---
title: "Fonctions d’une variable réelle"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle
---

# Chapitre 8 — Fonctions d’une variable réelle

Avant que l’analyse ne passe aux fonctions de fonctions (le [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/10-suites-et-series-de-fonctions#ch-b2-funcseq)), il est utile de connaître le paysage à une variable plus finement que ne l’exigeait la première année : à quel point une fonction monotone peut être discontinue, à quel point une fonction convexe doit être régulière, et quelles propriétés particulières possèdent les dérivées (Darboux). Ces résultats structurels sont courts, tranchants, et chers aux examinateurs.

## 8.1 Fonctions monotones

**Théorème 8.1 (Régularité des fonctions monotones).**

Soit $f \colon I \to \R$ croissante sur un intervalle.

1. En tout point intérieur $a$, les limites latérales existent : $$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\;  f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$$ toute discontinuité est un *saut*.
2. L’ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus [dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) .

**Démonstration.** (1) L’ensemble $\{f(x) : x < a\}$ est non vide, majoré par $f(a)$ : sa borne supérieure $s$ vérifie $f(x) \to s$ quand $x \to a^-$ (étant donné $\varepsilon$, il existe $f(x_0) > s - \varepsilon$, et la monotonie piège $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ pour $x \in
\intoo{x_0}{a}$). Symétriquement à droite.

(2) À chaque discontinuité $a$ on associe l’intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) non vide $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (un véritable saut). Pour des discontinuités $a < b$, $J_a$ et $J_b$ sont disjoints : $f(a^+) \leq
f(c) \leq f(b^-)$ pour tout $c$ entre les deux. Chaque $J_a$ contient un rationnel ; des discontinuités distinctes reçoivent des rationnels distincts : c’est une injection de l’ensemble des discontinuités dans $\Q$, qui est [dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) (la [Proposition 1.6](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#prop-b2-structures-countablestable)). ∎

**Exemple 8.2.**

La borne est optimale : fixons une énumération $(r_n)$ de $\Q \cap
\intoo{0}{1}$ et posons $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (une définition par [famille sommable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable), la [Définition 7.8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable)). Alors $f$ est croissante sur $\intcc{0}{1}$ et discontinue exactement en tout rationnel de $\intoo{0}{1}$ (saut $2^{-n}$ en $r_n$) : une fonction monotone *peut* être discontinue sur un [ensemble dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) dense.

**Exemple 8.3 (Les sauts ne peuvent l’emporter sur la montée).**

Pour $f$ croissante sur $\intcc{a}{b}$, les sauts disposent d’un budget : si $a < c_1 < \dots < c_m < b$ sont des discontinuités de sauts $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$, alors en choisissant des points intercalés $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ et en utilisant la monotonie sur chaque morceau,

$$
\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :
$$

la montée totale majore la somme des sauts. Conséquence : pour chaque $k$, au plus $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ discontinuités ont un saut $\geq \frac1k$ — un raffinement quantitatif du [Théorème 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) (2), puisque l’ensemble des discontinuités est la réunion [dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) sur $k$ de ces ensembles finis. Sur la fonction à sauts rationnels ci-dessus, le budget est dépensé exactement : les sauts $2^{-n}$ ont pour somme $1 = f(1^+) -
f(0^-)$ au sens étendu évident. Les fonctions monotones peuvent sauter de manière dense, mais seulement dans les limites d’une allocation stricte.

## 8.2 Fonctions convexes

**Lemme 8.4 (Inégalité des pentes).**

Soit $f$ convexe sur $I$ et $x < y < z$ dans $I$. Alors

$$
\frac{f(y) - f(x)}{y - x}
\;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x}
\;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :
$$

les pentes des cordes croissent en chacune des deux extrémités.

**Démonstration.** Écrivons $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : une combinaison convexe, puisque les deux coefficients sont positifs et de somme $1$. La convexité donne

$$
f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).
$$

Pour l’inégalité de gauche, retranchons $f(x)$ des deux membres, en utilisant $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

$$
f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),
$$

et divisons par $y - x > 0$. Pour l’inégalité de droite, retranchons plutôt de $f(z)$ :

$$
f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) -
\frac{y-x}{z-x}f(z)
= \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),
$$

et divisons par $z - y > 0$. Les deux étapes affichées sont la même identité barycentrique lue par rapport à une extrémité différente. ∎

**Théorème 8.5 (Régularité des fonctions convexes).**

Soit $f$ convexe sur un intervalle $I$.

1. En tout point intérieur, $f$ possède des dérivées latérales finies $f'_g \leq f'_d$ ; toutes deux sont des fonctions croissantes du point ; en particulier $f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur l’intérieur de $I$ (mais peut-être pas aux extrémités).
2. $f$ est au-dessus de chaque *droite d’appui* : pour $a$ intérieur et tout $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$, $$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$$
3. (Jensen, pondérée) Pour $x_i \in I$ et des poids $\lambda_i  \geq 0$, $\sum\lambda_i = 1$ : $$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i  f(x_i) .$$

**Démonstration.** (1) Fixons $a$ intérieur. D’après le [Lemme 8.4](#lem-b2-realfun-slopes), la pente $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ est une fonction croissante de $h$ (des deux côtés, et $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ pour $h_- < 0 < h_+$). Donc $\tau$ admet une limite finie quand $h \to
0^-$ (croissante, majorée par n’importe quelle pente à droite) — c’est $f'_g(a)$ — et quand $h \to 0^+$ ($f'_d(a)$), avec $f'_g(a)
\leq f'_d(a)$. Des dérivées latérales finies forcent la continuité en $a$. Monotonie en le point : pour $a < b$ intérieurs, $f'_d(a) \leq
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$, de nouveau par l’inégalité des pentes.

(2) Pour $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; pour $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$. Les deux se réarrangent en l’assertion.

(3) Récurrence sur le nombre de points exactement comme dans le volume de première année (le cas à deux points est la définition) — ou d’un seul coup : appliquons (2) en $a = \sum\lambda_i x_i$ et moyennons les inégalités de droite d’appui aux points $x_i$ avec les poids $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) +
m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$. ∎

![La convexité en une image : entre -1.5 et 2, le graphe de f(x) = x2 reste en dessous de sa corde (la définition) et au-dessus de la droite d’appui en x = 0.5 (le (2)) — toute inégalité du problème du week-end de ce chapitre est un réarrangement de ces deux positions.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-cea2e494b53b.svg)

*La convexité en une image : entre $-1.5$ et $2$, le graphe de $f(x) = x^2$ reste en dessous de sa corde (la définition) et au-dessus de la droite d’appui en $x = 0.5$ (le [Théorème 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)) — toute inégalité du problème du week-end de ce chapitre est un réarrangement de ces deux positions.*

**Exemple 8.6 (Discontinuité au bord).**

Sur $\intcc{0}{1}$, la fonction $f(0) = 1$, $f(x) = 0$ pour $x > 0$ est convexe mais discontinue à l’extrémité $0$ : l’assertion (1) est optimale.

**Exemple 8.7 (Coins et le faisceau de droites d’appui).**

Pour $f(x) = \abs x$ en $a = 0$ : les dérivées latérales sont $f'_g(0) = -1$ et $f'_d(0) = +1$, et le [Théorème 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2) fournit une droite d’appui pour *chaque* pente $m \in \intcc{-1}{1}$ :

$$
\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),
$$

chacune étant une égalité exactement sur une demi-droite ou en $0$. Une fonction convexe est dérivable en $a$ précisément lorsque le faisceau se réduit à une seule droite ($f'_g(a) = f'_d(a)$) ; les coins portent tout un intervalle de tangentes. Ce faisceau est le germe en dimension finie du *sous-différentiel* de l’optimisation convexe — et la raison pour laquelle les fonctions convexes sont si robustes : même là où la dérivée fait défaut, la géométrie d’appui subsiste, et c’est tout ce dont s’est servie la démonstration de Jensen.

**Exemple 8.8 (Inégalité des moyennes de puissances).**

Pour $0 < p < q$ et des $x_i$ positifs de poids $\lambda_i$ de somme $1$, en appliquant Jensen à la fonction convexe $t \mapsto t^{q/p}$ aux points $x_i^p$ :

$$
\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p}
\leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :
$$

les moyennes de puissances croissent avec l’exposant — englobant l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne quadratique, et, à la limite $p \to 0$ (l’[Exercice 8.6](#exo-b2-realfun-6)), de nouveau l’inégalité arithmético-géométrique.

![La moyenne de puissance M_p des valeurs 1, 2, 4 (poids égaux), en fonction de l’exposant p : croissante de = 1 (quand p -∈fty) à = 4 (quand p +∈fty), en passant par les moyennes harmonique (p = -1), géométrique (le trou en p = 0, valeur 2), arithmétique (p = 1) et quadratique (p = 2). Toute la chaîne des inégalités classiques entre moyennes est une seule courbe croissante — démontrée dans le problème du week-end de ce chapitre, Partie III.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-251ea49e8840.svg)

*La moyenne de puissance $M_p$ des valeurs $1, 2, 4$ (poids égaux), en fonction de l’exposant $p$ : croissante de $\min = 1$ (quand $p \to -\infty$) à $\max = 4$ (quand $p \to +\infty$), en passant par les moyennes harmonique ($p = -1$), géométrique (le trou en $p = 0$, valeur $2$), arithmétique ($p = 1$) et quadratique ($p
= 2$). Toute la chaîne des inégalités classiques entre moyennes est une seule courbe croissante — démontrée dans le problème du week-end de ce chapitre, Partie III.*

**Exemple 8.9 (Entropie maximale).**

Pour un vecteur de probabilité $(p_1, \dots, p_n)$ (positif, de somme $1$), l’entropie $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ vérifie

$$
H(p) \leq \ln n ,
\qquad\text{avec égalité si et seulement si } p_i = \frac1n
\text{ pour tout } i .
$$

Démonstration par Jensen (le [Théorème 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)) appliqué à la fonction *concave* $\ln$ avec les poids $p_i$ aux points $\frac{1}{p_i}$ :

$$
H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i}
\leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,
$$

l’égalité forçant tous les points $\frac1{p_i}$ à être égaux (concavité stricte), c’est-à-dire $p$ uniforme. De façon équivalente, c’est l’[Exercice 8.7](#exo-b2-realfun-7) avec $q$ uniforme. L’incertitude est maximisée par l’ignorance uniformément répartie — le principe variationnel derrière le codage, la mécanique statistique, et les apparitions de l’entropie du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar).

**Méthode 8.10 (Trouver la fonction convexe derrière une inégalité).**

La plupart des inégalités classiques sont du Jensen déguisé ; pour le déshabiller : (1) normaliser pour qu’apparaisse une *moyenne pondérée* (poids positifs, de somme $1$ — diviser par une masse totale si nécessaire) ; (2) regarder quelle fonction est appliquée à l’intérieur plutôt qu’à l’extérieur de la moyenne : l’assertion « $f(\text{moyenne}) \leq$ moyenne de $f$ » nomme la fonction convexe $f$ ; (3) certifier la convexité par la dérivée seconde, et traiter l’égalité par la stricte convexité ; (4) si aucune moyenne n’est visible, prendre d’abord des logarithmes — produits et puissances deviennent des moyennes, et la concavité de $\ln$ porte l’inégalité arithmético-géométrique, Young et leurs parentes (le problème du week-end de ce chapitre déroule les étapes 1–4 sur chacune d’elles). Si même les logarithmes ne révèlent aucune moyenne, essayer de lire l’inégalité comme une monotonie des pentes (le [Lemme 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) — les énoncés de sur-additivité comme l’[Exercice 8.9](#exo-b2-realfun-9) vivent là.

**Remarque 8.11 (Pièges classiques).**

(i) La convexité n’est pas préservée par produit : $x$ et $(x - 1)^2$ sont convexes sur $\intcc{0}{2}$, mais leur produit $x(x-1)^2$ a pour dérivée seconde $6x - 4$, négative sur $\intco{0}{\frac23}$ — non convexe ; la convexité n’est pas non plus préservée par composition sans monotonie (l’[Exercice 8.10](#exo-b2-realfun-10)). (ii) Jensen se renverse pour les fonctions concaves : la moitié des inégalités classiques sont la version concave en $\ln$ ; appliquer la forme convexe à $\ln$ est le moyen le plus rapide de démontrer l’inégalité arithmético-géométrique *à l’envers*. (iii) La convexité au milieu seule n’implique pas la convexité — il faut la continuité (ou seulement le caractère borné) (l’[Exercice 8.8](#exo-b2-realfun-8)) ; les contre-exemples pathologiques vivent au-delà des axiomes de ce livre. (iv) Une fonction convexe sur un intervalle *[ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology)* est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), et même localement [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) (l’[Exercice 8.12](#exo-b2-realfun-12)) ; aux extrémités, rien n’est gratuit. (v) Les dérivées obéissent à Darboux mais ne sont pas nécessairement [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) (l’[Exemple 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation)) : « $f'$ n’a pas de saut » ne signifie jamais « $f'$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ».

## 8.3 La propriété de Darboux

**Théorème 8.12 (Darboux).**

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors $f'$ prend toute valeur comprise entre deux quelconques de ses valeurs — bien que $f'$ ne soit pas nécessairement [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity).

**Démonstration.** Soient $a < b$ dans $I$ et $v$ strictement compris entre $f'(a)$ et $f'(b)$, disons $f'(a) < v < f'(b)$. La fonction $g(x) = f(x) - vx$ est dérivable avec $g'(a) < 0 < g'(b)$ : son minimum sur $\intcc{a}{b}$ (atteint : continuité sur un [compact](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact)) n’est pas en $a$ (juste après $a$, $g$ décroît en dessous de $g(a)$) ni en $b$ (juste avant $b$, $g$ est en dessous de $g(b)$) : il est intérieur, et là $g'(c) = 0$, c’est-à-dire $f'(c) = v$. (C’était un exercice étoilé de première année ; sa place dans la théorie est ici.) ∎

**Exemple 8.13 (Quelles fonctions sont des dérivées ?).**

Le théorème de Darboux est une machine à non-existence. La fonction partie entière $\lfloor x\rfloor$ n’est la dérivée d’aucune fonction sur $\R$ : elle prend les valeurs $0$ et $1$ mais saute $\frac12$ sur $\intcc{0}{1}$, ce que le [Théorème 8.12](#thm-b2-realfun-darboux) interdit aux dérivées. Le même verdict frappe toute fonction ayant un saut — signe, Heaviside, toutes les fonctions en escalier — si innocentes qu’elles paraissent ; leurs « primitives » ($\abs x$ pour le signe, etc.) n’existent qu’en dehors du saut et s’y nouent en un coin. Par contraste : la $f'$ sauvagement discontinue de l’[Exemple 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation) *est* une dérivée — sa discontinuité est une oscillation, que Darboux tolère. La frontière entre les deux comportements est exactement le corollaire d’absence de saut ci-dessous.

**Corollaire 8.14.**

Une dérivée n’a pas de discontinuité de saut : si $f'(a^-)$ et $f'(a^+)$ existent, elles valent $f'(a)$. Les discontinuités d’une dérivée sont toujours de type oscillation (la dérivée de $x^2\sin\frac1x$ en $0$, volume de première année).

**Démonstration.** Si $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ existe et diffère de $f'(a)$, les valeurs strictement comprises entre les deux seraient sautées par $f'$ sur un voisinage à droite — contredisant Darboux sur les intervalles $\intcc{a}{a + h}$. (Autrement : le théorème des accroissements finis force $f'(a) = \lim_{h\to0^+}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$, le taux d’accroissement étant une valeur de $f'$ en un point intermédiaire.) De même à gauche. ∎

**Exemple 8.15 (La dérivée oscillante canonique).**

Soit $f(x) = x^2\sin\frac1x$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h}
\leq \abs h \to 0$, donc $f'(0) = 0$ existe. En dehors de $0$,

$$
f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,
$$

dont le premier terme tend vers $0$ tandis que $\cos\frac1x$ oscille dans $\intcc{-1}{1}$ sur tout intervalle $\intoo{0}{\delta}$ : la limite $f'(0^+)$ n’existe pas. Ainsi $f'$ est définie partout mais discontinue en $0$ — et, exactement comme le prédit le [Corollaire 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps), la discontinuité est une oscillation, non un saut : sur chaque $\intoo{0}{\delta}$, $f'$ balaie encore tout un intervalle autour de $0$. Les dérivées peuvent être sauvages, mais seulement de la manière compatible avec Darboux.

**Remarque 8.16 (Où ce chapitre est utilisé).**

La convexité est le moteur de l’industrie des inégalités : le problème du week-end de ce chapitre en fabrique Young, Hölder, Minkowski et la chaîne des moyennes de puissances, que la théorie des [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) du [Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ch-b2-nvs) et les estimations intégrales du [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#ch-b2-integration) consomment ; Jensen reparaît en probabilité sous la forme des inégalités de moments du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar). La régularité des fonctions monotones revient au [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration#ch-b2-integration) (les fonctions monotones sont intégrables) et, dans le volume de troisième année, sous la forme de la dérivabilité presque partout des fonctions monotones — où « un [ensemble dénombrable](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-countable) de sauts » devient le premier pas de la théorie de Lebesgue.

## 8.4 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Déterminer les ensembles de discontinuité et les tailles des sauts : $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor
+ \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; la fonction de l’exemple suivant le [Théorème 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) restreinte aux rationnels dyadiques $r_n$.

**Solution de Exercice 8.1.**

$\lfloor x\rfloor$ : sauts de taille $1$ en tout entier. $x -
\lfloor x\rfloor$ : sauts de taille $-1$ aux entiers (limite à gauche $1$, valeur $0$). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor
x\rfloor}$ : en un entier $n$, limite à gauche $(n - 1) + 1 = n$ et valeur $n$ : *[continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)* partout (la racine carrée répare le saut), bien que non dérivable aux entiers. La fonction à sauts rationnels : en restreignant la construction à une énumération des dyadiques, elle saute de $2^{-n}$ exactement au $n$-ième rationnel dyadique et est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ailleurs.

**Exercice 8.2 ★.**

Démontrer qu’une fonction croissante $f \colon I \to \R$ ayant la propriété des valeurs intermédiaires (l’image de tout sous-intervalle est un intervalle) est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity).

**Solution de Exercice 8.2.**

Supposons que $f$ croissante ait une discontinuité en un point intérieur $a$ : alors $f(a^-) < f(a^+)$ (le [Théorème 8.1](#thm-b2-realfun-monotone)) et l’image de $I$ évite l’intervalle [ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) non vide $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ sauf peut-être la seule valeur $f(a)$ : l’image de tout sous-intervalle contenant $a$ dans son intérieur n’est pas un intervalle (il a un trou d’au moins un côté de $f(a)$). Cela contredit la propriété des valeurs intermédiaires. Les discontinuités aux extrémités sont exclues de la même manière avec des trous unilatéraux.

**Exercice 8.3 ★.**

Lesquelles des fonctions suivantes sont convexes sur leur domaine ? $x \mapsto x\ln x$ ($x > 0$) ; $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x
\mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$.

**Solution de Exercice 8.3.**

$x\ln x$ : dérivée seconde $\frac1x > 0$ : convexe. $\ln(1 +
\eu^x)$ : dérivée $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 +
\eu^x}$, croissante : convexe. $\sqrt{1 + x^2}$ : dérivée seconde $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : convexe. $x^3$ : non convexe sur $\R$ ($f''
= 6x$ change de signe) ; convexe seulement sur $\R_+$.

**Exercice 8.4 ★★.**

Soit $f$ convexe sur $\R$ et majorée. Démontrer que $f$ est constante. *(Si $f(a) \neq f(b)$, l’inégalité des pentes propage la pente de corde non nulle : au-delà du point de plus grande valeur, $f$ croît au moins linéairement — ce qui contredit le caractère borné. Traiter les deux signes de la pente.)* En déduire qu’une fonction convexe sur $\R$ admettant une asymptote aux deux bouts est affine.

**Solution de Exercice 8.4.**

Supposons $f(a) \neq f(b)$, disons $f(b) > f(a)$ avec $a < b$ (le cas $f(b) < f(a)$ est symétrique, en regardant à gauche). Pour $x > b$, l’inégalité des pentes (le [Lemme 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) sur $a < b <
x$ donne

$$
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,
$$

ce qui contredit le caractère majoré. Donc $f$ est constante.

Asymptotes : si $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ en $+\infty$ et $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ en $-\infty$, la fonction convexe $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ est majorée au voisinage de $+\infty$ ; la convexité plus une asymptote en $-\infty$ (qui force $\alpha' \leq \alpha$ puis $\alpha' = \alpha$ en comparant les pentes en $\mp\infty$ : les pentes d’une fonction convexe croissent) rend $g$ majorée sur tout $\R$, donc constante $= 0$ à la limite : $f$ est affine.

**Exercice 8.5 ★★.**

Soit $f$ dérivable sur $I$ avec $f'$ monotone. Démontrer que $f'$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) *(combiner le [Théorème 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) et le [Corollaire 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps))*.

**Solution de Exercice 8.5.**

$f'$ est monotone, donc par le [Théorème 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) ses seules discontinuités possibles sont des sauts, avec des limites latérales existant partout. Par le [Corollaire 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps), une dérivée n’a pas de discontinuité de saut. Donc $f'$ n’a aucune discontinuité : [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity).

**Exercice 8.6 ★★.**

(Moyenne géométrique comme limite) Pour des $x_i$ positifs et des poids $\lambda_i$ de somme $1$, démontrer

$$
\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p}
= \prod_i x_i^{\lambda_i} ,
$$

via $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$, et en déduire l’inégalité arithmético-géométrique pondérée à partir de l’[Exemple 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans).

**Solution de Exercice 8.6.**

Prenons les logarithmes :

$$
\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)
= \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i +
O(p^2)\Bigr)
= \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p)
\xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,
$$

en utilisant $\sum\lambda_i = 1$ et $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$. En exponentiant on obtient la moyenne géométrique. Or pour tout $p
\in \intoo{0}{1}$, l’inégalité des moyennes de puissances (l’[Exemple 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans), exposants $p < 1$) donne

$$
\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;
$$

en faisant $p \to 0^+$ à gauche on obtient $\prod_i x_i^{\lambda_i}
\leq \sum_i \lambda_i x_i$ : l’inégalité arithmético-géométrique pondérée.

**Exercice 8.7 ★★.**

(Inégalité d’entropie) À l’aide de la stricte convexité de $t \mapsto
t\ln t$, démontrer que pour des $p_i, q_i$ positifs avec $\sum p_i =
\sum q_i = 1$ :

$$
\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,
$$

avec égalité si et seulement si $p = q$. *(Écrire le membre de gauche sous la forme $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ avec $\varphi(t) = t\ln t$ et appliquer Jensen avec les poids $q_i$.)*

**Solution de Exercice 8.7.**

Avec $\varphi(t) = t\ln t$ (convexe : $\varphi'' = \frac1t > 0$) et les poids $q_i$ aux points $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

$$
\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i}
= \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr)
\;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr)
= \varphi(1) = 0 ,
$$

par Jensen (le [Théorème 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)). L’égalité dans Jensen pour une fonction *strictement* convexe force tous les points $t_i$ à coïncider : $\frac{p_i}{q_i}$ constant, et en sommant, la constante est $1$ : $p = q$. (Cette quantité — la divergence de Kullback–Leibler — revient dans le monde du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar).)

**Exercice 8.8 ★★★.**

(Convexité au milieu) $f \colon I \to \R$ est *convexe au milieu* lorsque $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ toujours. Démontrer qu’une fonction *[continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)* convexe au milieu est convexe. *(Établir l’inégalité de convexité pour les poids dyadiques $\frac{k}{2^m}$ par récurrence sur $m$, puis passer à la limite en utilisant la densité et la continuité.)*

**Solution de Exercice 8.8.**

*Poids dyadiques.* Par récurrence sur $m$ : le cas $m = 1$ est l’hypothèse. Pour un poids $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ ($k$ impair), écrivons $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ avec $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$, tous deux de dénominateur $2^m$ après simplification ; alors

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
= f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr)
\leq \frac{f(u) + f(v)}{2}
\leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),
$$

où $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ et $v = \lambda_2 x +
(1-\lambda_2)y$, en utilisant la convexité au milieu puis l’hypothèse de récurrence sur $u, v$.

*Passage à la limite.* Pour un $\lambda \in \intcc{0}{1}$ quelconque, prenons des dyadiques $\lambda_n \to \lambda$ : la continuité de $f$ et des applications affines passe l’inégalité $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) +
(1-\lambda_n)f(y)$ à la limite : $f$ est convexe.

**Exercice 8.9 ★★★.**

Soit $f$ convexe sur $\intco{0}{+\infty}$ avec $f(0) \leq 0$. Démontrer que $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ est croissante sur $\intoo{0}{+\infty}$, et en déduire que pour $f$ convexe avec $f(0) =
0$ : $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ pour $x, y \geq 0$ (sur-additivité).

**Solution de Exercice 8.9.**

Pour $0 < x < y$ : l’inégalité des pentes (le [Lemme 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) aux points $0 < x < y$ donne

$$
\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y},
\qquad\text{c.-à-d.}\qquad
\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} +
f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).
$$

Comme $f(0) \leq 0$ et $\frac1x - \frac1y > 0$, le dernier terme est $\leq 0$ : $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$. Donc $x \mapsto
\frac{f(x)}x$ croît.

Sur-additivité pour $f(0) = 0$ : pour $x, y > 0$ (les cas avec une variable nulle sont triviaux),

$$
f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y},
\qquad
f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},
$$

par la monotonie qu’on vient de démontrer ; en additionnant on obtient $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$.

**Exercice 8.10 ★.**

Soit $f$ convexe sur $I$ et $g$ convexe *croissante* sur un intervalle contenant $f(I)$. Démontrer que $g \circ f$ est convexe, et montrer par un contre-exemple que la monotonie de $g$ ne peut être abandonnée.

**Solution de Exercice 8.10.**

Pour $x, y \in I$ et $\lambda \in \intcc01$ : convexité de $f$, puis monotonie de $g$, puis convexité de $g$ :

$$
g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr)
\leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr)
\leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).
$$

Contre-exemple sans monotonie : $g(t) = -t$ est convexe (affine) mais décroissante, $f(x) = x^2$ est convexe, et $g \circ f = -x^2$ est strictement concave.

**Exercice 8.11 ★★.**

(Hermite–Hadamard) Soit $f$ convexe et [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intcc{a}{b}$. Démontrer

$$
f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b -
a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .
$$

*(Gauche : intégrer une droite d’appui au milieu. Droite : majorer $f$ par la corde.)*

**Solution de Exercice 8.11.**

*Inégalité de gauche :* posons $m = \frac{a+b}2$ et prenons une droite d’appui en $m$ (le [Théorème 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)) : $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ pour tout $t \in \intcc ab$. En intégrant sur $\intcc{a}{b}$ : le terme linéaire s’intègre en $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (symétrie autour de $m$), donc $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$.

*Inégalité de droite :* sur $\intcc ab$, la convexité majore $f$ par sa corde : $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$. En intégrant : $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b -
a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$. Diviser par $b - a$.

**Exercice 8.12 ★★★.**

Démontrer qu’une fonction convexe sur un intervalle *[ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology)* $I$ est localement [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) : pour tout segment $\intcc{a}{b}
\subseteq I$ et toute marge $\delta > 0$ avec $\intcc{a - \delta}{b +
\delta} \subseteq I$, la restriction de $f$ à $\intcc{a}{b}$ est [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), de constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|,
\bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ *(piéger toute pente de corde entre ces deux par l’inégalité des pentes)*.

**Solution de Exercice 8.12.**

Soit $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$, tous dans $I$. Deux applications de l’inégalité des pentes (le [Lemme 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)), d’abord à $a - \delta < a \leq x <
y$, puis à $x < y \leq b < b + \delta$ :

$$
\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}
\leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x}
\leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}
$$

(les pentes des cordes croissent quand les deux extrémités se déplacent vers la droite). Ainsi toute pente de corde dans $\intcc ab$ est piégée entre deux nombres fixes, et

$$
\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x},
\qquad
K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|,
\Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):
$$

$f$ est [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intcc ab$. Tout point de l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-topology) $I$ possède un tel segment-avec-marge autour de lui : localement [lipschitzienne](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity), donc (de nouveau) [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $I$.

## 8.5 Problème : la boîte à outils de la convexité

Une seule définition — la corde au-dessus du graphe — engendre toute la boîte à outils des inégalités classiques. Ce problème du week-end la construit dans l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) logique : critères de convexité et Jensen strict, puis Young, Hölder et Minkowski (les actes de naissance des $p$-normes), la chaîne complète des moyennes de puissances du minimum au maximum, et deux dividendes de couronne — l’inégalité de Carleman, et Hölder lu comme une dualité. Tout est démontré ; rien n’est importé.

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — Young, Hölder, Minkowski, et la chaîne des moyennes de puissances

Partout, $p, q > 1$ sont des *exposants conjugués* : $\frac1p +
\frac1q = 1$ ; les vecteurs sont $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; les poids $\lambda_i > 0$ vérifient $\sum_i\lambda_i = 1$.

**Partie I — Critères et Jensen strict.**

1. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Démontrer que $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante *(un sens en passant à la limite dans l’inégalité des pentes (le [Lemme 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) ; l’autre par le théorème des accroissements finis)* . En déduire le critère $C^2$ $f'' \geq 0$ .
2. Supposons $f''> 0$ sur $I$ . Démontrer que $f$ est *strictement* convexe (inégalité stricte pour $x \neq  y$ et $\lambda \in \intoo01$ ), et qu’une fonction strictement convexe vérifie l’inégalité de Jensen (le [Théorème 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)) avec égalité *seulement* lorsque tous les $x_i$ coïncident.
3. Certifier les matières premières de la boîte à outils : $-\ln$ est strictement convexe sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t  \mapsto t^r$ y est strictement convexe pour $r > 1$ et strictement concave pour $0 < r < 1$ ; $\exp$ est strictement convexe sur $\R$ .
4. (Inégalité de Young) Pour $a, b \geq 0$, démontrer $$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$$ avec égalité si et seulement si $a^p = b^q$ *(appliquer la concavité de $\ln$ aux deux points $a^p, b^q$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$)*.
5. Redémontrer l’inégalité arithmético-géométrique pondérée en une ligne à partir de la concavité de $\ln$ : $$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad  (x_i > 0),$$ avec le cas d’égalité ; comparer avec la voie par limite de l’[Exercice 8.6](#exo-b2-realfun-6).

**Partie II — Hölder et Minkowski.** Notons $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ et $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$.

6. (Hölder) Démontrer $$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\;  \norm a_p\,\norm b_q ,$$ avec égalité si et seulement si les vecteurs $(\abs{a_i}^p)$ et $(\abs{b_i}^q)$ sont proportionnels *(normaliser $\norm a_p = \norm b_q = 1$ et appliquer Young terme à terme)*.
7. Identifier les cas particuliers : $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz), et le couple extrême $(p, q) = (1,  \infty)$ : énoncer et démontrer $\sum\abs{a_ib_i} \leq  \norm a_1\norm b_\infty$ .
8. (Minkowski) Pour $p \geq 1$, démontrer $$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$$ *(écrire $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i +  b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ et appliquer Hölder à chaque produit)*. Conclure : $\norm\cdot_p$ est une [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) sur $\R^n$ pour tout $p \in \intco{1}{+\infty}$, complétant le tableau du [Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ch-b2-nvs).
9. Versions intégrales : pour $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intcc{a}{b}$ , énoncer et démontrer Hölder et Minkowski pour $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs  f^p\bigr)^{1/p}$ *(mêmes démonstrations, avec la stricte positivité de l’intégrale pour la discussion de l’égalité)* .
10. Démontrer la monotonie $\norm a_q \leq \norm a_p$ pour $1  \leq p \leq q$, la limite $\norm a_p \to  \norm a_\infty$ quand $p \to \infty$, et la comparaison inverse avec la constante optimale : $$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$$ *(Hölder contre le vecteur constant)*. Identifier les vecteurs réalisant chaque égalité.
11. (Interpolation) Pour $1 \leq p < r < q$ et $\theta \in  \intoo01$ avec $\frac1r = \frac\theta p +  \frac{1-\theta}q$, démontrer $$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\,  \norm a_q^{1-\theta}$$ *(appliquer Hölder avec les exposants $\frac{p}{\theta  r}$ et $\frac{q}{(1-\theta)r}$ à $\abs{a_i}^{\theta  r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$)*.

**Partie III — La chaîne des moyennes de puissances, complète.** Pour $p \neq 0$ posons $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i
x_i^p\bigr)^{1/p}$ ($x_i > 0$), et $M_0 = \prod_i
x_i^{\lambda_i}$.

12. Démontrer que $p \mapsto M_p$ est croissante sur tout $\R^*$ : traiter $p < q < 0$ par l’identité réciproque $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ , et faire le pont à travers $0$ en montrant $M_p \leq M_0 \leq M_q$ pour $p < 0 < q$ *(appliquer la concavité de $\ln$ à $x_i^q$, et l’inégalité renversée pour les exposants négatifs)* .
13. Démontrer les limites $M_p \to \max_i x_i$ quand $p \to  +\infty$ et $M_p \to \min_i x_i$ quand $p \to -\infty$ .
14. Écrire la chaîne $\min \leq \mathrm{HM} \leq  \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq  \max$ pour des poids égaux, et démontrer la conséquence classique : pour des $a_1, \dots, a_n$ positifs, $$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr)  \geq n^2 .$$
15. Relier les moyennes aux [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) : pour des poids égaux $\lambda_i = \frac1n$ , $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Concilier les deux monotonies — les moyennes *croissent* avec $p$ tandis que les [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) *décroissent* (question 10) — en une phrase sur le facteur $n^{-1/p}$ .
16. Déterminer les cas d’égalité tout au long de la chaîne de la question 14 (poids positifs) : l’égalité en un point quelconque force tous les $x_i$ égaux — la stricte convexité paie.

**Partie IV — Dividendes.**

17. (Young avec un réglage) Pour $a, b \geq 0$ et $\varepsilon >  0$, démontrer $$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} +  \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$$ et le cas de travail $ab \leq \varepsilon a^2 +  \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : l’astuce d’absorption utilisée dans toute l’analyse.
18. (Vers Carleman) Soit $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$. Démontrer l’identité télescopique $\prod_{k=1}^{n}c_k =  (n+1)^n$, et en déduire, par l’inégalité arithmético-géométrique appliquée aux nombres $c_ka_k$, $$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq  \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k  \qquad (a_k > 0).$$
19. (Inégalité de Carleman) Sommer sur $n$, échanger l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de sommation ([familles sommables](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-summable) positives, le [Théorème 7.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini)), et utiliser $\sum_{n \geq  k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ et $c_k/k = \bigl(1 +  \frac1k\bigr)^k < \eu$ pour conclure : pour toute série $\sum a_k$ convergente à termes positifs, $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}  \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$$
20. Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) et positive sur $\intcc{0}{1}$, démontrer $$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr)  \geq 1,$$ avec égalité si et seulement si $f$ est constante *(Cauchy–Schwarz sur $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt  f}$)*.
21. (Géométrie des boules) À l’aide du cas d’égalité de Minkowski, montrer que pour $1 < p < \infty$ la sphère unité de $\norm\cdot_p$ ne contient aucun segment (la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) est strictement convexe au sens du [Problème 5.1](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#pb-b2-nvs-1) ), tandis que pour $p = 1$ et $p = \infty$ elle en contient : exhiber les morceaux plats.

**Partie V — Dualité et synthèse.**

22. (Hölder comme dualité) Démontrer que pour tout $a \in  \R^n$, $$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$$ en exhibant explicitement un $b$ maximisant. (La $p$-norme est la duale de la $q$-norme — le germe en dimension finie de la dualité $L^p$.)
23. (Moments) Soit $X$ une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs positives $x_i$ avec les probabilités $\lambda_i$ . Reformuler la question 12 ainsi : $r \mapsto  \E[X^r]^{1/r}$ est croissante — l’inégalité des moments (Lyapunov), à réutiliser au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar) .
24. Résoudre avec des outils nommés, en deux lignes chacun : (i) pour $a, b, c$ positifs : $a^3 + b^3 + c^3 \geq  \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) pour $x_1, \dots,  x_n$ positifs : $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq  n\sum_i x_i$ .
25. (Synthèse) Tracer la généalogie en cinq phrases : de la définition par corde au lemme des pentes ; des pentes aux droites d’appui à Jensen ; de la concavité de $\ln$ à Young à Hölder à Minkowski aux $p$ -normes ; de Jensen à la chaîne des moyennes de puissances aux moments ; de l’inégalité arithmético-géométrique à Carleman. Nommer les sommets (Hölder–Minkowski ; Carleman), et dire où se dirige la boîte à outils : les espaces $L^p$ du volume de troisième année, dont les axiomes sont exactement les questions 6 et 8.

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** *Convexe $\Rightarrow$ $f'$ croissante :* pour $a <
b$, l’inégalité des pentes donne, pour $h > 0$ petit, $\frac{f(a+h)
- f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) -
f(b-h)}{h}$ ; en faisant $h \to 0$ : $f'(a) \leq \frac{f(b) -
f(a)}{b - a} \leq f'(b)$. *Réciproquement*, si $f'$ croît et $x < y < z$ : le théorème des accroissements finis donne $c_1 \in
\intoo{x}{y}$, $c_2 \in \intoo yz$ avec

$$
\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2)
= \frac{f(z) - f(y)}{z - y},
$$

et cette inégalité des pentes à trois points, appliquée avec $y =
\lambda x + (1 - \lambda)z$, se réarrange en l’inégalité de convexité. Pour le cas $C^2$ : $f'' \geq 0$ si et seulement si $f'$ croît.

**2.** Si $f'' > 0$, $f'$ est strictement croissante, et le calcul par accroissements finis ci-dessus donne une inégalité *stricte* entre les deux pentes de corde : stricte convexité. *Appui strict :* en un point intérieur $a$ de pente d’appui $m$, si $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ pour un $x_0 \neq a$, alors sur le segment de $a$ à $x_0$ la droite d’appui et la corde coïncident, et la stricte convexité au milieu donne $f\bigl(\frac{a +
x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$, ce qui contredit l’inégalité d’appui. Donc $f(x) > f(a) + m(x - a)$ pour tout $x \neq
a$. *Jensen strict :* avec $a = \sum\lambda_ix_i$, en moyennant les inégalités d’appui on obtient $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$, avec égalité si et seulement si chaque terme est une égalité, c’est-à-dire si et seulement si tout $x_i = a$.

**3.** $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r -
1)t^{r-2}$, positive pour $r > 1$, négative pour $0 < r < 1$ ; $\exp'' = \exp > 0$. Toutes strictes par la question 2.

**4.** Les cas $ab = 0$ sont triviaux. Pour $a, b > 0$, concavité de $\ln$ aux points $a^p, b^q$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$ :

$$
\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq
\frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),
$$

et $\ln$ croît : $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$. Égalité si et seulement si les deux points coïncident (concavité stricte) : $a^p = b^q$.

**5.** Concavité de $\ln$ avec les poids $\lambda_i$ : $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i =
\ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponentier. Égalité si et seulement si tous les $x_i$ égaux (question 2). La voie de l’[Exercice 8.6](#exo-b2-realfun-6) obtenait la même inégalité comme limite de moyennes de puissances ; ici c’est une seule application de Jensen — la boîte à outils a de la redondance intégrée.

**6.** Si $a = 0$ ou $b = 0$ l’inégalité est triviale. Normalisons : en remplaçant $a$ par $a/\norm a_p$ et $b$ par $b/\norm
b_q$, on peut supposer $\norm a_p = \norm b_q = 1$ et il faut montrer $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$. Young terme à terme :

$$
\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq
\sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} +
\frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .
$$

Égalité si et seulement si chaque inégalité de Young est serrée : $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ pour tout $i$ — après avoir défait la normalisation, $(\abs{a_i}^p)$ proportionnel à $(\abs{b_i}^q)$.

**7.** $p = q = 2$ est Cauchy–Schwarz avec le même cas d’égalité (proportionnalité). Cas extrême : $\sum\abs{a_ib_i}
\leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} =
\norm a_1\norm b_\infty$, immédiat terme à terme.

**8.** Pour $p = 1$ c’est l’inégalité triangulaire terme à terme. Pour $p > 1$, avec $q$ conjugué :

$$
\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p
\leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} +
\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},
$$

et Hölder sur chaque somme, en notant $(p - 1)q = p$ :

$$
\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq
\Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p
= \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,
$$

de même avec $b$. Donc $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a +
b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; si $a + b \neq 0$, diviser par $\norm{a+b}_p^{p/q}$ et utiliser $p - \frac pq = 1$. Avec l’homogénéité et la séparation (claires), $\norm\cdot_p$ est une [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) sur $\R^n$.

**9.** Pour $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intcc ab$ : Hölder

$$
\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs
f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}
$$

par la même normalisation plus Young ponctuel, intégrée ; et Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ par le même découpage, Hölder sur chaque morceau. La séparation de la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) utilise la stricte positivité : un $\abs f^p$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) d’intégrale nulle s’annule identiquement (volume de première année).

**10.** *Monotonie :* on peut supposer $\norm a_p = 1$ ; alors chaque $\abs{a_i} \leq 1$, donc $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ et $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$. L’égalité exige $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ pour tout $i$, c’est-à-dire chaque $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; avec $\sum\abs{a_i}^p = 1$ cela ne laisse exactement qu’une coordonnée de module $1$ : égalité si et seulement si $a$ a au plus une coordonnée non nulle. *Limite :* $\norm a_\infty \leq
\norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$, et $n^{1/p} \to 1$. *Comparaison inverse :* Hölder avec les exposants $\frac
qp$ et son conjugué $\frac{q}{q-p}$, appliqué à $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

$$
\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq
\Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q}
= \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},
$$

d’où $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$, avec égalité si et seulement si tous les $\abs{a_i}$ sont égaux (le cas d’égalité de Hölder contre le vecteur constant).

**11.** Écrivons $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta
r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ et appliquons Hölder avec les exposants conjugués $\frac{p}{\theta r}$ et $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (conjugués précisément parce que $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$) :

$$
\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}
\leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p}
\Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q}
= \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .
$$

Prendre les racines $r$-ièmes : les $p$-normes sont log-convexes en $\frac1p$.

**12.** *Les deux négatifs :* si $p < q < 0$ alors $0 < -q
< -p$, et $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ pour les exposants positifs (cas du cours, l’[Exemple 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans)) appliqué à $y =
(1/x_i)$ ; en inversant l’identité $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ l’inégalité se renverse en $M_p(x) \leq M_q(x)$. *Pont :* pour $q > 0$, la concavité de $\ln$ donne $\ln M_q =
\frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq
\frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; pour $p < 0$, la même concavité donne $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq
p\sum\lambda_i\ln x_i$, et en divisant par $p < 0$ cela s’inverse : $\ln M_p \leq \ln M_0$. Donc $M_p \leq M_0 \leq M_q$ dès que $p < 0 <
q$ : avec les deux cas de même signe, $M$ croît sur tout $\R^*$ (et à travers $0$).

**13.** Soit $x_{\max} = \max x_i$, atteint en $i^*$. Pour $p > 0$ :

$$
\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},
$$

et $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$. Pour $p \to
-\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to
\bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$.

**14.** Avec $\lambda_i = \frac1n$, la chaîne $M_{-\infty}
\leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ s’écrit

$$
\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod
a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq
\sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .
$$

La comparaison arithmético-harmonique ($M_{-1} \leq M_1$) se réarrange directement en $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$.

**15.** Avec des poids égaux, $M_p(x) =
\bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$. Quand $p$ croît, $\norm x_p$ décroît (question 10) mais le normalisateur $n^{-1/p}$ croît plus vite, et le produit croît (question 12) : les moyennes font la moyenne, les [normes](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) accumulent, et le facteur $n^{-1/p}$ est exactement le taux de change entre les deux conventions comptables.

**16.** Chaque maillon est une instance de Jensen strict (question 2) avec les fonctions strictement convexes/concaves de la question 3 ($t^{q/p}$, $\ln$), donc l’égalité à un maillon quelconque force tous les $x_i$ égaux ; et $\min = M_p$ ou $M_p = \max$ force de même toutes les valeurs égales à l’extremum commun. La chaîne est stricte dès que deux $x_i$ diffèrent.

**17.** Appliquer Young (question 4) au couple $\varepsilon^{1/p}a$ et $\varepsilon^{-1/p}b$ :

$$
ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b)
\leq \varepsilon\,\frac{a^p}p +
\varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .
$$

Pour $p = q = 2$, en remplaçant $\varepsilon$ par $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — l’inégalité d’absorption : un produit est échangé contre un petit multiple d’un carré plus un grand multiple de l’autre.

**18.** Télescopage :

$$
\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k}
{\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}}
= \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}}
= (n+1)^n,
$$

chaque facteur $(k+1)^k$ du numérateur s’annulant contre le terme suivant du dénominateur. Inégalité arithmético-géométrique sur les $n$ nombres $c_ka_k$ :

$$
(a_1\cdots a_n)^{1/n} =
\frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)}
\leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .
$$

**19.** En sommant sur $n$ et en échangeant les deux sommations (tous les termes positifs : le [Théorème 7.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#thm-b2-series-fubini)) :

$$
\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n}
\leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k
= \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)}
= \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},
$$

en utilisant le télescopage $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n -
\frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$. Enfin $\frac{c_k}k =
\frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (suite croissante de limite $\eu$, volume de première année) :

$$
\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq
\eu\sum_{k\geq1}a_k :
$$

l’inégalité de Carleman. (La constante $\eu$ est optimale, bien qu’on ne le démontre pas.)

**20.** Cauchy–Schwarz (question 9, $p = q = 2$) appliqué à $\sqrt f$ et $\frac1{\sqrt f}$ :

$$
1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2}
\leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).
$$

Égalité si et seulement si $\sqrt f$ et $\frac1{\sqrt f}$ sont proportionnels, c’est-à-dire $f^2$ constant, c’est-à-dire $f$ constant ($f > 0$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)).

**21.** Soit $1 < p < \infty$, $\norm a_p = \norm b_p = 1$, $a \neq b$, et supposons $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$, c’est-à-dire Minkowski est une égalité pour $a, b$. En retraçant la démonstration de la question 8, l’égalité force l’égalité dans les deux applications de Hölder et dans les inégalités triangulaires terme à terme : $(\abs{a_i}^p)$ et $(\abs{b_i}^p)$ tous deux proportionnels à $(\abs{a_i + b_i}^p)$, et $a_i, b_i$ de même signe — d’où $b = ta$ pour un $t \geq 0$, et $\norm b_p = \norm a_p$ donne $t = 1$ : $b = a$, contradiction. Donc la $p$-sphère ne contient aucun milieu de points distincts de la sphère : aucun segment. Pour $p = \infty$ dans $\R^2$ : tous les $(1, t)$, $\abs t \leq 1$, sont sur la sphère unité — un bord plat ; pour $p = 1$ : le segment $(t, 1 - t)$, $t \in \intcc01$, y est.

**22.** Pour $a = 0$ les deux membres s’annulent. Sinon Hölder majore tout $\sum a_ib_i$ par $\norm a_p\norm b_q \leq \norm
a_p$. Atteinte : prenons

$$
b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}}
{\norm a_p^{p/q}} :
\qquad
\norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}}
= \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1,
\quad
\sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} =
\norm a_p ,
$$

en utilisant $(p-1)q = p$ et $p - \frac pq = 1$. Donc la borne supérieure est un maximum, égal à $\norm a_p$ : chaque $p$-norme est la [norme](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#def-b2-nvs-norm) duale de sa conjuguée — le germe de la dualité $L^p$–$L^q$.

**23.** $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$, donc $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$, croissante en $r$ par la question 12 (et à travers $r \to 0, \pm\infty$ par les questions 12–13) : l’inégalité des moments de Lyapunov, purement un énoncé sur les moyennes de puissances pondérées. Elle revient pour de véritables variables aléatoires au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/22-variables-aleatoires-discretes#ch-b2-randomvar).

**24.** (i) Moyennes de puissances $M_1 \leq M_3$ avec des poids égaux : $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; élever au cube et multiplier par $3$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq
\frac{(a+b+c)^3}9$. (ii) Cauchy–Schwarz contre le vecteur constant : $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq
\bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; élever au carré.

**25.** La définition par corde livre le lemme des pentes par un seul réarrangement algébrique ; les pentes resserrées en un point produisent des dérivées latérales et des droites d’appui, dont la moyenne pondérée est Jensen. Appliqué à $-\ln$, Jensen devient Young, qui sommé contre des vecteurs normalisés est Hölder, qui découpé et réabsorbé est Minkowski — et les $p$-normes du [Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/5-espaces-vectoriels-normes#ch-b2-nvs) naissent, avec leur dualité (question 22) et leur géométrie (question 21). Jensen appliqué le long de l’échelle des puissances enchaîne toutes les moyennes de $\min$ à $\max$ (questions 12–14), qui lues sur des variables aléatoires est l’inégalité des moments (question 23). Et l’inégalité arithmético-géométrique, pondérée par une astuce de télescopage, livre la borne de Carleman avec sa constante irréductible $\eu$ (questions 18–19). Sommets : Hölder–Minkowski, et Carleman. Destination : les espaces $L^p$ du volume de troisième année, dont les axiomes fondateurs sont exactement les questions 6 et 8 avec des intégrales à la place des sommes.