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title: "दूरिक समष्टियों की सांस्थिति"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2"
subject: math
language: hi
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/4-topology-of-metric-spaces
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# अध्याय 4 — दूरिक समष्टियों की सांस्थिति

वास्तविक रेखा की सांस्थिति (प्रथम वर्ष का खंड) लगभग एक भी शब्द बदले बिना किसी भी ऐसे समुच्चय पर सामान्यीकृत हो जाती है जिस पर कोई दूरी दी गई हो। लाभ बहुत बड़ा है: फलनों, आव्यूहों और वक्रों के अनुक्रम — सब दूरिक समष्टियों के बिंदु बन जाते हैं, और यहाँ सिद्ध किए गए तीनों स्तंभ — बानाख अचल बिंदु प्रमेय के साथ पूर्णता, संहतता, संबद्धता — उन सब पर एक समान लागू होते हैं। यह अध्याय पुस्तक के पूरे विश्लेषण-भाग की रीढ़ है।

## 4.1 दूरिक समष्टियाँ

**परिभाषा 4.1.**

*दूरिक समष्टि* एक समुच्चय $X$ है जिस पर ऐसा प्रतिचित्रण $d
\colon X \times X \to \R_+$ दिया हो कि सभी $x, y, z$ के लिए:

$$
d(x,y) = 0 \iff x = y,
\qquad
d(x,y) = d(y,x),
\qquad
d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).
$$

गोले: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ ([विवृत](#def-b2-metric-topology)), $\overline B(a,r) =
\{x : d(a,x) \leq r\}$ (संवृत)। कोई उपसमुच्चय $A \subseteq X$ प्रेरित दूरी के साथ स्वयं दूरिक समष्टि बन जाता है।

**उदाहरण 4.2.**

$\abs{x - y}$ सहित $\R$; $\R^n$ निम्नलिखित में से किसी भी दूरी के साथ

$$
d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i},
\quad
d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2},
\quad
d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};
$$

[संतत](#def-b2-metric-continuity) फलनों का समुच्चय $C(\intcc{a}{b})$ *उच्चतम दूरी* $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f -
g}$ के साथ (जो परिमित है: $f - g$ परिबद्ध होता है); और कोई भी समुच्चय *विविक्त* दूरी के साथ ($x \neq y$ के लिए $d(x,y) = 1$)। मानदंडों से आने वाली दूरियाँ [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs) का विषय हैं।

**परिभाषा 4.3 (दूरिक समष्टि की सांस्थिति).**

$U \subseteq X$ *विवृत* कहलाता है जब $U$ का हर बिंदु किसी ऐसे गोले का केंद्र हो जो $U$ में समाहित है; और $F$ *संवृत* कहलाता है जब उसका पूरक विवृत हो। प्रतिवेश, अभ्यंतर, संवृतक, सघनता और परिसीमा ठीक वैसे ही परिभाषित होते हैं जैसे वास्तविक रेखा पर (प्रथम वर्ष का खंड), बस अंतरालों के स्थान पर गोले आ जाते हैं; और वहाँ सिद्ध किए गए कथन — विवृत समुच्चयों के सम्मिलन/प्रतिच्छेदन, अभ्यंतर और संवृतक के अभिलक्षण, सबसे छोटे संवृत अधिसमुच्चय के रूप में संवृतक — उन्हीं उपपत्तियों के साथ यहाँ भी चलते हैं। विवृत गोले विवृत होते हैं और संवृत गोले संवृत (त्रिभुज असमिका)।

**उदाहरण 4.4 (एक ही समुच्चय पर अभ्यंतर, संवृतक और परिसीमा).**

$\R$ में मान लीजिए $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$। अभ्यंतर: $\intoo{0}{1}$ — किसी भी $x \in \intoo01$ के चारों ओर छोटा गोला $A$ में रहता है; $1$ के चारों ओर हर गोला $\intoo{1-r}{1+r}$ दाईं ओर से $A$ के बाहर निकल जाता है, अतः $1$ अभ्यंतरीय नहीं है; और अलग-थलग पड़ा $2$ भी अभ्यंतरीय नहीं। संवृतक: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (बिंदु $0$ $A$ की सीमा है, और कुछ नहीं जुड़ता)। परिसीमा (संवृतक में से अभ्यंतर घटाकर): $\{0, 1, 2\}$। स्मरण रखने योग्य असमरूपताएँ: कोई अंत्यबिंदु समुच्चय का सदस्य हो सकता है और फिर भी अभ्यंतरीय न हो ($1$), संलग्न हो सकता है और सदस्य न हो ($0$), और अलग-थलग बिंदु स्वयं अपनी परिसीमा होता है ($2$)। यही लेखा-जोखा किसी भी [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) में अक्षरशः चलता है, अंतरालों के स्थान पर गोले लेकर।

**परिभाषा 4.5 (सीमाएँ, संततता).**

$X$ में $x_n \to x$ तब कहा जाता है जब $d(x_n, x) \to 0$। दूरिक समष्टियों के बीच कोई प्रतिचित्रण $f \colon X \to Y$ $a$ पर *संतत* कहलाता है जब

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad
d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq
\varepsilon ;
$$

और समतुल्य रूप से ($\R$ वाली वही उपपत्ति), जब हर अनुक्रम $x_n \to a$ के लिए $f(x_n) \to f(a)$ हो। $f$ अचर $k$ के साथ *लिप्शिट्स* कहलाता है जब सदा $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ हो — तब वह एकसमान संतत होता है, अतः संतत भी।

**प्रमेय 4.6 (संततता का वैश्विक अभिलक्षण).**

$f \colon X \to Y$ (हर बिंदु पर) [संतत](#def-b2-metric-continuity) है यदि और केवल यदि हर [विवृत](#def-b2-metric-topology) समुच्चय का पूर्वप्रतिबिंब [विवृत](#def-b2-metric-topology) हो — और यदि और केवल यदि हर संवृत समुच्चय का पूर्वप्रतिबिंब संवृत हो।

**उपपत्ति.** ($\Rightarrow$) मान लीजिए $V \subseteq Y$ [विवृत](#def-b2-metric-topology) है और $a \in f^{-1}(V)$: तो कोई गोला $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$; और $a$ पर संततता $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a),
\varepsilon)$ सहित $\delta$ देती है, अतः $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$।

($\Leftarrow$) $a$ और $\varepsilon$ दिए हों: $f^{-1}\bigl(B(f(a),
\varepsilon)\bigr)$ [विवृत](#def-b2-metric-topology) है और उसमें $a$ है, अतः उसमें कोई गोला $B(a, \delta)$ भी है: यही $a$ पर संततता की परिभाषा है। संवृत समुच्चयों के लिए: पूरक लीजिए ([प्रतिज्ञप्ति 1.1](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#prop-b2-structures-images))। ∎

## 4.2 पूर्ण समष्टियाँ

**परिभाषा 4.7.**

कोई अनुक्रम $(x_n)$ *कोशी* कहलाता है जब $N \to \infty$ होने पर $\sup_{p, q \geq N} d(x_p,
x_q) \to 0$। कोई [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) *पूर्ण* कहलाती है जब उसका हर कोशी अनुक्रम अभिसरित हो। अभिसारी $\Rightarrow$ सदा कोशी; पूर्ण समष्टियों के संवृत उपसमुच्चय पूर्ण होते हैं, और किसी भी समष्टि के पूर्ण उपसमुच्चय संवृत (वही उपपत्तियाँ जो $\R$ पर थीं: प्रथम वर्ष का खंड)।

**उदाहरण 4.8 (कोशी, पर बिना सीमा के).**

सामान्य दूरी वाले $X = \Q$ में $\sqrt2$ के दशमलव छेदन

$$
x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414,
\quad\dots
$$

$\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ पूरा करते हैं: अर्थात् $\Q$ में कोशी। $\Q$ में कोई सीमा $\R$ में भी सीमा होती, अर्थात् $\sqrt2 \notin \Q$: अतः $X$ में कोई सीमा नहीं है। अपूर्णता ऐसी ही “प्रेत सीमाओं” की उपस्थिति है; और प्रथम वर्ष के खंड में $\R$ की पूर्णता ठीक इसीलिए गढ़ी गई थी कि हर कोशी अनुक्रम को घर मिल जाए।

**प्रमेय 4.9.**

$\R^n$ ([उदाहरण 4.2](#ex-b2-metric-examples) की तीनों दूरियों में से कोई भी) और $\bigl(C(\intcc{a}{b}),
d_\infty\bigr)$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) हैं।

**उपपत्ति.** $\R^n$: कोई कोशी अनुक्रम हर निर्देशांक में कोशी होता है (तीनों दूरियों के लिए हर $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$), अतः हर निर्देशांक अभिसरित होता है ($\R$ की पूर्णता, प्रथम वर्ष का खंड), और निर्देशांक-दर-निर्देशांक अभिसरण से $d_\infty$ के लिए अभिसरण निकलता है (निर्देशांक परिमित हैं), अतः तीनों के लिए (तीनों दूरियाँ अचर गुणकों के भीतर एक-दूसरे पर हावी हैं: $d_\infty
\leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$)।

$C(\intcc{a}{b})$: मान लीजिए $(f_n)$ $d_\infty$-कोशी है। प्रत्येक $x$ के लिए $(f_n(x))$ $\R$ में कोशी है ($\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq
d_\infty(f_p, f_q)$): अतः वह किसी $f(x)$ पर अभिसरित होता है। $q \to \infty$ होने पर $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ में सीमा लेने पर ($p, q
\geq N_\varepsilon$, सभी $x$ के लिए मान्य): सभी $x$ के लिए $\abs{f_p(x) -
f(x)} \leq \varepsilon$, अर्थात् $d_\infty(f_p, f) \leq
\varepsilon$: अर्थात् एकसमान अभिसरण। सीमा [संतत](#def-b2-metric-continuity) है: $\varepsilon$ दिया हो तो $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$ वाला $p$ चुनिए, फिर $a$ पर $f_p$ की संततता और तीन-पद विभाजन

$$
\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)}
+ \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon
$$

का उपयोग $a$ के निकट $x$ के लिए कीजिए। (यह “$3\varepsilon$ तर्क” [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) की एकसमान-सीमा प्रमेय के रूप में लौटता है।) ∎

**उदाहरण 4.10 (संततता से पहचाने गए विवृत और संवृत समुच्चय).**

वैश्विक अभिलक्षण ([प्रमेय 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity)) सांस्थितिक लेखा-जोखा का रोज़मर्रा का औज़ार है। $\R^2$ में: समुच्चय $\{(x, y) : x^2 + y^2
< 1,\ y > x^3\}$ [विवृत](#def-b2-metric-topology) है — वह [संतत](#def-b2-metric-continuity) $g(x,y) =
x^2 + y^2$ और $h(x, y) = y - x^3$ के लिए $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1})
\cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ है, अर्थात् दो [विवृत](#def-b2-metric-topology) पूर्वप्रतिबिंबों का प्रतिच्छेदन। $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ में: $f(0) = f(1)$ और $\int_0^1 f = 0$ वाले फलनों का समुच्चय संवृत है — वह $\R^2$ में जाने वाले [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रण $f \mapsto
\bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ के अंतर्गत $\{(0,0)\}$ का पूर्वप्रतिबिंब है (हर निर्देशांक $1$-लिप्शिट्स है, जैसा [अभ्यास 4.3](#exo-b2-metric-3) में)। यह विधि कभी चित्र नहीं बनाती: कोई [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रण दिखाइए, समुच्चय को पूर्वप्रतिबिंब की तरह पढ़िए, और प्रमेय उद्धृत कीजिए।

**उदाहरण 4.11 (अनंत शर्तों से परिभाषित एक संवृत समुच्चय).**

$\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ में $1$-लिप्शिट्स फलनों का समुच्चय

$$
L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y}
\ \text{ सभी } x, y\}
$$

संवृत है, यद्यपि वह अगणनीय रूप से अनेक शर्तों से काटा गया है: प्रत्येक स्थिर युग्म $(x, y)$ के लिए प्रतिचित्रण $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) है (मूल्यांकन $1$-लिप्शिट्स होते हैं), अतः हर एकल शर्त कोई संवृत समुच्चय परिभाषित करती है, और $L$ इसी कुल का *प्रतिच्छेदन* है — और संवृत समुच्चयों का कोई भी प्रतिच्छेदन संवृत होता है। यही खाका एकदिष्ट फलनों, उत्तल फलनों तथा किसी स्थिर $g$ से परिबद्ध फलनों के लिए भी संवृतता प्रमाणित कर देता है: एकसमान सीमाएँ हर वह गुणधर्म विरासत में पाती हैं जो बिंदुवार संवृत प्रतिबंधों के किसी कुल के रूप में व्यक्त हो सके। और एकसमान सीमाएँ जो अपने आप विरासत में *नहीं* पातीं — जैसे अवकलनीयता — ठीक वही [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) को मेहनत करके साधना पड़ता है।

**प्रमेय 4.12 (बानाख अचल बिंदु प्रमेय).**

मान लीजिए $X$ अरिक्त [पूर्ण दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-complete) है और $f \colon X \to X$ एक *संकुचन*: अर्थात् अचर $k < 1$ के साथ [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity)। तब $f$ का अद्वितीय अचल बिंदु $\ell$ है, और हर कक्षा $x_{n+1} = f(x_n)$ $\ell$ पर अभिसरित होती है, जहाँ

$$
d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .
$$

**उपपत्ति.** अद्वितीयता: दो अचल बिंदुओं के बीच की दूरी अपने ही $\leq k$ गुने के बराबर हो जाती है। अस्तित्व: आगमन से $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$, अतः $q > p$ के लिए

$$
d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j)
\leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j
= \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :
$$

अर्थात् कोशी, इसलिए किसी $\ell$ पर अभिसारी; और $f$ की संततता $x_{n+1} = f(x_n)$ को सीमा तक ले जाती है: $\ell = f(\ell)$। त्रुटि-परिबंध $q \to \infty$ के साथ यही प्रदर्शित आकलन है। ∎

**उदाहरण 4.13 (एक समाकल समीकरण).**

$X = C(\intcc{0}{1})$ पर (जो [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है, [प्रमेय 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)), $T(f)(x) = 1 + \frac12
\int_0^x f(t)\,\dd t$ लीजिए। $f, g \in X$ के लिए:

$$
\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq
\frac12\, d_\infty(f, g),
$$

अतः $T$ एक $\frac12$-संकुचन है: उसका अद्वितीय [संतत](#def-b2-metric-continuity) अचल बिंदु है — अर्थात् $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$ का हल, जो $\eu^{x/2}$ है। यही योजना औद्योगिक रूप ले लेने पर [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) की कोशी–लिप्शिट्स प्रमेय बन जाती है।

**उदाहरण 4.14 (एक संख्यात्मक अचल बिंदु: x=cos⁡xx = \cos xx=cosx).**

[पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $X = \intcc{0}{1}$ पर प्रतिचित्रण $f = \cos$ $X$ को $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ में भेजता है और संकुचन है: मध्यमान असमिका से,

$$
\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr)
\abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y},
\qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .
$$

बानाख: $\intcc01$ में $x = \cos x$ का अद्वितीय हल (अतः $\R$ में भी: कोई भी वास्तविक अचल बिंदु $\intcc{-1}{1}$ में पड़ता है, और एक बार प्रतिचित्रण लगाने पर $\intcc{\cos 1}{1}$ में), और पुनरावृत्ति $x_{n+1} = \cos x_n$ किसी भी आरंभ से उस पर अभिसरित होती है: $x_\infty
\approx 0.739085$, वही प्रसिद्ध संख्या जो परिकलक की कोसाइन कुंजी बार-बार दबाने से मिलती है। त्रुटि-परिबंध $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ क्षय की भविष्यवाणी करता है — अर्थात् लगभग $13$ दबावों में एक अंक; और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (प्रश्न 14) का पश्चगामी परिबंध हर पग को हाथों-हाथ प्रमाणित कर देता है।

## 4.3 संहतता

**परिभाषा 4.15.**

कोई [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) $X$ *संहत* कहलाती है जब $X$ के हर अनुक्रम का कोई उपअनुक्रम $X$ *के भीतर* अभिसरित हो (बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास गुणधर्म)। कोई उपसमुच्चय संहत कहलाता है जब वह प्रेरित दूरी के साथ ऐसा हो।

**प्रमेय 4.16 (पहले गुणधर्म).**

1. [संहत](#def-b2-metric-compact) उपसमुच्चय संवृत और परिबद्ध होता है; और [संहत](#def-b2-metric-compact) समष्टि का संवृत उपसमुच्चय [संहत](#def-b2-metric-compact) होता है।
2. $\R^n$ में विलोम भी सत्य है: [संहत](#def-b2-metric-compact) $\iff$ संवृत और परिबद्ध।
3. [संहत](#def-b2-metric-compact) समष्टि का [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिबिंब [संहत](#def-b2-metric-compact) होता है; और अरिक्त [संहत](#def-b2-metric-compact) समष्टि पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) वास्तविक फलन परिबद्ध होता है तथा अपनी सीमाएँ प्राप्त कर लेता है।
4. (हाइने) [संहत](#def-b2-metric-compact) समष्टि पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रण एकसमान [संतत](#def-b2-metric-continuity) होता है।
5. गुणन: यदि $X, Y$ [संहत](#def-b2-metric-compact) हैं तो $X \times Y$ भी [संहत](#def-b2-metric-compact) है ( $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ के साथ)।

**उपपत्ति.** (1) वही तर्क जो रेखा पर थे (प्रथम वर्ष का खंड): अनंत की ओर भागते हुए अथवा बाहर अभिसरित होते हुए अनुक्रम का कोई उपअनुक्रम भीतर अभिसरित नहीं होता; और दूसरे दावे के लिए परिवेशी [संहत](#def-b2-metric-compact) में उपअनुक्रम निकालिए और संवृतता का उपयोग कीजिए।

(2) $\R^n$ में परिबद्ध अनुक्रमों के घटक-दर-घटक अभिसारी उपअनुक्रम होते हैं: पहले निर्देशांक पर उपअनुक्रम निकालिए ($\R$ पर बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास), फिर उसी उपअनुक्रम में से दूसरे पर, और इसी तरह ($n$ क्रमिक निष्कर्षण); और संवृतता सीमा को भीतर रोक लेती है।

(3) $(f(x_n))$ दिया हो तो $x_{\varphi(n)} \to x \in X$ निकालिए; संततता $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$ दे देती है। वास्तविक स्थिति: $f(X) \subseteq \R$ की संहतता उसे संवृत और परिबद्ध बना देती है, और $\sup f(X) \in f(X)$ (किसी समुच्चय का उच्चतम उससे संलग्न होता है, और $f(X)$ संवृत है)।

(4) प्रथम वर्ष की उपपत्ति अक्षरशः यहाँ आ जाती है; दूरिक वेश में वह यह है। मान लीजिए $f \colon X \to Y$ [संहत](#def-b2-metric-compact) $X$ पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) है परंतु एकसमान [संतत](#def-b2-metric-continuity) नहीं: तो कोई $\varepsilon > 0$ ऐसा है कि प्रत्येक $n$ के लिए ऐसे बिंदु मिल जाते हैं जिनके लिए

$$
d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1}
\qquad\text{तथा}\qquad
d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .
$$

$x_{\varphi(n)} \to a \in X$ निकालिए; तब $y_{\varphi(n)} \to
a$ भी (परस्पर दूरियाँ $0$ की ओर जाती हैं)। $a$ पर संततता दोनों प्रतिबिंब अनुक्रमों को $f(a)$ पर भेज देती है, अतः $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ — जो एकसमान अंतराल $> \varepsilon$ के विरुद्ध है। संहतता ने ठीक एक ही चीज़ दी: गुच्छन बिंदु $a$, जिस पर साधारण संततता लगाई जा सके।

(5) पहले $X$-निर्देशांकों पर उपअनुक्रम निकालिए, फिर $Y$-निर्देशांकों पर। ∎

**उदाहरण 4.17 (हाइने प्रमेय, संहतता के साथ और उसके बिना).**

$\intcc{0}{1}$ पर फलन $x \mapsto x^2$ एकसमान [संतत](#def-b2-metric-continuity) है — हाइने बिना किसी परिकलन के यह कह देती है, परंतु सीधा आकलन शिक्षाप्रद है:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},
$$

अतः $\delta = \varepsilon/2$ *सभी बिंदुओं के लिए एक साथ* काम करता है। $\R$ पर वही फलन एकसमान [संतत](#def-b2-metric-continuity) नहीं है: $x_n = n$ और $y_n = n + \frac1n$ लेने पर अंतर $\abs{x_n - y_n}
= \frac1n \to 0$ रहता है जबकि $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2}
\geq 2$: अर्थात् कोई एक $\delta$ $\varepsilon = 1$ के लिए काम नहीं आता। कार्यविधि दिखाई देती है: स्थानीय [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) अचर $\abs{x + y}$ [संहत](#def-b2-metric-compact) पर परिबद्ध है और $\R$ पर अपरिबद्ध — और हाइने प्रमेय ठीक यही कहती है कि संहतता ऐसे स्थानीय अचरों पर एकसमान ढक्कन लगा देती है।

**विधि 4.18 (किसी समुच्चय के संहत होने को सिद्ध करना).**

तीन रास्ते, बारंबारता के क्रम में। (1) *परिवेशी पहचान:* $\R^n$ में (अथवा किसी भी परिमित-विमीय मानदंडित समष्टि में, [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs)) संवृत होना जाँचिए — प्रायः पूर्वप्रतिबिंब के रूप में, [उदाहरण 4.10](#ex-b2-metric-recognize) — और परिबद्ध होना भी। (2) *विरासत:* किसी ज्ञात [संहत](#def-b2-metric-compact) समष्टि का संवृत उपसमुच्चय [संहत](#def-b2-metric-compact) होता है; संहतों का परिमित सम्मिलन या गुणन [संहत](#def-b2-metric-compact) होता है; [संहत](#def-b2-metric-compact) का [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिबिंब [संहत](#def-b2-metric-compact) होता है। (3) *नंगे हाथ:* किसी भी अनुक्रम में से अभिसारी उपअनुक्रम निकालिए — प्रायः निर्देशांक-दर-निर्देशांक क्रमिक निष्कर्षण से। और *असंहतता* सिद्ध करने के लिए एक ही साक्षी पर्याप्त है: ऐसा अनुक्रम जिसका कोई अभिसारी उपअनुक्रम न हो, और प्रायः वह परस्पर दूरी $\geq \varepsilon$ वाले बिंदुओं से बनता है।

**उदाहरण 4.19 (समुच्चयों के बीच दूरी: संहतता अपनी रोटी कमाती है).**

किसी [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) में मान लीजिए $K$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है, $F$ संवृत है और $K \cap F = \emptyset$। तब

$$
d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :
$$

क्योंकि फलन $x \mapsto d(x, F)$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) है ([अभ्यास 4.11](#exo-b2-metric-11)) और $K$ पर धनात्मक ($d(x, F) = 0$ से $x \in \overline F = F$ हो जाता), अतः वह [संहत](#def-b2-metric-compact) $K$ पर धनात्मक निम्नतम प्राप्त कर लेता है ([प्रमेय 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (3))। संहतता सजावट नहीं है: दो *संवृत* समुच्चयों के लिए निम्नतम बिना प्राप्त हुए लुप्त हो सकता है — $\R^2$ में अतिपरवलय $F_1 = \{xy
= 1\}$ और अक्ष $F_2 = \{y = 0\}$ असंयुक्त संवृत समुच्चय हैं और $d(F_1, F_2) = 0$ (बिंदु $(n, \frac1n)$ अक्ष के पास पहुँचते जाते हैं)। अनंत की ओर भाग निकलना ठीक वही है जिसे संहतता रोकती है।

**प्रमेय 4.20 (बोरेल–लेबेग).**

कोई [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) $X$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है यदि और केवल यदि [विवृत](#def-b2-metric-topology) समुच्चयों द्वारा $X$ के हर आच्छादन का कोई *परिमित* उपआच्छादन हो।

**उपपत्ति.** ($\Leftarrow$) मान लीजिए $(x_n)$ का कोई अभिसारी उपअनुक्रम नहीं है। हमारा दावा है कि प्रत्येक $x \in X$ के लिए कोई ऐसा गोला $B(x, r_x)$ है जिसमें केवल परिमित सूचकांकों $n$ के लिए $x_n$ हो: अन्यथा हर गोला $B(x, \frac1{k+1})$ अपरिमित पदों को समाहित करता, और सूचकांक

$$
\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots
\quad\text{ जहाँ }\quad
x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)
$$

चुनते जाने से (जो हर पग पर ठीक इसलिए संभव है कि अपरिमित उम्मीदवार बचे रहते हैं) $x$ पर अभिसरित होने वाला उपअनुक्रम बन जाता। गोले $B(x, r_x)$ $X$ को आच्छादित करते हैं; और यदि उनमें से परिमित ही $X$ को आच्छादित कर लेते, तो सूचकांक समुच्चय $\N$ परिमित समुच्चयों का परिमित सम्मिलन होता: जो असंगत है।

($\Rightarrow$) दो चरण। *लेबेग संख्या:* किसी [संहत](#def-b2-metric-compact) $X$ के [विवृत](#def-b2-metric-topology) आच्छादन $(U_i)$ के लिए कोई ऐसा $\rho > 0$ होता है कि त्रिज्या $\rho$ का हर गोला किसी न किसी $U_i$ में पड़े। अन्यथा प्रत्येक $n$ के लिए ऐसा $x_n$ चुनिए कि $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ किसी भी $U_i$ में न हो; $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$ निकालिए; तब बड़े $n$ के लिए $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r)
\subseteq U_{i_0}$: विरोधाभास। *पूर्ण परिबद्धता:* प्रत्येक $\rho > 0$ के लिए त्रिज्या $\rho$ के परिमित गोले $X$ को आच्छादित कर लेते हैं। अन्यथा आगमन से $B(x_0, \rho) \cup
\dots \cup B(x_n, \rho)$ के बाहर $x_{n+1}$ चुनते जाइए: उस अनुक्रम की परस्पर दूरियाँ $\geq
\rho$ हैं, अतः कोई कोशी — और इसलिए कोई अभिसारी — उपअनुक्रम नहीं: विरोधाभास। दोनों मिलाइए: $X$ को त्रिज्या $\rho$ (लेबेग संख्या) के परिमित गोलों से आच्छादित कीजिए, जिनमें से हर एक किसी न किसी $U_i$ के भीतर है: यही परिमित उपआच्छादन है। ∎

**उदाहरण 4.21 (एक ε\varepsilonε-जाल, गिनकर).**

पूर्ण परिबद्धता ([प्रमेय 4.20](#thm-b2-metric-borellebesgue) की उपपत्ति से) $\intcc{0}{1}$ पर बहुत मूर्त है: $\varepsilon > 0$ के लिए $\varepsilon,
3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ पर केंद्रित त्रिज्या $\varepsilon$ के $\lceil
\frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ गोले उसे आच्छादित कर लेते हैं — लगभग $\frac1{2\varepsilon}$ गोले, और कोई भी आच्छादन उनमें से $\frac{1}{2\varepsilon}$ से कम में काम नहीं चला सकता (हर गोला अधिकतम $2\varepsilon$ लंबाई ढकता है)। $\intcc01^2$ में यह गिनती वर्ग हो जाती है, अर्थात् कोटि $\varepsilon^{-2}$: आच्छादन-संख्याएँ विमा $d$ में $\varepsilon^{-d}$ की तरह बढ़ती हैं — यह संहतता का एक परिमाणात्मक चेहरा है, और यही कारण है कि [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs) के अनंत-विमीय इकाई गोले (जहाँ कोई परिमित $\frac13$-जाल है ही नहीं) [संहत](#def-b2-metric-compact) नहीं हो सकते।

**उदाहरण 4.22 (आच्छादनों पर संहतता पढ़ना).**

अर्ध-विवृत अंतराल $\intoc{0}{1}$ [विवृत](#def-b2-metric-topology) समुच्चयों $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$ से आच्छादित है; किसी भी परिमित उपकुल का कोई महत्तम सूचकांक $N$ होता है और वह $\intoc{0}{\frac1N}$ छोड़ देता है: अतः कोई परिमित उपआच्छादन नहीं, इसलिए $\intoc{0}{1}$ [संहत](#def-b2-metric-compact) नहीं — और अनुक्रम वाली परिभाषा इसे $x_n = \frac1n$ के द्वारा देख लेती है, जिसकी सीमा $0$ भाग निकलती है। दूसरी ओर, केवल एक बिंदु $0$ जोड़ देने से दोनों निदान एक साथ सुधर जाते हैं: $\intcc{0}{1}$ पर ऐसे हर आच्छादन में कोई ऐसा समुच्चय होना ही पड़ता है जिसमें $0$ हो, और वह पूरा एक आरंभिक खंड निगल लेता है, तथा परिमित समुच्चय शेष पूरा कर देते हैं। [प्रमेय 4.20](#thm-b2-metric-borellebesgue) की दोनों भाषाएँ सदा साथ ही विफल या सफल होती हैं — आच्छादन भाग निकलना ठीक वहीं पकड़ते हैं जहाँ अनुक्रम पकड़ते हैं।

**टिप्पणी 4.23 (इसी खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य).**

यह अध्याय पूरे खंड की भार वहन करने वाली दीवार है; देखिए कि हर स्तंभ कहाँ भार उठाता है। *पूर्णता*: कोशी कसौटी बानाख समष्टियों में श्रेणियों की अभिसरण-जाँच बन जाती है ([अध्याय 7](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)), [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) में एकसमान अभिसरण ठीक [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $\bigl(C, d_\infty\bigr)$ में अभिसरण ही है, और कोशी–लिप्शिट्स ([अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq)) बानाख अचल बिंदु प्रमेय का समाकल-समीकरण वाला वेश है। *संहतता*: वह मानदंडों की तुल्यता सिद्ध करती है ([अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs)), [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc) के अनुकूलन में चरम मानों की प्राप्ति, और [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs) की सप्ताहांत समस्या में सर्वोत्तम सन्निकटनों का अस्तित्व। *संबद्धता*: वह स्थानीय कथनों को वैश्विक बना देती है — अवकल समीकरणों के हलों की अद्वितीयता, वक्रों पर मध्यमान प्रमेय ([अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/18-curves#ch-b2-curves)), और $GL_n(\R)$ के वे दो घटक जिन्हें दिक्विन्यास सिद्धांत ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint)) अलग-अलग रखेगा।

**टिप्पणी 4.24 (सामान्य भूलें).**

(क) “संवृत और परिबद्ध होने से संहतता निकलती है” $\R^n$ के बारे में प्रमेय है, दूरिक समष्टियों के बारे में नहीं: विविक्त दूरी वाला कोई अनंत समुच्चय अपने भीतर संवृत और परिबद्ध है फिर भी [संहत](#def-b2-metric-compact) नहीं ([अभ्यास 4.4](#exo-b2-metric-4)), और $C(\intcc01)$ का संवृत इकाई गोला भी विफल हो जाता है ([अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs))। (ख) पूर्णता *दूरी* का गुणधर्म है, सांस्थिति का नहीं: $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ के साथ $\R$ में अभिसारी अनुक्रम वही हैं फिर भी वह अपूर्ण है ([अभ्यास 4.1](#exo-b2-metric-1))। (ग) [संतत](#def-b2-metric-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण का समाकृतिकता होना आवश्यक नहीं — [अभ्यास 4.7](#exo-b2-metric-7) का वृत्त-प्राचलन देखिए; और उद्गम की संहतता इसे सुधार देती है। (घ) बानाख की प्रमेय को $k < 1$ *एकसमान रूप से* चाहिए: असंहत समष्टि पर अकेली शर्त $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ कुछ भी सुनिश्चित नहीं करती ([अभ्यास 4.5](#exo-b2-metric-5))। (ङ) संबद्धता से सामान्यतः पथ-संबद्धता नहीं निकलती — परंतु इस पुस्तक में मिलने वाले मानदंडित समष्टियों के [विवृत](#def-b2-metric-topology) उपसमुच्चयों के लिए दोनों एक ही हैं ([अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs))।

**टिप्पणी 4.25 (यह अध्याय कहाँ काम आता है).**

विश्लेषण-भाग में सर्वत्र। $C(\intcc{a}{b})$ की पूर्णता [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) की अभिसरण प्रमेयों और [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) के कोशी–लिप्शिट्स सिद्धांत को चलाती है (इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या स्थानीय पिकार–लिंडलोफ़ प्रमेय अभी सिद्ध कर देती है); संहतता परिमित विमा में मानदंडों की तुल्यता देती है ([अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs)) और [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc) में चरम मानों का अस्तित्व; और संबद्धता [अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun) के मध्यमान तर्कों तथा अवकल समीकरणों के लिए अद्वितीयता के वैश्विकीकरण के नीचे बैठी है। तृतीय वर्ष के खंड में फलन समष्टियों की संहतता (आर्ज़ेला–आस्कोली प्रमेय) और बेयर श्रेणी प्रमेय (यहाँ [अभ्यास 4.12](#exo-b2-metric-12)) रोज़ काम आने वाले औज़ार बन जाते हैं।

![कैंटर समुच्चय के पहले चरण (): हर स्तर हर खंड का बीच वाला विवृत तिहाई मिटा देता है। प्रतिच्छेदन C = _n C_n संहत है, उसका अभ्यंतर रिक्त है और लंबाई शून्य, फिर भी वह ℝ के समशक्त है — और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (प्रश्न 22) में वह समुच्चयों पर किसी संकुचन के अचल बिंदु के रूप में लौटता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-metric/fig-a9e39f8f0d70.svg)

*कैंटर समुच्चय के पहले चरण ([अभ्यास 4.8](#exo-b2-metric-8)): हर स्तर हर खंड का बीच वाला [विवृत](#def-b2-metric-topology) तिहाई मिटा देता है। प्रतिच्छेदन $C = \bigcap_n C_n$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है, उसका अभ्यंतर रिक्त है और लंबाई शून्य, फिर भी वह $\R$ के [समशक्त](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) है — और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (प्रश्न 22) में वह समुच्चयों पर किसी संकुचन के *अचल बिंदु* के रूप में लौटता है।*

## 4.4 संबद्धता

**परिभाषा 4.26.**

$X$ *संबद्ध* कहलाती है जब उसका दो अरिक्त [विवृत](#def-b2-metric-topology) उपसमुच्चयों में विभाजन संभव न हो — और समतुल्य रूप से, जब उसके एकमात्र ऐसे उपसमुच्चय जो [विवृत](#def-b2-metric-topology) भी हों और संवृत भी, $\emptyset$ और $X$ हों। $X$ *पथ-संबद्ध* कहलाती है जब उसके किन्हीं दो बिंदुओं को कोई [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रण $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$ जोड़ता हो।

**प्रमेय 4.27.**

1. $\R$ के [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) उपसमुच्चय ठीक अंतराल हैं।
2. [संबद्ध समष्टि](#def-b2-metric-connected) का [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिबिंब [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) होता है — और इसी से सामान्य मध्यमान प्रमेय: [संबद्ध समष्टि](#def-b2-metric-connected) पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) वास्तविक फलन अपने किन्हीं दो मानों के बीच का हर मान लेता है।
3. [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) $\Rightarrow$ [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) । (विलोम सामान्यतः विफल है; मानदंडित समष्टियों के [विवृत](#def-b2-metric-topology) उपसमुच्चयों के लिए वह सत्य है, [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/5-normed-vector-spaces#ch-b2-nvs) ।)

**उपपत्ति.** (1) कोई अनंतराल $A$ अपने दो बिंदुओं के बीच का कोई $z$ छोड़ देता है: $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ उसे दो अरिक्त ($A$ में) [विवृत](#def-b2-metric-topology) टुकड़ों में बाँट देता है। विलोमतः मान लीजिए $I$ अंतराल है और $I = U \cup V$ अरिक्त सापेक्षतः [विवृत](#def-b2-metric-topology) समुच्चयों में उसका विभाजन; $a \in U$, $b \in V$ चुनिए, मान लीजिए $a < b$, और $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$ रखिए, जो $\intcc{a}{b}
\subseteq I$ का बिंदु है। यदि $s \in U$: तो $s \neq b$, और $U$ की सापेक्ष विवृतता $s$ के चारों ओर पूरा एक अंतराल ($I$ से प्रतिच्छेदित) $U$ के भीतर रख देती है — अतः $U \cap \intcc{a}{b}$ के बिंदु $s$ से बड़े हो जाते हैं, जो उच्चतम के विरुद्ध है। और यदि $s \in V$: तो $V$ की सापेक्ष विवृतता कोई अंतराल $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ $V$ के भीतर रख देती है; परंतु उच्चतम $U \cap \intcc{a}{b}$ से संलग्न है, जिसे उस अंतराल से मिलना ही पड़ेगा — और यह $U \cap V = \emptyset$ के विरुद्ध है। (यह $I$ के भीतर चलाया गया $\R$ वाला प्रथम वर्ष का विवृत-संवृत तर्क है।)

(2) यदि $f(X) = U' \cup V'$ अरिक्त सापेक्षतः [विवृत](#def-b2-metric-topology) समुच्चयों में बँट जाता है, तो $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ $X$ को बाँट देता है ([प्रमेय 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity))। मध्यमान प्रमेय: $f(X) \subseteq \R$ [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) है, अतः (1) से वह एक अंतराल है।

(3) मान लीजिए $X = U \cup V$, जहाँ दोनों अरिक्त [विवृत](#def-b2-metric-topology) हैं, और $a \in U$ को $b \in V$ से किसी पथ $\gamma$ द्वारा जोड़िए: तब $\gamma^{-1}(U),
\gamma^{-1}(V)$ $\intcc{0}{1}$ को बाँट देते हैं, जो (1) के विरुद्ध है। ∎

**उदाहरण 4.28.**

$GL_n(\R)$ [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) नहीं है: $\det$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) है (प्रविष्टियों में बहुपद) और $\R^*$ पर जाता है, जो [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) नहीं; और $\R_+^*$ तथा $\R_-^*$ के पूर्वप्रतिबिंब $GL_n(\R)$ को बाँट देते हैं। (वास्तव में हर टुकड़ा [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) है — यह हमारी आवश्यकता से परे एक सुखद अभ्यास है।) इसके विपरीत $GL_n(\C)$ [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) *है*: [अभ्यास 4.10](#exo-b2-metric-10)।

**उदाहरण 4.29 (केवल संबद्धता से एक अचल बिंदु).**

प्रत्येक [संतत](#def-b2-metric-continuity) $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ का कोई अचल बिंदु होता है — न संकुचन की परिकल्पना, न पुनरावृत्ति। $g(x) = f(x) - x$ लीजिए, जो [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) $\intcc01$ पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) है:

$$
g(0) = f(0) \geq 0,
\qquad
g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,
$$

और मध्यमान प्रमेय ([प्रमेय 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) (2)) $g$ का कोई शून्य दे देती है, अर्थात् $f$ का अचल बिंदु। बानाख ([प्रमेय 4.12](#thm-b2-metric-banach)) से तुलना कीजिए: यहाँ अस्तित्व सांस्थितिक और मुफ़्त है, परंतु अद्वितीयता और कलनविधि खो जाती हैं — $f =
\mathrm{id}$ का हर बिंदु अचल है, और असंकुचनकारी $f$ की पुनरावृत्ति सदा चक्कर काटती रह सकती है। इस अध्याय की दोनों अचल बिंदु प्रमेयें भिन्न प्रश्नों का उत्तर भिन्न मुद्राओं में देती हैं।

**उदाहरण 4.30 (R\RR और R2\R^2R2 समाकृतिक नहीं हैं).**

संबद्धता एक सांस्थितिक अंगुलिचिह्न है। मान लीजिए $h \colon
\R^2 \to \R$ कोई समाकृतिकता है (अर्थात् [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिलोम वाला [संतत](#def-b2-metric-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण)। एक बिंदु $a \in \R^2$ हटा दीजिए: प्रतिबंधन $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to
\R\setminus\{h(a)\}$ तब भी समाकृतिकता है। परंतु $\R^2$ में से एक बिंदु हटाने पर वह [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) रहता है — किन्हीं दो बिंदुओं को किसी खंड से जोड़िए, और यदि $a$ सीधा रास्ता रोक ले तो किसी सहायक बिंदु से होकर दूसरे खंड का चक्कर लगाइए — अतः [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) ([प्रमेय 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) (3)); जबकि $\R$ में से एक बिंदु हटाने पर वह दो अरिक्त [विवृत](#def-b2-metric-topology) अर्धरेखाओं में बँट जाता है: [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) नहीं। और [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रण संबद्धता सुरक्षित रखते हैं: विरोधाभास। समतल और रेखा *सांस्थितिक समष्टियों के रूप में* सचमुच भिन्न हैं — और अकेली गणनसंख्या (जहाँ [अभ्यास 1.3](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#exo-b2-structures-3) जैसी एकैकी आच्छादक संगतियाँ विद्यमान हैं!) इसे देखने के लिए बहुत मोटी है।

## 4.5 अभ्यास

**अभ्यास 4.1 ★.**

$\R$ पर जाँचिए कि $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ और $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ दूरियाँ हैं। प्रत्येक के लिए कौन-से अनुक्रम अभिसरित होते हैं? क्या $(\R, d)$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है?

**हल — अभ्यास 4.1.**

$\delta$: सममितता और पृथक्करण स्पष्ट हैं; त्रिभुज असमिका: $u, v \geq 0$ के लिए $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ (यदि दोनों में से कोई न्यूनतम $1$ हो तो दाहिना पक्ष $\geq 1$ है; अन्यथा वह $u + v$ है)। $d$: यह एकैकी $\arctan$ के द्वारा $\abs{\cdot}$ का प्रतिकर्षण है: अतः तीनों अभिगृहीत स्थानांतरित हो जाते हैं।

अभिसरण: $\delta$ के लिए $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x}
\to 0$ (छोटे मानों पर दोनों दूरियाँ एक ही हैं): अतः सामान्य दूरी वाले ही अभिसारी अनुक्रम। और $d$ के लिए: $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to
\arctan x \iff x_n \to x$ ($\arctan$ की तथा संबंधित परिसरों पर उसके प्रतिलोम की संततता और यथार्थ एकदिष्टता): फिर वही सामान्य अभिसरण।

$(\R, d)$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) *नहीं* है: $x_n = n$ $d(x_p, x_q)
= \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ पूरा करता है (दोनों $\frac\pi2$ की ओर जाते हैं): अर्थात् कोशी; परंतु $d$ के लिए $(x_n)$ अभिसरित नहीं होता (उसकी $d$-सीमा सामान्य सीमा भी होती)। पूर्णता *दूरी* का गुणधर्म है, केवल अभिसारी अनुक्रमों का नहीं।

**अभ्यास 4.2 ★.**

किसी [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) में सिद्ध कीजिए कि अभिसारी अनुक्रम कोशी तथा परिबद्ध होता है, और यह कि जिस कोशी अनुक्रम का कोई उपअनुक्रम अभिसरित हो वह स्वयं अभिसरित होता है। इससे पुनः निष्कर्ष निकालिए कि [संहत](#def-b2-metric-compact) दूरिक समष्टियाँ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) होती हैं।

**हल — अभ्यास 4.2.**

अभिसारी $\Rightarrow$ कोशी: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) +
d(\ell, x_q)$। परिबद्ध: $N$ के आगे $d(x_n, \ell) \leq 1$; और आरंभ के परिमित पद भी किसी न किसी त्रिज्या के भीतर हैं।

कोशी $+$ अभिसारी उपअनुक्रम $x_{\varphi(n)} \to \ell$: $\varepsilon$ दिया हो तो बड़े $n$ के लिए $d(x_n, \ell) \leq d(x_n,
x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (पहला पद कोशी से, क्योंकि $\varphi(n) \geq n$)।

[संहत](#def-b2-metric-compact) $\Rightarrow$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete): कोशी अनुक्रम का कोई अभिसारी उपअनुक्रम होता है (संहतता), अतः वह अभिसरित हो जाता है।

**अभ्यास 4.3 ★.**

$\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$ में $f(x) = x$ और $g(x) = x^2$ के बीच की दूरी परिकलित कीजिए; संवृत गोले $\overline B(0, 1)$ का वर्णन कीजिए; और सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{f : f(0) = 0\}$ संवृत है जबकि $\{f : f(0) > 0\}$ [विवृत](#def-b2-metric-topology)।

**हल — अभ्यास 4.3.**

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ ($x = \frac12$ पर $x - x^2$ का महत्तम)।

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$: अर्थात् $\intcc{-1}{1}$ में मान लेने वाले [संतत](#def-b2-metric-continuity) फलन।

$\{f : f(0) = 0\}$ *मूल्यांकन* $f \mapsto f(0)$ के अंतर्गत $\{0\}$ का पूर्वप्रतिबिंब है, और वह $1$-लिप्शिट्स है ($\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$), अतः [संतत](#def-b2-metric-continuity): इसलिए समुच्चय संवृत है ([प्रमेय 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity))। इसी प्रकार $\{f :
f(0) > 0\}$ [विवृत](#def-b2-metric-topology) $\intoo{0}{+\infty}$ का पूर्वप्रतिबिंब है: अतः [विवृत](#def-b2-metric-topology)।

**अभ्यास 4.4 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि विविक्त [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) $X$ (कोई भी समुच्चय) [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है, और यह कि वह [संहत](#def-b2-metric-compact) है यदि और केवल यदि $X$ परिमित हो। कौन-से उपसमुच्चय [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) हैं?

**हल — अभ्यास 4.4.**

*[पूर्ण](#def-b2-metric-complete):* $\varepsilon = \frac12$ वाला कोई कोशी अनुक्रम अंततः अचर हो जाता है, अतः अभिसारी।

*[संहत](#def-b2-metric-compact) तभी जब परिमित:* यदि $X$ परिमित है, तो कोई भी अनुक्रम किसी न किसी मान को अपरिमित बार लेता है (अचर उपअनुक्रम)। और यदि $X$ अनंत है, तो परस्पर भिन्न बिंदुओं वाले अनुक्रम की सारी परस्पर दूरियाँ $1$ हैं: अतः कोई कोशी उपअनुक्रम नहीं, इसलिए कोई अभिसारी भी नहीं।

*[संबद्ध](#def-b2-metric-connected) उपसमुच्चय:* एकल समुच्चय (और $\emptyset$)। दो बिंदुओं $x \neq y$ वाला कोई भी $A$ $\{x\} \cup (A
\setminus\{x\})$ के रूप में बँट जाता है, और दोनों $A$ में [विवृत](#def-b2-metric-topology) हैं (विविक्त समष्टि का हर उपसमुच्चय [विवृत](#def-b2-metric-topology) होता है — त्रिज्या $\frac12$ के गोले एकल समुच्चय हैं)।

**अभ्यास 4.5 ★★.**

मान लीजिए $X$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है और $f \colon X \to X$ ऐसा है कि

$$
d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{ सभी } x \neq y .
$$

सिद्ध कीजिए कि $f$ का अद्वितीय अचल बिंदु है *($x \mapsto
d(x, f(x))$ को न्यूनतम कीजिए)*, और $X = \intco{1}{+\infty}$ (जो [संहत](#def-b2-metric-compact) नहीं) पर बिना अचल बिंदु का एक उदाहरण दीजिए।

**हल — अभ्यास 4.5.**

फलन $g(x) = d(x, f(x))$ [संहत](#def-b2-metric-compact) $X$ पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) है (दो त्रिभुज असमिकाओं से $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$), अतः वह किसी $a$ पर अपना न्यूनतम प्राप्त कर लेता है ([प्रमेय 4.16](#thm-b2-metric-compactprops))। यदि $f(a) \neq a$:

$$
g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),
$$

जो न्यूनतमता के विरुद्ध है। अतः $f(a) = a$; और अद्वितीयता सदा की तरह (दो अचल बिंदु $a \neq b$ से $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$ मिलता है)।

असंहत उदाहरण: $\intco{1}{+\infty}$ पर $f(x) = x + \frac1x$: $x \neq y$ के लिए $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x -
y}$ (क्योंकि $xy > 1$), फिर भी सर्वत्र $f(x) > x$।

**अभ्यास 4.6 ★★.**

(अंतःस्थ [संहत](#def-b2-metric-compact)) मान लीजिए $(K_n)$ किसी [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) के अरिक्त [संहत](#def-b2-metric-compact) उपसमुच्चयों का ह्रासमान अनुक्रम है। सिद्ध कीजिए कि $\bigcap_n K_n \neq
\emptyset$ *($x_n \in K_n$ चुनिए और उपअनुक्रम निकालिए)*। उदाहरण देकर दिखाइए कि $\R$ में अरिक्त अंतःस्थ *संवृत* समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त हो सकता है।

**हल — अभ्यास 4.6.**

$x_n \in K_n$ चुनिए। कोटि $n$ से आगे के सारे पद $K_n$ में हैं; विशेष रूप से पूरा अनुक्रम [संहत](#def-b2-metric-compact) $K_0$ में है: $x_{\varphi(k)} \to \ell$ निकालिए। प्रत्येक स्थिर $n$ के लिए $\varphi(k) \geq n$ वाले पद $x_{\varphi(k)}$ *संवृत* $K_n$ में हैं, अतः सीमा $\ell \in K_n$। इसलिए $\ell \in \bigcap K_n$।

संवृत प्रतिउदाहरण: $\R$ में $F_n = \intco{n}{+\infty}$: अंतःस्थ, संवृत, अरिक्त, और प्रतिच्छेदन रिक्त।

**अभ्यास 4.7 ★★.**

मान लीजिए $K$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है और $f \colon K \to Y$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) तथा एकैकी आच्छादक है। सिद्ध कीजिए कि $f^{-1}$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) है *(संवृत समुच्चयों का उपयोग कीजिए: [प्रमेय 4.6](#thm-b2-metric-globalcontinuity) और [प्रमेय 4.16](#thm-b2-metric-compactprops))*। संहतता के बिना प्रतिउदाहरण दीजिए ($\intco{0}{2\pi}$ पर $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$)।

**हल — अभ्यास 4.7.**

$f^{-1}$ की संततता का अर्थ है: संवृत समुच्चयों $F
\subseteq K$ के प्रतिबिंब $f(F)$ संवृत हों ($f^{-1}$ के अंतर्गत पूर्वप्रतिबिंब $f$ के अंतर्गत प्रतिबिंब ही हैं)। [संहत](#def-b2-metric-compact) $K$ का संवृत $F$ [संहत](#def-b2-metric-compact) होता है ([प्रमेय 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (1)); उसका [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिबिंब $f(F)$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है, अतः संवृत। इसलिए $f^{-1}$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) है: $f$ एक समाकृतिकता है।

प्रतिउदाहरण: $\intco{0}{2\pi}$ (जो [संहत](#def-b2-metric-compact) नहीं) से इकाई वृत्त पर $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, परंतु $\gamma^{-1}$ $(1,0)$ पर असंतत है: अक्ष से ठीक नीचे वाले वृत्त के बिंदुओं के प्राचल $2\pi$ के निकट हैं, $0$ के निकट नहीं।

**अभ्यास 4.8 ★★.**

*कैंटर समुच्चय* $C$ $\intcc{0}{1}$ से बीच के [विवृत](#def-b2-metric-topology) तिहाई बार-बार हटाकर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि $C$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है, उसका अभ्यंतर रिक्त है, और वह अनंत है — वास्तव में $\{0,1\}^{\N}$ के [समशक्त](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) *(अंक $0,2$ वाले त्रिआधारी प्रसार; [अभ्यास 1.3](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#exo-b2-structures-3))*।

**हल — अभ्यास 4.8.**

$C = \bigcap_n C_n$, जहाँ हर $C_n$ (लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ संवृत अंतरालों का सम्मिलन) संवृत है: अतः $C$ $\R$ में संवृत और परिबद्ध है, इसलिए [संहत](#def-b2-metric-compact) ([प्रमेय 4.16](#thm-b2-metric-compactprops) (2))।

रिक्त अभ्यंतर: प्रत्येक $n$ के लिए $C$ में लंबाई $> 3^{-n}$ का कोई अंतराल नहीं है (वह $C_n$ के भीतर बैठता है, जिसके घटकों की लंबाई उतनी ही है)।

गणनसंख्या: $C$ के बिंदु ठीक वे वास्तविक $\sum_{n\geq1}
a_n 3^{-n}$ हैं जिनके अंक $a_n \in \{0, 2\}$ हैं (हर चरण पर हटाया गया बीच का तिहाई अंक $1$ हटा देता है); और प्रतिचित्रण $(a_n) \mapsto
\sum a_n 3^{-n}$ $\{0,2\}^{\N^*}$ से $C$ पर एकैकी आच्छादक है (एकैकीपन [अभ्यास 1.3](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#exo-b2-structures-3) की तरह)। अतः $C$ $\{0,1\}^{\N}$ के [समशक्त](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) है: अगणनीय, यद्यपि “लंबाई शून्य” का।

**अभ्यास 4.9 ★★★.**

मान लीजिए $X$ *[संहत](#def-b2-metric-compact)* [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) है और $f \colon X \to X$ समदूरिक प्रतिचित्रण: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$। सिद्ध कीजिए कि $f$ आच्छादक है। *संकेत: यदि $a \notin f(X)$, तो $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (क्यों?); कक्षा $a, f(a), f^2(a), \dots$ का अध्ययन कीजिए और दिखाइए कि उसके बिंदु परस्पर $\geq \varepsilon$ दूर हैं — जो संहतता के विरुद्ध है।*

**हल — अभ्यास 4.9.**

मान लीजिए $a \notin f(X)$। प्रतिबिंब $f(X)$ [संहत](#def-b2-metric-compact) है ([संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिबिंब), अतः संवृत; अतः

$$
\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr)
= \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0
$$

([संहत](#def-b2-metric-compact) समुच्चय पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) फलन का निम्नतम प्राप्त हो जाता है; और यदि वह $0$ होता तो $a$ संवृत $f(X)$ से संलग्न होता, इसलिए उसी में होता)।

कक्षा $x_n = f^n(a)$ लीजिए ($x_0 = a$)। $p < q$ के लिए:

$$
d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr)
= d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,
$$

(समदूरिक प्रतिचित्रण $p$ बार लगाया; और $q - p
\geq 1$ के कारण $f^{q-p}(a) \in f(X)$)। जिस अनुक्रम की परस्पर दूरियाँ $\geq \varepsilon$ हों उसका कोई अभिसारी उपअनुक्रम नहीं होता — जो संहतता के विरुद्ध है। अतः $f(X) =
X$।

**अभ्यास 4.10 ★★★.**

सिद्ध कीजिए कि $GL_n(\C)$ [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) है। *संकेत: प्रतिलोमनीय $A, B$ दिए हों तो $z
\in \C$ के लिए $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ लीजिए: यह $z$ में एक बहुपद है जो सर्वथा शून्य नहीं, अतः उसके परिमित मूल हैं; अब $0$ को $1$ से $\C$ में ऐसे पथ द्वारा जोड़िए जो उन मूलों से बचता हो।*

**हल — अभ्यास 4.10.**

मान लीजिए $A, B \in GL_n(\C)$ और $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$: यह $z$ में एक बहुपद है (हर प्रविष्टि $z$ में आनत है; और [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) प्रविष्टियों में बहुपद)। $p(0) = \det A \neq 0$: $p$ सर्वथा शून्य नहीं है, अतः उसके परिमित मूल $z_1, \dots, z_m$ हैं (और उनमें से कोई $0$ या $1$ के बराबर नहीं: $p(1) = \det B \neq 0$)। समतल $\C$ में से परिमित बिंदु हटाने पर वह [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) रहता है: $z_i$ से बचता हुआ $0$ से $1$ तक कोई पथ विद्यमान है (सभी मूलों से दूर किसी बिंदु से होकर टूटी रेखा लीजिए, अथवा कोई वृत्तीय चाप; बाधाएँ परिमित ही हैं)। ऐसे किसी पथ $\gamma$ के अनुदिश $t \mapsto (1 - \gamma(t))A +
\gamma(t)B$ $GL_n(\C)$ के *भीतर* $A$ से $B$ तक एक [संतत](#def-b2-metric-continuity) पथ है (उस पर [सारणिक](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) कभी लुप्त नहीं होता)। अतः $GL_n(\C)$ [पथ-संबद्ध](#def-b2-metric-connected) है — अपने वास्तविक चचेरे भाई ([उदाहरण 4.28](#ex-b2-metric-glnr)) के विपरीत: सम्मिश्र समतल में बाधाओं के चारों ओर घूमने की जगह होती है।

**अभ्यास 4.11 ★★.**

$\emptyset \neq A \subseteq X$ के लिए $d(x, A) = \inf_{a \in A}
d(x, a)$ रखिए। सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto d(x, A)$ $1$-लिप्शिट्स है, कि $d(x, A) = 0$ यदि और केवल यदि $x \in \overline A$, और यह कि असंयुक्त अरिक्त *संवृत* समुच्चयों $A, B$ के लिए फलन

$$
\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}
$$

सुपरिभाषित है, [संतत](#def-b2-metric-continuity) है, ठीक $A$ पर $0$ के बराबर है और ठीक $B$ पर $1$ के बराबर — अर्थात् किन्हीं दो असंयुक्त संवृत समुच्चयों को अलग करने वाला [संतत](#def-b2-metric-continuity) “स्विच”।

**हल — अभ्यास 4.11.**

*[लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity):* $a \in A$ के लिए $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y,
a)$; $a$ पर निम्नतम लीजिए: $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y,
A)$, और $x, y$ आपस में बदलिए: $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$।

*लुप्त होना:* $d(x, A) = 0$ यदि और केवल यदि ऐसे $a_n \in A$ हों कि $d(x, a_n) \to 0$, यदि और केवल यदि $x$ $A$ के बिंदुओं की सीमा हो, यदि और केवल यदि $x \in
\overline A$।

*स्विच:* असंयुक्त संवृत $A, B$ के लिए: हर $d(x,A) + d(x,B)$ कभी लुप्त नहीं होता (वह $x \in \overline
A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$ को बाध्य कर देता), अतः $\varphi$ सुपरिभाषित है, और अलुप्त हर वाले [संतत](#def-b2-metric-continuity) फलनों के भागफल के रूप में [संतत](#def-b2-metric-continuity) भी। $\varphi(x) = 0$ यदि और केवल यदि $d(x, A) = 0$, यदि और केवल यदि $x \in A$; $\varphi(x) = 1$ यदि और केवल यदि $d(x, B) = 0$, यदि और केवल यदि $x \in B$; और सर्वत्र $0 \leq \varphi \leq 1$।

**अभ्यास 4.12 ★★★.**

(बेयर) मान लीजिए $X$ [पूर्ण दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-complete) है और $(U_n)_{n\geq1}$ सघन [विवृत](#def-b2-metric-topology) उपसमुच्चयों का अनुक्रम। सिद्ध कीजिए कि $\bigcap_n U_n$ $X$ में सघन है *(किसी भी गोले के भीतर $r_n \to 0$ वाले अंतःस्थ संवृत गोले $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ बनाइए और पूर्णता का उपयोग कीजिए)*। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\R$ रिक्त अभ्यंतर वाले संवृत समुच्चयों का [गणनीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) सम्मिलन नहीं है, और — फिर एक बार — यह पुनः प्राप्त कीजिए कि $\R$ अगणनीय है।

**हल — अभ्यास 4.12.**

मान लीजिए $B(x_0, r_0)$ कोई गोला है; हम उसमें $\bigcap U_n$ का कोई बिंदु खोजते हैं। चूँकि $U_1$ सघन और [विवृत](#def-b2-metric-topology) है, $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ अरिक्त और [विवृत](#def-b2-metric-topology) है: उसमें $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ वाला कोई संवृत गोला $\overline B(x_1,
r_1)$ समाहित है (त्रिज्या सिकोड़ लीजिए)। आगमन से $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ अरिक्त [विवृत](#def-b2-metric-topology) है: $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$ वाला $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n,
r_n)$ चुनिए। $p, q \geq n$ के लिए दोनों $x_p, x_q$ $r_n \leq 2^{-n}r_0$ सहित $B(x_n, r_n)$ में हैं: अतः अनुक्रम कोशी है, और पूर्णता से वह किसी $\ell$ पर अभिसरित होता है। प्रत्येक $n$ के लिए अनुक्रम की पुच्छ *संवृत* गोले $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1}
\cap B(x_0, r_0)$ में है, अतः प्रत्येक $n$ तथा $\ell
\in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$ के लिए $\ell \in U_{n+1}$। इसलिए $\bigcap_n U_n$ हर गोले से मिलता है: अर्थात् सघन।

*अनुप्रयोग:* यदि $\R = \bigcup_n F_n$ हो, जहाँ $F_n$ रिक्त अभ्यंतर वाले संवृत हैं, तो $U_n = \R \setminus F_n$ सघन ($\overline{U_n} = \R$ यदि और केवल यदि $F_n$ का अभ्यंतर रिक्त हो) और [विवृत](#def-b2-metric-topology) हैं, और बेयर $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup
F_n$ में कोई बिंदु दे देती है: विरोधाभास। विशेष रूप से [गणनीय](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) $D$ के लिए $\R \neq \bigcup_{x \in D}
\{x\}$ (एकल समुच्चय रिक्त अभ्यंतर वाले संवृत हैं): अतः $\R$ अगणनीय है — [प्रमेय 1.9](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/1-sets-and-structures#thm-b2-structures-cantor) दूसरे रास्ते से।

## 4.6 समस्या: पिकार पुनरावृत्ति

पूर्णता और संकुचन मिलकर एक हल करने की मशीन बनते हैं: उसमें अचल बिंदु की समस्या के रूप में लिखा हुआ समीकरण डालिए, और वह अस्तित्व, अद्वितीयता, कलनविधि तथा त्रुटि-पट्टियाँ लौटा देती है। यह सप्ताहांत समस्या उस मशीन को समीकरण $y' = f(t,
y)$ पर पूरी शक्ति से चलाती है: हम स्थानीय *पिकार–लिंडलोफ़ प्रमेय* सिद्ध करते हैं ([अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) के कोशी–लिप्शिट्स सिद्धांत का अरैखिक हृदय), प्रतिउदाहरणों के द्वारा हर परिकल्पना को अपनी रोटी कमाते देखते हैं, और विशुद्ध दूरिक लाभ बटोरते हैं — आँकड़ों पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) निर्भरता, केप्लर समीकरण, और कैंटर समुच्चय की स्वसमरूपता।

![y' = y, y(0) = 1 के लिए पिकार पुनरावृत्त: T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y से होकर हर चक्कर एक टेलर पद जोड़ देता है, और संकुचन पूरे अनुक्रम को एकसमान रूप से \,t पर निचोड़ देता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-metric/fig-ca7ff92a0207.svg)

*$y' = y$, $y(0) = 1$ के लिए पिकार पुनरावृत्त: $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ से होकर हर चक्कर एक टेलर पद जोड़ देता है, और संकुचन पूरे अनुक्रम को एकसमान रूप से $\eu^{\,t}$ पर निचोड़ देता है।*

**समस्या 4.1.**

सप्ताहांत समस्या — पिकार–लिंडलोफ़ प्रमेय

आगे सर्वत्र $t_0 \in \R$, $y_0 \in \R$, $a, b > 0$, और $f$ आयत $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 +
a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ पर ऐसा [संतत](#def-b2-metric-continuity) फलन है जो $M =
\sup_R\,\abs f$ से परिबद्ध है और अपने दूसरे चर में *$L$-लिप्शिट्स* है: जब दोनों बिंदु $R$ में हों तब $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$। रखिए

$$
h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{ जहाँ } h = a
\text{ यदि } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.
$$

**भाग I — पूर्ण मंच।**

1. [परिभाषा 4.7](#def-b2-metric-complete) में उद्धृत दोनों कथन सिद्ध कीजिए: [पूर्ण दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-complete) का संवृत उपसमुच्चय [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) होता है, और किसी भी [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) का [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) उपसमुच्चय संवृत। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ का हर संवृत उपसमुच्चय [पूर्ण दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-complete) है।
2. दिखाइए कि प्रतिचित्रण $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto \bigl(t  \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , $d_\infty$ के लिए $h$ -लिप्शिट्स है।
3. (अचल बिंदु प्रतिचित्रणों से कम हिलते हैं) मान लीजिए $g \colon X  \to X$ किसी [दूरिक समष्टि](#def-b2-metric-def) का $k$-संकुचन है जिसका अचल बिंदु $\ell_g$ है, और $\widetilde g \colon X \to X$ *कोई भी* ऐसा प्रतिचित्रण जिसका अचल बिंदु $\ell_{\widetilde g}$ है। सिद्ध कीजिए $$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq  \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}),  \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k}  \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde  g(x)\bigr)}{1 - k}.$$
4. (पुनरावृत्त की युक्ति) मान लीजिए $X$ अरिक्त [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है और $g  \colon X \to X$ ऐसा प्रतिचित्रण — जिसे [संतत](#def-b2-metric-continuity) नहीं माना गया — कि उसका कोई पुनरावृत्त $g^m$ $k$ -संकुचन हो। सिद्ध कीजिए कि $g$ का अद्वितीय अचल बिंदु $\ell$ है और *हर* कक्षा $x_{n+1} = g(x_n)$ $\ell$ पर अभिसरित होती है। *($g$ के अचल बिंदु $g^m$ के अचल बिंदु होते हैं; विलोमतः $g(\ell)$ $g^m$ का अचल बिंदु है; और कक्षा को $m$ के सापेक्ष शेषों के अनुसार बाँटिए।)*

**भाग II — पिकार–लिंडलोफ़ प्रमेय।**

5. दिखाइए कि कोई फलन $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0  + b}$ $I$ पर $y(t_0) = y_0$ तथा $y' = f(t, y)$ के साथ $C^1$ है यदि और केवल यदि वह [संतत](#def-b2-metric-continuity) हो और समाकल समीकरण $$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s  \qquad (t \in I).$$ को संतुष्ट करे।
6. मान लीजिए $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b  \text{ पर } I\}$ और $T$ को $T(y)(t) =  y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ से परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि $X_h$ $C(I)$ का अरिक्त संवृत उपसमुच्चय है, अतः [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है, और यह कि $T$ $X_h$ को $X_h$ में भेजता है — यहीं $h \leq  b/M$ काम आता है।
7. दिखाइए कि $X_h$ पर $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq  Lh\,d_\infty(y, z)$ : यदि $Lh < 1$ हो, तो बानाख की प्रमेय पहले ही निष्कर्ष दे देती है। अगले चरण में हम यह लघुता वाली शर्त हटा देंगे।
8. $n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए: $$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq  \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\,  d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$$ अतः $T$ का कोई पुनरावृत्त संकुचन है। प्रश्न 4 से निष्कर्ष निकालिए (*पिकार–लिंडलोफ़ प्रमेय*): कोशी समस्या $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ का $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ पर $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ में मान लेने वाला ठीक एक हल है।
9. दिखाइए कि “ $\intcc{y_0 -  b}{y_0 + b}$ में मान लेते हुए” वाला प्रतिबंध स्वतः लग जाता है: $I$ पर परिभाषित कोशी समस्या का कोई भी हल, जिसका आलेख $R$ में आरंभ होता है, $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ में ही रहता है *(पहला निर्गम समय लीजिए और $\abs{y(t) - y_0}$ को $M\abs{t -  t_0}$ से परिबद्ध कीजिए)* । अतः अद्वितीयता $I$ पर के सभी हलों में सत्य है।
10. मशीन को $y' = y$ , $y(0) = 1$ पर चलाइए, और अचर $y^{(0)} \equiv 1$ से आरंभ कीजिए: पिकार पुनरावृत्त $y^{(n)}$ परिकलित कीजिए, उन्हें पहचानिए, और अभिसरण का वर्णन कीजिए।

**भाग III — हर परिकल्पना अपनी रोटी कमाती है।**

11. ( [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) विफल, अद्वितीयता विफल) $y' =  2\sqrt{\abs y}$ , $y(0) = 0$ के लिए: जाँचिए कि $y \equiv 0$ , और यह भी कि प्रत्येक $c \geq 0$ के लिए फलन $t \leq c$ के लिए $y_c(t) = 0$ तथा $t > c$ के लिए $y_c(t) = (t - c)^2$ — ये सब $\R$ पर $C^1$ हल हैं। $y \mapsto  2\sqrt{\abs y}$ ठीक कहाँ [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) नहीं है?
12. (स्थानीयता वास्तविक है) $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ के लिए: स्पष्ट रूप से हल कीजिए, अस्तित्व का महत्तम अंतराल दीजिए, और आयत के सभी चुनावों ( $a$ बड़ा, $b$ स्वतंत्र) पर प्रमेय जो सर्वोत्तम $h$ प्रमाणित कर सकती है वह परिकलित कीजिए: दिखाइए कि $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , जबकि सच्चा हल $\intoo{-\infty}{1}$ पर रहता है।
13. (पूर्णता सजावट नहीं है) सामान्य दूरी वाले $X = \Q \cap  \intcc{1}{2}$ पर $g(x) =  \frac x2 + \frac1x$ लीजिए। दिखाइए कि $g(X) \subseteq X$ , कि $g$ $\frac12$ -संकुचन है *(मध्यमान असमिका)* , और कि $g$ का $X$ में कोई अचल बिंदु नहीं है। बानाख की प्रमेय की कौन-सी परिकल्पना विफल हो रही है, और पूर्णक में अचल बिंदु क्या है?
14. (त्रुटि-पट्टियाँ) किसी [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) समष्टि पर $k$ -संकुचन $g$ के लिए *पश्चगामी* आकलन $d(x_n,  \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ सिद्ध कीजिए। $\intcc{1}{2}$ पर हीरोन प्रतिचित्रण $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ (अचल बिंदु $\sqrt2$ ) के लिए, $x_0 = \frac32$ से आरंभ करके: यथार्थता $10^{-6}$ के लिए *पूर्वगामी* परिबंध $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ कितने पग माँगता है, और वास्तव में कितने पग पर्याप्त हैं? ( $x_1, x_2, x_3$ और उनकी त्रुटियाँ परिकलित कीजिए; संकुचन-परिबंध ईमानदार है पर निराशावादी — हीरोन द्विघातीय गति से अभिसरित होता है।)

**भाग IV — [संतत](#def-b2-metric-continuity) निर्भरता।** इस भाग में $Lh < 1$, अतः $T$ स्वयं $X_h$ पर संकुचन है (प्रश्न 7); और आरंभिक मान $y_0$ वाले हल के लिए $y[\,y_0\,]$ लिखिए।

15. (आरंभिक मान पर निर्भरता) मान लीजिए $z_0$ कोई अन्य आरंभिक मान है और $\abs{z_0 - y_0}$ इतना छोटा है कि दोनों समस्याएँ आयत में समा जाएँ। प्रश्न 3 का उपयोग करके सिद्ध कीजिए $$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq  \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$$
16. (शृंखलाबद्ध करके लंबे अंतराल) मान लीजिए हल किसी लंबे खंड पर विद्यमान हैं जिसे $m$ क्रमागत टुकड़ों में काटा गया है और प्रत्येक पर पिछला परिबंध $Lh \leq  \frac12$ के साथ लागू होता है। दिखाइए कि विचलन प्रति टुकड़ा अधिकतम $2$ गुना बढ़ता है, अतः कुल मिलाकर $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ — अर्थात् लंबाई में घातांकीय परिबंध, जो ग्रोनवाल प्रमेयिका ( [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) ) के $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ की विविक्त परछाईं है।
17. (क्षेत्र पर निर्भरता) मान लीजिए $g$ $R$ पर एक और क्षेत्र है, जो $y$ में $L$ -लिप्शिट्स भी है, और $\sup_R \abs{f - g}  \leq \varepsilon$ । सिद्ध कीजिए कि संगत हल $d_\infty \leq  \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ पूरा करते हैं: अर्थात् प्रतिरूपण-त्रुटि रैखिक रूप से फैलती है।
18. (प्राचल) यदि क्षेत्रों का कोई कुल $f_\lambda$ $y$ में एकसमान रूप से $L$ -लिप्शिट्स हो और $\sup_R\abs{f_\lambda  - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , तो निष्कर्ष निकालिए कि $\lambda \mapsto y_\lambda$ प्राचल समष्टि से $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ में [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) है।
19. (निकायों की कोई क़ीमत नहीं) समझाइए कि भाग I, II और IV $\R^n$ में मान लेने वाले $y$ के लिए अक्षरशः क्यों सत्य रहते हैं ( [उदाहरण 4.2](#ex-b2-metric-examples) की किसी भी दूरी पर बनी उच्चतम दूरियाँ), और फिर निकाय $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1,  c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 &  0\end{smallmatrix}\right)$ के लिए सभी पिकार पुनरावृत्त परिकलित कीजिए: दिखाइए कि एक ही पग के बाद पुनरावृत्ति यथार्थ हल पर स्थिर हो जाती है।

**भाग V — दूरिक लाभ और संश्लेषण।**

20. (तत्समक का विक्षोभ) मान लीजिए $X$ मानदंडित समष्टि जैसा कोई पूर्ण मंच है: $X = C(I)$ अथवा $\R^n$ लीजिए। यदि $\eta \colon X \to X$ $k < 1$ के साथ $k$ -लिप्शिट्स हो, तो सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto x + \eta(x)$ $X$ का ऐसा एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है जिसका प्रतिलोम $\frac1{1-k}$ -लिप्शिट्स है *(प्रत्येक $y$ के लिए $x \mapsto y - \eta(x)$ पर बानाख लगाइए)* । यही प्रतिलोम फलन प्रमेय ( [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc) ) का दूरिक हृदय है।
21. (केप्लर समीकरण) $0 \leq e < 1$ और $m \in \R$ के लिए सिद्ध कीजिए कि $x = m + e\sin x$ का ठीक एक हल है, कि पुनरावृत्ति $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ किसी भी आरंभ से उस पर अभिसरित होती है, और आकलन कीजिए: $e = \frac12$ , $m = 1$ के लिए पूर्वगामी परिबंध से त्रुटि $\leq  10^{-3}$ की गारंटी के लिए कितनी पुनरावृत्तियाँ चाहिए? (हल $x  \approx 1.4987$ है।)
22. (कैंटर समुच्चय एक अचल बिंदु है) $\R$ पर $S_1(x) = \frac  x3$ और $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ लीजिए, और मान लीजिए $C$ [अभ्यास 4.8](#exo-b2-metric-8) का कैंटर समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ , और एक वाक्य में समझाइए कि कोई *अन्य* अरिक्त [संहत](#def-b2-metric-compact) समुच्चय यह समीकरण क्यों नहीं पूरा करता (प्रतिचित्रण $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ [संहत](#def-b2-metric-compact) समुच्चयों के बीच की एक दूरी — हाउसडॉर्फ दूरी, जिसे तृतीय वर्ष के खंड में ईमानदारी से गढ़ा गया है — के लिए संकुचन है)।
23. (संबद्धता अद्वितीयता को वैश्विक बनाती है) मान लीजिए $f$ किसी [विवृत](#def-b2-metric-topology) समुच्चय पर $y$ में स्थानीय रूप से [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) है, और $y, z$ किसी साझे अंतराल $J$ पर $y' = f(t, y)$ के दो ऐसे हल हैं कि $y(t_0) = z(t_0)$ । सिद्ध कीजिए कि $J$ पर $y = z$ : दिखाइए कि $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ अरिक्त है, $J$ में संवृत है, और $J$ में [विवृत](#def-b2-metric-topology) है (स्थानीय अद्वितीयता से), और फिर अंतरालों की संबद्धता ( [प्रमेय 4.27](#thm-b2-metric-connectedness) ) का उपयोग कीजिए।
24. (रैखिक समीकरणों के लिए कोई लघुता नहीं) किसी खंड $\intcc{A}{B}$ पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) $\alpha, \beta$ के साथ $y' =  \alpha(t)y + \beta(t)$ के लिए प्रश्न 8 को अनुकूलित करके दिखाइए कि क्रमगुणित परिबंध *पूरे* खंड पर लागू होता है, अतः वहाँ अस्तित्व और अद्वितीयता वैश्विक हैं — यह [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq) की कोशी–लिप्शिट्स प्रमेय की अदिश स्थिति है, जिसमें लंबाई $B - A$ पर कोई प्रतिबंध नहीं।
25. (संश्लेषण) एक-एक वाक्य में: पूर्णता ने क्या दिया; संकुचन ने क्या दिया; सादी बानाख की तुलना में पुनरावृत्त की युक्ति से क्या मिला; संबद्धता कहाँ आई; और भाग III का कौन-सा प्रतिउदाहरण कौन-सी परिकल्पना की रक्षा करता है। शिखर प्रमेय का नाम लीजिए, और बताइए कि $f$ के केवल [संतत](#def-b2-metric-continuity) होने पर संकुचन का स्थान क्या लेता है (पियानो प्रमेय, फलन समष्टियों में संहतता के द्वारा — तृतीय वर्ष के खंड की आर्ज़ेला–आस्कोली)।

**हल — समस्या 4.1.**

**1.** मान लीजिए $F$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $X$ में संवृत है और $(x_n)
\subseteq F$ कोशी: वह $X$ में किसी $\ell$ पर अभिसरित होता है, और $F$ के संवृत होने से $\ell \in F$ ($F$ के अनुक्रमों की सीमाएँ $\overline F = F$ में ही रहती हैं): अतः $F$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है। विलोमतः मान लीजिए $A
\subseteq X$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है और $x \in \overline A$: तो $A$ का कोई अनुक्रम $x$ पर अभिसरित होता है; वह कोशी है, अतः वह $A$ *के भीतर* अभिसरित होता है; और सीमाएँ अद्वितीय होती हैं, अतः $x \in A$: अर्थात् $A$ संवृत। और चूँकि $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है ([प्रमेय 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete)), उसके संवृत उपसमुच्चय [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) हैं।

**2.** $y, z \in C(I)$ और $t \in I$ के लिए:

$$
\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq
\abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),
$$

और $t$ पर उच्चतम लीजिए।

**3.** दोनों अचल बिंदु समीकरणों और त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर:

$$
d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})
= d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)
\leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) +
d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde
g})\bigr)
\leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) +
d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde
g})\bigr),
$$

और $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ के लिए हल कीजिए (गुणांक $1 - k$ धनात्मक है)। दूसरी असमिका मूल्यांकित अंतर को एकसमान अंतर से परिबद्ध कर देती है।

**4.** $g^m$ अरिक्त [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) समष्टि पर संकुचन है: अतः उसका अद्वितीय अचल बिंदु $\ell$ है ([प्रमेय 4.12](#thm-b2-metric-banach))। तब $g^m(g(\ell)) =
g(g^m(\ell)) = g(\ell)$: अर्थात् $g(\ell)$ $g^m$ का अचल बिंदु है, इसलिए अद्वितीयता से $g(\ell) = \ell$। और $g$ का कोई भी अचल बिंदु $g^m$ का भी अचल बिंदु है: अतः $g$ के लिए अद्वितीयता। कक्षाएँ: $r \in \{0, \dots,
m-1\}$ स्थिर कीजिए; उपअनुक्रम $(x_{qm + r})_q$ $x_r$ से आरंभ की गई $g^m$-कक्षा है, अतः $q \to \infty$ होने पर वह $\ell$ पर अभिसरित होता है (फिर बानाख)। सभी $m$ उपअनुक्रम एक ही $\ell$ पर अभिसरित होते हैं, अतः $x_n \to \ell$: $\varepsilon$ दिया हो तो हर शेष-वर्ग अंततः $\varepsilon$ के भीतर आ जाता है, और वर्ग परिमित ही हैं।

**5.** यदि $y$ $\intcc{y_0 -
b}{y_0 + b}$ में मान लेते हुए [संतत](#def-b2-metric-continuity) है, तो समाकल्य $s \mapsto f(s, y(s))$ $I$ पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) है (संयोजन), अतः दाहिना पक्ष $C^1$ है जिसका अवकलज $f(t, y(t))$ है (कलन की मूल प्रमेय, प्रथम वर्ष का खंड)। यदि $y$ समाकल समीकरण को संतुष्ट करता है, तो वह वही $C^1$ फलन है, $y(t_0) = y_0$, और $y' = f(t, y)$। विलोमतः $y' = f(s, y(s))$ का $t_0$ से $t$ तक समाकलन करने पर समाकल समीकरण मिल जाता है।

**6.** $X_h$ में अचर $y_0$ है; और वह [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रण $y
\mapsto d_\infty(y, y_0)$ के अंतर्गत $\intcc{0}{b}$ का पूर्वप्रतिबिंब होने से संवृत है (दूरियाँ $1$-लिप्शिट्स होती हैं), अतः प्रश्न 1 से [पूर्ण](#def-b2-metric-complete)। स्थायित्व: $y \in X_h$ और $t \in
I$ के लिए

$$
\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr|
\leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,
$$

जिसका अंतिम पग $h \leq b/M$ से आता है (अथवा $M = 0$, जो तुच्छ है)। और $T(y)$ [संतत](#def-b2-metric-continuity) है (प्रश्न 5 के अनुसार $C^1$ तक): $T(y) \in X_h$।

**7.** $t \in I$ के लिए:

$$
\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) -
f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z)
\leq Lh\,d_\infty(y,z).
$$

यदि $Lh < 1$: तो $T$ अरिक्त [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $X_h$ का संकुचन है, और बानाख अद्वितीय अचल बिंदु दे देती है — प्रश्न 5 के अनुसार वही अद्वितीय हल है।

**8.** आगमन; $n = 1$ की स्थिति प्रश्न 7 की बीच वाली असमिका है। $n$ के लिए परिबंध मानते हुए, $t \geq t_0$ के लिए ($t \leq t_0$ की स्थिति सममित है):

$$
\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)}
\leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s
\leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\;
d_\infty(y,z),
$$

और समाकल का मान $\frac{L^n(t -
t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ निकलता है: अर्थात् $n + 1$ वाला परिबंध। अतः $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$, और $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (घातांकीय श्रेणी अभिसरित होती है): इसलिए कोई $T^m$ संकुचन है। [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $X_h$ पर प्रश्न 4 लागू होता है: $T$ का अद्वितीय अचल बिंदु है, अर्थात् कोशी समस्या का $I$ पर $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ में मान लेने वाला ठीक एक हल है।

**9.** मान लीजिए $y$ $I$ पर समस्या को हल करता है और समुच्चय $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ अरिक्त है ($t < t_0$ वाला पक्ष सममित है); $\tau = \inf E$ लीजिए। संततता से $s \in
\intcc{t_0}{\tau}$ के लिए $\abs{y(s) - y_0} \leq b$, अतः वहाँ आलेख $R$ में है, समाकल समीकरण $\tau$ तक सत्य है, और

$$
\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s,
y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .
$$

यदि $\tau < t_0 + h$ हो, तो $\tau$ के दाईं ओर से उसके मनमाने निकट $E$ के बिंदु संततता से $\abs{y(\tau) - y_0} \geq
b$ दे देते हैं, अतः $= b$; परंतु तब प्रदर्शन $M(\tau - t_0) =
Mh$ को बाध्य कर देता है, अर्थात् $\tau = t_0 + h$: विरोधाभास। अतः $\tau = t_0 + h$, $E \subseteq \{t_0 + h\}$, और $\tau = t_0 + h$ पर प्रदर्शन $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$ देता है, जो $E$ की सदस्यता के विरुद्ध है। इसलिए $E = \emptyset$: अर्थात् $I$ पर हर हल पट्टी के भीतर ही रहता है, $X_h$ में $T$ का अचल बिंदु है, और अद्वितीयता बिना किसी शर्त के सत्य है।

**10.** $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$। $y^{(0)} \equiv
1$ से:

$$
y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad
y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad
y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}
$$

(आगमन: आंशिक योग का समाकलन अगला पद जोड़ देता है)। ये $\eu^{\,t}$ के टेलर आंशिक योग हैं; और किसी भी परिबद्ध $I$ पर वे एकसमान रूप से $\eu^{\,t}$ पर अभिसरित होते हैं (पुच्छ अभिसारी संख्यात्मक श्रेणी $\sum h^k/k!$ से प्रभावित है), जो वास्तव में अद्वितीय हल है।

**11.** $y \equiv 0$ एक हल है। $y_c$ के लिए: वह $C^1$ है (दोनों टुकड़े ऐसे हैं, और $t = c$ पर अवकलज मेल खाते हैं: $0$ तथा $2(t - c) \to 0$), और $t > c$ के लिए: $y_c' = 2(t - c) =
2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$; जबकि $t \leq c$ के लिए दोनों पक्ष लुप्त हैं। अतः कोशी समस्या $y(0) = 0$ के अपरिमित हल हैं ($c \geq 0$ स्वेच्छ, और $y \equiv 0$)। क्षेत्र $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ $0$ के पास [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) नहीं है: $y \to 0^+$ होने पर $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to
+\infty$: अतः $0$ के किसी भी प्रतिवेश पर कोई अचर $L$ काम नहीं करता — और ठीक वहीं सारे हल शाखाओं में बँट जाते हैं।

**12.** चरों को अलग करके (अथवा सीधे जाँचकर) अद्वितीय स्थानीय हल $y(t) = \frac1{1 - t}$ है, जो $\intoo{-\infty}{1}$ पर परिभाषित है और $t = 1$ पर फट जाता है। आयत $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$ के लिए: $M =
\sup y^2 = (1 + b)^2$, अतः प्रमाणित अर्ध-चौड़ाई $h =
\min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$ है। $\frac{b}{(1+b)^2}$ को महत्तम करने पर: अवकलज $b = 1$ पर शून्य होता है, और मान $\frac14$। अतः प्रमेय केवल $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ पर जीवन की गारंटी देती है — जो सच्चे जीवनकाल $1$ से आगे की ओर ठीक ही कम है, और पीछे की ओर अपरिमित रूप से कम: प्रमेय स्वभाव से स्थानीय है, और विस्फोट दिखा देता है कि वह और हो भी नहीं सकती।

**13.** $g$ $\intcc12$ को अपने भीतर भेजता है: $g$ $\intcc{1}{\sqrt2}$ पर घटता है और उसके बाद बढ़ता है ($g'(x) = \frac12
- \frac1{x^2}$ का अध्ययन कीजिए), जहाँ $g(1) = g(2) = \frac32$ और न्यूनतम $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$: अतः $g(\intcc12) \subseteq
\intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$; और $g$ परिमेय को परिमेय पर भेजता है। संकुचन: $\intcc12$ पर $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12
- \frac1{x^2}} \leq \frac12$ ($\frac1{x^2} \in
\intcc{\frac14}{1}$), अतः मध्यमान असमिका से $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$। कोई अचल बिंदु $\frac x2 = \frac1x$ को संतुष्ट करेगा, अर्थात् $x^2 = 2$: जो $\Q$ में असंभव है। विफल होने वाली परिकल्पना $X$ की पूर्णता है ($\Q \cap
\intcc12$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) नहीं है); और पूर्णक $\intcc12$ में अचल बिंदु $\sqrt2$ है — परिमेय संख्याओं पर चलाई गई बानाख की प्रमेय अपरिमेय संख्या *गढ़* देती है।

**14.** पश्चगामी: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) +
d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$, जिससे $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$। $x_0 = \frac32$ से चलकर हीरोन: $x_1 = \frac{17}{12}$, $d(x_1, x_0) =
\frac1{12}$, $k = \frac12$: पूर्वगामी परिबंध $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ पहली बार $n = 18$ पर $10^{-6}$ से नीचे गिरता है। वास्तव में $x_1 = \frac{17}{12}
\approx 1.41667$ (त्रुटि $2.5\cdot10^{-3}$), $x_2 =
\frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (त्रुटि $2.1\cdot10^{-6}$), $x_3 \approx 1.41421356237469$ (त्रुटि $1.6\cdot10^{-12}$): अर्थात् तीन पग पर्याप्त हैं। हीरोन का हर पग त्रुटि को लगभग *वर्ग* कर देता है (द्विघातीय अभिसरण, जो न्यूटन की परिघटना है: [अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/4/hi/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun)); और संकुचन आकलन, जो उसे केवल आधा करता है, निकृष्टतम स्थिति के लिए ईमानदार है पर यहाँ निराशावादी।

**15.** प्रश्न 3 को $g = T_{y_0}$ (जो $Lh < 1$ के साथ $Lh$-संकुचन है) और $\widetilde g = T_{z_0}$ के साथ लगाइए, जिसका अचल बिंदु $y[z_0]$ है। किसी भी $y$ के लिए

$$
\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},
$$

(समाकल एक ही हैं), अतः $\sup_y
d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$, और प्रश्न 3 देता है

$$
d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .
$$

**16.** प्रत्येक टुकड़े पर, बाएँ अंत्यबिंदु के मानों को आरंभिक आँकड़े मानकर लगाया गया प्रश्न 15 दाएँ अंत्यबिंदु पर विचलन को परिबद्ध कर देता है:

$$
d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{बायाँ विचलन})
= 2\,(\text{बायाँ विचलन}) .
$$

$m$ टुकड़ों पर आगमन करने पर अंतिम विचलन अधिकतम $2^m\abs{y_0 - z_0}$ है, और पूरे खंड पर एकसमान विचलन भी वही परिबंध मानता है (हर टुकड़े का उच्चतम अपने चरण पर नियंत्रित है)। लंबाई $h \asymp \frac1{2L}$ के टुकड़ों के साथ गुणक $2^m = 2^{\,\text{लंबाई}\cdot 2L}$ है: अर्थात् अंतराल की लंबाई में घातांकीय, ठीक जैसा ग्रोनवाल का परिबंध $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ बताता है, पर बेहतर अचरों के साथ।

**17.** वही योजना: $y \in X_h$ के लिए

$$
\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) -
g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,
$$

अतः प्रश्न 3 ($T_f$ संकुचन और $T_g$ विक्षुब्ध प्रतिचित्रण लेकर) $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ दे देता है।

**18.** $f = f_\lambda$, $g =
f_\mu$ पर लगाया गया प्रश्न 17: $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 -
Lh}\abs{\lambda - \mu}$: अर्थात् हल-प्रतिचित्रण अचर $\frac{Ch}{1-Lh}$ के साथ [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) है।

**19.** हर तर्क में केवल इनका उपयोग हुआ: दूरी के अभिगृहीत, मंच की पूर्णता, परिबंध $\abs{\int} \leq
\int\abs{\cdot}$, और $f$ का [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) गुणधर्म — और ये सब $\R^n$ में मान लेने वाले फलनों के लिए उपलब्ध हैं, जहाँ $d_\infty$ [उदाहरण 4.2](#ex-b2-metric-examples) की किसी भी तुल्य दूरी पर बना हो (जो [प्रमेय 4.9](#thm-b2-metric-rncomplete) के अनुसार [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) है)। शून्यंभावी $A$ के साथ $y' = Ay$ के लिए: $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$,

$$
y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s
= (c_1 + tc_2,\; c_2),
$$

और फिर $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$: $y^{(2)} = y^{(1)}$। पुनरावृत्ति $n = 1$ के बाद स्थिर हो जाती है, यथार्थ हल $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ पर — शून्यंभाविता घातांकीय श्रेणी को काट देती है, और पिकार यह भाँप लेता है।

**20.** $y \in X$ स्थिर कीजिए और $g_y(x) = y - \eta(x)$ लीजिए: यह [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $X$ का $k$-संकुचन है, अतः ठीक एक $x$ ऐसा है कि $x + \eta(x) = y$: अर्थात् प्रतिचित्रण $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ एकैकी आच्छादक है। [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) प्रतिलोम: यदि $\Phi(x) = y$ और $\Phi(x') =
y'$, तो

$$
d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr)
\leq d(y, y') + k\,d(x, x'),
$$

अतः $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$। (यहाँ दूरियाँ मानदंड संरचना से आती हैं, अतः $d(a - c, b - c) = d(a, b)$, जिसका उपयोग पहली असमिका में हुआ।)

**21.** $g(x) = m + e\sin x$ [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) $\R$ पर $e$-लिप्शिट्स है (मध्यमान असमिका, $\abs{g'} = \abs{e\cos x}
\leq e < 1$): अतः बानाख अद्वितीय हल और पुनरावृत्ति का वैश्विक अभिसरण दे देती है। $e = \frac12$, $m = 1$, $x_0
= 1$ के लिए: $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$, $d(x_1, x_0)
\approx 0.4207$, और पूर्वगामी परिबंध $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ पहली बार $n = 10$ पर सत्य होता है: अर्थात् दस पुनरावृत्तियाँ प्रमाणित (सच्चा मान $x \approx
1.4987$ वास्तव में $n =
5$ के आसपास ही $10^{-3}$ तक पहुँच जाता है)।

**22.** अंक वाला वर्णन ([अभ्यास 4.8](#exo-b2-metric-8)) काम में लीजिए: $C$ $a_n \in \{0, 2\}$ सहित योगों $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ का समुच्चय है। तब $S_1(C) =
\{x/3 : x \in C\}$ $a_1 = 0$ वाला उपसमुच्चय है और $S_2(C) =
\{x/3 + 2/3\}$ $a_1 = 2$ वाला: और $a_1$ के स्वतंत्र चुनाव पर उनका सम्मिलन ठीक $C$ है। अद्वितीयता एक वाक्य में: हाउसडॉर्फ दूरी से दूरिक बनाए गए $\intcc01$ के अरिक्त [संहत](#def-b2-metric-compact) उपसमुच्चयों की समष्टि पर $A \mapsto
S_1(A) \cup S_2(A)$ किसी [पूर्ण](#def-b2-metric-complete) समष्टि का $\frac13$-संकुचन है, अतः बानाख केवल एक ही अचल समुच्चय की अनुमति देती है — तृतीय वर्ष का खंड हाउसडॉर्फ दूरी और इस तर्क को कठोर बनाता है।

**23.** मान लीजिए $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$: यह अरिक्त है ($t_0 \in Z$), $J$ में संवृत है (दो [संतत](#def-b2-metric-continuity) प्रतिचित्रणों का समकारी: $y - z$ के अंतर्गत $\{0\}$ का पूर्वप्रतिबिंब)। [विवृत](#def-b2-metric-topology): यदि $t_1 \in Z$, तो बिंदु $(t_1, y(t_1))$ पर ऐसे आयत में स्थानीय प्रमेय (प्रश्न 8) लगाइए जिसमें $f$ [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) हो: $t_1$ के चारों ओर किसी छोटे अंतराल पर $y$ और $z$ दोनों एक ही कोशी समस्या हल करते हैं, अतः वे वहाँ मेल खाते हैं (प्रश्न 9 की बिना शर्त अद्वितीयता): इस प्रकार $t_1$ का कोई प्रतिवेश $Z$ में है। अंतराल $J$ का अरिक्त उपसमुच्चय जो $J$ में [विवृत](#def-b2-metric-topology) भी हो और संवृत भी, पूरा $J$ ही होता है (अंतराल [संबद्ध](#def-b2-metric-connected) हैं, [प्रमेय 4.27](#thm-b2-metric-connectedness)): अतः $J$ पर $y = z$।

**24.** यहाँ $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ पूरे $\intcc AB \times \R$ पर $y$ में $L$-लिप्शिट्स है, जहाँ $L =
\sup\abs\alpha$ (परिमित: $\alpha$ किसी खंड पर [संतत](#def-b2-metric-continuity) है), और किसी पट्टी $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ की आवश्यकता नहीं: $X = C(\intcc
AB)$ को पूरा ले लीजिए, जिस पर $T$ सुपरिभाषित है। प्रश्न 8 का आगमन अक्षरशः चलता है और $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq
\frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$ देता है: अर्थात् लंबाई $B - A$ चाहे जो हो, कोई पुनरावृत्त संकुचन है, और प्रश्न 4 निष्कर्ष दे देता है: पूरे खंड पर एक और केवल एक हल। रैखिकता ठीक एक ही जगह आती है: वह [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) परिबंध को $y$ में वैश्विक बना देती है, जिससे आयत और उसका $h \leq b/M$ हट जाते हैं।

**25.** *पूर्णता* ने पुनरावृत्तों के कोशी अनुक्रम को सचमुच का हल बना दिया (प्रश्न 1, 6, 8), और उसका अभाव $\sqrt2$ को $\Q$ से भाग निकलने देता है (प्रश्न 13)। *संकुचन* ने अद्वितीयता, कलनविधि और त्रुटि-पट्टियाँ दीं (प्रश्न 7, 14)। *पुनरावृत्त की युक्ति* ने लघुता वाली शर्त $Lh < 1$ हटा दी, जिससे प्रमाणित अंतराल केवल $M$ पर निर्भर रहा, $L$ पर नहीं — और उसी ने रैखिक समीकरणों को वैश्विक बनाया (प्रश्न 8, 24)। *संबद्धता* ने स्थानीय अद्वितीयता को वैश्विक अद्वितीयता तक पहुँचाया (प्रश्न 23)। प्रतिउदाहरण: $2\sqrt{\abs y}$ [लिप्शिट्स](#def-b2-metric-continuity) की रक्षा करता है (प्रश्न 11), $y^2$ स्थानीयता की (प्रश्न 12), $\Q$ पूर्णता की (प्रश्न 13)। शिखर पिकार–लिंडलोफ़ प्रमेय है (प्रश्न 8); और $f$ के केवल [संतत](#def-b2-metric-continuity) होने पर अस्तित्व बचा रहता है पर अद्वितीयता मर जाती है, तथा उपपत्ति संकुचन के बदले फलन-समुच्चयों की संहतता ले लेती है — अर्थात् तृतीय वर्ष के खंड में आर्ज़ेला–आस्कोली के द्वारा पियानो प्रमेय।