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title: "Calcul différentiel"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel
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# Chapitre 15 — Calcul différentiel

Le calcul à deux variables du volume de Licence 1 mûrit en le calcul différentiel des applications entre espaces normés : la *[différentielle](#def-b2-diffcalc-differential)* comme meilleure approximation linéaire, la règle de la chaîne en toute généralité, le théorème de symétrie de Schwarz *démontré*, les formules de Taylor, et l’analyse complète du second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) des extrema. Le théorème d’inversion locale, couronnement de la théorie, est énoncé avec sa stratégie de démonstration — un point fixe de Banach — rendue explicite.

Dans tout ce chapitre, $U$ est un [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) de $\R^n$ (ou d’un espace normé ; le cas de dimension finie porte toutes les idées), $f \colon U
\to \R^m$.

## 15.1 La différentielle

**Définition 15.1.**

$f$ est *différentiable* en $a$ lorsqu’il existe une application linéaire ([continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)) $\dd f_a \colon \R^n \to
\R^m$ telle que

$$
f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h)
\qquad (h \to 0).
$$

L’application $\dd f_a$, la *différentielle* de $f$ en $a$, est unique ; sa matrice dans les bases canoniques est la *matrice jacobienne* $J_f(a) =
\bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$. La différentiabilité entraîne la continuité et l’existence de toutes les dérivées directionnelles $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv)
- f(a)}{t}$ ; la réciproque est fausse ([Exercice 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)). Pour $m = 1$, $\dd f_a(h) = \langle
\nabla f(a), h\rangle$ : le gradient de Licence 1, désormais compris comme le vecteur représentant la différentielle.

**Théorème 15.2 (Critère C1C^1C1).**

Si toutes les dérivées partielles de $f$ existent sur $U$ et sont [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $a$, alors $f$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en $a$. « $C^1$ sur $U$ » — dérivées partielles [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) — entraîne donc la différentiabilité partout, avec [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity).

**Démonstration.** Composante par composante ($m = 1$ suffit). La démonstration de Licence 1 pour deux variables — déplacer une coordonnée à la fois, appliquer le théorème des accroissements finis à une variable sur chaque segment, et utiliser la continuité des dérivées partielles en $a$ — se généralise mot pour mot à $n$ segments :

$$
f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a +
h^{(j-1)})\bigr)
= \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),
$$

où $h^{(j)}$ fige les $j$ premières coordonnées de $h$ et $\xi_j$ appartient au $j$-ème segment ; la continuité transforme chaque $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ en $\frac{\partial
f}{\partial x_j}(a) + o(1)$, et l’erreur est un $o(\norm h)$. ∎

**Théorème 15.3 (Règle de la chaîne).**

Si $f$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en $a$ et $g$ en $f(a)$, alors $g \circ f$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en $a$ avec

$$
\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a ,
\qquad
J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :
$$

les jacobiennes se multiplient.

**Démonstration.** Écrivons $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ et $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ avec $b = f(a)$, $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$. En substituant,

$$
g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr)
+ \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),
$$

et les deux termes d’erreur sont des $o(\norm h)$ : le premier car $\dd g_b$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) et $\varepsilon_1 \to 0$ ; le second car $\norm k \leq C\norm h$ (application linéaire bornée plus terme petit) et $\varepsilon_2(k) \to 0$ quand $h \to 0$. ∎

**Exemple 15.4 (Fonctions radiales, une fois pour toutes).**

Soit $r(x) = \norm x_2$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ et $f = g \circ
r$ avec $g$ une fonction $C^1$ d’une variable. D’abord, $r$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en dehors de $0$ : de $r^2 = \sum x_i^2$,

$$
\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r},
\qquad\text{c.-à-d.}\qquad
\nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,
$$

le vecteur radial [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) (dériver $r^2$ et diviser — ou appliquer la règle de la chaîne à $\sqrt{\cdot}$). Alors la règle de la chaîne donne, pour toute fonction radiale,

$$
\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .
$$

Cas travaillé : $g(r) = \frac1r$ donne $\nabla\frac{1}{\norm
x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, le champ en carré inverse de la gravitation et de l’électrostatique — de direction radiale, de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\frac{1}{\norm x^2}$. Idée à retenir : les gradients des fonctions radiales sont radiaux parce que les ensembles de niveau sont des sphères et que le gradient est orthogonal aux ensembles de niveau ; en $x = 0$, en revanche, $r$ n’est *pas* [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) (aucune application linéaire candidate ne correspond à $\norm h$ dans toutes les directions) — les profils radiaux lisses ont besoin de $g'(0) = 0$ pour franchir l’origine avec grâce.

**Théorème 15.5 (Inégalité des accroissements finis).**

Soit $f$ [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) sur $U$ et supposons que le segment $\intcc{a}{b} = \{a + t(b-a)\}$ est inclus dans $U$. Alors

$$
\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\,
\sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .
$$

En particulier, une application [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) de [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) nulle sur un [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) *[connexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-connected)* est constante.

**Démonstration.** La fonction $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) sur $\intcc{0}{1}$ avec $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (règle de la chaîne), de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\leq M\norm{b-a}$ où $M$ est le sup affiché. Pour $f$ à valeurs dans $\R$, l’inégalité des accroissements finis à une variable conclut ; pour des valeurs vectorielles, l’appliquer à $t \mapsto \langle u, \varphi(t)\rangle$ avec $u$ le vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) dirigé selon $f(b) - f(a)$. Constance : localement constante (segments dans les boules) plus connexité (l’ensemble où $f$ vaut une valeur donnée est à la fois [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) et fermé : [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ch-b2-metric)). ∎

**Exemple 15.6 (Une constante de Lipschitz issue de l’inégalité des accroissements finis).**

La fonction $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ est-elle [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\R^2$, et avec quelle constante ? Son gradient est $\nabla f =
(\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$, de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) au carré

$$
\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y
\leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1
$$

(majorer $\cos^2x$ et $\sin^2x$ par $1$ séparément), donc $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ partout, et le [Théorème 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) appliqué au segment entre deux points quelconques donne

$$
\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :
$$

$f$ est $1$-lipschitzienne, et la constante est optimale (près de l’origine, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ a une pente $1$). Idée à retenir : l’inégalité des accroissements finis convertit une majoration ponctuelle de la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) en un module de continuité global — la voie standard vers les estimations de Lipschitz en toute dimension, et le moteur de l’[Exercice 15.12](#exo-b2-diffcalc-12).

## 15.2 Dérivées secondes

**Théorème 15.7 (Schwarz).**

Si $f$ est $C^2$ sur $U$ (toutes les dérivées partielles secondes existent et sont [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)), alors pour tous $i, j$ :

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}
= \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .
$$

**Démonstration.** Deux variables suffisent ($x = x_i$, $y = x_j$, les autres figées). Considérons la différence seconde

$$
\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .
$$

Fixons $h$ et posons $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$ : alors $\Delta(h) = \varphi(a + h) - \varphi(a)$, et deux applications du théorème des accroissements finis donnent

$$
\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi)
= h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) -
\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr)
= h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),
$$

avec $\xi \in \intoo{a}{a+h}$, $\eta \in \intoo{b}{b+h}$. Par continuité, $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial
y\partial x}(a, b)$ quand $h \to 0$. Le même calcul en échangeant les rôles des variables (figer d’abord la seconde variable) donne $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x
\partial y}(a,b)$ : les deux limites de la même quantité coïncident. ∎

**Exemple 15.8 (Pourquoi C2C^2C2 est nécessaire : le contre-exemple de Peano).**

Soit $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$, $f(0,0) = 0$. En dehors de l’origine $f$ est $C^\infty$ ; à l’origine toutes les dérivées partielles premières et secondes existent, mais les dérivées croisées diffèrent. Calculons le long des axes : $f(x, 0) = f(0, y) =
0$, et pour $y \neq 0$,

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)
= \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x}
= \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y ,
\qquad\text{symétriquement}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .
$$

D’où

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0)
= \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial
x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1,
\qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :
$$

les deux dérivées croisées existent et diffèrent. Aucune contradiction avec le [Théorème 15.7](#thm-b2-diffcalc-schwarz) : les dérivées partielles secondes de $f$ ne sont pas [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $0$ (tester le long de $y = tx$). Idée à retenir : le théorème de Schwarz est un vrai théorème de *continuité*, non une identité formelle — et l’hypothèse « $C^2$ » dans le Taylor–Young ci-dessous fait un travail réel.

**Théorème 15.9 (Taylor–Young à l’ordre 2).**

Soit $f \colon U \to \R$ de classe $C^2$ et $a \in U$. Alors, quand $h \to 0$,

$$
f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle
+ \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),
$$

où $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial
x_j}(a)\bigr)$ est la *matrice hessienne* ([symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint), d’après Schwarz).

**Démonstration.** Appliquons le théorème de Taylor–Young à une variable (volume de Licence 1) à $\varphi(t) = f(a + th)$ sur $\intcc{0}{1}$ : par la règle de la chaîne, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th),
h\rangle$ et $\varphi''(t) = \langle H_{a+th}h, h\rangle$, toutes deux [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $t$. Alors $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0)
+ \frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) avec $\theta \in
\intoo{0}{1}$, et la continuité des dérivées partielles secondes transforme $\varphi''(\theta) = \varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ de manière uniforme : le développement affiché. ∎

**Exemple 15.10 (Un développement de deux façons).**

Développons $f(x, y) = \eu^x\cos y$ à l’origine à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $2$. *Par composition de développements à une variable :*

$$
\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} +
o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr)
= 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .
$$

*Par dérivées partielles :* $f_x = \eu^x\cos y$, $f_y =
-\eu^x\sin y$, donc $\nabla f(0) = (1, 0)$ ; et $f_{xx} = f$, $f_{yy} = -f$, $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ donnent $H_0 =
\operatorname{diag}(1, -1)$ : le [Théorème 15.9](#thm-b2-diffcalc-taylor) reproduit $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$. Les deux calculs concordent, et la voie par composition était plus rapide — aucune dérivée partielle seconde. Idée à retenir : l’origine n’est *pas* un point critique ($\nabla f \neq 0$), donc malgré la hessienne indéfinie il n’y a pas de point col à déclarer : le terme linéaire domine, et le test du second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) ne parle jamais qu’aux points critiques.

**Théorème 15.11 (Test d’extremum du second ordre, démontré).**

Soit $f$ de classe $C^2$ au voisinage d’un point critique $a$ ($\nabla f(a) = 0$), de hessienne $H = H_a$.

1. Si $H$ est définie positive, $a$ est un minimum local strict (définie négative : maximum).
2. Si $H$ a des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) des deux signes, $a$ est un point col : pas d’extremum.
3. Si $H$ est singulière (et semi-définie), aucune conclusion.

Le test « $rt - s^2$ » de Licence 1 est le cas $n = 2$ : $\det H = rt
- s^2$, le signe de $\operatorname{tr}$ se lit sur $r$.

**Démonstration.** D’après le théorème spectral ([Théorème 12.13](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-spectral)), la [forme quadratique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def) de $H$ est encadrée par ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) extrêmes : $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq
\lambda_{\max}\norm h^2$.

(1) Si $\lambda_{\min} > 0$ : Taylor–Young donne

$$
f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 -
o(\norm h^2) > 0
$$

pour $h \neq 0$ petit : minimum local strict.

(2) Le long d’un vecteur propre $v_+$ avec $\lambda_+ > 0$ : $f(a +
tv_+) - f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ pour $t$ petit ; le long de $v_-$ avec $\lambda_- < 0$ la différence est négative : les deux signes apparaissent dans tout voisinage.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$, $x^2 - y^4$, $x^2 + y^3$ partagent la même hessienne singulière semi-définie en $0$ avec trois comportements différents. ∎

**Exemple 15.12 (Une classification complète, le global compris).**

Classifions tous les extrema de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ sur $\R^2$. *Points critiques :* $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 -
4x) = 0$ donne $y = x^3$ et $x = y^3 = x^9$, donc $x(x^8 - 1) = 0$ : les solutions réelles sont $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$. *Hessiennes :* $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 &
12y^2\end{pmatrix}$. En $(\pm1, \pm1)$ : $\begin{pmatrix} 12 &
-4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$, [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $8$ et $16$ : définie positive, minima locaux stricts avec $f = -2$. En $(0,0)$ : $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$, [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\pm4$ : un point col. *Globalité :* de $2\abs{xy} \leq x^2 +
y^2$,

$$
f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2)
= (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2
\xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :
$$

$f$ est coercive, donc elle atteint un minimum global (compacité des ensembles de sous-niveau), nécessairement en un point critique : la valeur $-2$, atteinte en $(1,1)$ et $(-1,-1)$, est le minimum global ; il n’y a pas de maximum ($f$ non majorée). Idée à retenir : le test local classifie les candidats, mais seul un argument de croissance transforme le « local » en « global » — le schéma en deux temps de toute démonstration d’optimisation de ce livre.

**Méthode 15.13 (Classifier les extrema de f ⁣:Rn→Rf \colon \R^n \to \Rf:Rn→R).**

1. Résoudre $\nabla f = 0$ (tous les points critiques ; sur un domaine à bord, traiter le bord séparément comme dans l’ [Exercice 15.7](#exo-b2-diffcalc-7) ).
2. En chaque point critique, calculer la hessienne et les signes de ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) — en dimension $2$ , juste $\det H$ et $\operatorname{tr} H$ : $\det < 0$ point col ; $\det >  0$ extremum, du type donné par le signe de la trace ; $\det =  0$ : le test est muet, étudier $f$ le long de courbes.
3. Pour des énoncés globaux, ajouter un argument de compacité ou de coercivité ( $f \to +\infty$ à l’infini, ou un ensemble de contraintes [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) ), puis comparer les valeurs critiques.

## 15.3 Le théorème d’inversion locale

**Théorème 15.14 (Théorème d’inversion locale).**

Soit $f \colon U \to \R^n$ de classe $C^1$ et $a \in U$ avec $\dd f_a$ *inversible*. Alors il existe des voisinages [ouverts](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) $V \ni a$, $W \ni f(a)$ tels que $f \colon V \to W$ est une bijection de réciproque $C^1$, et

$$
\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 15.15 (Pourquoi c’est vrai : la stratégie du point fixe).**

Résoudre $f(x) = y$ près de $a$ se réécrit comme l’équation de point fixe $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$ ; l’application $\Phi_y$ a pour [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$, petite près de $a$ par continuité de $\dd f$, donc $\Phi_y$ est contractante sur une petite boule fermée et le théorème du point fixe de Banach ([Théorème 4.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-banach)) fournit l’unique solution locale $x = f^{-1}(y)$. La continuité et la différentiabilité de la réciproque découlent ensuite des estimations de la contraction. Le décompte [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) est mené en Licence 3 ; la stratégie — et l’énoncé — sont utilisés librement désormais. Le *théorème des fonctions implicites* associé (résoudre $F(x, y) = 0$ en $y(x)$ lorsque $\frac{\partial F}{\partial y}$ est inversible) s’en déduit en appliquant le théorème à $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$.

**Exemple 15.16 (Coordonnées polaires).**

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ a pour jacobienne

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta &
r\cos\theta \end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = r :
$$

inversible pour $r \neq 0$, donc $\Phi$ est un difféomorphisme local $C^1$ en dehors de l’origine — le permis de « passer en coordonnées polaires », renouvelé pour les intégrales multiples du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint).

**Exemple 15.17 (Local partout, global nulle part).**

Soit $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ sur $\R^2$. Sa jacobienne,

$$
J_f = \begin{pmatrix}
\eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\
\eu^x\sin y & \eu^x\cos y
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_f = \eu^{2x} > 0 ,
$$

ne s’annule jamais : d’après le [Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse), $f$ est un difféomorphisme local $C^1$ en *tout* point du plan. Pourtant $f$ est loin d’être injective : $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$, donc toute valeur est prise une infinité de fois ; et elle n’est pas non plus surjective, puisque $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ manque l’origine. Idée à retenir : le théorème d’inversion locale est irréductiblement *local* — l’inversibilité de chaque $\dd f_a$ fournit un patchwork de réciproques locales qui n’ont pas à s’assembler en une seule. (Les lecteurs qui connaissent les nombres complexes reconnaîtront $z \mapsto \eu^z$ ; le patchwork est la famille des branches du logarithme.) Comparer avec l’[Exercice 15.12](#exo-b2-diffcalc-12), où une hypothèse globale quantitative force bel et bien une réciproque globale unique.

**Remarque 15.18 (Pièges classiques).**

*(i) Les dérivées directionnelles sont bon marché, pas les [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) :* toutes les dérivées directionnelles peuvent exister — et même ne pas dépendre linéairement de la direction — sans différentiabilité ([Exercice 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)) ; seul le critère $C^1$ ([Théorème 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1)) promeut les dérivées partielles en une [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential). *(ii) Critique ne signifie pas extrémal :* les points cols ([Exemple 15.12](#ex-b2-diffcalc-quarticrun)) et le cas singulier muet ([Théorème 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) (3)) se cachent tous deux derrière $\nabla f = 0$. *(iii) Pas d’égalité des accroissements finis à valeurs vectorielles :* seule l’*inégalité* du [Théorème 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) subsiste ([Exercice 15.9](#exo-b2-diffcalc-9)) ; ne jamais écrire $f(b) - f(a) = \dd
f_c(b-a)$ pour $f$ à valeurs dans $\R^m$, $m \geq 2$. *(iv) L’inversibilité locale n’est pas l’injectivité :* [Exemple 15.17](#ex-b2-diffcalc-localnotglobal). *(v) Le gradient appartient au produit scalaire :* $\nabla f$ est le vecteur représentant $\dd f_a$ dans un produit scalaire choisi ; changer le produit (comme dans l’exemple pondéré du chapitre sur les [formes quadratiques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def)) et le gradient tourne, tandis que la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) — l’objet intrinsèque — ne bouge pas.

**Remarque 15.19 (Où cela sert).**

Tout ce qui suit ce chapitre est du calcul différentiel appliqué : le chapitre sur les équations [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) linéarise les flots et utilise la formule du [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) de Liouville (démontrée dans le problème du week-end de ce chapitre) ; les chapitres sur les courbes et les surfaces étudient les ensembles de niveau et les paramétrages via le théorème des fonctions implicites ; les intégrales multiples changent de variables via les jacobiennes. Le problème du week-end développe le calcul *sur l’espace des matrices lui-même* — [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) du [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det), de l’inverse, l’[exponentielle de matrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ex-b2-nvs-matrixexp), et le groupe orthogonal comme ensemble de niveau lisse — l’ombre en Licence 2 de ce que le volume de Licence 3 formalise sous le nom de variétés et de groupes de Lie.

## 15.4 Exercices

**Exercice 15.1 ★.**

Calculer les [matrices jacobiennes](#def-b2-diffcalc-differential) de $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ et de $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ ; où les [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) sont-elles inversibles ?

**Solution de Exercice 15.1.**

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$, $\det J_f
= 4(x^2 + y^2)$ : inversible en dehors de l’origine. (Ce $f$ est $z
\mapsto z^2$ déguisé en complexe.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $\det = r$ : inversible pour $r \neq 0$ (coordonnées cylindriques).

**Exercice 15.2 ★.**

Soit $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ ($f(0,0) = 0$). Démontrer que toutes les dérivées directionnelles de $f$ en $0$ existent, mais que $f$ n’est pas [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en $0$ *(l’application $v \mapsto$ dérivée directionnelle n’est pas linéaire)*.

**Solution de Exercice 15.2.**

Pour $v = (a, b) \neq 0$ : $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot
t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$ : toute dérivée directionnelle existe, de valeur $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$. Mais $v
\mapsto D_v$ n’est pas linéaire ($D_{(1,0)} = 1$, $D_{(0,1)} = 0$, $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$) : aucune application linéaire ne peut produire ces valeurs, donc $f$ n’est pas [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en $0$ (la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) devrait être $v \mapsto D_v$).

**Exercice 15.3 ★.**

Trouver et classifier les points critiques de $f(x, y) = x^3 + y^3 -
3xy$ à l’aide du [Théorème 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema), et de $g(x,y) = x^4 +
y^4 - 2(x - y)^2$.

**Solution de Exercice 15.3.**

$f = x^3 + y^3 - 3xy$ : points critiques $(0,0)$ et $(1,1)$ (calcul de Licence 1). Hessiennes : $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 &
6y\end{pmatrix}$. En $(0,0)$ : signes propres mixtes ($\det = -9 < 0$) : point col. En $(1,1)$ : $\det = 27 > 0$, trace $> 0$ : définie positive, minimum local strict — désormais justifié par le [Théorème 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) plutôt que décrété.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$ : $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 +
4(x-y))$ ; points critiques $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (Licence 1). En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $H =
\begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$ : définie positive (à diagonale dominante ; [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $24, 16$) : minima locaux stricts. En $(0,0)$ : $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$, singulière semi-définie négative : le test est muet ; l’étude directionnelle ($g(x,x) = 2x^4 > 0$, $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ pour $x$ petit) montre un point de type col — pas d’extremum.

**Exercice 15.4 ★★.**

Soit $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^1$ et *homogène de degré $p$* : $f(tx) = t^pf(x)$ pour $t > 0$. Démontrer l’identité d’Euler

$$
\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,
$$

et sa réciproque pour les fonctions $C^1$ sur $\R^n\setminus\{0\}$.

**Solution de Exercice 15.4.**

Dériver $t \mapsto f(tx)$ en $t = 1$ : par la règle de la chaîne, $\langle \nabla f(x), x\rangle$ ; par homogénéité la même fonction vaut $t^pf(x)$, de dérivée $pf(x)$ en $t = 1$ : l’identité d’Euler.

Réciproque : fixer $x \neq 0$ et poser $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ sur $t > 0$. Alors $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle -
pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle -
p\,t^pf(x)\bigr)$. L’hypothèse — l’identité d’Euler au point $tx$ — évalue le crochet à $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) =
p\,\varphi(t)$. Donc $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ avec $\varphi(1)
= 0$ : l’unique solution de cette EDO linéaire est $\varphi \equiv 0$ (unicité de Licence 1), c.-à-d. $f(tx) = t^pf(x)$.

**Exercice 15.5 ★★.**

Soit $A$ [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) et $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle -
\langle b, x\rangle$. Calculer $\nabla f$ et $H_f$ ; quand $f$ est-elle convexe ? En supposant $A$ définie positive, montrer que $f$ a un unique minimum global au point solution de $Ax = b$ — la raison d’être de la descente de gradient.

**Solution de Exercice 15.5.**

En développant $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle +
\frac12\langle Ah, h\rangle$ (symétrie de $A$) : $\nabla f(x) = Ax -
b$ et $H_f = A$ partout. $f$ est convexe si et seulement si $A$ est semi-définie positive (le test de la hessienne, global ici puisque $H$ est constante : la formule de Taylor du second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) est exacte). Si $A$ est définie positive : l’unique point critique est $x^* =
A^{-1}b$, et $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq
\frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ pour $h \neq 0$ : minimum global strict.

**Exercice 15.6 ★★.**

(Multiplicateur de Lagrange, une contrainte, démontré à la main) Soit $f, g$ de classe $C^1$ sur $\R^2$, et supposons que $f$ atteint, en $a$, un extremum local sur l’ensemble de niveau $\{g = 0\}$, avec $\nabla g(a) \neq 0$. Démontrer que $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ pour un certain $\lambda$. *(Paramétrer l’ensemble de niveau près de $a$ par le théorème des fonctions implicites et dériver $t \mapsto
f(\gamma(t))$.)* Application : extrema de $f(x,y) = xy$ sur le cercle $x^2 + y^2 = 1$.

**Solution de Exercice 15.6.**

Puisque $\nabla g(a) \neq 0$, une dérivée partielle, disons $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$ : le théorème des fonctions implicites (le compagnon du [Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) paramétrise $\{g = 0\}$ près de $a = (a_1, a_2)$ par $\gamma(t) = (t, y(t))$ avec $y$ $C^1$, $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (dériver $g(t, y(t)) = 0$). La fonction à une variable $t
\mapsto f(\gamma(t))$ a un extremum local en $t = a_1$ :

$$
0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1}
= \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1)
= \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x
g(a)}{\partial_y g(a)} :
$$

les vecteurs $\nabla f(a)$ et $\nabla g(a)$ ont des coordonnées proportionnelles : $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ avec $\lambda =
\frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$.

Application : sur le cercle, $\nabla(xy) = (y, x)$ parallèle à $(2x, 2y)$ force $y^2 = x^2$ ; avec la contrainte, les candidats sont $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valeur $\frac12$) et $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},
-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valeur $-\frac12$) : max $\frac12$, min $-\frac12$ (atteints : le cercle est [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact)).

**Exercice 15.7 ★★.**

Déterminer les extrema de $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ sur $\R^2$, puis son maximum et son minimum sur le triangle fermé de sommets $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ *(points critiques intérieurs, puis les trois arêtes, puis les sommets)*.

**Solution de Exercice 15.7.**

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$ : en résolvant, $x =
-\frac13$, $y = \frac13$. Hessienne $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$, définie positive : minimum global de la quadratique $f$, valeur $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$.

Sur le triangle $T$ : le point critique intérieur $(-\frac13,
\frac13) \notin T$ ($x$ négatif). Arêtes : sur $y = 0$, $x \in
\intcc{0}{1}$ : $f = x^2 + x$, croissante : extrêmes $0$ et $2$. Sur $x = 0$ : $f = y^2 - y$, minimum $-\frac14$ en $y = \frac12$, valeurs $0$ et $0$ aux extrémités. Sur $x + y = 1$ : substituer $y = 1 - x$, $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$ ; sur $\intcc{0}{1}$ : minimum $-\frac{1}{12}$ en $x = \frac16$, valeurs $0$ (en $x=0$) et $2$ (en $x=1$). Sommets : $f(0,0) = 0$, $f(1,0)
= 2$, $f(0,1) = 0$. Global sur $T$ : minimum $-\frac14$ en $(0,
\frac12)$, maximum $2$ en $(1, 0)$.

**Exercice 15.8 ★★★.**

Soit $f \colon \R^2 \to \R^2$, $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme local près de $0$, calculer $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$, et trouver le plus grand $r$ tel que $\dd f$ soit inversible sur la boule $\norm{(x,y)}_2 < r$ *(calculer $\det J_f$)*.

**Solution de Exercice 15.8.**

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$, $\det J_f =
1 - 4xy$. En $0$ : $\det = 1 \neq 0$ : difféomorphisme local ([Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)), avec

$$
\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .
$$

Inversibilité sur une boule : il faut $4\abs{xy} < 1$ partout ; sur $\norm{(x,y)}_2 < r$, $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} <
\frac{r^2}{2}$, donc $r = \frac{1}{\sqrt2}$ convient ; et c’est le plus grand : en $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$, de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\frac{1}{\sqrt2}$, $\det J_f = 0$.

**Exercice 15.9 ★★★.**

(Rolle échoue, les accroissements finis survivent) Donner $f \colon
\R \to \R^2$, $C^1$, avec $f(0) = f(2\pi)$ mais $f'(t) \neq 0$ pour tout $t$ (pas de Rolle à valeurs vectorielles). Puis vérifier sur votre exemple l’*inégalité* des accroissements finis du [Théorème 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi).

**Solution de Exercice 15.9.**

$f(t) = (\cos t, \sin t)$ : $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$, pourtant $f'(t) =
(-\sin t, \cos t)$ est de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $1$, jamais nulle : aucun point où la dérivée s’annule — Rolle n’a pas d’analogue vectoriel. L’inégalité des accroissements finis tient largement : $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq
2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$.

**Exercice 15.10 ★.**

Calculer la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) et le gradient de $f(x) = \norm
x_2^2$ et de $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ sur $\R^n$ ($A$ une matrice carrée, non supposée [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint)), et la hessienne de chacune. Pour quels $A$ la fonction $g$ est-elle convexe ?

**Solution de Exercice 15.10.**

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$ : $\dd f_x =
2\langle x, \cdot\rangle$, $\nabla f(x) = 2x$, hessienne $2I$ (constante). Pour $g$ :

$$
g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle
+ \langle Ah, h\rangle
= \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle +
O(\norm h^2),
$$

donc $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ et $H_g = A +
A^{\mathsf T}$, constante. D’après l’[Exercice 15.11](#exo-b2-diffcalc-11), $g$ est convexe si et seulement si $A + A^{\mathsf T}$ est semi-définie positive — seule la partie [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) de $A$ compte, comme en effet $g(x) = \langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$.

**Exercice 15.11 ★★.**

Soit $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^2$. Démontrer que $f$ est convexe si et seulement si sa hessienne $H_x$ est semi-définie positive en tout $x$ *(se ramener à une variable : $t \mapsto
f(a + t(b-a))$ ; utiliser Taylor–Lagrange dans une direction, et pour la réciproque évaluer $\varphi''$)*.

**Solution de Exercice 15.11.**

$f$ est convexe si et seulement si sa restriction à tout segment est convexe, c.-à-d. si et seulement si tout $\varphi(t) = f(a + tv)$ est convexe. Par la règle de la chaîne $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\
v\rangle$.

Si toutes les hessiennes sont semi-définies positives : $\varphi'' \geq 0$, donc chaque $\varphi$ est convexe (volume de Licence 1) et $f$ est convexe. Réciproquement si $f$ est convexe, chaque $\varphi$ est convexe, donc $\varphi''(0) \geq 0$ : $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ pour tout $a$ et toute direction $v$ : toutes les hessiennes sont semi-définies positives.

**Exercice 15.12 ★★★.**

(Un théorème d’inversion globale) Soit $g \colon \R^n \to \R^n$ de classe $C^1$ avec $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ pour tout $x$, et $f =
\mathrm{id} + g$.

1. Montrer $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : $f$ est injective, de réciproque [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur son image.
2. Montrer que pour chaque $y \in \R^n$ l’application $x \mapsto  y - g(x)$ est une contraction de l’espace [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) $\R^n$ , et conclure par le théorème du point fixe de Banach ( [Théorème 4.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-banach) ) que $f$ est surjective.
3. Conclure que $f$ est une bijection de $\R^n$ de réciproque $(1-k)^{-1}$ -lipschitzienne — un pendant *global* du [Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) (qui, par contraste, est purement local).

**Solution de Exercice 15.12.**

1. Par l’inégalité des accroissements finis ([Théorème 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi)) appliquée à $g$ : $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$, donc $$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) -  g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$$ $f$ est injective et $f^{-1}$ (défini sur l’image) est $\frac{1}{1-k}$-lipschitzien.
2. Fixer $y$ ; $T(x) = y - g(x)$ vérifie $\norm{T(x) -  T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : une contraction de l’espace [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) $\R^n$ . Banach ( [Théorème 4.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-banach) ) donne un point fixe $x^*  = y - g(x^*)$ , c.-à-d. $f(x^*) = y$ : $f$ est surjective.
3. $f$ est ainsi une bijection de $\R^n$ de réciproque $\frac{1}{1-k}$ -lipschitzienne : un théorème d’inversion globale, où la petitesse de $\dd g$ partout remplace l’hypothèse d’inversibilité locale du [Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) .

## 15.5 Problème : Le calcul des matrices — Jacobi, exponentielle, et le groupe orthogonal

**Problème 15.1.**

Le terrain de jeu le plus propre du calcul différentiel est l’espace $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ lui-même : ses applications les plus naturelles — produit, inverse, [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det), exponentielle — ont des [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) d’une élégance frappante. Ce problème les calcule toutes : la *série de Neumann*, la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) de l’inverse, la *formule de Jacobi* pour le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) avec la *formule de Liouville* en dividende, l’*exponentielle de matrice* avec $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$, et enfin le groupe orthogonal $O_n$ comme ensemble de niveau lisse avec les matrices antisymétriques comme espace tangent — de la géométrie [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) en germe. Dans tout ce qui suit, $\vertiii\cdot$ est la [norme d’opérateur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#thm-b2-nvs-continuouslinear) subordonnée à $\norm\cdot_2$, et $\langle X,
Y\rangle = \operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ le produit scalaire de Frobenius.

**Partie I — La série de Neumann.**

1. Démontrer la sous-multiplicativité, $\vertiii{AB} \leq  \vertiii A\,\vertiii B$ , et en déduire que les applications polynomiales de $A$ (produits de matrices, [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) , trace) sont [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\mathcal M_n(\R)$ .
2. Pour $\vertiii X < 1$, montrer que $\sum_{k\geq0}X^k$ [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) dans $\mathcal M_n(\R)$ ([Théorème 5.21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)), que sa somme est $(I - X)^{-1}$, et que $$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X},  \qquad  (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$$
3. En déduire que $GL_n(\R)$ est *[ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology)* : si $A$ est inversible et $\vertiii H <  \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , alors $A + H$ est inversible. En déduire aussi que $GL_n(\R)$ est *dense* dans $\mathcal M_n(\R)$ *(perturber $A$ par $\varepsilon I$ : $\det(A + \varepsilon I)$ est un polynôme non nul en $\varepsilon$)* .
4. Montrer que l’application d’inversion $\Phi(A) = A^{-1}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $GL_n(\R)$ .

**Partie II — Premières [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential).**

5. Montrer que l’application de mise au carré $A \mapsto A^2$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) de [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto AH + HA$ , et plus généralement que $A \mapsto A^k$ a pour [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1}  A^iHA^{k-1-i}$ . Pourquoi ne peut-on *pas* écrire $kA^{k-1}H$ en général ?
6. Démontrer que $\Phi(A) = A^{-1}$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) sur $GL_n(\R)$ avec $$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$$ *(écrire $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ et développer par la question 2)*. Vérifier la formule sur le cas scalaire $n = 1$.
7. Pour une courbe $C^1$ $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ , en déduire $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ , et développer $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ à l’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) 1 en $t = 0$ .
8. Calculer la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) de $f(A) =  \operatorname{tr}(A^k)$ et identifier son gradient pour le produit scalaire de Frobenius : $$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr),  \qquad  \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$$
9. Mêmes questions pour $f(A) = \operatorname{tr}  (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) , gradient, et la hessienne (constante) ; conclure que $\norm\cdot_F^2$ est strictement convexe.

**Partie III — La formule de Jacobi.**

10. Démontrer $$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +  O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$$ *(développer $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ par multilinéarité en les colonnes : les termes ayant au moins deux colonnes $h$ sont des $O(\vertiii H^2)$)* : $\dd(\det)_I =  \operatorname{tr}$.
11. Pour $A$ inversible, en déduire $$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\,  \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$$
12. Montrer que pour *toute* matrice $A$ (inversible ou non), $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$, le cofacteur d’indice $(i,j)$ *(développement de Laplace selon la ligne $i$)*, de sorte qu’avec la comatrice [transposée](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-transpose) $\operatorname{adj}A =  \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$ : $$\dd(\det)_A(H) =  \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr),  \qquad  \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$$ retrouvant la question 11 lorsque $A$ est inversible ($\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$). C’est la *formule de Jacobi* : $\bigl(\det  A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(  \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$.
13. (Formule de Liouville) Soit $A(t)$ une courbe $C^1$ de matrices satisfaisant l’équation [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) linéaire $A'(t) = M(t)A(t)$. Démontrer $$\bigl(\det A(t)\bigr)' =  \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t),  \qquad\text{d'où}\qquad  \det A(t) = \det A(0)\,  \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$$ *(utiliser $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ et l’invariance [cyclique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de la trace)* — l’identité du wronskien que le chapitre sur les équations [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) utilisera constamment.
14. Montrer que $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ est un ensemble de niveau lisse : en tout $A \in SL_n(\R)$ la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) $\dd(\det)_A$ est une application linéaire *surjective* sur $\R$ *(l’évaluer en $H = \frac1nA$)* .

**Partie IV — L’[exponentielle de matrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ex-b2-nvs-matrixexp).**

15. Montrer que $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) pour toute matrice $A$ , [normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) sur toute boule, avec $\vertiii{\eu^A} \leq  \eu^{\vertiii A}$ ; et que $\eu^A$ dépend continûment de $A$ .
16. Démontrer que $AB = BA$ implique $\eu^{A+B} =  \eu^A\eu^B$ *([produit de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini), légitime par convergence absolue)* ; en déduire que $\eu^A$ est toujours inversible, d’inverse $\eu^{-A}$ : $\exp$ envoie $\mathcal M_n(\R)$ dans $GL_n(\R)$ .
17. Montrer que $t \mapsto \eu^{tA}$ est $C^1$ (et même $C^\infty$) avec $$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} =  \eu^{tA}A$$ *(dériver la série terme à terme sur les segments : la série dérivée [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) [normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series))*.
18. Démontrer l’identité $$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$$ *(appliquer la formule de Liouville, question 13, à $A(t) = \eu^{tA}$)*. Vérifications de bon sens : $n = 1$ ; $A$ nilpotente ; et les matrices de trace nulle atterrissent dans $SL_n(\R)$.
19. Montrer $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , donc $\exp$ est [différentiable](#def-b2-diffcalc-differential) en $0$ avec $\dd(\exp)_0 =  \mathrm{id}$ ; conclure avec le théorème d’inversion locale ( [Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) ) que $\exp$ est un difféomorphisme $C^1$ d’un voisinage de $0$ sur un voisinage de $I$ : toute matrice proche de l’identité a un logarithme.
20. Montrer que $\exp$ envoie les matrices [symétriques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) sur les matrices [symétriques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) *définies positives* , de façon bijective *(diagonaliser ; l’inverse est le logarithme spectral)* .

**Partie V — Le groupe orthogonal comme ensemble de niveau.**

21. Soit $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , de $\mathcal M_n(\R)$ vers les matrices [symétriques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) $S_n$ . Calculer $\dd F_A(H) =  A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ et montrer qu’en tout $A \in O_n = F^{-1}(I)$ cette [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) est *surjective* sur $S_n$ *(étant donné $S \in S_n$, essayer $H = \frac12 AS$)* : $O_n$ est un ensemble de niveau lisse, de dimension $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
22. Montrer que toute courbe $C^1$ $A(t) \in O_n$ avec $A(0) =  I$ a une vitesse $A'(0)$ *antisymétrique* , et réciproquement que pour $K$ antisymétrique la courbe $\eu^{tK}$ reste dans $O_n$ : l’espace tangent de $O_n$ en $I$ est exactement les matrices antisymétriques.
23. Montrer $\det\eu^{K} = 1$ pour $K$ antisymétrique (question 18) : la courbe exponentielle vit dans le groupe des rotations $SO_n$. La calculer complètement pour $n = 2$ : avec $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, démontrer $$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta &  -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$$ l’[exponentielle de matrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ex-b2-nvs-matrixexp) *est* la rotation d’angle $\theta$, et les définitions en série du cosinus et du sinus réapparaissent à l’intérieur d’une matrice.
24. (L’astuce de densité) En utilisant la densité de $GL_n(\R)$ (question 3) et la continuité, étendre des matrices inversibles à toutes les matrices l’identité $$\operatorname{adj}(AB) =  \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$$ *(pour $A, B$ inversibles les deux membres valent $\det(AB)(AB)^{-1}$ ; les deux membres sont polynomiaux en les coefficients)*.
25. Synthèse. En une phrase chacune : (i) quels chapitres antérieurs ont fourni le moteur de chaque Partie (complétude et [algèbres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) normées ; le théorème spectral ; le théorème d’inversion locale) ; (ii) quelle formule de ce problème le chapitre sur les équations [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) exploitera, et où ; (iii) ce que $\dd(\det)_I =  \operatorname{tr}$ et $\det\eu^A =  \eu^{\operatorname{tr}A}$ disent de la trace et du [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) comme « volume infinitésimal et global » ; (iv) ce que le volume de Licence 3 fait des questions 21–23 (groupes de Lie et leurs [algèbres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) de Lie).

**Solution de Problème 15.1.**

**1.** $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq
\vertiii A\vertiii B\norm x$ : prendre le sup sur $\norm x = 1$. Les produits de matrices, $\det$ et $\operatorname{tr}$ sont des fonctions polynomiales des coefficients, donc [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ($\mathcal M_n(\R)
\simeq \R^{n^2}$, toutes les [normes équivalentes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-equivalent) : [Théorème 5.13](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#thm-b2-nvs-finitedim)).

**2.** $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k <
\infty$ : la série [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def), donc [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) ([Théorème 5.21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)). De $(I -
X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ : la somme est $(I -
X)^{-1}$. [Norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) : $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 -
\vertiii X}$ ; et

$$
(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1},
\qquad
\vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq
\frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).
$$

**3.** $A + H = A(I + A^{-1}H)$ avec $\vertiii{A^{-1}H}
\leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : inversible par la question 2 : la boule ouverte de rayon $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ autour de $A$ est incluse dans $GL_n(\R)$. Densité : $\det(A + \varepsilon I)$ est un polynôme de degré $n$ en $\varepsilon$ de coefficient dominant $1$ : il a un nombre fini de racines, donc il existe $\varepsilon_k \to 0$ tels que $A + \varepsilon_kI$ soit inversible, convergeant vers $A$.

**4.** Pour $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$ :

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1}
= \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},
$$

de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) au plus $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 -
\vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq
2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$ : $\Phi$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en tout $A \in GL_n(\R)$.

**5.** $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$ : l’application $H
\mapsto AH + HA$ est linéaire et l’erreur $H^2$ est un $O(\vertiii H^2)$. En développant $(A + H)^k$ et en triant par le nombre de facteurs $H$ : la partie linéaire est $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$, et les termes à $\geq 2$ facteurs $H$ sont majorés par $\binom k2$ produits de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$ : $O(\vertiii H^2)$. On ne peut pas réduire la somme à $kA^{k-1}H$ car $H$ et $A$ ne commutent pas en général — la somme est la bonne dérivée non commutative.

**6.** Pour $H$ petit :

$$
(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}
= \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1}
= A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :
$$

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$, linéaire en $H$. Pour $n = 1$ : $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$, la dérivée familière.

**7.** Règle de la chaîne le long de la courbe : $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) =
-A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$. En $A(t) = I + tB$, $t = 0$ : $(I +
tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$.

**8.** Par la question 5 et l’invariance [cyclique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de la trace :

$$
\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1}
A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .
$$

Contre le produit de Frobenius, $\dd f_A(H) =
\operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ requiert $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$ : $\nabla f(A) =
k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$.

**9.** $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr}
(A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$ : la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) est $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) =
2\langle A, H\rangle$, donc $\nabla f(A) = 2A$ ; le terme du second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) est exactement $\norm H_F^2$ : la hessienne est le double de la [forme quadratique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def) identité, définie positive et constante, donc $\norm\cdot_F^2$ est strictement convexe (la formule de Taylor est exacte ici).

**10.** Par multilinéarité en les colonnes, $\det(I + H) =
\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$ où $M_S$ a pour colonne $h_j$ pour $j \in S$ et $e_j$ sinon. $S = \varnothing$ donne $1$ ; $S = \{j\}$ donne le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) de $I$ avec la colonne $j$ remplacée par $h_j$, à savoir son $j$-ème coefficient $h_{jj}$, de somme $\operatorname{tr}H$ ; chaque terme à $\abs S \geq 2$ est un [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) ayant au moins deux colonnes de taille $O(\vertiii H)$, donc $O(\vertiii H^2)$ (les applications multilinéaires sur un espace de dimension finie sont bornées), et il y en a un nombre fini. Donc $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +
O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$.

**11.** $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) =
\det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) +
O(\vertiii H^2)\bigr)$ : la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) est $H \mapsto
\det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$.

**12.** Développement de Laplace selon la ligne $i$ : $\det A =
\sum_j a_{ij}C_{ij}$, et les cofacteurs $C_{ij}$ ne font pas intervenir la ligne $i$ : $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$. D’où

$$
\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij}
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T}
H\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr),
\qquad
\nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .
$$

Pour $A$ inversible, $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ retrouve la question 11. Le long d’une courbe $C^1$, la règle de la chaîne s’écrit $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}
(A(t))\,A'(t))$ : la formule de Jacobi.

**13.** Avec $A' = MA$ et $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$ :

$$
(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA
\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr)
= \det A\;\operatorname{tr}M
$$

(cyclicité ; $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ également). L’EDO scalaire linéaire $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ a pour unique solution $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t
\operatorname{tr}M\bigr)$ (Licence 1) : la formule de Liouville.

**14.** En $A \in SL_n(\R)$, prendre $H = \frac1nA$ : $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A)
\operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$ : la [différentielle](#def-b2-diffcalc-differential) est une forme linéaire non nulle, donc surjective sur $\R$ en tout point de l’ensemble de niveau : $SL_n(\R)$ est un ensemble de niveau lisse (de dimension $n^2 - 1$).

**15.** $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq
\sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$ : convergence absolue (l’argument de complétude de la question 2), avec [convergence normale](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) sur toute boule $\vertiii A \leq R$ (majoration $R^k/k!$ indépendante de $A$). Chaque somme partielle est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) (polynomiale) ; la limite uniforme sur les boules est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) : $A
\mapsto \eu^A$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), avec $\vertiii{\eu^A} \leq
\eu^{\vertiii A}$.

**16.** Les deux séries convergent [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def), donc le [produit de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini) est légitime ([Théorème 7.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini)) :

$$
\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom
nkA^kB^{n-k}
= \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},
$$

l’identité binomiale exigeant $AB = BA$. Avec $B = -A$ : $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$ : tout $\eu^A \in GL_n(\R)$.

**17.** La série $\sum t^kA^k/k!$ et sa série dérivée $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergent [normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) sur tout segment $\abs t \leq T$ (majorations $T^k\vertiii A^k/k!$) : le théorème de dérivation des séries ([Théorème 10.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#thm-b2-funcseq-seriestransfer), appliqué coefficient par coefficient) donne $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ ; en factorisant $A$ à droite on obtient plutôt $\eu^{tA}A$. En itérant : $C^\infty$.

**18.** $A(t) = \eu^{tA}$ satisfait $A'(t) = A\,A(t)$ : la formule de Liouville (question 13) avec $M = A$ constant donne $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (valeur $1$ en $t =
0$) ; en $t = 1$, $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$. Vérifications : $n = 1$ est l’exponentielle elle-même ; une $A$ nilpotente a $\operatorname{tr}A = 0$ et $\eu^A$ unipotente de [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) $1$ ; $\operatorname{tr}A = 0$ donne $\det\eu^A = 1$ : les matrices de trace nulle sont envoyées dans $SL_n(\R)$.

**19.** $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$, de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$, inversible. De plus $\exp$ est $C^1$ : par la question 5, le candidat différentiel $H \mapsto
\sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ est une série [normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) convergente d’applications linéaires dépendant continûment de $A$ (majorations $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ sur les boules), donc les dérivées partielles existent et sont [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ([Théorème 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1) et le théorème de transfert des séries). Le théorème d’inversion locale ([Théorème 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) s’applique en $0$ : $\exp$ est un difféomorphisme $C^1$ d’un voisinage de $0$ sur un voisinage de $I$ — les matrices proches de $I$ ont des logarithmes.

**20.** Pour $S = PDP^{\mathsf T}$ [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) (théorème spectral) : $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ est [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) de [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\eu^{\lambda_i} > 0$ : définie positive. Surjectivité : une $Q =
P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ définie positive ($\mu_i > 0$) est $\eu^S$ pour $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$. Injectivité : $\eu^S$ détermine ses sous-espaces propres, qui sont exactement ceux de $S$ (sur chaque sous-espace propre de $S$ pour $\lambda$, $\eu^S$ agit comme $\eu^\lambda$ ; des $\lambda$ distincts donnent des $\eu^\lambda$ distincts), et prendre le $\ln$ des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) retrouve $S$. Donc $\exp$ est une bijection des matrices [symétriques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) sur les matrices définies positives.

**21.** $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$ : $\dd F_A(H) =
A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (à valeurs dans $S_n$ ; erreur $O(\vertiii H^2)$). En $A \in O_n$ et pour $S \in S_n$, le choix $H = \frac12AS$ donne

$$
A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A
= \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :
$$

surjective. $O_n = F^{-1}(I)$ est un ensemble de niveau lisse de dimension $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$.

**22.** En dérivant $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ en $t
= 0$ (avec $A(0) = I$) : $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$ : antisymétrique. Réciproquement, pour $K^{\mathsf T} = -K$ : $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}}
\eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transposer la série terme à terme ; les exposants commutent) : la courbe reste dans $O_n$, de vitesse $K$ en $t = 0$. Espace tangent en $I$ $=$ les matrices antisymétriques, de la dimension attendue $\frac{n(n-1)}2$.

**23.** $\operatorname{tr}K = 0$ pour $K$ antisymétrique, donc $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (question 18) : l’exponentielle atterrit dans $SO_n$. Pour $n = 2$ : $J^2 = -I$, donc $J^{2m} =
(-1)^mI$, $J^{2m+1} = (-1)^mJ$, et

$$
\eu^{\theta J}
= \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I
+ \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J
= \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,
$$

la rotation d’angle $\theta$ : les séries du sinus et du cosinus vivent à l’intérieur de l’[exponentielle de matrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ex-b2-nvs-matrixexp).

**24.** Pour $A, B$ inversibles : $\operatorname{adj}(AB) =
\det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} =
\operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$. Les deux membres de l’identité sont des applications polynomiales (donc [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)) des coefficients de $(A, B)$ ; ils coïncident sur la partie dense $GL_n\times GL_n$ de $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (question 3 : approcher chaque facteur), donc ils coïncident partout.

**25.** (i) La Partie I reposait sur la complétude des espaces normés de dimension finie (les séries [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) convergentes convergent), la Partie IV sur la même chose plus le théorème spectral pour la question 20, le logarithme local de la Partie V sur le théorème d’inversion locale. (ii) Le chapitre sur les équations [différentielles](#def-b2-diffcalc-differential) s’appuie sur la formule de Liouville (question 13) pour le wronskien des systèmes linéaires, et sur $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (question 17), qui est l’énoncé que $\eu^{tA}$ résout $X' = AX$. (iii) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ dit que la trace est le taux infinitésimal de variation de volume, et $\det\eu^A =
\eu^{\operatorname{tr}A}$ intègre globalement cet énoncé. (iv) Le volume de Licence 3 nomme les structures : $O_n$ et $SL_n(\R)$ sont des groupes de Lie, leurs espaces tangents en $I$ (matrices antisymétriques et de trace nulle) sont des [algèbres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) de Lie, et $\exp$ est le pont entre eux.