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title: "Espaces vectoriels normés"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes
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# Chapitre 5 — Espaces vectoriels normés

Lorsque l’[espace métrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-def) est un espace vectoriel et que la distance provient d’une [norme](#def-b2-nvs-norm), la topologie et l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) linéaire commencent à interagir : les applications linéaires sont [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) exactement lorsqu’elles sont bornées sur la boule unité, la dimension finie force toutes les [normes](#def-b2-nvs-norm) à coïncider, et la complétude transforme les séries absolument convergentes en séries convergentes. La distinction dimension finie/infinie — cristallisée dans le théorème de Riesz — est la leçon la plus profonde du chapitre.

Dans tout le chapitre, $E, F$ sont des espaces vectoriels sur $K = \R$ ou $\C$.

## 5.1 Normes

**Définition 5.1.**

Une *norme* sur $E$ est une application $\norm{\,\cdot\,} \colon E
\to \R_+$ vérifiant, pour tous $x, y \in E$, $\lambda \in K$ :

$$
\norm x = 0 \iff x = 0,
\qquad
\norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x,
\qquad
\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .
$$

Alors $d(x, y) = \norm{x - y}$ est une distance, et tout le [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ch-b2-metric) s’applique. L’inégalité triangulaire inversée $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ rend la norme elle-même $1$-lipschitzienne ; l’addition et la multiplication par un scalaire sont [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) (estimations $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq
\norm{x - x'} + \norm{y - y'}$, etc.).

**Exemple 5.2.**

Sur $K^n$ :

$$
\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i},
\qquad
\norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2},
\qquad
\norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}
$$

($\norm\cdot_2$ est une [norme](#def-b2-nvs-norm) d’après Cauchy–Schwarz, volume de première année). Sur $C(\intcc{a}{b})$ :

$$
\norm f_\infty = \sup \abs f,
\qquad
\norm f_1 = \int_a^b \abs f,
\qquad
\norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},
$$

les deux dernières étant des [normes](#def-b2-nvs-norm) grâce à la stricte positivité de l’intégrale et à l’inégalité de Cauchy–Schwarz intégrale (volume de première année). Sur les matrices : n’importe quelle [norme](#def-b2-nvs-norm) sur $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; les [normes d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) ci-dessous sont les plus importantes structurellement.

**Définition 5.3 (Normes équivalentes).**

Deux [normes](#def-b2-nvs-norm) $N_1, N_2$ sur $E$ sont *équivalentes* lorsqu’il existe des constantes $c, C > 0$ telles que

$$
c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 .
$$

Deux [normes](#def-b2-nvs-norm) équivalentes ont les mêmes [ouverts](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology), les mêmes suites convergentes et de Cauchy, les mêmes parties [compactes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) et complètes : la même analyse.

**Exemple 5.4 (Non-équivalence en dimension infinie).**

Sur $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ toujours, mais aucune borne inverse ne tient : $f_n(x) = x^n$ vérifie $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Ainsi $f_n \to 0$ pour $\norm\cdot_1$ mais pas pour $\norm\cdot_\infty$ : les deux [normes](#def-b2-nvs-norm) sont en désaccord sur la convergence elle-même.

**Exemple 5.5 (Constantes explicites en dimension nnn).**

Sur $K^n$, les trois [normes](#def-b2-nvs-norm) classiques sont [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) avec des constantes optimales :

$$
\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1
\leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,
$$

la borne médiane $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ provenant de Cauchy–Schwarz contre le vecteur constant égal à $1$. Vecteurs extrémaux : $e_1$ rend les deux premières inégalités des égalités, $(1, 1, \dots, 1)$ les deux dernières. La dimension $n$ figure visiblement dans les constantes — la graine quantitative de l’échec en dimension infinie : lorsque $n \to \infty$, aucune constante uniforme ne survit, ce qui est exactement ce que l’[Exemple 5.4](#ex-b2-nvs-nonequivalent) exhibe sur les espaces de fonctions.

![Les boules unités des trois normes classiques de ℝ2, emboîtées comme le dictent les inégalités de l’ : plus la boule est petite, plus la norme est grande. La rotondité compte : les côtés plats du losange et du carré sont exactement les défauts de stricte convexité exploités dans le problème du week-end du et dans celui de ce chapitre (question 4).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-nvs/fig-89dd87920119.svg)

*Les boules unités des trois [normes](#def-b2-nvs-norm) classiques de $\R^2$, emboîtées comme le dictent les inégalités de l’[Exemple 5.5](#ex-b2-nvs-constants) : plus la boule est petite, plus la [norme](#def-b2-nvs-norm) est grande. La rotondité compte : les côtés plats du losange et du carré sont exactement les défauts de stricte convexité exploités dans le problème du week-end du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#ch-b2-realfun) et dans celui de ce chapitre (question 4).*

## 5.2 Applications linéaires continues

**Théorème 5.6 (Caractérisation).**

Pour une application linéaire $u \colon E \to F$ entre espaces normés, les propriétés suivantes sont [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) :

1. $u$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ;
2. $u$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $0$ ;
3. $u$ est bornée sur la boule unité fermée : $\sup_{\norm x \leq  1} \norm{u(x)} < \infty$ ;
4. il existe $C \geq 0$ tel que $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ pour tout $x$ ;
5. $u$ est [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) .

Le plus petit tel $C$ est la *norme d’opérateur* $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0}
\frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$ ; elle fait de l’espace $\mathcal{L}_c(E,
F)$ des applications linéaires [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) un espace normé, avec

$$
\vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u .
$$

**Démonstration.** (1 $\Rightarrow$ 2) trivial. (2 $\Rightarrow$ 3) : la continuité en $0$ avec $\varepsilon = 1$ fournit $\delta$ tel que $\norm x \leq \delta
\Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$ ; l’homogénéité ramène alors tout $x$ vérifiant $\norm x \leq 1$ dans cette boule puis en revient :

$$
\norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq
\frac1\delta ,
$$

car $\norm{\delta x} \leq \delta$. (3 $\Rightarrow$ 4) : pour $x \neq 0$, appliquer la borne à $\frac{x}{\norm x}$. (4 $\Rightarrow$ 5) : $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq
C\norm{x - y}$. (5 $\Rightarrow$ 1) connu.

Axiomes de [norme](#def-b2-nvs-norm) pour $\vertiii\cdot$ : l’homogénéité et la séparation sont claires ($\vertiii u = 0$ force $u = 0$ sur la boule, donc partout) ; l’inégalité triangulaire vient de $\norm{(u + v)(x)} \leq
\norm{u(x)} + \norm{v(x)}$. Sous-multiplicativité : $\norm{v(u(x))}
\leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$. ∎

**Exemple 5.7.**

Sur $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : l’évaluation $f \mapsto f(0)$ a pour [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) $1$ ; l’intégration $f \mapsto
\int_0^1 f$ a pour [norme](#def-b2-nvs-norm) $1$ ; l’application $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ a pour [norme](#def-b2-nvs-norm) $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (borne supérieure par l’inégalité triangulaire pour les intégrales ; atteinte en $f \equiv 1$). Mais la dérivation, de $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ vers $(C^0,
\norm\cdot_\infty)$, n’est *pas* [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) : $\norm{\sin(nx)}_\infty
= 1$ tandis que la dérivée a pour [norme](#def-b2-nvs-norm) sup $n$. Linéaire n’implique pas [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en dimension infinie.

**Exemple 5.8 (Deux normes, deux verdicts sur une même suite).**

Sur $C(\intcc01)$, posons $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$. Alors

$$
\norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0,
\qquad
\norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12,
\qquad
\norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty :
$$

une seule suite, trois [normes](#def-b2-nvs-norm), trois comportements — convergence vers zéro, absence de convergence (les [normes](#def-b2-nvs-norm) se stabilisent à $\frac1{\sqrt2}$ mais la limite simple est $0$), et explosion. La masse qui se concentre près de $x = 1$ est invisible pour $\norm\cdot_1$, à demi visible pour $\norm\cdot_2$, dominante pour $\norm\cdot_\infty$. En dimension infinie, « converge-t-elle ? » n’est pas une question portant sur une suite : c’est une question portant sur une suite *et* une [norme](#def-b2-nvs-norm).

**Méthode 5.9 (Calculer une norme d’opérateur).**

Toujours en deux temps. *Borne supérieure :* estimer $\norm{u(x)}$ par $C\norm x$ à l’aide d’inégalités triangulaires, de Cauchy–Schwarz ou de bornes intégrales — cela prouve $\vertiii u
\leq C$. *Témoin :* exhiber soit un $x_0 \neq 0$ précis vérifiant $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (la borne est atteinte), soit une suite de vecteurs unitaires $x_n$ avec $\norm{u(x_n)} \to C$ (la borne est approchée). Les deux temps sont obligatoires : une borne supérieure seule ne donne que $\vertiii u \leq C$, un témoin seul que $\vertiii u \geq C$. En dimension infinie, le témoin peut devoir être une suite — le supremum n’a pas à être atteint ([Exercice 5.8](#exo-b2-nvs-8)).

**Exemple 5.10 (Les opérateurs diagonaux voient toutes les normes de la même façon).**

Pour $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ sur $K^n$ muni de *l’une quelconque* des [normes](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2,
\norm\cdot_\infty$ : de $\abs{d_ix_i} \leq
\bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ coordonnée par coordonnée, $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$ ; et $x = e_{j_0}$ (un indice maximisant) l’atteint. Donc $\vertiii D =
\max_j\abs{d_j}$ dans les trois cas : pour les applications diagonales, toutes les [normes](#def-b2-nvs-norm) raisonnables racontent la même histoire, le plus grand facteur d’étirement. Toute la difficulté des [normes d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) porte sur le comportement *non* diagonal — c’est pourquoi les [normes](#def-b2-nvs-norm) adaptées du problème du week-end de ce chapitre (question 22) fonctionnent en forçant d’abord une matrice à devenir diagonale.

**Exemple 5.11 (Sommes de colonnes : le jumeau en norme 111 de l’Exercice 5.4).**

Sur $(\R^n, \norm\cdot_1)$, la [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) d’une matrice $A$ est la plus grande somme de *colonne* en valeur absolue. Déroulons la méthode : pour $\norm x_1 \leq 1$,

$$
\norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr|
\leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}}
\leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 ,
$$

et la borne est atteinte en $x = e_{j_0}$ pour une colonne maximisante $j_0$ — le témoin le plus net qui soit. Ainsi pour $A =
\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$, tandis que $\vertiii A_\infty = 4$ également (lignes) — une coïncidence ici, non une loi : transposez les coefficients de la matrice de façon asymétrique et les deux [normes](#def-b2-nvs-norm) se séparent. Les lignes pour $\norm\cdot_\infty$, les colonnes pour $\norm\cdot_1$ : le moyen mnémotechnique est que les vecteurs unitaires de chaque [norme](#def-b2-nvs-norm) (motifs de signes, resp. vecteurs de base) sélectionnent les sommes correspondantes.

**Proposition 5.12 (Applications bilinéaires).**

Une application bilinéaire $b \colon E \times F \to G$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) si et seulement si $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ pour un certain $C$ ; elle est alors [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur les parties bornées. (Même schéma de preuve ; le produit $(u, v) \mapsto v \circ u$ et la multiplication matricielle en sont les exemples clés.)

**Démonstration.** Si la borne est vérifiée :

$$
b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0),
$$

donc $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y +
C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$ : continuité en $(x_0, y_0)$, et une borne [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) là où $\norm x, \norm y \leq R$. Réciproquement, la continuité en $(0,0)$ fournit $\delta$ tel que $\norm{b(x,y)} \leq 1$ sur $\norm x, \norm y \leq \delta$ ; on dilate les deux variables. ∎

## 5.3 Dimension finie

**Théorème 5.13 (Équivalence des normes en dimension finie).**

Sur un espace de dimension finie, *toutes les [normes](#def-b2-nvs-norm) sont [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent)*. Par conséquent, en dimension finie : la convergence, le caractère [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology), la compacité, la complétude sont des notions indépendantes de la [norme](#def-b2-nvs-norm) ; [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) $=$ fermé et borné ; l’espace est [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) ; et toute application linéaire (ou multilinéaire) *issue d’*un espace de dimension finie est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity).

**Démonstration.** Fixons une base et identifions $E \simeq K^n$ ; il suffit de comparer toute [norme](#def-b2-nvs-norm) $N$ à $\norm\cdot_\infty$.

*Un sens relève de l’[algèbre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-algebra) :* $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq
\sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ avec $C = \sum N(e_i)$. Ceci montre aussi que $N$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ (elle est $C$-lipschitzienne : $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$).

*L’autre relève de la topologie :* la sphère unité $S = \{x :
\norm{x}_\infty = 1\}$ est fermée et bornée dans $(K^n,
\norm\cdot_\infty)$, donc compacte ([Théorème 4.16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-compactprops) (2), valable pour $\C^n \simeq
\R^{2n}$). La fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $N$ atteint son minimum $c$ sur $S$ ; $c > 0$ car $N$ ne s’annule qu’en $0 \notin S$. L’homogénéité propage la borne : $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ pour tout $x$.

Conséquences : tous les énoncés se ramènent à $(K^n,
\norm\cdot_\infty)$, où ils sont connus ([Théorème 4.9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-rncomplete), [Théorème 4.16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-compactprops)) ; une application linéaire $u$ issue d’un $E$ de dimension finie vérifie $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i}
\norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$ : la borne (4) du [Théorème 5.6](#thm-b2-nvs-continuouslinear). ∎

**Corollaire 5.14.**

Tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé quelconque est fermé.

**Démonstration.** Il est [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) pour la [norme](#def-b2-nvs-norm) induite ([Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)), et les parties complètes sont fermées ([Définition 4.7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete)). ∎

**Exemple 5.15 (Une meilleure approximation calculée par symétrie).**

Dans $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$, à quelle distance $f(x) = \abs x$ se trouve-t-elle du sous-espace (fermé, de dimension deux) des fonctions affines $a + bx$ ? Par symétrie, remplacer $a + bx$ par $a - bx$ laisse $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$ inchangée, et le milieu $a$ fait au moins aussi bien (inégalité triangulaire sur la moyenne) : il suffit de considérer les constantes. Pour une constante $a$ :

$$
\norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a)
\geq \frac12 ,
$$

minimisée en $a = \frac12$ : la distance vaut $\frac12$, atteinte par la constante $\frac12$. Remarquons la courbe d’erreur $\abs x -
\frac12$ : elle atteint $\pm\frac12$ alternativement en $x = -1, 0,
1$ — trois extrema de signes alternés pour une meilleure approximation issue d’une famille à deux paramètres. Ce schéma d’*équioscillation* n’est pas fortuit ; c’est la signature d’optimalité que le problème du week-end de ce chapitre transforme en théorème de Tchebychev.

**Exemple 5.16 (Sous-espaces fermés contre sous-espaces denses).**

Dans $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : chaque $\R_n[X]$ (polynômes de degré $\leq n$, restreints à $\intcc01$) est un sous-espace de dimension finie, donc *fermé* — une limite uniforme de polynômes de degré $\leq n$ en est un. Mais la réunion $\R[X]$ de tous ces sous-espaces est *dense* dans $E$ (le théorème d’approximation de Weierstrass, démontré au [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq)), et des sous-espaces propres denses sont aussi peu fermés qu’on puisse l’être. La morale : la fermeture des sous-espaces est un privilège de la dimension finie ; empiler des étages fermés peut construire un gratte-ciel dense.

**Théorème 5.17 (Riesz).**

La boule unité fermée d’un espace normé $E$ est compacte *si et seulement si* $\dim E < \infty$.

**Démonstration.** Dimension finie : fermée et bornée suffit ([Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)).

Réciproquement, supposons $\dim E = \infty$. *Lemme de Riesz :* pour tout sous-espace fermé propre $F \subsetneq E$ et tout $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$, il existe un vecteur unitaire $x$ tel que $d(x, F) \geq 1 -
\varepsilon$. Preuve : choisir $y \notin F$, poser $\delta = d(y, F) > 0$ ($F$ fermé), choisir $f \in F$ tel que $\norm{y - f} \leq
\frac{\delta}{1 - \varepsilon}$, et poser $x = \frac{y - f}{\norm{y -
f}}$ : pour tout $g \in F$,

$$
\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}}
\geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon ,
$$

le numérateur étant une distance de $y$ à un point de $F$.

Construisons maintenant des vecteurs unitaires $x_1, x_2, \dots$ par récurrence : $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ est de dimension finie, donc fermé ([Corollaire 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)) et propre ; le lemme de Riesz avec $\varepsilon = \frac12$ fournit un vecteur unitaire $x_{k+1}$ tel que $d(x_{k+1}, F_k) \geq \frac12$. La suite vérifie $\norm{x_p - x_q} \geq \frac12$ pour $p \neq q$ : aucune sous-suite convergente — la boule unité n’est pas compacte. ∎

**Exemple 5.18 (Riesz comme détecteur de dimension).**

$C(\intcc01)$ est-il de dimension finie ? Riesz répond sans exhiber aucune famille libre infinie explicite : la suite $f_n(x) = x^n$ appartient à la boule unité fermée et vérifie, pour $m > n$, $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ en des points bien choisis — quantifié proprement dans le problème du week-end de ce chapitre (question 16), où une sous-suite reste à distance mutuelle $\geq \frac14$. Aucune sous-suite convergente, donc la boule n’est pas compacte, donc $\dim C(\intcc01) = \infty$ d’après le [Théorème 5.17](#thm-b2-nvs-riesz). La compacité de la boule unité est une dichotomie parfaite : elle a lieu en dimension finie, échoue en dimension infinie, sans terrain intermédiaire — la géométrie seule lit le type de dimension.

## 5.4 Espaces de Banach

**Définition 5.19.**

Un *espace de Banach* est un espace normé [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete). Exemples : tout espace normé de dimension finie ([Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)) ; $\bigl(C(\intcc{a}{b}),
\norm\cdot_\infty\bigr)$ ([Théorème 4.9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-rncomplete)) ; $\mathcal{L}_c(E, F)$ lorsque $F$ est de Banach (même schéma de preuve que pour les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)). Contre-exemple : $\bigl(C(\intcc{0}{1}),
\norm\cdot_1\bigr)$ ([Exercice 5.7](#exo-b2-nvs-7)).

**Exemple 5.20 (La norme d’opérateur de l’intégration).**

Sur $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$, posons $T(f)(x) =
\int_0^x f(t)\,\dd t$ (un endomorphisme : $T(f)$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)). Déroulons la [Méthode 5.9](#met-b2-nvs-opnorm). Borne supérieure :

$$
\abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq
\norm f_\infty ,
$$

donc $\vertiii T \leq 1$. Témoin : $f \equiv 1$ donne $T(f)(x) =
x$ et $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ : atteinte, $\vertiii T = 1$. Mais notons $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq
\vertiii T^2$ : en effet $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ vérifie $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, atteinte de nouveau en $f \equiv 1$ ; et plus généralement $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — la borne sous-multiplicative $\vertiii T^n = 1$ se trompe d’une factorielle. C’est exactement le phénomène que l’astuce d’itération du problème du week-end du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#ch-b2-metric) convertit en résolubilité globale des équations différentielles linéaires.

**Théorème 5.21 (Convergence absolue dans les espaces de Banach).**

Dans un [espace de Banach](#def-b2-nvs-banach), si $\sum \norm{u_n} < \infty$ alors $\sum u_n$ converge, et $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$. (La théorie complète des séries dans les espaces normés fait l’objet du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series).)

**Démonstration.** Sommes partielles $S_N$ : pour $q > p$, $\norm{S_q - S_p} \leq
\sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$, qui tend vers $0$ (critère de Cauchy pour la série réelle des [normes](#def-b2-nvs-norm)) : $(S_N)$ est de Cauchy, donc convergente. L’inégalité passe à la limite depuis l’inégalité triangulaire finie. ∎

**Exemple 5.22 (Exponentielle de matrice, premier contact).**

L’*exponentielle de matrice* : $\mathcal{M}_n(K)$ munie de n’importe quelle [norme](#def-b2-nvs-norm) sous-multiplicative ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) est de Banach (dimension finie). Alors, pour tout $A$,

$$
\eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}
$$

converge absolument ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, sommable) : bien définie. Le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq) l’exploite systématiquement.

**Exemple 5.23 (Une série de Neumann qui s’arrête).**

Pour $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 &
0\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A < 1$ dans toute [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) construite sur les [normes](#def-b2-nvs-norm) de l’[Exemple 5.2](#ex-b2-nvs-examples), et $A^2 = 0$, donc la série géométrique s’effondre :

$$
(I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A =
\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix},
$$

vérifié par $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$. La nilpotence tronque la série exactement comme elle a tronqué l’exponentielle au [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#ch-b2-reduction) ; et l’exemple calibre les attentes : l’inverse de Neumann est une série infinie en général, un polynôme précisément lorsque la perturbation est nilpotente, et l’erreur après $N$ termes est toujours majorée par le reste géométrique $\vertiii A^{N+1}/(1 -
\vertiii A)$.

**Exemple 5.24 (L’exponentielle d’un générateur de rotation).**

Prenons $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta &
0\end{smallmatrix}\right)$. Alors $A^2 = -\theta^2 I$, donc les puissances cyclent avec une période quatre, et la série se scinde en parties paire et impaire :

$$
\eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!}
= \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I
+ \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr)
\frac{A}{\theta}
= \begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix},
$$

tous les réarrangements étant autorisés par la convergence absolue. L’ exponentielle d’un générateur antisymétrique est une rotation — calculée ici purement à partir de la série, trois chapitres avant que l’équation différentielle $x' = Ax$ ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq)) n’explique *pourquoi* : $\eu^{tA}$ est un mouvement circulaire uniforme. L’éclairage final : les identités entre séries matricielles se démontrent exactement comme les scalaires, dès qu’une [norme](#def-b2-nvs-norm) sous-multiplicative certifie la convergence absolue.

**Exemple 5.25 (La norme sup signifie uniforme : le dictionnaire).**

L’énoncé $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ *est* la convergence uniforme : un seul nombre, $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$, majore l’erreur en tout point simultanément. Le dictionnaire à l’œuvre sur $f_n(x) = x^n$ sur $\intcc{0}{1}$ : simplement, $f_n
\to 0$ sur $\intco{0}{1}$ et $f_n(1) = 1$ ; en [norme](#def-b2-nvs-norm), $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$, et de fait la limite simple est discontinue, donc hors de portée d’une limite en $\norm\cdot_\infty$ dans $C(\intcc01)$ (qui est fermé pour les limites uniformes, [Théorème 4.9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-rncomplete)). Sur $\intcc{0}{a}$, $a < 1$ : $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ — la convergence uniforme rétablie en rétrécissant le domaine. Tout énoncé de convergence du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq) est un énoncé sur cette unique [norme](#def-b2-nvs-norm) ; garder le dictionnaire en tête réduit de moitié ce chapitre.

**Remarque 5.26 (Pièges courants).**

(i) Une [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) dépend des *deux* [normes](#def-b2-nvs-norm) choisies : la même matrice a une $\vertiii\cdot_\infty$ donnée par les sommes de lignes ([Exercice 5.4](#exo-b2-nvs-4)) et une $\vertiii\cdot_1$ différente (sommes de colonnes) ; parler de « la » [norme](#def-b2-nvs-norm) d’une matrice sans nommer les [normes](#def-b2-nvs-norm) sous-jacentes n’a pas de sens. (ii) $\vertiii{AB} \leq
\vertiii A\,\vertiii B$ est une inégalité, en général stricte — les puissances peuvent décroître bien plus vite que ne le suggère la borne $\vertiii A^k$, ce qui est tout l’intérêt des [normes](#def-b2-nvs-norm) adaptées ( problème du week-end de ce chapitre, question 22). (iii) « Linéaire implique [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) » est un privilège de la dimension finie : la dérivation sur les polynômes est linéaire et non bornée ([Exemple 5.7](#ex-b2-nvs-operatornorms)). (iv) La convergence absolue de $\sum u_n$ n’est utile que lorsque l’espace est [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) (l’[Exercice 7.9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#exo-b2-series-9) construit le contre-exemple). (v) En dimension infinie, un supremum sur la boule unité est un vrai supremum : ne pas supposer qu’il est atteint ([Exercice 5.8](#exo-b2-nvs-8)).

**Remarque 5.27 (Perspectives au sein de ce volume).**

Trois rendez-vous sont désormais fixés. Avec le [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ch-b2-series) : dans un [espace de Banach](#def-b2-nvs-banach), les séries absolument convergentes convergent, si bien que les séries géométrique et exponentielle d’opérateurs deviennent des outils quotidiens — inverser $I - A$, définir $\eu^{A}$ ([Exemple 7.2](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#ex-b2-series-neumann)). Avec le [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq) et le [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/11-series-entieres#ch-b2-powerseries) : la convergence des suites de fonctions et des séries entières est la convergence dans $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ ([Exemple 5.25](#ex-b2-nvs-uniformdictionary)), et le rayon de convergence est un énoncé sur les séries géométriques qui dominent. Avec le [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/14-series-de-fourier#ch-b2-fourier) : les [normes](#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_2$ et $\norm\cdot_\infty$ sont réellement en désaccord sur $C(\intcc{0}{1})$ ([Exemple 5.8](#ex-b2-nvs-sqrtnxn)), ce qui explique exactement pourquoi la convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier et la convergence uniforme sont deux théorèmes différents avec deux prix différents.

**Remarque 5.28 (Où ce chapitre est utilisé).**

Les [normes d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) et la série géométrique animent les arguments de perturbation du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/15-calcul-differentiel#ch-b2-diffcalc) (théorème d’inversion locale) et l’[exponentielle de matrice](#ex-b2-nvs-matrixexp) du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/16-equations-differentielles#ch-b2-diffeq) ; l’[équivalence des normes](#thm-b2-nvs-finitedim) autorise silencieusement tout argument « choisissez votre [norme](#def-b2-nvs-norm) préférée » du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq) et au-delà ; et la distinction dimension finie/infinie du théorème de Riesz — rendue quantitative dans le problème du week-end de ce chapitre — est la raison pour laquelle le volume de troisième année a besoin de nouveaux outils (convergence faible, Arzelà–Ascoli, projections dans les espaces de Hilbert) là où ce volume pouvait encore extraire des sous-suites convergentes.

## 5.5 Exercices

**Exercice 5.1 ★.**

Sur $\R^2$, dessiner les boules unités de $\norm\cdot_1$, $\norm\cdot_2$, $\norm\cdot_\infty$, et démontrer les inégalités $\norm x_\infty
\leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ avec les meilleures constantes en dimension $2$.

**Solution de Exercice 5.1.**

Boules unités : un losange ($\norm\cdot_1$), un disque ($\norm\cdot_2$), un carré ($\norm\cdot_\infty$), emboîtés dans cet [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated). Inégalités : $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (un carré est au plus la somme) ; $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (en élevant au carré : $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1}
+ \abs{x_2})^2$) ; $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (deux termes, chacun $\leq \max$). Optimalité : $(1, 0)$ rend les deux premières des égalités ; $(1, 1)$ rend $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ et montre aussi que $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ et $\norm x_1 = \sqrt2 \norm
x_2$ sont les rapports extrêmes dans l’autre sens.

**Exercice 5.2 ★.**

$N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ est-elle une [norme](#def-b2-nvs-norm) sur $C^1(\intcc{0}{1})$ ? La comparer à $\norm{f}_\infty$ : une inégalité tient, l’autre échoue (l’exhiber).

**Solution de Exercice 5.2.**

Axiomes de [norme](#def-b2-nvs-norm) : l’homogénéité et l’inégalité triangulaire sont héritées terme à terme ; séparation : $N(f) = 0$ force $f' = 0$ (donc $f$ constante) et $f(0) = 0$ : $f = 0$. C’est une [norme](#def-b2-nvs-norm).

Comparaison : $\norm f_\infty \leq N(f)$, car $\abs{f(x)} \leq
\abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} +
\norm{f'}_\infty$. La réciproque échoue : prendre $f_n(x) = \frac1n
\sin(nx)$ : alors $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ tandis que $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$. Aucune constante $C$ ne donne $N \leq C\norm\cdot_\infty$.

**Exercice 5.3 ★.**

Calculer la [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) de $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ sur $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr) \to \R$, et du décalage $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ sur $(K^n, \norm\cdot_\infty)$.

**Solution de Exercice 5.3.**

$\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu -
1)\norm f_\infty$, avec égalité pour $f \equiv 1$ : $\vertiii u =
\eu - 1$.

Décalage : $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq
\norm x_\infty$, égalité en $x = e_2$ : $\vertiii S = 1$ (pour $n
\geq 2$).

**Exercice 5.4 ★★.**

Sur $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$, démontrer que la [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) d’une matrice $A$ vaut $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (la plus grande somme de ligne en valeur absolue). La calculer pour $\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{pmatrix}$.

**Solution de Exercice 5.4.**

Borne supérieure : pour $\norm x_\infty \leq 1$,

$$
\abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j
\abs{a_{ij}},
$$

donc $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$. Atteinte : soit $i_0$ réalisant le maximum et prenons $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0
j})$ (coefficients de module $1$) : alors $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0
j}}$. D’où la formule. Pour la matrice donnée : sommes de lignes $3$ et $4$ : $\vertiii A_\infty = 4$.

**Exercice 5.5 ★★.**

Démontrer que $GL_n(K)$ est [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) dans $\mathcal{M}_n(K)$ et que $A
\mapsto A^{-1}$ y est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity). *Indication : pour l’ouverture, si $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ alors $A + H = A(I +
A^{-1}H)$ avec $\vertiii{A^{-1}H} < 1$, et $I + B$ est inversible pour $\vertiii B < 1$ par la série géométrique ([Théorème 5.21](#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)) ; pour la continuité, majorer $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ à l’aide de la même série.*

**Solution de Exercice 5.5.**

*Série géométrique :* pour $\vertiii B < 1$, la série $\sum
B^k$ converge absolument dans l’[espace de Banach](#def-b2-nvs-banach) $\mathcal{M}_n(K)$ ([Théorème 5.21](#thm-b2-nvs-absoluteconvergence), $\vertiii{B^k} \leq
\vertiii B^k$), et

$$
(I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I :
$$

par continuité du produit ([Proposition 5.12](#prop-b2-nvs-bilinear)), $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$, donc $I - B$ est inversible d’inverse la somme (et $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$).

*Ouverture :* pour $A$ inversible et $\vertiii H <
\frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ : $A + H = A(I + A^{-1}H)$ avec $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : inversible. Donc une boule autour de $A$ reste dans $GL_n$.

*Continuité de l’inversion :* avec $B = -A^{-1}H$,

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1}
= \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1},
$$

de [norme](#def-b2-nvs-norm) $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}}
\to 0$ lorsque $H \to 0$.

**Exercice 5.6 ★★.**

Soit $\varphi$ une forme linéaire sur un espace normé $E$. Démontrer que $\varphi$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) si et seulement si $\ker\varphi$ est fermé. *(Si $\ker\varphi$ est fermé et $\varphi \neq 0$, choisir $a$ tel que $\varphi(a) = 1$ et $r > 0$ tel que $B(a, r) \cap \ker\varphi =
\emptyset$ ; en déduire $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ par un argument d’homogénéité sur $a - \frac{h}{\varphi(h)}$.)*

**Solution de Exercice 5.6.**

[Continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $\Rightarrow$ noyau fermé : image réciproque du fermé $\{0\}$ ([Théorème 4.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-globalcontinuity)).

Réciproquement, supposons $\ker\varphi$ fermé et $\varphi \neq 0$. Choisissons $a$ tel que $\varphi(a) = 1$ ; puisque $a \notin \ker\varphi$ et que le noyau est fermé, une boule $B(a, r)$ l’évite. Soit maintenant $h \in E$ avec $\varphi(h) \neq 0$ : le vecteur $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ appartient à $\ker\varphi$, donc est hors de $B(a, r)$ :

$$
\Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r
\quad\Longrightarrow\quad
\abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r},
$$

inégalité trivialement vraie lorsque $\varphi(h) = 0$ aussi : la borne (4) du [Théorème 5.6](#thm-b2-nvs-continuouslinear) : [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity).

**Exercice 5.7 ★★.**

Démontrer que $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ n’est pas [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) : montrer que les fonctions $f_n$, rampes affines de $0$ à $1$ sur $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (valeur $0$ avant, $1$ après), forment une suite de Cauchy sans limite [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $\norm\cdot_1$.

**Solution de Exercice 5.7.**

Soit $f_n$ nulle sur $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$, affine jusqu’à la valeur $1$ en $\frac12$, puis égale à $1$ sur $\intcc{\frac12}{1}$. Pour $m
\geq n$, $f_m - f_n$ est à support dans un intervalle de longueur $\frac1n$ à valeurs dans $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{f_m - f_n}_1 \leq
\frac1n$ : de Cauchy.

Supposons $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ avec $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity). Sur $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ ($\delta$ fixé) : $\int \abs{f} =
\int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ pour $n >
\frac1\delta$, donc $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$, et par stricte positivité $f = 0$ là — pour tout $\delta$ : $f = 0$ sur $\intoo{0}{\frac12}$. De même $f = 1$ sur $\intcc{\frac12}{1}$ (les $f_n$ y valent toutes $1$). Par continuité en $\frac12$ : $0 =
1$, absurde. Aucune limite n’existe : l’espace n’est pas [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete).

**Exercice 5.8 ★★★.**

Sur $E = C(\intcc{0}{1})$ muni de $\norm\cdot_\infty$, considérer

$$
\varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr).
$$

Démontrer que $\varphi$ est une forme linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) bien définie avec $\vertiii\varphi = 1$, mais que le supremum définissant $\vertiii\varphi$ n’est *pas atteint* sur la boule unité fermée. *(Borne supérieure : inégalité triangulaire. [Norme](#def-b2-nvs-norm) $= 1$ : construire une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $f_K$ avec $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ et $f_K(\frac1n)
= (-1)^n$ pour $n \leq K$ — les points $\frac1n$ sont isolés les uns des autres. Non-atteinte : l’égalité forcerait $f(\frac1n) =
(-1)^n$ pour tout $n$, incompatible avec la continuité de $f$ en $0$ puisque $\frac1n \to 0$.)*

**Solution de Exercice 5.8.**

Bien définie et [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) : $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n}
\norm f_\infty = \norm f_\infty$, donc $\varphi$ est une forme linéaire avec $\vertiii\varphi \leq 1$ (la série converge absolument pour chaque $f$).

[Norme](#def-b2-nvs-norm) $1$ : fixons $K$ ; les points $1, \frac12, \dots, \frac1K$ sont deux à deux distincts, donc il existe une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $f_K$, $\norm{f_K}_\infty
\leq 1$, avec $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ pour $n \leq K$ (interpolation affine par morceaux, constante près de $0$). Alors

$$
\varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n}
= 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 .
$$

Non atteinte : si $\norm f_\infty \leq 1$ et $\varphi(f) = 1$, chaque terme doit apporter son maximum : $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ pour tout $n$ (sinon le déficit strict d’un terme ne peut être compensé, tous les termes étant $\leq 2^{-n}$). Donc $f(\frac1n) = (-1)^n$ ; mais $\frac1n \to 0$ et $f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) en $0$, ce qui force la convergence contradictoire de $(-1)^n$. Ainsi le supremum n’est pas un maximum — impossible en dimension finie, où la boule unité fermée est compacte.

**Exercice 5.9 ★★★.**

Soit $E$ un espace normé dans lequel la boule unité fermée est compacte. Redémontrer, sans invoquer le [Théorème 5.17](#thm-b2-nvs-riesz), que toute suite bornée admet une sous-suite convergente, et démontrer que toute forme linéaire sur $E$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) si et seulement si $\dim E < \infty$. *(Pour la dimension infinie, construire une forme discontinue en la définissant librement sur une suite normalisée libre et en la prolongeant — en admettant l’existence d’un supplémentaire algébrique.)*

**Solution de Exercice 5.9.**

*Suites bornées :* une suite bornée se trouve dans une boule fermée $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$, compacte (image de la boule unité compacte par l’homéomorphisme $x \mapsto Rx$) : y extraire.

*Formes linéaires :* si $\dim E < \infty$, toute application linéaire issue de $E$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ([Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)). Réciproquement, supposons $\dim E = \infty$ (ce qui, d’après le [Théorème 5.17](#thm-b2-nvs-riesz), est en fait exclu par l’hypothèse de compacité — l’objet de cette question est l’implication entre les deux propriétés dans les espaces normés généraux) : choisir une suite normalisée libre $(e_n)$, la compléter en une base algébrique (admis), et poser $\varphi(e_n) = n$, $\varphi = 0$ sur les autres vecteurs de base, prolongée linéairement. Alors $\abs{\varphi(e_n)} = n$ avec $\norm{e_n} = 1$ : non bornée sur la boule unité, discontinue. Ainsi « toutes les formes [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) » force la dimension finie.

**Exercice 5.10 ★★.**

Sur $C(\intcc{0}{1})$, démontrer $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm
f_\infty$ *(Cauchy–Schwarz pour la première)*, et montrer à l’aide de la famille $f_n(x) = x^n$ qu’aucune inégalité ne peut être inversée à une constante près : les trois [normes](#def-b2-nvs-norm) sont deux à deux non [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent).

**Solution de Exercice 5.10.**

Cauchy–Schwarz avec la fonction constante $1$ : $\norm f_1 =
\int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1
f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$. Et $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$. Pour $f_n(x) =
x^n$ :

$$
\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad
\norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad
\norm{f_n}_\infty = 1 .
$$

Alors $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to
\infty$ et $\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to
\infty$ : aucune inégalité inverse, aucune paire n’est équivalente.

**Exercice 5.11 ★★.**

(Distance à un hyperplan) Soit $\varphi$ une forme linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) non nulle sur un espace normé $E$. Démontrer que

$$
d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) =
\frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi}
\qquad (x \in E),
$$

et vérifier sur l’[Exercice 5.8](#exo-b2-nvs-8) que l’infimum peut n’être atteint par aucun point de l’hyperplan.

**Solution de Exercice 5.11.**

*Minoration de la distance :* pour $h \in \ker\varphi$, $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq
\vertiii\varphi\,\norm{x - h}$ ; prendre l’infimum sur $h$ : $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$.

*Majoration :* on peut supposer $\varphi(x) \neq 0$. Étant donné $\varepsilon > 0$, choisir un vecteur unitaire $u$ avec $\abs{\varphi(u)} \geq
\vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ et poser $h = x -
\frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$ : alors $\varphi(h) = 0$ et

$$
\norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}}
\leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}.
$$

Faire $\varepsilon \to 0$ : $d(x, \ker\varphi) \leq
\abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ ; égalité.

*Non-atteinte :* prendre $\varphi$ de l’[Exercice 5.8](#exo-b2-nvs-8) ($\vertiii\varphi = 1$, non atteinte) et un $x$ quelconque avec $\varphi(x) \neq 0$. Si un $h \in \ker\varphi$ réalisait $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$, le vecteur unitaire $v = (x -
h)/\norm{x - h}$ vérifierait $\abs{\varphi(v)} =
\abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$ : la [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) serait atteinte — contradiction.

**Exercice 5.12 ★★★.**

Sur $E = \R[X]$ (tous les polynômes), posons $N_1(P) =
\sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ et $N_2(P) =
\sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$. Montrer que $N_1 \leq N_2$ mais que $N_1$ et $N_2$ ne sont *pas* [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) ; en déduire que l’identité $(E, N_2) \to (E, N_1)$ est une bijection linéaire [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) dont l’inverse est discontinu. Montrer enfin que $(E, N_1)$ n’est pas [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete) *(sommes partielles de Taylor de $\eu^x$)*. Ces trois phénomènes sont impossibles en dimension finie — dire pourquoi.

**Solution de Exercice 5.12.**

$N_1 \leq N_2$ est la monotonie du sup en fonction du domaine, donc l’identité $(E, N_2) \to (E, N_1)$ est $1$-lipschitzienne. Pour $P_n(x) =
(x/2)^n$ : $N_2(P_n) = 1$ (atteinte en $x = 2$) tandis que $N_1(P_n) =
2^{-n}$ : une borne $N_2 \leq CN_1$ donnerait $1 \leq C2^{-n}$ pour tout $n$ : impossible. Donc les [normes](#def-b2-nvs-norm) ne sont pas [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) et l’identité inverse est une bijection linéaire discontinue.

*Incomplétude :* posons $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$. Pour $m > n$, $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$ : de Cauchy pour $N_1$. Si $S_n \to P$ dans $(E, N_1)$, alors ponctuellement $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ sur $\intcc{0}{1}$ ; mais un polynôme de degré $d$ ne peut égaler $\eu^x$ sur un intervalle (dériver $d + 1$ fois : le membre de gauche meurt, $\eu^x$ non). Aucune limite dans $E$ : non [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete).

En dimension finie, les trois phénomènes sont impossibles : toutes les [normes](#def-b2-nvs-norm) sont [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent), tout espace normé est [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete), et l’inverse d’une bijection linéaire est linéaire issue d’un espace de dimension finie, donc [continu](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ([Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)).

## 5.6 Problème : meilleure approximation et théorème de Tchebychev

Avec quelle qualité une fonction peut-elle être approchée par des polynômes d’un degré donné, et quel polynôme le fait le mieux ? Du côté de l’existence, la réponse relève de ce chapitre : la compacité en dimension finie fait exister les meilleures approximations. Du côté explicite, un cas non trivial peut se résoudre complètement à la main — parmi tous les polynômes *unitaires* de degré $n$, celui de plus petite [norme](#def-b2-nvs-norm) sup sur $\intcc{-1}{1}$ est le polynôme de Tchebychev (normalisé), de [norme](#def-b2-nvs-norm) $2^{1-n}$ : le *théorème extrémal de Tchebychev*. Le problème démontre les deux côtés, puis mesure à quel point la compacité échoue en dimension infinie : la boule unité de $C(\intcc{0}{1})$ contient des constellations infinies de points à distance mutuelle $1$.

**Problème 5.1.**

Problème du week-end — théorème extrémal de Tchebychev et géométrie de la boule unité

Les [normes](#def-b2-nvs-norm) sans indice sont des [normes](#def-b2-nvs-norm) sup sur le segment indiqué.

**Partie I — Meilleure approximation dans les espaces normés.**

1. Soit $F$ un sous-espace de dimension finie d’un espace normé $E$ et $x \in E$ . Démontrer que la distance $d(x,  F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ est *atteinte* *(se ramener à une partie fermée bornée de $F$ et utiliser le [Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim))* .
2. Une [norme](#def-b2-nvs-norm) est *strictement convexe* lorsque $\norm u = \norm v  = 1$ et $u \neq v$ impliquent $\bigl\Vert\frac{u +  v}2\bigr\Vert < 1$ . Montrer que $\norm\cdot_2$ sur $\R^n$ est strictement convexe *(identité du parallélogramme)* , et que $\norm\cdot_1$ et $\norm\cdot_\infty$ ne le sont pas pour $n \geq 2$ .
3. Démontrer que pour une [norme](#def-b2-nvs-norm) strictement convexe, la meilleure approximation de la question 1 est *unique* .
4. Dans $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ , calculer toutes les meilleures approximations de $x = (0, 1)$ par la droite $F =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : un intervalle de minimiseurs.
5. Dans $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , montrer que la meilleure approximation de $f$ par des *constantes* est unique, égale à $c^* = \frac{\max f  + \min f}{2}$ , de distance $\frac{\max f - \min  f}{2}$ ; calculer les deux pour $f(x) = x^2$ sur $\intcc{0}{1}$ .

**Partie II — Polynômes de Tchebychev.**

6. Montrer qu’il existe exactement un polynôme $T_n$ tel que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ pour tout $\theta$ *(récurrence $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ issue de la formule d’addition du cosinus)* , que $\deg T_n = n$ , et que son coefficient dominant vaut $2^{n-1}$ pour $n \geq 1$ .
7. Montrer $\abs{T_n} \leq 1$ sur $\intcc{-1}{1}$ , avec $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ aux $n + 1$ points $\eta_k =  \cos\frac{k\pi}{n}$ ( $k = 0, \dots, n$ ), et que les racines de $T_n$ sont les $n$ points $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , entrelacées avec les $\eta_k$ .
8. Calculer $T_2, T_3, T_4$ , et vérifier l’alternance de $T_3$ en $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12,  -1$ par évaluation directe.
9. Pour $\abs x \geq 1$, démontrer $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n +  \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$$ et en déduire $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 -  1}\bigr)^n \to \infty$ géométriquement pour $x > 1$ fixé.
10. Démontrer la loi de composition $T_m \circ T_n = T_{mn}$ *(vérifier sur $\intcc{-1}{1}$ et invoquer la rigidité des polynômes)* .

**Partie III — Théorème extrémal de Tchebychev.** Posons $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (unitaire, d’après la question 6).

11. Soit $P$ unitaire de degré $n \geq 1$ vérifiant $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$. En évaluant $D  = Q_n - P$ aux points $\eta_k$ et en comptant les changements de signe, aboutir à une contradiction. Conclure : $$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n}  \qquad\text{pour tout } P \text{ unitaire de degré } n.$$
12. (Cas d’égalité) Supposons $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P =  2^{1-n}$ avec $P$ unitaire de degré $n$ , et posons $D = Q_n  - P \neq 0$ . Montrer $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ pour tout $k$ ; montrer que chacun des $n$ intervalles $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ contient un zéro de $D$ , et qu’un zéro partagé par deux intervalles consécutifs est un point *intérieur* $\eta_k$ où $D' = 0$ également. En conclure que $D$ possède $n$ zéros comptés avec multiplicité, donc $D = 0$ : le minimiseur est exactement $Q_n$ — le *théorème extrémal de Tchebychev* .
13. Reformuler le théorème comme une distance : sur $\intcc{-1}{1}$, $$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$$ avec pour unique meilleure approximation $X^n - Q_n$ ; et montrer par la substitution affine $x = \frac{1+t}2$ que sur $\intcc{0}{1}$ la distance devient $2^{1-2n}$.
14. (Nœuds d’interpolation optimaux) Pour $n$ nœuds $x_1, \dots,  x_n \in \intcc{-1}{1}$ , le polynôme nodal $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ est unitaire de degré $n$ . Déduire de la question 12 quel choix de nœuds minimise $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ , le facteur dépendant des nœuds dans la majoration classique de l’erreur d’interpolation, et donner la valeur minimale.
15. Vérifier le cas $n = 2$ du théorème à la main (trouver directement $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ ), et calculer numériquement la distance de la question 13 sur $\intcc{0}{1}$ pour $n = 10$ . Que dit sa taille sur le graphe de $x^{10}$ ?

**Partie IV — La boule unité de $C(\intcc{0}{1})$.**

16. Soit $g_k(x) = x^{2^k}$ . Montrer $\norm{g_k}_\infty = 1$ et $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ pour $j > k$ *(évaluer au point où $x^{2^k} =  \frac12$)* : une suite bornée explicite sans sous-suite convergente — la boule unité fermée n’est pas compacte, à la main.
17. (Lemme de Riesz, affiné) Soit $F$ un sous-espace propre de *dimension finie* d’un espace normé $E$ . À l’aide de la question 1, produire un vecteur unitaire $x$ tel que $d(x, F) = 1$ exactement — et non seulement $\geq 1 -  \varepsilon$ comme dans le lemme du [Théorème 5.17](#thm-b2-nvs-riesz) .
18. En déduire : dans tout espace normé de dimension infinie, il existe une suite de vecteurs unitaires de distances mutuelles $\geq 1$ , et en redémontrer le théorème de Riesz.
19. Dans $C(\intcc{0}{1})$ , exhiber une telle constellation explicitement : les fonctions triangles $h_n$ à support dans $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ de valeur maximale $1$ . Vérifier $\norm{h_n} = 1$ , $\norm{h_n - h_m} = 1$ pour $n  \neq m$ , et remarquer que $h_n \to 0$ simplement mais pas uniformément.
20. (La précompacité échoue) Montrer que la boule unité fermée de $C(\intcc{0}{1})$ ne peut être recouverte par un nombre fini de boules de rayon $\frac13$ *(chaque telle boule contient au plus un $h_n$)* — à comparer avec l’étape de précompacité dans la preuve du [Théorème 4.20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-borellebesgue) .

**Partie V — Les [normes](#def-b2-nvs-norm) à l’œuvre sur les matrices, et synthèse.**

21. Démontrer que toute [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\lambda$ de $A \in  \mathcal{M}_n(\C)$ vérifie $\abs\lambda \leq  \vertiii A$ pour toute [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) ; appliquer l’ [Exercice 5.4](#exo-b2-nvs-4) pour majorer les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) de $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ et comparer à leur module véritable.
22. ( [Normes](#def-b2-nvs-norm) adaptées) Soit $A$ [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag) , $A =  P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . Montrer que $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ est une [norme](#def-b2-nvs-norm) dont la [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) vérifie $\vertiii A_{N_P} =  \max_i\abs{\lambda_i}$ .
23. En déduire : pour $A$ [diagonalisable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-diag) , $A^k \to 0$ si et seulement si toutes les [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) vérifient $\abs{\lambda_i} < 1$ — l’ [équivalence des normes](#thm-b2-nvs-finitedim) rend la conclusion indépendante de la [norme](#def-b2-nvs-norm) . Vérifier sur $A =  \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 &  1\end{smallmatrix}\right)$ .
24. (Les constantes d’équivalence explosent) Sur $\R_n[X]$ , comparer $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (coefficients) et $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : ce sont deux [normes](#def-b2-nvs-norm) , donc [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) pour chaque $n$ fixé ; mais montrer, à l’aide du minimiseur unitaire de la question 13 sur $\intcc{0}{1}$ , que la meilleure constante $C_n$ dans $N_c \leq  C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ vérifie $C_n \geq  2^{2n-1}$ . Conclure en une phrase pourquoi « toutes les [normes](#def-b2-nvs-norm) sont [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) » meurt en dimension infinie.
25. (Synthèse) Une phrase pour chaque point : où la compacité des boules de dimension finie a fonctionné (questions 1, 12) ; ce que gouverne la stricte convexité ; ce que la constellation des questions 18–19 détruit ; et comment la question 24 quantifie l’échec. Nommer le sommet (le théorème extrémal de Tchebychev) et dire où la meilleure approximation trouve sa maison moderne (le théorème de projection sur les espaces de Hilbert, volume de troisième année, où la complétude remplace la compacité).

**Solution de Problème 5.1.**

**1.** Les candidats à considérer forment $K = \{f \in F
: \norm{x - f} \leq \norm x\}$ : non vide ($0 \in K$), fermé (image réciproque d’un intervalle fermé par l’application [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $f \mapsto
\norm{x - f}$, intersectée avec le fermé $F$, [Corollaire 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)), borné ($\norm f \leq
\norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$). Dans $F$, de dimension finie, fermé et borné signifie [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) ([Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim)) ; la fonction [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) $f
\mapsto \norm{x - f}$ atteint sur $K$ son infimum, qui égale l’infimum sur $F$ tout entier (tout $f \notin K$ donne $\norm{x -
f} > \norm x \geq \inf$).

**2.** Identité du parallélogramme dans $(\R^n,
\norm\cdot_2)$ : $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 +
2\norm v^2$ (développer les carrés de sommes de coordonnées). Pour $u \neq v$ unitaires :

$$
\Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u -
v}^2}{4} < 1 .
$$

Non strictement convexe : pour $\norm\cdot_\infty$, prendre $u = (1, 1, 0,
\dots)$, $v = (1, -1, 0, \dots)$ : vecteurs unitaires de milieu $(1, 0, \dots)$ de [norme](#def-b2-nvs-norm) $1$ ; pour $\norm\cdot_1$, prendre $u = (1,
0, \dots)$, $v = (0, 1, 0, \dots)$ : milieu $(\frac12,
\frac12, 0, \dots)$ de [norme](#def-b2-nvs-norm) $1$.

**3.** Posons $d = d(x, F)$. Si $d = 0$ : $x \in \overline F =
F$ et l’unique minimiseur est $x$. Si $d > 0$ et que $f_1 \neq f_2$ minimisent tous deux : $u = \frac{x - f_1}{d}$ et $v = \frac{x -
f_2}{d}$ sont des vecteurs unitaires distincts, donc

$$
\Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert
= d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d ,
$$

avec $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$ : contredit la définition de $d$. Minimiseur unique.

**4.** $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1)
\geq 1$, avec égalité si et seulement si $\abs t \leq 1$ : les minimiseurs forment le segment $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$, tous à distance $1$ — l’unicité échoue précisément parce que la boule carrée a des côtés plats (question 2).

**5.** Posons $M = \max f$, $m = \min f$ (atteints : compacité). Pour toute constante $c$ : $\sup\abs{f - c} \geq
\max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$, la dernière inégalité car les deux quantités ont pour moyenne $\frac{M-m}2$ ; l’égalité dans les deux force $M - c = c - m$, c’est-à-dire $c = c^* = \frac{M + m}2$. Réciproquement $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) =
\frac{M - m}2$. Meilleure constante unique. Pour $f(x) = x^2$ sur $\intcc01$ : $c^* = \frac12$, distance $\frac12$.

**6.** De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta =
2\cos\theta\cos n\theta$ : les polynômes définis par $T_0 = 1$, $T_1 = X$, $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ vérifient $T_n(\cos\theta)
= \cos n\theta$ par récurrence. Unicité : deux polynômes coïncidant sur $\intcc{-1}{1}$ (une infinité de points) sont égaux. De nouveau par récurrence : $\deg T_n = n$ de coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n \geq 1$ ($T_1$ : coefficient $1 = 2^0$ ; la récurrence le double).

**7.** Tout $x \in \intcc{-1}{1}$ s’écrit $\cos\theta$, et $\abs{\cos n\theta} \leq 1$. En $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$ : $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$, et $1 = \eta_0 > \eta_1 >
\dots > \eta_n = -1$. Racines : $\cos n\theta = 0$ si et seulement si $\theta =
\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : les $n$ points distincts $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$, et comme $\frac{(k-1)\pi}n <
\frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$, chaque racine est strictement comprise entre deux extrema consécutifs.

**8.** $T_2 = 2X^2 - 1$, $T_3 = 4X^3 - 3X$, $T_4 = 8X^4 -
8X^2 + 1$. Pour $T_3$ : $T_3(1) = 1$, $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 -
\tfrac32 = -1$, $T_3(-\tfrac12) = 1$, $T_3(-1) = -1$ : alternance parfaite.

**9.** Posons $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ pour $x \geq 1$ : les racines de $z^2 - 2xz + 1$, avec $u_+u_- = 1$. La suite $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ vérifie $s_{n+1} = 2x\,s_n -
s_{n-1}$ (récurrence de type Newton issue de l’équation du second degré), $s_0 = 1$, $s_1 = x$ : la même récurrence et les mêmes valeurs initiales que $n \mapsto
T_n(x)$, donc $s_n = T_n(x)$ pour tout $n$. Comme $0 < u_- \leq 1
\leq u_+$ avec $u_+ > 1$ pour $x > 1$ : $T_n(x) \geq
\frac{u_+^n}2 \to \infty$ et $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x +
\sqrt{x^2-1}\bigr)^n$. (Pour $x \leq -1$, utiliser la parité $T_n(-x)
= (-1)^nT_n(x)$, claire d’après la récurrence.)

**10.** Pour tout $\theta$ : $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr)
= T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta =
T_{mn}(\cos\theta)$. Les polynômes $T_m \circ T_n$ et $T_{mn}$ coïncident sur $\intcc{-1}{1}$, donc sont égaux.

**11.** $D = Q_n - P$ est de degré $\leq n - 1$ (les termes dominants unitaires s’annulent). Aux extrema : $(-1)^kD(\eta_k) =
2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ par hypothèse. Ainsi $D$ prend des valeurs non nulles de signes alternés aux $n + 1$ points décroissants $\eta_0 > \dots > \eta_n$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, il possède au moins $n$ racines distinctes, une dans chaque intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$. Un polynôme non nul de degré $\leq n - 1$ ne peut avoir $n$ racines ; et $D = 0$ contredit les signes stricts. Contradiction : $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ pour tout $P$ unitaire de degré $n$.

**12.** Maintenant $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k)
\geq 0$ puisque $\abs{P} \leq 2^{1-n}$. Sur chaque $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ ($k = 1, \dots, n$), les valeurs de $D$ aux extrémités ont des signes larges opposés : le théorème des valeurs intermédiaires fournit un zéro $z_k$ dans l’intervalle fermé. Si les $z_k$ peuvent être choisis deux à deux distincts, $D \neq 0$ de degré $\leq n-1$ a $n$ racines : contradiction. Deux intervalles consécutifs ne peuvent partager que le zéro $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ avec $0 < k < n$ (intérieur). Là, $D(\eta_k) = 0$ signifie $P(\eta_k) =
(-1)^k2^{1-n}$, une valeur extrémale de $P$ sur $\intcc{-1}{1}$ atteinte en un point *intérieur* : $P'(\eta_k) = 0$ ; et $\eta_k$ est aussi un extremum intérieur de $T_n$ : $Q_n'(\eta_k) =
0$. Donc $D'(\eta_k) = 0$ : $\eta_k$ est une racine de multiplicité $\geq 2$, compensant l’intervalle partagé. Dans tous les cas $D$ possède au moins $n$ racines comptées avec multiplicité, de degré $\leq n -
1$, donc $D = 0$ : $P = Q_n$. Le théorème extrémal de Tchebychev est démontré : l’unique minimiseur unitaire est $2^{1-n}T_n$, de [norme](#def-b2-nvs-norm) sup $2^{1-n}$.

**13.** Les polynômes unitaires de degré $n$ sont exactement les $X^n - R$ avec $R \in \R_{n-1}[X]$, donc

$$
d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{
unitaire}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n},
$$

uniquement en $R^* = X^n - Q_n$. Substitution $x = \frac{1+t}2$ : si $P$ est unitaire de degré $n$ sur $\intcc01$, alors $t \mapsto
2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ est unitaire sur $\intcc{-1}{1}$ de sup égal à $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$ : d’où $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$, avec égalité exactement pour $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$ : sur $\intcc{0}{1}$ la distance vaut $2^{1-2n}$.

**14.** $\omega$ est unitaire de degré $n$, donc $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ avec égalité si et seulement si $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$, c’est-à-dire si et seulement si les nœuds sont les $n$ racines de $T_n$ : $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ — les *nœuds de Tchebychev*. Valeur minimale : $2^{1-n}$. Des nœuds équidistants sont strictement moins bons ; le facteur d’erreur d’interpolation est minimisé en concentrant les nœuds près des extrémités.

**15.** $n = 2$ à la main : $x^2$ parcourt $\intcc01$, donc $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c})
\geq \frac12$, minimisé en $c = \frac12$ : le trinôme unitaire minimal $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$, valeur $\frac12 = 2^{1-2}$. Pour $n = 10$ sur $\intcc{0}{1}$ : $2^{1-20} =
2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$. Un certain polynôme de degré $9$ reste à deux millionièmes près de $x^{10}$ sur tout $\intcc01$ : à cette échelle les deux graphes sont indiscernables — la platitude de $x^{10}$ près de $0$ laisse les degrés inférieurs faire tout le travail.

**16.** $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$. Pour $j > k$, posons $a = 2^k$, $b = 2^j \geq 2a$, et évaluons en $x_0 = 2^{-1/a}$ (de sorte que $x_0^a = \frac12$) :

$$
g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a}
\geq \frac12 - \frac14 = \frac14 .
$$

Ainsi $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ pour tous $j \neq k$ : aucune sous-suite n’est de Cauchy, aucune ne converge. La boule unité fermée de $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ n’est pas compacte.

**17.** $F$ est fermé ([Corollaire 5.14](#cor-b2-nvs-closedsubspace)) et propre : choisir $y \notin F$, donc $\delta = d(y, F) > 0$. D’après la question 1, la distance est atteinte en un certain $f^* \in F$. Posons $x
= \frac{y - f^*}{\delta}$, un vecteur unitaire ($\norm{y - f^*} =
\delta$). Pour tout $g \in F$ :

$$
\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta}
\geq \frac{\delta}{\delta} = 1 ,
$$

car $f^* + \delta g \in F$. Donc $d(x, F) \geq 1$ ; et $d(x,
F) \leq \norm{x - 0} = 1$ : exactement $1$.

**18.** Dans un $E$ de dimension infinie, construire des vecteurs unitaires par récurrence : $x_1$ arbitraire ; étant donnés $x_1, \dots, x_k$, le sous-espace $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ est de dimension finie, donc propre, et la question 17 donne un vecteur unitaire $x_{k+1}$ avec $d(x_{k+1}, F_k) = 1$ : en particulier $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ pour $i \leq k$. La suite a des distances mutuelles $\geq 1$ : la boule unité contient une suite sans sous-suite convergente, donc n’est pas compacte — le théorème de Riesz, avec la constante optimale $1$.

**19.** Soit $h_n$ affine sur chaque moitié de $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$, de $0$ jusqu’à $1$ au milieu puis de retour à $0$, et nulle ailleurs : [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), $\norm{h_n}_\infty = 1$. Pour $n \neq m$, les supports se rencontrent au plus en une extrémité commune, où toutes deux s’annulent ; au sommet de $h_n$, $h_m = 0$ : $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ exactement. Pour $x > 0$ fixé : $h_n(x) = 0$ dès que $\frac1n < x$, et $h_n(0) = 0$ toujours : $h_n \to 0$ simplement ; mais $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$ : pas uniformément. Une constellation explicite à distance mutuelle $1$ dans la boule unité.

**20.** Une boule de rayon $\frac13$ a un diamètre $\leq
\frac23 < 1$, donc contient au plus un des $h_n$ (deux sont à distance $1$). Un nombre fini de telles boules contient un nombre fini des $h_n$, qui sont en nombre infini : elles ne peuvent recouvrir la boule unité. La précompacité — dont jouissent les [espaces métriques compacts](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact), d’après la preuve du [Théorème 4.20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#thm-b2-metric-borellebesgue) — échoue aussi complètement que possible.

**21.** Si $Ax = \lambda x$ avec $x \neq 0$ : $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$, donc $\abs\lambda \leq \vertiii A$. Pour $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ ([Exercice 5.4](#exo-b2-nvs-4)), donc toute [valeur propre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) a un module $\leq
4$ ; en fait $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ donne $\lambda = 1 \pm
\iu\sqrt6$ de module $\sqrt7 \approx 2.65$ : la borne est valide, non optimale.

**22.** $N_P$ est une [norme](#def-b2-nvs-norm) : $N_P(x) = 0$ force $P^{-1}x = 0$, donc $x = 0$ ; l’homogénéité et l’inégalité triangulaire sont héritées de $\norm\cdot_\infty$ à travers l’application linéaire $P^{-1}$. [Norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) : avec $y = P^{-1}x$ et $D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$,

$$
N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty,
$$

donc $\vertiii A_{N_P}$ est la [norme d’opérateur](#thm-b2-nvs-continuouslinear) en $\norm\cdot_\infty$ de $D$, qui est sa plus grande somme de ligne en valeur absolue ([Exercice 5.4](#exo-b2-nvs-4)) : $\max_i\abs{\lambda_i}$.

**23.** Si tous les $\abs{\lambda_i} < 1$ : $N_P(A^kx) \leq
\rho^kN_P(x)$ avec $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$, donc $A^kx
\to 0$ pour tout $x$, et $A^k \to 0$ dans toute [norme](#def-b2-nvs-norm) sur $\mathcal{M}_n$ (toutes [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) en dimension finie, [Théorème 5.13](#thm-b2-nvs-finitedim) ; la convergence de $A^ke_j$ pour chaque $j$ est la convergence coefficient par coefficient). Si un $\abs{\lambda} \geq 1$ de vecteur propre $x$ : $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x
\not\to 0$. Pour $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 &
1\end{smallmatrix}\right)$ : [valeurs propres](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/3-reduction-des-endomorphismes#def-b2-reduction-eigen) $\frac14(1 \pm 2) =
\frac34, -\frac14$, toutes deux de module $< 1$ : $A^k \to 0$.

**24.** Ce sont deux [normes](#def-b2-nvs-norm) sur $\R_n[X]$, de dimension finie, donc [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) pour chaque $n$. Prenons le minimiseur unitaire $P^*_n$ de la question 13 sur $\intcc01$ : son coefficient de $X^n$ vaut $1$, donc $N_c(P^*_n) \geq 1$, tandis que $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$. D’où

$$
C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}}
\geq 2^{2n-1} .
$$

Les constantes d’équivalence explosent avec la dimension : sur la réunion $\R[X]$, aucune constante unique ne convient, ce qui est exactement la non-équivalence observée dans l’[Exercice 5.12](#exo-b2-nvs-12) — « toutes les [normes](#def-b2-nvs-norm) sont [équivalentes](#def-b2-nvs-equivalent) » est un théorème sur une dimension à la fois, et la dimension infinie est là où il meurt.

**25.** La compacité des parties fermées bornées en dimension finie a produit l’existence des meilleures approximations (question 1) et a alimenté le comptage des zéros aux $n + 1$ points extrémaux (questions 11–12, via des sups atteints). La stricte convexité gouverne l’unicité de la meilleure approximation — les boules rondes donnent un minimiseur, les boules à côtés plats en donnent des segments (questions 2–4). La constellation de vecteurs unitaires à distance mutuelle $1$ (questions 17–19) détruit la compacité de la boule unité et, avec elle, la précompacité (question 20). La question 24 quantifie l’effondrement : les constantes reliant deux [normes](#def-b2-nvs-norm) sur $\R_n[X]$ croissent comme $4^n$, si bien qu’aucune comparaison uniforme ne survit au passage à $\R[X]$. Le sommet est le théorème extrémal de Tchebychev (questions 11–12) : l’unique minimiseur unitaire $2^{1-n}T_n$. La meilleure approximation trouve sa maison moderne dans les espaces de Hilbert, où le théorème de projection remplace la compacité par la complétude plus l’identité du parallélogramme — démontré honnêtement dans le volume de troisième année.