---
title: "Fungsi Pembangkit Peluang"
book: "Matematika Universitas — Tahun 2"
subject: math
language: id
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/23-fungsi-pembangkit-peluang
---

# Bab 23 — Fungsi Pembangkit Peluang

Deret pangkat pada [Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries) kembali dengan misi peluang: pada [peubah acak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) bernilai-$\N$ kita lekatkan deret pangkat berkoefisien $\P(X = n)$. *[Fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci)* ini mengubah jumlah peubah yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) menjadi hasil kali, momen menjadi turunan di $1$, dan kesamaan kombinatorik yang sukar menjadi perkalian satu baris. Bab ini menutup buku dengan dua pertunjukan: hampiran Poisson bagi [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) langka, dan kriteria kepunahan bagi [proses percabangan](#pb-b2-genfun-1) — sebuah perhitungan peluang yang sungguh tak hingga, yang terpecahkan seluruhnya oleh geometri sebuah kurva [cembung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-convex).

## 23.1 Definisi dan sifat dasarnya

**Definisi 23.1 (Fungsi pembangkit peluang).**

Misalkan $X$ [peubah acak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) bernilai-$\N$, dengan $p_n = \P(X = n)$. Adapun *fungsi pembangkit peluang* bagi $X$ adalah jumlah deret pangkatnya

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

**Contoh 23.2 (Refleks pertama).**

Peubah konstan $X = c$ punya $G_X(t) = t^c$; sebuah geseran menuruti $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; dan mengevaluasinya di titik istimewa membaca informasinya tanpa penguraian apa pun: $G_X(0) = \P(X
= 0)$, $G_X(1) = 1$, dan $G_X(-1) = \P(X\text{ genap}) -
\P(X\text{ ganjil})$, yakni neraca keparitasan yang dimanfaatkan pada [Latihan 23.10](#exo-b2-genfun-10). Kalimat sebaris ini dipakai secara diam-diam di mana-mana di bawah — dan evaluasi $G_X(0)$ itu persis cara peluang kepunahan kelak diperas dari [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) yang teriterasi pada akhir bab ini.

**Proposisi 23.3 (Jari-jari dan sifat pertamanya).**

Deret yang mendefinisikan $G_X$ berjari-jari kekonvergenan $\geq 1$; $G_X$ terdefinisi dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\intcc{-1}{1}$, $\mathcal{C}^\infty$ pada $\intoo{-1}{1}$, dengan $G_X(1) = 1$ dan $\abs{G_X(t)} \leq 1$ di sana. Lebih jauh, $G_X$ menentukan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) $X$:

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**Bukti.** Karena $\sum p_n = 1$ konvergen, sukunya $p_n\,1^n$ terbatas, jadi jari-jarinya $\geq 1$ (lema Abel, [Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries)); di $t = \pm1$ deretnya konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def) ($\sum p_n = 1$ mendominasinya); lebih baik lagi, pada seluruh selang $\intcc{-1}1$,

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{dengan}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

deretnya konvergen *normal* pada $\intcc{-1}1$, jadi jumlahnya [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di sana (Teorema [10.16](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#thm-b2-funcseq-weierstrass) dan [10.4](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#thm-b2-funcseq-continuity)). Adapun kemulusan di dalamnya dan rumus koefisiennya merupakan teori umum deret pangkat; karena koefisiennya dapat dipulihkan, dua peubah dengan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) yang sama berhukum sama. ∎

**Contoh 23.4 (Hukum klasiknya).**

- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
- Binomial $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (teorema binomial).
- Geometrik $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (jari-jari $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (jari-jari $\infty$ ).

**Contoh 23.5 (Mengintegralkan fungsi pembangkitnya).**

Turunan $G_X$ di $1$ memberi momen positif; adapun *integralnya* memberi yang negatif. Dari $\int_0^1t^k\dd t
= \frac1{k+1}$ dan pengintegralan suku demi suku ([kekonvergenan normal](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-series) pada $\intcc01$):

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

Untuk $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

yang memulihkan dalam satu baris perhitungan deret pada [Contoh 22.10](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ex-b2-randomvar-transferex). [Fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) merupakan alat dua arah: turunkan di $1$ untuk memperoleh momen $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, integralkan pada $\intcc01$ untuk memperoleh $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — satu objek [analitik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#def-b2-powerseries-analytic), yang ditanyai ke arah mana pun yang diperlukan masalahnya.

**Contoh 23.6 (Sebuah hukum yang jari-jarinya persis satu).**

Ambil $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ untuk $k \geq 1$ — sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) peluang menurut kesamaan Basel ([Contoh 14.12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/14-deret-fourier#ex-b2-fourier-basel)). [Fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ berjari-jari kekonvergenan persis $1$: batas umum “jari-jari $\geq
1$” pada [Proposisi 23.3](#prop-b2-genfun-radius) tak dapat diperbaiki. Adapun reratanya adalah

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

$G$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\intcc{-1}1$, mulus di dalamnya, tetapi turunannya meledak di $1^-$ — grafiknya tiba di titik $(1, 1)$ dengan singgung tegak. Ekor yang berat terlihat secara *geometrik* pada [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci), di satu titik $t = 1$ saja; adapun teorema momen di bawah membuat padanan ini menjadi persis.

**Teorema 23.7 (Momen dari fungsi pembangkitnya).**

$X$ punya [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation) bila dan hanya bila $G_X$ [terdiferensialkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential) di $1^-$ (turunan kirinya, berhingga), dan lalu $\E(X) = G_X'(1)$. Serupa itu $X$ punya momen kedua bila dan hanya bila $G_X$ dua kali [terdiferensialkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential) di $1^-$, dan lalu

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**Bukti.** Untuk $t \in \intoo{0}{1}$, penurunan suku demi suku di dalam cakramnya memberi $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$, yakni deret berkoefisien taknegatif: $t \mapsto G_X'(t)$ tidak turun pada $\intoo{0}{1}$, dan menurut kekonvergenan monoton jumlah parsialnya (atau teorema Abel bagi koefisien taknegatif, [Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries)),

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

dengan setiap ruasnya berhingga persis ketika ruas satunya berhingga. Bila berhingga, teorema nilai rata-rata mengapit hasil bagi selisihnya $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ di antara nilai $G_X'$, jadi $G_X$ [terdiferensialkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential) di $1^-$ dengan $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (menurut pemindahannya). Pernyataan orde keduanya mengulangi hujahnya satu tingkat lebih atas: $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ juga tidak turun pada $\intoo01$ dengan limit monoton $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$, yang berhingga persis ketika $X$ punya momen kedua. Rumus [ragamnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-variance) lalu menyusul dari König–Huygens:

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**Contoh 23.8.**

Poisson: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, jadi $\E(X) = \lambda$; $G''(1) = \lambda^2$, jadi $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 =
\lambda$ — yakni perhitungan pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar) yang masing-masing menjadi satu baris.

**Contoh 23.9 (Modus sebuah hukum Poisson).**

Di mana $\P(X = k)$ terbesar untuk $X \sim \mathcal
P(\lambda)$? Bobot berurutannya dibandingkan lewat nisbah

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

yang melampaui $1$ selama $k < \lambda - 1$ lalu jatuh di bawah $1$ begitu $k > \lambda - 1$: bobotnya naik lalu turun, dengan modus $\floor\lambda$ (dan seri antara $\lambda - 1$ dan $\lambda$ ketika $\lambda$ sebuah bilangan bulat: untuk $\lambda = 3$, $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$). Uji nisbah atas koefisiennya kerap menjadi jalan yang tercepat menuju fakta kualitatif tentang sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) diskret — tanpa perlu [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci), tetapi koefisiennya *adalah* [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci), yang dibaca suku demi suku.

## 23.2 Jumlah peubah yang saling bebas

**Teorema 23.10 (Kemultiplikatifan).**

Bila $X$ dan $Y$ [peubah acak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) bernilai-$\N$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), maka

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

dan menurut induksi $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ bagi $X_1, \dots, X_n$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence).

**Bukti.** Dua bukti, keduanya mendidik. *Lewat [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation):* $t^X$ dan $t^Y$ merupakan peubah terbatas yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), jadi ([Teorema 22.11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*Lewat hasil kali Cauchy:* [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) $X + Y$ adalah konvolusi $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$, dan teorema hasil kali Cauchy bagi deret yang konvergen [mutlak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-def) ([Bab 7](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#ch-b2-series)) mengalikan kedua deret pangkatnya persis sepanjang konvolusi itu. ∎

**Contoh 23.11 (Kestabilan hukum klasiknya).**

Binomial [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) dengan $p$ yang sama itu menjumlah: $(1 - p + pt)^m(1 -
p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$, jadi $\mathcal{B}(m, p) +
\mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — khususnya jumlah $n$ peubah Bernoulli yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) itu binomial, yang membuktikan ulang [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) banyaknya keberhasilan. Poisson yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) pun menjumlah: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$, jadi $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda +
\mu)$ — yakni perhitungan konvolusi pada [Latihan 22.2](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#exo-b2-randomvar-2), kini tanpa perhitungan.

**Contoh 23.12 (Dua dadu, satu suku banyak dikuadratkan).**

Untuk satu dadu setimbang, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$; adapun untuk jumlah dua dadu,

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

yakni [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) segitiga jumlah dadu ($7$ adalah modusnya, dengan peluang $\frac6{36} = \frac16$), yang terbaca dari sebuah suku banyak kuadrat yang orang kalikan sekali seumur hidup. Rumus konvolusinya akan menuntut sebelas hujah pencacahan terpisah; adapun [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) mengerjakan semuanya serentak, sebab mengalikan suku banyak *adalah* mengonvolusikan koefisien. Pengalihbahasaan mekanis ini — [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) menjadi koefisien, jumlah menjadi hasil kali — merupakan seluruh model usaha bab ini, dan [Latihan 23.11](#exo-b2-genfun-11) mendorongnya sampai ke dadu Sicherman yang mengejutkan.

**Contoh 23.13 (Tiga dadu dan sebuah pemerasan koefisien).**

Untuk jumlah $S$ tiga dadu setimbang, $\P(S = 10)$ adalah koefisien $t^{10}$ pada $\bigl(\frac{t + \dots +
t^6}6\bigr)^3$. Faktorkan lalu uraikan dengan deret binomial dan deret geometrik:

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

Koefisien $t^{10}$ menuntut $t^7$ dari hasil kalinya: $j = 7$ dengan suku $1$, dan $j = 1$ dengan suku $-3t^6$:

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

Pencacahan langsung atas $27$ tripelnya rawan keliru; adapun aljabarnya mekanis dan berskala ke berapa pun banyaknya dadu — inklusi–eksklusi yang terlihat pada $(1 - t^6)^3$ sedang mengerjakan telaah kasusnya secara otomatis.

**Contoh 23.14 (Membaca sebuah hukum dari fungsi pembangkitnya).**

[Hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) mana yang punya $G(t) = \dfrac1{2 - t}$? Uraikan menjadi deret pangkat:

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

yakni koefisien taknegatif yang berjumlah $G(1) = 1$, jadi ini sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) sejati, $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ pada $\N$ — sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) geometrik yang bermula di $0$. Menurut ketunggalannya ([Proposisi 23.3](#prop-b2-genfun-radius)), tak ada [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) lain yang berbagi $G$ ini. Mengenali [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) dari [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) merupakan keterampilan yang layak dilatih: begitulah iterat percabangan kritis $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ pada soal akhir pekan itu tersingkap sebagai [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) geometrik yang disyaratkan pada kesintasannya.

**Catatan 23.15.**

Kestabilannya berlaku satu arah saja: jumlah Poisson yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) itu Poisson, tetapi selisihnya tidak — $X - Y$ mengambil nilai negatif, jadi ia sama sekali tak punya [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci), dan [hukumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) ([distribusi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) Skellam) terletak di luar perkakas bab ini. Begitu pula $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ dengan $p \neq p'$ *bukanlah* binomial: hasil kali $(1 - p +
pt)^m(1 - p' + p't)^n$ punya dua letak akar yang berbeda, sedangkan setiap [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) binomial punya satu akar berulang tunggal. Membaca kestabilan dari pola akarnya merupakan cuplikan kecil tentang betapa banyak struktur yang disandikan suku banyaknya.

**Catatan 23.16 (Tapis akar satuan).**

Mengevaluasinya di $-1$ memisahkan yang genap dari yang ganjil; mengevaluasinya di semua akar satuan ke-$m$ memisahkan setiap kelas sisanya: dengan $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$,

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

sebab merata-ratakan $\omega^{j(k-r)}$ atas $j$ menghasilkan $1$ bila $k
\equiv r$ dan $0$ bila tidak. Contoh hasilnya: untuk jumlah $S$ dua dadu setimbang, setiap $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6
\omega^{jk} = -\frac16$ untuk $j \neq 0$ (ketujuh akar satuan ketujuh berjumlah nol), jadi

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

yang membenarkan cacahan pada [Contoh 23.12](#ex-b2-genfun-twodice) — dan metodenya berskala ke pertanyaan yang tak terjangkau pencacahan langsung.

**Teorema 23.17 (Jumlah acak: kesamaan Wald bagi fungsi pembangkit).**

Misalkan $(X_k)_{k\geq1}$ peubah bernilai-$\N$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) dengan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) dan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$ yang sama, dan misalkan $N$ sebuah peubah bernilai-$\N$ yang bebas dari $X_k$, dengan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_N$. Maka jumlah acak $S = X_1 + \dots + X_N$ (dengan $S = 0$ ketika $N = 0$) punya [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

Khususnya, bila $N$ dan $X_1$ punya [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation), maka $\E(S) =
\E(N)\,\E(X_1)$.

**Bukti.** Syaratkanlah pada $N$ (peluang total, [Teorema 21.14](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#thm-b2-proba-bayes)): untuk $\abs t \leq 1$,

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

dengan memakai kemultiplikatifannya bagi setiap $n$ yang tetap dan keterjumlahan seluruh keluarga rangkapnya ($\abs{G_X(t)} \leq 1$). Adapun pertukaran penjumlahannya adalah Fubini bagi keluarga yang [terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable) ([Bab 7](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#ch-b2-series)). Menurunkannya di $1^-$ dengan aturan rantai dan [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments): $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1)
= G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$. ∎

**Contoh 23.18 (Poisson majemuk: kerugian asuransi setahun).**

Sebuah penanggung menerima $N \sim \mathcal P(\lambda)$ klaim dalam setahun, dengan setiap klaim berbiaya $X_k$ (satuan bulat, berhukum sama dan [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, rerata $\mu$, bebas dari $N$). Menurut [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), kerugian total $S$ punya

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

dan dengan menurunkannya dua kali di $1^-$:

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

[Ragamnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-variance) melibatkan momen *kedua* sebuah klaim tunggal, bukan [ragamnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-variance): jumlah Poisson majemuk merasakan klaim besar yang sesekali itu dua kali — sekali lewat berapa banyaknya, sekali lewat berapa besarnya. Untuk $\lambda = 10$ klaim berhukum geometrik dengan rerata $2$ ($\E X^2 = 6$): $\E S = 20$, $V(S) = 60$, dan Chebyshev ([Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar)) sudah memberikan marjin solvabilitas yang terpakai. Pola “jumlah yang terhenti secara acak” ini sama dengan pola yang kelak menggerakkan rekursi percabangan pada [Proposisi 23.23](#prop-b2-genfun-branching): komposisi [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) adalah aljabar populasi acak.

**Catatan 23.19.**

Kebebasan $N$ dari sukunya bukanlah hiasan. Ambil $X_k \in \{0, 2\}$ dengan peluang sama lalu tetapkan $N =
X_1$ (yang terang-terangan bergantung): maka $S = X_1 + \dots + X_N$ bernilai $0$ ketika $X_1 = 0$, dan $2 + X_2$ ketika $X_1 = 2$, jadi $\E(S) =
\frac12(2 + 1) = \frac32$, sedangkan $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 =
1$: kesamaan Wald gagal. Ketika banyaknya suku dibiarkan *bereaksi* terhadap sukunya sendiri, struktur hasil kali yang rapi itu runtuh — adapun teori [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) kaidah “penghentian” semacam itu merupakan bab martingal pada jilid Tahun ke-3.

## 23.3 Hampiran Poisson

**Teorema 23.20 (Hukum kejadian langka).**

Misalkan $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ dengan $n\,p_n \to \lambda > 0$. Maka untuk setiap $k \in \N$:

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

yakni [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) binomial bagi banyak [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) langka yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) konvergen ke [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) Poisson berparameter $\lambda$.

**Bukti.** Perhitungan langsung dengan $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$, $\lambda_n
\to \lambda$:

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

Ketika $n \to \infty$ dengan $k$ tetap: faktor pertamanya menuju $1$ (hasil kali $k$ faktor $\to 1$); $\lambda_n^k \to \lambda^k$; dan $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} =
\exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to
e^{-\lambda}$ sebab $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)
\sim -\lambda_n \to -\lambda$ ([Bab 6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/6-perbandingan-fungsi#ch-b2-comparison)). Sebagai gantinya, pada tataran [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci): $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ untuk setiap $t \in [0, 1]$ yang tetap — yakni kekonvergenan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci), yang (bagi peubah bernilai-$\N$) setara dengan kekonvergenan setiap $\P(X_n = k)$; lihat [Latihan 23.9](#exo-b2-genfun-9). ∎

**Catatan 23.21.**

Itulah sebabnya [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) Poisson dipakai untuk memodelkan [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) langka — salah ketik per halaman, peluruhan radioaktif per detik, kecelakaan per hari di sebuah persimpangan: setiap kesempatannya nyaris dapat diabaikan, kesempatannya banyak, dan hanya laju reratanya $\lambda$ yang bertahan pada limitnya.

**Contoh 23.22 (Menyaksikan limit Poisson konvergen).**

Tetapkan $\lambda = 2$ lalu ambil $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$. Adapun peluang tanpa [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) persis $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$:

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

terhadap limitnya $\eu^{-2} \approx 0.135$. Kekonvergenannya monoton dan berlaju $O(1/n)$ — dengan menguraikannya, $(1 -
2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — jadi untuk $n$ yang bernilai ratusan model Poissonnya sudah tepat sampai digit ketiga. Itulah isi praktis [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) langka: pemodelnya tak pernah mengetahui $n$ dan $p$ secara terpisah (berapa banyak kesempatan mikro salah ketik yang dimuat satu halaman?), melainkan hanya hasil kalinya $\lambda$, dan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) limitnya dengan murah hati tak bergantung pada apa pun yang lain.

## 23.4 Proses percabangan

Tinjaulah sebuah populasi yang bermula dari satu leluhur; setiap individu, secara [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), punya banyak anak yang acak dengan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k
\in \N}$ dan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ (yakni *[distribusi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan*). Misalkan $Z_n$ ukuran generasi $n$ ($Z_0 =
1$), dan misalkan $m = G'(1) = \E(Z_1)$ rerata banyaknya keturunan.

**Proposisi 23.23.**

[Fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $Z_n$ adalah iterat ke-$n$ $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ (sebanyak $n$ kali), dan peluang kepunahan $q_n = \P(Z_n = 0)$ memenuhi

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

lalu naik menuju peluang $q$ kepunahan pada akhirnya, yang merupakan titik tetap $G$.

**Bukti.** Generasi $n + 1$ merupakan jumlah acak keturunan dari $Z_n$ anggota generasi $n$, dengan cacahnya [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) satu sama lain dan bebas dari $Z_n$: [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound) memberi $G_{Z_{n+1}} =
G_{Z_n} \circ G$, dan induksi dari $G_{Z_0}(t) = t$ menghasilkan iterat $n$ lapisnya — yang, menurut keasosiatifan komposisinya, dapat pula dibaca sebagai $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$. Dengan mengevaluasi bentuk kedua ini di $0$: $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) =
G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$. [Kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) $\{Z_n = 0\}$ naik (populasi yang punah tetap punah), jadi $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ menurut kekontinuan monoton ([Teorema 21.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#thm-b2-proba-continuity)), dan kekontinuan $G$ pada $[0, 1]$ mengubah $q_{n+1} = G(q_n)$ menjadi $q =
G(q)$ pada limitnya. ∎

**Contoh 23.24 (Menyaksikan kepunahan konvergen).**

Untuk [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14,
\tfrac14, \tfrac12)$ pada [Contoh 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample), $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ dan iterasi $q_{n+1} = G(q_n)$ memberi

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

yang memanjat menuju peluang kepunahan $q = \tfrac12$. Selisihnya $q - q_n$ adalah $0.25$, $0.156$, $0.105$, $0.073$, $0.052$: masing-masing kira-kira $\tfrac34$ kali sebelumnya, dan memang teorema nilai rata-rata memberi $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q
- q_n)$ dengan $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$. Dua pelajarannya: sebuah garis keluarga yang masih hidup pada generasi $n$ punya, terpasang dalam perhitungan yang sama, peluang $q - q_n$ untuk punah kemudian; dan laju kekonvergenan tangga pada gambar di bawah adalah turunannya di titik tetapnya — adapun soal akhir pekannya mengubah kedua pengamatan itu menjadi teorema.

**Teorema 23.25 (Kriteria kepunahan).**

Andaikan $p_1 \neq 1$. Peluang kepunahan $q$ merupakan titik tetap *terkecil* $G$ pada $\intcc{0}{1}$, dan:

- bila $m \leq 1$ (subkritis atau kritis), maka $q = 1$ : kepunahannya pasti;
- bila $m > 1$ (superkritis), maka $q < 1$ : populasinya sintas selamanya dengan peluang positif $1 - q$ .

**Bukti.** $G$ [cembung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-convex) pada $\intcc{0}{1}$ (deret pangkat berkoefisien taknegatif: $G'' \geq 0$), tidak turun, dengan $G(1) = 1$.

*Titik tetap terkecil:* ambil $r \in \intcc{0}{1}$ sebarang titik tetap. Maka $q_0 = 0 \leq r$, dan secara induktif $q_{n+1} = G(q_n)
\leq G(r) = r$ (kemonotonannya): jadi $q = \lim q_n \leq r$.

*Kasus $m \leq 1$:* andaikan $r < 1$ sebuah titik tetap. Menurut teorema nilai rata-rata pada $[r, 1]$, ada $c \in \intoo{r}{1}$ dengan $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$. Padahal $G'$ tidak turun (kecembungannya) dengan $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m
\leq 1$, jadi $G' \leq 1$ pada $\intoo{0}{1}$; kesamaan $G'(c) =
1$ lalu memaksa $G'$ konstan bernilai $1$ pada $\intco{c}{1}$, sehingga $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ di sana. Deret pangkat berkoefisien taknegatif yang lenyap pada sebuah selang punya semua koefisien itu nol: $p_n = 0$ untuk $n \geq 2$, jadi $G(t) = p_0
+ p_1t$ dan $1 = G'(c) = p_1$ — yang bertentangan dengan hipotesis $p_1 \neq 1$. Jadi $1$ satu-satunya titik tetapnya: $q = 1$.

*Kasus $m > 1$:* di dekat $1$, $G(t) - t$ berturunan $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ ketika $t \to 1^-$, jadi $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ pada suatu selang $\intoo{1 - \delta}{1}$: fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) $G(t) - t$ bernilai $\geq 0$ di $t = 0$ ($G(0) = p_0 \geq 0$) dan $< 0$ tepat di bawah $1$, jadi ia lenyap di suatu $r < 1$ (teorema nilai antara). Titik tetap terkecilnya lalu $q \leq r < 1$. ∎

![Peluang kepunahan sebagai iterasi titik tetap q_n+1 = G(q_n) yang bermula di q_0 = 0 (tangga merah). Kiri: sebuah hukum keturunan subkritis — kurva cembungnya tetap di atas diagonalnya, dan iterasinya memanjat ke titik tetap tunggal 1. Kanan: sebuah hukum superkritis — kurvanya memotong diagonalnya di q < 1, tempat iterasinya berhenti: kesintasannya berpeluang 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-b000951f5d4d.svg)

![Peluang kepunahan sebagai iterasi titik tetap q_n+1 = G(q_n) yang bermula di q_0 = 0 (tangga merah). Kiri: sebuah hukum keturunan subkritis — kurva cembungnya tetap di atas diagonalnya, dan iterasinya memanjat ke titik tetap tunggal 1. Kanan: sebuah hukum superkritis — kurvanya memotong diagonalnya di q < 1, tempat iterasinya berhenti: kesintasannya berpeluang 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-126f02aa14b3.svg)

***Gambar 23.1.** Peluang kepunahan sebagai iterasi titik tetap $q_{n+1} = G(q_n)$ yang bermula di $q_0 = 0$ (tangga merah). Kiri: sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan subkritis — kurva [cembungnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-convex) tetap di atas diagonalnya, dan iterasinya memanjat ke titik tetap tunggal $1$. Kanan: sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) superkritis — kurvanya memotong diagonalnya di $q < 1$, tempat iterasinya berhenti: kesintasannya berpeluang $1 -
q > 0$.*

**Catatan 23.26 (Cara membaca sarang laba-labanya).**

Pada gambarnya, langkah tegak menerapkan $G$ (dari $(q_n, q_n)$ naik ke $(q_n, G(q_n))$), sedangkan langkah mendatar menuju diagonalnya mengubah keluaran menjadi masukan: tangganya *adalah* rekursi $q_{n+1} = G(q_n)$. Kecembungan $G$ dan $G(1) = 1$ menyisakan dua geometri saja. Entah kurvanya tetap di atas diagonalnya pada $\intco01$ (rerata $m \leq 1$): tangganya tak punya tempat berhenti sebelum $1$. Entah kurvanya memotong di suatu $q <
1$ ($m > 1$): tangganya terperangkap di bawah perpotongannya lalu konvergen ke sana, dengan laju geometrik $G'(q) < 1$ yang dikuantifikasi pada [Contoh 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics). Seluruh telaah teorema kepunahannya terlihat pada satu gambar ini — itulah sebabnya ia layak digambar sebelum dihitung.

**Contoh 23.27.**

[Hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan: tanpa anak, satu anak, dua anak dengan peluang $\frac14, \frac14, \frac12$. Maka $m = \frac14 + 1 =
\frac54 > 1$ dan $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$. Titik tetapnya: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$, yakni $2t^2 - 3t
+ 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$: $q = \frac12$. Garis keluarganya punah dengan peluang $\frac12$ — dan dengan peluang $\frac12$ ia hidup selamanya.

**Catatan 23.28 (Perspektif di dalam jilid ini).**

Bab ini merupakan persimpangan buku ini, dan setiap bahannya datang dari tempat yang bernama: aljabar deretnya dari [Bab 7](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#ch-b2-series) dan [Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries), peluangnya dari [Bab 21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#ch-b2-proba) (kekontinuan monoton membuktikan $q_n \uparrow q$) dan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar) ($G_X =
\E(t^X)$ sebuah [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation), kemultiplikatifannya adalah teorema hasil kali), kecembungannya dari [Bab 8](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/8-fungsi-peubah-real#ch-b2-realfun) sampai [Bab 17](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#ch-b2-affine). Bahkan kepatologian ekor beratnya pun [terhubung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-connected): peubah St Petersburg pada bab sebelumnya punya $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$, yakni deret yang konvergen sempurna pada $\intcc01$ yang turunannya di $1^-$ divergen — rerata tak hingga, terlihat sekilas pandang. Satu objek, segala perkakas tahun ini: sebuah bab penutup yang pantas.

**Catatan 23.29 (Jebakan yang lazim).**

(i) [Fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) hanya berlaku bagi peubah bernilai-$\N$: bagi peubah bertanda atau tak bulat, objek $\E(t^X)$ kehilangan struktur deret pangkatnya (Tahun ke-3 menggantinya dengan transformasi yang disesuaikan dengan $\R$). (ii) Pemeriksaan kewarasan pertama atas setiap $G$ yang terhitung adalah $G(1) = 1$; yang kedua adalah bahwa koefisiennya taknegatif — koefisien negatif berarti kekeliruan aljabar, bukan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) baru. (iii) Pada jumlah acak, urutan komposisinya penting: $G_S = G_N \circ G_X$, dengan fungsi *luarnya* mencacah sukunya; menyusunnya dengan cara sebaliknya tak bermakna ($G_X \circ G_N$ akan mencacah benda dari benda). (iv) Kemultiplikatifannya perlu kesalingbebasan dan sumber keacakan yang berbeda: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$, bukan $G_X(t)^2$. (v) Menurunkannya di $1$ merupakan operasi perbatasan: ketika jari-jarinya persis $1$, seperti pada [Contoh 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail), $G'(1^-)$ boleh jadi tak hingga, dan perumusan limit monoton pada teorema momennya bukanlah kerewelan bertele-tele melainkan pernyataan yang jujur.

## Menutup jilid ini

[Fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) merupakan objek penutup yang pantas bagi buku ini: ia sekaligus sebuah deret pangkat ([Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries)), sebuah perkakas keluarga yang [terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable) ([Bab 7](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#ch-b2-series)), sebuah [nilai harapan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation) ([Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar)), sebuah fungsi [cembung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-convex) yang geometrinya memutuskan kepunahan ([Bab 8](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/8-fungsi-peubah-real#ch-b2-realfun)), dan sebuah iterasi titik tetap ([Bab 4](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#ch-b2-metric)). Matematika Tahun ke-2 adalah satu pokok bahasan. Adapun jilid Tahun ke-3 akan membuka pintu yang sengaja dibiarkan tertutup di sini: integral Lebesgue (yang melunasi teorema kekonvergenan terdominasi pada [Bab 9](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/9-pengintegralan#ch-b2-integration)), peluang berteori ukuran pada ruang yang takterbilang, dan bukti [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) teorema fungsi invers ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#ch-b2-diffcalc)) dalam latar geometri [diferensial](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/15-kalkulus-diferensial#def-b2-diffcalc-differential).

## 23.5 Latihan

**Latihan 23.1 ★.**

Hitunglah [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) hukum seragam pada $\{1, 2,
\dots, 6\}$ (sebuah dadu setimbang). Tunjukkan bahwa jumlah dua dadu setimbang *tak mungkin* seragam pada $\{2, \dots, 12\}$: faktorkan $G_{X+Y}$ lalu cacah akarnya. *(Jumlah yang seragam akan memaksa $G_X(t)G_Y(t) =
\frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$, yang akar taknolnya adalah akar satuan ke-$11$ selain $1$ — dan tak satu pun real — sedangkan $G_X/t$ dan $G_Y/t$ merupakan suku banyak real berderajat $5$, yang masing-masing memiliki sedikitnya satu akar real.)*

**Solusi Latihan 23.1.**

Dadu setimbang: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t
+ \dots + t^5)$. Andaikan jumlah dua dadu setimbang seragam pada $\{2, \dots, 12\}$, maka

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

Padahal $h$ merupakan suku banyak real berderajat ganjil $5$, jadi ia punya akar real (teorema nilai antara; secara nyata $h(-1) = 0$), sehingga $h^2$ punya akar real. Namun $\sum_{k=0}^{10}t^k$ tak punya: ia positif untuk $t \geq 0$, dan untuk $t < 0$ ia sama dengan $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$, yakni hasil bagi dua bilangan negatif. Kontradiksi — jadi jumlah dua dadu setimbang tak pernah seragam (sebagaimana dibenarkan [distribusi](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) segitiga jumlah dadu yang sudah kita kenal).

**Latihan 23.2 ★.**

Dengan memakai [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci), pulihkan $\E$ dan $V$ bagi [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) binomial dan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) geometrik ([Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments)).

**Solusi Latihan 23.2.**

*Binomial:* $G(t) = (1 - p + pt)^n$, $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$, $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$, jadi

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*Geometrik* ($q = 1 - p$): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$, jadi $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ dan $G''(t) = \frac{2pq}{(1 -
qt)^3}$; di $t = 1$ (dengan memakai $1 - q = p$):

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

yang cocok dengan [Latihan 22.1](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#exo-b2-randomvar-1) dengan kerja yang lebih sedikit.

**Latihan 23.3 ★.**

Dua dadu yang dicurangi: mungkinkah mencurangi dua dadu (secara [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), seidentik atau tidak) sehingga jumlahnya seragam pada $\{2, \dots,
12\}$? *(Halangan pemfaktoran yang sama seperti pada [Latihan 23.1](#exo-b2-genfun-1): jawabannya tidak, bahkan dengan kecurangan yang berbeda, sebab setiap faktor $G_X(t)/t$ berderajat ganjil $5$, sehingga punya akar real, sedangkan sasarannya tak punya.)*

**Solusi Latihan 23.3.**

Tidak, bahkan dengan kecurangan yang berbeda. Andaikan $X, Y$ [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) pada $\{1, \dots, 6\}$ yang jumlahnya seragam. Maka $G_X(t) = t\,a(t)$ dan $G_Y(t) = t\,b(t)$ dengan $a, b$ suku banyak real berderajat *paling besar* $5$ — dan derajatnya wajib berjumlah $10$ (jumlahnya mencapai $12$ dengan peluang positif), jadi $\deg a = \deg b = 5$, keduanya ganjil. Seperti pada [Latihan 23.1](#exo-b2-genfun-1),

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

akan memaksa adanya akar real di ruas kirinya (setiap suku banyak real berderajat ganjil punya satu) dan tak ada di ruas kanannya. Jadi tak ada kecurangan atas dua dadu yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) — sama atau tidak — yang menghasilkan jumlah seragam.

**Latihan 23.4 ★★.**

Misalkan $X_1, X_2, \dots$ Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) dan $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ bebas darinya. Tunjukkan, lewat [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), bahwa $S = X_1 + \dots + X_N
\sim \mathcal{P}(\lambda p)$: sebanyak Poisson benda, yang masing-masing disimpan dengan peluang $p$, menyisakan sebanyak Poisson pula — yakni *penipisan*. Hitunglah pula [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) cacah yang terbuang lalu kagumilah: ia $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$, dan dapat ditunjukkan bahwa ia bebas dari $S$.

**Solusi Latihan 23.4.**

Menurut [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound) dengan $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ dan $G_X(t) = 1 - p + pt$:

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$. Adapun cacah yang terbuang $D = N - S$ mencacah benda yang sama yang disimpan dengan peluang $1 - p$, jadi menurut perhitungan yang sama $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$. Kesalingbebasannya, secara langsung: untuk $j, k \in \N$,

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

dengan $q = 1 - p$: [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) gabungannya terfaktorkan menjadi $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$. Sebuah arus Poisson yang terbelah secara acak menghasilkan arus Poisson yang *[saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence)* — mukjizat kecil yang terus-menerus dipakai dalam teori antrean.

**Latihan 23.5 ★★.**

(Binomial negatif) Misalkan $T_r$ banyaknya lemparan untuk memperoleh $r$ gambar (peluang gambar $p$). Tuliskan $T_r$ sebagai jumlah $r$ peubah geometrik yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), lalu simpulkan

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

lalu uraikan $G_{T_r}$ untuk memperoleh $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$.

**Solusi Latihan 23.5.**

Waktu tunggu antara gambar yang berurutan merupakan peubah geometrik $\mathcal{G}(p)$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) (sifat tanpa ingatannya: sesudah setiap gambar permainannya mulai lagi), jadi $T_r = W_1 + \dots + W_r$ dan kemultiplikatifannya ([Teorema 23.10](#thm-b2-genfun-product)) memberi

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$; [ragamnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-variance) menjumlah menurut kesalingbebasannya). Penguraiannya: menurut deret binomial yang diperumum ([Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries)), $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0}
\binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$, jadi koefisien $t^n$ pada $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ adalah (dengan $m = n - r$)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

yakni [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) *binomial negatif* — secara kombinatorik: gambar ke-$r$ jatuh pada lemparan $n$ bila dan hanya bila $r - 1$ gambar sebelumnya memilih tempatnya di antara $n - 1$ lemparan pertamanya.

**Latihan 23.6 ★★.**

Untuk [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan $p_0 = \frac18$, $p_1 = \frac38$, $p_2 =
\frac38$, $p_3 = \frac18$: hitunglah $m$, putuskanlah kesuperkritisannya, lalu hitunglah peluang kepunahan $q$ secara persis. *(Faktorkan keluar akar $t = 1$ dari $G(t) - t$.)*

**Solusi Latihan 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$: superkritis. [Fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) adalah

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

jadi titik tetapnya memecahkan $(1 + t)^3 = 8t$, yakni $t^3 + 3t^2 - 5t + 1
= 0$. Dengan memfaktorkan keluar akar terjaminnya $t = 1$:

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

dan $t^2 + 4t - 1 = 0$ memberi $t = -2 \pm \sqrt5$. Akar pada $\intco{0}{1}$ adalah $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$: menurut [Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction),

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(Pemeriksaan yang menyenangkan: [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunannya adalah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) $3$ koin setimbang yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$.)

**Latihan 23.7 ★★★.**

(Total keturunan) Pada sebuah [proses percabangan](#pb-b2-genfun-1) subkritis ($m < 1$), misalkan $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ jumlah seluruh individu yang pernah lahir. Tunjukkan $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (sahkanlah pertukaran penjumlahannya), lalu buktikan bahwa [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ memenuhi persamaan fungsional $H(t) = t\,G(H(t))$. *(Leluhurnya, ditambah total keturunan masing-masing anaknya, yang merupakan salinan bebas dari $Y$.)*

**Solusi Latihan 23.7.**

*[Nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation).* Mula-mula $\E(Z_n) = m^n$: menurut [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$, dan $\E(Z_0) = 1$. Keluarga $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ taknegatif, jadi Fubini untuk keluarga berlaku tanpa syarat:

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(khususnya $Y$ berhingga hampir pasti: sesuai dengan kepunahan yang pasti pada kasus subkritisnya).

*Persamaan fungsionalnya.* Uraikan populasinya menurut anak leluhurnya: bila leluhurnya punya $Z_1 = k$ anak, maka total keturunannya adalah $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$, dengan $Y_i$ menyatakan total keturunan garis anak ke-$i$ — dan $Y_i$ merupakan salinan $Y$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), bebas pula dari $Z_1$ (garis yang berbeda memakai [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) perkembangbiakan yang saling lepas dan [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence)). Dengan menyaratkan pada $Z_1$ seperti pada [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound):

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

dengan faktor $t$ memperhitungkan leluhurnya sendiri. (Untuk [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) $p_0 = 1 - p$, $p_2 = p$ pada percabangan biner, persamaan kuadrat dalam $H$ ini dapat dipecahkan secara eksplisit lalu diuraikan — dan [bilangan Catalan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-catalan) pada [Bab 11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ch-b2-powerseries) mencacah pohon keluarganya.)

**Latihan 23.8 ★★★.**

Misalkan $X$ berfungsi pembangkit $G$ dengan [jari-jari kekonvergenan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#def-b2-powerseries-radius) $>
1$. Buktikanlah *batas ekor eksponensialnya*: ada $C > 0$ dan $\rho \in \intoo{0}{1}$ dengan $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$. *(Markov yang diterapkan pada $t^X$ untuk sebuah $t > 1$ yang tetap di dalam cakramnya.)* Sebaliknya, tunjukkan bahwa bila $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ dengan $\rho < 1$, maka jari-jari $G$ adalah $\geq 1/\rho > 1$.

**Solusi Latihan 23.8.**

Misalkan $R > 1$ jari-jarinya lalu tetapkan $t \in \intoo{1}{R}$. Maka $\E(t^X) = G(t) < \infty$, dan ketaksamaan Markov ([Teorema 22.15](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#thm-b2-randomvar-markov)) yang diterapkan pada peubah taknegatif $t^X$ pada aras $t^n$:

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*Konversnya:* bila $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, maka $p_n \leq
\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, jadi untuk $\abs t < \frac1\rho$ deret $\sum p_n\abs t^n$ terdominasi oleh deret geometrik yang konvergen $C\sum(\rho\abs t)^n$: jari-jarinya sedikitnya $\frac1\rho > 1$. Jari-jari [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) dan peluruhan geometrik ekornya merupakan dua muka satu sifat yang sama.

**Latihan 23.9 ★★★.**

(Teorema kekontinuan, kasus dasarnya) Misalkan $X, X_1, X_2, \dots$ bernilai-$\N$ dengan $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ untuk setiap $t \in
\intco{0}{1}$. Tunjukkan bahwa $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ untuk setiap $k$. *(Induksi atas $k$: untuk $k = 0$ ambil $t \to 0$ — dengan hati-hati: tetapkan $t$ yang kecil, pakailah $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)}
\leq \frac{t}{1-t}$, yang sah sebab ekornya $\sum_{j \geq 1}p_jt^j
\leq \frac{t}{1 - t}$; lalu diagonalkan. Untuk langkah induksinya, tinjaulah $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$, yakni [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) yang tergeser.)*

**Solusi Latihan 23.9.**

Tuliskan $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$, $p_k = \P(X = k)$.

*Kasus $k = 0$.* Untuk $t \in \intoo{0}{1}$ dan sebarang [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) $(q_j)$ dengan $\sum_j q_j \leq 1$:

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

Jadi

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

Diberikan $\varepsilon > 0$, pilihlah $t$ dengan $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$, lalu $n_0$ sedemikian sehingga suku terakhirnya $<
\frac\varepsilon2$ untuk $n \geq n_0$: jadi $p_0^{(n)} \to p_0$.

*Langkah induksinya.* Andaikan $p_j^{(n)} \to p_j$ untuk $j < k$. Tinjaulah fungsi yang *tergeser*

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

yakni [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) barisan subpeluang $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (bermassa total $\leq 1$, dan hanya itulah yang dipakai hujah $k = 0$). Untuk $t \in \intoo{0}{1}$ yang tetap, $g_n(t)
\to g(t)$ menurut hipotesisnya dan kasus $k = 0$. Menerapkan hujah $k =
0$ pada $g_n$ memberi $p_1^{(n)} \to p_1$; dengan mengiterasi geserannya $k$ kali diperoleh $p_k^{(n)} \to p_k$ untuk setiap $k$. (Inilah contoh diskret dan dasar teorema kekontinuan Lévy, yang bentuk umumnya — bagi fungsi karakteristik — merupakan tonggak Tahun ke-3.)

**Latihan 23.10 ★.**

(Kiat keparitasan) Tunjukkan bahwa untuk peubah bernilai-$\N$ bernama $X$,

$$
\P(X \text{ genap}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,
$$

lalu hitunglah peluang ini untuk $X \sim \mathcal P(\lambda)$ dan $X \sim \mathcal B(n, p)$. Apakah makna $G_X(-1) \to 0$ secara peluang?

**Solusi Latihan 23.10.**

Secara [titik demi titik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#def-b2-funcseq-def), $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ bernilai $1$ ketika $X$ genap dan $0$ ketika ganjil, jadi dengan mengambil [nilai harapannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-expectation) (pemindahan),

$$
\P(X \text{ genap}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

Poisson: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ ketika $\lambda$ membesar. Binomial: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$. Pada kedua kasusnya $G_X(-1) \to 0$ berarti keparitasan $X$ menjadi koin yang setimbang: [hukumnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) menyebar ke banyak bilangan bulat lalu melupakan keparitasannya.

**Latihan 23.11 ★★.**

(Dadu Sicherman) Sahkanlah pemfaktoran [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) dadu setimbangnya

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

lalu tunjukkan bahwa kedua dadu bermuka $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ dan $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ punya [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ dan $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$, yang hasil kalinya sama dengan hasil kali dua dadu baku: dadu eksotis ini menghasilkan setiap total $2,
\dots, 12$ dengan peluang yang persis sama dengan peluang bakunya.

**Solusi Latihan 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ dan $1 - t^6 =
(1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$, yang memberikan pemfaktoran yang dinyatakan itu. Untuk dadu pertamanya, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 +
2t + 2t^2 + t^3$, jadi $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t +
2t^2 + 2t^3 + t^4}6$: bermuka $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$. Untuk yang kedua, dengan menguraikan

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

jadi $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4
+ t^5 + t^6 + t^8}6$: bermuka $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. Adapun hasil kali kedua [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) menyusun ulang keenam faktornya menjadi $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6
\bigr)^2$, yakni kuadrat fungsi dadu bakunya: pasangan Sicherman itu berhukum persis sama dengan yang baku bagi totalnya — dan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) mengelompokkan semua penyusunan ulang semacam itu.

**Latihan 23.12 ★★★.**

(Menunggu dua gambar berturut-turut) Sekeping koin dengan peluang gambar $p$ dilempar sampai muncul dua gambar berurutan; misalkan $T$ banyaknya lemparan (permainan pada [Latihan 21.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#exo-b2-proba-6)). Dengan menyaratkan pada lemparan pertamanya, turunkan sistem linear bagi [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) dari keadaan “belum ada gambar” dan “sudah satu gambar”, lalu simpulkan

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p);
$$

periksalah $G_T(1) = 1$ dan $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ($= 6$ untuk koin yang setimbang).

**Solusi Latihan 23.12.**

Misalkan $A$ dan $B$ [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) sisa lamanya permainan yang bermula dari “belum ada gambar” dan “sudah satu gambar”. Satu lemparan terpakai, lalu: dari keadaan $0$, angka mengembalikannya ke keadaan $0$, sedangkan gambar memindahkannya ke keadaan $1$; dari keadaan $1$, gambar mengakhiri permainannya, sedangkan angka mengembalikannya ke keadaan $0$:

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

Dengan menyubstitusikannya: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$, jadi

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

Di $t = 1$ penyebutnya adalah $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$: $G_T(1) = 1$, jadi permainannya berakhir hampir pasti (sebagaimana ditunjukkan [Latihan 21.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#exo-b2-proba-6) lewat rekursi). Penurunan logaritmik di $1$: $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ dengan $D(t) = 1 - qt - pqt^2$, $D'(1) = -q - 2pq$:

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

yang bernilai $6$ untuk $p = \frac12$.

## 23.6 Soal: proses Galton–Watson, terpecahkan

**Soal 23.1.**

Soal akhir pekan — laju tumbuh, pemecahan persis, total keturunan, dan taksiran kritis Kolmogorov

Kriteria kepunahan ([Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) membelah [proses percabangan](#pb-b2-genfun-1) menjadi subkritis, kritis, dan superkritis — tetapi ia tak berkata apa pun tentang *lajunya*: seberapa cepat garis yang tertakdir punah itu mati, seberapa besar garis yang sintas itu tumbuh. Soal ini menghitungnya. Kita pertahankan notasi babnya: [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan $(p_k)$ dengan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$, rerata $m = G'(1)$, ukuran generasi $Z_n$ ($Z_0 = 1$), iterat $G_n = G_{Z_n}$, peluang kepunahan $q_n = \P(Z_n = 0)
\uparrow q$; kita selalu mengandaikan $p_1 \neq 1$ dan, di tempat momen kedua muncul, $G''(1) < \infty$, lalu kita tuliskan $\sigma^2 =
V(Z_1)$.

**Bagian I — Momen generasinya.**

1. Tunjukkan $\E(Z_n) = m^n$ *(aturan rantai pada $G_n = G  \circ G_{n-1}$ di $1^-$, dengan memakai $G_{n-1}(1) = 1$ dan [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments))* .
2. Tegakkan rekursi $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ lalu pecahkan: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ untuk $m \neq 1$ , dan $G_n''(1) = n\,G''(1)$ untuk $m =  1$ .
3. Simpulkan $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (Laju subkritis, batas atas) Untuk $m < 1$ , tunjukkan $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(Markov pada $Z_n$ yang bernilai bulat)* : kepunahannya pasti dengan laju geometrik — yakni penghalusan kuantitatif atas kriteria babnya.
5. (Laju subkritis, batas bawah) Dengan memakai Cauchy–Schwarz pada $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$, tunjukkan $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{dengan}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ laju geometriknya $m^n$ persis sampai konstantanya.

**Bagian II — Keluarga geometrik, terpecahkan persis.** Ambil [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan yang geometrik pada $\N$: $p_k =
qp^k$ ($k \geq 0$), dengan $0 < p < 1$, $q = 1 - p$.

6. Hitunglah $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ dan $m = \dfrac  pq$ ; lalu letakkan ketiga rezimnya dalam $p$ .
7. Pecahkan $G(t) = t$ : tunjukkan bahwa titik tetapnya $1$ dan $q/p = 1/m$ , lalu pulihkan peluang kepunahannya $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
8. Buktikan menurut induksi [bentuk tertutupnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#def-b2-multint-exact) $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. Simpulkan laju persisnya: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ pada kasus subkritisnya, dan $q_{\mathrm{ext}} - q_n  \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ pada kasus superkritisnya; periksalah bahwa nisbah pengerutan superkritisnya adalah $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
10. Kasus kritisnya ( $p = \tfrac12$ ): hitunglah $\sigma^2 =  2$ lalu catat $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : kesintasannya meluruh seperti $\frac1n$ — tak geometrik dan tak [terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable) .
11. Masih kritis: buktikan menurut induksi iterat penuhnya $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ lalu simpulkan bahwa dengan disyaratkan pada kesintasannya, $Z_n$ geometrik pada $\N^*$ dengan parameter $\frac1{n+1}$: $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ Garis rata-ratanya mati, tetapi garis yang sintas berukuran orde $n$.

**Bagian III — Total keturunan.** Misalkan $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ jumlah seluruh individu yang pernah lahir, dan $H(t) =
\sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$.

12. Sahkanlah $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ , lalu ingat kembali dari [Latihan 23.7](#exo-b2-genfun-7) persamaan fungsional $H(t) = t\,G(H(t))$ (yang penurunannya tak memakai $m < 1$ ).
13. (Percabangan biner) Untuk $p_0 = p_2 = \frac12$ (kritis), pecahkan persamaan fungsionalnya: $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ lalu uraikan dengan [Contoh 11.21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-catalan) untuk memperoleh $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$$ periksalah nilai $\P(Y = 1) = \frac12$ dan $\P(Y = 3)  = \frac18$ lewat pencacahan langsung.
14. Dengan menurunkan persamaan fungsionalnya di $1^-$ , tunjukkan bahwa $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ untuk $m < 1$ , sedangkan kekritisannya memaksa $\E(Y) = \infty$ : total keturunan kritisnya berhingga hampir pasti dengan rerata tak hingga.
15. Dengan asimtotik binomial pusatnya ([Contoh 6.14](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/6-perbandingan-fungsi#ex-b2-comparison-centralbinomial)), tunjukkan $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ yakni ekor berat $k^{-3/2}$, lalu simpulkan $\P(Y > n)  \asymp n^{-1/2}$ (batas atas dan bawah berorde ini sudah memadai).
16. Bandingkan dengan [jalan acak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#pb-b2-proba-1) setimbang (soal akhir pekan pada [Bab 21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#ch-b2-proba) ): waktu pulang yang pasti tetapi dengan rerata tak hingga di sana, total keturunan yang pasti tetapi dengan rerata tak hingga di sini, keduanya dengan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) lokal $n^{-3/2}$ . Satu paragraf tentang mengapa kekritisannya menghasilkan tanda tangan ini.

**Bagian IV — Taksiran Kolmogorov pada kekritisannya.** Andaikan $m = 1$, $0 < \sigma^2 = G''(1) <
\infty$.

17. Tunjukkan bahwa $G''$ meluas secara [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) ke $\intcc01$ *(taknegatif dan naik dengan limit yang berhingga)* lalu simpulkan uraian Taylornya di $1$: $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. Untuk $t \in \intco01$, tetapkan $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} -  \dfrac1{1 - t}$. Tunjukkan $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. Teleskopkan sepanjang iterasi $q_{j+1} = G(q_j)$: $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ lalu rampungkan dengan hujah Cesàro bahwa $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ — yakni *taksiran Kolmogorov*: setiap [proses percabangan](#pb-b2-genfun-1) kritis mati dengan laju semesta $1/n$, dan hanya konstantanya yang mengingat [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunannya.
20. Periksalah taksiran itu terhadap kasus geometrik kritis pada pertanyaan 10.
21. Simpulkan $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n}  \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ *(catat $\E(Z_n  \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* , lalu periksalah terhadap pertanyaan 11: dengan disyaratkan pada kesintasannya, populasinya tumbuh *secara linear* — itulah tali kritis antara kematian dan ledakan.

**Bagian V — Terapan dan sintesisnya.**

22. (Wabah, reaksi berantai) Untuk [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan Poisson $\mathcal P(\lambda)$ — setiap kasus menulari $\mathcal P(\lambda)$ kasus baru — tuliskan persamaan kepunahannya $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ lalu pecahkan secara numerik untuk $\lambda = 1.5$ ( $q \approx  0.417$ ) dan $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): bermula dari satu kasus, wabah besar itu *tidak* pasti bahkan ketika $\lambda > 1$ . Jelaskan mengapa iterasi $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ dari $q_0 = 0$ konvergen ke akar yang benar.
23. Bermula dari $k$ leluhur alih-alih satu, tunjukkan bahwa peluang kepunahannya adalah $q^k$ . Terapannya: dengan $\lambda = 1.5$ , berapa banyak kasus awal yang membuat wabah berkemungkinan sedikitnya $99\%$ ?
24. (Menyaratkan proses superkritis pada kepunahannya) Untuk $m > 1$ dengan peluang kepunahan $q \in  \intoo01$ : buktikan dahulu lewat kecembungannya bahwa $G'(q) < 1$ di titik tetap terkecilnya, lalu simpulkan $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (kekonvergenan geometrik, sebagaimana dicontohkan pertanyaan 9). Lalu tunjukkan bahwa $\widehat G(t) = G(qt)/q$ merupakan [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) sebuah [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan yang sahih, dengan rerata $\widehat m =  G'(q) < 1$ : yakni proses pendamping yang subkritis. Sahkanlah pada keluarga geometriknya: menyaratkan proses $(p, q)$ yang superkritis pada kepunahannya menukar $p$ dan $q$ . (Pernyataan [lengkapnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) — bahwa proses yang disyaratkan itu *adalah* proses pendampingnya — dibuktikan pada jilid Tahun ke-3; di sini yang telah disahkan barulah bayangan [fungsi pembangkitnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) .)
25. Sintesis: susunlah tabel trikotominya — untuk $m <  1$ , $m = 1$ , $m > 1$ : nilai $q$ ; laju $\P(Z_n >  0)$ atau laju $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; ukuran sebuah generasi yang sintas. Nyatakan dalam satu kalimat per perkakas bagaimana komposisi [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) , kecembungan, Taylor di $1^-$ , dan perata-rataan Cesàro membawa seluruh soal ini, dan apa yang ditambahkan jilid Tahun ke-3 (martingal $Z_n/m^n$ dan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) limit eksponensial Yaglom).

**Solusi Soal 23.1.**

**1.** Untuk $t \in \intoo01$, aturan rantai pada $G_n = G
\circ G_{n-1}$ memberi $G_n'(t) =
G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$. Ketika $t \to 1^-$, $G_{n-1}(t) \uparrow 1$, dan $G'$ tidak turun dengan limit kiri $m$ di $1$, jadi faktor pertamanya menuju $m$; menurut induksi faktor keduanya menuju $m^{n-1}$. Menurut [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments), $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$.

**2.** Dengan menurunkannya sekali lagi,

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

lalu dengan membiarkan $t \to 1^-$: $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\,
a_{n-1}$ dengan $a_n = G_n''(1)$, $a_1 = G''(1)$. Untuk $m \neq
1$ orang memeriksa menurut induksi bahwa $a_n = G''(1)\,m^{n-1}
\frac{m^n - 1}{m - 1}$ (rekursinya menambahkan $G''(1)m^{2n-2}$ pada $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$, dan $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$); untuk $m = 1$, $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$.

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ dan $G''(1) =
\sigma^2 + m^2 - m$. Untuk $m \neq 1$, potongan $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ meniadakan $m^n -
m^{2n}$ secara persis, sehingga tersisa $V(Z_n) =
\sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$. Untuk $m = 1$: $V(Z_n) =
nG''(1) = n\sigma^2$.

**4.** $Z_n$ merupakan peubah bulat taknegatif, jadi $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ menurut Markov ([Teorema 22.15](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#thm-b2-randomvar-markov)). Untuk $m < 1$ ini meluruh secara geometrik — dan [terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable), jadi Borel–Cantelli bahkan memberi bahwa hanya berhingga banyak generasinya yang takkosong, dan itu pun kepunahan lagi.

**5.** Cauchy–Schwarz: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf
1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$. Dengan pertanyaan 3 dan $m < 1$:

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

jadi, dengan membagi $m^{2n}$ oleh batas ini lalu menyederhanakannya oleh $m^n$,

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

dengan memakai $m^n \leq 1$ pada penyebutnya. Dengan pertanyaan 4: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$.

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$, dan $m
= G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$. Subkritis untuk $p
< \frac12$, kritis untuk $p = \frac12$, dan superkritis untuk $p
> \frac12$.

**7.** $G(t) = t$ berbunyi $pt^2 - t + q = 0$, dengan akar $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$, yakni $1$ dan $\frac qp =
\frac1m$. Peluang kepunahannya adalah titik tetap terkecil pada $\intcc01$ ([Teorema 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)): $q_{\mathrm{ext}} = 1$ bila $m \leq 1$, dan $\frac1m$ bila $m >
1$.

**8.** Untuk $m \neq 1$, dengan $p = \frac m{m+1}$, $q =
\frac1{m+1}$: bila $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$, maka

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

jadi $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} -
1}{m^{n+2} - 1}$; dan kasus dasarnya $q_0 = 0$ berlaku. Untuk $m = 1$: $G(t) = \frac1{2 - t}$ dan $q_{n+1} = \frac1{2 -
\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$, dengan $q_0 = 0$.

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$. Untuk $m < 1$ penyebutnya menuju $-1$: $1 - q_n \sim (1 -
m)\,m^n$. Untuk $m > 1$:

$$
q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

Adapun $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ yang dievaluasi di $t = \frac
qp$ (tempat $1 - pt = 1 - q = p$) memberi $G'(q_{\mathrm{ext}})
= \frac qp = \frac1m$: nisbah teramatinya $m^{-1}$ persis merupakan turunannya di titik tetap penariknya.

**10.** Untuk $p = \frac12$: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 -
t/2)^3}$, jadi $G''(1) = 2$ dan $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 =
2$. [Bentuk tertutupnya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/20-integral-garis-dan-integral-lipat#def-b2-multint-exact) memberi $1 - q_n = \frac1{n+1}$: adapun peluang kesintasannya meluruh seperti $1/n$ — terlalu pelan untuk [terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable), tak seperti laju subkritis mana pun.

**11.** Induksi: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ cocok dengan rumusnya untuk $n = 1$, dan

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

Lalu

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

yakni [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) geometrik $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1}
\bigr)$ pada $\N^*$ ([Contoh 23.4](#ex-b2-genfun-classical)): bila kesintasannya diketahui, $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) =
\frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$, dengan rerata bersyarat $n + 1$. Adapun rerata tanpa syaratnya $1 = \E(Z_n)$ merupakan hasil kali peluang kesintasan yang melenyap dan ukuran bersyarat yang tumbuh secara linear.

**12.** Bila garisnya punah pada generasi $n$, maka $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ berhingga; bila ia tak pernah punah, maka $Y \geq \sum_n 1 = \infty$. Jadi $\{Y < \infty\}$ merupakan [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) kepunahannya dan $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$. Adapun penurunan $H(t) = tG(H(t))$ pada [Latihan 23.7](#exo-b2-genfun-7) — leluhurnya menyumbang faktor $t$, sedangkan anaknya mendirikan salinan $Y$ yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence) dan tercacah lewat $G$ — hanya memakai [Teorema 23.17](#thm-b2-genfun-compound), yang sah pada setiap rezimnya.

**13.** Dengan $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ persamaannya berbunyi $tH^2 - 2H + t = 0$, jadi $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (yakni akar dengan $H(0) = 0$). Dengan membandingkannya dengan deret Catalan $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([Contoh 11.21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-catalan)): $H(t) = \frac
t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$, yakni $\P(Y =
2k+1) = C_k2^{-2k-1}$. Pemeriksaannya: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (leluhurnya tak punya anak); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (dua anak, keduanya tanpa anak: $\frac12\cdot\frac12\cdot
\frac12$).

**14.** Dengan menurunkan $H = tG(H)$ pada $\intoo01$ lalu membiarkan $t \to 1^-$ (limit monotonnya seperti pada [Teorema 23.7](#thm-b2-genfun-moments)): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr)
= G(H(1))$. Pada kasus subkritisnya $H(1) = 1$ dan $\E(Y) =
H'(1) = \frac1{1 - m}$. Pada kasus kritisnya $G'(1) = 1$ membuat faktor kirinya lenyap sedangkan ruas kanannya bernilai $1$: tak ada $H'(1)$ berhingga yang mungkin ada, jadi $\E(Y) = \infty$ — padahal $\P(Y <
\infty) = q = 1$.

**15.** $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ menurut [Contoh 6.14](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/6-perbandingan-fungsi#ex-b2-comparison-centralbinomial), jadi

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

Dengan menjumlahkan ekornya (perbandingan dengan $\int_K^\infty
k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$, dari atas dan dari bawah): $\P(Y > 2K)
\asymp K^{-1/2}$, yakni $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — sebuah ekor berat dengan rerata tak hingga, yang mengkuantifikasi pertanyaan 14.

**16.** Kedua objek kritisnya — waktu pulang jalan setimbang (soal akhir pekan pada [Bab 21](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#ch-b2-proba)) dan total keturunan kritisnya — berhingga hampir pasti dengan rerata tak hingga, dengan [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) lokal bereksponen $-3/2$ dan ekor bereksponen $-1/2$. Ini bukan kebetulan: menjelajahi sebuah pohon keluarga anak demi anak akan menghasilkan lintasan $\pm1$ (satu langkah naik per kelahiran, satu langkah turun per kematian) yang persis merupakan jalan setimbang, dan $Y$ menjadi waktu lintas pertamanya. Kekritisannya berarti hanyutan nol: prosesnya selalu berada di ambang kepunahan sekaligus ledakan, dan fluktuasi berskala $\sqrt{}$ dari keacakan yang berhanyutan nol menghasilkan persis eksponen ini.

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ bersuku taknegatif, jadi ia tidak turun pada $\intco01$ dengan limit berhingga $G''(1) = \sigma^2$ (kekritisannya membuat $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$); dan fungsi yang tidak turun dengan limit yang sama dengan nilai perbatasannya itu [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di $1$. Taylor dengan sisa integral di titik $1$:

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

sebab $G''(s) = G''(1) + o(1)$ ketika $s \to 1^-$.

**18.** Dengan menyamakan penyebutnya, $h(t) =
\frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$. Menurut pertanyaan 17 pembilangnya adalah $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ dan $1 - G(t) = (1 -
t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$, jadi $h(t) \to b$.

**19.** Menurut definisi $h$ di $t = q_j$ dan $G(q_j) =
q_{j+1}$: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$; menjumlahkannya dari $j = 0$ ($q_0 = 0$) memberikan paparannya. Karena proses kritisnya punah, $q_j \uparrow 1$, jadi $h(q_j) \to
b$ dan rerata Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$: $\frac1{1-q_n} \sim bn$, yakni

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** Kasus geometrik kritisnya: $\sigma^2 = 2$ (pertanyaan 10), jadi Kolmogorov meramalkan $1 - q_n \sim \frac1n$ — dan nilai persisnya adalah $\frac1{n+1}$.

**21.** Karena $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$, maka $\E(Z_n
\mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 -
q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$. Pada kasus geometriknya ini bernilai $n + 1$, yang cocok persis dengan pertanyaan 11 ($\sigma^2 = 2$). Adapun gambaran kritisnya: kepunahannya pasti, ukuran reratanya membeku di $1$, dan garis sintas yang langka itu berukuran tumbuh secara linear — masing-masing faktornya mengimbangi yang lain.

**22.** Untuk keturunan $\mathcal P(\lambda)$, $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$ dan peluang kepunahannya adalah akar terkecil $q = \eu^{\lambda(q-1)}$. Secara numerik: $\lambda = 1.5$ memberi $q \approx 0.417$ (iterasikan $q \mapsto
\eu^{1.5(q-1)}$: $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$); $\lambda = 2$ memberi $q \approx 0.203$. Jadi satu kasus indeks memantik wabah besar dengan peluang $58\%$ ($\lambda = 1.5$) atau $80\%$ ($\lambda = 2$) — mungkin, tetapi tak pasti. Iterasi dari $q_0 = 0$ konvergen ke akar *terkecilnya* sebab $G$ tidak turun: menurut induksi $q_n \leq r$ bagi sebarang titik tetap $r$, dan $(q_n)$ naik (ia adalah $\P(Z_n = 0)$), jadi limitnya merupakan titik tetap di bawah semua yang lain.

**23.** Ke-$k$ leluhurnya mendirikan pohon keluarga yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence), dan kepunahan totalnya adalah irisan $k$ [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) kepunahan yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-independence): peluangnya $q^k$. Untuk $\lambda = 1.5$: peluang wabah $1 - q^k \geq 0.99$ menuntut $q^k \leq 0.01$, yakni $k \geq
\frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$: jadi enam kasus awal membuat wabahnya $99\%$ pasti.

**24.** *$G'(q) < 1$:* $G - \mathrm{id}$ [cembung](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/17-ruang-afin#def-b2-affine-convex) dan lenyap di $q$ dan $1$, jadi ia $\leq 0$ pada $\intcc
q1$; bila $G'(q) = 1$, maka singgungnya di $q$ (yang oleh kecembungannya diletakkan di bawah $G$) akan memaksa $G(t) \geq t$ pada $\intcc q1$, sehingga $G \equiv \mathrm{id}$ di sana, yang mematikan semua koefisien $p_n$ ($n \geq 2$) dan bertentangan dengan $m > 1$. *Kekonvergenan geometriknya:* $q_n < q$ untuk semua $n$ (induksi, dengan $G$ naik), dan teorema nilai rata-rata memberi $q - q_{n+1} =
G'(c_n)(q - q_n)$ dengan $c_n \in \intoo{q_n}q$, jadi $G'(c_n)
\leq G'(q) < 1$ dan $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$. *Proses pendampingnya:* $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ berkoefisien taknegatif dan $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$: sebuah [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci); reratanya adalah $\widehat
G'(1) = G'(q) < 1$: subkritis. Keluarga geometriknya: $G(t) =
\frac{q}{1-pt}$, $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$, dan

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

yakni [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) keturunan geometrik dengan $p$ dan $q$ tertukar — proses superkritis yang dipandang pada [kejadian](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/21-peluang-pada-ruang-terbilang#def-b2-proba-space) kepunahannya adalah cerminan subkritisnya.

**25.** Tabelnya: $m < 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0)
\asymp m^n$ (pertanyaan 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$, dan generasi sintas dengan rerata bersyarat yang terbatas. $m = 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogorov), $\E(Y) = \infty$ dengan $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$, dan penyintas berukuran $\sim \frac{\sigma^2n}2$. $m > 1$: $q < 1$ merupakan titik tetap terkecilnya, $q - q_n = O(G'(q)^n)$, pertumbuhan $\E(Z_n) = m^n$, dan dengan disyaratkan pada kematiannya prosesnya adalah pendamping subkritisnya (pertanyaan 24). Adapun perkakasnya: komposisi [fungsi pembangkit](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/11-deret-pangkat#ex-b2-powerseries-fibonacci) mengubah rekursi populasi menjadi iterasi fungsi; kecembungannya memancangkan geometri titik tetapnya; Taylor di $1^-$ mengubah hipotesis momen menjadi uraian lokal; dan perata-rataan Cesàro memeras $1/n$ Kolmogorov dari sebuah jumlah teleskopik. Adapun jilid Tahun ke-3 menambahkan martingal $Z_n/
m^n$ — yang limit hampir pastinya menghaluskan $\E(Z_n) = m^n$ menjadi laju tumbuh lintasan demi lintasan — dan teorema Yaglom, yakni [hukum](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#def-b2-randomvar-law) limit di balik geometri bersyarat yang teramati pada pertanyaan 11.