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title: "Équations différentielles"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles
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# Chapitre 16 — Équations différentielles

L’année 1 a résolu les équations linéaires qui admettent des formules. Ce chapitre fournit ce que les formules ne peuvent donner : le *théorème de Cauchy–Lipschitz* — existence et unicité pour $y' = f(t, y)$ — démontré à l’aide du théorème du point fixe de Banach, exactement comme promis au [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ch-b2-metric) ; puis la théorie complète des *systèmes linéaires* $X' = A(t)X +
B(t)$, avec l’[exponentielle de matrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ex-b2-nvs-matrixexp) et le [wronskien](#def-b2-diffeq-wronskian) comme moteurs de calcul.

## 16.1 Le théorème de Cauchy–Lipschitz

**Théorème 16.1 (Cauchy–Lipschitz, version lipschitzienne globale).**

Soient $I$ un segment et $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) et *[lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en la seconde variable*, [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) en la première : $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ pour tout $t \in I$. Alors pour tout $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$, le problème de Cauchy

$$
y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0
$$

admet exactement une solution $y \colon I \to \R^n$ de classe $C^1$.

**Démonstration.** *Reformulation.* Une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $y$ résout le problème si et seulement si elle satisfait l’équation intégrale

$$
y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s
=: T(y)(t)
$$

(théorème fondamental de l’analyse dans les deux sens ; une solution [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) de l’équation intégrale est automatiquement $C^1$).

*Une contraction, après renormalisation.* Sur l’[espace de Banach](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-banach) $E = C(I, \R^n)$ muni de la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) *pondérée*

$$
N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,
$$

(équivalente à la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) sup : le poids est borné supérieurement et inférieurement sur le segment $I$, donc $E$ reste [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete)), estimons pour $y, z \in E$ et, disons, $t \geq t_0$ :

$$
\norm{T(y)(t) - T(z)(t)}
\leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s
\leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s
\leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .
$$

En multipliant par $\eu^{-2k(t - t_0)}$ et en prenant le sup (le cas $t < t_0$ est [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint)) : $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y -
z)$ : $T$ est une $\frac12$-contraction de l’espace [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) $(E, N)$. Le théorème du point fixe de Banach ([Théorème 4.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-banach)) fournit un unique point fixe : l’unique solution. ∎

**Remarque 16.2.**

Pour $f$ seulement $C^1$ (localement [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)), le théorème vaut *localement*, avec une solution maximale sur un intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) maximal ; les solutions peuvent exploser en temps fini ($y' =
y^2$, $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$, disparue en $t = 1$). C’est l’hypothèse [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) globale qui garantit le segment tout entier. Deux conséquences à graver dans la mémoire : les courbes intégrales d’une EDO à champ [lipschitzien](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) *ne se croisent jamais* ; et la fonction nulle est la seule solution d’une équation linéaire homogène qui s’annule quelque part.

**Exemple 16.3 (L’unicité est un théorème : un champ qui fuit).**

Considérons $y' = 2\sqrt{\abs y}$ avec $y(0) = 0$. La fonction nulle en est solution ; il en va de même de

$$
y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0,
\end{cases}
$$

qui est $C^1$ (les deux morceaux ont une dérivée nulle au point de raccord) et vérifie $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ pour $t > 0$ — en effet, retarder le décollage fournit une solution pour *chaque* instant de départ $c \geq 0$ : une infinité de solutions issues des mêmes données initiales. Aucune contradiction avec le [Théorème 16.1](#thm-b2-diffeq-cauchylipschitz) : au voisinage de $y =
0$,

$$
\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}}
= \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,
$$

le champ n’est pas [lipschitzien](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $y$, et le théorème reste muet. Éclairage final : la lecture physique est celle d’un seau qui se vide sous l’effet de la gravité, le temps remonté — depuis l’état vide, on ne peut dire quand il a commencé à se remplir ; le déterminisme des EDO est exactement la condition de Lipschitz, non une loi de la nature.

## 16.2 Systèmes linéaires

**Théorème 16.4 (Structure des systèmes linéaires).**

Soient $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ et $B \colon I \to \R^n$ [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur un intervalle $I$. Pour tout $(t_0, X_0)$, le problème

$$
X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0
$$

admet exactement une solution sur $I$ *tout entier*. Les solutions du système homogène ($B = 0$) forment un espace vectoriel $\mathcal{S}_H$ de dimension exactement $n$, et l’évaluation $X
\mapsto X(t_0)$ est un isomorphisme $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ; solution générale $=$ particulière $+$ homogène.

**Démonstration.** Sur tout segment $J \subseteq I$ contenant $t_0$ : $f(t, X) =
A(t)X + B(t)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), et [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $X$ de constante $k
= \sup_J \vertiii{A(t)}$ (finie : [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur un segment) : le [Théorème 16.1](#thm-b2-diffeq-cauchylipschitz) s’applique sur $J$ ; en faisant croître $J$ jusqu’à épuiser $I$, l’unicité recolle les solutions en une seule sur $I$. La linéarité de l’ensemble des solutions et de l’application d’évaluation est claire ; l’évaluation est bijective par existence (surjective) et unicité (injective) : $\dim
\mathcal{S}_H = n$. La structure affine est l’argument de l’année 1, mot pour mot. ∎

**Exemple 16.5 (L’isomorphisme d’évaluation, concrètement).**

Pour $y'' + y = 0$, vue comme le système $X' =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ avec $X = (y,
y')$ : le théorème dit que l’espace des solutions est un plan, et que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ est un isomorphisme sur $\R^2$. Les solutions $\cos$ et $\sin$ s’évaluent en $(1, 0)$ et $(0, 1)$ — la base canonique de $\R^2$ — elles forment donc une base de l’espace des solutions, et *toute* solution s’écrit

$$
y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,
$$

avec les coefficients lus directement sur les données initiales, sans aucun système linéaire à résoudre. Éclairage final : choisir le [système fondamental](#def-b2-diffeq-wronskian) dont les valeurs initiales forment la base canonique (ici $\cos, \sin$) revient exactement à choisir les colonnes de $\eu^{tA}$ ; l’isomorphisme d’évaluation explique pourquoi les conditions initiales paramètrent les trajectoires — le contenu géométrique de la « dynamique déterministe » pour les équations linéaires.

**Définition 16.6 (Wronskien).**

Pour des solutions $X_1, \dots, X_n$ du système homogène, le *wronskien* est $W(t) = \det\bigl(X_1(t),
\dots, X_n(t)\bigr)$. D’après l’isomorphisme ci-dessus, ou bien $W$ s’annule identiquement (la famille est liée), ou bien ne s’annule jamais (un *système fondamental*) ; quantitativement, $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)
W$, donc

$$
W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t}
\operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr)
\quad \text{(formule de Liouville)}.
$$

**Exemple 16.7 (Liouville vérifiée sur une équation d’Euler).**

Sur $\intoo{0}{\infty}$, l’équation $t^2y'' + ty' - y = 0$ a pour solutions $y_1(t) = t$ et $y_2(t) = \frac1t$ (par substitution). Leur [wronskien](#def-b2-diffeq-wronskian) :

$$
W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt]
1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix}
= -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,
$$

jamais nul : un [système fondamental](#def-b2-diffeq-wronskian). Vérifions maintenant Liouville : sous forme normalisée $y'' + \frac1t\,y' -
\frac{1}{t^2}\,y = 0$, la matrice compagnon $A(t) =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2}
& -\frac1t\end{pmatrix}$ a pour trace $-\frac1t$, donc

$$
W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr)
= -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark
$$

Éclairage final : Liouville prédit la *forme* du [wronskien](#def-b2-diffeq-wronskian) avant même de connaître aucune solution — ici, que $W$ doit valoir $\frac{c}{t}$ ; c’est ce qui alimente la méthode d’abaissement de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) ([Proposition 16.15](#prop-b2-diffeq-secondorder)), où la connaissance de $y_1$ et de la forme du [wronskien](#def-b2-diffeq-wronskian) détermine $y_2$ par une seule quadrature.

**Démonstration de la formule de Liouville.** $W(t) = \det M(t)$ avec $M' = AM$. En dérivant le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) comme fonction multilinéaire des colonnes,

$$
W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n)
= \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .
$$

Or l’application $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots,
AC_j, \dots, C_n)$ est $n$-linéaire et [alternée](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-alternating) (avec deux colonnes égales $C_i = C_k$, les termes $j \notin \{i, k\}$ s’annulent d’emblée, et les termes $j = i$ et $j = k$ se compensent deux à deux après un échange de colonnes) : d’après le théorème d’unicité ([Théorème 2.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#thm-b2-linalg-detspace)), elle vaut $c \cdot \det$, avec $c$ lu sur les colonnes canoniques : $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j,
\dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$. Ainsi $W' =
\operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : une EDO linéaire scalaire, résolue par la formule de l’année 1. ∎

## 16.3 Coefficients constants : l’exponentielle de matrice

**Théorème 16.8.**

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (ou $\C$), l’exponentielle $\eu^{tA}
= \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ ([Exemple 5.22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ex-b2-nvs-matrixexp)) vérifie : $t \mapsto \eu^{tA}$ est $C^1$ (et même $C^\infty$), avec

$$
\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A ,
\qquad
\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA},
\qquad
(\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;
$$

et $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ *lorsque* $AB = BA$. Le problème de Cauchy $X' = AX$, $X(0) = X_0$ a pour unique solution $X(t) =
\eu^{tA}X_0$ ; avec un second membre, la formule de *variation des constantes* vaut :

$$
X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd
s .
$$

**Démonstration.** *Différentiabilité :* la série $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ et sa série dérivée terme à terme $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum
\frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ convergent [normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) sur tout segment ([normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$) : on dérive terme à terme ([Théorème 10.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#thm-b2-funcseq-seriestransfer), à valeurs vectorielles). Les deux [ordres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $A\eu^{tA}$ et $\eu^{tA}A$ coïncident, puisque toute somme partielle commute avec $A$.

*Loi de groupe :* pour $A, B$ qui commutent, le [produit de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini) des deux séries exponentielles se réorganise par la formule du binôme exactement comme dans l’[Exemple 7.15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ex-b2-series-exp) (la convergence absolue dans l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) de Banach le justifie) : $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; avec $B = sA$ on obtient la loi de groupe à un paramètre, et avec $B = -A$ l’inverse.

*Problème de Cauchy :* $X(t) = \eu^{tA}X_0$ en est solution (dériver) ; unicité par le [Théorème 16.4](#thm-b2-diffeq-linear). Variation des constantes : posons $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ; en dérivant, $Y' =
\eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; intégrer de $t_0$ à $t$ et multiplier à nouveau par $\eu^{tA}$. ∎

**Méthode 16.9 (Calcul de etA\eu^{tA}etA).**

Réduire $A$ ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction)) : si $A = PDP^{-1}$ est diagonale, $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ avec $\eu^{tD}$ diagonale formée des $\eu^{t\lambda_i}$ ; en général, utiliser Dunford $A = D
+ N$ (qui commutent) : $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ avec $\eu^{tN}$ un *polynôme* en $t$ (la nilpotence tronque la série). Les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) complexes s’apparient en blocs rotation-fois-exponentielle ([Exercice 16.5](#exo-b2-diffeq-5)).

**Remarque 16.10 (Pièges classiques).**

*(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ sans commutation :* prenons $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $B =
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Alors $\eu^A = I +
A$, $\eu^B = I + B$ (nilpotence), donc

$$
\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},
\qquad\text{tandis que}\qquad
\eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B)
= \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1
\end{pmatrix},
$$

en utilisant $(A+B)^2 = I$ ; et $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$. La loi de groupe du [Théorème 16.8](#thm-b2-diffeq-matrixexp) porte une véritable hypothèse. *(ii) Intuition non linéaire en terrain linéaire :* les solutions d’un système *linéaire* à coefficients [continus](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) vivent sur l’intervalle tout entier ([Théorème 16.4](#thm-b2-diffeq-linear)) — si une solution candidate explose à l’intérieur de $I$, l’équation n’était pas linéaire ou le calcul est faux ; réciproquement, pour les équations non linéaires, ne jamais promettre la globalité sans argument ($y' =
y^2$). *(iii) Diviser par l’inconnue :* séparer les variables dans $y' = y(1-y)$ écarte silencieusement les solutions constantes $0$ et $1$ — précisément celles qui organisent la droite des phases ([Exercice 16.3](#exo-b2-diffeq-3)) ; lister d’abord les solutions constantes. *(iv) Les données initiales fixent des vecteurs, non des scalaires :* une équation scalaire d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $n$ nécessite $n$ conditions ($y, y', \dots$ en $t_0$) ; n’imposer que $y(t_0)$ laisse une famille à $(n-1)$ paramètres, source classique de constantes « perdues ».

**Exemple 16.11 (Une exponentielle 3×33\times33×3 par Dunford).**

Résolvons $X' = AX$ pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 &
0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$. Dunford par blocs : $A = D + N$ avec $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ et $N = E_{12}$, qui commutent ($N$ vit à l’intérieur du bloc associé à la [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $2$), et $N^2 = 0$ :

$$
\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}
= \begin{pmatrix}
\eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\
0 & \eu^{2t} & 0\\
0 & 0 & \eu^{3t}
\end{pmatrix} .
$$

La solution générale se lit colonne par colonne : $X(t) =
\bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\
\eu^{3t}z_0\bigr)$. Vérifications : en $t = 0$ la matrice vaut $I$ ; son [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) est $\eu^{7t} =
\eu^{t\operatorname{tr}A}$, comme l’exige Liouville ; et le facteur $t$ apparaît exactement là où la [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $2$ est défectueuse. Éclairage final : les polynômes fois exponentielles ne sont pas une supposition à mémoriser — ce sont les séries tronquées $\eu^{tN}$, et leur degré est borné par l’indice de nilpotence, jamais plus.

**Méthode 16.12 (Résoudre X′=AX+B(t)X' = AX + B(t)X′=AX+B(t), de bout en bout).**

1. [Spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ ; puis $\eu^{tA}$ par la [Méthode 16.9](#met-b2-diffeq-computeexp) (diagonaliser ; ou Dunford comme dans l’ [Exemple 16.11](#ex-b2-diffeq-dunford3) ; ou une astuce polynomiale du type $A^2 = -I$ ).
2. Une solution particulière : la variation des constantes $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ marche toujours ; pour $B$ exponentielle-polynôme, un ansatz de même forme (degré relevé en cas de [résonance](#pb-b2-diffeq-1) , [Exercice 16.10](#exo-b2-diffeq-10) ) est plus rapide.
3. Solution générale $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particulière ; ajuster les données initiales *en dernier* , sur la formule complète.
4. Vérifications : $X(t_0)$ correct ; la croissance de la partie homogène correspond aux parties réelles des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) ( [Exercice 16.8](#exo-b2-diffeq-8) ) ; et le $\det$ d’une matrice fondamentale obéit à Liouville.

**Exemple 16.13 (Un portrait de phase).**

$X' = AX$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : $A^2 = -I$, donc la série se scinde en

$$
\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A
= \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t
\end{pmatrix} :
$$

les trajectoires sont des cercles parcourus dans le sens horaire — l’oscillateur harmonique $x'' + x = 0$ en habit du premier [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated). [Valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\pm\iu$ sur l’axe imaginaire : un *centre*. Plus généralement, les parties réelles des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ décident de la croissance ou de la décroissance de $\norm{X(t)}$ ([Exercice 16.8](#exo-b2-diffeq-8)).

![Deux portraits de phase linéaires. À gauche : un centre (valeurs propres ±) — orbites circulaires fermées de l’oscillateur harmonique. À droite : un nœud stable (valeurs propres -1, -2) — toutes les trajectoires tombent vers l’origine tangentiellement à la direction propre lente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-diffeq/fig-e6a5565f0d22.svg)

![Deux portraits de phase linéaires. À gauche : un centre (valeurs propres ±) — orbites circulaires fermées de l’oscillateur harmonique. À droite : un nœud stable (valeurs propres -1, -2) — toutes les trajectoires tombent vers l’origine tangentiellement à la direction propre lente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-diffeq/fig-f41c08dcc309.svg)

*Deux portraits de phase linéaires. À gauche : un *centre* ([valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\pm\iu$) — orbites circulaires fermées de l’oscillateur harmonique. À droite : un *nœud stable* ([valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $-1, -2$) — toutes les trajectoires tombent vers l’origine tangentiellement à la direction propre lente.*

![Le plan trace–déterminant pour X' = AX en dimension 2 : sous l’axe horizontal, les selles ; entre l’axe et la parabole = 2/4, les nœuds ; à l’intérieur de la parabole, les foyers ; sur le demi-axe positif, les centres. Le problème du week-end démontre cette classification et en suit une droite verticale — l’oscillateur amorti — jusqu’à la résonance.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-diffeq/fig-0a88d986d75d.svg)

*Le plan trace–déterminant pour $X' = AX$ en dimension $2$ : sous l’axe horizontal, les selles ; entre l’axe et la parabole $\delta = \tau^2/4$, les nœuds ; à l’intérieur de la parabole, les foyers ; sur le demi-axe $\delta$ positif, les centres. Le problème du week-end démontre cette classification et en suit une droite verticale — l’oscillateur amorti — jusqu’à la [résonance](#pb-b2-diffeq-1).*

**Remarque 16.14 (Où cela sert).**

Les systèmes linéaires sont le modèle local de tout ce qui est non linéaire : au voisinage d’un équilibre, un champ de vecteurs régulier se comporte (dans les cas hyperboliques) comme sa linéarisation, dont le plan trace–déterminant classe le portrait. Le problème du week-end développe entièrement l’histoire de l’oscillateur — amortissement, forçage, [résonance](#pb-b2-diffeq-1), et théorèmes de comparaison de Sturm pour les coefficients variables — les mathématiques derrière les amortisseurs, les circuits à courant alternatif et les trous spectraux. Le volume de l’année 3 y revient avec la théorie qualitative (flots, stabilité, intégrales premières) sur les variétés.

## 16.4 Second ordre à coefficients variables

**Proposition 16.15.**

L’équation $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ($a, b, c$ [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $I$) est le système $X' = A(t)X + B(t)$ pour $X = (y, y')$ : les solutions existent et sont uniques sur $I$ tout entier pour toute donnée initiale $(y(t_0), y'(t_0))$ ; les solutions homogènes forment un plan. Si l’on connaît une solution homogène $y_1$ ne s’annulant pas, on en trouve une seconde, indépendante, par *abaissement de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated)* : poser $y = y_1 z$ transforme l’équation homogène en une équation du premier [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) en $z'$, résolue par quadratures.

**Démonstration.** La mise sous forme de système et le [Théorème 16.4](#thm-b2-diffeq-linear) donnent tout ce qui est structurel. Abaissement : en substituant $y
= y_1z$,

$$
y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' +
by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :
$$

une équation linéaire du premier [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) en $u = z'$, résoluble par la formule de l’année 1 ; intégrer $u$ donne $z$, d’où $y_2 = y_1 z$, indépendante de $y_1$ dès que $z$ n’est pas constante. ∎

**Exemple 16.16.**

$t^2y'' - 2y = 0$ sur $\intoo{0}{\infty}$ : $y_1 = t^2$ est solution. Substituons $y = t^2z$ : de $y' = t^2z' + 2tz$ et $y''
= t^2z'' + 4tz' + 2z$,

$$
t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0,
\qquad\text{c.-à-d.}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :
$$

$z' = t^{-4}$ (à une constante près), $z = -\frac{1}{3t^3}$, et $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$. Solution générale : $y = \alpha t^2 +
\frac{\beta}{t}$.

## 16.5 Exercices

**Exercice 16.1 ★.**

Résoudre $X' = AX$, $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$, pour $A =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonaliser) et $A =
\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

**Solution de Exercice 16.1.**

Première matrice : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $1, 2$, vecteurs propres $(1,0)$ et $(1,1)$. Décomposons $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : la solution est

$$
X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .
$$

(Le vecteur initial est lui-même un vecteur propre.)

Seconde : $A = 2I + N$, $N = E_{12}$, $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} =
\eu^{2t}(I + tN)$, donc

$$
X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}
= \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.
$$

**Exercice 16.2 ★.**

Quels problèmes de Cauchy ont des solutions globales uniques sur $\R$ d’après le [Théorème 16.1](#thm-b2-diffeq-cauchylipschitz) ? $y' =
\sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$. Pour le dernier, résoudre explicitement avec $y(0) = 0$ et $y(0) = 1$.

**Solution de Exercice 16.2.**

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y -
z}$ — [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $y$ [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) sur tout segment de temps : solutions globales uniques sur $\R$ (appliquer le théorème sur chaque segment).

$y' = y^2$ : seulement localement [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ; pas de théorème global, et en effet $y(0) = 1$ explose en $t = 1$.

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ est $1$-lipschitzienne : existence et unicité globales. Avec $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (unicité !). Avec $y(0) = 1$ : $y$ reste positive (ne peut traverser la solution nulle), donc $y' = y$ : $y = \eu^t$.

**Exercice 16.3 ★.**

Montrer que deux solutions maximales distinctes de $y' = f(t,y)$ ($f$ [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $y$) ne prennent jamais la même valeur au même instant, et en déduire que les solutions de $y' = y(1 - y)$ partant dans $\intoo{0}{1}$ y restent pour toujours.

**Solution de Exercice 16.3.**

Si $y(t_1) = z(t_1)$ à un certain instant, alors $y$ et $z$ résolvent le même problème de Cauchy en $t_1$ : l’unicité impose $y
= z$ sur leur intervalle commun — des solutions distinctes ne se rencontrent jamais.

Pour $y' = y(1-y)$ : les constantes $0$ et $1$ sont solutions. Une solution partant dans $\intoo{0}{1}$ ne peut jamais atteindre $0$ ni $1$ (elle heurterait une solution constante) : elle reste dans $\intoo{0}{1}$, donc est globale (bornée : pas d’explosion — par exemple par le critère de l’[Exercice 16.9](#exo-b2-diffeq-9), ou parce que le champ de vecteurs est borné sur la bande piège).

**Exercice 16.4 ★★.**

Calculer $\eu^{tA}$ pour $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 &
1\end{pmatrix}$ *(Dunford : $(A - 2I)^2 = 0$)*, et résoudre $X'
= AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$, $X(0) = 0$, par variation des constantes.

**Solution de Exercice 16.4.**

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : Dunford avec $D = 2I$, $N = A - 2I$ :

$$
\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN)
= \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.
$$

Variation des constantes avec $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

$$
X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s
= \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s)
\end{pmatrix}\dd s
= \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2}
\end{pmatrix},
$$

en utilisant $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s},
0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf
T}$. (Vérification : $X(0) = 0$ ; $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf
T}$ par dérivation.)

**Exercice 16.5 ★★.**

Pour $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta &
\alpha\end{pmatrix}$, montrer que $\eu^{tA} =
\eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\
\sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — trajectoires en spirale — de deux façons : par la série (écrire $A = \alpha I + \beta J$, $J^2 = -I$), et par l’identification complexe $z' = (\alpha +
\iu\beta)z$.

**Solution de Exercice 16.5.**

*Série :* $A = \alpha I + \beta J$ avec $J =
\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $J^2 = -I$ ; les deux termes commutent, donc $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$, et la série de $\eu^{\beta t J}$ se scinde selon les puissances paires/impaires en $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : la matrice de rotation-homothétie annoncée.

*Complexe :* identifions $(x, y) \in \R^2$ avec $z = x + \iu
y$ ; le système $X' = AX$ s’écrit $z' = (\alpha + \iu\beta)z$, dont la solution $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ est exactement la spirale : module $\eu^{\alpha t}$, argument avançant à la vitesse $\beta$.

**Exercice 16.6 ★★.**

(Lemme de Gronwall) Soit $u$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) positive vérifiant $u(t)
\leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ sur $\intco{t_0}{T}$. Montrer que $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ *(dériver $v(t) =
\eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$)*. En déduire de nouveau l’unicité dans Cauchy–Lipschitz et la dépendance [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $\norm{y(t) -
z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ pour deux solutions de données initiales différentes.

**Solution de Exercice 16.6.**

Posons $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$. Alors

$$
v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr)
\leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},
$$

par l’hypothèse. En intégrant de $t_0$ à $t$ ($v(t_0) = 0$) : $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$, c’est-à-dire $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; en réinjectant dans l’hypothèse : $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$.

Unicité/dépendance : deux solutions $y, z$ de l’équation intégrale vérifient

$$
\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} +
k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},
$$

et Gronwall avec $C = \norm{y_0 - z_0}$ donne la borne exponentielle ; $C = 0$ donne l’unicité.

**Exercice 16.7 ★★.**

Sachant que $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ résout $ty'' + 2y' + ty =
0$ sur $\intoo{0}{\pi}$, trouver une seconde solution indépendante par abaissement de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated), et donner la solution générale.

**Solution de Exercice 16.7.**

Substituons $y = y_1 z$ avec $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : la formule générale d’abaissement ([Proposition 16.15](#prop-b2-diffeq-secondorder)) donne, pour $u = z'$,

$$
y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0
$$

(l’équation normalisée en $y'' + \frac2t y' + y = 0$). Calculons $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} +
\frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : ainsi

$$
\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t}
= -2\cot t
\quad\Longrightarrow\quad
u = \frac{1}{\sin^2 t}
\quad (\text{à une constante près}),
$$

et $z = -\cot t$, d’où $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$. Solution générale sur $\intoo{0}{\pi}$ :

$$
y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .
$$

(Ce sont les fonctions de Bessel sphériques d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) zéro.)

**Exercice 16.8 ★★★.**

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ dont toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) sont de partie réelle (strictement) négative. Montrer que toute solution de $X' = AX$ tend vers $0$ lorsque $t \to +\infty$, à un taux exponentiel : $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ pour un certain $\alpha > 0$. *(Trigonaliser ; traiter le système triangulaire à partir de la dernière ligne en remontant, ou utiliser Dunford : $\eu^{tA} =
\eu^{tD}\eu^{tN}$ avec $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ et $\eu^{tN}$ polynomial en $t$.)*

**Solution de Exercice 16.8.**

Dunford : $A = D + N$ qui commutent, $D$ [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag) de mêmes [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen), $N$ nilpotent, donc

$$
\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN},
\qquad
\eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!}
\ \text{(un polynôme matriciel en } t).
$$

Posons $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$. Dans une base diagonalisant $D$, $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (coefficients $\eu^{t\lambda_i}$ de module $\eu^{t\Re\lambda_i}$) ; les [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) dans des bases différentes diffèrent d’une constante. D’où

$$
\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0}
\leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0}
\leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,
$$

en absorbant le polynôme dans un unique facteur exponentiel ($\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$, donc borné).

**Exercice 16.9 ★★★.**

(Pas d’échappement en temps fini pour une croissance linéaire) Supposons $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) avec $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ sur $\intco{0}{\infty} \times \R^n$, localement [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $y$. À l’aide de Gronwall ([Exercice 16.6](#exo-b2-diffeq-6)) sur la forme intégrale, montrer que les solutions maximales sont globales (définies sur $\intco{0}{\infty}$ tout entier).

**Solution de Exercice 16.9.**

Soit $y$ une solution maximale sur $\intco{0}{T}$, $T \leq \infty$, et supposons $T < \infty$. La forme intégrale donne, pour $t < T$,

$$
\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} +
b\bigr)\dd s
\leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,
$$

et Gronwall borne $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} +
bT)\,\eu^{aT} =: M$ sur $\intco{0}{T}$ : la solution reste dans une boule compacte. Alors $y' = f(t, y)$ est bornée au voisinage de $T$, donc $y$ est [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) au voisinage de $T$ et se prolonge continûment en $T$ (critère de Cauchy) ; résoudre le problème de Cauchy en $(T, y(T))$ prolonge $y$ au-delà de $T$, contredisant la maximalité. Donc $T = \infty$ : pas d’échappement en temps fini sous croissance linéaire.

**Exercice 16.10 ★.**

Résoudre $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ : solutions homogènes, puis une solution particulière de la forme $\alpha t\,\eu^{t}$ *(pourquoi la supposition naïve $\alpha\eu^t$ échoue-t-elle ?)* ; solution générale et la solution vérifiant $y(0) = y'(0) = 0$.

**Solution de Exercice 16.10.**

Racines caractéristiques de $r^2 - 3r + 2$ : $1$ et $2$, donc les solutions homogènes sont $a\eu^t + b\eu^{2t}$. La supposition $\alpha\eu^t$ échoue car $\eu^t$ résout déjà l’équation homogène (la racine $r = 1$ « entre en [résonance](#pb-b2-diffeq-1) » avec le second membre). Avec $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$, $y'' =
\alpha(2 + t)\eu^t$, et

$$
y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr)
= -\alpha\,\eu^t :
$$

$\alpha = -1$, $y_p = -t\,\eu^t$. Solution générale : $y = a\eu^t
+ b\eu^{2t} - t\eu^t$. Données initiales $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b
= 0$ et $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$, $a = -1$ :

$$
y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .
$$

**Exercice 16.11 ★★.**

Calculer $\eu^{tA}$ pour le bloc de Jordan

$$
A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},
$$

et décrire toutes les solutions de $X' = AX$ : des exponentielles fois des vecteurs polynomiaux, de degrés allant jusqu’à $2$. D’où vient le degré du polynôme ?

**Solution de Exercice 16.11.**

$A = \lambda I + N$ avec $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$, $N^3 = 0$, et $\lambda I$ commute avec $N$ :

$$
\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN +
\frac{t^2}{2}N^2\Bigr)
= \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix}
1 & t & \frac{t^2}{2}\\
0 & 1 & t\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Solutions : $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 +
\frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — chaque composante est $\eu^{\lambda
t}$ fois un polynôme de degré $\leq 2$. La borne sur le degré est l’indice de nilpotence moins un : la série de $\eu^{tN}$ se tronque à $N^2$.

**Exercice 16.12 ★★★.**

(Forçage périodique, réponse périodique) Soient $A \in
\mathcal{M}_n(\R)$ et $B \colon \R \to \R^n$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) et $T$-périodique.

1. Montrer qu’une solution de $X' = AX + B(t)$ est $T$ -périodique si et seulement si $X(T) = X(0)$ *(comparer $X(\cdot + T)$ et $X$)* .
2. Montrer que les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $\eu^{TA}$ sont les $\eu^{T\lambda}$ , $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ *(trigonaliser sur $\C$)* . En déduire : si aucune [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ n’appartient à $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ , alors $I - \eu^{TA}$ est inversible.
3. Sous cette hypothèse, montrer que le système a exactement une solution $T$-périodique, avec $$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1}  \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$$ À quoi correspond le cas exclu, pour l’oscillateur harmonique ? (Le problème du week-end répond : la [résonance](#pb-b2-diffeq-1).)

**Solution de Exercice 16.12.**

1. Si $X(T) = X(0)$ , alors $Y(t) = X(t + T)$ résout $Y' =  AY + B(t + T) = AY + B(t)$ avec $Y(0) = X(0)$ : l’unicité ( [Théorème 16.4](#thm-b2-diffeq-linear) ) donne $Y = X$ , c’est-à-dire $X$ est $T$ -périodique. La réciproque est triviale.
2. Trigonaliser sur $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ avec $T'$ triangulaire supérieure, de diagonale $(\lambda_i)$ . Toute puissance d’une matrice triangulaire est triangulaire de diagonale $(\lambda_i^k)$ , donc $\eu^{TA}  = P\eu^{TT'}P^{-1}$ est triangulaire dans la même base, de diagonale $(\eu^{T\lambda_i})$ : ce sont les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) . Alors $I - \eu^{TA}$ est inversible ssi $\eu^{T\lambda} \neq 1$ pour toute [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) , c’est-à-dire ssi $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , ce qui est l’hypothèse énoncée.
3. Variation des constantes : $X(T) = \eu^{TA}X(0) +  \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$, donc $X(T) = X(0)$ s’écrit $$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) =  \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$$ qui a une unique solution $X(0)$ sous l’hypothèse d’inversibilité : exactement une solution $T$-périodique. Pour l’oscillateur harmonique ($\lambda =  \pm\iu\omega$), le cas exclu est $\omega T \in  2\pi\Z$ : un forçage dont la période est un multiple de la période propre — la [résonance](#pb-b2-diffeq-1), comme le quantifie le problème du week-end.

## 16.6 Problème : oscillations, résonance et théorèmes de comparaison de Sturm

**Problème 16.1.**

Une seule équation régit le monde mécanique et électrique :

$$
x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t),
\qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .
$$

Ce problème l’étudie complètement — via la classification trace–déterminant des systèmes linéaires plans, les trois régimes d’amortissement, la réponse en régime permanent à un forçage périodique avec son pic de *résonance* et la catastrophe de [résonance](#pb-b2-diffeq-1) — puis quitte les coefficients constants pour les *théorèmes de séparation et de comparaison de Sturm*, qui contrôlent les zéros des solutions de $y'' + q(t)y = 0$ sans aucune formule.

**Partie I — Le plan trace–déterminant.** Soient $A \in \mathcal M_2(\R)$, $\tau = \operatorname{tr}A$, $\delta
= \det A$, $\Delta = \tau^2 - 4\delta$.

1. Montrer que les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ sont $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ et classer : deux [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) réelles de signes opposés ssi $\delta < 0$ ; [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) réelles de même signe ssi $\delta > 0$ , $\Delta \geq 0$ (signe de $\tau$ ) ; paire conjuguée non réelle ssi $\Delta < 0$ (partie réelle $\frac\tau2$ ).
2. (Selle, $\delta < 0$ ) Avec les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\mu < 0  < \lambda$ et les vecteurs propres $v_\pm$ , écrire la solution générale et décrire les trajectoires : deux demi-droites stables et deux instables, toutes les autres orbites asymptotes aux deux. Pourquoi aucune solution autre que $0$ ne peut-elle rester bornée sur $\R$ tout entier ?
3. (Nœuds, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Pour $\mu < \lambda  < 0$ : montrer que toute solution non nulle tend vers $0$ et que toutes les orbites, sauf celles sur l’axe rapide, arrivent *tangentiellement à la direction propre lente* *(comparer $\eu^{\mu t}$ et $\eu^{\lambda  t}$)* .
4. (Foyers et centres, $\Delta < 0$ ) En écrivant les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\alpha \pm \iu\beta$ , utiliser l’ [Exercice 16.5](#exo-b2-diffeq-5) (après un changement de base réel, admis dans cette généralité ou démontré pour les systèmes de la partie II, qui sont ceux utilisés ci-dessous) pour décrire les orbites : des spirales convergeant pour $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , divergeant pour $\tau > 0$ , des courbes fermées (centre) pour $\tau  = 0$ .
5. (Cas limites) Pour une [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) double ( $\Delta =  0$ ) : montrer que $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ avec $N = A - \lambda I$ nilpotent, et distinguer l’étoile ( $N = 0$ ) du nœud impropre ( $N \neq 0$ ). Résumer la partie I dans le dessin trace–déterminant de la figure de ce chapitre.

**Partie II — L’oscillateur amorti.** Maintenant $F
= 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$, c’est-à-dire $X' =
AX$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 &
-2\zeta\omega\end{pmatrix}$.

6. Calculer $\tau, \delta, \Delta$ et placer les trois régimes dans le plan trace–déterminant : *sous-amorti* $0 < \zeta < 1$ (foyer stable), *amortissement critique* $\zeta = 1$ ( [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) double), *sur-amorti* $\zeta > 1$ (nœud stable) ; $\zeta = 0$ est le centre.
7. Résoudre explicitement les trois régimes : $$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t  + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d =  \omega\sqrt{1-\zeta^2};  \qquad  \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$$ $\zeta > 1$ : deux exponentielles réelles. Définir la pseudo-période $\frac{2\pi}{\omega_d}$ et montrer que le rapport des maxima successifs de $\abs x$ est la constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ (le décrément logarithmique).
8. (Le principe du ferme-porte) Pour $\zeta \geq 1$ , le taux de décroissance est régi par la plus lente des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta -  \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . Montrer que $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} =  \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ est une fonction *décroissante* de $\zeta \geq 1$ : l’amortissement critique $\zeta = 1$ donne le retour au repos non oscillant le plus rapide.
9. (Énergie) Posons $E(t) = \frac12x'^2 +  \frac12\omega^2x^2$ . Montrer que $E' = -2\zeta\omega\,x'^2  \leq 0$ , et en déduire que pour $\zeta > 0$ l’équation n’a aucune solution périodique non nulle *(une période forcerait $E$ à être constante, donc $x' \equiv  0$)* .
10. Expliquer en deux phrases pourquoi le centre $\zeta = 0$ est *structurellement fragile* : tout $\zeta > 0$ , aussi petit soit-il, détruit la périodicité — et où cela se voit dans le plan trace–déterminant (la droite des centres est d’intérieur vide).

**Partie III — Oscillations forcées et [résonance](#pb-b2-diffeq-1).** Maintenant $F(t) = F\cos(\gamma t)$ avec $F, \gamma > 0$.

11. ($\zeta > 0$ : le régime permanent) Chercher $x_p =  \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : montrer que $$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 +  2\iu\zeta\omega\gamma},  \qquad  A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 -  \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$$ et écrire $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ avec $\tan\varphi =  \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$.
12. Montrer que *toute* solution est $x_p$ plus un transitoire issu de la partie II, qui tend vers $0$ : quelles que soient les données initiales, le système se cale sur le régime permanent — amplitude $A(\gamma)$ , déphasage $\varphi$ .
13. (La courbe de [résonance](#pb-b2-diffeq-1)) Maximiser $A$ : montrer que $A(\gamma)$ a un maximum intérieur ssi $\zeta <  \frac{1}{\sqrt2}$, en $$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2},  \qquad  A(\gamma_*) =  \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$$ et que pour $\zeta$ petit le pic amplifie la réponse statique $A(0) = \frac F{\omega^2}$ du facteur $\approx  \frac{1}{2\zeta}$.
14. ($\zeta = 0$, hors [résonance](#pb-b2-diffeq-1)) Pour $\gamma \neq \omega$, montrer que la solution vérifiant $x(0) = x'(0) = 0$ est $$x(t) = \frac{F}{\omega^2 -  \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr)  = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2}  \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2}  \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$$ bornée, avec des *battements* — une oscillation rapide sous une enveloppe lente — lorsque $\gamma$ est proche de $\omega$.
15. ( $\zeta = 0$ , [résonance](#pb-b2-diffeq-1) ) Pour $\gamma = \omega$ , montrer que $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ est une solution, et la retrouver comme limite de la question 14 quand $\gamma \to \omega$ : l’amplitude croît linéairement sans fin — la catastrophe de [résonance](#pb-b2-diffeq-1) .
16. (Lien avec Fourier) Un forçage périodique général se décompose en harmoniques (le chapitre de Fourier) ; par linéarité, le régime permanent est la somme des réponses harmoniques. Pour un oscillateur non amorti de fréquence $\omega = 3$ forcé par le signal carré du type de l’ [Exercice 14.1](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/14-series-de-fourier#exo-b2-fourier-1) (harmoniques à tous les entiers impairs), quelle harmonique entre en [résonance](#pb-b2-diffeq-1) ? Une phrase sur les raisons pour lesquelles les ingénieurs craignent les signaux carrés.

**Partie IV — Les théorèmes de Sturm.** Considérons $y'' + q(t)\,y = 0$ sur un intervalle $I$, $q$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity). (Toute équation $y'' + ay' + by = 0$ se ramène à cette forme normale par la substitution $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ; la question 21 montre une variante de l’astuce à l’œuvre.)

17. Pour deux solutions $y_1, y_2$ , montrer que le [wronskien](#def-b2-diffeq-wronskian) $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ est *constant* , nul ssi les solutions sont proportionnelles ; et qu’une solution non nulle n’a que des zéros *simples et isolés* .
18. (Séparation de Sturm) Soient $y_1, y_2$ deux solutions indépendantes et $a < b$ deux zéros consécutifs de $y_1$ . Montrer que $y_2$ s’annule exactement une fois dans $\intoo{a}{b}$ *(évaluer la constante $W$ en $a$ et $b$ : $W = y_1'y_2$ en ces points, et $y_1'(a)$, $y_1'(b)$ sont de signes opposés)* : les zéros de solutions indépendantes s’entrelacent.
19. (Comparaison de Sturm) Soient $q_1 \leq q_2$ sur $I$ , $y  \neq 0$ avec $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ avec $z'' +  q_2z = 0$ , et $a < b$ deux zéros consécutifs de $y$ . Montrer que $z$ s’annule dans $\intcc{a}{b}$ — strictement à l’intérieur si $q_1 < q_2$ quelque part sur $\intoo ab$ *(si $z \neq 0$ sur $\intoo ab$, étudier $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ avec des signes fixes pour $y, z$ et comparer les valeurs aux bords)* .
20. En déduire les *bornes d’espacement* : si $0 < m^2  \leq q(t) \leq M^2$ sur $I$, alors deux zéros consécutifs $a < b$ d’une solution non nulle de $y'' + qy = 0$ vérifient $$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$$ *(comparer avec $u'' + M^2u = 0$ et $u'' + m^2u  = 0$, dont les zéros sont espacés de $\frac\pi M$ et $\frac\pi m$)*. Vérifier sur l’oscillateur harmonique.
21. Transformer $ty'' + 2y' + ty = 0$ ( [Exercice 16.7](#exo-b2-diffeq-7) ) par $u = ty$ en $u'' + u =  0$ , retrouver aussitôt ses solutions $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ , et conclure que les zéros de toute solution non nulle sont espacés exactement de $\pi$ : la vision du monde de Sturm — les zéros sont contrôlés par le coefficient $q$ , formules ou pas.

**Partie V — Duhamel et la frontière de bornitude.**

22. (Duhamel pour l’oscillateur) Montrer que pour $F$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), la solution de $x'' + \omega^2x =  F(t)$ vérifiant $x(0) = x'(0) = 0$ est $$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t -  s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$$ et en redériver la solution résonante de la question 15 avec $F(s) = F\cos(\omega s)$ *(produit en somme)*.
23. ( $\zeta > 0$ : entrée bornée, sortie bornée) Montrer que pour $\zeta > 0$ et *toute* fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) bornée $F$ , toute solution de l’équation amortie est bornée sur $\intco{0}{\infty}$ *(variation des constantes plus la décroissance exponentielle $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ de l’[Exercice 16.8](#exo-b2-diffeq-8))* .
24. ( $\zeta = 0$ ) Montrer que sans amortissement, un forçage périodique borné maintient toutes les solutions bornées *sauf* exactement à la [résonance](#pb-b2-diffeq-1) ( $\gamma =  \omega$ , question 15 contre question 14) : c’est l’amortissement qui transforme la frontière de bornitude en stabilité uniforme.
25. Synthèse. En une phrase chacune : (i) comment le plan trace–déterminant organise les parties I–II et où le forçage (partie III) le quitte ; (ii) le sens physique de $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ et du facteur $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) ce que les théorèmes de Sturm disent que les formules explicites ne peuvent dire ; (iv) lesquels des deux résultats de ce problème le reste du livre réutilisera discrètement ( [wronskiens](#def-b2-diffeq-wronskian) constants par Liouville ; stabilité entrée bornée).

**Solution de Problème 16.1.**

**1.** Le [polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-charpoly) est $\lambda^2 -
\tau\lambda + \delta$, de racines $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$. Si $\delta < 0$ alors $\Delta =
\tau^2 - 4\delta > 0$ et les deux racines réelles ont pour produit $\delta < 0$ : signes opposés. Si $\delta > 0$ et $\Delta \geq
0$ : racines réelles de produit $> 0$ et de somme $\tau$ : toutes deux du signe de $\tau$. Si $\Delta < 0$ : paire conjuguée $\alpha
\pm \iu\beta$ avec $\alpha = \frac\tau2$, $\beta =
\frac{\sqrt{-\Delta}}2$.

**2.** $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$. Les orbites avec $a = 0$ (resp. $b = 0$) courent le long de la droite propre instable (resp. stable) ; toutes les autres ont $\norm X \to \infty$ dans les deux sens du temps, asymptotes à $\R
v_+$ quand $t \to +\infty$ et à $\R v_-$ quand $t \to -\infty$ : l’image de la selle. La bornitude sur $\R$ tout entier force $b = 0$ (sinon explosion en $+\infty$) et $a = 0$ (en $-\infty$) : seulement l’origine.

**3.** Avec $\mu < \lambda < 0$, les deux exponentielles décroissent : $X(t) \to 0$. Si $b \neq 0$, factorisons $\eu^{\lambda t}$ :

$$
X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu -
\lambda)t}v_\mu\bigr),
\qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :
$$

la direction de $X(t)$ tend vers $\R v_\lambda$, la direction propre *lente* — toutes les orbites sauf l’axe rapide y arrivent tangentiellement (le panneau de droite des portraits de phase du chapitre).

**4.** Dans la base où $A = \begin{pmatrix} \alpha &
-\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ ([Exercice 16.5](#exo-b2-diffeq-5) ; pour les systèmes de l’oscillateur de la partie II, cette forme est atteinte par un changement de base réel explicite), la solution est $\eu^{\alpha t}$ fois une rotation d’angle $\beta t$ : des spirales logarithmiques, contractantes lorsque $\alpha = \frac\tau2 < 0$, dilatantes lorsque $\tau > 0$, et des courbes fermées (des ellipses dans les coordonnées d’origine) lorsque $\tau = 0$ : le centre.

**5.** $\Delta = 0$ donne la [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) double $\lambda =
\frac\tau2$ ; par Cayley–Hamilton ([Théorème 3.21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#thm-b2-reduction-cayleyhamilton)), $(A - \lambda I)^2 =
0$, donc $N = A - \lambda I$ est nilpotent, commute avec $\lambda I$, et $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$. Si $N =
0$ : $A = \lambda I$, toutes les demi-droites sont des orbites (nœud en étoile). Si $N \neq 0$ : $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 +
tNX_0)$, et pour $NX_0 \neq 0$ la direction [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) vers l’unique direction propre $\operatorname{im}N$ : nœud impropre. Ceci complète l’image trace–déterminant.

**6.** $\tau = -2\zeta\omega$, $\delta = \omega^2 > 0$, $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$. Donc : $0 < \zeta < 1$ donne $\Delta < 0$, $\tau < 0$ : foyer stable ; $\zeta = 1$ : $\Delta =
0$ : nœud stable dégénéré ; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$, $\tau <
0$, $\delta > 0$ : nœud stable ; $\zeta = 0$ : $\tau = 0$, $\delta > 0$ : centre. Un trajet vertical dans le plan à $\delta =
\omega^2$.

**7.** Racines $r = -\zeta\omega \pm
\omega\sqrt{\zeta^2-1}$. Pour $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega
\pm \iu\omega_d$, $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

$$
x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt +
b\sin\omega_dt\bigr)
= R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .
$$

Pour $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$. Pour $\zeta >
1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$, les deux taux négatifs. Les maxima successifs de $\abs x$ dans le cas sous-amorti se produisent à des instants séparés de la pseudo-période $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (même phase du cosinus), et leur rapport est $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} =
\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : le décrément logarithmique, un indicateur d’amortissement lisible sur un oscilloscope.

**8.** En rationalisant,

$$
\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta -
\sqrt{\zeta^2-1}\bigr)
= \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,
$$

dont le dénominateur croît avec $\zeta \geq 1$ : le taux de décroissance est maximal en $\zeta = 1$, où il vaut $\omega$. Une porte sur-amortie se ferme sans claquer mais *lentement* ; l’amortissement critique est l’optimum de l’ingénieur.

**9.** $E' = x'x'' + \omega^2xx' =
x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' =
-2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$. Si $x$ était périodique et non constante, $E$ serait périodique et décroissante, donc constante, forçant $x' \equiv 0$ : $x$ constante, et alors $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$. Donc pour $\zeta > 0$ la seule solution périodique est le repos : l’amortissement tue tout [cycle](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn).

**10.** Le centre $\zeta = 0$ vit sur la droite $\tau =
0$ du plan trace–déterminant — un ensemble d’intérieur vide : une perturbation arbitrairement petite de la matrice (tout amortissement physique) déplace $\tau$ hors de zéro et transforme les orbites fermées en spirales. La périodicité de l’oscillateur non amorti est donc un phénomène sur le fil du rasoir, non un phénomène robuste.

**11.** En substituant $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ dans l’équation :

$$
\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma +
\omega^2\bigr)z = F
\quad\Longrightarrow\quad
z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},
$$

donc $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ avec $\varphi =
\arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$, c’est-à-dire $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 -
\gamma^2}$, et le $A(\gamma) = \abs z$ annoncé.

**12.** La différence de deux solutions résout l’équation homogène, qui pour $\zeta > 0$ décroît vers $0$ (question 7) : toute solution est égale à $x_p$ plus un transitoire s’évanouissant à l’infini. Le régime permanent est un attracteur global : les conditions initiales sont oubliées, seuls subsistent $A(\gamma)$ et le déphasage $\varphi$.

**13.** Minimisons $g(u) = (\omega^2 - u)^2 +
4\zeta^2\omega^2u$ sur $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) =
-2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ en $u = \omega^2(1 -
2\zeta^2)$, intérieur ssi $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$. Là,

$$
g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2)
= 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2),
\qquad
A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .
$$

Face à la réponse statique $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : amplification $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx
\frac{1}{2\zeta}$ pour $\zeta$ petit — un système faiblement amorti proche de $\gamma_* \approx \omega$ multiplie l’entrée au centuple lorsque $\zeta = 0.005$.

**14.** Le $x$ annoncé vérifie $x(0) = x'(0) = 0$ et

$$
x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 -
\gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t
$$

(les parties en $\cos\omega t$ se compensent). La forme produit découle de $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ avec $p = \gamma t$, $q = \omega t$. Pour $\gamma$ proche de $\omega$, le facteur $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ est une enveloppe lente modulant l’oscillation rapide $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ : des battements, d’amplitude $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — grande, mais bornée.

**15.** Pour $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

$$
x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t -
\omega^2t\sin\omega t\bigr)
= F\cos\omega t - \omega^2x_p :
$$

une solution. Et à $t$ fixé, en faisant $\gamma \to \omega$ dans la question 14 :

$$
\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2
\sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}}
{(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)}
\longrightarrow
\frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma)
\cdot\sin\omega t}{2\omega}
= \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .
$$

L’amplitude croît linéairement sans borne : la catastrophe de [résonance](#pb-b2-diffeq-1) — la raison pour laquelle les soldats rompent le pas sur les ponts.

**16.** Le signal carré porte des harmoniques à toute fréquence impaire $n = 1, 3, 5, \dots$ ; par linéarité, chaque harmonique $n$ est amplifiée par la réponse de l’oscillateur en $\gamma = n$. Pour $\omega = 3$, la troisième harmonique atteint exactement la [résonance](#pb-b2-diffeq-1). Les ingénieurs craignent les entrées carrées (et en dents de scie) parce qu’elles excitent *toutes* les harmoniques impaires à la fois : quelle que soit la fréquence propre de la structure, une harmonique l’attend.

**17.** $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 =
0$ : $W$ est constant (Liouville avec une matrice compagnon de trace nulle). $W = 0$ en un point rend les données initiales de $y_2$ proportionnelles à celles de $y_1$, donc $y_2$ proportionnelle à $y_1$ (unicité) ; $W \neq 0$ ssi indépendantes. Si $y(t_0) =
y'(t_0) = 0$ alors $y \equiv 0$ (unicité) : une solution non nulle a des zéros simples, et un zéro simple est isolé ($y'$ de signe fixe au voisinage).

**18.** Entre deux zéros consécutifs $a < b$, $y_1$ garde un signe constant, disons $y_1 > 0$ sur $\intoo ab$ : alors $y_1'(a) > 0$ et $y_1'(b) < 0$ (zéros simples). En évaluant la constante $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ en $a$ et $b$ :

$$
W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,
$$

donc $y_2(a)$ et $y_2(b)$ sont de signes opposés ($W \neq 0$ interdit à l’un ou l’autre de s’annuler) : $y_2$ s’annule dans $\intoo ab$ (valeurs intermédiaires). Il ne peut s’y annuler deux fois : deux zéros de $y_2$ encadreraient un zéro de $y_1$ par le même argument avec les rôles échangés, contredisant la consécutivité : exactement un zéro — l’entrelacement.

**19.** Supposons que $z$ n’a aucun zéro dans $\intoo ab$ ; en remplaçant $y, z$ par leurs opposés, supposons $y > 0$ et $z >
0$ sur $\intoo ab$. Posons $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz''
- y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ sur $\intoo ab$ : $\varphi$ est décroissante. Mais $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (car $y'(a) > 0$, $z(a) \geq 0$) et $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq
0$ (car $y'(b) < 0$, $z(b) \geq 0$) : une fonction décroissante allant de $\leq 0$ à $\geq 0$ s’annule identiquement, donc $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ sur $\intoo ab$. Si $q_1 < q_2$ quelque part dans $\intoo ab$, c’est absurde ($y, z > 0$ en ce point) : $z$ doit s’annuler strictement à l’intérieur. En général ($q_1 \leq q_2$), ou bien $z$ s’annule dans $\intoo ab$, ou bien $\varphi \equiv 0$ force $z$ proportionnelle à $y$, qui s’annule en $a$ et $b$ : dans tous les cas $z$ a un zéro dans $\intcc ab$.

**20.** Borne supérieure : comparons $y$ (coefficient $q \geq
m^2$) avec $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coefficient $m^2 \leq q$, donc $y$ joue le rôle de $z$ dans la question 19) : si $y$ n’avait aucun zéro dans $\intoc{a}{a + \pi/m}$, les zéros $a$ et $a +
\frac\pi m$ de $u$ seraient consécutifs avec $y \neq 0$ entre eux, contredisant la question 19 : deux zéros consécutifs de $y$ sont à distance $\leq \frac\pi m$. Borne inférieure : si deux zéros consécutifs $a < b$ de $y$ vérifiaient $b - a < \frac\pi M$, alors $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coefficient $M^2 \geq q$) devrait s’annuler dans $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M}
\cup\{a\}$, où son unique zéro est $a$ lui-même — mais la question 19 appliquée sur $\intoo{a}{b}$ avec stricte inégalité aux extrémités donne un zéro dans $\intcc ab$, et $z > 0$ sur $\intoc ab$ : contradiction. Donc $\frac\pi M \leq b - a \leq
\frac\pi m$ ; pour $q \equiv \omega^2$ les deux bornes se rejoignent à l’espacement exact $\frac\pi\omega$ de l’oscillateur harmonique.

**21.** Avec $u = ty$ : $u'' = ty'' + 2y'$, donc $ty'' + 2y'
+ ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t +
\varphi)$, et $y = \frac{u}{t}$ retrouve $\frac{\sin t}t$ et $\frac{\cos t}t$ ([Exercice 16.7](#exo-b2-diffeq-7)) sans aucun abaissement de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated). Les zéros de toute solution non nulle sont ceux de $R\sin(t + \varphi)$ : espacés exactement de $\pi$ — la philosophie de Sturm à l’œuvre : le coefficient $q \equiv 1$ dicte les zéros, avec ou sans formule.

**22.** Posons $x(t) =
\frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$. Alors $x(0) =
0$ ;

$$
x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) +
\int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s
= \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,
$$

donc $x'(0) = 0$ ; et $x''(t) = F(t) -
\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (dérivation d’une [intégrale à paramètre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#thm-b2-integration-continuity) à borne variable, comme dans le chapitre d’intégration). Avec $F(s) = F\cos\omega s$, la transformation produit en somme donne

$$
\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s
= \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t -
2\omega s)\bigr)\dd s
= \frac{t}{2}\sin\omega t ,
$$

(le second morceau s’intègre en zéro), donc $x =
\frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : de nouveau la question 15, à partir de Duhamel.

**23.** Sous forme de système $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ avec $\operatorname{Sp}A$ de parties réelles négatives ($\zeta >
0$) : la variation des constantes et l’[Exercice 16.8](#exo-b2-diffeq-8) ($\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$) donnent

$$
\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0}
+ \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s
\leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :
$$

entrée bornée, sortie bornée — [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) en les données initiales après le transitoire.

**24.** Pour $\zeta = 0$ et $\gamma \neq \omega$, la solution de la question 14 est bornée, et ajouter une solution homogène quelconque (bornée : les orbites du centre sont des cercles) la maintient bornée ; en $\gamma = \omega$, la question 15 croît linéairement. Ainsi, pour l’oscillateur non amorti, la bornitude sous forçage périodique échoue à exactement une fréquence — la [résonance](#pb-b2-diffeq-1) — tandis que la question 23 montre que tout amortissement positif restaure la bornitude pour *toutes* les entrées bornées.

**25.** (i) Le plan trace–déterminant classe toute la dynamique linéaire plane autonome, et l’oscillateur de la partie II en parcourt une droite verticale ; le forçage quitte le plan (non autonome), et Duhamel prend le relais. (ii) $\gamma_*$ est la fréquence que le système préfère, $A(\gamma_*)$ le prix à payer pour l’exciter, et $\frac{1}{2\zeta}$ le facteur d’amplification — l’acuité de la [résonance](#pb-b2-diffeq-1) que les ingénieurs appellent le facteur de qualité. (iii) Les théorèmes de Sturm lisent l’oscillation sur le seul signe et la seule taille de $q$ : ils gouvernent des équations (Bessel, Schrödinger) dont les solutions n’ont pas de formule élémentaire. (iv) Les [wronskiens](#def-b2-diffeq-wronskian) constants (question 17, via Liouville) et la stabilité entrée bornée (question 23) sont réutilisés discrètement chaque fois que le livre rencontre des équations à coefficients variables ou des systèmes perturbés.