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title: "Variables aléatoires discrètes"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes
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# Chapitre 22 — Variables aléatoires discrètes

Les [variables aléatoires](#def-b2-randomvar-law) organisent les calculs de probabilité autour de fonctions plutôt que d’[événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space). Sur les espaces [dénombrables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable), la théorie repose sur les [familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series) : l’[espérance](#def-b2-randomvar-expectation) est la somme d’une famille indexée par l’[univers](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space), et toutes ses propriétés — linéarité, transfert, formule du produit pour les variables indépendantes — sont des théorèmes sur les [familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable). Le chapitre démontre les inégalités clés de Markov, de Bienaymé–Tchebychev, de Cauchy–Schwarz et de Jensen, et s’achève sur les [lois](#def-b2-randomvar-law) classiques et la [loi](#def-b2-randomvar-law) faible des grands nombres, dont la preuve tient en deux lignes une fois Tchebychev disponible.

## 22.1 Variables aléatoires et leurs lois

**Définition 22.1 (Variable aléatoire discrète ; loi).**

Soit $(\Omega, \P)$ un [espace probabilisé](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) [dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable). Une *variable aléatoire* est une application $X \colon \Omega \to E$ ($E$ un ensemble quelconque ; variable aléatoire *réelle* lorsque $E = \R$). Sa *loi* (ou *distribution*) est la [mesure de probabilité](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\P_X$ sur l’[ensemble dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) $X(\Omega)$ définie par

$$
\P_X(\{x\}) = \P(X = x)
= \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x\}\bigr) .
$$

**Exemple 22.2 (Les lois classiques).**

- *Bernoulli* $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$ , $\P(X = 1) = p$ . Indicatrice d’un [événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) .
- *Binomiale* $\mathcal{B}(n, p)$ : $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ , $0 \leq k \leq n$ : nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes (volume du secondaire ; redémontrée plus bas via des sommes de variables indépendantes).
- *Géométrique* $\mathcal{G}(p)$ : $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ , $k \in \N^*$ : rang du premier succès ( [Exemple 21.5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#ex-b2-proba-geometric) ).
- *Poisson* $\mathcal{P}(\lambda)$ : $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ , $k \in \N$ — une [mesure de probabilité](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) par la série exponentielle. La [loi](#def-b2-randomvar-law) des [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares ( [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/23-fonctions-generatrices-des-probabilites#ch-b2-genfun) ).

**Remarque 22.3 (Quelle loi modélise quoi).**

Les quatre [lois](#def-b2-randomvar-law) répondent à quatre questions primitives : Bernoulli, « est-ce arrivé ? » ; binomiale, « combien de fois en $n$ essais ? » ; géométrique, « combien de temps jusqu’à la première fois ? » ; Poisson, « combien d’[événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) à un taux donné, quand les essais sont nombreux et individuellement peu probables ? ». Reconnaître la question, c’est neuf dixièmes de la modélisation : les sommes d’indicatrices désignent la binomiale, les temps d’attente la géométrique, les comptages d’[événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares la Poisson — le passage de la binomiale à la Poisson étant rendu précis par la [loi](#def-b2-randomvar-law) des [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/23-fonctions-generatrices-des-probabilites#ch-b2-genfun).

**Proposition 22.4 (Absence de mémoire de la loi géométrique).**

Si $X \sim \mathcal{G}(p)$, alors pour tous $m, n \in \N$ :

$$
\P(X > m + n \mid X > m) = \P(X > n) ,
$$

et les [lois](#def-b2-randomvar-law) géométriques sont les seules [lois](#def-b2-randomvar-law) sur $\N^*$ possédant cette propriété.

**Démonstration.** En sommant les poids géométriques, $\P(X > n) = (1-p)^n$. Donc

$$
\P(X > m + n \mid X > m)
= \frac{\P(X > m + n)}{\P(X > m)}
= \frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m} = (1-p)^n = \P(X > n).
$$

Réciproquement, si $G(n) = \P(X > n)$ vérifie $G(m + n) =
G(m)G(n)$ avec $G(0) = 1$, alors $G(n) = G(1)^n$ par récurrence ; $q =
G(1) \in \intco{0}{1}$, et $q = 0$ ou bien la [loi](#def-b2-randomvar-law) est $\mathcal{G}(1 - q)$ : $\P(X = k) = G(k-1) - G(k) =
q^{k-1}(1 - q)$. ∎

**Exemple 22.5 (Aucun nombre n’est jamais « dû »).**

On lance un dé en attendant un six : le temps d’attente est $X \sim
\mathcal G(1/6)$. L’absence de mémoire dit qu’après $10$ lancers infructueux, l’attente *restante* $X - 10$, sachant $X > 10$, est de nouveau $\mathcal G(1/6)$ : l’attente conditionnelle espérée reste $6$ lancers, exactement comme au départ. Le dé ne se souvient pas, et aucun six n’est jamais « dû » — le sophisme du joueur est la croyance que la [loi](#def-b2-randomvar-law) conditionnelle devrait s’être décalée. Réciproquement, la moitié « unicité » de la proposition dit que cette indifférence *caractérise* les temps d’attente géométriques : tout temps d’attente dont la prévision ne se met jamais à jour est géométrique. Les files d’attente et les durées de vie réelles se mettent généralement à jour, ce qui est précisément la façon de détecter qu’elles ne sont pas géométriques.

## 22.2 Espérance

**Définition 22.6 (Espérance).**

Une [variable aléatoire](#def-b2-randomvar-law) réelle $X$ sur $(\Omega, \P)$ *admet une espérance* si la famille $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ est [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)) ; son *espérance* est alors

$$
\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .
$$

**Théorème 22.7 (Théorème de transfert).**

$X$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) si et seulement si la famille $\bigl(x\,\P(X =
x)\bigr)_{x \in X(\Omega)}$ est [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable), et alors

$$
\E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x\,\P(X = x) .
$$

Plus généralement, pour $f \colon X(\Omega) \to \R$, la variable $f(X)$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) si et seulement si $\sum_x \abs{f(x)}\,\P(X = x) <
\infty$, et alors $\E(f(X)) = \sum_x f(x)\,\P(X = x)$.

**Démonstration.** Partitionnons $\Omega$ selon les lignes de niveau $\Omega_x = \{X = x\}$, $x
\in X(\Omega)$. Par le théorème de sommation par paquets pour les [familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)), la famille $(X(\omega)\P(\{\omega\}))_\omega$ est [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) si et seulement si chaque paquet l’est (automatique : $\sum_{\omega \in \Omega_x}\abs{x}\P(\{\omega\}) =
\abs x\,\P(X = x)$) *et* si la famille des sommes des paquets $\bigl(x\,\P(X = x)\bigr)_x$ est [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) — et alors les sommes totales coïncident. Pour $f(X)$ : on applique l’énoncé démontré à la variable $Y =
f \circ X$, dont les lignes de niveau sont $\{Y = y\} =
\bigsqcup_{x : f(x) = y}\{X = x\}$ ; une seconde sommation par paquets convertit $\sum_y y\,\P(Y = y)$ en $\sum_x
f(x)\,\P(X = x)$, les paquets regroupant désormais les valeurs $x$ par leur image $f(x)$, la sommabilité absolue d’une famille étant équivalente à celle de l’autre. ∎

**Théorème 22.8 (Propriétés de l’espérance).**

Sur l’ensemble des [variables aléatoires](#def-b2-randomvar-law) admettant une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) :

1. (Linéarité) $\E(aX + bY) = a\,\E(X) + b\,\E(Y)$ .
2. (Positivité et monotonie) $X \geq 0 \Rightarrow \E(X) \geq 0$ ; $X \leq Y \Rightarrow \E(X) \leq \E(Y)$ ; et $\abs{\E(X)} \leq \E(\abs X)$ .
3. (Domination) Si $\abs X \leq Z$ et $Z$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) , alors $X$ aussi.

**Démonstration.** Ce sont toutes des propriétés des sommes de [familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)) : linéarité de la somme, positivité terme à terme, et le critère de domination pour la sommabilité. (Notons que la linéarité est immédiate sur la *définition* sur $\Omega$, alors qu’elle serait malaisée sur la formule de transfert — un bénéfice de définir $\E$ en amont.) ∎

**Exemple 22.9.**

$X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : en écrivant $X = X_1 + \dots + X_n$ comme somme d’indicatrices de Bernoulli et en utilisant la linéarité, $\E(X) = np$ — sans coefficient binomial. $X \sim \mathcal{G}(p)$ : $\E(X) =
\sum_{k\geq1}k(1-p)^{k-1}p = p\cdot\frac{1}{(1 - (1-p))^2} =
\frac1p$, en dérivant la série géométrique à l’intérieur de son disque ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries)). $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ : $\E(X)
= \sum_{k\geq1}k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda
e^{-\lambda}\sum_{j\geq0}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda$.

**Exemple 22.10 (Le transfert à l’œuvre).**

Pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$, calculons $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — la [loi](#def-b2-randomvar-law) de $\frac1{1+X}$ elle-même est malaisée, mais le transfert ne la demande jamais :

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr)
= \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda}
\frac{\lambda^k}{k!}
= \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0}
\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}
= \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr)
= \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .
$$

Deux leçons. Sur le plan du calcul : reconnaître une série exponentielle décalée est tout le travail — le transfert réduit les [espérances](#def-b2-randomvar-expectation) de $f(X)$ à des manipulations de séries. Sur le plan structurel : la valeur naïve par substitution serait $\frac1{1 + \E X} =
\frac1{1 + \lambda}$, et la vraie réponse est plus grande,

$$
\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq
\frac{1}{1 + \lambda},
$$

exactement comme l’exige l’inégalité de Jensen pour la fonction [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) $t \mapsto \frac1{1+t}$. Les [espérances](#def-b2-randomvar-expectation) des images [convexes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) se situent au-dessus de la valeur naïve par substitution, et le transfert plus une vérification de série rend concrète l’inégalité abstraite.

**Théorème 22.11 (Indépendance et produits).**

Deux [variables aléatoires](#def-b2-randomvar-law) $X, Y$ sont *indépendantes* si $\P(X = x, Y =
y) = \P(X = x)\P(Y = y)$ pour tous $x, y$ — de manière équivalente, les [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\{X \in A\}$ et $\{Y \in B\}$ sont [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) pour tous $A,
B$. Si $X$ et $Y$ sont des variables réelles indépendantes admettant des [espérances](#def-b2-randomvar-expectation), alors $XY$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) et

$$
\E(XY) = \E(X)\,\E(Y) .
$$

**Démonstration.** L’équivalence des deux formulations résulte de la sommation de l’identité ponctuelle sur $(x, y) \in A \times B$ ($\sigma$-additivité deux fois). Pour le produit : la famille double $\bigl(xy\,\P(X = x)\P(Y = y)\bigr)_{(x,y)}$ est [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable), car par Fubini pour les familles ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series))

$$
\sum_{x, y}\abs x \abs y\,\P(X{=}x)\P(Y{=}y)
= \Bigl(\sum_x \abs x \P(X{=}x)\Bigr)
\Bigl(\sum_y \abs y \P(Y{=}y)\Bigr) < \infty ;
$$

par indépendance cette famille est exactement $\bigl(xy\,\P(X = x, Y =
y)\bigr)$, dont la somme est $\E(XY)$ par transfert appliqué à la variable $(X, Y) \mapsto xy$ ; Fubini évalue de nouveau la somme non signée comme le produit $\E(X)\E(Y)$. ∎

**Exemple 22.12 (Produits, avec et sans indépendance).**

On lance deux dés équilibrés. Si $Y$ est le second dé (indépendant du premier), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. Si au contraire $Y = X$ (le « produit » d’un dé avec lui-même),

$$
\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}
\approx 15.17 \neq 12.25 :
$$

mêmes [lois](#def-b2-randomvar-law) marginales dans les deux scénarios, [lois](#def-b2-randomvar-law) jointes différentes, [espérances](#def-b2-randomvar-expectation) des produits différentes. La morale, digne d’être gravée : $\E(XY)$ est une fonctionnelle du *couple*, non des deux marginales — et l’écart $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ est, par König–Huygens, précisément la [variance](#def-b2-randomvar-variance) $\frac{35}{12}$ du dé.

## 22.3 Variance, covariance et les inégalités classiques

**Définition 22.13 (Moments, variance).**

$X$ admet un *moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) 2* si $X^2$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) (alors $X$ aussi, par domination : $\abs X \leq \frac{1 +
X^2}{2}$). Sa *variance* et son *écart-type* sont alors

$$
V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr)
= \E(X^2) - \E(X)^2 ,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,
$$

(la seconde forme — la formule de *König–Huygens* — en développant le carré et en utilisant la linéarité :

$$
\E\bigl((X - \E X)^2\bigr)
= \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr)
= \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,
$$

le terme central utilisant que $\E X$ est une constante). Pour $X, Y$ admettant des moments d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux, la *covariance* est

$$
\operatorname{Cov}(X, Y)
= \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr)
= \E(XY) - \E(X)\E(Y) .
$$

**Théorème 22.14 (Boîte à outils de la variance).**

Pour des variables admettant des moments d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux :

1. $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ ;
2. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$, et plus généralement $$V\Bigl(\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n V(X_i) + 2\sum_{i < j}\operatorname{Cov}(X_i, X_j) ;$$
3. si $X, Y$ sont indépendantes, $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ (la réciproque est fausse), de sorte que les [variances](#def-b2-randomvar-variance) de variables indépendantes s’ajoutent.

**Démonstration.** *1* et *2* sont des développements de carrés plus la linéarité ; les produits $X_iX_j$ admettent des [espérances](#def-b2-randomvar-expectation) par Cauchy–Schwarz ci-dessous (ou par $\abs{X_iX_j} \leq \frac{X_i^2 + X_j^2}{2}$). *3* est le [Théorème 22.11](#thm-b2-randomvar-product) appliqué aux variables centrées. Un contre-exemple standard à la réciproque : $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ et $Y = X^2$ sont non corrélées ($\E(XY) = \E(X^3) = 0 = \E X \cdot \E Y$) mais manifestement dépendantes. ∎

**Théorème 22.15 (Inégalités de Markov et de Bienaymé–Tchebychev).**

1. (Markov) Si $X \geq 0$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation), alors pour tout $a > 0$ : $$\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a} .$$
2. (Tchebychev) Si $X$ admet un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux, alors pour tout $\varepsilon > 0$ : $$\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2} .$$

**Démonstration.** *1.* Ponctuellement, $a\,\mathbf{1}_{X \geq a} \leq X$ (sur l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) le membre de gauche vaut $a \leq X$ ; en dehors, $0 \leq X$). Prenons les [espérances](#def-b2-randomvar-expectation) : $a\,\P(X \geq a) \leq \E(X)$ par monotonie et $\E(\mathbf{1}_A) = \P(A)$. *2.* Appliquons Markov à la variable positive $(X - \E
X)^2$ au niveau $a = \varepsilon^2$ : l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\{(X - \E X)^2
\geq \varepsilon^2\}$ est exactement $\{\abs{X - \E X} \geq
\varepsilon\}$. ∎

**Exemple 22.16 (Non corrélées mais soudées ensemble).**

On lance deux dés équilibrés, $X$ et $Y$ [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence), et on pose $S = X +
Y$, $D = X - Y$. Par bilinéarité de la [covariance](#def-b2-randomvar-variance),

$$
\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) +
\operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) -
V(Y) = 0 :
$$

somme et différence sont non corrélées. Indépendantes ? Certainement pas : $S = 12$ force $D = 0$, tandis que $\P(D = 0) =
\frac16$ sans conditionnement. La corrélation ne teste que la partie *linéaire* d’une dépendance ; ici la dépendance est portée par la contrainte que $S$ et $D$ ont la même parité, invisible à la [covariance](#def-b2-randomvar-variance). (Pour ce couple, une [covariance](#def-b2-randomvar-variance) nulle a nécessité $V(X) = V(Y)$ : des [lois](#def-b2-randomvar-law) identiques, non l’indépendance, ont fait le travail.)

**Exemple 22.17 (Quand Markov est exacte).**

L’inégalité de Markov est une égalité précisément lorsque rien n’est gaspillé dans la borne $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : la variable doit ne prendre que les valeurs $0$ et $a$. Concrètement, si $\P(X = a) = \pi$ et $\P(X = 0) = 1 - \pi$, alors $\E(X)
= a\pi$ et

$$
\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .
$$

Une lecture réaliste : dans une population où la richesse moyenne est $100$ et la richesse vaut soit $0$ soit $10^6$, la proportion de millionnaires est exactement $10^{-4}$ — la borne de Markov, atteinte exactement par une inégalité maximale. Chaque fois que $X$ s’étale sur des valeurs intermédiaires, la borne est stricte, souvent démesurément ; mais comme le montre le cas extrême, aucune meilleure inégalité ne peut être extraite de la seule moyenne.

**Exemple 22.18 (Tchebychev est optimale — sans hypothèses supplémentaires).**

Fixons $\varepsilon > 0$, $q \in \intoc01$, et soit $X$ prenant les valeurs $\pm\varepsilon$ avec probabilité $\frac q2$ chacune et $0$ avec probabilité $1 - q$. Alors $\E(X) = 0$, $V(X) =
q\varepsilon^2$, et

$$
\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q
= \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :
$$

égalité dans Tchebychev. Ainsi l’inégalité ne peut être améliorée en utilisant seulement la [variance](#def-b2-randomvar-variance) — la décroissance en $1/\varepsilon^2$ est le prix exact de l’information d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux. Une décroissance plus rapide requiert des hypothèses plus fortes : le caractère borné de la variable achète une concentration *exponentielle*, comme l’[Exercice 22.7](#exo-b2-randomvar-7) le laisse entrevoir et comme le problème du week-end de ce chapitre le développe systématiquement.

**Théorème 22.19 (Cauchy–Schwarz et Jensen).**

1. (Cauchy–Schwarz) Si $X, Y$ admettent des moments d’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux, $XY$ admet une [espérance](#def-b2-randomvar-expectation) et $\E(XY)^2 \leq \E(X^2)\,\E(Y^2)$ ; par conséquent $\operatorname{Cov}(X,Y)^2 \leq V(X)V(Y)$ .
2. (Jensen) Si $\varphi \colon I \to \R$ est [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) sur un intervalle contenant $X(\Omega)$, et si $X$, $\varphi(X)$ admettent des [espérances](#def-b2-randomvar-expectation), alors $$\varphi\bigl(\E(X)\bigr) \leq \E\bigl(\varphi(X)\bigr) .$$

**Démonstration.** *1.* Sommabilité de $XY$ : $\abs{XY} \leq \frac{X^2 + Y^2}2$. L’application $(X, Y) \mapsto \E(XY)$ est une forme bilinéaire [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) positive sur l’espace des variables admettant des moments d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux, de sorte que l’inégalité de Cauchy–Schwarz abstraite du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#ch-b2-quadratic) s’applique (positive *semi*-définie suffit pour l’inégalité). En l’appliquant aux variables centrées, on obtient la borne sur la [covariance](#def-b2-randomvar-variance).

*2.* D’abord, $m = \E(X)$ appartient à $I$ : $I$ est un intervalle contenant toutes les valeurs de $X$, et l’[espérance](#def-b2-randomvar-expectation) est monotone, donc $m$ est compris entre $\inf X(\Omega)$ et $\sup X(\Omega)$. Par le théorème de la droite d’appui pour les fonctions [convexes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#ch-b2-realfun)), il existe $\alpha, \beta$ tels que $\varphi(t) \geq \alpha t + \beta$ pour tout $t \in I$ et $\varphi(m) = \alpha m + \beta$. Alors, ponctuellement sur $\Omega$, $\varphi(X) \geq \alpha X + \beta$ ; en prenant les [espérances](#def-b2-randomvar-expectation),

$$
\E\bigl(\varphi(X)\bigr) \geq \alpha\,\E(X) + \beta
= \varphi\bigl(\E(X)\bigr). \qedhere
$$

∎

**Exemple 22.20.**

Jensen avec $\varphi(t) = t^2$ donne $\E(X)^2 \leq \E(X^2)$ — la positivité de la [variance](#def-b2-randomvar-variance) ; avec $\varphi(t) = 1/t$ sur $\intoo{0}{\infty}$ : $\frac{1}{\E X} \leq \E\bigl(\frac1X\bigr)$ — la moyenne harmonique est en dessous de la moyenne arithmétique, désormais sous forme aléatoire.

**Remarque 22.21 (Pièges courants).**

(i) $\E(XY) = \E(X)\E(Y)$ *requiert* l’indépendance (ou au moins une [covariance](#def-b2-randomvar-variance) nulle) : en prenant $Y = X$ on obtient $\E(X^2) \neq
\E(X)^2$ dès que $V(X) > 0$. (ii) De même $V(X + X) =
4V(X)$, non $2V(X)$ : les [variances](#def-b2-randomvar-variance) ne s’ajoutent qu’entre termes [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) (ou non corrélés). (iii) $\E(f(X))$ n’est pas $f(\E(X))$ ; pour $f$ [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex), Jensen vous indique même la direction de l’erreur, comme à l’[Exemple 22.10](#ex-b2-randomvar-transferex). (iv) L’existence est une véritable hypothèse : pour la variable de Saint-Pétersbourg $X = 2^K$ avec $\P(K = k) = 2^{-k}$ ($k \geq 1$),

$$
\sum_{k\geq1}2^k\cdot2^{-k} = \sum_{k\geq1}1 = \infty :
$$

$X$ est finie presque sûrement mais n’admet aucune [espérance](#def-b2-randomvar-expectation), et aucun prix d’entrée équitable pour le jeu n’existe. La sommabilité dans la définition de $\E$ n’est pas un pédantisme de comptabilité — c’est là que les queues lourdes sont détectées. (v) Enfin, le théorème de transfert exige la sommabilité *absolue* avant tout réarrangement de la somme sur les valeurs ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)).

**Exemple 22.22 (Tchebychev sur cent lancers).**

Pour $X \sim \mathcal B(100, \frac12)$ : $\E X = 50$, $V(X) =
25$. Tchebychev avec $\varepsilon = 6$ :

$$
\P(45 \leq X \leq 55) = \P(\abs{X - 50} < 6)
\geq 1 - \frac{25}{36} \approx 0.31 ,
$$

tandis que la somme binomiale [exacte](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#def-b2-multint-exact) donne $\approx 0.73$. Les $31\%$ garantis sont loin de la vérité, mais ils n’ont requis *que* la moyenne et la [variance](#def-b2-randomvar-variance) — le même certificat s’applique mot pour mot à toute variable de $\E = 50$, $V = 25$, aussi exotique soit-elle, et l’[Exemple 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp) montre qu’une telle variable la sature. L’universalité a un prix ; lorsque la [loi](#def-b2-randomvar-law) est authentiquement binomiale, les outils exponentiels du problème du week-end comblent l’essentiel de l’écart.

**Exemple 22.23 (La corrélation d’une partie avec son tout).**

Pour $X, Y$ indépendantes de même [loi](#def-b2-randomvar-law), de [variance](#def-b2-randomvar-variance) $\sigma^2 > 0$, à quel point un terme est-il corrélé avec la somme $S = X + Y$ ? Calculons

$$
\operatorname{Cov}(X, S) = \operatorname{Cov}(X, X) +
\operatorname{Cov}(X, Y) = \sigma^2 + 0 = \sigma^2,
\qquad V(S) = 2\sigma^2,
$$

de sorte que le coefficient de corrélation est

$$
\rho(X, S) = \frac{\operatorname{Cov}(X,
S)}{\sigma(X)\,\sigma(S)}
= \frac{\sigma^2}{\sigma\cdot\sigma\sqrt2}
= \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707 ,
$$

quelle que soit la [loi](#def-b2-randomvar-law) commune — dés, pièces, comptages de Poisson. Avec $n$ termes le même calcul donne $\rho(X_1, S_n) =
1/\sqrt n$ : l’influence de chaque terme individuel sur le total se dilue comme une racine carrée, ce qui est l’ombre corrélationnelle de l’échelle $\sqrt n$ des fluctuations. Cauchy–Schwarz garantit $\abs\rho \leq 1$ toujours ; ici la borne est atteinte exactement dans le cas dégénéré $n = 1$ et décroît de façon prévisible ensuite.

**Exemple 22.24 (Inégalité arithmético-géométrique pondérée à partir de Jensen).**

Soit $Y$ prenant les valeurs positives $a_1, \dots, a_k$ avec probabilités $\lambda_1, \dots, \lambda_k$. La fonction $-\ln$ est [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) sur $\intoo0\infty$, donc Jensen donne $-\ln\E(Y) \leq \E(-\ln Y)$, c’est-à-dire

$$
a_1^{\lambda_1}a_2^{\lambda_2}\cdots a_k^{\lambda_k}
\;\leq\; \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \dots + \lambda_ka_k :
$$

l’inégalité arithmético-géométrique pondérée, avec égalité si et seulement si $Y$ est constante. Des poids égaux $\lambda_i = \frac1k$ redonnent l’inégalité arithmético-géométrique classique. La probabilité a discrètement démontré un théorème purement algébrique : choisir une [loi](#def-b2-randomvar-law) de probabilité est juste un procédé comptable pour les combinaisons [convexes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) — le point de vue barycentrique du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#ch-b2-affine) une fois de plus, désormais avec Jensen pour moteur.

## 22.4 La loi faible des grands nombres

**Théorème 22.25 (Loi faible des grands nombres).**

Soit $(X_k)_{k \geq 1}$ des [variables aléatoires](#def-b2-randomvar-law) deux à deux indépendantes de même [loi](#def-b2-randomvar-law), admettant un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux ; posons $m = \E(X_1)$ et $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Alors pour tout $\varepsilon > 0$ :

$$
\P\Bigl(\,\Bigl|\frac{S_n}{n} - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr)
\;\leq\; \frac{V(X_1)}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .
$$

**Démonstration.** Par linéarité $\E(S_n/n) = m$ ; par le [Théorème 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules) (l’indépendance deux à deux annule les [covariances](#def-b2-randomvar-variance)) $V(S_n) = n\,V(X_1)$, donc $V(S_n/n) =
V(X_1)/n$. L’inégalité de Tchebychev appliquée à $S_n/n$ donne la borne. ∎

**Remarque 22.26.**

C’est le théorème qui relie la probabilité à la fréquence : pour $X_k$ l’indicatrice d’un [événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $A$ dans des répétitions indépendantes, $S_n/n$ est la fréquence observée de $A$, et la [loi](#def-b2-randomvar-law) des grands nombres dit qu’elle se concentre autour de $\P(A)$ au taux $\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$. La [loi](#def-b2-randomvar-law) *forte* ($S_n/n \to
m$ presque sûrement) est un théorème de la troisième année — sa preuve pour les moments d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre est cependant à portée : voir l’[Exercice 22.9](#exo-b2-randomvar-9), qui déroule Borel–Cantelli sur la borne de type Tchebychev. La même estimation de Tchebychev a alimenté la preuve par [polynômes de Bernstein](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#thm-b2-funcseq-weierstrass) du théorème d’approximation de Weierstrass au [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq) — le lemme de comptage là-bas *était* la [loi](#def-b2-randomvar-law) faible des grands nombres déguisée.

**Exemple 22.27 (Collectionner cinquante vignettes).**

Le collectionneur de vignettes de l’[Exercice 22.3](#exo-b2-randomvar-3) avec $n =
50$ jouets distincts : le total espéré est

$$
\E(T_{50}) = 50\,H_{50} = 50\sum_{k=1}^{50}\frac1k
\approx 50 \times 4.499 \approx 225
$$

boîtes — quatre fois et demie l’estimation naïve $50$. La croissance harmonique est toute l’histoire : les premiers $25$ jouets arrivent en environ $50\ln2 \approx 35$ boîtes, tandis que le *dernier* jouet à lui seul coûte $50$ boîtes en moyenne (une attente géométrique de paramètre $\frac1{50}$). Les problèmes de complétion sont dominés par leur fin de partie, ce qui explique pourquoi l’[Exercice 22.12](#exo-b2-randomvar-12) trouve des fluctuations d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $n$ — la taille de cette attente géométrique finale — autour de la moyenne $n\ln n$.

**Exemple 22.28 (Quelle taille doit avoir nnn ?).**

Pour fixer la fréquence observée à $\varepsilon = 0.01$ près de $\P(A)$ avec une confiance de $95\%$, la borne de Tchebychev exige

$$
\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}
\leq 0.05,
\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad
n \geq \frac{1}{4\cdot0.05\cdot(0.01)^2} = 50\,000 .
$$

La dépendance est brutale en $\varepsilon$ (quadratique) et douce en la confiance (linéaire en $1/\alpha$). Ces deux caractéristiques sont des propriétés de la *borne*, non de la vérité : les inégalités exponentielles du problème du week-end abaissent le prix de la confiance de $1/\alpha$ à $\ln(1/\alpha)$ — la même spécification coûtera environ $18\,500$ échantillons là-bas — tandis que l’échelle $1/\varepsilon^2$ est authentique et inaméliorable. Savoir quelle partie d’une borne est lâche est aussi utile que la borne elle-même.

![La loi des grands nombres en image : la loi de S_n/n (dessinée schématiquement) garde son centre m mais se resserre à mesure que n grandit, de sorte que la probabilité en dehors de la bande (m- , m+ ) — les deux queues — tend vers zéro. Tchebychev borne les queues par V(X_1)/(n 2) ; le problème du week-end montre qu’elles sont en fait exponentiellement petites.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-randomvar/fig-a2a2cffff249.svg)

*La [loi](#def-b2-randomvar-law) des grands nombres en image : la [loi](#def-b2-randomvar-law) de $S_n/n$ (dessinée schématiquement) garde son centre $m$ mais se resserre à mesure que $n$ grandit, de sorte que la probabilité en dehors de la bande $\intcc{m-\varepsilon}{m+\varepsilon}$ — les deux queues — tend vers zéro. Tchebychev borne les queues par $V(X_1)/(n\varepsilon^2)$ ; le problème du week-end montre qu’elles sont en fait exponentiellement petites.*

**Remarque 22.29 (Perspectives au sein de ce volume).**

En aval, tout ce qui précède alimente le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/23-fonctions-generatrices-des-probabilites#ch-b2-genfun) : l’[espérance](#def-b2-randomvar-expectation) $\E(t^X)$ d’une fonction astucieuse de $X$ condense la [loi](#def-b2-randomvar-law) entière en une série entière, les moments deviennent des dérivées en $1$, et des identités de type Wald pour les sommes aléatoires portent la théorie des processus de branchement ; le théorème du produit pour les variables indépendantes devient la multiplicativité des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci). En amont, l’[espérance](#def-b2-randomvar-expectation) est un [barycentre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-barycenter) à poids de probabilité ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#ch-b2-affine)), l’inégalité de Jensen est la géométrie de la droite d’appui des fonctions [convexes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#ch-b2-realfun)), et la méthode des moments exponentiels du problème du week-end de ce chapitre est Markov appliquée à $\eu^{tX}$ — une inégalité, améliorée par un bon changement de variable, couvrant trois chapitres.

## 22.5 Exercices

**Exercice 22.1 ★.**

Calculer $\E(X)$ et $V(X)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (via des indicatrices), $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ (montrer $V(X) =
\lambda$), et $X \sim \mathcal{G}(p)$ (montrer $V(X) =
\frac{1-p}{p^2}$ ; utiliser $\E(X(X-1))$ et la dérivée seconde de la série géométrique).

**Solution de Exercice 22.1.**

*Binomiale :* $X = \sum_{i=1}^n X_i$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes ; $V(X_i) = \E(X_i^2) - \E(X_i)^2 = p - p^2$, et les [variances](#def-b2-randomvar-variance) de variables indépendantes s’ajoutent ([Théorème 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules)) :

$$
\E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p) .
$$

*Poisson :* $\E\bigl(X(X-1)\bigr) =
\sum_{k\geq2}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda^2
e^{-\lambda}\sum_{j\geq0}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda^2$, donc

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2
= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda .
$$

*Géométrique* ($q = 1 - p$) : en dérivant deux fois $\sum_{k\geq0}q^k = \frac{1}{1-q}$ à l’intérieur du disque ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries)), $\sum_{k\geq2}k(k-1)q^{k-2} =
\frac{2}{(1-q)^3}$, donc

$$
\E\bigl(X(X-1)\bigr) = pq\sum_{k\geq2}k(k-1)q^{k-2}
= \frac{2q}{p^2},
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} = \frac{1-p}{p^2} .
$$

**Exercice 22.2 ★.**

Soient $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ indépendantes. Montrer que $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ (convolution des poids ; formule du binôme), et que la [loi](#def-b2-randomvar-law) conditionnelle de $X$ sachant $X + Y = n$ est binomiale $\mathcal{B}\bigl(n, \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\bigr)$.

**Solution de Exercice 22.2.**

*Somme :* pour $n \in \N$, par disjonction et indépendance,

$$
\P(X + Y = n)
= \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)
= e^{-(\lambda + \mu)}\frac{1}{n!}
\sum_{k=0}^n \binom nk \lambda^k\mu^{n-k}
= e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda + \mu)^n}{n!}
$$

par la formule du binôme : $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$. *[Loi](#def-b2-randomvar-law) conditionnelle :* pour $0 \leq k \leq n$,

$$
\P(X = k \mid X + Y = n)
= \frac{\P(X = k)\P(Y = n - k)}{\P(X + Y = n)}
= \binom nk
\Bigl(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\Bigr)^{k}
\Bigl(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\Bigr)^{n-k} ,
$$

la [loi](#def-b2-randomvar-law) binomiale $\mathcal{B}\bigl(n,
\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\bigr)$ : étant donné le comptage total, chaque [événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) « choisit » indépendamment la première source avec probabilité proportionnelle à son taux.

**Exercice 22.3 ★.**

(Collectionneur de vignettes, [espérance](#def-b2-randomvar-expectation)) Une marque de céréales cache l’un de $n$ jouets distincts, [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def), dans chaque boîte. Soit $T_n$ le nombre de boîtes nécessaires pour collectionner les $n$ jouets. En écrivant $T_n$ comme une somme de variables géométriques indépendantes (temps pour voir un *nouveau* jouet quand $k$ manquent encore), montrer

$$
\E(T_n) = n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sim n\ln n
$$

(équivalent par la comparaison série–intégrale du [Chapitre 6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ch-b2-comparison)).

**Solution de Exercice 22.3.**

Lorsque $k$ jouets manquent encore, chaque nouvelle boîte apporte un nouveau jouet avec probabilité $\frac kn$, indépendamment du passé : le temps d’attente $W_k$ du prochain nouveau jouet est géométrique $\mathcal{G}\bigl(\frac kn\bigr)$, avec $\E(W_k) = \frac nk$, et $T_n = W_n + W_{n-1} + \dots + W_1$ (la première boîte donne toujours un nouveau jouet : $W_n = 1$, cohérent avec $\E = n/n$). Par linéarité,

$$
\E(T_n) = \sum_{k=1}^n \frac nk = n\sum_{k=1}^n\frac1k
\sim n\ln n ,
$$

en utilisant $\sum_{k\leq n}\frac1k = \ln n + \gamma + o(1)$ ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ch-b2-comparison)). Collectionner les derniers jouets est ce qui coûte : la moitié des boîtes va à la dernière poignée.

**Exercice 22.4 ★★.**

Soit $X \geq 0$ à valeurs entières. Démontrer la *formule des queues*

$$
\E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} \P(X \geq n)
$$

(lorsque l’un des deux membres est fini), en écrivant $X =
\sum_{n\geq1}\mathbf{1}_{X \geq n}$ et en échangeant les sommations (Fubini pour les familles positives). Retrouver $\E(X) = \frac1p$ pour la [loi](#def-b2-randomvar-law) géométrique.

**Solution de Exercice 22.4.**

Ponctuellement, $X(\omega) = \#\{n \geq 1 : X(\omega) \geq n\} =
\sum_{n\geq1}\mathbf{1}_{X \geq n}(\omega)$. La famille double $\bigl(\mathbf{1}_{X \geq n}(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{n,
\omega}$ est positive, donc Fubini pour les familles ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)) s’applique inconditionnellement : en sommant d’abord en $n$ on obtient $\E(X)$, en sommant d’abord en $\omega$ on obtient $\sum_n \P(X
\geq n)$ ; les deux sont simultanément finies et égales. Pour $X \sim
\mathcal{G}(p)$ : $\P(X \geq n) = q^{n-1}$ ($q = 1-p$), donc $\E(X) =
\sum_{n\geq1}q^{n-1} = \frac{1}{1 - q} = \frac1p$.

**Exercice 22.5 ★★.**

(L’échantillonnage sans remise est plus concentré) Une urne contient $N$ boules, dont $M$ blanches. On tire $n \leq N$ boules sans remise et soit $X$ le nombre de blanches ([loi](#def-b2-randomvar-law) *hypergéométrique*). En utilisant les indicatrices $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ avec $Y_i$ le $i$-ème tirage : montrer que chaque $Y_i$ est de Bernoulli de paramètre $p = M/N$ (symétrie !), en déduire $\E(X) = np$ exactement comme avec remise, et montrer $\operatorname{Cov}(Y_i, Y_j) = -\frac{p(1-p)}{N-1} < 0$ pour $i
\neq j$, d’où $V(X) = np(1-p)\frac{N - n}{N - 1} \leq np(1-p)$.

**Solution de Exercice 22.5.**

*Symétrie :* la $i$-ème boule tirée est une boule [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) aléatoire de l’urne (chacune des $N$ boules a la même probabilité d’atterrir en position $i$ de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de tirage), donc $\P(Y_i = 1) = \frac MN =
p$ et $\E(X) = np$ par linéarité — aucune indépendance nécessaire.

*[Covariance](#def-b2-randomvar-variance) :* pour $i \neq j$, $\E(Y_iY_j) = \P(\text{les tirages }
i, j \text{ sont tous deux blancs}) = \frac{M(M-1)}{N(N-1)}$ (les couples ordonnés de positions distinctes reçoivent un couple ordonné de boules distinctes, [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def)). Donc

$$
\operatorname{Cov}(Y_i, Y_j)
= \frac{M(M-1)}{N(N-1)} - \frac{M^2}{N^2}
= \frac{M(N - M)}{N^2}\cdot\frac{-1}{N-1}
= -\frac{p(1-p)}{N-1} < 0 :
$$

tirer une boule blanche raréfie les blanches pour les autres tirages. Par le [Théorème 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules),

$$
V(X) = np(1-p) + n(n-1)\Bigl(-\frac{p(1-p)}{N-1}\Bigr)
= np(1-p)\,\frac{N - n}{N - 1} \leq np(1-p) :
$$

l’échantillonnage sans remise a la même moyenne mais une [variance](#def-b2-randomvar-variance) *plus petite* qu’avec remise (égalité seulement pour $n = 1$), les corrélations négatives agissant comme un stabilisateur. Pour $n = N$ la [variance](#def-b2-randomvar-variance) s’annule : le comptage est alors déterministe.

**Exercice 22.6 ★★.**

Soit $X$ admettant un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux. Montrer que $c \mapsto \E\bigl((X -
c)^2\bigr)$ est minimale exactement en $c = \E(X)$, de minimum $V(X)$. Puis montrer que $\P(X = \E(X)) = 1$ si et seulement si $V(X) =
0$. *(Pour le second point : si $V(X) = 0$, utiliser Tchebychev avec $\varepsilon = 1/n$ et la continuité monotone, [Théorème 21.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-continuity).)*

**Solution de Exercice 22.6.**

En développant autour de $m = \E(X)$ :

$$
\E\bigl((X - c)^2\bigr)
= \E\bigl((X - m)^2\bigr) + 2(m - c)\,\E(X - m) + (m - c)^2
= V(X) + (m - c)^2 ,
$$

minimale exactement en $c = m$ de valeur $V(X)$ — l’[espérance](#def-b2-randomvar-expectation) est le meilleur prédicteur constant en moyenne quadratique.

Si $\P(X = m) = 1$ alors $(X - m)^2$ s’annule avec probabilité $1$, donc $V(X) = 0$ (la famille définissante a des termes nuls sauf sur un ensemble négligeable). Réciproquement, si $V(X) = 0$, Tchebychev ([Théorème 22.15](#thm-b2-randomvar-markov)) donne $\P\bigl(\abs{X - m} \geq
\frac1n\bigr) \leq n^2\,V(X) = 0$ pour tout $n$ ; les [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\bigl\{\abs{X - m} \geq \frac1n\bigr\}$ croissent vers $\{X \neq
m\}$, donc la continuité monotone ([Théorème 21.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-continuity)) donne $\P(X \neq m) = 0$.

**Exercice 22.7 ★★★.**

(La concentration bat Markov) Soit $S_n \sim \mathcal{B}(n,
\frac12)$ (nombre de piles en $n$ lancers équilibrés). Comparer les bornes données par Markov ($\P(S_n \geq \frac{3n}{4})$), par Tchebychev, et par la méthode exponentielle (Chernoff) :

$$
\P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr)
\leq \E\bigl(e^{tS_n}\bigr)e^{-3nt/4}
= \Bigl(\frac{1 + e^t}{2}\Bigr)^n e^{-3nt/4}
\quad (t > 0),
$$

et optimiser $t$ pour obtenir une borne exponentiellement petite. *(En $t = \ln 3$ : borne $\bigl(2\cdot 3^{-3/4}\bigr)^n \approx
(0.877)^n$.)*

**Solution de Exercice 22.7.**

$\E(S_n) = \frac n2$ et $V(S_n) = \frac n4$. *Markov :* $\P\bigl(S_n \geq \frac{3n}4\bigr) \leq
\frac{n/2}{3n/4} = \frac23$ — une borne constante, inutile pour $n$ grand. *Tchebychev :* l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) implique $\abs{S_n - \frac n2} \geq
\frac n4$, donc la probabilité est $\leq \frac{n/4}{(n/4)^2} =
\frac4n$ — décroît, mais seulement polynomialement. *Chernoff :* par indépendance, $\E(e^{tS_n}) =
\prod_{i=1}^n\E(e^{tX_i}) = \bigl(\frac{1 + e^t}{2}\bigr)^n$, et Markov appliquée à $e^{tS_n} \geq e^{3nt/4}$ donne, pour tout $t >
0$,

$$
\P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr)
\leq \Bigl(\frac{1 + e^t}{2}\Bigr)^n e^{-3nt/4}
= \exp\Bigl(n\bigl(\ln\tfrac{1 + e^t}{2} - \tfrac{3t}4\bigr)\Bigr).
$$

Minimisons l’exposant : $\frac{\dd}{\dd t}\ln\frac{1+e^t}{2} =
\frac{e^t}{1 + e^t} = \frac34$ en $e^t = 3$, c’est-à-dire $t = \ln 3$, donnant

$$
\P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr)
\leq \Bigl(\frac{4}{2}\Bigr)^n 3^{-3n/4}
= \bigl(2 \cdot 3^{-3/4}\bigr)^n \approx (0.877)^n ,
$$

exponentiellement petite. La hiérarchie Markov $\to$ Tchebychev $\to$ Chernoff est l’échelle standard : chaque barreau applique Markov à une fonction de la variable à croissance plus rapide.

**Exercice 22.8 ★★★.**

(Weierstrass à nouveau, de façon probabiliste) Soit $f \colon [0,1] \to \R$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) et $S_n \sim \mathcal{B}(n, x)$. Montrer que le polynôme de Bernstein $B_nf(x) = \sum_{k=0}^n f\bigl(\frac
kn\bigr)\binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ vaut $\E\bigl[f\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr)\bigr]$, et redémontrer l’estimation $\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \omega_f(\delta) +
\frac{2\norm f_\infty}{4n\delta^2}$ du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq) dans ce langage probabiliste (découper selon $\bigl|\frac{S_n}{n} -
x\bigr| \geq \delta$ et utiliser Tchebychev).

**Solution de Exercice 22.8.**

Par le théorème de transfert ([Théorème 22.7](#thm-b2-randomvar-transfer)) appliqué à $f\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr)$ avec $S_n \sim
\mathcal{B}(n, x)$ :

$$
\E\Bigl[f\Bigl(\frac{S_n}{n}\Bigr)\Bigr]
= \sum_{k=0}^n f\Bigl(\frac kn\Bigr)\binom nk x^k(1-x)^{n-k}
= B_nf(x) .
$$

Fixons $\delta > 0$ et découpons $\abs{f(S_n/n) - f(x)}$ selon l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $D
= \bigl\{\abs{\frac{S_n}{n} - x} \geq \delta\bigr\}$ : en dehors de $D$, la différence est au plus le module de continuité $\omega_f(\delta) = \sup_{\abs{s - t}\leq\delta}\abs{f(s) -
f(t)}$ ; sur $D$, au plus $2\norm f_\infty$. En prenant les [espérances](#def-b2-randomvar-expectation) et en utilisant Tchebychev avec $V\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr) =
\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ :

$$
\abs{B_nf(x) - f(x)}
\leq \E\,\abs{f(S_n/n) - f(x)}
\leq \omega_f(\delta)
+ 2\norm f_\infty\,\P(D)
\leq \omega_f(\delta) + \frac{2\norm f_\infty}{4n\delta^2} .
$$

La continuité uniforme de $f$ sur $[0, 1]$ rend $\omega_f(\delta) \to
0$ : choisir $\delta$ puis $n$, et $B_nf \to f$ [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) — le théorème d’approximation de Weierstrass du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq), dont le « lemme de comptage » est désormais reconnaissable comme l’inégalité de Tchebychev pour la [loi](#def-b2-randomvar-law) binomiale.

**Exercice 22.9 ★★★.**

([Loi](#def-b2-randomvar-law) forte sous moments d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre) Soit $(X_k)$ indépendantes, identiquement distribuées, centrées ($\E X_1 = 0$), avec $\E(X_1^4) < \infty$. En développant $\E(S_n^4)$ et en dénombrant les termes survivants (seuls les termes $\E(X_i^4)$ et $\E(X_i^2X_j^2)$, $i
\neq j$), montrer $\E(S_n^4) \leq C n^2$ pour une constante $C$. En déduire $\sum_n \P\bigl(\abs{S_n/n} \geq \varepsilon\bigr) < \infty$ pour tout $\varepsilon > 0$ (Markov à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) 4) et conclure avec Borel–Cantelli ([Théorème 21.25](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-borelcantelli)) que $S_n/n \to 0$ presque sûrement selon une formulation adéquate : l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\bigcap_{j}\bigcup_N\bigcap_{n \geq N}\{\abs{S_n/n} <
\frac1j\}$ a pour probabilité $1$.

**Solution de Exercice 22.9.**

Développons $S_n^4 = \sum_{i,j,k,l}X_iX_jX_kX_l$ et prenons les [espérances](#def-b2-randomvar-expectation). Par indépendance et centrage, tout terme contenant un indice apparaissant exactement une fois s’annule ($\E(X_i) = 0$ se factorise). Termes survivants : les $n$ termes diagonaux $\E(X_i^4)$, et les termes appariant deux paires d’indices égaux, $\E(X_i^2X_j^2) =
\E(X_1^2)^2$ pour $i \neq j$, apparaissant $3n(n-1)$ fois : choisir la paire non ordonnée de valeurs ($\binom n2$ façons), puis les $\frac{4!}{2!\,2!} = 6$ façons de les placer dans les quatre emplacements — $6\binom n2 = 3n(n-1)$. Donc, avec $\E(X_1^2)^2
\leq \E(X_1^4)$ (Jensen ou Cauchy–Schwarz),

$$
\E(S_n^4) = n\,\E(X_1^4) + 3n(n-1)\,\E(X_1^2)^2
\leq C n^2,
\qquad C = 4\,\E(X_1^4) .
$$

Markov à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) 4 :

$$
\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}{n}\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr)
= \P\bigl(S_n^4 \geq n^4\varepsilon^4\bigr)
\leq \frac{Cn^2}{n^4\varepsilon^4}
= \frac{C}{n^2\varepsilon^4} ,
$$

une série [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable). Par Borel–Cantelli 1 ([Théorème 21.25](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-borelcantelli)), pour chaque $j$ l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $B_j = \limsup_n\bigl\{\abs{S_n/n} \geq \frac1j\bigr\}$ a pour probabilité $0$, donc $\P\bigl(\bigcup_j B_j\bigr) = 0$ par sous-additivité [dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable). Sur le complémentaire — de probabilité $1$ — pour tout $j$ il existe $N$ tel que $\abs{S_n/n} < \frac1j$ pour tout $n \geq N$ : précisément $S_n/n \to 0$. La [loi](#def-b2-randomvar-law) forte des grands nombres est vraie sous un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre ; en retirer cette hypothèse (théorème de Kolmogorov) relève de la troisième année.

**Exercice 22.10 ★.**

On lance deux dés équilibrés ; soit $M$ le plus grand des deux résultats. En utilisant la formule des queues de l’[Exercice 22.4](#exo-b2-randomvar-4) (version finie), montrer

$$
\E(M) = \sum_{k=1}^{6}\P(M \geq k)
= 6 - \sum_{j=0}^5\Bigl(\frac j6\Bigr)^2 = \frac{161}{36}
\approx 4.47 .
$$

**Solution de Exercice 22.10.**

$\P(M \leq k) = \bigl(\frac k6\bigr)^2$ (les deux dés valent au plus $k$, indépendamment), donc $\P(M \geq k) = 1 -
\bigl(\frac{k-1}6\bigr)^2$ et

$$
\E(M) = \sum_{k=1}^6\P(M \geq k)
= 6 - \frac{0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25}{36}
= 6 - \frac{55}{36} = \frac{161}{36} \approx 4.47 ,
$$

confortablement au-dessus de la moyenne $3.5$ d’un seul dé, comme un maximum se doit de l’être.

**Exercice 22.11 ★★.**

Soit $F_n$ le nombre de points fixes d’une permutation [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) aléatoire de $\{1, \dots, n\}$ ($n \geq 2$). En écrivant $F_n =
\sum_i\mathbf 1_{\sigma(i) = i}$, calculer $\E(F_n) = 1$, $\operatorname{Cov}(\mathbf 1_{\sigma(i)=i}, \mathbf
1_{\sigma(j)=j}) = \frac1{n^2(n-1)}$ pour $i \neq j$, et conclure $V(F_n) = 1$ : en moyenne une lettre est fixée, avec une [variance](#def-b2-randomvar-variance) exactement égale à $1$, quel que soit $n$.

**Solution de Exercice 22.11.**

Avec $I_i = \mathbf 1_{\sigma(i) = i}$ : $\P(\sigma(i) = i) =
\frac{(n-1)!}{n!} = \frac1n$, donc $\E(F_n) = n\cdot\frac1n =
1$. Pour $i \neq j$ : $\P(\sigma(i) = i, \sigma(j) = j) =
\frac{(n-2)!}{n!} = \frac1{n(n-1)}$, d’où

$$
\operatorname{Cov}(I_i, I_j) = \frac1{n(n-1)} - \frac1{n^2}
= \frac{1}{n^2(n-1)} .
$$

Par la boîte à outils de la [variance](#def-b2-randomvar-variance) ([Théorème 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules)),

$$
V(F_n) = n\cdot\frac1n\Bigl(1 - \frac1n\Bigr)
+ n(n-1)\cdot\frac1{n^2(n-1)}
= 1 - \frac1n + \frac1n = 1 .
$$

Moyenne $1$, [variance](#def-b2-randomvar-variance) $1$, indépendantes de $n$ — cohérent avec la limite de Poisson du problème des rencontres ([Exercice 21.5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#exo-b2-proba-5)).

**Exercice 22.12 ★★★.**

(Collectionneur de vignettes, concentration) Dans le cadre de l’[Exercice 22.3](#exo-b2-randomvar-3), montrer

$$
V(T_n) = \sum_{k=1}^n\frac{1 - k/n}{(k/n)^2}
\leq n^2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} \leq \frac{\pi^2}{6}n^2,
$$

en utilisant l’indépendance des étapes géométriques et $V(\mathcal
G(p)) = \frac{1-p}{p^2}$ ([Exercice 22.1](#exo-b2-randomvar-1) ; la valeur $\pi^2/6$ est l’[Exemple 14.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel)). En déduire avec Tchebychev que $\dfrac{T_n}{n\ln n} \to 1$ *en probabilité* : le temps total du collectionneur est $n\ln n$ à des fluctuations d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $n$ près.

**Solution de Exercice 22.12.**

$T_n = \sum_{k=1}^nG_k$ où $G_k \sim \mathcal G(k/n)$ est le temps pour voir un nouveau jouet quand $k$ manquent, les étapes étant indépendantes. Donc

$$
V(T_n) = \sum_{k=1}^n\frac{1 - k/n}{(k/n)^2}
\leq \sum_{k=1}^n\frac{n^2}{k^2}
\leq \frac{\pi^2}6\,n^2 ,
$$

par l’[Exemple 14.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel). Avec $\E(T_n) = nH_n$, $H_n =
\sum_1^n\frac1k$ ([Exercice 22.3](#exo-b2-randomvar-3)), Tchebychev donne, pour $\varepsilon > 0$,

$$
\P\bigl(\abs{T_n - nH_n} \geq \varepsilon\,n\ln n\bigr)
\leq \frac{\pi^2n^2/6}{\varepsilon^2n^2\ln^2 n}
= \frac{\pi^2}{6\,\varepsilon^2\ln^2n}
\xrightarrow[n\to\infty]{} 0 .
$$

Puisque $H_n \sim \ln n$, diviser par $n\ln n$ montre que $T_n/(n\ln n) \to 1$ en probabilité : les fluctuations de $T_n$ sont d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $n$, négligeables devant la moyenne $n\ln n$.

## 22.6 Problème : la boîte à outils de la concentration, de Markov à Hoeffding

**Problème 22.1.**

Problème du week-end — la concentration exponentielle à la main, et combien de personnes un sondage doit interroger

L’inégalité de Markov coûte un moment et achète une décroissance en $1/a$ ; Tchebychev coûte deux moments et achète $1/\varepsilon^2$ — et l’[Exemple 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp) montre que c’est tout ce que ces moments peuvent acheter. Ce problème gravit le reste de l’échelle : la méthode exponentielle (Chernoff) avec son taux *exact* pour les lancers de pièce, l’inégalité de Hoeffding pour toutes les variables bornées, et le gain — des tailles d’échantillon explicites et honnêtes pour les sondages, les annonces d’élections et les tests de pièce. Tout au long, $S_n \sim
\mathcal B(n, p)$ est une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes et $\widehat p_n = S_n/n$ la fréquence empirique.

**Partie I — Calibrage sur la pièce équilibrée.** Ici $p = \frac12$ et $a \in \intoo{\frac12}{1}$.

1. Markov au niveau $an$ : montrer $\P(S_n \geq an) \leq  \frac1{2a}$ , une borne qui ne tend même pas vers $0$ . Où Markov perd-il autant ?
2. Tchebychev : en utilisant la symétrie de la binomiale équilibrée autour de $n/2$, montrer $$\P(S_n \geq an) = \tfrac12\,  \P\bigl(\abs{S_n - \tfrac n2} \geq n(a -  \tfrac12)\bigr)  \leq \frac{1}{8n(a - 1/2)^2},$$ c’est-à-dire $\frac2n$ en $a = \frac34$ : une décroissance polynomiale enfin.
3. (Chernoff, niveau général) Calculer $\E(\eu^{tS_n}) = \bigl(\frac{1 + \eu^t}2\bigr)^n$ et optimiser $\P(S_n \geq an) \leq  \E(\eu^{tS_n})\eu^{-tan}$ sur $t > 0$ : montrer que le $t$ optimal est $\ln\frac{a}{1-a}$ et $$\P(S_n \geq an) \leq \eu^{-n\,I(a)},  \qquad  I(a) = \ln 2 + a\ln a + (1-a)\ln(1-a) > 0 .$$ Vérifier que $a = \frac34$ redonne la borne $\bigl(2\cdot3^{-3/4}\bigr)^n$ de l’[Exercice 22.7](#exo-b2-randomvar-7).
4. (L’exposant est exact) Soit $k = an$ un entier. À partir du fait que $\binom nk a^k(1-a)^{n-k}$ est le plus grand des $n + 1$ termes d’une [loi](#def-b2-randomvar-law) de probabilité, démontrer $\binom nk \geq  \frac{\eu^{nH(a)}}{n+1}$ avec $H(a) = -a\ln a -  (1-a)\ln(1-a)$, et en déduire la borne inférieure correspondante $$\P(S_n \geq an) \geq \binom{n}{an}2^{-n}  \geq \frac{\eu^{-n\,I(a)}}{n + 1} .$$
5. Tabuler les trois bornes en $n = 100$ , $a =  \frac34$ : Markov $\frac23$ , Tchebychev $0.02$ , Chernoff $\approx 2.1\cdot10^{-6}$ (la vraie valeur est $\approx 2.8\cdot10^{-7}$ ). Morale, en une phrase ?

**Partie II — L’inégalité de Hoeffding.**

6. (Cas de Rademacher) Pour $\varepsilon = \pm1$ avec probabilité $\frac12$ chacune, démontrer $$\E(\eu^{t\varepsilon}) = \cosh t \leq \eu^{t^2/2}  \qquad (t \in \R)$$ en comparant les deux séries terme à terme ($(2k)! \geq  2^kk!$).
7. En déduire, pour des variables de Rademacher indépendantes $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ et tout $s >  0$ : $$\P\Bigl(\sum_{i=1}^n\varepsilon_i \geq s\Bigr)  \leq \eu^{-s^2/(2n)} .$$
8. Traduire pour des pièces équilibrées ( $X_i =  \frac{1+\varepsilon_i}2$ ) : $\P\bigl(\widehat p_n -  \tfrac12 \geq \delta\bigr) \leq \eu^{-2n\delta^2}$ , et la version bilatérale avec un facteur $2$ .
9. (Lemme de Hoeffding) Soit $X \in \intcc01$ avec $\E X =  p$, et $\psi(t) = \ln\E(\eu^{tX})$. Justifier que $\psi$ est deux fois dérivable avec $$\psi''(t) = \E_t(X^2) - \E_t(X)^2, \qquad  \E_t(Y) := \frac{\E(Y\eu^{tX})}{\E(\eu^{tX})},$$ une *[variance](#def-b2-randomvar-variance)* d’une variable repondérée prenant toujours ses valeurs dans $\intcc01$ ; la borner par $\frac14$ (argument de minimalité de l’[Exercice 22.6](#exo-b2-randomvar-6)) et conclure par Taylor : $$\E\bigl(\eu^{t(X - p)}\bigr) \leq \eu^{t^2/8} .$$
10. (Inégalité de Hoeffding) Pour des $X_i \in  \intcc01$ indépendantes de moyenne commune $p$, en déduire $$\P\bigl(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta\bigr)  \leq 2\,\eu^{-2n\delta^2}  \qquad (\delta > 0).$$
11. Comparer le taux de Tchebychev $\frac{p(1-p)}{n\delta^2}$ avec celui de Hoeffding $2\eu^{-2n\delta^2}$ : quelle hypothèse chacun requiert-il, et à partir de quel $n$ (approximativement) la borne exponentielle l’emporte-t-elle en $\delta = 0.03$ , $p =  \frac12$ ?

**Partie III — Combien de personnes un sondage doit-il interroger ?** Un sondage interroge $n$ électeurs [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence), choisis [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) ; chacun répond honnêtement ; $p$ est le vrai score, $\widehat p_n$ le chiffre du sondage.

12. Montrer que le sondage est précis à $\pm\delta$ près avec confiance $1 - \alpha$ (c’est-à-dire $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq \alpha$) dès que $$n \;\geq\; \frac{\ln(2/\alpha)}{2\,\delta^2} .$$
13. Calculer le $n$ requis pour la spécification standard « trois points, quatre-vingt-quinze pour cent » ( $\delta  = 0.03$ , $\alpha = 0.05$ ) : $n \geq 2050$ ; et pour un point : $n \geq 18\,445$ . Observer — et expliquer — le fait frappant que la réponse ne fait pas intervenir la taille de la population.
14. Refaire la question 13 avec Tchebychev ( $V(X_1) = p(1-p)  \leq \frac14$ ) : $n \geq \frac1{4\alpha\delta^2} =  5556$ à trois points. Noter que l’échantillonnage *sans* remise ne fait qu’aider ( [Exercice 22.5](#exo-b2-randomvar-5) : la [variance](#def-b2-randomvar-variance) se réduit d’un facteur $\frac{N-n}{N-1}$ ).
15. (Annoncer une élection) Le vrai score d’un candidat est $p  = 0.52$ . Combien d’électeurs doit-on sonder pour que $\P(\widehat p_n \leq \tfrac12) \leq 0.01$ ? Montrer $n  \geq \frac{\ln 100}{2\cdot(0.02)^2} \approx 5757$ — annoncer une course serrée coûte bien plus que d’estimer un score.
16. Ce que les mathématiques ne couvrent *pas* : énumérer les hypothèses de modélisation utilisées (échantillonnage uniforme indépendant, réponses honnêtes, $p$ fixe), et expliquer en un court paragraphe pourquoi les erreurs réelles de sondage sont dominées par le *biais* (échantillonnage non uniforme, non-réponse), qu’aucune augmentation de $n$ ne réduit.

**Partie IV — Plus fin et moins cher.**

17. (Médiane des moyennes : décroissance exponentielle à partir de deux moments) Répartir un budget de $km$ échantillons en $k$ groupes [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) de $m$ ; soient $\widehat p^{(1)}, \dots, \widehat  p^{(k)}$ les moyennes de groupe et $M$ leur médiane. Choisir $m$ pour que chaque groupe satisfasse $\P(\abs{\widehat p^{(i)} - p} \geq \delta) \leq  \frac18$ (Tchebychev : $m \geq \frac2{\delta^2}$ suffit). Montrer que si $\abs{M - p} \geq \delta$ alors au moins $k/2$ groupes se trompent, et en déduire $$\P(\abs{M - p} \geq \delta)  \leq \binom{k}{\lceil k/2\rceil}\Bigl(\frac18  \Bigr)^{k/2}  \leq 2^k\cdot 8^{-k/2} = 2^{-k/2} :$$ une concentration exponentielle n’utilisant rien de plus que des [variances](#def-b2-randomvar-variance).
18. (Paley–Zygmund) Pour $X \geq 0$ admettant un moment d’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux, démontrer $\P(X > 0) \geq \dfrac{\E(X)^2}{\E(X^2)}$ *(Cauchy–Schwarz sur $X\mathbf 1_{X>0}$)* : l’outil de sens inverse — les moments peuvent aussi forcer des [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) à se produire.
19. (Pinsker allégée) Montrer $I(a) \geq 2\bigl(a -  \tfrac12\bigr)^2$ sur $\intoo{\frac12}1$ *(la différence s’annule à l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux en $\frac12$ et sa dérivée seconde est $\frac1{a(1-a)} - 4 \geq  0$)* : l’exposant exact de Chernoff bat toujours celui, quadratique, de Hoeffding.
20. Développer $I\bigl(\tfrac12 + \delta\bigr) = 2\delta^2 +  O(\delta^4)$ et combiner avec la question 4 : pour de petites déviations l’exposant de Hoeffding $2n\delta^2$ est asymptotiquement *exact* — aucune méthode ne peut le battre de plus que des facteurs polynomiaux.
21. Dresser le tableau de la boîte à outils : pour Markov, Tchebychev, la borne d’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre de l’ [Exercice 22.9](#exo-b2-randomvar-9) , Hoeffding, et Chernoff avec exposant $I$ , énoncer en une ligne chacun : hypothèse requise, décroissance obtenue, et la question de ce problème où elle a été la plus fine.

**Partie V — Dividendes.**

22. (Tester une pièce) Une pièce est soit équilibrée, soit biaisée avec $p = 0.55$ . On la lance $n$ fois et on déclare « biaisée » quand $\widehat p_n > 0.525$ . Montrer que les deux probabilités d’erreur sont au plus $\eu^{-2n(0.025)^2}$ , et que $n \geq 3685$ lancers garantissent qu’elles sont toutes deux sous $1\%$ .
23. (Les [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares ont besoin d’une borne consciente de la [variance](#def-b2-randomvar-variance) ) Soit $p =  0.01$ et prenons la spécification relative $\delta =  p/2 = 0.005$ , $\alpha = 0.05$ . Comparer les tailles d’échantillon exigées par Hoeffding ( $n \approx 74\,000$ ) et par Tchebychev avec la vraie [variance](#def-b2-randomvar-variance) $p(1-p)$ ( $n  \approx 7920$ ) : la borne exponentielle aveugle à la [variance](#def-b2-randomvar-variance) perd face au humble moment d’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux. Énoncer la morale, et d’où viendra l’outil manquant (une borne exponentielle consciente de la [variance](#def-b2-randomvar-variance) ; l’approximation de Poisson du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/23-fonctions-generatrices-des-probabilites#ch-b2-genfun) ).
24. ( [Loi](#def-b2-randomvar-law) forte pour les pièces) À partir de $\sum_n  2\eu^{-2n\delta^2} < \infty$ et de Borel–Cantelli ( [Théorème 21.25](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-borelcantelli) ), démontrer que $\widehat p_n \to p$ presque sûrement pour des lancers de pièce [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) : formuler l’ [événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) presque sûr comme $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}  \{\abs{\widehat p_n - p} < \tfrac1j\}$ comme à l’ [Exercice 22.9](#exo-b2-randomvar-9) , et conclure. (Le caractère borné remplace le moment d’ [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre utilisé là-bas.)
25. Synthèse. En cinq phrases : ce que chaque barreau de l’échelle (moments un, deux, quatre ; exponentielle bornée ; exposant exact) coûte et achète ; pourquoi sonder $2050$ personnes suffit pour un pays de n’importe quelle taille ; et laquelle de ces bornes le volume de troisième année affinera en les constantes [exactes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#def-b2-multint-exact) du théorème central limite.

**Solution de Problème 22.1.**

**1.** $\E(S_n) = \frac n2$ et Markov ([Théorème 22.15](#thm-b2-randomvar-markov)) donnent $\P(S_n \geq an) \leq
\frac{n/2}{an} = \frac1{2a}$. Markov ne connaît que la moyenne : il ne peut distinguer une variable concentrée en $n/2$ d’une variable étalée entre $0$ et $n$, de sorte qu’il tarife la queue comme si toute la masse pouvait s’y trouver.

**2.** La binomiale équilibrée est [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) autour de $n/2$ ($S_n$ et $n - S_n$ ont la même [loi](#def-b2-randomvar-law)), donc avec $x = n(a -
\frac12) > 0$ les deux [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\{S_n - \frac n2 \geq x\}$ et $\{S_n - \frac n2 \leq -x\}$ sont disjoints et équiprobables : $\P(S_n \geq an) = \frac12\P(\abs{S_n - \frac n2} \geq x)$. Tchebychev avec $V(S_n) = \frac n4$ :

$$
\P(S_n \geq an)
\leq \frac12\cdot\frac{n/4}{n^2(a - 1/2)^2}
= \frac1{8n(a - 1/2)^2},
$$

soit $\frac2n$ en $a = \frac34$.

**3.** Par indépendance et le théorème du produit, $\E(\eu^{tS_n}) = \bigl(\E \eu^{tX_1}\bigr)^n = \bigl(\frac{1
+ \eu^t}2\bigr)^n$. Markov appliquée à $\eu^{tS_n}$ :

$$
\P(S_n \geq an) \leq \eu^{-tan}\Bigl(\frac{1 +
\eu^t}2\Bigr)^{\!n} = \exp\Bigl(n\bigl(\ln\tfrac{1 +
\eu^t}2 - ta\bigr)\Bigr).
$$

La dérivée de l’exposant en $t$ est $\frac{\eu^t}{1 + \eu^t}
- a$, s’annulant en $\eu^t = \frac a{1-a}$, c’est-à-dire $t^* =
\ln\frac a{1-a} > 0$ ; là $\frac{1 + \eu^{t^*}}2 =
\frac1{2(1-a)}$ et l’exposant vaut

$$
n\Bigl(-\ln 2 - \ln(1-a) - a\ln\frac a{1-a}\Bigr)
= -n\bigl(\ln2 + a\ln a + (1-a)\ln(1-a)\bigr) = -n\,I(a),
$$

avec $I(\frac12) = 0$ et $I'(a) = \ln\frac a{1-a} > 0$ sur $\intoo{\frac12}1$ : $I(a) > 0$. En $a = \frac34$ : $\eu^{-I(3/4)} = \frac12(\tfrac34)^{-3/4}(\tfrac14)^{-1/4} =
2\cdot3^{-3/4}$, la borne de l’[Exercice 22.7](#exo-b2-randomvar-7).

**4.** Les $n + 1$ nombres $\binom nja^j(1-a)^{n-j}$ somment à $1$, et le plus grand est celui en $j = k = an$ (le mode de $\mathcal B(n, a)$ est $\floor{(n+1)a} = k$ ici). Un maximum de $n + 1$ nombres sommant à $1$ vaut au moins $\frac1{n+1}$ :

$$
\binom nk a^k(1-a)^{n-k} \geq \frac1{n+1}
\quad\Longrightarrow\quad
\binom nk \geq \frac{a^{-an}(1-a)^{-n(1-a)}}{n+1}
= \frac{\eu^{nH(a)}}{n+1}.
$$

Donc $\P(S_n \geq an) \geq \binom{n}{an}2^{-n} \geq
\eu^{n(H(a) - \ln2)}/(n+1) = \eu^{-nI(a)}/(n+1)$ : à un facteur polynomial $n + 1$ près, l’exposant de Chernoff est la vérité.

**5.** $n = 100$, $a = \frac34$ : Markov $\frac23$ ; Tchebychev $\frac2{100} = 0.02$ ; Chernoff $(2\cdot3^{-3/4})^{100} = \eu^{-100\,I(3/4)} \approx
2.1\cdot10^{-6}$, contre l’exact $2.8\cdot10^{-7}$. Morale : chaque moment d’information divise la borne polynomialement ; le moment exponentiel change sa *nature*.

**6.** $\cosh t = \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{(2k)!}$ et $\eu^{t^2/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{2^kk!}$ ; la propriété résulte terme à terme de $(2k)! \geq 2^kk!$, qui est vraie par récurrence : $(2k)! = 2k(2k-1)\cdot(2k-2)! \geq 2k\cdot
2^{k-1}(k-1)! = 2^kk!\cdot(2k-1) \geq 2^kk!$.

**7.** Par indépendance, $\E\bigl(\eu^{t\sum\varepsilon_i}
\bigr) = (\cosh t)^n \leq \eu^{nt^2/2}$, donc Markov donne $\P(\sum\varepsilon_i \geq s) \leq \eu^{nt^2/2 - ts}$ ; en minimisant en $t = s/n$ on obtient $\eu^{-s^2/(2n)}$.

**8.** Avec $X_i = \frac{1 + \varepsilon_i}2$, $\widehat
p_n - \frac12 = \frac1{2n}\sum\varepsilon_i$, donc $\{\widehat p_n - \frac12 \geq \delta\} =
\{\sum\varepsilon_i \geq 2n\delta\}$ et la question 7 donne la borne $\eu^{-(2n\delta)^2/(2n)} = \eu^{-2n\delta^2}$. L’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) a la même borne, d’où le facteur $2$ pour $\abs{\widehat p_n - \frac12} \geq \delta$.

**9.** $\E(\eu^{tX}) = \sum_x\eu^{tx}\P(X = x)$ est une série de fonctions lisses de $t$ dont les dérivées terme à terme sont dominées, sur tout intervalle [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) en $t$, par $\eu^{\abs t}\P(X = x)$ (car $0 \leq x \leq 1$) : par le théorème de dérivation pour les séries [normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) convergentes ([Théorème 10.7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#thm-b2-funcseq-differentiation)) elle est deux fois dérivable, et la règle du quotient donne $\psi' = \E_t(X)$ et $\psi'' = \E_t(X^2) - \E_t(X)^2$, où $\E_t$ est l’[espérance](#def-b2-randomvar-expectation) pour les poids repondérés $\eu^{tx}\P(X{=}x)/\E(\eu^{tX})$ — positifs, sommant à $1$, portés par les mêmes valeurs $x \in \intcc01$. Une [variance](#def-b2-randomvar-variance) d’une variable à valeurs dans $\intcc01$ est au plus $\frac14$ : par l’[Exercice 22.6](#exo-b2-randomvar-6), elle vaut $\min_c\E_t((X - c)^2) \leq
\E_t\bigl((X - \tfrac12)^2\bigr) \leq \tfrac14$. Taylor avec reste intégral, en utilisant $\psi(0) = 0$, $\psi'(0) = p$ :

$$
\psi(t) = tp + \int_0^t(t - s)\,\psi''(s)\,\dd s
\leq tp + \frac{t^2}2\cdot\frac14,
$$

c’est-à-dire $\E(\eu^{t(X - p)}) \leq \eu^{t^2/8}$ pour tout $t$ réel.

**10.** Par indépendance, $\E\bigl(\eu^{t(S_n -
np)}\bigr) \leq \eu^{nt^2/8}$ ; Markov et l’optimisation $t
= 4\delta$ donnent

$$
\P(\widehat p_n - p \geq \delta)
\leq \eu^{nt^2/8 - tn\delta}\Big|_{t = 4\delta}
= \eu^{-2n\delta^2};
$$

en appliquant ceci aux variables $1 - X_i$ (également dans $\intcc01$) on borne l’autre queue, d’où le $2\eu^{-2n\delta^2}$ bilatéral.

**11.** Tchebychev ne requiert qu’un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux et donne $\frac{p(1-p)}{n\delta^2}$ ; Hoeffding requiert le *caractère borné* et donne $2\eu^{-2n\delta^2}$. En $p =
\frac12$, $\delta = 0.03$ : les bornes sont $\frac{278}{n}$ (approximativement) contre $2\eu^{-0.0018n}$ ; elles se croisent vers $n \approx 1200$, après quoi la borne exponentielle l’emporte, et démesurément ($n = 5000$ : $0.056$ contre $2.5\cdot10^{-4}$).

**12.** Par Hoeffding (question 10), $\P(\abs{\widehat
p_n - p} \geq \delta) \leq 2\eu^{-2n\delta^2} \leq \alpha$ dès que $2n\delta^2 \geq \ln\frac2\alpha$, c’est-à-dire $n \geq
\frac{\ln(2/\alpha)}{2\delta^2}$.

**13.** $\delta = 0.03$, $\alpha = 0.05$ : $n \geq
\frac{\ln 40}{2\cdot0.0009} \approx 2049.4$ : $2050$ personnes. Pour $\delta = 0.01$ : $n \geq \frac{\ln40}{0.0002} \approx
18\,445$. La taille de la population n’apparaît jamais parce que chaque électeur échantillonné est modélisé comme un nouveau tirage Bernoulli$(p)$ : la difficulté du sondage est la [variance](#def-b2-randomvar-variance) d’une pièce, non la taille du pays. Diviser la marge par deux coûte quatre fois l’échantillon — la [loi](#def-b2-randomvar-law) en $1/\delta^2$.

**14.** Tchebychev : $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq
\delta) \leq \frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leq
\frac1{4n\delta^2} \leq \alpha$ pour $n \geq
\frac1{4\alpha\delta^2}$, c’est-à-dire $5556$ à trois points — environ $2.7$ fois l’exigence de Hoeffding. Sans remise, la [variance](#def-b2-randomvar-variance) est multipliée par $\frac{N -
n}{N-1} < 1$ ([Exercice 22.5](#exo-b2-randomvar-5)), donc le même $n$ ne peut que faire mieux : le calcul avec remise est le conservateur.

**15.** $\{\widehat p_n \leq \frac12\} \subseteq
\{\widehat p_n - 0.52 \leq -0.02\}$, donc par la borne de Hoeffding unilatérale $\P(\widehat p_n \leq \tfrac12) \leq
\eu^{-2n(0.02)^2} \leq 0.01$ dès que $n \geq \frac{\ln
100}{2\cdot0.0004} \approx 5756.5$ : $5757$ électeurs. Le coût varie comme l’inverse du carré de l’*avance*, non de la précision désirée : les courses serrées sont chères.

**16.** Utilisé : l’échantillon est tiré [uniformément](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-def) et indépendamment de l’électorat ; toute personne échantillonnée répond, honnêtement, et $p$ ne bouge pas pendant le sondage. Les vrais sondages violent les trois : les répondants joignables et disposés ne sont pas un échantillon uniforme (biais de sélection et de non-réponse), et les réponses peuvent être mensongères ou instables. Ce sont des erreurs de *biais* : elles décalent $\E(\widehat p_n)$ loin de $p$ d’une quantité indépendante de $n$, de sorte qu’aucune taille d’échantillon ne les réduit — les mathématiques de cette partie ne contrôlent que le terme de fluctuation.

**17.** Tchebychev pour un groupe de taille $m$ : $\P(\abs{
\widehat p^{(i)} - p} \geq \delta) \leq \frac{1}{4m\delta^2}
\leq \frac18$ pour $m \geq \frac2{\delta^2}$. Si moins de $k/2$ groupes se trompent, alors plus de $k/2$ des valeurs $\widehat p^{(i)}$ se situent dans l’intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) $\intoo{p -
\delta}{p + \delta}$, et leur médiane aussi ; donc $\{\abs{M - p} \geq \delta\}$ force au moins $\lceil
k/2\rceil$ erreurs parmi $k$ groupes [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence). La borne de l’union sur les $\binom k{\lceil k/2\rceil}$ ensembles possibles de groupes fautifs donne

$$
\P(\abs{M - p} \geq \delta)
\leq \binom{k}{\lceil k/2\rceil}
\Bigl(\frac18\Bigr)^{k/2}
\leq 2^k\,8^{-k/2} = 2^{-k/2} :
$$

décroissance exponentielle en le nombre de groupes, achetée avec rien d’autre que des [variances](#def-b2-randomvar-variance) — utile précisément quand les termes sont non bornés et que Hoeffding est indisponible.

**18.** Cauchy–Schwarz ([Théorème 22.19](#thm-b2-randomvar-jensen)) :

$$
\E(X) = \E(X\,\mathbf 1_{X>0})
\leq \sqrt{\E(X^2)}\sqrt{\E(\mathbf 1_{X>0}^2)}
= \sqrt{\E(X^2)\,\P(X > 0)} ;
$$

élever au carré et diviser.

**19.** Soit $h(a) = I(a) - 2(a - \tfrac12)^2$. Alors $h(\tfrac12) = 0$, $h'(a) = \ln\frac a{1-a} - 4(a -
\tfrac12)$ s’annule en $\tfrac12$, et

$$
h''(a) = \frac1a + \frac1{1-a} - 4 = \frac{1}{a(1-a)} - 4
\geq 0
$$

puisque $a(1-a) \leq \frac14$. Donc $h'$ croît depuis $0$ sur $\intco{\frac12}1$, d’où $h' \geq 0$ et $h \geq 0$ : $I(a)
\geq 2(a - \tfrac12)^2$.

**20.** $I(\tfrac12) = I'(\tfrac12) = 0$, $I''(a) =
\frac1{a(1-a)}$ donne $I''(\tfrac12) = 4$, et $I'''(\tfrac12)
= 0$ (la fonction est [symétrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/12-formes-quadratiques#def-b2-quadratic-adjoint) autour de $\tfrac12$), donc $I(\tfrac12 + \delta) = 2\delta^2 + O(\delta^4)$. La question 4 borne alors la vraie queue *en dessous* par $\eu^{-n(2\delta^2 + O(\delta^4))}/(n+1)$ : pour $\delta$ petit l’exposant de Hoeffding $2n\delta^2$ est asymptotiquement exact — seules des améliorations polynomiales en $n$ sont possibles.

**21.** Markov : un moment, décroissance $1/a$, utile seulement comme moteur derrière les autres (la question 1 le montre plat). Tchebychev : deux moments, décroissance $\frac{V}{n\delta^2}$, optimale sans hypothèses supplémentaires ([Exemple 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp)), et le meilleur outil à la question 23. Moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre ([Exercice 22.9](#exo-b2-randomvar-9)) : décroissance $C/n^2$, juste assez de sommabilité pour une [loi](#def-b2-randomvar-law) forte. Hoeffding : variables bornées, décroissance $2\eu^{-2n\delta^2}$, le cheval de trait de la partie III. Chernoff avec le taux exact $I(a)$ : moments exponentiels [complets](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete), exposant imbattable (questions 4, 20), le point de référence pour tout le reste.

**22.** Si la pièce est équilibrée : $\P(\widehat p_n > 0.525)
\leq \P(\widehat p_n - \tfrac12 \geq 0.025) \leq
\eu^{-2n(0.025)^2}$. Si $p = 0.55$ : $\P(\widehat p_n \leq
0.525) \leq \P(\widehat p_n - 0.55 \leq -0.025) \leq
\eu^{-2n(0.025)^2}$. Les deux erreurs sont sous $0.01$ lorsque $2n(0.025)^2 \geq \ln 100$, c’est-à-dire $n \geq 3684.2$ : $3685$ lancers. (Distinguer des hypothèses distantes de $2.5$ points coûte ce qu’estimer à $\pm2.5$ points coûte.)

**23.** Hoeffding : $n \geq \frac{\ln 40}{2(0.005)^2}
\approx 73\,778$. Tchebychev avec la vraie [variance](#def-b2-randomvar-variance) $p(1-p)
= 0.0099$ : $n \geq \frac{0.0099}{0.05\cdot(0.005)^2} =
7920$ — neuf fois moins cher. L’exposant de Hoeffding $2n\delta^2$ tarife la [variance](#def-b2-randomvar-variance) à son pire cas $\frac14$, absurdement pessimiste quand $p = 0.01$ ; le humble moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux sait mieux. L’outil manquant est une borne exponentielle consciente de la [variance](#def-b2-randomvar-variance) (inégalité de Bernstein, troisième année) — ou, pour les [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares, l’approximation de Poisson démontrée au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/23-fonctions-generatrices-des-probabilites#ch-b2-genfun), qui opère sur l’échelle relative naturelle.

**24.** Fixons $\delta > 0$ : $\sum_n 2\eu^{-2n\delta^2} <
\infty$ (série de type géométrique), donc Borel–Cantelli 1 ([Théorème 21.25](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-borelcantelli)) donne $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta \text{ infiniment
souvent}) = 0$, c’est-à-dire l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $E_j =
\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - p} <
\tfrac1j\}$ a pour probabilité $1$ pour chaque $j$. L’intersection [dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) $\bigcap_jE_j$ a encore probabilité $1$ (sous-additivité sur les complémentaires), et dessus $\widehat p_n
\to p$ : la [loi](#def-b2-randomvar-law) forte des grands nombres pour les lancers de pièce, le caractère borné jouant le rôle que le moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) quatre a joué à l’[Exercice 22.9](#exo-b2-randomvar-9).

**25.** Un moment achète une borne plate ; deux achètent $1/(n\delta^2)$, et rien de plus (l’exemple d’optimalité) ; quatre achètent $1/n^2$, assez pour se télescoper en une [loi](#def-b2-randomvar-law) presque sûre ; le caractère borné achète $\eu^{-2n\delta^2}$ ; et le moment exponentiel [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) achète le taux exact $I$, qu’aucune méthode ne bat. Sonder $2050$ personnes suffit pour n’importe quel pays parce que la fluctuation de l’échantillon est régie par la [variance](#def-b2-randomvar-variance) de la pièce, non par la taille de la population — les étiquettes de prix en $1/\delta^2$ et $\ln(1/\alpha)$ sont universelles. Le théorème central limite du volume de troisième année remplace ces inégalités, sur l’échelle $\sqrt n$, par une [loi](#def-b2-randomvar-law) limite [exacte](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#def-b2-multint-exact) à constantes explicites — transformant chaque borne de ce problème en une égalité asymptotique.