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title: "पृष्ठ"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2"
subject: math
language: hi
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/19-surfaces
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# अध्याय 19 — पृष्ठ

वक्रों के बाद पृष्ठ: $\R^3$ में दो प्राचलों वाली वस्तुएँ। [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc) का अवकल कलन हमें वह सब दे देता है जो चाहिए — आंशिक अवकलज स्पर्शी सदिश देते हैं, सदिश गुणनफल अभिलंब देता है, [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) देते हैं। हम नियमित [प्राचलित पृष्ठ](#def-b2-surfaces-param), उनके [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent), और *[प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff)* परिभाषित करते हैं, जो पृष्ठ पर [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) तथा [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) के सारे मापन समेट लेता है। पृष्ठ स्तर समुच्चयों $f(x, y, z) = c$ के रूप में भी उठ खड़े होते हैं; तब प्रवणक अभिलंब को दिशित करता है।

## 19.1 प्राचलित पृष्ठ

**परिभाषा 19.1 (नियमित प्राचलित पृष्ठ).**

मान लीजिए $U \subseteq \R^2$ [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) है। वर्ग $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) का *प्राचलित पृष्ठ* वर्ग $\mathcal{C}^k$ का कोई प्रतिचित्रण $\sigma \colon U \to
\R^3$, $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$, है। कोई बिंदु *नियमित* है यदि आंशिक अवकलज सदिश

$$
\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v),
\qquad
\sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)
$$

रैखिकतः स्वतंत्र हों, अर्थात् $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$; और पृष्ठ *नियमित* है यदि उसका हर बिंदु नियमित हो।

**उदाहरण 19.2 (तीन मानक वर्णन).**

1. *ग्राफ़:* $f \in \mathcal{C}^1(U)$ के लिए $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ । सदा नियमित: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ तथा $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ स्वतंत्र हैं।
2. *गोला (गोलीय निर्देशांक):* त्रिज्या $R$ के गोले के लिए $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$ जहाँ $\theta$ देशांतर है और $\varphi$ अक्षांश। जाँचने पर $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: अर्थात् ध्रुवों से दूर नियमित (जिन्हें यह चार्ट छोड़ देता है)।
3. *स्तर समुच्चय:* $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ , जहाँ $f$ $\mathcal{C}^1$ है और $S$ पर $\nabla f \neq 0$ । हर बिंदु के निकट अंतर्निहित फलन प्रमेय ( [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc) ) से एक निर्देशांक शेष दो के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अतः $S$ स्थानीय रूप से कोई ग्राफ़ है।

**उदाहरण 19.3 (स्तर समुच्चय से ग्राफ़ तक).**

मद 3 का अंतर्निहित फलन प्रमेय एक बार खुलकर चलाए जाने का हक़दार है। गोला $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ उसके उत्तरी ध्रुव $(0, 0, R)$ के निकट लीजिए: वहाँ $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z =
2R \neq 0$, और $z$ के लिए हल करने पर ग्राफ़-चार्ट मिलता है

$$
z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2},
\qquad x^2 + y^2 < R^2 ,
$$

जो अपने ([विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology)) प्रांत पर हर जगह नियमित है — उस ध्रुव पर भी, जिसे गोलीय चार्ट चूक गया था। $(R, 0, 0)$ जैसे किसी विषुवतीय बिंदु के निकट वही प्रमेय इसके बदले $x$ के लिए हल कर देती है ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$)। अंगूठे का नियम: कोई स्तर पृष्ठ उस निर्देशांक समतल के ऊपर ग्राफ़ होता है जो *प्रवणक के सबसे बड़े घटक के लांबिक* है; और गोले को ऐसे छह ग्राफ़-चार्टों से ढँककर उसकी चिकनाई हर जगह बिना ज़रा भी त्रिकोणमिति के जाँची जा सकती है।

## 19.2 स्पर्श समतल और अभिलंब

**परिभाषा 19.4 (स्पर्श समतल).**

मान लीजिए $\sigma$ $(u_0, v_0)$ पर नियमित है, $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$। *स्पर्श समतल* $T_{M_0}S$ वह समतल है जो $M_0$ से होकर जाता है और $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ से दिशित है ($(u_0, v_0)$ पर आंशिक अवकलज)। *इकाई अभिलंब* है

$$
n(u_0, v_0)
= \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v}
       {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .
$$

**प्रतिज्ञप्ति 19.5 (स्पर्शी सदिश वेग सदिश ही हैं).**

$T_{M_0}S$ की दिशा ठीक सदिशों $\gamma'(0)$ का समुच्चय है, जहाँ $\gamma = \sigma \circ c$ $M_0$ से होकर पृष्ठ पर खींचे गए $\mathcal{C}^1$ वक्रों पर घूमता है (अर्थात् $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ $\mathcal{C}^1$ है, जहाँ $c(0) = (u_0, v_0)$)।

**उपपत्ति.** यदि $c(t) = (u(t), v(t))$, तो शृंखला नियम ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc)) देता है

$$
\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v
\in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).
$$

विलोमतः, सदिश $a\sigma_u + b\sigma_v$ वक्र $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ से प्राप्त होता है, जो छोटे $\abs t$ के लिए [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) समुच्चय $U$ में बना रहता है। ∎

**उदाहरण 19.6 (हेलिकॉइड का स्पर्श समतल).**

हेलिकॉइड $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ के लिए, बिंदु $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ पर:

$$
\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0),
\qquad
\sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),
$$

अतः [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) $a\,y = z$ है। उसमें पूरा क्षैतिज रेखक $\{(t, 0, 0)\}$ समाया है (दिशा $\sigma_v$): [अभ्यास 19.1](#exo-b2-surfaces-1) के शंकु की तरह, सरल रेखाओं से रेखित कोई भी पृष्ठ अपने हर रेखक को उसके अनुदिश [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) के भीतर रखता है। दूसरी स्पर्शी दिशा $\sigma_u$ कुंडली $u \mapsto \sigma(u, 1)$ का वेग है: एक चार्ट, दो खींचे गए वक्र, और पूरा [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) [जनित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) — [प्रतिज्ञप्ति 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity) काम करती हुई।

**प्रतिज्ञप्ति 19.7 (स्तर पृष्ठ का अभिलंब).**

मान लीजिए $S = \{f = c\}$, जहाँ $f$ वर्ग $\mathcal{C}^1$ का है और $\nabla
f(M_0) \neq 0$। तब $M_0$ पर $S$ का [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) वह समतल है जो $M_0$ से होकर जाता है और $\nabla f(M_0)$ के लांबिक है:

$$
T_{M_0}S :\quad
\langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .
$$

**उपपत्ति.** $M_0$ से होकर $S$ पर खींचे गए किसी भी वक्र $\gamma$ के लिए सर्वसमिक रूप से $f(\gamma(t)) =
c$, अतः शृंखला नियम $\langle
\nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ देता है: यानी सारे वेग सदिश प्रवणक के लांबिक हैं, इसलिए स्पर्शी दिशा समतल $\nabla f(M_0)^\perp$ में समाई है। दोनों $2$-विमीय उपसमष्टियाँ हैं — स्पर्शी दिशा इसलिए कि $S$ स्थानीय रूप से कोई नियमित ग्राफ़ है ([उदाहरण 19.2](#ex-b2-surfaces-standard)), और लांबिक पूरक इसलिए कि $\nabla f(M_0) \neq 0$ — अतः वे बराबर हैं। ∎

**उदाहरण 19.8.**

गोले $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ के लिए: $\nabla f = 2(x, y, z)$, अतः $M_0$ पर [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) त्रिज्या $\vect{OM_0}$ के लांबिक है — यही वह शास्त्रीय तथ्य है कि त्रिज्या और [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) परस्पर लंब होते हैं, और समीकरण $\langle M_0, M\rangle = R^2$ है।

**उदाहरण 19.9 (ग्राफ़ का स्पर्श समतल).**

$(x_0, y_0)$ पर $z = f(x, y)$ के लिए: $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ पर [प्रतिज्ञप्ति 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) लगाने पर,

$$
z = f(x_0, y_0)
+ f_x(x_0, y_0)(x - x_0)
+ f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,
$$

अर्थात् प्रथम-कोटि टेलर प्रसार का [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) भाग — [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) [अवकल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) का ग्राफ़ है, जैसा होना ही चाहिए।

**उदाहरण 19.10 (पृष्ठ का निकटतम बिंदु).**

परवलयज $z = x^2 + y^2$ का कौन-सा बिंदु $P = (0, 0, 1)$ के सबसे निकट है? पृष्ठ के अनुदिश दूरी के वर्ग को न्यूनतम कीजिए: $\rho^2 = x^2 + y^2$ के साथ,

$$
g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2,
\qquad
g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0
\iff \rho^2 = \tfrac12 ,
$$

जिससे ऊँचाई $z = \frac12$ तथा दूरी $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ वाले बिंदुओं का वृत्त मिलता है। न्यूनतमता का ज्यामितीय हस्ताक्षर: ऐसे किसी बिंदु $M$ पर सदिश $\vect{MP}$ को पृष्ठ का *अभिलंब* होना ही चाहिए — अन्यथा किसी खींचे गए वक्र के अनुदिश ऐसे वेग से सरकना जिसका कोई घटक $P$ की ओर हो, दूरी घटा देता। जाँच: $M = (x, y,
\tfrac12)$ पर $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$, जबकि $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) =
\tfrac12(-2x, -2y, 1)$: समांतर, जैसा अनुमानित था। “लंब का पाद” वाली यही प्रथम-कोटि शर्त [अभ्यास 19.12](#exo-b2-surfaces-12) में स्तर समुच्चयों पर चरम मानों को भी चलाएगी।

**उदाहरण 19.11 (द्विघातजों के स्पर्श समतल: ध्रुवण नियम).**

मान लीजिए $S : xy + yz + zx = 1$ और $M_0 = (1, 1, 0) \in S$। यहाँ $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$, अतः $\nabla f(M_0) = (1,
1, 2)$ और [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) है

$$
(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0,
\qquad\text{अर्थात्}\qquad x + y + 2z = 2 .
$$

वही उत्तर *[ध्रुवण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) नियम* से भी आता है, जो [उदाहरण 19.8](#ex-b2-surfaces-spheretangent) तथा [अभ्यास 19.2](#exo-b2-surfaces-2) का व्यापकीकरण है: [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) के समीकरण में $x^2$ के स्थान पर $x_0x$ रखिए, और हर गुणनफल $xy$ के स्थान पर $\frac{x_0y +
y_0x}2$ (और [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) रूप से आगे भी):

$$
\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x +
x_0z}2 = 1
\;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\;
\frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,
$$

जो फिर वही $x + y + 2z = 2$ है। नियम इसलिए चलता है क्योंकि किसी [द्विघात रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) का $\nabla$ आधार बिंदु के सामने मूल्यांकित [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-connected) द्विरैखिक रूप ही है — किसी [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) को स्पर्श करना [ध्रुवण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) है, [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) का एक और चेहरा।

## 19.3 प्रथम आधारभूत रूप

**परिभाषा 19.12 (प्रथम आधारभूत रूप).**

मान लीजिए $\sigma \colon U \to \R^3$ कोई नियमित $\mathcal{C}^1$ पृष्ठ है। $(u,v)$ पर उसका *प्रथम आधारभूत रूप* $\R^2$ पर धनात्मक निश्चित [द्विघात रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) है

$$
I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2
= E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,
$$

जहाँ

$$
E = \norm{\sigma_u}^2,
\qquad
F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle,
\qquad
G = \norm{\sigma_v}^2 .
$$

**टिप्पणी 19.13.**

$I$ परिवेशी यूक्लिडीय अंतर्गुणन का [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) तक प्रतिबंधन है, जिसे आधार $(\sigma_u, \sigma_v)$ में पढ़ा गया है: वह ठीक इसलिए धनात्मक निश्चित है क्योंकि $\sigma_u, \sigma_v$ स्वतंत्र हैं ([अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic))। पृष्ठ पर हर दूरिक राशि — खींचे गए वक्रों की लंबाइयाँ, उनके बीच के कोण, [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) — अकेले $E, F, G$ से परिकलित होती है। उपयुक्त प्राचलों में एक ही $E,
F, G$ वाले दो पृष्ठ *समदूरिक* हैं, चाहे वे अवकाश में अलग-अलग बैठे हों: आंतरिक ज्यामिति का आरंभ बिंदु यही है।

**उदाहरण 19.14 (निर्देशांक वक्रों के बीच के कोण).**

[प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff) कोण भी मापता है: निर्देशांक वक्र $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ और $v \mapsto
\sigma(u_0, v)$ कोण $\theta$ पर मिलते हैं, जहाँ

$$
\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u,
\sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}}
= \frac{F}{\sqrt{EG}} :
$$

अर्थात् अकेला गुणांक $F$ प्राचल-जाल की लांबिकता तय कर देता है। गोलीय चार्ट तथा हेलिकॉइड के लिए $F =
0$: याम्योत्तर अक्षांश-वृत्तों को, और कुंडलियाँ क्षैतिज रेखकों को, समकोण पर काटती हैं — और इसीलिए उनके क्षेत्रफल-समाकल्य $\sqrt{EG}$ तक सिमट गए थे। किसी ग्राफ़-चार्ट के लिए $F = f_xf_y$ केवल वहीं लुप्त होता है जहाँ कोई आंशिक अवकलज लुप्त हो: किसी झुके हुए ग्राफ़ का निर्देशांक-जाल लांबिक *नहीं* होता, यद्यपि नीचे वाला $(x, y)$-जाल होता है। जब किसी पृष्ठ पर परिकलन भारी दिखने लगें, तब पहली चाल $F = 0$ वाला चार्ट खोजना है।

**उदाहरण 19.15 (काठी वाला चार्ट).**

काठी $z = xy$ के लिए चार्ट $\sigma(u, v) = (u, v,
uv)$ के साथ:

$$
\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u),
\qquad
E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,
$$

और $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$: अर्थात् हर जगह नियमित। किसी बिंदु से होकर जाने वाले दोनों निर्देशांक वक्र $\R^3$ की *सरल रेखाएँ* हैं ($u$ स्थिर कीजिए या $v$ स्थिर कीजिए: द्विगुण रेखित काठी के रेखक), फिर भी अक्षों से हटकर $F \neq 0$: किसी व्यापक बिंदु से होकर जाने वाले रेखक लांबिक नहीं होते। दोनों रेखक [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) में पड़ते हैं और उसे [जनित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) करते हैं — अतः [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) पृष्ठ को दो पूरी रेखाओं के अनुदिश काटता है, जो गोले का ठीक उल्टा छोर है, क्योंकि गोले के [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) केवल एक बिंदु पर छूते हैं। किसी पृष्ठ और उसके स्पर्श समतलों के बीच के “द्वितीय-कोटि संपर्क” का चिह्न [वक्रता](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#thm-b2-curves-frenet2d) की कहानी है, जिसे तृतीय वर्ष का खंड उठाता है।

**प्रतिज्ञप्ति 19.16 (पृष्ठ पर खींचे गए वक्र की लंबाई).**

यदि $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$, $t \in [a, b]$, $\mathcal{C}^1$ हो, तो

$$
L(\gamma) = \int_a^b
\sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,
$$

जहाँ $E, F, G$ का मूल्यांकन $(u(t), v(t))$ पर होता है।

**उपपत्ति.** शृंखला नियम से $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$, अतः $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$; $\norm{\gamma'}$ का समाकलन कीजिए ([परिभाषा 18.6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length))। ∎

**उदाहरण 19.17 (हवाई जहाज़ ध्रुव के ऊपर से क्यों उड़ते हैं).**

दो हवाई अड्डे अक्षांश $\varphi_0$ पर और विपरीत देशांतरों पर बैठे हैं: त्रिज्या $R$ के गोले पर $A = \sigma(0, \varphi_0)$ तथा $B = \sigma(\pi,
\varphi_0)$। अक्षांश-वृत्त के अनुदिश ($\varphi \equiv \varphi_0$) [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ है। ध्रुव के ऊपर वाले मार्ग के अनुदिश (याम्योत्तर $\theta = 0$ से ऊपर, याम्योत्तर $\theta = \pi$ से नीचे) वह $2R(\frac\pi2 -
\varphi_0)$ है। अक्षांश $\varphi_0 = \frac\pi3$ (साठ अंश) पर: अक्षांश-मार्ग $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, ध्रुवीय मार्ग $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — एक तिहाई छोटा। वस्तुतः $\intcc0{\pi/2}$ पर $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ (फलन $\pi\cos\varphi - \pi +
2\varphi$ दोनों सिरों पर लुप्त होता है और उसका अवकलज $2 -
\pi\sin\varphi$ एक बार चिह्न बदलता है, अतः वह पहले वर्धमान फिर ह्रासमान है, इसलिए अऋणात्मक): यानी ध्रुवीय मार्ग कभी नहीं हारता। [प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff) ने किसी नौवहन प्रश्न को दो एक-पंक्ति समाकलों में बदल दिया; [अभ्यास 19.6](#exo-b2-surfaces-6) इस विचार को याम्योत्तरों के लिए एक सच्ची न्यूनतमता-उपपत्ति तक ले जाता है।

**प्रमेयिका 19.18 (लाग्रांज सर्वसमिका).**

सब $a, b \in \R^3$ के लिए: $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$। विशेष रूप से

$$
\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.
$$

**उपपत्ति.** यदि हम $b$ के स्थान पर $a$ के लांबिक उसका घटक $b_\perp
= b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ रख दें तो दोनों पक्ष अपरिवर्तित रहते हैं ($a \neq 0$ के लिए; स्थिति $a = 0$ तुच्छ है): बायाँ पक्ष इसलिए कि $a \wedge a = 0$, और दायाँ पक्ष $\norm
{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ तथा $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ को खोलकर। अतः सर्वसमिका को केवल लांबिक $a, b$ के लिए सिद्ध करना पर्याप्त है, जहाँ वह $\norm{a \wedge
b} = \norm a \norm b$ पढ़ी जाती है: और यह सत्य है, क्योंकि लांबिक सदिशों के लिए सदिश गुणनफल का [मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ होता है। प्रदर्शित सूत्र स्थिति $a = \sigma_u$, $b = \sigma_v$ है। ∎

**टिप्पणी 19.19.**

लाग्रांज सर्वसमिका कहती है कि $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix}
E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ $(\sigma_u, \sigma_v)$ का *ग्राम [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det)* है: अर्थात् उनसे [जनित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) समांतर चतुर्भुज के [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) का वर्ग। नियमितता, [प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff) की धनात्मक निश्चितता, और ग्राम [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) की धनात्मकता एक ही शर्त के तीन कथन हैं — और इसीलिए नीचे दिया क्षेत्रफल-समाकल्य किसी नियमित चार्ट पर कभी लुप्त नहीं होता।

**परिभाषा 19.20 (क्षेत्रफल).**

मान लीजिए $\sigma \colon U \to \R^3$ कोई नियमित एकैकी $\mathcal{C}^1$ पृष्ठ है और $K \subseteq U$ कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-compact) प्रांत, जिस पर द्विक समाकल अर्थपूर्ण हों ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint))। टुकड़े $\sigma(K)$ का *क्षेत्रफल* है

$$
\mathcal{A}
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v
= \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .
$$

**टिप्पणी 19.21 (यह सूत्र क्यों).**

आयत $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ प्रथम कोटि तक $\sigma_u\,\dd u$ और $\sigma_v\,\dd v$ से [जनित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) समांतर चतुर्भुज पर भेजा जाता है, जिसका [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $\norm{\sigma_u \wedge
\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ है: परिभाषा स्थानीय क्षेत्रफल-विरूपण गुणक का समाकलन करती है, ठीक वैसे जैसे [चाप-लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) स्थानीय चाल का समाकलन करती है। प्राचल-परिवर्तन के साथ संगति [अभ्यास 19.8](#exo-b2-surfaces-8) है; द्विक समाकलों के चर-परिवर्तन सूत्र के साथ संगति [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint) में चर्चित है।

**उदाहरण 19.22 (दो अलग ग्राफ़, एक ही क्षेत्रफल).**

इकाई चक्रिका के ऊपर कटोरे $z = \frac12(x^2 + y^2)$ और काठी $z = xy$ की तुलना कीजिए। उनके क्षेत्रफल-समाकल्य ([अभ्यास 19.5](#exo-b2-surfaces-5)) हैं

$$
\sqrt{1 + x^2 + y^2}
\qquad\text{तथा}\qquad
\sqrt{1 + y^2 + x^2} :
$$

अर्थात् एक ही। दोनों पृष्ठ — एक हर दिशा में एक ही ओर मुड़ता हुआ, दूसरा काठी के आकार का — हर प्रांत पर ठीक बराबर [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) रखते हैं, इकाई चक्रिका के ऊपर $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$। क्षेत्रफल-अवयव केवल प्रवणक की *[लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length)* देखता है, मुड़ाव की व्यवस्था नहीं; कटोरे को काठी से अलग पहचानने के लिए द्वितीय-कोटि आँकड़े चाहिए ([आकृति 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle) में दिखाई चिह्न-संरचना), जिन्हें कितना भी क्षेत्रफल-मापन नहीं पकड़ पाता। [प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff): दूरिक, आकार के प्रति अंधा; आकार देखने वाला द्वितीय रूप तृतीय वर्ष का है।

**उदाहरण 19.23 (गोले का क्षेत्रफल).**

[उदाहरण 19.2](#ex-b2-surfaces-standard) के गोलीय चार्ट के लिए:

$$
\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\
\cos\theta\cos\varphi,\ 0),
\qquad
\sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\
-\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),
$$

अतः $E = R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$ और $\sqrt{EG - F^2}
= R^2\cos\varphi$। इसलिए

$$
\mathcal{A}
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \boxed{4\pi R^2} .
$$

**उदाहरण 19.24 (शंकु, स्कूली सूत्र के सामने जाँचा गया).**

वलय $a \leq
\rho \leq b$ के ऊपर शंकु $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ के लिए [अभ्यास 19.5](#exo-b2-surfaces-5) का ग्राफ़-सूत्र $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ देता है (परिकलित कीजिए $f_x = x/\rho$, $f_y = y/\rho$), अतः

$$
\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .
$$

तिर्यक-ऊँचाई सूत्र $\pi\rho\ell$ ([उदाहरण 19.26](#ex-b2-surfaces-revolution) का) के सामने संगति-जाँच: आधार त्रिज्या $b$ तथा $a$ वाले पूरे शंकुओं के पार्श्व [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $\pi b\cdot b\sqrt2$ तथा $\pi a\cdot a\sqrt2$ हैं, जिनका अंतर ठीक $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ है। दो चार्ट, दो सूत्र, एक ही [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) — [अभ्यास 19.8](#exo-b2-surfaces-8) में सिद्ध अपरिवर्त्यता, खुले में देखी हुई।

**टिप्पणी 19.25 (क्षेत्रफलों के लिए त्वरित जाँचें).**

तीन तात्क्षणिक जाँचें क्षेत्रफल-परिकलन की अधिकांश भूलें पकड़ लेती हैं। *मापन*: किसी पृष्ठ को $\lambda$ से फैलाने पर $E, F, G$ $\lambda^2$ से गुणित हो जाता है और [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $\lambda^2$ से — जिस उत्तर की $R$ पर निर्भरता वर्गिक न हो (जैसे $4\pi R^2$), वह ग़लत है। *अवयव की धनात्मकता*: चार्ट के अभ्यंतर पर $\sqrt{EG - F^2}$ दृढ़ता से धनात्मक होना ही चाहिए; कोई लुप्त होता मान चार्ट के अपभ्रंश का संकेत है, जिसे गोले के ध्रुवों की तरह काट देना चाहिए। *सममिति*: किसी [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) टुकड़े पर परिकलन उसके सर्वांगसम भागों को जोड़ने के साथ संगत होना चाहिए — अर्धगोले को $2\pi R^2$ देना ही चाहिए।

**उदाहरण 19.26 (घूर्णन पृष्ठ).**

वर्ग $\mathcal{C}^1$ के वक्र $z \mapsto (r(z), 0, z)$, $r > 0$, को $z$-अक्ष के परितः घुमाइए:

$$
\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).
$$

तब $E = r(z)^2$, $F = 0$, $G = 1 + r'(z)^2$, अतः

$$
\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi}
r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z
= 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,
$$

यही शास्त्रीय सूत्र है (परिधि $2\pi r$ गुणा तिर्यक लंबाई-अवयव)। शंकु $r(z) = kz$, $z \in [0, h]$, के लिए: $\mathcal
A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$, जहाँ $\rho = kh$ आधार त्रिज्या है और $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ तिर्यक ऊँचाई — वही स्कूली सूत्र, जो अब मान लिया नहीं, बल्कि व्युत्पन्न किया गया है।

**उदाहरण 19.27 (कैटेनॉइड).**

कैटेनरी $r(z) = \cosh z$, $z \in \intcc{-1}{1}$, को उसकी अक्ष के परितः घुमाइए: परिणामी *कैटेनॉइड* का, घूर्णन सूत्र तथा $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ से,

$$
\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\,
\dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z
= \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},
$$

अर्थात्

$$
\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .
$$

तिर्यक गुणक $\sqrt{1 + r'^2}$ त्रिज्या के साथ मिलकर पूर्ण वर्ग बन गया — वही सर्वसमिका जिसने वक्र वाले अध्याय में कैटेनरी की [चाप-लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) को प्रारंभिक बना दिया था। यह बीजगणित का संयोग नहीं है: दोनों सीमांत वृत्तों को घेरने वाले सारे घूर्णन पृष्ठों में कैटेनॉइड [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) न्यूनतम करता है (वह दो छल्लों के बीच की साबुन-झिल्ली का आकार है), और यही विचरणीय गुणधर्म $\cosh$ को अलग से चुन लेता है; तृतीय वर्ष का खंड इसे विचरण-कलन से सिद्ध करता है।

![मूल बिंदु के निकट काठी z = x2 - y2, उसके निर्देशांक वक्रों (u-वक्र नीले, v-वक्र हरे), M_0 = (0,0,0) पर स्पर्श समतल (बिंदुकित) तथा इकाई अभिलंब n के साथ। पृष्ठ अपने स्पर्श समतल को पार करता है — नति-परिवर्तन का द्विविमीय प्रतिरूप।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-b28608515b89.svg)

***आकृति 19.1.** मूल बिंदु के निकट काठी $z = x^2 - y^2$, उसके निर्देशांक वक्रों ($u$-वक्र नीले, $v$-वक्र हरे), $M_0 = (0,0,0)$ पर [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) (बिंदुकित) तथा [इकाई अभिलंब](#def-b2-surfaces-tangent) $n$ के साथ। पृष्ठ अपने [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) को पार करता है — नति-परिवर्तन का द्विविमीय प्रतिरूप।*

**टिप्पणी 19.28 (सामान्य चूकें).**

(क) *चार्ट की विचित्रताएँ पृष्ठ की विचित्रताएँ नहीं होतीं*: गोलीय चार्ट ध्रुवों पर अपभ्रष्ट हो जाता है ($\cos\varphi = 0$), पर गोला वहाँ पूरी तरह चिकना है — कोई दूसरा चार्ट (अक्षों की भूमिकाएँ बदल दीजिए) ध्रुवों पर नियमित है। किसी बिंदु को विचित्र घोषित करने से पहले दूसरा प्राचलन आज़माइए। (ख) *$\sigma$ की नियमितता प्राचलन से संबंध रखती है, प्रतिबिंब से नहीं*: $\sigma(u, v) = (u^3, v,
0)$ $u = 0$ के अनुदिश अनियमित है, यद्यपि उसका प्रतिबिंब कोई समतल है। (ग) क्षेत्रफल-सूत्र माँगता है कि $\sigma$ $K$ पर *एकैकी* हो: किसी टुकड़े को दो बार ढँकने वाला चार्ट उसे दो बार गिन लेता है ($\theta$ का $\intcc0{4\pi}$ पर चलना गोले का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) दुगुना कर देता है)। (घ) [इकाई अभिलंब](#def-b2-surfaces-tangent) पृष्ठ द्वारा चिह्न तक परिभाषित होता है, पर उसे *चुनता* चार्ट है ($u, v$ का क्रम); अभिविन्यास वाले कथनों को वह चुनाव नियत करना ही चाहिए। (ङ) अंत में, $EG - F^2 > 0$ कोई अतिरिक्त परिकल्पना नहीं है: लाग्रांज सर्वसमिका से वह ठीक नियमितता ही है — यदि वह कहीं लुप्त हो जाए, तो दोष चार्ट का है, और वहाँ न कोई [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) सूत्र लागू होता है, न कोई स्पर्श-समतल सूत्र।

**टिप्पणी 19.29 (इस खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य).**

यहाँ से आगे की कड़ियाँ। क्षेत्रफल-अवयव $\sqrt{EG -
F^2}\,\dd u\,\dd v$ भेस बदले हुए द्विविमीय याकोबी है, और [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint) उस उपमा को चर-परिवर्तन प्रमेय के साथ ठीक-ठीक बना देता है — वहाँ के पृष्ठ समाकल इसी अध्याय के [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) हैं, बस ऊपर से एक समाकल्य और। [प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff) धनात्मक द्विघात रूपों का कोई क्षेत्र है, जिसे [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) के औज़ार [बिंदुवार](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-def) साध लेते हैं, और जिसकी वर्णक्रमीय प्रमेय इस अध्याय के सप्ताहांत वाले द्विघातज-वर्गीकरण को भी चलाती है। और अभिलंब रेखा प्रतिबंध-समुच्चयों पर चरम-मान समस्याओं को चलाती है ([उदाहरण 19.10](#ex-b2-surfaces-closest)), जो [प्रमेय 15.11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#thm-b2-diffcalc-extrema) के साथ रेखांकित लाग्रांज गुणक विधि का ज्यामितीय बीज है।

![सप्ताहांत समस्या में वर्गीकृत नौ द्विघातज पृष्ठों में से चार, अपनी छायाकृतियों तथा एक स्तर वक्र (लाल) से रेखांकित: परिबद्ध दीर्घवृत्तज, अपनी कमर वाला द्विगुण रेखित एकपृष्ठी अतिपरवलयज, दीर्घवृत्तीय परवलयज का कटोरा, और काठी, जिसके दोनों परवलयी परिच्छेद विपरीत दिशाओं में मुड़ते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-95ff19da7423.svg)

![सप्ताहांत समस्या में वर्गीकृत नौ द्विघातज पृष्ठों में से चार, अपनी छायाकृतियों तथा एक स्तर वक्र (लाल) से रेखांकित: परिबद्ध दीर्घवृत्तज, अपनी कमर वाला द्विगुण रेखित एकपृष्ठी अतिपरवलयज, दीर्घवृत्तीय परवलयज का कटोरा, और काठी, जिसके दोनों परवलयी परिच्छेद विपरीत दिशाओं में मुड़ते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-5c5318174f98.svg)

![सप्ताहांत समस्या में वर्गीकृत नौ द्विघातज पृष्ठों में से चार, अपनी छायाकृतियों तथा एक स्तर वक्र (लाल) से रेखांकित: परिबद्ध दीर्घवृत्तज, अपनी कमर वाला द्विगुण रेखित एकपृष्ठी अतिपरवलयज, दीर्घवृत्तीय परवलयज का कटोरा, और काठी, जिसके दोनों परवलयी परिच्छेद विपरीत दिशाओं में मुड़ते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-76dba2205169.svg)

![सप्ताहांत समस्या में वर्गीकृत नौ द्विघातज पृष्ठों में से चार, अपनी छायाकृतियों तथा एक स्तर वक्र (लाल) से रेखांकित: परिबद्ध दीर्घवृत्तज, अपनी कमर वाला द्विगुण रेखित एकपृष्ठी अतिपरवलयज, दीर्घवृत्तीय परवलयज का कटोरा, और काठी, जिसके दोनों परवलयी परिच्छेद विपरीत दिशाओं में मुड़ते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-e6f296f94a99.svg)

*सप्ताहांत समस्या में वर्गीकृत नौ [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पृष्ठों में से चार, अपनी छायाकृतियों तथा एक स्तर वक्र (लाल) से रेखांकित: परिबद्ध दीर्घवृत्तज, अपनी कमर वाला द्विगुण रेखित एकपृष्ठी अतिपरवलयज, दीर्घवृत्तीय परवलयज का कटोरा, और काठी, जिसके दोनों परवलयी परिच्छेद विपरीत दिशाओं में मुड़ते हैं।*

**टिप्पणी 19.30 (यह कहाँ काम आता है).**

क्षेत्रफल-अवयव $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint) का पृष्ठ-समाकल माप है, जहाँ वह ग्रीन के सूत्र से मिलता है; [प्रथम आधारभूत रूप](#def-b2-surfaces-fff) द्विघात रूपों के किसी क्षेत्र का प्रतिरूप है, जिसका [बिंदुवार](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-def) अध्ययन [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) के औज़ारों से होता है; और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या वर्णक्रमीय प्रमेय से सारे [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पृष्ठ वर्गीकृत कर देती है। तृतीय वर्ष का खंड [अवकल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) रूपों तथा अपसरण प्रमेय के साथ पृष्ठों पर लौटता है, और आंतरिक [वक्रता](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#thm-b2-curves-frenet2d) — मुड़ाव के विषय में $E, F, G$ जो जानते हैं — असली अवकल ज्यामिति का प्रवेशद्वार है।

## 19.4 अभ्यास

**अभ्यास 19.1 ★.**

दिखाइए कि शंकु $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (उसका शीर्ष हटाकर) के सारे [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) शीर्ष से होकर जाते हैं। *($\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$, $r > 0$ से प्राचलन कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 19.1.**

$\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ के साथ:

$$
\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0),
\qquad
\sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),
$$

जो $r > 0$ के लिए स्वतंत्र हैं। $M_0 =
\sigma(\theta_0, r_0)$ पर [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) $M_0$ से होकर दिशाओं $\sigma_\theta, \sigma_r$ के साथ जाता है। अब $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0,
\sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ स्वयं कोई स्पर्शी दिशा है: अर्थात् शीर्ष $O$ [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) पर पड़ता है। (शंकुओं का व्यापक व्यवहार यही है: वे शीर्ष से होकर जाने वाली रेखाओं से रेखित होते हैं, और कोई भी [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) स्पर्श-बिंदु से होकर जाने वाला रेखक समाहित करता है।)

**अभ्यास 19.2 ★.**

दीर्घवृत्तज $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ का, उसके किसी बिंदु $(x_0, y_0,
z_0)$ पर, [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) ढूँढ़िए।

**हल — अभ्यास 19.2.**

$f(x,y,z) =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ पर [प्रतिज्ञप्ति 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) लगाइए: पृष्ठ पर $\nabla
f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$। [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) है

$$
\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0)
+ \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0,
\qquad\text{अर्थात्}\qquad
\frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,
$$

जहाँ इसका उपयोग हुआ कि $(x_0, y_0, z_0)$ दीर्घवृत्तज का समीकरण पूरा करता है — यही गोले के $\langle
M_0, M \rangle = R^2$ का व्यापकीकरण करने वाला “वर्गों को बाँट दीजिए” नियम है।

**अभ्यास 19.3 ★.**

हेलिकॉइड $\sigma(u, v) = (v\cos u,\
v\sin u,\ au)$, $a > 0$, के लिए $E, F, G$ परिकलित कीजिए, और टुकड़े $0 \leq u \leq
2\pi$, $0 \leq v \leq 1$, का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) किसी समाकल के रूप में ($\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} +
a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ का उपयोग करके उसका मूल्यांकन कीजिए)।

**हल — अभ्यास 19.3.**

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ और $\sigma_v = (\cos u,\
\sin u,\ 0)$, अतः

$$
E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1,
\qquad
\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0
$$

(हेलिकॉइड हर जगह नियमित है, अपनी अक्ष $v =
0$ पर भी)। टुकड़े का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area):

$$
\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1
\sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u
= 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2}
+ a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,
$$

अर्थात् $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} +
a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$।

**अभ्यास 19.4 ★★.**

(टोरस) $xz$-समतल में केंद्र $(R, 0, 0)$ तथा त्रिज्या $r < R$ वाले वृत्त को $z$-अक्ष के परितः घुमाकर मिलने वाले टोरस का प्राचलन कीजिए:

$$
\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\
(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).
$$

$E, F, G$ परिकलित कीजिए, नियमितता जाँचिए, और दिखाइए कि [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $4\pi^2 R r$ है (पाप्पुस: माध्य परिधि $2\pi R$ गुणा वृत्त की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $2\pi r$)।

**हल — अभ्यास 19.4.**

अवकलज:

$$
\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\
(R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr),
\quad
\sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\
-r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).
$$

तब

$$
E = (R + r\cos\psi)^2,
\qquad
F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi)
\bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0,
\qquad
G = r^2 ,
$$

अतः $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$: हर जगह नियमित। [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi)
\,\dd\theta\,\dd\psi
= 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr)
= 4\pi^2 R r ,
$$

जहाँ $\cos\psi$ वाला पद शून्य तक समाकलित होता है — पाप्पुस की प्रमेय: [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $=$ (घुमाए गए वृत्त की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length)) गुणा $\times$ (उसके केंद्र द्वारा तय की गई दूरी)।

**अभ्यास 19.5 ★★.**

दिखाइए कि $f \in \mathcal{C}^1(K)$ के ग्राफ़ का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ है, और उसे चक्रिका $x^2 + y^2 \leq 1$ के ऊपर परवलयज के टुकड़े $z = \frac12(x^2 + y^2)$ के लिए परिकलित कीजिए (ध्रुवीय निर्देशांक, [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint))।

**हल — अभ्यास 19.5.**

$\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ के लिए: $\sigma_x = (1, 0, f_x)$, $\sigma_y = (0, 1, f_y)$, अतः $E = 1 + f_x^2$, $F = f_xf_y$, $G = 1
+ f_y^2$ और

$$
EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2
= 1 + f_x^2 + f_y^2 ,
$$

जिससे बताया गया क्षेत्रफल-सूत्र मिलता है। इकाई चक्रिका पर $f = \frac12(x^2 + y^2)$ के लिए: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$, और ध्रुवीय निर्देशांकों में ($x = \rho\cos\alpha$, $y = \rho\sin\alpha$, याकोबी $\rho$, [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint)):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho
\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1
= \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).
$$

**अभ्यास 19.6 ★★.**

त्रिज्या $R$ के गोले (गोलीय चार्ट) पर खींचे गए किसी वक्र $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ के लिए $u = \theta(t)$, $v =
\varphi(t)$। उसकी [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $\theta, \varphi$ में किसी समाकल के रूप में लिखिए और सिद्ध कीजिए कि एक ही याम्योत्तर $\theta = \theta_0$ के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले वक्रों में याम्योत्तर चाप सबसे छोटा है। *(समाकल्य को नीचे से $R\abs{\varphi'}$ द्वारा परिबद्ध कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 19.6.**

[उदाहरण 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea) के परिकलन से $E =
R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$, अतः [प्रतिज्ञप्ति 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength) से

$$
L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2
+ \varphi'(t)^2}\;\dd t .
$$

मान लीजिए अंत्यबिंदु $(\theta_0, \varphi_1)$ तथा $(\theta_0,
\varphi_2)$ हैं, $\varphi_1 < \varphi_2$। किसी भी जोड़ने वाले वक्र के लिए,

$$
L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t
\geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr|
= R\,(\varphi_2 - \varphi_1),
$$

जहाँ अऋणात्मक $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ वाला पद छोड़ दिया गया और समाकलों की त्रिभुज असमिका का उपयोग हुआ। याम्योत्तर चाप $\theta \equiv \theta_0$, जिसमें $\varphi$ $\varphi_1$ से $\varphi_2$ तक बढ़ता है, की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) ठीक $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ है: अर्थात् वही सबसे छोटा है। (याम्योत्तर बृहत् वृत्त हैं; यह इस तथ्य की पहली, प्रारंभिक स्थिति है कि गोले की भूगणिकाएँ बृहत् वृत्त होती हैं।)

**अभ्यास 19.7 ★★★.**

(गोले की अभिलंब रेखाएँ) मान लीजिए $S$ कोई [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-connected) नियमित स्तर पृष्ठ $\{f = c\}$ है जिसकी सारी अभिलंब रेखाएँ किसी नियत बिंदु $\Omega$ से होकर जाती हैं। दिखाइए कि $S$ $\Omega$ पर केंद्रित किसी गोले में समाहित है। *(दिखाइए कि $S$ पर खींचे गए हर वक्र के अनुदिश $\norm{M - \Omega}^2$ का अवकलज शून्य है।)*

**हल — अभ्यास 19.7.**

$S$ पर खींचा गया कोई वक्र $\gamma$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $g(t) = \norm{\gamma(t)
- \Omega}^2$। तब $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) -
\Omega\rangle$। परिकल्पना से $M = \gamma(t)$ पर अभिलंब रेखा $\Omega$ से होकर जाती है, अतः $\gamma(t) - \Omega$ कोई *अभिलंब* सदिश है, जो [स्पर्श समतल](#def-b2-surfaces-tangent) के, और विशेष रूप से वेग $\gamma'(t)$ के ([प्रतिज्ञप्ति 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity)), लांबिक है: अर्थात् $g' =
0$, और $g$ हर खींचे गए वक्र के अनुदिश अचर है।

अब समुच्चय $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ $S$ में संवृत है; वह $S$ में [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) भी है: उसके किसी भी बिंदु के निकट $S$ कोई नियमित ग्राफ़ है, अतः $S$ का कोई भी पड़ोसी बिंदु उससे किसी खींचे गए वक्र (किसी उठाए गए खंड) से जुड़ा है, जिसके अनुदिश $g$ अचर है। चूँकि $S$ [संबद्ध](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-connected) है और उपयुक्त $c$ के लिए $S_c$ अरिक्त है, $S = S_c
\subseteq$ — अर्थात् केंद्र $\Omega$ और त्रिज्या $\sqrt c$ वाला गोला ([अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric): संबद्धता का तर्क)।

**अभ्यास 19.8 ★★★.**

([क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) ज्यामितीय है) मान लीजिए $\Phi \colon U' \to U$ $\R^2$ तथा $\tilde\sigma =
\sigma \circ \Phi$ के [विवृत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) समुच्चयों के बीच कोई $\mathcal{C}^1$ अवकल समाकृतिकता है। दिखाइए कि

$$
\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
= \abs{\det J_\Phi}\,
\norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,
$$

और [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint) के चर-परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए निष्कर्ष निकालिए कि [परिभाषा 19.20](#def-b2-surfaces-area) का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) चुने गए नियमित प्राचलन पर निर्भर नहीं करता।

**हल — अभ्यास 19.8.**

$\Phi(u', v') = (u, v)$ लिखिए। शृंखला नियम से,

$$
\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v,
\qquad
\tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,
$$

जहाँ $\sigma$ के आंशिक अवकलजों का मूल्यांकन $\Phi(u',v')$ पर होता है। सदिश गुणनफल को द्विरैखिक रूप से खोलने पर, और $\sigma_u \wedge \sigma_u =
\sigma_v \wedge \sigma_v = 0$, $\sigma_v \wedge \sigma_u =
-\sigma_u \wedge \sigma_v$ का उपयोग करने पर:

$$
\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}
= \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'}
\frac{\partial v}{\partial v'}
- \frac{\partial v}{\partial u'}
\frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\,
\sigma_u \wedge \sigma_v
= \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .
$$

[मानदंड](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#def-b2-nvs-norm) लेने पर सर्वसमिका मिल जाती है। फिर $K' =
\Phi^{-1}(K)$ पर प्रतिचित्रण $\Phi$ पर लगाए गए चर-परिवर्तन सूत्र ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint)) से:

$$
\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
\,\dd u'\dd v'
= \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\;
\abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v'
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :
$$

अर्थात् दोनों प्राचलन पृष्ठ के एक ही टुकड़े को एक ही [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) देते हैं।

**अभ्यास 19.9 ★.**

(आर्किमिडीज़ की टोप-डिब्बा प्रमेय) त्रिज्या $R$ के गोले पर $z_1 \leq z \leq z_2$ ($-R \leq z_1 < z_2 \leq R$) वाले अक्षांशों के बीच के *कटिबंध* का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ है: इसे गोलीय चार्ट से सिद्ध कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि किसी कटिबंध का [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) केवल उसकी ऊँचाई पर निर्भर करता है — किसी संतरे को बराबर मोटाई की फाँकों में काटने पर छिलका बराबर मात्रा में मिलता है।

**हल — अभ्यास 19.9.**

गोलीय चार्ट में $z = R\sin\varphi$, और कटिबंध $z_i = R\sin\varphi_i$ वाले $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ के संगत है। क्षेत्रफल-अवयव $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([उदाहरण 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea)) के साथ:

$$
\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)
= 2\pi R\,(z_2 - z_1) .
$$

परिणाम केवल ऊँचाई $z_2 - z_1$ पर निर्भर करता है: बराबर मोटाई की फाँकें बराबर [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) ढोती हैं, चाहे विषुवत् पर काटी जाएँ या ध्रुव पर — यही आर्किमिडीज़ की टोप-डिब्बा प्रमेय है, और यही कारण है कि परिगत बेलन ($2\pi R \cdot
2R = 4\pi R^2$) का पार्श्व [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) गोले के [क्षेत्रफल](#def-b2-surfaces-area) के बराबर होता है।

**अभ्यास 19.10 ★★.**

दिखाइए कि घूर्णन पृष्ठ $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ($r > 0$ वर्ग $\mathcal C^1$ का) की हर अभिलंब रेखा घूर्णन-अक्ष से मिलती है, और प्रतिच्छेद बिंदु ढूँढ़िए।

**हल — अभ्यास 19.10.**

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ और $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$, अतः

$$
\sigma_\theta \wedge \sigma_z
= (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,
$$

जो $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ पर कोई अभिलंब सदिश है। अभिलंब रेखा

$$
t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\
z - t\,r\,r'\bigr),
$$

है, जो $t = -1$ पर $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ तक पहुँचती है: अर्थात् हर अभिलंब रेखा अक्ष से ऊँचाई $z + rr'$ पर मिलती है। (अभिलंब क्षेत्र में घूर्णी सममिति के बचे रहने का त्रिविमीय कारण यही है।)

**अभ्यास 19.11 ★★.**

(बेलन को खोलना) इकाई बेलन के चार्ट $\sigma(u, v) = (\cos u,\
\sin u,\ v)$ के लिए $E = G = 1$, $F = 0$: इसे सत्यापित कीजिए, और समझाइए कि खींचे गए हर वक्र $t \mapsto
\sigma(u(t), v(t))$ की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) समतल वक्र $t
\mapsto (u(t), v(t))$ की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) के बराबर क्यों है। निष्कर्ष निकालिए कि $(1, 0, 0)$ से $(1, 0, 2\pi c)$ तक एक फेरा लगाने वाली कुंडली की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ है, और यह कि उन्हीं अंत्यबिंदुओं तथा एक पूरे फेरे वाला कोई भी खींचा गया वक्र इससे छोटा नहीं है।

**हल — अभ्यास 19.11.**

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$, $\sigma_v = (0, 0, 1)$: $E
= 1$, $F = 0$, $G = 1$। [प्रतिज्ञप्ति 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength) से किसी खींचे गए वक्र की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ है — अर्थात् समतल में उसकी प्राचल-छाया $(u(t), v(t))$ की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length): चार्ट कोई स्थानीय समदूरिक प्रतिचित्रण है (बेलन का खुलना)। कुंडली $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$, $t \in \intcc0{2\pi}$, की छाया $(0,0)$ से $(2\pi, 2\pi c)$ तक का खंड है, जिसकी [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ है। $(1,0,0)$ से $(1,
0, 2\pi c)$ तक एक पूरा फेरा लगाने वाले किसी भी खींचे गए वक्र की छाया $(0, 0)$ को $(2\pi, 2\pi c)$ से जोड़ने वाला कोई [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) वक्र है, जिसकी समतल [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) सीधे खंड की [लंबाई](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#def-b2-curves-length) $\geq$; और चूँकि लंबाइयाँ मेल खाती हैं, कुंडली ही सबसे छोटी है।

**अभ्यास 19.12 ★★★.**

मान लीजिए $S = \{f = c\}$ कोई [संहत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-compact) नियमित स्तर पृष्ठ है और $M_0 \in S$ मूल बिंदु से अधिकतम दूरी वाला कोई बिंदु। दिखाइए कि $\nabla f(M_0)$ $\vect{OM_0}$ के संरेख है — अर्थात् सबसे दूर वाले बिंदु पर अभिलंब त्रिज्य है। इसे दीर्घवृत्तज $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ($a >
b > c > 0$) पर लगाइए: वे सारे बिंदु ढूँढ़िए जहाँ अभिलंब त्रिज्य है, और सबसे दूर वालों को पहचानिए।

**हल — अभ्यास 19.12.**

फलन $g(M) = \norm{M}^2$ [संहत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-compact) $S$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है, अतः वह किसी $M_0$ पर अपना अधिकतम प्राप्त करता है। $\gamma(0) = M_0$ वाले, $S$ पर खींचे गए हर वक्र $\gamma$ के लिए फलन $t
\mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ का $t = 0$ पर अधिकतम है, अतः उसका अवकलज $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ लुप्त होता है: यानी $M_0$ हर स्पर्शी सदिश के लांबिक है, अर्थात् $M_0$ पर $S$ का अभिलंब। और चूँकि $\nabla f(M_0) \neq 0$ भी अभिलंब रेखा को दिशित करता है ([प्रतिज्ञप्ति 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient)), $\nabla f(M_0)$ तथा $\vect{OM_0}$ संरेख हैं। दीर्घवृत्तज के लिए त्रिज्यता का अर्थ है

$$
\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :
$$

अर्थात् हर निर्देशांक $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ पूरा करता है, इत्यादि; और चूँकि $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ भिन्न-भिन्न हैं, अधिक से अधिक एक ही निर्देशांक अशून्य है, और पृष्ठ पर हल छह अक्ष-अंत्यबिंदु $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm b, 0)$, $(0,
0, \pm c)$ हैं। सबसे दूर वाले बिंदु $(\pm a, 0, 0)$ हैं, जो $a = \max(a,b,c)$ दूरी पर हैं।

## 19.5 समस्या: $\R^3$ के द्विघातजों का वर्गीकरण

**समस्या 19.1.**

सप्ताहांत समस्या — हर द्विघातज पृष्ठ, वर्णक्रमीय प्रमेय से छाँटा हुआ

*द्विघातज* $\R^3$ में किसी द्वितीय-घात बहुपद

$$
q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c,
\qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\
c \in \R .
$$

का शून्य समुच्चय है। इस अध्याय के चित्रों के पृष्ठ — गोले, दीर्घवृत्तज, काठियाँ, शंकु, बेलन — सब [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) हैं। यह समस्या उन *सबका* वर्गीकरण करती है: वर्णक्रमीय प्रमेय ([प्रमेय 12.13](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-spectral)) द्विघात भाग को सीधा कर देती है, [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) स्थानांतरण ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#ch-b2-affine)) रैखिक भाग को सोख लेते हैं, और जो बचता है वह मानक रूपों की एक छोटी, पूरी सूची है।

**भाग I — समानयन यंत्र।**

1. मान लीजिए $X = PY + t$, जहाँ $P \in O(3)$ और $t \in \R^3$ (कोई दृढ़ निर्देशांक-परिवर्तन)। दिखाइए कि $q(PY + t) =  Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$, जहाँ $$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad  b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad  c' = q(t) .$$ निष्कर्ष निकालिए कि $A$ का [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) (अतः उसकी कोटि और चिह्नांक) समीकरण का दृढ़ निश्चर है, और समझाइए कि किसी दिए गए [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) का समीकरण केवल किसी अशून्य अदिश गुणक तक ही क्यों निर्धारित होता है।
2. वर्णक्रमीय प्रमेय का उपयोग करते हुए दिखाइए कि किसी घूर्णन के बाद समीकरण $\sum_i \lambda_i y_i^2 +  2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ बन जाता है, जहाँ $\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3$ $A$ के [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) हैं।
3. $\lambda_i \neq 0$ वाले हर $i$ के लिए $\beta_iy_i$ को किसी स्थानांतरण ( $y_i \mapsto y_i -  \beta_i/\lambda_i$ ) से सोख लीजिए। $\operatorname{rank} A = r$ होने पर समानीत समीकरण लिखिए: $\sum_{i\leq r}\lambda_i  z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ ।
4. समीकरण $q = 0$ वाले [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) का *केंद्र* ऐसा बिंदु $\Omega$ है कि सब $X$ के लिए $q(2\Omega - X) = q(X)$ : $\Omega$ में बिंदु परावर्तन समीकरण को, अतः पृष्ठ को, सुरक्षित रखता है। दिखाइए कि $q(2\Omega - X)  - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle  A\Omega + b, \Omega\rangle$ , और निष्कर्ष निकालिए: केंद्र ठीक $A\Omega = -b$ के हल हैं; वे विद्यमान हैं तभी जब $b \in \operatorname{im}A$ , और केंद्र अद्वितीय है तभी जब $A$ प्रतिलोमनीय हो।

**भाग II — केंद्रीय [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) ($\operatorname{rank}A = 3$)।** यहाँ समानीत समीकरण $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ है।

5. ज़रूरत पड़ने पर $-1$ से गुणा करके मान लीजिए कि कम से कम दो $\lambda_i > 0$ हैं। संभावनाएँ गिनिए: $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ के साथ चिह्नांक $(3, 0)$ , तथा $\delta > 0$ , $= 0$ , $<  0$ के साथ चिह्नांक $(2, 1)$ ; परिणामी छह समुच्चयों को नाम दीजिए (दीर्घवृत्तज, बिंदु, रिक्त समुच्चय, एकपृष्ठी अतिपरवलयज, शंकु, द्विपृष्ठी अतिपरवलयज) और हर एक को उसके यूक्लिडीय मानक रूप में ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +  \frac{z^2}{c^2} = 1$ , इत्यादि) रखिए।
6. $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ का वर्गीकरण कीजिए: दिखाइए कि $A = 2J - I$ , जहाँ $J$ सब-एक आव्यूह है, [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$ परिकलित कीजिए, और अक्ष $\R(1,1,1)$ के परितः किसी घूर्णी द्विपृष्ठी अतिपरवलयज को पहचानिए।
7. (रेखक) एकपृष्ठी अतिपरवलयज $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}  = 1$ के लिए $$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr)  \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr)  = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$$ का गुणनखंडन कीजिए और पृष्ठ पर पड़ी सरल रेखाओं के दो एकप्राचलीय कुल उत्पन्न कीजिए।
8. दिखाइए कि एकपृष्ठी अतिपरवलयज के हर बिंदु से होकर हर कुल की ठीक एक रेखा जाती है: अर्थात् पृष्ठ *द्विगुण रेखित* है।
9. एकपृष्ठी अतिपरवलयज का *अनंतस्पर्शी शंकु* $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  - \frac{z^2}{c^2} = 0$ है। $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2}  + \frac{y^2}{b^2}$ के साथ दिखाइए कि अतिपरवलयज का कोई भी बिंदु $C$ से अधिक से अधिक $c\bigl(\rho -  \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho +  \sqrt{\rho^2 - 1}}$ दूरी पर है, अतः पृष्ठ अनंत पर अपने शंकु से चिपक जाता है। समतलों $x = \pm a$ से अतिपरवलयज के परिच्छेद क्या हैं?

**भाग III — कोटि $2$ और कोटि $1$: परवलयज, बेलन, समतल।**

10. मान लीजिए $\operatorname{rank}A = 2$, कहिए $\lambda_1,  \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$। प्रश्न 3 से आरंभ करके $\beta_3 \neq 0$ (प्रश्न 4 से, कोई केंद्र नहीं) अथवा $\beta_3 = 0$ (केंद्रों की एक रेखा) के अनुसार दो स्थितियों में बाँटिए, और $$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0  \qquad\text{या}\qquad  \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$$ तक समानयन कीजिए — पहली स्थिति में दीर्घवृत्तीय या अतिपरवलयीय परवलयज, दूसरी में केंद्रीय शांकवों के ऊपर बेलन (अथवा प्रतिच्छेदी समतलों का युग्म, कोई रेखा, रिक्त समुच्चय)।
11. दिखाइए कि काठी $z = xy$ अतिपरवलयीय परवलयज है: $xy$ -समतल में $\pi/4$ से घुमाकर $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ तक पहुँचिए, जो मापन तक [आकृति 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle) का पृष्ठ है।
12. दिखाइए कि काठी $z = xy$ दो रेखा-कुल $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ तथा $\{y = y_0,\ z  = xy_0\}$ वहन करती है, और हर बिंदु से होकर हर कुल की ठीक एक रेखा जाती है: यही दूसरा द्विगुण रेखित [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) है।
13. $\R^3$ में $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ का वर्गीकरण कीजिए (वर्ग पूरे कीजिए; किसी लंब वृत्तीय बेलन को पहचानिए, और उसकी अक्ष तथा त्रिज्या बताइए)।
14. अब मान लीजिए $\operatorname{rank}A = 1$, कहिए $\lambda_1  \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$। केंद्रक समतल के भीतर घुमाकर और स्थानांतरण करके $$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0)  \qquad\text{या}\qquad  \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$$ तक समानयन कीजिए — कोई परवलयी बेलन, अथवा समांतर समतलों का युग्म, कोई द्विगुण समतल, या रिक्त समुच्चय। $(x + y)^2 =  z$ का पूरा वर्गीकरण कीजिए (मानक रूप, स्थानांतरण-अपरिवर्त्यता की अक्ष)।

**भाग IV — वर्गीकरण प्रमेय।**

15. भाग I से III को एक प्रमेय में जोड़िए: *$\R^3$ का हर [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) किसी दृढ़ गति से ठीक एक मानक रूप पर भेजा जाता है* । सत्रह [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) प्रकार सूचीबद्ध कीजिए (रिक्त रूपांतर तथा अपभ्रष्ट समुच्चय गिनते हुए), और नौ [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) *पृष्ठ* अलग से बताइए: दीर्घवृत्तज, एकपृष्ठी तथा द्विपृष्ठी अतिपरवलयज, शंकु, दीर्घवृत्तीय तथा अतिपरवलयीय परवलयज, और दीर्घवृत्तीय, अतिपरवलयीय तथा परवलयी बेलन।
16. वर्गीकरण *कलनविधि* लिखिए: $(A,  b, c)$ दिया हो, तो आप कौन सी राशियाँ, किस क्रम में परिकलित करते हैं, और कौन सी शाखा कौन सा प्रकार तय करती है? न्यायसंगत ठहराइए कि हर पग प्रभावी है (किसी [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) $3\times3$ आव्यूह के [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) , कोटि, $A\Omega = -b$ की हल-योग्यता)।
17. कलनविधि को $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz -  2zx = 1$ पर चलाइए: दिखाइए कि $A = 2I - J$ का [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\{2, 2,  -1\}$ है और निष्कर्ष निकालिए: $\R(1,1,1)$ के परितः कोई घूर्णी एकपृष्ठी अतिपरवलयज।
18. उसे $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ पर चलाइए: केंद्र ढूँढ़िए और [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पहचानिए।
19. उसे $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ पर चलाइए: $xy$ -खंड का विकर्णन कीजिए ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v =  \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) और [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पहचानिए।
20. यूक्लिडीय बनाम [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) । दिखाइए कि मानक रूप वाले दो केंद्रीय [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) *दृढ़ता से* तुल्य हैं तभी जब उनकी गुणांक-सूचियाँ एक ही हों (क्रमचय तथा समीकरण पर किसी साझे धनात्मक अदिश तक), जबकि *[आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) रूप से* केवल चिह्नांक-आँकड़े बचते हैं: हर दीर्घवृत्तज गोल गोले का [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) प्रतिबिंब है। कौन सी प्रमेय आश्वस्त करती है कि रास्ते भर चिह्नांक बदल नहीं सकता ( [प्रमेय 12.6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-sylvester) )?

**भाग V — लाभांश।**

21. दिखाइए कि किसी [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) का किसी [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) समतल से हर परिच्छेद उस समतल का कोई शांकव (संभवतः अपभ्रष्ट) है। काठी $z = xy$ के, समतलों $z = c$ ( $c \neq 0$ तथा $c = 0$ ) से, परिच्छेद पहचानिए।
22. कौन से [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पृष्ठ सरल रेखाएँ समाहित करते हैं? दिखाइए कि दीर्घवृत्तज, द्विपृष्ठी अतिपरवलयज तथा दीर्घवृत्तीय परवलयज कोई नहीं समाहित करते *($q$ को किसी रेखा तक प्रतिबंधित कीजिए, और द्विपृष्ठी स्थिति के लिए कोशी–श्वार्ज़ असमिका का उपयोग कीजिए)* ; कि शंकु तथा बेलन एक कुल से रेखित हैं; और निष्कर्ष निकालिए कि द्विगुण रेखित [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पृष्ठ ठीक एकपृष्ठी अतिपरवलयज और अतिपरवलयीय परवलयज हैं।
23. जब केवल *[आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace)* प्रकार चाहिए, तब [गाउस समानयन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-gauss) ( [प्रमेय 12.5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-gauss) ) विकर्णन से सस्ता पड़ता है। प्रश्न 17 को गाउस की कलनविधि से फिर कीजिए और चिह्नांक $(2, 1)$ जाँचिए; गाउस कौन सी यूक्लिडीय सूचना खो देता है?
24. किसी [सममित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-adjoint) आव्यूह के सारे [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) वास्तविक होते हैं; दिखाइए कि इसके फलस्वरूप $A$ के अभिलक्षणिक मानों के *चिह्न* देकार्त के चिह्न-नियम से [अभिलक्षणिक बहुपद](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-charpoly) में ही पढ़े जा सकते हैं, और इसे प्रश्न 6 पर सत्यापित कीजिए: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2  - 9\lambda - 5$ में ठीक एक चिह्न-परिवर्तन है, अतः चिह्नांक $(1, 2)$ ।
25. संश्लेषण। कलनविधि का कुछ पंक्तियों में सारांश दीजिए; (क) वर्णक्रमीय प्रमेय, (ख) केंद्र-समीकरण $A\Omega = -b$ , (ग) सिल्वेस्टर की जड़त्व प्रमेय, (घ) [गाउस समानयन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-gauss) — हर एक की ठीक-ठीक भूमिका बताइए। वही यंत्र $\R^2$ में क्या देता है, और $\R^n$ में क्या बदल जाता है?

**हल — समस्या 19.1.**

**1.** खोलने पर, और $A$ की सममिति ($t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$) का उपयोग करने पर:

$$
q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY +
2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At +
2b^{\mathsf T}t + c\bigr),
$$

जो प्रदर्शित त्रिक ही है। $A' = P^{\mathsf T}\!AP =
P^{-1}AP$ $A$ के समरूप है: वही [अभिलक्षणिक बहुपद](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-charpoly), वही [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen), कोटि, चिह्नांक। अंत में $s \neq 0$ के लिए $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$, अतः समुच्चय से केवल *किसी अदिश तक* समीकरण जुड़ा होता है; $s$ से मापन सारे अभिलक्षणिक मानों को $s$ से गुणा कर देता है।

**2.** वर्णक्रमीय प्रमेय $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,
\lambda_3)$ वाला $P \in O(3)$ देती है; $t = 0$ के साथ प्रश्न 1 समीकरण को $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ में बदल देता है, जहाँ $\beta =
P^{\mathsf T}b$।

**3.** $\lambda_i \neq 0$ के लिए: $\lambda_iy_i^2 +
2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i +
\frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 -
\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$; स्थानांतरण $z_i = y_i +
\beta_i/\lambda_i$ (और $i > r$ के लिए $z_i = y_i$) देता है

$$
\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i +
c'' = 0, \qquad
c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.
$$

**4.** $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T}
A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$; खोलकर $q(X)$ घटाने पर द्विघात पद कट जाते हैं और

$$
q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle +
4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .
$$

यदि $A\Omega + b = 0$, तो यह सर्वसमिक रूप से लुप्त होता है: बिंदु परावर्तन $q$ को, अतः [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) को, सुरक्षित रखता है। विलोमतः, “सब $X$ के लिए $q(2\Omega - X) = q(X)$” कहता है कि ऊपर वाला [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) फलन पूरे $\R^3$ पर लुप्त होता है, जो उसके रैखिक भाग $A\Omega + b$ को शून्य होने पर बाध्य कर देता है। अतः केंद्र $=$ $A\Omega = -b$ के हल: यह समुच्चय अरिक्त है तभी जब $b \in \operatorname{im}A$ ($\ker A$ से दिशित कोई [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) उपसमष्टि), और अकेला बिंदु तभी जब $A$ प्रतिलोमनीय हो।

**5.** चिह्नांक $(3,0)$ (सारे $\lambda_i > 0$): $\delta >
0$ $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ आदि के साथ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}
= 1$ देता है — कोई दीर्घवृत्तज; $\delta = 0$: अकेला बिंदु $O$; $\delta < 0$: रिक्त। चिह्नांक $(2,1)$ ($\lambda_1, \lambda_2 > 0 >
\lambda_3$): $\delta > 0$: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}
- \frac{z^2}{c^2} = 1$, यानी एकपृष्ठी अतिपरवलयज; $\delta =
0$: शंकु $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
\frac{z^2}{c^2}$; $\delta < 0$: $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, यानी द्विपृष्ठी अतिपरवलयज ($\abs z \geq c$: दो घटक)।

**6.** द्विघात भाग का आव्यूह $A$ है, जिसका विकर्ण $1$ और विकर्णेतर $2$: $A = 2J - I$। चूँकि $J$ का [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\{3, 0, 0\}$ है ($3$ के लिए [अभिलक्षणिक सदिश](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $(1,1,1)$), $A$ का [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$ है, जहाँ [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $5$ $\R(1,1,1)$ द्वारा वहन होता है। घुमाए गए निर्देशांकों में: $5u^2 - v^2 - w^2 =
1$, अर्थात् $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$: यानी कोई द्विपृष्ठी अतिपरवलयज, जो अक्ष $\R(1,1,1)$ के परितः घूर्णी है (बराबर [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $-1$)।

**7.** पृष्ठ $\bigl(\frac xa - \frac
zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac
yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ है। $(\lambda : \mu) \neq
(0:0)$ के लिए रेखा

$$
D_{\lambda:\mu} :\quad
\lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac
yb\Bigr), \qquad
\mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac
yb\Bigr)
$$

परिभाषित कीजिए (दो स्वतंत्र [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) समीकरण: कोई रेखा)। दोनों समीकरणों को गुणा करने पर दिखता है कि $\lambda\mu \neq 0$ होने पर $D_{\lambda:\mu}$ का हर बिंदु पृष्ठ पर पड़ता है; स्थितियाँ $\lambda = 0$ अथवा $\mu = 0$ सीधे जाँची जाती हैं (जैसे $\lambda = 0$: $y =
b$, $\frac xa = -\frac zc$, जो समीकरण पूरा करता है)। दूसरा कुल $D'_{\lambda:\mu}$ दाहिने पक्ष के दोनों गुणनखंडों की अदला-बदली कर देता है।

**8.** पृष्ठ पर $M$ स्थिर कीजिए। $M \in
D_{\lambda:\mu}$ की शर्तें $(\lambda, \mu)$ में कोई $2\times2$ समघातीय रैखिक निकाय बनाती हैं, जिसका [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det)

$$
\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 -
\frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0
$$

ठीक इसलिए है क्योंकि $M$ [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पर पड़ता है: अतः कोई अतुच्छ हल $(\lambda : \mu)$ विद्यमान है। गुणांक आव्यूह कभी शून्य नहीं होता (उससे $1 - \frac yb = 1 + \frac yb =
0$ बाध्य हो जाता), अतः उसकी कोटि $1$ है और हल मापन तक अद्वितीय: अर्थात् कुल की ठीक एक रेखा $M$ से होकर जाती है। यही दूसरे कुल के लिए भी टिकता है, और दोनों रेखाएँ भिन्न हैं ($(a, 0, 0)$ पर वे $\{x = a,\ \frac zc = \frac
yb\}$ तथा $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ हैं): यानी एकपृष्ठी अतिपरवलयज द्विगुण रेखित है।

**9.** मान लीजिए अतिपरवलयज पर $M = (x, y, z)$, $\rho^2 =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq
1$। बिंदु $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$, जहाँ $\varepsilon$ $z$ का चिह्न है, $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ पूरा करता है: $N \in C$, और

$$
d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho}
= c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr)
= \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .
$$

यदि $\norm M \to \infty$, तो $\rho \to \infty$ (तीनों निर्देशांक $\rho$ के गुणजों से परिबद्ध हैं), अतः $d(M, C)
\to 0$। परिच्छेद $x = a$: $\frac{y^2}{b^2} -
\frac{z^2}{c^2} = 0$, यानी प्रश्न 8 की काटती हुई रेखाओं का युग्म — और वैसा ही $x = -a$ पर।

**10.** $\lambda_3 = 0$ के साथ प्रश्न 3 $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ छोड़ जाता है। अभिलक्षणिक आधार में $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1,
e_2)$, अतः प्रश्न 4 से केंद्र विद्यमान हैं तभी जब $\beta_3 = 0$। यदि $\beta_3 \neq 0$: स्थानांतरण $z_3 \mapsto z_3 -
c''/(2\beta_3)$ अचर पद हटा देता है और $\lambda_1z_1^2
+ \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ बच रहता है, अर्थात् नाम बदलने के बाद $z_3 = px^2 +
qy^2$: $\lambda_1\lambda_2 > 0$ होने पर *दीर्घवृत्तीय परवलयज*, $\lambda_1\lambda_2 < 0$ होने पर *अतिपरवलयीय परवलयज* — और वास्तव में कोई केंद्र नहीं। यदि $\beta_3 = 0$: समीकरण $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 +
c'' = 0$ में $z_3$ आता ही नहीं: अर्थात् [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) संगत समतल शांकव के ऊपर कोई बेलन है — $\lambda_1\lambda_2 > 0$ होने पर दीर्घवृत्तीय बेलन, कोई रेखा, या रिक्त समुच्चय; $\lambda_1\lambda_2 < 0$ होने पर अतिपरवलयीय बेलन या प्रतिच्छेदी समतलों का युग्म — और केंद्रों की पूरी रेखा $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ के साथ।

**11.** $xy - z = 0$। $x = \frac{u +
v}{\sqrt2}$, $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ प्रतिस्थापित करने पर ($\pi/4$ से घूर्णन): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$, अतः समीकरण $z =
\frac12(u^2 - v^2)$ बन जाता है: यानी कोई अतिपरवलयीय परवलयज — गुणक $\frac12$ तक वही काठी जो चित्र में है।

**12.** रेखा $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ ($y$ से प्राचलित) स्पष्टतः $z = xy$ पर पड़ती है, और $\{y = y_0,\ z =
xy_0\}$ भी; $(x_0, y_0, x_0y_0)$ से होकर उनमें से दोनों जाती हैं। अद्वितीयता: यदि $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 +
tv_3)$ पृष्ठ पर बना रहे, तो $(x_0
+ tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ में $t^2$ का गुणांक $v_1v_2 = 0$ देता है, अतः $v_1 = 0$ या $v_2 = 0$, जो दोनों कुलों में से एक में उतर जाता है: अर्थात् हर बिंदु से होकर हर कुल की एक रेखा — यही दूसरा द्विगुण रेखित [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) है।

**13.** वर्ग पूरे करने पर: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$, और $z$ पर कोई शर्त नहीं: अर्थात् त्रिज्या $\sqrt2$ तथा अक्ष के रूप में ऊर्ध्वाधर रेखा $\{(1, -2, z) : z \in
\R\}$ वाला कोई लंब वृत्तीय बेलन — केंद्रों की एक रेखा, जैसा प्रश्न 10 अनुमान लगाता है।

**14.** $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ के साथ समानीत समीकरण $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c''
= 0$ है। केंद्रक समतल $(z_2, z_3)$ का कोई घूर्णन रैखिक रूप को पंक्तिबद्ध कर देता है: $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ के साथ $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$। यदि $\beta \neq 0$, तो $c''$ सोखने के लिए $w$ स्थानांतरित कीजिए: $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w =
0$, यानी कोई *परवलयी बेलन*; यदि $\beta = 0$: $\lambda_1z_1^2 = -c''$ दो समांतर समतल ($c''
\lambda_1 < 0$), कोई द्विगुण समतल ($c'' = 0$), या रिक्त समुच्चय देता है। $(x + y)^2 = z$ के लिए: $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ के साथ समीकरण $z = 2u^2$ पढ़ा जाता है: यानी कोई परवलयी बेलन, जो $(1, -1, 0)$ के अनुदिश स्थानांतरणों के अंतर्गत अपरिवर्त्य है।

**15.** हर [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) किसी घूर्णन तथा स्थानांतरणों से इनमें से किसी एक पर पहुँचा दिया जाता है: (कोटि 3) दीर्घवृत्तज, बिंदु, रिक्त समुच्चय, एकपृष्ठी अतिपरवलयज, शंकु, द्विपृष्ठी अतिपरवलयज; (कोटि 2) दीर्घवृत्तीय परवलयज, अतिपरवलयीय परवलयज, दीर्घवृत्तीय बेलन, रेखा, रिक्त समुच्चय, अतिपरवलयीय बेलन, प्रतिच्छेदी समतलों का युग्म; (कोटि 1) परवलयी बेलन, समांतर समतलों का युग्म, द्विगुण समतल, रिक्त समुच्चय। तीनों रिक्त रूपांतरों को समीकरणों के भिन्न *[आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) प्रकार* मानने पर गिनती सत्रह होती है; उनमें नौ सच्चे पृष्ठ हैं: दीर्घवृत्तज, दोनों अतिपरवलयज, शंकु, दोनों परवलयज, और तीनों बेलन।

**16.** कलनविधि। (क) $(A, b, c)$ पढ़ लीजिए; $A$ का [अभिलक्षणिक बहुपद](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-charpoly), उसके [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) (वर्णक्रमीय प्रमेय से, वास्तविक) और $r = \operatorname{rank}A$ परिकलित कीजिए। (ख) $A\Omega = -b$ हल कीजिए (गाउस विलोपन): हल्य है या नहीं — केंद्र हैं या नहीं। (ग) यदि हल्य हो, तो किसी केंद्र तक स्थानांतरित कीजिए: समीकरण $c''
= c + \langle b, \Omega\rangle$ के साथ $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ बन जाता है; प्रश्न 5, 10, 14 का उपयोग करते हुए $r$ (चिह्नांक) तथा $c''$ के चिह्न से छाँटिए। (घ) यदि हल्य न हो ($r \leq 2$), तो प्रश्न 10 तथा 14 की तरह घुमाइए और समानीत कीजिए: परवलयज ($r = 2$) या परवलयी बेलन ($r = 1$), और $\lambda_1\lambda_2$ के चिह्न के अनुसार दीर्घवृत्तीय या अतिपरवलयीय। हर पग एक परिमित परिकलन है: वास्तविक मूलों वाले किसी घन बहुपद के मूल, कोटियाँ, रैखिक निकाय।

**17.** $A$ का विकर्ण $1$ है, विकर्णेतर $-1$: $A = 2I
- J$, [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$, जहाँ $\R(1,1,1)$ पर $-1$। चिह्नांक $(2,1)$, $b = 0$, दायाँ पक्ष $\delta = 1 > 0$: $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$, यानी अक्ष $\R(1,1,1)$ के परितः कोई घूर्णी एकपृष्ठी अतिपरवलयज।

**18.** वर्ग पूरे कीजिए: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 +
(-1 - 4 + 1 + 4) = 0$, अर्थात्

$$
(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :
$$

अचर लुप्त हो गया — अर्थात् शीर्ष (और अद्वितीय केंद्र) $(1, -2, 1)$ तथा $Oz$ के समांतर अक्ष वाला कोई लंब वृत्तीय *शंकु*।

**19.** द्विघात भाग $x^2 + 4xy + y^2$ का आव्यूह ($xy$-समतल में) $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ है, जिसके [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $3$ ($(1,1)$ पर) तथा $-1$ ($(1,-1)$ पर) हैं: $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$, $v =
\frac{x-y}{\sqrt2}$ के साथ वह $3u^2 - v^2$ के बराबर है, और [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1)

$$
z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :
$$

है, यानी कोई अतिपरवलयीय परवलयज ($A$ की कोटि $2$ है और $b$ का $\ker A = \R e_z$ के अनुदिश कोई घटक है: अतः कोई केंद्र नहीं)।

**20.** कोई दृढ़ गति समीकरण के आँकड़ों को $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ के अनुसार बदलती है (वही [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen)), और मानक रूपों में निर्देशांकों के क्रमचय तथा पूरे समीकरण को किसी अदिश से गुणा करने ($> 0$, ताकि लेखन बचा रहे) के अतिरिक्त कोई शेष स्वतंत्रता नहीं होती: दो केंद्रीय मानक रूप किसी समदूरिक प्रतिचित्रण तक संपाती हैं तभी जब उनकी गुणांक-सूचियाँ क्रमचय तथा साझे धनात्मक गुणक तक मेल खाती हों — दीर्घवृत्तज के लिए, तभी जब अर्ध-अक्ष $(a, b, c)$ मेल खाएँ। [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) रूप से हर निर्देशांक को अलग-अलग भी मापित किया जा सकता है ($z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs
{\lambda_i}}$), जो [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) मिटा देता है और केवल उनके चिह्न छोड़ता है: हर दीर्घवृत्तज $u^2 + v^2 + w^2 = 1$, यानी गोला, बन जाता है। सिल्वेस्टर की जड़त्व प्रमेय ([प्रमेय 12.6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-sylvester)) आश्वस्त करती है कि चिह्नांक किसी भी प्रतिलोमनीय रैखिक परिवर्तन को झेल जाता है: अर्थात् प्रश्न 15 के [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) प्रकार सचमुच भिन्न हैं।

**21.** समतल का [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) रूप से प्राचलन कीजिए: $M = P + su +
tv$। तब $q(P + su + tv)$ $(s, t)$ में $\leq 2$ घात का बहुपद है ([द्विघात रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#def-b2-quadratic-def) को द्विरैखिक रूप से खोलिए), अतः परिच्छेद $\{q = 0\}$ उस समतल का कोई शांकव है, संभवतः अपभ्रष्ट। $z = xy$ तथा समतल $z = c$ के लिए: $xy = c$, जो $c \neq 0$ के लिए कोई अतिपरवलय है, और $c = 0$ के लिए दोनों निर्देशांक रेखाएँ — मूल बिंदु से होकर जाने वाले रेखकों का युग्म।

**22.** *दीर्घवृत्तज*: परिबद्ध, कोई रेखा समाहित नहीं करता। *द्विपृष्ठी अतिपरवलयज* $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$: $p + tv$ तक प्रतिबंधित कीजिए; $t^2$ का गुणांक $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2}
- \frac{v_2^2}{b^2}$ लुप्त होना ही चाहिए, अतः $v_3 \neq 0$ (अन्यथा $v =
0$); $t$ का गुणांक $\frac{p_3v_3}{c^2} =
\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ देता है, और कोशी–श्वार्ज़ से

$$
\frac{p_3^2}{c^2}
= \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} +
\frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2
\leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} +
\frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2}
= \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},
$$

अतः अचर पद $\leq 0 \neq 1$: कोई रेखा नहीं। *दीर्घवृत्तीय परवलयज* $z = \frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2}$: $t^2$ का गुणांक $v_1 = v_2 =
0$ को बाध्य कर देता है, और तब समीकरण $t$ में रैखिक तथा अनचर है: कोई रेखा नहीं। *शंकु* $x^2 + y^2 = z^2$: उस पर पड़ी कोई रेखा लोरेंत्ज़ रूप के लिए $q(p) =
q(v) = B(p, v) = 0$ पूरा करती है; समतल कोशी–श्वार्ज़ $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} =
\sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ में समता $(p_1, p_2)
\parallel (v_1, v_2)$ को बाध्य करती है और फिर $p = kv$: अर्थात् सारी रेखाएँ शीर्ष से होकर जाती हैं — एक कुल। *बेलन*: दीर्घवृत्तीय तथा परवलयी बेलनों के लिए $t^2$ का गुणांक $v_1 = v_2 = 0$ को बाध्य कर देता है (केवल रेखक); अतिपरवलयीय बेलन $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $v_2 \neq 0$ वाला $\frac{v_1}a = \pm
\frac{v_2}b$ $t$ के गुणांक के द्वारा $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ तक ले जाता है, जो अचर पद $1$ के विरुद्ध है: फिर वही ऊर्ध्वाधर रेखक। अतः द्विगुण रेखित [द्विघातज](#pb-b2-surfaces-1) पृष्ठ ठीक एकपृष्ठी अतिपरवलयज तथा अतिपरवलयीय परवलयज हैं।

**23.** गाउस: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 -
z^2 - 2yz$, अतः

$$
q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y +
z)^2 :
$$

अर्थात् चिह्नों $(+, +, -)$ वाले तीन स्वतंत्र वर्ग — चिह्नांक $(2, 1)$, जो बिना किसी अभिलक्षणिक-मान परिकलन के प्रश्न 17 से मेल खाता है। गाउस दूरिक आँकड़े खो देता है: नए निर्देशांक प्रसामान्य लांबिक नहीं हैं, अतः [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) (अतिपरवलयज का आकार, उसकी अक्ष और उनकी लंबाइयाँ) चले जाते हैं; केवल [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) प्रकार बचता है।

**24.** मान लीजिए $p$, $n$, $z$ क्रमशः धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्य अभिलक्षणिक मानों की संख्याएँ हैं, $p + n + z = 3$। देकार्त का नियम $p$ को $\chi_A$ के चिह्न-परिवर्तनों की संख्या $V$ से परिबद्ध करता है, और $n$ को $\chi_A(-\lambda)$ के चिह्न-परिवर्तनों की संख्या $V'$ से; इसके अतिरिक्त लगातार अशून्य गुणांकों का हर युग्म दोनों बहुपदों में से ठीक एक में परिवर्तन उत्पन्न करता है, अतः $V + V' \leq 3 - z$ (शून्य मूल लुप्त होते अंतिम गुणांकों के रूप में दिखाई देते हैं)। तब $p + n = 3 - z \geq
V + V' \geq p + n$: समता, अतः ठीक $p = V$ — यानी अभिलक्षणिक मानों के चिह्न पढ़े जा सकते हैं। $\chi_A(\lambda)
= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ के लिए: चिह्न $+,-,-,-$ $V = 1$ देते हैं, और $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2
+ 9\lambda - 5$ के चिह्न $-,-,+,-$ हैं: $V' = 2$। चिह्नांक $(1,
2)$ — जो प्रश्न 6 के सटीक गुणनखंडन $\chi_A =
(\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ से संगत है।

**25.** कलनविधि: द्विघात भाग का प्रसामान्य लांबिक विकर्णन कीजिए (वर्णक्रमीय प्रमेय: यही एकमात्र [वैश्लेषिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#def-b2-powerseries-analytic) रूप से गहरा पग है, और यही वर्गीकरण को *यूक्लिडीय* बनाता है); केंद्रीय बनाम परवलयी प्रकार तय करने के लिए और जहाँ संभव हो वहाँ रैखिक भाग को स्थानांतरित करके हटाने के लिए $A\Omega = -b$ हल कीजिए ([आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) ज्यामिति); प्रकार को कोटि, चिह्नांक तथा अचर से पढ़िए (सिल्वेस्टर आश्वस्त करता है कि ये निश्चर हैं); और जब केवल [आनत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-subspace) प्रकार मायने रखता हो, तब [गाउस समानयन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#thm-b2-quadratic-gauss) दूरिक सूचना की क़ीमत पर वर्णक्रमीय प्रमेय की जगह ले लेता है। $\R^2$ में वही यंत्र शांकवों का वर्गीकरण करता है: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय, साथ ही रेखा-युग्म, कोई रेखा, कोई बिंदु, और रिक्त समुच्चय। $\R^n$ में लेखा-जोखा के सिवा कुछ नहीं बदलता: प्रकार $A$ के चिह्नांक, $\operatorname{im}A$ के सापेक्ष $b$ की स्थिति, तथा एक अचर से अनुक्रमित होते हैं — और $(A, b, c)$ का $(n{+}2)$-विमीय सीमांकित आव्यूह कोई संक्षिप्त निश्चर दे देता है।