2 =
2\mu^2$ aux racines le confirme). Les $A$-normes se calculent sans peine : $q_A(v_\pm) = 2(1 + \mu_\pm^2)$, et on vérifie $\varphi_A(v_+, v_-) = 0$ en utilisant $\mu_+ + \mu_- = -2$, $\mu_+\mu_- = -1$. La base $\Bigl(\frac{v_+}{\sqrt{2(1 +
\mu_+^2)}}, \frac{v_-}{\sqrt{2(1+\mu_-^2)}}\Bigr)$ est orthonormée pour $A$ et diagonalise $B$ avec coefficients $\mu_\pm$.

**23.** Si un $P$ inversible diagonalisait les deux formes, le calcul de la question 21 donnerait $\det(B - \mu A) = (\det
P)^{-2}\prod(d_{2i} - \mu d_{1i})$, un polynôme réel scindé en facteurs linéaires réels. Mais ici

$$
\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -\mu & 1\\ 1 &
\mu\end{pmatrix} = -\mu^2 - 1 ,
$$

de degré $2$ sans racine réelle : contradiction. (Le $A$ de signature de Lorentz admet des « rotations » pour $B$ sans axes réels.)

**24.** $A^{-1}B = A^{-1/2}\bigl(A^{-1/2}BA^{-1/2}\bigr)
A^{1/2}$ avec $A^{1/2} = \sqrt A$ définie positive ([Exercice 12.6](#exo-b2-quadratic-6)) : $A^{-1}B$ est semblable à la matrice *[symétrique](#def-b2-quadratic-adjoint)* $A^{-1/2}BA^{-1/2}$, donc [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag) à [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) réelles. Et $\det(B - \mu A) = \det A\cdot
\det(A^{-1}B - \mu I)$ : les racines du faisceau $\mu_i$ de la question 21 sont exactement les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A^{-1}B$.

**25.** (i) Chaque partie s’est appuyée sur le théorème spectral : via la racine carrée (Cholesky, polaire), les bornes sur les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) (Hadamard), les axes principaux (coniques), et la version adaptée à $q$ (réduction simultanée). (ii) Les réalisations de Gram, Hadamard et la [décomposition polaire](#pb-b2-quadratic-1) survivent dans le monde semi-défini ; l’unicité de Cholesky, la formule des pivots et la réduction simultanée exigent la définitude (les questions 12 et 23 montrent exactement comment elles échouent). (iii) Petites oscillations couplées : l’énergie cinétique (définie positive) et l’énergie potentielle sont deux [formes quadratiques](#def-b2-quadratic-def) ; la base des questions 20–22 constitue les *modes propres* du système, et les $\mu_i$ sont les carrés des pulsations.