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title: "प्रायिकता जनक फलन"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2"
subject: math
language: hi
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/23-probability-generating-functions
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# अध्याय 23 — प्रायिकता जनक फलन

[अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries) की घात श्रेणियाँ किसी प्रायिकतात्मक मिशन के साथ लौटती हैं: किसी $\N$-मान वाले [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) से हम गुणांकों $\P(X = n)$ वाली घात श्रेणी जोड़ देते हैं। यह *[जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)* [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) चरों के योगों को गुणनफलों में, आघूर्णों को $1$ पर अवकलजों में, और कठिन साहचर्यिक सर्वसमिकाओं को एक-पंक्ति के गुणनों में बदल देता है। अध्याय पुस्तक को दो प्रदर्शनों के साथ बंद करता है: विरल [घटनाओं](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) का प्वासों सन्निकटन, और शाखन प्रक्रमों की विलोपन कसौटी — सचमुच अपरिमित एक प्रायिकतात्मक परिकलन, जो पूरी तरह किसी उत्तल वक्र की ज्यामिति से हल हो जाता है।

## 23.1 परिभाषा और मूल गुणधर्म

**परिभाषा 23.1 (प्रायिकता जनक फलन).**

मान लीजिए $X$ कोई $\N$-मान वाला [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) है, $p_n = \P(X = n)$। $X$ का *प्रायिकता जनक फलन* घात श्रेणी

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

का योग है।

**उदाहरण 23.2 (पहले प्रतिवर्त).**

किसी अचर चर $X = c$ का $G_X(t) = t^c$ होता है; किसी खिसकाव के लिए $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; और विशेष बिंदुओं पर मूल्यांकन बिना किसी प्रसार के सूचना पढ़ लेता है: $G_X(0) = \P(X
= 0)$, $G_X(1) = 1$, तथा $G_X(-1) = \P(X\text{ सम}) -
\P(X\text{ विषम})$, अर्थात् वही सम-विषमता संतुलन जिसका [अभ्यास 23.10](#exo-b2-genfun-10) में उपयोग हुआ। ये एक-पंक्ति वाले तथ्य नीचे सर्वत्र चुपचाप बरते जाते हैं — और मूल्यांकन $G_X(0)$ ठीक वही है जिससे अध्याय के अंत में पुनरावृत्त जनक फलनों से विलोपन प्रायिकताएँ निकाली जाएँगी।

**प्रतिज्ञप्ति 23.3 (त्रिज्या और पहले गुणधर्म).**

$G_X$ को परिभाषित करने वाली श्रेणी की [अभिसरण त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#def-b2-powerseries-radius) $\geq 1$ है; $G_X$ $\intcc{-1}{1}$ पर परिभाषित तथा [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है, $\intoo{-1}{1}$ पर $\mathcal{C}^\infty$ है, जहाँ $G_X(1) = 1$ तथा $\abs{G_X(t)} \leq 1$। इसके अतिरिक्त $G_X$ $X$ का [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) निर्धारित कर देता है:

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**उपपत्ति.** चूँकि $\sum p_n = 1$ अभिसरित होता है, पद $p_n\,1^n$ परिबद्ध हैं, अतः त्रिज्या $\geq 1$ है (आबेल की प्रमेयिका, [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)); $t = \pm1$ पर श्रेणी निरपेक्षतः अभिसरित होती है ($\sum p_n = 1$ प्रभुत्व करता है); और इससे भी बेहतर, पूरे अंतराल $\intcc{-1}1$ पर

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{जहाँ}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

अर्थात् श्रेणी $\intcc{-1}1$ पर *प्रसामान्य* रूप से अभिसरित होती है, इसलिए उसका योग वहाँ [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है (प्रमेय [10.16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-weierstrass) और [10.4](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-continuity))। भीतर की चिकनाई तथा गुणांक सूत्र घात श्रेणियों का सामान्य सिद्धांत है; और गुणांक पुनः प्राप्य होने के कारण एक ही [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) वाले दो चरों का [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) एक ही होता है। ∎

**उदाहरण 23.4 (शास्त्रीय नियम).**

- बर्नूली $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ ।
- द्विपद $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (द्विपद प्रमेय)।
- ज्यामितीय $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (त्रिज्या $\frac{1}{1-p} > 1$ )।
- प्वासों $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (त्रिज्या $\infty$ )।

**उदाहरण 23.5 (जनक फलन का समाकलन).**

$1$ पर $G_X$ के अवकलज धनात्मक आघूर्ण देते हैं; *समाकल* कोई ऋणात्मक आघूर्ण देता है। $\int_0^1t^k\dd t
= \frac1{k+1}$ तथा पद-दर-पद समाकलन ($\intcc01$ पर प्रसामान्य अभिसरण) से:

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

$X \sim \mathcal P(\lambda)$ के लिए:

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

जिससे [उदाहरण 22.10](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#ex-b2-randomvar-transferex) का श्रेणी-परिकलन एक पंक्ति में पुनः मिल जाता है। [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) दोतरफ़ा यंत्र है: आघूर्णों $\E(X)$, $\E(X(X-1))$ के लिए $1$ पर अवकलन कीजिए, $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ के लिए $\intcc01$ पर समाकलन — एक ही [वैश्लेषिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#def-b2-powerseries-analytic) वस्तु, जिससे उसी दिशा में पूछा जाता है जिसमें समस्या को चाहिए।

**उदाहरण 23.6 (ठीक एक त्रिज्या वाला कोई नियम).**

मान लीजिए $k \geq 1$ के लिए $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ — जो बासेल सर्वसमिका ([उदाहरण 14.12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/14-fourier-series#ex-b2-fourier-basel)) से कोई प्रायिकता [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) है। उसके [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ की [अभिसरण त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#def-b2-powerseries-radius) ठीक $1$ है: अर्थात् [प्रतिज्ञप्ति 23.3](#prop-b2-genfun-radius) का व्यापक परिबंध “त्रिज्या $\geq
1$” सुधारा नहीं जा सकता। और माध्य

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

है। $G$ $\intcc{-1}1$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है, भीतर चिकना, पर उसका अवकलज $1^-$ पर फट पड़ता है — ग्राफ़ बिंदु $(1, 1)$ पर किसी ऊर्ध्वाधर स्पर्शी के साथ पहुँचता है। भारी पुच्छ [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) पर, अकेले बिंदु $t = 1$ पर, *ज्यामितीय रूप से* दिख जाती हैं; और नीचे दी आघूर्ण प्रमेय इस संगति को ठीक-ठीक बना देती है।

**प्रमेय 23.7 (जनक फलन से आघूर्ण).**

$X$ की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation) विद्यमान है तभी जब $G_X$ $1^-$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) हो (बायाँ अवकलज, परिमित), और तब $\E(X) = G_X'(1)$। इसी प्रकार $X$ द्वितीय आघूर्ण रखता है तभी जब $G_X$ $1^-$ पर दो बार [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) हो, और तब

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**उपपत्ति.** $t \in \intoo{0}{1}$ के लिए चक्रिका के भीतर पद-दर-पद अवकलन $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$ देता है, जो अऋणात्मक गुणांकों वाली कोई श्रेणी है: अतः $t \mapsto G_X'(t)$ $\intoo{0}{1}$ पर अनह्रासमान है, और आंशिक योगों के एकदिष्ट अभिसरण से (या अऋणात्मक गुणांकों के लिए आबेल की प्रमेय, [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)),

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

जहाँ हर पक्ष ठीक तभी परिमित है जब दूसरा परिमित हो। परिमित होने पर माध्यमान प्रमेय अंतर-भागफलों $\frac{G_X(1) -
G_X(t)}{1 - t}$ को $G_X'$ के मानों के बीच दबा देती है, अतः $G_X$ $1^-$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) है और $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (अंतरण से)। द्वितीय-कोटि का कथन उसी तर्क को एक स्तर ऊपर दोहराता है: $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ $\intoo01$ पर अनह्रासमान है और उसकी एकदिष्ट सीमा $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$ है, जो ठीक तभी परिमित है जब $X$ द्वितीय आघूर्ण रखता हो। [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-variance) सूत्र फिर कोनिग–हाइगेंस से निकलता है:

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**उदाहरण 23.8.**

प्वासों: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, अतः $\E(X) = \lambda$; $G''(1) = \lambda^2$, अतः $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 =
\lambda$ — अर्थात् [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar) के परिकलन, हर एक एक पंक्ति में।

**उदाहरण 23.9 (किसी प्वासों नियम का बहुलक).**

$X \sim \mathcal
P(\lambda)$ के लिए $\P(X = k)$ कहाँ सबसे बड़ा है? क्रमागत भार अनुपात

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

के द्वारा तुलनीय हैं, जो $k < \lambda - 1$ रहने तक $1$ से अधिक है और $k > \lambda - 1$ होते ही $1$ से नीचे गिर जाता है: अर्थात् भार पहले चढ़ते हैं फिर गिरते हैं, और बहुलक $\floor\lambda$ है ($\lambda$ पूर्णांक होने पर $\lambda - 1$ तथा $\lambda$ के बीच बराबरी: $\lambda = 3$ के लिए $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$)। गुणांकों पर अनुपात परीक्षण प्रायः किसी विविक्त [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) के गुणात्मक तथ्यों तक पहुँचने का सबसे तेज़ रास्ता होते हैं — किसी [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) की ज़रूरत नहीं, पर गुणांक तो [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) ही *हैं*, पद-दर-पद पढ़े हुए।

## 23.2 स्वतंत्र चरों के योग

**प्रमेय 23.10 (गुणनात्मकता).**

यदि $X$ तथा $Y$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) $\N$-मान वाले [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) हों, तो

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

और आगमन से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) $X_1, \dots, X_n$ के लिए $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$।

**उपपत्ति.** दो उपपत्तियाँ, दोनों शिक्षाप्रद। *प्रत्याशाओं के द्वारा:* $t^X$ तथा $t^Y$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) परिबद्ध चर हैं, अतः ([प्रमेय 22.11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*कोशी गुणनफलों के द्वारा:* $X + Y$ का [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) संवलन $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$ है, और निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों के लिए [कोशी गुणनफल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini) प्रमेय ([अध्याय 7](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)) दोनों घात श्रेणियों को ठीक इसी संवलन के अनुदिश गुणा कर देती है। ∎

**उदाहरण 23.11 (शास्त्रीय नियमों की स्थिरता).**

एक ही $p$ वाले [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) द्विपद जुड़ जाते हैं: $(1 - p + pt)^m(1 -
p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$, अतः $\mathcal{B}(m, p) +
\mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — विशेष रूप से $n$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) बर्नूली चरों का योग द्विपद है, जिससे सफलताओं की संख्या का [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) फिर सिद्ध हो जाता है। [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) प्वासों भी जुड़ जाते हैं: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$, अतः $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda +
\mu)$ — यानी [अभ्यास 22.2](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#exo-b2-randomvar-2) का संवलन-परिकलन, अब बिना किसी परिकलन के।

**उदाहरण 23.12 (दो पासे, एक बहुपद का वर्ग).**

एक निष्पक्ष पासे के लिए $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$; और दोनों के योग के लिए

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

अर्थात् पासा-योगों का त्रिभुजीय [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) ($7$ बहुलक है, प्रायिकता $\frac6{36} = \frac16$ के साथ), जो किसी बहुपद के वर्ग से पढ़ लिया जाता है — और उस वर्ग को जीवन में एक ही बार खोलना पड़ता है। संवलन सूत्र से ग्यारह अलग-अलग गणना-तर्क चाहिए होते; [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) उन्हें एक साथ कर देता है, क्योंकि बहुपदों को गुणा करना गुणांकों का संवलन *ही है*। यह यांत्रिक अनुवाद — नियमों से गुणांक, योगों से गुणनफल — इस अध्याय का पूरा व्यापार-प्रतिरूप है, और [अभ्यास 23.11](#exo-b2-genfun-11) उसे चौंकाने वाले सिशरमान पासों तक धकेल देता है।

**उदाहरण 23.13 (तीन पासे और एक गुणांक निष्कर्षण).**

तीन निष्पक्ष पासों के योग $S$ के लिए $\P(S = 10)$ $\bigl(\frac{t + \dots +
t^6}6\bigr)^3$ में $t^{10}$ का गुणांक है। गुणनखंडन कीजिए और द्विपद तथा ज्यामितीय श्रेणी से प्रसार कीजिए:

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

$t^{10}$ के गुणांक के लिए गुणनफल से $t^7$ चाहिए: पद $1$ के साथ $j = 7$, और पद $-3t^6$ के साथ $j = 1$:

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

$27$ त्रिकों की सीधी गणना भूल-भरी है; बीजगणित यांत्रिक है और किसी भी संख्या के पासों तक फैल जाता है — $(1 - t^6)^3$ में दिखता समावेश–अपवर्जन स्थिति-विश्लेषण अपने आप कर रहा है।

**उदाहरण 23.14 (किसी नियम को उसके जनक फलन से पढ़ना).**

किस [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) का $G(t) = \dfrac1{2 - t}$ है? घात श्रेणी में प्रसार कीजिए:

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

अऋणात्मक गुणांक $G(1) = 1$ तक जुड़ते हैं, अतः यह सचमुच कोई [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) है, $\N$ पर $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ — यानी $0$ से शुरू होने वाला कोई ज्यामितीय [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law)। अद्वितीयता ([प्रतिज्ञप्ति 23.3](#prop-b2-genfun-radius)) से कोई दूसरा [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) यह $G$ साझा नहीं करता। जनक फलनों से [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) पहचानना अभ्यास [योग्य](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) कौशल है: सप्ताहांत समस्या का क्रांतिक शाखन पुनरावर्त $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ इसी तरह उत्तरजीविता पर प्रतिबंधित किसी ज्यामितीय [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) के रूप में उघड़ता है।

**टिप्पणी 23.15.**

स्थिरता एक ही दिशा में चलती है: [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) प्वासों के योग प्वासों होते हैं, पर अंतर नहीं — $X - Y$ ऋणात्मक मान लेता है, अतः उसका कोई [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) है ही नहीं, और उसका [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) (स्केलम [बंटन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law)) इस अध्याय की औज़ार-पेटी से बाहर पड़ता है। इसी प्रकार $p \neq p'$ वाला $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ द्विपद *नहीं* है: गुणनफल $(1 - p +
pt)^m(1 - p' + p't)^n$ के मूलों के दो भिन्न स्थान हैं, जबकि हर द्विपद [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) का एक ही पुनरावृत्त मूल होता है। मूल-प्रतिरूपों से स्थिरता पढ़ लेना इस बात की छोटी-सी झलक है कि बहुपद कितनी संरचना समेटे रहता है।

**टिप्पणी 23.16 (एकत्व-मूल छननी).**

$-1$ पर मूल्यांकन सम को विषम से अलग करता है; सारे $m$-वें एकत्व-मूलों पर मूल्यांकन हर अवशेष वर्ग को अलग कर देता है: $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$ के साथ

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

क्योंकि $j$ पर $\omega^{j(k-r)}$ का औसत लेने पर $k
\equiv r$ होने पर $1$ मिलता है और अन्यथा $0$। नमूना लाभांश: दो निष्पक्ष पासों के योग $S$ के लिए $j \neq 0$ हेतु हर $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6
\omega^{jk} = -\frac16$ (सातों सातवें एकत्व-मूलों का योग शून्य है), अतः

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

जो [उदाहरण 23.12](#ex-b2-genfun-twodice) की गिनती की पुष्टि करता है — और यह विधि उन प्रश्नों तक भी फैलती है जहाँ सीधी गणना नहीं फैलती।

**प्रमेय 23.17 (यादृच्छिक योग: जनक फलनों के लिए वाल्ड की सर्वसमिका).**

मान लीजिए $(X_k)_{k\geq1}$ एक ही [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) तथा [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$ वाले [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) $\N$-मान चर हैं, और $N$ कोई $\N$-मान वाला चर है जो $X_k$ से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) है, जिसका [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_N$ है। तब यादृच्छिक योग $S = X_1 + \dots + X_N$ ($N = 0$ होने पर $S = 0$) का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

है। विशेष रूप से, यदि $N$ तथा $X_1$ की प्रत्याशाएँ विद्यमान हों, तो $\E(S) =
\E(N)\,\E(X_1)$।

**उपपत्ति.** $N$ पर प्रतिबंधित कीजिए (पूर्ण प्रायिकता, [प्रमेय 21.14](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-bayes)): $\abs t \leq 1$ के लिए

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

जहाँ हर नियत $n$ के लिए गुणनात्मकता तथा पूरे द्विक कुल की योग्यता ($\abs{G_X(t)} \leq 1$) का उपयोग हुआ। योगों की अदला-बदली [योग्य](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) कुलों के लिए फ़ूबिनी ([अध्याय 7](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)) है। शृंखला नियम तथा [प्रमेय 23.7](#thm-b2-genfun-moments) से $1^-$ पर अवकलन करने पर: $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1)
= G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$। ∎

**उदाहरण 23.18 (संयुक्त प्वासों: वार्षिक बीमा-हानियाँ).**

कोई बीमाकर्ता वर्ष भर में $N \sim \mathcal P(\lambda)$ दावे पाता है, और हर दावे की क़ीमत $X_k$ है (पूर्णांक इकाइयाँ, [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) समरूप बँटे, [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, माध्य $\mu$, $N$ से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence))। [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) से कुल हानि $S$ का

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

है, और $1^-$ पर दो बार अवकलन करने पर:

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

[प्रसरण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-variance) में किसी अकेले दावे का *द्वितीय* आघूर्ण आता है, उसका [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-variance) नहीं: कोई संयुक्त प्वासों योग कभी-कभार आने वाले बड़े दावे को दो बार महसूस करता है — एक बार कितने के द्वारा, एक बार कितने बड़े के द्वारा। माध्य $2$ ($\E X^2 = 6$) वाले ज्यामितीय [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) के $\lambda = 10$ दावों के लिए: $\E S = 20$, $V(S) = 60$, और चेबिशेव ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar)) पहले ही काम लायक़ शोधन-क्षमता सीमांत दे देती है। यह “यादृच्छिक रूप से रोका गया योग” प्रतिरूप वही है जो [प्रतिज्ञप्ति 23.23](#prop-b2-genfun-branching) की शाखन-पुनरावृत्ति चलाएगा: जनक फलनों का संयोजन यादृच्छिक जनसंख्याओं का बीजगणित है।

**टिप्पणी 23.19.**

$N$ का पदों से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) होना सजावट नहीं है। बराबर प्रायिकताओं के साथ $X_k \in \{0, 2\}$ लीजिए और $N =
X_1$ रखिए (जो खुलेआम परतंत्र है): तब $S = X_1 + \dots + X_N$ $X_1 = 0$ होने पर $0$ है, और $X_1 = 2$ होने पर $2 + X_2$, अतः $\E(S) =
\frac12(2 + 1) = \frac32$, जबकि $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 =
1$: यानी वाल्ड की सर्वसमिका विफल हो जाती है। जब पदों की संख्या को स्वयं पदों पर *प्रतिक्रिया* करने की छूट मिल जाती है, तब स्वच्छ गुणनफल संरचना ढह जाती है — ऐसे “रोकन” नियमों का पूरा सिद्धांत वर्ष 3 के खंड का मार्टिंगेल अध्याय है।

## 23.3 प्वासों सन्निकटन

**प्रमेय 23.20 (विरल घटनाओं का नियम).**

मान लीजिए $n\,p_n \to \lambda > 0$ वाला $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ है। तब हर $k \in \N$ के लिए:

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

अर्थात् बहुत-सी विरल [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) [घटनाओं](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) का द्विपद [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) प्राचल $\lambda$ के प्वासों [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) तक अभिसरित होता है।

**उपपत्ति.** $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$, $\lambda_n
\to \lambda$ के साथ सीधा परिकलन:

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

$k$ नियत रखकर $n \to \infty$ होने पर: पहला गुणक $1$ की ओर जाता है ($\to 1$ वाले $k$ गुणकों का गुणनफल); $\lambda_n^k \to \lambda^k$; और $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} =
\exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to
e^{-\lambda}$, क्योंकि $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)
\sim -\lambda_n \to -\lambda$ ([अध्याय 6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison))। वैकल्पिक रूप से, जनक फलनों के स्तर पर: हर नियत $t \in [0, 1]$ के लिए $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ — अर्थात् जनक फलनों का अभिसरण, जो ($\N$-मान वाले चरों के लिए) हर $\P(X_n = k)$ के अभिसरण के तुल्य है; देखिए [अभ्यास 23.9](#exo-b2-genfun-9)। ∎

**टिप्पणी 23.21.**

इसीलिए प्वासों [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) विरल [घटनाओं](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) की गिनतियों का प्रतिरूप बनते हैं — प्रति पृष्ठ मुद्रण-दोष, प्रति सेकंड रेडियोसक्रिय क्षय, किसी चौराहे पर प्रति दिन दुर्घटनाएँ: हर अवसर लगभग नगण्य है, अवसर बहुत हैं, और सीमा में केवल माध्य दर $\lambda$ बची रहती है।

**उदाहरण 23.22 (प्वासों सीमा को अभिसरित होते देखना).**

$\lambda = 2$ स्थिर कीजिए और $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$ लीजिए। किसी [घटना](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) के न होने की प्रायिकता ठीक $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$ है:

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

सीमा $\eu^{-2} \approx 0.135$ के सामने। अभिसरण एकदिष्ट है और चाल $O(1/n)$ की — प्रसार करने पर $(1 -
2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — अतः सैकड़ों में $n$ के लिए प्वासों प्रतिरूप पहले ही तीसरे अंक तक सटीक है। विरल [घटनाओं](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) के [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) का व्यावहारिक सार यही है: प्रतिरूपकार $n$ तथा $p$ को अलग-अलग कभी नहीं जानता (किसी पृष्ठ में मुद्रण-दोष के कितने सूक्ष्म अवसर होते हैं?), केवल उनका गुणनफल $\lambda$ जानता है, और सीमा नियम कृपापूर्वक और किसी चीज़ पर निर्भर नहीं करता।

## 23.4 शाखन प्रक्रम

एक पूर्वज से शुरू होने वाली किसी जनसंख्या पर विचार कीजिए; हर व्यक्ति के, [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) रूप से, [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k
\in \N}$ तथा [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ (*संतति [बंटन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law)*) वाली यादृच्छिक संख्या में बच्चे होते हैं। मान लीजिए $Z_n$ पीढ़ी $n$ का आकार है ($Z_0 =
1$), और $m = G'(1) = \E(Z_1)$ माध्य संतति-संख्या।

**प्रतिज्ञप्ति 23.23.**

$Z_n$ का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $n$-वाँ पुनरावर्त $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ है ($n$ बार), और विलोपन प्रायिकताएँ $q_n = \P(Z_n = 0)$ पूरा करती हैं

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

तथा बढ़कर अंततः विलोपन की प्रायिकता $q$ तक जाती हैं, जो $G$ का कोई अचल बिंदु है।

**उपपत्ति.** पीढ़ी $n + 1$ पीढ़ी $n$ के $Z_n$ सदस्यों की संतति का यादृच्छिक योग है, जहाँ गिनतियाँ एक-दूसरे से तथा $Z_n$ से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) हैं: [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) $G_{Z_{n+1}} =
G_{Z_n} \circ G$ देता है, और $G_{Z_0}(t) = t$ से आगमन $n$-गुना पुनरावर्त दे देता है — जिसे, संयोजन की साहचर्यता से, समान रूप से $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$ भी पढ़ा जा सकता है। इस दूसरे रूप का $0$ पर मूल्यांकन: $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) =
G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$। घटनाएँ $\{Z_n = 0\}$ बढ़ती हैं (विलुप्त जनसंख्या विलुप्त ही रहती है), अतः एकदिष्ट संततता ([प्रमेय 21.6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-continuity)) से $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$, और $[0, 1]$ पर $G$ की संततता सीमा में $q_{n+1} = G(q_n)$ को $q =
G(q)$ में बदल देती है। ∎

**उदाहरण 23.24 (विलोपन को अभिसरित होते देखना).**

[उदाहरण 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample) के संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14,
\tfrac14, \tfrac12)$ के लिए $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$, और पुनरावृत्ति $q_{n+1} = G(q_n)$ देती है

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

जो विलोपन प्रायिकता $q = \tfrac12$ की ओर चढ़ता है। अंतराल $q - q_n$ ये हैं: $0.25$, $0.156$, $0.105$, $0.073$, $0.052$: हर एक पिछले का लगभग $\tfrac34$ है, और वस्तुतः माध्यमान प्रमेय $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$ के साथ $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q
- q_n)$ दे देती है। दो सीख: पीढ़ी $n$ पर अब भी जीवित किसी वंश की, उसी परिकलन में अंतर्निहित, बाद में मरने की प्रायिकता $q - q_n$ है; और नीचे के चित्र में सीढ़ी की अभिसरण दर अचल बिंदु पर अवकलज है — सप्ताहांत समस्या दोनों प्रेक्षणों को प्रमेयों में बदल देती है।

**प्रमेय 23.25 (विलोपन कसौटी).**

मान लीजिए $p_1 \neq 1$। विलोपन प्रायिकता $q$ $\intcc{0}{1}$ में $G$ का *सबसे छोटा* अचल बिंदु है, और:

- यदि $m \leq 1$ (अवक्रांतिक या क्रांतिक), तो $q = 1$ : विलोपन निश्चित है;
- यदि $m > 1$ (अधिक्रांतिक), तो $q < 1$ : जनसंख्या धनात्मक प्रायिकता $1 - q$ के साथ सदा जीवित रहती है।

**उपपत्ति.** $G$ $\intcc{0}{1}$ पर [उत्तल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-convex) है (अऋणात्मक गुणांकों वाली घात श्रेणी: $G'' \geq 0$), अनह्रासमान है, और $G(1) = 1$।

*सबसे छोटा अचल बिंदु:* मान लीजिए $r \in \intcc{0}{1}$ कोई अचल बिंदु है। तब $q_0 = 0 \leq r$, और आगमन से (एकदिष्टता से) $q_{n+1} = G(q_n)
\leq G(r) = r$: अतः $q = \lim q_n \leq r$।

*स्थिति $m \leq 1$:* मान लीजिए $r < 1$ कोई अचल बिंदु है। $[r, 1]$ पर माध्यमान प्रमेय से ऐसा $c \in \intoo{r}{1}$ है कि $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$। पर $G'$ अनह्रासमान है (उत्तलता), जहाँ $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m
\leq 1$, अतः $\intoo{0}{1}$ पर $G' \leq 1$; और तब समता $G'(c) =
1$ $G'$ को $\intco{c}{1}$ पर $1$ के बराबर अचर होने पर बाध्य कर देती है, इसलिए वहाँ $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$। जिस अऋणात्मक-गुणांक घात श्रेणी के सारे गुणांक किसी अंतराल पर लुप्त हों उसके ये सारे गुणांक शून्य होते हैं: $n \geq 2$ के लिए $p_n = 0$, अतः $G(t) = p_0
+ p_1t$ तथा $1 = G'(c) = p_1$ — जो परिकल्पना $p_1 \neq 1$ के विरुद्ध है। अतः $1$ अकेला अचल बिंदु है: $q = 1$।

*स्थिति $m > 1$:* $1$ के निकट $G(t) - t$ का अवकलज $t \to 1^-$ होने पर $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ है, अतः किसी अंतराल $\intoo{1 - \delta}{1}$ पर $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$: [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) फलन $G(t) - t$ $t = 0$ पर $\geq 0$ है ($G(0) = p_0 \geq 0$) और $1$ से ठीक नीचे $< 0$, अतः वह किसी $r < 1$ पर लुप्त हो जाता है (मध्यमान प्रमेय)। तब सबसे छोटा अचल बिंदु $q \leq r < 1$ है। ∎

![q_0 = 0 से शुरू होने वाली अचल-बिंदु पुनरावृत्ति q_n+1 = G(q_n) के रूप में विलोपन प्रायिकताएँ (लाल सीढ़ी)। बाएँ: कोई अवक्रांतिक संतति नियम — उत्तल वक्र विकर्ण के ऊपर बना रहता है, और पुनरावृत्ति चढ़कर अद्वितीय अचल बिंदु 1 तक जाती है। दाएँ: कोई अधिक्रांतिक नियम — वक्र विकर्ण को q < 1 पर काटता है, जहाँ पुनरावृत्ति रुक जाती है: उत्तरजीविता की प्रायिकता 1 - q > 0 है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-b000951f5d4d.svg)

![q_0 = 0 से शुरू होने वाली अचल-बिंदु पुनरावृत्ति q_n+1 = G(q_n) के रूप में विलोपन प्रायिकताएँ (लाल सीढ़ी)। बाएँ: कोई अवक्रांतिक संतति नियम — उत्तल वक्र विकर्ण के ऊपर बना रहता है, और पुनरावृत्ति चढ़कर अद्वितीय अचल बिंदु 1 तक जाती है। दाएँ: कोई अधिक्रांतिक नियम — वक्र विकर्ण को q < 1 पर काटता है, जहाँ पुनरावृत्ति रुक जाती है: उत्तरजीविता की प्रायिकता 1 - q > 0 है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-126f02aa14b3.svg)

***आकृति 23.1.** $q_0 = 0$ से शुरू होने वाली अचल-बिंदु पुनरावृत्ति $q_{n+1} = G(q_n)$ के रूप में विलोपन प्रायिकताएँ (लाल सीढ़ी)। बाएँ: कोई अवक्रांतिक संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) — उत्तल वक्र विकर्ण के ऊपर बना रहता है, और पुनरावृत्ति चढ़कर अद्वितीय अचल बिंदु $1$ तक जाती है। दाएँ: कोई अधिक्रांतिक [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) — वक्र विकर्ण को $q < 1$ पर काटता है, जहाँ पुनरावृत्ति रुक जाती है: उत्तरजीविता की प्रायिकता $1 -
q > 0$ है।*

**टिप्पणी 23.26 (मकड़जाल कैसे पढ़ें).**

चित्र में कोई ऊर्ध्वाधर चाल $G$ लगाती है ($(q_n, q_n)$ से ऊपर $(q_n, G(q_n))$ तक), और विकर्ण तक कोई क्षैतिज चाल निर्गत को निवेश में बदल देती है: सीढ़ी पुनरावृत्ति $q_{n+1} = G(q_n)$ *ही है*। $G$ की उत्तलता तथा $G(1) = 1$ केवल दो ज्यामितियाँ छोड़ते हैं। या तो वक्र $\intco01$ पर विकर्ण के ऊपर बना रहता है (माध्य $m \leq 1$): तब सीढ़ी को $1$ से पहले कहीं रुकने की जगह नहीं। या वक्र किसी $q <
1$ पर काटता है ($m > 1$): तब सीढ़ी उस कटान के नीचे फँस जाती है और उसी तक अभिसरित होती है, गुणोत्तर दर $G'(q) < 1$ से, जिसे [उदाहरण 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics) में परिमाणित किया गया है। विलोपन प्रमेय का सारा विश्लेषण इसी एक चित्र में दिख जाता है — और इसीलिए परिकलन से पहले उसे खींच लेना सार्थक है।

**उदाहरण 23.27.**

संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law): प्रायिकताओं $\frac14, \frac14, \frac12$ के साथ कोई बच्चा नहीं, एक बच्चा, दो बच्चे। तब $m = \frac14 + 1 =
\frac54 > 1$ और $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$। अचल बिंदु: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$, अर्थात् $2t^2 - 3t
+ 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$: $q = \frac12$। वंश प्रायिकता $\frac12$ के साथ मिट जाता है — और प्रायिकता $\frac12$ के साथ वह सदा जीवित रहता है।

**टिप्पणी 23.28 (इस खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य).**

यह अध्याय पुस्तक का चौराहा है, और हर सामग्री किसी नामित जगह से आई है: श्रेणी-बीजगणित [अध्याय 7](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series) तथा [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries) से, प्रायिकता [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba) से (एकदिष्ट संततता $q_n \uparrow q$ सिद्ध करती है) तथा [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar) से ($G_X =
\E(t^X)$ कोई [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation) है, और गुणनात्मकता गुणनफल प्रमेय है), उत्तलता [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#ch-b2-affine) के द्वारा [अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun) से। भारी पुच्छ वाली विसंगतियाँ भी जुड़ती हैं: पिछले अध्याय के सेंट पीटर्सबर्ग चर का $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$ है, जो $\intcc01$ पर पूरी तरह अभिसारी कोई श्रेणी है पर जिसका $1^-$ पर अवकलज अपसरित हो जाता है — अपरिमित माध्य, एक ही नज़र में दिखता हुआ। एक वस्तु, और वर्ष भर का हर औज़ार: अंतिम अध्याय के लिए उपयुक्त।

**टिप्पणी 23.29 (सामान्य चूकें).**

(क) [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) केवल $\N$-मान वाले चरों पर लागू होते हैं: चिह्नित या अपूर्णांक चरों के लिए वस्तु $\E(t^X)$ अपनी घात-श्रेणी संरचना खो देती है (वर्ष 3 उसकी जगह $\R$ के अनुकूल रूपांतरण रख देता है)। (ख) किसी भी परिकलित $G$ की पहली विश्वसनीयता जाँच $G(1) = 1$ है; दूसरी यह कि गुणांक अऋणात्मक हों — कोई ऋणात्मक गुणांक बीजगणित की फिसलन का अर्थ रखता है, किसी नए [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) का नहीं। (ग) यादृच्छिक योगों में संयोजन का क्रम मायने रखता है: $G_S = G_N \circ G_X$, जहाँ *बाहरी* फलन पदों की गिनती करता है; दूसरी तरह संयोजन करना निरर्थक है ($G_X \circ G_N$ वस्तुओं की वस्तुएँ गिनता)। (घ) गुणनात्मकता को स्वतंत्रता तथा यादृच्छिकता के भिन्न स्रोत चाहिए: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$, $G_X(t)^2$ नहीं। (ङ) $1$ पर अवकलन कोई सीमांत संक्रिया है: जब त्रिज्या ठीक $1$ हो, जैसा [उदाहरण 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail) में, तब $G'(1^-)$ अपरिमित हो सकता है, और आघूर्ण प्रमेय का एकदिष्ट-सीमा वाला सूत्रीकरण कोई पंडिताऊ नफ़ासत नहीं, बल्कि ईमानदार कथन है।

## खंड का समापन

[जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) इस पुस्तक की अंतिम वस्तु के रूप में उपयुक्त है: वह एक साथ कोई घात श्रेणी है ([अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)), [योग्य](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) कुलों का कोई औज़ार ([अध्याय 7](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)), कोई [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation) ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar)), कोई उत्तल फलन जिसकी ज्यामिति विलोपन तय करती है ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun)), और कोई अचल-बिंदु पुनरावृत्ति ([अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric))। वर्ष 2 का गणित एक ही विषय है। वर्ष 3 का खंड वे दरवाज़े खोलेगा जो यहाँ जान-बूझकर बंद छोड़े गए हैं: लेबेग समाकलन ([अध्याय 9](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/9-integration#ch-b2-integration) की प्रभावी अभिसरण प्रमेय चुकाते हुए), अगणनीय समष्टियों पर माप-सैद्धांतिक प्रायिकता, और अवकल ज्यामिति के परिवेश में प्रतिलोम फलन प्रमेय की पूरी उपपत्ति ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc))।

## 23.5 अभ्यास

**अभ्यास 23.1 ★.**

$\{1, 2,
\dots, 6\}$ पर एकसमान [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) (किसी निष्पक्ष पासे) का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) परिकलित कीजिए। दिखाइए कि दो निष्पक्ष पासों का योग $\{2, \dots, 12\}$ पर एकसमान नहीं हो *सकता*: $G_{X+Y}$ का गुणनखंडन कीजिए और मूल गिनिए। *(एकसमान योग $G_X(t)G_Y(t) =
\frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$ को बाध्य कर देता, जिसके अशून्य मूल $1$ के अतिरिक्त $11$-वें एकत्व-मूल हैं — और उनमें से कोई वास्तविक नहीं — जबकि $G_X/t$ तथा $G_Y/t$ घात $5$ के वास्तविक बहुपद हैं, और हर एक के पास कम से कम एक वास्तविक मूल है।)*

**हल — अभ्यास 23.1.**

निष्पक्ष पासा: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t
+ \dots + t^5)$। यदि दो निष्पक्ष पासों का योग $\{2, \dots, 12\}$ पर एकसमान होता, तो

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

अब $h$ विषम घात $5$ का वास्तविक बहुपद है, अतः उसका कोई वास्तविक मूल है (मध्यमान प्रमेय; मूर्त रूप में $h(-1) = 0$), इसलिए $h^2$ का कोई वास्तविक मूल है। पर $\sum_{k=0}^{10}t^k$ का कोई नहीं है: वह $t \geq 0$ के लिए धनात्मक है, और $t < 0$ के लिए वह $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$ के बराबर है, जो दो ऋणात्मक संख्याओं का विभाग है। विरोधाभास — अर्थात् दो निष्पक्ष पासों का योग कभी एकसमान नहीं होता (जैसा पासा-योगों का जाना-पहचाना त्रिभुजीय [बंटन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) पुष्ट करता है)।

**अभ्यास 23.2 ★.**

जनक फलनों का उपयोग करते हुए द्विपद तथा ज्यामितीय नियमों के लिए $\E$ तथा $V$ पुनः प्राप्त कीजिए ([प्रमेय 23.7](#thm-b2-genfun-moments))।

**हल — अभ्यास 23.2.**

*द्विपद:* $G(t) = (1 - p + pt)^n$, $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$, $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$, अतः

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*ज्यामितीय* ($q = 1 - p$): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$, अतः $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ तथा $G''(t) = \frac{2pq}{(1 -
qt)^3}$; $t = 1$ पर ($1 - q = p$ बरतकर):

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

जो कम मेहनत के साथ [अभ्यास 22.1](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#exo-b2-randomvar-1) से मेल खाता है।

**अभ्यास 23.3 ★.**

दो भारित पासे: क्या दो पासों को इस तरह भारित करना ([स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) रूप से, समान रूप से या नहीं) संभव है कि उनका योग $\{2, \dots,
12\}$ पर एकसमान हो? *(वही गुणनखंडन-अवरोध जो [अभ्यास 23.1](#exo-b2-genfun-1) में है: उत्तर नहीं है, भिन्न भारण के साथ भी, क्योंकि हर गुणनखंड $G_X(t)/t$ की घात $5$ विषम है, अतः उसका कोई वास्तविक मूल है, जबकि लक्ष्य के पास कोई नहीं।)*

**हल — अभ्यास 23.3.**

नहीं, भिन्न भारण के साथ भी नहीं। मान लीजिए $X, Y$ $\{1, \dots, 6\}$ पर ऐसे [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) हैं जिनका योग एकसमान है। तब $G_X(t) = t\,a(t)$ तथा $G_Y(t) = t\,b(t)$, जहाँ $a, b$ *अधिक से अधिक* घात $5$ के वास्तविक बहुपद हैं — और उनकी घातें जुड़कर $10$ बननी ही चाहिए (योग $12$ तक धनात्मक प्रायिकता के साथ पहुँचता है), अतः $\deg a = \deg b = 5$, और दोनों विषम। [अभ्यास 23.1](#exo-b2-genfun-1) की तरह,

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

बाएँ पक्ष पर कोई वास्तविक मूल बाध्य कर देता (हर विषम-घात वास्तविक बहुपद के पास एक होता है) और दाएँ पक्ष पर कोई नहीं। अतः दो [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) पासों का कोई भी भारण — बराबर हो या न हो — एकसमान योग उत्पन्न नहीं करता।

**अभ्यास 23.4 ★★.**

मान लीजिए $X_1, X_2, \dots$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) बर्नूली $\mathcal{B}(p)$ हैं और $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ उनसे [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) है। [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) के द्वारा दिखाइए कि $S = X_1 + \dots + X_N
\sim \mathcal{P}(\lambda p)$: अर्थात् वस्तुओं की कोई प्वासों संख्या, जिनमें से हर एक प्रायिकता $p$ के साथ रखी जाए, कोई प्वासों संख्या ही छोड़ती है — यानी *विरलन*। छोड़ी गई गिनती का [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) भी परिकलित कीजिए और सराहिए: वह $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$ है, और दिखाया जा सकता है कि वह $S$ से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) है।

**हल — अभ्यास 23.4.**

$G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ तथा $G_X(t) = 1 - p + pt$ के साथ [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) से:

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$। छोड़ी गई गिनती $D = N - S$ उन्हीं वस्तुओं को गिनती है जो प्रायिकता $1 - p$ के साथ रखी गईं, अतः उसी परिकलन से $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$। स्वतंत्रता, सीधे: $j, k \in \N$ के लिए

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

जहाँ $q = 1 - p$: अर्थात् संयुक्त [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$ के रूप में गुणनखंडित हो जाता है। यादृच्छिक रूप से बाँटा गया कोई प्वासों प्रवाह *[स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence)* प्वासों प्रवाह देता है — एक छोटा चमत्कार, जिसका क़तार-सिद्धांत में लगातार उपयोग होता है।

**अभ्यास 23.5 ★★.**

(ऋणात्मक द्विपद) मान लीजिए $T_r$ $r$ चित्त पाने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या है (चित्त की प्रायिकता $p$)। $T_r$ को $r$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) ज्यामितीय चरों के योग के रूप में लिखिए, निकालिए

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

और $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$ ढूँढ़ने के लिए $G_{T_r}$ का प्रसार कीजिए।

**हल — अभ्यास 23.5.**

क्रमागत चित्तों के बीच प्रतीक्षा-समय [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) ज्यामितीय $\mathcal{G}(p)$ चर हैं (स्मृतिहीनता: हर चित्त के बाद खेल फिर से शुरू हो जाता है), अतः $T_r = W_1 + \dots + W_r$, और गुणनात्मकता ([प्रमेय 23.10](#thm-b2-genfun-product)) देती है

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$; [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-variance) स्वतंत्रता से जुड़ जाते हैं)। प्रसार: व्यापकीकृत द्विपद श्रेणी ([अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)) से $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0}
\binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$, अतः $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ में $t^n$ का गुणांक ($m = n - r$ के साथ)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

है — अर्थात् *ऋणात्मक द्विपद* [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law); और साहचर्यिक रूप से: $r$-वाँ चित्त उछाल $n$ पर तभी गिरता है जब पिछले $r - 1$ चित्त अपने स्थान पहले $n - 1$ उछालों में चुनें।

**अभ्यास 23.6 ★★.**

संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $p_0 = \frac18$, $p_1 = \frac38$, $p_2 =
\frac38$, $p_3 = \frac18$ के लिए: $m$ परिकलित कीजिए, अधिक्रांतिकता तय कीजिए, और विलोपन प्रायिकता $q$ ठीक-ठीक परिकलित कीजिए। *($G(t) - t$ का मूल $t = 1$ बाहर निकाल लीजिए।)*

**हल — अभ्यास 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$: अधिक्रांतिक। [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

है, अतः अचल बिंदु $(1 + t)^3 = 8t$ हल करते हैं, अर्थात् $t^3 + 3t^2 - 5t + 1
= 0$। आश्वस्त मूल $t = 1$ बाहर निकालने पर:

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

और $t^2 + 4t - 1 = 0$ $t = -2 \pm \sqrt5$ देता है। $\intco{0}{1}$ में मूल $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$ है: [प्रमेय 23.25](#thm-b2-genfun-extinction) से,

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(एक सुखद जाँच: संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $3$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) निष्पक्ष सिक्कों का [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) है, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$।)

**अभ्यास 23.7 ★★★.**

(कुल संतति) किसी अवक्रांतिक [शाखन प्रक्रम](#pb-b2-genfun-1) ($m < 1$) में मान लीजिए $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ अब तक जन्मे कुल व्यक्तियों की संख्या है। दिखाइए $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (योगों की अदला-बदली न्यायसंगत ठहराइए), और सिद्ध कीजिए कि [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ फलनिक समीकरण $H(t) = t\,G(H(t))$ पूरा करता है। *(पूर्वज, साथ में उसके हर बच्चे की कुल संतति, जो $Y$ की [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) प्रतिलिपियाँ हैं।)*

**हल — अभ्यास 23.7.**

*[प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation)।* पहले $\E(Z_n) = m^n$: [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) से $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$, और $\E(Z_0) = 1$। कुल $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ अऋणात्मक है, अतः कुलों के लिए फ़ूबिनी बिना किसी शर्त के लागू होती है:

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(विशेष रूप से $Y$ लगभग निश्चित रूप से परिमित है: जो अवक्रांतिक स्थिति में निश्चित विलोपन से संगत है)।

*फलनिक समीकरण।* जनसंख्या को पूर्वज के बच्चों के अनुसार अपघटित कीजिए: यदि पूर्वज के $Z_1 = k$ बच्चे हों, तो कुल संतति $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$ है, जहाँ $Y_i$ $i$-वें बच्चे के वंश की कुल संतति है — और $Y_i$ $Y$ की [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) प्रतिलिपियाँ हैं, जो $Z_1$ से [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) हैं (भिन्न वंश असंयुक्त, [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) प्रजनन-घटनाएँ बरतते हैं)। [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) की तरह $Z_1$ पर प्रतिबंधित करने पर:

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

जहाँ गुणक $t$ स्वयं पूर्वज का लेखा रखता है। (द्विआधारी शाखन के [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $p_0 = 1 - p$, $p_2 = p$ के लिए $H$ में यह द्विघात समीकरण स्पष्ट रूप से हल और प्रसारित किया जा सकता है — [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries) की [कातालान संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-catalan) कुल-वृक्ष गिनती हैं।)

**अभ्यास 23.8 ★★★.**

मान लीजिए $X$ का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ है, जिसकी [अभिसरण त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#def-b2-powerseries-radius) $>
1$ है। *चरघातांकी पुच्छ परिबंध* सिद्ध कीजिए: ऐसे $C > 0$ तथा $\rho \in \intoo{0}{1}$ हैं कि $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$। *(चक्रिका के भीतर किसी नियत $t > 1$ के लिए $t^X$ पर लगाई गई मार्कोव।)* विलोमतः दिखाइए कि यदि $\rho < 1$ के साथ $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, तो $G$ की त्रिज्या $\geq 1/\rho > 1$ है।

**हल — अभ्यास 23.8.**

मान लीजिए $R > 1$ त्रिज्या है और $t \in \intoo{1}{R}$ स्थिर कीजिए। तब $\E(t^X) = G(t) < \infty$, और अऋणात्मक चर $t^X$ पर स्तर $t^n$ पर लगाई गई मार्कोव असमिका ([प्रमेय 22.15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#thm-b2-randomvar-markov)):

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*विलोम:* यदि $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, तो $p_n \leq
\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, अतः $\abs t < \frac1\rho$ के लिए श्रेणी $\sum p_n\abs t^n$ अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी $C\sum(\rho\abs t)^n$ से प्रभावित है: त्रिज्या कम से कम $\frac1\rho > 1$ है। [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) की त्रिज्या और पुच्छ का गुणोत्तर क्षय एक ही गुणधर्म के दो चेहरे हैं।

**अभ्यास 23.9 ★★★.**

(संततता प्रमेय, प्रारंभिक स्थिति) मान लीजिए $X, X_1, X_2, \dots$ $\N$-मान वाले हैं और हर $t \in
\intco{0}{1}$ के लिए $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$। दिखाइए कि हर $k$ के लिए $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$। *($k$ पर आगमन: $k = 0$ के लिए $t \to 0$ लीजिए — ध्यान से: छोटा $t$ स्थिर कीजिए, $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)}
\leq \frac{t}{1-t}$ बरतिए, जो वैध है क्योंकि पुच्छ $\sum_{j \geq 1}p_jt^j
\leq \frac{t}{1 - t}$; फिर विकर्णन कीजिए। आगमन-चरण के लिए $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$ पर विचार कीजिए, जो किसी खिसके हुए [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) है।)*

**हल — अभ्यास 23.9.**

$p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$, $p_k = \P(X = k)$ लिखिए।

*स्थिति $k = 0$।* $t \in \intoo{0}{1}$ तथा $\sum_j q_j \leq 1$ वाले किसी भी [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $(q_j)$ के लिए:

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

इसलिए

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

$\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$ वाला $t$ चुनिए, फिर ऐसा $n_0$ कि अंतिम पद $n \geq n_0$ के लिए $<
\frac\varepsilon2$ हो: अतः $p_0^{(n)} \to p_0$।

*आगमन-चरण।* मान लीजिए $j < k$ के लिए $p_j^{(n)} \to p_j$। *खिसके हुए* फलनों

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

पर विचार कीजिए, जो उप-प्रायिकता अनुक्रमों $(p^{(n)}_{j+1})_j$ के [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) हैं (कुल द्रव्यमान $\leq 1$, और $k = 0$ वाले तर्क ने इतना ही बरता था)। नियत $t \in \intoo{0}{1}$ के लिए परिकल्पना तथा स्थिति $k = 0$ से $g_n(t)
\to g(t)$। $g_n$ पर $k =
0$ वाला तर्क लगाने पर $p_1^{(n)} \to p_1$ मिलता है; और खिसकाव को $k$ बार दोहराने पर हर $k$ के लिए $p_k^{(n)} \to p_k$ मिल जाता है। (यह लेवी की संततता प्रमेय का विविक्त, प्रारंभिक उदाहरण है, जिसका व्यापक रूप — अभिलक्षणिक फलनों के लिए — वर्ष 3 का मील का पत्थर है।)

**अभ्यास 23.10 ★.**

(सम-विषमता की युक्ति) दिखाइए कि किसी $\N$-मान वाले चर $X$ के लिए

$$
\P(X \text{ सम}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,
$$

और यह प्रायिकता $X \sim \mathcal P(\lambda)$ तथा $X \sim \mathcal B(n, p)$ के लिए परिकलित कीजिए। $G_X(-1) \to 0$ का प्रायिकतात्मक अर्थ क्या है?

**हल — अभ्यास 23.10.**

[बिंदुवार](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-def), $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ $X$ के सम होने पर $1$ के बराबर है और विषम होने पर $0$, अतः [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation) लेने पर (अंतरण),

$$
\P(X \text{ सम}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

प्वासों: $\lambda$ के बढ़ने के साथ $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$। द्विपद: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$। दोनों स्थितियों में $G_X(-1) \to 0$ कहता है कि $X$ की सम-विषमता कोई निष्पक्ष सिक्का बन जाती है: [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) बहुत-से पूर्णांकों पर फैल जाता है और अपनी सम-विषमता भूल जाता है।

**अभ्यास 23.11 ★★.**

(सिशरमान पासे) निष्पक्ष पासे के [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) का गुणनखंडन

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

सत्यापित कीजिए और दिखाइए कि फलकों $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ तथा $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ वाले दोनों पासों के [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ तथा $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$ हैं, जिनका गुणनफल दो मानक पासों के [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) के बराबर है: अर्थात् ये विचित्र पासे हर योग $2,
\dots, 12$ ठीक मानक प्रायिकताओं के साथ उत्पन्न करते हैं।

**हल — अभ्यास 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ तथा $1 - t^6 =
(1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$, जिससे बताया गया गुणनखंडन मिल जाता है। पहले पासे के लिए $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 +
2t + 2t^2 + t^3$, अतः $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t +
2t^2 + 2t^3 + t^4}6$: फलक $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$। दूसरे के लिए प्रसार करने पर

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

अतः $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4
+ t^5 + t^6 + t^8}6$: फलक $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$। दोनों जनक फलनों का गुणनफल छहों गुणनखंडों को $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6
\bigr)^2$ में फिर समूहित कर देता है, जो मानक पासे के फलन का वर्ग है: अर्थात् सिशरमान युग्म का कुल [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) ठीक मानक है — और [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) ऐसे सारे पुनःसमूहन वर्गीकृत कर देते हैं।

**अभ्यास 23.12 ★★★.**

(लगातार दो चित्तों की प्रतीक्षा) चित्त की प्रायिकता $p$ वाला कोई सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक लगातार दो चित्त न आ जाएँ; मान लीजिए $T$ उछालों की संख्या है ([अभ्यास 21.6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#exo-b2-proba-6) का खेल)। पहले उछालों पर प्रतिबंधित करके “कोई चालू चित्त नहीं” तथा “एक चालू चित्त” अवस्थाओं से जनक फलनों के लिए कोई रैखिक निकाय व्युत्पन्न कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p);
$$

$G_T(1) = 1$ तथा $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ जाँचिए (निष्पक्ष सिक्के के लिए $= 6$)।

**हल — अभ्यास 23.12.**

मान लीजिए $A$ तथा $B$ क्रमशः “कोई चालू चित्त नहीं” तथा “एक चालू चित्त” से शुरू होने वाली शेष अवधि के [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) हैं। एक उछाल ख़र्च होता है, फिर: अवस्था $0$ से पट अवस्था $0$ पर लौटा देता है और चित्त अवस्था $1$ पर ले जाता है; अवस्था $1$ से चित्त खेल समाप्त कर देता है और पट अवस्था $0$ पर लौटा देता है:

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

प्रतिस्थापित करने पर: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$, अतः

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

$t = 1$ पर हर $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$ है: $G_T(1) = 1$, अर्थात् खेल लगभग निश्चित रूप से समाप्त होता है (जैसा [अभ्यास 21.6](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#exo-b2-proba-6) ने पुनरावृत्ति से दिखाया)। $1$ पर लघुगणकीय अवकलन: $D(t) = 1 - qt - pqt^2$, $D'(1) = -q - 2pq$ के साथ $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$:

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

जो $p = \frac12$ के लिए $6$ है।

## 23.6 समस्या: गाल्टन–वाट्सन प्रक्रम, हल किया हुआ

**समस्या 23.1.**

सप्ताहांत समस्या — वृद्धि दरें, सटीक हल, कुल संतति, और कोल्मोगोरोव का क्रांतिक आकलन

विलोपन कसौटी ([प्रमेय 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) शाखन प्रक्रमों को अवक्रांतिक, क्रांतिक तथा अधिक्रांतिक में बाँट देती है — पर वह *दरों* के विषय में कुछ नहीं कहती: कोई अभिशप्त वंश कितनी तेज़ी से मरता है, कोई बचा हुआ वंश कितना बड़ा होता है। यह समस्या उन्हें परिकलित करती है। हम अध्याय का संकेतन बनाए रखते हैं: [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ वाला संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $(p_k)$, माध्य $m = G'(1)$, पीढ़ी-आकार $Z_n$ ($Z_0 = 1$), पुनरावर्त $G_n = G_{Z_n}$, विलोपन प्रायिकताएँ $q_n = \P(Z_n = 0)
\uparrow q$; हम सदा $p_1 \neq 1$ मानते हैं, और जहाँ द्वितीय आघूर्ण आते हैं वहाँ $G''(1) < \infty$, तथा हम $\sigma^2 =
V(Z_1)$ लिखते हैं।

**भाग I — पीढ़ियों के आघूर्ण।**

1. दिखाइए $\E(Z_n) = m^n$ *($1^-$ पर $G_n = G  \circ G_{n-1}$ पर शृंखला नियम, $G_{n-1}(1) = 1$ तथा [प्रमेय 23.7](#thm-b2-genfun-moments) बरतकर)* ।
2. पुनरावृत्ति $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ स्थापित कीजिए और उसे हल कीजिए: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ $m \neq 1$ के लिए, तथा $m =  1$ के लिए $G_n''(1) = n\,G''(1)$ ।
3. निकालिए $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (अवक्रांतिक दर, ऊपरी परिबंध) $m < 1$ के लिए दिखाइए $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(पूर्णांक-मान वाले $Z_n$ पर मार्कोव)* : अर्थात् विलोपन किसी गुणोत्तर दर के साथ निश्चित है — अध्याय की कसौटी का परिमाणात्मक परिष्कार।
5. (अवक्रांतिक दर, निचला परिबंध) $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$ पर कोशी–श्वार्ज़ का उपयोग करते हुए दिखाइए $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{जहाँ}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ अर्थात् गुणोत्तर दर $m^n$ अचरों तक सटीक है।

**भाग II — ज्यामितीय कुल, ठीक-ठीक हल किया हुआ।** मान लीजिए संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $\N$ पर ज्यामितीय है: $p_k =
qp^k$ ($k \geq 0$), जहाँ $0 < p < 1$, $q = 1 - p$।

6. $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ तथा $m = \dfrac  pq$ परिकलित कीजिए; $p$ के पदों में तीनों व्यवस्थाएँ ढूँढ़िए।
7. $G(t) = t$ हल कीजिए: दिखाइए कि अचल बिंदु $1$ तथा $q/p = 1/m$ हैं, और विलोपन प्रायिकता $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ पुनः प्राप्त कीजिए।
8. आगमन से [संवृत रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#def-b2-multint-exact) सिद्ध कीजिए $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. सटीक दरें निकालिए: अवक्रांतिक स्थिति में $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ , और अधिक्रांतिक स्थिति में $q_{\mathrm{ext}} - q_n  \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ ; जाँचिए कि अधिक्रांतिक संकुचन अनुपात $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ है।
10. क्रांतिक स्थिति ( $p = \tfrac12$ ): $\sigma^2 =  2$ परिकलित कीजिए और ध्यान दीजिए कि $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : अर्थात् उत्तरजीविता $\frac1n$ की तरह क्षय करती है — न गुणोत्तर, न [योग्य](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) ।
11. अब भी क्रांतिक: आगमन से पूरा पुनरावर्त $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ सिद्ध कीजिए और निकालिए कि उत्तरजीविता पर प्रतिबंधित करने पर $Z_n$ $\N^*$ पर प्राचल $\frac1{n+1}$ का ज्यामितीय है: $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ औसत वंश मर जाता है, पर बचे हुए वंशों का आकार कोटि $n$ का होता है।

**भाग III — कुल संतति।** मान लीजिए $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ अब तक जन्मे कुल व्यक्तियों की संख्या है, और $H(t) =
\sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$।

12. $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ न्यायसंगत ठहराइए, और [अभ्यास 23.7](#exo-b2-genfun-7) से फलनिक समीकरण $H(t) = t\,G(H(t))$ स्मरण कीजिए (जिसकी व्युत्पत्ति में $m < 1$ का उपयोग नहीं हुआ था)।
13. (द्विआधारी शाखन) $p_0 = p_2 = \frac12$ (क्रांतिक) के लिए फलनिक समीकरण हल कीजिए: $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ और [उदाहरण 11.21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-catalan) से प्रसार करके $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$$ पाइए; मान $\P(Y = 1) = \frac12$ तथा $\P(Y = 3)  = \frac18$ सीधी गणना से जाँचिए।
14. फलनिक समीकरण का $1^-$ पर अवकलन करके दिखाइए कि $m < 1$ के लिए $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ , जबकि क्रांतिकता $\E(Y) = \infty$ को बाध्य कर देती है: अर्थात् क्रांतिक कुल संतति लगभग निश्चित रूप से परिमित है पर उसकी [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation) अपरिमित है।
15. केंद्रीय द्विपद अनंतस्पर्शी ([उदाहरण 6.14](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/6-comparison-of-functions#ex-b2-comparison-centralbinomial)) के साथ दिखाइए $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ अर्थात् कोई भारी $k^{-3/2}$ पुच्छ, और निकालिए $\P(Y > n)  \asymp n^{-1/2}$ (इसी कोटि के ऊपरी तथा निचले परिबंध पर्याप्त हैं)।
16. निष्पक्ष [यादृच्छिक चहलक़दमी](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#pb-b2-proba-1) ( [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba) की सप्ताहांत समस्या) से तुलना कीजिए: वहाँ निश्चित पर अपरिमित-माध्य वापसी-समय, यहाँ निश्चित पर अपरिमित-माध्य कुल संतति, और दोनों में $n^{-3/2}$ स्थानीय नियम। क्रांतिकता यह हस्ताक्षर क्यों उत्पन्न करती है, इस पर एक अनुच्छेद।

**भाग IV — क्रांतिकता पर कोल्मोगोरोव का आकलन।** मान लीजिए $m = 1$, $0 < \sigma^2 = G''(1) <
\infty$।

17. दिखाइए कि $G''$ $\intcc01$ तक [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) रूप से फैल जाता है *(अऋणात्मक वर्धमान, परिमित सीमा के साथ)* और $1$ पर टेलर प्रसार निकालिए: $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. $t \in \intco01$ के लिए $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} -  \dfrac1{1 - t}$ रखिए। दिखाइए $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. पुनरावृत्ति $q_{j+1} = G(q_j)$ के अनुदिश दूरबीन की तरह सिकोड़िए: $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ और किसी चेज़ारो तर्क से निष्कर्ष निकालिए कि $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ — यही *कोल्मोगोरोव का आकलन* है: हर क्रांतिक [शाखन प्रक्रम](#pb-b2-genfun-1) सार्वभौमिक दर $1/n$ से मरता है, और केवल अचर ही संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) को याद रखता है।
20. आकलन को प्रश्न 10 की क्रांतिक ज्यामितीय स्थिति के सामने जाँचिए।
21. $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n}  \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ निकालिए *(ध्यान दीजिए $\E(Z_n  \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* , और उसे प्रश्न 11 के सामने जाँचिए: उत्तरजीविता पर प्रतिबंधित करने पर जनसंख्या *रैखिक रूप से* बढ़ती है — मृत्यु और विस्फोट के बीच की क्रांतिक रस्सी।

**भाग V — अनुप्रयोग और संश्लेषण।**

22. (महामारियाँ, शृंखला अभिक्रियाएँ) किसी प्वासों संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $\mathcal P(\lambda)$ के लिए — जहाँ हर रोगी $\mathcal P(\lambda)$ नए रोगियों को संक्रमित करता है — विलोपन समीकरण $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ लिखिए और उसे $\lambda = 1.5$ ( $q \approx  0.417$ ) तथा $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ) के लिए संख्यात्मक रूप से हल कीजिए: एक रोगी से शुरू करने पर कोई बड़ा प्रकोप $\lambda > 1$ होने पर भी निश्चित *नहीं* है। समझाइए कि $q_0 = 0$ से पुनरावृत्ति $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ सही मूल तक क्यों अभिसरित होती है।
23. एक के बजाय $k$ पूर्वजों से शुरू करने पर दिखाइए कि विलोपन प्रायिकता $q^k$ है। अनुप्रयोग: $\lambda = 1.5$ के साथ, कितने आरंभिक रोगी किसी प्रकोप को कम से कम $99\%$ संभावित बना देते हैं?
24. (किसी अधिक्रांतिक प्रक्रम को विलोपन पर प्रतिबंधित करना) विलोपन प्रायिकता $q \in  \intoo01$ वाले $m > 1$ के लिए: पहले उत्तलता से सिद्ध कीजिए कि सबसे छोटे अचल बिंदु पर $G'(q) < 1$ , और निकालिए $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (गुणोत्तर अभिसरण, जैसा प्रश्न 9 ने दिखाया)। फिर दिखाइए कि $\widehat G(t) = G(qt)/q$ किसी सच्चे संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) है, जिसका माध्य $\widehat m =  G'(q) < 1$ है: अर्थात् कोई अवक्रांतिक साथी प्रक्रम। ज्यामितीय कुल पर सत्यापित कीजिए: अधिक्रांतिक $(p, q)$ -प्रक्रम को विलोपन पर प्रतिबंधित करना $p$ तथा $q$ की अदला-बदली कर देता है। (पूरा कथन — कि प्रतिबंधित प्रक्रम साथी प्रक्रम *ही है* — वर्ष 3 के खंड में सिद्ध होता है; यहाँ आपने उसकी जनक-फलन छाया सत्यापित की है।)
25. संश्लेषण: त्रिभाजन की सारणी बनाइए — $m <  1$ , $m = 1$ , $m > 1$ के लिए: $q$ का मान; $\P(Z_n >  0)$ की या $q - q_n$ की दर; $\E(Y)$ ; किसी बची हुई पीढ़ी का आकार। हर औज़ार के लिए एक वाक्य में बताइए कि जनक फलनों के संयोजन, उत्तलता, $1^-$ पर टेलर, तथा चेज़ारो औसतन ने पूरी समस्या को कैसे ढोया, और वर्ष 3 का खंड इसमें क्या जोड़ता है (मार्टिंगेल $Z_n/m^n$ तथा याग्लोम का चरघातांकी सीमा नियम)।

**हल — समस्या 23.1.**

**1.** $t \in \intoo01$ के लिए $G_n = G
\circ G_{n-1}$ पर शृंखला नियम $G_n'(t) =
G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$ देता है। $t \to 1^-$ होने पर $G_{n-1}(t) \uparrow 1$, और $G'$ अनह्रासमान है जिसकी $1$ पर बायीं सीमा $m$ है, अतः पहला गुणक $m$ की ओर जाता है; और आगमन से दूसरा $m^{n-1}$ की ओर। [प्रमेय 23.7](#thm-b2-genfun-moments) से $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$।

**2.** एक बार और अवकलन करने पर

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

और $t \to 1^-$ लेने पर: $a_n = G_n''(1)$, $a_1 = G''(1)$ के साथ $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\,
a_{n-1}$। $m \neq
1$ के लिए आगमन से जाँचा जाता है कि $a_n = G''(1)\,m^{n-1}
\frac{m^n - 1}{m - 1}$ (पुनरावृत्ति $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$ में $G''(1)m^{2n-2}$ जोड़ती है, और $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$); $m = 1$ के लिए $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$।

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ तथा $G''(1) =
\sigma^2 + m^2 - m$। $m \neq 1$ के लिए टुकड़ा $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ ठीक $m^n -
m^{2n}$ को काट देता है, और $V(Z_n) =
\sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$ बच रहता है। $m = 1$ के लिए: $V(Z_n) =
nG''(1) = n\sigma^2$।

**4.** $Z_n$ कोई अऋणात्मक पूर्णांक चर है, अतः मार्कोव ([प्रमेय 22.15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#thm-b2-randomvar-markov)) से $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$। $m < 1$ के लिए यह गुणोत्तर रूप से — और [योग्य](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) रूप से — क्षय करता है, अतः बोरेल–कांतेली यह भी दे देती है कि केवल परिमित रूप से कई पीढ़ियाँ अरिक्त हैं, जो फिर से विलोपन ही है।

**5.** कोशी–श्वार्ज़: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf
1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$। प्रश्न 3 तथा $m < 1$ के साथ:

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

अतः $m^{2n}$ को इस परिबंध से भाग देकर और $m^n$ से सरल करके,

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

जहाँ हर में $m^n \leq 1$ का उपयोग हुआ। प्रश्न 4 के साथ: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$।

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$, और $m
= G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$। $p
< \frac12$ के लिए अवक्रांतिक, $p = \frac12$ के लिए क्रांतिक, $p
> \frac12$ के लिए अधिक्रांतिक।

**7.** $G(t) = t$ का अर्थ है $pt^2 - t + q = 0$, जिसके मूल $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$ हैं, अर्थात् $1$ तथा $\frac qp =
\frac1m$। विलोपन प्रायिकता $\intcc01$ का सबसे छोटा अचल बिंदु है ([प्रमेय 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)): $m \leq 1$ होने पर $q_{\mathrm{ext}} = 1$, और $m >
1$ होने पर $\frac1m$।

**8.** $m \neq 1$ के लिए $p = \frac m{m+1}$, $q =
\frac1{m+1}$ के साथ: यदि $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$, तो

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

अतः $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} -
1}{m^{n+2} - 1}$; और आधार स्थिति $q_0 = 0$ टिकती है। $m = 1$ के लिए: $G(t) = \frac1{2 - t}$ तथा $q_{n+1} = \frac1{2 -
\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$, जहाँ $q_0 = 0$।

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$। $m < 1$ के लिए हर $-1$ की ओर जाता है: $1 - q_n \sim (1 -
m)\,m^n$। $m > 1$ के लिए:

$$
q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

और $t = \frac
qp$ पर मूल्यांकित $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ (जहाँ $1 - pt = 1 - q = p$) $G'(q_{\mathrm{ext}})
= \frac qp = \frac1m$ देता है: अर्थात् प्रेक्षित अनुपात $m^{-1}$ ठीक आकर्षक अचल बिंदु पर अवकलज है।

**10.** $p = \frac12$ के लिए: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 -
t/2)^3}$, अतः $G''(1) = 2$ तथा $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 =
2$। [संवृत रूप](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#def-b2-multint-exact) $1 - q_n = \frac1{n+1}$ देता है: अर्थात् उत्तरजीविता प्रायिकता $1/n$ की तरह क्षय करती है — इतनी धीमे कि वह [योग्य](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) नहीं, जबकि कोई भी अवक्रांतिक दर होती।

**11.** आगमन: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ $n = 1$ के लिए सूत्र से मेल खाता है, और

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

तब

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

जो $\N^*$ पर ज्यामितीय [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1}
\bigr)$ का [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) है ([उदाहरण 23.4](#ex-b2-genfun-classical)): उत्तरजीविता दी हो तो $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) =
\frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$, और सप्रतिबंध माध्य $n + 1$। बिना प्रतिबंधन का माध्य $1 = \E(Z_n)$ किसी लुप्त होती उत्तरजीविता प्रायिकता तथा रैखिक रूप से बढ़ते सप्रतिबंध आकार का गुणनफल है।

**12.** यदि वंश पीढ़ी $n$ पर विलुप्त हो जाए, तो $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ परिमित है; और यदि वह कभी विलुप्त न हो, तो $Y \geq \sum_n 1 = \infty$। अतः $\{Y < \infty\}$ विलोपन [घटना](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) है और $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$। [अभ्यास 23.7](#exo-b2-genfun-7) में $H(t) = tG(H(t))$ की व्युत्पत्ति — जहाँ पूर्वज गुणक $t$ का योगदान करता है, और उसके बच्चे $Y$ की [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) प्रतिलिपियाँ स्थापित करते हैं जिनकी गिनती $G$ के द्वारा होती है — केवल [प्रमेय 23.17](#thm-b2-genfun-compound) बरतती है, जो हर व्यवस्था में वैध है।

**13.** $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ के साथ समीकरण $tH^2 - 2H + t = 0$ पढ़ा जाता है, अतः $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ ($H(0) = 0$ वाला मूल)। कातालान श्रेणी $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([उदाहरण 11.21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-catalan)) से तुलना करने पर: $H(t) = \frac
t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$, अर्थात् $\P(Y =
2k+1) = C_k2^{-2k-1}$। जाँचें: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (पूर्वज के कोई बच्चा नहीं); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (दो बच्चे, दोनों निःसंतान: $\frac12\cdot\frac12\cdot
\frac12$)।

**14.** $\intoo01$ पर $H = tG(H)$ का अवकलन करके और $t \to 1^-$ लेकर (एकदिष्ट सीमाएँ, जैसी [प्रमेय 23.7](#thm-b2-genfun-moments) में): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr)
= G(H(1))$। अवक्रांतिक स्थिति में $H(1) = 1$ तथा $\E(Y) =
H'(1) = \frac1{1 - m}$। क्रांतिक स्थिति में $G'(1) = 1$ बायें गुणक को लुप्त कर देता है जबकि दायाँ पक्ष $1$ है: अतः कोई परिमित $H'(1)$ विद्यमान नहीं हो सकता, इसलिए $\E(Y) = \infty$ — फिर भी $\P(Y <
\infty) = q = 1$।

**15.** [उदाहरण 6.14](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/6-comparison-of-functions#ex-b2-comparison-centralbinomial) से $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$, अतः

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

पुच्छ जोड़ने पर ($\int_K^\infty
k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$ से ऊपर तथा नीचे तुलना करके): $\P(Y > 2K)
\asymp K^{-1/2}$, अर्थात् $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — अपरिमित माध्य वाली कोई भारी पुच्छ, जो प्रश्न 14 को परिमाणित कर देती है।

**16.** दोनों क्रांतिक वस्तुएँ — निष्पक्ष चहलक़दमी का वापसी-समय ([अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba) की सप्ताहांत समस्या) तथा क्रांतिक कुल संतति — लगभग निश्चित रूप से परिमित हैं पर अपरिमित माध्य वाली, और उनके स्थानीय नियमों का घातांक $-3/2$ तथा पुच्छों का घातांक $-1/2$ है। यह कोई संयोग नहीं: किसी कुल-वृक्ष का बच्चा-दर-बच्चा अन्वेषण कोई $\pm1$ पथ उत्पन्न करता है (हर जन्म पर एक पग ऊपर, हर मृत्यु पर एक नीचे), जो ठीक कोई निष्पक्ष चहलक़दमी है, और $Y$ कोई प्रथम-अभिगमन समय बन जाता है। क्रांतिकता का अर्थ है शून्य बहाव: प्रक्रम सदा विलोपन तथा विस्फोट दोनों के कगार पर रहता है, और शून्य-बहाव वाली यादृच्छिकता के $\sqrt{}$-मापक्रम उतार-चढ़ाव ठीक यही घातांक उत्पन्न करते हैं।

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ के पद अऋणात्मक हैं, अतः वह $\intco01$ पर अनह्रासमान है और उसकी सीमा $G''(1) = \sigma^2$ परिमित है (क्रांतिकता $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$ बना देती है); और जिस अनह्रासमान फलन की सीमा सीमांत मान के बराबर हो वह $1$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) है। बिंदु $1$ पर समाकल शेषफल वाली टेलर:

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

क्योंकि $s \to 1^-$ होने पर $G''(s) = G''(1) + o(1)$।

**18.** साझे हर पर लाने पर $h(t) =
\frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$। प्रश्न 17 से अंश $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ है और $1 - G(t) = (1 -
t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$, अतः $h(t) \to b$।

**19.** $t = q_j$ तथा $G(q_j) =
q_{j+1}$ पर $h$ की परिभाषा से: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$; और $j = 0$ से ($q_0 = 0$) जोड़ने पर प्रदर्शित रूप मिल जाता है। चूँकि क्रांतिक प्रक्रम मिट जाता है, $q_j \uparrow 1$, अतः $h(q_j) \to
b$ और चेज़ारो माध्य $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$: $\frac1{1-q_n} \sim bn$, अर्थात्

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** ज्यामितीय क्रांतिक स्थिति: $\sigma^2 = 2$ (प्रश्न 10), अतः कोल्मोगोरोव $1 - q_n \sim \frac1n$ का अनुमान लगाता है — और सटीक मान $\frac1{n+1}$ है।

**21.** चूँकि $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$, $\E(Z_n
\mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 -
q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$। ज्यामितीय स्थिति में यह $n + 1$ है, जो प्रश्न 11 से ठीक-ठीक मेल खाता है ($\sigma^2 = 2$)। क्रांतिक चित्र: विलोपन निश्चित है, माध्य आकार $1$ पर जमा हुआ है, और विरल बचे हुए वंशों का आकार रैखिक रूप से बढ़ता है — हर गुणक दूसरे को संतुलित करता हुआ।

**22.** $\mathcal P(\lambda)$ संतति के लिए $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$, और विलोपन प्रायिकता $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ का सबसे छोटा मूल है। संख्यात्मक रूप से: $\lambda = 1.5$ $q \approx 0.417$ देता है ($q \mapsto
\eu^{1.5(q-1)}$ दोहराइए: $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$); $\lambda = 2$ $q \approx 0.203$ देता है। अतः एक सूचक रोगी प्रायिकता $58\%$ ($\lambda = 1.5$) या $80\%$ ($\lambda = 2$) के साथ किसी बड़े प्रकोप को जन्म देता है — संभावित, निश्चित नहीं। $q_0 = 0$ से पुनरावृत्ति *सबसे छोटे* मूल तक इसलिए अभिसरित होती है कि $G$ अनह्रासमान है: आगमन से किसी भी अचल बिंदु $r$ के लिए $q_n \leq r$, और $(q_n)$ बढ़ता है (वह $\P(Z_n = 0)$ है), अतः उसकी सीमा सब से नीचे कोई अचल बिंदु है।

**23.** $k$ पूर्वज [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) कुल-वृक्ष स्थापित करते हैं, और पूर्ण विलोपन $k$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) विलोपन [घटनाओं](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) का प्रतिच्छेद है: प्रायिकता $q^k$। $\lambda = 1.5$ के लिए: प्रकोप प्रायिकता $1 - q^k \geq 0.99$ के लिए $q^k \leq 0.01$ चाहिए, अर्थात् $k \geq
\frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$: यानी छह आरंभिक रोगी प्रकोप को $99\%$ निश्चित बना देते हैं।

**24.** *$G'(q) < 1$:* $G - \mathrm{id}$ [उत्तल](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/17-affine-spaces#def-b2-affine-convex) है और $q$ तथा $1$ पर लुप्त होता है, अतः वह $\intcc
q1$ पर $\leq 0$ है; और यदि $G'(q) = 1$ होता, तो $q$ पर स्पर्शी (जिसे उत्तलता $G$ के नीचे रखती है) $\intcc q1$ पर $G(t) \geq t$ को बाध्य कर देती, इसलिए वहाँ $G \equiv \mathrm{id}$, जो सारे गुणांक $p_n$ ($n \geq 2$) मार देता और $m > 1$ के विरुद्ध पड़ता। *गुणोत्तर अभिसरण:* सब $n$ के लिए $q_n < q$ (आगमन, $G$ वर्धमान), और माध्यमान प्रमेय $c_n \in \intoo{q_n}q$ के साथ $q - q_{n+1} =
G'(c_n)(q - q_n)$ देती है, अतः $G'(c_n)
\leq G'(q) < 1$ तथा $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$। *साथी प्रक्रम:* $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ के गुणांक अऋणात्मक हैं और $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$: अर्थात् कोई [जनक फलन](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci); और उसका माध्य $\widehat
G'(1) = G'(q) < 1$ है: यानी अवक्रांतिक। ज्यामितीय कुल: $G(t) =
\frac{q}{1-pt}$, $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$, और

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

अर्थात् $p$ तथा $q$ की अदला-बदली वाला ज्यामितीय संतति [नियम](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) — अपनी विलोपन [घटना](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) पर देखा गया अधिक्रांतिक प्रक्रम दर्पण में अवक्रांतिक प्रक्रम है।

**25.** सारणी: $m < 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0)
\asymp m^n$ (प्रश्न 4 से 5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$, और परिबद्ध सप्रतिबंध माध्य वाली बची हुई पीढ़ियाँ। $m = 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (कोल्मोगोरोव), $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ के साथ $\E(Y) = \infty$, और $\sim \frac{\sigma^2n}2$ आकार के उत्तरजीवी। $m > 1$: $q < 1$ सबसे छोटा अचल बिंदु है, $q - q_n = O(G'(q)^n)$, वृद्धि $\E(Z_n) = m^n$, और मरने पर प्रतिबंधित करने पर प्रक्रम अवक्रांतिक साथी है (प्रश्न 24)। औज़ार: जनक फलनों के संयोजन ने जनसंख्या-पुनरावृत्ति को फलन-पुनरावृत्ति में बदल दिया; उत्तलता ने अचल बिंदुओं की ज्यामिति नियत कर दी; $1^-$ पर टेलर ने आघूर्ण-परिकल्पनाओं को स्थानीय प्रसारों में बदला; और चेज़ारो औसतन ने किसी दूरबीनी योग से कोल्मोगोरोव का $1/n$ निकाल लिया। वर्ष 3 का खंड मार्टिंगेल $Z_n/
m^n$ जोड़ता है — जिसकी लगभग-निश्चित सीमा $\E(Z_n) = m^n$ को प्रक्षेप-दर-प्रक्षेप वृद्धि दर में परिष्कृत कर देती है — तथा याग्लोम की प्रमेय, जो प्रश्न 11 में देखी गई सप्रतिबंध ज्यामिति के पीछे का सीमा नियम है।