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title: "Courbes"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes
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# Chapitre 18 — Courbes

La géométrie devient maintenant [différentielle](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential). Une courbe est un point qui se déplace dans l’espace ; le calcul différentiel nous donne sa vitesse et son accélération, et la géométrie demande ce qui est intrinsèque — indépendant de la vitesse à laquelle on parcourt la trajectoire. Les réponses sont la *[longueur d’arc](#def-b2-curves-length)*, qui mesure la trajectoire elle-même, et la *[courbure](#thm-b2-curves-frenet2d)*, qui mesure comment elle se courbe. En dimension $3$, un second invariant, la *[torsion](#thm-b2-curves-frenet3d)*, mesure comment la courbe se tord hors de son plan. L’outil qui comptabilise tout cela est le *repère de Frenet* mobile.

## 18.1 Arcs paramétrés

**Définition 18.1 (Arc paramétré).**

Un *arc paramétré* de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) est une application $\gamma \colon I \to \R^n$ de classe $\mathcal{C}^k$ sur un intervalle $I$. Un point $\gamma(t)$ est *régulier* si $\gamma'(t) \neq 0$, et l’arc est *régulier* si tous ses points le sont. La droite passant par $\gamma(t)$ et dirigée par $\gamma'(t)$ est la *tangente* en un point régulier.

**Définition 18.2 (Changement de paramètre).**

Un *changement de paramètre* de classe $\mathcal{C}^k$ est un $\mathcal{C}^k$-difféomorphisme $\theta \colon J \to I$ entre intervalles ($\theta' \neq 0$ partout). Les arcs $\gamma$ et $\gamma \circ \theta$ sont dits *équivalents* ; un *arc géométrique* (ou courbe) est une classe d’équivalence. Les notions invariantes par changement de paramètre — la trajectoire, la [tangente](#def-b2-curves-arc), la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length), la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) — sont dites *géométriques*.

**Remarque 18.3.**

La trajectoire seule ne détermine pas l’[arc géométrique](#def-b2-curves-reparam) : les paramétrages $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ sur $[0, 2\pi]$ et sur $[0, 4\pi]$ ont la même image mais parcourent le cercle une fois et deux fois. Un [arc géométrique](#def-b2-curves-reparam) retient la multiplicité et l’orientation du parcours, non sa vitesse.

**Exemple 18.4 (La vitesse ne change rien de géométrique).**

Paramétrons le cercle unité par

$$
\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2),
\qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .
$$

La vitesse $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ croît linéairement, et pourtant

$$
L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,
$$

la même [longueur](#def-b2-curves-length) qu’à vitesse constante — comme le [Théorème 18.7](#thm-b2-curves-lengthinv) le promet, via le [changement de paramètre](#def-b2-curves-reparam) $t \mapsto t^2$. La [tangente](#def-b2-curves-arc), la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) calculée à partir de la [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula), et toute autre grandeur géométrique coïncident également ; seul $t = 0$ mérite un regard, où $\gamma'(0) = 0$ rend *ce paramétrage* irrégulier bien que la trajectoire soit un cercle parfait. Les énoncés géométriques tolèrent mal les mauvais paramétrages : reparamétrer d’abord, conclure ensuite.

**Exemple 18.5.**

L’arc $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non régulier : $\gamma'(0) = (0, 0)$. Sa trajectoire, la parabole semi-cubique $y^2 = x^3$, présente un *point de rebroussement* à l’origine : la régularité du paramétrage n’empêche pas une singularité géométrique là où la vitesse s’annule. C’est pourquoi l’hypothèse de régularité $\gamma' \neq 0$ n’est pas cosmétique.

## 18.2 Longueur d’arc

**Définition 18.6 (Longueur d’arc).**

Soit $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ un arc $\mathcal{C}^1$. Sa *longueur* est

$$
L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,
$$

où $\norm{\cdot}$ est la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) euclidienne. L’*abscisse curviligne* d’origine $t_0$ est $s(t) = \int_{t_0}^t
\norm{\gamma'(u)}\,\dd u$.

**Théorème 18.7 (La longueur est géométrique ; caractérisation polygonale).**

1. Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ est un [changement de paramètre](#def-b2-curves-reparam) $\mathcal{C}^1$ , alors $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
2. $L(\gamma)$ est la borne supérieure des [longueurs](#def-b2-curves-length) des polygones inscrits : $$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$$

**Démonstration.** *1.* Par le changement de variable $t = \theta(u)$ (volume de première année, valide puisque $\theta$ est $\mathcal{C}^1$ monotone),

$$
\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u
= \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u
= \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,
$$

où l’on a utilisé $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot
(\gamma'\circ\theta)$ et, si $\theta$ est décroissante, le signe de $\theta'$ est absorbé par l’inversion des bornes.

*2.* Pour toute subdivision, $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) =
\int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$, donc par l’inégalité triangulaire pour les intégrales $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})}
\leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : tout polygone est plus court que $L(\gamma)$, d’où $\sup \leq L(\gamma)$.

Pour l’inégalité inverse, soit $\varepsilon > 0$. Comme $\gamma'$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur le [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) $[a,b]$, elle est [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) : il existe $\delta > 0$ tel que $\norm{\gamma'(t) -
\gamma'(u)} \leq \varepsilon$ dès que $\abs{t - u} \leq \delta$. Prenons une subdivision de pas $\leq \delta$. Sur chaque morceau, pour $t \in [t_{i-1}, t_i]$,

$$
\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})
= \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t
= (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i,
\qquad
\norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),
$$

puisque $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) -
\gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$. Donc

$$
\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})}
\geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}
- \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .
$$

En sommant, et en comparant $\sum (t_i -
t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ avec $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (une somme de Riemann de la fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $\norm{\gamma'}$, à $\varepsilon(b - a)$ près de l’intégrale pour $\delta$ assez petit, de nouveau par continuité uniforme), on obtient un polygone de [longueur](#def-b2-curves-length) $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$. En faisant tendre $\varepsilon \to 0$, on prouve l’assertion. ∎

**Exemple 18.8 (Archimède et les polygones inscrits).**

Pour le cercle unité, le polygone régulier à $n$ côtés inscrit a pour [longueur](#def-b2-curves-length) $L_n = 2n\sin\frac\pi n$, et le développement $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ donne

$$
L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :
$$

les [longueurs](#def-b2-curves-length) polygonales du [Théorème 18.7](#thm-b2-curves-lengthinv) convergent *quadratiquement*. Numériquement : $L_6 = 6$ (l’hexagone, donnant le grossier $\pi > 3$), tandis que $L_{96} =
192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ contre $2\pi \approx
6.28319$ — l’erreur $0.00113$ concorde avec la valeur prédite $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$. C’est pourquoi Archimède, en doublant l’hexagone cinq fois jusqu’à $96$ côtés, pouvait encadrer $\pi$ à trois décimales à la main : chaque doublement divise l’erreur par quatre. La borne supérieure de la caractérisation polygonale n’est pas seulement atteinte à la limite ; elle est atteinte *rapidement*, parce qu’une courbe lisse ne s’écarte de ses cordes qu’au second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated).

**Théorème 18.9 (Paramétrage par longueur d’arc).**

Soit $\gamma \colon I \to \R^n$ un arc $\mathcal{C}^k$ régulier ($k \geq 1$). L’[abscisse curviligne](#def-b2-curves-length) $s$ est un $\mathcal{C}^k$-difféomorphisme de $I$ sur un intervalle $J$, et $\tilde\gamma =
\gamma \circ s^{-1}$ vérifie $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ partout. À translation du paramètre et orientation près, ce paramétrage *par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length)* (ou *normal*) est unique.

**Démonstration.** $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ et $s'$ est $\mathcal{C}^{k-1}$ (composée de l’application $\mathcal{C}^{k-1}$ $\gamma'$ avec la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm), lisse en dehors de $0$), donc $s$ est $\mathcal{C}^k$, strictement croissante, une bijection sur $J = s(I)$, et son inverse est $\mathcal{C}^k$ par le théorème d’inversion locale en dimension $1$ (volume de première année). Alors

$$
\tilde\gamma'(\sigma)
= \frac{\gamma'(t)}{s'(t)}
= \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}},
\qquad t = s^{-1}(\sigma),
$$

un vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint). Si $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ est un autre paramétrage normal, alors $\abs{\theta'} = 1$, donc $\theta'
= \pm 1$ constant (continuité), c’est-à-dire $\theta(u) = \pm u + c$. ∎

**Remarque 18.10.**

La [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) est le paramètre qui sépare la géométrie de la dynamique. Une trajectoire peut être parcourue avec n’importe quel profil de vitesse — la physique du mouvement — mais toute question invariante par paramétrage (forme, [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d), osculation) possède une horloge canonique, la distance parcourue. C’est pourquoi toutes les formules de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) ci-dessous sont *définies* à vitesse unité puis *traduites* à des paramétrages quelconques par la règle de dérivation composée : les facteurs de traduction sont des puissances de $v = s'$, et les suivre correctement est tout le contenu de la [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula).

**Exemple 18.11 (Cercle et hélice).**

Pour le cercle $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $\norm{\gamma'} =
R$, donc $s = Rt$ et la [longueur](#def-b2-curves-length) d’un tour [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) est $2\pi R$. Pour l’hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ avec $a > 0$, $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ est constante : l’hélice est parcourue à vitesse constante, et $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$.

**Exemple 18.12 (Longueur d’arc en coordonnées polaires).**

Une courbe polaire $r = r(\theta)$ est l’arc $\gamma(\theta) =
(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$, avec

$$
\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\
r'\sin\theta + r\cos\theta),
\qquad
\norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2
$$

(les termes croisés s’annulent) : l’élément de [longueur](#def-b2-curves-length) polaire est $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$. Pour la cardioïde $r = 1 +
\cos\theta$ :

$$
r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 +
2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,
$$

et sur $\intcc{-\pi}{\pi}$ le cosinus de l’angle moitié est positif, donc

$$
L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta
= \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}
= 4 - (-4) = 8 :
$$

comme l’arche de cycloïde de l’[Exercice 18.1](#exo-b2-curves-1), une courbe construite à partir de cercles a une [longueur](#def-b2-curves-length) rationnelle, sans aucun $\pi$. La factorisation par l’angle moitié est l’astuce standard pour les [longueurs](#def-b2-curves-length) de courbes engendrées par des cercles ; quand elle échoue (l’ellipse), la [longueur](#def-b2-curves-length) est une fonction véritablement nouvelle — une intégrale elliptique, au-delà des formes closes élémentaires.

## 18.3 Courbure dans le plan

Tout au long de cette section, les arcs sont $\mathcal{C}^2$ et réguliers dans le plan euclidien orienté. On paramètre par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) et on note $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ la [tangente](#def-b2-curves-arc) [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint), et $N(s)$ le vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) directement orthogonal à $T(s)$ (rotation de $T$ de $+\pi/2$).

**Théorème 18.13 (Formules de Frenet dans le plan).**

Soit $\tilde\gamma$ un arc $\mathcal{C}^2$ paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) dans le plan orienté. Il existe une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $\kappa$, la *[courbure](#thm-b2-curves-frenet2d)* (algébrique), telle que

$$
T'(s) = \kappa(s)\, N(s),
\qquad
N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).
$$

**Démonstration.** Comme $\norm{T(s)}^2 = 1$ pour tout $s$, en dérivant le produit scalaire on obtient $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ : $T'(s)$ est orthogonal à $T(s)$, donc colinéaire à $N(s)$ (dimension $2$) ; on écrit $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ avec $\kappa(s) = \langle T'(s),
N(s)\rangle$, [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity). De même $N' \perp N$, donc $N' = \lambda
T$ ; et en dérivant $\langle T, N\rangle = 0$ on obtient $\langle
T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$. ∎

**Définition 18.14.**

Lorsque $\kappa(s) \neq 0$, le *rayon de courbure* est $R(s) =
1/\abs{\kappa(s)}$ et le *centre de courbure* est $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; le cercle de ce centre et de rayon $R(s)$ est le *cercle osculateur*, la meilleure approximation circulaire de la courbe en $\tilde\gamma(s)$.

**Exemple 18.15 (Le cercle osculateur de l’exponentielle).**

Pour $y = \eu^x$ au point $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$, donc par la formule pour un graphe ci-dessous,

$$
\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2},
\qquad R = 2\sqrt2 .
$$

La [tangente](#def-b2-curves-arc) [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) est $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$, la normale directe $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$, et le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) est

$$
(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :
$$

le [cercle osculateur](#def-b2-curves-curvature) a pour équation $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 =
8$. Pour vérifier l’affirmation de « meilleure approximation circulaire » : en résolvant l’équation du cercle en $y$ près de $(0,1)$ et en développant, on obtient $y = 1 + x +
\frac{x^2}2 + O(x^3)$ — exactement le développement de Taylor à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux de $\eu^x$. Le [cercle osculateur](#def-b2-curves-curvature) coïncide en valeur, en pente *et* en dérivée seconde ; un cercle tangent ordinaire ne coïnciderait qu’avec les deux premières.

**Exemple 18.16 (La développée d’un cercle est son centre).**

Pour le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens direct, $\kappa = 1/R$ et $N$ pointe vers le centre, donc le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ est le centre du cercle, pour tout $s$ : le [cercle osculateur](#def-b2-curves-curvature) d’un cercle est le cercle lui-même, et le lieu des [centres de courbure](#def-b2-curves-curvature) se réduit à un point. Ce cas dégénéré calibre l’[Exercice 18.6](#exo-b2-curves-6) : là, la vitesse de la développée est $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$, qui s’annule identiquement précisément lorsque $\kappa$ est constante.

**Proposition 18.17 (Courbure dans un paramétrage quelconque).**

Pour un arc plan $\mathcal{C}^2$ régulier $\gamma(t) = (x(t), y(t))$,

$$
\kappa(t)
= \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)}
       {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,
$$

en particulier $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ pour un graphe $y = f(x)$.

**Démonstration.** Posons $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$, de sorte que $\gamma' = vT$ (en composant les données à vitesse unité avec $s$). En dérivant,

$$
\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .
$$

Prenons maintenant le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) (dans la base orientée canonique) de $(\gamma', \gamma'')$ : comme $\det(T, T) = 0$ et $\det(T, N) = 1$,

$$
\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N)
= v^3\kappa .
$$

Le membre de gauche est $x'y'' - y'x''$, et $v^3 = (x'^2 +
y'^2)^{3/2}$. Le cas du graphe est le paramétrage $t \mapsto (t,
f(t))$. ∎

**Exemple 18.18 (Cercle, droite, parabole).**

Une droite a $\kappa = 0$ (et réciproquement : $T' = 0$ signifie $T$ constant, donc $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$, une droite). Le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens direct a $\kappa = 1/R$ : avec $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, la formule donne $\kappa = R^2/R^3$. Pour la parabole $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$, maximale au sommet — la parabole est le plus fortement courbée là où elle fait demi-tour.

**Remarque 18.19 (Pièges courants autour de la courbure).**

(i) La [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) algébrique d’un arc plan change de signe lorsqu’on inverse l’orientation de l’arc ou du plan : seuls $\abs\kappa$ et $R = 1/\abs\kappa$ sont purement géométriques. Un cercle parcouru dans le sens rétrograde a $\kappa = -1/R$. (ii) La formule pour un graphe $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ choisit tacitement le paramétrage par $x$ ; l’appliquer à une courbe qui n’est pas un graphe près du point ([tangente](#def-b2-curves-arc) verticale) est la bévue classique. (iii) En un point où $\gamma' = 0$, rien n’est défini — ni $T$ ni $\kappa$ — et la trajectoire peut véritablement se briser ([Exemple 18.5](#ex-b2-curves-cusp)) ; toujours vérifier la régularité avant de dériver la [tangente](#def-b2-curves-arc) [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint). (iv) Dans l’espace, $\kappa =
\norm{T'} \geq 0$ par convention : il n’y a pas de signe à se tromper, mais pas non plus de signe à exploiter — l’information de type inflexion passe dans la [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d). (v) Enfin, $\kappa$ est une dérivée *par rapport à la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length)* : pour un paramétrage qui n’est pas à vitesse unité, oublier le facteur $v^3$ dans la [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula) est l’erreur la plus fréquente en pratique.

![La parabole y = x2/2, son repère de Frenet mobile (T, N), et le cercle osculateur au sommet (rayon 1, puisque (0) = 1). Le repère tourne à mesure que le point se déplace ; la courbure est le taux de cette rotation par unité de longueur d’arc.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-curves/fig-2de421ef5f41.svg)

***Figure 18.1.** La parabole $y = x^2/2$, son repère de Frenet mobile $(T,
N)$, et le [cercle osculateur](#def-b2-curves-curvature) au sommet (rayon $1$, puisque $\kappa(0) = 1$). Le repère tourne à mesure que le point se déplace ; la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) est le taux de cette rotation par unité de [longueur d’arc](#def-b2-curves-length).*

**Théorème 18.20 (La courbure détermine la courbe).**

Soit $\kappa \colon J \to \R$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity). Il existe un arc $\mathcal{C}^2$ du plan paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) $\kappa$, et il est unique à une isométrie directe près (rotation suivie d’une translation).

**Démonstration.** *Existence.* Fixons $s_0 \in J$ et posons $\varphi(s) =
\int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$, puis

$$
\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\
\int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).
$$

Alors $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ est un vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint), $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$, et

$$
T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi)
= \kappa(s)\,N(s) :
$$

l’arc est paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length), de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) $\kappa$.

*Unicité.* Soient $\gamma_1, \gamma_2$ deux [arcs paramétrés](#def-b2-curves-arc) par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de même [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d). Chaque [tangente](#def-b2-curves-arc) [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) se relève en une fonction angle, par une construction explicite : on voit $T_j$ comme le nombre complexe $z_j = a_j + \iu b_j$ de module $1$, on choisit $\varphi_j(0)$ tel que $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$, et l’on pose

$$
\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j,
T_j'\bigr)(u)\,\dd u .
$$

De $\abs{z_j} = 1$ : $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') =
0$, donc $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') =
\iu\,\varphi_j'$, c’est-à-dire $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; alors

$$
\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)'
= \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,
$$

donc $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ partout : $T_j =
(\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ avec $\varphi_j$ de classe $\mathcal C^1$. De plus $\det(T_j, T_j') = \det(T_j,
\kappa N_j) = \kappa$, donc $\varphi_j' = \kappa$. D’où $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ pour une constante $c$ : $T_2$ est $T_1$ tourné de l’angle fixe $c$, donc en intégrant, $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ où $\rho$ est la rotation d’angle $c$ et $w$ un vecteur constant. ∎

**Remarque 18.21.**

C’est le prototype unidimensionnel d’un *théorème fondamental de la géométrie* : un ensemble [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) d’invariants locaux (ici, une fonction) classifie l’objet à un déplacement près. La version tridimensionnelle ci-dessous nécessite deux invariants.

**Exemple 18.22 (Courbure constante signifie cercle).**

Prenons $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ dans la formule d’existence : $\varphi(s) = \kappa_0 s$ et

$$
\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\
\frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :
$$

le cercle de rayon $1/\kappa_0$ centré en $(0,
1/\kappa_0)$, parcouru à vitesse unité. Par la moitié « unicité » du théorème, *tout* [arc paramétré](#def-b2-curves-arc) par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) constante $\kappa_0$ est un morceau d’un cercle de rayon $1/\kappa_0$ (ou une droite si $\kappa_0 = 0$) — la réciproque du calcul de l’[Exemple 18.18](#ex-b2-curves-kappaexamples), et le cas plan de l’[Exercice 18.9](#exo-b2-curves-9).

**Exemple 18.23 (Reconstruire une courbe à partir de sa courbure).**

Quelle courbe paramétrée par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) a pour [rayon de courbure](#def-b2-curves-curvature) $R(s) = 1 +
s^2$ ? En suivant la preuve d’existence avec $\kappa(s) =
\frac1{1+s^2}$ et $s_0 = 0$ : $\varphi(s) = \arctan s$, donc

$$
T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s)
= \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\
\frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),
$$

et en intégrant,

$$
\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\
\sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).
$$

En posant $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$, c’est-à-dire $s = \sinh x$, la seconde coordonnée est $\cosh x - 1$ : la courbe est la *chaînette* $y = \cosh x - 1$. Cela boucle la boucle avec l’[Exercice 18.3](#exo-b2-curves-3), où nous avons calculé $R = \cosh^2 x = 1 +
\sinh^2 x = 1 + s^2$ directement : le théorème fondamental garantit que la chaînette est la *seule* courbe ayant ce profil de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d), à une isométrie directe près.

**Remarque 18.24 (Où la courbure sert ensuite).**

La décomposition $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ obtenue dans la preuve de la [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula) est la cinématique de tout mouvement courbe : accélération tangentielle contre accélération centripète. La [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) revient pour les surfaces ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/19-surfaces#ch-b2-surfaces)) à travers la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) des courbes qu’on y trace, et le calcul des [enveloppes](#pb-b2-curves-1) du problème de week-end de ce chapitre — développées, caustiques — est l’optique géométrique des fronts d’onde. Le volume de troisième année reprend le point de vue intrinsèque pour les sous-variétés de $\R^n$.

## 18.4 Repère de Frenet dans l’espace

Soit maintenant $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ un arc $\mathcal{C}^3$ paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) qui est *birégulier* : $T'(s) \neq 0$ pour tout $s$. Alors $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ définit la *[courbure](#thm-b2-curves-frenet2d)* (pas de signe dans l’espace : il n’y a pas d’orientation privilégiée de la normale), et l’on pose :

$$
N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)}
\quad\text{(normale principale)},
\qquad
B(s) = T(s) \wedge N(s)
\quad\text{(binormale)} ,
$$

de sorte que $(T, N, B)$ est un repère orthonormé direct, le *repère de Frenet*. Le plan passant par $\tilde\gamma(s)$ engendré par $T, N$ est le *plan osculateur*.

**Théorème 18.25 (Formules de Frenet dans l’espace).**

Il existe une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $\tau$, la *torsion*, telle que

$$
T' = \kappa N, \qquad
N' = -\kappa T + \tau B, \qquad
B' = -\tau N .
$$

**Démonstration.** La première formule est la définition de $N$. Chacun des vecteurs $T, N, B$ est de [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) constante $1$ et ils sont deux à deux orthogonaux ; en dérivant les six relations $\langle X, Y\rangle =
\delta_{XY}$, on voit que la matrice de $(T', N', B')$ dans la base $(T, N, B)$ est antisymétrique : en effet $\langle X', Y\rangle +
\langle X, Y'\rangle = 0$ et $\langle X', X\rangle = 0$. Son coefficient $(N, T)$ est $\langle
N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$, et son coefficient de colonne $(T, B)$ est $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$. En nommant $\tau = \langle N', B\rangle$ le coefficient libre restant, on obtient exactement les trois formules affichées : l’antisymétrie complète $\langle B', N\rangle = -\tau$ et $\langle B', T\rangle = 0$. La continuité de $\tau = \langle N',
B\rangle$ est claire puisque $N'$ et $B$ sont [continus](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ($\tilde\gamma$ est $\mathcal{C}^3$, donc $N = T'/\kappa$ est $\mathcal{C}^1$). ∎

**Exemple 18.26 (Le vecteur de Darboux).**

Les trois formules de Frenet se condensent en une seule. Posons $\omega(s) =
\tau\,T + \kappa\,B$ (le *vecteur de Darboux*). En utilisant $B \wedge T = N$, $T \wedge N = B$, $N \wedge B = T$ :

$$
\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad
\omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad
\omega \wedge B = -\tau\,N = B' :
$$

chaque vecteur du repère évolue selon $X' = \omega \wedge X$, la signature cinématique d’une *rotation instantanée* de vecteur vitesse angulaire $\omega$. Le repère tourne au taux $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ autour de l’axe mobile $\omega$ ; la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) est la composante de la rotation autour de la binormale, la [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d) la composante autour de la [tangente](#def-b2-curves-arc). Pour l’hélice, $\omega$ est un vecteur constant le long de l’axe du cylindre — ce qui est exactement pourquoi le repère de l’hélice précesse régulièrement. L’antisymétrie de la matrice de Frenet, exploitée dans l’[Exercice 18.7](#exo-b2-curves-7), est la forme matricielle de ce seul fait géométrique.

**Proposition 18.27 (La torsion mesure la planéité).**

Un arc birégulier est contenu dans un plan si et seulement si $\tau \equiv 0$ ; dans ce cas le plan est le plan osculateur (constant).

**Démonstration.** Si $\tau \equiv 0$, alors $B' = 0$, donc $B$ est un vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) constant $B_0$, et

$$
\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle
= \langle T(s), B_0\rangle = 0 :
$$

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ est constant, donc l’arc est contenu dans un plan orthogonal à $B_0$. Réciproquement, si l’arc est contenu dans un plan $P$, alors $T$ et $T'$ (donc $N$) sont parallèles à la direction de $P$ pour tout $s$ ; donc $B = T \wedge N$ est l’une des deux normales [unitaires](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) de $P$, et étant [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) elle est constante ; alors $0 = B' = -\tau N$ avec $N \neq 0$ force $\tau \equiv 0$. ∎

**Exemple 18.28 (Un cercle incliné a une torsion nulle).**

L’arc $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\
\tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ est contenu dans le plan $y = z$, et est le cercle unité de ce plan (vérifier : $\norm{\gamma(t)} =
1$ et la base orthonormée $(1,0,0)$, $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ du plan met en évidence le paramétrage standard). Sans aucun calcul de Frenet, la [Proposition 18.27](#prop-b2-curves-torsion) prédit $\tau \equiv 0$, et la binormale fixe doit être la normale [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) $\pm(0,
\tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ du plan. La [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d) ne mesure pas le fait d’être « incliné dans l’espace » ; elle mesure le fait de *quitter* un plan. Seul le $b$ non nul de l’hélice ci-dessous produit une véritable [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d).

**Exemple 18.29 (L’hélice).**

Pour l’hélice $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$, $a > 0$, nous avons calculé $s = ct$ avec $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Alors

$$
T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b),
\qquad
T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s}
= \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),
$$

donc $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ et $N = (-\cos t, -\sin t,
0)$ : la normale principale pointe horizontalement vers l’axe. Ensuite $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$, et $B'
\frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ donne

$$
\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad
\tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }
$$

Les deux invariants sont constants — et l’on peut montrer, réciproquement, que les seules courbes birégulières à $\kappa > 0$ constant et $\tau$ constant sont les hélices (des cercles lorsque $\tau = 0$). Notons les signes : $b >
0$ donne une hélice dextre à [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d) positive.

**Exemple 18.30 (Courbure et torsion sans longueur d’arc ; la cubique gauche).**

Reparamétrer par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) est en général impossible sous forme close, si bien que les invariants doivent être extraits des dérivées brutes. Posons $v = \norm{\gamma'} = s'$ ; alors $\gamma' =
vT$ et, comme dans la preuve de la [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula),

$$
\gamma'' = v'T + v^2\kappa N,
\qquad
\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) =
v^3\kappa\,B .
$$

En prenant les [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) ($\kappa \geq 0$ dans l’espace) :

$$
\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .
$$

En dérivant $\gamma''$ une fois de plus et en convertissant $N' =
v(-\kappa T + \tau B)$ (règle de dérivation composée à travers $s$), la seule composante en $B$ provient du dernier terme :

$$
\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T +
\bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,
$$

de sorte que, en appariant avec $\gamma' \wedge \gamma'' =
v^3\kappa B$,

$$
\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge
\gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau,
\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad
\tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'',
\gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .
$$

Application à la *cubique gauche* $\gamma(t) = (t,\
t^2,\ t^3)$ en $t = 0$ : $\gamma' = (1, 0, 0)$, $\gamma'' =
(0, 2, 0)$, $\gamma''' = (0, 0, 6)$, donc $v = 1$,

$$
\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2,
\qquad
\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) =
\frac{12}{4} = 3 .
$$

Éclairage final : les deux formules sont des rapports où la vitesse $v$ se simplifie exactement au degré nécessaire — $\kappa$ se comporte comme une dérivée seconde par unité de [longueur](#def-b2-curves-length), $\tau$ comme le volume mixte de trois dérivées par aire au carré — ce qui explique *pourquoi* elles sont géométriques alors que $\gamma''$ lui-même ne l’est pas.

**Remarque 18.31 (Théorème fondamental pour les courbes de l’espace).**

Comme dans le plan, le couple $(\kappa, \tau)$ avec $\kappa > 0$ détermine un arc birégulier à une isométrie directe de $\R^3$ près : les formules de Frenet forment un système différentiel linéaire pour le repère $(T, N, B)$, auquel s’applique la théorie de Cauchy–Lipschitz du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq) ; l’orthonormalité du repère solution est préservée parce que la matrice des coefficients est antisymétrique (le même argument de matrice de Gram que dans l’[Exercice 18.7](#exo-b2-curves-7)), et la courbe est retrouvée en intégrant $T$. Nous laissons les détails au lecteur comme un exercice substantiel mais instructif.

## 18.5 Étude locale : position par rapport à la tangente

**Proposition 18.32 (Allure locale en un point régulier).**

Soit $\gamma$ un arc plan de classe $\mathcal{C}^k$ en $t_0$, avec $p$ le plus petit indice tel que $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ et $q$ le plus petit indice $> p$ tel que $\gamma^{(q)}(t_0)$ ne soit pas colinéaire à $\gamma^{(p)}(t_0)$ (en supposant que les deux existent, $q \leq
k$). Dans la base $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ centrée en $\gamma(t_0)$, la formule de Taylor–Young donne les coordonnées

$$
X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!},
\qquad
Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .
$$

L’allure locale ne dépend que des parités de $p$ et $q$ :

| $p$ impair, $q$ pair | *point ordinaire* | la courbe ne traverse aucune droite, reste d’un côté de la [tangente](#def-b2-curves-arc) |
| --- | --- | --- |
| $p$ impair, $q$ impair | *point d’inflexion* | la courbe traverse sa [tangente](#def-b2-curves-arc) |
| $p$ pair, $q$ impair | *point de rebroussement de première espèce* | les deux branches de part et d’autre de la [tangente](#def-b2-curves-arc) |
| $p$ pair, $q$ pair | *point de rebroussement de seconde espèce* | les deux branches du même côté |

**Démonstration.** Taylor–Young à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $q$ (la fonction $\gamma$ est $\mathcal{C}^q$ près de $t_0$) :

$$
\gamma(t) - \gamma(t_0)
= \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0)
+ o\bigl((t-t_0)^q\bigr).
$$

Par le choix de $p$ et $q$, chaque $\gamma^{(j)}(t_0)$ avec $p
\leq j < q$ est colinéaire à $u$ ; en regroupant les composantes dans la base $(u, v)$ : $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ et $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$. Le tableau des signes de $X$ et $Y$ pour $t \gtrless t_0$ — gouverné exactement par les parités — donne les quatre allures : par exemple si $p$ est pair, $X > 0$ des deux côtés (les deux branches partent dans la direction $+u$ : un rebroussement), et le côté de la [tangente](#def-b2-curves-arc) ($\operatorname{sign} Y$) bascule avec $q$ impair. ∎

**Exemple 18.33.**

Pour $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ en $t_0 = 0$ ([Exemple 18.5](#ex-b2-curves-cusp)) : $\gamma'' (0)= (2, 0)$, $\gamma'''(0) =
(0, 6)$, donc $p = 2$, $q = 3$ : un point de rebroussement de première espèce, l’allure familière de la parabole semi-cubique. Pour $\gamma(t) = (t,
t^3)$ en $0$ : $p = 1$, $q = 3$ : inflexion — la cubique traverse sa [tangente](#def-b2-curves-arc).

**Remarque 18.34 (Perspectives au sein de ce volume).**

Les courbes alimentent les chapitres suivants de trois façons. Tracées sur une surface, elles définissent ses plans tangents et sa première forme fondamentale ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/19-surfaces#ch-b2-surfaces)), et leurs [longueurs](#def-b2-curves-length) se calculent en restreignant la métrique ambiante — le chapitre à venir est en grande partie ce chapitre relativisé. Le calcul des [enveloppes](#pb-b2-curves-1) du problème de week-end rencontre les intégrales doubles au [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint), où l’aire de l’[astroïde](#pb-b2-curves-1) est recalculée par la formule de Green ([Exercice 20.5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#exo-b2-multint-5)) — une courbe, deux théories, des réponses concordantes. Et le système de Frenet a déjà utilisé les équations [différentielles](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential) linéaires du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq) (existence, unicité, et l’argument de préservation de l’orthogonalité de l’[Exercice 18.7](#exo-b2-curves-7)) : le théorème fondamental des courbes est un théorème d’équations [différentielles](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential) habillé en géométrie.

**Remarque 18.35 (Méthode : mener l’étude locale).**

En pratique la classification est une routine en quatre étapes. *Un*, dériver en $t_0$ jusqu’à ce qu’apparaisse la première dérivée non nulle : son indice est $p$, sa valeur le vecteur $u$. *Deux*, continuer à dériver jusqu’à ce qu’apparaisse une dérivée non colinéaire à $u$ : indice $q$, vecteur $v$. *Trois*, lire les parités $(p, q)$ dans le tableau. *Quatre*, tracer : la courbe part selon $+u$ si $p$ est impair (selon $u$ puis en revenant selon $u$ si $p$ est pair), du côté de $v$ dicté par le signe de $Y$. Deux précautions. Le repère $(u, v)$ n’est en général *pas* orthonormé — le tableau décrit des positions relatives à la [tangente](#def-b2-curves-arc), non des angles ou des distances, donc ne pas lire la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) sur l’image. Et des dérivées intermédiaires colinéaires à $u$ sont permises entre les rangs $p$ et $q$ (elles ne font que décaler le développement de $X$) ; ce qui ne doit *pas* arriver, c’est de s’arrêter à la première dérivée non nulle et de deviner $q = p + 1$ : pour $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ la supposition naïve $q = 3$ est fausse, car $\gamma^{(3)}(0)$ est encore colinéaire à $\gamma''(0)$ — c’est précisément l’[Exercice 18.5](#exo-b2-curves-5).

## 18.6 Exercices

**Exercice 18.1 ★.**

Calculer la [longueur](#def-b2-curves-length) d’une arche de la cycloïde $\gamma(t) = (t -
\sin t,\ 1 - \cos t)$, $t \in [0, 2\pi]$. *(Utiliser $1 - \cos t =
2\sin^2(t/2)$.)*

**Solution de Exercice 18.1.**

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$, donc

$$
\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t
= 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,
$$

et $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (positif sur $[0,
2\pi]$). D’où

$$
L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t
= \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :
$$

une arche de la cycloïde a pour [longueur](#def-b2-curves-length) $8$ (pour une roue de rayon $1$) — un résultat célèbre de Wren, sans aucun $\pi$ en vue.

**Exercice 18.2 ★.**

Calculer la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) de l’ellipse $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin
t)$ ($a > b > 0$) et localiser les points de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) maximale et minimale.

**Solution de Exercice 18.2.**

Avec $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$, $y' = b\cos
t$, $x'' = -a\cos t$, $y'' = -b\sin t$, donc par [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula)

$$
\kappa(t)
= \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
= \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t}
       {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}}
= \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .
$$

Le dénominateur est minimal quand $\sin t = 0$ (valeur $b^3$, points $(\pm a, 0)$) et maximal quand $\cos t = 0$ (valeur $a^3$, points $(0, \pm b)$), puisque $a > b$. Donc $\kappa$ est maximale aux extrémités du grand axe, $\kappa_{\max} = a/b^2$, et minimale aux extrémités du petit axe, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : l’ellipse se courbe le plus fortement aux sommets de son grand axe.

**Exercice 18.3 ★.**

Montrer que la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) du graphe de $f(x) = \cosh x$ sur $[0, x]$ vaut $\sinh x$, et calculer la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) de cette courbe (la *chaînette*). Vérifier que $R(x) = 1/\kappa(x) =
\cosh^2 x$.

**Solution de Exercice 18.3.**

Pour le graphe $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ : $\norm{\gamma'(x)} =
\sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$, donc la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de $0$ à $x$ est $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$. [Courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) d’un graphe ([Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula)) :

$$
\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}}
= \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,
$$

donc $R(x) = \cosh^2 x$, comme annoncé. Notons la jolie coïncidence $R(x) = 1 + s(x)^2$ avec $s = \sinh x$ la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) : le [rayon de courbure](#def-b2-curves-curvature) de la chaînette croît comme le carré de la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) depuis le sommet.

**Exercice 18.4 ★★.**

(Spirale logarithmique) Soit $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$, $t
\in \R$. Montrer que l’angle entre $\gamma(t)$ et $\gamma'(t)$ est constant, calculer la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de $\gamma$ sur $(-\infty, 0]$ (finie !), et la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d).

**Solution de Exercice 18.4.**

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$, donc

$$
\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t}
\bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr)
= e^{2t},
$$

tandis que $\norm{\gamma(t)} = e^t$ et $\norm{\gamma'(t)} =
e^t\sqrt 2$. D’où

$$
\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr)
= \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :
$$

la [tangente](#def-b2-curves-arc) fait toujours l’angle $\pi/4$ avec le rayon — la propriété *équiangle* de la spirale logarithmique. [Longueur d’arc](#def-b2-curves-length) sur $(-\infty, 0]$ :

$$
\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t
= \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,
$$

finie bien que la spirale s’enroule une infinité de fois autour de l’origine. [Courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) : avec $x'y'' - y'x''$ calculé à partir de $\gamma'' =
e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$,

$$
x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t)
+ 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},
$$

donc $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} =
\dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) est $1/(\sqrt2\,
\norm{\gamma})$, décroissant à mesure que la spirale grandit.

**Exercice 18.5 ★★.**

Déterminer $p$, $q$ et l’allure locale (point ordinaire, inflexion, rebroussement) de $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ en $t = 0$, et de $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ en $t = 0$.

**Solution de Exercice 18.5.**

*Premier arc :* $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$. Dérivées en $0$ : $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$, donc $p = 2$. Puis $\gamma^{(3)}(0)
= (0, 0)$, $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$, non colinéaire à $(2,
0)$ : $q = 4$. Les deux pairs : *point de rebroussement de seconde espèce* — les deux branches partent dans la direction $+u = (1,0)$ et restent du même côté de la [tangente](#def-b2-curves-arc). (En effet $y = x^2 \pm x^{5/2}$ sur les deux branches : même signe pour $x$ petit.)

*Second arc :* $\gamma(t) = (t^3, t^4)$. $\gamma'(0) =
\gamma''(0) = 0$, $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$, impair. Puis $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$, pair. Impair–pair : *point ordinaire* — malgré l’annulation de la vitesse, la trajectoire $y = x^{4/3}$ traverse l’origine de manière lisse, restant au-dessus de sa [tangente](#def-b2-curves-arc) $y = 0$.

**Exercice 18.6 ★★.**

Soit $\gamma$ un arc plan paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) avec $\kappa(s) > 0$ pour tout $s$, et soit $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) (la courbe $c$ est la *développée*). En supposant $\kappa$ de classe $\mathcal{C}^1$, montrer que $c'(s) =
-\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : la développée est [tangente](#def-b2-curves-arc) aux normales de $\gamma$.

**Solution de Exercice 18.6.**

Dérivons $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ à l’aide des formules de Frenet dans le plan ([Théorème 18.13](#thm-b2-curves-frenet2d)) :

$$
c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)
+ \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr)
= -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,
$$

les termes tangentiels s’annulant exactement. Ainsi la vitesse de la développée est portée par $N(s)$, qui dirige la normale de $\gamma$ en $\gamma(s)$ — et le point $c(s)$ est sur cette normale même : la développée est l’*[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales*. (Là où $\kappa' = 0$ la développée a un point singulier ; c’est ce qui produit les points de rebroussement de la développée d’une ellipse.)

**Exercice 18.7 ★★★.**

Soit $A(s)$ une famille [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) de matrices antisymétriques $3
\times 3$ et $F' = F A$ une solution matricielle avec $F(s_0)$ orthogonale. Montrer que $F(s)$ est orthogonale pour tout $s$. *(Dériver $G = F F^{\mathsf T}$ et utiliser l’unicité dans Cauchy–Lipschitz.)* Expliquer la pertinence pour le système de Frenet.

**Solution de Exercice 18.7.**

Soit $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$. Alors, en utilisant $F' = FA$ et $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$,

$$
G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})'
= FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T}
= F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0
$$

par antisymétrie. Donc $G$ est constante sur l’intervalle, égale à $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ : $F(s)$ est orthogonale pour tout $s$. (Autrement, sans calculer $G'$ jusqu’à zéro : $G$ et la constante $I$ sont toutes deux solutions du système linéaire $Y' = YA +
A^{\mathsf T}Y$ avec la même valeur initiale, et l’unicité de Cauchy–Lipschitz pour les systèmes linéaires, [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq), force $G
\equiv I$.)

*Pertinence :* le système de Frenet $(T, N, B)' = (T, N,
B)\,A(s)$ a pour matrice de coefficients antisymétrique

$$
A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\
0 & \tau & 0\end{pmatrix}
$$

(les colonnes exprimant $T', N', B'$). Le calcul ci-dessus montre qu’un repère solution qui part orthonormé *reste* orthonormé — l’étape clé du théorème fondamental reconstruisant une courbe à partir de $(\kappa, \tau)$.

**Exercice 18.8 ★★★.**

([Courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) totale d’une courbe fermée [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex)) Soit $\tilde\gamma$ un arc plan fermé $\mathcal{C}^2$ paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length), de [longueur](#def-b2-curves-length) $L$ (de sorte que $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$), parcouru une fois dans le sens direct. En utilisant la fonction angle $\varphi$ avec $T =
(\cos\varphi, \sin\varphi)$ du [Théorème 18.20](#thm-b2-curves-fundamental), expliquer pourquoi $\varphi(L) -
\varphi(0)$ est un multiple de $2\pi$, et montrer que $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$. (Pour un cercle de rayon $R$ : $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$. Le théorème des [tangentes](#def-b2-curves-arc) tournantes affirme la valeur $2\pi$ pour toute courbe fermée simple ; on ne vous demande pas de le prouver.)

**Solution de Exercice 18.8.**

Par [Théorème 18.20](#thm-b2-curves-fundamental) (partie unicité), il existe une fonction angle $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ avec $T(s) =
(\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ et $\varphi' = \kappa$. D’où

$$
\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .
$$

Comme l’arc est fermé de période $L$, $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0),
\sin\varphi(0))$, donc $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$. La [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) totale d’une courbe fermée est donc toujours un multiple entier de $2\pi$ — l’entier étant l’*indice* de la [tangente](#def-b2-curves-arc) (le nombre de tours [complets](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) que fait $T$). Pour le cercle de rayon $R$ : $\kappa = 1/R$ et $L = 2\pi R$, [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) totale $2\pi$, indice $1$ ; le théorème des [tangentes](#def-b2-curves-arc) tournantes affirme que cette valeur vaut pour toute courbe fermée simple.

**Exercice 18.9 ★★★.**

Montrer qu’une courbe gauche birégulière à $\kappa > 0$ constant et $\tau = 0$ est (un arc d’)un cercle de rayon $1/\kappa$. *(Utiliser la [Proposition 18.27](#prop-b2-curves-torsion), puis montrer que le centre $\gamma + \frac1\kappa N$ est constant.)*

**Solution de Exercice 18.9.**

Comme $\tau \equiv 0$, la courbe est contenue dans un plan ([Proposition 18.27](#prop-b2-curves-torsion)) ; travaillons dans ce plan. Considérons le candidat centre

$$
c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s)
\qquad (\kappa \text{ constant}).
$$

En dérivant avec les formules de Frenet ($N' = -\kappa T + \tau B
= -\kappa T$ ici) :

$$
c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,
$$

donc $c$ est un point constant $\Omega$. Alors $\norm{\gamma(s) -
\Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ pour tout $s$ : la courbe est sur le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $1/\kappa$ (dans son plan), et étant un arc non constant de celui-ci, elle est un arc de ce cercle.

**Exercice 18.10 ★.**

Calculer la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de la parabole $y = x^2/2$ sur $\intcc0a$ et montrer qu’elle vaut

$$
\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 +
a^2}\bigr)\Bigr).
$$

**Solution de Exercice 18.10.**

Pour le graphe $\gamma(x) = (x, x^2/2)$, $\norm{\gamma'(x)} =
\sqrt{1 + x^2}$, donc $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$. En substituant $x = \sinh u$ ($\dd x = \cosh u\,\dd u$, $u$ de $0$ à $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$) :

$$
L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u
= \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a}
= \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) +
a\sqrt{1+a^2}\Bigr),
$$

en utilisant $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ et $\sinh u_a = a$, $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$.

**Exercice 18.11 ★★.**

Soit $\gamma$ un arc $\mathcal C^2$ régulier de $\R^n$ dont toutes les [tangentes](#def-b2-curves-arc) passent par un point fixe $P$. Prouver que la trajectoire de $\gamma$ est contenue dans une droite. *(Paramétrer par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length), écrire $\gamma(s) +
\lambda(s)T(s) = P$ et dériver.)*

**Solution de Exercice 18.11.**

Paramétrons par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) ([Théorème 18.9](#thm-b2-curves-arclength)) et posons $\lambda(s) =
\langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$, une fonction $\mathcal C^1$ ; puisque $P$ est sur la [tangente](#def-b2-curves-arc) en $\gamma(s)$, le vecteur $P - \gamma(s)$ est colinéaire à $T(s)$, donc $P =
\gamma(s) + \lambda(s)T(s)$. En dérivant,

$$
0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s)
= \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),
$$

et $T'(s) \perp T(s)$ (dériver $\norm T^2 = 1$), donc les deux composantes s’annulent : $\lambda' = -1$ et $\lambda T' = 0$. Alors $\lambda(s) = c - s$ s’annule au plus une fois, donc $T' = 0$ sur un ensemble dense, d’où partout par continuité : $T$ est un vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) constant et $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s -
s_0)T$ : une droite (passant par $P$, comme il se doit).

**Exercice 18.12 ★★★.**

(Théorème fondamental pour les courbes de l’espace) Soient $\kappa
> 0$ et $\tau$ des fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur un intervalle $J$. Mener à bien le programme de la remarque qui suit l’[Exemple 18.29](#ex-b2-curves-helixfrenet) : (a) montrer que le système linéaire $F' = FA(s)$, avec $A(s)$ la matrice de Frenet antisymétrique construite à partir de $\kappa, \tau$ et $F(s_0)$ un repère orthonormé direct, a une unique solution globale, qui reste un repère orthonormé direct ; (b) construire une courbe birégulière paramétrée par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) $\kappa$ et de [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d) $\tau$ ; (c) prouver l’unicité à une isométrie directe de $\R^3$ près.

**Solution de Exercice 18.12.**

(a) La matrice de Frenet

$$
A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\
0 & \tau & 0\end{pmatrix}
$$

a des coefficients [continus](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), donc le système linéaire $F' = FA(s)$, $F(s_0) = F_0$ (une matrice orthonormée directe) a une unique solution sur tout $J$ ([Théorème 16.4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#thm-b2-diffeq-linear)). Par [Exercice 18.7](#exo-b2-curves-7), $F(s)$ est orthogonale pour tout $s$ ; $\det F$ est [continu](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) à valeurs dans $\{\pm1\}$ et vaut $1$ en $s_0$, donc $F(s)$ est direct pour tout $s$.

(b) On lit les lignes $T, N, B$ de $F$ (de sorte que $T' = \kappa
N$, $N' = -\kappa T + \tau B$, $B' = -\tau N$) et on pose $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$. Alors $\gamma' = T$ est un vecteur [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) : vitesse unité ; $T' = \kappa N$ avec $\kappa > 0$ et $N$ [unitaire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#def-b2-hermitian-adjoint) orthogonal à $T$, donc $\gamma$ est birégulier de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) $\norm{T'} = \kappa$ et normale principale $N$ ; la binormale est $T \wedge N = B$ (repère orthonormé direct), et $B' = -\tau N$ identifie la [torsion](#thm-b2-curves-frenet3d) à $\tau$.

(c) Soient $\gamma_1, \gamma_2$ deux courbes birégulières paramétrées par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de même $(\kappa, \tau)$. Il existe une unique isométrie directe $\Phi = \rho + w$ ($\rho \in SO(3)$) envoyant $\gamma_1(s_0)$ sur $\gamma_2(s_0)$ et le repère de Frenet de $\gamma_1$ en $s_0$ sur celui de $\gamma_2$ en $s_0$. La courbe $\Phi\circ\gamma_1$ est paramétrée par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length), de mêmes invariants (son repère est $\rho$ appliqué à celui de $\gamma_1$, et $\rho$ préserve les produits vectoriels, étant directe). Or les repères de $\Phi\circ\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont tous deux solutions de $F' =
FA(s)$ avec la même valeur initiale, donc ils coïncident par unicité ; en particulier les [tangentes](#def-b2-curves-arc) coïncident, et en intégrant depuis le point commun $s_0$ : $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$.

## 18.7 Problème : enveloppes — l’astroïde, deux développées et une caustique

![Une échelle de longueur 1 glissant le long d’un mur (positions en bleu) ne traverse jamais l’astroïde x2/3 + y2/3 = 1 (en rouge) : l’astroïde est l’enveloppe de la famille de segments, tangente à chacun d’eux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-curves/fig-86eeb596a0c4.svg)

*Une échelle de [longueur](#def-b2-curves-length) $1$ glissant le long d’un mur (positions en bleu) ne traverse jamais l’[astroïde](#pb-b2-curves-1) $x^{2/3} +
y^{2/3} = 1$ (en rouge) : l’[astroïde](#pb-b2-curves-1) est l’*[enveloppe](#pb-b2-curves-1)* de la famille de segments, [tangente](#def-b2-curves-arc) à chacun d’eux.*

**Problème 18.1.**

Problème de week-end — la machine à enveloppes et quatre courbes classiques

Une famille de droites à un paramètre échoue en général à recouvrir le plan [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) : les droites s’accumulent le long d’une courbe [tangente](#def-b2-curves-arc) à toutes, leur *enveloppe*. Les rayons lumineux rendent les [enveloppes](#pb-b2-curves-1) visibles sous forme de *caustiques* — la courbe brillante à rebroussement dans une tasse de café. Ce problème construit la machine à [enveloppes](#pb-b2-curves-1) générale, puis la fait tourner quatre fois : l’échelle qui glisse ([astroïde](#pb-b2-curves-1)), les normales de la parabole et de la cycloïde (développées, avec le pendule de Huygens à la fin), et la caustique de la tasse de café ([néphroïde](#pb-b2-curves-1)). Partout, $D_t$ désigne la droite d’équation $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$, où $a, b, c$ sont des fonctions $\mathcal C^2$ avec $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$, et $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$.

**Partie I — La machine à [enveloppes](#pb-b2-curves-1).**

1. Supposons $\Delta(t) \neq 0$. Montrer que le *système caractéristique* $$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\  a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$$ a une unique solution $E(t) = (x(t), y(t))$, donnée par $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$, $y = \dfrac{ac' -  a'c}{\Delta}$.
2. Supposons de plus que $E$ est $\mathcal C^1$ près de $t$ avec $E'(t) \neq 0$ . En dérivant la première équation du système, montrer $a(t)\,x'(t) +  b(t)\,y'(t) = 0$ , et en conclure que la courbe $E$ passe par un point de $D_t$ *avec la direction de* $D_t$ : la famille est [tangente](#def-b2-curves-arc) à $E$ , qu’on appelle son *[enveloppe](#pb-b2-curves-1)* .
3. Vérification : les [tangentes](#def-b2-curves-arc) de la parabole $y =  x^2/2$ aux points $(t, t^2/2)$ sont $tx - y =  t^2/2$ . Vérifier que la machine à [enveloppes](#pb-b2-curves-1) redonne la parabole elle-même.
4. ( [Enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales) Soit $\gamma$ paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) avec $\kappa(s) \neq 0$ . La normale en $\gamma(s)$ est $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s)  \rangle = 0\}$ . Montrer que son système caractéristique force $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle =  1/\kappa(s)$ , d’où que le point caractéristique est le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) : *l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales est la développée* , retrouvant l’ [Exercice 18.6](#exo-b2-curves-6) . Vérifier $\Delta(s) =  \kappa(s)$ .
5. Deux dégénérescences. Pour le faisceau $D_\theta : x\cos  \theta + y\sin\theta = 0$ , montrer que le point caractéristique est l’origine pour tout $\theta$ (l’« [enveloppe](#pb-b2-curves-1) » se réduit à un point, et $E' = 0$ : la question 2 ne s’applique pas). Pour une famille de droites parallèles ( $a, b$ constants), montrer $\Delta  \equiv 0$ et que le système caractéristique est en général incompatible : pas d’ [enveloppe](#pb-b2-curves-1) .

**Partie II — L’échelle qui glisse et l’[astroïde](#pb-b2-curves-1).** Un segment de [longueur](#def-b2-curves-length) $1$ glisse avec une extrémité $P_t =
(\cos t, 0)$ sur le sol et l’autre $Q_t = (0, \sin t)$ sur le mur, $t \in \intoo0{\pi/2}$.

6. Montrer que la droite $(P_tQ_t)$ a pour équation $x\sin t +  y\cos t = \sin t\cos t$, et que la machine à [enveloppes](#pb-b2-curves-1) donne le point caractéristique $$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$$ l’*astroïde*, d’équation implicite $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (étendue aux autres quadrants par symétrie).
7. Montrer que $E'(0) = 0$ et, en utilisant la classification locale ( [Proposition 18.32](#prop-b2-curves-local) ), que l’ [astroïde](#pb-b2-curves-1) a un point de rebroussement de première espèce en $(1, 0)$ — et de même en ses quatre points sur les axes.
8. Calculer $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ et en déduire que la [longueur](#def-b2-curves-length) totale de l’ [astroïde](#pb-b2-curves-1) est $6$ .
9. Où l’échelle touche-t-elle l’ [astroïde](#pb-b2-curves-1) ? Montrer $E(t) =  P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : le point de contact divise l’échelle dans le rapport $\sin^2 t : \cos^2  t$ , la balayant d’une extrémité à l’autre à mesure que l’échelle glisse.
10. Calculer l’aire délimitée par l’ [astroïde](#pb-b2-curves-1) : montrer que l’aire du premier quadrant est $3\int_0^{\pi/2}\sin^4  t\cos^2 t\,\dd t$ , évaluer l’intégrale par linéarisation ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ), et conclure que l’aire totale est $3\pi/8$ .

**Partie III — La développée de la parabole.** Soit $\gamma(t) = (t, t^2/2)$.

11. Montrer que la normale en $\gamma(t)$ a pour équation $x + t\,y = t + t^3/2$ .
12. Faire tourner la machine à [enveloppes](#pb-b2-curves-1) : montrer que l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales est $$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$$ d’équation implicite $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : une parabole semi-cubique.
13. Recouper avec la question 4 : calculer le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ à partir de $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ ( [Exemple 18.18](#ex-b2-curves-kappaexamples) ) et retrouver le même point.
14. Montrer que la développée a un point de rebroussement de première espèce en $(0, 1)$ , le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) au sommet — le point où $\kappa$ est extrémale, comme le prédit la formule $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ de l’ [Exercice 18.6](#exo-b2-curves-6) .
15. Combien de normales de la parabole passent par un point donné $(x_0, y_0)$ ? Montrer que la réponse est gouvernée par la cubique $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; traiter complètement le cas de l’axe $x_0 = 0$ (une normale pour $y_0 < 1$ , trois pour $y_0 > 1$ ), et interpréter la développée comme la courbe de transition.

**Partie IV — La caustique de la tasse de café.** Des rayons parallèles de direction $(1, 0)$ frappent l’intérieur du cercle miroir $x^2 + y^2 = 1$ ; le rayon atteignant $P_\theta =
(\cos\theta, \sin\theta)$ se réfléchit selon la loi de la réflexion.

16. À partir de la symétrie miroir par rapport à la normale (le rayon), justifier que la direction réfléchie est $v = u -  2\langle u, n\rangle n$ avec $u = (1,0)$ , $n =  (\cos\theta, \sin\theta)$ , et calculer $v =  -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
17. Montrer que le rayon réfléchi est porté par la droite $$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$$
18. Faire tourner la machine à [enveloppes](#pb-b2-curves-1) ($\Delta = 2$) : montrer que la caustique est $$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta -  \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta -  \sin3\theta}4\Bigr),$$ la *néphroïde*.
19. Calculer $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\,  (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; vérifier que la direction [tangente](#def-b2-curves-arc) est la direction du rayon réfléchi (question 16), localiser les deux points de rebroussement $(\pm\tfrac12, 0)$ , et montrer que le rayon réfléchi coupe l’axe $y = 0$ en $x = \frac1{2\cos\theta}$ — de sorte que les rayons presque axiaux se focalisent en $x = \tfrac12$ : la distance focale $R/2$ d’un miroir de rayon $R$ .
20. Montrer que la [néphroïde](#pb-b2-curves-1) a pour [longueur](#def-b2-curves-length) totale $6$ et que près de $\theta = 0$, $$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) =  \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 +  o(\theta^3)\bigr) :$$ un point de rebroussement de première espèce, pointant le long de l’axe.
21. Expliquer en un paragraphe pourquoi la caustique est brillante : par tout point juste à l’extérieur de la caustique passent deux rayons réfléchis, par tout point situé dessus les rayons sont « infiniment concentrés » (l’application $(\theta,  \text{distance le long du rayon}) \mapsto \R^2$ a un point critique exactement sur l’ [enveloppe](#pb-b2-curves-1) ).

**Partie V — Huygens : la cycloïde est sa propre développée.** Soit $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$, $t \in
\intoo0{2\pi}$, une arche de la cycloïde.

22. Calculer $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ et le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature) ; montrer que la développée est $$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$$ et que la substitution $t = u + \pi$ la présente comme la cycloïde originale translatée de $(\pi, -2)$ : *la développée d’une cycloïde est une cycloïde congruente* (Huygens).
23. Vérifier que le [rayon de courbure](#def-b2-curves-curvature) au sommet $t =  \pi$ vaut $4$ , soit la moitié de la [longueur](#def-b2-curves-length) $8$ d’une arche ( [Exercice 18.1](#exo-b2-curves-1) ) ; localiser le point de rebroussement de la développée directement sous le sommet, à distance $4$ .
24. (La propriété du fil) Soit $\gamma$ paramétré par [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) avec $\kappa > 0$ , $\kappa$ de classe $\mathcal C^1$ et $R = 1/\kappa$ strictement monotone. En utilisant $c' = R'N$ , montrer que la [longueur d’arc](#def-b2-curves-length) de la développée entre $c(s_0)$ et $c(s_1)$ est $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interpréter : un fil tendu déroulé de la développée, de [longueur](#def-b2-curves-length) $R(s_0)$ au départ, voit son extrémité libre tracer la courbe originale — de sorte qu’un pendule oscillant entre deux joues cycloïdales de l’horloge de Huygens décrit une cycloïde.
25. Synthèse. La machine de la partie I a produit l’ [astroïde](#pb-b2-curves-1) , une parabole semi-cubique, une [néphroïde](#pb-b2-curves-1) et une cycloïde. Pour chacune des quatre familles, dire en une phrase où les hypothèses $\Delta \neq 0$ et $E' \neq 0$ étaient vérifiées ou en défaut, et quel événement géométrique (rebroussement, foyer, dégénérescence) chaque défaut de $E' \neq 0$ a signalé. Où les extrema de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) doivent-ils apparaître sur l’ [enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales, et pourquoi ?

**Solution de Problème 18.1.**

**1.** Le système est linéaire en $(x, y)$ de [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ : la règle de Cramer donne l’unique solution

$$
x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad
y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.
$$

**2.** Comme $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ identiquement, en dérivant on obtient $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ ; la seconde équation caractéristique élimine $a'x + b'y - c'$, donc $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ est orthogonal à $(a,
b)$, donc parallèle à $(-b, a)$, la direction de $D_t$. Comme $E(t) \in D_t$ (première équation) et $E'(t) \neq 0$, la droite $D_t$ est exactement la [tangente](#def-b2-curves-arc) de la courbe $E$ en $E(t)$.

**3.** Ici $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$, donc $\Delta =
t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ et

$$
x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 +
t = t, \qquad
y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 =
\tfrac{t^2}2 :
$$

l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des [tangentes](#def-b2-curves-arc) de la parabole est la parabole, comme il se doit.

**4.** La normale est $\langle M, T(s)\rangle =
\langle\gamma(s), T(s)\rangle$ : coefficients $a = T_1$, $b =
T_2$, $c = \langle\gamma, T\rangle$. En dérivant avec Frenet ($T' = \kappa N$) : $a' = \kappa N_1$, $b' = \kappa
N_2$, et $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa
N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$. La seconde équation caractéristique $\kappa\langle M, N\rangle = 1 +
\kappa\langle\gamma, N\rangle$ s’écrit $\kappa\langle M -
\gamma, N\rangle = 1$. La première dit $M - \gamma \perp T$, donc $M - \gamma = \mu N$ avec $\mu = 1/\kappa$ : le point caractéristique est $\gamma + \frac1\kappa N$, le [centre de courbure](#def-b2-curves-curvature), et l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales est la développée de [Exercice 18.6](#exo-b2-curves-6). Enfin $\Delta = T_1\kappa N_2 -
\kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$.

**5.** Faisceau : le système $x\cos\theta + y\sin\theta =
0$, $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ a pour [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) $1$ et solution $(0,0)$ pour tout $\theta$ : $E \equiv (0,0)$, $E'
\equiv 0$, et il n’y a pas de courbe — [simplement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) le point commun de toutes les droites. Famille parallèle : $a' = b' = 0$ donne $\Delta \equiv 0$ et la seconde équation $0 = c'(t)$, qui échoue dès que la famille bouge réellement : pas de point caractéristique, et en effet une famille de droites parallèles ne touche aucune courbe le long de tous ses membres.

**6.** La droite passant par $(\cos t, 0)$ et $(0, \sin t)$ est $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$, c’est-à-dire $x\sin t +
y\cos t = \sin t\cos t$. Avec $(a, b, c) = (\sin t, \cos t,
\sin t\cos t)$ : $a' = \cos t$, $b' = -\sin t$, $c' = \cos
2t$, $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$. Cramer :

$$
\begin{align*}
x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t
= \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\
y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t
= \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t .
\end{align*}
$$

Et $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : l’[astroïde](#pb-b2-curves-1).

**7.** $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ s’annule en $t = 0$. Là, $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ donne $p = 2$ ; la composante en $x$ de $E$ est paire en $t$, donc $E'''(0) = (0, 6)$, non colinéaire : $q = 3$. Pair–impair : point de rebroussement de première espèce en $(1, 0)$ ([Proposition 18.32](#prop-b2-curves-local)), de [tangente](#def-b2-curves-arc) selon l’axe des $x$. Les symétries $x \mapsto -x$, $y \mapsto -y$, $(x,
y) \mapsto (y, x)$ de l’[astroïde](#pb-b2-curves-1) transportent le rebroussement en $(-1, 0)$ et $(0, \pm1)$.

**8.** $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$, donc $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$. Un quadrant : $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t =
\tfrac32$, et par symétrie la [longueur](#def-b2-curves-length) totale est $4 \cdot
\tfrac32 = 6$.

**9.** $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) =
\sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$. Ainsi le point de contact est le [barycentre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-barycenter) de $(P_t, \cos^2 t)$ et $(Q_t, \sin^2 t)$ : lorsque $t$ va de $0$ à $\pi/2$ il glisse de l’extrémité au sol à l’extrémité au mur de l’échelle.

**10.** Dans le premier quadrant la région sous l’[astroïde](#pb-b2-curves-1) a pour aire $\int_0^1 y\,\dd x$ avec $x = \cos^3 t$ décroissant de $1$ à $0$ quand $t$ va de $0$ à $\pi/2$ :

$$
\int_0^1 y\,\dd x
= \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t
= 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .
$$

Linéarisons : $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t =
\tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$, et $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ tandis que $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t =
\bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$. Donc l’intégrale vaut $\tfrac\pi{32}$, l’aire du quadrant $\tfrac{3\pi}{32}$, et l’aire délimitée $4 \cdot
\tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$.

**11.** La [tangente](#def-b2-curves-arc) en $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ est dirigée par $(1, t)$, donc la normale est $\{(x, y) : (x -
t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$, c’est-à-dire $x + t\,y = t +
\tfrac{t^3}2$.

**12.** $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$, $b' =
1$, $c' = 1 + \tfrac32 t^2$, $\Delta = 1$. Alors $y = ac' -
a'c = 1 + \tfrac32t^2$ et

$$
x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 +
\tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .
$$

En éliminant $t$ : $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ et $x^2 = t^6 =
\tfrac8{27}(y - 1)^3$ : une parabole semi-cubique de sommet $(0, 1)$.

**13.** $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$, $N = (-t,
1)/\sqrt{1+t^2}$, et $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$, donc

$$
\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) +
(1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),
$$

la même courbe : l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales est le lieu des [centres de courbure](#def-b2-curves-curvature), comme la question 4 le promettait.

**14.** $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ s’annule en $t = 0$ ; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ donne $p = 2$ et $E'''(0) = (-6,
0)$ donne $q = 3$ : un point de rebroussement de première espèce en $(0, 1)$. Le sommet est là où $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ est maximale, donc $\kappa'(0) = 0$ et la vitesse de la développée $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ s’annule exactement là : les points de rebroussement de la développée sont aux extrema de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d).

**15.** La normale au paramètre $t$ passe par $(x_0, y_0)$ ssi $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$, c’est-à-dire

$$
\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,
$$

une cubique en $t$ : une ou trois racines réelles (comptées sans multiplicité, pour des points génériques). Sur l’axe $x_0 = 0$ elle se factorise en $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ : la racine $t = 0$ (l’axe est la normale au sommet), plus $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ lorsque $y_0 > 1$. Donc : une normale pour $y_0 < 1$, trois pour $y_0 > 1$, et en $y_0 = 1$ la racine triple marque le point de rebroussement de la développée. En général une racine double de la cubique signifie que le point satisfait à la fois l’équation de la droite et sa dérivée en $t$ — il est *sur l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1)* : la développée est précisément la frontière entre les régions à une et à trois normales.

**16.** La réflexion dans le miroir inverse la composante normale de la direction et conserve la tangentielle : en écrivant $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$, la direction réfléchie est $u_{\mathrm{tan}} - \langle u,
n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$. Ici $\langle u,
n\rangle = \cos\theta$, donc

$$
v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta)
= (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta)
= -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).
$$

**17.** Le rayon réfléchi passe par $P_\theta =
(\cos\theta, \sin\theta)$ de direction $(\cos2\theta,
\sin2\theta)$ ; un vecteur normal est $(-\sin2\theta,
\cos2\theta)$, donc la droite est

$$
-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y -
\sin\theta) = 0,
$$

et la constante est $-\sin2\theta\cos\theta +
\cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : en multipliant par $-1$, $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$.

**18.** $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta,
\sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$, $b' = 2\sin2\theta$, $c' =
\cos\theta$, $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$. Cramer, puis les formules de produit en somme :

$$
\begin{align*}
x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta +
\cos\theta\cos2\theta}{2}
= \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta +
\cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\
y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2
= \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta -
\sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 :
\end{align*}
$$

la [néphroïde](#pb-b2-curves-1), une courbe fermée à deux points de rebroussement.

**19.** En dérivant et en factorisant avec $\sin3\theta
- \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$, $\cos\theta -
\cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ :

$$
E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\
\cos\theta - \cos3\theta\bigr)
= \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),
$$

parallèle à la direction réfléchie de la question 16 : chaque rayon réfléchi est tangent à la caustique, comme l’exige la propriété d’[enveloppe](#pb-b2-curves-1). $E' = 0$ exactement en $\sin\theta = 0$ : $E(0) = (\tfrac12, 0)$ et $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$, les deux points de rebroussement. En posant $y = 0$ dans l’équation de la droite : $x\sin2\theta =
\sin\theta$, donc $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ quand $\theta \to 0$ : les rayons paraxiaux se focalisent à distance $R/2$ du centre — la distance focale du miroir sphérique.

**20.** $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$, donc la [longueur](#def-b2-curves-length) est $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\,
\dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$. Près de $\theta = 0$, avec $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ et $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 +
O(\theta^5)$ :

$$
x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4}
= \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4),
\qquad
y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4}
= \theta^3 + O(\theta^5) :
$$

$p = 2$, $q = 3$, un point de rebroussement de première espèce pointant le long de l’axe — le point brillant de la caustique de la tasse de café.

**21.** Paramétrons les points éclairés par $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (position le long de chaque rayon réfléchi). Le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) jacobien $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) =
\det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ est [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) en $r$ et s’annule pour exactement un $r = r_*(\theta)$ — et $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ est le point caractéristique, puisque là la direction du rayon et la variation de la famille deviennent dépendantes. Hors de l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) l’application est un difféomorphisme local, et un point juste à l’intérieur de la caustique est atteint par deux rayons voisins (deux solutions $\theta$), un point à l’extérieur par aucun de cette partie de la famille ; sur la caustique les deux fusionnent. L’intensité lumineuse est inversement proportionnelle à la valeur absolue du jacobien, donc elle explose le long de l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) : la caustique est la courbe brillante, la plus brillante de toutes au point de rebroussement, où la dégénérescence est la pire.

**22.** $x' = 1 - \cos t$, $y' = \sin t$, $x'' = \sin
t$, $y'' = \cos t$, donc $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ et $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; par la [Proposition 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula),

$$
\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2}
= \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2}
= -\frac1{4\sin\tfrac t2}
\qquad (0 < t < 2\pi).
$$

Avec $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ (diviser $\gamma'$ par $2\sin\tfrac t2$) et $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac
t2)$ :

$$
\gamma + \frac1\kappa N
= \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\
\sin\tfrac t2\Bigr)
= \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos
t)\bigr),
$$

c’est-à-dire $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$. En substituant $t = u
+ \pi$ :

$$
c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr)
= \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :
$$

la cycloïde $\gamma(u)$ translatée de $(\pi, -2)$. La développée d’une cycloïde est une cycloïde congruente, suspendue un niveau plus bas.

**23.** $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$, donc $R(\pi) = 4$ : la moitié de la [longueur](#def-b2-curves-length) d’arche $8$ calculée dans [Exercice 18.1](#exo-b2-curves-1). La vitesse de la développée $c'(t) = (1 +
\cos t, -\sin t)$ s’annule en $t = \pi$ : le point de rebroussement est $c(\pi)
= (\pi, -2)$, directement sous le sommet $\gamma(\pi) = (\pi,
2)$, à distance $4 = R(\pi)$, exactement la [longueur](#def-b2-curves-length) du rayon osculateur en ce point.

**24.** D’après [Exercice 18.6](#exo-b2-curves-6), $c'(s) =
-\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$, donc $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ et, pour $R$ monotone,

$$
\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s =
\Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) -
R(s_0)} .
$$

Disons que $R$ décroît. Un fil posé le long de la développée au-delà de $c(s_0)$ et prolongé par le segment de $c(s_0)$ à $\gamma(s_0)$ (qui est tangent à la développée, par la question 4) a, une fois déroulé jusqu’à $c(s)$ et tendu, une partie droite de [longueur](#def-b2-curves-length) $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ pointant de $c(s)$ le long de la normale — atterrissant exactement sur $\gamma(s)$ : l’extrémité libre trace la courbe originale (« développante »). Huygens a suspendu un pendule entre deux joues cycloïdales : le fil s’enroule sur la développée, donc la masse décrit une cycloïde — la tautochrone, dont la période d’oscillation ne dépend pas de l’amplitude.

**25.** [Tangentes](#def-b2-curves-arc) de la parabole : $\Delta = 1$ et $E' =
(1, t) \neq 0$ partout — [enveloppe](#pb-b2-curves-1) lisse (la parabole elle-même). Échelle qui glisse : $\Delta = -1$, mais $E' =
\tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ s’annule aux extrémités des quadrants — les quatre points de rebroussement de l’[astroïde](#pb-b2-curves-1). Normales de la parabole et de la cycloïde : $\Delta = \kappa \neq
0$, et $E' = R'N$ s’annule exactement là où la [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) est extrémale — points de rebroussement des développées en $(0,1)$ et $(\pi,
-2)$. Caustique : $\Delta = 2$, et $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta,
\sin2\theta)$ s’annule en $\theta = 0, \pi$ — les deux points de rebroussement de la [néphroïde](#pb-b2-curves-1), les foyers du miroir. Les extrema de [courbure](#thm-b2-curves-frenet2d) *doivent* produire des points de rebroussement sur l’[enveloppe](#pb-b2-curves-1) des normales, puisque la vitesse de la développée est $R'N$ : c’est pourquoi la développée de l’ellipse a quatre points de rebroussement (quatre sommets), et les familles dégénérées (faisceau, parallèles) sont les cas où la machine produit un point ou rien du tout.