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title: "Fonctions génératrices des probabilités"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/23-fonctions-generatrices-des-probabilites
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# Chapitre 23 — Fonctions génératrices des probabilités

Les séries entières du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries) reviennent avec une mission probabiliste : à une [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) à valeurs dans $\N$ on associe la série entière de coefficients $\P(X = n)$. Cette *[fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci)* transforme les sommes de variables indépendantes en produits, les moments en dérivées en $1$, et les identités combinatoires difficiles en multiplications d’une ligne. Le chapitre clôt le livre avec deux pièces maîtresses : l’approximation de Poisson des [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares, et le critère d’extinction des [processus de branchement](#pb-b2-genfun-1) — un calcul probabiliste véritablement infini résolu entièrement par la géométrie d’une courbe [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex).

## 23.1 Définition et propriétés de base

**Définition 23.1 (Fonction génératrice des probabilités).**

Soit $X$ une [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) à valeurs dans $\N$, $p_n = \P(X = n)$. La *fonction génératrice des probabilités* de $X$ est la somme de la série entière

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

**Exemple 23.2 (Premiers réflexes).**

Une variable constante $X = c$ a $G_X(t) = t^c$ ; un décalage obéit à $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$ ; et l’évaluation en des points particuliers révèle de l’information sans aucun développement : $G_X(0)
= \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$, et $G_X(-1) = \P(X\text{ pair}) -
\P(X\text{ impair})$, l’équilibre de parité exploité dans l’ [Exercice 23.10](#exo-b2-genfun-10). Ces formules d’une ligne sont utilisées silencieusement partout dans la suite — et l’évaluation $G_X(0)$ est exactement la façon dont les probabilités d’extinction seront extraites des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) itérées à la fin du chapitre.

**Proposition 23.3 (Rayon et premières propriétés).**

La série définissant $G_X$ a un [rayon de convergence](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#def-b2-powerseries-radius) $\geq 1$ ; $G_X$ est définie et [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intcc{-1}{1}$, $\mathcal{C}^\infty$ sur $\intoo{-1}{1}$, avec $G_X(1) = 1$ et $\abs{G_X(t)} \leq 1$ sur cet intervalle. De plus $G_X$ détermine la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de $X$ :

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**Démonstration.** Puisque $\sum p_n = 1$ [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper), les termes $p_n\,1^n$ sont bornés, donc le rayon est $\geq 1$ (lemme d’Abel, [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries)) ; en $t = \pm1$ la série [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) ($\sum p_n = 1$ domine) ; mieux, sur l’intervalle entier $\intcc{-1}1$,

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{avec}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

la série [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) *[normalement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series)* sur $\intcc{-1}1$, donc sa somme y est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) (Théorèmes [10.16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#thm-b2-funcseq-weierstrass) et [10.4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#thm-b2-funcseq-continuity)). La régularité $\mathcal C^\infty$ à l’intérieur et la formule des coefficients relèvent de la théorie générale des séries entières ; les coefficients étant récupérables, deux variables ayant la même [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) ont la même [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law). ∎

**Exemple 23.4 (Les lois classiques).**

- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
- Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (formule du binôme).
- Géométrique $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (rayon $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (rayon $\infty$ ).

**Exemple 23.5 (Intégrer la fonction génératrice).**

Les dérivées de $G_X$ en $1$ donnent les moments positifs ; l’*intégrale* en donne un négatif. À partir de $\int_0^1t^k\dd t
= \frac1{k+1}$ et de l’intégration terme à terme ([convergence normale](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#def-b2-funcseq-series) sur $\intcc01$) :

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

Pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ :

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

retrouvant en une ligne le calcul de séries de l’ [Exemple 22.10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ex-b2-randomvar-transferex). La [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) est un instrument à double sens : dériver en $1$ pour les moments $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, intégrer sur $\intcc01$ pour $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — un seul objet [analytique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#def-b2-powerseries-analytic), interrogé dans le sens dont le problème a besoin.

**Exemple 23.6 (Une loi de rayon exactement un).**

Soit $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ pour $k \geq 1$ — une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de probabilité par l’identité de Bâle ([Exemple 14.12](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/14-series-de-fourier#ex-b2-fourier-basel)). Sa [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ a un [rayon de convergence](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#def-b2-powerseries-radius) exactement égal à $1$ : la borne générale « rayon $\geq 1$ » de la [Proposition 23.3](#prop-b2-genfun-radius) ne peut être améliorée. Et la moyenne est

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

$G$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intcc{-1}1$, $\mathcal C^\infty$ à l’intérieur, mais sa dérivée explose en $1^-$ — le graphe arrive au point $(1, 1)$ avec une [tangente](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-arc) verticale. Les queues lourdes sont visibles *géométriquement* sur la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci), au seul point $t = 1$ ; le théorème des moments ci-dessous rend cette correspondance [exacte](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#def-b2-multint-exact).

**Théorème 23.7 (Moments par la fonction génératrice).**

$X$ admet une [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) si et seulement si $G_X$ est dérivable en $1^-$ (dérivée à gauche, finie), et alors $\E(X) = G_X'(1)$. De même $X$ admet un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux si et seulement si $G_X$ est deux fois dérivable en $1^-$, et alors

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**Démonstration.** Pour $t \in \intoo{0}{1}$, la dérivation terme à terme à l’intérieur du disque donne $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$, une série à coefficients positifs : $t \mapsto G_X'(t)$ est croissante sur $\intoo{0}{1}$, et par convergence monotone des sommes partielles (ou théorème d’Abel pour les coefficients positifs, [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries)),

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

chaque membre étant fini exactement quand l’autre l’est. Lorsqu’ils sont finis, le théorème des accroissements finis encadre les taux d’accroissement $\frac{G_X(1) -
G_X(t)}{1 - t}$ entre des valeurs de $G_X'$, donc $G_X$ est dérivable en $1^-$ avec $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (par transfert). L’énoncé d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux répète l’argument un cran plus haut : $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ est croissante sur $\intoo01$ de limite monotone $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$, finie exactement quand $X$ admet un moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux. La formule de la [variance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-variance) découle alors de König–Huygens :

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**Exemple 23.8.**

Poisson : $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, donc $\E(X) = \lambda$ ; $G''(1) = \lambda^2$, donc $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 =
\lambda$ — les calculs du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar) en une ligne chacun.

**Exemple 23.9 (Le mode d’une loi de Poisson).**

Où $\P(X = k)$ est-il le plus grand pour $X \sim \mathcal
P(\lambda)$ ? Les poids consécutifs se comparent par le rapport

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

qui dépasse $1$ tant que $k < \lambda - 1$ et passe sous $1$ dès que $k > \lambda - 1$ : les poids montent puis descendent, avec pour mode $\floor\lambda$ (et une égalité entre $\lambda - 1$ et $\lambda$ lorsque $\lambda$ est entier : pour $\lambda = 3$, $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$). Les tests de rapport sur les coefficients sont souvent le chemin le plus rapide vers les faits qualitatifs d’une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) discrète — aucune [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) nécessaire, mais les coefficients *sont* la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci), lue terme par terme.

## 23.2 Sommes de variables indépendantes

**Théorème 23.10 (Multiplicativité).**

Si $X$ et $Y$ sont des [variables aléatoires](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) indépendantes à valeurs dans $\N$, alors

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

et par récurrence $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ pour des $X_1, \dots, X_n$ indépendantes.

**Démonstration.** Deux preuves, toutes deux instructives. *Par les [espérances](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) :* $t^X$ et $t^Y$ sont des variables bornées indépendantes, donc ([Théorème 22.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*Par les [produits de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini) :* la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de $X + Y$ est la convolution $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$, et le théorème du [produit de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini) pour les séries [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) convergentes ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)) multiplie les deux séries entières exactement le long de cette convolution. ∎

**Exemple 23.11 (Stabilité des lois classiques).**

Les binomiales indépendantes de même $p$ s’ajoutent : $(1 - p +
pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$, donc $\mathcal{B}(m, p) +
\mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — en particulier une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes est binomiale, redémontrant la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) du nombre de succès. Les [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de Poisson indépendantes s’ajoutent : $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$, donc $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda +
\mu)$ — le calcul de convolution de l’ [Exercice 22.2](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#exo-b2-randomvar-2), maintenant sans calcul.

**Exemple 23.12 (Deux dés, un polynôme au carré).**

Pour un dé équilibré, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$ ; pour la somme de deux,

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) triangulaire des sommes de dés ($7$ est le mode, de probabilité $\frac6{36} = \frac16$), lue sur un carré de polynôme que l’on développe une fois dans sa vie. La formule de convolution aurait exigé onze arguments de dénombrement distincts ; la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) les fait tous simultanément, car multiplier des polynômes *revient à* convoler des coefficients. Cette traduction mécanique — [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) vers coefficients, sommes vers produits — est tout le modèle économique du chapitre, et l’ [Exercice 23.11](#exo-b2-genfun-11) la pousse jusqu’aux surprenants dés de Sicherman.

**Exemple 23.13 (Trois dés et une extraction de coefficient).**

Pour la somme $S$ de trois dés équilibrés, $\P(S = 10)$ est le coefficient de $t^{10}$ dans $\bigl(\frac{t + \dots +
t^6}6\bigr)^3$. Factorisons et développons avec les séries du binôme et géométrique :

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

Le coefficient de $t^{10}$ requiert $t^7$ dans le produit : $j = 7$ avec le terme $1$, et $j = 1$ avec le terme $-3t^6$ :

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

L’énumération directe des $27$ triplets est source d’erreurs ; l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) est mécanique et s’étend à un nombre quelconque de dés — l’inclusion–exclusion visible dans $(1 - t^6)^3$ effectue l’analyse de cas automatiquement.

**Exemple 23.14 (Lire une loi sur sa fonction génératrice).**

Quelle [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) a $G(t) = \dfrac1{2 - t}$ ? Développons en série entière :

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

des coefficients positifs de somme $G(1) = 1$, donc c’est bien une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law), $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ sur $\N$ — une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) géométrique démarrant en $0$. Par unicité ([Proposition 23.3](#prop-b2-genfun-radius)), aucune autre [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) ne partage ce $G$. Reconnaître les [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) à partir de leurs [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) est un savoir-faire qui mérite d’être travaillé : c’est ainsi que l’itérée de branchement critique $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ du problème du week-end est démasquée comme une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) géométrique conditionnée à la survie.

**Remarque 23.15.**

La stabilité ne va que dans un sens : les sommes de [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de Poisson indépendantes sont de Poisson, mais pas les différences — $X - Y$ prend des valeurs négatives, donc n’a aucune [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci), et sa [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) (la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de Skellam) échappe à la boîte à outils de ce chapitre. De même $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ avec $p \neq p'$ n’est *pas* binomiale : le produit $(1 - p +
pt)^m(1 - p' + p't)^n$ a deux emplacements de racines distincts, tandis que toute [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) binomiale a une unique racine multiple. Lire la stabilité sur les configurations de racines est un petit avant-goût de la quantité de structure que le polynôme encode.

**Remarque 23.16 (Le filtre des racines de l’unité).**

Évaluer en $-1$ sépare les pairs des impairs ; évaluer en toutes les racines $m$-ièmes de l’unité sépare chaque classe résiduelle : avec $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$,

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

car moyenner $\omega^{j(k-r)}$ sur $j$ donne $1$ si $k
\equiv r$ et $0$ sinon. Dividende d’exemple : pour la somme $S$ de deux dés équilibrés, chaque $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6
\omega^{jk} = -\frac16$ pour $j \neq 0$ (les sept racines septièmes de l’unité somment à zéro), donc

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

confirmant le compte de l’ [Exemple 23.12](#ex-b2-genfun-twodice) — et la méthode s’étend à des questions où le dénombrement direct échoue.

**Théorème 23.17 (Sommes aléatoires : identité de Wald pour les fonctions génératrices).**

Soient $(X_k)_{k\geq1}$ des variables indépendantes à valeurs dans $\N$, de même [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) et de [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, et soit $N$ une variable à valeurs dans $\N$ indépendante des $X_k$, de [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_N$. Alors la somme aléatoire $S = X_1 + \dots + X_N$ (avec $S = 0$ lorsque $N = 0$) a pour [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

En particulier, si $N$ et $X_1$ admettent des [espérances](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation), $\E(S) =
\E(N)\,\E(X_1)$.

**Démonstration.** Conditionnons par $N$ (probabilités totales, [Théorème 21.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-bayes)) : pour $\abs t \leq 1$,

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

en utilisant la multiplicativité pour chaque $n$ fixé et la sommabilité de toute la famille double ($\abs{G_X(t)} \leq 1$). L’échange des sommations est Fubini pour les [familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)). En dérivant en $1^-$ par la règle de la chaîne et le [Théorème 23.7](#thm-b2-genfun-moments) : $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1)
= G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$. ∎

**Exemple 23.18 (Poisson composée : pertes annuelles d’assurance).**

Un assureur reçoit $N \sim \mathcal P(\lambda)$ sinistres dans une année, chaque sinistre coûtant $X_k$ (unités entières, i.i.d., [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, moyenne $\mu$, indépendantes de $N$). D’après le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound), la perte totale $S$ vérifie

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

et en dérivant deux fois en $1^-$ :

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

La [variance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-variance) fait intervenir le *second* moment d’un sinistre isolé, non sa [variance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-variance) : une somme de Poisson composée ressent le sinistre occasionnel de grande taille deux fois — une fois par le nombre, une fois par la taille. Pour $\lambda = 10$ sinistres de [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) géométrique de moyenne $2$ ($\E X^2 = 6$) : $\E S =
20$, $V(S) = 60$, et Tchebychev ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar)) fournit déjà des marges de solvabilité utilisables. Ce schéma de « somme arrêtée aléatoirement » est le même que celui qui gouvernera la récurrence de branchement de la [Proposition 23.23](#prop-b2-genfun-branching) : la composition des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) est l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) des populations aléatoires.

**Remarque 23.19.**

L’indépendance de $N$ vis-à-vis des sommands n’est pas décorative. Prenons $X_k \in \{0, 2\}$ avec probabilités égales et posons $N =
X_1$ (manifestement dépendant) : alors $S = X_1 + \dots + X_N$ vaut $0$ quand $X_1 = 0$, et $2 + X_2$ quand $X_1 = 2$, donc $\E(S) =
\frac12(2 + 1) = \frac32$, tandis que $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 =
1$ : l’identité de Wald échoue. Lorsque le nombre de termes est autorisé à *réagir* aux termes eux-mêmes, la structure produit propre s’effondre — la théorie complète de telles règles d’« arrêt » est le chapitre des martingales du volume de troisième année.

## 23.3 Approximation de Poisson

**Théorème 23.20 (Loi des événements rares).**

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ avec $n\,p_n \to \lambda > 0$. Alors pour tout $k \in \N$ :

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) binomiale de nombreux [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) vers la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de Poisson de paramètre $\lambda$.

**Démonstration.** Calcul direct avec $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$, $\lambda_n
\to \lambda$ :

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

Lorsque $n \to \infty$ à $k$ fixé : le premier facteur tend vers $1$ (produit de $k$ facteurs $\to 1$) ; $\lambda_n^k \to \lambda^k$ ; et $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} =
\exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to
e^{-\lambda}$ puisque $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)
\sim -\lambda_n \to -\lambda$ ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ch-b2-comparison)). Autrement, au niveau des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) : $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ pour chaque $t \in [0, 1]$ fixé — convergence des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci), qui (pour les variables à valeurs dans $\N$) équivaut à la convergence de chaque $\P(X_n = k)$ ; voir l’ [Exercice 23.9](#exo-b2-genfun-9). ∎

**Remarque 23.21.**

C’est pourquoi les [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de Poisson modélisent les décomptes d’[événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares — coquilles par page, désintégrations radioactives par seconde, accidents par jour à un carrefour : chaque occasion est presque négligeable, les occasions sont nombreuses, et seul le taux moyen $\lambda$ survit à la limite.

**Exemple 23.22 (Observer la limite de Poisson converger).**

Fixons $\lambda = 2$ et posons $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$. La probabilité d’aucun [événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) vaut exactement $\P(X_n = 0) = (1 -
2/n)^n$ :

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

à comparer à la limite $\eu^{-2} \approx 0.135$. La convergence est monotone et de vitesse $O(1/n)$ — en développant, $(1 -
2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — de sorte que pour $n$ de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de la centaine le modèle de Poisson est déjà exact à la troisième décimale. C’est le contenu pratique de la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) des [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) rares : le modélisateur ne connaît jamais $n$ et $p$ séparément (combien de micro-occasions de coquille une page recèle-t-elle ?), mais seulement leur produit $\lambda$, et la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) limite ne dépend heureusement de rien d’autre.

## 23.4 Processus de branchement

Considérons une population issue d’un unique ancêtre ; chaque individu, indépendamment, a un nombre aléatoire d’enfants de [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k \in \N}$ et de [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ (la *[loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction*). Soit $Z_n$ la taille de la génération $n$ ($Z_0 =
1$), et soit $m = G'(1) = \E(Z_1)$ le nombre moyen d’enfants.

**Proposition 23.23.**

La [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) de $Z_n$ est la $n$-ième itérée $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ ($n$ fois), et les probabilités d’extinction $q_n = \P(Z_n = 0)$ vérifient

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

et croissent vers la probabilité $q$ d’extinction finale, qui est un point fixe de $G$.

**Démonstration.** La génération $n + 1$ est la somme aléatoire des descendances des $Z_n$ membres de la génération $n$, les décomptes étant [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) entre eux et de $Z_n$ : le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound) donne $G_{Z_{n+1}} =
G_{Z_n} \circ G$, et la récurrence à partir de $G_{Z_0}(t) = t$ fournit l’itérée $n$-uple — qui, par associativité de la composition, se lit tout aussi bien $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$. En évaluant cette seconde forme en $0$ : $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) =
G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$. Les [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) $\{Z_n = 0\}$ croissent (les populations éteintes le restent), donc $q_n \uparrow q
= \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ par continuité monotone ([Théorème 21.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#thm-b2-proba-continuity)), et la continuité de $G$ sur $[0, 1]$ transforme $q_{n+1} = G(q_n)$ en $q =
G(q)$ à la limite. ∎

**Exemple 23.24 (Observer l’extinction converger).**

Pour la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14,
\tfrac14, \tfrac12)$ de l’ [Exemple 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample), $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ et l’itération $q_{n+1} = G(q_n)$ donne

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

grimpant vers la probabilité d’extinction $q = \tfrac12$. Les écarts $q - q_n$ valent $0.25$, $0.156$, $0.105$, $0.073$, $0.052$ : chacun vaut environ $\tfrac34$ du précédent, et de fait le théorème des accroissements finis donne $q - q_{n+1} =
G'(c_n)(q - q_n)$ avec $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$. Deux morales : une lignée encore vivante à la génération $n$ a, inscrite dans le même calcul, une probabilité $q - q_n$ d’être condamnée plus tard ; et la vitesse de convergence de l’escalier de la figure ci-dessous est la dérivée au point fixe — le problème du week-end transforme ces deux observations en théorèmes.

**Théorème 23.25 (Critère d’extinction).**

Supposons $p_1 \neq 1$. La probabilité d’extinction $q$ est le *plus petit* point fixe de $G$ dans $\intcc{0}{1}$, et :

- si $m \leq 1$ (sous-critique ou critique), $q = 1$ : l’extinction est certaine ;
- si $m > 1$ (surcritique), $q < 1$ : la population survit indéfiniment avec probabilité positive $1 - q$ .

**Démonstration.** $G$ est [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) sur $\intcc{0}{1}$ (série entière à coefficients positifs : $G'' \geq 0$), croissante, avec $G(1) = 1$.

*Plus petit point fixe :* soit $r \in \intcc{0}{1}$ un point fixe quelconque. Alors $q_0 = 0 \leq r$, et par récurrence $q_{n+1} = G(q_n)
\leq G(r) = r$ (monotonie) : donc $q = \lim q_n \leq r$.

*Cas $m \leq 1$ :* supposons que $r < 1$ soit un point fixe. Par le théorème des accroissements finis sur $[r, 1]$, il existe $c \in \intoo{r}{1}$ avec $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$. Mais $G'$ est croissante (convexité) avec $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m
\leq 1$, donc $G' \leq 1$ sur $\intoo{0}{1}$ ; l’égalité $G'(c) =
1$ force alors $G'$ à être constante égale à $1$ sur $\intco{c}{1}$, d’où $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ sur cet intervalle. Une série entière à coefficients positifs qui s’annule sur un intervalle a tous ces coefficients nuls : $p_n = 0$ pour $n \geq 2$, donc $G(t) = p_0
+ p_1t$ et $1 = G'(c) = p_1$ — ce qui contredit l’hypothèse $p_1 \neq 1$. Donc $1$ est l’unique point fixe : $q = 1$.

*Cas $m > 1$ :* près de $1$, $G(t) - t$ a pour dérivée $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ quand $t \to 1^-$, donc $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ sur un intervalle $\intoo{1 - \delta}{1}$ : la fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $G(t) - t$ est $\geq 0$ en $t = 0$ ($G(0) = p_0 \geq 0$) et $< 0$ juste en dessous de $1$, donc elle s’annule en un certain $r < 1$ (théorème des valeurs intermédiaires). Le plus petit point fixe vérifie alors $q \leq r < 1$. ∎

![Probabilités d’extinction comme itération de point fixe q_n+1 = G(q_n) partant de q_0 = 0 (escalier rouge). À gauche : une loi de reproduction sous-critique — la courbe convexe reste au-dessus de la diagonale, l’itération grimpe vers l’unique point fixe 1. À droite : une loi surcritique — la courbe croise la diagonale en q < 1, où l’itération s’arrête : la survie a probabilité 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-14f42e609958.svg)

![Probabilités d’extinction comme itération de point fixe q_n+1 = G(q_n) partant de q_0 = 0 (escalier rouge). À gauche : une loi de reproduction sous-critique — la courbe convexe reste au-dessus de la diagonale, l’itération grimpe vers l’unique point fixe 1. À droite : une loi surcritique — la courbe croise la diagonale en q < 1, où l’itération s’arrête : la survie a probabilité 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-32f6bbb604a3.svg)

***Figure 23.1.** Probabilités d’extinction comme itération de point fixe $q_{n+1} = G(q_n)$ partant de $q_0 = 0$ (escalier rouge). À gauche : une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction sous-critique — la courbe [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) reste au-dessus de la diagonale, l’itération grimpe vers l’unique point fixe $1$. À droite : une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) surcritique — la courbe croise la diagonale en $q < 1$, où l’itération s’arrête : la survie a probabilité $1 -
q > 0$.*

**Remarque 23.26 (Comment lire l’escalier).**

Sur la figure, un déplacement vertical applique $G$ (de $(q_n, q_n)$ jusqu’à $(q_n, G(q_n))$), un déplacement horizontal vers la diagonale convertit la sortie en entrée : l’escalier *est* la récurrence $q_{n+1} = G(q_n)$. La convexité de $G$ et $G(1) = 1$ ne laissent que deux géométries. Soit la courbe reste au-dessus de la diagonale sur $\intco01$ (moyenne $m \leq 1$) : l’escalier n’a nulle part où s’arrêter avant $1$. Soit la courbe croise en un certain $q < 1$ ($m > 1$) : l’escalier est piégé sous le croisement et [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) vers lui, à la vitesse géométrique $G'(q) < 1$ quantifiée dans l’ [Exemple 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics). Toute l’analyse du théorème d’extinction est visible sur cette seule image — raison pour laquelle il vaut la peine de la dessiner avant de calculer.

**Exemple 23.27.**

[Loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction : aucun enfant, un enfant, deux enfants avec probabilités $\frac14, \frac14, \frac12$. Alors $m = \frac14 + 1 =
\frac54 > 1$ et $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$. Points fixes : $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$, c’est-à-dire $2t^2 - 3t
+ 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$ : $q = \frac12$. La lignée s’éteint avec probabilité $\frac12$ — et avec probabilité $\frac12$ elle vit indéfiniment.

**Remarque 23.28 (Perspectives au sein de ce volume).**

Le chapitre est le carrefour du livre, et chaque ingrédient est venu d’un lieu nommé : l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) des séries du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series) et du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries), la probabilité du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#ch-b2-proba) (la continuité monotone démontre $q_n \uparrow q$) et du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar) ($G_X =
\E(t^X)$ est une [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation), la multiplicativité est le théorème du produit), la convexité du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#ch-b2-realfun) jusqu’au [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#ch-b2-affine). Même les pathologies à queue lourde se rattachent : la variable de Saint-Pétersbourg du chapitre précédent a $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$, une série parfaitement convergente sur $\intcc01$ dont la dérivée en $1^-$ diverge — [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) infinie, visible d’un coup d’œil. Un seul objet, tous les outils de l’année : un dernier chapitre à propos.

**Remarque 23.29 (Pièges classiques).**

(i) Les [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) ne s’appliquent qu’aux variables à valeurs dans $\N$ : pour les variables signées ou non entières l’objet $\E(t^X)$ perd sa structure de série entière (la troisième année le remplace par des transformées adaptées à $\R$). (ii) Le premier contrôle de bon sens de tout $G$ calculé est $G(1) = 1$ ; le second est que les coefficients soient positifs — un coefficient négatif signale une erreur de calcul, non une nouvelle [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law). (iii) Dans les sommes aléatoires, l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de composition importe : $G_S = G_N \circ
G_X$, la fonction *extérieure* comptant les termes ; composer de l’autre côté n’a pas de sens ($G_X \circ G_N$ compterait des objets d’objets). (iv) La multiplicativité requiert l’indépendance et des sources d’aléa distinctes : $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$, non $G_X(t)^2$. (v) Dériver en $1$ est une opération au bord : lorsque le rayon vaut exactement $1$, comme dans l’ [Exemple 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail), $G'(1^-)$ peut être infini, et la formulation par limite monotone du théorème des moments n’est pas une subtilité pédante mais l’énoncé honnête.

## Clôture du volume

La [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) est un objet final à propos pour ce livre : elle est simultanément une série entière ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries)), un outil des [familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series)), une [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar)), une fonction [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) dont la géométrie décide de l’extinction ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#ch-b2-realfun)), et une itération de point fixe ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ch-b2-metric)). Les mathématiques de la deuxième année forment un seul sujet. Le volume de troisième année ouvrira les portes délibérément laissées closes ici : l’intégration de Lebesgue (acquittant le théorème de convergence dominée du [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#ch-b2-integration)), la probabilité au sens de la mesure sur des espaces non [dénombrables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable), et la démonstration complète du théorème d’inversion locale ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#ch-b2-diffcalc)) dans le cadre de la géométrie [différentielle](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#def-b2-diffcalc-differential).

## 23.5 Exercices

**Exercice 23.1 ★.**

Calculer la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) de la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) uniforme sur $\{1, 2,
\dots, 6\}$ (un dé équilibré). Montrer que la somme de deux dés équilibrés *ne peut* être uniforme sur $\{2, \dots, 12\}$ : factoriser $G_{X+Y}$ et compter les racines. *(Une somme uniforme forcerait $G_X(t)G_Y(t) =
\frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$, dont les racines non nulles sont les racines $11$-ièmes de l’unité autres que $1$ — aucune réelle — tandis que $G_X/t$ et $G_Y/t$ sont des polynômes réels de degré $5$, possédant chacun au moins une racine réelle.)*

**Solution de Exercice 23.1.**

Dé équilibré : $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t
+ \dots + t^5)$. Si la somme de deux dés équilibrés était uniforme sur $\{2, \dots, 12\}$, alors

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

Or $h$ est un polynôme réel de degré impair $5$, donc il a une racine réelle (théorème des valeurs intermédiaires ; concrètement $h(-1) =
0$), d’où $h^2$ a une racine réelle. Mais $\sum_{k=0}^{10}t^k$ n’en a aucune : il est positif pour $t \geq 0$, et pour $t < 0$ il vaut $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$, quotient de deux nombres négatifs. Contradiction — la somme de deux dés équilibrés n’est jamais uniforme (comme le confirme la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) triangulaire familière des sommes de dés).

**Exercice 23.2 ★.**

À l’aide des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci), retrouver $\E$ et $V$ pour les [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) binomiale et géométrique ([Théorème 23.7](#thm-b2-genfun-moments)).

**Solution de Exercice 23.2.**

*Binomiale :* $G(t) = (1 - p + pt)^n$, $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$, $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$, donc

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*Géométrique* ($q = 1 - p$) : $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$, donc $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ et $G''(t) = \frac{2pq}{(1 -
qt)^3}$ ; en $t = 1$ (en utilisant $1 - q = p$) :

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

en accord avec l’ [Exercice 22.1](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#exo-b2-randomvar-1) avec moins de travail.

**Exercice 23.3 ★.**

Deux dés pipés : est-il possible de piper deux dés (indépendamment, de manière identique ou non) pour que leur somme soit uniforme sur $\{2, \dots, 12\}$ ? *(Même obstruction de factorisation que dans l’ [Exercice 23.1](#exo-b2-genfun-1) : la réponse est non même avec des pipages différents, car chaque facteur $G_X(t)/t$ est de degré impair $5$, donc a une racine réelle, tandis que la cible n’en a aucune.)*

**Solution de Exercice 23.3.**

Non, même avec des pipages différents. Supposons que $X, Y$ soient des [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) sur $\{1, \dots, 6\}$ de somme uniforme. Alors $G_X(t) = t\,a(t)$ et $G_Y(t) = t\,b(t)$ avec $a, b$ des polynômes réels de degré *au plus* $5$ — et leurs degrés doivent sommer à $10$ (la somme atteint $12$ avec probabilité positive), donc $\deg a = \deg b = 5$, tous deux impairs. Comme dans l’ [Exercice 23.1](#exo-b2-genfun-1),

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

forcerait une racine réelle à gauche (tout polynôme réel de degré impair en a une) et aucune à droite. Donc aucun pipage de deux dés [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) — identique ou non — ne produit une somme uniforme.

**Exercice 23.4 ★★.**

Soient $X_1, X_2, \dots$ des variables de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ indépendantes et $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ indépendante d’elles. Montrer, via le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound), que $S = X_1 + \dots + X_N
\sim \mathcal{P}(\lambda p)$ : un nombre de Poisson d’objets, chacun conservé avec probabilité $p$, laisse un nombre de Poisson — *amincissement*. Calculer aussi la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) du nombre rejeté et admirer : elle est $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$, et l’on peut montrer qu’elle est indépendante de $S$.

**Solution de Exercice 23.4.**

D’après le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound) avec $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ et $G_X(t) = 1 - p + pt$ :

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$. Le nombre rejeté $D = N - S$ compte les mêmes objets conservés avec probabilité $1 - p$, donc par le même calcul $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$. Indépendance, directement : pour $j, k \in \N$,

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

avec $q = 1 - p$ : la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) jointe se factorise en $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$. Un flux de Poisson scindé au hasard donne des flux de Poisson *[indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence)* — un petit miracle constamment utilisé en théorie des files d’attente.

**Exercice 23.5 ★★.**

([Loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) binomiale négative) Soit $T_r$ le nombre de lancers pour obtenir $r$ faces (probabilité de face $p$). Écrire $T_r$ comme somme de $r$ variables géométriques indépendantes, en déduire

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

et développer $G_{T_r}$ pour trouver $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$.

**Solution de Exercice 23.5.**

Les temps d’attente entre faces consécutives sont des variables géométriques $\mathcal{G}(p)$ indépendantes (absence de mémoire : après chaque face le jeu recommence), donc $T_r = W_1 + \dots + W_r$ et la multiplicativité ([Théorème 23.10](#thm-b2-genfun-product)) donne

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$ ; les [variances](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-variance) s’ajoutent par indépendance). Développement : par la série du binôme généralisée ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries)), $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0}
\binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$, donc le coefficient de $t^n$ dans $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ est (avec $m = n - r$)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) *binomiale négative* — combinatoirement : la $r$-ième face tombe au lancer $n$ si et seulement si les $r - 1$ faces précédentes choisissent leurs places parmi les $n - 1$ premiers lancers.

**Exercice 23.6 ★★.**

Pour la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction $p_0 = \frac18$, $p_1 = \frac38$, $p_2 =
\frac38$, $p_3 = \frac18$ : calculer $m$, décider de la surcriticité, et calculer exactement la probabilité d’extinction $q$. *(Factoriser la racine $t = 1$ de $G(t) - t$.)*

**Solution de Exercice 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$ : surcritique. La [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) est

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

donc les points fixes vérifient $(1 + t)^3 = 8t$, c’est-à-dire $t^3 +
3t^2 - 5t + 1 = 0$. En factorisant la racine garantie $t = 1$ :

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

et $t^2 + 4t - 1 = 0$ donne $t = -2 \pm \sqrt5$. La racine dans $\intco{0}{1}$ est $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$ : d’après le [Théorème 23.25](#thm-b2-genfun-extinction),

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(Une vérification plaisante : la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction est celle de $3$ pièces équilibrées indépendantes, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$.)

**Exercice 23.7 ★★★.**

(Descendance totale) Dans un [processus de branchement](#pb-b2-genfun-1) sous-critique ($m < 1$), soit $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ le nombre total d’individus jamais nés. Montrer $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (justifier l’échange des sommations), et démontrer que la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ vérifie l’équation fonctionnelle $H(t) = t\,G(H(t))$. *(L’ancêtre, plus les descendances totales de chacun de ses enfants, qui sont des copies indépendantes de $Y$.)*

**Solution de Exercice 23.7.**

*[Espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation).* D’abord $\E(Z_n) = m^n$ : d’après le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound), $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$, et $\E(Z_0) = 1$. La famille $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ est positive, donc Fubini pour les familles s’applique sans condition :

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(en particulier $Y$ est presque sûrement finie : cohérent avec l’extinction certaine dans le cas sous-critique).

*Équation fonctionnelle.* Décomposons la population selon les enfants de l’ancêtre : si l’ancêtre a $Z_1 = k$ enfants, la descendance totale est $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$, où $Y_i$ est la descendance totale de la lignée du $i$-ième enfant — et les $Y_i$ sont des copies indépendantes de $Y$, indépendantes de $Z_1$ (des lignées distinctes utilisent des [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) de reproduction disjoints et [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence)). En conditionnant par $Z_1$ comme dans le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound) :

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

le facteur $t$ rendant compte de l’ancêtre lui-même. (Pour la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) $p_0 = 1 - p$, $p_2 = p$ du branchement binaire, cette équation quadratique en $H$ se résout explicitement et se développe — les [nombres de Catalan](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-catalan) du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries) comptent les arbres généalogiques.)

**Exercice 23.8 ★★★.**

Soit $X$ de [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ de [rayon de convergence](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#def-b2-powerseries-radius) $>
1$. Démontrer la *borne exponentielle de queue* : il existe $C > 0$ et $\rho \in \intoo{0}{1}$ avec $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$. *(Markov appliqué à $t^X$ pour un $t > 1$ fixé à l’intérieur du disque.)* Réciproquement, montrer que si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ avec $\rho < 1$, le rayon de $G$ est $\geq 1/\rho > 1$.

**Solution de Exercice 23.8.**

Soit $R > 1$ le rayon et fixons $t \in \intoo{1}{R}$. Alors $\E(t^X) = G(t) < \infty$, et l’inégalité de Markov ([Théorème 22.15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#thm-b2-randomvar-markov)) appliquée à la variable positive $t^X$ au niveau $t^n$ :

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*Réciproque :* si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, alors $p_n \leq
\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, donc pour $\abs t < \frac1\rho$ la série $\sum p_n\abs t^n$ est dominée par la série géométrique convergente $C\sum(\rho\abs t)^n$ : le rayon est au moins $\frac1\rho > 1$. Le rayon de la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) et la décroissance géométrique de la queue sont deux faces de la même propriété.

**Exercice 23.9 ★★★.**

(Théorème de continuité, cas élémentaire) Soient $X, X_1, X_2, \dots$ à valeurs dans $\N$ avec $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ pour tout $t \in
\intco{0}{1}$. Montrer que $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ pour tout $k$. *(Récurrence sur $k$ : pour $k = 0$ prendre $t \to 0$ — avec soin : fixer $t$ petit, utiliser $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)}
\leq \frac{t}{1-t}$, valide puisque la queue $\sum_{j \geq 1}p_jt^j
\leq \frac{t}{1 - t}$ ; puis diagonaliser. Pour l’étape de récurrence, considérer $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$, la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) d’une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) décalée.)*

**Solution de Exercice 23.9.**

Écrivons $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$, $p_k = \P(X = k)$.

*Cas $k = 0$.* Pour $t \in \intoo{0}{1}$ et toute [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) $(q_j)$ avec $\sum_j q_j \leq 1$ :

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

D’où

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

Étant donné $\varepsilon > 0$, choisir $t$ tel que $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$, puis $n_0$ tel que le dernier terme soit $<
\frac\varepsilon2$ pour $n \geq n_0$ : donc $p_0^{(n)} \to p_0$.

*Étape de récurrence.* Supposons $p_j^{(n)} \to p_j$ pour $j < k$. Considérons les fonctions *décalées*

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

[fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) des suites sous-probabilistes $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (masse totale $\leq 1$, ce qui est tout ce que l’argument $k = 0$ utilisait). Pour $t \in \intoo{0}{1}$ fixé, $g_n(t)
\to g(t)$ par hypothèse et le cas $k = 0$. Appliquer l’argument $k =
0$ à $g_n$ donne $p_1^{(n)} \to p_1$ ; itérer le décalage $k$ fois donne $p_k^{(n)} \to p_k$ pour tout $k$. (C’est l’instance discrète et élémentaire du théorème de continuité de Lévy, dont la forme générale — pour les fonctions caractéristiques — est un jalon de la troisième année.)

**Exercice 23.10 ★.**

(Astuce de parité) Montrer que pour une variable $X$ à valeurs dans $\N$,

$$
\P(X \text{ pair}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,
$$

et calculer cette probabilité pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ et $X \sim \mathcal B(n, p)$. Que signifie $G_X(-1) \to 0$ sur le plan probabiliste ?

**Solution de Exercice 23.10.**

Ponctuellement, $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ vaut $1$ quand $X$ est pair et $0$ quand impair, donc en prenant les [espérances](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) (transfert),

$$
\P(X \text{ pair}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

Poisson : $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ quand $\lambda$ croît. Binomiale : $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$. Dans les deux cas $G_X(-1) \to 0$ dit que la parité de $X$ devient une pièce équilibrée : la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) s’étale sur de nombreux entiers et oublie sa parité.

**Exercice 23.11 ★★.**

(Dés de Sicherman) Vérifier la factorisation de la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) du dé équilibré

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

et montrer que les deux dés de faces $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ et $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ ont pour [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ et $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$, dont le produit est celui de deux dés standard : ces dés exotiques produisent chaque total $2,
\dots, 12$ avec exactement les probabilités standard.

**Solution de Exercice 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ et $1 - t^6 =
(1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$, donnant la factorisation annoncée. Pour le premier dé, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 +
2t + 2t^2 + t^3$, donc $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t +
2t^2 + 2t^3 + t^4}6$ : faces $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$. Pour le second, en développant

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

donc $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4
+ t^5 + t^6 + t^8}6$ : faces $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. Le produit des deux [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) regroupe les six facteurs en $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6
\bigr)^2$, le carré de la fonction du dé standard : la paire de Sicherman a exactement la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) standard pour le total — les [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) classent tous ces regroupements.

**Exercice 23.12 ★★★.**

(Attente de deux faces consécutives) Une pièce de probabilité de face $p$ est lancée jusqu’à l’apparition de deux faces consécutives ; soit $T$ le nombre de lancers (le jeu de l’ [Exercice 21.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#exo-b2-proba-6)). En conditionnant sur les premiers lancers, établir un système linéaire pour les [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) à partir des états « aucune face en cours » et « une face en cours », et conclure

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p)~;
$$

vérifier $G_T(1) = 1$ et $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ($= 6$ pour une pièce équilibrée).

**Solution de Exercice 23.12.**

Soient $A$ et $B$ les [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) de la durée restante partant de « aucune face en cours » et « une face en cours ». Un lancer est dépensé, puis : depuis l’état $0$, pile revient à l’état $0$, face passe à l’état $1$ ; depuis l’état $1$, face termine le jeu, pile revient à l’état $0$ :

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

En substituant : $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$, donc

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

En $t = 1$ le dénominateur vaut $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$ : $G_T(1) = 1$, le jeu se termine presque sûrement (comme l’ [Exercice 21.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#exo-b2-proba-6) l’a montré par récurrence). Dérivation logarithmique en $1$ : $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ avec $D(t) = 1 - qt - pqt^2$, $D'(1) = -q - 2pq$ :

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

qui vaut $6$ pour $p = \frac12$.

## 23.6 Problème : le processus de Galton–Watson, résolu

**Problème 23.1.**

Problème du week-end — taux de croissance, solutions exactes, descendance totale, et estimation critique de Kolmogorov

Le critère d’extinction ([Théorème 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) répartit les [processus de branchement](#pb-b2-genfun-1) en sous-critiques, critiques et surcritiques — mais il ne dit rien des *taux* : à quelle vitesse une lignée condamnée s’éteint, à quelle taille une lignée survivante croît. Ce problème les calcule. Nous conservons les notations du chapitre : [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction $(p_k)$ de [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$, moyenne $m = G'(1)$, tailles de générations $Z_n$ ($Z_0 = 1$), itérées $G_n = G_{Z_n}$, probabilités d’extinction $q_n = \P(Z_n = 0)
\uparrow q$ ; nous supposons toujours $p_1 \neq 1$ et, là où des moments d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) deux apparaissent, $G''(1) < \infty$, et nous écrivons $\sigma^2 = V(Z_1)$.

**Partie I — Moments des générations.**

1. Montrer $\E(Z_n) = m^n$ *(règle de la chaîne sur $G_n = G  \circ G_{n-1}$ en $1^-$, en utilisant $G_{n-1}(1) = 1$ et le [Théorème 23.7](#thm-b2-genfun-moments))* .
2. Établir la récurrence $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ et la résoudre : $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ pour $m \neq 1$ , et $G_n''(1) = n\,G''(1)$ pour $m =  1$ .
3. En déduire $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (Taux sous-critique, borne supérieure) Pour $m < 1$ , montrer $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(Markov sur $Z_n$ à valeurs entières)* : l’extinction est certaine avec un taux géométrique — un raffinement quantitatif du critère du chapitre.
5. (Taux sous-critique, borne inférieure) En utilisant Cauchy–Schwarz sur $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$, montrer $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{avec}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ le taux géométrique $m^n$ est exact à constantes près.

**Partie II — La famille géométrique, résolue exactement.** Soit la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction géométrique sur $\N$ : $p_k =
qp^k$ ($k \geq 0$), avec $0 < p < 1$, $q = 1 - p$.

6. Calculer $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ et $m = \dfrac  pq$ ; situer les trois régimes en fonction de $p$ .
7. Résoudre $G(t) = t$ : montrer que les points fixes sont $1$ et $q/p = 1/m$ , et retrouver la probabilité d’extinction $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
8. Démontrer par récurrence les formes closes $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. En déduire les taux exacts : $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ dans le cas sous-critique, et $q_{\mathrm{ext}} - q_n  \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ dans le cas surcritique ; vérifier que le rapport de contraction surcritique est $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
10. Cas critique ( $p = \tfrac12$ ) : calculer $\sigma^2 =  2$ et remarquer $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la survie décroît comme $\frac1n$ — ni géométrique ni [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) .
11. Toujours critique : démontrer par récurrence l’itérée complète $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ et en déduire que, conditionnée à la survie, $Z_n$ est géométrique sur $\N^*$ de paramètre $\frac1{n+1}$ : $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ La lignée moyenne s’éteint, mais les lignées survivantes ont une taille d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $n$.

**Partie III — Descendance totale.** Soit $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ le nombre total d’individus jamais nés, et $H(t) =
\sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$.

12. Justifier $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ , et rappeler de l’ [Exercice 23.7](#exo-b2-genfun-7) l’équation fonctionnelle $H(t) = t\,G(H(t))$ (dont la dérivation n’utilisait pas $m < 1$ ).
13. (Branchement binaire) Pour $p_0 = p_2 = \frac12$ (critique), résoudre l’équation fonctionnelle : $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ et développer avec l’ [Exemple 11.21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-catalan) pour obtenir $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$$ vérifier les valeurs $\P(Y = 1) = \frac12$ et $\P(Y = 3)  = \frac18$ par dénombrement direct.
14. En dérivant l’équation fonctionnelle en $1^-$ , montrer que $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ pour $m < 1$ , tandis que la criticité force $\E(Y) = \infty$ : la descendance totale critique est finie presque sûrement mais d’ [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) infinie.
15. Avec l’asymptotique du coefficient binomial central ([Exemple 6.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ex-b2-comparison-centralbinomial)), montrer $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ une queue lourde en $k^{-3/2}$, et en déduire $\P(Y > n)  \asymp n^{-1/2}$ (des bornes supérieure et inférieure de cet [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) suffisent).
16. Comparer avec la [marche aléatoire](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#pb-b2-proba-1) équilibrée (le problème du week-end du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#ch-b2-proba) ) : des temps de retour certains mais d’ [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) infinie là-bas, une descendance totale certaine mais d’ [espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) infinie ici, tous deux avec des [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) locales en $n^{-3/2}$ . Un paragraphe sur les raisons pour lesquelles la criticité produit cette signature.

**Partie IV — L’estimation de Kolmogorov à la criticité.** Supposons $m = 1$, $0 < \sigma^2 = G''(1) <
\infty$.

17. Montrer que $G''$ se prolonge continûment à $\intcc01$ *(positive croissante de limite finie)* et en déduire le développement de Taylor en $1$ : $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. Pour $t \in \intco01$, posons $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} -  \dfrac1{1 - t}$. Montrer $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. Télescoper le long de l’itération $q_{j+1} = G(q_j)$ : $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ et conclure par un argument de Cesàro que $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ — *estimation de Kolmogorov* : tout processus critique de branchement s’éteint au taux universel $1/n$, seule la constante gardant mémoire de la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction.
20. Vérifier l’estimation sur le cas géométrique critique de la question 10.
21. En déduire $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n}  \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ *(noter $\E(Z_n  \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* , et le vérifier sur la question 11 : conditionnée à la survie, la population croît *linéairement* — le fil du funambule critique entre mort et explosion.

**Partie V — Applications et synthèse.**

22. (Épidémies, réactions en chaîne) Pour une [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ — chaque cas infecte $\mathcal P(\lambda)$ nouveaux cas — écrire l’équation d’extinction $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ et la résoudre numériquement pour $\lambda = 1.5$ ( $q \approx  0.417$ ) et $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ) : à partir d’un seul cas, une épidémie majeure n’est *pas* certaine même lorsque $\lambda > 1$ . Expliquer pourquoi l’itération $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ partant de $q_0 = 0$ [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) vers la bonne racine.
23. En partant de $k$ ancêtres au lieu d’un, montrer que la probabilité d’extinction est $q^k$ . Application : avec $\lambda = 1.5$ , combien de cas initiaux rendent une épidémie probable à au moins $99\%$ ?
24. (Conditionnement d’un processus surcritique à l’extinction) Pour $m > 1$ de probabilité d’extinction $q \in  \intoo01$ : démontrer d’abord par convexité que $G'(q) < 1$ au plus petit point fixe, et en déduire $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (convergence géométrique, comme la question 9 l’a illustré). Puis montrer que $\widehat G(t) = G(qt)/q$ est la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) d’une véritable [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction, de moyenne $\widehat m = G'(q) < 1$ : un processus compagnon sous-critique. Vérifier sur la famille géométrique : conditionner le processus surcritique $(p, q)$ à l’extinction échange $p$ et $q$ . (L’énoncé [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) — le processus conditionné *est* le processus compagnon — est démontré dans le volume de troisième année ; ici vous en avez vérifié l’ombre au niveau des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) .)
25. Synthèse : dresser le tableau de la trichotomie — pour $m <  1$ , $m = 1$ , $m > 1$ : valeur de $q$ ; taux de $\P(Z_n >  0)$ ou de $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; taille d’une génération survivante. Énoncer en une phrase par outil comment la composition des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) , la convexité, Taylor en $1^-$ , et la moyenne de Cesàro ont porté tout le problème, et ce que le volume de troisième année ajoute (la martingale $Z_n/m^n$ et la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) limite exponentielle de Yaglom).

**Solution de Problème 23.1.**

**1.** Pour $t \in \intoo01$, la règle de la chaîne sur $G_n = G
\circ G_{n-1}$ donne $G_n'(t) =
G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$. Quand $t \to 1^-$, $G_{n-1}(t) \uparrow 1$, et $G'$ est croissante de limite à gauche $m$ en $1$, donc le premier facteur tend vers $m$ ; par récurrence le second tend vers $m^{n-1}$. D’après le [Théorème 23.7](#thm-b2-genfun-moments), $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$.

**2.** En dérivant une fois de plus,

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

et en faisant $t \to 1^-$ : $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\,
a_{n-1}$ avec $a_n = G_n''(1)$, $a_1 = G''(1)$. Pour $m \neq
1$ on vérifie par récurrence que $a_n = G''(1)\,m^{n-1}
\frac{m^n - 1}{m - 1}$ (la récurrence ajoute $G''(1)m^{2n-2}$ à $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$, et $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$) ; pour $m = 1$, $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$.

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ et $G''(1) =
\sigma^2 + m^2 - m$. Pour $m \neq 1$, le morceau $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ annule $m^n -
m^{2n}$ exactement, laissant $V(Z_n) =
\sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$. Pour $m = 1$ : $V(Z_n) =
nG''(1) = n\sigma^2$.

**4.** $Z_n$ est une variable entière positive, donc $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ par Markov ([Théorème 22.15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#thm-b2-randomvar-markov)). Pour $m < 1$ ceci décroît géométriquement — et de façon [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable), donc Borel–Cantelli donne même que seul un nombre fini de générations sont non vides, ce qui est de nouveau l’extinction.

**5.** Cauchy–Schwarz : $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf
1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$. Avec la question 3 et $m < 1$ :

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

donc, en divisant $m^{2n}$ par cette borne et en simplifiant par $m^n$,

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

en utilisant $m^n \leq 1$ au dénominateur. Avec la question 4 : $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$.

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$, et $m
= G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$. Sous-critique pour $p
< \frac12$, critique pour $p = \frac12$, surcritique pour $p
> \frac12$.

**7.** $G(t) = t$ s’écrit $pt^2 - t + q = 0$, de racines $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$, c’est-à-dire $1$ et $\frac qp =
\frac1m$. La probabilité d’extinction est le plus petit point fixe dans $\intcc01$ ([Théorème 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) : $q_{\mathrm{ext}} = 1$ si $m \leq 1$, et $\frac1m$ si $m >
1$.

**8.** Pour $m \neq 1$, avec $p = \frac m{m+1}$, $q =
\frac1{m+1}$ : si $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$, alors

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

donc $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} -
1}{m^{n+2} - 1}$ ; le cas de base $q_0 = 0$ est vérifié. Pour $m = 1$ : $G(t) = \frac1{2 - t}$ et $q_{n+1} = \frac1{2 -
\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$, avec $q_0 = 0$.

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$. Pour $m < 1$ le dénominateur tend vers $-1$ : $1 - q_n \sim (1 -
m)\,m^n$. Pour $m > 1$ :

$$
q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

Et $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ évaluée en $t = \frac
qp$ (où $1 - pt = 1 - q = p$) donne $G'(q_{\mathrm{ext}})
= \frac qp = \frac1m$ : le rapport observé $m^{-1}$ est exactement la dérivée au point fixe attractif.

**10.** Pour $p = \frac12$ : $G''(t) = \frac{1/4}{(1 -
t/2)^3}$, donc $G''(1) = 2$ et $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 =
2$. La forme close donne $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la probabilité de survie décroît comme $1/n$ — trop lentement pour être [sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable), contrairement à tout taux sous-critique.

**11.** Récurrence : $G_1(t) = \frac1{2-t}$ correspond à la formule pour $n = 1$, et

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

Puis

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

la [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) de la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) géométrique $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1}
\bigr)$ sur $\N^*$ ([Exemple 23.4](#ex-b2-genfun-classical)) : conditionnée à la survie, $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) =
\frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$, de moyenne conditionnelle $n + 1$. La moyenne non conditionnelle $1 = \E(Z_n)$ est le produit d’une probabilité de survie tendant vers zéro et d’une taille conditionnelle croissant linéairement.

**12.** Si la lignée s’éteint à la génération $n$, alors $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ est finie ; si elle ne s’éteint jamais, $Y \geq \sum_n 1 = \infty$. Donc $\{Y < \infty\}$ est l’[événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) d’extinction et $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$. La dérivation de $H(t) = tG(H(t))$ dans l’ [Exercice 23.7](#exo-b2-genfun-7) — l’ancêtre contribue le facteur $t$, ses enfants fondent des copies indépendantes de $Y$ comptées via $G$ — n’a utilisé que le [Théorème 23.17](#thm-b2-genfun-compound), valide dans tout régime.

**13.** Avec $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ l’équation s’écrit $tH^2 - 2H + t = 0$, donc $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (la racine avec $H(0) = 0$). En comparant avec la série de Catalan $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([Exemple 11.21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-catalan)) : $H(t) = \frac
t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$, c’est-à-dire $\P(Y =
2k+1) = C_k2^{-2k-1}$. Vérifications : $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (l’ancêtre n’a pas d’enfant) ; $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (deux enfants, tous deux sans enfant : $\frac12\cdot\frac12\cdot
\frac12$).

**14.** En dérivant $H = tG(H)$ sur $\intoo01$ et en faisant $t \to 1^-$ (limites monotones comme dans le [Théorème 23.7](#thm-b2-genfun-moments)) : $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr)
= G(H(1))$. Dans le cas sous-critique $H(1) = 1$ et $\E(Y) =
H'(1) = \frac1{1 - m}$. Dans le cas critique $G'(1) = 1$ annule le facteur de gauche tandis que le membre de droite vaut $1$ : aucun $H'(1)$ fini ne peut exister, donc $\E(Y) = \infty$ — pourtant $\P(Y < \infty) = q = 1$.

**15.** $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ d’après l’ [Exemple 6.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ex-b2-comparison-centralbinomial), donc

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

En sommant la queue (comparaison avec $\int_K^\infty
k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$, par-dessus et par-dessous) : $\P(Y > 2K)
\asymp K^{-1/2}$, c’est-à-dire $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — une queue lourde d’[espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) infinie, quantifiant la question 14.

**16.** Les deux objets critiques — le temps de retour de la marche équilibrée (le problème du week-end du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#ch-b2-proba)) et la descendance totale critique — sont presque sûrement finis d’[espérance](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-expectation) infinie, avec des [lois](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) locales d’exposant $-3/2$ et des queues d’exposant $-1/2$. Ce n’est pas une coïncidence : explorer un arbre généalogique enfant par enfant produit un chemin $\pm1$ (un pas vers le haut par naissance, un pas vers le bas par mort) qui est exactement une marche équilibrée, et $Y$ devient un temps de premier passage. La criticité signifie dérive nulle : le processus est toujours au bord de l’extinction et de l’explosion, et les fluctuations à l’échelle $\sqrt{}$ de l’aléa sans dérive produisent précisément ces exposants.

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ a des termes positifs, donc elle est croissante sur $\intco01$ de limite finie $G''(1) = \sigma^2$ (la criticité fait $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$) ; une fonction croissante de limite égale à la valeur au bord est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $1$. Taylor avec reste intégral au point $1$ :

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

puisque $G''(s) = G''(1) + o(1)$ quand $s \to 1^-$.

**18.** En réduisant au même dénominateur, $h(t) =
\frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$. Par la question 17 le numérateur est $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ et $1 - G(t) = (1 -
t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$, donc $h(t) \to b$.

**19.** Par définition de $h$ en $t = q_j$ et $G(q_j) =
q_{j+1}$ : $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$ ; en sommant à partir de $j = 0$ ($q_0 = 0$) on obtient l’égalité affichée. Puisque le processus critique s’éteint, $q_j \uparrow 1$, donc $h(q_j) \to b$ et la moyenne de Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j)
\to b$ : $\frac1{1-q_n} \sim bn$, c’est-à-dire

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** Cas géométrique critique : $\sigma^2 = 2$ (question 10), donc Kolmogorov prédit $1 - q_n \sim \frac1n$ — et la valeur [exacte](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#def-b2-multint-exact) est $\frac1{n+1}$.

**21.** Puisque $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$, $\E(Z_n
\mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 -
q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$. Dans le cas géométrique c’est $n + 1$, correspondant exactement à la question 11 ($\sigma^2 = 2$). Le tableau critique : l’extinction est certaine, la taille moyenne est figée à $1$, et les rares lignées survivantes ont une taille croissant linéairement — chaque facteur équilibrant l’autre.

**22.** Pour une reproduction $\mathcal P(\lambda)$, $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$ et la probabilité d’extinction est la plus petite racine de $q = \eu^{\lambda(q-1)}$. Numériquement : $\lambda = 1.5$ donne $q \approx 0.417$ (itérer $q \mapsto
\eu^{1.5(q-1)}$ : $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$) ; $\lambda = 2$ donne $q \approx 0.203$. Ainsi un unique cas index déclenche une épidémie majeure avec probabilité $58\%$ ($\lambda = 1.5$) ou $80\%$ ($\lambda = 2$) — probable, non certaine. L’itération partant de $q_0 = 0$ [converge](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#def-b2-integration-improper) vers la *plus petite* racine car $G$ est croissante : par récurrence $q_n \leq r$ pour tout point fixe $r$, et $(q_n)$ croît (c’est $\P(Z_n = 0)$), donc sa limite est un point fixe en dessous de tous les autres.

**23.** Les $k$ ancêtres fondent des arbres généalogiques [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence), et l’extinction totale est l’intersection de $k$ [événements](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) d’extinction [indépendants](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-independence) : probabilité $q^k$. Pour $\lambda = 1.5$ : la probabilité d’épidémie $1 - q^k \geq 0.99$ requiert $q^k \leq 0.01$, c’est-à-dire $k \geq
\frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$ : six cas initiaux rendent l’épidémie certaine à $99\%$.

**24.** *$G'(q) < 1$ :* $G - \mathrm{id}$ est [convexe](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/17-espaces-affines#def-b2-affine-convex) et s’annule en $q$ et $1$, donc elle est $\leq 0$ sur $\intcc
q1$ ; si $G'(q) = 1$, la [tangente](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/18-courbes#def-b2-curves-arc) en $q$ (que la convexité place sous $G$) forcerait $G(t) \geq t$ sur $\intcc q1$, d’où $G \equiv \mathrm{id}$ sur cet intervalle, annulant tous les coefficients $p_n$ ($n \geq 2$) et contredisant $m > 1$. *Convergence géométrique :* $q_n < q$ pour tout $n$ (récurrence, $G$ croissante), et le théorème des accroissements finis donne $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ avec $c_n \in \intoo{q_n}q$, donc $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ et $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$. *Processus compagnon :* $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ a des coefficients positifs et $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$ : une [fonction génératrice](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) ; sa moyenne est $\widehat G'(1) = G'(q) < 1$ : sous-critique. Famille géométrique : $G(t) = \frac{q}{1-pt}$, $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$, et

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) de reproduction géométrique avec $p$ et $q$ échangés — le processus surcritique vu sur son [événement](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/21-probabilites-sur-les-espaces-denombrables#def-b2-proba-space) d’extinction est le processus sous-critique miroir.

**25.** Le tableau : $m < 1$ : $q = 1$, $\P(Z_n > 0)
\asymp m^n$ (questions 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$, générations survivantes de moyenne conditionnelle bornée. $m = 1$ : $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogorov), $\E(Y) = \infty$ avec $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$, survivants de taille $\sim \frac{\sigma^2n}2$. $m > 1$ : $q < 1$ est le plus petit point fixe, $q - q_n = O(G'(q)^n)$, croissance $\E(Z_n) = m^n$, et conditionné à mourir le processus est le compagnon sous-critique (question 24). Les outils : la composition des [fonctions génératrices](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ex-b2-powerseries-fibonacci) a transformé la récurrence de population en itération de fonction ; la convexité a fixé la géométrie des points fixes ; Taylor en $1^-$ a converti les hypothèses de moments en développements locaux ; et la moyenne de Cesàro a extrait le $1/n$ de Kolmogorov d’une somme télescopique. Le volume de troisième année ajoute la martingale $Z_n/m^n$ — dont la limite presque sûre raffine $\E(Z_n) = m^n$ en un taux de croissance trajectoire par trajectoire — et le théorème de Yaglom, la [loi](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#def-b2-randomvar-law) limite derrière la géométrie conditionnelle observée à la question 11.