---
title: "Kalkulus Diferensial"
book: "Matematika Universitas — Tahun 2"
subject: math
language: id
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial
---

# Bab 15 — Kalkulus Diferensial

Kalkulus dua peubah pada jilid Tahun ke-1 mematang menjadi kalkulus [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) bagi pemetaan antarruang bernorma: dengan *[diferensial](#def-b2-diffcalc-differential)* sebagai hampiran linear terbaiknya, aturan rantai dalam keumuman penuh, teorema kesimetrikan Schwarz yang *dibuktikan*, rumus Taylor, dan analisis orde dua yang [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) bagi ekstremumnya. Adapun teorema fungsi balikan, yakni mahkota teorinya, dinyatakan dengan strategi buktinya — sebuah titik tetap Banach — yang dibuat gamblang.

Di sepanjang bab ini, $U$ adalah himpunan bagian [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) $\R^n$ (atau sebuah ruang bernorma; sebab kasus berdimensi hingganya mengusung semua gagasannya), dan $f \colon U \to
\R^m$.

## 15.1 Diferensialnya

**Definisi 15.1.**

Fungsi $f$ disebut *terdiferensialkan* di $a$ apabila ada pemetaan linear (yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)) $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ dengan

$$
f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h)
\qquad (h \to 0).
$$

Pemetaan $\dd f_a$, yakni *diferensial* $f$ di $a$, bersifat tunggal; dan matriksnya dalam basis kanoniknya adalah *matriks Jacobi* $J_f(a) =
\bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$. Keterdiferensialan mengakibatkan kekontinuan beserta keberadaan semua turunan berarah $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv)
- f(a)}{t}$; sedangkan konversnya gagal ([Latihan 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)). Untuk $m = 1$, berlaku $\dd f_a(h) = \langle
\nabla f(a), h\rangle$: yakni gradien Tahun ke-1, yang kini dipahami sebagai vektor yang mewakili diferensialnya.

**Teorema 15.2 (Kriteria C1C^1C1).**

Bila semua turunan parsial $f$ ada pada $U$ dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di $a$, maka $f$ [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) di $a$. Jadi “$C^1$ pada $U$” — yakni turunan parsial yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) — mengakibatkan keterdiferensialan di mana-mana, dengan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity).

**Bukti.** Komponen demi komponen (jadi $m = 1$ sudah cukup). Bukti Tahun ke-1 untuk dua peubah — yakni gerakkan satu koordinat sekali waktu, terapkan teorema nilai rerata satu peubah pada tiap kakinya, lalu pakai kekontinuan turunan parsialnya di $a$ — menyamarata kata demi kata ke $n$ kaki:

$$
f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a +
h^{(j-1)})\bigr)
= \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),
$$

dengan $h^{(j)}$ membekukan $j$ koordinat pertama $h$ dan $\xi_j$ terletak pada kaki ke-$j$-nya; lalu kekontinuannya mengubah tiap $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ menjadi $\frac{\partial
f}{\partial x_j}(a) + o(1)$, dan galatnya bernilai $o(\norm h)$. ∎

**Teorema 15.3 (Aturan rantai).**

Bila $f$ [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) di $a$ dan $g$ di $f(a)$, maka $g \circ f$ [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) di $a$ dengan

$$
\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a ,
\qquad
J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :
$$

jadi [matriks Jacobinya](#def-b2-diffcalc-differential) mengalikan.

**Bukti.** Tulislah $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ dan $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ dengan $b = f(a)$ dan $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$. Setelah disulihkan,

$$
g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr)
+ \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),
$$

dan kedua suku galatnya bernilai $o(\norm h)$: yang pertama karena $\dd g_b$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) dan $\varepsilon_1 \to 0$; sedangkan yang kedua karena $\norm k
\leq C\norm h$ (yakni pemetaan linear terbatas ditambah suku kecil) dan $\varepsilon_2(k) \to 0$ ketika $h \to 0$. ∎

**Contoh 15.4 (Fungsi radial, sekali untuk selamanya).**

Misalkan $r(x) = \norm x_2$ pada $\R^n\setminus\{0\}$ dan $f = g \circ
r$ dengan $g$ fungsi $C^1$ satu peubah. Pertama, $r$ bersifat [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) jauh dari $0$: sebab dari $r^2 = \sum x_i^2$,

$$
\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r},
\qquad\text{yakni}\qquad
\nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,
$$

yakni vektor radial satuannya (turunkan $r^2$ lalu bagilah — atau terapkan aturan rantai pada $\sqrt{\cdot}$). Lalu aturan rantainya memberi, untuk setiap fungsi radial,

$$
\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .
$$

Contoh yang dikerjakan: $g(r) = \frac1r$ menghasilkan $\nabla\frac{1}{\norm
x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, yakni medan kuadrat-terbalik milik gravitasi dan elektrostatika — dengan arah radial dan besar $\frac{1}{\norm x^2}$. Pelajaran penutupnya: gradien fungsi radial bersifat radial karena himpunan arasnya berupa bola dan gradiennya ortogonal terhadap himpunan aras; sedangkan di $x = 0$, sebaliknya, $r$ *tidak* [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) (sebab tak ada calon pemetaan linear yang cocok dengan $\norm h$ dari segala arah) — jadi profil radial yang mulus menuntut $g'(0) = 0$ agar dapat menyeberangi titik asalnya dengan anggun.

**Teorema 15.5 (Ketaksamaan nilai rerata).**

Misalkan $f$ [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) pada $U$ dan misalkan ruas $\intcc{a}{b}
= \{a + t(b-a)\}$ terletak di $U$. Maka

$$
\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\,
\sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .
$$

Khususnya, pemetaan [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) yang [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) nol pada himpunan [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) yang *[terhubung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-connected)* bersifat tetap.

**Bukti.** Fungsi $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) pada $\intcc{0}{1}$ dengan $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (lewat aturan rantai), yang bernorma $\leq M\norm{b-a}$ dengan $M$ menyatakan sup pada displainya. Untuk nilai di $\R$, ketaksamaan nilai rerata satu peubah bagi $f$ merampungkannya; sedangkan untuk nilai vektornya terapkanlah ia pada $t \mapsto \langle u,
\varphi(t)\rangle$ dengan $u$ vektor satuan sepanjang $f(b) - f(a)$. Ketetapannya: sebab ia tetap secara lokal (lewat ruas di dalam bola) ditambah keterhubungannya (sebab himpunan tempat $f$ bernilai tertentu bersifat [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) sekaligus tertutup: [Bab 4](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#ch-b2-metric)). ∎

**Contoh 15.6 (Sebuah konstanta Lipschitz dari ketaksamaan nilai rerata).**

Apakah $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ bersifat [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\R^2$, dan dengan konstanta yang mana? Gradiennya $\nabla f = (\cos x\sin y,\
\sin x\cos y)$, yang kuadrat [normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm)

$$
\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y
\leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1
$$

(sebab $\cos^2x$ dan $\sin^2x$ dibatasi $1$ secara terpisah), jadi $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ di mana-mana, lalu [Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) pada ruas antara sembarang dua titik memberi

$$
\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :
$$

jadi $f$ bersifat [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) berkonstanta $1$, dan konstantanya tajam (sebab di dekat titik asalnya, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ berlereng $1$). Pelajaran penutupnya: ketaksamaan nilai rerata mengubah batas [titik demi titik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def) pada [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) menjadi modulus kekontinuan yang global — yakni rute baku menuju taksiran [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada setiap dimensi, sekaligus mesin di dalam [Latihan 15.12](#exo-b2-diffcalc-12).

## 15.2 Turunan kedua

**Teorema 15.7 (Schwarz).**

Bila $f$ bersifat $C^2$ pada $U$ (yakni semua turunan parsial keduanya ada dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)), maka untuk setiap $i, j$:

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}
= \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .
$$

**Bukti.** Dua peubah sudah cukup (dengan $x = x_i$, $y = x_j$, dan sisanya dibekukan). Tinjaulah selisih keduanya

$$
\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .
$$

Tetapkan $h$ lalu tetapkan $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$: maka $\Delta(h)
= \varphi(a + h) - \varphi(a)$, dan dua kali penerapan teorema nilai rerata memberi

$$
\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi)
= h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) -
\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr)
= h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),
$$

dengan $\xi \in \intoo{a}{a+h}$ dan $\eta \in \intoo{b}{b+h}$. Berkat kekontinuannya, $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial
y\partial x}(a, b)$ ketika $h \to 0$. Perhitungan yang sama dengan peran peubahnya dipertukarkan (bekukan peubah keduanya lebih dulu) memberi $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x
\partial y}(a,b)$: jadi kedua limit besaran yang sama itu berimpit. ∎

**Contoh 15.8 (Mengapa C2C^2C2 diperlukan: contoh tandingan Peano).**

Misalkan $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ dengan $f(0,0) = 0$. Jauh dari titik asalnya $f$ bersifat $C^\infty$; sedangkan di titik asalnya semua turunan parsial pertama dan keduanya ada, tetapi yang campurannya tak sepakat. Hitunglah sepanjang sumbunya: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$, dan untuk $y \neq 0$,

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)
= \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x}
= \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y ,
\qquad\text{secara simetris}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .
$$

Karena itu

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0)
= \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial
x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1,
\qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :
$$

jadi kedua turunan parsial campurannya ada dan berbeda. Dan tak ada pertentangan dengan [Teorema 15.7](#thm-b2-diffcalc-schwarz): sebab turunan parsial kedua $f$ tidak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di $0$ (ujilah sepanjang $y = tx$). Pelajaran penutupnya: teorema Schwarz adalah teorema sejati tentang *kekontinuan*, bukan kesamaan formal — dan hipotesis “$C^2$” pada Taylor–Young di bawah sungguh bekerja.

**Teorema 15.9 (Taylor–Young pada orde 2).**

Misalkan $f \colon U \to \R$ bersifat $C^2$ dan $a \in U$. Maka, ketika $h \to 0$,

$$
f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle
+ \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),
$$

dengan $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial
x_j}(a)\bigr)$ menyatakan *matriks Hessian* (yang [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint), berkat Schwarz).

**Bukti.** Terapkan teorema Taylor–Young satu peubah (jilid Tahun ke-1) pada $\varphi(t) = f(a + th)$ di $\intcc{0}{1}$: sebab menurut aturan rantai, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ dan $\varphi''(t)
= \langle H_{a+th}h, h\rangle$, yang keduanya [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) dalam $t$. Lalu $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (lewat Taylor–Lagrange) dengan $\theta \in \intoo{0}{1}$, dan kekontinuan turunan parsial keduanya mengubah $\varphi''(\theta) =
\varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ secara [seragam](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def): jadi diperoleh uraian pada displainya. ∎

**Contoh 15.10 (Sebuah uraian lewat dua cara).**

Uraikan $f(x, y) = \eu^x\cos y$ di titik asalnya sampai orde $2$. *Lewat komposisi uraian satu peubah:*

$$
\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} +
o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr)
= 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .
$$

*Lewat turunan parsial:* $f_x = \eu^x\cos y$ dan $f_y =
-\eu^x\sin y$, jadi $\nabla f(0) = (1, 0)$; sedangkan $f_{xx} = f$, $f_{yy} = -f$, $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ memberi $H_0 =
\operatorname{diag}(1, -1)$: jadi [Teorema 15.9](#thm-b2-diffcalc-taylor) menghasilkan kembali $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$. Kedua perhitungannya sepakat, dan rute komposisinya lebih cepat — tanpa satu turunan parsial kedua pun. Pelajaran penutupnya: titik asalnya *bukan* titik kritis (sebab $\nabla f \neq 0$), jadi kendati Hessiannya tak tentu tak ada pelana yang dapat diumumkan: sebab suku linearnya yang berkuasa, dan uji orde duanya hanya pernah berbicara di titik kritis.

**Teorema 15.11 (Uji ekstremum orde dua, dibuktikan).**

Misalkan $f$ bersifat $C^2$ di dekat titik kritis $a$ (dengan $\nabla f(a) = 0$), dan berhessian $H = H_a$.

1. Bila $H$ definit positif, maka $a$ merupakan minimum lokal yang tegas (dan bila definit negatif: maksimum).
2. Bila $H$ punya [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) bertanda keduanya, maka $a$ berupa pelana: jadi tanpa ekstremum.
3. Bila $H$ singular (dan semidefinit), maka tak ada kesimpulan.

Adapun uji “$rt - s^2$” Tahun ke-1 adalah kasus $n = 2$: sebab $\det H = rt -
s^2$, dan tanda $\operatorname{tr}$-nya dibaca dari $r$.

**Bukti.** Menurut teorema spektral ([Teorema 12.13](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-spectral)), [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) $H$ terjepit di antara [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) ekstremnya: $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq
\lambda_{\max}\norm h^2$.

(1) Bila $\lambda_{\min} > 0$: maka Taylor–Young memberi

$$
f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 -
o(\norm h^2) > 0
$$

untuk $h \neq 0$ yang kecil: jadi minimum lokal yang tegas.

(2) Sepanjang [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $v_+$ dengan $\lambda_+ > 0$: berlaku $f(a + tv_+) -
f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ untuk $t$ yang kecil; sedangkan sepanjang $v_-$ dengan $\lambda_- < 0$ selisihnya negatif: jadi kedua tandanya muncul pada setiap persekitarannya.

(3) Fungsi $f(x,y) = x^2 + y^4$, $x^2 - y^4$, $x^2 + y^3$ berbagi Hessian singular semidefinit yang sama di $0$ dengan tiga kelakuan yang berbeda. ∎

**Contoh 15.12 (Sebuah penggolongan lengkap, termasuk yang global).**

Golongkanlah semua ekstremum $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ pada $\R^2$. *Titik kritisnya:* $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) =
0$ memberi $y = x^3$ dan $x = y^3 = x^9$, jadi $x(x^8 - 1) = 0$: sehingga penyelesaian realnya adalah $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$. *Hessiannya:* $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 &
12y^2\end{pmatrix}$. Di $(\pm1, \pm1)$: $\begin{pmatrix} 12 &
-4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$, bernilai eigen $8$ dan $16$: jadi definit positif, sehingga minimum lokal yang tegas dengan $f = -2$. Di $(0,0)$: $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$, bernilai eigen $\pm4$: jadi sebuah pelana. *Kegloballannya:* dari $2\abs{xy} \leq x^2 +
y^2$,

$$
f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2)
= (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2
\xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :
$$

jadi $f$ bersifat koersif, sehingga ia mencapai minimum global (berkat kekompakan himpunan subarasnya), yang niscaya di sebuah titik kritis: jadi nilai $-2$, baik di $(1,1)$ maupun di $(-1,-1)$, adalah minimum globalnya; dan tak ada maksimum (sebab $f$ tak terbatas ke atas). Pelajaran penutupnya: uji lokalnya menggolongkan calonnya, tetapi hanya hujah pertumbuhan yang mengubah “lokal” menjadi “global” — yakni pola dua langkah setiap bukti pengoptimalan pada buku ini.

**Metode 15.13 (Menggolongkan ekstremum f ⁣:Rn→Rf \colon \R^n \to \Rf:Rn→R).**

1. Selesaikan $\nabla f = 0$ (yakni semua titik kritisnya; dan pada daerah yang berbatas, tanganilah perbatasannya secara terpisah seperti pada [Latihan 15.7](#exo-b2-diffcalc-7) ).
2. Di tiap titik kritisnya, hitunglah Hessiannya beserta tanda [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) — pada dimensi $2$ , cukuplah $\det H$ dan $\operatorname{tr} H$ : bila $\det < 0$ maka pelana; bila $\det >  0$ maka ekstremum, dengan jenis yang diberikan tanda tracenya; dan bila $\det = 0$ ujinya membisu, jadi kajilah $f$ sepanjang kurva.
3. Untuk pernyataan global, tambahkanlah hujah kekompakan atau kekoersifan (yakni $f \to +\infty$ di tak hingga, atau himpunan kendala yang [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact) ), lalu bandingkanlah nilai kritisnya.

## 15.3 Teorema fungsi balikan

**Teorema 15.14 (Teorema fungsi balikan).**

Misalkan $f \colon U \to \R^n$ bersifat $C^1$ dan $a \in U$ dengan $\dd f_a$ yang *terbalikkan*. Maka ada persekitaran [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) $V \ni a$ dan $W
\ni f(a)$ sedemikian sehingga $f \colon V \to W$ merupakan bijeksi dengan balikan $C^1$, dan

$$
\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).
$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 15.15 (Mengapa ia benar: strategi titik tetapnya).**

Menyelesaikan $f(x) = y$ di dekat $a$ ditulis ulang sebagai persamaan titik tetap $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$; lalu pemetaan $\Phi_y$ berdiferensial $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$, yang kecil di dekat $a$ berkat kekontinuan $\dd f$, jadi $\Phi_y$ merupakan kontraksi pada bola tertutup yang kecil sehingga teorema titik tetap Banach ([Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#thm-b2-metric-banach)) menyediakan penyelesaian lokal tunggalnya $x = f^{-1}(y)$. Adapun kekontinuan dan keterdiferensialan balikannya lalu menyusul dari taksiran di dalam kontraksinya. Tata buku selengkapnya dikerjakan pada Tahun ke-3; sedangkan strateginya — dan pernyataannya — dipakai secara bebas mulai kini. Adapun pendampingnya, yakni *teorema fungsi implisit* (yang menyelesaikan $F(x, y) = 0$ bagi $y(x)$ ketika $\frac{\partial F}{\partial y}$ terbalikkan), menyusul dengan menerapkan teoremanya pada $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$.

**Contoh 15.16 (Koordinat kutub).**

Pemetaan $\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ berjacobi

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta &
r\cos\theta \end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = r :
$$

yang terbalikkan untuk $r \neq 0$, jadi $\Phi$ merupakan difeomorfisma $C^1$ lokal jauh dari titik asalnya — yakni izin untuk “berpindah ke koordinat kutub”, yang diperbarui bagi integral lipat pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint).

**Contoh 15.17 (Lokal di mana-mana, global tak di mana pun).**

Misalkan $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ pada $\R^2$. [Matriks Jacobinya](#def-b2-diffcalc-differential),

$$
J_f = \begin{pmatrix}
\eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\
\eu^x\sin y & \eu^x\cos y
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_f = \eu^{2x} > 0 ,
$$

tak pernah lenyap: jadi menurut [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse), $f$ merupakan difeomorfisma $C^1$ lokal di *setiap* titik bidangnya. Namun $f$ jauh dari injektif: sebab $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$, jadi setiap nilainya diambil tak berhingga kali; dan ia juga tak surjektif, sebab $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ meleset dari titik asalnya. Pelajaran penutupnya: teorema fungsi balikan bersifat *lokal* tanpa dapat direduksi — sebab keterbalikan setiap $\dd f_a$ menghasilkan tambal sulam balikan lokal yang tak harus terangkai menjadi satu. (Pembaca yang mengenal bilangan kompleks akan mengenali $z \mapsto
\eu^z$; dan tambal sulamnya adalah keluarga cabang logaritmanya.) Bandingkan dengan [Latihan 15.12](#exo-b2-diffcalc-12), tempat sebuah hipotesis global yang kuantitatif memang memaksa satu balikan global.

**Catatan 15.18 (Jebakan yang sering muncul).**

*(i) Turunan berarah itu murah, sedangkan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) tidak:* semua turunan berarahnya boleh saja ada — bahkan gagal bergantung secara linear pada arahnya — tanpa keterdiferensialan ([Latihan 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)); jadi hanya kriteria $C^1$ ([Teorema 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1)) yang meningkatkan turunan parsial menjadi sebuah [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential). *(ii) Kritis tak berarti ekstremal:* sebab pelana ([Contoh 15.12](#ex-b2-diffcalc-quarticrun)) dan kasus singular yang membisu ([Teorema 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) (3)) sama-sama bersembunyi di balik $\nabla f = 0$. *(iii) Tak ada kesamaan nilai rerata yang bernilai vektor:* sebab hanya *ketaksamaan* pada [Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) yang bertahan ([Latihan 15.9](#exo-b2-diffcalc-9)); jadi jangan pernah menulis $f(b) - f(a) = \dd
f_c(b-a)$ untuk $f$ yang bernilai di $\R^m$ dengan $m \geq 2$. *(iv) Keterbalikan lokal bukan keinjektifan:* lihat [Contoh 15.17](#ex-b2-diffcalc-localnotglobal). *(v) Gradiennya milik hasil kali dalamnya:* sebab $\nabla f$ adalah vektor yang mewakili $\dd f_a$ dalam hasil kali dalam yang dipilih; jadi ubahlah hasil kalinya (seperti pada contoh berbobot bab [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def)) dan gradiennya berputar, sedangkan [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) — yakni objek yang hakiki — tak bergerak.

**Catatan 15.19 (Di mana ini dipakai).**

Segala yang mengalir dari bab ini adalah kalkulus [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) yang diterapkan: bab persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) melinearkan aliran lalu memakai rumus [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) Liouville (yang dibuktikan pada soal akhir pekan bab ini); bab kurva dan permukaan mengkaji himpunan aras dan parameterisasinya lewat teorema fungsi implisit; dan integral lipat berganti peubah lewat [matriks Jacobi](#def-b2-diffcalc-differential). Adapun soal akhir pekan mengembangkan kalkulusnya *pada ruang matriks itu sendiri* — yakni [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) [determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det), balikannya, eksponensial matriksnya, dan grup ortogonal sebagai himpunan aras yang mulus — yakni bayangan Tahun ke-2 bagi apa yang diresmikan jilid Tahun ke-3 sebagai manifold dan grup Lie.

## 15.4 Latihan

**Latihan 15.1 ★.**

Hitunglah [matriks Jacobi](#def-b2-diffcalc-differential) bagi $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ dan bagi $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$; lalu di mana [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) terbalikkan?

**Solusi Latihan 15.1.**

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$ dengan $\det J_f
= 4(x^2 + y^2)$: jadi terbalikkan jauh dari titik asalnya. (Sebab $f$ ini adalah $z
\mapsto z^2$ dalam samaran kompleks.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ dengan $\det = r$: jadi terbalikkan untuk $r \neq 0$ (yakni koordinat silinder).

**Latihan 15.2 ★.**

Misalkan $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ dengan $f(0,0) = 0$. Buktikan bahwa semua turunan berarah $f$ di $0$ ada, tetapi bahwa $f$ tidak [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) di $0$ *(sebab pemetaan $v \mapsto$ turunan berarahnya tidak linear)*.

**Solusi Latihan 15.2.**

Untuk $v = (a, b) \neq 0$: $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot
t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$: jadi setiap turunan berarahnya ada, dengan nilai $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$. Tetapi $v
\mapsto D_v$ tidak linear (sebab $D_{(1,0)} = 1$, $D_{(0,1)} = 0$, $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$): jadi tak ada pemetaan linear yang dapat menghasilkan nilai itu, sehingga $f$ tidak [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) di $0$ (sebab [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) mestilah $v \mapsto D_v$).

**Latihan 15.3 ★.**

Carilah lalu golongkanlah titik kritis $f(x, y) = x^3 + y^3 -
3xy$ dengan memakai [Teorema 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema), dan juga bagi $g(x,y) = x^4 +
y^4 - 2(x - y)^2$.

**Solusi Latihan 15.3.**

$f = x^3 + y^3 - 3xy$: titik kritisnya $(0,0)$ dan $(1,1)$ (lewat perhitungan Tahun ke-1). Hessiannya: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 &
6y\end{pmatrix}$. Di $(0,0)$: tanda eigennya bercampur (sebab $\det = -9 < 0$), jadi pelana. Di $(1,1)$: $\det = 27 > 0$ dan tracenya $> 0$, jadi definit positif, sehingga minimum lokal yang tegas — yang kini dibenarkan [Teorema 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema), bukan sekadar dititahkan.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$: $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 +
4(x-y))$; jadi titik kritisnya $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (lewat Tahun ke-1). Di $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $H =
\begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$: jadi definit positif (sebab diagonalnya dominan; dan [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $24, 16$): sehingga minimum lokal yang tegas. Di $(0,0)$: $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$, yang singular dan semidefinit negatif: jadi ujinya membisu; lalu kajian berarahnya ($g(x,x) = 2x^4 > 0$ dan $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ untuk yang kecil) menunjukkan titik bergaya pelana — jadi tanpa ekstremum.

**Latihan 15.4 ★★.**

Misalkan $f \colon \R^n \to \R$ bersifat $C^1$ dan *homogen berderajat $p$*: yakni $f(tx) = t^pf(x)$ untuk $t > 0$. Buktikan kesamaan Euler

$$
\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,
$$

beserta konversnya bagi fungsi $C^1$ pada $\R^n\setminus\{0\}$.

**Solusi Latihan 15.4.**

Turunkan $t \mapsto f(tx)$ di $t = 1$: menurut aturan rantai ia bernilai $\langle \nabla f(x), x\rangle$; sedangkan berkat kehomogenannya fungsi yang sama adalah $t^pf(x)$, yang berturunan $pf(x)$ di $t = 1$: itulah kesamaan Euler.

Konversnya: tetapkan $x \neq 0$ lalu misalkan $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ pada $t > 0$. Maka $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle -
pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle -
p\,t^pf(x)\bigr)$. Adapun hipotesisnya — yakni kesamaan Euler di titik $tx$ — menilai kurungnya sebagai $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) =
p\,\varphi(t)$. Jadi $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ dengan $\varphi(1)
= 0$: dan penyelesaian tunggal persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) linearnya adalah $\varphi \equiv 0$ (berkat ketunggalan Tahun ke-1), yakni $f(tx) = t^pf(x)$.

**Latihan 15.5 ★★.**

Misalkan $A$ [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) dan $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle -
\langle b, x\rangle$. Hitunglah $\nabla f$ dan $H_f$; lalu kapan $f$ cembung? Dengan mengandaikan $A$ definit positif, tunjukkanlah bahwa $f$ punya satu minimum global di penyelesaian $Ax = b$ — yakni alasan keberadaan penurunan gradien.

**Solusi Latihan 15.5.**

Menguraikan $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle +
\frac12\langle Ah, h\rangle$ (berkat kesimetrikan $A$) memberi $\nabla f(x) = Ax -
b$ dan $H_f = A$ di mana-mana. Lalu $f$ cembung bila dan hanya bila $A$ semidefinit positif (lewat uji Hessiannya, yang global di sini karena $H$ tetap: sebab rumus Taylor orde duanya eksak). Bila $A$ definit positif: maka satu-satunya titik kritisnya adalah $x^* = A^{-1}b$, dan $f(x^*
+ h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq
\frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ untuk $h \neq 0$: jadi minimum global yang tegas.

**Latihan 15.6 ★★.**

(Pengganda Lagrange, satu kendala, dibuktikan dengan tangan) Misalkan $f, g$ bersifat $C^1$ pada $\R^2$, dan andaikan $f$ mencapai, di $a$, sebuah ekstremum lokal pada himpunan aras $\{g = 0\}$, dengan $\nabla g(a) \neq 0$. Buktikan bahwa $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ untuk suatu $\lambda$. *(Parameterkan himpunan arasnya di dekat $a$ lewat teorema fungsi implisit lalu turunkan $t \mapsto f(\gamma(t))$.)* Penerapannya: ekstremum $f(x,y) = xy$ pada lingkaran $x^2 + y^2 = 1$.

**Solusi Latihan 15.6.**

Karena $\nabla g(a) \neq 0$, satu turunan parsialnya, katakanlah $\frac{\partial
g}{\partial y}(a) \neq 0$: jadi teorema fungsi implisit (yakni pendamping [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) memparameterkan $\{g =
0\}$ di dekat $a = (a_1, a_2)$ sebagai $\gamma(t) = (t, y(t))$ dengan $y$ bersifat $C^1$ dan $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (turunkan $g(t, y(t)) = 0$). Lalu fungsi satu peubah $t
\mapsto f(\gamma(t))$ punya ekstremum lokal di $t = a_1$:

$$
0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1}
= \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1)
= \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x
g(a)}{\partial_y g(a)} :
$$

jadi vektor $\nabla f(a)$ dan $\nabla g(a)$ berkoordinat sebanding: sehingga $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ dengan $\lambda =
\frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$.

Penerapannya: pada lingkarannya, $\nabla(xy) = (y, x)$ yang sejajar dengan $(2x, 2y)$ memaksa $y^2 = x^2$; lalu dengan kendalanya, calonnya adalah $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (bernilai $\frac12$) dan $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},
-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (bernilai $-\frac12$): jadi maksimumnya $\frac12$ dan minimumnya $-\frac12$ (yang tercapai, sebab lingkarannya [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact)).

**Latihan 15.7 ★★.**

Tentukan ekstremum $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ pada $\R^2$, lalu maksimum dan minimumnya pada segitiga tertutup bertitik sudut $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ *(yakni titik kritis dalamnya, lalu ketiga rusuknya, lalu titik sudutnya)*.

**Solusi Latihan 15.7.**

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$: setelah diselesaikan, $x =
-\frac13$ dan $y = \frac13$. Hessiannya $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$, yang definit positif: jadi minimum global bagi $f$ yang kuadratik itu, bernilai $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$.

Pada segitiga $T$: titik kritis dalamnya $(-\frac13,
\frac13) \notin T$ (sebab $x$-nya negatif). Rusuknya: pada $y = 0$ dengan $x \in
\intcc{0}{1}$: $f = x^2 + x$, yang naik, jadi ekstremnya $0$ dan $2$. Pada $x = 0$: $f = y^2 - y$, dengan minimum $-\frac14$ di $y = \frac12$, dan bernilai $0$ serta $0$ di ujungnya. Pada $x + y = 1$: sulihkan $y = 1 - x$, jadi $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$; lalu pada $\intcc{0}{1}$: minimumnya $-\frac{1}{12}$ di $x = \frac16$, dengan nilai $0$ (di $x=0$) dan $2$ (di $x=1$). Titik sudutnya: $f(0,0) = 0$, $f(1,0)
= 2$, $f(0,1) = 0$. Jadi secara global pada $T$: minimumnya $-\frac14$ di $(0,
\frac12)$, dan maksimumnya $2$ di $(1, 0)$.

**Latihan 15.8 ★★★.**

Misalkan $f \colon \R^2 \to \R^2$ dengan $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$. Tunjukkan bahwa $f$ merupakan difeomorfisma lokal di dekat $0$, hitunglah $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$, lalu carilah $r$ terbesar yang membuat $\dd f$ terbalikkan pada bola $\norm{(x,y)}_2 < r$ *(hitunglah $\det J_f$)*.

**Solusi Latihan 15.8.**

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$ dengan $\det J_f =
1 - 4xy$. Di $0$: $\det = 1 \neq 0$, jadi difeomorfisma lokal ([Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)), dengan

$$
\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .
$$

Adapun keterbalikannya pada sebuah bola: kita menuntut $4\abs{xy} < 1$ di seluruhnya; dan pada $\norm{(x,y)}_2 < r$ berlaku $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} <
\frac{r^2}{2}$, jadi $r = \frac{1}{\sqrt2}$ berhasil; dan itulah yang terbesar: sebab di $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$, yang bernorma $\frac{1}{\sqrt2}$, berlaku $\det J_f = 0$.

**Latihan 15.9 ★★★.**

(Rolle gagal, nilai rerata bertahan) Berikanlah $f \colon \R \to \R^2$ yang $C^1$, dengan $f(0) = f(2\pi)$ tetapi $f'(t) \neq 0$ untuk setiap $t$ (jadi tak ada Rolle yang bernilai vektor). Lalu periksalah pada contohmu *ketaksamaan* nilai rerata pada [Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi).

**Solusi Latihan 15.9.**

$f(t) = (\cos t, \sin t)$: $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$, namun $f'(t) =
(-\sin t, \cos t)$ bernorma $1$ dan tak pernah nol: jadi tak ada titik tempat turunannya lenyap — sehingga Rolle tak punya analogi vektor. Adapun ketaksamaan nilai rerata berlaku dengan nyaman: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq
2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$.

**Latihan 15.10 ★.**

Hitunglah [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) dan gradien $f(x) = \norm
x_2^2$ dan $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ pada $\R^n$ (dengan $A$ matriks bujur sangkar yang tak diandaikan [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint)), beserta Hessian masing-masingnya. Untuk $A$ yang mana $g$ bersifat cembung?

**Solusi Latihan 15.10.**

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$: jadi $\dd f_x =
2\langle x, \cdot\rangle$, $\nabla f(x) = 2x$, dan Hessiannya $2I$ (yang tetap). Untuk $g$:

$$
g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle
+ \langle Ah, h\rangle
= \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle +
O(\norm h^2),
$$

jadi $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ dan $H_g = A +
A^{\mathsf T}$, yang tetap. Menurut [Latihan 15.11](#exo-b2-diffcalc-11), $g$ bersifat cembung bila dan hanya bila $A + A^{\mathsf T}$ semidefinit positif — jadi hanya bagian [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) $A$ yang berperan, sebab memang $g(x) =
\langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$.

**Latihan 15.11 ★★.**

Misalkan $f \colon \R^n \to \R$ bersifat $C^2$. Buktikan bahwa $f$ cembung bila dan hanya bila Hessiannya $H_x$ semidefinit positif di setiap $x$ *(reduksikan ke satu peubah: $t \mapsto f(a + t(b-a))$; lalu pakailah Taylor–Lagrange pada satu arah, dan untuk konversnya nilailah $\varphi''$)*.

**Solusi Latihan 15.11.**

Fungsi $f$ cembung bila dan hanya bila pembatasannya ke setiap ruas cembung, yakni bila setiap $\varphi(t) = f(a + tv)$ cembung. Menurut aturan rantai, $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$.

Bila semua Hessiannya semidefinit positif: maka $\varphi'' \geq 0$, jadi tiap $\varphi$ cembung (lewat jilid Tahun ke-1) sehingga $f$ cembung. Sebaliknya bila $f$ cembung, tiap $\varphi$ cembung, jadi $\varphi''(0) \geq 0$: sehingga $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ untuk setiap $a$ dan setiap arah $v$, yakni semua Hessiannya semidefinit positif.

**Latihan 15.12 ★★★.**

(Sebuah teorema balikan global) Misalkan $g \colon \R^n \to \R^n$ bersifat $C^1$ dengan $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ untuk setiap $x$, dan $f =
\mathrm{id} + g$.

1. Tunjukkan $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : jadi $f$ bersifat injektif, dengan balikan yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada petanya.
2. Tunjukkan bahwa untuk tiap $y \in \R^n$ pemetaan $x \mapsto y -  g(x)$ merupakan kontraksi pada ruang [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) $\R^n$ , lalu simpulkan lewat teorema titik tetap Banach ( [Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#thm-b2-metric-banach) ) bahwa $f$ bersifat surjektif.
3. Simpulkan bahwa $f$ merupakan bijeksi $\R^n$ dengan balikan [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) berkonstanta $(1-k)^{-1}$ — yakni padanan *global* bagi [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) (yang, sebaliknya, bersifat lokal belaka).

**Solusi Latihan 15.12.**

1. Menurut ketaksamaan nilai rerata ([Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi)) yang diterapkan pada $g$: $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$, jadi $$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) -  g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$$ jadi $f$ bersifat injektif dan $f^{-1}$ (yang terdefinisi pada petanya) bersifat [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) berkonstanta $\frac{1}{1-k}$.
2. Tetapkan $y$ ; maka $T(x) = y - g(x)$ memenuhi $\norm{T(x) -  T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : yakni sebuah kontraksi pada ruang [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) $\R^n$ . Lalu Banach ( [Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#thm-b2-metric-banach) ) memberi titik tetap $x^*  = y - g(x^*)$ , yakni $f(x^*) = y$ : jadi $f$ surjektif.
3. Jadi $f$ merupakan bijeksi $\R^n$ dengan balikan yang [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) berkonstanta $\frac{1}{1-k}$ : yakni sebuah teorema balikan global, tempat kekecilan $\dd g$ di mana-mana menggantikan hipotesis keterbalikan lokal pada [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) .

## 15.5 Soal: Kalkulus matriks — Jacobi, eksponensial, dan grup ortogonal

**Soal 15.1.**

Gelanggang terbersih bagi kalkulus [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) adalah ruang $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ itu sendiri: sebab pemetaannya yang paling alami — hasil kali, balikan, [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det), eksponensial — punya [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) yang keanggunannya memukau. Soal ini menghitung semuanya: *deret Neumann*, [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) balikannya, *rumus Jacobi* bagi [determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) dengan *rumus Liouville* sebagai panennya, *eksponensial matriks* dengan $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$, dan akhirnya grup ortogonal $O_n$ sebagai himpunan aras yang mulus dengan matriks antisimetrik sebagai ruang singgungnya — yakni geometri [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) dalam embrio. Di sepanjang soal ini, $\vertiii\cdot$ adalah [norma operator](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#thm-b2-nvs-continuouslinear) yang bawahan terhadap $\norm\cdot_2$, dan $\langle X, Y\rangle =
\operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ hasil kali dalam Frobeniusnya.

**Bagian I — Deret Neumann.**

1. Buktikan sifat submultiplikatifnya, $\vertiii{AB} \leq  \vertiii A\,\vertiii B$ , lalu turunkan bahwa pemetaan polinomial atas $A$ (yakni hasil kali matriks, [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) , trace) bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\mathcal M_n(\R)$ .
2. Untuk $\vertiii X < 1$, tunjukkan bahwa $\sum_{k\geq0}X^k$ konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def) di $\mathcal M_n(\R)$ ([Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)), bahwa jumlahnya adalah $(I - X)^{-1}$, dan bahwa $$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X},  \qquad  (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$$
3. Turunkan bahwa $GL_n(\R)$ bersifat *[terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology)* : sebab bila $A$ terbalikkan dan $\vertiii H <  \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , maka $A + H$ bersifat terbalikkan. Turunkan pula bahwa $GL_n(\R)$ bersifat *padat* di $\mathcal M_n(\R)$ *(usiklah $A$ dengan $\varepsilon I$: sebab $\det(A + \varepsilon I)$ merupakan polinomial tak nol dalam $\varepsilon$)* .
4. Tunjukkan bahwa pemetaan pembalikan $\Phi(A) = A^{-1}$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $GL_n(\R)$ .

**Bagian II — [Diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) pertama.**

5. Tunjukkan bahwa pemetaan pengkuadratan $A \mapsto A^2$ bersifat [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) dengan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto AH + HA$ , dan lebih umum bahwa $A \mapsto A^k$ punya [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1}  A^iHA^{k-1-i}$ . Mengapa kita *tak* boleh menulis $kA^{k-1}H$ secara umum?
6. Buktikan bahwa $\Phi(A) = A^{-1}$ [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) pada $GL_n(\R)$ dengan $$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$$ *(tulislah $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ lalu uraikan lewat pertanyaan 2)*. Periksalah rumusnya terhadap kasus skalar $n = 1$.
7. Untuk kurva $C^1$ $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ , turunkan $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ , lalu uraikan $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ sampai orde pertama di $t = 0$ .
8. Hitunglah [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) $f(A) =  \operatorname{tr}(A^k)$ lalu kenali gradiennya bagi hasil kali dalam Frobeniusnya: $$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr),  \qquad  \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$$
9. Pertanyaan yang sama untuk $f(A) = \operatorname{tr}  (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : yakni [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) , gradiennya, dan Hessiannya (yang tetap); lalu simpulkan bahwa $\norm\cdot_F^2$ bersifat cembung tegas.

**Bagian III — Rumus Jacobi.**

10. Buktikan $$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +  O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$$ *(uraikan $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ lewat kemultilinearan pada kolomnya: sebab suku dengan sekurangnya dua kolom-$h$ bernilai $O(\vertiii H^2)$)*: jadi $\dd(\det)_I =  \operatorname{tr}$.
11. Untuk $A$ yang terbalikkan, turunkan $$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\,  \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$$
12. Tunjukkan bahwa untuk *setiap* $A$ (terbalikkan atau tidak), berlaku $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$, yakni kofaktor $(i,j)$-nya *(lewat penguraian Laplace sepanjang baris $i$)*, sehingga dengan adjugatnya $\operatorname{adj}A =  \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$: $$\dd(\det)_A(H) =  \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr),  \qquad  \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$$ yang memulihkan pertanyaan 11 ketika $A$ terbalikkan (sebab $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$). Inilah *rumus Jacobi*: $\bigl(\det  A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(  \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$.
13. (Rumus Liouville) Misalkan $A(t)$ kurva matriks $C^1$ yang memenuhi persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) linear $A'(t) = M(t)A(t)$. Buktikan $$\bigl(\det A(t)\bigr)' =  \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t),  \qquad\text{sehingga}\qquad  \det A(t) = \det A(0)\,  \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$$ *(pakailah $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ dan keinvarianan [siklik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) tracenya)* — yakni kesamaan Wronskian yang kelak dipakai bab persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) secara terus-menerus.
14. Tunjukkan bahwa $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ merupakan himpunan aras yang mulus: sebab di setiap $A \in SL_n(\R)$ [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) $\dd(\det)_A$ merupakan pemetaan linear yang *surjektif* ke $\R$ *(nilailah ia di $H = \frac1nA$)* .

**Bagian IV — [Eksponensial matriks](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#ex-b2-nvs-matrixexp).**

15. Tunjukkan bahwa $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def) untuk setiap $A$ , dan normal pada setiap bola, dengan $\vertiii{\eu^A} \leq  \eu^{\vertiii A}$ ; dan bahwa $\eu^A$ bergantung secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $A$ .
16. Buktikan bahwa $AB = BA$ mengakibatkan $\eu^{A+B} =  \eu^A\eu^B$ *(lewat hasil kali Cauchy, yang sah berkat kekonvergenan [mutlaknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def))* ; lalu turunkan bahwa $\eu^A$ selalu terbalikkan, dengan balikan $\eu^{-A}$ : jadi $\exp$ memetakan $\mathcal M_n(\R)$ ke dalam $GL_n(\R)$ .
17. Tunjukkan bahwa $t \mapsto \eu^{tA}$ bersifat $C^1$ (bahkan $C^\infty$) dengan $$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} =  \eu^{tA}A$$ *(turunkan deretnya suku demi suku pada ruas: sebab deret turunannya konvergen normal)*.
18. Buktikan kesamaan $$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$$ *(terapkan rumus Liouville pada pertanyaan 13 untuk $A(t) = \eu^{tA}$)*. Pemeriksaan kewarasannya: kasus $n = 1$; lalu $A$ yang nilpoten; dan matriks bertrace nol yang mendarat di $SL_n(\R)$.
19. Tunjukkan $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , jadi $\exp$ bersifat [terdiferensialkan](#def-b2-diffcalc-differential) di $0$ dengan $\dd(\exp)_0 =  \mathrm{id}$ ; lalu simpulkan lewat teorema fungsi balikan ( [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) ) bahwa $\exp$ merupakan difeomorfisma $C^1$ dari sebuah persekitaran $0$ ke sebuah persekitaran $I$ : jadi setiap matriks yang dekat ke identitasnya punya logaritma.
20. Tunjukkan bahwa $\exp$ memetakan matriks [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) ke matriks [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) yang *definit positif* , secara bijektif *(diagonalkan; sebab balikannya adalah logaritma spektralnya)* .

**Bagian V — Grup ortogonal sebagai sebuah himpunan aras.**

21. Misalkan $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , dari $\mathcal M_n(\R)$ ke matriks [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) $S_n$ . Hitunglah $\dd F_A(H) =  A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ lalu tunjukkan bahwa di setiap $A \in O_n = F^{-1}(I)$ [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) ini bersifat *surjektif* ke $S_n$ *(diberikan $S \in S_n$, cobalah $H = \frac12 AS$)* : jadi $O_n$ merupakan himpunan aras yang mulus, berdimensi $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
22. Tunjukkan bahwa setiap kurva $C^1$ $A(t) \in O_n$ dengan $A(0) =  I$ punya kecepatan $A'(0)$ yang *antisimetrik* , dan sebaliknya bahwa untuk $K$ yang antisimetrik kurva $\eu^{tK}$ tinggal di $O_n$ : jadi ruang singgung $O_n$ di $I$ persis merupakan matriks antisimetriknya.
23. Tunjukkan $\det\eu^{K} = 1$ untuk $K$ yang antisimetrik (pertanyaan 18): jadi kurva eksponensialnya hidup di grup perputaran $SO_n$. Hitunglah ia selengkapnya untuk $n = 2$: dengan $J =  \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, buktikanlah $$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta &  -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$$ jadi eksponensial matriksnya *adalah* perputaran sebesar $\theta$, dan definisi deret bagi kosinus dan sinus muncul kembali di dalam sebuah matriks.
24. (Siasat kepadatan) Dengan memakai kepadatan $GL_n(\R)$ (pertanyaan 3) dan kekontinuannya, perluaslah dari yang terbalikkan ke semua matriks kesamaan $$\operatorname{adj}(AB) =  \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$$ *(sebab untuk $A, B$ yang terbalikkan kedua ruasnya sama dengan $\det(AB)(AB)^{-1}$; dan kedua ruasnya polinomial dalam entrinya)*.
25. Rangkuman. Satu kalimat untuk masing-masing: (i) bab terdahulu mana yang menyediakan mesin tiap Bagiannya (yakni kelengkapan dan aljabar bernorma; teorema spektral; teorema fungsi balikan); (ii) rumus mana pada soal ini yang kelak disandari bab persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) , dan di mana; (iii) apa yang dikatakan $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ dan $\det\eu^A =  \eu^{\operatorname{tr}A}$ tentang trace dan [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) sebagai “volume infinitesimal dan global”; (iv) apa yang dijadikan jilid Tahun ke-3 dari pertanyaan 21–23 (yakni grup Lie beserta aljabar Lie-nya).

**Solusi Soal 15.1.**

**1.** Berlaku $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq
\vertiii A\vertiii B\norm x$: jadi ambillah sup atas $\norm x = 1$. Adapun hasil kali matriks, $\det$ dan $\operatorname{tr}$ merupakan fungsi polinomial atas entrinya, sehingga [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) (sebab $\mathcal M_n(\R)
\simeq \R^{n^2}$ dan semua [normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) setara: [Teorema 5.13](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#thm-b2-nvs-finitedim)).

**2.** Berlaku $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k <
\infty$: jadi deretnya konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def), sehingga konvergen ([Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)). Lalu dari $(I -
X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$: jumlahnya adalah $(I -
X)^{-1}$. [Normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm): $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 -
\vertiii X}$; dan

$$
(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1},
\qquad
\vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq
\frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).
$$

**3.** Berlaku $A + H = A(I + A^{-1}H)$ dengan $\vertiii{A^{-1}H}
\leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$: jadi terbalikkan menurut pertanyaan 2, sehingga bola [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) berjari-jari $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ di sekitar $A$ terletak di $GL_n(\R)$. Kepadatannya: $\det(A + \varepsilon I)$ adalah polinomial berderajat $n$ dalam $\varepsilon$ dengan koefisien utama $1$: jadi ia punya berhingga banyak akar, sehingga ada $\varepsilon_k \to 0$ dengan $A + \varepsilon_kI$ terbalikkan dan konvergen ke $A$.

**4.** Untuk $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$:

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1}
= \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},
$$

yang bernorma paling banyak $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 -
\vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq
2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$: jadi $\Phi$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di setiap $A \in GL_n(\R)$.

**5.** Berlaku $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$: jadi pemetaan $H
\mapsto AH + HA$ bersifat linear dan galatnya $H^2$ bernilai $O(\vertiii H^2)$. Menguraikan $(A + H)^k$ lalu menyortirnya menurut banyaknya faktor $H$: bagian linearnya adalah $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$, sedangkan suku dengan $\geq 2$ faktor $H$ dibatasi oleh sebanyak $\binom k2$ hasil kali bernorma berskala $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$: jadi $O(\vertiii H^2)$. Kita tak dapat meruntuhkan jumlahnya menjadi $kA^{k-1}H$ karena $H$ dan $A$ tak harus komut — jadi jumlahnya adalah turunan tak komutatif yang benar.

**6.** Untuk $H$ yang kecil:

$$
(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}
= \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1}
= A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :
$$

jadi $\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$, yang linear dalam $H$. Untuk $n = 1$: $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$, yakni turunan yang sudah dikenal.

**7.** Aturan rantai sepanjang kurvanya memberi $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) =
-A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$. Di $A(t) = I + tB$ dengan $t = 0$: $(I +
tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$.

**8.** Menurut pertanyaan 5 dan keinvarianan [siklik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) tracenya:

$$
\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1}
A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .
$$

Terhadap hasil kali Frobeniusnya, syarat $\dd f_A(H) =
\operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ menuntut $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$: jadi $\nabla f(A) =
k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$.

**9.** Berlaku $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr}
(A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$: jadi [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) adalah $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) =
2\langle A, H\rangle$, sehingga $\nabla f(A) = 2A$; sedangkan suku orde duanya persis $\norm H_F^2$: jadi Hessiannya dua kali [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) identitasnya, yang definit positif dan tetap, sehingga $\norm\cdot_F^2$ bersifat cembung tegas (sebab rumus Taylornya eksak di sini).

**10.** Berkat kemultilinearan pada kolomnya, $\det(I + H) =
\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$ dengan $M_S$ berkolom $h_j$ untuk $j \in S$ dan $e_j$ selebihnya. Adapun $S = \varnothing$ memberi $1$; lalu $S = \{j\}$ memberi [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) $I$ dengan kolom $j$-nya diganti $h_j$, yakni entri ke-$j$-nya $h_{jj}$, yang berjumlah $\operatorname{tr}H$; sedangkan tiap suku dengan $\abs S \geq 2$ adalah [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) dengan sekurangnya dua kolom berukuran $O(\vertiii H)$, sehingga $O(\vertiii H^2)$ (sebab pemetaan multilinear pada ruang berdimensi hingga bersifat terbatas), dan banyaknya berhingga. Jadi $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +
O(\vertiii H^2)$: sehingga $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$.

**11.** Berlaku $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) =
\det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) +
O(\vertiii H^2)\bigr)$: jadi [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) adalah $H \mapsto
\det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$.

**12.** Penguraian Laplace sepanjang baris $i$: $\det A =
\sum_j a_{ij}C_{ij}$, dan kofaktor $C_{ij}$ tak melibatkan baris $i$: jadi $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$. Karena itu

$$
\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij}
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T}
H\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr),
\qquad
\nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .
$$

Untuk $A$ yang terbalikkan, $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ memulihkan pertanyaan 11. Sepanjang kurva $C^1$, aturan rantainya berbunyi $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}
(A(t))\,A'(t))$: itulah rumus Jacobi.

**13.** Dengan $A' = MA$ dan $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$:

$$
(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA
\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr)
= \det A\;\operatorname{tr}M
$$

(berkat kesiklikannya; sebab $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ juga). Adapun persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) linear skalar $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ punya penyelesaian tunggal $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t
\operatorname{tr}M\bigr)$ (lewat Tahun ke-1): itulah rumus Liouville.

**14.** Di $A \in SL_n(\R)$, ambillah $H = \frac1nA$: maka $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A)
\operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$: jadi [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) merupakan bentuk linear yang tak nol, sehingga surjektif ke $\R$ di setiap titik himpunan arasnya: jadi $SL_n(\R)$ merupakan himpunan aras yang mulus (berdimensi $n^2 - 1$).

**15.** Berlaku $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq
\sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$: jadi kekonvergenan [mutlaknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def) (lewat hujah kelengkapan pertanyaan 2), dengan [kekonvergenan normal](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-series) pada setiap bola $\vertiii A \leq R$ (sebab batasnya $R^k/k!$ tak bergantung pada $A$). Lalu tiap jumlah parsialnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) (sebab polinomial); dan limit [seragamnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def) pada bola bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity): jadi $A \mapsto \eu^A$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity), dengan $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$.

**16.** Kedua deretnya konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def), jadi [hasil kali Cauchynya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#thm-b2-series-fubini) sah ([Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#thm-b2-series-fubini)):

$$
\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom
nkA^kB^{n-k}
= \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},
$$

dengan kesamaan binomialnya menuntut $AB = BA$. Lalu dengan $B = -A$: $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$: jadi setiap $\eu^A \in GL_n(\R)$.

**17.** Deret $\sum t^kA^k/k!$ dan deret turunannya $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ konvergen normal pada setiap ruas $\abs t \leq T$ (dengan batas $T^k\vertiii A^k/k!$): jadi teorema penurunan bagi deret ([Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#thm-b2-funcseq-seriestransfer), yang diterapkan entri demi entri) memberi $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$; sedangkan memfaktorkan $A$ di kanannya justru memberi $\eu^{tA}A$. Setelah diiterasikan: jadi $C^\infty$.

**18.** Kurva $A(t) = \eu^{tA}$ memenuhi $A'(t) = A\,A(t)$: jadi rumus Liouville (pertanyaan 13) dengan $M = A$ yang tetap memberi $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (yang bernilai $1$ di $t =
0$); lalu di $t = 1$: $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$. Pemeriksaannya: kasus $n = 1$ adalah eksponensialnya sendiri; lalu $A$ yang nilpoten punya $\operatorname{tr}A = 0$ dengan $\eu^A$ unipoten berdeterminan $1$; dan $\operatorname{tr}A = 0$ memberi $\det\eu^A = 1$: jadi matriks bertrace nol dikirim ke dalam $SL_n(\R)$.

**19.** Berlaku $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$, yang bernorma $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$: jadi $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$, yang terbalikkan. Lebih jauh $\exp$ bersifat $C^1$: sebab menurut pertanyaan 5, calon [diferensialnya](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto
\sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ merupakan deret pemetaan linear yang konvergen normal dan bergantung secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $A$ (dengan batas $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ pada bola), jadi turunan parsialnya ada dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) (lewat [Teorema 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1) dan teorema pemindahan deretnya). Lalu teorema fungsi balikan ([Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) berlaku di $0$: jadi $\exp$ merupakan difeomorfisma $C^1$ dari sebuah persekitaran $0$ ke sebuah persekitaran $I$ — sehingga matriks di dekat $I$ punya logaritma.

**20.** Untuk $S = PDP^{\mathsf T}$ yang [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) (lewat teorema spektral): $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ bersifat [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\eu^{\lambda_i} > 0$: jadi definit positif. Kesurjektifannya: sebab $Q =
P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ yang definit positif (dengan $\mu_i > 0$) sama dengan $\eu^S$ untuk $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$. Keinjektifannya: sebab $\eu^S$ menentukan [ruang eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), yang persis merupakan ruang eigen $S$ (sebab pada tiap ruang eigen $S$ bagi $\lambda$, $\eu^S$ bekerja sebagai $\eu^\lambda$; dan $\lambda$ yang berbeda memberi $\eu^\lambda$ yang berbeda), lalu mengambil $\ln$ [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) memulihkan $S$. Jadi $\exp$ merupakan bijeksi dari matriks [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) ke matriks yang definit positif.

**21.** Berlaku $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$: jadi $\dd F_A(H) =
A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (yang bernilai di $S_n$, dengan galat $O(\vertiii H^2)$). Lalu di $A \in O_n$ dan untuk $S \in S_n$, pilihan $H = \frac12AS$ memberi

$$
A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A
= \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :
$$

jadi surjektif. Sehingga $O_n = F^{-1}(I)$ merupakan himpunan aras yang mulus, berdimensi $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$.

**22.** Menurunkan $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ di $t
= 0$ (dengan $A(0) = I$) memberi $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$: jadi antisimetrik. Sebaliknya, untuk $K^{\mathsf T} = -K$: $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}}
\eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transposkan deretnya suku demi suku; sebab eksponennya komut): jadi kurvanya tinggal di $O_n$, dengan kecepatan $K$ di $t = 0$. Jadi ruang singgungnya di $I$ $=$ matriks antisimetriknya, yang berdimensi seperti diharapkan $\frac{n(n-1)}2$.

**23.** Berlaku $\operatorname{tr}K = 0$ untuk $K$ yang antisimetrik, jadi $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (pertanyaan 18): sehingga eksponensialnya mendarat di $SO_n$. Untuk $n = 2$: $J^2 = -I$, jadi $J^{2m} =
(-1)^mI$ dan $J^{2m+1} = (-1)^mJ$, sehingga

$$
\eu^{\theta J}
= \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I
+ \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J
= \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,
$$

yakni perputaran sebesar $\theta$: jadi deret sinus dan kosinusnya hidup di dalam eksponensial matriksnya.

**24.** Untuk $A, B$ yang terbalikkan: $\operatorname{adj}(AB) =
\det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} =
\operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$. Adapun kedua ruas kesamaannya merupakan pemetaan polinomial (sehingga [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)) atas entri $(A, B)$; dan keduanya sepakat pada himpunan bagian padat $GL_n\times GL_n$ milik $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (lewat pertanyaan 3: hampirilah tiap faktornya), jadi keduanya sepakat di mana-mana.

**25.** (i) Bagian I berjalan atas kelengkapan ruang bernorma berdimensi hingga (sebab deret yang konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def) akan konvergen), Bagian IV atas hal yang sama ditambah teorema spektral untuk pertanyaan 20, dan logaritma lokal Bagian V atas teorema fungsi balikan. (ii) Bab persamaan [diferensial](#def-b2-diffcalc-differential) menyandari rumus Liouville (pertanyaan 13) bagi Wronskian sistem linearnya, dan $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (pertanyaan 17), yang tak lain pernyataan bahwa $\eu^{tA}$ menyelesaikan $X' = AX$. (iii) Kesamaan $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ mengatakan bahwa trace adalah laju infinitesimal perubahan volumenya, sedangkan $\det\eu^A =
\eu^{\operatorname{tr}A}$ mengintegralkan pernyataan itu secara global. (iv) Jilid Tahun ke-3 menamai strukturnya: $O_n$ dan $SL_n(\R)$ adalah grup Lie, ruang singgungnya di $I$ (yakni matriks antisimetrik dan bertrace nol) adalah aljabar Lie, dan $\exp$ adalah jembatan di antara keduanya.