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title: "अंतःरूपांतरणों का समानयन"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2"
subject: math
language: hi
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/3-reduction-of-endomorphisms
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# अध्याय 3 — अंतःरूपांतरणों का समानयन

किसी अंतःरूपांतरण को समझना हो तो वे दिशाएँ खोजिए जिन्हें वह केवल खींचता है। यह अध्याय उसका यंत्र बनाता है — [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen), अभिलक्षणिक और [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu), केंद्रक अपघटन प्रमेयिका — और उसके फल भी: विकर्णन तथा त्रिभुजन की कसौटियाँ, केली–हैमिल्टन, [डनफ़र्ड अपघटन](#thm-b2-reduction-dunford), और घातों तथा घातांकीय फलनों का परिकलन, जिस पर [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) आगे पलेगा। आगे सर्वत्र $E$ एक परिमित-विमीय $K$-सदिश समष्टि है ($K = \R$ या $\C$) और $u \in
\mathcal{L}(E)$, $n = \dim E$।

## 3.1 अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश

**परिभाषा 3.1.**

$\lambda \in K$ $u$ का *अभिलक्षणिक मान* कहलाता है जब किसी $x \neq 0$ (जिसे *अभिलक्षणिक सदिश* कहते हैं) के लिए $u(x) = \lambda x$ हो; *अभिलक्षणिक समष्टि* $E_\lambda(u) =
\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ है। अभिलक्षणिक मानों का समुच्चय *वर्णक्रम* $\operatorname{Sp}(u)$ कहलाता है। कोई उपसमष्टि $F$ *स्थायी* कहलाती है जब $u(F) \subseteq F$ हो; अभिलक्षणिक समष्टियाँ स्थायी होती हैं, और स्थायी उपसमष्टियाँ प्रेरित अंतःरूपांतरण $u|_F$ देती हैं।

**प्रमेय 3.2 (अभिलक्षणिक समष्टियों की स्वतंत्रता).**

परस्पर भिन्न अभिलक्षणिक मानों से जुड़े [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) स्वतंत्र कुल बनाते हैं; समतुल्य रूप से, अभिलक्षणिक समष्टियों का योग $E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_r}$ (भिन्न $\lambda_i$) प्रत्यक्ष होता है। विशेष रूप से $u$ के अधिकतम $n$ [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) होते हैं।

**उपपत्ति.** $r$ पर आगमन से। मान लीजिए $x_i \in
E_{\lambda_i}$ सहित $x_1 + \dots + x_r = 0$ है, और कथन $r - 1$ के लिए ज्ञात है। $u$ लगाइए और उसमें से संबंध का $\lambda_r$ गुना घटाइए:

$$
\sum_{i=1}^{r-1} (\lambda_i - \lambda_r)\, x_i = 0 ,
$$

अतः आगमन से हर $(\lambda_i - \lambda_r)x_i = 0$, अर्थात् $i < r$ के लिए $x_i =
0$, और फिर $x_r = 0$। विमा $n$ की समष्टि में अशून्य समष्टियों के प्रत्यक्ष योग में अधिकतम $n$ पद होते हैं। ∎

![आव्यूह A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix समतल पर क्रिया करते हुए: सामान्य सदिश e_1 अपनी रेखा से हट जाता है, परंतु अभिलक्षणिक दिशाएँ v_1 = (1,1) और v_2 = (1,-1) केवल खिंचती हैं — 3 से और 1 से (अतः Av_2 = v_2: बिंदुकित प्रतिबिंब v_2 से मेल खाता है)। विकर्णन आधार (v_1, v_2) पर जाना है, जहाँ A diag(3, 1) बन जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-reduction/fig-d4dd394c1370.svg)

*आव्यूह $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$ समतल पर क्रिया करते हुए: सामान्य सदिश $e_1$ अपनी रेखा से हट जाता है, परंतु अभिलक्षणिक दिशाएँ $v_1 =
(1,1)$ और $v_2 = (1,-1)$ केवल खिंचती हैं — $3$ से और $1$ से (अतः $Av_2 = v_2$: बिंदुकित प्रतिबिंब $v_2$ से मेल खाता है)। विकर्णन आधार $(v_1, v_2)$ पर जाना है, जहाँ $A$ $\operatorname{diag}(3, 1)$ बन जाता है।*

**परिभाषा 3.3 (अभिलक्षणिक बहुपद).**

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — जिसे किसी भी आधार में $\det(XI_n - A)$ के रूप में परिकलित किया जाता है, और जो घात $n$ का एकिक बहुपद है तथा सादृश्यता के अंतर्गत अपरिवर्त्य ([प्रमेय 2.17](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#thm-b2-linalg-detrules))। $K$ में उसके मूल ठीक [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) हैं ($\lambda$ [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ एकैकी नहीं $\iff \chi_u(\lambda) = 0$), और

$$
\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots +
(-1)^n \det u .
$$

किसी [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) की *बीजीय बहुलता* $m_\lambda$ $\chi_u$ के मूल के रूप में उसकी बहुलता है; *ज्यामितीय बहुलता* $\dim E_\lambda$ है, और $1 \leq \dim E_\lambda \leq
m_\lambda$।

**कथित तथ्यों की उपपत्ति.** गुणांकों के बारे में दावे: $\det(XI - A)$ को क्रमचय सूत्र से खोलिए; तत्समक क्रमचय $\prod_i (X - a_{ii})
= X^n - (\sum a_{ii})X^{n-1} + \dots$ का योगदान देता है, और हर दूसरा क्रमचय अधिकतम $n - 2$ विकर्ण स्थान अचर रखता है, अतः उसका योगदान घात $\leq
n - 2$ का है: इस प्रकार ऊपर के दो गुणांक कथनानुसार निकलते हैं; और $X = 0$ से अचर पद $\det(-A) = (-1)^n\det A$ मिलता है।

ज्यामितीय $\leq$ बीजीय: मान लीजिए $d = \dim E_\lambda$ और $E_\lambda$ के आधार को $E$ के आधार तक पूरा कीजिए; $u$ का आव्यूह खंड-रूप में ऊपरी-त्रिभुजाकार है जिसका ऊपरी बायाँ खंड $\lambda I_d$ है, अतः $\chi_u(X) =
(X - \lambda)^d\, \chi_{\text{(निचला खंड)}}(X)$: अर्थात् $\lambda$ की बहुलता कम से कम $d$ है। ∎

**उदाहरण 3.4 (एक ही χ\chiχ, भिन्न ज्यामिति).**

आव्यूह

$$
\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
\qquad\text{तथा}\qquad
\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
$$

का [अभिलक्षणिक बहुपद](#def-b2-reduction-charpoly) $(X - 2)^2$, अनुरेख, [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) और [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) एक ही हैं — फिर भी वे सदृश नहीं हैं: पहले का $E_2$ विमा $2$ का है ([ज्यामितीय बहुलता](#def-b2-reduction-charpoly) $2$), दूसरे का विमा $1$ का। [अभिलक्षणिक बहुपद](#def-b2-reduction-charpoly) केवल बीजीय बहुलताएँ देखता है; अभिलक्षणिक समष्टियों की विमाएँ सूक्ष्मतर अपरिवर्त्य हैं, और [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) निर्णय करता है ($X - 2$ बनाम $(X - 2)^2$)। विकर्णनीयता की हर चर्चा के लिए सार: $\chi$ उम्मीदवारों की सूची बनाता है, पर मत केंद्रक डालते हैं।

**परिभाषा 3.5 (विकर्णनीय, त्रिभुजनीय).**

$u$ *विकर्णनीय* कहलाता है जब $E$ का कोई आधार अभिलक्षणिक सदिशों से बना हो (आव्यूह के लिए: किसी विकर्ण आव्यूह के सदृश); और *त्रिभुजनीय* तब जब किसी आधार में उसका आव्यूह ऊपरी त्रिभुजाकार हो।

**प्रमेय 3.6 (विकर्णनीयता की कसौटियाँ).**

निम्नलिखित तुल्य हैं:

1. $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है;
2. $E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp} u} E_\lambda$ ;
3. $K$ पर $\chi_u$ पूरी तरह गुणनखंडित होता है और प्रत्येक [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) के लिए $\dim E_\lambda = m_\lambda$ ;
4. (पर्याप्त, आवश्यक नहीं) $K$ में $\chi_u$ के $n$ भिन्न मूल हैं।

**उपपत्ति.** (1 $\iff$ 2): अभिलक्षणिक सदिशों का आधार $E_\lambda$ के आधारों में छँट जाता है, और विलोमतः प्रत्यक्ष पदों के आधार जोड़ देने से $E$ का आधार बन जाता है ([प्रमेय 3.2](#thm-b2-reduction-independence) से योग प्रत्यक्ष हो जाता है; और विमाओं की समता से वह सब कुछ बन जाता है)।

(2 $\iff$ 3): विकर्ण आधार में $\chi_u = \prod (X -
\lambda)^{\dim E_\lambda}$ मेल खाती बहुलताओं के साथ गुणनखंडित हो जाता है। विलोमतः मान लीजिए $\chi_u$ गुणनखंडित होता है और सर्वत्र $\dim E_\lambda =
m_\lambda$; तब अभिलक्षणिक समष्टियों का प्रत्यक्ष योग ([प्रमेय 3.2](#thm-b2-reduction-independence) से प्रत्यक्ष) की विमा

$$
\sum_{\lambda}\dim E_\lambda = \sum_{\lambda} m_\lambda =
\deg\chi_u = n ,
$$

है, जिसमें बीच वाली समता इसलिए है कि पूरी तरह गुणनखंडित बहुपद की घात उसके मूलों की बहुलताओं का योग होती है: अतः योग पूरा $E$ है। ध्यान दीजिए कि किस परिकल्पना ने क्या किया: गुणनखंडन ने घात भरी, बहुलताओं की समता ने विमाएँ।

(4 $\Rightarrow$ 1): $n$ भिन्न [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $n$ स्वतंत्र [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) देते हैं ([प्रमेय 3.2](#thm-b2-reduction-independence)): अर्थात् एक आधार। ∎

**विधि 3.7 (विकर्णनीयता का निर्णय).**

व्यवहार में इसी क्रम में जाँचिए — हर चरण काम पूरा कर सकता है। (1) क्या सरल एवं पूरी तरह गुणनखंडित मूलों वाला कोई विलोपी बहुपद स्वयं सामने आ रहा है ($u^2 = \mathrm{id}$, $u^2 = u$, $u^k =
\mathrm{id}$)? यदि हाँ: [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag), बिना किसी परिकलन के (नीचे [उपप्रमेय 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit))। (2) $\chi_u$ परिकलित कीजिए; यदि $K$ में उसके $n$ भिन्न मूल हैं: [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (4))। (3) अन्यथा, केवल प्रत्येक बहुगुणित मूल $\lambda$ के लिए $\dim\ker(u -
\lambda\,\mathrm{id})$ की तुलना बहुलता $m_\lambda$ से कीजिए: कहीं भी कमी विकर्णनीयता समाप्त कर देती है; और सर्वत्र समता उसे सिद्ध कर देती है। सरल मूलों की अभिलक्षणिक समष्टियाँ कभी परिकलित मत कीजिए (उनकी विमा $1$ होने को बाध्य है), और केवल निर्णय के लिए कभी त्रिभुजन मत कीजिए।

**उदाहरण 3.8 (विकर्णन काम पर).**

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$, जहाँ $J$ सर्व-एक आव्यूह है: $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ से ([उदाहरण 2.19](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#ex-b2-linalg-onesmatrix)), $\operatorname{Sp}(A) = \{4,
1\}$, और अभिलक्षणिक समष्टियाँ $\R(1,1,1)$ तथा समतल $\{x + y + z =
0\}$ हैं: विमाएँ $1 + 2 = 3$, अतः [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (2))। बिना किसी आधार-परिवर्तन आव्यूह के घातें: $\R(1,1,1)$ पर प्रक्षेपक $\Pi = J/3$ लेने पर,

$$
A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi)
\quad\Longrightarrow\quad
A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi)
= \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .
$$

($k = 1$ जाँचिए: $\frac{4-1}3 J + I = A$।) समापन दृष्टि: जब अभिलक्षणिक समष्टियाँ दिखाई देती हों, तब वर्णक्रमीय *प्रक्षेपक* घातें $PDP^{-1}$ से कहीं तेज़ी से परिकलित कर देते हैं — और सूत्र गतिकी भी दिखा देता है: $A^k$ $(1,1,1)$ के अनुदिश $4^k$ की तरह बढ़ता है और लांबिक समतल पर जहाँ का तहाँ रहता है।

**प्रमेय 3.9 (त्रिभुजन).**

$u$ $K$ पर [त्रिभुजनीय](#def-b2-reduction-diag) है यदि और केवल यदि $\chi_u$ $K$ पर पूरी तरह गुणनखंडित हो। विशेष रूप से किसी $\C$-सदिश समष्टि का प्रत्येक अंतःरूपांतरण [त्रिभुजनीय](#def-b2-reduction-diag) होता है।

**उपपत्ति.** ($\Rightarrow$) त्रिभुजाकार आव्यूह का [अभिलक्षणिक बहुपद](#def-b2-reduction-charpoly) $\prod(X - t_{ii})$ है: अर्थात् पूरी तरह गुणनखंडित।

($\Leftarrow$) $n$ पर आगमन। चूँकि $\chi_u$ गुणनखंडित होता है, उसका कोई मूल $\lambda$ है: कोई [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ चुनिए। $e_1$ से आरंभ होने वाले आधार में आव्यूह $\begin{pmatrix} \lambda & \ast\\ 0 &
B\end{pmatrix}$ है, और $\chi_u = (X - \lambda)\chi_B$: अतः $\chi_B$ भी गुणनखंडित होता है। $(n-1) \times
(n-1)$ आव्यूह $B$ पर आगमन परिकल्पना लगाने पर ऐसा प्रतिलोमनीय $Q$ मिलता है कि $Q^{-1}BQ$ ऊपरी त्रिभुजाकार हो; और $\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & Q\end{pmatrix}$ से पूरे आव्यूह का संयुग्मन करने पर वह त्रिभुजाकार हो जाता है। ∎

**उदाहरण 3.10 (हाथ से त्रिभुजन).**

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_B = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, और $\ker(B - 2I) =
\ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ $e_1' = (1, 1)$ से फैली रेखा है: अर्थात् एक [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen), और एक-विमीय [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) — [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं, पर [त्रिभुजनीय](#def-b2-reduction-diag) ([प्रमेय 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization))। आधार को $e_2' = (1, 0)$ से पूरा कीजिए और परिकलित कीजिए:

$$
u(e_1') = (2, 2) = 2e_1',
\qquad
u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,
$$

अतः आधार $(e_1', e_2')$ में आव्यूह $T =
\left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ है। समापन दृष्टि: $T$ का विकर्ण बाध्य था (दोनों प्रविष्टियों को दोहरा [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $2$ होना ही था); केवल कोने वाली प्रविष्टि $e_2'$ के चुनाव पर निर्भर थी, और $e_2'$ का मापन बदलकर उसे कोई भी अशून्य मान बनाया जा सकता है — अड़ियल “$1$” उस शून्यंभावी भाग की परछाईं है जिसे डनफ़र्ड अलग करके दिखाएगा।

## 3.2 किसी अंतःरूपांतरण के बहुपद

**परिभाषा 3.11.**

$P = \sum a_k X^k \in K[X]$ के लिए $P(u) = \sum a_k u^k \in
\mathcal{L}(E)$ रखिए। प्रतिचित्रण $P \mapsto P(u)$ बीजगणितों की समाकारिता $K[X] \to \mathcal{L}(E)$ है ([परिभाषा 1.33](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-algebra)); उसका केंद्रक $\{P : P(u) = 0\}$ $K[X]$ की [गुणजावली](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-ideal) है और अशून्य है (कुल $(\mathrm{id}, u, \dots, u^{n^2})$ $n^2$-विमीय $\mathcal{L}(E)$ में परस्पर जुड़ा है), अतः वह किसी अद्वितीय एकिक बहुपद $\mu_u$ से [जनित](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) है: यही *न्यूनतम बहुपद* है ([प्रमेय 1.26](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#thm-b2-structures-principal))।

**प्रतिज्ञप्ति 3.12.**

1. $P(u) = 0 \iff \mu_u \mid P$ ; $u$ के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) हर विलोपी बहुपद के मूल होते हैं, और $\mu_u$ के मूल *ठीक* [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) होते हैं।
2. यदि $F$ स्थायी है, तो $\mu_{u|_F} \mid \mu_u$ ।

**उपपत्ति.** (1) विभाज्यता जनक की परिभाषा ही है। यदि $u(x) =
\lambda x$, $x \neq 0$, तो $0 = P(u)(x) = P(\lambda)x$, अतः $P(\lambda) = 0$: अर्थात् [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) विलोपकों के मूल होते हैं, विशेष रूप से $\mu_u$ के। विलोमतः यदि $\lambda$ कोई मूल है, तो $Q(u) \neq 0$ सहित $\mu_u =
(X - \lambda)Q$ ($\mu_u$ की घात न्यूनतम है): $Q(u)(y) \neq 0$ वाला $y$ चुनिए; तब $(u - \lambda)(Q(u)(y)) = \mu_u(u)(y)
= 0$ [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $Q(u)(y)$ दिखा देता है।

(2) $\mu_u(u|_F) = \mu_u(u)|_F = 0$, और (1) को $u|_F$ पर लगाइए। ∎

**उदाहरण 3.13 (हाथ से न्यूनतम बहुपद).**

[न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) क्रमशः घातें जाँचकर परिकलित किया जाता है। सर्व-एक आव्यूह $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ के लिए: $J \neq \lambda I$ (घात $1$ बाहर हो जाती है), और $J^2 = 3J$, अतः

$$
\mu_J = X^2 - 3X = X(X - 3) :
$$

घात $2$, पूरी तरह गुणनखंडित, सरल मूल — अतः $J$ [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\{0, 3\}$ के साथ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है (नीचे [उपप्रमेय 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)), और इससे [उदाहरण 2.19](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#ex-b2-linalg-onesmatrix) की पुष्टि बिना एक भी [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) के हो जाती है। [उदाहरण 3.15](#ex-b2-reduction-projectorswork) के अदला-बदली आव्यूह $A$ के लिए: $A \neq \pm I$ और $A^2
= I$ से $\mu_A = X^2 - 1$ मिलता है। दोनों स्थितियों में ढर्रा एक ही है: संरचना से किसी कम घात की सर्वसमिका का अनुमान लगाइए (कोटि एक होने से $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$ बाध्य हो जाता है; कोई अंतर्वलन $A^2 = I$ को बाध्य कर देता है), फिर जाँचिए कि कोई उचित भाजक विलोपन नहीं करता। [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) प्रायः *खोजे* जाते हैं, $\chi$ से परिकलित नहीं किए जाते।

**प्रमेय 3.14 (केंद्रक अपघटन प्रमेयिका).**

यदि $P = P_1 P_2 \cdots P_r$ हो, जहाँ $P_i$ परस्पर सहअभाज्य हैं, तो

$$
\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \dots \oplus \ker P_r(u),
$$

और पदों पर प्रक्षेप $u$ के बहुपद होते हैं।

**उपपत्ति.** $r = 2$ की स्थिति निपटाकर आगमन कर लेना पर्याप्त है। $K[X]$ में बेज़ू ([प्रमेय 1.26](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#thm-b2-structures-principal)): $U P_1 + V P_2 = 1$, अतः प्रत्येक $x$ के लिए

$$
x = \underbrace{U(u)P_1(u)(x)}_{=:\,x_2}
+ \underbrace{V(u)P_2(u)(x)}_{=:\,x_1}.
$$

यदि $x \in \ker P(u)$: तो $P_2(u)(x_2) = U(u)\,P(u)(x) = 0$ (एक ही $u$ के बहुपद क्रमविनिमेय होते हैं), अतः $x_2 \in \ker P_2(u)$, और सममित रूप से $x_1
\in \ker P_1(u)$: इस प्रकार योग $\ker P(u)$ को भर देता है; और दोनों पद $\ker P(u)$ के भीतर बैठते हैं ($P_i \mid P$)। प्रत्यक्षता: $x \in \ker P_1(u)
\cap \ker P_2(u)$ से $x = U(u)P_1(u)x + V(u)P_2(u)x = 0$ मिलता है। $x_1, x_2$ वाले सूत्र प्रक्षेपों को $V(u)P_2(u)$ और $U(u)P_1(u)$ के रूप में दिखा देते हैं। ∎

**उदाहरण 3.15 (स्पष्ट प्रक्षेपकों के साथ केंद्रक प्रमेयिका).**

मान लीजिए $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
1\end{smallmatrix}\right)$ (पहले दो निर्देशांक आपस में बदल दीजिए)। तब $A^2
= I$: बहुपद $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ $A$ को विलुप्त करता है, उसके गुणनखंड सहअभाज्य हैं, और बेज़ू स्पष्ट है:

$$
\frac{1}{2}(X + 1) - \frac12(X - 1) = 1 .
$$

[प्रमेय 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) की उपपत्ति के अनुसार $\ker(A - I)$ और $\ker(A + I)$ पर प्रक्षेप $A$ के ये बहुपद हैं:

$$
\pi_+ = \frac{A + I}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},
\qquad
\pi_- = \frac{I - A}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
$$

जाँच: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 =
\pi_\pm$, और प्रतिबिंब समतल $\{x = y\}$ (सममित सदिश, [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1$) तथा रेखा $\R(1, -1, 0)$ (प्रतिसममित, [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $-1$) हैं। केंद्रक प्रमेयिका केवल अस्तित्व का कथन नहीं है: बेज़ू गुणांक *ही* प्रक्षेपक सूत्र हैं।

**उदाहरण 3.16 (प्रक्षेपक घातांकीय भी परिकलित कर देते हैं).**

वही अदला-बदली आव्यूह, एक कदम और आगे। चूँकि $A = \pi_+ -
\pi_-$, जहाँ प्रक्षेपक बीजगणितीय अर्थ में लांबिक हैं ($\pi_+\pi_- = 0$), अतः हर घात $A^k = \pi_+ +
(-1)^k\pi_-$ का पालन करती है, और घातांकीय श्रेणी प्रक्षेपकों के अनुसार पुनः समूहबद्ध हो जाती है:

$$
\eu^{tA} = \sum_k \frac{t^k}{k!}\bigl(\pi_+ +
(-1)^k\pi_-\bigr)
= \eu^{t}\,\pi_+ + \eu^{-t}\,\pi_- =
\begin{pmatrix}
\cosh t & \sinh t & 0\\
\sinh t & \cosh t & 0\\
0 & 0 & \eu^{t}
\end{pmatrix}.
$$

($t = 0$ जाँचिए: तत्समक; $0$ पर अवकलज: $A$।) अभिलक्षणिक अपघटन किसी आव्यूह श्रेणी को दो अदिश श्रेणियों में बदल देता है — यही वह ठीक-ठीक कार्यविधि है जिसे [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) हर [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) निकाय पर चलाएगा, और यही कारण है कि सममित युग्मनों का शासन अतिपरवलयिक फलन करते हैं।

**उपप्रमेय 3.17 (न्यूनतम बहुपद से विकर्णनीयता).**

$u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है $\iff$ $\mu_u$ $K$ पर *सरल* मूलों के साथ पूरी तरह गुणनखंडित होता है $\iff$ $u$ का कोई विलोपी बहुपद सरल मूलों के साथ पूरी तरह गुणनखंडित होता है।

**उपपत्ति.** यदि $P = \prod_{i}(X - \lambda_i)$ (भिन्न $\lambda_i$) सहित $P(u) = 0$, तो प्रमेयिका से $E = \ker P(u) = \bigoplus_i \ker(u -
\lambda_i)$ मिलता है: अर्थात् अभिलक्षणिक समष्टियों का प्रत्यक्ष योग, अतः $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit))। विलोमतः, [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) $u$ $\prod_{\lambda \in \operatorname{Sp}u}(X -
\lambda)$ से मारा जाता है (वह प्रत्येक [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) को मारता है), और वह सरल मूलों के साथ पूरी तरह गुणनखंडित होता है; और $\mu_u$ उसे विभाजित करता है जबकि उसके मूल वही हैं ([प्रतिज्ञप्ति 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)): अतः $\mu_u$ ठीक वही गुणनफल है। ∎

**उदाहरण 3.18.**

प्रक्षेप $p^2 = p$ को संतुष्ट करते हैं: अर्थात् $X(X-1)$ से विलुप्त, पूरी तरह गुणनखंडित सरल मूल — अतः [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{0, 1\}$ के साथ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag), और $E =
\ker p \oplus \ker(p - \mathrm{id})$: यही प्रथम वर्ष का ज्यामितीय विश्लेषण है, जो एक ही पंक्ति में पुनः सिद्ध हो गया। सममितियाँ ($s^2 = \mathrm{id}$, [विलोपक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-annihilator) $X^2 - 1$): $\operatorname{char} K
\neq 2$ होने पर [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag), [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{\pm 1\}$। और $u^3 =
u^2$ तथा $u^2 \neq u$ वाला कोई अंतःरूपांतरण: $X^2(X - 1)$ से विलुप्त, पर *आवश्यक नहीं* कि [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) हो — कसौटी इसे पकड़ लेती है (दोहरा मूल $0$ जाँचना ही पड़ता है: [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) यदि और केवल यदि इसके अतिरिक्त $\ker u^2 = \ker
u$ भी हो)।

**उदाहरण 3.19 (क्षेत्र निर्णय करता है: R3\R^3R3 में एक घूर्णन).**

मान लीजिए $R$ $z$-अक्ष के परितः चौथाई घूर्णन है:

$$
R = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
\chi_R = (X - 1)(X^2 + 1).
$$

$\R$ पर: एकमात्र [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1$ है, जिसकी [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) अक्ष $\R e_3$ है — अर्थात् अचर सदिशों की एक रेखा, और उससे आगे कोई समानयन नहीं: अतः $R$ $\mathcal{M}_3(\R)$ में न [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है न [त्रिभुजनीय](#def-b2-reduction-diag) ($\chi_R$ गुणनखंडित नहीं होता)। $\C$ पर: तीन भिन्न [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1, \iu, -\iu$, अतः $R$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है, जिसके [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $e_3$ और $e_1 \mp \iu e_2$ हैं। ज्यामिति बीजगणित में सुनाई दे रही थी: समतल में घूर्णनों की कोई वास्तविक अपरिवर्त्य दिशा नहीं होती, और मापांक $1$ वाले सम्मिश्र [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\pm\iu$ वह कोण ($\pm\frac\pi2$) सँजोए रखते हैं जिसे वास्तविक आव्यूह केवल निर्देशांक मिलाकर व्यक्त कर सकता है।

**उदाहरण 3.20 (न्यूनतम बनाम अभिलक्षणिक).**

$D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ के लिए: $\chi_D = (X - 2)^2(X -
3)$, परंतु $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, क्योंकि $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (विहित आधार पर जाँचिए) जबकि अकेला कोई भी गुणनखंड $D$ को नहीं मारता। स्थानांतरण खंड $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 &
0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, अर्थात् $N' =
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
3\end{smallmatrix}\right)$, के लिए: $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ *और* $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — यहाँ दोहरा मूल सचमुच आवश्यक है क्योंकि $N'$ $\ker$ की ओर [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं है ($N'e_2 =
e_1 \neq 0$)। अंगूठे का नियम: $\mu$ और $\chi$ के मूल एक ही होते हैं ([प्रतिज्ञप्ति 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)); $\mu$ में बहुलता सबसे बड़े शून्यंभावी खंड का आकार मापती है, और $\chi$ में वाली अभिलक्षणिक उपसमष्टि की कुल विमा।

**प्रमेय 3.21 (केली–हैमिल्टन).**

$\chi_u(u) = 0$; फलतः $\mu_u \mid \chi_u$, और $\deg \mu_u
\leq n$।

**उपपत्ति.** $x \neq 0$ स्थिर कीजिए और $d$ को महत्तम ऐसा लीजिए कि $(x, u(x), \dots,
u^{d-1}(x))$ स्वतंत्र हो; लिखिए

$$
u^d(x) = -a_0 x - a_1 u(x) - \dots - a_{d-1}u^{d-1}(x),
$$

और $P_x = X^d + a_{d-1}X^{d-1} + \dots + a_0$ रखिए, ताकि $P_x(u)(x) =
0$ हो। स्वतंत्र कुल को $E$ के आधार तक पूरा कीजिए: उस पर $u$ का खंड-रूप $\begin{pmatrix} C & \ast\\ 0 & D\end{pmatrix}$ है, जहाँ $C$ $P_x$ का सहचर आव्यूह है, जिसका [अभिलक्षणिक बहुपद](#def-b2-reduction-charpoly) $P_x$ है (पहले स्तंभ के अनुदिश $\det(XI - C)$ खोलिए और $d$ पर आगमन कीजिए)। अतः $\chi_u = P_x \cdot \chi_D$, और

$$
\chi_u(u)(x) = \chi_D(u)\bigl(P_x(u)(x)\bigr) = 0 .
$$

यह तर्क प्रत्येक $x$ के लिए चलता है: अतः $\chi_u(u) = 0$। ∎

**उदाहरण 3.22 (केली–हैमिल्टन काम पर).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
5X - 2$, अतः $A^2 = 5A + 2I$। $A$ की हर घात $I$ और $A$ के संचय में सिमट जाती है:

$$
A^4 = (5A + 2I)^2 = 25A^2 + 20A + 4I = 145A + 54I =
\begin{pmatrix} 199 & 290\\ 435 & 634\end{pmatrix},
$$

और प्रतिलोम मुफ़्त में मिल जाता है: $A(A - 5I) = 2I$ से

$$
A^{-1} = \tfrac12(A - 5I)
= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{pmatrix}.
$$

समापन दृष्टि: केली–हैमिल्टन पूरे बीजगणित $K[A]$ को $\operatorname{Vect}(I, A, \dots, A^{n-1})$ में संपीड़ित कर देता है — $\dim K[A] = \deg\mu_A \leq n$, चाहे आपको कितनी ही बड़ी घातें क्यों न चाहिए।

**टिप्पणी 3.23 (सामान्य भूलें).**

(क) [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) जुड़ते नहीं हैं: $\operatorname{Sp}(A + B)$ $\operatorname{Sp}A + \operatorname{Sp}B$ नहीं होता, और [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) आव्यूहों का योग [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) होना आवश्यक नहीं — $\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) +
\left(\begin{smallmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ दो [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) आव्यूहों का योग है (दोनों के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) भिन्न हैं) और स्वयं [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं; केवल *क्रमविनिमेय* कुल ही सधे हुए व्यवहार करते हैं ([अभ्यास 3.9](#exo-b2-reduction-9))। (ख) “$\chi_u$ गुणनखंडित होता है” *क्षेत्र* के बारे में परिकल्पना है: समतल के घूर्णन का $\chi =
X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ है, जो $\C$ पर गुणनखंडित होता है, $\R$ पर नहीं — अतः $\mathcal{M}_2(\C)$ में [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag), $\mathcal{M}_2(\R)$ में [त्रिभुजनीय](#def-b2-reduction-diag) भी नहीं। (ग) असमिका सदा ज्यामितीय $\leq$ बीजीय की दिशा में चलती है, कभी उलटी नहीं; और केवल $\dim E_\lambda \geq
1$ जाँचने से विकर्णनीयता के बारे में कुछ सिद्ध नहीं होता। (घ) $\mu_u$ $\chi_u$ नहीं है: समता ठीक तब होती है जब प्रत्येक [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) की केवल एक ही खंड-शृंखला हो (जैसे सहचर आव्यूह, इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या); और जहाँ $\mu$ चाहिए वहाँ $\chi$ लगाने से हर घात का परिकलन फूल जाता है। (ङ) डनफ़र्ड के $d$ और $\nu$ $u$ के बहुपद होते हैं — सही गुणधर्मों वाला कोई अपघटन $u = d' + \nu'$ जिसमें $d'\nu' \neq \nu'd'$ हो, डनफ़र्ड *नहीं* है और कभी अद्वितीय भी नहीं होता।

**टिप्पणी 3.24 (यह अध्याय कहाँ काम आता है).**

समानयन पुस्तक के शेष भाग का श्रमिक है: आव्यूहों की घातें और घातांकीय [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) के रैखिक अवकल निकाय चलाती हैं; [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) की वर्णक्रमीय प्रमेय विकर्णन का लांबिक रूप ही है; और जनक फलन ([अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun)) इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या वाली पुनरावृत्ति-अनंतस्पर्शिता को विश्लेषणात्मक ढंग से फिर से निकाल देते हैं। तृतीय वर्ष के खंड में यही कार्यक्रम अनंत विमा में चलता है: संहत स्वसंलग्न संकारकों का [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) सिद्धांत, जहाँ परिमित [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) का स्थान अभिलक्षणिक मानों के अनुक्रम ले लेते हैं, और धनात्मक आव्यूहों का पेरों–फ्रोबेनियस सिद्धांत, जो समझाता है कि गिनती की समस्याओं के प्रबल [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) धनात्मक और सरल *क्यों* होते हैं।

## 3.3 शून्यंभावी और डनफ़र्ड अपघटन

**प्रतिज्ञप्ति 3.25 (शून्यंभावी अंतःरूपांतरण).**

$\chi_u$ के गुणनखंडित होने पर $u$ के लिए निम्नलिखित तुल्य हैं: $u^n =
0$; किसी $k$ के लिए $u^k = 0$; $\operatorname{Sp}(u) = \{0\}$; $\chi_u
= X^n$; $u$ शून्य विकर्ण के साथ [त्रिभुजनीय](#def-b2-reduction-diag) है। किसी [शून्यंभावी अंतःरूपांतरण](#prop-b2-reduction-nilpotent) के लिए $\mu_u = X^{\text{(शून्यंभाविता
सूचकांक)}}$ होता है, और सूचकांक $\leq n$।

**उपपत्ति.** $u^k = 0$ हर [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) को $X^k$ का मूल बना देता है: अतः [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\{0\}$ ($\chi$ के गुणनखंडित होने पर अरिक्त — $\C$ पर सदा)। तब $\chi_u =
X^n$ (सभी मूल शून्य) और केली–हैमिल्टन से $u^n = 0$ मिलता है; और त्रिभुजन ([प्रमेय 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)) विकर्ण पर शून्य रख देता है (विकर्ण [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) वहन करता है)। विलोमतः, मान लीजिए $A$ यथार्थतः ऊपरी त्रिभुजाकार है: $j \leq i$ के लिए $a_{ij} = 0$। आगमन से हम दिखाते हैं कि

$$
(A^k)_{ij} = 0 \qquad \text{ जब भी } j \leq i + k - 1,
$$

अर्थात् हर घात शून्य वाले क्षेत्र को एक विकर्ण ऊपर धकेल देती है। $k = 1$ के लिए यही परिकल्पना है। और चरण के लिए,

$$
(A^{k+1})_{ij} = \sum_{\ell} (A^k)_{i\ell}\,a_{\ell j} ,
$$

जिसमें हर पद लुप्त हो जाता है: या तो $\ell \leq i + k - 1$ (तब पहला गुणनखंड आगमन से $0$ है) अथवा $\ell \geq i + k$, और उस स्थिति में $j \leq i + k \leq \ell$ दूसरे गुणनखंड को मार देता है। $k = n$ पर शर्त $j \leq i + n - 1$ सभी $i, j \leq n$ के लिए सत्य है: अतः $A^n =
0$। [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) $X^n$ को विभाजित करता है, और विलोपन ही सूचकांक को परिभाषित करता है। ∎

**प्रमेय 3.26 (डनफ़र्ड अपघटन).**

मान लीजिए $\chi_u$ $K$ पर गुणनखंडित होता है ($K = \C$ के लिए स्वतः)। तब

$$
u = d + \nu, \qquad d \text{ विकर्णनीय}, \quad \nu
\text{ शून्यंभावी}, \quad d\nu = \nu d ,
$$

वाला *अद्वितीय* युग्म $(d, \nu)$ विद्यमान है, और इसके अतिरिक्त $d$ तथा $\nu$ $u$ के बहुपद होते हैं।

**उपपत्ति.** *अस्तित्व।* $\chi_u = \prod_{i=1}^{r} (X -
\lambda_i)^{m_i}$ लिखिए (भिन्न $\lambda_i$) और $N_i = \ker(u -
\lambda_i)^{m_i}$ रखिए, जिन्हें *अभिलक्षणिक उपसमष्टि* कहते हैं। केली–हैमिल्टन तथा केंद्रक प्रमेयिका ([प्रमेय 3.14](#thm-b2-reduction-kernels)) से

$$
E = N_1 \oplus \dots \oplus N_r ,
$$

मिलता है, जिसमें प्रक्षेप $\pi_i$ $u$ के बहुपद हैं; और हर $N_i$ स्थायी है ($u$ के बहुपद $u$ के साथ क्रमविनिमेय होते हैं)। $d = \sum_i \lambda_i
\pi_i$ परिभाषित कीजिए: यह $u$ का बहुपद है और [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है (वह $N_i$ पर $\lambda_i$ की तरह क्रिया करता है, अतः $E$ अपनी अभिलक्षणिक समष्टियों में अपघटित हो जाता है)। तब $\nu = u -
d$ $u$ का बहुपद है (अतः $d$ के साथ क्रमविनिमेय), और हर $N_i$ पर वह $u - \lambda_i$ की तरह क्रिया करता है, जहाँ $(u - \lambda_i)^{m_i} = 0$: अर्थात् प्रत्येक पद पर $\nu^{\max m_i} = 0$, इसलिए $\nu$ शून्यंभावी है।

*अद्वितीयता।* मान लीजिए $u = d' + \nu'$ एक और ऐसा युग्म है। चूँकि $d'$ और $\nu'$ आपस में क्रमविनिमेय हैं, वे $u = d' +
\nu'$ के साथ भी क्रमविनिमेय हैं, अतः $u$ के हर बहुपद के साथ भी — विशेष रूप से $d$ और $\nu$ के साथ। तब $d - d'$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है (दो क्रमविनिमेय [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) प्रतिचित्रण एक साथ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) होते हैं: [अभ्यास 3.9](#exo-b2-reduction-9)) और वह $\nu' - \nu$ के बराबर है, जो शून्यंभावी है: क्योंकि यदि $\nu^k = 0$ और $\nu'^{k'} = 0$ हों, तो क्रमविनिमेयता द्विपद प्रसार की अनुमति देती है

$$
(\nu' - \nu)^{k + k' - 1}
= \sum_{j=0}^{k+k'-1}\binom{k + k' - 1}{j}
\,\nu'^{\,j}\,(-\nu)^{k + k' - 1 - j} ,
$$

जिसमें हर पद मर जाता है: या तो $j \geq k'$ (पहला गुणनखंड शून्य) अथवा $k + k' - 1 - j \geq k$ (दूसरा गुणनखंड शून्य), और दोनों में से एक सदा सत्य रहता है। [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) शून्यंभावी शून्य होता है (उसका [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\{0\}$ है और किसी आधार में वह विकर्ण है): अतः $d = d'$, $\nu = \nu'$। ∎

**उदाहरण 3.27 (घातें और घातांकीय).**

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
4X + 4 = (X-2)^2$, एकमात्र [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $2$, और विमा $1$ की [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen): अतः [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं। डनफ़र्ड: $D = 2I$, $N = A - 2I =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$। तब

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N ,
\qquad
\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN),
$$

जो क्रमशः क्रमविनिमेय द्विपद प्रमेय और घातांकीय श्रेणी ([अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq)) के क्रमविनिमेय पदों पर बँट जाने से मिलता है। समानयन आव्यूह गतिकी को अदिश गतिकी में बदल देता है।

**टिप्पणी 3.28 (इसी खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य).**

समानयन एक धुरी है; देखने योग्य चार आरे ये हैं। [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs) में अनुकूलित मानदंड “सभी अभिलक्षणिक मानों का मापांक $< 1$” को “किसी संकारक मानदंड के लिए $< 1$” में बदल देते हैं, जिससे [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) घातों और श्रेणियों के अभिसरण पर शासन करने लगते हैं। [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) में [उदाहरण 3.27](#ex-b2-reduction-powers) की विधि $X' = AX$ का सामान्य हल बन जाती है: डनफ़र्ड $\eu^{tA}$ को बहुपद-गुणा-घातांकीय खंडों में बाँट देता है, और स्थायित्व अभिलक्षणिक मानों के वास्तविक भागों से पढ़ लिया जाता है। [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) में एक अदिश गुणन वह करा देता है जो केवल रैखिक बीजगणित नहीं करा सकता: सममित आव्यूह *लांबिक रूप से* [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) हो जाते हैं, और उनका शून्यंभावी भाग बचता ही नहीं। और [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun) में इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या की प्रबल-अभिलक्षणिक-मान अनंतस्पर्शिता विश्लेषणात्मक रूप में लौटती है, किसी जनक फलन की सबसे छोटी विचित्रता के रूप में — एक ही वृद्धि दर की दो भाषाएँ।

## 3.4 अभ्यास

**अभ्यास 3.1 ★.**

विकर्णन कीजिए ([अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen), अभिलक्षणिक समष्टियों के आधार, प्रतिलोमनीय $P$):

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\qquad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
$$

**हल — अभ्यास 3.1.**

$A$: $\chi_A = X^2 - 2X - 3 = (X - 3)(X + 1)$। [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen): $3$ के लिए $(1,1)$; $-1$ के लिए $(1,-1)$। अतः $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1
& -1\end{pmatrix}$ से $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(3, -1)$ मिलता है।

$B = J - I$, जहाँ $J$ सर्व-एक आव्यूह है। $J$ की कोटि $1$ है, जिसमें $v = (1,1,1)$ के लिए $Jv = 3v$ और समतल $x + y + z =
0$ पर $Jw = 0$: अतः $B$ का [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\{2, -1\}$ है, जिसकी अभिलक्षणिक समष्टियाँ $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ (विमा $1$) और $\{x + y + z = 0\}$ (विमा $2$, आधार $(1,-1,0), (1,0,-1)$) हैं। इन तीन स्तंभों वाला $P$ $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$ देता है।

**अभ्यास 3.2 ★.**

दिखाइए कि $C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं है, और दो बार दिखाइए: अभिलक्षणिक समष्टियों से, और [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) से।

**हल — अभ्यास 3.2.**

*अभिलक्षणिक समष्टियाँ:* $\chi_C = (X-1)^2$, एकमात्र [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1$; और $\ker(C - I) = \ker\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ रेखा $\operatorname{Vect}(e_1)$ है: विमा $1 < 2 = m_1$, अतः [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit))।

*[न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu):* $\mu_C$ $(X-1)^2$ को विभाजित करता है और $C \neq I$ को भी, अतः $\mu_C = (X-1)^2$: दोहरा मूल, इसलिए [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं ([उपप्रमेय 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit))।

**अभ्यास 3.3 ★.**

मान लीजिए $u$ $u^2 - 5u + 6\,\mathrm{id} = 0$ को संतुष्ट करता है। सिद्ध कीजिए कि $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है, संभव [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) निर्धारित कीजिए, और $u^k$ को $\mathrm{id}$ तथा $u$ के संचय के रूप में परिकलित कीजिए।

**हल — अभ्यास 3.3.**

$X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)$: सरल मूलों के साथ पूरी तरह गुणनखंडित, अतः $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([उपप्रमेय 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)), और $\operatorname{Sp}(u) \subseteq \{2, 3\}$। संभव [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen): $\{2\}$ ($u = 2\,\mathrm{id}$), $\{3\}$ ($u = 3\,\mathrm{id}$), अथवा $\{2, 3\}$।

घातें: $u^k = a_k\,\mathrm{id} + b_k\,u$ खोजिए। अभिलक्षणिक समष्टियों पर यह $2^k = a_k + 2b_k$ और $3^k = a_k + 3b_k$ पढ़ा जाता है: हल करने पर $b_k
= 3^k - 2^k$, $a_k = 3\cdot2^k - 2\cdot 3^k$:

$$
u^k = (3\cdot 2^k - 2\cdot 3^k)\,\mathrm{id} + (3^k - 2^k)\, u .
$$

(तीनों वर्णक्रमों के लिए मान्य: सर्वसमिकाएँ अभिलक्षणिक-मान-दर-अभिलक्षणिक-मान सत्य हैं।)

**अभ्यास 3.4 ★★.**

मान लीजिए $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है और $F$ स्थायी उपसमष्टि है। सिद्ध कीजिए कि $u|_F$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है *(सरल गुणनखंडित मूलों वाले किसी विलोपी बहुपद को प्रतिबंधित कीजिए)*।

**हल — अभ्यास 3.4.**

$u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag): [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) पर $P = \prod_{\lambda}(X - \lambda)$ $u$ को विलुप्त करता है, पूरी तरह गुणनखंडित है, और उसके मूल सरल हैं। तब $P(u|_F) =
P(u)|_F = 0$: प्रतिबंधन भी सरल मूलों वाले पूरी तरह गुणनखंडित बहुपद से विलुप्त होता है, अतः [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([उपप्रमेय 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit))।

**अभ्यास 3.5 ★★.**

(फिबोनाच्ची) मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$। $A$ का $\R$ पर विकर्णन कीजिए, और इससे फिबोनाच्ची अनुक्रम ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+1} = F_n +
F_{n-1}$) के लिए बिने का सूत्र निष्कर्ष रूप में निकालिए:

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5},
\qquad \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1 -
\sqrt5}{2}.
$$

**हल — अभ्यास 3.5.**

$\chi_A = X^2 - X - 1$, जिसके मूल $\varphi$ और $\psi$ हैं (भिन्न): अतः [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag), और [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $(\varphi, 1)$ तथा $(\psi, 1)$। पुनरावृत्ति $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} =
A^n \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ देती है। $(1, 0)$ को अभिलक्षणिक सदिशों पर अपघटित कीजिए: $\varphi - \psi = \sqrt5$ सहित $(1,0) = \frac{1}{\varphi - \psi}\bigl((\varphi, 1) -
(\psi, 1)\bigr)$। $A^n$ लगाने से हर अभिलक्षणिक घटक अपने [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) की $n$-वीं घात से गुणा हो जाता है; दूसरा निर्देशांक पढ़ने पर:

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5} .
$$

(जाँच: $n = 1$ से $\frac{\varphi - \psi}{\sqrt5} = 1$ मिलता है।)

**अभ्यास 3.6 ★★.**

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$ है, जहाँ $u^2$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है और $u$ प्रतिलोमनीय ($K = \C$)। सिद्ध कीजिए कि $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है। $u$ के प्रतिलोमनीय न होने पर एक प्रतिउदाहरण दीजिए।

**हल — अभ्यास 3.6.**

मान लीजिए $P = \prod_i (X - \mu_i)$ $u^2$ को विलुप्त करता है और सरल मूलों $\mu_i$ (अर्थात् $u^2$ का [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen)) के साथ पूरी तरह गुणनखंडित होता है। चूँकि $u$ प्रतिलोमनीय है, $0$ $u^2$ का [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) नहीं है ($\det u^2 = (\det u)^2 \neq 0$), अतः सभी $\mu_i \neq 0$। तब

$$
Q(X) = \prod_i (X^2 - \mu_i) = \prod_i (X - \sqrt{\mu_i})(X +
\sqrt{\mu_i})
$$

$u$ को विलुप्त करता है: $\;Q(u) = \prod_i (u^2 - \mu_i\,\mathrm{id}) =
P(u^2) = 0$। उसके मूल $\pm
\sqrt{\mu_i}$ (सम्मिश्र वर्गमूल) परस्पर भिन्न हैं क्योंकि $\mu_i$ भिन्न और अशून्य हैं ($\sqrt{\mu_i} = -\sqrt{\mu_j}$ से $\mu_i = \mu_j$ मिल जाता)। पूरी तरह गुणनखंडित और सरल मूल: अतः $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है।

प्रतिलोमनीयता के बिना प्रतिउदाहरण: $u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix}$: $u^2 = 0$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है, $u$ नहीं।

**अभ्यास 3.7 ★★.**

निम्नलिखित के लिए [डनफ़र्ड अपघटन](#thm-b2-reduction-dunford), $A^k$ और $\eu^{tA}$ परिकलित कीजिए:

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

**हल — अभ्यास 3.7.**

$A = 2I + N$, जहाँ $N$ स्थानांतरण है ($N e_2 = e_1$, $Ne_3 = e_2$), $N^3 = 0$, $N^2 = E_{13}$: यह *ही* [डनफ़र्ड अपघटन](#thm-b2-reduction-dunford) है ($2I$ विकर्ण, $N$ शून्यंभावी, और वे क्रमविनिमेय हैं; अद्वितीयता से यही वह अपघटन है)। क्रमविनिमेय पदों के साथ द्विपद:

$$
A^k = 2^k I + k 2^{k-1} N + \binom k2 2^{k-2} N^2
= \begin{pmatrix}
2^k & k2^{k-1} & \binom k2 2^{k-2}\\
0 & 2^k & k2^{k-1}\\
0 & 0 & 2^k
\end{pmatrix},
$$

$$
\eu^{tA} = \eu^{2t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr)
= \eu^{2t}\begin{pmatrix}
1 & t & t^2/2\\
0 & 1 & t\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**अभ्यास 3.8 ★★.**

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ है और किसी $k \geq 1$ के लिए $A^k = I$ है। सिद्ध कीजिए कि $A$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है और उसके [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) इकाई के $k$-वें मूल हैं। इससे निष्कर्ष निकालिए कि इकाई विकर्ण वाले त्रिभुजाकार आव्यूह के सदृश परिमित कोटि का कोई प्रतिलोमनीय सम्मिश्र आव्यूह तत्समक ही होता है।

**हल — अभ्यास 3.8.**

$X^k - 1$ $A$ को विलुप्त करता है और $\C$ पर $k$ भिन्न मूलों $\eu^{2\iu\pi j/k}$ के साथ गुणनखंडित होता है: अतः $A$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([उपप्रमेय 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)) और उसके [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen), जो $X^k - 1$ के मूल हैं, इकाई के $k$-वें मूल हैं।

यदि इसके अतिरिक्त $A$ इकाई विकर्ण वाले किसी त्रिभुजाकार आव्यूह के सदृश है: तो सभी [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1$ के बराबर हैं, और $A$, जो एकमात्र [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1$ के साथ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है, $P\,I\,P^{-1} = I$ है।

**अभ्यास 3.9 ★★★.**

(एक साथ विकर्णन) मान लीजिए $u, v$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) और परस्पर क्रमविनिमेय हैं। सिद्ध कीजिए कि वे *एक साथ* [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) हैं: कोई आधार दोनों का विकर्णन कर देता है। *($u$ की हर [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) $v$-स्थायी है; [अभ्यास 3.4](#exo-b2-reduction-4) का उपयोग करके वहाँ $v$ के प्रतिबंधनों का विकर्णन कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 3.9.**

$E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)$ लिखिए ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit))। प्रत्येक $E_\lambda(u)$ $v$-स्थायी है: $x \in E_\lambda$ के लिए $u(v(x)) = v(u(x)) = \lambda
v(x)$। $v$ का $E_\lambda(u)$ पर प्रतिबंधन [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([अभ्यास 3.4](#exo-b2-reduction-4)): $E_\lambda(u)$ का ऐसा आधार चुनिए जो $v$-अभिलक्षणिक सदिशों से बना हो। सभी $\lambda$ पर इन आधारों को जोड़ देने से $E$ का ऐसा आधार मिलता है जिसके सदिश *दोनों* $u$ ($E_\lambda(u)$ में होने से) और $v$ (रचना से) के [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) हैं।

**अभ्यास 3.10 ★★★.**

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(\C^n)$। सिद्ध कीजिए कि $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है यदि और केवल यदि प्रत्येक $u$-स्थायी उपसमष्टि की कोई $u$-स्थायी संपूरक उपसमष्टि हो। *($\Leftarrow$ के लिए: यह गुणधर्म $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ पर लगाइए, जो सभी अभिलक्षणिक समष्टियों का योग है; यदि कोई स्थायी संपूरक $G$ अशून्य होता, तो $u|_G$ का त्रिभुजन $u$ का कोई [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $G$ के भीतर उत्पन्न कर देता — जो $G \cap
F = \{0\}$ के विरुद्ध है।)*

**हल — अभ्यास 3.10.**

($\Rightarrow$) मान लीजिए $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है और $F$ स्थायी। तब $u|_F$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([अभ्यास 3.4](#exo-b2-reduction-4)): $F$ का कोई आधार अभिलक्षणिक सदिशों से बना है, जो प्रत्येक वैश्विक [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) $E_\lambda$ के भीतर $E_\lambda$ के आधार तक बढ़ाया जा सकता है ($E_\lambda$ के भीतर अपूर्ण आधार प्रमेय, वहाँ पड़े $F$ के आधार के भाग से आरंभ करके — ध्यान दीजिए कि $u|_F$ के [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) होने से $F = \bigoplus_\lambda (F \cap E_\lambda)$)। जोड़े गए सदिश एक स्थायी संपूरक फैलाते हैं (हर सदिश किसी न किसी $E_\lambda$ में है, अतः उनका विस्तार $u$-स्थायी है)।

($\Leftarrow$) मान लीजिए $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ (एक स्थायी उपसमष्टि) और $G$ उसका स्थायी संपूरक है। यदि $G \neq \{0\}$: तो $\chi_{u|_G}$ $\C$ पर गुणनखंडित होता है, अतः $u|_G$ का कोई [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $x \in G$ है ([प्रमेय 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization), अथवा सीधे किसी मूल का अस्तित्व); परंतु $u$ का हर [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $F$ में पड़ता है, अतः $x \in F
\cap G = \{0\}$: विरोधाभास। अतः $G = \{0\}$ और $E = F$: अभिलक्षणिक समष्टियाँ $E$ को भर देती हैं, अर्थात् $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है।

**अभ्यास 3.11 ★★★.**

(गेलफांड का हल्का रूप — आगे आने वाले विश्लेषण की $2\times2$ झलक) मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_2(\C)$ है और उसके दोनों अभिलक्षणिक मानों का मापांक $< 1$ है। सिद्ध कीजिए कि $k \to \infty$ होने पर प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि $A^k \to 0$। *(त्रिभुजन कीजिए: $T$ ऊपरी त्रिभुजाकार सहित $A = P(T)P^{-1}$; $T^k$ स्पष्ट रूप से परिकलित कीजिए — बराबर और भिन्न अभिलक्षणिक मानों में भेद कीजिए — और परिबंध लगाइए।)*

**हल — अभ्यास 3.11.**

त्रिभुजन कीजिए: $A = PTP^{-1}$, $T = \begin{pmatrix} \lambda & c\\ 0 &
\mu\end{pmatrix}$, $\abs\lambda, \abs\mu < 1$। तब $A^k =
PT^kP^{-1}$, और इतना ही पर्याप्त है कि $T^k \to 0$।

*भिन्न [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen):* आगमन से

$$
T^k = \begin{pmatrix}
\lambda^k & c\,\dfrac{\lambda^k - \mu^k}{\lambda - \mu}\\[4pt]
0 & \mu^k
\end{pmatrix},
$$

मिलता है, और हर प्रविष्टि $0$ की ओर जाती है ($\abs{\lambda}^k, \abs\mu^k \to 0$)।

*बराबर [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) ($\mu = \lambda$):* $T = \lambda I + cE_{12}$ और $T^k = \lambda^k I + k\lambda^{k-1}cE_{12}$; और प्रविष्टि $k\lambda^{k-1} \to 0$ क्योंकि $\abs\lambda < 1$ (गुणोत्तर बहुपद को हरा देता है)। दोनों स्थितियों में प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि $T^k \to 0$, अतः $A^k =
PT^kP^{-1} \to 0$ (स्थिर $P, P^{-1}$ से आव्यूह गुणन प्रविष्टियों में संतत है — गुणनफल की हर प्रविष्टि एक निश्चित रैखिक संचय है)।

**अभ्यास 3.12 ★★.**

मान लीजिए $\operatorname{rk} u = 1$ ($n
\geq 2$) सहित $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ है। दिखाइए कि $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$, और यह भी कि $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है यदि और केवल यदि $\operatorname{tr} u
\neq 0$। *([अभ्यास 2.5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#exo-b2-linalg-5) से स्मरण कीजिए कि $u^2 =
(\operatorname{tr} u)\,u$।)*

**हल — अभ्यास 3.12.**

$\ker u$ की विमा $n - 1$ है (कोटि–शून्यता), अतः $0$ [ज्यामितीय बहुलता](#def-b2-reduction-charpoly) $n - 1$ वाला [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) है, और $\chi_u$ $X^{n-1}$ से विभाज्य है ([परिभाषा 3.3](#def-b2-reduction-charpoly): ज्यामितीय $\leq$ बीजीय)। $\chi_u = X^{n-1}(X - \alpha)$ लिखिए; $X^{n-1}$ का गुणांक $-\operatorname{tr} u$ होने से $\alpha =
\operatorname{tr} u$ मिलता है: $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr}
u)$।

यदि $\operatorname{tr} u \neq 0$: तो [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\operatorname{tr} u$ $\chi_u$ का मूल है, अतः वह कोई [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) वहन करता है; $0$ और $\operatorname{tr} u$ की अभिलक्षणिक समष्टियों की विमाएँ $n - 1$ तथा $\geq 1$ हैं, जिनका योग $\geq n$ है: अतः वे $E$ को भर देती हैं और $u$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit))। और यदि $\operatorname{tr} u = 0$: तो [अभ्यास 2.5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#exo-b2-linalg-5) से $u \neq 0$ सहित $u^2 = (\operatorname{tr} u)u = 0$ मिलता है: $u$ अशून्य शून्यंभावी है, और [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) शून्यंभावी शून्य होता है ([प्रतिज्ञप्ति 3.25](#prop-b2-reduction-nilpotent)): अतः [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) नहीं।

## 3.5 समस्या: रैखिक पुनरावृत्तियाँ और सहचर आव्यूह

रैखिक पुनरावृत्ति $u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots + a_0 u_n$ भेस बदली हुई आव्यूह-घात ही है, और समानयन उसे बंद सूत्रों, वृद्धि दरों तथा त्रुटि आकलनों में बदल देता है। यह सप्ताहांत समस्या वह शब्दकोश विकसित करती है — एक ओर सहचर आव्यूह, दूसरी ओर अनुक्रमों की समष्टि पर स्थानांतरण संकारक — *रैखिक पुनरावृत्तियों की मूल प्रमेय* सिद्ध करती है (सामान्य हल [अभिलक्षणिक बहुपद](#def-b2-reduction-charpoly) के मूलों पर $\sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ होता है), और उसका लाभ $\sqrt2$ के डायोफैंटीय सन्निकटन पर, पथों और शब्दों की गिनती पर, तथा युग्मित अनुक्रमों के ऐसे वलय पर खर्च करती है जिसे केवल एक साथ विकर्णन ही सुलझा सकता है।

**समस्या 3.1.**

सप्ताहांत समस्या — रैखिक पुनरावृत्तियों की मूल प्रमेय

$k \geq 1$ स्थिर कीजिए, $a_0
\neq 0$ सहित अदिश $a_0, \dots, a_{k-1} \in \C$, एकिक बहुपद $P = X^k - a_{k-1}X^{k-1} - \dots -
a_1 X - a_0$, और पुनरावृत्ति

$$
(\mathcal R)\colon\quad u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots +
a_1 u_{n+1} + a_0 u_n \qquad (n \geq 0).
$$

$P$ का *सहचर आव्यूह* यह है:

$$
C =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\
 & \ddots & \ddots & \\
 & & 0 & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_{k-1}
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_k(\C).
$$

**भाग I — सहचर शब्दकोश।**

1. दिखाइए कि कोई अनुक्रम $(u_n)$ $(\mathcal R)$ को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि सदिश $v_n = (u_n, u_{n+1}, \dots,  u_{n+k-1})^{\mathsf T}$ $v_{n+1} = Cv_n$ को संतुष्ट करें, अतः $v_n = C^n v_0$ ।
2. सिद्ध कीजिए कि $\chi_C = P$ (पहले स्तंभ के अनुदिश $\det(XI - C)$ खोलिए और $k$ पर आगमन कीजिए), और फिर यह भी कि $\mu_C = P$ *($C^{\mathsf T}$ पर जाइए, जिसके लिए $e_1$ [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) है, और ध्यान दीजिए कि किसी आव्यूह और उसके [परिवर्त](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-transpose) का [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) एक ही होता है)* ।
3. दिखाइए कि $P$ के प्रत्येक मूल $\lambda$ के लिए सदिश $(1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf T}$ $\lambda$ के लिए $C$ की [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) को फैलाता है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि $C$ की *हर* [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) की विमा $1$ है, और $C$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है यदि और केवल यदि $P$ के $k$ भिन्न मूल हों।
4. मान लीजिए $P$ के भिन्न मूल $\lambda_1, \dots,  \lambda_k$ हैं। दिखाइए कि गुणोत्तर अनुक्रम $(\lambda_i^n)_n$ $(\mathcal R)$ के हल-समष्टि का आधार बनाते हैं, अतः हर हल अद्वितीय अचरों $c_i$ के साथ $u_n = \sum_i  c_i\lambda_i^n$ है।
5. पूरी तरह हल कीजिए: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ।

**भाग II — स्थानांतरण संकारक और मूल प्रमेय।** मान लीजिए $\mathcal{S}$ सभी सम्मिश्र अनुक्रमों की $\C$-सदिश समष्टि है और $S \in
\mathcal{L}(\mathcal{S})$ स्थानांतरण है, $S\bigl((u_n)_n\bigr) =
(u_{n+1})_n$।

6. दिखाइए कि $(\mathcal R)$ का हल-समुच्चय $\ker  P(S)$ है, और उसकी विमा ठीक $k$ है *(किसी हल को उसके आरंभिक मानों पर भेजिए)* ।
7. समझाइए कि केंद्रक अपघटन प्रमेयिका ( [प्रमेय 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) ) अनंत-विमीय $\mathcal{S}$ पर $S$ के लिए बिना किसी परिवर्तन के क्यों लागू होती है, और $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ के लिए $\ker P(S)$ का परिणामी अपघटन लिखिए (भिन्न $\lambda_i$ , और सभी अशून्य क्योंकि $a_0 \neq 0$ )।
8. $\lambda \neq 0$ और $m \geq 1$ के लिए दिखाइए $$\ker\,(S - \lambda\,\mathrm{id})^m  = \bigl\{\,\bigl(Q(n)\,\lambda^n\bigr)_n : Q \in  \C_{m-1}[X]\,\bigr\},$$ जिसकी विमा $m$ है। *($\Delta Q = Q(X + 1) -  Q(X)$ के साथ $(S -  \lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =  \lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ परिकलित कीजिए, और इसका उपयोग कीजिए कि $\Delta$ घात घटा देता है; विमा के लिए आरंभिक मानों के द्वारा उसे $m$ से परिबद्ध कीजिए।)*
9. (रैखिक पुनरावृत्तियों की मूल प्रमेय) निष्कर्ष निकालिए: यदि $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ हो, जहाँ $\lambda_i$ भिन्न और अशून्य हैं, तो $(\mathcal R)$ के हल ठीक वे अनुक्रम $$u_n = \sum_{i=1}^{r} Q_i(n)\,\lambda_i^n,  \qquad Q_i \in \C_{m_i - 1}[X],$$ हैं जिनमें बहुपद $Q_i$ अद्वितीय रूप से निर्धारित होते हैं।
10. पूरी तरह हल कीजिए: $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n$ , $u_0 =  1$ , $u_1 = 0$ , और उत्तर $u_2$ पर जाँचिए।

**भाग III — प्रबल मूल और डायोफैंटीय लाभ।**

11. मान लीजिए मूल सरल हैं और $i \geq 2$ के लिए $\abs{\lambda_1} >  \abs{\lambda_i}$ है, तथा $c_1 \neq 0$ सहित $u_n = \sum_i c_i  \lambda_i^n$ । दिखाइए कि $u_n \sim  c_1\lambda_1^n$ और $u_{n+1}/u_n \to \lambda_1$ ।
12. (पेल) $a_{n+1} = a_n + 2b_n$ , $b_{n+1} = a_n +  b_n$ , $a_0 = b_0 = 1$ परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि $q(a, b) = a^2 - 2b^2$ $q(a_{n+1}, b_{n+1}) = -q(a_n, b_n)$ को संतुष्ट करता है, अतः $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$ ; और इसका संबंध $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 1 &  1\end{smallmatrix}\right)$ के [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) से बताइए।
13. इससे त्रुटि आकलन $$\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|  = \frac{1}{b_n\,(a_n + \sqrt2\,b_n)}  \leq \frac{1}{2b_n^2},$$ निष्कर्ष रूप में निकालिए और दिखाइए कि वह अनुपात $3 -  2\sqrt2$ के साथ गुणोत्तर ढंग से क्षीण होता है *($M$ के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) और $b_n$ की वृद्धि ज्ञात कीजिए)*।
14. (सामान्य वृद्धि) प्रश्न 9 से सिद्ध कीजिए: (क) यदि हर मूल $\abs{\lambda_i} \leq \rho$ को संतुष्ट करता है, तो $m = \max_i m_i$ सहित $\abs{u_n} \leq C\,n^{m-1}\rho^n$ ; (ख) यदि महत्तम मापांक का कोई अद्वितीय मूल $\lambda_1$ हो और $Q_1 \neq 0$ हो, तो $u_{n+1}/u_n \to  \lambda_1$ — इसे प्रश्न 10 के हल पर जाँचिए।

**भाग IV — पथों और शब्दों की गिनती।** शीर्ष समुच्चय $\{1, \dots, N\}$ वाले किसी परिमित ग्राफ के लिए *संलग्नता आव्यूह* $A$ में $ij$ के कोर होने पर $A_{ij} = 1$ होता है, अन्यथा $0$।

15. सिद्ध कीजिए कि $(A^n)_{ij}$ $i$ से $j$ तक $n$ लंबाई के पथों की संख्या है (अर्थात् $n$ कोरों के अनुक्रम, जिसमें हर पग किसी कोर के अनुदिश हो)।
16. (त्रिभुज) $3$ शीर्षों वाले पूर्ण ग्राफ के लिए $A = J - I$: $J$ के [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) ([उदाहरण 2.19](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#ex-b2-linalg-onesmatrix)) का उपयोग करके दिखाइए $$(A^n)_{ii} = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3},  \qquad  (A^n)_{ij} = \frac{2^n - (-1)^n}{3} \quad (i \neq j),$$ और $n = 2$ पर पथ गिनकर दोनों जाँचिए।
17. ( $11$ के बिना शब्द) मान लीजिए $w_n$ $n$ लंबाई के उन द्विआधारी शब्दों की संख्या है जिनमें दो $1$ लगातार नहीं आते। शब्दों को उनके अंतिम अक्षर से संकेतित करके अंतरण आव्यूह पाइए, $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ दिखाइए, $w_n =  F_{n+2}$ निष्कर्ष रूप में निकालिए (फिबोनाच्ची, [अभ्यास 3.5](#exo-b2-reduction-5) ), और वृद्धि दर $\lim w_{n+1}/w_n$ दीजिए।
18. (पथ ग्राफ) पथ ग्राफ $1 - 2 - 3$ के लिए दिखाइए कि $A$ के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt2, 0, -\sqrt2$ हैं जिनके [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ और $(1, 0, -1)$ हैं, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि एक सिरे से दूसरे सिरे तक $n$ लंबाई के पथों की संख्या $\bigl((\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n\bigr)/4$ है: विषम $n$ के लिए शून्य, और सम $n$ के लिए $2^{\,n/2 - 1}$ । $n = 4$ पर जाँचिए।
19. (अनुरेख सूत्र) दिखाइए कि $n$ लंबाई के बंद पथों की कुल संख्या (सभी आरंभिक बिंदुओं पर) $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i \lambda_i^n$ है, और इसे त्रिभुज पर सत्यापित कीजिए।

**भाग V — अनुक्रमों का एक वलय: एक साथ विकर्णन।** $k \geq 3$ स्थिर कीजिए, $\omega = \eu^{2\iu\pi/k}$ लीजिए, और मान लीजिए $W \in \mathcal{M}_k(\C)$ [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) स्थानांतरण है: $W e_i =
e_{i+1}$ (सूचकांक $k$ के सापेक्ष, स्तंभ $0, \dots, k-1$ से अंकित)।

20. दिखाइए कि $W^{\mathsf T}$ $X^k - 1$ का सहचर आव्यूह है, इससे $\chi_W = \mu_W = X^k - 1$ निष्कर्ष रूप में निकालिए, और यह भी कि $W$ $k$ सरल अभिलक्षणिक मानों $\omega^j$ तथा अभिलक्षणिक सदिशों $f_j = (1, \omega^{-j},  \omega^{-2j}, \dots, \omega^{-(k-1)j})^{\mathsf T}$ के साथ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है।
21. *[चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated)* आव्यूह $C = c_0 I + c_1 W + \dots  + c_{k-1}W^{k-1}$ होता है। दिखाइए कि सभी [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) आव्यूह परस्पर क्रमविनिमेय हैं, कि आधार $(f_0, \dots, f_{k-1})$ *उन सबका* एक साथ विकर्णन कर देता है, और कि $C$ के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\widehat c(\omega^j) = \sum_m  c_m \omega^{jm}$ , $j = 0, \dots, k-1$ हैं।
22. इससे $\det C = \prod_{j=0}^{k-1} \widehat  c(\omega^j)$ निष्कर्ष रूप में निकालिए, और जाँचिए कि $k = 3$ से [अभ्यास 2.8](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#exo-b2-linalg-8) का गुणनखंडन पुनः प्राप्त हो जाता है।
23. (माला का औसत) $M = \frac12(W + W^{-1})$ सहित $x^{(n+1)} = Mx^{(n)}$ लीजिए: अर्थात् वलय में सजाई गई $k$ संख्याओं में से हर एक को उसके दोनों पड़ोसियों के औसत से बदल दिया जाता है। दिखाइए कि $M$ के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\cos(2\pi j/k)$ हैं, और $f_0$ पर $x^{(0)}$ का गुणांक माध्य $\frac1k\sum_m x^{(0)}_m$ है *($f_j$ के निर्देशांकों का योग लीजिए)* ।
24. निष्कर्ष निकालिए: विषम $k$ के लिए $x^{(n)}$ उस अचर सदिश पर अभिसरित होता है जिसका मान आरंभिक मानों का माध्य है; और $k = 4$ के लिए वह [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) दिखाइए जो अनभिसरण के लिए उत्तरदायी है, तथा ठीक-ठीक बाधा भी (एक एकांतर-माध्य गुणांक, जिसका लुप्त होना आवश्यक है)।
25. (संश्लेषण) एक-एक वाक्य में: सहचर आव्यूह $(\mathcal R)$ के विश्लेषण को समानयन में कैसे बदल देता है; केंद्रक अपघटन प्रमेयिका को कहाँ परिमित विमा की आवश्यकता नहीं पड़ी; प्रबल [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) वृद्धि दरों और डायोफैंटीय त्रुटि पर शासन क्यों करते हैं; संलग्नता आव्यूह की घातें पथ क्यों गिनती हैं; और क्रमविनिमेय आव्यूह क्या दिला देते हैं। दोनों शिखर नाम लीजिए: रैखिक पुनरावृत्तियों की मूल प्रमेय, और — भाग IV के धनात्मक आव्यूहों के लिए, तृतीय वर्ष के खंड में — पेरों–फ्रोबेनियस प्रमेय।

**हल — समस्या 3.1.**

**1.** $Cv_n$ के पहले $k - 1$ निर्देशांक $u_{n+1},
\dots, u_{n+k-1}$ हैं (अधिविकर्ण स्थानांतरण कर देता है), और अंतिम $a_0 u_n + \dots + a_{k-1}u_{n+k-1}$ है। अतः $v_{n+1} = Cv_n$ सभी $n$ के लिए तभी सत्य है जब अंतिम निर्देशांक सभी $n$ के लिए मेल खाएँ, अर्थात् तभी जब $(\mathcal R)$ सत्य हो। इसे दोहराने पर $v_n = C^nv_0$।

**2.** $D_k(X) = \det(XI_k - C)$ को पहले स्तंभ के अनुदिश खोलिए: दो अशून्य प्रविष्टियाँ $X$ (स्थान $(1,1)$) और $-a_0$ (स्थान $(k,1)$) हैं। पहला उपसारणिक गुणांकों $a_1, \dots, a_{k-1}$ के लिए $D_{k-1}$ के आकार का है; दूसरा उपसारणिक विकर्ण $-1$ वाला ऊपरी त्रिभुजाकार है: [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) $(-1)^{k-1}$, और स्थान से चिह्न $(-1)^{k+1}$। $k$ पर आगमन (आधार $k = 1$: $X - a_0$) देता है

$$
D_k(X) = X\bigl(X^{k-1} - a_{k-1}X^{k-2} - \dots - a_1\bigr) -
a_0 = P(X).
$$

$\mu_C$ के लिए: चूँकि किसी भी बहुपद के लिए $Q(C^{\mathsf T}) = Q(C)^{\mathsf T}$, अतः $C$ और $C^{\mathsf T}$ के [विलोपक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-annihilator) एक ही हैं, इसलिए [न्यूनतम बहुपद](#def-b2-reduction-polyu) भी एक ही। $C^{\mathsf T}$ के लिए: स्तंभ $C^{\mathsf T}e_1 = e_2$, …, $C^{\mathsf
T}e_{k-1} = e_k$ पढ़े जाते हैं, अतः $(e_1, C^{\mathsf T}e_1, \dots, (C^{\mathsf
T})^{k-1}e_1)$ विहित आधार है: स्वतंत्र। तब घात $< k$ के किसी बहुपद $Q
\neq 0$ के लिए $Q(C^{\mathsf T})e_1 \neq 0$ (वह आधार सदिशों का अतुच्छ संचय है): $\deg\mu \geq
k$। और $\deg P = k$ सहित $\mu \mid \chi = P$ होने से: $\mu_C = P$।

**3.** $v = (1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf
T}$ के लिए: $Cv$ की पंक्तियाँ $1$ से $k-1$ तक $\lambda, \lambda^2, \dots,
\lambda^{k-1}$ देती हैं, अर्थात् $v$ की पहली $k - 1$ प्रविष्टियों का $\lambda$ गुना; और अंतिम पंक्ति $\sum_m a_m\lambda^m = \lambda^k -
P(\lambda) = \lambda^k = \lambda\cdot\lambda^{k-1}$ देती है। अतः $Cv =
\lambda v$। विलोमतः, $i < k$ के लिए समीकरण $(Cx)_i = \lambda x_i$ $x_{i+1} = \lambda x_i$ पढ़े जाते हैं: अर्थात् कोई भी [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) $v$ के अनुपाती है — हर [अभिलक्षणिक समष्टि](#def-b2-reduction-eigen) की विमा ठीक $1$ है। [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) तभी जब अभिलक्षणिक समष्टियों की विमाओं का योग $k$ हो ([प्रमेय 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)) तभी जब $k$ भिन्न [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) हों तभी जब $P$ के $k$ भिन्न मूल हों ([अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\chi_C = P$ के मूल ही हैं)।

**4.** प्रत्येक $(\lambda_i^n)_n$ $(\mathcal R)$ का हल है: $\lambda_i^{n+k} = \lambda_i^n\,\lambda_i^k =
\lambda_i^n\sum_m a_m\lambda_i^m$। स्वतंत्रता: $n = 0, \dots, k-1$ के लिए लुप्त होने वाला संचय $\sum_i c_i\lambda_i^n = 0$ $c_i$ में एक वांडरमोंड निकाय ([अभ्यास 2.11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#exo-b2-linalg-11)) है: अतः सभी $c_i = 0$। हल-समष्टि की विमा $k$ है (प्रश्न 6, जिसकी उपपत्ति प्रारंभिक और स्वतंत्र है): अतः $k$ स्वतंत्र हल आधार बनाते हैं, और निर्देशांक अद्वितीय हैं।

**5.** $P = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$: सामान्य हल $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$। आरंभिक शर्तें: $A + B = 1$, $3A -
2B = 8$: $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

(जाँच: $u_2 = u_1 + 6u_0 = 14$ और $2\cdot9 - 4 = 14$।)

**6.** $P(S)\bigl((u_n)\bigr)$ अनुक्रम $n \mapsto
u_{n+k} - a_{k-1}u_{n+k-1} - \dots - a_0u_n$ है: वह तभी लुप्त होता है जब $(\mathcal R)$ सत्य हो, अतः हल-समुच्चय $\ker P(S)$ है, जो एक उपसमष्टि है। प्रतिचित्रण $\ker P(S) \to \C^k$, $u \mapsto (u_0, \dots,
u_{k-1})$, रैखिक है, एकैकी है (पुनरावृत्ति आगमन से पहले $k$ मानों से $u_{k}, u_{k+1}, \dots$ निर्धारित कर देती है) और आच्छादक भी (किसी भी आरंभिक आँकड़े से $u_n$ को पुनरावर्ती ढंग से परिभाषित कीजिए): अतः विमा $k$।

**7.** [प्रमेय 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) की उपपत्ति केवल इनका उपयोग करती है: $\C[X]$ में बेज़ू सर्वसमिका, और यह तथ्य कि किसी स्थिर अंतःरूपांतरण के बहुपद परस्पर क्रमविनिमेय होते हैं। इनमें से कोई भी परिवेशी समष्टि की विमा का उल्लेख नहीं करता: अतः प्रमेयिका $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$ के लिए अक्षरशः सत्य है। इसलिए

$$
\ker P(S) = \bigoplus_{i=1}^{r}
\ker\,(S - \lambda_i\,\mathrm{id})^{m_i}.
$$

**8.** $Q \in \C[X]$ के लिए: $(S -
\lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr)_n$ का $n$-वाँ पद $Q(n{+}1)\lambda^{n+1} - \lambda Q(n)\lambda^n =
\lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ है, जिसमें $\Delta Q = Q(X{+}1) - Q(X)$ की घात $\deg Q - 1$ है (अग्र पद कट जाते हैं)। इसे दोहराने पर $(S - \lambda)^m\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =
\bigl(\lambda^{n+m}(\Delta^m Q)(n)\bigr)_n$, और $\deg Q \leq m - 1$ होने पर $\Delta^m Q = 0$: अर्थात् दाहिना समुच्चय केंद्रक में समाहित है। वह विमा $m$ की उपसमष्टि है: अनुक्रम $(n^j\lambda^n)_n$, $0 \leq j < m$, स्वतंत्र हैं, क्योंकि सभी $n$ के लिए $\sum_j c_j n^j\lambda^n = 0$ होने से ($\lambda^n \neq 0$ से भाग देकर) बहुपद $\sum_j c_jX^j$ को हर $n \in \N$ पर लुप्त होना पड़ता है, अतः शून्य होना पड़ता है। विलोमतः $\dim\ker(S -
\lambda)^m \leq m$: $(S - \lambda)^m = \sum_j
\binom mj(-\lambda)^{m-j}S^j$ खोलने पर समीकरण $(S - \lambda)^m u =
0$ $m$ कोटि की रैखिक पुनरावृत्ति है (अग्र गुणांक $1$), अतः प्रश्न 6 की तरह $u$ $u_0, \dots, u_{m-1}$ से निर्धारित होता है। विमाओं की समता से बात पूरी हो जाती है।

**9.** प्रश्न 7 और 8 मिलाइए: हर हल $\ker(S -
\lambda_i)^{m_i}$ के अवयवों के योग के रूप में अद्वितीय रूप से अपघटित होता है, अर्थात् $\deg Q_i \leq m_i - 1$ सहित $u_n = \sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$; और $Q_i$ अद्वितीय हैं क्योंकि अपघटन प्रत्यक्ष है और प्रत्येक पद के भीतर $Q_i$ के गुणांक आधार $(n^j\lambda_i^n)_j$ में निर्देशांक हैं (प्रश्न 8)। विमाओं की जाँच: $\sum_i m_i = k$।

**10.** $P = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$: हल $(a +
bn)2^n$। आरंभिक आँकड़े: $a = 1$, $2(a + b) = 0$, अतः $b = -1$:

$$
u_n = (1 - n)\,2^n .
$$

जाँच: $u_2 = 4u_1 - 4u_0 = -4$, और $(1 - 2)\cdot4 = -4$।

**11.** $u_n = \lambda_1^n\bigl(c_1 + \sum_{i\geq2}
c_i(\lambda_i/\lambda_1)^n\bigr)$ लिखिए; हर अनुपात का मापांक $< 1$ है, अतः कोष्ठक $c_1 \neq 0$ की ओर जाता है: $u_n \sim c_1\lambda_1^n$। विशेष रूप से बड़े $n$ के लिए $u_n \neq 0$, और

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} =
\lambda_1\,\frac{c_1 + o(1)}{c_1 + o(1)} \longrightarrow
\lambda_1 .
$$

**12.** परिकलन कीजिए:

$$
q(a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n + 2b_n)^2 - 2(a_n + b_n)^2
= -a_n^2 + 2b_n^2 = -q(a_n, b_n).
$$

$q(a_0, b_0) = 1 - 2 = -1$ के साथ: $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$। संरचनात्मक रूप से: $q(a, b) = (a - \sqrt2\,b)(a + \sqrt2\,b)$, और रैखिक प्रतिचित्रण $M$ गुणनखंड $a + \sqrt2 b$ को $1 +
\sqrt2$ से तथा गुणनखंड $a - \sqrt2 b$ को $1 - \sqrt2$ से गुणा कर देता है (परिकलन: $a_{n+1} + \sqrt2 b_{n+1} = (1 + \sqrt2)(a_n + \sqrt2 b_n)$); अतः हर पग पर गुणनफल $(1 + \sqrt2)(1 - \sqrt2) = -1 =
\det M$ से गुणा हो जाता है।

**13.** चूँकि $a_n^2 - 2b_n^2 = (a_n - \sqrt2 b_n)(a_n +
\sqrt2 b_n) = (-1)^{n+1}$,

$$
\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|
= \frac{\abs{a_n^2 - 2b_n^2}}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)}
= \frac{1}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)} \leq \frac1{2b_n^2},
$$

जिसमें $a_n \geq b_n \geq 1$ का उपयोग हुआ (आगमन: दोनों बढ़ते हैं), अतः $a_n +
\sqrt2 b_n \geq (1 + \sqrt2)b_n \geq 2b_n$। $M$ के [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\chi_M = X^2 - 2X - 1$ हैं, जिनके मूल $1 \pm \sqrt2$; और चूँकि $(a_0, b_0)$ का प्रबल [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) पर अशून्य घटक है (सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक हैं), अतः $c > 0$ सहित $b_n \sim c(1 + \sqrt2)^n$ (प्रश्न 11)। इसलिए त्रुटि $\asymp (1 + \sqrt2)^{-2n} = (3 +
2\sqrt2)^{-n}$ है: अर्थात् अनुपात $1/(3 + 2\sqrt2) = 3
- 2\sqrt2 \approx 0.172$ के साथ गुणोत्तर क्षय।

**14.** (क) प्रश्न 9 से: $\abs{u_n} \leq \sum_i
\abs{Q_i(n)}\abs{\lambda_i}^n \leq \bigl(\sum_i
\abs{Q_i(n)}\bigr)\rho^n$, और $n \geq 1$ के लिए हर $\abs{Q_i(n)} \leq C_i
n^{m_i - 1} \leq C_i n^{m-1}$: अचरों को जोड़ दीजिए। (ख) मान लीजिए $\rho' = \max_{i \geq 2}\abs{\lambda_i} <
\abs{\lambda_1}$ और $d = \deg Q_1$, जिसका अग्र गुणांक $c
\neq 0$ है। तब $\abs{R_n}
\leq Cn^{m-1}\rho'^n$ सहित $u_n = Q_1(n)\lambda_1^n + R_n$, और

$$
\frac{R_n}{Q_1(n)\lambda_1^n} = O\Bigl(n^{m-1-d}
\bigl(\rho'/\abs{\lambda_1}\bigr)^n\Bigr) \longrightarrow 0
$$

(गुणोत्तर बहुपद को हरा देता है)। अतः

$$
u_n \sim Q_1(n)\,\lambda_1^n \sim c\,n^d\lambda_1^n,
\qquad
\frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \lambda_1
\quad\text{(क्योंकि } Q_1(n{+}1)/Q_1(n) \to 1\text{)}.
$$

प्रश्न 10 पर जाँच: $u_n = (1-n)2^n$ के लिए अनुपात

$$
\frac{(-n)2^{n+1}}{(1-n)2^n} = 2\,\frac{-n}{1-n}
\longrightarrow 2 = \lambda_1 .
$$

**15.** $n$ पर आगमन। $n = 1$ के लिए $A_{ij}$ $1$ लंबाई के पथ गिनता है। चरण: $i$ से $j$ तक $n + 1$ लंबाई का पथ $i$ से किसी शीर्ष $\ell$ तक $n$ लंबाई का पथ है जिसके बाद एक कोर $\ell j$ आती है:

$$
\#\{\text{पथ}\} = \sum_{\ell} (A^n)_{i\ell}A_{\ell j} =
(A^{n+1})_{ij}.
$$

**16.** $J = 3\Pi$, जहाँ $\Pi = J/3$ समतल $x + y + z = 0$ के अनुदिश $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ पर प्रक्षेप है ($\Pi^2 = \Pi$ क्योंकि $J^2 = 3J$)। तब $A = J - I = 2\Pi - (I -
\Pi)$, और चूँकि $\Pi$ तथा $I - \Pi$ पूरक प्रक्षेप हैं,

$$
A^n = 2^n\,\Pi + (-1)^n (I - \Pi),
\qquad\text{अर्थात्}\qquad
(A^n)_{ij} = \frac{2^n}3 + (-1)^n\Bigl(\delta_{ij} -
\frac13\Bigr),
$$

जिससे दोनों प्रदर्शित सूत्र मिल जाते हैं। $n = 2$ पर: विकर्ण $(4 + 2)/3 = 2$ (दो पड़ोसियों $\ell$ के लिए पथ $i \to \ell \to i$) और विकर्णेतर $(4 - 1)/3 = 1$ (तीसरे शीर्ष से होकर जाने वाला अकेला पथ $i \to
\ell \to j$)।

**17.** मान लीजिए $w_n^{(0)}, w_n^{(1)}$ $n$ लंबाई के उन ग्राह्य शब्दों को गिनते हैं जो क्रमशः $0$ और $1$ पर समाप्त होते हैं। एक अक्षर जोड़ने पर: $0$ किसी के भी बाद आ सकता है, जबकि $1$ केवल $0$ के बाद:

$$
\begin{pmatrix} w_{n+1}^{(0)}\\ w_{n+1}^{(1)}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} w_n^{(0)}\\ w_n^{(1)}\end{pmatrix}.
$$

जोड़ने पर $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ (अथवा: पहले अक्षर पर शर्त लगाइए)। $w_1 = 2$, $w_2 = 3$ के साथ: आगमन से $w_n = F_{n+2}$ ($F_3 = 2$, $F_4 = 3$, और वही पुनरावृत्ति)। वृद्धि: $X^2 - X - 1$ के मूल $\varphi > \abs\psi$ हैं ([अभ्यास 3.5](#exo-b2-reduction-5)), और $\varphi$-घटक अशून्य है ($w_n$ धनात्मक हैं और $\psi^n \to 0$), अतः प्रश्न 11 से $w_{n+1}/w_n \to \varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$।

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\
0&1&0\end{smallmatrix}\right)$। जाँच:

$$
A(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T}
= (\pm\sqrt2, 2, \pm\sqrt2)^{\mathsf T}
= \pm\sqrt2\,(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T},
\qquad
A(1, 0, -1)^{\mathsf T} = 0 :
$$

[अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt2, -\sqrt2, 0$ ($= 2\cos\frac\pi4,
2\cos\frac{3\pi}4, 2\cos\frac\pi2$)। $e_1$ को अभिलक्षणिक आधार पर अपघटित करके तीसरा निर्देशांक पढ़िए, अथवा सममिति का उपयोग कीजिए: $v_\pm = (1, \pm\sqrt2, 1)$, $v_0 = (1, 0, -1)$ के साथ $e_1
= \frac14 v_+ + \frac14 v_- + \frac12 v_0$ जाँचा जा सकता है, अतः $n \geq 1$ के लिए

$$
(A^n)_{13} = \Bigl(\tfrac14(\sqrt2)^n v_+ +
\tfrac14(-\sqrt2)^n v_- + 0\Bigr)_{\!3}
= \frac{(\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n}{4},
$$

जो विषम $n$ के लिए शून्य है (द्विभाजित ग्राफ: दोनों सिरे सम दूरी पर हैं), और सम $n$ के लिए $2\cdot 2^{n/2}/4 = 2^{n/2 - 1}$। $n = 4$ पर: $2^{1} = 2$, जो दोनों पथों $1\,2\,1\,2\,3$ और $1\,2\,3\,2\,3$ से मेल खाता है।

**19.** $i$ से $n$ लंबाई के बंद पथ $(A^n)_{ii}$ हैं; $i$ पर जोड़ने से $\operatorname{tr}(A^n)$ मिलता है। $A$ का ($\C$ पर) त्रिभुजन करने पर $A^n$ विकर्ण $\lambda_i^n$ वाला त्रिभुजाकार है: $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i\lambda_i^n$। त्रिभुज: $\operatorname{tr}(A^n) = 3\,\frac{2^n + 2(-1)^n}3 =
2^n + 2(-1)^n = 2^n + (-1)^n + (-1)^n$: [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) $\{2, -1,
-1\}$, जो प्रश्न 16 के अनुरूप है।

**20.** $W^{\mathsf T}$ के स्तंभ: $i \geq 1$ के लिए $W^{\mathsf T}e_i =
e_{i-1}$ और $W^{\mathsf T}e_0 = e_{k-1}$; क्रम $e_0, e_1, \dots$ में पुनः अंकित करने पर यह ठीक $X^k - 1$ का सहचर आव्यूह है ($a_0 = 1$, शेष $a_m = 0$)। प्रश्न 2: $\chi_{W} = \chi_{W^{\mathsf T}} = X^k - 1 =
\mu_{W}$। मूल $\omega^j$ ($j = 0, \dots, k-1$) इकाई के $k$ भिन्न $k$-वें मूल हैं: अतः $W$ [विकर्णनीय](#def-b2-reduction-diag) है (प्रश्न 3, अथवा [अभ्यास 3.8](#exo-b2-reduction-8): $W^k = I$)। [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen): $Wf_j
= \sum_m \omega^{-jm}e_{m+1} = \sum_{m'}\omega^{-j(m'-1)}e_{m'}
= \omega^j f_j$।

**21.** [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) आव्यूह $W$ के बहुपद हैं, और किसी स्थिर आव्यूह के बहुपद परस्पर क्रमविनिमेय होते हैं। प्रत्येक $f_j$ हर घात का [अभिलक्षणिक सदिश](#def-b2-reduction-eigen) है: $W^m f_j = \omega^{jm}f_j$, अतः

$$
Cf_j = \sum_m c_m\omega^{jm} f_j = \widehat c(\omega^j)\,f_j :
$$

और आधार $(f_0, \dots, f_{k-1})$ (स्वतंत्र: भिन्न $\omega^{-j}$, [अभ्यास 2.11](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#exo-b2-linalg-11) का वांडरमोंड) हर [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) आव्यूह का एक ही बार में विकर्णन कर देता है, और [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) कथनानुसार होते हैं।

**22.** [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल है (विकर्णन कीजिए): $\det C = \prod_{j}\widehat c(\omega^j)$। $k
= 3$ के लिए $c_0 = a$, $c_1 = b$, $c_2 = c$ और $\omega = j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj^4),
$$

तथा $j^4 = j$: अर्थात् ठीक [अभ्यास 2.8](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#exo-b2-linalg-8) का गुणनखंडन।

**23.** $M = \frac12(W + W^{-1})$ एक [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) आव्यूह है ($W^{-1} =
W^{k-1}$), जिसके [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) उसी आधार $f_j$ पर $\frac12(\omega^j + \omega^{-j}) =
\cos\frac{2\pi j}k$ हैं। निर्देशांक: $x^{(0)} = \sum_j \alpha_j f_j$ लिखिए। $f_j$ के निर्देशांकों का योग $\sum_m \omega^{-jm}$ है, जो $j = 0$ के लिए $k$ और अन्यथा $0$ होता है (अनुपात $\omega^{-j} \neq 1$ वाला गुणोत्तर योग)। $x^{(0)}$ के निर्देशांक जोड़ने पर: $\sum_m x^{(0)}_m =
\alpha_0\,k$, अतः $\alpha_0 = \frac1k\sum_m x^{(0)}_m$, अर्थात् माध्य।

**24.** $x^{(n)} = M^nx^{(0)} = \sum_j
\alpha_j\cos^n\bigl(\tfrac{2\pi j}k\bigr)f_j$। विषम $k$ के लिए हर $j \neq 0$ पर $\abs{\cos(2\pi j/k)} < 1$ (कोण कभी $0$ या $\pi$ नहीं होता), अतः $j = 0$ को छोड़कर सभी पद $0$ की ओर जाते हैं: $x^{(n)} \to \alpha_0 f_0$, अर्थात् वह अचर सदिश जो माध्य के बराबर है — विषम वलय पर औसत लेना सबको बराबर कर देता है। $k = 4$ के लिए [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) $1, 0, -1, 0$ हैं: $f_2 = (1, -1, 1, -1)^{\mathsf T}$ के साथ $j = 2$ वाला पद $\alpha_2(-1)^nf_2$ सदा दोलन करता रहता है। बाधा एकांतर माध्य है: $x^{(0)}$ के निर्देशांकों को $(-1)^m$ से गुणा करके जोड़ने पर वही गुणोत्तर-योग परिकलन $\sum_m
(-1)^mx^{(0)}_m = 4\alpha_2$ देता है: अतः प्रक्रिया अभिसरित होती है यदि और केवल यदि $x^{(0)}_0 - x^{(0)}_1 + x^{(0)}_2 - x^{(0)}_3 = 0$, और तब वह माध्य पर अभिसरित होती है।

**25.** सहचर आव्यूह कोटि $k$ की अदिश पुनरावृत्ति को प्रथम कोटि की सदिश पुनरावृत्ति में बदल देता है, जिससे बंद सूत्र $C^n$ के बारे में कथन बन जाते हैं — और यह समानयन का अपना मैदान है (प्रश्न 1–5)। केंद्रक अपघटन प्रमेयिका शुद्ध बहुपद बीजगणित है (बेज़ू और क्रमविनिमेयता), इसलिए वह $\ker P(S)$ को तब भी बाँट देती है जब $\mathcal{S}$ अनंत-विमीय हो (प्रश्न 7–9)। प्रबल [अभिलक्षणिक मान](#def-b2-reduction-eigen) वृद्धि पर शासन इसलिए करते हैं कि सामान्यीकरण के बाद हर दूसरा योगदान गुणोत्तर रूप से नगण्य हो जाता है — और इसी से पेल की त्रुटि प्रबल मूल के वर्ग की दर से क्षीण होती है (प्रश्न 11–14)। संलग्नता आव्यूह की घातें पथ इसलिए गिनती हैं कि आव्यूह गुणन मध्यवर्ती शीर्षों पर योग ले लेता है, इसलिए [वर्णक्रम](#def-b2-reduction-eigen) बंद पथ गिन देते हैं (प्रश्न 15–19)। क्रमविनिमेय आव्यूहों का अभिलक्षणिक आधार साझा होता है, और तब एक ही फूरिये आधार पूरे [चक्रीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-generated) बीजगणित का एक ही झटके में विकर्णन कर देता है (प्रश्न 20–24)। शिखर: रैखिक पुनरावृत्तियों की मूल प्रमेय (प्रश्न 9); और अऋणात्मक आव्यूहों के लिए, $\varphi$ या $1 +
\sqrt2$ जैसे प्रबल मूल स्वतः वास्तविक, धनात्मक और सरल क्यों होते हैं इसका कारण पेरों–फ्रोबेनियस प्रमेय है, जिसे तृतीय वर्ष के खंड में सिद्ध किया गया है।