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title: "Surfaces"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/19-surfaces
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# Chapitre 19 — Surfaces

Après les courbes, les surfaces : des objets à deux paramètres dans $\R^3$. Le calcul différentiel du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#ch-b2-diffcalc) fournit tout ce dont nous avons besoin — les dérivées partielles donnent les vecteurs tangents, le produit vectoriel donne la normale, les [déterminants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) donnent les [aires](#def-b2-surfaces-area). Nous définissons les [surfaces paramétrées](#def-b2-surfaces-param) régulières, leurs [plans tangents](#def-b2-surfaces-tangent) et la *[première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff)*, qui encode toutes les mesures de [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) et d’[aire](#def-b2-surfaces-area) sur la surface. Les surfaces apparaissent aussi comme ensembles de niveau $f(x, y, z) = c$ ; le gradient dirige alors la normale.

## 19.1 Surfaces paramétrées

**Définition 19.1 (Surface paramétrée régulière).**

Soit $U \subseteq \R^2$ un [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology). Une *surface paramétrée* de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) est une application $\sigma \colon U \to
\R^3$, $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$, de classe $\mathcal{C}^k$. Un point est *régulier* si les vecteurs dérivées partielles

$$
\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v),
\qquad
\sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)
$$

sont linéairement indépendants, c.-à-d. $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; la surface est *régulière* si tout point l’est.

**Exemple 19.2 (Les trois descriptions standard).**

1. *Graphe :* $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ pour $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Toujours régulière : $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ et $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ sont indépendants.
2. *Sphère (coordonnées sphériques) :* pour la sphère de rayon $R$, $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$ avec $\theta$ la longitude et $\varphi$ la latitude. On vérifie $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : régulière hors des pôles (que cette carte omet).
3. *Ensemble de niveau :* $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ où $f$ est $\mathcal{C}^1$ et $\nabla f \neq 0$ sur $S$ . Au voisinage de chaque point, une coordonnée peut s’exprimer en fonction des deux autres par le théorème des fonctions implicites ( [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#ch-b2-diffcalc) ), donc $S$ est localement un graphe.

**Exemple 19.3 (De l’ensemble de niveau au graphe).**

Le théorème des fonctions implicites du point 3 mérite une mise en œuvre explicite. Prenons la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ au voisinage de son pôle nord $(0, 0, R)$ : là $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z =
2R \neq 0$, et la résolution en $z$ donne la carte-graphe

$$
z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2},
\qquad x^2 + y^2 < R^2 ,
$$

régulière partout sur son domaine ([ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology)) — y compris le pôle que la carte sphérique manquait. Au voisinage d’un point de l’équateur comme $(R, 0, 0)$, le même théorème résout en $x$ à la place ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). La règle empirique : une surface de niveau est un graphe au-dessus du plan de coordonnées *orthogonal à la plus grande composante du gradient*, et en recouvrant la sphère par six telles cartes-graphes on vérifie sa régularité partout sans aucune trigonométrie.

## 19.2 Plan tangent et normale

**Définition 19.4 (Plan tangent).**

Soit $\sigma$ régulière en $(u_0, v_0)$, $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$. Le *plan tangent* $T_{M_0}S$ est le plan passant par $M_0$ dirigé par $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (dérivées partielles en $(u_0, v_0)$). La *normale unitaire* est

$$
n(u_0, v_0)
= \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v}
       {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .
$$

**Proposition 19.5 (Les vecteurs tangents sont des vecteurs vitesse).**

La direction de $T_{M_0}S$ est exactement l’ensemble des vecteurs $\gamma'(0)$, où $\gamma = \sigma \circ c$ parcourt les courbes $\mathcal{C}^1$ tracées sur la surface passant par $M_0$ (c.-à-d. $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ est $\mathcal{C}^1$ avec $c(0) = (u_0, v_0)$).

**Démonstration.** Si $c(t) = (u(t), v(t))$, la règle de dérivation en chaîne ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#ch-b2-diffcalc)) donne

$$
\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v
\in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).
$$

Réciproquement, le vecteur $a\sigma_u + b\sigma_v$ est atteint par la courbe $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$, qui reste dans l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) $U$ pour $\abs t$ petit. ∎

**Exemple 19.6 (Le plan tangent de l’hélicoïde).**

Pour l’hélicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$, au point $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

$$
\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0),
\qquad
\sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),
$$

donc le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) est $a\,y = z$. Il contient toute la génératrice horizontale $\{(t, 0, 0)\}$ (direction $\sigma_v$) : comme pour le cône de l’[Exercice 19.1](#exo-b2-surfaces-1), une surface réglée par des droites a chacune de ses génératrices contenue dans le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) le long de celle-ci. L’autre direction [tangente](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-arc) $\sigma_u$ est la vitesse de l’hélice $u \mapsto
\sigma(u, 1)$ : une carte, deux courbes tracées, et tout le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) est engendré — la [Proposition 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity) en action.

**Proposition 19.7 (Normale d’une surface de niveau).**

Soit $S = \{f = c\}$ avec $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $\nabla
f(M_0) \neq 0$. Alors le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) de $S$ en $M_0$ est le plan passant par $M_0$ orthogonal à $\nabla f(M_0)$ :

$$
T_{M_0}S :\quad
\langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .
$$

**Démonstration.** Pour toute courbe $\gamma$ tracée sur $S$ passant par $M_0$, $f(\gamma(t)) =
c$ identiquement, donc la règle de dérivation en chaîne donne $\langle
\nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : tous les vecteurs vitesse sont orthogonaux au gradient, donc la direction [tangente](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-arc) est contenue dans le plan $\nabla f(M_0)^\perp$. Les deux sont des sous-espaces de dimension $2$ — la direction [tangente](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-arc) parce que $S$ est localement un graphe régulier ([Exemple 19.2](#ex-b2-surfaces-standard)), l’orthogonal parce que $\nabla f(M_0) \neq 0$ — donc ils sont égaux. ∎

**Exemple 19.8.**

Pour la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$, donc le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) en $M_0$ est orthogonal au rayon $\vect{OM_0}$ — le fait classique que rayon et [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) sont perpendiculaires, d’équation $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

**Exemple 19.9 (Plan tangent d’un graphe).**

Pour $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$ : en appliquant la [Proposition 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) à $F(x,y,z) = f(x,y) - z$,

$$
z = f(x_0, y_0)
+ f_x(x_0, y_0)(x - x_0)
+ f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,
$$

la partie [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) du développement de Taylor à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) un — le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) est le graphe de la [différentielle](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential), comme il se doit.

**Exemple 19.10 (Le point le plus proche d’une surface).**

Quel point du paraboloïde $z = x^2 + y^2$ est le plus proche de $P = (0, 0, 1)$ ? Minimisons le carré de la distance le long de la surface : avec $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2,
\qquad
g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0
\iff \rho^2 = \tfrac12 ,
$$

donnant le cercle des points à hauteur $z = \frac12$ et distance $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$. La signature géométrique de la minimalité : en un tel point $M$, le vecteur $\vect{MP}$ doit être *normal* à la surface — sinon glisser le long d’une courbe tracée avec une vitesse ayant une composante vers $P$ diminuerait la distance. Vérification : $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ en $M = (x, y,
\tfrac12)$, tandis que $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) =
\tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : parallèles, comme prédit. La condition du premier [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) « pied de la perpendiculaire » est la même qui pilotera les extrema sur les ensembles de niveau dans l’[Exercice 19.12](#exo-b2-surfaces-12).

**Exemple 19.11 (Plans tangents des quadriques : la règle de polarisation).**

Soit $S : xy + yz + zx = 1$ et $M_0 = (1, 1, 0) \in S$. Ici $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$, donc $\nabla f(M_0) = (1,
1, 2)$ et le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) est

$$
(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0,
\qquad\text{c.-à-d.}\qquad x + y + 2z = 2 .
$$

La même réponse provient de la *règle de [polarisation](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def)* qui généralise l’[Exemple 19.8](#ex-b2-surfaces-spheretangent) et l’[Exercice 19.2](#exo-b2-surfaces-2) : dans l’équation de la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1), remplacer $x^2$ par $x_0x$, et chaque produit $xy$ par $\frac{x_0y + y_0x}2$ (et cycliquement) :

$$
\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x +
x_0z}2 = 1
\;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\;
\frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,
$$

soit $x + y + 2z = 2$ à nouveau. La règle fonctionne parce que $\nabla$ d’une [forme quadratique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def) est la forme bilinéaire associée évaluée contre le point de base — la tangence à une [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) est la [polarisation](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def), une facette de plus du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic).

## 19.3 La première forme fondamentale

**Définition 19.12 (Première forme fondamentale).**

Soit $\sigma \colon U \to \R^3$ une surface $\mathcal{C}^1$ régulière. Sa *première forme fondamentale* en $(u,v)$ est la [forme quadratique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def) définie positive sur $\R^2$

$$
I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2
= E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,
$$

où

$$
E = \norm{\sigma_u}^2,
\qquad
F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle,
\qquad
G = \norm{\sigma_v}^2 .
$$

**Remarque 19.13.**

$I$ est la restriction du produit scalaire euclidien ambiant au [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent), lue dans la base $(\sigma_u, \sigma_v)$ : elle est définie positive précisément parce que $\sigma_u, \sigma_v$ sont indépendants ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic)). Toute quantité métrique sur la surface — [longueurs](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) des courbes tracées, angles entre elles, [aires](#def-b2-surfaces-area) — se calcule à partir de $E, F, G$ seuls. Deux surfaces ayant les mêmes $E,
F, G$ dans des paramètres convenables sont *isométriques* même si elles sont placées différemment dans l’espace : c’est le point de départ de la géométrie intrinsèque.

**Exemple 19.14 (Angles entre courbes coordonnées).**

La [première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff) mesure aussi les angles : les courbes coordonnées $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ et $v \mapsto
\sigma(u_0, v)$ se rencontrent selon l’angle $\theta$ avec

$$
\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u,
\sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}}
= \frac{F}{\sqrt{EG}} :
$$

le seul coefficient $F$ décide de l’orthogonalité du réseau de paramètres. Pour la carte sphérique et l’hélicoïde, $F =
0$ : les méridiens coupent les parallèles, et les hélices coupent les génératrices horizontales, à angle droit — ce qui explique pourquoi leurs intégrandes d’[aire](#def-b2-surfaces-area) se réduisaient à $\sqrt{EG}$. Pour une carte-graphe, $F = f_xf_y$ ne s’annule que là où une dérivée partielle s’annule : le réseau de coordonnées d’un graphe incliné n’est *pas* orthogonal, même si le réseau $(x, y)$ en dessous l’est. Quand les calculs sur une surface paraissent lourds, le premier réflexe est de chercher une carte avec $F = 0$.

**Exemple 19.15 (La carte de la selle).**

Pour la selle $z = xy$ avec la carte $\sigma(u, v) = (u, v,
uv)$ :

$$
\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u),
\qquad
E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,
$$

et $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : régulière partout. Les deux courbes coordonnées passant par un point sont des *droites* de $\R^3$ (fixer $u$ ou fixer $v$ : les génératrices de la selle doublement réglée), pourtant $F \neq 0$ hors des axes : les génératrices passant par un point générique ne sont pas orthogonales. Les deux génératrices sont dans le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent), qu’elles engendrent — donc le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) coupe la surface le long de deux droites entières, l’exact opposé de la sphère, dont les [plans tangents](#def-b2-surfaces-tangent) touchent en un seul point. Le signe du « contact d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux » entre une surface et ses [plans tangents](#def-b2-surfaces-tangent) est une histoire de [courbure](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#thm-b2-curves-frenet2d), reprise dans le volume de troisième année.

**Proposition 19.16 (Longueur d’une courbe tracée sur une surface).**

Si $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$, $t \in [a, b]$, est $\mathcal{C}^1$, alors

$$
L(\gamma) = \int_a^b
\sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,
$$

avec $E, F, G$ évalués en $(u(t), v(t))$.

**Démonstration.** $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ par la règle de dérivation en chaîne, donc $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; intégrer $\norm{\gamma'}$ ([Définition 18.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length)). ∎

**Exemple 19.17 (Pourquoi les avions de ligne survolent le pôle).**

Deux aéroports sont à la latitude $\varphi_0$ et à des longitudes opposées : $A = \sigma(0, \varphi_0)$ et $B = \sigma(\pi,
\varphi_0)$ sur la sphère de rayon $R$. Le long du parallèle ($\varphi \equiv \varphi_0$), la [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) est $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$. Le long de la route par le pôle (en montant le méridien $\theta = 0$, en descendant le méridien $\theta = \pi$), elle vaut $2R(\frac\pi2 -
\varphi_0)$. À la latitude $\varphi_0 = \frac\pi3$ (soixante degrés) : route par le parallèle $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, route polaire $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — un tiers plus courte. En fait $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ sur $\intcc0{\pi/2}$ (la fonction $\pi\cos\varphi - \pi +
2\varphi$ s’annule aux deux bornes et sa dérivée $2 -
\pi\sin\varphi$ change de signe une fois, donc elle est d’abord croissante puis décroissante, donc positive) : la route polaire ne perd jamais. La [première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff) a transformé une question de navigation en deux intégrales d’une ligne ; l’[Exercice 19.6](#exo-b2-surfaces-6) pousse l’idée jusqu’à une véritable preuve de minimalité pour les méridiens.

**Lemme 19.18 (Identité de Lagrange).**

Pour tous $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$. En particulier

$$
\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.
$$

**Démonstration.** Les deux membres sont inchangés si l’on remplace $b$ par sa composante $b_\perp
= b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ orthogonale à $a$ (pour $a \neq 0$ ; le cas $a = 0$ est trivial) : le membre de gauche parce que $a \wedge a = 0$, celui de droite en développant $\norm
{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ et $\langle a, b_\perp\rangle = 0$. Il suffit donc de prouver l’identité pour $a, b$ orthogonaux, où elle s’écrit $\norm{a \wedge
b} = \norm a \norm b$ : vrai, puisque pour des vecteurs orthogonaux le produit vectoriel a pour [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$. La formule affichée est le cas $a = \sigma_u$, $b = \sigma_v$. ∎

**Remarque 19.19.**

L’identité de Lagrange dit que $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix}
E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ est le *[déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) de Gram* de $(\sigma_u, \sigma_v)$ : le carré de l’[aire](#def-b2-surfaces-area) du parallélogramme qu’ils engendrent. La régularité, la définie-positivité de la [première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff) et la positivité du [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) de Gram sont trois formulations d’une même condition — ce qui explique pourquoi l’intégrande d’[aire](#def-b2-surfaces-area) ci-dessous ne s’annule jamais sur une carte régulière.

**Définition 19.20 (Aire).**

Soit $\sigma \colon U \to \R^3$ une surface $\mathcal{C}^1$ régulière injective et $K \subseteq U$ un domaine [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) sur lequel les intégrales doubles ont un sens ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint)). L’*aire* du morceau $\sigma(K)$ est

$$
\mathcal{A}
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v
= \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .
$$

**Remarque 19.21 (Pourquoi cette formule).**

Le rectangle $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ est envoyé, au premier [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated), sur le parallélogramme engendré par $\sigma_u\,\dd u$ et $\sigma_v\,\dd v$, dont l’[aire](#def-b2-surfaces-area) est $\norm{\sigma_u \wedge
\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : la définition intègre le facteur local de distorsion d’[aire](#def-b2-surfaces-area), exactement comme la [longueur d’arc](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) intègre la vitesse locale. La cohérence avec le [changement de paramètres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-reparam) est l’[Exercice 19.8](#exo-b2-surfaces-8) ; la cohérence avec la formule de changement de variables pour les intégrales doubles est discutée dans le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint).

**Exemple 19.22 (Deux graphes différents, une même aire).**

Sur le disque unité, comparons le bol $z = \frac12(x^2 + y^2)$ et la selle $z = xy$. Leurs intégrandes d’[aire](#def-b2-surfaces-area) ([Exercice 19.5](#exo-b2-surfaces-5)) sont

$$
\sqrt{1 + x^2 + y^2}
\qquad\text{et}\qquad
\sqrt{1 + y^2 + x^2} :
$$

identiques. Les deux surfaces — l’une se courbant de la même façon dans toutes les directions, l’autre en forme de selle — ont des [aires](#def-b2-surfaces-area) exactement égales sur tout domaine, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sur le disque unité. L’élément d’[aire](#def-b2-surfaces-area) ne voit que la *[longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length)* du gradient, pas la disposition de la [courbure](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#thm-b2-curves-frenet2d) ; distinguer le bol de la selle exige des données du second [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) (la structure de signe exhibée dans la [Figure 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle)), qu’aucune mesure d’[aire](#def-b2-surfaces-area) ne détecte. [Première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff) : métrique, aveugle à la forme ; la seconde forme, qui voit la forme, appartient à la troisième année.

**Exemple 19.23 (Aire de la sphère).**

Pour la carte sphérique de l’[Exemple 19.2](#ex-b2-surfaces-standard) :

$$
\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\
\cos\theta\cos\varphi,\ 0),
\qquad
\sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\
-\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),
$$

donc $E = R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$ et $\sqrt{EG - F^2}
= R^2\cos\varphi$. D’où

$$
\mathcal{A}
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \boxed{4\pi R^2} .
$$

**Exemple 19.24 (Le cône, confronté à la formule du secondaire).**

Pour le cône $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ au-dessus de l’anneau $a \leq
\rho \leq b$, la formule du graphe de l’[Exercice 19.5](#exo-b2-surfaces-5) donne $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calculer $f_x = x/\rho$, $f_y = y/\rho$), donc

$$
\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .
$$

Vérification de cohérence avec la formule de l’[aire](#def-b2-surfaces-area) latérale $\pi\rho\ell$ de l’[Exemple 19.26](#ex-b2-surfaces-revolution) : les cônes pleins de rayons de base $b$ et $a$ ont des [aires](#def-b2-surfaces-area) latérales $\pi b\cdot b\sqrt2$ et $\pi a\cdot a\sqrt2$, dont la différence est exactement $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$. Deux cartes, deux formules, une même [aire](#def-b2-surfaces-area) — l’invariance prouvée dans l’[Exercice 19.8](#exo-b2-surfaces-8), vue en action.

**Remarque 19.25 (Vérifications rapides pour les aires).**

Trois vérifications instantanées attrapent la plupart des erreurs dans un calcul d’[aire](#def-b2-surfaces-area). *Homogénéité* : dilater une surface d’un facteur $\lambda$ multiplie $E, F, G$ par $\lambda^2$ et l’[aire](#def-b2-surfaces-area) par $\lambda^2$ — une réponse dont la dépendance en $R$ n’est pas quadratique (comme $4\pi R^2$) est fausse. *Positivité de l’élément* : $\sqrt{EG - F^2}$ doit être strictement positif à l’intérieur de la carte ; une valeur nulle signale une dégénérescence de la carte, à exciser comme aux pôles de la sphère. *Symétrie* : un calcul sur un morceau [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) doit être cohérent avec la somme de ses parties congruentes — l’hémisphère a intérêt à donner $2\pi R^2$.

**Exemple 19.26 (Surface de révolution).**

Faire tourner la courbe $z \mapsto (r(z), 0, z)$, $r > 0$ de classe $\mathcal{C}^1$, autour de l’axe $z$ :

$$
\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).
$$

Alors $E = r(z)^2$, $F = 0$, $G = 1 + r'(z)^2$, donc

$$
\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi}
r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z
= 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,
$$

la formule classique (circonférence $2\pi r$ fois l’élément de [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) oblique). Pour le cône $r(z) = kz$, $z \in [0, h]$ : $\mathcal
A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ avec $\rho = kh$ le rayon de base et $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ la génératrice — la formule apprise au secondaire, désormais démontrée plutôt qu’admise.

**Exemple 19.27 (Le caténoïde).**

Faire tourner la chaînette $r(z) = \cosh z$, $z \in \intcc{-1}{1}$, autour de son axe : le *caténoïde* résultant a, par la formule de révolution et $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$,

$$
\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\,
\dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z
= \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},
$$

soit

$$
\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .
$$

Le facteur oblique $\sqrt{1 + r'^2}$ s’est fondu avec le rayon en un carré parfait — la même identité qui rendait élémentaire la [longueur d’arc](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) de la chaînette dans le chapitre sur les courbes. Ce n’est pas un hasard algébrique : parmi toutes les surfaces de révolution s’appuyant sur les deux cercles de bord, le caténoïde minimise l’[aire](#def-b2-surfaces-area) (c’est la forme d’un film de savon entre deux anneaux), et cette propriété variationnelle est précisément ce qui distingue $\cosh$ ; le volume de troisième année le prouve avec le calcul des variations.

![La selle z = x2 - y2 près de l’origine, avec ses courbes coordonnées (u-courbes en bleu, v-courbes en vert), le plan tangent en M_0 = (0,0,0) (en pointillés) et la normale unitaire n. La surface traverse son plan tangent — l’analogue en dimension deux d’un point d’inflexion.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-b28608515b89.svg)

***Figure 19.1.** La selle $z = x^2 - y^2$ près de l’origine, avec ses courbes coordonnées ($u$-courbes en bleu, $v$-courbes en vert), le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) en $M_0 = (0,0,0)$ (en pointillés) et la [normale unitaire](#def-b2-surfaces-tangent) $n$. La surface traverse son [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) — l’analogue en dimension deux d’un point d’inflexion.*

**Remarque 19.28 (Pièges courants).**

(i) *Les singularités de carte ne sont pas des singularités de surface* : la carte sphérique dégénère aux pôles ($\cos\varphi = 0$), mais la sphère y est parfaitement régulière — une autre carte (échanger les rôles des axes) est régulière aux pôles. Avant de déclarer un point singulier, essayer un second paramétrage. (ii) *La régularité de $\sigma$ concerne le paramétrage, pas l’image* : $\sigma(u, v) = (u^3, v,
0)$ est non régulière le long de $u = 0$ bien que son image soit un plan. (iii) La formule de l’[aire](#def-b2-surfaces-area) requiert $\sigma$ *injective* sur $K$ : une carte couvrant un morceau deux fois le compte deux fois ($\theta$ parcourant $\intcc0{4\pi}$ double l’[aire](#def-b2-surfaces-area) de la sphère). (iv) La [normale unitaire](#def-b2-surfaces-tangent) est définie au signe près par la surface mais est *choisie* par la carte ([ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de $u, v$) ; les énoncés faisant intervenir l’orientation doivent fixer ce choix. (v) Enfin, $EG - F^2 > 0$ n’est pas une hypothèse supplémentaire : c’est exactement la régularité, par l’identité de Lagrange — si elle s’annule quelque part, le problème est la carte, et aucune formule d’[aire](#def-b2-surfaces-area) ou de [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) ne s’y applique.

**Remarque 19.29 (Perspectives dans ce volume).**

Liens vers l’avant à partir d’ici. L’élément d’[aire](#def-b2-surfaces-area) $\sqrt{EG -
F^2}\,\dd u\,\dd v$ est un jacobien bidimensionnel déguisé, et le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint) rend l’analogie exacte avec le théorème de changement de variables — les intégrales de surface là-bas sont les [aires](#def-b2-surfaces-area) de ce chapitre munies d’un intégrande. La [première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff) est un champ de [formes quadratiques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def) définies positives, traité point par point par les outils du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic), dont le théorème spectral alimente aussi la classification des [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) du week-end de ce chapitre. Et la droite normale pilote les problèmes d’extremum sur les ensembles de contraintes ([Exemple 19.10](#ex-b2-surfaces-closest)), le germe géométrique de la méthode des multiplicateurs de Lagrange esquissée avec le [Théorème 15.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#thm-b2-diffcalc-extrema).

![Quatre des neuf surfaces quadriques classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-35df017d26e4.svg)

![Quatre des neuf surfaces quadriques classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-9fa6cfaf5739.svg)

![Quatre des neuf surfaces quadriques classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-53f34f982373.svg)

![Quatre des neuf surfaces quadriques classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-80611cc1a612.svg)

*Quatre des neuf surfaces [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.*

**Remarque 19.30 (Où cela est utilisé).**

L’élément d’[aire](#def-b2-surfaces-area) $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ est la mesure d’intégration de surface du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint), où il rencontre la formule de Green ; la [première forme fondamentale](#def-b2-surfaces-fff) est le prototype d’un champ de [formes quadratiques](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def), étudié point par point avec les outils du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic) ; et le problème du week-end de ce chapitre classe toutes les surfaces [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) avec le théorème spectral. Le volume de troisième année revient aux surfaces avec les formes [différentielles](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential) et le théorème de la divergence, et la [courbure](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#thm-b2-curves-frenet2d) intrinsèque — ce que $E, F, G$ savent de la [courbure](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#thm-b2-curves-frenet2d) — est la porte d’entrée de la géométrie [différentielle](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential) proprement dite.

## 19.4 Exercices

**Exercice 19.1 ★.**

Montrer que les [plans tangents](#def-b2-surfaces-tangent) du cône $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (privé de son sommet) passent tous par le sommet. *(Paramétrer par $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$, $r > 0$.)*

**Solution de Exercice 19.1.**

Avec $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

$$
\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0),
\qquad
\sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),
$$

indépendants pour $r > 0$. Le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) en $M_0 =
\sigma(\theta_0, r_0)$ passe par $M_0$ avec les directions $\sigma_\theta, \sigma_r$. Or $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0,
\sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ est lui-même une direction [tangente](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-arc) : le sommet $O$ est sur le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent). (C’est le comportement général des cônes : ils sont réglés par des droites passant par le sommet, et un [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) contient la génératrice passant par le point de tangence.)

**Exercice 19.2 ★.**

Trouver le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) de l’ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ en un point $(x_0, y_0,
z_0)$ de la surface.

**Solution de Exercice 19.2.**

Appliquer la [Proposition 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) à $f(x,y,z) =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla
f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ sur la surface. Le [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent) est

$$
\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0)
+ \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0,
\qquad\text{c.-à-d.}\qquad
\frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,
$$

en utilisant que $(x_0, y_0, z_0)$ vérifie l’équation de l’ellipsoïde — la règle « dédoubler les carrés » qui généralise $\langle M_0, M \rangle = R^2$ de la sphère.

**Exercice 19.3 ★.**

Calculer $E, F, G$ pour l’hélicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\
v\sin u,\ au)$, $a > 0$, et l’[aire](#def-b2-surfaces-area) du morceau $0 \leq u \leq
2\pi$, $0 \leq v \leq 1$, comme intégrale (l’évaluer en utilisant $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} +
a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$).

**Solution de Exercice 19.3.**

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ et $\sigma_v = (\cos u,\
\sin u,\ 0)$, donc

$$
E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1,
\qquad
\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0
$$

(l’hélicoïde est régulier partout, y compris sur son axe $v =
0$). [Aire](#def-b2-surfaces-area) du morceau :

$$
\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1
\sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u
= 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2}
+ a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,
$$

soit $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} +
a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$.

**Exercice 19.4 ★★.**

(Tore) Paramétrer le tore obtenu en faisant tourner le cercle de centre $(R, 0, 0)$ et de rayon $r < R$ dans le plan $xz$ autour de l’axe $z$ :

$$
\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\
(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).
$$

Calculer $E, F, G$, vérifier la régularité, et montrer que l’[aire](#def-b2-surfaces-area) est $4\pi^2 R r$ (Pappus : circonférence moyenne $2\pi R$ fois la [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) du cercle $2\pi r$).

**Solution de Exercice 19.4.**

Dérivées :

$$
\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\
(R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr),
\qquad
\sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\
-r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).
$$

Alors

$$
E = (R + r\cos\psi)^2,
\qquad
F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi)
\bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0,
\qquad
G = r^2 ,
$$

donc $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : régulier partout. [Aire](#def-b2-surfaces-area) :

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi)
\,\dd\theta\,\dd\psi
= 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr)
= 4\pi^2 R r ,
$$

le terme en $\cos\psi$ s’intégrant à zéro — théorème de Pappus : [aire](#def-b2-surfaces-area) $=$ ([longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) du cercle en rotation) $\times$ (distance parcourue par son centre).

**Exercice 19.5 ★★.**

Montrer que l’[aire](#def-b2-surfaces-area) du graphe de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ est $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$, et la calculer pour le morceau de paraboloïde $z = \frac12(x^2 + y^2)$ au-dessus du disque $x^2 + y^2 \leq 1$ (coordonnées polaires, [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint)).

**Solution de Exercice 19.5.**

Pour $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$, $\sigma_y = (0, 1, f_y)$, donc $E = 1 + f_x^2$, $F = f_xf_y$, $G = 1
+ f_y^2$ et

$$
EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2
= 1 + f_x^2 + f_y^2 ,
$$

donnant la formule d’[aire](#def-b2-surfaces-area) annoncée. Pour $f = \frac12(x^2 + y^2)$ sur le disque unité : $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$, et en coordonnées polaires ($x = \rho\cos\alpha$, $y = \rho\sin\alpha$, jacobien $\rho$, [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint)) :

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho
\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1
= \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).
$$

**Exercice 19.6 ★★.**

Une courbe tracée $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ sur la sphère de rayon $R$ (carte sphérique) a $u = \theta(t)$, $v =
\varphi(t)$. Écrire sa [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) comme intégrale en $\theta, \varphi$ et prouver que parmi les courbes joignant deux points d’un même méridien $\theta = \theta_0$, l’arc de méridien est le plus court. *(Minorer l’intégrande par $R\abs{\varphi'}$.)*

**Solution de Exercice 19.6.**

D’après le calcul de l’[Exemple 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea), $E =
R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$, donc par la [Proposition 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength)

$$
L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2
+ \varphi'(t)^2}\;\dd t .
$$

Soit les extrémités $(\theta_0, \varphi_1)$ et $(\theta_0,
\varphi_2)$, $\varphi_1 < \varphi_2$. Pour toute courbe joignante,

$$
L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t
\geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr|
= R\,(\varphi_2 - \varphi_1),
$$

en laissant tomber le terme positif $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ et en utilisant l’inégalité triangulaire pour les intégrales. L’arc de méridien $\theta \equiv \theta_0$, $\varphi$ croissant de $\varphi_1$ à $\varphi_2$, a pour [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) exactement $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : il est le plus court. (Les méridiens sont des grands cercles ; c’est le premier, élémentaire cas du fait que les géodésiques de la sphère sont les grands cercles.)

**Exercice 19.7 ★★★.**

(Droites normales d’une sphère) Soit $S$ une surface de niveau régulière $\{f = c\}$, [connexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-connected), dont toutes les droites normales passent par un point fixe $\Omega$. Montrer que $S$ est contenue dans une sphère centrée en $\Omega$. *(Montrer que $\norm{M - \Omega}^2$ a une dérivée nulle le long de toute courbe tracée sur $S$.)*

**Solution de Exercice 19.7.**

Fixons une courbe $\gamma$ tracée sur $S$ et posons $g(t) = \norm{\gamma(t)
- \Omega}^2$. Alors $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) -
\Omega\rangle$. La droite normale en $M = \gamma(t)$ passe par $\Omega$ par hypothèse, donc $\gamma(t) - \Omega$ est un vecteur *normal*, orthogonal au [plan tangent](#def-b2-surfaces-tangent), en particulier à la vitesse $\gamma'(t)$ ([Proposition 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity)) : $g' =
0$, et $g$ est constante le long de toute courbe tracée.

Maintenant l’ensemble $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ est fermé dans $S$ ; il est aussi [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) dans $S$ : au voisinage de chacun de ses points, $S$ est un graphe régulier, donc tout point voisin de $S$ lui est joint par une courbe tracée (un segment relevé), le long de laquelle $g$ est constante. Comme $S$ est [connexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-connected) et $S_c$ non vide pour le bon $c$, $S = S_c
\subseteq$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt c$ ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ch-b2-metric) : argument de connexité).

**Exercice 19.8 ★★★.**

(L’[aire](#def-b2-surfaces-area) est géométrique) Soit $\Phi \colon U' \to U$ un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme entre [ouverts](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) de $\R^2$ et $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$. Montrer que

$$
\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
= \abs{\det J_\Phi}\,
\norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,
$$

et en déduire, en utilisant la formule de changement de variables du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint), que l’[aire](#def-b2-surfaces-area) de la [Définition 19.20](#def-b2-surfaces-area) ne dépend pas du paramétrage régulier choisi.

**Solution de Exercice 19.8.**

Écrivons $\Phi(u', v') = (u, v)$. Par la règle de dérivation en chaîne,

$$
\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v,
\qquad
\tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,
$$

dérivées partielles de $\sigma$ évaluées en $\Phi(u',v')$. En développant le produit vectoriel par bilinéarité et en utilisant $\sigma_u \wedge \sigma_u =
\sigma_v \wedge \sigma_v = 0$, $\sigma_v \wedge \sigma_u =
-\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

$$
\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}
= \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'}
\frac{\partial v}{\partial v'}
- \frac{\partial v}{\partial u'}
\frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\,
\sigma_u \wedge \sigma_v
= \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .
$$

En prenant les [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) on obtient l’identité. Puis, par la formule de changement de variables ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint)) appliquée à l’application $\Phi$ sur $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

$$
\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
\,\dd u'\dd v'
= \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\;
\abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v'
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :
$$

les deux paramétrages attribuent la même [aire](#def-b2-surfaces-area) au même morceau de surface.

**Exercice 19.9 ★.**

(Théorème de la boîte à chapeau d’Archimède) Sur la sphère de rayon $R$, la *zone* entre les latitudes avec $z_1 \leq z \leq z_2$ ($-R \leq z_1 < z_2 \leq R$) a pour [aire](#def-b2-surfaces-area) $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : le prouver avec la carte sphérique, et conclure que l’[aire](#def-b2-surfaces-area) d’une zone ne dépend que de sa hauteur — découper une orange en tranches d’épaisseur égale donne des quantités de peau égales.

**Solution de Exercice 19.9.**

Dans la carte sphérique, $z = R\sin\varphi$, et la zone correspond à $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ avec $z_i = R\sin\varphi_i$. Avec l’élément d’[aire](#def-b2-surfaces-area) $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Exemple 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea)) :

$$
\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)
= 2\pi R\,(z_2 - z_1) .
$$

Le résultat ne dépend que de la hauteur $z_2 - z_1$ : des tranches d’épaisseur égale portent des [aires](#def-b2-surfaces-area) égales, qu’elles soient coupées à l’équateur ou au pôle — le théorème de la boîte à chapeau d’Archimède, et la raison pour laquelle l’[aire](#def-b2-surfaces-area) latérale du cylindre circonscrit ($2\pi R \cdot
2R = 4\pi R^2$) égale l’[aire](#def-b2-surfaces-area) de la sphère.

**Exercice 19.10 ★★.**

Montrer que toute droite normale d’une surface de révolution $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ($r > 0$ de classe $\mathcal C^1$) rencontre l’axe de révolution, et localiser le point d’intersection.

**Solution de Exercice 19.10.**

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ et $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$, donc

$$
\sigma_\theta \wedge \sigma_z
= (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,
$$

un vecteur normal en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$. La droite normale est

$$
t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\
z - t\,r\,r'\bigr),
$$

qui en $t = -1$ atteint $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : toute droite normale rencontre l’axe, à la hauteur $z + rr'$. (C’est la raison tridimensionnelle pour laquelle la symétrie de rotation survit dans le champ normal.)

**Exercice 19.11 ★★.**

(Déroulement du cylindre) La carte $\sigma(u, v) = (\cos u,\
\sin u,\ v)$ du cylindre unité a $E = G = 1$, $F = 0$ : le vérifier, et expliquer pourquoi toute courbe tracée $t \mapsto
\sigma(u(t), v(t))$ a la même [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) que la courbe plane $t
\mapsto (u(t), v(t))$. En déduire que l’hélice de $(1, 0, 0)$ à $(1, 0, 2\pi c)$ faisant un tour a pour [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$, et qu’aucune courbe tracée de mêmes extrémités et faisant un tour [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) n’est plus courte.

**Solution de Exercice 19.11.**

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$, $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E
= 1$, $F = 0$, $G = 1$. Par la [Proposition 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength) la [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) d’une courbe tracée est $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — la [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) de son ombre paramétrique $(u(t), v(t))$ dans le plan : la carte est une isométrie locale (le déroulement du cylindre). L’hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$, $t \in \intcc0{2\pi}$, a pour ombre le segment de $(0,0)$ à $(2\pi, 2\pi c)$, de [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$. Toute courbe tracée de $(1,0,0)$ à $(1,
0, 2\pi c)$ faisant un tour [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) a une ombre [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) joignant $(0, 0)$ à $(2\pi, 2\pi c)$, de [longueur](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) plane $\geq$ le segment droit ; puisque les [longueurs](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length) coïncident, l’hélice est la plus courte.

**Exercice 19.12 ★★★.**

Soit $S = \{f = c\}$ une surface de niveau régulière compacte et $M_0 \in S$ un point à distance maximale de l’origine. Montrer que $\nabla f(M_0)$ est colinéaire à $\vect{OM_0}$ — la normale au point le plus éloigné est radiale. Appliquer à l’ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ($a >
b > c > 0$) : trouver tous les points où la normale est radiale, et identifier les plus éloignés.

**Solution de Exercice 19.12.**

La fonction $g(M) = \norm{M}^2$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur le [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) $S$, donc elle atteint son maximum en un certain $M_0$. Pour toute courbe $\gamma$ tracée sur $S$ avec $\gamma(0) = M_0$, la fonction $t
\mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ a un maximum en $t = 0$, donc sa dérivée $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ s’annule : $M_0$ est orthogonal à tout vecteur tangent, c.-à-d. normal à $S$ en $M_0$. Comme $\nabla f(M_0) \neq 0$ dirige aussi la droite normale ([Proposition 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient)), $\nabla f(M_0)$ et $\vect{OM_0}$ sont colinéaires. Pour l’ellipsoïde, la radialité signifie

$$
\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :
$$

chaque coordonnée vérifie $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$, etc. ; puisque $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ sont distincts, au plus une coordonnée est non nulle, et les solutions sur la surface sont les six extrémités des axes $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm b, 0)$, $(0,
0, \pm c)$. Les points les plus éloignés sont $(\pm a, 0, 0)$, à distance $a = \max(a,b,c)$.

## 19.5 Problème : la classification des quadriques de $\R^3$

**Problème 19.1.**

Problème du week-end — toutes les surfaces quadriques, classées par le théorème spectral

Une *quadrique* est l’ensemble des zéros dans $\R^3$ d’un polynôme de degré deux

$$
q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c,
\qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\
c \in \R .
$$

Les surfaces des figures de ce chapitre — sphères, ellipsoïdes, selles, cônes, cylindres — sont toutes des [quadriques](#pb-b2-surfaces-1). Ce problème les classe *toutes* : le théorème spectral ([Théorème 12.13](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-spectral)) redresse la partie quadratique, les translations [affines](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#ch-b2-affine)) absorbent la partie linéaire, et ce qui reste est une liste courte et complète de formes normales.

**Partie I — La machine de réduction.**

1. Soit $X = PY + t$ avec $P \in O(3)$ et $t \in \R^3$ (un changement rigide de coordonnées). Montrer que $q(PY + t) =  Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ avec $$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad  b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad  c' = q(t) .$$ En déduire que le [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ (donc son rang et sa signature) est un invariant rigide de l’équation, et expliquer pourquoi l’équation d’une [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) donnée n’est déterminée qu’à un facteur scalaire non nul près.
2. En utilisant le théorème spectral, montrer qu’après une rotation l’équation devient $\sum_i \lambda_i y_i^2 +  2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ avec $\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3$ les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ .
3. Pour tout $i$ avec $\lambda_i \neq 0$ , absorber $\beta_iy_i$ par une translation ( $y_i \mapsto y_i -  \beta_i/\lambda_i$ ). Écrire l’équation réduite lorsque $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i  z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
4. Un *centre* de la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) d’équation $q = 0$ est un point $\Omega$ avec $q(2\Omega - X) = q(X)$ pour tout $X$ : la symétrie centrale en $\Omega$ préserve l’équation, donc la surface. Montrer que $q(2\Omega - X)  - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle  A\Omega + b, \Omega\rangle$ , et en déduire : les centres sont exactement les solutions de $A\Omega = -b$ ; ils existent ssi $b \in \operatorname{im}A$ , et le centre est unique ssi $A$ est inversible.

**Partie II — [Quadriques](#pb-b2-surfaces-1) à centre ($\operatorname{rank}A = 3$).** Ici l’équation réduite est $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$.

5. Quitte à multiplier par $-1$ , supposer qu’au moins deux $\lambda_i > 0$ . Énumérer les possibilités : signature $(3, 0)$ avec $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , et signature $(2, 1)$ avec $\delta > 0$ , $= 0$ , $<  0$ ; nommer les six ensembles résultants (ellipsoïde, point, ensemble vide, hyperboloïde à une nappe, cône, hyperboloïde à deux nappes) et mettre chacun sous sa forme normale euclidienne ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +  \frac{z^2}{c^2} = 1$ , etc.).
6. Classer $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : montrer que $A = 2J - I$ avec $J$ la matrice remplie de $1$ , calculer le [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$ , et identifier un hyperboloïde à deux nappes de révolution autour de l’axe $\R(1,1,1)$ .
7. (Génératrices) Pour l’hyperboloïde à une nappe $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}  = 1$, factoriser $$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr)  \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr)  = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$$ et produire deux familles à un paramètre de droites tracées sur la surface.
8. Montrer que par chaque point de l’hyperboloïde à une nappe passe exactement une droite de chaque famille : la surface est *doublement réglée* .
9. Le *cône asymptote* de l’hyperboloïde à une nappe est $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Avec $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2}  + \frac{y^2}{b^2}$ , montrer que tout point de l’hyperboloïde est à distance au plus $c\bigl(\rho -  \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho +  \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , donc la surface épouse son cône à l’infini. Quelles sont les sections de l’hyperboloïde par les plans $x = \pm a$ ?

**Partie III — Rang $2$ et rang $1$ : paraboloïdes, cylindres, plans.**

10. Supposons $\operatorname{rank}A = 2$, disons $\lambda_1,  \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$. En partant de la question 3, séparer en deux cas selon $\beta_3 \neq 0$ (pas de centre, par la question 4) ou $\beta_3 = 0$ (une droite de centres), et réduire à $$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0  \qquad\text{ou}\qquad  \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$$ paraboloïdes elliptiques/hyperboliques dans le premier cas, cylindres sur des coniques à centre (ou paires de plans sécants, une droite, l’ensemble vide) dans le second.
11. Montrer que la selle $z = xy$ est un paraboloïde hyperbolique : tourner de $\pi/4$ dans le plan $xy$ pour atteindre $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , la surface de la [Figure 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle) à l’échelle près.
12. Montrer que la selle $z = xy$ porte les deux familles de droites $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ et $\{y = y_0,\ z  = xy_0\}$ , avec exactement une droite de chaque passant par chaque point : la seconde [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) doublement réglée.
13. Classer $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ dans $\R^3$ (compléter les carrés ; identifier un cylindre circulaire droit, et donner son axe et son rayon).
14. Maintenant soit $\operatorname{rank}A = 1$, disons $\lambda_1  \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$. En tournant dans le plan noyau et en translatant, réduire à $$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0)  \qquad\text{ou}\qquad  \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$$ un cylindre parabolique, ou une paire de plans parallèles, un plan double, ou l’ensemble vide. Classer $(x + y)^2 =  z$ complètement (forme normale, axe d’invariance par translation).

**Partie IV — Le théorème de classification.**

15. Assembler les Parties I–III en un théorème : *toute [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) de $\R^3$ est envoyée par un déplacement sur exactement une forme normale* . Lister les dix-sept types [affines](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) (compter les variantes vides et les ensembles dégénérés), et distinguer les neuf *surfaces* [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) : ellipsoïde, hyperboloïdes à une et deux nappes, cône, paraboloïdes elliptique et hyperbolique, cylindres elliptique, hyperbolique et parabolique.
16. Écrire l’ *algorithme* de classification : étant donné $(A, b, c)$ , quelles quantités calcule-t-on, dans quel [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) , et quelle branche décide de quel type ? Justifier que chaque étape est effective ( [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) d’une matrice [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) $3\times3$ , rang, résolubilité de $A\Omega = -b$ ).
17. Exécuter l’algorithme sur $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz -  2zx = 1$ : montrer que $A = 2I - J$ a pour [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\{2, 2,  -1\}$ et conclure : un hyperboloïde à une nappe de révolution autour de $\R(1,1,1)$ .
18. L’exécuter sur $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : trouver le centre et identifier la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) .
19. L’exécuter sur $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonaliser le bloc $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v =  \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) et identifier la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) .
20. Euclidien contre [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) . Montrer que deux [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) à centre en forme normale sont *rigidement* [équivalentes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-equivalent) ssi elles ont les mêmes listes de coefficients (à permutation et à un scalaire positif commun sur l’équation près), tandis qu’ *affinement* , seules les données de signature survivent : tout ellipsoïde est une image [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) de la sphère ronde. Quel théorème garantit que la signature ne peut pas changer en chemin ( [Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-sylvester) ) ?

**Partie V — Dividendes.**

21. Montrer que toute section d’une [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) par un plan [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) est une conique (éventuellement dégénérée) de ce plan. Identifier les sections de la selle $z = xy$ par les plans $z = c$ ( $c \neq 0$ et $c = 0$ ).
22. Quelles surfaces [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) contiennent des droites ? Montrer que l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à deux nappes et le paraboloïde elliptique n’en contiennent aucune *(restreindre $q$ à une droite et utiliser l’inégalité de Cauchy–Schwarz pour le cas à deux nappes)* ; que le cône et les cylindres sont réglés par une famille ; et conclure que les surfaces [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) doublement réglées sont exactement l’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique.
23. Quand seul le type *[affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace)* est recherché, la [réduction de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-gauss) ( [Théorème 12.5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-gauss) ) est moins coûteuse que la diagonalisation. Refaire la question 17 avec l’algorithme de Gauss et vérifier la signature $(2, 1)$ ; quelle information euclidienne Gauss perd-il ?
24. Toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) d’une matrice [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) sont réelles ; montrer qu’en conséquence les *signes* des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $A$ peuvent se lire sur le [polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-charpoly) par la règle des signes de Descartes, et le vérifier sur la question 6 : $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2  - 9\lambda - 5$ a exactement un changement de signe, donc signature $(1, 2)$ .
25. Synthèse. Résumer l’algorithme en quelques lignes ; énoncer le rôle exact joué par (i) le théorème spectral, (ii) l’équation du centre $A\Omega = -b$ , (iii) le théorème d’inertie de Sylvester, (iv) la [réduction de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-gauss) . Que donne la même machine dans $\R^2$ , et qu’est-ce qui change dans $\R^n$ ?

**Solution de Problème 19.1.**

**1.** En développant, et en utilisant la symétrie de $A$ ($t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$) :

$$
q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY +
2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At +
2b^{\mathsf T}t + c\bigr),
$$

qui est le triplet affiché. $A' = P^{\mathsf T}\!AP =
P^{-1}AP$ est semblable à $A$ : même [polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-charpoly), même [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen), même rang, même signature. Enfin $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ pour $s \neq 0$, donc seule l’équation *à un scalaire près* est attachée à l’ensemble ; multiplier par $s$ multiplie toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) par $s$.

**2.** Le théorème spectral fournit $P \in O(3)$ avec $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,
\lambda_3)$ ; la question 1 avec $t = 0$ transforme l’équation en $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$, où $\beta =
P^{\mathsf T}b$.

**3.** Pour $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 +
2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i +
\frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 -
\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; la translation $z_i = y_i +
\beta_i/\lambda_i$ (et $z_i = y_i$ pour $i > r$) donne

$$
\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i +
c'' = 0, \qquad
c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.
$$

**4.** $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T}
A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; en développant et en soustrayant $q(X)$, les termes quadratiques s’annulent et

$$
q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle +
4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .
$$

Si $A\Omega + b = 0$ ceci s’annule identiquement : la symétrie centrale préserve $q$, donc la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1). Réciproquement, « $q(2\Omega - X) = q(X)$ pour tout $X$ » dit que la fonction [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) ci-dessus s’annule sur tout $\R^3$, ce qui force sa partie linéaire $A\Omega + b$ à être nulle. Donc centres $=$ solutions de $A\Omega = -b$ : un ensemble non vide ssi $b \in \operatorname{im}A$ (un sous-espace [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) dirigé par $\ker A$), et un point unique ssi $A$ est inversible.

**5.** Signature $(3,0)$ (tous les $\lambda_i > 0$) : $\delta >
0$ donne $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}
= 1$ avec $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$, etc. — un ellipsoïde ; $\delta = 0$ : le point unique $O$ ; $\delta < 0$ : vide. Signature $(2,1)$ ($\lambda_1, \lambda_2 > 0 >
\lambda_3$) : $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}
- \frac{z^2}{c^2} = 1$, l’hyperboloïde à une nappe ; $\delta =
0$ : le cône $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
\frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, l’hyperboloïde à deux nappes ($\abs z \geq c$ : deux composantes).

**6.** La partie quadratique a pour matrice $A$ avec diagonale $1$ et hors-diagonale $2$ : $A = 2J - I$. Puisque $J$ a pour [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\{3, 0, 0\}$ (vecteur propre $(1,1,1)$ pour $3$), $A$ a pour [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$, la [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $5$ portée par $\R(1,1,1)$. Dans les coordonnées tournées : $5u^2 - v^2 - w^2 =
1$, c.-à-d. $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : un hyperboloïde à deux nappes, de révolution ([valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) égales $-1$) autour de l’axe $\R(1,1,1)$.

**7.** La surface est $\bigl(\frac xa - \frac
zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac
yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$. Pour $(\lambda : \mu) \neq
(0:0)$ définir la droite

$$
D_{\lambda:\mu} :\quad
\lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac
yb\Bigr), \qquad
\mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac
yb\Bigr)
$$

(deux équations [affines](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) indépendantes : une droite). En multipliant les deux équations on voit que tout point de $D_{\lambda:\mu}$ est sur la surface lorsque $\lambda\mu \neq 0$ ; les cas $\lambda = 0$ ou $\mu = 0$ se vérifient directement (par exemple $\lambda = 0$ : $y =
b$, $\frac xa = -\frac zc$, ce qui satisfait l’équation). La seconde famille $D'_{\lambda:\mu}$ échange les deux facteurs de droite.

**8.** Fixons $M$ sur la surface. Les conditions pour $M \in
D_{\lambda:\mu}$ forment un système linéaire homogène $2\times2$ en $(\lambda, \mu)$ dont le [déterminant](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-det) est

$$
\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 -
\frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0
$$

précisément parce que $M$ est sur la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) : une solution non triviale $(\lambda : \mu)$ existe. La matrice des coefficients n’est jamais nulle (cela forcerait $1 - \frac yb = 1 + \frac yb =
0$), donc son rang est $1$ et la solution est unique à un facteur près : exactement une droite de la famille passe par $M$. Il en va de même pour la seconde famille, et les deux droites sont distinctes (en $(a, 0, 0)$ ce sont $\{x = a,\ \frac zc = \frac
yb\}$ et $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$) : l’hyperboloïde à une nappe est doublement réglé.

**9.** Soit $M = (x, y, z)$ sur l’hyperboloïde, $\rho^2 =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq
1$. Le point $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ avec $\varepsilon$ le signe de $z$ vérifie $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$, et

$$
d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho}
= c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr)
= \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .
$$

Si $\norm M \to \infty$ alors $\rho \to \infty$ (les trois coordonnées sont majorées par des multiples de $\rho$), donc $d(M, C)
\to 0$. La section $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} -
\frac{z^2}{c^2} = 0$, la paire de droites sécantes de la question 8 — et de même en $x = -a$.

**10.** Avec $\lambda_3 = 0$, la question 3 laisse $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$. Dans la base propre, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1,
e_2)$, donc par la question 4 les centres existent ssi $\beta_3 = 0$. Si $\beta_3 \neq 0$ : la translation $z_3 \mapsto z_3 -
c''/(2\beta_3)$ supprime la constante, laissant $\lambda_1z_1^2
+ \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$, c.-à-d. $z_3 = px^2 +
qy^2$ après renommage : un *paraboloïde elliptique* si $\lambda_1\lambda_2 > 0$, un *paraboloïde hyperbolique* si $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — et effectivement pas de centre. Si $\beta_3 = 0$ : l’équation $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 +
c'' = 0$ ne fait pas intervenir $z_3$ : la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) est un cylindre sur la conique plane correspondante — cylindre elliptique, droite, ou ensemble vide lorsque $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; cylindre hyperbolique ou paire de plans sécants lorsque $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — avec toute une droite de centres $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$.

**11.** $xy - z = 0$. En substituant $x = \frac{u +
v}{\sqrt2}$, $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotation de $\pi/4$) : $xy = \frac{u^2 - v^2}2$, donc l’équation devient $z =
\frac12(u^2 - v^2)$ : un paraboloïde hyperbolique — la selle de la figure, au facteur $\frac12$ près.

**12.** La droite $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (paramétrée par $y$) est clairement sur $z = xy$, tout comme $\{y = y_0,\ z =
xy_0\}$ ; par $(x_0, y_0, x_0y_0)$ passent les deux. Unicité : si $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 +
tv_3)$ reste sur la surface, le coefficient de $t^2$ dans $(x_0
+ tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ donne $v_1v_2 = 0$, donc $v_1 = 0$ ou $v_2 = 0$, tombant dans l’une des deux familles : une droite de chaque par chaque point — la seconde [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) doublement réglée.

**13.** En complétant les carrés : $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$, sans condition sur $z$ : un cylindre circulaire droit de rayon $\sqrt2$ et d’axe la droite verticale $\{(1, -2, z) : z \in
\R\}$ — une droite de centres, comme le prédit la question 10.

**14.** Avec $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ l’équation réduite est $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c''
= 0$. Une rotation du plan noyau $(z_2, z_3)$ aligne la forme linéaire : $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ avec $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$. Si $\beta \neq 0$, translater $w$ pour absorber $c''$ : $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w =
0$, un *cylindre parabolique* ; si $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ donne deux plans parallèles ($c''
\lambda_1 < 0$), un plan double ($c'' = 0$), ou l’ensemble vide. Pour $(x + y)^2 = z$ : avec $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ l’équation s’écrit $z = 2u^2$ : un cylindre parabolique, invariant par les translations le long de $(1, -1, 0)$.

**15.** Toute [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) est envoyée par une rotation plus des translations sur l’une de : (rang 3) ellipsoïde, point, ensemble vide, hyperboloïde à une nappe, cône, hyperboloïde à deux nappes ; (rang 2) paraboloïde elliptique, paraboloïde hyperbolique, cylindre elliptique, droite, ensemble vide, cylindre hyperbolique, paire de plans sécants ; (rang 1) cylindre parabolique, paire de plans parallèles, plan double, ensemble vide. En identifiant les trois variantes vides comme des *types [affines](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace)* distincts d’équations, le compte est dix-sept ; parmi elles neuf sont d’honnêtes surfaces : ellipsoïde, les deux hyperboloïdes, le cône, les deux paraboloïdes et les trois cylindres.

**16.** Algorithme. (i) Lire $(A, b, c)$ ; calculer le [polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-charpoly) de $A$, ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) (réelles, par le théorème spectral) et $r = \operatorname{rank}A$. (ii) Résoudre $A\Omega = -b$ (élimination de Gauss) : résoluble ou non — centres ou non. (iii) Si résoluble, translater vers un centre : l’équation devient $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ avec $c''
= c + \langle b, \Omega\rangle$ ; classer selon $r$, la signature et le signe de $c''$ en utilisant les questions 5, 10, 14. (iv) Si non résoluble ($r \leq 2$), tourner et réduire comme aux questions 10 et 14 : paraboloïde ($r = 2$) ou cylindre parabolique ($r = 1$), elliptique/hyperbolique selon le signe de $\lambda_1\lambda_2$. Chaque étape est un calcul fini : racines d’un cubique à racines réelles, rangs, systèmes linéaires.

**17.** $A$ a diagonale $1$, hors-diagonale $-1$ : $A = 2I
- J$, [spectre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ avec $-1$ sur $\R(1,1,1)$. Signature $(2,1)$, $b = 0$, membre de droite $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$, un hyperboloïde à une nappe de révolution autour de l’axe $\R(1,1,1)$.

**18.** Compléter les carrés : $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 +
(-1 - 4 + 1 + 4) = 0$, c.-à-d.

$$
(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :
$$

la constante s’est annulée — un *cône* circulaire droit avec sommet (et unique centre) $(1, -2, 1)$ et axe parallèle à $Oz$.

**19.** La partie quadratique $x^2 + 4xy + y^2$ a pour matrice $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (dans le plan $xy$), [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $3$ (sur $(1,1)$) et $-1$ (sur $(1,-1)$) : avec $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$, $v =
\frac{x-y}{\sqrt2}$ elle vaut $3u^2 - v^2$, et la [quadrique](#pb-b2-surfaces-1) est

$$
z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :
$$

un paraboloïde hyperbolique ($A$ a rang $2$ et $b$ a une composante le long de $\ker A = \R e_z$ : pas de centre).

**20.** Un déplacement transforme les données de l’équation par $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mêmes [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen)) et les formes normales n’ont aucune liberté résiduelle sauf permuter les coordonnées et multiplier toute l’équation par un scalaire ($> 0$ pour préserver l’écriture) : deux formes normales à centre coïncident à isométrie près ssi les listes de coefficients concordent à permutation et à un facteur positif commun près — pour l’ellipsoïde, ssi les demi-axes $(a, b, c)$ concordent. Affinement, on peut aussi mettre à l’échelle chaque coordonnée séparément ($z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs
{\lambda_i}}$), ce qui efface les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) et ne laisse que leurs signes : tout ellipsoïde devient $u^2 + v^2 + w^2 = 1$, la sphère. Le théorème d’inertie de Sylvester ([Théorème 12.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-sylvester)) garantit que la signature survit à tout changement linéaire inversible : les types [affines](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) de la question 15 sont véritablement distincts.

**21.** Paramétrer le plan affinement : $M = P + su +
tv$. Alors $q(P + su + tv)$ est un polynôme de degré $\leq 2$ en $(s, t)$ (développer la [forme quadratique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-def) par bilinéarité), donc la section $\{q = 0\}$ est une conique du plan, éventuellement dégénérée. Pour $z = xy$ et le plan $z = c$ : $xy = c$, une hyperbole pour $c \neq 0$, et pour $c = 0$ les deux droites coordonnées — la paire de génératrices passant par l’origine.

**22.** *Ellipsoïde* : borné, ne contient aucune droite. *Hyperboloïde à deux nappes* $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : restreindre à $p + tv$ ; le coefficient de $t^2$ $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2}
- \frac{v_2^2}{b^2}$ doit s’annuler, donc $v_3 \neq 0$ (sinon $v =
0$) ; le coefficient de $t$ donne $\frac{p_3v_3}{c^2} =
\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$, et Cauchy–Schwarz donne

$$
\frac{p_3^2}{c^2}
= \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} +
\frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2
\leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} +
\frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2}
= \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},
$$

donc le terme constant est $\leq 0 \neq 1$ : aucune droite. *Paraboloïde elliptique* $z = \frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2}$ : le coefficient de $t^2$ force $v_1 = v_2 =
0$, alors l’équation est linéaire non constante en $t$ : aucune droite. *Cône* $x^2 + y^2 = z^2$ : une droite dessus vérifie $q(p) =
q(v) = B(p, v) = 0$ pour la forme de Lorentz ; l’égalité dans le Cauchy–Schwarz plan $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} =
\sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ force $(p_1, p_2)
\parallel (v_1, v_2)$ et alors $p = kv$ : toutes les droites passent par le sommet — une famille. *Cylindres* : pour les cylindres elliptique et parabolique le coefficient de $t^2$ force $v_1 = v_2 = 0$ (seulement les génératrices) ; pour le cylindre hyperbolique $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, $\frac{v_1}a = \pm
\frac{v_2}b$ avec $v_2 \neq 0$ mène via le coefficient de $t$ à $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$, contredisant le terme constant $1$ : à nouveau seulement les génératrices verticales. Donc les surfaces [quadriques](#pb-b2-surfaces-1) doublement réglées sont exactement l’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique.

**23.** Gauss : $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 -
z^2 - 2yz$, donc

$$
q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y +
z)^2 :
$$

trois carrés indépendants de signes $(+, +, -)$ — signature $(2, 1)$, en accord avec la question 17, sans aucun calcul de [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen). Gauss perd les données métriques : les nouvelles coordonnées ne sont pas orthonormées, donc les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) (la forme de l’hyperboloïde, ses axes et leurs [longueurs](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-length)) sont perdues ; seul le type [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) subsiste.

**24.** Soient $p$, $n$, $z$ les nombres de [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) positives, négatives et nulles, $p + n + z = 3$. La règle de Descartes majore $p$ par le nombre $V$ de changements de signe de $\chi_A$, et $n$ par le nombre $V'$ de changements de signe de $\chi_A(-\lambda)$ ; de plus chaque paire de coefficients consécutifs non nuls produit un changement dans exactement l’un des deux polynômes, donc $V + V' \leq 3 - z$ (les racines nulles sont visibles comme des coefficients de queue nuls). Alors $p + n = 3 - z \geq
V + V' \geq p + n$ : égalité, donc $p = V$ exactement — les signes des [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) se lisent. Pour $\chi_A(\lambda)
= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : signes $+,-,-,-$ donnent $V = 1$, et $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2
+ 9\lambda - 5$ a pour signes $-,-,+,-$ : $V' = 2$. Signature $(1,
2)$ — cohérent avec la factorisation exacte $\chi_A =
(\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ de la question 6.

**25.** Algorithme : diagonaliser la partie quadratique de manière orthonormée (théorème spectral : c’est la seule étape analytiquement profonde, et c’est ce qui rend la classification *euclidienne*) ; résoudre $A\Omega = -b$ pour décider entre types à centre et paraboliques et pour translater la partie linéaire là où c’est possible (géométrie [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace)) ; lire le type à partir du rang, de la signature et de la constante (Sylvester garantit que ce sont des invariants) ; quand seul le type [affine](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-subspace) importe, la [réduction de Gauss](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#thm-b2-quadratic-gauss) remplace le théorème spectral au prix de l’information métrique. Dans $\R^2$ la même machine classe les coniques : ellipse, hyperbole, parabole, plus des paires de droites, une droite, un point et des ensembles vides. Dans $\R^n$ rien ne change sinon la comptabilité : les types sont indexés par la signature de $A$, la position de $b$ relativement à $\operatorname{im}A$, et une constante — avec la matrice bordée de dimension $(n{+}2)$ de $(A, b, c)$ fournissant un invariant [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact).