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title: "Algèbre linéaire"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire
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# Chapitre 2 — Algèbre linéaire

L’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) linéaire du volume de première année travaillait sur $\R$ ou $\C$ en dimension finie, et admettait le [déterminant](#def-b2-linalg-det) général. Ce chapitre lève ces trois restrictions : la théorie est énoncée sur un corps quelconque $K$, l’interaction entre un espace et son *[dual](#def-b2-linalg-dual)* est développée systématiquement ([bases duales](#def-b2-linalg-dual), [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator), [transposées](#def-b2-linalg-transpose)), et le [déterminant](#def-b2-linalg-det) est enfin *construit* à partir des formes multilinéaires [alternées](#def-b2-linalg-alternating) et de la signature du [Chapitre 1](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#ch-b2-structures) — soldant chaque admission de première année.

Partout, $K$ est un corps ($\Q$, $\R$, $\C$, ou $\Z/p\Z$ — la théorie ne s’en soucie pas) et, sauf mention contraire, les espaces sont de dimension finie sur $K$. Les résultats de première année (bases, dimension, théorème du rang, matrices) se transposent mot pour mot : leurs démonstrations n’utilisaient rien d’autre que les axiomes de corps.

## 2.1 Espace dual

**Définition 2.1 (Espace dual, base duale).**

Le *dual* de $E$ est $E^* = \mathcal{L}(E,
K)$, l’espace des formes linéaires. Si $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, les *formes coordonnées* $e_1^*, \dots, e_n^*$ définies par $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (Kronecker : $1$ si $i = j$, sinon $0$) forment la *base duale* $\mathcal{B}^*$ de $E^*$ ; en particulier $\dim E^* = \dim E$, et

$$
x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E),
\qquad
\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in
E^*).
$$

**Démonstration que $\mathcal{B}^*$ est une base.** Libre : appliquer une combinaison nulle $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ à $e_j$ donne $\lambda_j = 0$. Génératrice : pour $\varphi \in E^*$, la forme $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ annule tout $e_j$, donc est nulle (une application linéaire s’annulant sur une base est nulle). Les deux formules encadrées sont les mêmes calculs lus à l’endroit. ∎

**Exemple 2.2.**

Sur $K_n[X]$ avec la base $(1, X, \dots, X^n)$ : la [base duale](#def-b2-linalg-dual) est $P
\mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coefficients de Taylor). Une autre base du [dual](#def-b2-linalg-dual) : les évaluations $P \mapsto P(x_i)$ en $n + 1$ points distincts — sa base « préduale » dans $K_n[X]$ est exactement la famille des polynômes de Lagrange $L_i$ (volume de première année), puisque $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. L’interpolation *est* la dualité.

**Méthode 2.3 (Bases duale et antéduale en pratique).**

Pour décomposer une forme $\varphi$ sur une base $(e_i)$ de $E$ : les coordonnées sont les *valeurs* $\varphi(e_i)$ — aucun système à résoudre. Pour trouver la base $(u_j)$ de $E$ dont la duale est une base donnée $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ (l’*antéduale*) : résoudre les $n$ systèmes linéaires

$$
\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),
$$

une colonne $u_j$ à la fois ; en termes matriciels, si les lignes de $M$ listent les coefficients des $\varphi_i$ dans une base connue de $E^*$, les colonnes de $M^{-1}$ sont les $u_j$. L’existence et l’unicité de l’antéduale sont démontrées dans le problème du week-end de ce chapitre ; le calcul est toujours cette inversion.

**Exemple 2.4 (Une base duale de R2\R^2R2, entièrement calculée).**

Pour la base $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$ : la [base duale](#def-b2-linalg-dual) $(b_1^*, b_2^*)$ doit vérifier $b_i^*(b_j) =
\delta_{ij}$. En écrivant $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, les conditions $\alpha + \beta = 1$ et $\alpha - \beta = 0$ donnent

$$
b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2},
\qquad\text{et de même}\qquad
b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .
$$

Vérifications de bon sens : $b_1^*$ n’est *pas* $e_1^* + e_2^*$ évalué naïvement — la [base duale](#def-b2-linalg-dual) dépend de la base entière, pas de chaque vecteur séparément (remplacer $b_2$ par $(0, 1)$ change $b_1^*$ en $x \mapsto x$). Et la formule de décomposition marche : $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, la décomposition paire/impaire d’un couple — les [bases duales](#def-b2-linalg-dual) sont des extracteurs de coordonnées, et celle-ci extrait les parties symétrique et antisymétrique.

**Définition 2.5 (Annulateur).**

Pour un sous-espace $F \subseteq E$, l’*annulateur* est

$$
F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},
$$

un sous-espace de $E^*$.

**Théorème 2.6 (Dimension de l’annulateur).**

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$. De plus $F \mapsto F^\circ$ renverse les inclusions, et $F$ se retrouve à partir de son [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) :

$$
F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.
$$

Par conséquent tout sous-espace de dimension $p$ en dimension $n$ est l’ensemble des solutions de $n - p$ équations linéaires indépendantes — et réciproquement.

**Démonstration.** Choisir une base $(e_1, \dots, e_p)$ de $F$ complétée en une base de $E$. Une forme $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ annule $F$ ssi ses $p$ premiers coefficients s’annulent : $F^\circ =
\operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$, de dimension $n - p$. Le renversement des inclusions est immédiat. Pour la reconstitution : le membre de droite contient $F$ ; réciproquement, si $x \notin F$, compléter une base de $F$ par $x$ et d’autres vecteurs ; la forme coordonnée de $x$ dans cette base annule $F$ mais pas $x$. La lecture « équations » prend une base $(\varphi_1, \dots, \varphi_{n-p})$ de $F^\circ$ : alors $F = \bigcap \ker\varphi_j$, une intersection de $n
- p$ hyperplans indépendants. ∎

**Exemple 2.7 (Un annulateur, dans les deux sens).**

Soit $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr)
\subseteq \R^3$. Une forme $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ annule $F$ ssi

$$
a + 2b + c = 0
\qquad\text{et}\qquad
a - c = 0 ,
$$

c’est-à-dire $c = a$ et $b = -a$ : $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* +
e_3^*)$, de dimension $3 - 2 = 1$ comme le [Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) l’exige. Lu à l’envers : $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — le plan retrouvé comme noyau de l’unique forme engendrant $F^\circ$. Passer d’une famille génératrice à des équations *est* calculer un [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) ; passer des équations à un paramétrage est calculer un préannulateur. (Vérification : les deux vecteurs générateurs vérifient $x - y + z = 0$.)

**Définition 2.8 (Application transposée).**

Pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$, la *transposée* $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ est

$$
u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .
$$

Elle vérifie $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf
T}$, et dans les [bases duales](#def-b2-linalg-dual), la matrice de $u^{\mathsf T}$ est la matrice transposée de $u$ — ce qui *explique* enfin la transposée de première année.

**Exemple 2.9 (La transposée, coefficient par coefficient).**

Soit $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matrice $A =
\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ dans les bases canoniques. Pour $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^*
\in (\R^3)^*$, calculons $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ sur la base de $\R^2$ :

$$
(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3,
\qquad
(\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .
$$

Ainsi $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 +
b_2)\,e_2^*$, et dans les [bases duales](#def-b2-linalg-dual) la matrice de $u^{\mathsf T}$ est

$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}
= A^{\mathsf T} :
$$

la [transposée](#def-b2-linalg-transpose) abstraite *est* la matrice retournée, sans aucun calcul à croire sur parole. Notons le mécanisme : la $j$-ème *colonne* de $A$ est devenue la $j$-ème *ligne* de la nouvelle matrice parce que $\psi \circ u$ lit les sorties de $u$ à travers les coefficients de $\psi$.

**Proposition 2.10.**

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ et $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$. Par conséquent $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(u)$ : le rang par lignes égale le rang par colonnes, démontré structurellement.

**Démonstration.** $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ annule $\operatorname{im} u$ : la première identité. Pour la seconde : $u^{\mathsf
T}(\psi) = \psi \circ u$ annule toujours $\ker u$, donc $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$ ; les dimensions coïncident par le théorème du rang et le [Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) :

$$
\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr)
= \operatorname{rk} u
= \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere
$$

∎

**Exemple 2.11 (Le rang lu des deux côtés).**

Soit

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix} .
$$

*Rang par colonnes :* la troisième ligne est la somme des deux premières, donc $\operatorname{rk} A \leq 2$ ; les colonnes $1$ et $2$ sont libres : $\operatorname{rk} A = 2$. *Le noyau de la [transposée](#def-b2-linalg-transpose) :* résoudre $A^{\mathsf T}y = 0$ donne $y \in \R\,(1, 1, -1)$, donc $\ker A^{\mathsf T}$ est de dimension $1 = 3 - 2$ : exactement $(\operatorname{im} A)^\circ$ sous l’identification de $(\R^3)^*$ avec les vecteurs lignes, comme la [Proposition 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank) l’affirme — l’unique relation « ligne$_3$ = ligne$_1$ + ligne$_2$ » *est* l’[annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) de l’espace des colonnes. Le rang par lignes ($2$ lignes libres) et le rang par colonnes coïncident non par hasard mais parce que les deux égalent $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

**Exemple 2.12 (La dualité lit une règle de quadrature).**

Pourquoi une règle comme celle de Simpson ([Exercice 2.4](#exo-b2-linalg-4)) existe-t-elle et pourquoi est-elle unique ? La dualité répond avant tout calcul. Sur $E = \R_2[X]$, l’intégrale $P \mapsto \int_0^1 P$ est un vecteur bien précis du [dual](#def-b2-linalg-dual) $E^*$ de dimension trois ; les évaluations en $0$, $\frac12$, $1$ forment une *base* de $E^*$ ; donc l’intégrale se décompose de manière unique sur elles — cette décomposition *est* la règle de Simpson, coefficients inclus. Un décompte de dimensions calibre aussi les attentes : sur $\R_3[X]$, quatre dimensions de formes ne peuvent en général être engendrées par trois évaluations, donc l’exactitude sur les cubiques n’est pas due par la dualité ; que Simpson intègre malgré tout les cubiques exactement est une symétrie en prime (annulation de degré impair autour de $\frac12$), à vérifier à la main. Les règles à $n +
1$ nœuds sont les décompositions de la forme d’intégration dans une base d’évaluation de $\R_n[X]^*$ : existence et unicité coûtent un théorème de [base duale](#def-b2-linalg-dual) ; seuls les degrés en prime coûtent du travail.

## 2.2 Formes multilinéaires alternées

**Définition 2.13.**

Une application $f \colon E^n \to K$ est *$n$-linéaire* quand elle est linéaire en chaque variable, et *alternée* quand elle s’annule dès que deux arguments sont égaux. Le caractère alterné implique le caractère *antisymétrique* : échanger deux arguments change le signe (développer $f(\dots, x + y, \dots, x + y,
\dots) = 0$) ; plus généralement, pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$,

$$
f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) =
\varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),
$$

en décomposant $\sigma$ en [transpositions](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn) ([Théorème 1.21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#thm-b2-structures-signature)).

**Théorème 2.14 (Le théorème fondamental des déterminants).**

Soit $\dim E = n$ et $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base. L’espace des formes $n$-linéaires [alternées](#def-b2-linalg-alternating) sur $E$ est de dimension $1$ : toute telle forme est un multiple de

$$
\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma)
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i},
\qquad
x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,
$$

et $\det_{\mathcal{B}}$ est l’unique prenant la valeur $1$ sur $\mathcal{B}$.

**Démonstration.** Soit $f$ une forme $n$-linéaire [alternée](#def-b2-linalg-alternating). En développant chaque argument sur $\mathcal{B}$ par multilinéarité,

$$
f(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\,
f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).
$$

Les termes avec un indice répété s’annulent (caractère alterné) ; les tuples $(i_1, \dots, i_n)$ survivants sont les injectifs, c’est-à-dire $i_k = \sigma(k)$ pour une permutation $\sigma$, et l’antisymétrie réordonne $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)
f(e_1, \dots, e_n)$. Donc

$$
f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :
$$

toute [forme alternée](#def-b2-linalg-alternating) est ce multiple, pourvu que $\det_{\mathcal{B}}$ lui-même (la somme encadrée) *soit* $n$-linéaire alterné et prenne la valeur $1$ sur $\mathcal B$. La multilinéarité est claire (chaque terme est linéaire en chaque colonne). Valeur sur $\mathcal B$ : le seul terme non nul est $\sigma =
\mathrm{id}$. Caractère alterné : supposons $x_j = x_k$ ($j \neq k$), de sorte que les colonnes de coordonnées vérifient $a_{i j} = a_{i k}$ pour tout $i$. Apparions chaque $\sigma$ avec $\sigma' = \sigma\circ(j\,k)$ — une involution sans point fixe sur $\mathfrak{S}_n$. Les produits appariés coïncident :

$$
\prod_i a_{\sigma'(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= \prod_i a_{\sigma(i),\,i},
$$

en utilisant l’égalité des colonnes $j$ et $k$ ; tandis que $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$. Chaque paire contribue pour zéro : la somme s’annule. ∎

**Exemple 2.15 (Sarrus, dérivé et démoli).**

Pour $n = 3$ la formule des permutations a exactement $3! = 6$ termes. Lister $\mathfrak{S}_3$ par signature — $\mathrm{id}$, $(1\,2\,3)$, $(1\,3\,2)$ paires ; $(1\,2)$, $(1\,3)$, $(2\,3)$ impaires — donne

$$
\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} +
a_{31}a_{12}a_{23}
- a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} -
a_{11}a_{32}a_{23} :
$$

précisément la règle des « diagonales » de Sarrus enseignée à l’école — désormais un théorème, avec les signes mystérieux identifiés comme des signatures. La démolition : pour $n = 4$ il y a $24$ permutations, dont seulement $8$ sont ramassées par un quelconque schéma de tracé de diagonales ; Sarrus n’a pas de version de degré $4$, et le développement par cofacteurs ([Théorème 2.17](#thm-b2-linalg-detrules) (4)) prend le relais. Compter les termes est aussi un avertissement : la formule des permutations a $n!$ sommands, c’est donc une *définition*, pas un algorithme — le pivot de Gauss calcule $\det$ en $O(n^3)$ opérations à la place.

**Définition 2.16 (Déterminants).**

Le *déterminant d’une famille* dans une base est $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; le *déterminant d’une matrice* $A$ est le déterminant de ses colonnes dans la base canonique — la formule des permutations ci-dessus ; le *déterminant d’un endomorphisme* $u$ est le scalaire $\det u$ tel que

$$
\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr)
= \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
\quad \text{pour tous } x_i
$$

(le membre de gauche est $n$-linéaire alterné, donc un multiple de $\det_\mathcal{B}$ par le [Théorème 2.14](#thm-b2-linalg-detspace) ; le facteur ne dépend pas de $\mathcal{B}$).

**Théorème 2.17 (Le calcul des déterminants, démontré).**

1. $\det(uv) = \det u\,\det v$ ; $\;\det(AB) = \det A \det B$ .
2. $u$ est inversible $\iff \det u \neq 0$ ; une famille est une base $\iff$ son [déterminant](#def-b2-linalg-det) dans une base est non nul.
3. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ .
4. Le développement par cofacteurs suivant toute ligne ou colonne, tel qu’énoncé dans le volume de première année, est valide ; des matrices semblables partagent leur [déterminant](#def-b2-linalg-det) .

**Démonstration.** (1) Appliquer deux fois la relation de définition : $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal
B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$.

(2) Si $u$ est inversible, $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} =
1 \neq 0$. Sinon, les images $u(e_i)$ sont liées ; en exprimant l’une par les autres et en développant, $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (le caractère alterné tue les directions répétées), donc $\det u = 0$. Le critère de base est le même énoncé pour les familles.

(3) Dans la formule des permutations, réindexer chaque produit par $j =
\sigma(i)$, c’est-à-dire $i = \tau(j)$ avec $\tau = \sigma^{-1}$ : les facteurs sont les mêmes nombres dans un [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) différent, donc

$$
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n}
a_{j,\,\tau(j)} ,
$$

et $\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} =
\varepsilon(\sigma)$ (les valeurs sont $\pm1$ ; $\varepsilon$ est un morphisme). Sommer sur $\sigma$ revient à sommer sur $\tau$ (l’inversion est une bijection de $\mathfrak{S}_n$) :

$$
\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)}
= \det(A^{\mathsf T}),
$$

la dernière somme étant la formule des permutations appliquée aux coefficients transposés $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$.

(4) Fixer la colonne $j$ et scinder $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ par linéarité : $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$, et déplacer $e_i$ en dernière position ($n - i$ [transpositions](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn) de lignes, $n - j$ de colonnes, via (3)) identifie $\det(\dots, e_i, \dots) =
(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ au mineur : exactement la règle des cofacteurs de première année. Similitude : $\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A \det P =
\det A$ par (1). ∎

**Exemple 2.18 (Développement par cofacteurs, exécuté).**

Calculons

$$
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 4 & 1\\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
$$

suivant la première colonne (deux zéros de paresse : un seul). Les signes suivent le damier $(-1)^{i+j}$ :

$$
2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}
- 0
+ 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix}
= 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .
$$

Contre-vérification par Sarrus ([Exemple 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)) : $0 + 1 + 0
- 12 - 0 - 4 = -15$. Stratégie, pas doctrine : développer suivant la ligne comptant le plus de zéros, et quand aucune n’en a, en fabriquer d’abord par opérations sur les lignes — une passe d’élimination coûte moins que deux couches de cofacteurs.

**Exemple 2.19 (Un déterminant par les règles).**

Soit $J \in \mathcal{M}_n(K)$ la matrice de uns et $a \in K$ ; calculons $\det(aI_n + J)$ avec les outils qui viennent d’être démontrés. Chaque colonne de $aI_n + J$ se somme de la même façon : ajouter toutes les lignes à la première (le [déterminant](#def-b2-linalg-det) est inchangé — ajouter à une ligne un multiple d’une autre ajoute un terme à direction répétée, tué par le caractère alterné). La première ligne devient $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; factoriser $a + n$ par linéarité dans cette ligne, puis soustraire la première colonne à toute autre colonne : il reste une matrice triangulaire de diagonale $(1, a, \dots, a)$. Donc

$$
\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.
$$

L’éclairage final : les racines $a = 0$ (multiplicité $n - 1$) et $a = -n$ disent que $J$ a la valeur propre $0$ avec multiplicité $n - 1$ et la valeur propre $n$ une fois — le spectre de la matrice de rang un $J$, un chapitre en avance (le [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction) rendra ceci systématique).

**Exemple 2.20 (Un déterminant par la formule des permutations).**

Pour une matrice avec beaucoup de zéros la formule est praticable par elle-même : dans

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & b & 0\\
0 & 0 & 0 & c\\
d & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$$

la seule permutation ramassant des coefficients non nuls est le $4$-cycle $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ envoyant la colonne $1 \to$ ligne $4$, etc. ; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$, donc $\det A = -abcd$. (Vérification via trois échanges de colonnes pour atteindre une matrice diagonale.)

**Exemple 2.21 (Un Vandermonde par la formule du produit).**

Pour les nœuds $0, 1, 2$ (utilisés par des règles de quadrature comme celle de l’[Exercice 2.4](#exo-b2-linalg-4)), le [déterminant](#def-b2-linalg-det) de Vandermonde de l’[Exercice 2.11](#exo-b2-linalg-11) s’évalue d’un coup d’œil :

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}
= (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,
$$

et par développement direct suivant la première colonne : $1\cdot(4 - 2)
= 2$ : accord. La non-annulation pour des nœuds distincts est toute la théorie de l’interpolation dans un [déterminant](#def-b2-linalg-det) : les formes d’évaluation $P \mapsto P(a_i)$ sont une base du [dual](#def-b2-linalg-dual) exactement quand ce [déterminant](#def-b2-linalg-det) est non nul, c’est-à-dire toujours pour des $a_i$ distincts — l’[Exemple 2.2](#ex-b2-linalg-dualexamples) quantifié.

## 2.3 La trace, revisitée

**Proposition 2.22.**

La trace $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ est l’unique forme linéaire avec $\operatorname{tr}(AB) =
\operatorname{tr}(BA)$ et $\operatorname{tr}(I_n) = n$ (pour $\operatorname{char} K = 0$) ; la trace d’un endomorphisme est bien définie via toute représentation matricielle, et

$$
\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)
$$

dans toute base — la dualité écrit la trace sans référence à une base.

**Démonstration.** $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ et l’invariance par changement de base ont été démontrées en première année. Unicité : une forme linéaire $t$ avec $t(AB) = t(BA)$ annule tout commutateur $AB -
BA$. Nous affirmons que les commutateurs engendrent l’hyperplan de trace nulle, de dimension $n^2 - 1$. Deux familles de commutateurs suffisent. La règle de multiplication des matrices élémentaires est $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$. Pour $i \neq j$ elle donne

$$
E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}
$$

(le second produit est $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$ puisque $j \neq i$) : tout $E_{ij}$ hors diagonale est un commutateur. Et

$$
E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .
$$

Les $E_{ij}$ ($i \neq j$, au nombre de $n^2 - n$) avec les $E_{11} - E_{jj}$ ($j \geq 2$, au nombre de $n - 1$) forment $n^2 - 1$ matrices de trace nulle linéairement indépendantes : elles engendrent l’hyperplan $\ker\operatorname{tr}$. Donc $t$ s’annule là où $\operatorname{tr}$ s’annule et se factorise à travers elle : $t =
c\operatorname{tr}$ ; puis $t(I) = n$ force $c = 1$. La formule encadrée : le $i$-ème coefficient diagonal de la matrice de $u$ est précisément $e_i^*(u(e_i))$. ∎

**Remarque 2.23 (Pièges courants).**

(i) Le [déterminant](#def-b2-linalg-det) est $n$-linéaire en les *colonnes*, pas linéaire en la matrice : $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ en général, et $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, pas $\lambda\det A$. (ii) La [transposition](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn) renverse les produits : $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ ; oublier le renversement ruine tout calcul impliquant des inverses. (iii) L’[annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ vit dans $E^*$, pas dans $E$ : il devient le familier « complément orthogonal » seulement après qu’un produit scalaire identifie $E$ à $E^*$ ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic)) ; aucune telle identification n’est canonique. (iv) « Le rang par lignes égale le rang par colonnes » ne signifie pas que l’*espace* des lignes égale l’espace des colonnes — les deux vivent dans des espaces différents ($K^n$ et $K^m$) et sont reliés par la [Proposition 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank), pas égaux. (v) La formule des permutations est un instrument de démonstration : pour des nombres, utiliser les opérations sur les lignes et les cofacteurs ([Exemple 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)).

**Exemple 2.24 (L’accouplement de trace scinde l’espace des matrices).**

Sur $\mathcal{M}_2(\R)$ avec l’accouplement $\langle A, B\rangle =
\operatorname{tr}(AB)$ de l’[Exercice 2.9](#exo-b2-linalg-9) : décomposons $M =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ en parties symétrique et antisymétrique,

$$
M = S + A, \qquad
S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix},
\qquad
A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
$$

Alors $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr}
\left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$ : les deux parties sont « orthogonales » pour l’accouplement de trace — une instance du fait général (démontré dans le problème du week-end de ce chapitre) que les matrices antisymétriques forment exactement l’[annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) des symétriques. La dualité voit la décomposition $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus
\mathcal{A}_n$ avant tout choix de produit scalaire.

**Remarque 2.25 (Perspectives au sein de ce volume).**

Regardez les trois constructions de ce chapitre changer de costume plus loin. La *[transposée](#def-b2-linalg-transpose)* revient dans le [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction) : $u$ et $u^{\mathsf T}$ partagent leurs valeurs propres avec des multiplicités géométriques égales (le problème du week-end de ce chapitre, question 15), ce qui explique pourquoi les analyses par lignes et par colonnes d’une matrice ne se contredisent jamais. Le *[déterminant](#def-b2-linalg-det)* devient une fonction d’un paramètre dans le [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction) ($\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$) et un jacobien dans le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint), où sa multilinéarité se transforme en le facteur de changement de variables. La *trace* sème les invariants de similitude : c’est le deuxième coefficient de $\chi_u$, la somme des valeurs propres, et à terme l’intégrale de la diagonale dans des identités à la manière du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier). Un chapitre d’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) linéaire, trois longues ombres.

**Remarque 2.26 (Où ce chapitre est utilisé).**

L’[espace dual](#def-b2-linalg-dual) n’est pas une abstraction pour elle-même : [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator) et [transposées](#def-b2-linalg-transpose) font tourner la théorie de la résolubilité des systèmes linéaires (le problème du week-end de ce chapitre démontre l’alternative de Fredholm en dimension finie à partir d’eux), des accouplements non dégénérés réapparaissent comme la forme polaire dans le [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic) et l’adjoint dans le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/13-formes-hermitiennes#ch-b2-hermitian), et le [déterminant](#def-b2-linalg-det) construit ici alimente tout le [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction). Dans le volume de troisième année la même dualité, transportée en dimension infinie, devient le théorème de représentation de Riesz et la théorie de Fredholm sur les espaces de Hilbert — avec la compacité remplaçant les décomptes de dimension utilisés ici.

## 2.4 Exercices

**Exercice 2.1 ★.**

Dans $\R^3$, soient $\varphi_1(x,y,z) = x + y$, $\varphi_2 = y + z$, $\varphi_3 = x + z$. Montrer que $(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)$ est une base de $(\R^3)^*$ et trouver la base de $\R^3$ dont elle est la duale.

**Solution de Exercice 2.1.**

Trois formes dans un [dual](#def-b2-linalg-dual) de dimension $3$ : la liberté suffit. Une relation $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ évaluée en $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ donne $\alpha + \gamma = 0$, $\alpha + \beta = 0$, $\beta + \gamma = 0$, d’où $\alpha = \beta =
\gamma = 0$.

Base préduale $(u_1, u_2, u_3)$ : résoudre $\varphi_i(u_j) =
\delta_{ij}$. En écrivant $u_j = (x, y, z)$ : pour $u_1$ : $x + y = 1$, $y + z = 0$, $x + z = 0$ donne $u_1 = \bigl(\tfrac12, \tfrac12,
-\tfrac12\bigr)$ ; symétriquement $u_2 = \bigl(-\tfrac12, \tfrac12,
\tfrac12\bigr)$, $u_3 = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12\bigr)$.

**Exercice 2.2 ★.**

Calculer par la formule des permutations les [déterminants](#def-b2-linalg-det) de

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
a & b & 0 & 0\\
c & d & 0 & 0\\
0 & 0 & e & f\\
0 & 0 & g & h
\end{pmatrix},
$$

et énoncer la règle diagonale par blocs que le second suggère.

**Solution de Exercice 2.2.**

Première matrice : la seule permutation à produit non nul envoie $1 \mapsto
3$, $2 \mapsto 2$, $3 \mapsto 1$ — la [transposition](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn) $(1\,3)$, signature $-1$ : [déterminant](#def-b2-linalg-det) $-abc$.

Seconde : une permutation à produit non nul ne peut mélanger les deux blocs (un coefficient les reliant est $0$), donc elle se scinde en une permutation de $\{1,2\}$ fois une de $\{3,4\}$, et la signature est le produit des deux signatures : la somme se factorise en

$$
(ad - bc)(eh - fg) .
$$

Règle générale suggérée (et vraie, même démonstration) : le [déterminant](#def-b2-linalg-det) d’une matrice diagonale par blocs est le produit des [déterminants](#def-b2-linalg-det) des blocs.

**Exercice 2.3 ★.**

Soit $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ et } x = 2y\}$. Donner une base de $F^\circ$ et vérifier le [Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) sur les dimensions.

**Solution de Exercice 2.3.**

$F$ est défini par les deux équations indépendantes $\varphi_1(x,y,z,t)
= x + y - z - t = 0$ et $\varphi_2 = x - 2y = 0$ : par le [Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) lu à l’envers, $F^\circ =
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — elles sont dans $F^\circ$ par construction, elles sont libres (non proportionnelles), et $\dim F^\circ
= 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$ puisque $\dim F = 2$ (deux équations indépendantes dans $\R^4$). Base : $(\varphi_1, \varphi_2)$ ; dimensions : $2 + 2 = 4$, comme le théorème l’exige.

**Exercice 2.4 ★★.**

Soient $a_0, \dots, a_n$ des points distincts de $K$ et $\varphi_i \colon
P \mapsto P(a_i)$ sur $K_n[X]$. Montrer que $(\varphi_0, \dots,
\varphi_n)$ est une base de $K_n[X]^*$, identifier sa base préduale, et décomposer la forme $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ (pour $K = \R$, $n = 2$, $a_i = 0, \frac12, 1$) dans cette base — en reconnaissant la règle de Simpson.

**Solution de Exercice 2.4.**

Les $\varphi_i$ sont $n + 1$ formes sur un espace de dimension $n+1$ : la liberté suffit. Si $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$, évaluer sur le polynôme de Lagrange $L_j$ des nœuds : $\lambda_j = 0$. La base préduale est $(L_0, \dots, L_n)$, puisque $\varphi_i(L_j) =
L_j(a_i) = \delta_{ij}$.

Pour la forme intégrale avec les nœuds $0, \frac12, 1$ sur $\R_2[X]$ : $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ avec $c_i = \int_0^1 L_i$. Calculons : $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$, $\int_0^1 L_0 = \frac16$ ; $L_1 =
-4X(X-1)$, $\int_0^1 L_1 = \frac46$ ; $L_2 = 2X(X - \tfrac12)$, $\int_0^1 L_2 = \frac16$. Donc

$$
\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) +
P(1)\Bigr)
\quad (P \in \R_2[X]) :
$$

la règle de Simpson, exacte sur les polynômes de degré $\leq 2$ — un énoncé sur les [bases duales](#def-b2-linalg-dual).

**Exercice 2.5 ★★.**

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $\dim E = n$ et $\operatorname{rk} u
= 1$. Montrer que $u = \varphi(\cdot)\, a$ pour un vecteur $a$ et une forme $\varphi$ ; que $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ ; et que $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$. En déduire $\det(I + u) = 1 +
\operatorname{tr} u$.

**Solution de Exercice 2.5.**

$\operatorname{im} u = Ka$ pour un certain $a \neq 0$ ; alors $u(x) =
\varphi(x)\,a$ où $\varphi(x)$ est la coordonnée de $u(x)$ sur $a$ — linéaire en $x$. Trace : compléter $a = e_1$ en une base ; la matrice de $u$ a pour colonnes $\varphi(e_j)\,e_1$, donc son seul coefficient diagonal est $\varphi(e_1) = \varphi(a)$ : $\operatorname{tr} u =
\varphi(a)$. Puis

$$
u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a
= (\operatorname{tr} u)\, u(x).
$$

[Déterminant](#def-b2-linalg-det), en deux cas. *Si $\varphi(a) \neq 0$ :* prendre une base quelconque de l’hyperplan $\ker\varphi$ et ajouter $a$. Alors $u$ annule $\ker\varphi$ (là $u(x) = \varphi(x)a = 0$) et $u(a) =
\varphi(a)\,a$ : la matrice de $I + u$ est diagonale, $(1, \dots, 1,\,
1 + \varphi(a))$, donc $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 +
\operatorname{tr} u$. *Si $\varphi(a) = 0$ :* alors $a \in
\ker\varphi$ ; prendre une base de $\ker\varphi$ dont le premier vecteur est $a$, et ajouter un vecteur $b$ avec $\varphi(b) = 1$. Alors $I + u$ fixe la base de $\ker\varphi$ et envoie $b \mapsto b + a$ : triangulaire de diagonale unité, $\det(I + u) = 1 = 1 +
\operatorname{tr} u$. Les deux cas s’accordent avec la formule.

**Exercice 2.6 ★★.**

Montrer que tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(K)$ ($n \geq 2$) contient une matrice inversible. *Indication : un hyperplan est $\{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ pour un certain $A \neq 0$ ([Exercice 2.9](#exo-b2-linalg-9)). Si $A$ est scalaire, exhiber une matrice inversible de trace nulle ; sinon, trouver un $M$ inversible rendant $AM$ de diagonale nulle — une matrice de type permutation y suffit.*

**Solution de Exercice 2.6.**

Par l’[Exercice 2.9](#exo-b2-linalg-9), l’hyperplan est $H_A = \{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ avec $A \neq 0$.

*Si $A = \lambda I$ :* $H_A$ est l’hyperplan de trace nulle ; la matrice de la permutation en $n$-cycle (des uns en positions $(i, i+1)$ et $(n, 1)$) est inversible (son [déterminant](#def-b2-linalg-det) est $\pm 1$ par le calcul de l’[Exemple 2.20](#ex-b2-linalg-permexample)) et est de trace nulle.

*Si $A$ n’est pas scalaire :* trouver d’abord un $P$ inversible tel que $B = P^{-1}AP$ ait un coefficient hors diagonale non nul $b_{ji}$ ($j \neq
i$). En effet, si $A$ en a déjà un, prendre $P = I$ ; si $A$ est diagonale avec deux coefficients distincts $d_1 \neq d_2$, conjuguer par la transvection $P = I + E_{12}$ produit le coefficient hors diagonale $d_1 - d_2 \neq 0$ (calcul : $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$) ; et une matrice diagonale dont tous les coefficients sont égaux est scalaire, exclue. Poser maintenant $M' = I + tE_{ij}$ avec $t =
-\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$ : alors

$$
\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,
$$

et $M'$ est inversible (triangulaire de diagonale unité). En défaisant la conjugaison, $M = PM'P^{-1}$ est inversible et $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$ : $M \in H_A$.

**Exercice 2.7 ★★.**

(Dérivée du [déterminant](#def-b2-linalg-det)) Pour $A \in \mathcal{M}_n(\R)$, montrer à partir de la multilinéarité que

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,
$$

et en déduire $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ en supposant la dérivabilité de $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ et la propriété de groupe $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (établie dans le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq)).

**Solution de Exercice 2.7.**

$\det(I + tA)$ est, par la formule des permutations, un polynôme en $t$ ; son terme constant est $1$ ($t = 0$). Son coefficient en $t$ : développer $\det$ comme une [forme alternée](#def-b2-linalg-alternating) des colonnes $e_j + t\,c_j(A)$ ; par multilinéarité, les termes linéaires en $t$ remplacent exactement un $e_j$ par $c_j(A)$ :

$$
\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n)
= \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,
$$

(le [déterminant](#def-b2-linalg-det) avec toutes les colonnes canoniques sauf $c_j(A)$ à la place $j$ ramasse le $j$-ème coefficient diagonal). Donc la dérivée en $0$ est $\operatorname{tr} A$.

Soit $g(t) = \det(\eu^{tA})$. La propriété de groupe donne $g(s + t) =
g(s)g(t)$ (multiplicativité de $\det$), $g$ est dérivable, et $g'(0) = \operatorname{tr} A$ par ce qui précède ($\eu^{tA} = I + tA +
O(t^2)$). Un morphisme dérivable $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ vérifie $g' = g'(0)\,g$ (dériver $g(s+t)$ en $s$ en $0$), donc $g(t) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ par l’unicité des solutions de $y' = cy$ avec $y(0) = 1$ (volume de première année).

**Exercice 2.8 ★★.**

(Circulante, $3 \times 3$) Soient $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ et

$$
C = \begin{pmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).
$$

Vérifier que les colonnes de la matrice de Vandermonde de $1, j, j^2$ sont des vecteurs propres de $C$, et en déduire

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**Solution de Exercice 2.8.**

Soit $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ pour $k = 0, 1, 2$. En utilisant $1
+ j + j^2 = 0$ et $j^3 = 1$ :

$$
C v_k =
\begin{pmatrix}
a + b j^k + c j^{2k}\\
c + a j^k + b j^{2k}\\
b + c j^k + a j^{2k}
\end{pmatrix}
= (a + b j^k + c j^{2k})
\begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},
$$

(vérifier la deuxième ligne : $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k + bj^{2k} +
cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$). Donc $v_k$ est un vecteur propre de valeur propre $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$. Les $v_k$ forment une base (Vandermonde des $1, j, j^2$ distincts), donc $C$ est diagonalisable avec ces valeurs propres et

$$
\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2
= (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**Exercice 2.9 ★★★.**

Montrer que toute forme linéaire $t$ sur $\mathcal{M}_n(K)$ est $M \mapsto
\operatorname{tr}(AM)$ pour un unique $A$ : l’application $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ est un isomorphisme de $\mathcal{M}_n(K)$ sur son [dual](#def-b2-linalg-dual). En déduire à nouveau l’énoncé d’unicité de la [Proposition 2.22](#prop-b2-linalg-trace).

**Solution de Exercice 2.9.**

L’application $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ est linéaire de $\mathcal{M}_n(K)$ dans son [dual](#def-b2-linalg-dual), entre espaces de même dimension $n^2$ : l’injectivité suffit. Si $\operatorname{tr}(AM) =
0$ pour tout $M$, prendre $M = E_{ji}$ : $\operatorname{tr}(A E_{ji}) =
a_{ij} = 0$ pour tous $i, j$ : $A = 0$. Donc $\Theta$ est un isomorphisme.

Unicité de la trace ([Proposition 2.22](#prop-b2-linalg-trace)) : une forme $t$ annulant tous les commutateurs est $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ pour un certain $A$ avec $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ pour tous $M, N$, c’est-à-dire $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ pour tout $N$ (cyclicité), c’est-à-dire $AM = MA$ pour tout $M$ (injectivité de $\Theta$) : $A$ commute avec tout, donc est scalaire ($A$ commute avec tous les $E_{ij}$ force les coefficients hors diagonale à $0$ et les coefficients diagonaux à être égaux), donc $t = c \operatorname{tr}$.

**Exercice 2.10 ★★★.**

Soient $u, v \in \mathcal{L}(E)$ avec $u \circ v - v \circ u = u$. Montrer que $u$ est nilpotent. *Indication : montrer que $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ pour tout $k \geq 1$ (calculer $u^k v -
v u^k$ par récurrence), puis utiliser le fait suivant, à démontrer via les identités de Newton ou par récurrence sur la dimension : un endomorphisme d’un $\C$-espace vectoriel dont toutes les puissances ont une trace nulle est nilpotent. Travailler sur $\C$.*

**Solution de Exercice 2.10.**

Travailler sur $\C$ (une matrice réelle est nilpotente ssi elle l’est en tant que matrice complexe : la nilpotence est $u^n = 0$).

*Étape 1 : $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ pour $k \geq 1$.* Par récurrence, $u^k v - v u^k = k\, u^k$ : pour $k = 1$ c’est l’hypothèse ; pour le passage,

$$
u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u
= u^{k+1} + k\,u^{k+1} .
$$

En prenant les traces : $0 = \operatorname{tr}(u^k v) -
\operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$, donc $\operatorname{tr}(u^k) = 0$.

*Étape 2 : des traces de puissances nulles impliquent la nilpotence (sur $\C$).* Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ les valeurs propres non nulles distinctes de $u$ de multiplicités $m_1, \dots, m_r$ (dans le polynôme caractéristique, qui est scindé sur $\C$ — [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction)). Les traces de puissances sont $\operatorname{tr}(u^k) =
\sum_i m_i \lambda_i^k$ (trigonaliser : la diagonale de la $k$-ème puissance d’une matrice triangulaire est faite des $k$-èmes puissances). Le système $\sum_i m_i \lambda_i^k = 0$ pour $k = 1, \dots, r$ est inversible au sens de Vandermonde dans les inconnues $m_i\lambda_i$ (matrice $(\lambda_i^{k-1})$ fois la diagonale $\lambda_i$, tous les $\lambda_i \neq 0$ distincts) : tout $m_i \lambda_i = 0$, impossible avec $m_i \geq 1$ sauf si $r = 0$. Donc $u$ n’a aucune valeur propre non nulle : son polynôme caractéristique est $(-X)^n$, et Cayley–Hamilton ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction)) donne $u^n = 0$ : nilpotent.

**Exercice 2.11 ★★.**

(Vandermonde) Pour $a_0, \dots, a_n \in K$, montrer

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n
\end{pmatrix}
= \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).
$$

*(Voir le [déterminant](#def-b2-linalg-det) comme un polynôme en $a_n$ : identifier son degré, ses racines et son coefficient dominant ; récurrence.)*

**Solution de Exercice 2.11.**

Notons $V(a_0, \dots, a_n)$ le [déterminant](#def-b2-linalg-det) et raisonnons par récurrence sur $n$ ; $V(a_0) = 1$ amorce. Fixer $a_0, \dots, a_{n-1}$ et considérer $D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$, le [déterminant](#def-b2-linalg-det) de dernière colonne $(1, T, \dots, T^n)$ : en développant suivant cette colonne, $D$ est un polynôme de degré $\leq n$ en $T$ dont le coefficient de $T^n$ est le mineur $V(a_0, \dots, a_{n-1})$. Supposons d’abord que $a_0, \dots,
a_{n-1}$ sont distincts. Pour chaque $T = a_i$ ($i < n$) deux colonnes coïncident, donc $D(a_i) = 0$ : avec $n$ racines distinctes et degré $\leq n$,

$$
D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),
$$

et $T = a_n$ plus l’hypothèse de récurrence donnent la formule du produit. Si deux des $a_0, \dots, a_{n-1}$ coïncident, les deux membres sont $0$ (colonnes répétées ; facteur répété), et la formule est vraie trivialement.

**Exercice 2.12 ★★★.**

Soient $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ avec $K$ infini, et supposons $CD = DC$. Montrer que

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}
= \det(AD - BC).
$$

*(Traiter d’abord $D$ inversible, en multipliant à droite par $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ ; puis remplacer $D$ par $D + tI$ et comparer deux polynômes en $t$.)*

**Solution de Exercice 2.12.**

*$D$ inversible.* Multiplier à droite par la matrice par blocs $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$, qui est triangulaire par blocs de diagonale unité, $\det T = 1$ (son [déterminant](#def-b2-linalg-det), par la formule des permutations, ne ramasse que les blocs diagonaux — la règle par blocs de l’[Exercice 2.2](#exo-b2-linalg-2)) :

$$
\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},
$$

dont le [déterminant](#def-b2-linalg-det) est $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A -
BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$. Puisque $CD = DC$, $BD^{-1}CD = BC$ : le [déterminant](#def-b2-linalg-det) est $\det(AD - BC)$.

*$D$ général.* Soit $D_t = D + tI$ ; alors $CD_t = D_tC$ encore. Les deux fonctions

$$
f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix}
\qquad\text{et}\qquad
g(t) = \det(AD_t - BC)
$$

sont des fonctions polynomiales de $t$. Le polynôme $\det(D + tI)$ est unitaire de degré $n$, donc a au plus $n$ racines : pour tous les $t$ sauf un nombre fini, $D_t$ est inversible et $f(t) = g(t)$ par le premier cas. Deux polynômes sur un corps infini coïncidant en une infinité de points sont égaux : $f = g$, et $t = 0$ conclut.

## 2.5 Problème : l’alternative de Fredholm

Quand le système linéaire $u(x) = b$ a-t-il une solution ? La réponse complète est un énoncé de dualité : *exactement quand $b$ est annulé par toute forme linéaire qui annule l’image de $u$* — et ces formes sont calculables, étant le noyau de la [transposée](#def-b2-linalg-transpose). Ce problème du week-end construit le dictionnaire complet de la dualité en dimension finie (factorisation des formes, bidualité, calcul des [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator), la [transposée](#def-b2-linalg-transpose)), démontre l’*alternative de Fredholm* en dimension finie, et se clôt avec la forme trace et une caractérisation : la trace est le seul invariant linéaire de similitude. Partout, $E$ et $F$ sont des $K$-espaces vectoriels de dimension finie, $n = \dim E$.

**Problème 2.1.**

Problème du week-end — dualité en dimension finie et alternative de Fredholm

Notation : pour $S \subseteq E^*$, le *préannulateur* est $S_\circ = \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ pour tout } \varphi
\in S\}$ ; les [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ et les [transposées](#def-b2-linalg-transpose) $u^{\mathsf T}$ sont ceux de la [Définition 2.5](#def-b2-linalg-annihilator) et de la [Définition 2.8](#def-b2-linalg-transpose).

**Partie I — Le lemme de factorisation.** Soient $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$.

1. Soit $\Phi \colon E \to K^p$, $x \mapsto (\varphi_1(x),  \dots, \varphi_p(x))$. Identifier $\ker\Phi$, montrer que $\Phi^{\mathsf T}$ envoie les formes coordonnées de $K^p$ sur les $\varphi_i$, et en déduire $$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap  \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim  \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$$
2. (Lemme de factorisation) Démontrer l’équivalence : $$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,  \varphi_p)  \iff  \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq  \ker\varphi .$$
3. En déduire : $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ est libre ssi $\bigcap_i \ker\varphi_i$ est de dimension $n - p$ ; et un sous-espace de codimension $p$ est une intersection de $p$ hyperplans, jamais moins.
4. Dans $\R^4$ , soient $\varphi_1 = x + y - z$ , $\varphi_2 = y +  z - t$ , $\psi = x + 2y - t$ et $\psi' = x + y + t$ . Décider, par le lemme de factorisation, si $\psi$ et $\psi'$ appartiennent à $\operatorname{Vect}(\varphi_1,  \varphi_2)$ .
5. Sur $E = \R_2[X]$ , montrer que $\psi_0 \colon P \mapsto  P(0)$ , $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ , $\psi_2 \colon P  \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ forment une base de $E^*$ , calculer la base $(P_0, P_1, P_2)$ de $E$ dont elle est la duale, et trouver l’unique $P \in \R_2[X]$ avec $P(0)  = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

**Partie II — Bidualité et calcul des [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator).**

6. Montrer que l’ *application d’évaluation* $J \colon E \to  E^{**}$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ , est linéaire et injective, donc un isomorphisme en dimension finie.
7. (Double [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) ) Montrer $J(F) = F^{\circ\circ} :=  (F^\circ)^\circ$ pour tout sous-espace $F \subseteq E$ : sous l’identification $J$ , l’ [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) de l’ [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) est le sous-espace lui-même.
8. Démontrer le calcul des [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator) : $(F + G)^\circ = F^\circ  \cap G^\circ$ et $(F \cap G)^\circ = F^\circ + G^\circ$ .
9. En déduire (et redémontrer directement) : deux formes non nulles de même noyau sont proportionnelles.
10. (Base antéduale) Montrer que pour toute base $(\varphi_1,  \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ il existe une unique base $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ avec $\varphi_i(u_j) =  \delta_{ij}$ .

**Partie III — Le calcul de la [transposée](#def-b2-linalg-transpose).**

11. Montrer que $u \mapsto u^{\mathsf T}$ est une bijection linéaire de $\mathcal{L}(E, F)$ sur $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ , et que $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ quand $u$ est inversible.
12. (Naturalité) Montrer que $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E  = J_F \circ u$ : sous les isomorphismes d’évaluation, la double [transposée](#def-b2-linalg-transpose) *est* $u$ .
13. Montrer : $u$ est surjective ssi $u^{\mathsf T}$ est injective ; $u$ est injective ssi $u^{\mathsf T}$ est surjective.
14. Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ : un sous-espace $F$ est stable sous $u$ si et seulement si $F^\circ$ est stable sous $u^{\mathsf T}$ .
15. Montrer que $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\,  \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\,  \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ , et en déduire que $u$ et $u^{\mathsf T}$ ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités géométriques.

**Partie IV — L’alternative de Fredholm.**

16. Démontrer que $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf  T})_\circ$ pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , et en déduire l’ *alternative de Fredholm* en dimension finie : l’équation $u(x) = b$ a une solution si et seulement si tout $\psi \in F^*$ avec $u^{\mathsf T}\psi = 0$ vérifie $\psi(b) = 0$ .
17. Forme matricielle : pour $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ et $b \in  K^m$ , exactement l’une des propositions suivantes est vraie : (i) $Ax = b$ a une solution ; (ii) il existe $y \in K^m$ avec $A^{\mathsf T}y = 0$ et $y^{\mathsf T}b = 1$ . Démontrer à la fois le « au plus une » et le « au moins une ».
18. Trouver tous les $b \in \R^3$ pour lesquels le système $$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$$ a une solution, en calculant le noyau de la matrice [transposée](#def-b2-linalg-transpose).
19. (Un problème de Neumann discret) Sur $E = \R^n$ ( $n \geq 3$ ), définir $L$ par $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} +  x_{k+1})$ , indices modulo $n$ . Montrer $L^{\mathsf T} = L$ (identifications canoniques), montrer que $\ker L$ est la droite des vecteurs constants *(regarder une coordonnée maximale)* , et conclure : $Lx = b$ est résoluble ssi $\sum_k b_k = 0$ .

**Partie V — La forme trace et le théorème d’invariance.** Rappelons de l’[Exercice 2.9](#exo-b2-linalg-9) que $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ identifie $\mathcal{M}_n(K)$ à son [dual](#def-b2-linalg-dual). On suppose $\operatorname{char} K = 0$ (par exemple $K = \Q, \R,
\C$).

20. Sous cette identification, montrer que l’ [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) du sous-espace $\mathcal{S}_n$ des matrices symétriques est le sous-espace $\mathcal{A}_n$ des matrices antisymétriques, et réciproquement.
21. Montrer que l’ [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) de l’hyperplan $\mathfrak{sl}_n = \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ est la droite $K I_n$ ; de manière équivalente, une forme linéaire s’annulant sur toutes les matrices de trace nulle est un multiple de la trace.
22. Montrer que toute matrice de $\mathcal{M}_n(K)$ est la somme de deux matrices inversibles.
23. (La trace est le seul invariant linéaire de similitude) Soit $t$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$ avec $t(PMP^{-1}) = t(M)$ pour tout $M$ et tout $P$ inversible. Montrer d’abord $t(PX) = t(XP)$ pour $P$ inversible, puis $t(BX) = t(XB)$ pour *tout* $B$ , et conclure $t = c  \operatorname{tr}$ pour un certain $c \in K$ .
24. Montrer que $\operatorname{rk} u \leq r$ si et seulement si $u$ est une somme de $r$ applications de rang $\leq 1$ , c’est-à-dire $u =  \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ avec $\psi_i \in E^*$ , $f_i \in F$ ; en déduire $\operatorname{rk}(u + v) \leq  \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .
25. (Synthèse) Dresser le dictionnaire démontré dans ce problème : sous-espaces contre [annulateurs](#def-b2-linalg-annihilator) , sommes contre intersections, applications contre [transposées](#def-b2-linalg-transpose) , résolubilité contre orthogonalité au noyau transposé, trace contre similitude. Pour chaque entrée, citer la question qui l’a démontrée, et énoncer en une phrase ce qui remplace les décomptes de dimension quand la dimension devient infinie (le volume de troisième année le rend précis sur les espaces de Hilbert).

**Solution de Problème 2.1.**

**1.** $\Phi$ est linéaire avec $\ker\Phi = \bigcap_i
\ker\varphi_i$ (un $p$-uplet s’annule ssi chaque entrée s’annule). Pour les formes coordonnées $\varepsilon_i$ de $K^p$ : $\Phi^{\mathsf
T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$, donc $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq
\operatorname{Vect}(\varphi_i)$ ; réciproquement $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ est engendré par les $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ (les $\varepsilon_i$ engendrent $(K^p)^*$). Donc $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk}
\Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,
\varphi_p) =: r$ ([Proposition 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank)), et le théorème du rang donne $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$.

**2.** ($\Leftarrow$) Garder une sous-famille libre maximale, disons $\varphi_1, \dots, \varphi_r$, engendrant le même espace (de sorte que l’hypothèse se lit encore $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq
\ker\varphi$ : l’intersection sur tous les $i$ égale celle sur $i \leq r$, chaque forme écartée étant une combinaison). L’application $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to K^r$ est surjective (question 1 : son rang est $r$). Si $\Psi(x) = \Psi(y)$ alors $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$, donc $\varphi(x) =
\varphi(y)$ : $\varphi$ se factorise en $\varphi = \lambda \circ \Psi$ avec $\lambda \colon K^r \to K$ bien défini ; $\lambda$ est linéaire parce que $\Psi$ est linéaire et surjective (pour $t = \Psi(x)$, $t' =
\Psi(x')$ : $\lambda(t + \alpha t') = \varphi(x + \alpha x') =
\lambda(t) + \alpha\lambda(t')$). En écrivant $\lambda = \sum c_i
\varepsilon_i$ : $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$. ($\Rightarrow$) Si $\varphi = \sum c_i \varphi_i$, tout $x$ annulant chaque $\varphi_i$ annule $\varphi$.

**3.** Par la question 1, $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ avec $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$, et $r = p$ ssi la famille est libre. Un sous-espace $F$ de codimension $p$ : son [annulateur](#def-b2-linalg-annihilator) est de dimension $p$ ([Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)) ; une base $(\varphi_1, \dots,
\varphi_p)$ de $F^\circ$ donne $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ (la formule de reconstitution). Moins : une intersection de $q$ hyperplans a une dimension $\geq n - q > n - p$ par la question 1.

**4.** Calculons $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$ : de $x
+ y - z = 0$ et $y + z - t = 0$, paramétrer par $(y, z)$ : $x = z
- y$, $t = y + z$, donnant le plan des vecteurs $(z - y,\; y,\;
z,\; y + z)$. Sur lui, $\psi = x + 2y - t = (z - y) + 2y - (y + z)
= 0$ : par le lemme de factorisation $\psi \in
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — en effet $\psi =
\varphi_1 + \varphi_2$. Mais $\psi' = x + y + t = (z - y) + y +
(y + z) = y + 2z$ n’y est pas identiquement nul ($y = 1, z = 0$ donne $1$) : $\psi' \notin \operatorname{Vect}(\varphi_1,
\varphi_2)$.

**5.** Trois formes sur un espace de dimension $3$ : la liberté suffit. Si $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$, tester sur $1, X,
X^2$ : $a + b + c = 0$, $b + \frac c2 = 0$, $b + \frac c3 = 0$ ; soustraire les deux dernières donne $c = 0$, puis $b = 0$, $a = 0$. Base antéduale : en écrivant $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ et en résolvant $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ ($P(0) = \alpha$, $P(1) =
\alpha + \beta + \gamma$, $\int_0^1 P = \alpha + \frac\beta2 +
\frac\gamma3$) :

$$
P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad
P_1 = -2X + 3X^2, \qquad
P_2 = 6X - 6X^2 .
$$

(Vérification, p. ex. : $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$, $P_2(0) = P_2(1) = 0$.) Le problème d’interpolation est résolu par les coordonnées dans la base antéduale :

$$
P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X
$$

(coefficient de $X$ $-4 - 4 + 9 = 1$, coefficient de $X^2$ $3 + 6 - 9 =
0$) ; en effet $P(0) = 1$, $P(1) = 2$, $\int_0^1 P = \frac32$.

**6.** Linéarité : pour tout $\varphi$, $J(x + \alpha
y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha
J(y)(\varphi)$, c’est-à-dire $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$. Injectivité : si $x \neq 0$, compléter $x = e_1$ en une base ; la forme coordonnée $e_1^*$ vérifie $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$. Puisque $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim
E$, injective implique bijective.

**7.** Inclusion : pour $x \in F$ et $\varphi \in F^\circ$, $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$, donc $J(F) \subseteq
F^{\circ\circ}$. Dimensions ([Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) deux fois) :

$$
\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ
= n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),
$$

$J$ étant injective. Donc $J(F) = F^{\circ\circ}$.

**8.** Première identité : $\varphi$ annule $F + G$ ssi elle annule à la fois $F$ et $G$ (elle annule les sommes ssi elle annule les morceaux) : $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$. Seconde : l’inclusion $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ est claire (chaque terme annule $F \cap G$). Dimensions, en utilisant la première identité et Grassmann :

$$
\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ -
\dim(F^\circ \cap G^\circ)
= (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F +
G)\bigr),
$$

ce qui par Grassmann dans $E$ égale $n - \dim(F \cap G) = \dim(F
\cap G)^\circ$ : égalité.

**9.** Via le lemme : $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ avec $p = 1$ donne $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$, et $\varphi \neq 0$ rend le scalaire non nul. Directement : choisir $x_0$ avec $\psi(x_0) \neq 0$ ; tout $x$ s’écrit $x = \bigl(x -
\frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}
x_0$ avec le premier terme dans $\ker\psi = \ker\varphi$ ; en appliquant $\varphi$ : $\varphi(x) = \frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$.

**10.** Prendre la [base duale](#def-b2-linalg-dual) $(\varphi_1^*, \dots,
\varphi_n^*)$ de $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ dans $E^{**}$ ([Définition 2.1](#def-b2-linalg-dual) appliquée à $E^*$) et poser $u_j =
J^{-1}(\varphi_j^*)$ : une base de $E$ ($J$ est un isomorphisme, question 6), avec $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i) =
\varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$. Unicité : les conditions $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ déterminent $J(u_j)$ sur la base $(\varphi_i)$, donc déterminent $u_j$.

**11.** Linéarité : $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi
\circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf
T}\psi$. Injectivité : si $u \neq 0$, choisir $x$ avec $u(x) \neq 0$ et $\psi$ avec $\psi(u(x)) \neq 0$ (l’astuce de la forme coordonnée de la question 6) : $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$. Les espaces $\mathcal{L}(E,F)$ et $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ ont tous deux la dimension $\dim E \dim F$ : bijective. Si $u$ est inversible, la règle de renversement $(vu)^{\mathsf
T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ donne $u^{\mathsf
T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} =
\mathrm{id}_{E^*}$ et $(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} =
(uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$, donc $(u^{\mathsf
T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$.

**12.** Pour $x \in E$ et $\psi \in F^*$ :

$$
\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi)
= (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr)
= (u^{\mathsf T}\psi)(x)
= \psi\bigl(u(x)\bigr)
= \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).
$$

Comme $\psi$ est arbitraire, $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F
\circ u$.

**13.** Par la [Proposition 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank) : $\ker
u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$, donc $u$ surjective $\iff \operatorname{im} u = F \iff (\operatorname{im}u)^\circ =
\{0\}$ ([Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)) $\iff u^{\mathsf T}$ injective. Et $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker
u)^\circ$, donc $u$ injective $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker
u)^\circ = E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ surjective.

**14.** Si $u(F) \subseteq F$ et $\varphi \in F^\circ$ : $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ pour $x \in F$, donc $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$. Réciproquement, si $u(F)
\not\subseteq F$, choisir $x \in F$ avec $u(x) \notin F$ ; par la formule de reconstitution du [Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) il existe $\varphi \in F^\circ$ avec $\varphi(u(x)) \neq 0$ : alors $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq 0$ bien que $x \in F$, donc $u^{\mathsf T}\varphi \notin F^\circ$ : $F^\circ$ n’est pas stable.

**15.** $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u -
\lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (la [transposition](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn) est linéaire et $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$), donc son noyau est $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ ([Proposition 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank)), de dimension

$$
n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id})
= \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})
$$

par le théorème du rang. En particulier un noyau est non nul ssi l’autre l’est : mêmes valeurs propres, mêmes multiplicités géométriques.

**16.** Inclusion : si $b = u(x)$ et $u^{\mathsf T}\psi =
0$, alors $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$ : donc $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$. Dimensions : pour un sous-espace $S \subseteq F^*$, $S_\circ =
J_F^{-1}(S^\circ)$ (dérouler : $y \in S_\circ$ ssi tout $\psi \in
S$ annule $y$ ssi $J_F(y) \in S^\circ$), donc $\dim S_\circ = \dim
F - \dim S$. Avec $S = \ker u^{\mathsf T}$ :

$$
\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ
= \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :
$$

égalité des dimensions, donc $\operatorname{im} u = (\ker
u^{\mathsf T})_\circ$. Reformulé : $b \in \operatorname{im} u$ ssi $\psi(b) = 0$ pour tout $\psi$ avec $u^{\mathsf T}\psi = 0$ — l’alternative de Fredholm.

**17.** Identifier $(K^m)^*$ avec $K^m$ par $y \mapsto \psi_y$, $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$ ; alors $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) =
y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x$, donc $u^{\mathsf
T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf T}y}$ : la [transposée](#def-b2-linalg-transpose) est la matrice [transposée](#def-b2-linalg-transpose). *Au plus une :* si $Ax = b$ et $A^{\mathsf T}y = 0$, alors $y^{\mathsf T}b = y^{\mathsf T}Ax =
(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$. *Au moins une :* si (i) échoue, la question 16 fournit $\psi_y$ avec $A^{\mathsf T}y
= 0$ et $y^{\mathsf T}b \neq 0$ ; réajuster $y$ pour le rendre égal à $1$.

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (troisième ligne = première + deuxième, donc $A$ est singulière). Résoudre $A^{\mathsf T}y = 0$ : $y_1 + y_3 = 0$, $y_1
+ y_2 + 2y_3 = 0$, $y_2 + y_3 = 0$ donnent $y_1 = y_2 = -y_3$ : la droite engendrée par $y = (1, 1, -1)$. Fredholm : résoluble ssi $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$, c’est-à-dire $b_3 = b_1 + b_2$ — visiblement la bonne condition, puisque la troisième équation est la somme des deux premières.

**19.** La matrice de $L$ a $1$ sur la diagonale et $-\frac12$ en positions $(k, k\pm1)$ (mod $n$) : symétrique, donc $L^{\mathsf T} = L$ sous l’identification de la question 17. *Noyau :* si $Lx = 0$ alors chaque $x_k = \frac12(x_{k-1} +
x_{k+1})$. Soit $k_0$ maximisant $x_k$ ; la moyenne des deux voisins, tous deux $\leq x_{k_0}$, égale $x_{k_0}$ seulement si les deux égalent $x_{k_0}$ ; en se propageant autour du [cycle](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-sn), $x$ est constant. Réciproquement les constantes sont annulées. Donc $\ker L^{\mathsf T} = \ker L
= \R(1, \dots, 1)$, et l’alternative de Fredholm se lit : $Lx = b$ résoluble ssi $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k = 0$ — la condition de compatibilité discrète : une « distribution de chaleur » sur un anneau peut être réalisée par un potentiel ssi son flux total s’annule.

**20.** Si $A$ est antisymétrique et $S$ symétrique :

$$
\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf
T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) =
-\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),
$$

donc $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ et ($\operatorname{char} K \neq
2$) $\operatorname{tr}(AS) = 0$ : $\mathcal{A}_n \subseteq
\mathcal{S}_n^\circ$ (en identifiant le [dual](#def-b2-linalg-dual) avec les matrices). Dimensions : $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$ : égalité. En échangeant les rôles (même calcul), $\mathcal{A}_n^\circ = \mathcal{S}_n$.

**21.** $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ pour $M \in \mathfrak{sl}_n$ : la droite $KI_n$ est dans l’[annulateur](#def-b2-linalg-annihilator), dont la dimension est $n^2 - (n^2 - 1) = 1$ : égalité. Traduit par l’isomorphisme $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ : une forme s’annulant sur $\mathfrak{sl}_n$ est $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) =
\lambda\operatorname{tr}$.

**22.** Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$. Le polynôme $t
\mapsto \det(M - tI)$ est non nul de degré $n$, donc a au plus $n$ racines ; $K$ est de caractéristique $0$, donc infini : choisir $\lambda \neq 0$ qui n’est pas une racine. Alors $M = (M - \lambda I) +
\lambda I$ écrit $M$ comme somme de deux matrices inversibles.

**23.** *Étape 1 :* pour $P$ inversible et $X$ arbitraire, appliquer l’invariance à $M = XP$ : $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$, c’est-à-dire $t(PX) = t(XP)$. *Étape 2 :* fixer $X$ ; les deux membres de $t(BX) = t(XB)$ sont linéaires en $B$ et coïncident sur les $B$ inversibles ; par la question 22 tout $B$ est une somme de deux inversibles, donc ils coïncident partout. *Étape 3 :* $t$ annule tout commutateur $XB
- BX$ ; les commutateurs engendrent $\mathfrak{sl}_n$ (montré dans la démonstration de la [Proposition 2.22](#prop-b2-linalg-trace)), donc $t$ s’annule sur $\mathfrak{sl}_n$ et la question 21 donne $t =
c\operatorname{tr}$. (Réciproquement tout $c\operatorname{tr}$ est invariant par similitude : la trace est *l*’invariant linéaire de similitude.)

**24.** Si $\operatorname{rk} u = r' \leq r$ : prendre une base $(f_1, \dots, f_{r'})$ de $\operatorname{im} u$ et écrire $u(x)
= \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$ ; chaque coordonnée $\psi_i(x)$ de $u(x)$ est linéaire en $x$ (composition de $u$ avec une forme coordonnée), donc $u$ est une somme de $r' \leq r$ applications de rang $\leq1$ (compléter par des zéros). Réciproquement, si $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$, alors $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1,
\dots, f_r)$ : $\operatorname{rk} u \leq r$. Sous-additivité : écrire $u$ avec $\operatorname{rk} u$ termes et $v$ avec $\operatorname{rk} v$ termes ; la somme a $\operatorname{rk} u +
\operatorname{rk} v$ termes, donc $\operatorname{rk}(u + v) \leq
\operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$.

**25.** Le dictionnaire : un sous-espace $F$ correspond à $F^\circ$ de dimension complémentaire ([Théorème 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)), et retour par la bidualité (questions 6–7) ; les sommes s’échangent avec les intersections (question 8) ; une application $u$ correspond à $u^{\mathsf T}$ avec $\ker u^{\mathsf T}
= (\operatorname{im}u)^\circ$, $\operatorname{im}u^{\mathsf T} =
(\ker u)^\circ$, rangs égaux, injectivité/surjectivité échangées, sous-espaces stables et valeurs propres appariés (questions 11–15) ; l’équation $u(x) = b$ est résoluble ssi $b$ est orthogonal à $\ker u^{\mathsf T}$ (questions 16–19) ; et sur $\mathcal{M}_n$ l’accouplement de trace réalise tout le dictionnaire concrètement, avec la trace comme unique invariant linéaire de similitude (questions 20–23) et le rang comme longueur minimale d’une décomposition en tenseurs élémentaires (question 24). En dimension infinie les décomptes de dimension échouent et sont remplacés par des hypothèses de *fermeture* sur les images et par la complétude — sur les espaces de Hilbert ceci devient le théorème de représentation de Riesz et la théorie de Fredholm des opérateurs compacts, démontrée honnêtement dans le volume de troisième année.