---
title: "Permukaan"
book: "Matematika Universitas — Tahun 2"
subject: math
language: id
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/19-permukaan
---

# Bab 19 — Permukaan

Setelah kurva, kini permukaan: yakni objek berparameter dua di $\R^3$. Adapun kalkulus [diferensial](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential) pada [Bab 15](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#ch-b2-diffcalc) menyediakan segala yang kita perlukan — sebab turunan parsial memberi vektor singgung, hasil kali silang memberi normalnya, dan [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) memberi luasnya. Kita mendefinisikan [permukaan terparameter](#def-b2-surfaces-param) yang regular, [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent), dan *[bentuk fundamental pertama](#def-b2-surfaces-fff)*, yang menyandikan semua pengukuran [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) dan [luas](#def-b2-surfaces-area) pada permukaannya. Permukaan juga muncul sebagai himpunan aras $f(x, y, z) = c$; dan gradiennya lalu mengarahkan normalnya.

## 19.1 Permukaan terparameter

**Definisi 19.1 (Permukaan terparameter yang regular).**

Misalkan $U \subseteq \R^2$ [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology). Sebuah *permukaan terparameter* berkelas $\mathcal{C}^k$ (dengan $k \geq 1$) adalah pemetaan $\sigma \colon U \to
\R^3$, $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$, yang berkelas $\mathcal{C}^k$. Sebuah titik disebut *regular* bila vektor turunan parsialnya

$$
\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v),
\qquad
\sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)
$$

bebas linear, yakni $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$; dan permukaannya disebut *regular* bila setiap titiknya demikian.

**Contoh 19.2 (Tiga pemerian yang baku).**

1. *Grafik:* $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ untuk $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Selalu regular: sebab $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ dan $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ bersifat bebas.
2. *Bola (dalam koordinat bola):* untuk bola berjari-jari $R$, $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$ dengan $\theta$ menyatakan bujurnya dan $\varphi$ lintangnya. Kita memeriksa $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: jadi regular jauh dari kutubnya (yang dihilangkan bagan ini).
3. *Himpunan aras:* $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ dengan $f$ bersifat $\mathcal{C}^1$ dan $\nabla f \neq 0$ pada $S$ . Di dekat tiap titiknya, satu koordinatnya dapat dinyatakan sebagai fungsi dua lainnya lewat teorema fungsi implisit ( [Bab 15](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#ch-b2-diffcalc) ), jadi $S$ secara lokal berupa grafik.

**Contoh 19.3 (Dari himpunan aras ke grafik).**

Teorema fungsi implisit pada butir 3 pantas dijalankan sekali secara gamblang. Ambillah bola $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ di dekat kutub utaranya $(0, 0, R)$: di sana $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z =
2R \neq 0$, jadi menyelesaikannya untuk $z$ memberi bagan grafiknya

$$
z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2},
\qquad x^2 + y^2 < R^2 ,
$$

yang regular di mana-mana pada daerah ([terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology)) definisinya — termasuk di kutub yang dilewatkan bagan bolanya. Adapun di dekat titik khatulistiwa seperti $(R, 0, 0)$ teorema yang sama menyelesaikannya untuk $x$ (sebab $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). Jadi patokan praktisnya: sebuah permukaan aras berupa grafik di atas bidang koordinat yang *ortogonal terhadap komponen gradien terbesarnya*, dan dengan meliputi bolanya lewat enam bagan grafik semacam itu kita memeriksa kemulusannya di mana-mana tanpa trigonometri sama sekali.

## 19.2 Bidang singgung dan normalnya

**Definisi 19.4 (Bidang singgung).**

Misalkan $\sigma$ regular di $(u_0, v_0)$, dengan $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$. Adapun *bidang singgung* $T_{M_0}S$ adalah bidang lewat $M_0$ yang diarahkan $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (dengan turunan parsialnya di $(u_0, v_0)$). Sedangkan *normal satuannya* adalah

$$
n(u_0, v_0)
= \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v}
       {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .
$$

**Proposisi 19.5 (Vektor singgung itu vektor kecepatan).**

Arah $T_{M_0}S$ persis merupakan himpunan vektor $\gamma'(0)$, dengan $\gamma = \sigma \circ c$ menjelajahi kurva $\mathcal{C}^1$ yang digambar pada permukaannya lewat $M_0$ (yakni $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ bersifat $\mathcal{C}^1$ dengan $c(0) = (u_0, v_0)$).

**Bukti.** Bila $c(t) = (u(t), v(t))$, maka aturan rantai ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#ch-b2-diffcalc)) memberi

$$
\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v
\in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).
$$

Sebaliknya, vektor $a\sigma_u + b\sigma_v$ dicapai oleh kurva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$, yang tinggal di himpunan [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) $U$ untuk $\abs t$ yang kecil. ∎

**Contoh 19.6 (Bidang singgung helikoidnya).**

Untuk helikoid $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$, di titik $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

$$
\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0),
\qquad
\sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),
$$

jadi [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) adalah $a\,y = z$. Ia memuat seluruh garis pembangun mendatarnya $\{(t, 0, 0)\}$ (yakni arah $\sigma_v$): sebab seperti pada kerucut [Latihan 19.1](#exo-b2-surfaces-1), permukaan yang [dibangun](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) garis lurus punya tiap garis pembangunnya terletak di dalam [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) sepanjangnya. Adapun arah singgung lainnya $\sigma_u$ adalah kecepatan heliks $u \mapsto \sigma(u, 1)$: jadi satu bagan, dua kurva tergambar, dan seluruh [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) terentang — yakni [Proposisi 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity) yang beraksi.

**Proposisi 19.7 (Normal sebuah permukaan aras).**

Misalkan $S = \{f = c\}$ dengan $f$ berkelas $\mathcal{C}^1$ dan $\nabla
f(M_0) \neq 0$. Maka [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) $S$ di $M_0$ adalah bidang lewat $M_0$ yang ortogonal terhadap $\nabla f(M_0)$:

$$
T_{M_0}S :\quad
\langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .
$$

**Bukti.** Untuk sembarang kurva $\gamma$ yang digambar pada $S$ lewat $M_0$, berlaku $f(\gamma(t)) =
c$ secara identik, jadi aturan rantainya memberi $\langle
\nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$: sehingga semua vektor kecepatannya ortogonal terhadap gradiennya, jadi arah singgungnya termuat di bidang $\nabla f(M_0)^\perp$. Keduanya subruang berdimensi $2$ — yakni arah singgungnya karena $S$ secara lokal berupa grafik yang regular ([Contoh 19.2](#ex-b2-surfaces-standard)), dan komplemen ortogonalnya karena $\nabla f(M_0) \neq 0$ — sehingga keduanya sama. ∎

**Contoh 19.8.**

Untuk bola $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$: berlaku $\nabla f = 2(x, y, z)$, jadi [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) di $M_0$ ortogonal terhadap jari-jari $\vect{OM_0}$ — yakni fakta klasik bahwa jari-jari dan [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) saling tegak lurus, dengan persamaan $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

**Contoh 19.9 (Bidang singgung sebuah grafik).**

Untuk $z = f(x, y)$ di $(x_0, y_0)$: dengan menerapkan [Proposisi 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) pada $F(x,y,z) = f(x,y) - z$,

$$
z = f(x_0, y_0)
+ f_x(x_0, y_0)(x - x_0)
+ f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,
$$

yakni bagian [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) uraian Taylor orde pertamanya — jadi [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) adalah grafik [diferensialnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential), sebagaimana mestinya.

**Contoh 19.10 (Titik terdekat sebuah permukaan).**

Titik manakah pada paraboloid $z = x^2 + y^2$ yang terdekat ke $P = (0, 0, 1)$? Minimumkanlah kuadrat jaraknya sepanjang permukaannya: dengan $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2,
\qquad
g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0
\iff \rho^2 = \tfrac12 ,
$$

yang memberi lingkaran titik pada ketinggian $z = \frac12$ dan berjarak $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$. Adapun tanda geometris keminimalannya: di titik $M$ semacam itu, vektor $\vect{MP}$ mestilah *normal* terhadap permukaannya — sebab kalau tidak, meluncur sepanjang kurva tergambar yang kecepatannya punya komponen ke arah $P$ akan mengecilkan jaraknya. Periksa: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ di $M = (x, y,
\tfrac12)$, sedangkan $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) =
\tfrac12(-2x, -2y, 1)$: jadi sejajar, seperti diramalkan. Adapun syarat orde pertama “kaki garis tegak lurusnya” sama dengan yang kelak menggerakkan ekstremum pada himpunan aras di [Latihan 19.12](#exo-b2-surfaces-12).

**Contoh 19.11 (Bidang singgung kuadrik: aturan polarisasi).**

Misalkan $S : xy + yz + zx = 1$ dan $M_0 = (1, 1, 0) \in S$. Di sini $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$, jadi $\nabla f(M_0) = (1,
1, 2)$ dan [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) adalah

$$
(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0,
\qquad\text{yakni}\qquad x + y + 2z = 2 .
$$

Jawaban yang sama datang dari *aturan [polarisasi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def)* yang menyamaratakan [Contoh 19.8](#ex-b2-surfaces-spheretangent) dan [Latihan 19.2](#exo-b2-surfaces-2): pada persamaan [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1), gantilah $x^2$ dengan $x_0x$, dan tiap hasil kali $xy$ dengan $\frac{x_0y +
y_0x}2$ (dan secara [siklik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated)):

$$
\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x +
x_0z}2 = 1
\;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\;
\frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,
$$

yang kembali menjadi $x + y + 2z = 2$. Aturannya berhasil karena $\nabla$ sebuah [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) adalah bentuk bilinear yang bersesuaian yang dinilai terhadap titik pangkalnya — jadi kesinggungan pada [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) adalah [polarisasi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def), yakni satu wajah lagi [Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic).

## 19.3 Bentuk fundamental pertama

**Definisi 19.12 (Bentuk fundamental pertama).**

Misalkan $\sigma \colon U \to \R^3$ permukaan $\mathcal{C}^1$ yang regular. Adapun *bentuk fundamental pertamanya* di $(u,v)$ adalah [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) definit positif pada $\R^2$

$$
I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2
= E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,
$$

dengan

$$
E = \norm{\sigma_u}^2,
\qquad
F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle,
\qquad
G = \norm{\sigma_v}^2 .
$$

**Catatan 19.13.**

Bentuk $I$ adalah pembatasan hasil kali skalar Euklides ruang lingkupnya ke [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent), yang dibaca dalam basis $(\sigma_u, \sigma_v)$: jadi ia definit positif persis karena $\sigma_u, \sigma_v$ bersifat bebas ([Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic)). Adapun setiap besaran metrik pada permukaannya — yakni [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) kurva tergambar, sudut antar keduanya, [luas](#def-b2-surfaces-area) — dihitung dari $E, F, G$ belaka. Jadi dua permukaan dengan $E,
F, G$ yang sama dalam parameter yang sesuai bersifat *isometrik* walaupun keduanya duduk berbeda di ruangnya: dan inilah titik tolak geometri yang hakiki.

**Contoh 19.14 (Sudut antar kurva koordinat).**

[Bentuk fundamental pertamanya](#def-b2-surfaces-fff) juga mengukur sudut: sebab kurva koordinat $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ dan $v \mapsto
\sigma(u_0, v)$ bertemu pada sudut $\theta$ dengan

$$
\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u,
\sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}}
= \frac{F}{\sqrt{EG}} :
$$

jadi satu koefisien $F$ belaka yang memutuskan keortogonalan jaring parameternya. Untuk bagan bola dan helikoidnya, $F =
0$: sehingga meridiannya memotong paralelnya, dan heliksnya memotong garis pembangun mendatarnya, secara siku-siku — dan itulah sebabnya integran luasnya runtuh menjadi $\sqrt{EG}$. Sedangkan untuk bagan grafik, $F = f_xf_y$ hanya lenyap di tempat sebuah turunan parsialnya lenyap: jadi jaring koordinat sebuah grafik yang miring *tak* ortogonal, walaupun jaring $(x, y)$ di bawahnya ortogonal. Jadi ketika perhitungan pada sebuah permukaan tampak berat, langkah pertamanya adalah mencari bagan dengan $F = 0$.

**Contoh 19.15 (Bagan pelananya).**

Untuk pelana $z = xy$ dengan bagan $\sigma(u, v) = (u, v,
uv)$:

$$
\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u),
\qquad
E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,
$$

dan $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$: jadi regular di mana-mana. Adapun kedua kurva koordinat lewat sebuah titik berupa *garis lurus* $\R^3$ (bekukan $u$ atau bekukan $v$: yakni garis pembangun pelana yang berpembangun ganda), namun $F \neq 0$ di luar sumbunya: jadi garis pembangun lewat titik generik tak ortogonal. Kedua garis pembangunnya terletak di [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent), yang mereka rentang — jadi [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) memotong permukaannya sepanjang dua garis penuh, yakni lawan ekstrem bolanya, yang [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) menyentuh di satu titik belaka. Adapun tanda “sentuhan orde dua” antara sebuah permukaan dan [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) merupakan cerita [kelengkungan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#thm-b2-curves-frenet2d), yang diangkat pada jilid Tahun ke-3.

**Proposisi 19.16 (Panjang kurva yang digambar pada sebuah permukaan).**

Bila $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ dengan $t \in [a, b]$ bersifat $\mathcal{C}^1$, maka

$$
L(\gamma) = \int_a^b
\sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,
$$

dengan $E, F, G$ dinilai di $(u(t), v(t))$.

**Bukti.** Berlaku $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ menurut aturan rantai, jadi $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$; lalu integralkan $\norm{\gamma'}$ ([Definisi 18.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length)). ∎

**Contoh 19.17 (Mengapa pesawat terbang melintasi kutub).**

Dua bandara terletak pada lintang $\varphi_0$ dan bujur yang berlawanan: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ dan $B = \sigma(\pi,
\varphi_0)$ pada bola berjari-jari $R$. Sepanjang paralelnya (dengan $\varphi \equiv \varphi_0$), [panjangnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) adalah $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$. Sedangkan sepanjang rute lewat kutubnya (naik di meridian $\theta = 0$, lalu turun di meridian $\theta = \pi$), [panjangnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) $2R(\frac\pi2 -
\varphi_0)$. Pada lintang $\varphi_0 = \frac\pi3$ (yakni enam puluh derajat): rute paralelnya $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, sedangkan rute kutubnya $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — jadi sepertiga lebih pendek. Bahkan $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ pada $\intcc0{\pi/2}$ (sebab fungsi $\pi\cos\varphi - \pi +
2\varphi$ lenyap di kedua ujungnya dan turunannya $2 -
\pi\sin\varphi$ berganti tanda sekali, jadi ia mula-mula naik lalu turun, sehingga taknegatif): jadi rute kutubnya tak pernah kalah. [Bentuk fundamental pertamanya](#def-b2-surfaces-fff) mengubah pertanyaan navigasi menjadi dua integral satu baris; dan [Latihan 19.6](#exo-b2-surfaces-6) mendorong gagasannya sampai ke bukti keminimalan yang sejati bagi meridiannya.

**Lema 19.18 (Kesamaan Lagrange).**

Untuk setiap $a, b \in \R^3$: $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$. Khususnya

$$
\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.
$$

**Bukti.** Kedua ruasnya tak berubah bila kita mengganti $b$ dengan komponennya $b_\perp
= b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ yang ortogonal terhadap $a$ (untuk $a \neq 0$; sedangkan kasus $a = 0$ trivial): ruas kirinya karena $a \wedge a = 0$, dan ruas kanannya dengan menguraikan $\norm
{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ beserta $\langle a, b_\perp\rangle = 0$. Jadi cukuplah membuktikan kesamaannya untuk $a, b$ yang ortogonal, tempat ia berbunyi $\norm{a \wedge
b} = \norm a \norm b$: yang benar, sebab untuk vektor yang ortogonal hasil kali silangnya bernorma $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$. Adapun rumus pada displainya adalah kasus $a = \sigma_u$ dan $b = \sigma_v$. ∎

**Catatan 19.19.**

Kesamaan Lagrange mengatakan bahwa $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix}
E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ merupakan *[determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) Gram* bagi $(\sigma_u, \sigma_v)$: yakni kuadrat [luas](#def-b2-surfaces-area) jajaran genjang yang mereka rentang. Jadi keregularannya, kedefinitan positif [bentuk fundamental pertamanya](#def-b2-surfaces-fff), dan kepositifan [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) Gramnya adalah tiga ungkapan bagi satu syarat — dan itulah sebabnya integran [luas](#def-b2-surfaces-area) di bawah tak pernah lenyap pada bagan yang regular.

**Definisi 19.20 (Luas).**

Misalkan $\sigma \colon U \to \R^3$ permukaan $\mathcal{C}^1$ yang regular dan injektif, serta $K \subseteq U$ daerah [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact) yang di atasnya integral lipat bermakna ([Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint)). Adapun *luas* keping $\sigma(K)$ adalah

$$
\mathcal{A}
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v
= \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .
$$

**Catatan 19.21 (Mengapa rumus ini).**

Persegi [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ terpetakan, hingga orde pertama, ke jajaran genjang yang direntang $\sigma_u\,\dd u$ dan $\sigma_v\,\dd v$, yang berluas $\norm{\sigma_u \wedge
\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$: jadi definisinya mengintegralkan faktor pemuaian [luas](#def-b2-surfaces-area) lokalnya, persis seperti [panjang busur](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) yang mengintegralkan kelajuan lokalnya. Adapun kekonsistenannya dengan [penggantian parameter](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-reparam) adalah [Latihan 19.8](#exo-b2-surfaces-8); sedangkan kekonsistenannya dengan rumus penggantian peubah bagi integral lipat dibahas pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint).

**Contoh 19.22 (Dua grafik berbeda, satu luas).**

Di atas cakram satuannya, bandingkanlah mangkuk $z = \frac12(x^2 + y^2)$ dan pelana $z = xy$. Adapun integran luasnya ([Latihan 19.5](#exo-b2-surfaces-5)) adalah

$$
\sqrt{1 + x^2 + y^2}
\qquad\text{dan}\qquad
\sqrt{1 + y^2 + x^2} :
$$

yang identik. Jadi kedua permukaannya — yang satu melengkung ke arah yang sama di segala arah, yang lain berbentuk pelana — berluas persis sama di atas setiap daerahnya, yakni $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ di atas cakram satuannya. Sebab unsur luasnya hanya melihat *[panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length)* gradiennya, bukan penataan pembengkokannya; jadi membedakan mangkuknya dari pelananya menuntut data orde dua (yakni struktur tanda yang dipamerkan pada [Gambar 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle)), yang tak terdeteksi oleh pengukuran [luas](#def-b2-surfaces-area) seberapa pun banyaknya. Jadi [bentuk fundamental pertama](#def-b2-surfaces-fff) itu metrik dan buta terhadap bentuknya; sedangkan bentuk kedua yang melihat bentuknya adalah milik Tahun ke-3.

**Contoh 19.23 (Luas bolanya).**

Untuk bagan bola pada [Contoh 19.2](#ex-b2-surfaces-standard):

$$
\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\
\cos\theta\cos\varphi,\ 0),
\qquad
\sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\
-\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),
$$

jadi $E = R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$ dan $\sqrt{EG - F^2}
= R^2\cos\varphi$. Karena itu

$$
\mathcal{A}
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \boxed{4\pi R^2} .
$$

**Contoh 19.24 (Kerucutnya, diperiksa terhadap rumus sekolah).**

Untuk kerucut $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ di atas anulus $a \leq
\rho \leq b$, rumus grafik pada [Latihan 19.5](#exo-b2-surfaces-5) memberi $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (sebab $f_x = x/\rho$ dan $f_y = y/\rho$), jadi

$$
\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .
$$

Adapun pemeriksaan kekonsistenannya dengan rumus tinggi miring $\pi\rho\ell$ pada [Contoh 19.26](#ex-b2-surfaces-revolution): kerucut penuh yang berjari-jari alas $b$ dan $a$ punya [luas](#def-b2-surfaces-area) selimut $\pi b\cdot b\sqrt2$ dan $\pi a\cdot a\sqrt2$, yang selisihnya persis $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$. Jadi dua bagan, dua rumus, satu [luas](#def-b2-surfaces-area) — yakni keinvarianan yang dibuktikan pada [Latihan 19.8](#exo-b2-surfaces-8), yang terlihat di alam liar.

**Catatan 19.25 (Pemeriksaan kewarasan bagi luas).**

Tiga pemeriksaan seketika menangkap sebagian besar kesalahan pada perhitungan [luas](#def-b2-surfaces-area). *Penskalaan*: memuaikan sebuah permukaan sebesar $\lambda$ mengalikan $E, F, G$ dengan $\lambda^2$ dan luasnya dengan $\lambda^2$ — jadi jawaban yang kebergantungannya pada $R$ tak kuadratik (seperti $4\pi R^2$) pastilah salah. *Kepositifan unsurnya*: $\sqrt{EG - F^2}$ mestilah positif tegas pada interior bagannya; jadi nilai yang lenyap menandai kemerosotan bagannya, yang harus dipangkas seperti pada kutub bolanya. *Kesimetrian*: sebuah perhitungan atas keping yang simetris mestilah konsisten dengan menjumlahkan bagian kongruennya — jadi setengah bolanya sebaiknya memberi $2\pi R^2$.

**Contoh 19.26 (Permukaan putaran).**

Putarlah kurva $z \mapsto (r(z), 0, z)$ dengan $r > 0$ berkelas $\mathcal{C}^1$, mengelilingi sumbu-$z$:

$$
\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).
$$

Maka $E = r(z)^2$, $F = 0$, $G = 1 + r'(z)^2$, jadi

$$
\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi}
r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z
= 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,
$$

yakni rumus klasiknya (yaitu keliling $2\pi r$ dikali unsur [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) miringnya). Untuk kerucut $r(z) = kz$ dengan $z \in [0, h]$: berlaku $\mathcal
A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ dengan $\rho = kh$ menyatakan jari-jari alasnya dan $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ tinggi miringnya — yakni rumus sekolahnya, yang kini diturunkan alih-alih diterima saja.

**Contoh 19.27 (Katenoidnya).**

Putarlah katenari $r(z) = \cosh z$ dengan $z \in \intcc{-1}{1}$ mengelilingi sumbunya: maka *katenoid* hasilnya punya, menurut rumus putarannya dan $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$,

$$
\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\,
\dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z
= \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},
$$

yakni

$$
\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .
$$

Faktor miringnya $\sqrt{1 + r'^2}$ melebur dengan jari-jarinya menjadi kuadrat sempurna — yakni kesamaan yang sama yang membuat [panjang busur](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) katenari menjadi dasar pada bab kurva. Ini bukan kebetulan aljabar: sebab di antara semua permukaan putaran yang merentang kedua lingkaran perbatasannya, katenoidnya meminimumkan luasnya (yakni bentuk selaput sabun di antara dua cincin), dan sifat variasional inilah yang persis menyendirikan $\cosh$; adapun jilid Tahun ke-3 membuktikannya lewat kalkulus variasi.

![Pelana z = x2 - y2 di dekat titik asalnya, beserta kurva koordinatnya (yakni kurva-u yang biru dan kurva-v yang hijau), bidang singgungnya di M_0 = (0,0,0) (yang bergaris putus-putus) dan normal satuannya n. Permukaannya menyeberangi bidang singgungnya — yakni analogi dua dimensi bagi sebuah belokan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-b28608515b89.svg)

***Gambar 19.1.** Pelana $z = x^2 - y^2$ di dekat titik asalnya, beserta kurva koordinatnya (yakni kurva-$u$ yang biru dan kurva-$v$ yang hijau), [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) di $M_0 = (0,0,0)$ (yang bergaris putus-putus) dan [normal satuannya](#def-b2-surfaces-tangent) $n$. Permukaannya menyeberangi [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) — yakni analogi dua dimensi bagi sebuah belokan.*

**Catatan 19.28 (Jebakan yang sering muncul).**

(i) *Kesingularan bagan bukan kesingularan permukaan*: sebab bagan bolanya merosot di kutubnya ($\cos\varphi = 0$), tetapi bolanya mulus sempurna di sana — sebab bagan lain (dengan peran sumbunya dipertukarkan) bersifat regular di kutubnya. Jadi sebelum mengumumkan sebuah titik singular, cobalah parameterisasi kedua. (ii) *Keregularan $\sigma$ menyangkut parameterisasinya, bukan petanya*: sebab $\sigma(u, v) = (u^3, v,
0)$ tak regular sepanjang $u = 0$ walaupun petanya berupa sebuah bidang. (iii) Adapun rumus luasnya menuntut $\sigma$ yang *injektif* pada $K$: sebab bagan yang meliputi sebuah keping dua kali mencacahnya dua kali (yakni $\theta$ yang berjalan atas $\intcc0{4\pi}$ melipatduakan [luas](#def-b2-surfaces-area) bolanya). (iv) Adapun [normal satuannya](#def-b2-surfaces-tangent) terdefinisi hingga tandanya oleh permukaannya tetapi *dipilih* oleh bagannya (yakni oleh urutan $u, v$); jadi pernyataan yang melibatkan orientasi harus menetapkan pilihan itu. (v) Akhirnya, $EG - F^2 > 0$ bukanlah hipotesis tambahan: sebab ia persis keregularannya, menurut kesamaan Lagrange — jadi bila ia lenyap di suatu tempat, masalahnya ada pada bagannya, dan tak ada rumus [luas](#def-b2-surfaces-area) atau [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) yang berlaku di sana.

**Catatan 19.29 (Pandangan ke depan di dalam jilid ini).**

Pautan ke depan dari sini. Unsur luasnya $\sqrt{EG -
F^2}\,\dd u\,\dd v$ adalah Jacobi dua dimensi yang menyamar, dan [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint) membuat analoginya eksak lewat teorema penggantian peubah — jadi integral permukaan di sana adalah [luas](#def-b2-surfaces-area) bab ini dengan sebuah integran di atasnya. Adapun [bentuk fundamental pertamanya](#def-b2-surfaces-fff) adalah medan [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) yang positif, yang ditangani [titik demi titik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def) lewat perkakas [Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic), dan teorema spektralnya juga menggerakkan penggolongan [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) pada soal akhir pekan bab ini. Lalu garis normalnya menggerakkan masalah ekstremum pada himpunan kendala ([Contoh 19.10](#ex-b2-surfaces-closest)), yakni benih geometris bagi metode pengganda Lagrange yang disketsakan bersama [Teorema 15.11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#thm-b2-diffcalc-extrema).

![Empat dari sembilan permukaan kuadrik yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-5ea136d67bbc.svg)

![Empat dari sembilan permukaan kuadrik yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-802cf08f683c.svg)

![Empat dari sembilan permukaan kuadrik yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-4b518fd4e256.svg)

![Empat dari sembilan permukaan kuadrik yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-surfaces/fig-0a34a2def80a.svg)

*Empat dari sembilan permukaan [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.*

**Catatan 19.30 (Di mana ini dipakai).**

Unsur luasnya $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ adalah ukuran integral permukaan pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint), tempat ia bertemu rumus Green; sedangkan [bentuk fundamental pertamanya](#def-b2-surfaces-fff) adalah prototipe sebuah medan [bentuk kuadratik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def), yang dikaji [titik demi titik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def) lewat perkakas [Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic); dan soal akhir pekan bab ini menggolongkan semua permukaan [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) lewat teorema spektralnya. Adapun jilid Tahun ke-3 kembali ke permukaan lewat bentuk [diferensial](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential) dan teorema divergensinya, sedangkan [kelengkungan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#thm-b2-curves-frenet2d) hakikinya — yakni apa yang diketahui $E, F, G$ tentang pembengkokannya — adalah gerbang menuju geometri [diferensial](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential) yang sesungguhnya.

## 19.4 Latihan

**Latihan 19.1 ★.**

Tunjukkan bahwa [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) kerucut $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (dikurangi puncaknya) semuanya melalui puncaknya. *(Parameterkan lewat $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ dengan $r > 0$.)*

**Solusi Latihan 19.1.**

Dengan $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$:

$$
\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0),
\qquad
\sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),
$$

yang bebas untuk $r > 0$. Adapun [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) di $M_0 =
\sigma(\theta_0, r_0)$ melalui $M_0$ dengan arah $\sigma_\theta, \sigma_r$. Kini $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0,
\sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ sendiri merupakan arah singgung: jadi puncaknya $O$ terletak pada [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent). (Inilah kelakuan umum kerucut: sebab ia [dibangun](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) garis lewat puncaknya, dan [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) memuat garis pembangun lewat titik singgungnya.)

**Latihan 19.2 ★.**

Carilah [bidang singgung](#def-b2-surfaces-tangent) elipsoid $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ di sebuah titik $(x_0, y_0,
z_0)$ pada permukaannya.

**Solusi Latihan 19.2.**

Terapkan [Proposisi 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient) pada $f(x,y,z) =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$: maka $\nabla
f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ pada permukaannya. Jadi [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent) adalah

$$
\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0)
+ \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0,
\qquad\text{yakni}\qquad
\frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,
$$

dengan memakai bahwa $(x_0, y_0, z_0)$ memenuhi persamaan elipsoidnya — yakni aturan “pecah kuadratnya” yang menyamaratakan $\langle
M_0, M \rangle = R^2$ milik bolanya.

**Latihan 19.3 ★.**

Hitunglah $E, F, G$ bagi helikoid $\sigma(u, v) = (v\cos u,\
v\sin u,\ au)$ dengan $a > 0$, beserta [luas](#def-b2-surfaces-area) keping $0 \leq u \leq
2\pi$, $0 \leq v \leq 1$, sebagai sebuah integral (lalu nilailah ia dengan memakai $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} +
a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$).

**Solusi Latihan 19.3.**

Berlaku $\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ dan $\sigma_v = (\cos u,\
\sin u,\ 0)$, jadi

$$
E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1,
\qquad
\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0
$$

(jadi helikoidnya regular di mana-mana, termasuk pada sumbunya $v =
0$). Adapun [luas](#def-b2-surfaces-area) kepingnya:

$$
\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1
\sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u
= 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2}
+ a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,
$$

yakni $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} +
a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$.

**Latihan 19.4 ★★.**

(Torus) Parameterkan torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran berpusat $(R, 0, 0)$ dan berjari-jari $r < R$ pada bidang-$xz$ mengelilingi sumbu-$z$:

$$
\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\
(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).
$$

Hitunglah $E, F, G$, periksalah keregularannya, lalu tunjukkan bahwa luasnya $4\pi^2 R r$ (yakni Pappus: keliling rata-ratanya $2\pi R$ dikali [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) lingkarannya $2\pi r$).

**Solusi Latihan 19.4.**

Turunannya:

$$
\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\
(R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr),
\qquad
\sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\
-r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).
$$

Maka

$$
E = (R + r\cos\psi)^2,
\qquad
F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi)
\bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0,
\qquad
G = r^2 ,
$$

jadi $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$: sehingga regular di mana-mana. Adapun luasnya:

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi)
\,\dd\theta\,\dd\psi
= 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr)
= 4\pi^2 R r ,
$$

sebab suku $\cos\psi$-nya berintegral nol — yakni teorema Pappus: bahwa luasnya $=$ ([panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) lingkaran yang diputar) $\times$ (jarak yang ditempuh pusatnya).

**Latihan 19.5 ★★.**

Tunjukkan bahwa [luas](#def-b2-surfaces-area) grafik $f \in \mathcal{C}^1(K)$ adalah $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$, lalu hitunglah ia bagi keping paraboloid $z = \frac12(x^2 + y^2)$ di atas cakram $x^2 + y^2 \leq 1$ (lewat koordinat kutub, [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint)).

**Solusi Latihan 19.5.**

Untuk $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$: berlaku $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ dan $\sigma_y = (0, 1, f_y)$, jadi $E = 1 + f_x^2$, $F = f_xf_y$, $G = 1
+ f_y^2$ dan

$$
EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2
= 1 + f_x^2 + f_y^2 ,
$$

yang memberi rumus [luas](#def-b2-surfaces-area) yang dinyatakan. Untuk $f = \frac12(x^2 + y^2)$ pada cakram satuannya: berlaku $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$, jadi dalam koordinat kutub ($x = \rho\cos\alpha$, $y = \rho\sin\alpha$, dengan Jacobi $\rho$, [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint)):

$$
\mathcal{A}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho
\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1
= \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).
$$

**Latihan 19.6 ★★.**

Sebuah kurva tergambar $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ pada bola berjari-jari $R$ (dengan bagan bolanya) punya $u = \theta(t)$ dan $v =
\varphi(t)$. Tulislah [panjangnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) sebagai integral dalam $\theta, \varphi$ lalu buktikan bahwa di antara kurva yang menghubungkan dua titik pada meridian yang sama $\theta = \theta_0$, busur meridiannya yang terpendek. *(Batasilah integrannya dari bawah oleh $R\abs{\varphi'}$.)*

**Solusi Latihan 19.6.**

Dari perhitungan [Contoh 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea), berlaku $E =
R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$, jadi menurut [Proposisi 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength)

$$
L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2
+ \varphi'(t)^2}\;\dd t .
$$

Misalkan titik ujungnya $(\theta_0, \varphi_1)$ dan $(\theta_0,
\varphi_2)$ dengan $\varphi_1 < \varphi_2$. Untuk sembarang kurva penghubungnya,

$$
L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t
\geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr|
= R\,(\varphi_2 - \varphi_1),
$$

dengan membuang suku taknegatif $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ lalu memakai ketaksamaan segitiga bagi integralnya. Adapun busur meridiannya $\theta \equiv \theta_0$, dengan $\varphi$ naik dari $\varphi_1$ ke $\varphi_2$, berpanjang persis $R(\varphi_2 - \varphi_1)$: jadi ia terpendek. (Meridiannya adalah lingkaran besar; dan inilah kasus pertama yang dasar bagi fakta bahwa geodesik bolanya adalah lingkaran besar.)

**Latihan 19.7 ★★★.**

(Garis normal sebuah bola) Misalkan $S$ permukaan aras yang regular $\{f = c\}$, [terhubung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-connected), dan semua garis normalnya melalui sebuah titik tetap $\Omega$. Tunjukkan bahwa $S$ termuat pada sebuah bola yang berpusat $\Omega$. *(Tunjukkan bahwa $\norm{M - \Omega}^2$ punya turunan nol sepanjang setiap kurva yang digambar pada $S$.)*

**Solusi Latihan 19.7.**

Tetapkan sebuah kurva $\gamma$ yang digambar pada $S$ lalu misalkan $g(t) = \norm{\gamma(t)
- \Omega}^2$. Maka $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) -
\Omega\rangle$. Adapun garis normal di $M = \gamma(t)$ melalui $\Omega$ menurut hipotesisnya, jadi $\gamma(t) - \Omega$ merupakan vektor *normal* yang ortogonal terhadap [bidang singgungnya](#def-b2-surfaces-tangent), khususnya terhadap kecepatannya $\gamma'(t)$ ([Proposisi 19.5](#prop-b2-surfaces-velocity)): sehingga $g' =
0$, dan $g$ tetap sepanjang setiap kurva tergambar.

Kini himpunan $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ bersifat tertutup di $S$; ia juga [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) di $S$: sebab di dekat sembarang titiknya, $S$ berupa grafik yang regular, jadi sembarang titik $S$ di dekatnya [terhubung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-connected) dengannya lewat sebuah kurva tergambar (yakni ruas yang terangkat), dan sepanjangnya $g$ bersifat tetap. Lalu karena $S$ [terhubung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-connected) dan $S_c$ tak kosong bagi $c$ yang tepat, maka $S = S_c
\subseteq$ bola berpusat $\Omega$ dan berjari-jari $\sqrt c$ ([Bab 4](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#ch-b2-metric): lewat hujah keterhubungannya).

**Latihan 19.8 ★★★.**

(Luasnya geometris) Misalkan $\Phi \colon U' \to U$ difeomorfisma $\mathcal{C}^1$ antara himpunan [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) $\R^2$ dan $\tilde\sigma =
\sigma \circ \Phi$. Tunjukkan bahwa

$$
\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
= \abs{\det J_\Phi}\,
\norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,
$$

lalu turunkan, dengan memakai rumus penggantian peubah pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint), bahwa [luas](#def-b2-surfaces-area) pada [Definisi 19.20](#def-b2-surfaces-area) tak bergantung pada parameterisasi regular yang dipilih.

**Solusi Latihan 19.8.**

Tulislah $\Phi(u', v') = (u, v)$. Menurut aturan rantai,

$$
\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v,
\qquad
\tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u
+ \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,
$$

dengan turunan parsial $\sigma$ dinilai di $\Phi(u',v')$. Lalu menguraikan hasil kali silangnya secara bilinear dan memakai $\sigma_u \wedge \sigma_u =
\sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ serta $\sigma_v \wedge \sigma_u =
-\sigma_u \wedge \sigma_v$:

$$
\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}
= \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'}
\frac{\partial v}{\partial v'}
- \frac{\partial v}{\partial u'}
\frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\,
\sigma_u \wedge \sigma_v
= \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .
$$

Mengambil [normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) memberi kesamaannya. Lalu, menurut rumus penggantian peubah ([Bab 20](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#ch-b2-multint)) yang diterapkan pada pemetaan $\Phi$ di $K' =
\Phi^{-1}(K)$:

$$
\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}}
\,\dd u'\dd v'
= \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\;
\abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v'
= \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :
$$

jadi kedua parameterisasinya memberikan [luas](#def-b2-surfaces-area) yang sama pada keping permukaan yang sama.

**Latihan 19.9 ★.**

(Teorema kotak-topi Archimedes) Pada bola berjari-jari $R$, *zona* antara lintang yang $z_1 \leq z \leq z_2$ (dengan $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$) berluas $2\pi R\,(z_2 - z_1)$: buktikanlah lewat bagan bolanya, lalu simpulkan bahwa [luas](#def-b2-surfaces-area) sebuah zona hanya bergantung pada tingginya — jadi mengiris sebuah jeruk menjadi irisan setebal sama memberi jumlah kulit yang sama.

**Solusi Latihan 19.9.**

Dalam bagan bolanya, $z = R\sin\varphi$, dan zonanya bersesuaian dengan $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ dengan $z_i = R\sin\varphi_i$. Lalu dengan unsur luasnya $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Contoh 19.23](#ex-b2-surfaces-spherearea)):

$$
\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi}
R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi
= 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)
= 2\pi R\,(z_2 - z_1) .
$$

Hasilnya hanya bergantung pada tingginya $z_2 - z_1$: jadi irisan setebal sama mengusung [luas](#def-b2-surfaces-area) yang sama, entah dipotong di khatulistiwanya atau di kutubnya — yakni teorema kotak-topi Archimedes, sekaligus sebab [luas](#def-b2-surfaces-area) selimut silinder yang melingkupinya ($2\pi R \cdot
2R = 4\pi R^2$) sama dengan [luas](#def-b2-surfaces-area) bolanya.

**Latihan 19.10 ★★.**

Tunjukkan bahwa setiap garis normal permukaan putaran $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ (dengan $r > 0$ berkelas $\mathcal C^1$) bertemu sumbu putarannya, lalu tentukan letak titik potongnya.

**Solusi Latihan 19.10.**

Berlaku $\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ dan $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$, jadi

$$
\sigma_\theta \wedge \sigma_z
= (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,
$$

yakni sebuah vektor normal di $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$. Adapun garis normalnya adalah

$$
t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\
z - t\,r\,r'\bigr),
$$

yang di $t = -1$ mencapai $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$: jadi setiap garis normalnya bertemu sumbunya, pada ketinggian $z + rr'$. (Inilah alasan tiga dimensi mengapa kesimetrian putarannya bertahan pada medan normalnya.)

**Latihan 19.11 ★★.**

(Membuka gulungan silinder) Bagan $\sigma(u, v) = (\cos u,\
\sin u,\ v)$ bagi silinder satuannya punya $E = G = 1$ dan $F = 0$: periksalah ini, lalu jelaskan mengapa setiap kurva tergambar $t \mapsto
\sigma(u(t), v(t))$ berpanjang sama dengan kurva bidang $t
\mapsto (u(t), v(t))$. Turunkan bahwa heliks dari $(1, 0, 0)$ ke $(1, 0, 2\pi c)$ yang membuat satu putaran berpanjang $2\pi\sqrt{1 + c^2}$, dan bahwa tak ada kurva tergambar dengan titik ujung yang sama dan satu putaran penuh yang lebih pendek.

**Solusi Latihan 19.11.**

Berlaku $\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ dan $\sigma_v = (0, 0, 1)$: jadi $E
= 1$, $F = 0$, $G = 1$. Menurut [Proposisi 19.16](#prop-b2-surfaces-curvelength), [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) sebuah kurva tergambar adalah $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — yakni [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) bayangan parameternya $(u(t), v(t))$ pada bidangnya: jadi bagannya merupakan isometri lokal (yakni membuka gulungan silindernya). Adapun heliks $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ dengan $t \in \intcc0{2\pi}$ punya bayangan berupa ruas dari $(0,0)$ ke $(2\pi, 2\pi c)$, yang berpanjang $2\pi\sqrt{1 + c^2}$. Sedangkan sembarang kurva tergambar dari $(1,0,0)$ ke $(1,
0, 2\pi c)$ yang membuat satu putaran penuh punya bayangan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) yang menghubungkan $(0, 0)$ ke $(2\pi, 2\pi c)$, yang [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) bidangnya $\geq$ [panjang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) ruas lurusnya; jadi karena [panjangnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length) sepakat, heliksnya terpendek.

**Latihan 19.12 ★★★.**

Misalkan $S = \{f = c\}$ permukaan aras regular yang [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact) dan $M_0 \in S$ sebuah titik yang berjarak maksimum dari titik asalnya. Tunjukkan bahwa $\nabla f(M_0)$ segaris dengan $\vect{OM_0}$ — jadi normal di titik terjauhnya bersifat radial. Terapkanlah pada elipsoid $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ (dengan $a >
b > c > 0$): carilah semua titik yang normalnya radial, lalu kenalilah yang terjauhnya.

**Solusi Latihan 19.12.**

Fungsi $g(M) = \norm{M}^2$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $S$ yang [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact), jadi ia mencapai maksimumnya di suatu $M_0$. Untuk setiap kurva $\gamma$ yang digambar pada $S$ dengan $\gamma(0) = M_0$, fungsi $t
\mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ punya maksimum di $t = 0$, jadi turunannya $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ lenyap: sehingga $M_0$ ortogonal terhadap setiap vektor singgungnya, yakni normal terhadap $S$ di $M_0$. Lalu karena $\nabla f(M_0) \neq 0$ juga mengarahkan garis normalnya ([Proposisi 19.7](#prop-b2-surfaces-gradient)), maka $\nabla f(M_0)$ dan $\vect{OM_0}$ segaris. Untuk elipsoidnya, keradialannya berarti

$$
\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2},
\frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :
$$

jadi tiap koordinatnya memenuhi $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$, dan seterusnya; lalu karena $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ berbeda-beda, paling banyak satu koordinatnya tak nol, sehingga penyelesaian pada permukaannya adalah keenam titik ujung sumbunya $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm b, 0)$, $(0,
0, \pm c)$. Adapun titik terjauhnya adalah $(\pm a, 0, 0)$, pada jarak $a = \max(a,b,c)$.

## 19.5 Soal: penggolongan kuadrik pada $\R^3$

**Soal 19.1.**

Soal akhir pekan — setiap permukaan kuadrik, disortir lewat teorema spektral

Sebuah *kuadrik* adalah himpunan nol di $\R^3$ bagi sebuah polinomial berderajat dua

$$
q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c,
\qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\
c \in \R .
$$

Adapun permukaan pada gambar bab ini — yakni bola, elipsoid, pelana, kerucut, silinder — semuanya [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1). Soal ini menggolongkan *semuanya*: sebab teorema spektral ([Teorema 12.13](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-spectral)) meluruskan bagian kuadratiknya, penggeseran [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) ([Bab 17](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#ch-b2-affine)) menyerap bagian linearnya, dan yang tersisa adalah daftar bentuk normal yang pendek dan [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete).

**Bagian I — Mesin reduksinya.**

1. Misalkan $X = PY + t$ dengan $P \in O(3)$ dan $t \in \R^3$ (yakni penggantian koordinat yang kaku). Tunjukkan bahwa $q(PY + t) =  Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ dengan $$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad  b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad  c' = q(t) .$$ Lalu turunkan bahwa [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $A$ (sehingga rank dan signaturnya) merupakan invarian kaku bagi persamaannya, dan jelaskanlah mengapa persamaan sebuah [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) hanya tertentukan hingga sebuah faktor skalar tak nol.
2. Dengan memakai teorema spektralnya, tunjukkanlah bahwa setelah sebuah perputaran persamaannya menjadi $\sum_i \lambda_i y_i^2 +  2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ dengan $\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3$ menyatakan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $A$ .
3. Untuk setiap $i$ yang $\lambda_i \neq 0$ , serap $\beta_iy_i$ lewat sebuah penggeseran ( $y_i \mapsto y_i -  \beta_i/\lambda_i$ ). Tulislah persamaan tereduksinya ketika $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i  z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
4. Sebuah *pusat* [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) berpersamaan $q = 0$ adalah titik $\Omega$ dengan $q(2\Omega - X) = q(X)$ untuk setiap $X$ : jadi pencerminan titik pada $\Omega$ memelihara persamaannya, sehingga permukaannya. Tunjukkan bahwa $q(2\Omega - X)  - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle  A\Omega + b, \Omega\rangle$ , lalu turunkan: bahwa pusatnya persis merupakan penyelesaian $A\Omega = -b$ ; jadi ia ada bila dan hanya bila $b \in \operatorname{im}A$ , dan pusatnya tunggal bila dan hanya bila $A$ terbalikkan.

**Bagian II — [Kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) berpusat (dengan $\operatorname{rank}A = 3$).** Di sini persamaan tereduksinya adalah $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$.

5. Dengan mengalikan $-1$ bila perlu, andaikan sekurangnya dua $\lambda_i > 0$ . Cacahlah kemungkinannya: yakni signatur $(3, 0)$ dengan $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , dan signatur $(2, 1)$ dengan $\delta > 0$ , $= 0$ , $<  0$ ; lalu namailah keenam himpunan hasilnya (elipsoid, titik, himpunan kosong, hiperboloid berdaun satu, kerucut, hiperboloid berdaun dua) kemudian tempatkanlah masing-masingnya dalam bentuk normal Euklidesnya ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +  \frac{z^2}{c^2} = 1$ , dan seterusnya).
6. Golongkanlah $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : tunjukkan $A = 2J - I$ dengan $J$ matriks serba-satu, hitunglah [spektrumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $\{5, -1, -1\}$ , lalu kenalilah sebuah hiperboloid putaran berdaun dua terhadap sumbu $\R(1,1,1)$ .
7. (Garis pembangunnya) Untuk hiperboloid berdaun satu $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}  = 1$, faktorkanlah $$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr)  \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr)  = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$$ lalu hasilkanlah dua keluarga berparameter satu berisi garis lurus yang terletak pada permukaannya.
8. Tunjukkan bahwa lewat setiap titik hiperboloid berdaun satu melintas tepat satu garis dari tiap keluarganya: jadi permukaannya *berpembangun ganda* .
9. Adapun *kerucut asimtotik* bagi hiperboloid berdaun satu adalah $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Dengan $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2}  + \frac{y^2}{b^2}$ , tunjukkanlah bahwa sembarang titik hiperboloidnya berjarak paling banyak $c\bigl(\rho -  \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho +  \sqrt{\rho^2 - 1}}$ dari $C$ , jadi permukaannya memeluk kerucutnya di tak hingga. Lalu apakah irisan hiperboloidnya oleh bidang $x = \pm a$ ?

**Bagian III — Rank $2$ dan rank $1$: paraboloid, silinder, bidang.**

10. Andaikan $\operatorname{rank}A = 2$, katakanlah $\lambda_1,  \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$. Mulailah dari pertanyaan 3, lalu pecahlah menjadi dua kasus menurut $\beta_3 \neq 0$ (yakni tanpa pusat, menurut pertanyaan 4) atau $\beta_3 = 0$ (yakni sebuah garis pusat), lalu reduksikanlah menjadi $$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0  \qquad\text{atau}\qquad  \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$$ yakni paraboloid eliptik/hiperbolik pada kasus pertamanya, dan silinder atas konik berpusat (atau sepasang bidang yang berpotongan, sebuah garis, atau himpunan kosong) pada kasus keduanya.
11. Tunjukkan bahwa pelana $z = xy$ merupakan paraboloid hiperbolik: putarlah sebesar $\pi/4$ pada bidang- $xy$ untuk mencapai $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , yakni permukaan pada [Gambar 19.1](#fig-b2-surfaces-saddle) hingga penskalaan.
12. Tunjukkan bahwa pelana $z = xy$ mengusung kedua keluarga garis $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ dan $\{y = y_0,\ z  = xy_0\}$ , dengan tepat satu garis dari tiap keluarganya lewat setiap titiknya: yakni [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) berpembangun ganda yang kedua.
13. Golongkanlah $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ di $\R^3$ (lengkapkan kuadratnya; lalu kenalilah sebuah silinder lingkaran tegak, kemudian berikanlah sumbu dan jari-jarinya).
14. Kini misalkan $\operatorname{rank}A = 1$, katakanlah $\lambda_1  \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$. Dengan memutar di dalam bidang kernelnya lalu menggeser, reduksikanlah menjadi $$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0)  \qquad\text{atau}\qquad  \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$$ yakni sebuah silinder parabolik, atau sepasang bidang sejajar, sebuah bidang ganda, atau himpunan kosong. Golongkanlah $(x + y)^2 =  z$ selengkapnya (yakni bentuk normalnya, dan sumbu keinvarianan geserannya).

**Bagian IV — Teorema penggolongannya.**

15. Rangkailah Bagian I–III menjadi sebuah teorema: *bahwa setiap [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) $\R^3$ dipetakan oleh sebuah gerak kaku ke tepat satu bentuk normal* . Daftarkanlah ketujuh belas tipe [afinnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) (cacahlah varian kosong dan himpunan yang merosot), lalu sendirikanlah kesembilan *permukaan* [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1) : yakni elipsoid, hiperboloid berdaun satu dan berdaun dua, kerucut, paraboloid eliptik dan hiperbolik, serta silinder eliptik, hiperbolik dan parabolik.
16. Tulislah *algoritma* penggolongannya: yakni diberikan $(A,  b, c)$ , besaran mana yang kauhitung, dalam urutan mana, dan cabang mana yang memutuskan tipe mana? Benarkanlah bahwa tiap langkahnya efektif (yakni [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) sebuah matriks [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) $3\times3$ , rank, dan keterselesaian $A\Omega = -b$ ).
17. Jalankan algoritmanya pada $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz -  2zx = 1$ : tunjukkan bahwa $A = 2I - J$ berspektrum $\{2, 2,  -1\}$ lalu simpulkan: yakni hiperboloid putaran berdaun satu terhadap $\R(1,1,1)$ .
18. Jalankan ia pada $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : carilah pusatnya lalu kenalilah [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1) .
19. Jalankan ia pada $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonalkan blok- $xy$ -nya ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v =  \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) lalu kenalilah [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1) .
20. Euklides lawan [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) . Tunjukkan bahwa dua [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) berpusat dalam bentuk normalnya setara secara *kaku* bila dan hanya bila daftar koefisiennya sama (hingga permutasi dan sebuah skalar positif bersama pada persamaannya), sedangkan secara *[afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace)* , hanya data signaturnya yang bertahan: jadi setiap elipsoid adalah peta [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) bola bundarnya. Lalu teorema mana yang menjamin bahwa signaturnya tak dapat berubah sepanjang jalannya ( [Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-sylvester) )?

**Bagian V — Panennya.**

21. Tunjukkan bahwa setiap irisan sebuah [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) oleh bidang [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) merupakan sebuah konik (yang boleh merosot) pada bidang itu. Kenalilah irisan pelana $z = xy$ oleh bidang $z = c$ (untuk $c \neq 0$ dan $c = 0$ ).
22. Permukaan [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) mana yang memuat garis lurus? Tunjukkan bahwa elipsoid, hiperboloid berdaun dua dan paraboloid eliptik tak memuat satu pun *(batasilah $q$ ke sebuah garis lalu pakailah ketaksamaan Cauchy–Schwarz bagi kasus berdaun dua)* ; bahwa kerucut dan silinder [dibangun](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) satu keluarga; lalu simpulkan bahwa permukaan [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) yang berpembangun ganda persis merupakan hiperboloid berdaun satu dan paraboloid hiperbolik.
23. Ketika hanya tipe *[afinnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace)* yang dikehendaki, [reduksi Gauss](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-gauss) ( [Teorema 12.5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-gauss) ) lebih murah daripada mendiagonalkan. Kerjakanlah ulang pertanyaan 17 lewat algoritma Gauss lalu periksalah signaturnya $(2, 1)$ ; dan informasi Euklides apa yang hilang oleh Gauss?
24. Semua [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) matriks [simetrik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-adjoint) bersifat real; tunjukkanlah bahwa karenanya *tanda* [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $A$ dapat dibaca dari [polinomial karakteristiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) lewat aturan tanda Descartes, lalu periksalah pada pertanyaan 6: bahwa $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2  - 9\lambda - 5$ punya tepat satu pergantian tanda, sehingga bersignatur $(1, 2)$ .
25. Rangkuman. Rangkumlah algoritmanya dalam beberapa baris; lalu nyatakanlah peran persis yang dimainkan (i) teorema spektral, (ii) persamaan pusatnya $A\Omega = -b$ , (iii) teorema inersia Sylvester, dan (iv) [reduksi Gauss](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-gauss) . Lalu apa yang dihasilkan mesin yang sama di $\R^2$ , dan apa yang berubah di $\R^n$ ?

**Solusi Soal 19.1.**

**1.** Menguraikannya, dan memakai kesimetrikan $A$ (yakni $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$):

$$
q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY +
2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At +
2b^{\mathsf T}t + c\bigr),
$$

yang tak lain tripel pada displainya. Adapun $A' = P^{\mathsf T}\!AP =
P^{-1}AP$ serupa dengan $A$: jadi berpolinomial karakteristik, [spektrum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen), rank, dan signatur yang sama. Akhirnya $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ untuk $s \neq 0$, jadi hanya persamaan *hingga sebuah skalar* yang terlekat pada himpunannya; dan menskalakannya dengan $s$ mengalikan semua [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dengan $s$.

**2.** Teorema spektralnya menyediakan $P \in O(3)$ dengan $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,
\lambda_3)$; lalu pertanyaan 1 dengan $t = 0$ mengubah persamaannya menjadi $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$, dengan $\beta =
P^{\mathsf T}b$.

**3.** Untuk $\lambda_i \neq 0$: berlaku $\lambda_iy_i^2 +
2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i +
\frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 -
\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$; jadi penggeseran $z_i = y_i +
\beta_i/\lambda_i$ (dan $z_i = y_i$ untuk $i > r$) memberi

$$
\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i +
c'' = 0, \qquad
c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.
$$

**4.** Berlaku $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T}
A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$; jadi setelah diuraikan lalu dikurangi $q(X)$, suku kuadratiknya saling meniadakan dan

$$
q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle +
4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .
$$

Bila $A\Omega + b = 0$ maka ini lenyap secara identik: sehingga pencerminan titiknya memelihara $q$, jadi juga [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1). Sebaliknya, “$q(2\Omega - X) = q(X)$ untuk setiap $X$” mengatakan bahwa fungsi [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) di atas lenyap pada seluruh $\R^3$, yang memaksa bagian linearnya $A\Omega + b$ menjadi nol. Jadi pusatnya $=$ penyelesaian $A\Omega = -b$: yakni himpunan tak kosong bila dan hanya bila $b \in \operatorname{im}A$ (yaitu subruang [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) yang diarahkan $\ker A$), dan berupa titik tunggal bila dan hanya bila $A$ terbalikkan.

**5.** Signatur $(3,0)$ (yakni semua $\lambda_i > 0$): $\delta >
0$ memberi $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}
= 1$ dengan $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$, dan seterusnya — yakni sebuah elipsoid; $\delta = 0$: yakni titik tunggal $O$; $\delta < 0$: kosong. Sedangkan signatur $(2,1)$ (dengan $\lambda_1, \lambda_2 > 0 >
\lambda_3$): $\delta > 0$: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}
- \frac{z^2}{c^2} = 1$, yakni hiperboloid berdaun satu; $\delta =
0$: yakni kerucut $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
\frac{z^2}{c^2}$; $\delta < 0$: $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, yakni hiperboloid berdaun dua (dengan $\abs z \geq c$: jadi dua komponen).

**6.** Bagian kuadratiknya bermatriks $A$ dengan diagonal $1$ dan luar diagonal $2$: jadi $A = 2J - I$. Karena $J$ berspektrum $\{3, 0, 0\}$ (dengan [vektor eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $(1,1,1)$ untuk $3$), maka $A$ berspektrum $\{5, -1, -1\}$, dan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) $5$-nya diusung $\R(1,1,1)$. Dalam koordinat terputarnya: $5u^2 - v^2 - w^2 =
1$, yakni $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$: jadi sebuah hiperboloid berdaun dua, yang berputaran (sebab [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) sama $-1$) terhadap sumbu $\R(1,1,1)$.

**7.** Permukaannya adalah $\bigl(\frac xa - \frac
zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac
yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$. Untuk $(\lambda : \mu) \neq
(0:0)$ definisikanlah garis

$$
D_{\lambda:\mu} :\quad
\lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac
yb\Bigr), \qquad
\mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac
yb\Bigr)
$$

(yakni dua persamaan [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) yang bebas: sebuah garis). Mengalikan kedua persamaannya menunjukkan bahwa setiap titik $D_{\lambda:\mu}$ terletak pada permukaannya ketika $\lambda\mu \neq 0$; sedangkan kasus $\lambda = 0$ atau $\mu = 0$ diperiksa langsung (misalnya $\lambda = 0$: $y =
b$ dan $\frac xa = -\frac zc$, yang memenuhi persamaannya). Adapun keluarga keduanya $D'_{\lambda:\mu}$ menukar kedua faktor ruas kanannya.

**8.** Tetapkan $M$ pada permukaannya. Syarat agar $M \in
D_{\lambda:\mu}$ membentuk sistem linear homogen $2\times2$ dalam $(\lambda, \mu)$ yang [determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det)

$$
\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 -
\frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0
$$

persis karena $M$ terletak pada [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1): jadi sebuah penyelesaian tak trivial $(\lambda : \mu)$ ada. Adapun matriks koefisiennya tak pernah nol (sebab itu akan memaksa $1 - \frac yb = 1 + \frac yb =
0$), jadi ranknya $1$ dan penyelesaiannya tunggal hingga penskalaan: sehingga tepat satu garis keluarganya melalui $M$. Hal yang sama berlaku bagi keluarga keduanya, dan kedua garisnya berbeda (sebab di $(a, 0, 0)$ keduanya adalah $\{x = a,\ \frac zc = \frac
yb\}$ dan $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$): jadi hiperboloid berdaun satunya berpembangun ganda.

**9.** Misalkan $M = (x, y, z)$ pada hiperboloidnya, dengan $\rho^2 =
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq
1$. Maka titik $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ dengan $\varepsilon$ menyatakan tanda $z$ memenuhi $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$: jadi $N \in C$, dan

$$
d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho}
= c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr)
= \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .
$$

Bila $\norm M \to \infty$ maka $\rho \to \infty$ (sebab ketiga koordinatnya terbatas oleh kelipatan $\rho$), jadi $d(M, C)
\to 0$. Adapun irisan $x = a$: $\frac{y^2}{b^2} -
\frac{z^2}{c^2} = 0$, yakni sepasang garis bersilangan pada pertanyaan 8 — dan demikian pula di $x = -a$.

**10.** Dengan $\lambda_3 = 0$, pertanyaan 3 menyisakan $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$. Dalam basis eigennya, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1,
e_2)$, jadi menurut pertanyaan 4 pusatnya ada bila dan hanya bila $\beta_3 = 0$. Bila $\beta_3 \neq 0$: maka penggeseran $z_3 \mapsto z_3 -
c''/(2\beta_3)$ membuang konstantanya, sehingga menyisakan $\lambda_1z_1^2
+ \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$, yakni $z_3 = px^2 +
qy^2$ setelah dinamai ulang: jadi sebuah *paraboloid eliptik* bila $\lambda_1\lambda_2 > 0$, dan *paraboloid hiperbolik* bila $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — dan memang tanpa pusat. Sedangkan bila $\beta_3 = 0$: persamaan $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 +
c'' = 0$ tak melibatkan $z_3$: jadi [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1) berupa silinder atas konik bidang yang bersesuaian — yakni silinder eliptik, sebuah garis, atau himpunan kosong bila $\lambda_1\lambda_2 > 0$; dan silinder hiperbolik atau sepasang bidang berpotongan bila $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — dengan seluruh garis pusat $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$.

**11.** Yakni $xy - z = 0$. Setelah menyulihkan $x = \frac{u +
v}{\sqrt2}$ dan $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (yakni perputaran sebesar $\pi/4$): berlaku $xy = \frac{u^2 - v^2}2$, jadi persamaannya menjadi $z =
\frac12(u^2 - v^2)$: yakni sebuah paraboloid hiperbolik — yaitu pelana pada gambarnya, hingga faktor $\frac12$.

**12.** Garis $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (yang diparameterkan oleh $y$) jelas terletak pada $z = xy$, demikian pula $\{y = y_0,\ z =
xy_0\}$; jadi lewat $(x_0, y_0, x_0y_0)$ melintas keduanya. Ketunggalannya: bila $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 +
tv_3)$ tinggal pada permukaannya, maka koefisien $t^2$ pada $(x_0
+ tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ memberi $v_1v_2 = 0$, jadi $v_1 = 0$ atau $v_2 = 0$, sehingga mendarat di salah satu keluarganya: jadi satu garis dari tiap keluarganya lewat tiap titiknya — yakni [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) berpembangun ganda yang kedua.

**13.** Setelah kuadratnya dilengkapkan: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$, tanpa syarat apa pun pada $z$: jadi sebuah silinder lingkaran tegak berjari-jari $\sqrt2$ dengan sumbu berupa garis tegak $\{(1, -2, z) : z \in
\R\}$ — yakni sebuah garis pusat, seperti diramalkan pertanyaan 10.

**14.** Dengan $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$, persamaan tereduksinya adalah $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c''
= 0$. Sebuah perputaran bidang kernelnya $(z_2, z_3)$ menyelaraskan bentuk linearnya: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ dengan $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$. Bila $\beta \neq 0$, geserlah $w$ untuk menyerap $c''$: jadi $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w =
0$, yakni sebuah *silinder parabolik*; sedangkan bila $\beta = 0$: $\lambda_1z_1^2 = -c''$ memberi dua bidang sejajar (bila $c''
\lambda_1 < 0$), sebuah bidang ganda (bila $c'' = 0$), atau himpunan kosong. Untuk $(x + y)^2 = z$: dengan $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ persamaannya berbunyi $z = 2u^2$: yakni silinder parabolik, yang invarian terhadap penggeseran sepanjang $(1, -1, 0)$.

**15.** Setiap [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1) dibawa oleh sebuah perputaran ditambah penggeseran ke salah satu dari: (rank 3) elipsoid, titik, himpunan kosong, lalu hiperboloid berdaun satu, kerucut, hiperboloid berdaun dua; (rank 2) paraboloid eliptik, paraboloid hiperbolik, silinder eliptik, garis, himpunan kosong, silinder hiperbolik, sepasang bidang berpotongan; (rank 1) silinder parabolik, sepasang bidang sejajar, bidang ganda, himpunan kosong. Lalu dengan mengenali ketiga varian kosongnya sebagai *tipe [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace)* persamaan yang berbeda, cacahnya menjadi tujuh belas; dan di antaranya sembilan berupa permukaan sejati: yakni elipsoid, kedua hiperboloidnya, kerucutnya, kedua paraboloidnya, dan ketiga silindernya.

**16.** Algoritmanya. (i) Bacalah $(A, b, c)$; lalu hitunglah [polinomial karakteristik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-charpoly) $A$, [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) (yang real, berkat teorema spektral) dan $r = \operatorname{rank}A$. (ii) Selesaikan $A\Omega = -b$ (lewat eliminasi Gauss): terselesaikan atau tidak — jadi berpusat atau tidak. (iii) Bila terselesaikan, geserlah ke sebuah pusat: maka persamaannya menjadi $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ dengan $c''
= c + \langle b, \Omega\rangle$; lalu sortirlah menurut $r$, signaturnya, dan tanda $c''$ lewat pertanyaan 5, 10, dan 14. (iv) Bila tak terselesaikan (dengan $r \leq 2$), putar lalu reduksikan seperti pada pertanyaan 10 dan 14: yakni paraboloid (bila $r = 2$) atau silinder parabolik (bila $r = 1$), yang eliptik/hiperbolik menurut tanda $\lambda_1\lambda_2$. Adapun tiap langkahnya berupa perhitungan berhingga: yaitu akar sebuah kubik yang berakar real, rank, dan sistem linear.

**17.** Matriks $A$ berdiagonal $1$ dan luar diagonal $-1$: jadi $A = 2I
- J$, yang berspektrum $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ dengan $-1$ pada $\R(1,1,1)$. Signaturnya $(2,1)$, $b = 0$, dan ruas kanannya $\delta = 1 > 0$: jadi $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$, yakni hiperboloid berdaun satu yang berputaran terhadap sumbu $\R(1,1,1)$.

**18.** Lengkapkan kuadratnya: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 +
(-1 - 4 + 1 + 4) = 0$, yakni

$$
(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :
$$

jadi konstantanya lenyap — sehingga sebuah *kerucut* lingkaran tegak bertitik puncak (sekaligus pusat tunggal) $(1, -2, 1)$ dan bersumbu sejajar $Oz$.

**19.** Bagian kuadratiknya $x^2 + 4xy + y^2$ bermatriks $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (pada bidang-$xy$), yang bernilai eigen $3$ (pada $(1,1)$) dan $-1$ (pada $(1,-1)$): jadi dengan $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ dan $v =
\frac{x-y}{\sqrt2}$ ia sama dengan $3u^2 - v^2$, sehingga [kuadriknya](#pb-b2-surfaces-1) adalah

$$
z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :
$$

yakni sebuah paraboloid hiperbolik (sebab $A$ berrank $2$ dan $b$ punya komponen sepanjang $\ker A = \R e_z$: jadi tanpa pusat).

**20.** Sebuah gerak kaku mengubah data persamaannya lewat $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang sama) dan bentuk normalnya tak punya kebebasan sisa yang lain selain mempermutasikan koordinatnya dan mengalikan seluruh persamaannya dengan sebuah skalar ($> 0$ agar penulisannya terpelihara): jadi dua bentuk normal berpusat berimpit hingga isometri bila dan hanya bila daftar koefisiennya sepakat hingga permutasi dan faktor positif bersama — yakni bagi elipsoidnya, bila setengah sumbunya $(a, b, c)$ sepakat. Sedangkan secara [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace), kita juga boleh menskalakan tiap koordinatnya secara terpisah ($z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs
{\lambda_i}}$), yang menghapus [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dan hanya menyisakan tandanya: jadi setiap elipsoid menjadi $u^2 + v^2 + w^2 = 1$, yakni bolanya. Adapun teorema inersia Sylvester ([Teorema 12.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-sylvester)) menjamin bahwa signaturnya bertahan pada sembarang penggantian linear yang terbalikkan: sehingga tipe [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) pada pertanyaan 15 sungguh berbeda-beda.

**21.** Parameterkan bidangnya secara [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace): $M = P + su +
tv$. Maka $q(P + su + tv)$ merupakan polinomial berderajat $\leq 2$ dalam $(s, t)$ (uraikan [bentuk kuadratiknya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#def-b2-quadratic-def) secara bilinear), jadi irisan $\{q = 0\}$ merupakan konik bidangnya, yang boleh merosot. Untuk $z = xy$ dan bidang $z = c$: berlaku $xy = c$, yakni hiperbola bila $c \neq 0$, dan untuk $c = 0$ berupa kedua garis koordinatnya — yakni sepasang garis pembangun lewat titik asalnya.

**22.** *Elipsoid*: terbatas, jadi tak memuat garis. *Hiperboloid berdaun dua* $\frac{z^2}{c^2} -
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$: batasilah ke $p + tv$; maka koefisien $t^2$-nya $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2}
- \frac{v_2^2}{b^2}$ mesti lenyap, jadi $v_3 \neq 0$ (sebab kalau tidak $v =
0$); lalu koefisien $t$-nya memberi $\frac{p_3v_3}{c^2} =
\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$, dan Cauchy–Schwarz menghasilkan

$$
\frac{p_3^2}{c^2}
= \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} +
\frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2
\leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} +
\frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2}
= \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},
$$

jadi suku tetapnya $\leq 0 \neq 1$: sehingga tak ada garis. *Paraboloid eliptik* $z = \frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2}$: koefisien $t^2$-nya memaksa $v_1 = v_2 =
0$, lalu persamaannya menjadi linear tak tetap dalam $t$: jadi tak ada garis. *Kerucut* $x^2 + y^2 = z^2$: sebuah garis padanya memenuhi $q(p) =
q(v) = B(p, v) = 0$ bagi bentuk Lorentznya; lalu kesamaan pada Cauchy–Schwarz bidangnya $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} =
\sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ memaksa $(p_1, p_2)
\parallel (v_1, v_2)$ lalu $p = kv$: jadi semua garisnya melalui puncaknya — yakni satu keluarga. *Silinder*: untuk silinder eliptik dan paraboliknya koefisien $t^2$-nya memaksa $v_1 = v_2 = 0$ (jadi hanya garis pembangunnya); sedangkan untuk silinder hiperboliknya $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, syarat $\frac{v_1}a = \pm
\frac{v_2}b$ dengan $v_2 \neq 0$ menuntun lewat koefisien $t$-nya ke $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$, yang bertentangan dengan suku tetapnya $1$: jadi hanya garis pembangun tegaknya lagi. Karena itu permukaan [kuadrik](#pb-b2-surfaces-1) yang berpembangun ganda persis merupakan hiperboloid berdaun satu dan paraboloid hiperbolik.

**23.** Menurut Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 -
z^2 - 2yz$, jadi

$$
q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y +
z)^2 :
$$

yakni tiga kuadrat bebas bertanda $(+, +, -)$ — jadi signaturnya $(2, 1)$, yang cocok dengan pertanyaan 17, tanpa perhitungan [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen). Adapun Gauss kehilangan data metriknya: sebab koordinat barunya tak ortonormal, jadi [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) (yakni bentuk hiperboloidnya, sumbunya, dan [panjangnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/18-kurva#def-b2-curves-length)) lenyap; sehingga hanya tipe [afinnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) yang tersisa.

**24.** Misalkan $p$, $n$, $z$ berturut-turut banyaknya [nilai eigen](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) yang positif, negatif, dan nol, dengan $p + n + z = 3$. Adapun aturan Descartes membatasi $p$ oleh banyaknya $V$ pergantian tanda pada $\chi_A$, dan $n$ oleh banyaknya $V'$ pergantian tanda pada $\chi_A(-\lambda)$; lebih jauh tiap pasangan koefisien tak nol yang berurutan menghasilkan satu pergantian pada tepat satu dari kedua polinomialnya, jadi $V + V' \leq 3 - z$ (sebab akar nolnya terlihat sebagai koefisien ekor yang lenyap). Lalu $p + n = 3 - z \geq
V + V' \geq p + n$: jadi kesamaan, sehingga $p = V$ persis — dan tanda [nilai eigennya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma#def-b2-reduction-eigen) dapat dibaca. Untuk $\chi_A(\lambda)
= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$: tandanya $+,-,-,-$ memberi $V = 1$, sedangkan $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2
+ 9\lambda - 5$ bertanda $-,-,+,-$: jadi $V' = 2$. Sehingga signaturnya $(1,
2)$ — yang konsisten dengan pemfaktoran eksak $\chi_A =
(\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ pada pertanyaan 6.

**25.** Algoritmanya: diagonalkan bagian kuadratiknya secara ortonormal (lewat teorema spektral: yakni satu-satunya langkah yang dalam secara analitis, dan itulah yang membuat penggolongannya *Euklides*); lalu selesaikan $A\Omega = -b$ untuk memutuskan tipe berpusat lawan tipe parabolik dan untuk menggeser bagian linearnya bila mungkin (yakni geometri [afin](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace)); lalu bacalah tipenya dari rank, signatur, dan konstantanya (sebab Sylvester menjamin ketiganya invarian); dan ketika hanya tipe [afinnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-subspace) yang berperan, [reduksi Gauss](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#thm-b2-quadratic-gauss) menggantikan teorema spektralnya dengan harga informasi metriknya. Di $\R^2$ mesin yang sama menggolongkan konik: yakni elips, hiperbola, parabola, ditambah sepasang garis, sebuah garis, sebuah titik, dan himpunan kosong. Sedangkan di $\R^n$ tak ada yang berubah selain tata bukunya: sebab tipenya diindeks oleh signatur $A$, kedudukan $b$ terhadap $\operatorname{im}A$, dan satu konstanta — dengan matriks berbatas berdimensi $(n{+}2)$ atas $(A, b, c)$ yang menyediakan invarian yang ringkas.