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title: "Intégration"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 2"
subject: math
language: fr
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/9-integration
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# Chapitre 9 — Intégration

Le volume de première année a construit l’intégrale sur un segment. Ce chapitre l’étend à des intervalles quelconques ([intégrales impropres](#def-b2-integration-improper), avec toute la boîte à outils de comparaison), puis étudie les intégrales *dépendant d’un paramètre* — continuité et dérivation sous le signe intégral — portées par le théorème de convergence dominée, le seul résultat de ce chapitre admis. La fonction $\Gamma$ sert d’exemple fil rouge, et de porte d’entrée vers la moitié des fonctions spéciales des mathématiques.

## 9.1 Intégrales sur un intervalle quelconque

**Définition 9.1.**

Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) par morceaux sur $\intco{a}{b}$ ($b \in \R$ ou $+\infty$). L’intégrale *converge* lorsque $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ existe ; on écrit alors $\int_a^b f$ pour la limite. (De même sur $\intoc{a}{b}$, et sur $\intoo{a}{b}$ en coupant en un point intérieur — le choix n’importe pas, par la relation de Chasles.) L’intégrale *converge [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def)* lorsque $\int_a^b \abs f$ converge ; la convergence absolue implique la convergence, par le critère de Cauchy :

$$
\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f
$$

et la complétude de $\R$ (la primitive possède la propriété de Cauchy). En détail : posons $F(x) = \int_a^x f$ et $G(x) = \int_a^x \abs
f$. Si $\int^b\abs f$ converge, $G$ admet une limite en $b^-$, donc pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $c < b$ tel que $G(y) - G(x)
\leq \varepsilon$ dès que $c \leq x \leq y < b$ ; la formule ci-dessus transfère cette propriété de Cauchy à $F$. Pour toute suite $x_n
\to b^-$ les valeurs $F(x_n)$ forment alors une suite de Cauchy de réels, convergente par complétude, et entrelacer deux telles suites montre que la limite est la même pour toutes : $F$ admet une limite en $b^-$.

**Théorème 9.2 (Boîte à outils de comparaison, cas positif).**

Pour $f, g \geq 0$ [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) par morceaux sur $\intco{a}{b}$ :

1. $\int_a^b f$ [converge](#def-b2-integration-improper) si et seulement si la primitive $x \mapsto \int_a^x  f$ est bornée ;
2. $f \leq g$ : la convergence de $\int g$ entraîne celle de $\int f$ ; la divergence se transmet en sens inverse ;
3. $f \sim g$ en $b$ : les deux intégrales sont de même nature ;
4. les échelles de référence : en $+\infty$ , $\int^{\infty}  \frac{\dd t}{t^\alpha}$ [converge](#def-b2-integration-improper) si et seulement si $\alpha > 1$ , et $\int^\infty \frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ si et seulement si $\beta > 1$ ; en une borne finie $b$ , $\int^b \frac{\dd t}{(b -  t)^\alpha}$ [converge](#def-b2-integration-improper) si et seulement si $\alpha < 1$ .

**Démonstration.** (1) La primitive $F(x) = \int_a^x f$ est croissante ($f \geq
0$). Si elle est bornée, $\ell = \sup_{x < b}F$ est fini et $F(x) \to \ell$ : étant donné $\varepsilon > 0$, un certain $F(x_0) > \ell -
\varepsilon$, et la monotonie piège $F(x) \in
\intoc{\ell - \varepsilon}{\ell}$ pour $x_0 \leq x < b$. Si elle est non bornée, $F \to +\infty$ : divergence.

(2) De $f \leq g$ : $\int_a^x f \leq \int_a^x g$ pour tout $x$ ; si $\int^b g$ [converge](#def-b2-integration-improper), le membre de droite est borné, donc le membre de gauche aussi, et (1) conclut. La contraposée transmet la divergence en sens inverse.

(3) $f \sim g$ en $b$ fournit $c < b$ tel que

$$
\tfrac12\,g(t) \;\leq\; f(t) \;\leq\; 2\,g(t)
\qquad (c \leq t < b) :
$$

par (2) appliqué dans les deux sens sur $\intco{c}{b}$, les deux intégrales sont de même nature ; le morceau initial $\intcc{a}{c}$ est une intégrale propre et ne change rien.

(4) Primitives explicites : pour $\alpha \neq 1$ et $\beta \neq 1$,

$$
\int_c^x \frac{\dd t}{t^\alpha}
= \frac{x^{1-\alpha} - c^{1-\alpha}}{1 - \alpha},
\qquad
\int_c^x \frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}
= \frac{(\ln x)^{1-\beta} - (\ln c)^{1-\beta}}{1 - \beta},
$$

avec des logarithmes dans les cas exclus : bornées quand $x \to
+\infty$ exactement lorsque $\alpha > 1$, resp. $\beta > 1$. En une borne finie, le changement de variable $u = b - t$ ramène à l’échelle $\int_0 u^{-\alpha}\,\dd u$, bornée si et seulement si $\alpha < 1$. Appliquer (1) à chaque fois. ∎

**Exemple 9.3 (Deux échauffements, menés jusqu’au bout).**

*(a)* $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : l’intégrande explose en $0^+$, mais $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ au voisinage de $0$ (les logarithmes perdent face aux puissances), et $\int_0 t^{-1/2}$ [converge](#def-b2-integration-improper) : convergence absolue. La valeur, par parties sur $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

$$
\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t
= \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1
= -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon
\xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .
$$

*(b)* $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 +
t^2}\,\dd t$ : problème aux deux bornes, donc on coupe en $1$. Au voisinage de $0$ : $\abs{\ln t}$ intégrable comme en (a) ; au voisinage de $\infty$ : $\frac{\ln
t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) convergente. Le changement de variable $t = \frac1u$ envoie $\intoo{0}{1}$ sur $\intoo{1}{\infty}$ et

$$
\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t
= \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot
\frac{\dd u}{u^2}
= -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :
$$

les deux moitiés se compensent, et l’intégrale vaut $0$. Éclairage final : la symétrie sous $t \mapsto \frac1t$ vaut une page de calcul — le même tour alimentait déjà l’[Exercice 9.3](#exo-b2-integration-3).

**Exemple 9.4 (Une valeur, trois intégrales).**

Étudions $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos
t}{t^2}\,\dd t$. En $0$ : $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$, donc l’intégrande se prolonge par continuité par la valeur $\frac12$ — aucune singularité. En $\infty$ : $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2}
\leq \frac{2}{t^2}$ : convergence absolue ([Théorème 9.2](#thm-b2-integration-comparison)). Valeur : intégrons par parties sur $\intcc{\varepsilon}{M}$ avec $u = 1 - \cos t$, $v' =
t^{-2}$ :

$$
\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t
= \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .
$$

Le crochet s’annule aux deux bornes ($\frac{1 -
\cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ; numérateur borné en $M$), et l’intégrale tend vers la valeur de Dirichlet $\frac\pi2$ ([Exercice 9.10](#exo-b2-integration-10)) : $I = \frac\pi2$. Éclairage final : avec $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ et $u =
\frac t2$,

$$
I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u
= \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :
$$

les trois classiques $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$, $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ ([Exercice 9.11](#exo-b2-integration-11)) et $I$ partagent tous la valeur $\frac\pi2$, transmise de l’une à l’autre par parties et par changement de variable — et seule la première est semi-convergente : l’intégration par parties a échangé la convergence absolue contre un intégrande plus simple.

**Exemple 9.5 (Une intégrale semi-convergente).**

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) : intégrons par parties,

$$
\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t
= \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos
t}{t^2}\dd t ,
$$

où le crochet a une limite et la dernière intégrale [converge](#def-b2-integration-improper) [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) ($\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$). Mais pas [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) : de $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$,

$$
\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t
\;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t
= \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x
\ \to\ \infty}
\;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd
t}_{\text{convergente}} ,
$$

où la dernière intégrale [converge](#def-b2-integration-improper) par la *même* intégration par parties que ci-dessus (avec $\sin 2t$ dans le crochet) : une partie divergente moins une partie convergente diverge. Ainsi $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) sans converger [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) — l’analogue intégral des séries [alternées](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-alternating), l’intégration par parties jouant le rôle du critère spécial des séries [alternées](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-alternating).

## 9.2 Le théorème de convergence

**Théorème 9.6 (Convergence dominée).**

Soit $(f_n)$ [continues](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) par morceaux sur un intervalle $I$, convergeant simplement vers une fonction $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) par morceaux, et supposons qu’il existe une fonction intégrable fixe $\varphi \geq 0$ ($\int_I \varphi < \infty$) telle que

$$
\abs{f_n(t)} \leq \varphi(t) \qquad (t \in I,\ n \in \N).
$$

Alors toutes les $\int_I f_n$ et $\int_I f$ convergent [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def), et

$$
\int_I f_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_I f .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 9.7.**

La preuve honnête relève de la théorie de l’intégration de Lebesgue de la troisième année ; l’énoncé, lui, sert constamment désormais. L’hypothèse de *domination* est tout l’enjeu : la convergence simple seule ne suffit pas ($f_n = n\,\mathbf{1}_{\intoo{0}{1/n}}$, des bosses glissantes : $\int f_n = 1 \not\to 0 = \int f$). Le théorème vaut aussi pour un paramètre [continu](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ($f_\lambda$, $\lambda \to
\lambda_0$), par la caractérisation séquentielle des limites.

**Exemple 9.8 (Une limite gaussienne, par domination).**

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n$ où $I_n =
\int_0^\infty \Bigl(1 + \frac{t^2}{n}\Bigr)^{\!-n}\dd t$. Simplement, $(1 + t^2/n)^n \to \eu^{t^2}$ (limite des intérêts composés), donc les intégrandes tendent vers $\eu^{-t^2}$. Domination : la suite $n \mapsto (1 + u/n)^n$ est croissante pour $u \geq 0$ (l’inégalité arithmético-géométrique sur les $n + 1$ facteurs $1, 1 + \frac un, \dots, 1 +
\frac un$ donne $(1 + \frac u{n+1})^{n+1} \geq (1 + \frac
un)^n$), donc pour $n \geq 2$ :

$$
\Bigl(1 + \frac{t^2}{n}\Bigr)^{\!-n}
\leq \Bigl(1 + \frac{t^2}{2}\Bigr)^{\!-2},
$$

un dominant intégrable ($\sim 4t^{-4}$ à l’infini). Convergence dominée :

$$
I_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t
= \frac{\sqrt\pi}{2}
$$

(l’intégrale de Gauss de l’[Exercice 9.8](#exo-b2-integration-8)). Vérification finale : le changement de variable $t = \sqrt n\tan\theta$ calcule $I_n$ exactement, $I_n = \sqrt n\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\,\dd\theta
= \sqrt n\,W_{2n-2}$, et l’équivalent de Wallis $W_m \sim
\sqrt{\pi/(2m)}$ ([Lemme 6.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#lem-b2-comparison-wallis)) donne de nouveau $\sqrt
n\,W_{2n-2} \to \frac{\sqrt\pi}2$ : les deux piliers de ce chapitre et du précédent concordent.

**Exemple 9.9 (Convergence dominée, paramètre continu).**

Calculer

$$
\lim_{x\to+\infty}\int_0^\infty
\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\,\dd t .
$$

Pour chaque $t > 0$, $\arctan(xt) \to \frac\pi2$ quand $x \to \infty$ ; et la domination

$$
\Bigl|\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\Bigr|
\leq \frac{\pi/2}{1+t^2},
\qquad\text{intégrable, indépendante de } x,
$$

vaut pour tout $x$. Par la forme à paramètre [continu](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) du [Théorème 9.6](#thm-b2-integration-dominated) (caractérisation séquentielle : tester le long de tout $x_n \to \infty$),

$$
\int_0^\infty\frac{\arctan(xt)}{1+t^2}\,\dd t
\xrightarrow[x\to+\infty]{}
\frac\pi2\int_0^\infty\frac{\dd t}{1+t^2}
= \frac{\pi^2}{4} .
$$

Éclairage final : le point isolé $t = 0$, où la limite simple est $0$ plutôt que $\frac\pi2$, ne change rien — la fonction limite n’intervient que par son intégrale, l’une des faveurs discrètes du théorème.

## 9.3 Intégrales à paramètre

**Théorème 9.10 (Continuité sous le signe intégral).**

Soit $f \colon A \times I \to \R$ ($A$ un [espace métrique](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-def), $I$ un intervalle) vérifiant : $t \mapsto f(x, t)$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) par morceaux pour chaque $x$ ; $x \mapsto f(x, t)$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) pour chaque $t$ ; et une *domination* $\abs{f(x,t)} \leq \varphi(t)$ ($\varphi$ intégrable sur $I$, indépendante de $x$). Alors

$$
F(x) = \int_I f(x, t)\,\dd t
$$

est définie et [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $A$.

**Démonstration.** Bonne définition : la domination donne la convergence absolue. Continuité en $x_0$ : pour toute suite $x_n \to x_0$, les fonctions $g_n(t) =
f(x_n, t)$ convergent simplement vers $f(x_0, t)$ (continuité en $x$) sous la domination fixe $\varphi$ : la convergence dominée donne $F(x_n) \to F(x_0)$ ; on conclut par la caractérisation séquentielle de la continuité ([Définition 4.5](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity)). ∎

**Théorème 9.11 (Dérivation sous le signe intégral).**

Soit $f \colon J \times I \to \R$ ($J$ un intervalle de paramètres) vérifiant : $t \mapsto f(x,t)$ intégrable sur $I$ pour chaque $x$ ; $x \mapsto
f(x,t)$ de classe $C^1$ pour chaque $t$, la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ étant [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) par morceaux en $t$ et dominée : $\bigl|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigr| \leq
\psi(t)$ avec $\psi$ intégrable. Alors $F(x) = \int_I f(x,t)\dd t$ est de classe $C^1$ sur $J$ et

$$
F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\dd t .
$$

**Démonstration.** Fixons $x$ et $h_n \to 0$. Les taux d’accroissement

$$
\frac{F(x + h_n) - F(x)}{h_n}
= \int_I \frac{f(x + h_n, t) - f(x, t)}{h_n}\,\dd t
$$

ont des intégrandes convergeant simplement vers $\frac{\partial f}{\partial
x}(x, t)$, et dominés par $\psi(t)$ : par l’inégalité des accroissements finis appliquée en $x$ à $t$ fixé,

$$
\Bigl|\frac{f(x + h_n, t) - f(x,t)}{h_n}\Bigr|
\leq \sup_{\xi} \Bigl|\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, t)\Bigr|
\leq \psi(t) .
$$

La convergence dominée donne la limite $\int_I \frac{\partial
f}{\partial x}(x,t)\dd t$ des taux : $F$ est dérivable, de dérivée annoncée, [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) d’après le [Théorème 9.10](#thm-b2-integration-continuity) appliqué à $\frac{\partial f}{\partial x}$. ∎

**Exemple 9.12 (Une intégrale à paramètre confrontée à une formule).**

Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^\infty \frac{\dd t}{t^2 + x}$ pour $x > 0$. Sur tout $\intcc{a}{b} \subset \intoo{0}{\infty}$, l’intégrande est dominé par $\frac{1}{t^2 + a}$, intégrable et indépendant de $x$ : $F$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ([Théorème 9.10](#thm-b2-integration-continuity)). Ici le théorème peut se confronter à une valeur explicite :

$$
F(x) = \Bigl[\frac{1}{\sqrt x}\arctan\frac{t}{\sqrt
x}\Bigr]_0^\infty = \frac{\pi}{2\sqrt x} ,
$$

visiblement [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity). Dérivons maintenant sous l’intégrale : la dérivée en $x$, $-\frac{1}{(t^2+x)^2}$, est dominée sur $\intcc ab$ par $\frac{1}{(t^2+a)^2}$, intégrable : le [Théorème 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) donne

$$
F'(x) = -\int_0^\infty \frac{\dd t}{(t^2 + x)^2}
\qquad\text{tandis que}\qquad
F'(x) = -\frac{\pi}{4}\,x^{-3/2} ,
$$

de sorte que nous avons *calculé* une nouvelle intégrale gratuitement : $\int_0^\infty\frac{\dd t}{(t^2+x)^2} = \frac{\pi}{4x^{3/2}}$. Éclairage final : dériver une [intégrale à paramètre](#thm-b2-integration-continuity) connue est une fabrique de nouvelles formules — en itérant, on obtient $\int_0^\infty\frac{\dd t}{(t^2+1)^n}$ pour tout $n$, sans aucun changement de variable trigonométrique.

**Méthode 9.13 (Étudier une intégrale impropre).**

Étant donné $\int_a^b f$ :

1. Localiser le problème : recenser les bornes (ou points intérieurs) où $f$ est non bornée ou l’intervalle infini, et découper pour que chaque morceau ait exactement une borne problématique.
2. Si $f$ est de signe constant près de cette borne, trouver un équivalent et comparer avec les échelles de référence du [Théorème 9.2](#thm-b2-integration-comparison) .
3. Si $f$ oscille, tester d’abord $\abs f$ (convergence absolue). Si $\int\abs f$ diverge, essayer une intégration par parties pour échanger l’oscillation contre une décroissance, comme à l’ [Exemple 9.5](#ex-b2-integration-sint) ; des minorations comme $\abs{\sin t} \geq \sin^2t$ détectent une véritable semi-convergence.
4. Pour une valeur, et pas seulement la nature : parties, changement de variable, ou un paramètre (dériver une intégrale plus simple, comme à l’ [Exemple 9.12](#ex-b2-integration-arctanparam) et à l’ [Exemple 9.21](#ex-b2-integration-laplace) ).
5. Vérifications de bon sens sur toute valeur calculée : signe et [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) de grandeur face à une borne grossière ( $\int_0^\infty  \eu^{-t^2}\dd t \in \intoo{0}{1 + \int_1^\infty  \eu^{-t}}$ , donc $\frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0.886$ est plausible) ; et cohérence dimensionnelle par changement d’échelle ( $t \mapsto \lambda t$ doit remettre les deux membres à la même échelle — le détecteur le plus rapide d’un facteur perdu).

**Remarque 9.14 (Pièges fréquents).**

Trois erreurs récurrentes. *(i) Dominants dépendant du paramètre :* la domination $\abs{f(x,t)} \leq \varphi(t)$ doit être uniforme en $x$ sur l’ensemble considéré ; elle vaut d’ordinaire sur les segments $\intcc ab$ mais pas globalement — pour $\int_0^\infty\eu^{-xt}\dd t$ il n’existe aucun dominant intégrable valable pour tout $x > 0$, mais dominer sur $x \geq a > 0$ suffit pour travailler sur toute la demi-droite ouverte, puisque la continuité et les dérivées sont des notions locales. *(ii) Comparer des intégrandes de signe quelconque :* la boîte à outils de comparaison est faite pour les fonctions *positives* ; de $\abs f \leq g$ avec $\int g$ divergente on ne peut rien conclure — $\int_1^\infty\frac{\sin t}t\,\dd t$ [converge](#def-b2-integration-improper) bien que toute comparaison avec $\frac1t$ échoue. *(iii) Oublier la moitié du problème :* sur $\intoo{0}{\infty}$ toujours étudier les deux bornes séparément ; $\int_0^\infty\frac{\dd t}{t}$ diverge aux *deux*, et un découpage d’apparence convergente peut compenser silencieusement deux infinis. Le réflexe sûr est la liste de contrôle du [Méthode 9.13](#met-b2-integration-study).

**Exemple 9.15 (Un cas limite de Bertrand, au chiffre près).**

L’échelle $\int^\infty\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ du [Théorème 9.2](#thm-b2-integration-comparison) se situe exactement à la frontière des échelles de puissances ; ses cas limites méritent un calcul [complet](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-complete). Pour $\beta = 2$ :

$$
\int_\eu^{\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{\ln t}\Bigr]_\eu^{\infty}
= 0 - (-1) = 1 ,
$$

une intégrale convergente à la valeur agréablement exacte ; tandis que pour $\beta = 1$,

$$
\int_\eu^{x}\frac{\dd t}{t\ln t}
= \bigl[\ln\ln t\bigr]_\eu^{x} = \ln\ln x
\longrightarrow \infty ,
$$

divergente — mais si lentement qu’atteindre $\ln\ln x = 10$ requiert $x = \eu^{\eu^{10}} \approx 10^{9566}$. Éclairage final : entre « toute puissance $t^{-1-\varepsilon}$ [converge](#def-b2-integration-improper) » et « $t^{-1}$ diverge » vit une échelle infinie de niveaux logarithmiques, chacun raffinant le précédent ; le changement de variable $u = \ln t$ ramène chaque barreau sur le précédent, ce qui explique pourquoi les critères de Bertrand font écho à ceux de Riemann, un cran plus haut.

**Remarque 9.16 (Perspectives à l’intérieur de ce volume).**

Les outils de ce chapitre vont être partout. La convergence dominée est le moteur des approximations de l’unité du chapitre suivant (noyaux glissants, Bernstein comme Fejér) ; la continuité et la dérivation sous le signe intégral produisent le calcul des coefficients de Fourier au chapitre de Fourier, où chaque $c_n(f)$ est une [intégrale à paramètre](#thm-b2-integration-continuity) déguisée. La fonction $\Gamma$ revient deux fois : au chapitre sur les intégrales multiples, où une intégrale double démontre enfin la formule bêta–gamma d’Euler dans toute sa généralité, et dans les chapitres de probabilités, où les intégrales de type $\Gamma$ normalisent les densités usuelles et calculent leurs moments. Et l’intégrale semi-convergente $\int\frac{\sin t}{t}$ resurgit comme la constante de Gibbs du chapitre de Fourier — la même intégrale, mesurant le dépassement des sommes partielles en un saut.

**Définition 9.17 (La fonction Γ\GammaΓ).**

Pour $x > 0$ :

$$
\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1}\,\eu^{-t}\,\dd t ,
$$

convergente aux deux bornes ($t^{x-1}$ intégrable en $0^+$ pour $x > 0$ ; décroissance exponentielle en $\infty$).

**Théorème 9.18.**

$\Gamma$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intoo{0}{+\infty}$, vérifie l’équation fonctionnelle

$$
\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x),
\qquad \Gamma(1) = 1,
\qquad\text{donc}\qquad \Gamma(n + 1) = n! ,
$$

et est de classe $C^1$ (et même $C^\infty$) avec $\Gamma'(x) =
\int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\ln t\,\dd t$.

**Démonstration.** Équation fonctionnelle : intégrons par parties sur $\intcc{\varepsilon}{M}$ et faisons tendre les bornes : $\int t^{x}\eu^{-t} = [-t^x\eu^{-t}] + x\int
t^{x-1}\eu^{-t}$, les termes de bord s’annulant — en effet $\varepsilon^x\eu^{-\varepsilon} \to 0$ quand $\varepsilon \to
0^+$ car $x > 0$, et $M^x\eu^{-M} \to 0$ quand $M \to \infty$ car l’exponentielle l’emporte sur toute puissance ; les deux intégrales tronquées convergent vers leurs valeurs impropres par la convergence établie dans la [Définition 9.17](#def-b2-integration-gamma). $\Gamma(1) = \int
\eu^{-t} = 1$ ; la récurrence donne la factorielle.

Continuité sur $\intcc{a}{b} \subset \intoo{0}{\infty}$ : dominer $t^{x-1}\eu^{-t}$ par $\varphi(t) = (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$, intégrable et indépendante de $x \in \intcc{a}{b}$ : le [Théorème 9.10](#thm-b2-integration-continuity) s’applique sur tout segment de ce type, donc sur toute la demi-droite. Dérivabilité : la dérivée en $x$, $t^{x-1}\eu^{-t}\ln t$, est dominée sur $\intcc{a}{b}$ par $(t^{a-1}
+ t^{b-1})\eu^{-t}\,\abs{\ln t}$, toujours intégrable : le [Théorème 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) ; en itérant on obtient toutes les dérivées (chacune ajoute une puissance de $\ln t$, sans dommage). ∎

**Exemple 9.19 (Factorielles demi-entières).**

L’équation fonctionnelle et $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) =
\sqrt\pi$ (à un changement de variable de l’[Exercice 9.8](#exo-b2-integration-8) : poser $t = u^2$ dans l’intégrale de définition) engendrent toutes les valeurs demi-entières :

$$
\Gamma\Bigl(\frac32\Bigr) = \frac12\,\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{\sqrt\pi}{2},
\qquad
\Gamma\Bigl(\frac52\Bigr) = \frac32\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}
= \frac{3\sqrt\pi}{4},
\qquad
\Gamma\Bigl(\frac72\Bigr) = \frac{15\sqrt\pi}{8} .
$$

Puisque $\Gamma(n+1) = n!$, il est légitime d’écrire « $\frac12! =
\frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0.886$ » : la factorielle a été interpolée, et la courbe interpolante passe sous $1$ entre $0! = 1$ et $1! = 1$ (son minimum $\approx 0.8856$ en $x \approx 1.4616$ correspond au tableau de convexité de la partie I du problème du week-end). Éclairage final : rien dans l’intégrale $\int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\dd t$ ne privilégie les entiers — le caractère discret de la factorielle était un accident du dénombrement, et $\sqrt\pi$ est ce qui vit entre $1$ et $1$.

**Remarque 9.20 (Où va Γ\GammaΓ à partir d’ici).**

Le problème du week-end de ce chapitre construit tout le calcul d’Euler autour de $\Gamma$ : la [fonction bêta](#pb-b2-integration-1), ses récurrences par intégration par parties, les intégrales de Wallis comme valeurs de la [fonction bêta](#pb-b2-integration-1), et la [formule limite de Gauss](#pb-b2-integration-1). Le chapitre sur les intégrales multiples démontre la formule bêta–gamma d’Euler pour tous les arguments par une intégrale double ; les chapitres de probabilités retrouvent $\Gamma$ dans la normalisation des densités les plus courantes et dans les moments des temps d’attente. Le volume de troisième année reconstruit $\Gamma$ sur des fondations de Lebesgue, démontre le théorème d’unicité de Bohr–Mollerup, et étend la formule de Stirling des entiers à la demi-droite réelle par convergence dominée.

**Exemple 9.21 (Un calcul classique par dérivation).**

Pour $x \in \R$, posons $F(x) = \int_0^{\infty} \eu^{-t^2}\cos(xt)\,\dd
t$ ([absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) convergente, dominée par $\eu^{-t^2}$). D’après le [Théorème 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) (domination de la dérivée en $x$ par $t\,\eu^{-t^2}$, intégrable) :

$$
F'(x) = -\int_0^\infty t\,\eu^{-t^2}\sin(xt)\,\dd t
= \Bigl[\frac{\eu^{-t^2}}{2}\sin(xt)\Bigr]_0^\infty
- \frac x2\int_0^\infty \eu^{-t^2}\cos(xt)\,\dd t
= -\frac x2\,F(x),
$$

(parties avec $u' = t\eu^{-t^2}$). L’équation différentielle $F' =
-\frac x2 F$ s’intègre en $F(x) = F(0)\,\eu^{-x^2/4}$ : l’intégrale de type gaussien se reproduit elle-même. La constante $F(0) =
\int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t = \frac{\sqrt\pi}{2}$ est calculée à l’[Exercice 9.8](#exo-b2-integration-8) — et de nouveau, par double intégration, au [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/20-integrales-curvilignes-et-integrales-multiples#ch-b2-multint).

## 9.4 Exercices

**Exercice 9.1 ★.**

Nature de : $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t(1-t)}}$ ; $\;\displaystyle\int_1^\infty \frac{\ln t}{t^2}\dd t$ ; $\;\displaystyle\int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}$ *(comparer avec le comportement de type harmonique divergent près de $t =
n\pi$)*.

**Solution de Exercice 9.1.**

$\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t(1-t)}}$ : au voisinage de $0$, $\sim t^{-1/2}$ ($\alpha = \frac12 < 1$ : [converge](#def-b2-integration-improper)) ; au voisinage de $1$, $\sim
(1-t)^{-1/2}$ : [converge](#def-b2-integration-improper). Convergente (sa valeur est $\pi$, par le changement de variable $t = \sin^2\theta$).

$\int_1^\infty \frac{\ln t}{t^2}$ : $\frac{\ln t}{t^2} = o(t^{-3/2})$ : convergente (valeur $1$ par parties).

$\int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}$ : divergente. Au voisinage de $t =
n\pi$, écrivons $t = n\pi + u$ : $\sin^2 t = \sin^2 u \leq u^2$, donc sur $\abs u \leq \frac{1}{n}$, $1 + t^2\sin^2 t \leq 1 + (n\pi +
1)^2u^2 \leq C n^2 u^2 + 1$ ; d’où

$$
\int_{n\pi - 1/n}^{n\pi + 1/n} \frac{\dd t}{1 + t^2\sin^2 t}
\geq \int_{-1/n}^{1/n} \frac{\dd u}{1 + Cn^2u^2}
= \frac{2\arctan\sqrt C}{\sqrt C}\cdot\frac{1}{n} ,
$$

un terme d’une série divergente de type harmonique : en sommant sur $n$, la primitive est non bornée.

**Exercice 9.2 ★.**

Calculer $\displaystyle\int_0^\infty t^n \eu^{-\lambda t}\,\dd t$ ($\lambda > 0$) à l’aide de $\Gamma$, et $\displaystyle\int_0^1 (\ln t)^n \dd t$ par le changement de variable $t =
\eu^{-u}$.

**Solution de Exercice 9.2.**

Substituons $u = \lambda t$ :

$$
\int_0^\infty t^n \eu^{-\lambda t}\dd t
= \frac{1}{\lambda^{n+1}}\int_0^\infty u^n\eu^{-u}\dd u
= \frac{\Gamma(n+1)}{\lambda^{n+1}} = \frac{n!}{\lambda^{n+1}} .
$$

Avec $t = \eu^{-u}$ ($\dd t = -\eu^{-u}\dd u$) :

$$
\int_0^1 (\ln t)^n \dd t = \int_0^{\infty} (-u)^n \eu^{-u}\,\dd u
= (-1)^n\, n! .
$$

**Exercice 9.3 ★.**

Montrer que $\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\dd t}{(1 +
t^2)(1 + t^x)}$ est bien définie pour tout $x \in \R$ et indépendante de $x$. *(Substituer $t \mapsto \frac1t$ et faire la moyenne des deux expressions.)* Quelle est sa valeur ?

**Solution de Exercice 9.3.**

Convergence : l’intégrande est $\leq \frac{1}{1+t^2}$ au voisinage de $\infty$ et borné au voisinage de $0$ (les deux facteurs minorés loin de $0$) : [absolument](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/7-suites-et-series#def-b2-series-def) convergente, pour tout $x$. En substituant $t = \frac1u$ ($\dd t = -\frac{\dd u}{u^2}$) :

$$
I(x) = \int_0^\infty \frac{1}{\bigl(1 +
\frac1{u^2}\bigr)\bigl(1 + u^{-x}\bigr)}\cdot\frac{\dd u}{u^2}
= \int_0^\infty \frac{u^x}{(1 + u^2)(1 + u^x)}\,\dd u .
$$

En additionnant les deux expressions de $I(x)$ :

$$
2I(x) = \int_0^\infty \frac{1 + t^x}{(1+t^2)(1+t^x)}\dd t
= \int_0^\infty \frac{\dd t}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2} :
$$

$I(x) = \frac\pi4$, indépendant de $x$.

**Exercice 9.4 ★★.**

(Intégrales de Bertrand en une borne finie) Pour quels $(\alpha,
\beta)$ l’intégrale $\displaystyle\int_0^{1/2}
\frac{\dd t}{t^\alpha\,\abs{\ln t}^\beta}$ converge-t-elle ?

**Solution de Exercice 9.4.**

Au voisinage de $0^+$, avec $u = \abs{\ln t} \to \infty$. Si $\alpha < 1$ : convergence quel que soit $\beta$ (comparer avec $t^{-\alpha'}$ pour $\alpha < \alpha' < 1$ : le facteur logarithmique est battu). Si $\alpha > 1$ : divergence quel que soit $\beta$ (comparer avec $t^{-\alpha''}$, $1 < \alpha'' < \alpha$). Si $\alpha = 1$ : substituer $t =
\eu^{-u}$ :

$$
\int_0^{1/2} \frac{\dd t}{t\,\abs{\ln t}^\beta}
= \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{\dd u}{u^\beta},
$$

convergente si et seulement si $\beta > 1$. Récapitulatif : convergence si et seulement si $\alpha < 1$, ou ($\alpha = 1$ et $\beta > 1$) — le miroir de la série de Bertrand.

**Exercice 9.5 ★★.**

Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\eu^{-xt}}{1 +
t^2}\,\dd t$ pour $x \geq 0$. Montrer que $F$ est [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intco{0}{\infty}$, de classe $C^2$ sur $\intoo{0}{\infty}$, y vérifie $F'' +
F = \frac1x$, et que $F(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$.

**Solution de Exercice 9.5.**

Continuité sur $\intco{0}{\infty}$ : domination $\bigl|\frac{\eu^{-xt}}{1+t^2}\bigr| \leq \frac{1}{1+t^2}$, intégrable, uniforme en $x \geq 0$ : le [Théorème 9.10](#thm-b2-integration-continuity).

$C^2$ sur $\intoo{0}{\infty}$ : sur $x \geq a > 0$, les deux premières dérivées en $x$, $\frac{-t\,\eu^{-xt}}{1+t^2}$ et $\frac{t^2\eu^{-xt}}{1+t^2}$, sont dominées par $t\,\eu^{-at}$ et $\eu^{-at}$ : deux applications du [Théorème 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule). Puis

$$
F''(x) + F(x) = \int_0^\infty \frac{t^2 + 1}{1 + t^2}\,\eu^{-xt}\dd
t = \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x .
$$

Limite : $0 \leq F(x) \leq \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x \to
0$.

**Exercice 9.6 ★★.**

(Frullani) Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) sur $\intco{0}{+\infty}$ admettant une limite finie $f(\infty)$ en $+\infty$. Montrer que pour $a, b > 0$ :

$$
\int_0^{\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t}\,\dd t
= \bigl(f(0) - f(\infty)\bigr)\,\ln\frac ba .
$$

*(Sur $\intcc{\varepsilon}{M}$, substituer dans chaque morceau et regrouper en $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} -
\int_{aM}^{bM}$ de $\frac{f(u)}u\,\dd u$ ; encadrer en utilisant la continuité en $0$ et la limite en $\infty$.)* Calculer $\int_0^\infty \frac{\eu^{-t} - \eu^{-2t}}{t}\dd t$.

**Solution de Exercice 9.6.**

Sur $\intcc{\varepsilon}{M}$, substituons $u = at$ et $u = bt$ dans les deux moitiés :

$$
\int_\varepsilon^M \frac{f(at) - f(bt)}{t}\dd t
= \int_{a\varepsilon}^{aM}\frac{f(u)}{u}\dd u
- \int_{b\varepsilon}^{bM}\frac{f(u)}{u}\dd u
= \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u}\dd u
- \int_{aM}^{bM} \frac{f(u)}{u}\dd u .
$$

Premier morceau : $f(u) = f(0) + o(1)$ au voisinage de $0$, et $\int_{a\varepsilon}
^{b\varepsilon} \frac{\dd u}{u} = \ln\frac ba$ : le morceau tend vers $f(0)\ln\frac ba$. Second morceau : $f(u) \to f(\infty)$, même calcul : tend vers $f(\infty)\ln\frac ba$. D’où l’[intégrale impropre](#def-b2-integration-improper) [converge](#def-b2-integration-improper) vers $\bigl(f(0) - f(\infty)\bigr)\ln\frac ba$.

Avec $f(t) = \eu^{-t}$ ($f(0) = 1$, $f(\infty) = 0$), $a = 1$, $b
= 2$ :

$$
\int_0^\infty \frac{\eu^{-t} - \eu^{-2t}}{t}\dd t = \ln 2 .
$$

**Exercice 9.7 ★★.**

Justifier et calculer $\lim_{n\to\infty} \displaystyle\int_0^n
\Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\,\dd t$ pour $x > 0$ *(convergence dominée avec $\varphi(t) = \eu^{-t}t^{x-1}$, en utilisant $(1 - t/n)^n \leq \eu^{-t}$ ; la limite est $\Gamma(x)$)*.

**Solution de Exercice 9.7.**

Prolongeons l’intégrande par $0$ au-delà de $t = n$ : $g_n(t) = (1 -
\frac tn)^n t^{x-1}\mathbf{1}_{t \leq n}$. Simplement, $g_n(t) \to
\eu^{-t}t^{x-1}$ (la limite des intérêts composés, volume de première année). Domination : $\ln(1 - u) \leq -u$ donne $(1 - \frac tn)^n \leq
\eu^{-t}$ sur $\intcc{0}{n}$, donc $\abs{g_n(t)} \leq
\eu^{-t}t^{x-1} = \varphi(t)$, intégrable. Convergence dominée :

$$
\int_0^n \Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^n t^{x-1}\dd t
\xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^\infty \eu^{-t}t^{x-1}\dd t
= \Gamma(x) .
$$

(Le calcul du membre de gauche par parties répétées donne la forme produit d’Euler $\Gamma(x) = \lim \frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$.)

**Exercice 9.8 ★★★.**

(L’intégrale de Gauss par une astuce de paramètre) Pour $x \geq 0$, posons

$$
G(x) = \Bigl(\int_0^x \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!2},
\qquad
H(x) = \int_0^1 \frac{\eu^{-x^2(1+t^2)}}{1 + t^2}\,\dd t .
$$

Montrer que $G' + H' = 0$ (dériver $H$ sous l’intégrale et substituer $u = xt$ dans l’intégrale obtenue), en déduire $G(x) + H(x)
= \frac\pi4$ pour tout $x$, et conclure

$$
\int_0^{\infty} \eu^{-t^2}\,\dd t = \frac{\sqrt\pi}{2} .
$$

**Solution de Exercice 9.8.**

$H$ est dérivable en $x$ (intégrande $C^1$ en $x$, dérivée $-2x(1+t^2)\cdot\frac{\eu^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} =
-2x\,\eu^{-x^2}\eu^{-x^2t^2}$, [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) et bornée sur les [compacts](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-compact) de $x$, domination sur $t \in \intcc{0}{1}$ triviale) :

$$
H'(x) = -2x\,\eu^{-x^2}\int_0^1 \eu^{-x^2t^2}\,\dd t
\overset{u = xt}{=} -2\,\eu^{-x^2}\int_0^x \eu^{-u^2}\,\dd u
= -G'(x),
$$

puisque $G'(x) = 2\eu^{-x^2}\int_0^x \eu^{-t^2}\dd t$ (règle de la chaîne sur le carré, théorème fondamental de l’analyse). Donc $G + H$ est constante, égale à $G(0) + H(0) = 0 + \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t^2}
= \frac\pi4$.

Quand $x \to \infty$ : $0 \leq H(x) \leq \eu^{-x^2}\int_0^1 \dd t \to
0$, donc $G(x) \to \frac\pi4$ :

$$
\int_0^\infty \eu^{-t^2}\dd t = \sqrt{\frac\pi4} =
\frac{\sqrt\pi}{2} .
$$

(Par conséquent $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = 2\int_0^\infty
\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$, par le changement de variable $t = \sqrt u$.)

**Exercice 9.9 ★★★.**

Montrer que $\Gamma$ est *log-convexe* : $\ln\Gamma$ est convexe sur $\intoo{0}{\infty}$. *(l’inégalité de Cauchy–Schwarz pour les intégrales appliquée à $t^{(x+y)/2 - 1}\eu^{-t} = \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}
\bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}$ donne $\Gamma\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr)^2 \leq \Gamma(x)\Gamma(y)$ ; combiner avec la continuité et l’[Exercice 8.8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#exo-b2-realfun-8).)*

**Solution de Exercice 9.9.**

Cauchy–Schwarz (volume de première année, valable sur $\intcc{\varepsilon}{M}$ et passée à la limite) appliquée à la factorisation $t^{\frac{x+y}{2}-1}\eu^{-t} = \bigl(t^{x-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}
\bigl(t^{y-1}\eu^{-t}\bigr)^{1/2}$ :

$$
\Gamma\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) \leq
\Gamma(x)^{1/2}\,\Gamma(y)^{1/2}
\quad\Longrightarrow\quad
\ln\Gamma\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) \leq \frac{\ln\Gamma(x) +
\ln\Gamma(y)}{2} :
$$

$\ln\Gamma$ est convexe au milieu ; étant [continue](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/4-topologie-des-espaces-metriques#def-b2-metric-continuity) ([Théorème 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops)), elle est convexe ([Exercice 8.8](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/8-fonctions-dune-variable-reelle#exo-b2-realfun-8)). (La log-convexité caractérise $\Gamma$ de manière unique parmi les interpolations de la factorielle — le théorème de Bohr–Mollerup, une perle de troisième année.)

**Exercice 9.10 ★★★.**

(Intégrale de Dirichlet) Posons $F(x) = \displaystyle\int_0^{\infty}
\frac{\sin t}{t}\,\eu^{-xt}\,\dd t$ pour $x > 0$.

1. Justifier $F'(x) = -\frac{1}{1 + x^2}$ (dériver sous l’intégrale ; calculer $\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd  t$ par deux intégrations par parties).
2. Montrer que $F(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ et en déduire $F(x) =  \frac\pi2 - \arctan x$ .
3. En admettant la continuité de $F$ en $0^+$ (un théorème de type Abel), conclure la valeur de l’intégrale semi-convergente : $$\int_0^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t = \frac{\pi}{2}.$$

**Solution de Exercice 9.10.**

1. Sur $x \geq a > 0$ : la dérivée en $x$ de l’intégrande est $-\sin t\,\eu^{-xt}$, dominée par $\eu^{-at}$ : le [Théorème 9.11](#thm-b2-integration-leibnizrule) donne $F'(x) =  -\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t$. Deux intégrations par parties (ou l’exponentielle complexe) : $$\int_0^\infty \eu^{-xt}\sin t\,\dd t  = \Im \int_0^\infty \eu^{(-x+\iu)t}\dd t  = \Im\frac{1}{x - \iu} = \frac{1}{1 + x^2} .$$
2. $\abs{F(x)} \leq \int_0^\infty \eu^{-xt}\dd t = \frac1x \to  0$ . En intégrant $F' = -\frac{1}{1+x^2}$ de $x$ à $\infty$ : $0 - F(x) = -\bigl(\frac\pi2 - \arctan x\bigr)$ , donc $F(x) = \frac\pi2 - \arctan x$ .
3. En faisant $x \to 0^+$ avec la continuité admise : $F(0^+) =  \frac\pi2$ , et $F(0) = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\dd  t$ (l’intégrale de Dirichlet semi-convergente, [Exemple 9.5](#ex-b2-integration-sint) ) : sa valeur est $\frac\pi2$ .

**Exercice 9.11 ★★.**

Justifier la convergence de $\displaystyle\int_0^\infty
\Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t$, puis la calculer par une intégration par parties et l’[Exercice 9.10](#exo-b2-integration-10) :

$$
\int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t
= \frac{\pi}{2} .
$$

(La même valeur que $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\dd t$ — mais cette fois la convergence est absolue.)

**Solution de Exercice 9.11.**

Convergence : au voisinage de $0$ l’intégrande se prolonge par continuité par la valeur $1$ ($\sin t \sim t$) ; à l’infini il est $\leq t^{-2}$ : convergence absolue. Sur $\intcc{\varepsilon}{M}$, intégrons par parties avec $u = \sin^2 t$, $v' = t^{-2}$ :

$$
\int_\varepsilon^M \frac{\sin^2 t}{t^2}\dd t
= \Bigl[-\frac{\sin^2 t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_\varepsilon^M \frac{2\sin t\cos t}{t}\dd t
= \Bigl[-\frac{\sin^2 t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M
+ \int_{2\varepsilon}^{2M} \frac{\sin u}{u}\dd u
$$

($u = 2t$ dans la dernière intégrale). Le crochet tend vers $0$ aux deux bornes ($\sin^2\varepsilon/\varepsilon \leq \varepsilon$ ; $\sin^2 M/M \leq 1/M$), et la dernière intégrale tend vers $\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\dd u = \frac\pi2$ ([Exercice 9.10](#exo-b2-integration-10)). D’où

$$
\int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^{\!2}\dd t
= \frac\pi2 .
$$

**Exercice 9.12 ★★★.**

(La queue gaussienne) Pour $x > 0$, posons $T(x) = \displaystyle
\int_x^\infty \eu^{-t^2}\dd t$.

1. En écrivant $\eu^{-t^2} = \frac{1}{-2t}\cdot(-2t\,\eu^{-t^2})$, intégrer deux fois par parties pour obtenir $$T(x) = \eu^{-x^2}\Bigl(\frac{1}{2x} -  \frac{1}{4x^3}\Bigr) +  \frac34\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\,\dd t .$$
2. Majorer le reste : $0 \leq \frac34\int_x^\infty  t^{-4}\eu^{-t^2}\dd t \leq \frac{3}{8x^5}\,\eu^{-x^2}$, et en déduire l’encadrement $$\eu^{-x^2}\Bigl(\frac{1}{2x} - \frac{1}{4x^3}\Bigr)  \leq T(x) \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x},  \qquad\text{d'où}\qquad  T(x) \sim \frac{\eu^{-x^2}}{2x} \quad (x \to +\infty).$$
3. Pourquoi la série [alternée](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/2-algebre-lineaire#def-b2-linalg-alternating) complète obtenue en itérant les parties ne peut-elle jamais converger pour $x$ fixé ? *(Comparer la croissance des coefficients $1\cdot3\cdots(2k-1)$ avec les puissances $(2x^2)^k$.)*

**Solution de Exercice 9.12.**

1. Parties avec $u = \frac{-1}{2t}$, $v' = -2t\,\eu^{-t^2}$ (donc $v = \eu^{-t^2}$) : $$T(x) = \Bigl[\frac{-\eu^{-t^2}}{2t}\Bigr]_x^\infty  - \int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{2x}  - \int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t .$$ Même procédé sur la nouvelle intégrale ($u = \frac{-1}{4t^3}$, $v' = -2t\,\eu^{-t^2}$) : $$\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{2t^2}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{4x^3}  - \frac34\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\dd t ,$$ d’où l’identité annoncée.
2. Une intégration par parties de plus majore le reste : $$\int_x^\infty \frac{\eu^{-t^2}}{t^4}\dd t  = \frac{\eu^{-x^2}}{2x^5}  - \frac52\int_x^\infty\frac{\eu^{-t^2}}{t^6}\dd t  \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x^5},$$ donc $0 \leq \frac34\int_x^\infty t^{-4}\eu^{-t^2}\dd t  \leq \frac{3}{8x^5}\eu^{-x^2}$. En laissant tomber le reste (positif) dans l’identité de la question 1 on obtient la borne inférieure ; en laissant tomber le deuxième terme (négatif) des premières parties on obtient $T(x) \leq \frac{\eu^{-x^2}}{2x}$. En divisant l’encadrement par $\frac{\eu^{-x^2}}{2x}$ : le rapport est coincé entre $1 - \frac{1}{2x^2}$ et $1$, donc $T(x)  \sim \frac{\eu^{-x^2}}{2x}$.
3. En itérant les parties on produit la série formelle $$T(x) \approx \frac{\eu^{-x^2}}{2x}\Bigl(1 -  \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot3}{(2x^2)^2} -  \frac{1\cdot3\cdot5}{(2x^2)^3} + \cdots\Bigr),$$ dont le coefficient d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $k$, $1\cdot3\cdots(2k-1) =  \frac{(2k)!}{2^k k!}$, croît plus vite que toute suite géométrique : pour $x$ fixé les termes $\frac{1\cdot3\cdots(2k-1)}{(2x^2)^k}$ tendent vers l’infini (leur rapport est $\frac{2k+1}{2x^2} \to \infty$), donc la série diverge pour tout $x$. C’est un développement *asymptotique* : tronqué à un [ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) fixé quelconque, l’erreur est de l’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) du premier terme omis quand $x \to \infty$ — mais jamais une série convergente. (Cette estimation de queue est la borne de queue gaussienne standard des chapitres de probabilités.)

## 9.5 Problème : les intégrales d’Euler — bêta, gamma et la formule limite de Gauss

**Problème 9.1.**

La fonction $\Gamma$ de la [Définition 9.17](#def-b2-integration-gamma) est une moitié du calcul des intégrales d’Euler ; l’autre moitié est la *fonction bêta*

$$
B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1 - t)^{y-1}\,\dd t .
$$

Ce problème développe le couple $(\Gamma, B)$ avec les seuls outils de ce chapitre — intégration par parties, changement de variable, convergence dominée — et culmine dans la *formule bêta–gamma d’Euler* $B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}
{\Gamma(x+y)}$ sur les demi-entiers et dans la *formule limite de Gauss* pour $\Gamma$. En chemin, les intégrales de Wallis du [Lemme 6.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#lem-b2-comparison-wallis) réapparaissent comme valeurs de la [fonction bêta](#pb-b2-integration-1), et la formule de duplication de Legendre en découle.

**Partie I — Structure fine de $\Gamma$.**

1. Rappeler pourquoi $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}\dd  t$ [converge](#def-b2-integration-improper) exactement pour $x > 0$, et montrer $$\Gamma(x) \sim \frac1x \qquad (x \to 0^+)$$ *(équation fonctionnelle et continuité de $\Gamma$ en $1$)*.
2. Montrer que $\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) = \sqrt\pi$ *(substituer $t = u^2$ et invoquer l’[Exercice 9.8](#exo-b2-integration-8))* , et en déduire $\int_\R \eu^{-u^2/2}\dd u = \sqrt{2\pi}$ .
3. Montrer par récurrence, pour $n \in \N$ : $$\Gamma\Bigl(n + \frac12\Bigr)  = \frac{(2n)!}{4^n\,n!}\,\sqrt\pi .$$
4. Justifier $\Gamma''(x) = \int_0^\infty  t^{x-1}\eu^{-t}(\ln t)^2\dd t > 0$ , et en déduire que $\Gamma$ est strictement convexe, atteint un unique minimum en un certain $x_0 \in \intoo{1}{2}$ *($\Gamma(1) = \Gamma(2)  = 1$ et Rolle)* , décroît sur $\intoo{0}{x_0}$ et croît sur $\intoo{x_0}{\infty}$ .
5. Montrer que $\Gamma$ l’emporte sur toute puissance : pour tout $k \in  \N$ , $x^k = o\bigl(\Gamma(x)\bigr)$ quand $x \to +\infty$ *(encadrer $x$ entre deux entiers et utiliser $\Gamma(n+1)  = n!$ avec la monotonie de la question 4)* .

**Partie II — La [fonction bêta](#pb-b2-integration-1), par parties.**

6. Montrer que $B(x,y)$ [converge](#def-b2-integration-improper) exactement pour $x > 0$ et $y >  0$ , et que $B(x,y) = B(y,x)$ .
7. Calculer $B(x, 1) = \frac1x$, et montrer par intégration par parties, pour $x, y > 0$ : $$B(x, y+1) = \frac{y}{x}\,B(x+1, y) .$$
8. À partir de la décomposition $t^{x-1}(1-t)^{y-1} =  t^{x}(1-t)^{y-1} + t^{x-1}(1-t)^{y}$ déduire $B(x,y) =  B(x+1,y) + B(x,y+1)$, et combiner avec la question 7 pour obtenir les *relations de descente* $$B(x, y+1) = \frac{y}{x+y}\,B(x,y),  \qquad  B(x+1, y) = \frac{x}{x+y}\,B(x,y) .$$
9. En déduire, pour $m, n \geq 1$ entiers : $$B(m, n) = \frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}  = \frac{1}{(m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1}} .$$
10. Montrer la *formule d’Euler pour un argument entier* : pour tout $x > 0$ et $n \in \N^*$, $$B(x, n) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(n)}{\Gamma(x + n)}$$ *(récurrence sur $n$ : les deux membres valent $\frac1x$ en $n  = 1$ et vérifient la même relation de descente)*.

**Partie III — Les intégrales de Wallis comme valeurs de la [fonction bêta](#pb-b2-integration-1).**

11. Substituer $t = \sin^2\theta$ pour obtenir la forme trigonométrique $$B(x, y) = 2\int_0^{\pi/2}  \sin^{2x-1}\theta\,\cos^{2y-1}\theta\,\dd\theta .$$
12. En déduire $W_n = \frac12\,B\bigl(\frac{n+1}2, \frac12\bigr)$ pour l’intégrale de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n  \theta\,\dd\theta$ , et retrouver la récurrence $W_n =  \frac{n-1}{n}W_{n-2}$ du [Lemme 6.11](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#lem-b2-comparison-wallis) à partir des seules relations de descente de la question 8.
13. Calculer $B\bigl(\frac12, \frac12\bigr) = 2W_0 = \pi$ et le confronter à $\Gamma\bigl(\frac12\bigr)^2/\Gamma(1)$ : la formule d’Euler est vérifiée en $\bigl(\frac12,  \frac12\bigr)$ .
14. Établir la forme close $W_{2n} = \frac\pi2\,  \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ à partir de la récurrence, et vérifier $$B\Bigl(n + \frac12, \frac12\Bigr)  = \frac{\Gamma\bigl(n + \frac12\bigr)\Gamma\bigl(  \frac12\bigr)}{\Gamma(n+1)} .$$ Conclure, par récurrence avec les relations de descente, que la formule d’Euler $B(x,y) =  \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ est vérifiée dès que $2x$ et $2y$ sont des entiers positifs.
15. Substituer $u = \frac{t}{1-t}$ pour obtenir la troisième forme classique $$B(x,y) = \int_0^\infty  \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\dd u ,$$ et vérifier directement le cas $x = y = \frac12$ ($u = v^2$ le ramène à $\int_0^\infty\frac{2\,\dd v}{1+v^2}$).

**Partie IV — La [formule limite de Gauss](#pb-b2-integration-1).**

16. Pour $x > 0$ et $n \in \N^*$, montrer par $n$ intégrations par parties successives : $$\int_0^n \Bigl(1 - \frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\,\dd t  = \frac{n!\;n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} .$$
17. Conclure à l’aide de l’[Exercice 9.7](#exo-b2-integration-7) (convergence dominée) la *[formule limite de Gauss](#pb-b2-integration-1)* : $$\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty}  \frac{n!\;n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}  \qquad (x > 0).$$
18. En prenant les logarithmes, montrer que pour $x > 0$ : $$\ln\Gamma(x) = -\ln x - \gamma x +  \sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\frac xk -  \ln\Bigl(1 + \frac xk\Bigr)\Bigr),$$ où $\gamma$ est la constante d’Euler ([Exemple 6.7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ex-b2-comparison-harmonic)) ; justifier la convergence de la série *(le terme général est $\sim \frac{x^2}{2k^2}$)*.
19. Utiliser la formule de Gauss en $x = \frac12$ et l’équivalent du coefficient binomial central $\binom{2n}{n} \sim  \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ( [Exemple 6.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ex-b2-comparison-centralbinomial) ) pour recalculer $\Gamma\bigl(\frac12\bigr) = \sqrt\pi$ : la constante de Stirling et l’intégrale de Gauss sont le même nombre sous deux déguisements.
20. Vérifier que la formule de Gauss redémontre l’équation fonctionnelle : à partir de l’identité exacte $$\frac{n!\,n^{x+1}}{(x+1)\cdots(x+n+1)}  = \frac{n!\,n^{x}}{x(x+1)\cdots(x+n)}\cdot  \frac{n\,x}{x+n+1},$$ conclure de nouveau $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$. (La formule de Gauss détermine $\Gamma$ à elle seule ; le volume de troisième année démontre le théorème plus fin de Bohr–Mollerup : l’équation fonctionnelle et la log-convexité suffisent déjà à caractériser $\Gamma$.)

**Partie V — Dividendes.**

21. Pour $a > 0$ , montrer $\int_0^\infty \eu^{-t^a}\dd t =  \Gamma\bigl(1 + \frac1a\bigr)$ , et calculer la limite quand $a \to +\infty$ par convergence dominée *(limite simple $\mathbf 1_{t < 1}$ ; dominer par $1$ sur $\intoc{0}{1}$ et par $\eu^{-t^2}$ au-delà, pour $a \geq  2$)* . Confronter la réponse à la continuité de $\Gamma$ .
22. Pour $n \geq 1$, montrer $$\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{1 - t^n}}  = \frac1n\,B\Bigl(\frac1n, \frac12\Bigr),$$ et retrouver les valeurs $2$ ($n = 1$) et $\frac\pi2$ ($n  = 2$). (Pour $n = 4$ c’est la *constante de la lemniscate*, qui n’a pas de forme close élémentaire ; son histoire relève de la théorie des intégrales elliptiques.)
23. (Moments) Pour $x > 0$ et $k \in \N$, montrer $$\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^\infty  t^{k}\,t^{x-1}\eu^{-t}\,\dd t  = \frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x)}  = x(x+1)\cdots(x+k-1),$$ la factorielle croissante ; vérifier que $x = 1$ donne $k!$. (Dans les chapitres de probabilités, c’est le moment d’[ordre](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/1-ensembles-et-structures#def-b2-structures-generated) $k$ d’une densité de temps d’attente standard.)
24. Montrer l’identité de la [fonction bêta](#pb-b2-integration-1), valable pour *tout* $x > 0$ : $$B(x, x) = 2^{1-2x}\,B\Bigl(x, \frac12\Bigr)$$ *(substituer $t = \frac{1+s}2$, exploiter la symétrie en $s$, puis poser $s = \sqrt v$)*. En déduire, pour $2x \in \N^*$, la *formule de duplication de Legendre* $$\Gamma(x)\,\Gamma\Bigl(x + \frac12\Bigr)  = 2^{1-2x}\,\sqrt\pi\;\Gamma(2x),$$ et la vérifier directement en $x = n$ via la question 3. (Pour $x$ général elle découle de la même identité une fois la formule d’Euler connue pour tous les arguments — la preuve par intégrale double du chapitre sur les intégrales multiples.)
25. Synthèse. En une phrase chacune : (i) où l’intégration par parties a porté toute la partie II ; (ii) où la convergence dominée est intervenue dans les parties IV et V ; (iii) quels ingrédients asymptotiques ont été importés du chapitre de comparaison ; (iv) ce qui est désormais démontré de la formule d’Euler $B(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ , et ce qu’il reste à établir par le calcul de l’intégrale double.

**Solution de Problème 9.1.**

**1.** En $0^+$ l’intégrande est $\sim t^{x-1}$ : l’échelle en une borne finie [converge](#def-b2-integration-improper) si et seulement si $1 - x < 1$, c.-à-d. $x > 0$ (et pour $x \leq 0$, $t^{x-1} \geq t^{-1}$ diverge) ; en $+\infty$, $t^{x-1}\eu^{-t} = o(t^{-2})$ [converge](#def-b2-integration-improper) pour tout $x$. Puis $\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x}$ et $\Gamma(x+1)
\to \Gamma(1) = 1$ quand $x \to 0^+$ (continuité, [Théorème 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops)) : $\Gamma(x) \sim
\frac1x$.

**2.** Avec $t = u^2$, $\dd t = 2u\,\dd u$ :

$$
\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \int_0^\infty
t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t
= \int_0^\infty \frac{\eu^{-u^2}}{u}\,2u\,\dd u
= 2\int_0^\infty \eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi
$$

d’après l’[Exercice 9.8](#exo-b2-integration-8). Avec $u = v/\sqrt2$ :

$$
\int_\R \eu^{-v^2/2}\dd v
= 2\sqrt2\int_0^\infty \eu^{-u^2}\dd u
= \sqrt2\,\sqrt\pi = \sqrt{2\pi} .
$$

**3.** Vrai pour $n = 0$ (les deux membres valent $\sqrt\pi$). Si $\Gamma(n + \frac12) = \frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi$, l’équation fonctionnelle donne

$$
\Gamma\Bigl(n + 1 + \frac12\Bigr)
= \Bigl(n + \frac12\Bigr)\Gamma\Bigl(n + \frac12\Bigr)
= \frac{2n+1}{2}\cdot\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi
= \frac{(2n+2)!}{4^{n+1}(n+1)!}\sqrt\pi ,
$$

la dernière étape car $\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$ et $\frac{2n+1}{2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)}$.

**4.** Le [Théorème 9.18](#thm-b2-integration-gammaprops) donne $\Gamma''(x) = \int_0^\infty t^{x-1}\eu^{-t}(\ln t)^2\dd t$ (deux applications de la règle de Leibniz, dominations comme dans la preuve du théorème) ; l’intégrande est $\geq 0$ et non identiquement nul, donc $\Gamma'' > 0$ : $\Gamma$ est strictement convexe et $\Gamma'$ strictement croissante. Puisque $\Gamma(1) = \Gamma(2)
= 1$, Rolle fournit $x_0 \in \intoo12$ tel que $\Gamma'(x_0) =
0$ ; la stricte monotonie de $\Gamma'$ fait de $x_0$ son unique zéro, avec $\Gamma' < 0$ avant et $\Gamma' > 0$ après : $\Gamma$ décroît sur $\intoo0{x_0}$, croît sur $\intoo{x_0}\infty$, et $x_0$ est l’unique minimum.

**5.** Soit $k \in \N$ et $x \geq 3$ ; choisissons l’entier $n$ tel que $n + 1 \leq x < n + 2$ (donc $n \geq 1$). Par la monotonie de la question 4 (valable à partir de $x_0 < 2$) : $\Gamma(x)
\geq \Gamma(n + 1) = n!$, tandis que $x^k \leq (n+2)^k$. Puisque $\frac{n!}{(n+2)^k} \to \infty$ (les factorielles l’emportent sur les puissances, volume de première année), $\frac{\Gamma(x)}{x^k} \geq \frac{n!}{(n+2)^k} \to
\infty$ quand $x \to \infty$ : $x^k = o(\Gamma(x))$.

**6.** Au voisinage de $0$ l’intégrande est $\sim t^{x-1}$ (convergent si et seulement si $x > 0$), au voisinage de $1$ il est $\sim (1-t)^{y-1}$ (si et seulement si $y > 0$) ; les deux comparaisons sont entre fonctions positives, donc $B(x,y)$ [converge](#def-b2-integration-improper) exactement pour $x, y > 0$. Le changement de variable $t \mapsto 1 - t$ échange les deux facteurs : $B(x,y) = B(y,x)$.

**7.** $B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\dd t = \frac1x$. Parties sur $\intcc\varepsilon{1-\varepsilon}$ avec $u = (1-t)^y$, $v =
\frac{t^x}{x}$ :

$$
\int t^{x-1}(1-t)^{y}\dd t
= \Bigl[\frac{t^x(1-t)^y}{x}\Bigr]
+ \frac{y}{x}\int t^{x}(1-t)^{y-1}\dd t ;
$$

le crochet s’annule aux deux bornes quand $\varepsilon \to 0$ ($x >
0$ en $0$, $y > 0$ en $1$), laissant $B(x, y+1) = \frac
yx\,B(x+1, y)$.

**8.** Puisque $t + (1-t) = 1$ :

$$
t^{x-1}(1-t)^{y-1} = t^{x}(1-t)^{y-1} + t^{x-1}(1-t)^{y},
$$

donc $B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1)$. La question 7 s’écrit $B(x+1,y) =
\frac xy B(x,y+1)$ ; en substituant,

$$
B(x,y) = \Bigl(\frac xy + 1\Bigr)B(x,y+1)
= \frac{x+y}{y}\,B(x,y+1),
$$

c.-à-d. $B(x,y+1) = \frac{y}{x+y}B(x,y)$ ; la relation jumelle découle de la symétrie de la question 6.

**9.** Récurrence sur $n$ à $m$ fixé : $B(m,1) = \frac1m =
\frac{(m-1)!\,0!}{m!}$, et si la formule vaut au rang $n$,

$$
B(m, n+1) = \frac{n}{m+n}\,B(m,n)
= \frac{n}{m+n}\cdot\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}
= \frac{(m-1)!\,n!}{(m+n)!} .
$$

En réécrivant : $B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} =
\bigl[(m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1}\bigr]^{-1}$.

**10.** Les deux membres de $B(x,n) =
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n)}{\Gamma(x+n)}$ valent $\frac1x$ en $n =
1$ ($\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$). S’ils coïncident au rang $n$, alors par la relation de descente et l’équation fonctionnelle :

$$
B(x, n+1) = \frac{n}{x+n}\,B(x,n), \qquad
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)}
= \frac{n}{x+n}\cdot
\frac{\Gamma(x)\Gamma(n)}{\Gamma(x+n)} :
$$

les deux suites vérifient la même récurrence à partir de la même donnée initiale, donc coïncident pour tout $n \in \N^*$ et tout $x > 0$.

**11.** Avec $t = \sin^2\theta$ ($\theta \in
\intoo0{\pi/2}$, $\dd t = 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$), $t^{x-1} = \sin^{2x-2}\theta$ et $(1-t)^{y-1} =
\cos^{2y-2}\theta$ :

$$
B(x,y) = \int_0^{\pi/2}\sin^{2x-2}\theta\,\cos^{2y-2}\theta
\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\,\cos^{2y-1}\theta\,
\dd\theta .
$$

**12.** Prenons $y = \frac12$ (annulant le facteur cosinus) et $2x - 1 = n$ : $B\bigl(\frac{n+1}2, \frac12\bigr) = 2W_n$, c.-à-d. $W_n = \frac12 B\bigl(\frac{n+1}2,\frac12\bigr)$. La relation de descente dans la première variable donne

$$
\frac{W_n}{W_{n-2}}
= \frac{B\bigl(\frac{n-1}2 + 1, \frac12\bigr)}
{B\bigl(\frac{n-1}2, \frac12\bigr)}
= \frac{\frac{n-1}2}{\frac{n-1}2 + \frac12}
= \frac{n-1}{n} :
$$

la récurrence de Wallis, cette fois sans aucune intégration par parties sur les sinus — la partie II a fait le travail une fois pour toutes.

**13.** $B\bigl(\frac12,\frac12\bigr) = 2W_0 =
2\cdot\frac\pi2 = \pi$, tandis que $\Gamma\bigl(\frac12\bigr)^2/\Gamma(1) = (\sqrt\pi)^2 = \pi$ : la formule d’Euler est vérifiée en $\bigl(\frac12,\frac12\bigr)$.

**14.** En itérant $W_{2n} = \frac{2n-1}{2n}W_{2n-2}$ à partir de $W_0 = \frac\pi2$ :

$$
W_{2n} = \frac\pi2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}
= \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2},
$$

puisque $\prod(2k-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ et $\prod 2k = 2^n
n!$. D’où, en utilisant la question 3 :

$$
B\Bigl(n+\frac12, \frac12\Bigr) = 2W_{2n}
= \pi\,\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}
= \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n!}\cdot\frac{\sqrt\pi}{n!}
= \frac{\Gamma\bigl(n+\frac12\bigr)\Gamma\bigl(\frac12\bigr)}
{\Gamma(n+1)} .
$$

Fixons maintenant $x \in \frac12\N^*$. La formule d’Euler est vérifiée en $(x,
\frac12)$ : pour $x$ entier c’est la question 10 (avec la symétrie), pour $x = n + \frac12$ c’est la formule ci-dessus. Les deux membres de la formule d’Euler vérifient la récurrence de descente $y \mapsto y + 1$ (question 8 à gauche, l’équation fonctionnelle à droite, comme à la question 10) : la récurrence propage la formule de $y =
\frac12$ et $y = 1$ à tout $y \in \frac12\N^*$. La formule d’Euler vaut donc dès que $2x, 2y \in \N^*$.

**15.** Avec $u = \frac{t}{1-t}$, c.-à-d. $t =
\frac{u}{1+u}$, $1 - t = \frac{1}{1+u}$, $\dd t =
\frac{\dd u}{(1+u)^2}$ :

$$
B(x,y) = \int_0^\infty
\Bigl(\frac{u}{1+u}\Bigr)^{x-1}
\Bigl(\frac{1}{1+u}\Bigr)^{y-1}
\frac{\dd u}{(1+u)^2}
= \int_0^\infty \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\dd u .
$$

En $x = y = \frac12$, avec $u = v^2$ :

$$
\int_0^\infty \frac{u^{-1/2}}{1+u}\dd u
= \int_0^\infty \frac{2\,\dd v}{1+v^2} = \pi
= B\Bigl(\frac12,\frac12\Bigr) . \checkmark
$$

**16.** Une intégration par parties, pour $1 \leq k \leq n$ et $s > 0$ ($u = (1 - t/n)^k$, $v = t^s/s$ ; les termes de bord s’annulent) :

$$
\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!k} t^{s-1}\dd t
= \frac{k}{ns}\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!k-1}
t^{s}\dd t .
$$

À partir de $k = n$, $s = x$ et en itérant $n$ fois :

$$
\int_0^n \Bigl(1-\frac tn\Bigr)^{\!n} t^{x-1}\dd t
= \frac{n(n-1)\cdots1}{n^n\,x(x+1)\cdots(x+n-1)}
\int_0^n t^{x+n-1}\dd t
= \frac{n!}{n^n}\cdot
\frac{n^{x+n}}{x(x+1)\cdots(x+n)} ,
$$

soit $\dfrac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$.

**17.** D’après l’[Exercice 9.7](#exo-b2-integration-7) le membre de gauche tend vers $\Gamma(x)$ (convergence dominée avec dominant $t^{x-1}\eu^{-t}$) ; le membre de droite est le quotient de Gauss :

$$
\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty}
\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)} .
$$

**18.** En prenant les logarithmes dans le quotient $G_n(x)$ de la question 16 et en découpant $\ln(x+k) = \ln k + \ln(1 + x/k)$ pour $k
\geq 1$ :

$$
\ln G_n(x) = x\ln n - \ln x - \sum_{k=1}^n
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)
= -\ln x + x(\ln n - H_n)
+ \sum_{k=1}^n\Bigl(\frac xk -
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)\Bigr).
$$

Pour $u \geq 0$, $u - \frac{u^2}2 \leq \ln(1+u) \leq u$, donc le terme général appartient à $\intcc{0}{x^2/(2k^2)}$ : la série [converge](#def-b2-integration-improper) (comparaison avec $\sum k^{-2}$). Puisque $\ln n - H_n
\to -\gamma$ ([Exemple 6.7](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ex-b2-comparison-harmonic)) et $\ln G_n(x)
\to \ln\Gamma(x)$ (question 17 et continuité de $\ln$) :

$$
\ln\Gamma(x) = -\ln x - \gamma x
+ \sum_{k=1}^\infty\Bigl(\frac xk -
\ln\Bigl(1+\frac xk\Bigr)\Bigr) .
$$

**19.** En $x = \frac12$, le dénominateur est $\prod_{k=0}^n\bigl(k+\frac12\bigr) =
\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}$ (en développant les moitiés), donc

$$
G_n\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{n!\,\sqrt n\;2^{2n+1}n!}{(2n+1)!}
= \frac{2\sqrt n\;4^n}{(2n+1)\binom{2n}{n}} .
$$

Avec $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ([Exemple 6.14](https://one-course.com/books/math/4/fr/chapter/6-comparaison-des-fonctions#ex-b2-comparison-centralbinomial)) :

$$
G_n\Bigl(\frac12\Bigr)
\sim \frac{2\sqrt n\,\sqrt{\pi n}}{2n+1}
\longrightarrow \sqrt\pi = \Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) .
$$

Le $\sqrt\pi$ du coefficient binomial central (qui vient de Wallis, donc de la constante de Stirling) et l’intégrale de Gauss avec son $\sqrt\pi$ sont le même nombre.

**20.** L’identité relève d’un calcul algébrique direct : multiplier $\frac{n!\,n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$ par $\frac{nx}{x+n+1}$ et absorber $x$ dans le produit, $n$ dans $n^x$. En faisant $n \to
\infty$ : le membre de gauche tend vers $\Gamma(x+1)$ (Gauss en $x+1$), le membre de droite vers $\Gamma(x)\cdot x\cdot 1$ puisque $\frac{n}{x+n+1} \to 1$ : $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ — retrouvé sans une seule intégration par parties.

**21.** Avec $u = t^a$, $t = u^{1/a}$, $\dd t = \frac1a
u^{1/a - 1}\dd u$ :

$$
\int_0^\infty \eu^{-t^a}\dd t
= \frac1a\int_0^\infty u^{\frac1a - 1}\eu^{-u}\dd u
= \frac1a\,\Gamma\Bigl(\frac1a\Bigr)
= \Gamma\Bigl(1 + \frac1a\Bigr) .
$$

Quand $a \to +\infty$ (le long d’une suite quelconque) : $\eu^{-t^a} \to 1$ pour $0 < t < 1$, $\to \eu^{-1}$ en $t = 1$, $\to 0$ pour $t > 1$ ; pour $a \geq 2$ dominer par $\mathbf 1_{t \leq 1} +
\eu^{-t^2}\mathbf 1_{t > 1}$ ($t^a \geq t^2$ pour $t \geq 1$), intégrable. Convergence dominée : l’intégrale tend vers $\int_0^1 1\,\dd t = 1$ — comme il se doit, puisque $\Gamma(1 +
\frac1a) \to \Gamma(1) = 1$ par continuité.

**22.** Avec $u = t^n$, $\dd t = \frac1n u^{1/n - 1}\dd
u$ :

$$
\int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{1-t^n}}
= \frac1n\int_0^1 u^{\frac1n-1}(1-u)^{-1/2}\dd u
= \frac1n\,B\Bigl(\frac1n, \frac12\Bigr) .
$$

$n = 1$ : $B\bigl(1,\frac12\bigr) = B\bigl(\frac12,1\bigr) = 2$, correspondant à $\int_0^1\frac{\dd t}{\sqrt{1-t}} = 2$. $n = 2$ : $\frac12 B\bigl(\frac12,\frac12\bigr) = \frac\pi2 = \arcsin 1$. Pour $n = 4$ la valeur $\frac14 B\bigl(\frac14,\frac12\bigr)$ est la constante de la lemniscate : pas de forme close élémentaire.

**23.** En itérant l’équation fonctionnelle :

$$
\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^\infty t^{x+k-1}\eu^{-t}\dd t
= \frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x)}
= (x+k-1)(x+k-2)\cdots x ,
$$

la factorielle croissante à $k$ facteurs. En $x = 1$ : $\Gamma(1+k)/\Gamma(1) = k!$, les moments de $\eu^{-t}$ de l’[Exercice 9.2](#exo-b2-integration-2).

**24.** Substituons $t = \frac{1+s}2$ ($s \in
\intoo{-1}1$, $\dd t = \frac{\dd s}2$, $t(1-t) =
\frac{1-s^2}4$) :

$$
B(x,x) = \int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{1-s^2}{4}\Bigr)^{x-1}
\frac{\dd s}{2}
= 4^{1-x}\int_0^1 (1-s^2)^{x-1}\dd s
$$

(l’intégrande est pair). Puis $s = \sqrt v$ ($\dd s =
\frac{\dd v}{2\sqrt v}$) :

$$
B(x,x) = \frac{4^{1-x}}{2}\int_0^1
v^{-1/2}(1-v)^{x-1}\dd v
= 2^{1-2x}\,B\Bigl(\frac12, x\Bigr) .
$$

Pour $2x \in \N^*$ tout argument en vue appartient à $\frac12\N^*$, donc la formule d’Euler (question 14) s’applique aux deux membres :

$$
\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
= 2^{1-2x}\,
\frac{\Gamma\bigl(\frac12\bigr)\Gamma(x)}
{\Gamma\bigl(x+\frac12\bigr)}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Gamma(x)\,\Gamma\Bigl(x+\frac12\Bigr)
= 2^{1-2x}\sqrt\pi\;\Gamma(2x) .
$$

Vérification directe en $x = n$ : le membre de gauche est $(n-1)!\cdot
\frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n!} = \frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n}$, le membre de droite $2\cdot4^{-n}\sqrt\pi\,(2n-1)! =
\frac{(2n)!\sqrt\pi}{4^n n}$ : égaux.

**25.** (i) L’intégration par parties a produit $B(x,y+1) =
\frac yx B(x+1,y)$, l’unique identité d’où découlent toute relation de descente, les valeurs entières et demi-entières, et la récurrence de Wallis. (ii) La convergence dominée a transformé les intégrales élémentaires $\int_0^n(1-t/n)^n t^{x-1}$ en $\Gamma(x)$ (formule de Gauss, question 17) et calculé la limite $a \to \infty$ à la question 21. (iii) Du chapitre de comparaison nous avons importé la constante d’Euler ($\ln n - H_n \to
-\gamma$, question 18) et l’équivalent du coefficient binomial central (question 19) — c.-à-d. la formule de Stirling déguisée. (iv) La formule d’Euler $B(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ est maintenant démontrée pour $y \in \N^*$ avec $x > 0$ arbitraire (question 10) et pour tous les couples demi-entiers (question 14) ; le cas général $x, y > 0$ attend le calcul par intégrale double du chapitre sur les intégrales multiples, qui factorise $\Gamma(x)\Gamma(y)$ sur un quart de plan.