---
title: "Bentuk Hermitian"
book: "Matematika Universitas — Tahun 2"
subject: math
language: id
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/13-bentuk-hermitian
---

# Bab 13 — Bentuk Hermitian

Ruang vektor kompleks punya geometri hasil kali dalamnya sendiri, dengan satu putaran: linear pada satu peubah, dan linear-*sekawan* pada peubah yang lain. Imbalan karena menerima putaran itu adalah teori spektral yang bahkan lebih bersih daripada yang real — sebab [endomorfisma Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) bernilai eigen real, yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) bernilai eigen bermodulus satu, dan keduanya [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) dalam basis ortonormal. Bab pendek ini menjalankan program Euklides [Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic) atas $\C$.

## 13.1 Hasil kali dalam Hermitian

**Definisi 13.1.**

Sebuah *hasil kali dalam Hermitian* pada ruang vektor kompleks $E$ adalah pemetaan $\langle\cdot,\cdot\rangle
\colon E \times E \to \C$ yang linear pada peubah keduanya, simetrik-sekawan (yakni $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x,
y\rangle}$ — sehingga linear-sekawan pada peubah pertamanya), dan definit positif (yakni $\langle x, x\rangle > 0$ untuk $x \neq 0$). Adapun contoh bakunya pada $\C^n$:

$$
\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;
$$

sedangkan pada fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity), $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj
f\,g$. [Normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm): $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$; dan ruang kompleks berdimensi hingga yang dilengkapi demikian disebut *ruang Hermitian*.

**Contoh 13.2 (Perhitungan pertama).**

Di $\C^2$, ambillah $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ dan $y = (\iu,\ 1)$. Maka

$$
\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7,
\qquad
\norm y^2 = 1 + 1 = 2,
$$

lalu, dengan mengawankan argumen pertamanya,

$$
\langle x, y\rangle
= \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1
= (1-\iu)\iu + (2+\iu)
= (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .
$$

Cauchy–Schwarz terperiksa: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 +
4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — yang dekat ke kesamaan, karena $x$ dekat ke kelipatan $y$. Perhatikan pula $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$: yakni kesimetrikan-sekawan yang beraksi, dan itulah sebabnya $\langle x,
x\rangle$ selalu real.

**Teorema 13.3 (Cauchy–Schwarz, versi kompleks).**

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$, dengan kesamaan bila dan hanya bila $x, y$ bergantung linear; dan $\norm\cdot$ merupakan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm). Lebih jauh basis ortonormal ada (sebab Gram–Schmidt berjalan kata demi kata), dengan

$$
x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i,
\qquad
\norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .
$$

**Bukti.** Untuk $y \neq 0$ dan $t \in \C$: $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2
- 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$. Pilihlah $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$:

$$
0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},
$$

yang tak lain ketaksamaannya; sedangkan kesamaannya memaksa $x = ty$. Ketaksamaan segitiganya, selengkapnya:

$$
\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle
+ \norm y^2
\leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2
\leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,
$$

dengan memakai $\Re z \leq \abs z$ lalu Cauchy–Schwarz; adapun kehomogenan dan pemisahannya seketika, jadi $\norm\cdot$ merupakan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm). Gram–Schmidt: seperti pada kasus realnya, dengan sekawannya ditempatkan menurut definisinya (perhatikan konvensinya: hasil kali kita bersifat linear-sekawan pada slot *pertama*, jadi koordinatnya adalah $\langle e_i, x\rangle$; dan contoh berikutnya menjalankan algoritmanya sekali secara [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete)). ∎

**Contoh 13.4 (Gram–Schmidt kompleks, dijalankan lengkap).**

Ortonormalkan basis $v_1 = (1, \iu)$, $v_2 = (0, 1)$ milik $\C^2$. Vektor pertamanya: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$, jadi $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$. Proyeksikan $v_2$ — dengan sekawannya pada slot pertama:

$$
\langle e_1, v_2\rangle
= \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 +
\conj{\iu}\cdot1\bigr)
= \frac{-\iu}{\sqrt2} ,
\qquad
v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1
= (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu)
= \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .
$$

[Normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$, jadi $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$. Periksa: $\langle e_1,
e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) =
\frac12(\iu - \iu) = 0$. Koordinat $v_2$ dalam basis barunya: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle
e_2$ dengan $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — perhatikan urutannya: sebab $\langle v_2, e_1\rangle$ akan memberi koefisien *sekawannya*. Pelajaran penutupnya: algoritmanya adalah algoritma Euklides kata demi kata; satu-satunya jebakannya adalah tempat jatuhnya pengawanan itu, dan menghitung $\norm{v_2 -
\text{proy}}^2 > 0$ diam-diam memakai kepositifannya — yakni aksioma yang membuat seluruh geometrinya bekerja.

## 13.2 Adjoin, endomorfisma Hermitian dan uniter

**Definisi 13.5.**

Adapun *adjoin* $u^*$ milik $u \in \mathcal{L}(E)$ didefinisikan lewat $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$; dan dalam basis ortonormal berlaku $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =:
A^{\dagger}$ (yakni [transpos](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-transpose) sekawannya) — sebab, bila $B =
(b_{ij})$ matriks $u^*$ dalam basis ortonormal $(e_i)$, maka $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$, lalu kesamaan pendefinisinya memberi

$$
\conj{b_{ij}}
= \langle u^*(e_j), e_i\rangle
= \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} ,
\qquad\text{jadi}\qquad
B = \conj{A}^{\mathsf T} .
$$

Adapun $u$ disebut *Hermitian* apabila $u^* = u$ (yakni $A^\dagger = A$), *uniter* apabila $u^*u =
\mathrm{id}$ (yakni $A^\dagger A = I$: inilah grup $U(n)$), dan *normal* apabila $u^*u = uu^*$.

**Proposisi 13.6.**

[Nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) [endomorfisma Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) bersifat *real*; [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) endomorfisma [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) *bermodulus $1$*; dan pada kedua kasusnya ruang eigen bagi [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang berbeda saling ortogonal.

**Bukti.** Kasus [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), dengan $u(x) = \lambda x$ dan $x \neq 0$:

$$
\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle
= \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,
$$

jadi $\lambda \in \R$. Kasus [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint): $\norm{u(x)} = \norm x$ (berkat $u^*u =
\mathrm{id}$), jadi $\abs\lambda\norm x = \norm x$. Keortogonalannya (kasus [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint)): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x),
y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ bagi [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dengan $\lambda \neq \mu$ yang real. Adapun kasus [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint), selengkapnya: untuk $u(x) = \lambda x$ dan $u(y) = \mu y$ dengan $\lambda \neq
\mu$ (keduanya bermodulus satu),

$$
\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle
= \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,
$$

dan $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$: jadi faktornya bukan $1$, sehingga $\langle x, y\rangle = 0$. ∎

**Contoh 13.7 (Sebuah matriks anti-Hermitian, didiagonalkan).**

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ memenuhi $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: jadi [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) (sekaligus antisimetrik real — dan atas $\R$ ia sama sekali tak punya [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen)). [Polinomial karakteristiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) $X^2 + 4$: jadi [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\pm2\iu$, yang imajiner murni, sebagaimana diramalkan [Latihan 13.9](#exo-b2-hermitian-9) secara umum. [Vektor eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen): $(A - 2\iu I)v = 0$ memberi $v_1 =
\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, lalu $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,
-\iu)$ untuk $-2\iu$; dan keduanya ortogonal:

$$
\langle v_1, v_2\rangle
= \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 +
\conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr)
= \tfrac12(1 - 1) = 0 .
$$

Jadi $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ dengan $U =
(v_1\ v_2)$ yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint). Pelajaran penutupnya: $H = -\iu A =
\begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) dengan [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) real $\{\pm2\}$ dan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang *sama* — yakni bijeksi $u \mapsto \iu u$ antara [endomorfisma Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) dan [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) ([Latihan 13.9](#exo-b2-hermitian-9)), yang terlihat matriks demi matriks; sedangkan atas $\R$ matriks $A$ yang sama adalah perputaran-penskalaan tanpa [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) sama sekali, dan hanya peralihan ke $\C$ yang menyingkap bentuk normalnya.

**Teorema 13.8 (Teorema spektral Hermitian).**

Setiap [endomorfisma Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) pada [ruang Hermitian](#def-b2-hermitian-def) punya basis ortonormal beranggotakan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) (dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang real): jadi $A^\dagger = A$ mengakibatkan $A = U D U^{\dagger}$ dengan $U \in U(n)$ dan $D$ diagonal real.

**Bukti.** Atas $\C$, [polinomial karakteristiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) terurai: jadi sebuah [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ ada ([Bab 3](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#ch-b2-reduction)) — tanpa perlu hujah kekompakan, yakni salah satu keunggulan $\C$. Normalkan ia. Lalu komplemen ortogonalnya $F = e_1^\perp$ bersifat stabil: sebab untuk $x \perp e_1$,

$$
\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle
= \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0
$$

(dengan $\lambda_1$ real). Pembatasannya bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint); jadi berinduksilah atas dimensinya lalu rangkaikan. Secara rinci: pembatasan $u|_F$ adalah endomorfisma [ruang Hermitian](#def-b2-hermitian-def) $F$ (yang berdimensi $n - 1$) dengan $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ yang diwarisi dari $u$; lalu hipotesis induksinya menyediakan basis ortonormal $(e_2, \dots, e_n)$ bagi $F$ yang beranggotakan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), dan $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ bersifat ortonormal di $E$ (sebab $e_1 \perp
F$) sekaligus tersusun atas [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $u$. Terjemahan matriksnya: kolom $U$ adalah $e_i$, lalu $U^\dagger U = I$ menyatakan keortonormalannya, dan $AU = UD$ mengumpulkan persamaan [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), sehingga $A = UDU^\dagger$ dengan $D$ diagonal real ([Proposisi 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues)). ∎

**Contoh 13.9.**

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) (sebab $A^\dagger = A$): [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dari $\chi_A = X^2 - 1$ adalah $\pm 1$ (yang real, seperti dijanjikan), dengan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) ortonormal $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ dan $\frac{1}{\sqrt2}(1,
-\iu)^{\mathsf T}$. (Para fisikawan mengenal $A$ sebagai matriks Pauli; dan kerealan [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) Hermitianlah yang membuat besaran teramati kuantum dimodelkan oleh operator [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint).)

**Contoh 13.10 (Sebuah matriks Hermitian definit positif, dikerjakan).**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), sebab diagonalnya real dan entri luar diagonalnya saling sekawan. [Polinomial karakteristiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly):

$$
(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2
= \lambda^2 - 5\lambda + 4
= (\lambda - 1)(\lambda - 4) :
$$

jadi [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\{1, 4\}$, yang real dan positif — sehingga $A$ definit positif. [Vektor eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen): untuk $\lambda = 4$, sistem $(A -
4I)v = 0$ memberi $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (periksa baris keduanya: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); sedangkan untuk $\lambda = 1$, $v_1 = (1 - \iu,\
-1)$. Keortogonalannya, dengan sekawannya pada slot pertama:

$$
\langle v_4, v_1\rangle
= \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1)
= 2 - 2 = 0 . \checkmark
$$

Setelah dinormalkan (dengan $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ dan $\norm{v_1}^2 = 2 + 1
= 3$) diperoleh $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\
\frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) dengan $A =
U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Pelajaran penutupnya: pembacaan Rayleighnya seketika — sebab pada bola satuan $\C^2$, besaran $\langle x, Ax\rangle$ berjangkau $\intcc{1}{4}$, yang tercapai di kedua [vektor eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen); dan inilah benih $n = 2$ bagi teori Courant–Fischer yang [dibangun](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) pada soal akhir pekan. Periksa sekilas bahwa bentuknya real di luar [vektor eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) juga: di $x = (1, \iu)$,

$$
Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr)
= (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),
$$

$$
\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) +
\conj{\iu}\,(1+4\iu)
= (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in
\R ,
$$

sebagaimana dijamin mekanisme bukti [Proposisi 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues) (yakni kesimetrikan-sekawan terhadap $A^\dagger = A$) bagi setiap $x$.

**Contoh 13.11 (Sebuah matriks uniter didiagonalkan).**

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1
\end{pmatrix}$ (yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) menurut [Latihan 13.2](#exo-b2-hermitian-2)). Adapun [polinomial karakteristiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2
+ \frac12$, dengan akar

$$
\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},
$$

yang bermodulus satu sebagaimana dijanjikan [Proposisi 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues), dan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) ortonormalnya $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$. Jadi $U =
V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4},
\eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$: dalam basis yang tepat, $U$ adalah sepasang perputaran bidang sebesar $\pm\frac\pi4$ — karena matriks perputaran real tak punya [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) real, dan atas $\C$ ia justru terurai menjadi dua skalar bermodulus satu. Pelajaran penutupnya: [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) hidup pada garis real, sedangkan [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) pada lingkaran satuan; keduanya bayangan kenormalan yang sama, dan transformasi Cayley pada [Latihan 13.6](#exo-b2-hermitian-6) memetakan gambaran yang satu ke yang lain.

**Contoh 13.12 (Transformasi Cayley, dihitung).**

Jalankan [Latihan 13.6](#exo-b2-hermitian-6) pada $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$ (yang [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), berspektrum $\{1, -1\}$, dengan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) ortonormal $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$). Dalam basis eigennya segalanya menjadi skalar: sebab transformasi $\lambda
\mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ mengirim

$$
1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu,
\qquad
-1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,
$$

(kalikan dengan sekawan penyebutnya), jadi $U = (H -
\iu I)(H + \iu I)^{-1}$ adalah matriks [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) bernilai eigen $\mp\iu$ pada [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang sama itu:

$$
U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .
$$

Periksa: $U^\dagger U = I$, dan $1 \notin \operatorname{Sp}U =
\{\pm\iu\}$, sebagaimana dijanjikan teorinya. Pelajaran penutupnya: garis realnya terpetakan ke lingkaran satuan dikurangi titik $1$ — [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) demi [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), transformasi Cayley tak lain pemetaan Möbius $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$, dan matriksnya sekadar mengikuti [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen).

**Catatan 13.13 (Jebakan yang sering muncul).**

*(i) Tempat jatuhnya garis atas:* buku ini mengawankan slot *pertamanya*, jadi koordinatnya adalah $\langle e_i, x\rangle$ dan $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x,
y\rangle$; sedangkan banyak teks mengawankan slot keduanya — jadi terjemahkanlah dulu sebelum membandingkan rumus, atau tanda $\iu$ menjadi salah secara diam-diam. *(ii) [Polarisasi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) kompleks lebih kuat:* atas $\C$, bila $\langle x, u(x)\rangle = 0$ untuk *setiap* $x$ maka $u = 0$ (uraikan $x + y$ dan $x + \iu y$: sebab bagian real maupun bagian imajiner $\langle x, u(y)\rangle$ lenyap); sedangkan atas $\R$ ini gagal — sebab perputaran sebesar $\frac\pi2$ memenuhi $\langle x, u(x)\rangle = 0$ di mana-mana. Karena itu, hanya atas $\C$, syarat “$\langle x, u(x)\rangle \in \R$ untuk setiap $x$” sudah memaksa $u$ menjadi [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint). *(iii) Normal real tidak [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag):* matriks pada [Contoh 13.7](#ex-b2-hermitian-skewexample) bersifat normal tetapi tak punya [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) real; jadi pendiagonalan [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) adalah teorema *atas* $\C$, sedangkan atas $\R$ kita hanya memperoleh reduksi blok. *(iv) Memeriksa keuniteran:* syarat $U^\dagger U = I$ berarti *kolomnya* ortonormal terhadap hasil kali [Hermitiannya](#def-b2-hermitian-adjoint) — jadi menguji $UU^{\mathsf T}$, atau melupakan pengawanan pada hasil kali kolomnya, adalah dua cara klasik untuk mengesahkan matriks yang salah.

**Contoh 13.14 (Isometri persis merupakan pemetaan uniter).**

Pemeliharaan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) tampak lebih lemah daripada keuniteran, tetapi atas $\C$ ia tidak: sebab bila $\norm{u(x)} = \norm x$ untuk setiap $x$, maka $u^*u =
\mathrm{id}$. Memang $v = u^*u - \mathrm{id}$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) dan memenuhi $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 =
0$ untuk setiap $x$; jadi menurut [polarisasi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) kompleks (yakni jebakan (ii) di atas), pemetaan yang “diagonalnya” lenyap secara identik pastilah nol: sehingga $v = 0$. Secara konkret, [polarisasinya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) berbunyi

$$
0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle
= \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle,
\qquad
0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle
= \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,
$$

dan kedua barisnya bersama-sama memaksa $\langle x, v(y)\rangle = 0$ untuk setiap $x, y$. Pelajaran penutupnya: itulah sebabnya “[uniter](#def-b2-hermitian-adjoint)” dapat diperiksa dengan mengukur panjangnya belaka — yakni kekakuan yang kelak dieksploitasi bab Fourier, tempat memelihara energi $\norm f_2$ (yakni Parseval) sama dengan memelihara semua hasil kali dalam koefisiennya.

**Catatan 13.15 (Pandangan ke depan di dalam jilid ini).**

Perkakas [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) yang [dibangun](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) di sini dikonsumsi hampir seketika. Bab Fourier *adalah* geometri [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) dalam dimensi tak hingga: sebab eksponensial $(e_n)$ merupakan keluarga ortonormal bagi $\langle f, g\rangle =
\frac{1}{2\pi}\int\conj fg$, ketaksamaan Bessel tak lain taksiran proyeksi pada [Teorema 13.3](#thm-b2-hermitian-cs) bab ini, dan Parseval adalah kesamaan limitnya. Adapun transformasi Fourier hingga ([Latihan 13.10](#exo-b2-hermitian-10)) muncul kembali setiap kali konvolusi harus didiagonalkan. Lalu soal akhir pekan bab ini — Courant–Fischer, Weyl, penyisipan — memasok kestabilan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang dipanggil bab persamaan diferensial ketika ia menegaskan bahwa usikan kecil sebuah sistem menggeser frekuensinya sedikit saja. Ke belakang, segalanya di sini adalah cermin kompleks bab [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def): jadi simpanlah kedua kamusnya berdampingan ($A^{\mathsf T} \leftrightarrow
A^\dagger$, ortogonal $\leftrightarrow$ [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint), Rayleigh real pada keduanya).

**Catatan 13.16 (Endomorfisma normal).**

Atas $\C$ pernyataan yang definitif berbunyi: $u$ *[dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) secara [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) bila dan hanya bila ia normal* (yakni $u^*u = uu^*$) — sehingga mencakup pemetaan [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) dan [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) sekaligus. Adapun buktinya merupakan penguatan yang menyenangkan atas hujah di atas ([Latihan 13.8](#exo-b2-hermitian-8)). Sebaliknya atas $\R$, kenormalan hanya membeli pendiagonalan blok (yakni blok perputaran): jadi geometri kompleks sungguh-sungguh lebih sederhana.

**Catatan 13.17 (Di mana ini dipakai).**

Teori spektral [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) adalah matematika mekanika kuantum: besaran teramati dimodelkan oleh operator [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) (sebab [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) real = nilai terukur), sedangkan evolusi waktunya oleh operator [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) (sebab pemeliharaan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) = kekekalan peluang). Di dalam buku ini, bab Fourier bersandar pada keortonormalan eksponensialnya — yakni pernyataan tentang [hasil kali dalam Hermitian](#def-b2-hermitian-def) — dan pendiagonalan matriks sirkulan ([Latihan 13.10](#exo-b2-hermitian-10)) tak lain transformasi Fourier hingga. Adapun soal akhir pekan mengembangkan kalkulus variasi bagi [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) (Courant–Fischer, Weyl, penyisipan), yakni roti sehari-hari analisis numerik dan fisika matematis; sedangkan jilid Tahun ke-3 memperluasnya ke operator [swa-adjoin](#def-b2-hermitian-adjoint) yang [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact) pada ruang Hilbert.

## 13.3 Latihan

**Latihan 13.1 ★.**

Pada $\C^2$: hitunglah $\langle x, y\rangle$, $\norm x$, $\norm y$ untuk $x = (1, \iu)$ dan $y = (\iu, 1)$; apakah keduanya ortogonal? Berikanlah sebuah basis ortonormal yang memuat $\frac{x}{\norm x}$.

**Solusi Latihan 13.1.**

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu -
\iu = 0$: jadi ortogonal. Lalu $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$. Basis ortonormalnya: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\;
\frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — yakni pasangan ternormalkan itu sendiri.

**Latihan 13.2 ★.**

Manakah yang [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint)? yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint)? yang normal?

$$
\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix},
\qquad
\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
$$

**Solusi Latihan 13.2.**

Yang pertama: ia sama dengan [transpos](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-transpose) sekawannya (sebab diagonalnya real dan $\conj{\iu} = -\iu$ tertukar): jadi [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) (sehingga normal); tetapi tak [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) (sebab $A^\dagger A \neq I$: kolomnya tak satuan).

Yang kedua: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu &
1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} =
\frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$: jadi [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) (sehingga normal); tetapi tak [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint).

Yang ketiga: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$: jadi tak normal (sehingga bukan [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) maupun [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint)) — yakni contoh tandingan nilpoten yang baku.

**Latihan 13.3 ★.**

Buktikan bahwa matriks $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ dituliskan secara tunggal $A = H + \iu K$ dengan $H, K$ [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) *(yakni “bagian real dan bagian imajinernya” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$, $K = \frac{A -
A^\dagger}{2\iu}$)*, dan bahwa $A$ normal bila dan hanya bila $H$ dan $K$ komut.

**Solusi Latihan 13.3.**

Ketunggalannya: $A = H + \iu K$ dengan $H^\dagger = H$ dan $K^\dagger = K$ memaksa $A^\dagger = H - \iu K$, jadi $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ dan $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$; sedangkan rumus itu bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) (periksa: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{
A^\dagger - A}{-2\iu} = K$) dan membangun ulang $A$: itulah keberadaannya.

Kenormalannya: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H
+ \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$: jadi ia lenyap bila dan hanya bila $HK = KH$.

**Latihan 13.4 ★★.**

Diagonalkan dalam basis ortonormal: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\
-\iu & 2\end{pmatrix}$, lalu hitunglah $A^k$ untuk $k \in \N$.

**Solusi Latihan 13.4.**

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$: jadi [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $3$ dan $1$. [Vektor eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), lewat perhitungan langsung:

$$
A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix}
= 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix},
\qquad
A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.
$$

Basis eigen ortonormalnya: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (bernilai eigen $3$) dan $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (bernilai eigen $1$); dengan keortogonalannya seperti pada [Latihan 13.1](#exo-b2-hermitian-1). Adapun pangkatnya, lewat proyeksi spektralnya $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\,
u_2u_2^\dagger$:

$$
A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger
= \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix}
3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\
-(3^k-1)\iu & 3^k + 1
\end{pmatrix}.
$$

(Periksa $k = 1$: ia memulihkan $A$.)

**Latihan 13.5 ★★.**

Buktikan bahwa $U(n)$ [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact), dan bahwa pemetaan [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) pada: setiap $\lambda$ yang bermodulus satu muncul bagi suatu matriks [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint). Buktikan pula bahwa $\det U \in \mathbb{U}$ (yakni lingkaran satuan) untuk $U \in
U(n)$.

**Solusi Latihan 13.5.**

[Kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact): sebab tertutup (yakni prapeta $I$ oleh pemetaan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) $U \mapsto
U^\dagger U$) dan terbatas (sebab kolomnya vektor satuan, jadi entrinya bermodulus $\leq 1$) di dalam $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$.

[Nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen): sebab $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ bersifat [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) untuk sembarang $\abs\lambda = 1$. [Determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det): $\abs{\det U}^2 = \det
U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (dengan memakai $\det A^\dagger =
\conj{\det A}$): jadi $\det U$ terletak pada lingkaran satuan.

**Latihan 13.6 ★★.**

(Transformasi Cayley) Misalkan $H$ [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint). Buktikan bahwa $H + \iu I$ terbalikkan dan bahwa $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ bersifat [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint), dengan $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$. *(Bekerjalah secara spektral: sebab pada basis eigen $H$, segalanya menjadi skalar.)*

**Solusi Latihan 13.6.**

Menurut teorema spektral, bekerjalah dalam basis eigen ortonormal $H$: sebab segalanya menyusut menjadi skalar $\lambda \in \R$ (yakni [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen)). Matriks $H + \iu I$ bernilai eigen $\lambda + \iu \neq 0$: jadi terbalikkan. Lalu $U$ bernilai eigen $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$, yang bermodulus $1$ (sebab $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ untuk $\lambda$ yang real): jadi $U^\dagger U = I$ berlaku karena $U$ [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) secara [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) bermodulus satu (ia diagonal dalam basis ortonormal yang dipilih). Dan $\mu = 1$ akan memaksa $-\iu = \iu$: yang mustahil, jadi $1 \notin \operatorname{Sp} U$. (Transformasi Cayley memetakan yang [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) ke yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) dikurangi satu titik — yakni versi matriks bagi pemetaan dari $\R$ ke lingkarannya.)

**Latihan 13.7 ★★.**

Untuk $A$ [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) definit positif (yakni $\langle x, Ax\rangle > 0$ untuk $x \neq 0$), buktikan bahwa $\operatorname{Sp}(A) \subseteq
\intoo{0}{\infty}$, bahwa $A = B^2$ untuk suatu $B$ [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) definit positif, dan bahwa $\det A > 0$.

**Solusi Latihan 13.7.**

Untuk pasangan eigen $Ax = \lambda x$ (dengan $x \neq 0$): $\lambda\norm x^2 =
\langle x, Ax\rangle > 0$, jadi $\lambda > 0$ (dan sudah real menurut [Proposisi 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues)). Akar kuadratnya: dalam basis spektral, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), definit positif, dan $B^2 = A$. [Determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det): yakni hasil kali [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang positif.

**Latihan 13.8 ★★★.**

(Teorema spektral bagi endomorfisma normal) Misalkan $u$ normal pada sebuah [ruang Hermitian](#def-b2-hermitian-def).

1. Buktikan $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ untuk setiap $x$ , lalu turunkan $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
2. Buktikan bahwa ruang eigen $u$ bagi [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang berbeda saling ortogonal, dan bahwa komplemen ortogonal sebuah ruang eigen bersifat stabil terhadap $u$ .
3. Simpulkan secara induktif bahwa $u$ [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) secara [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) ; lalu sebaliknya.

**Solusi Latihan 13.8.**

1. $\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x,  u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle =  \norm{u^*(x)}^2$ . Menerapkan ini pada $u -  \lambda\,\mathrm{id}$ yang normal (sebab [adjoinnya](#def-b2-hermitian-adjoint) $u^* -  \conj\lambda$ , dan kenormalannya diwarisi): $\norm{(u -  \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , jadi kernelnya sepakat.
2. Untuk [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $u(x) = \lambda x$ dan $u(y) = \mu y$ (dengan $\lambda \neq \mu$): memakai (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$; lalu $$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle  = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle  = \mu \langle y, x\rangle ,$$ jadi $\langle y, x\rangle = 0$. Adapun kestabilan $E_\lambda^\perp$: untuk $x \perp E_\lambda$ dan $z \in E_\lambda$, $\langle z,  u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle =  \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$.
3. Secara induktif atas dimensinya: atas $\C$ , $u$ punya [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ (normalkan ia); lalu komplemen ortogonalnya stabil terhadap $u$ (menurut (2)) *sekaligus* terhadap $u^*$ (lewat hujah yang sama dengan peran yang dipertukarkan), jadi pembatasannya normal: maka berinduksilah lalu rangkaikan basis eigen ortonormalnya. Sebaliknya, sebuah $u = UDU^\dagger$ yang [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) secara [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) memenuhi $u^*u  = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : sehingga normal.

**Latihan 13.9 ★.**

Sebuah endomorfisma disebut *[anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint)* apabila $u^* = -u$. Buktikan bahwa [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) imajiner murni, bahwa $u \mapsto \iu
u$ merupakan bijeksi dari [endomorfisma Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) ke endomorfisma [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), dan bahwa endomorfisma [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) secara [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) ([Latihan 13.8](#exo-b2-hermitian-8)).

**Solusi Latihan 13.9.**

[Nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen): untuk $u(x) = \lambda x$ dengan $x \neq 0$:

$$
\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle
= \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle
= -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,
$$

jadi $\lambda = -\conj\lambda$: sehingga imajiner murni. Karena $(\iu
u)^* = -\iu\,u^*$ (sebab [adjoinnya](#def-b2-hermitian-adjoint) linear-sekawan pada skalarnya), maka $u^* = u$ memberi $(\iu u)^* = -\iu u$: jadi pemetaan $u \mapsto \iu u$ mengirim yang [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) ke yang [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint), dengan balikan $w \mapsto -\iu
w$: yakni sebuah bijeksi. Lalu $u$ yang [anti-Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) memenuhi $u^*u = -u^2 =
uu^*$: jadi normal, sehingga [dapat didiagonalkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-diag) secara [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) menurut [Latihan 13.8](#exo-b2-hermitian-8).

**Latihan 13.10 ★★.**

(Transformasi Fourier hingga) Misalkan $S$ geseran [siklik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) pada $\C^n$: $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots,
x_{n-2})$, dan $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$.

1. Tunjukkan bahwa $S$ [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) , dan bahwa vektor $f_k =  \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots,  \omega^{(n-1)k}\bigr)$ dengan $0 \leq k < n$ membentuk basis ortonormal beranggotakan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) : $Sf_k = \omega^{-k}  f_k$ .
2. Turunkan bahwa setiap matriks *sirkulan* $C =  \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ bersifat normal, didiagonalkan oleh basis yang sama, dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\widehat c(k) = \sum_j  c_j\,\omega^{-jk}$ .

**Solusi Latihan 13.10.**

1. Pemetaan $S$ mempermutasikan sebuah basis ortonormal: sebab $\norm{Sx} = \norm  x$, jadi $S$ [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint). Dengan mengindeks koordinatnya lewat $j = 0,  \dots, n-1$ modulo $n$: $(Sx)_j = x_{j-1}$, jadi untuk $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$: $$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n}  = \omega^{-k}\,(f_k)_j :  \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$$ Keortonormalannya: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n  \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (sebab jumlah geometri akar satuan yang tak trivial lenyap).
2. $Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j  c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : jadi setiap matriks sirkulan bersifat diagonal dalam basis Fourier yang ortonormal, sehingga normal, dengan [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\{\widehat c(k)\}$ . (Dan penggantian basisnya adalah transformasi Fourier diskret: sebab konvolusi menjadi perkalian.)

**Latihan 13.11 ★★.**

Misalkan $P$ endomorfisma idempoten (yakni $P^2 = P$) pada sebuah [ruang Hermitian](#def-b2-hermitian-def). Buktikan bahwa $P$ adalah proyeksi *ortogonal* ke $\operatorname{im} P$ bila dan hanya bila $P^* = P$. Berikanlah matriks proyeksi ortogonal ke $\C v$ (dengan $\norm v = 1$), dan ke sebuah subruang berbasis ortonormal $(v_1, \dots, v_k)$.

**Solusi Latihan 13.11.**

($\Leftarrow$) Misalkan $P^2 = P = P^*$. Setiap $v$ terpecah menjadi $v = Pv
+ (v - Pv)$ dengan $Pv \in \operatorname{im} P$ dan $P(v - Pv) =
0$. Kedua kepingnya ortogonal: sebab untuk sembarang $x, y$,

$$
\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle
= \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :
$$

jadi $\ker P \perp \operatorname{im} P$, sehingga $P$ adalah proyeksi ortogonal ke petanya. ($\Rightarrow$) Bila $P$ adalah proyeksi ortogonal ke $F = \operatorname{im}P$: maka untuk setiap $x, y$ berlaku $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (sebab komponen $y - Py \perp F$ gugur) dan secara simetris $\langle
x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$: jadi $\langle Px, y\rangle =
\langle x, Py\rangle$, yakni $P^* = P$. Matriksnya: ke $\C v$ (dengan $\norm v = 1$): $Px = v\,\langle v, x\rangle$, yakni $P =
vv^\dagger$; sedangkan ke $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ yang ortonormal: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$.

**Latihan 13.12 ★★★.**

(Proyektor spektral lewat interpolasi) Misalkan $A$ [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang *berbeda-beda* $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ dan penguraian ruang eigen $E = \bigoplus_i E_i$. Definisikan polinomial Lagrange $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X -
\lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$. Buktikan bahwa $P_i = L_i(A)$ adalah proyeksi ortogonal ke $E_i$, bahwa $P_iP_j = 0$ untuk $i \neq j$, bahwa $\sum_i P_i = I$, dan bahwa $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (yakni *dekomposisi spektralnya*); lalu nyatakanlah $f(A)$ untuk sembarang polinomial $f$ dalam $P_i$.

**Solusi Latihan 13.12.**

Diagonalkan $A = U D U^\dagger$ (lewat teorema spektral), dengan $D$ diagonal berentri di antara $\lambda_i$. Maka $P_i = L_i(A) = U
L_i(D)U^\dagger$, dan $L_i(D)$ bersifat diagonal berentri $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$: yakni bernilai satu persis pada slot $E_i$. Jadi $P_i$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) (sebab $L_i$ real dan $D$ real), idempoten, berpeta $E_i$ dan berkernel $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (berkat keortogonalan [ruang eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen)): sehingga ia proyeksi ortogonal ke $E_i$ ([Latihan 13.11](#exo-b2-hermitian-11)). Pola diagonal yang saling lepas memberi $P_iP_j = 0$ (untuk $i \neq j$); lalu $\sum_i L_i = 1$ (sebab berderajat $< p$ dan bernilai $1$ di $p$ titik), jadi $\sum P_i = I$; dan $\sum_i
\lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ memberi $A = \sum
\lambda_iP_i$. Untuk sembarang polinomial $f$: matriks $f(D)$ berdiagonal $f(\lambda_j)$, jadi

$$
f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :
$$

jadi fungsi $A$ dihitung secara spektral — yakni kalkulus yang diperluas jilid Tahun ke-3 ke $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) dan seterusnya.

## 13.4 Soal: Courant–Fischer, Weyl, dan kalkulus nilai eigen

**Soal 13.1.**

[Nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) sebuah matriks [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) bukan sekadar akar sebuah polinomial: ia penyelesaian *masalah pengoptimalan*. Sudut pandang variasional itu — yakni [hasil bagi Rayleigh](#pb-b2-hermitian-1) dan *teorema min-maks Courant–Fischer* — membuat [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dapat dibandingkan, stabil, dan terhitung, dan soal ini memanen hasil klasiknya: *ketaksamaan usikan Weyl*, *penyisipan Cauchy*, ketaksamaan trace Schur dan Ky Fan, kemonotonan akar kuadrat matriks, dan [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) Laplacian diskret. Di sepanjang soal ini, $A, B,
E$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) pada $E = \C^n$ dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang didaftar menurun $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$, dan $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ untuk $x \neq 0$ disebut *hasil bagi Rayleigh*.

**Bagian I — [Hasil bagi Rayleigh](#pb-b2-hermitian-1) dan min-maks.** Tetapkan sebuah basis eigen ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ dengan $Ae_i =
\lambda_ie_i$.

1. Tunjukkan bahwa $R_A(x)$ bersifat real, dan bahwa $$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1  \qquad (x \neq 0),$$ dengan kedua batasnya tercapai: $\lambda_1 = \max R_A$ dan $\lambda_n = \min R_A$.
2. Tunjukkan bahwa titik kritis $R_A$ persis merupakan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $A$ *(uraikan $t \mapsto R_A(x +  tv)$ di $t = 0$ untuk $v$ sembarang, lalu gantilah $v$ dengan $\iu v$)* .
3. Misalkan $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ dan $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$. Tunjukkan $$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k  = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$$
4. Buktikan *teorema Courant–Fischer*: untuk $1 \leq  k \leq n$, $$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in  V\setminus\{0\}} R_A(x)  = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in  W\setminus\{0\}} R_A(x)$$ *(sebab untuk sembarang $V$ berdimensi $k$ berlaku $V \cap W_k \neq  \{0\}$ menurut Grassmann, jadi $\min_V R_A \leq \lambda_k$; lalu pertanyaan 3 menunjukkan batasnya tercapai)*.
5. (Kemonotonan) Tulislah $A \leq B$ apabila $B - A$ bersifat semidefinit positif. Turunkan dari pertanyaan 4: bahwa $A \leq  B$ mengakibatkan $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ untuk setiap $k$ .

**Bagian II — Ketaksamaan Weyl.**

6. Tunjukkan bahwa subruang $V, W \subseteq \C^n$ dengan $\dim V  + \dim W > n$ berpotongan secara tak trivial, lalu samaratakan: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 +  \dim V_3 - 2n$ .
7. Buktikan *ketaksamaan Weyl*: untuk $i + j - 1 \leq n$, $$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) +  \lambda_j(B)$$ *(potongkanlah subruang $W_i(A)$, $W_j(B)$ dan $V_{i+j-1}(A+B)$ pada pertanyaan 3 lalu cacahlah dimensinya)*.
8. Definisikan $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ lalu tunjukkan $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ untuk $E$ yang [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint). Turunkan *teorema usikan Weyl*: $$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq  \vertiii{E}_2  \qquad (1 \leq k \leq n) :$$ jadi tiap [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) merupakan fungsi [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) berkonstanta $1$ terhadap matriksnya.
9. (Usikan berrank satu) Misalkan $P$ [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) semidefinit positif berrank $1$. Tunjukkan $$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq  \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$$ bersama $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$: jadi [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) barunya *menyisip* di antara yang lama.
10. Periksalah pertanyaan 8 secara numerik: $A = \begin{pmatrix} 2 &  \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ ( [Latihan 13.4](#exo-b2-hermitian-4) : berspektrum $\{3, 1\}$ ) dan $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (berspektrum $\{1, -1\}$ ): hitunglah [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $A +  E$ beserta kedua ruas ketaksamaannya.

**Bagian III — Penyisipan dan ketaksamaan trace.**

11. (Penyisipan Cauchy) Misalkan $B$ submatriks utama terdepan berukuran $(n-1)\times(n-1)$ milik $A$. Buktikan $$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)  \qquad (1 \leq k \leq n-1)$$ *(pandanglah $\C^{n-1} \subseteq \C^n$; sebab di atasnya, $R_B$ adalah pembatasan $R_A$; lalu terapkan Courant–Fischer pada kedua arasnya)*.
12. Iterasikan: untuk submatriks utama $B$ berukuran $n - m$ , berlaku $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq  \lambda_k(A)$ .
13. (Schur) Misalkan $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ menyatakan entri diagonal $A$ yang telah disortir. Buktikan, untuk setiap $k$: $$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$$ dengan kesamaan di $k = n$ (yakni tracenya) *(sebab $k$ entri diagonal terpilihnya membentuk submatriks utama $k\times k$; lalu batasilah tracenya lewat pertanyaan 12)*.
14. (Ky Fan) Buktikan $$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A)  = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle  : (x_1, \dots, x_k) \text{ ortonormal}\Bigr\} .$$
15. Periksalah pertanyaan 11 dan 13 pada $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\  0 & 1 & 2\end{pmatrix}  \qquad  \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\  2+\sqrt2\}\bigr)$$ terhadap blok terdepan $2\times2$-nya (yang berspektrum $\{1,  3\}$) dan terhadap diagonalnya.

**Bagian IV — Urutan Loewner.** Lambang $A \leq B$ tetap berarti $B - A$ semidefinit positif; dan semua matriks pada bagian ini bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint).

16. Tunjukkan: bahwa $A \leq B$ mengakibatkan $a_{ii} \leq b_{ii}$ untuk setiap $i$ , bahwa $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , dan bahwa $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ untuk *setiap* matriks kompleks $C$ .
17. Tunjukkan bahwa pengkuadratan *tidak* monoton: sebab untuk $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$$ periksalah $0 \leq A \leq B$ tetapi $A^2 \not\leq B^2$.
18. Buktikan bahwa akar kuadratnya *memang* monoton: bahwa $0 \leq  A \leq B$ mengakibatkan $\sqrt A \leq \sqrt B$ *(misalkan $\mu$ [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt B - \sqrt A$ dengan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) satuan $v$; lalu hitunglah $\langle v, (B - A)v\rangle =  \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v,  \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ lalu bahaslah)* .
19. Buktikan bahwa pembalikannya bersifat antitonik pada matriks definit positif: bahwa $0 < A \leq B$ mengakibatkan $B^{-1} \leq A^{-1}$ *(kongruenkan dengan $A^{-1/2}$ untuk mereduksinya ke $I \leq M  \Rightarrow M^{-1} \leq I$, yang menjadi skalar dalam basis spektralnya)* .
20. Misalkan $A, B$ definit positif. Tunjukkan bahwa [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $AB$ (yang secara umum tak [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint)!) bersifat real dan positif, dan bahwa $$\lambda_{\max}(AB) \leq  \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$$ *(konjugasikan dengan $\sqrt A$: sebab $AB \sim \sqrt  A\,B\sqrt A$)*.

**Bagian V — Laplacian diskret, dikerjakan.** Misalkan $T_n$ matriks tridiagonal $n \times n$ dengan $2$ pada diagonalnya dan $-1$ pada kedua diagonal tetangganya.

21. Dengan $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$, periksalah bahwa vektor $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq  n}$ memenuhi $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ *(lewat kesamaan hasil-kali-ke-jumlah; lalu periksa baris perbatasannya $j = 1, n$)*. Simpulkan: $$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2  \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$$ yang semuanya sederhana dan positif: jadi $T_n$ definit positif.
22. (Sebuah potensial) Untuk $D =  \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ diagonal real, apitlah [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen): untuk setiap $k$, $$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\;  \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i  d_i .$$
23. Periksalah penyisipan Cauchy antara $T_3$ dan $T_2$ secara gamblang (dengan [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ dan $\{1,  3\}$ ), lalu tafsirkanlah: sebab $T_2$ adalah $T_3$ dengan satu ujung lintasannya dibuang.
24. Tunjukkan bahwa [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) ekstremnya memenuhi, ketika $n \to  \infty$: $$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)}  \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2},  \qquad  \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$$ jadi bilangan kondisinya $\kappa_n =  \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ tumbuh seperti $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$: sehingga mendiskretkan turunan kedua pada kisi yang makin halus bersifat buruk-kondisi secara hakiki.
25. Rangkuman. Satu kalimat untuk masing-masing: (i) mengapa pencirian variasionalnya, bukan [polinomial karakteristiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) , yang membuat [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) stabil (pertanyaan 8–9); (ii) pertanyaan mana yang hanya memakai $\lambda_1 = \max R_A$ dan mana yang menuntut min-maks selengkapnya; (iii) apa yang ditambahkan urutan Loewner pada ceritanya; (iv) di mana perkakas ini muncul kembali (yakni pada analisis numerik matriks kekakuan pertanyaan 24; pada teori usikan kuantum; dan, pada jilid Tahun ke-3, pada asas min-maks bagi operator [swa-adjoin](#def-b2-hermitian-adjoint) yang [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact) ).

**Solusi Soal 13.1.**

**1.** Berlaku $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle
= \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$: jadi real. Lalu dengan menulis $x = \sum c_ie_i$:

$$
R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2}
{\sum_i\abs{c_i}^2} ,
$$

yakni rata-rata terbobot [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen): jadi ia terletak di $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$, dengan batasnya tercapai di $e_1$ dan $e_n$.

**2.** Untuk $t$ yang real dan sembarang $v$, uraikan $R_A(x + tv) =
\frac{N(t)}{D(t)}$ dengan

$$
N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle +
t^2\langle v, Av\rangle,
\quad
D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .
$$

Turunannya di $t = 0$ adalah

$$
\frac{2}{\norm x^2}\,
\Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .
$$

Ia lenyap untuk setiap $v$ bila dan hanya bila $\Re\langle v, w\rangle = 0$ untuk setiap $v$, dengan $w = Ax - R_A(x)x$; lalu mengganti $v$ dengan $\iu v$ membunuh bagian imajinernya juga: jadi $w = 0$, yakni $Ax = R_A(x)x$. Sehingga titik kritis $R_A$ persis merupakan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), dengan nilai kritisnya berupa [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen).

**3.** Untuk $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$: besaran $R_A(x)$ adalah rata-rata terbobot $\lambda_1, \dots, \lambda_k$, sehingga $\geq \lambda_k$, dengan kesamaan di $e_k$: jadi $\min_{V_k} R_A =
\lambda_k$. Secara simetris pada $W_k$ rata-ratanya melibatkan $\lambda_k, \dots, \lambda_n$: jadi $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$.

**4.** Misalkan $\dim V = k$. Maka $\dim V + \dim W_k = n + 1 >
n$, jadi ada $x \in V \cap W_k$ yang satuan, dan $R_A(x) \leq
\lambda_k$ (pertanyaan 3): sehingga $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ untuk setiap $V$ yang demikian. Karena $V_k$ mencapai $\lambda_k$, maka maks-minnya sama dengan $\lambda_k$. Adapun rumus min-maksnya lewat hujah yang sama dengan peran yang dibalik (sebab $\dim W = n - k + 1$ memaksa $W \cap V_k \neq
\{0\}$, jadi $\max_W R_A \geq \lambda_k$, yang tercapai di $W_k$).

**5.** Berlaku $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x,
(B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ [titik demi titik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def). Lalu mengambil $\min$ atas sembarang ruang berdimensi $k$, sebut $V$, lalu $\max$ atas $V$ memberi $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ menurut pertanyaan 4.

**6.** Menurut Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W -
\dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$. Menerapkan ini dua kali:

$$
\dim(V_1\cap V_2\cap V_3)
\geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n
\geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .
$$

**7.** Subruang $W_i(A)$, $W_j(B)$ (pertanyaan 3, bagi $A$ dan $B$) dan $V_{i+j-1}(A+B)$ berdimensi $(n-i+1) +
(n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$: jadi menurut pertanyaan 6 ada sebuah vektor satuan $x$ di ketiganya. Maka

$$
\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x)
= R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),
$$

dengan ketaksamaan kirinya karena $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (pertanyaan 3), dan yang kanannya berkat kedua $W$-nya.

**8.** Dalam basis spektral $E$: $\norm{Ex}^2 = \sum
\lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm
x^2$, yang tercapai di [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang bersesuaian: jadi $\vertiii E_2
= \max_k\abs{\lambda_k(E)}$. Lalu Weyl dengan $j = 1$: $\lambda_k(A+E)
\leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii
E_2$; dan menerapkan ini pada $(A+E) + (-E)$: $\lambda_k(A) \leq
\lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$. Bersama-sama: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$.

**9.** Batas bawahnya: berkat $P \geq 0$ dan pertanyaan 5. Batas atasnya: sebab $P$ berrank $1$, jadi $\lambda_2(P) = 0$; lalu Weyl dengan $i = k-1$ dan $j =
2$ memberi

$$
\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P)
= \lambda_{k-1}(A) .
$$

**10.** Berlaku $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu &
2\end{pmatrix}$: dengan [polinomial karakteristik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) $(2-\lambda)^2 -
\abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$, jadi [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\{2 + \sqrt2,\ 2
- \sqrt2\}$. Terhadap $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$:

$$
\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1
\approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark
$$

**11.** Pandanglah $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_{n-1})$ di dalam $\C^n$ (lewat basis bakunya): untuk $x$ di sana, $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$, jadi $R_B$ adalah pembatasan $R_A$. Batas atasnya: maks-min bagi $\lambda_k
(B)$ berjangkau atas subruang berdimensi $k$ *milik* $\C^{n-1}$, yakni subkeluarga milik $\C^n$: jadi $\lambda_k(B) \leq
\lambda_k(A)$. Batas bawahnya: min-maks bagi $\lambda_k(B)$ berjangkau atas subruang $\C^{n-1}$ yang berdimensi $(n-1)-k+1 =
n-k$; dan masing-masingnya juga subruang $\C^n$ berdimensi $n -
(k+1) + 1$, jadi maksimumnya $\geq \lambda_{k+1}(A)$, sehingga $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$.

**12.** Buanglah baris dan kolomnya satu demi satu lalu rantaikan pertanyaan 11: sebab tiap pembuangannya menggeser indeks bawahnya satu, sehingga memberi $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$.

**13.** Mengonjugasikan $A$ dengan matriks permutasi (yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint)) tidak mengubah [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) maupun multihimpunan entri diagonalnya: jadi andaikan $d_1, \dots, d_k$ menempati posisi terdepannya. Maka submatriks utama terdepan $k\times k$, sebut $B$, punya $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$, dan [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) memenuhi $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (pertanyaan 12): jadi setelah dijumlahkan, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$. Dan di $k =
n$ kedua ruasnya adalah $\operatorname{tr} A$.

**14.** Mengambil $x_i = e_i$ memberi nilai $\sum_{i\leq k}\lambda_i$: jadi maksimumnya $\geq$. Sebaliknya, sebuah keluarga ortonormal $(x_1, \dots, x_k)$ diperluas menjadi basis ortonormal, yakni menjadi $U$ yang [uniter](#def-b2-hermitian-adjoint) dengan kolom pertamanya $x_i$; lalu $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ adalah jumlah $k$ entri diagonal pertama $U^\dagger AU$, yang menurut pertanyaan 13 paling banyak sebesar jumlah $k$ [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) terbesarnya — yakni $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$. Jadi asas maksimum Ky Fan menyusul.

**15.** Penyisipannya (dengan $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2,
2-\sqrt2\}$ dan $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$):

$$
2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2,
\qquad
2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark
$$

Schur dengan diagonal $(2,2,2)$: $2 \leq 2+\sqrt2$; lalu $4 \leq 4 +
\sqrt2$; dan $6 = 6$ (yakni tracenya). ✓**16.** Berlaku $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle
\geq 0$; dan menjumlahkannya memberi tracenya. Untuk sembarang $C$: $\langle x,
C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq
0$: jadi $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$.

**17.** Jelas $A \geq 0$; dan $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\
1 & 1\end{pmatrix}$ bersifat semidefinit positif (bernilai eigen $2,
0$): jadi $A \leq B$. Tetapi

$$
B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},
\qquad
B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},
\qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :
$$

sehingga tak semidefinit positif. Jadi pengkuadratan tak menghormati urutan Loewner.

**18.** Misalkan $S = \sqrt A$ dan $T = \sqrt B$ (yang [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) semidefinit positif, sebab [Latihan 13.7](#exo-b2-hermitian-7) diperluas ke yang semidefinit lewat rumus spektral yang sama). Maka $T - S$ bersifat [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint); misalkan $\mu$ sembarang [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dan $v$ [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) satuannya. Dari $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$:

$$
0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle
= \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle
= \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v,
Sv\rangle\bigr)
$$

(sebab $\mu$ real). Bila $\langle v, Tv\rangle + \langle v,
Sv\rangle > 0$, maka $\mu \geq 0$. Bila ia lenyap, kedua suku taknegatifnya lenyap; lalu $\langle v, Tv\rangle =
\norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ memaksa $Tv = 0$, dan demikian pula $Sv = 0$, jadi $\mu v = (T - S)v = 0$ sehingga $\mu = 0$. Jadi semua [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $T -
S$ bernilai $\geq 0$: sehingga $\sqrt A \leq \sqrt B$.

**19.** [Kekongruenan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) oleh $A^{-1/2}$ (pertanyaan 16) memberi $I \leq M
:= A^{-1/2}BA^{-1/2}$. Jadi semua [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $M$ bernilai $\geq 1$, sehingga [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $M^{-1}$ terletak di $\intoc{0}{1}$: jadi $M^{-1} \leq I$. Tetapi $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$; jadi mengongruenkan $M^{-1} \leq
I$ dengan $A^{-1/2}$ memberi $B^{-1} \leq A^{-1}$.

**20.** Berlaku $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$, jadi $AB$ serupa dengan matriks [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) definit positif $\sqrt
A\,B\sqrt A$ (yang definit sebab $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle =
\langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$): sehingga [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) real dan positif. Lebih jauh

$$
\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle
\leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2
= \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle
\leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,
$$

jadi $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq
\lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$.

**21.** Dengan $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ dan kesamaan $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) =
2\sin(j\theta)\cos\theta$: untuk $2 \leq j \leq n-1$,

$$
(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) -
\sin((j{+}1)\theta_k)
= (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .
$$

Baris $1$ berhasil karena $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$, dan baris $n$ karena $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$: jadi syarat perbatasannya memilih persis $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$. Sehingga $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$; adapun $n$ nilainya berbeda-beda di $\intoo04$ dan $v_k \neq 0$: jadi inilah seluruh [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), yang positif, sehingga $T_n$ definit positif.

**22.** Berlaku $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$, jadi $T_n +
\min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (sebab menambahkan $T_n$ memelihara urutannya); lalu pertanyaan 5 dan $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ memberi apitannya.

**23.** Matriks $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$ berspektrum $\{3, 1\}$, dan

$$
2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 +
\sqrt2 :
$$

jadi penyisipan Cauchynya terperiksa. (Dan inilah [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang sama seperti pada pertanyaan 15: sebab mengonjugasikan dengan $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ membalik tanda luar diagonalnya.) Pembacaan grafnya: $T_2$ adalah matriks bertipe Laplacian bagi lintasan yang simpul terakhirnya dihapus — yakni sebuah submatriks utama, persis situasi pertanyaan 11.

**24.** [Nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) ekstremnya berkelakuan sebagai

$$
\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)}
\sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2},
\qquad
\lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)}
\longrightarrow 4 .
$$

Karena itu

$$
\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}
\sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :
$$

jadi makin halus kisinya, makin buruk kondisi turunan kedua diskretnya — yakni fakta yang menggerakkan perancangan aljabar linear numerik.

**25.** (i) Akar [polinomial karakteristik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) dapat bergerak liar di bawah usikan sebuah matriks umum, tetapi pencirian min-maksnya memaku tiap [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) [Hermitian](#def-b2-hermitian-adjoint) antara nilai pengoptimalan yang gamblang, sehingga memaksa kestabilan [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) berkonstanta $1$ pada pertanyaan 8–9. (ii) Pertanyaan 1, 5, 16–20 hanya memakai nilai Rayleigh ekstremnya; sedangkan Weyl, penyisipan, Schur dan Ky Fan (pertanyaan 7–14) sungguh menuntut min-maks selengkapnya atas subruangnya. (iii) Urutan Loewner mengubah ketaksamaan skalar itu menjadi kalkulus ketaksamaan matriks — dengan jebakan yang nyata (pertanyaan 17) dan teorema yang nyata (pertanyaan 18–19). (iv) Perkakas ini adalah roti sehari-hari analisis numerik (yakni matriks kekakuan pertanyaan 24), teori usikan kuantum (yakni Weyl: aras energinya bergeser paling banyak sebesar [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) usikannya), dan asas min-maks pada jilid Tahun ke-3 bagi operator [swa-adjoin](#def-b2-hermitian-adjoint) yang [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact).