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title: "अवकल कलन"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2"
subject: math
language: hi
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus
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# अध्याय 15 — अवकल कलन

प्रथम वर्ष के खंड का दो-चर कलन यहाँ मानदंडित समष्टियों के बीच प्रतिचित्रणों के अवकल कलन में परिपक्व होता है: सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन के रूप में *[अवकल](#def-b2-diffcalc-differential)*, पूरी व्यापकता में शृंखला नियम, *सिद्ध* की गई श्वार्ज़ की सममिति प्रमेय, टेलर सूत्र, और चरम मानों का पूरा द्वितीय-कोटि विश्लेषण। और सिद्धांत का मुकुट, प्रतिलोम फलन प्रमेय, अपनी उपपत्ति-रणनीति — बानाख अचल बिंदु — को स्पष्ट करते हुए कहा गया है।

आगे सर्वत्र $U$ $\R^n$ (अथवा किसी मानदंडित समष्टि; परिमित-विमीय स्थिति सारे विचार उठा लेती है) का कोई [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) उपसमुच्चय है, $f \colon U \to
\R^m$।

## 15.1 अवकल

**परिभाषा 15.1.**

$f$ $a$ पर *अवकलनीय* कहलाता है जब कोई ([संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity)) रैखिक प्रतिचित्रण $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ ऐसा हो कि

$$
f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h)
\qquad (h \to 0).
$$

प्रतिचित्रण $\dd f_a$, अर्थात् $a$ पर $f$ का *अवकल*, अद्वितीय होता है; और विहित आधारों में उसका आव्यूह *याकोबी आव्यूह* $J_f(a) =
\bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ है। अवकलनीयता से संततता तथा सभी दिशिक अवकलजों $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv)
- f(a)}{t}$ का अस्तित्व निकलता है; पर विलोम विफल है ([अभ्यास 15.2](#exo-b2-diffcalc-2))। $m = 1$ के लिए $\dd f_a(h) = \langle
\nabla f(a), h\rangle$: अर्थात् प्रथम वर्ष का प्रवणक, अब अवकल को निरूपित करने वाले सदिश के रूप में समझा हुआ।

**प्रमेय 15.2 (C1C^1C1 कसौटी).**

यदि $f$ के सारे आंशिक अवकलज $U$ पर विद्यमान हों और $a$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) हों, तो $f$ $a$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है। अतः “$U$ पर $C^1$” — अर्थात् [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) आंशिक अवकलज — से सर्वत्र अवकलनीयता निकलती है, [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) के साथ।

**उपपत्ति.** घटक-दर-घटक ($m = 1$ पर्याप्त है)। दो चरों के लिए प्रथम वर्ष की उपपत्ति — एक-एक निर्देशांक बदलिए, हर पैर पर एक-चर मध्यमान प्रमेय लगाइए, और $a$ पर आंशिक अवकलजों की संततता का उपयोग कीजिए — $n$ पैरों तक अक्षरशः सामान्यीकृत हो जाती है:

$$
f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a +
h^{(j-1)})\bigr)
= \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),
$$

जहाँ $h^{(j)}$ $h$ के पहले $j$ निर्देशांक जमा देता है और $\xi_j$ $j$-वें पैर पर पड़ता है; और संततता हर $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ को $\frac{\partial
f}{\partial x_j}(a) + o(1)$ बना देती है, तथा त्रुटि $o(\norm h)$ रह जाती है। ∎

**प्रमेय 15.3 (शृंखला नियम).**

यदि $f$ $a$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) हो और $g$ $f(a)$ पर, तो $g \circ f$ $a$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है और

$$
\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a ,
\qquad
J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :
$$

अर्थात् याकोबी गुणा हो जाते हैं।

**उपपत्ति.** $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ और $b = f(a)$, $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$ के साथ $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ लिखिए। प्रतिस्थापित करने पर,

$$
g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr)
+ \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),
$$

और दोनों त्रुटि-पद $o(\norm h)$ हैं: पहला इसलिए कि $\dd g_b$ [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है और $\varepsilon_1 \to 0$; और दूसरा इसलिए कि $\norm k
\leq C\norm h$ (परिबद्ध रैखिक प्रतिचित्रण जमा छोटा पद) और $h \to 0$ होने पर $\varepsilon_2(k) \to 0$। ∎

**उदाहरण 15.4 (त्रिज्यीय फलन, एक बार में सदा के लिए).**

$\R^n\setminus\{0\}$ पर $r(x) = \norm x_2$ लीजिए और $f = g \circ
r$ लीजिए, जहाँ $g$ एक चर का $C^1$ फलन है। पहले, $r$ $0$ से दूर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है: $r^2 = \sum x_i^2$ से

$$
\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r},
\qquad\text{अर्थात्}\qquad
\nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,
$$

अर्थात् इकाई त्रिज्यीय सदिश ($r^2$ का अवकलन करके भाग दीजिए — अथवा $\sqrt{\cdot}$ पर शृंखला नियम लगाइए)। फिर शृंखला नियम हर त्रिज्यीय फलन के लिए देता है

$$
\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .
$$

किया हुआ उदाहरण: $g(r) = \frac1r$ $\nabla\frac{1}{\norm
x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ देता है, अर्थात् गुरुत्वाकर्षण और स्थिरवैद्युतिकी का प्रतिलोम-वर्ग क्षेत्र — दिशा त्रिज्यीय, परिमाण $\frac{1}{\norm x^2}$। समापन दृष्टि: त्रिज्यीय फलनों के प्रवणक इसलिए त्रिज्यीय होते हैं कि उनके स्तर समुच्चय गोले हैं और प्रवणक स्तर समुच्चयों के लांबिक होता है; इसके विपरीत $x = 0$ पर $r$ [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) *नहीं* है (कोई भी उम्मीदवार रैखिक प्रतिचित्रण सभी दिशाओं से $\norm h$ से मेल नहीं खाता) — मूल बिंदु को शालीनता से पार करने के लिए त्रिज्यीय परिच्छेदिकाओं को $g'(0) = 0$ चाहिए।

**प्रमेय 15.5 (मध्यमान असमिका).**

मान लीजिए $f$ $U$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है और खंड $\intcc{a}{b}
= \{a + t(b-a)\}$ $U$ में पड़ता है। तब

$$
\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\,
\sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .
$$

विशेष रूप से, किसी *[संबद्ध](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-connected)* [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) समुच्चय पर शून्य [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) वाला [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) प्रतिचित्रण अचर होता है।

**उपपत्ति.** फलन $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ $\intcc{0}{1}$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है और $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (शृंखला नियम), जिसका [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $\leq M\norm{b-a}$ है जहाँ $M$ वही प्रदर्शित उच्चतम है। $\R$-मान वाले $f$ के लिए एक-चर मध्यमान असमिका निष्कर्ष दे देती है; और सदिश मानों के लिए उसे $t \mapsto \langle u,
\varphi(t)\rangle$ पर लगाइए, जहाँ $u$ $f(b) - f(a)$ के अनुदिश इकाई सदिश है। अचरता: स्थानीय अचरता (गोलों के भीतर खंड) और संबद्धता (जिस समुच्चय पर $f$ किसी दिए हुए मान के बराबर है वह [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) भी है और संवृत भी: [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric))। ∎

**उदाहरण 15.6 (मध्यमान असमिका से एक लिप्शिट्स अचर).**

क्या $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ $\R^2$ पर [लिप्शिट्स](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है, और किस अचर के साथ? उसका प्रवणक $\nabla f = (\cos x\sin y,\
\sin x\cos y)$ है, जिसका वर्ग-मानदंड

$$
\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y
\leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1
$$

है ($\cos^2x$ और $\sin^2x$ को अलग-अलग $1$ से परिबद्ध कीजिए), अतः सर्वत्र $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$; और किन्हीं दो बिंदुओं के बीच के खंड पर [प्रमेय 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) देता है

$$
\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :
$$

अर्थात् $f$ $1$-लिप्शिट्स है, और अचर तीखा है (मूल बिंदु के पास $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ की ढाल $1$ है)। समापन दृष्टि: मध्यमान असमिका [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) के किसी [बिंदुवार](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-def) परिबंध को संततता के वैश्विक मापांक में बदल देती है — और हर विमा में [लिप्शिट्स](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) आकलनों का यही मानक रास्ता है, तथा [अभ्यास 15.12](#exo-b2-diffcalc-12) के भीतर का इंजन भी।

## 15.2 द्वितीय अवकलज

**प्रमेय 15.7 (श्वार्ज़).**

यदि $f$ $U$ पर $C^2$ हो (अर्थात् सारे द्वितीय आंशिक अवकलज विद्यमान और [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) हों), तो सभी $i, j$ के लिए:

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}
= \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .
$$

**उपपत्ति.** दो चर पर्याप्त हैं ($x = x_i$, $y = x_j$, शेष जमे हुए)। द्वितीय अंतर

$$
\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .
$$

लीजिए। $h$ स्थिर कीजिए और $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$ रखिए: तब $\Delta(h)
= \varphi(a + h) - \varphi(a)$, और मध्यमान प्रमेय के दो प्रयोग

$$
\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi)
= h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) -
\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr)
= h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),
$$

देते हैं, जहाँ $\xi \in \intoo{a}{a+h}$, $\eta \in \intoo{b}{b+h}$। संततता से $h \to 0$ होने पर $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial
y\partial x}(a, b)$। और चरों की भूमिकाएँ बदलकर वही परिकलन (पहले दूसरा चर जमाइए) $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x
\partial y}(a,b)$ देता है: अर्थात् एक ही राशि की दोनों सीमाएँ मेल खाती हैं। ∎

**उदाहरण 15.8 (C2C^2C2 क्यों चाहिए: पियानो का प्रतिउदाहरण).**

$f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$, $f(0,0) = 0$ लीजिए। मूल बिंदु से दूर $f$ $C^\infty$ है; और मूल बिंदु पर सारे प्रथम तथा द्वितीय आंशिक अवकलज विद्यमान हैं, पर मिश्रित अवकलज असहमत हैं। अक्षों के अनुदिश परिकलन कीजिए: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$, और $y \neq 0$ के लिए

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)
= \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x}
= \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y ,
\qquad\text{सममित रूप से}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .
$$

अतः

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0)
= \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial
x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1,
\qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :
$$

अर्थात् दोनों मिश्रित आंशिक अवकलज विद्यमान हैं और भिन्न हैं। [प्रमेय 15.7](#thm-b2-diffcalc-schwarz) के साथ कोई विरोधाभास नहीं: $f$ के द्वितीय आंशिक अवकलज $0$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) नहीं हैं ($y = tx$ के अनुदिश जाँचिए)। समापन दृष्टि: श्वार्ज़ की प्रमेय *संततता* के बारे में सच्ची प्रमेय है, कोई औपचारिक सर्वसमिका नहीं — और नीचे टेलर–यंग में परिकल्पना “$C^2$” असली काम कर रही है।

**प्रमेय 15.9 (कोटि 2 पर टेलर–यंग).**

मान लीजिए $f \colon U \to \R$ $C^2$ है और $a \in U$। तब $h \to 0$ होने पर

$$
f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle
+ \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),
$$

जहाँ $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial
x_j}(a)\bigr)$ *हेस्सियन आव्यूह* है (जो श्वार्ज़ से [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) है)।

**उपपत्ति.** $\intcc{0}{1}$ पर $\varphi(t) = f(a + th)$ पर एक-चर टेलर–यंग प्रमेय (प्रथम वर्ष का खंड) लगाइए: शृंखला नियम से $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ और $\varphi''(t)
= \langle H_{a+th}h, h\rangle$, और दोनों $t$ में [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) हैं। तब $\theta \in \intoo{0}{1}$ के साथ $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (टेलर–लाग्रांज), और द्वितीय आंशिक अवकलजों की संततता $\varphi''(\theta) =
\varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$-एकसमान रूप में बदल देती है: यही प्रदर्शित प्रसार है। ∎

**उदाहरण 15.10 (एक प्रसार, दो तरह से).**

$f(x, y) = \eu^x\cos y$ का मूल बिंदु पर कोटि $2$ तक प्रसार कीजिए। *एक-चर प्रसारों के संयोजन से:*

$$
\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} +
o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr)
= 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .
$$

*आंशिक अवकलजों से:* $f_x = \eu^x\cos y$, $f_y =
-\eu^x\sin y$, अतः $\nabla f(0) = (1, 0)$; और $f_{xx} = f$, $f_{yy} = -f$, $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ से $H_0 =
\operatorname{diag}(1, -1)$: अर्थात् [प्रमेय 15.9](#thm-b2-diffcalc-taylor) $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$ को पुनः उत्पन्न कर देता है। दोनों परिकलन सहमत हैं, और संयोजन वाला रास्ता तेज़ था — कोई द्वितीय आंशिक अवकलज लगा ही नहीं। समापन दृष्टि: मूल बिंदु क्रांतिक बिंदु *नहीं* है ($\nabla f \neq 0$), अतः अनिश्चित हेस्सियन के बावजूद यहाँ कोई काठी घोषित करने को नहीं है: रैखिक पद ही शासन करता है, और द्वितीय-कोटि जाँच केवल क्रांतिक बिंदुओं पर ही बोलती है।

**प्रमेय 15.11 (द्वितीय-कोटि चरम-मान जाँच, सिद्ध).**

मान लीजिए $f$ किसी क्रांतिक बिंदु $a$ ($\nabla f(a) = 0$) के पास $C^2$ है, और उसका हेस्सियन $H = H_a$ है।

1. यदि $H$ धनात्मक निश्चित हो, तो $a$ यथार्थ स्थानीय न्यूनतम है (ऋणात्मक निश्चित: महत्तम)।
2. यदि $H$ के [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) दोनों चिह्नों के हों, तो $a$ काठी है: कोई चरम मान नहीं।
3. यदि $H$ अपभ्रष्ट (और अर्धनिश्चित) हो, तो कोई निष्कर्ष नहीं।

प्रथम वर्ष की “$rt - s^2$” जाँच $n = 2$ वाली स्थिति है: $\det H = rt -
s^2$, और $r$ से $\operatorname{tr}$-चिह्न पढ़ लिया जाता है।

**उपपत्ति.** वर्णक्रमीय प्रमेय ([प्रमेय 12.13](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-spectral)) से $H$ का [द्विघात रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) उसके चरम अभिलक्षणिक मानों के बीच निचुड़ जाता है: $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq
\lambda_{\max}\norm h^2$।

(1) यदि $\lambda_{\min} > 0$: तो टेलर–यंग छोटे $h \neq 0$ के लिए

$$
f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 -
o(\norm h^2) > 0
$$

देता है: अर्थात् यथार्थ स्थानीय न्यूनतम।

(2) $\lambda_+ > 0$ वाले किसी [अभिलक्षणिक सदिश](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $v_+$ के अनुदिश: छोटे $t$ के लिए $f(a + tv_+) -
f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$; और $\lambda_- < 0$ वाले $v_-$ के अनुदिश अंतर ऋणात्मक है: अतः हर प्रतिवेश में दोनों चिह्न आते हैं।

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$, $x^2 - y^4$, $x^2 + y^3$ का $0$ पर वही अपभ्रष्ट अर्धनिश्चित हेस्सियन है, पर तीन भिन्न व्यवहार। ∎

**उदाहरण 15.12 (एक पूरा वर्गीकरण, वैश्विक सहित).**

$\R^2$ पर $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ के सारे चरम मानों का वर्गीकरण कीजिए। *क्रांतिक बिंदु:* $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) =
0$ से $y = x^3$ और $x = y^3 = x^9$ मिलते हैं, अतः $x(x^8 - 1) = 0$: और वास्तविक हल $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$ हैं। *हेस्सियन:* $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 &
12y^2\end{pmatrix}$। $(\pm1, \pm1)$ पर: $\begin{pmatrix} 12 &
-4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$, [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $8$ और $16$: अर्थात् धनात्मक निश्चित, यानी $f = -2$ के साथ यथार्थ स्थानीय न्यूनतम। $(0,0)$ पर: $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$, [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\pm4$: अर्थात् काठी। *वैश्विकता:* $2\abs{xy} \leq x^2 +
y^2$ से

$$
f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2)
= (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2
\xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :
$$

अर्थात् $f$ प्रबल है, अतः वह वैश्विक न्यूनतम प्राप्त करता है (उपस्तर-समुच्चयों की संहतता), और अनिवार्यतः किसी क्रांतिक बिंदु पर: इसलिए मान $-2$, जो $(1,1)$ तथा $(-1,-1)$ दोनों पर है, वैश्विक न्यूनतम है; और कोई महत्तम नहीं है ($f$ ऊपर से अपरिबद्ध)। समापन दृष्टि: स्थानीय जाँच उम्मीदवारों का वर्गीकरण करती है, पर “स्थानीय” को “वैश्विक” केवल कोई वृद्धि-तर्क बनाता है — और यही इस पुस्तक की हर अनुकूलन-उपपत्ति का दो-चरणी ढर्रा है।

**विधि 15.13 (f ⁣:Rn→Rf \colon \R^n \to \Rf:Rn→R के चरम मानों का वर्गीकरण).**

1. $\nabla f = 0$ हल कीजिए (सारे क्रांतिक बिंदु; और सीमा वाले प्रांत पर सीमा को अलग से निपटाइए, जैसा [अभ्यास 15.7](#exo-b2-diffcalc-7) में)।
2. हर क्रांतिक बिंदु पर हेस्सियन और उसके अभिलक्षणिक मानों के चिह्न परिकलित कीजिए — विमा $2$ में तो बस $\det H$ और $\operatorname{tr} H$ : $\det < 0$ काठी; $\det >  0$ चरम मान, जिसका प्रकार अनुरेख के चिह्न से मिलता है; और $\det = 0$ : जाँच चुप है, वक्रों के अनुदिश $f$ का अध्ययन कीजिए।
3. वैश्विक कथनों के लिए कोई संहतता या प्रबलता वाला तर्क जोड़िए (अनंत पर $f \to +\infty$ , अथवा कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-compact) प्रतिबंध-समुच्चय), और फिर क्रांतिक मानों की तुलना कीजिए।

## 15.3 प्रतिलोम फलन प्रमेय

**प्रमेय 15.14 (प्रतिलोम फलन प्रमेय).**

मान लीजिए $f \colon U \to \R^n$ $C^1$ है और $a \in U$, जहाँ $\dd f_a$ *प्रतिलोमनीय* है। तब ऐसे [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) प्रतिवेश $V \ni a$, $W
\ni f(a)$ हैं कि $f \colon V \to W$ एकैकी आच्छादक हो और उसका प्रतिलोम $C^1$ हो, तथा

$$
\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 15.15 (यह सत्य क्यों है: अचल-बिंदु रणनीति).**

$a$ के पास $f(x) = y$ हल करना अचल-बिंदु समीकरण $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है; और प्रतिचित्रण $\Phi_y$ का [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$ है, जो $\dd f$ की संततता से $a$ के पास छोटा है, अतः $\Phi_y$ किसी छोटे संवृत गोले पर संकुचन है और बानाख अचल बिंदु प्रमेय ([प्रमेय 4.12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-banach)) अद्वितीय स्थानीय हल $x = f^{-1}(y)$ दे देती है। और फिर प्रतिलोम की संततता तथा अवकलनीयता संकुचन के आकलनों से निकल आती हैं। पूरा लेखा-जोखा तृतीय वर्ष में किया गया है; रणनीति — और कथन — अब से खुलकर प्रयुक्त होते हैं। और साथी *अंतर्निहित फलन प्रमेय* ($\frac{\partial F}{\partial y}$ के प्रतिलोमनीय होने पर $y(x)$ के लिए $F(x, y) = 0$ हल करना) $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$ पर प्रमेय लगाने से निकल आती है।

**उदाहरण 15.16 (ध्रुवीय निर्देशांक).**

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ का याकोबी

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta &
r\cos\theta \end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = r :
$$

है, जो $r \neq 0$ के लिए प्रतिलोमनीय है, अतः $\Phi$ मूल बिंदु से दूर स्थानीय $C^1$ अवकल समाकृतिकता है — अर्थात् “ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलने” का लाइसेंस, जो [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint) के बहु समाकलों के लिए फिर से नवीनीकृत हुआ।

**उदाहरण 15.17 (सर्वत्र स्थानीय, कहीं भी वैश्विक नहीं).**

$\R^2$ पर $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ लीजिए। उसका याकोबी,

$$
J_f = \begin{pmatrix}
\eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\
\eu^x\sin y & \eu^x\cos y
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_f = \eu^{2x} > 0 ,
$$

कभी लुप्त नहीं होता: अतः [प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) के अनुसार $f$ समतल के *प्रत्येक* बिंदु पर स्थानीय $C^1$ अवकल समाकृतिकता है। फिर भी $f$ एकैकी होने से बहुत दूर है: $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$, अतः हर मान अपरिमित बार लिया जाता है; और वह आच्छादक भी नहीं है, क्योंकि $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ मूल बिंदु छोड़ देता है। समापन दृष्टि: प्रतिलोम फलन प्रमेय अखंडनीय रूप से *स्थानीय* है — हर $\dd f_a$ की प्रतिलोमनीयता स्थानीय प्रतिलोमों की एक चकत्ती देती है, और उनका किसी एक प्रतिलोम में जुड़ जाना आवश्यक नहीं। (जो पाठक सम्मिश्र संख्याएँ जानते हैं वे $z \mapsto
\eu^z$ पहचान लेंगे; और यह चकत्ती लघुगणक की शाखाओं का कुल है।) इसकी तुलना [अभ्यास 15.12](#exo-b2-diffcalc-12) से कीजिए, जहाँ कोई परिमाणात्मक वैश्विक परिकल्पना सचमुच एक ही वैश्विक प्रतिलोम को बाध्य कर देती है।

**टिप्पणी 15.18 (सामान्य भूलें).**

*(क) दिशिक अवकलज सस्ते हैं, [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) नहीं:* सारे दिशिक अवकलज विद्यमान हो सकते हैं — और दिशा पर रैखिक रूप से निर्भर न भी हों — फिर भी अवकलनीयता न हो ([अभ्यास 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)); केवल $C^1$ कसौटी ([प्रमेय 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1)) आंशिक अवकलजों को [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) तक बढ़ाती है। *(ख) क्रांतिक का अर्थ चरम नहीं:* काठियाँ ([उदाहरण 15.12](#ex-b2-diffcalc-quarticrun)) और चुप अपभ्रष्ट स्थिति ([प्रमेय 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) (3)) दोनों $\nabla f = 0$ के पीछे छिपी रहती हैं। *(ग) सदिश-मान वाली कोई मध्यमान समता नहीं:* केवल [प्रमेय 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) की *असमिका* बची रहती है ([अभ्यास 15.9](#exo-b2-diffcalc-9)); $\R^m$, $m \geq 2$ में मान लेने वाले $f$ के लिए $f(b) - f(a) = \dd
f_c(b-a)$ कभी मत लिखिए। *(घ) स्थानीय प्रतिलोमनीयता एकैकीपन नहीं है:* [उदाहरण 15.17](#ex-b2-diffcalc-localnotglobal)। *(ङ) प्रवणक अंतर्गुणन का है:* $\nabla f$ किसी चुने हुए अंतर्गुणन में $\dd f_a$ को निरूपित करने वाला सदिश है; गुणन बदलिए (जैसा द्विघात-रूप अध्याय के भारित उदाहरण में) और प्रवणक घूम जाता है, जबकि [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) — वह अंतर्निहित वस्तु — टस से मस नहीं होता।

**टिप्पणी 15.19 (यह कहाँ काम आता है).**

इस अध्याय के आगे सब कुछ अवकल कलन का प्रयोग है: अवकल समीकरणों वाला अध्याय प्रवाहों का रैखिकीकरण करता है और ल्यूविल का [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) सूत्र काम में लेता है (जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध है); वक्रों और पृष्ठों वाले अध्याय स्तर समुच्चयों तथा प्राचलनों का अध्ययन अंतर्निहित फलन प्रमेय के द्वारा करते हैं; और बहु समाकल याकोबियों के द्वारा चर बदलते हैं। सप्ताहांत समस्या स्वयं *आव्यूहों की समष्टि पर* कलन विकसित करती है — [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) का [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential), प्रतिलोम का [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential), [आव्यूह घातांकी](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ex-b2-nvs-matrixexp), और किसी चिकने स्तर समुच्चय के रूप में लांबिक समूह — अर्थात् जिसे तृतीय वर्ष का खंड बहुविध और ली समूहों के रूप में औपचारिक बनाता है उसकी द्वितीय वर्ष वाली परछाईं।

## 15.4 अभ्यास

**अभ्यास 15.1 ★.**

$f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ तथा $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ के [याकोबी आव्यूह](#def-b2-diffcalc-differential) परिकलित कीजिए; [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) कहाँ प्रतिलोमनीय हैं?

**हल — अभ्यास 15.1.**

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$, $\det J_f
= 4(x^2 + y^2)$: मूल बिंदु से दूर प्रतिलोमनीय। (यह $f$ सम्मिश्र भेस में $z
\mapsto z^2$ है।)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $\det = r$: $r \neq 0$ के लिए प्रतिलोमनीय (बेलनीय निर्देशांक)।

**अभ्यास 15.2 ★.**

$f(0,0) = 0$ के लिए $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ लीजिए। सिद्ध कीजिए कि $0$ पर $f$ के सारे दिशिक अवकलज विद्यमान हैं, परंतु $f$ $0$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) नहीं है *(प्रतिचित्रण $v \mapsto$ दिशिक अवकलज रैखिक नहीं है)*।

**हल — अभ्यास 15.2.**

$v = (a, b) \neq 0$ के लिए: $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot
t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$: अर्थात् हर दिशिक अवकलज विद्यमान है और उसका मान $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$ है। परंतु $v
\mapsto D_v$ रैखिक नहीं है ($D_{(1,0)} = 1$, $D_{(0,1)} = 0$, $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$): कोई भी रैखिक प्रतिचित्रण ये मान नहीं दे सकता, अतः $f$ $0$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) नहीं है ([अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) को $v \mapsto D_v$ होना पड़ता)।

**अभ्यास 15.3 ★.**

[प्रमेय 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) के द्वारा $f(x, y) = x^3 + y^3 -
3xy$ के, तथा $g(x,y) = x^4 +
y^4 - 2(x - y)^2$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए और उनका वर्गीकरण कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.3.**

$f = x^3 + y^3 - 3xy$: क्रांतिक बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ (प्रथम वर्ष का परिकलन)। हेस्सियन: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 &
6y\end{pmatrix}$। $(0,0)$ पर: अभिलक्षणिक चिह्न मिश्रित ($\det = -9 < 0$): अर्थात् काठी। $(1,1)$ पर: $\det = 27 > 0$, अनुरेख $> 0$: अतः धनात्मक निश्चित, यथार्थ स्थानीय न्यूनतम — और अब यह [प्रमेय 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) से न्यायोचित है, केवल घोषित नहीं।

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$: $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 +
4(x-y))$; क्रांतिक बिंदु $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (प्रथम वर्ष)। $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ पर: $H =
\begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$: धनात्मक निश्चित (विकर्ण-प्रधान; [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $24, 16$): अतः यथार्थ स्थानीय न्यूनतम। और $(0,0)$ पर: $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$, अपभ्रष्ट ऋणात्मक अर्धनिश्चित: जाँच चुप है; और दिशिक अध्ययन ($g(x,x) = 2x^4 > 0$, छोटा $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$) काठी जैसा बिंदु दिखा देता है — अर्थात् कोई चरम मान नहीं।

**अभ्यास 15.4 ★★.**

मान लीजिए $f \colon \R^n \to \R$ $C^1$ है और *घात $p$ का समघातीय*: $t > 0$ के लिए $f(tx) = t^pf(x)$। ऑयलर की सर्वसमिका

$$
\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,
$$

सिद्ध कीजिए, और $\R^n\setminus\{0\}$ पर $C^1$ फलनों के लिए उसका विलोम भी।

**हल — अभ्यास 15.4.**

$t = 1$ पर $t \mapsto f(tx)$ का अवकलन कीजिए: शृंखला नियम से $\langle \nabla f(x), x\rangle$; और समघातता से वही फलन $t^pf(x)$ है, जिसका $t = 1$ पर अवकलज $pf(x)$ है: अर्थात् ऑयलर की सर्वसमिका।

विलोम: $x \neq 0$ स्थिर कीजिए और $t > 0$ पर $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ लीजिए। तब $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle -
pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle -
p\,t^pf(x)\bigr)$। और परिकल्पना — अर्थात् बिंदु $tx$ पर ऑयलर की सर्वसमिका — कोष्ठक का मान $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) =
p\,\varphi(t)$ दे देती है। अतः $\varphi(1)
= 0$ सहित $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$: और इस रैखिक अवकल समीकरण का अद्वितीय हल $\varphi \equiv 0$ है (प्रथम वर्ष की अद्वितीयता), अर्थात् $f(tx) = t^pf(x)$।

**अभ्यास 15.5 ★★.**

मान लीजिए $A$ [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) है और $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle -
\langle b, x\rangle$। $\nabla f$ तथा $H_f$ परिकलित कीजिए; $f$ कब उत्तल है? $A$ को धनात्मक निश्चित मानते हुए दिखाइए कि $f$ का $Ax = b$ के हल पर अद्वितीय वैश्विक न्यूनतम है — अर्थात् प्रवणक अवरोहण का औचित्य।

**हल — अभ्यास 15.5.**

$f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle +
\frac12\langle Ah, h\rangle$ को खोलने पर ($A$ की सममितता): सर्वत्र $\nabla f(x) = Ax -
b$ और $H_f = A$। $f$ उत्तल है तभी जब $A$ धनात्मक अर्धनिश्चित हो (हेस्सियन जाँच, जो यहाँ वैश्विक है क्योंकि $H$ अचर है: द्वितीय-कोटि टेलर सूत्र यथार्थ है)। और यदि $A$ धनात्मक निश्चित हो: तो अद्वितीय क्रांतिक बिंदु $x^* = A^{-1}b$ है, और $h \neq 0$ के लिए $f(x^*
+ h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq
\frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$: अर्थात् यथार्थ वैश्विक न्यूनतम।

**अभ्यास 15.6 ★★.**

(लाग्रांज गुणक, एक प्रतिबंध, हाथ से सिद्ध) मान लीजिए $f, g$ $\R^2$ पर $C^1$ हैं, और $f$ $\nabla g(a) \neq 0$ सहित स्तर समुच्चय $\{g = 0\}$ पर $a$ पर कोई स्थानीय चरम मान प्राप्त करता है। सिद्ध कीजिए कि किसी $\lambda$ के लिए $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$। *(अंतर्निहित फलन प्रमेय से $a$ के पास स्तर समुच्चय का प्राचलन कीजिए और $t \mapsto f(\gamma(t))$ का अवकलन कीजिए।)* अनुप्रयोग: वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर $f(x,y) = xy$ के चरम मान।

**हल — अभ्यास 15.6.**

चूँकि $\nabla g(a) \neq 0$, कोई एक आंशिक अवकलज, मान लीजिए $\frac{\partial
g}{\partial y}(a) \neq 0$: तब अंतर्निहित फलन प्रमेय ([प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) की साथी) $a = (a_1, a_2)$ के पास $\{g =
0\}$ का प्राचलन $y$ $C^1$, $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ सहित $\gamma(t) = (t, y(t))$ के रूप में कर देती है ($g(t, y(t)) = 0$ का अवकलन कीजिए)। और एक-चर फलन $t
\mapsto f(\gamma(t))$ का $t = a_1$ पर स्थानीय चरम मान है:

$$
0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1}
= \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1)
= \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x
g(a)}{\partial_y g(a)} :
$$

अर्थात् सदिशों $\nabla f(a)$ और $\nabla g(a)$ के निर्देशांक अनुपाती हैं: $\lambda =
\frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$ सहित $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$।

अनुप्रयोग: वृत्त पर $\nabla(xy) = (y, x)$ का $(2x, 2y)$ के समांतर होना $y^2 = x^2$ को बाध्य कर देता है; और प्रतिबंध के साथ उम्मीदवार $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (मान $\frac12$) तथा $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},
-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (मान $-\frac12$) हैं: अतः महत्तम $\frac12$, न्यूनतम $-\frac12$ (और ये प्राप्त होते हैं: वृत्त [संहत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-compact) है)।

**अभ्यास 15.7 ★★.**

$\R^2$ पर $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ के चरम मान निर्धारित कीजिए, और फिर शीर्षों $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ वाले संवृत त्रिभुज पर उसका महत्तम और न्यूनतम *(पहले अभ्यंतरीय क्रांतिक बिंदु, फिर तीनों भुजाएँ, फिर शीर्ष)*।

**हल — अभ्यास 15.7.**

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$: हल करने पर $x =
-\frac13$, $y = \frac13$। हेस्सियन $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$, जो धनात्मक निश्चित है: अतः द्विघात $f$ का वैश्विक न्यूनतम, मान $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$।

त्रिभुज $T$ पर: अभ्यंतरीय क्रांतिक बिंदु $(-\frac13,
\frac13) \notin T$ (ऋणात्मक $x$)। भुजाएँ: $y = 0$ पर $x \in
\intcc{0}{1}$: $f = x^2 + x$, जो वर्धमान है: अतः चरम मान $0$ और $2$। $x = 0$ पर: $f = y^2 - y$, न्यूनतम $y = \frac12$ पर $-\frac14$, और सिरों पर मान $0$ तथा $0$। $x + y = 1$ पर: $y = 1 - x$ प्रतिस्थापित कीजिए, $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$; और $\intcc{0}{1}$ पर: न्यूनतम $x = \frac16$ पर $-\frac{1}{12}$, तथा मान $0$ ($x=0$ पर) और $2$ ($x=1$ पर)। शीर्ष: $f(0,0) = 0$, $f(1,0)
= 2$, $f(0,1) = 0$। $T$ पर वैश्विक: न्यूनतम $-\frac14$ $(0,
\frac12)$ पर, महत्तम $2$ $(1, 0)$ पर।

**अभ्यास 15.8 ★★★.**

$f \colon \R^2 \to \R^2$, $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$ लीजिए। दिखाइए कि $f$ $0$ के पास स्थानीय अवकल समाकृतिकता है, $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$ परिकलित कीजिए, और वह महत्तम $r$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\dd f$ गोले $\norm{(x,y)}_2 < r$ पर प्रतिलोमनीय हो *($\det J_f$ परिकलित कीजिए)*।

**हल — अभ्यास 15.8.**

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$, $\det J_f =
1 - 4xy$। $0$ पर: $\det = 1 \neq 0$: अर्थात् स्थानीय अवकल समाकृतिकता ([प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)), जहाँ

$$
\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .
$$

किसी गोले पर प्रतिलोमनीयता: सर्वत्र $4\abs{xy} < 1$ चाहिए; और $\norm{(x,y)}_2 < r$ पर $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} <
\frac{r^2}{2}$, अतः $r = \frac{1}{\sqrt2}$ काम करता है; और वही महत्तम है: $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ पर, जिसका [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $\frac{1}{\sqrt2}$ है, $\det J_f = 0$।

**अभ्यास 15.9 ★★★.**

(रोल विफल, मध्यमान बचा रहता है) ऐसा $f \colon \R \to \R^2$, $C^1$ दीजिए जिसके लिए $f(0) = f(2\pi)$ हो पर सभी $t$ के लिए $f'(t) \neq 0$ (अर्थात् सदिश-मान वाला कोई रोल नहीं)। फिर अपने उदाहरण पर [प्रमेय 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) की मध्यमान *असमिका* सत्यापित कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.9.**

$f(t) = (\cos t, \sin t)$: $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$, फिर भी $f'(t) =
(-\sin t, \cos t)$ का [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $1$ है, जो कभी शून्य नहीं: अर्थात् ऐसा कोई बिंदु नहीं जहाँ अवकलज लुप्त हो — रोल का कोई सदिश अनुरूप नहीं है। और मध्यमान असमिका आराम से सत्य रहती है: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq
2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$।

**अभ्यास 15.10 ★.**

$\R^n$ पर $f(x) = \norm
x_2^2$ तथा $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ के [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) और प्रवणक परिकलित कीजिए ($A$ कोई वर्ग आव्यूह, [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) नहीं माना गया), और हर एक का हेस्सियन भी। किन $A$ के लिए $g$ उत्तल है?

**हल — अभ्यास 15.10.**

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$: $\dd f_x =
2\langle x, \cdot\rangle$, $\nabla f(x) = 2x$, हेस्सियन $2I$ (अचर)। $g$ के लिए:

$$
g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle
+ \langle Ah, h\rangle
= \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle +
O(\norm h^2),
$$

अतः $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ और $H_g = A +
A^{\mathsf T}$, जो अचर है। [अभ्यास 15.11](#exo-b2-diffcalc-11) के अनुसार $g$ उत्तल है तभी जब $A + A^{\mathsf T}$ धनात्मक अर्धनिश्चित हो — अर्थात् केवल $A$ का सममित भाग मायने रखता है, और वास्तव में $g(x) =
\langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$।

**अभ्यास 15.11 ★★.**

मान लीजिए $f \colon \R^n \to \R$ $C^2$ है। सिद्ध कीजिए कि $f$ उत्तल है यदि और केवल यदि उसका हेस्सियन $H_x$ प्रत्येक $x$ पर धनात्मक अर्धनिश्चित हो *(एक चर तक ले आइए: $t \mapsto f(a + t(b-a))$; एक दिशा में टेलर–लाग्रांज लगाइए, और विलोम के लिए $\varphi''$ का मूल्यांकन कीजिए)*।

**हल — अभ्यास 15.11.**

$f$ उत्तल है तभी जब हर खंड तक उसका प्रतिबंधन उत्तल हो, अर्थात् तभी जब हर $\varphi(t) = f(a + tv)$ उत्तल हो। और शृंखला नियम से $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$।

यदि सारे हेस्सियन धनात्मक अर्धनिश्चित हों: तो $\varphi'' \geq 0$, अतः हर $\varphi$ उत्तल है (प्रथम वर्ष का खंड) और $f$ उत्तल। विलोमतः यदि $f$ उत्तल हो, तो हर $\varphi$ उत्तल है, अतः $\varphi''(0) \geq 0$: प्रत्येक $a$ और प्रत्येक दिशा $v$ के लिए $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$: अर्थात् सारे हेस्सियन धनात्मक अर्धनिश्चित हैं।

**अभ्यास 15.12 ★★★.**

(एक वैश्विक प्रतिलोम प्रमेय) मान लीजिए $g \colon \R^n \to \R^n$ $C^1$ है, सभी $x$ के लिए $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$, और $f =
\mathrm{id} + g$।

1. दिखाइए $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : अर्थात् $f$ एकैकी है और अपने प्रतिबिंब पर उसका प्रतिलोम [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है।
2. दिखाइए कि प्रत्येक $y \in \R^n$ के लिए प्रतिचित्रण $x \mapsto y -  g(x)$ [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete) समष्टि $\R^n$ का संकुचन है, और बानाख अचल बिंदु प्रमेय ( [प्रमेय 4.12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-banach) ) से निष्कर्ष निकालिए कि $f$ आच्छादक है।
3. निष्कर्ष निकालिए कि $f$ $\R^n$ का एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है जिसका प्रतिलोम $(1-k)^{-1}$ -लिप्शिट्स है — अर्थात् [प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) का *वैश्विक* प्रतिरूप (जो इसके विपरीत विशुद्ध रूप से स्थानीय है)।

**हल — अभ्यास 15.12.**

1. $g$ पर लगाई गई मध्यमान असमिका ([प्रमेय 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi)) से $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$, अतः $$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) -  g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$$ अर्थात् $f$ एकैकी है और (प्रतिबिंब पर परिभाषित) $f^{-1}$ $\frac{1}{1-k}$-लिप्शिट्स है।
2. $y$ स्थिर कीजिए; $T(x) = y - g(x)$ $\norm{T(x) -  T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ पूरा करता है: अर्थात् [पूर्ण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-complete) समष्टि $\R^n$ का संकुचन। बानाख ( [प्रमेय 4.12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-banach) ) अचल बिंदु $x^*  = y - g(x^*)$ दे देती है, अर्थात् $f(x^*) = y$ : इसलिए $f$ आच्छादक है।
3. अतः $f$ $\R^n$ का ऐसा एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है जिसका प्रतिलोम $\frac{1}{1-k}$ -लिप्शिट्स है: यही वैश्विक प्रतिलोम प्रमेय है, जहाँ सर्वत्र $\dd g$ की लघुता [प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) की स्थानीय प्रतिलोमनीयता वाली परिकल्पना की जगह ले लेती है।

## 15.5 समस्या: आव्यूहों का कलन — याकोबी, घातांकी और लांबिक समूह

**समस्या 15.1.**

अवकल कलन का सबसे स्वच्छ खेल-मैदान स्वयं समष्टि $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ है: उसके सबसे स्वाभाविक प्रतिचित्रणों — गुणनफल, प्रतिलोम, [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det), घातांकी — के [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) आश्चर्यजनक रूप से सुंदर हैं। यह समस्या उन सबका परिकलन करती है: *नॉयमान श्रेणी*, प्रतिलोम का [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential), [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) के लिए *याकोबी सूत्र* और लाभ में *ल्यूविल का सूत्र*, $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ वाला *आव्यूह घातांकी*, और अंत में लांबिक समूह $O_n$ किसी चिकने स्तर समुच्चय के रूप में जिसकी स्पर्श समष्टि प्रतिसममित आव्यूह हैं — अर्थात् भ्रूण-रूप में अवकल ज्यामिति। आगे सर्वत्र $\vertiii\cdot$ $\norm\cdot_2$ के अधीनस्थ [संकारक मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-continuouslinear) है, और $\langle X, Y\rangle =
\operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ फ्रोबेनियस अंतर्गुणन।

**भाग I — नॉयमान श्रेणी।**

1. उपगुणात्मकता $\vertiii{AB} \leq  \vertiii A\,\vertiii B$ सिद्ध कीजिए, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $A$ के बहुपद प्रतिचित्रण (आव्यूह गुणनफल, [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) , अनुरेख) $\mathcal M_n(\R)$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) हैं।
2. $\vertiii X < 1$ के लिए दिखाइए कि $\sum_{k\geq0}X^k$ $\mathcal M_n(\R)$ में [निरपेक्ष रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-def) अभिसरित होती है ([प्रमेय 5.21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)), कि उसका योग $(I - X)^{-1}$ है, और यह कि $$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X},  \qquad  (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$$
3. इससे निष्कर्ष निकालिए कि $GL_n(\R)$ *[विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology)* है: यदि $A$ प्रतिलोमनीय हो और $\vertiii H <  \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , तो $A + H$ प्रतिलोमनीय है। यह भी निष्कर्ष निकालिए कि $GL_n(\R)$ $\mathcal M_n(\R)$ में *सघन* है *($A$ को $\varepsilon I$ से विक्षुब्ध कीजिए: $\det(A + \varepsilon I)$ $\varepsilon$ में अशून्य बहुपद है)* ।
4. दिखाइए कि प्रतिलोमन प्रतिचित्रण $\Phi(A) = A^{-1}$ $GL_n(\R)$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है।

**भाग II — पहले [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential)।**

5. दिखाइए कि वर्ग-प्रतिचित्रण $A \mapsto A^2$ [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है और उसका [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto AH + HA$ है, और अधिक सामान्य रूप में $A \mapsto A^k$ का [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1}  A^iHA^{k-1-i}$ । सामान्यतः $kA^{k-1}H$ क्यों *नहीं* लिखा जा सकता?
6. सिद्ध कीजिए कि $\Phi(A) = A^{-1}$ $GL_n(\R)$ पर [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है और $$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$$ *($(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ लिखिए और प्रश्न 2 से प्रसार कीजिए)*। सूत्र को अदिश स्थिति $n = 1$ के विरुद्ध जाँचिए।
7. किसी $C^1$ वक्र $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ के लिए $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ निष्कर्ष रूप में निकालिए, और $t = 0$ पर $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ का प्रथम कोटि तक प्रसार कीजिए।
8. $f(A) =  \operatorname{tr}(A^k)$ का [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) परिकलित कीजिए और फ्रोबेनियस अंतर्गुणन के लिए उसका प्रवणक पहचानिए: $$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr),  \qquad  \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$$
9. $f(A) = \operatorname{tr}  (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ के लिए वही प्रश्न: [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) , प्रवणक, और (अचर) हेस्सियन; निष्कर्ष निकालिए कि $\norm\cdot_F^2$ यथार्थतः उत्तल है।

**भाग III — याकोबी सूत्र।**

10. सिद्ध कीजिए $$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +  O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$$ *($\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ को स्तंभों में बहुरैखिकता से खोलिए: कम से कम दो $h$-स्तंभों वाले पद $O(\vertiii H^2)$ हैं)*: $\dd(\det)_I =  \operatorname{tr}$।
11. प्रतिलोमनीय $A$ के लिए निष्कर्ष निकालिए $$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\,  \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$$
12. दिखाइए कि *प्रत्येक* $A$ के लिए (प्रतिलोमनीय हो या न हो) $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$ $(i,j)$ सहगुणनखंड है *(पंक्ति $i$ के अनुदिश लाप्लास प्रसार)*, अतः संलग्नक $\operatorname{adj}A =  \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$ के साथ: $$\dd(\det)_A(H) =  \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr),  \qquad  \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$$ जो $A$ के प्रतिलोमनीय होने पर प्रश्न 11 पुनः दे देता है ($\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$)। यही *याकोबी सूत्र* है: $\bigl(\det  A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(  \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$।
13. (ल्यूविल का सूत्र) मान लीजिए $A(t)$ आव्यूहों का ऐसा $C^1$ वक्र है जो रैखिक अवकल समीकरण $A'(t) = M(t)A(t)$ पूरा करता है। सिद्ध कीजिए $$\bigl(\det A(t)\bigr)' =  \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t),  \qquad\text{अतः}\qquad  \det A(t) = \det A(0)\,  \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$$ *($\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ तथा अनुरेख की [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) अपरिवर्त्यता का उपयोग कीजिए)* — यही वह व्रोंस्कियन सर्वसमिका है जिसे अवकल समीकरणों वाला अध्याय लगातार काम में लेगा।
14. दिखाइए कि $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ चिकना स्तर समुच्चय है: प्रत्येक $A \in SL_n(\R)$ पर [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $\dd(\det)_A$ $\R$ पर *आच्छादक* रैखिक प्रतिचित्रण है *(उसका $H = \frac1nA$ पर मूल्यांकन कीजिए)* ।

**भाग IV — [आव्यूह घातांकी](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ex-b2-nvs-matrixexp)।**

15. दिखाइए कि $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ प्रत्येक $A$ के लिए [निरपेक्ष रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-def) और हर गोले पर [सामान्य रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-series) अभिसरित होती है, जहाँ $\vertiii{\eu^A} \leq  \eu^{\vertiii A}$ ; और यह कि $\eu^A$ $A$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) रूप से निर्भर करता है।
16. सिद्ध कीजिए कि $AB = BA$ से $\eu^{A+B} =  \eu^A\eu^B$ निकलता है *([कोशी गुणनफल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini), जो निरपेक्ष अभिसरण से वैध है)* ; और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\eu^A$ सदा प्रतिलोमनीय है जिसका प्रतिलोम $\eu^{-A}$ है: अर्थात् $\exp$ $\mathcal M_n(\R)$ को $GL_n(\R)$ में भेजता है।
17. दिखाइए कि $t \mapsto \eu^{tA}$ $C^1$ है (वस्तुतः $C^\infty$) और $$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} =  \eu^{tA}A$$ *(खंडों पर श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन कीजिए: व्युत्पन्न श्रेणी [सामान्य रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-series) अभिसरित होती है)*।
18. सर्वसमिका $$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$$ सिद्ध कीजिए *($A(t) = \eu^{tA}$ पर ल्यूविल का सूत्र, प्रश्न 13, लगाइए)*। तर्कसंगति की जाँचें: $n = 1$; शून्यंभावी $A$; और अनुरेख-शून्य आव्यूह $SL_n(\R)$ में उतरते हैं।
19. दिखाइए कि $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , अतः $\exp$ $0$ पर $\dd(\exp)_0 =  \mathrm{id}$ के साथ [अवकलनीय](#def-b2-diffcalc-differential) है; और प्रतिलोम फलन प्रमेय ( [प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) ) से निष्कर्ष निकालिए कि $\exp$ $0$ के किसी प्रतिवेश से $I$ के किसी प्रतिवेश पर $C^1$ अवकल समाकृतिकता है: अर्थात् तत्समक के निकट हर आव्यूह का लघुगणक होता है।
20. दिखाइए कि $\exp$ [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) आव्यूहों को [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) *धनात्मक निश्चित* आव्यूहों पर एकैकी आच्छादक रूप से भेजता है *(विकर्णन कीजिए; प्रतिलोम वर्णक्रमीय लघुगणक है)* ।

**भाग V — स्तर समुच्चय के रूप में लांबिक समूह।**

21. $\mathcal M_n(\R)$ से [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) आव्यूहों $S_n$ में जाने वाला $F(A) = A^{\mathsf T}A$ लीजिए। $\dd F_A(H) =  A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ परिकलित कीजिए और दिखाइए कि प्रत्येक $A \in O_n = F^{-1}(I)$ पर यह [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $S_n$ पर *आच्छादक* है *($S \in S_n$ दिया हो तो $H = \frac12 AS$ आज़माइए)* : अर्थात् $O_n$ विमा $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ का चिकना स्तर समुच्चय है।
22. दिखाइए कि $A(0) =  I$ वाले हर $C^1$ वक्र $A(t) \in O_n$ का वेग $A'(0)$ *प्रतिसममित* होता है, और विलोमतः प्रतिसममित $K$ के लिए वक्र $\eu^{tK}$ $O_n$ में बना रहता है: अर्थात् $I$ पर $O_n$ की स्पर्श समष्टि ठीक प्रतिसममित आव्यूह हैं।
23. प्रतिसममित $K$ के लिए $\det\eu^{K} = 1$ दिखाइए (प्रश्न 18): अतः घातांकी वक्र घूर्णन समूह $SO_n$ में बसता है। $n = 2$ के लिए उसे पूरा परिकलित कीजिए: $J =  \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ के साथ सिद्ध कीजिए $$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta &  -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$$ अर्थात् [आव्यूह घातांकी](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ex-b2-nvs-matrixexp) $\theta$ से घूर्णन *ही* है, और कोसाइन तथा साइन की श्रेणी-परिभाषाएँ किसी आव्यूह के भीतर फिर प्रकट हो जाती हैं।
24. (सघनता की युक्ति) $GL_n(\R)$ की सघनता (प्रश्न 3) और संततता का उपयोग करके सर्वसमिका $$\operatorname{adj}(AB) =  \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$$ को प्रतिलोमनीय से सभी आव्यूहों तक बढ़ाइए *(प्रतिलोमनीय $A, B$ के लिए दोनों पक्ष $\det(AB)(AB)^{-1}$ हैं; और दोनों पक्ष प्रविष्टियों में बहुपद हैं)*।
25. संश्लेषण। एक-एक वाक्य में: (क) हर भाग का इंजन किन पिछले अध्यायों ने दिया (पूर्णता और मानदंडित बीजगणित; वर्णक्रमीय प्रमेय; प्रतिलोम फलन प्रमेय); (ख) इस समस्या का कौन-सा सूत्र अवकल समीकरणों वाला अध्याय काम में लेगा, और कहाँ; (ग) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ और $\det\eu^A =  \eu^{\operatorname{tr}A}$ अनुरेख तथा [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) के बारे में “अत्यल्प और वैश्विक आयतन” के रूप में क्या कहते हैं; (घ) तृतीय वर्ष का खंड प्रश्न 21–23 का क्या बना देता है (ली समूह और उनके ली बीजगणित)।

**हल — समस्या 15.1.**

**1.** $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq
\vertiii A\vertiii B\norm x$: $\norm x = 1$ पर उच्चतम लीजिए। आव्यूह गुणनफल, $\det$ और $\operatorname{tr}$ प्रविष्टियों के बहुपद फलन हैं, अतः [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) ($\mathcal M_n(\R)
\simeq \R^{n^2}$, और सारे [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) तुल्य: [प्रमेय 5.13](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-finitedim))।

**2.** $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k <
\infty$: श्रेणी [निरपेक्ष रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-def) अभिसरित होती है, अतः अभिसरित होती है ([प्रमेय 5.21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-absoluteconvergence))। $(I -
X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ से: योग $(I -
X)^{-1}$ है। [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm): $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 -
\vertiii X}$; और

$$
(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1},
\qquad
\vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq
\frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).
$$

**3.** $\vertiii{A^{-1}H}
\leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ के साथ $A + H = A(I + A^{-1}H)$: प्रश्न 2 से प्रतिलोमनीय: अतः $A$ के चारों ओर त्रिज्या $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ का [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) गोला $GL_n(\R)$ में है। सघनता: $\det(A + \varepsilon I)$ $\varepsilon$ में घात-$n$ का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक $1$ है: अतः उसके परिमित मूल हैं, इसलिए ऐसे $\varepsilon_k \to 0$ हैं कि $A + \varepsilon_kI$ प्रतिलोमनीय हो और वे $A$ पर अभिसरित हों।

**4.** $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$ के लिए:

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1}
= \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},
$$

जिसका [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) अधिकतम $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 -
\vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq
2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$ है: अतः $\Phi$ प्रत्येक $A \in GL_n(\R)$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है।

**5.** $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$: प्रतिचित्रण $H
\mapsto AH + HA$ रैखिक है और त्रुटि $H^2$ $O(\vertiii H^2)$ है। $(A + H)^k$ को खोलकर $H$-गुणनखंडों की संख्या के अनुसार छाँटने पर: रैखिक भाग $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$ है, और $\geq 2$ गुणनखंड $H$ वाले पद $\binom k2$ गुणनफलों से परिबद्ध हैं जिनका [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$ के पैमाने का है: $O(\vertiii H^2)$। योग को $kA^{k-1}H$ में समेटा नहीं जा सकता क्योंकि $H$ और $A$ का क्रमविनिमेय होना आवश्यक नहीं — यह योग ही सही अक्रमविनिमेय अवकलज है।

**6.** छोटे $H$ के लिए:

$$
(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}
= \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1}
= A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :
$$

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$, जो $H$ में रैखिक है। और $n = 1$ के लिए: $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$, अर्थात् परिचित अवकलज।

**7.** वक्र के अनुदिश शृंखला नियम: $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) =
-A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$। $A(t) = I + tB$ पर, $t = 0$: $(I +
tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$।

**8.** प्रश्न 5 तथा अनुरेख की [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) अपरिवर्त्यता से:

$$
\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1}
A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .
$$

और फ्रोबेनियस गुणन के विरुद्ध $\dd f_A(H) =
\operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ के लिए $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$ आवश्यक है: $\nabla f(A) =
k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$।

**9.** $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr}
(A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$: [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) =
2\langle A, H\rangle$ है, अतः $\nabla f(A) = 2A$; और द्वितीय-कोटि पद ठीक $\norm H_F^2$ है: अर्थात् हेस्सियन तत्समक [द्विघात रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) का दुगुना है, जो धनात्मक निश्चित और अचर है, इसलिए $\norm\cdot_F^2$ यथार्थतः उत्तल है (यहाँ टेलर सूत्र यथार्थ है)।

**10.** स्तंभों में बहुरैखिकता से $\det(I + H) =
\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$, जहाँ $M_S$ का स्तंभ $j \in S$ के लिए $h_j$ है और अन्यथा $e_j$। $S = \varnothing$ $1$ देता है; $S = \{j\}$ उस $I$ का [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) देता है जिसका स्तंभ $j$ $h_j$ से बदल दिया गया है, अर्थात् उसकी $j$-वीं प्रविष्टि $h_{jj}$, और योग लेने पर $\operatorname{tr}H$; और $\abs S \geq 2$ वाले हर पद में कम से कम दो स्तंभ $O(\vertiii H)$ आकार के हैं, अतः वह $O(\vertiii H^2)$ है (परिमित-विमीय समष्टि पर बहुरैखिक प्रतिचित्रण परिबद्ध होते हैं), और ऐसे पद परिमित हैं। अतः $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +
O(\vertiii H^2)$: $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$।

**11.** $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) =
\det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) +
O(\vertiii H^2)\bigr)$: [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto
\det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$ है।

**12.** पंक्ति $i$ के अनुदिश लाप्लास प्रसार: $\det A =
\sum_j a_{ij}C_{ij}$, और सहगुणनखंड $C_{ij}$ में पंक्ति $i$ आती ही नहीं: $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$। अतः

$$
\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij}
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T}
H\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr),
\qquad
\nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .
$$

प्रतिलोमनीय $A$ के लिए $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ प्रश्न 11 पुनः दे देता है। और किसी $C^1$ वक्र के अनुदिश शृंखला नियम $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}
(A(t))\,A'(t))$ पढ़ा जाता है: यही याकोबी सूत्र है।

**13.** $A' = MA$ और $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$ के साथ:

$$
(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA
\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr)
= \det A\;\operatorname{tr}M
$$

(चक्रीयता; $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ भी)। और अदिश रैखिक अवकल समीकरण $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ का अद्वितीय हल $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t
\operatorname{tr}M\bigr)$ है (प्रथम वर्ष): यही ल्यूविल का सूत्र है।

**14.** $A \in SL_n(\R)$ पर $H = \frac1nA$ लीजिए: $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A)
\operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$: अतः [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) कोई अशून्य रैखिक फलनिक है, इसलिए स्तर समुच्चय के हर बिंदु पर $\R$ पर आच्छादक: अर्थात् $SL_n(\R)$ चिकना स्तर समुच्चय है (विमा $n^2 - 1$ का)।

**15.** $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq
\sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$: निरपेक्ष अभिसरण (प्रश्न 2 का पूर्णता-तर्क), और हर गोले $\vertiii A \leq R$ पर [सामान्य अभिसरण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-series) ($A$ से स्वतंत्र परिबंध $R^k/k!$)। हर आंशिक योग [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है (बहुपद); और गोलों पर एकसमान सीमा [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) होती है: अतः $A \mapsto \eu^A$ [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है, जहाँ $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$।

**16.** दोनों श्रेणियाँ [निरपेक्ष रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-def) अभिसरित होती हैं, अतः [कोशी गुणनफल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini) वैध है ([प्रमेय 7.14](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini)):

$$
\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom
nkA^kB^{n-k}
= \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},
$$

और द्विपद सर्वसमिका को $AB = BA$ चाहिए। $B = -A$ के साथ: $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$: अर्थात् हर $\eu^A \in GL_n(\R)$।

**17.** श्रेणी $\sum t^kA^k/k!$ और उसकी व्युत्पन्न श्रेणी $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ हर खंड $\abs t \leq T$ पर [सामान्य रूप से](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-series) अभिसरित होती हैं (परिबंध $T^k\vertiii A^k/k!$): अतः श्रेणियों के लिए अवकलन प्रमेय ([प्रमेय 10.11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-seriestransfer), प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि लगाई गई) $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ देती है; और दाईं ओर $A$ बाहर निकालने पर $\eu^{tA}A$। इसे दोहराने पर: $C^\infty$।

**18.** $A(t) = \eu^{tA}$ $A'(t) = A\,A(t)$ पूरा करता है: अतः अचर $M = A$ के साथ ल्यूविल का सूत्र (प्रश्न 13) $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ देता है ($t =
0$ पर मान $1$); और $t = 1$ पर $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$। जाँचें: $n = 1$ स्वयं घातांकी है; शून्यंभावी $A$ के लिए $\operatorname{tr}A = 0$ और $\eu^A$ [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) $1$ वाला एकघाती है; और $\operatorname{tr}A = 0$ $\det\eu^A = 1$ देता है: अर्थात् अनुरेख-शून्य आव्यूह $SL_n(\R)$ में भेजे जाते हैं।

**19.** $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$, जिसका [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$ है: $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$, अतः प्रतिलोमनीय। इसके अतिरिक्त $\exp$ $C^1$ है: प्रश्न 5 से संभावित [अवकल](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto
\sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ $A$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) रूप से निर्भर रैखिक प्रतिचित्रणों की सामान्य अभिसारी श्रेणी है (गोलों पर परिबंध $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$), अतः आंशिक अवकलज विद्यमान और [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) हैं ([प्रमेय 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1) तथा श्रेणी की स्थानांतरण प्रमेय)। प्रतिलोम फलन प्रमेय ([प्रमेय 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) $0$ पर लागू होती है: अर्थात् $\exp$ $0$ के किसी प्रतिवेश से $I$ के किसी प्रतिवेश पर $C^1$ अवकल समाकृतिकता है — $I$ के निकट आव्यूहों के लघुगणक होते हैं।

**20.** [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) $S = PDP^{\mathsf T}$ के लिए (वर्णक्रमीय प्रमेय): $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) है और उसके [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\eu^{\lambda_i} > 0$ हैं: अतः धनात्मक निश्चित। आच्छादकता: कोई धनात्मक निश्चित $Q =
P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ ($\mu_i > 0$) $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$ के लिए $\eu^S$ है। एकैकीपन: $\eu^S$ अपनी अभिलक्षणिक समष्टियाँ निर्धारित कर देता है, जो ठीक $S$ की ही हैं ($\lambda$ के लिए $S$ की हर [अभिलक्षणिक समष्टि](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) पर $\eu^S$ $\eu^\lambda$ की तरह क्रिया करता है; और भिन्न $\lambda$ भिन्न $\eu^\lambda$ देते हैं), और अभिलक्षणिक मानों का $\ln$ लेने पर $S$ वापस मिल जाता है। अतः $\exp$ [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) आव्यूहों से धनात्मक निश्चित आव्यूहों पर एकैकी आच्छादक है।

**21.** $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$: $\dd F_A(H) =
A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ ($S_n$ में मान; त्रुटि $O(\vertiii H^2)$)। $A \in O_n$ पर और $S \in S_n$ के लिए चुनाव $H = \frac12AS$ देता है

$$
A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A
= \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :
$$

अर्थात् आच्छादक। इस प्रकार $O_n = F^{-1}(I)$ विमा $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$ का चिकना स्तर समुच्चय है।

**22.** $t
= 0$ पर $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ का अवकलन ($A(0) = I$ के साथ): $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$: अर्थात् प्रतिसममित। विलोमतः $K^{\mathsf T} = -K$ के लिए: $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}}
\eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (श्रेणी का पद-दर-पद [परिवर्त](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-transpose) लीजिए; घातांक क्रमविनिमेय हैं): अतः वक्र $O_n$ में बना रहता है, और $t = 0$ पर उसका वेग $K$ है। इस प्रकार $I$ पर स्पर्श समष्टि $=$ प्रतिसममित आव्यूह, जिनकी विमा अपेक्षित $\frac{n(n-1)}2$ है।

**23.** प्रतिसममित $K$ के लिए $\operatorname{tr}K = 0$, अतः $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (प्रश्न 18): इसलिए घातांकी $SO_n$ में उतरता है। $n = 2$ के लिए: $J^2 = -I$, अतः $J^{2m} =
(-1)^mI$, $J^{2m+1} = (-1)^mJ$, और

$$
\eu^{\theta J}
= \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I
+ \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J
= \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,
$$

अर्थात् $\theta$ से घूर्णन: और साइन तथा कोसाइन की श्रेणियाँ [आव्यूह घातांकी](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ex-b2-nvs-matrixexp) के भीतर बसती हैं।

**24.** प्रतिलोमनीय $A, B$ के लिए: $\operatorname{adj}(AB) =
\det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} =
\operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$। सर्वसमिका के दोनों पक्ष $(A, B)$ की प्रविष्टियों के बहुपद (अतः [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity)) प्रतिचित्रण हैं; और वे $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ के सघन उपसमुच्चय $GL_n\times GL_n$ पर सहमत हैं (प्रश्न 3: हर गुणनखंड का सन्निकटन कीजिए), अतः वे सर्वत्र सहमत हैं।

**25.** (क) भाग I परिमित-विमीय मानदंडित समष्टियों की पूर्णता पर चला (निरपेक्ष अभिसारी श्रेणियाँ अभिसरित होती हैं), भाग IV उसी पर और प्रश्न 20 के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय पर, तथा भाग V का स्थानीय लघुगणक प्रतिलोम फलन प्रमेय पर। (ख) अवकल समीकरणों वाला अध्याय रैखिक निकायों के व्रोंस्कियन के लिए ल्यूविल के सूत्र (प्रश्न 13) पर टिकता है, और $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (प्रश्न 17) पर, जो यही कहता है कि $\eu^{tA}$ $X' = AX$ को हल करता है। (ग) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ कहता है कि अनुरेख आयतन-परिवर्तन की अत्यल्प दर है, और $\det\eu^A =
\eu^{\operatorname{tr}A}$ उसी कथन का वैश्विक समाकलन है। (घ) तृतीय वर्ष का खंड इन संरचनाओं को नाम दे देता है: $O_n$ और $SL_n(\R)$ ली समूह हैं, $I$ पर उनकी स्पर्श समष्टियाँ (प्रतिसममित और अनुरेख-शून्य आव्यूह) ली बीजगणित हैं, और $\exp$ उनके बीच का पुल है।