---
title: "Reduksi Endomorfisma"
book: "Matematika Universitas — Tahun 2"
subject: math
language: id
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/3-reduksi-endomorfisma
---

# Bab 3 — Reduksi Endomorfisma

Untuk memahami sebuah endomorfisma, carilah arah yang sekadar diregangkannya. Bab ini membangun perkakasnya — [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen), [polinomial karakteristik](#def-b2-reduction-charpoly) dan [polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu), lema penguraian kernel — beserta ganjarannya: kriteria diagonalisasi dan [trigonalisasi](#def-b2-reduction-diag), Cayley–Hamilton, [penguraian Dunford](#thm-b2-reduction-dunford), serta perhitungan pangkat dan eksponensial yang kelak menjadi santapan [Bab 16](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/16-persamaan-diferensial#ch-b2-diffeq). Di sepanjang bab ini, $E$ adalah ruang vektor atas $K$ yang berdimensi hingga ($K = \R$ atau $\C$) dan $u \in
\mathcal{L}(E)$, $n = \dim E$.

## 3.1 Nilai eigen dan vektor eigen

**Definisi 3.1.**

$\lambda \in K$ disebut *nilai eigen* bagi $u$ apabila $u(x) = \lambda x$ untuk suatu $x \neq 0$ (vektor semacam itu disebut *vektor eigen*); *ruang eigennya* adalah $E_\lambda(u) =
\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$. Himpunan semua nilai eigen disebut *spektrum* $\operatorname{Sp}(u)$. Sebuah subruang $F$ disebut *stabil* apabila $u(F) \subseteq F$; ruang eigen bersifat stabil, dan subruang stabil memungkinkan endomorfisma imbasan $u|_F$.

**Teorema 3.2 (Kebebasan ruang eigen).**

[Vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) yang berkaitan dengan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) yang berbeda sepasang demi sepasang membentuk keluarga bebas; setara dengan itu, jumlah ruang eigen $E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_r}$ (dengan $\lambda_i$ yang berbeda) bersifat langsung. Khususnya $u$ punya paling banyak $n$ [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen).

**Bukti.** Dengan induksi pada $r$. Andaikan $x_1 + \dots + x_r = 0$ dengan $x_i \in
E_{\lambda_i}$, sedangkan pernyataannya sudah diketahui untuk $r - 1$. Terapkan $u$ lalu kurangkan $\lambda_r$ kali kaitan itu:

$$
\sum_{i=1}^{r-1} (\lambda_i - \lambda_r)\, x_i = 0 ,
$$

jadi menurut induksi setiap $(\lambda_i - \lambda_r)x_i = 0$, yakni $x_i =
0$ untuk $i < r$, lalu $x_r = 0$. Jumlah langsung atas ruang tak nol di dalam ruang berdimensi $n$ paling banyak punya $n$ suku. ∎

![Matriks A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix yang bekerja pada bidang: vektor umum e_1 terpental dari garisnya, sedangkan arah eigen v_1 = (1,1) dan v_2 = (1,-1) sekadar diregangkan — masing-masing oleh 3 dan oleh 1 (jadi Av_2 = v_2: peta putus-putusnya berimpit dengan v_2). Diagonalisasi tak lain pergantian ke basis (v_1, v_2), tempat A menjadi diag(3, 1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-reduction/fig-d4dd394c1370.svg)

*Matriks $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$ yang bekerja pada bidang: vektor umum $e_1$ terpental dari garisnya, sedangkan arah eigen $v_1 =
(1,1)$ dan $v_2 = (1,-1)$ sekadar diregangkan — masing-masing oleh $3$ dan oleh $1$ (jadi $Av_2 = v_2$: peta putus-putusnya berimpit dengan $v_2$). Diagonalisasi tak lain pergantian ke basis $(v_1, v_2)$, tempat $A$ menjadi $\operatorname{diag}(3, 1)$.*

**Definisi 3.3 (Polinomial karakteristik).**

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — yang dihitung pada basis mana pun sebagai $\det(XI_n - A)$, sebuah polinomial monik berderajat $n$ yang awet terhadap keserupaan ([Teorema 2.17](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#thm-b2-linalg-detrules)). Akarnya di $K$ persis semua [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) ($\lambda$ [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ tidak injektif $\iff \chi_u(\lambda) = 0$), dan

$$
\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots +
(-1)^n \det u .
$$

*Multiplisitas aljabar* $m_\lambda$ sebuah [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) adalah multiplisitasnya sebagai akar $\chi_u$; sedangkan *multiplisitas geometrik* adalah $\dim E_\lambda$, dan $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$.

**Bukti fakta yang dinyatakan.** Tentang koefisiennya: uraikan $\det(XI - A)$ dengan rumus permutasi; permutasi identitas menyumbang $\prod_i (X - a_{ii})
= X^n - (\sum a_{ii})X^{n-1} + \dots$, sedangkan setiap permutasi lain membiarkan tetap paling banyak $n - 2$ kedudukan diagonal, sehingga menyumbang derajat $\leq n - 2$: jadi dua koefisien teratasnya seperti dinyatakan; lalu $X = 0$ memberi suku tetap $\det(-A) = (-1)^n\det A$.

Geometrik $\leq$ aljabar: misalkan $d = \dim E_\lambda$ lalu lengkapi basis $E_\lambda$ menjadi basis $E$; matriks $u$ menjadi segitiga atas berblok dengan blok kiri atas $\lambda I_d$, sehingga $\chi_u(X) =
(X - \lambda)^d\, \chi_{\text{(blok bawah)}}(X)$: jadi multiplisitas $\lambda$ sedikitnya $d$. ∎

**Contoh 3.4 (χ\chiχ yang sama, geometri yang berbeda).**

Kedua matriks

$$
\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
\qquad\text{dan}\qquad
\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
$$

berbagi [polinomial karakteristik](#def-b2-reduction-charpoly) $(X - 2)^2$, trace, [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det), dan [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) — namun keduanya tidak serupa: yang pertama punya $E_2$ berdimensi $2$ ([multiplisitas geometrik](#def-b2-reduction-charpoly) $2$), yang kedua berdimensi $1$. [Polinomial karakteristik](#def-b2-reduction-charpoly) hanya melihat [multiplisitas aljabar](#def-b2-reduction-charpoly); dimensi ruang eigen adalah invarian yang lebih halus, dan [polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu) yang memutuskan ($X - 2$ lawan $(X - 2)^2$). Pelajaran bagi semua pembahasan tentang keterdiagonalan: $\chi$ menyaring calonnya, tetapi kernel yang memberikan suara.

**Definisi 3.5 (Dapat didiagonalkan, dapat ditrigonalkan).**

$u$ disebut *dapat didiagonalkan* apabila $E$ punya basis berisi [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) (untuk matriks: serupa dengan matriks diagonal); dan *dapat ditrigonalkan* apabila matriksnya pada suatu basis berupa segitiga atas.

**Teorema 3.6 (Kriteria keterdiagonalan).**

Pernyataan berikut setara:

1. $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ;
2. $E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp} u} E_\lambda$ ;
3. $\chi_u$ terurai lengkap atas $K$ dan $\dim E_\lambda = m_\lambda$ untuk setiap [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) ;
4. (syarat cukup, bukan syarat perlu) $\chi_u$ punya $n$ akar berbeda di $K$ .

**Bukti.** (1 $\iff$ 2): sebuah basis berisi [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) tersortir menjadi basis tiap $E_\lambda$, dan sebaliknya menyambung basis suku-suku jumlah langsungnya memberi basis $E$ ([Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence) membuat jumlahnya langsung; kesamaan dimensi membuatnya seluruh ruang).

(2 $\iff$ 3): pada basis diagonalnya, $\chi_u = \prod (X -
\lambda)^{\dim E_\lambda}$ terurai lengkap dengan multiplisitas yang cocok. Sebaliknya, andaikan $\chi_u$ terurai lengkap dengan $\dim
E_\lambda = m_\lambda$ di mana-mana; maka jumlah langsung [ruang eigennya](#def-b2-reduction-eigen) (langsung menurut [Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence)) berdimensi

$$
\sum_{\lambda}\dim E_\lambda = \sum_{\lambda} m_\lambda =
\deg\chi_u = n ,
$$

sebab kesamaan di tengah berlaku karena derajat polinomial yang terurai lengkap sama dengan jumlah multiplisitas akarnya: jadi jumlahnya seluruh $E$. Perhatikan tempat tiap hipotesis bekerja: keteruraiannya mengisi derajatnya, kesamaan multiplisitasnya mengisi dimensinya.

(4 $\Rightarrow$ 1): $n$ [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) yang berbeda memberi $n$ [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) yang bebas ([Teorema 3.2](#thm-b2-reduction-independence)), yakni sebuah basis. ∎

**Metode 3.7 (Memutuskan keterdiagonalan).**

Dalam praktik, ujilah dengan urutan berikut — tiap langkahnya bisa saja langsung merampungkan pekerjaan. (1) Adakah polinomial penganihilasi berakar sederhana dan terurai lengkap yang langsung tampak ($u^2 = \mathrm{id}$, $u^2 = u$, $u^k = \mathrm{id}$)? Jika ada: [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), tanpa perhitungan ([Akibat 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit) di bawah). (2) Hitung $\chi_u$; jika ia punya $n$ akar berbeda di $K$: [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (4)). (3) Jika tidak, hanya untuk tiap akar berulang $\lambda$, bandingkan $\dim\ker(u -
\lambda\,\mathrm{id})$ dengan multiplisitas $m_\lambda$: kekurangan sekecil apa pun mematikan keterdiagonalannya, sedangkan kesamaan di mana-mana membuktikannya. Jangan pernah menghitung ruang eigen akar sederhana (dimensinya sudah pasti $1$), dan jangan pernah mentrigonalkan hanya untuk memutuskan.

**Contoh 3.8 (Diagonalisasi dalam kerja).**

Ambil $A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 &
2\end{smallmatrix}\right)$, dengan $J$ matriks yang semua unsurnya satu: dari $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ ([Contoh 2.19](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#ex-b2-linalg-onesmatrix)) diperoleh $\operatorname{Sp}(A) = \{4,
1\}$, dengan ruang eigen $\R(1,1,1)$ dan bidang $\{x + y + z =
0\}$: dimensinya $1 + 2 = 3$, jadi [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit) (2)). Pangkatnya pun terhitung tanpa matriks pergantian basis: dengan $\Pi = J/3$ sebagai proyektor pada $\R(1,1,1)$,

$$
A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi)
\quad\Longrightarrow\quad
A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi)
= \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .
$$

(Periksa $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) Pelajaran penutupnya: ketika [ruang eigennya](#def-b2-reduction-eigen) kasatmata, *proyektor* spektral menghitung pangkat lebih cepat daripada $PDP^{-1}$ mana pun — dan rumusnya memperlihatkan dinamikanya: $A^k$ tumbuh seperti $4^k$ sepanjang $(1,1,1)$ dan diam saja pada bidang ortogonalnya.

**Teorema 3.9 (Trigonalisasi).**

$u$ [dapat ditrigonalkan](#def-b2-reduction-diag) atas $K$ bila dan hanya bila $\chi_u$ terurai lengkap atas $K$. Khususnya setiap endomorfisma ruang vektor atas $\C$ [dapat ditrigonalkan](#def-b2-reduction-diag).

**Bukti.** ($\Rightarrow$) [Polinomial karakteristik](#def-b2-reduction-charpoly) sebuah matriks segitiga adalah $\prod(X - t_{ii})$: terurai lengkap.

($\Leftarrow$) Induksi pada $n$. Karena $\chi_u$ terurai lengkap, ia punya akar $\lambda$: pilihlah [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $e_1$. Pada basis yang diawali $e_1$, matriksnya menjadi $\begin{pmatrix} \lambda & \ast\\ 0 &
B\end{pmatrix}$, dan $\chi_u = (X - \lambda)\chi_B$: jadi $\chi_B$ pun terurai lengkap. Menurut hipotesis induksi yang diterapkan pada matriks berukuran $(n-1) \times (n-1)$, yakni $B$, ada $Q$ berinvers dengan $Q^{-1}BQ$ segitiga atas; mengonjugasikan seluruh matriks itu dengan $\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & Q\end{pmatrix}$ membuatnya segitiga. ∎

**Contoh 3.10 (Mentrigonalkan dengan tangan).**

Ambil $B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: di sini $\chi_B = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, dan $\ker(B - 2I) =
\ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ adalah garis yang direntang $e_1' = (1, 1)$: satu [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) dengan ruang eigen berdimensi satu — jadi tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), tetapi [dapat ditrigonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)). Lengkapi basisnya dengan $e_2' = (1, 0)$ lalu hitung:

$$
u(e_1') = (2, 2) = 2e_1',
\qquad
u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,
$$

sehingga pada basis $(e_1', e_2')$ matriksnya menjadi $T =
\left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. Pelajaran penutupnya: diagonal $T$ sudah terpaksa (kedua unsurnya wajib berupa [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) ganda $2$); hanya unsur pojoknya yang bergantung pada pilihan $e_2'$, dan menskalakan $e_2'$ dapat membuatnya bernilai tak nol apa pun — “$1$” yang membandel itu adalah bayangan bagian nilpoten yang kelak dipisahkan Dunford.

## 3.2 Polinomial sebuah endomorfisma

**Definisi 3.11.**

Untuk $P = \sum a_k X^k \in K[X]$, tetapkan $P(u) = \sum a_k u^k \in
\mathcal{L}(E)$. Pemetaan $P \mapsto P(u)$ adalah morfisma aljabar $K[X] \to \mathcal{L}(E)$ ([Definisi 1.33](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-algebra)); kernelnya $\{P : P(u) = 0\}$ merupakan [ideal](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-ideal) $K[X]$ yang tak nol (sebab keluarga $(\mathrm{id}, u, \dots, u^{n^2})$ saling terkait di dalam ruang berdimensi $n^2$, yaitu $\mathcal{L}(E)$), jadi ia [dibangun](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated) oleh sebuah polinomial monik tunggal $\mu_u$: itulah *polinomial minimal* ([Teorema 1.26](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#thm-b2-structures-principal)).

**Proposisi 3.12.**

1. $P(u) = 0 \iff \mu_u \mid P$ ; [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $u$ adalah akar setiap polinomial penganihilasi, dan akar $\mu_u$ *persis* semua [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) .
2. Jika $F$ stabil, maka $\mu_{u|_F} \mid \mu_u$ .

**Bukti.** (1) Keterbagiannya tak lain definisi sebuah pembangun. Jika $u(x) =
\lambda x$ dengan $x \neq 0$, maka $0 = P(u)(x) = P(\lambda)x$, jadi $P(\lambda) = 0$: [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) adalah akar polinomial penganihilasi, khususnya akar $\mu_u$. Sebaliknya, jika $\lambda$ sebuah akar, maka $\mu_u = (X - \lambda)Q$ dengan $Q(u) \neq 0$ (sebab derajat $\mu_u$ minimal): pilih $y$ dengan $Q(u)(y) \neq 0$; maka $(u - \lambda)(Q(u)(y))
= \mu_u(u)(y) = 0$ memperlihatkan [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $Q(u)(y)$.

(2) Kita punya $\mu_u(u|_F) = \mu_u(u)|_F = 0$, lalu terapkan (1) pada $u|_F$. ∎

**Contoh 3.13 (Polinomial minimal yang dicari dengan tangan).**

[Polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu) dihitung dengan menguji derajat berturut-turut. Untuk matriks $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ yang semua unsurnya satu: $J \neq \lambda I$ (jadi derajat $1$ tersingkir), dan $J^2 = 3J$, sehingga

$$
\mu_J = X^2 - 3X = X(X - 3) :
$$

derajatnya $2$, terurai lengkap, berakar sederhana — jadi $J$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dengan [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $\{0, 3\}$ ([Akibat 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit) di bawah), yang menegaskan [Contoh 2.19](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#ex-b2-linalg-onesmatrix) tanpa satu pun [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det). Untuk matriks penukar $A$ pada [Contoh 3.15](#ex-b2-reduction-projectorswork): dari $A \neq \pm I$ dan $A^2 = I$ diperoleh $\mu_A = X^2 - 1$. Pada kedua kasus polanya sama: tebaklah kesamaan berderajat rendah dari strukturnya (rank satu memaksa $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$; sebuah involusi memaksa $A^2 = I$), lalu periksa bahwa tak ada pembagi sejatinya yang menganihilasi. [Polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu) biasanya *ditemukan*, bukan dihitung dari $\chi$.

**Teorema 3.14 (Lema penguraian kernel).**

Jika $P = P_1 P_2 \cdots P_r$ dengan $P_i$ saling prima sepasang demi sepasang, maka

$$
\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \dots \oplus \ker P_r(u),
$$

dan proyeksi pada tiap sukunya berupa polinomial dalam $u$.

**Bukti.** Cukuplah menangani $r = 2$ lalu berinduksi. Bézout di $K[X]$ ([Teorema 1.26](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#thm-b2-structures-principal)) memberi $U P_1 + V P_2 = 1$, sehingga untuk setiap $x$,

$$
x = \underbrace{U(u)P_1(u)(x)}_{=:\,x_2}
+ \underbrace{V(u)P_2(u)(x)}_{=:\,x_1}.
$$

Jika $x \in \ker P(u)$: maka $P_2(u)(x_2) = U(u)\,P(u)(x) = 0$ (polinomial dalam $u$ saling komutatif), jadi $x_2 \in \ker P_2(u)$, dan setangkup dengan itu $x_1 \in \ker P_1(u)$: jadi jumlahnya mengisi $\ker P(u)$; kedua sukunya berada di dalam $\ker P(u)$ (sebab $P_i \mid
P$). Kelangsungannya: $x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)$ memberi $x =
U(u)P_1(u)x + V(u)P_2(u)x = 0$. Rumus untuk $x_1, x_2$ tadi memperlihatkan proyeksinya sebagai $V(u)P_2(u)$ dan $U(u)P_1(u)$. ∎

**Contoh 3.15 (Lema kernel dengan proyektor yang gamblang).**

Misalkan $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
1\end{smallmatrix}\right)$ (yang menukar dua koordinat pertama). Maka $A^2
= I$: polinomial $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ menganihilasi $A$, faktornya saling prima, dan Bézout-nya gamblang:

$$
\frac{1}{2}(X + 1) - \frac12(X - 1) = 1 .
$$

Dengan mengikuti bukti [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels), proyeksi pada $\ker(A - I)$ dan $\ker(A + I)$ adalah polinomial dalam $A$ berikut:

$$
\pi_+ = \frac{A + I}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},
\qquad
\pi_- = \frac{I - A}{2} = \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
$$

Periksa: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 =
\pi_\pm$, dan petanya adalah bidang $\{x = y\}$ (vektor setangkup, bernilai eigen $1$) dan garis $\R(1, -1, 0)$ (antisetangkup, bernilai eigen $-1$). Lema kernel bukan sekadar pernyataan keberadaan: koefisien Bézout *adalah* rumus proyektornya.

**Contoh 3.16 (Proyektor menghitung eksponensial juga).**

Matriks penukar yang sama, satu panen lebih jauh. Karena $A = \pi_+ -
\pi_-$ dengan proyektor yang ortogonal dalam arti aljabar ($\pi_+\pi_- = 0$), setiap pangkatnya menuruti $A^k = \pi_+ +
(-1)^k\pi_-$, dan deret eksponensialnya berkelompok menurut proyektor:

$$
\eu^{tA} = \sum_k \frac{t^k}{k!}\bigl(\pi_+ +
(-1)^k\pi_-\bigr)
= \eu^{t}\,\pi_+ + \eu^{-t}\,\pi_- =
\begin{pmatrix}
\cosh t & \sinh t & 0\\
\sinh t & \cosh t & 0\\
0 & 0 & \eu^{t}
\end{pmatrix}.
$$

(Periksa $t = 0$: identitasnya; turunan di $0$: $A$.) Penguraian eigen mengubah deret matriks menjadi dua deret skalar — dan itu persis mekanisme yang kelak dijalankan [Bab 16](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/16-persamaan-diferensial#ch-b2-diffeq) pada setiap sistem yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), sekaligus alasan mengapa fungsi hiperbolik menguasai kopling yang setangkup.

**Akibat 3.17 (Keterdiagonalan lewat polinomial minimal).**

$u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) $\iff$ $\mu_u$ terurai lengkap atas $K$ dengan akar *sederhana* $\iff$ ada polinomial penganihilasi $u$ yang terurai lengkap dengan akar sederhana.

**Bukti.** Jika $P(u) = 0$ dengan $P = \prod_{i}(X - \lambda_i)$ ($\lambda_i$ berbeda), maka lemanya memberi $E = \ker P(u) = \bigoplus_i \ker(u -
\lambda_i)$: yakni jumlah langsung ruang eigen, jadi $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Sebaliknya, $u$ yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ditolkan oleh $\prod_{\lambda \in \operatorname{Sp}u}(X -
\lambda)$ (yang menolkan tiap ruang eigen), dan polinomial itu terurai lengkap dengan akar sederhana; sedangkan $\mu_u$ membaginya sambil berakar sama ([Proposisi 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)): jadi $\mu_u$ tepat sama dengan hasil kali itu. ∎

**Contoh 3.18.**

Proyeksi memenuhi $p^2 = p$: ditolkan oleh $X(X-1)$ yang terurai lengkap dengan akar sederhana — jadi [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dengan [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{0, 1\}$, dan $E = \ker p \oplus \ker(p - \mathrm{id})$: itulah telaah geometrik Tahun ke-1, yang dibuktikan ulang dalam satu baris. Simetri ($s^2 = \mathrm{id}$, dengan penganihilasi $X^2 - 1$) [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) bila $\operatorname{char} K \neq 2$, dengan [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $\subseteq \{\pm 1\}$. Adapun endomorfisma dengan $u^3 = u^2$ dan $u^2
\neq u$ ditolkan oleh $X^2(X - 1)$, dan *tidak* harus [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) — kriterianya mendeteksi hal itu (akar ganda $0$ wajib diuji: [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) bila dan hanya bila lagi-lagi $\ker u^2 = \ker u$).

**Contoh 3.19 (Lapangannya yang memutuskan: sebuah rotasi di R3\R^3R3).**

Misalkan $R$ perputaran seperempat mengelilingi sumbu $z$:

$$
R = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
\chi_R = (X - 1)(X^2 + 1).
$$

Atas $\R$: satu-satunya [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) $1$, dengan ruang eigen berupa sumbu $\R e_3$ — satu garis vektor tetap, dan tanpa reduksi lebih jauh: $R$ tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) maupun ditrigonalkan di $\mathcal{M}_3(\R)$ (sebab $\chi_R$ tidak terurai lengkap). Atas $\C$: ada tiga [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) berbeda $1, \iu, -\iu$, jadi $R$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), dengan [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $e_3$ dan $e_1 \mp \iu e_2$. Geometrinya terdengar di dalam aljabarnya: rotasi pada bidang tidak punya arah invarian yang real, dan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) kompleks $\pm\iu$ yang bermodulus $1$ menyimpan sudut ($\pm\frac\pi2$) yang hanya dapat diungkapkan matriks realnya lewat pencampuran koordinat.

**Contoh 3.20 (Minimal lawan karakteristik).**

Untuk $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X -
3)$ tetapi $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, sebab $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (periksa pada basis kanoniknya) sementara tak satu pun faktornya sendiri menolkan $D$. Untuk blok geser $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 &
0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, yakni $N' =
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
3\end{smallmatrix}\right)$: di sini $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ *dan* $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — akar gandanya sungguh diperlukan karena $N'$ tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) di sisi $\ker$-nya ($N'e_2 =
e_1 \neq 0$). Pedoman praktis: $\mu$ dan $\chi$ berakar sama ([Proposisi 3.12](#prop-b2-reduction-minpoly)); multiplisitas pada $\mu$ menakar besarnya blok nilpoten terbesar, sedangkan yang pada $\chi$ menakar dimensi total subruang karakteristiknya.

**Teorema 3.21 (Cayley–Hamilton).**

$\chi_u(u) = 0$; akibatnya $\mu_u \mid \chi_u$, dan $\deg \mu_u
\leq n$.

**Bukti.** Tetapkan $x \neq 0$ lalu misalkan $d$ terbesar sehingga $(x, u(x), \dots,
u^{d-1}(x))$ bebas; tulis

$$
u^d(x) = -a_0 x - a_1 u(x) - \dots - a_{d-1}u^{d-1}(x),
$$

lalu tetapkan $P_x = X^d + a_{d-1}X^{d-1} + \dots + a_0$, sehingga $P_x(u)(x) = 0$. Lengkapi keluarga bebas itu menjadi basis $E$: pada basis itu $u$ berbentuk blok $\begin{pmatrix} C & \ast\\ 0 & D\end{pmatrix}$ dengan $C$ matriks pendamping $P_x$, yang [polinomial karakteristiknya](#def-b2-reduction-charpoly) adalah $P_x$ (uraikan $\det(XI - C)$ sepanjang kolom pertama, dengan induksi pada $d$). Karenanya $\chi_u = P_x \cdot \chi_D$, dan

$$
\chi_u(u)(x) = \chi_D(u)\bigl(P_x(u)(x)\bigr) = 0 .
$$

Hujah itu berlaku untuk setiap $x$: jadi $\chi_u(u) = 0$. ∎

**Contoh 3.22 (Cayley–Hamilton dalam kerja).**

Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
5X - 2$, jadi $A^2 = 5A + 2I$. Setiap pangkat $A$ menyusut menjadi kombinasi $I$ dan $A$:

$$
A^4 = (5A + 2I)^2 = 25A^2 + 20A + 4I = 145A + 54I =
\begin{pmatrix} 199 & 290\\ 435 & 634\end{pmatrix},
$$

dan inversnya diperoleh cuma-cuma: dari $A(A - 5I) = 2I$,

$$
A^{-1} = \tfrac12(A - 5I)
= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{pmatrix}.
$$

Pelajaran penutupnya: Cayley–Hamilton memampatkan seluruh aljabar $K[A]$ menjadi $\operatorname{Vect}(I, A, \dots, A^{n-1})$ — $\dim K[A] = \deg\mu_A \leq n$, sebesar apa pun pangkat yang diperlukan.

**Catatan 3.23 (Jebakan yang sering muncul).**

(i) [Nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) tidak menjumlah: $\operatorname{Sp}(A + B)$ bukan $\operatorname{Sp}A + \operatorname{Sp}B$, dan jumlah dua matriks yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) belum tentu [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) — $\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) +
\left(\begin{smallmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ adalah jumlah dua matriks yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) (masing-masing bernilai eigen berbeda) dan hasilnya tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag); hanya keluarga yang *komutatif* yang berkelakuan baik ([Latihan 3.9](#exo-b2-reduction-9)). (ii) “$\chi_u$ terurai lengkap” adalah hipotesis tentang *lapangannya*: rotasi bidang punya $\chi =
X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, yang terurai lengkap atas $\C$ tetapi tidak atas $\R$ — jadi [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) di $\mathcal{M}_2(\C)$, tidak [dapat ditrigonalkan](#def-b2-reduction-diag) di $\mathcal{M}_2(\R)$. (iii) Ketaksamaannya berjalan geometrik $\leq$ aljabar, tak pernah sebaliknya; menguji $\dim E_\lambda \geq 1$ saja tidak membuktikan apa pun tentang keterdiagonalan. (iv) $\mu_u$ bukan $\chi_u$: keduanya sama persis ketika tiap [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) punya satu rantai blok tunggal (misalnya matriks pendamping, lihat soal akhir pekan bab ini); memakai $\chi$ di tempat $\mu$ diperlukan hanya menggelembungkan setiap perhitungan pangkat. (v) Adapun $d$ dan $\nu$ milik Dunford berupa polinomial dalam $u$ — penguraian $u = d' + \nu'$ yang bersifat benar tetapi $d'\nu' \neq \nu'd'$ *bukanlah* Dunford dan tak pernah tunggal.

**Catatan 3.24 (Di mana bab ini dipakai).**

Reduksi adalah kuda beban bagi sisa buku ini: pangkat dan eksponensial matriks menggerakkan sistem persamaan diferensial linear pada [Bab 16](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/16-persamaan-diferensial#ch-b2-diffeq); teorema spektral pada [Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic) tak lain diagonalisasi yang dibuat ortogonal; fungsi pembangkit ([Bab 23](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/23-fungsi-pembangkit-peluang#ch-b2-genfun)) menurunkan ulang asimtotik rekurensi pada soal akhir pekan bab ini secara analitis. Pada jilid Tahun ke-3 program yang sama berjalan dalam dimensi tak hingga: teori spektral atas operator kompak yang swa-adjoin, tempat barisan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) menggantikan [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) hingga, dan teori Perron–Frobenius atas matriks positif, yang menjelaskan *mengapa* [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) dominan pada masalah pencacahan selalu positif dan sederhana.

## 3.3 Nilpoten dan penguraian Dunford

**Proposisi 3.25 (Endomorfisma nilpoten).**

Untuk $u$ yang $\chi_u$-nya terurai lengkap, pernyataan berikut setara: $u^n = 0$; $u^k = 0$ untuk suatu $k$; $\operatorname{Sp}(u) = \{0\}$; $\chi_u = X^n$; $u$ [dapat ditrigonalkan](#def-b2-reduction-diag) dengan diagonal nol. [Endomorfisma nilpoten](#prop-b2-reduction-nilpotent) punya $\mu_u = X^{\text{(indeks kenilpotenan)}}$, dengan indeks $\leq n$.

**Bukti.** Dari $u^k = 0$ setiap [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) menjadi akar $X^k$: jadi [spektrumnya](#def-b2-reduction-eigen) $\{0\}$ (tak kosong ketika $\chi$ terurai lengkap — atas $\C$ selalu demikian). Maka $\chi_u = X^n$ (semua akarnya nol) dan Cayley–Hamilton memberi $u^n = 0$; sedangkan [trigonalisasi](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization)) menaruh nol pada diagonalnya (sebab diagonal mengusung [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen)). Sebaliknya, misalkan $A$ segitiga atas tegas: $a_{ij} = 0$ untuk $j \leq i$. Kita tunjukkan secara induktif bahwa

$$
(A^k)_{ij} = 0 \qquad \text{setiap kali } j \leq i + k - 1,
$$

yakni tiap pangkatnya mendorong daerah nolnya satu diagonal lebih tinggi. Untuk $k = 1$ inilah hipotesisnya. Adapun langkah induksinya,

$$
(A^{k+1})_{ij} = \sum_{\ell} (A^k)_{i\ell}\,a_{\ell j} ,
$$

dan tiap sukunya lenyap: entah $\ell \leq i + k - 1$ (faktor pertamanya $0$ menurut induksi) atau $\ell \geq i + k$, dan dalam hal itu $j \leq i + k \leq \ell$ menolkan faktor keduanya. Pada $k = n$ syarat $j \leq i + n - 1$ berlaku untuk setiap $i, j \leq n$: jadi $A^n =
0$. [Polinomial minimalnya](#def-b2-reduction-polyu) membagi $X^n$ dan penolkannya mendefinisikan indeksnya. ∎

**Teorema 3.26 (Penguraian Dunford).**

Andaikan $\chi_u$ terurai lengkap atas $K$ (yang otomatis untuk $K =
\C$). Maka ada tepat satu pasangan $(d, \nu)$ dengan

$$
u = d + \nu, \qquad d \text{ dapat didiagonalkan}, \quad \nu
\text{ nilpoten}, \quad d\nu = \nu d ,
$$

dan lebih lanjut $d$ dan $\nu$ berupa polinomial dalam $u$.

**Bukti.** *Keberadaan.* Tulis $\chi_u = \prod_{i=1}^{r} (X -
\lambda_i)^{m_i}$ (dengan $\lambda_i$ berbeda) lalu tetapkan $N_i = \ker(u -
\lambda_i)^{m_i}$, yaitu *subruang karakteristiknya*. Menurut Cayley–Hamilton dan lema kernel ([Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels)),

$$
E = N_1 \oplus \dots \oplus N_r ,
$$

dengan proyeksi $\pi_i$ berupa polinomial dalam $u$; tiap $N_i$ bersifat stabil (polinomial dalam $u$ komutatif dengan $u$). Tetapkan $d = \sum_i
\lambda_i \pi_i$: sebuah polinomial dalam $u$ yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) (ia bekerja sebagai $\lambda_i$ pada $N_i$, jadi $E$ terurai menjadi [ruang eigennya](#def-b2-reduction-eigen)). Maka $\nu = u - d$ juga polinomial dalam $u$ (sehingga komutatif dengan $d$), dan pada tiap $N_i$ ia bekerja sebagai $u -
\lambda_i$ dengan $(u - \lambda_i)^{m_i} = 0$ di sana: jadi $\nu^{\max m_i} = 0$ pada tiap suku, sehingga $\nu$ nilpoten.

*Ketunggalan.* Misalkan $u = d' + \nu'$ pasangan lain yang seperti itu. Karena $d'$ dan $\nu'$ saling komutatif, keduanya komutatif dengan $u = d' + \nu'$, jadi komutatif dengan setiap polinomial dalam $u$ — khususnya dengan $d$ dan $\nu$. Maka $d - d'$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) (dua pemetaan komutatif yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) serentak: [Latihan 3.9](#exo-b2-reduction-9)) dan sama dengan $\nu' - \nu$, yang nilpoten: jika $\nu^k = 0$ dan $\nu'^{k'} = 0$, kekomutatifannya mengizinkan penguraian binomial

$$
(\nu' - \nu)^{k + k' - 1}
= \sum_{j=0}^{k+k'-1}\binom{k + k' - 1}{j}
\,\nu'^{\,j}\,(-\nu)^{k + k' - 1 - j} ,
$$

yang di dalamnya setiap suku mati: entah $j \geq k'$ (faktor pertamanya nol) atau $k + k' - 1 - j \geq k$ (faktor keduanya nol), dan salah satu dari keduanya selalu berlaku. Sedangkan nilpoten yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) pastilah nol ([spektrumnya](#def-b2-reduction-eigen) $\{0\}$ dan ia diagonal pada suatu basis): jadi $d = d'$ dan $\nu = \nu'$. ∎

**Contoh 3.27 (Pangkat dan eksponensial).**

Untuk $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_A = X^2 -
4X + 4 = (X-2)^2$, satu [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $2$, dengan ruang eigen berdimensi $1$: jadi tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag). Dunford: $D = 2I$, $N = A - 2I =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Maka

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N ,
\qquad
\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN),
$$

berturut-turut menurut teorema binomial untuk unsur komutatif dan menurut deret eksponensial ([Bab 16](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/16-persamaan-diferensial#ch-b2-diffeq)) yang terpecah pada suku komutatif. Reduksi mengubah dinamika matriks menjadi dinamika skalar.

**Catatan 3.28 (Pandangan ke depan di dalam jilid ini).**

Reduksi adalah simpul; berikut empat jari-jari yang perlu disimak. Pada [Bab 5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#ch-b2-nvs), norma yang diselaraskan mengubah “semua [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) bermodulus $< 1$” menjadi “suatu norma operator $< 1$”, sehingga [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) menguasai kekonvergenan pangkat dan deret. Pada [Bab 16](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/16-persamaan-diferensial#ch-b2-diffeq), resep pada [Contoh 3.27](#ex-b2-reduction-powers) menjadi penyelesaian umum $X' = AX$: Dunford memecah $\eu^{tA}$ menjadi blok berupa polinomial dikali eksponensial, dan kestabilannya terbaca dari bagian real [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen). Pada [Bab 12](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/12-bentuk-kuadratik#ch-b2-quadratic), sebuah hasil kali skalar memaksa apa yang tak sanggup dipaksa aljabar linear semata: matriks setangkup menjadi [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) secara *ortogonal*, tanpa bagian nilpoten sama sekali. Dan pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/23-fungsi-pembangkit-peluang#ch-b2-genfun), asimtotik [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) dominan pada soal akhir pekan bab ini muncul kembali secara analitis, sebagai singularitas terkecil sebuah fungsi pembangkit — dua bahasa untuk satu laju tumbuh.

## 3.4 Latihan

**Latihan 3.1 ★.**

Diagonalkan ([nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen), basis ruang eigen, matriks berinvers $P$):

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\qquad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
$$

**Solusi Latihan 3.1.**

$A$: $\chi_A = X^2 - 2X - 3 = (X - 3)(X + 1)$. [Vektor eigennya](#def-b2-reduction-eigen): untuk $3$: $(1,1)$; untuk $-1$: $(1,-1)$. Jadi $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1
& -1\end{pmatrix}$ memberi $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(3, -1)$.

$B = J - I$ dengan $J$ matriks yang semua unsurnya satu. Matriks $J$ berank $1$ dengan $Jv = 3v$ untuk $v = (1,1,1)$ dan $Jw = 0$ pada bidang $x + y + z = 0$: jadi [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $B$ adalah $\{2, -1\}$ dengan ruang eigen $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ (berdimensi $1$) dan $\{x + y + z = 0\}$ (berdimensi $2$, dengan basis $(1,-1,0), (1,0,-1)$). Maka $P$ yang berkolomkan ketiganya memberi $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$.

**Latihan 3.2 ★.**

Tunjukkan bahwa $C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), dengan dua cara: lewat ruang eigen, dan lewat [polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu).

**Solusi Latihan 3.2.**

*Lewat ruang eigen:* $\chi_C = (X-1)^2$, dengan satu [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $1$; $\ker(C - I) = \ker\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ adalah garis $\operatorname{Vect}(e_1)$, berdimensi $1 < 2 = m_1$, jadi tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)).

*Lewat [polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu):* $\mu_C$ membagi $(X-1)^2$ dan $C \neq I$, jadi $\mu_C = (X-1)^2$: akarnya ganda, sehingga tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Akibat 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)).

**Latihan 3.3 ★.**

Misalkan $u$ memenuhi $u^2 - 5u + 6\,\mathrm{id} = 0$. Buktikan bahwa $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), tentukan [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) yang mungkin, lalu hitung $u^k$ sebagai kombinasi $\mathrm{id}$ dan $u$.

**Solusi Latihan 3.3.**

$X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)$: terurai lengkap dengan akar sederhana, jadi $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Akibat 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)), dengan $\operatorname{Sp}(u) \subseteq \{2, 3\}$. [Spektrum](#def-b2-reduction-eigen) yang mungkin: $\{2\}$ (yaitu $u = 2\,\mathrm{id}$), $\{3\}$ (yaitu $u = 3\,\mathrm{id}$), atau $\{2, 3\}$.

Pangkatnya: carilah $u^k = a_k\,\mathrm{id} + b_k\,u$. Pada [ruang eigennya](#def-b2-reduction-eigen), syarat itu berbunyi $2^k = a_k + 2b_k$ dan $3^k = a_k + 3b_k$; setelah diselesaikan, $b_k = 3^k - 2^k$ dan $a_k = 3\cdot2^k - 2\cdot 3^k$:

$$
u^k = (3\cdot 2^k - 2\cdot 3^k)\,\mathrm{id} + (3^k - 2^k)\, u .
$$

(Berlaku untuk ketiga [spektrumnya](#def-b2-reduction-eigen): kesamaannya berlaku [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) demi [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen).)

**Latihan 3.4 ★★.**

Misalkan $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dan $F$ subruang yang stabil. Buktikan bahwa $u|_F$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) *(batasi sebuah polinomial penganihilasi yang terurai lengkap dengan akar sederhana)*.

**Solusi Latihan 3.4.**

Karena $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), $P = \prod_{\lambda}(X - \lambda)$ atas [spektrumnya](#def-b2-reduction-eigen) menganihilasi $u$, terurai lengkap, dan berakar sederhana. Maka $P(u|_F) = P(u)|_F = 0$: pembatasannya dianihilasi oleh polinomial terurai lengkap yang berakar sederhana, jadi ia [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Akibat 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)).

**Latihan 3.5 ★★.**

(Fibonacci) Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Diagonalkan $A$ atas $\R$, lalu turunkan rumus Binet untuk barisan Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+1} = F_n +
F_{n-1}$):

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5},
\qquad \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1 -
\sqrt5}{2}.
$$

**Solusi Latihan 3.5.**

Di sini $\chi_A = X^2 - X - 1$, dengan akar $\varphi$ dan $\psi$ yang berbeda: jadi [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), dengan [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $(\varphi, 1)$ dan $(\psi, 1)$. Rekurensinya memberi $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n
\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$. Uraikan $(1, 0)$ pada [vektor eigennya](#def-b2-reduction-eigen): $(1,0) = \frac{1}{\varphi - \psi}\bigl((\varphi, 1)
- (\psi, 1)\bigr)$ dengan $\varphi - \psi = \sqrt5$. Menerapkan $A^n$ mengalikan tiap komponen eigennya dengan pangkat ke-$n$ [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen); setelah koordinat keduanya dibaca:

$$
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5} .
$$

(Periksa: $n = 1$ memberi $\frac{\varphi - \psi}{\sqrt5} = 1$.)

**Latihan 3.6 ★★.**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(E)$ dengan $u^2$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dan $u$ punya invers ($K = \C$). Buktikan bahwa $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag). Berilah contoh penyangkal ketika $u$ tidak punya invers.

**Solusi Latihan 3.6.**

Misalkan $P = \prod_i (X - \mu_i)$ menganihilasi $u^2$, terurai lengkap dengan akar sederhana $\mu_i$ (yaitu [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $u^2$). Karena $u$ punya invers, $0$ bukan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $u^2$ (sebab $\det u^2 = (\det u)^2 \neq
0$), jadi semua $\mu_i \neq 0$. Maka

$$
Q(X) = \prod_i (X^2 - \mu_i) = \prod_i (X - \sqrt{\mu_i})(X +
\sqrt{\mu_i})
$$

menganihilasi $u$: $\;Q(u) = \prod_i (u^2 - \mu_i\,\mathrm{id}) =
P(u^2) = 0$. Akarnya $\pm
\sqrt{\mu_i}$ (yakni akar kuadrat kompleks) berbeda sepasang demi sepasang karena $\mu_i$ berbeda dan tak nol (sebab $\sqrt{\mu_i} = -\sqrt{\mu_j}$ akan memberi $\mu_i = \mu_j$). Terurai lengkap dan berakar sederhana: jadi $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag).

Contoh penyangkal tanpa keterbalikan: $u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix}$: di sini $u^2 = 0$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag), $u$ tidak.

**Latihan 3.7 ★★.**

Hitung [penguraian Dunford](#thm-b2-reduction-dunford), $A^k$, dan $\eu^{tA}$ untuk

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

**Solusi Latihan 3.7.**

$A = 2I + N$ dengan $N$ geseran ($N e_2 = e_1$, $Ne_3 = e_2$), $N^3 = 0$, $N^2 = E_{13}$: inilah *tepat* [penguraian Dunfordnya](#thm-b2-reduction-dunford) ($2I$ diagonal, $N$ nilpoten, dan keduanya komutatif; ketunggalannya menjadikannya satu-satunya). Binomial atas suku yang komutatif memberi

$$
A^k = 2^k I + k 2^{k-1} N + \binom k2 2^{k-2} N^2
= \begin{pmatrix}
2^k & k2^{k-1} & \binom k2 2^{k-2}\\
0 & 2^k & k2^{k-1}\\
0 & 0 & 2^k
\end{pmatrix},
$$

$$
\eu^{tA} = \eu^{2t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr)
= \eu^{2t}\begin{pmatrix}
1 & t & t^2/2\\
0 & 1 & t\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Latihan 3.8 ★★.**

Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ dengan $A^k = I$ untuk suatu $k \geq 1$. Buktikan bahwa $A$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dan [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) adalah akar ke-$k$ dari satu. Turunkan bahwa matriks kompleks berinvers dan berorde hingga yang serupa dengan matriks segitiga berdiagonal satu adalah identitas.

**Solusi Latihan 3.8.**

$X^k - 1$ menganihilasi $A$ dan terurai lengkap atas $\C$ dengan $k$ akar berbeda $\eu^{2\iu\pi j/k}$: jadi $A$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Akibat 3.17](#cor-b2-reduction-minpolycrit)) dan [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen), sebagai akar $X^k - 1$, adalah akar ke-$k$ dari satu.

Jika lagi-lagi $A$ serupa dengan matriks segitiga berdiagonal satu: semua [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) sama dengan $1$, dan $A$ yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dengan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) tunggal $1$ pastilah $P\,I\,P^{-1} = I$.

**Latihan 3.9 ★★★.**

(Diagonalisasi serentak) Misalkan $u, v$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dan saling komutatif. Buktikan bahwa keduanya [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) *serentak*: ada basis yang mendiagonalkan keduanya. *(Tiap ruang eigen $u$ stabil terhadap $v$; diagonalkan pembatasan $v$ di sana, dengan memakai [Latihan 3.4](#exo-b2-reduction-4).)*

**Solusi Latihan 3.9.**

Tulis $E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)$ ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Tiap $E_\lambda(u)$ stabil terhadap $v$: untuk $x \in E_\lambda$ berlaku $u(v(x)) = v(u(x)) = \lambda
v(x)$. Pembatasan $v$ pada $E_\lambda(u)$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Latihan 3.4](#exo-b2-reduction-4)): pilihlah basis $E_\lambda(u)$ yang terdiri atas [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $v$. Menyambung basis-basis itu atas semua $\lambda$ memberi basis $E$ yang vektornya adalah [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) bagi *keduanya*, yakni $u$ (lewat keanggotaan di $E_\lambda(u)$) dan $v$ (menurut konstruksinya).

**Latihan 3.10 ★★★.**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(\C^n)$. Buktikan bahwa $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) bila dan hanya bila setiap subruang yang stabil terhadap $u$ punya subruang pelengkap yang juga stabil terhadap $u$. *(Untuk $\Leftarrow$: terapkan sifat itu pada $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$, jumlah semua ruang eigen; jika pelengkap stabil $G$ tak nol, mentrigonalkan $u|_G$ akan menghasilkan [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $u$ di dalam $G$ — yang bertentangan dengan $G \cap F = \{0\}$.)*

**Solusi Latihan 3.10.**

($\Rightarrow$) Misalkan $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dan $F$ stabil. Maka $u|_F$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Latihan 3.4](#exo-b2-reduction-4)): jadi $F$ punya basis berisi [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen), yang di dalam tiap ruang eigen global $E_\lambda$ dapat diperluas menjadi basis $E_\lambda$ (lewat teorema basis tak lengkap di dalam $E_\lambda$, berawal dari bagian basis $F$ yang terletak di sana — perhatikan $F = \bigoplus_\lambda (F \cap
E_\lambda)$ sebab $u|_F$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag)). Vektor yang ditambahkan tadi merentang pelengkap yang stabil (masing-masing terletak di suatu $E_\lambda$, jadi rentangnya stabil terhadap $u$).

($\Leftarrow$) Misalkan $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ (sebuah subruang stabil) dan $G$ pelengkapnya yang stabil. Jika $G \neq \{0\}$, maka $\chi_{u|_G}$ terurai lengkap atas $\C$, sehingga $u|_G$ punya [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $x \in G$ ([Teorema 3.9](#thm-b2-reduction-trigonalization), atau langsung lewat keberadaan akarnya); tetapi setiap [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $u$ terletak di $F$, jadi $x \in F \cap G = \{0\}$: kontradiksi. Karenanya $G = \{0\}$ dan $E = F$: [ruang eigennya](#def-b2-reduction-eigen) mengisi $E$, yakni $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag).

**Latihan 3.11 ★★★.**

(Jari-jari spektral ala Gelfand ringan, cicipan analisis pada $2\times2$) Misalkan $A \in \mathcal{M}_2(\C)$ dengan kedua [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) bermodulus $< 1$. Buktikan bahwa $A^k \to 0$ unsur demi unsur ketika $k \to \infty$. *(Trigonalkan: $A = P(T)P^{-1}$ dengan $T$ segitiga atas; hitung $T^k$ secara gamblang — bedakan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) yang sama dan yang berbeda — lalu batasi.)*

**Solusi Latihan 3.11.**

Trigonalkan: $A = PTP^{-1}$, $T = \begin{pmatrix} \lambda & c\\ 0 &
\mu\end{pmatrix}$, dengan $\abs\lambda, \abs\mu < 1$. Maka $A^k =
PT^kP^{-1}$, sehingga cukuplah menunjukkan $T^k \to 0$.

*[Nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) berbeda:* induksi memberi

$$
T^k = \begin{pmatrix}
\lambda^k & c\,\dfrac{\lambda^k - \mu^k}{\lambda - \mu}\\[4pt]
0 & \mu^k
\end{pmatrix},
$$

dan tiap unsurnya menuju $0$ (sebab $\abs{\lambda}^k, \abs\mu^k \to 0$).

*[Nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) sama ($\mu = \lambda$):* di sini $T = \lambda I + cE_{12}$ dan $T^k = \lambda^k I + k\lambda^{k-1}cE_{12}$; unsur $k\lambda^{k-1} \to 0$ karena $\abs\lambda < 1$ (geometri mengalahkan polinomial). Pada kedua kasusnya $T^k \to 0$ unsur demi unsur, sehingga $A^k = PT^kP^{-1} \to 0$ (perkalian matriks oleh $P, P^{-1}$ yang tetap bersifat kontinu pada unsurnya — tiap unsur hasil kalinya adalah kombinasi linear yang tetap).

**Latihan 3.12 ★★.**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ dengan $\operatorname{rk} u = 1$ ($n
\geq 2$). Tunjukkan bahwa $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$, dan bahwa $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) bila dan hanya bila $\operatorname{tr} u
\neq 0$. *(Ingat kembali dari [Latihan 2.5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#exo-b2-linalg-5) bahwa $u^2 =
(\operatorname{tr} u)\,u$.)*

**Solusi Latihan 3.12.**

Kernel $\ker u$ berdimensi $n - 1$ (rank–nulitas), jadi $0$ adalah [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) bermultiplisitas geometrik $n - 1$, dan $\chi_u$ habis dibagi $X^{n-1}$ ([Definisi 3.3](#def-b2-reduction-charpoly): geometrik $\leq$ aljabar). Tulis $\chi_u = X^{n-1}(X - \alpha)$; karena koefisien $X^{n-1}$ adalah $-\operatorname{tr} u$, diperoleh $\alpha =
\operatorname{tr} u$, yakni $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr}
u)$.

Jika $\operatorname{tr} u \neq 0$: [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $\operatorname{tr} u$ adalah akar $\chi_u$, jadi ia mengusung [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen); ruang eigen untuk $0$ dan untuk $\operatorname{tr} u$ berdimensi $n - 1$ dan $\geq 1$, yang berjumlah $\geq n$: keduanya mengisi $E$, sehingga $u$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)). Jika $\operatorname{tr} u = 0$: menurut [Latihan 2.5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#exo-b2-linalg-5), $u^2 = (\operatorname{tr} u)u = 0$ padahal $u \neq 0$, jadi $u$ nilpoten tak nol, sedangkan nilpoten yang [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) pastilah nol ([Proposisi 3.25](#prop-b2-reduction-nilpotent)): jadi tidak [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag).

## 3.5 Soal: Rekurensi Linear dan Matriks Pendamping

Rekurensi linear $u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots + a_0 u_n$ tak lain pangkat matriks yang menyamar, dan reduksi mengubahnya menjadi rumus tertutup, laju tumbuh, dan taksiran galat. Soal akhir pekan ini mengembangkan kamusnya — matriks pendamping di satu sisi, operator geser pada ruang barisan di sisi lain — membuktikan *teorema dasar rekurensi linear* (penyelesaian umumnya $\sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ atas akar [polinomial karakteristiknya](#def-b2-reduction-charpoly)), lalu membelanjakan panennya untuk penghampiran Diophantus atas $\sqrt2$, untuk pencacahan jalan dan kata, serta untuk sebuah cincin barisan berkopling yang hanya dapat diurai oleh diagonalisasi serentak.

**Soal 3.1.**

Soal akhir pekan — teorema dasar rekurensi linear

Tetapkan $k \geq 1$, skalar $a_0, \dots, a_{k-1} \in \C$ dengan $a_0
\neq 0$, polinomial monik $P = X^k - a_{k-1}X^{k-1} - \dots -
a_1 X - a_0$, dan rekurensi

$$
(\mathcal R)\colon\quad u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots +
a_1 u_{n+1} + a_0 u_n \qquad (n \geq 0).
$$

*Matriks pendamping* bagi $P$ adalah

$$
C =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\
 & \ddots & \ddots & \\
 & & 0 & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_{k-1}
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_k(\C).
$$

**Bagian I — Kamus pendamping.**

1. Tunjukkan bahwa sebuah barisan $(u_n)$ memenuhi $(\mathcal R)$ bila dan hanya bila vektor $v_n = (u_n, u_{n+1}, \dots,  u_{n+k-1})^{\mathsf T}$ memenuhi $v_{n+1} = Cv_n$ , sehingga $v_n = C^n v_0$ .
2. Buktikan bahwa $\chi_C = P$ (uraikan $\det(XI - C)$ sepanjang kolom pertama lalu berinduksi pada $k$ ), lalu bahwa $\mu_C = P$ juga *(beralihlah ke $C^{\mathsf T}$, yang $e_1$-nya [siklik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated), dan perhatikan bahwa sebuah matriks dan transposnya punya [polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu) yang sama)* .
3. Tunjukkan bahwa untuk tiap akar $\lambda$ pada $P$ , vektor $(1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf T}$ merentang ruang eigen $C$ bagi $\lambda$ ; lalu turunkan bahwa *setiap* ruang eigen $C$ berdimensi $1$ , dan bahwa $C$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) bila dan hanya bila $P$ punya $k$ akar yang berbeda.
4. Andaikan $P$ punya akar berbeda $\lambda_1, \dots,  \lambda_k$ . Tunjukkan bahwa barisan geometri $(\lambda_i^n)_n$ membentuk basis ruang penyelesaian $(\mathcal R)$ , sehingga setiap penyelesaiannya berbentuk $u_n = \sum_i  c_i\lambda_i^n$ untuk konstanta $c_i$ yang tunggal.
5. Selesaikan seluruhnya: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ .

**Bagian II — Operator geser dan teorema dasarnya.** Misalkan $\mathcal{S}$ ruang vektor atas $\C$ yang berisi semua barisan kompleks dan $S \in
\mathcal{L}(\mathcal{S})$ operator geser, $S\bigl((u_n)_n\bigr) =
(u_{n+1})_n$.

6. Tunjukkan bahwa himpunan penyelesaian $(\mathcal R)$ adalah $\ker  P(S)$ , dan bahwa dimensinya tepat $k$ *(petakan sebuah penyelesaian ke nilai awalnya)* .
7. Jelaskan mengapa lema penguraian kernel ( [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) ) berlaku bagi $S$ pada $\mathcal{S}$ yang berdimensi tak hingga tanpa perubahan apa pun, lalu tuliskan penguraian $\ker P(S)$ yang dihasilkannya untuk $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ (dengan $\lambda_i$ berbeda dan semuanya tak nol karena $a_0 \neq 0$ ).
8. Untuk $\lambda \neq 0$ dan $m \geq 1$, tunjukkan bahwa $$\ker\,(S - \lambda\,\mathrm{id})^m  = \bigl\{\,\bigl(Q(n)\,\lambda^n\bigr)_n : Q \in  \C_{m-1}[X]\,\bigr\},$$ yang berdimensi $m$. *(Hitung $(S -  \lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =  \lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ dengan $\Delta Q = Q(X + 1) -  Q(X)$, lalu pakai kenyataan bahwa $\Delta$ menurunkan derajatnya; untuk dimensinya, batasi dengan $m$ lewat nilai awalnya.)*
9. (Teorema dasar rekurensi linear) Simpulkan: jika $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ dengan $\lambda_i$ berbeda dan tak nol, maka penyelesaian $(\mathcal R)$ persis semua barisan $$u_n = \sum_{i=1}^{r} Q_i(n)\,\lambda_i^n,  \qquad Q_i \in \C_{m_i - 1}[X],$$ dengan polinomial $Q_i$ yang tertentu secara tunggal.
10. Selesaikan seluruhnya: $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n$ , $u_0 =  1$ , $u_1 = 0$ , lalu periksa jawabannya pada $u_2$ .

**Bagian III — Akar dominan dan panen Diophantus.**

11. Andaikan akarnya sederhana dengan $\abs{\lambda_1} >  \abs{\lambda_i}$ untuk $i \geq 2$ , dan $u_n = \sum_i c_i  \lambda_i^n$ dengan $c_1 \neq 0$ . Tunjukkan $u_n \sim  c_1\lambda_1^n$ dan $u_{n+1}/u_n \to \lambda_1$ .
12. (Pell) Tetapkan $a_{n+1} = a_n + 2b_n$ , $b_{n+1} = a_n +  b_n$ , $a_0 = b_0 = 1$ . Tunjukkan bahwa $q(a, b) = a^2 - 2b^2$ memenuhi $q(a_{n+1}, b_{n+1}) = -q(a_n, b_n)$ , sehingga $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$ ; lalu kaitkan hal itu dengan [determinan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 1 &  1\end{smallmatrix}\right)$ .
13. Turunkan taksiran galat $$\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|  = \frac{1}{b_n\,(a_n + \sqrt2\,b_n)}  \leq \frac{1}{2b_n^2},$$ lalu tunjukkan bahwa galat itu meluruh secara geometri dengan rasio $3 - 2\sqrt2$ *(carilah [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $M$ dan laju tumbuh $b_n$)*.
14. (Laju tumbuh umum) Dari pertanyaan 9, buktikan: (a) jika setiap akarnya memenuhi $\abs{\lambda_i} \leq \rho$ , maka $\abs{u_n} \leq C\,n^{m-1}\rho^n$ dengan $m = \max_i m_i$ ; (b) jika ada satu akar tunggal $\lambda_1$ yang modulusnya maksimal dan $Q_1 \neq 0$ , maka $u_{n+1}/u_n \to  \lambda_1$ — periksalah hal itu pada penyelesaian pertanyaan 10.

**Bagian IV — Mencacah jalan dan kata.** Untuk sebuah graf hingga dengan himpunan simpul $\{1, \dots, N\}$, *matriks ketetanggaan* $A$ punya $A_{ij} = 1$ bila $ij$ sebuah rusuk, dan $0$ bila bukan.

15. Buktikan bahwa $(A^n)_{ij}$ adalah banyaknya jalan berpanjang $n$ dari $i$ ke $j$ (rangkaian $n$ rusuk, tiap langkahnya menyusuri sebuah rusuk).
16. (Segitiga) Untuk graf lengkap atas $3$ simpul, berlaku $A = J - I$: dengan memakai [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $J$ ([Contoh 2.19](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#ex-b2-linalg-onesmatrix)), tunjukkan $$(A^n)_{ii} = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3},  \qquad  (A^n)_{ij} = \frac{2^n - (-1)^n}{3} \quad (i \neq j),$$ lalu periksa keduanya pada $n = 2$ dengan mendaftar jalannya.
17. (Kata tanpa $11$ ) Misalkan $w_n$ banyaknya kata biner berpanjang $n$ yang tidak punya dua angka $1$ berurutan. Sandikan katanya menurut huruf terakhirnya untuk memperoleh matriks transfer, tunjukkan $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ , turunkan $w_n =  F_{n+2}$ (Fibonacci, [Latihan 3.5](#exo-b2-reduction-5) ), lalu berikan laju tumbuhnya $\lim w_{n+1}/w_n$ .
18. (Lintasan) Untuk graf lintasan $1 - 2 - 3$ , tunjukkan bahwa [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $A$ adalah $\sqrt2, 0, -\sqrt2$ dengan [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ dan $(1, 0, -1)$ , lalu turunkan bahwa banyaknya jalan berpanjang $n$ dari ujung ke ujung adalah $\bigl((\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n\bigr)/4$ : nol untuk $n$ ganjil, dan $2^{\,n/2 - 1}$ untuk $n$ genap. Periksalah pada $n = 4$ .
19. (Rumus trace) Tunjukkan bahwa banyaknya seluruh jalan tertutup berpanjang $n$ (dari semua titik awal) adalah $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i \lambda_i^n$ , lalu periksalah pada segitiga.

**Bagian V — Sebuah cincin barisan: diagonalisasi serentak.** Tetapkan $k \geq 3$, misalkan $\omega = \eu^{2\iu\pi/k}$, dan misalkan $W \in \mathcal{M}_k(\C)$ geseran [siklik](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-generated): $W e_i =
e_{i+1}$ (indeks modulo $k$, dengan kolom berindeks $0, \dots, k-1$).

20. Tunjukkan bahwa $W^{\mathsf T}$ adalah matriks pendamping bagi $X^k - 1$ , lalu turunkan $\chi_W = \mu_W = X^k - 1$ , dan bahwa $W$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) dengan $k$ [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) sederhana $\omega^j$ beserta [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) $f_j = (1, \omega^{-j},  \omega^{-2j}, \dots, \omega^{-(k-1)j})^{\mathsf T}$ .
21. Matriks *sirkulan* adalah $C = c_0 I + c_1 W + \dots  + c_{k-1}W^{k-1}$ . Tunjukkan bahwa semua sirkulan saling komutatif, bahwa basis $(f_0, \dots, f_{k-1})$ mendiagonalkan *semuanya* serentak, dan bahwa [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $C$ adalah $\widehat c(\omega^j) = \sum_m  c_m \omega^{jm}$ , $j = 0, \dots, k-1$ .
22. Turunkan $\det C = \prod_{j=0}^{k-1} \widehat  c(\omega^j)$ , lalu periksa bahwa $k = 3$ memulihkan pemfaktoran pada [Latihan 2.8](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#exo-b2-linalg-8) .
23. (Rata-rata kalung) Misalkan $x^{(n+1)} = Mx^{(n)}$ dengan $M = \frac12(W + W^{-1})$ : masing-masing dari $k$ bilangan yang tersusun melingkar diganti dengan rata-rata kedua tetangganya. Tunjukkan bahwa [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $M$ adalah $\cos(2\pi j/k)$ , dan bahwa koefisien $x^{(0)}$ pada $f_0$ adalah rata-rata $\frac1k\sum_m x^{(0)}_m$ *(jumlahkan koordinat tiap $f_j$)* .
24. Simpulkan: untuk $k$ ganjil, $x^{(n)}$ konvergen ke vektor konstan yang nilainya rata-rata nilai awalnya; sedangkan untuk $k = 4$ , tunjukkan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) yang bertanggung jawab atas ketakkonvergenannya beserta halangannya yang tepat (yaitu koefisien rata-rata berselang-seling yang wajib nol).
25. (Rangkuman) Dengan satu kalimat untuk masing-masing: bagaimana matriks pendamping mengubah telaah $(\mathcal R)$ menjadi reduksi; di mana lema penguraian kernel sama sekali tidak memerlukan dimensi hingga; mengapa [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) dominan menguasai laju tumbuh dan galat Diophantus; mengapa pangkat matriks ketetanggaan mencacah jalan; dan apa yang dibeli oleh matriks yang saling komutatif. Sebutkan kedua puncaknya: teorema dasar rekurensi linear, dan — untuk matriks positif pada Bagian IV, di jilid Tahun ke-3 — teorema Perron–Frobenius.

**Solusi Soal 3.1.**

**1.** Sebanyak $k - 1$ koordinat pertama pada $Cv_n$ adalah $u_{n+1}, \dots, u_{n+k-1}$ (karena superdiagonalnya menggeser), dan yang terakhir adalah $a_0 u_n + \dots + a_{k-1}u_{n+k-1}$. Jadi $v_{n+1} =
Cv_n$ berlaku untuk setiap $n$ bila dan hanya bila koordinat terakhirnya cocok untuk setiap $n$, yakni bila dan hanya bila $(\mathcal R)$ berlaku. Dengan mengiterasikannya, $v_n = C^nv_0$.

**2.** Uraikan $D_k(X) = \det(XI_k - C)$ sepanjang kolom pertama: kedua unsurnya yang tak nol adalah $X$ (pada kedudukan $(1,1)$) dan $-a_0$ (pada kedudukan $(k,1)$). Minor pertamanya berbentuk $D_{k-1}$ untuk koefisien $a_1, \dots, a_{k-1}$; minor keduanya segitiga atas dengan diagonal $-1$, jadi [determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) $(-1)^{k-1}$, dengan tanda $(-1)^{k+1}$ dari kedudukannya. Induksi pada $k$ (dengan pangkal $k = 1$: $X - a_0$) memberi

$$
D_k(X) = X\bigl(X^{k-1} - a_{k-1}X^{k-2} - \dots - a_1\bigr) -
a_0 = P(X).
$$

Untuk $\mu_C$: karena $Q(C^{\mathsf T}) = Q(C)^{\mathsf T}$ untuk setiap polinomial, $C$ dan $C^{\mathsf T}$ punya penganihilasi yang sama, jadi punya [polinomial minimal](#def-b2-reduction-polyu) yang sama. Untuk $C^{\mathsf T}$: kolomnya berbunyi $C^{\mathsf T}e_1 = e_2$, …, $C^{\mathsf
T}e_{k-1} = e_k$, sehingga $(e_1, C^{\mathsf T}e_1, \dots, (C^{\mathsf
T})^{k-1}e_1)$ tak lain basis kanoniknya: bebas. Maka polinomial $Q
\neq 0$ berderajat $< k$ punya $Q(C^{\mathsf T})e_1 \neq 0$ (sebab ia kombinasi tak trivial atas vektor basis), jadi $\deg\mu \geq
k$. Karena $\mu \mid \chi = P$ dengan $\deg P = k$: $\mu_C = P$.

**3.** Untuk $v = (1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf
T}$: baris $1$ sampai $k-1$ pada $Cv$ memberi $\lambda, \lambda^2, \dots,
\lambda^{k-1}$, yakni $\lambda$ kali $k - 1$ unsur pertama $v$; sedangkan baris terakhirnya memberi $\sum_m a_m\lambda^m = \lambda^k -
P(\lambda) = \lambda^k = \lambda\cdot\lambda^{k-1}$. Jadi $Cv =
\lambda v$. Sebaliknya, persamaan $(Cx)_i = \lambda x_i$ untuk $i < k$ berbunyi $x_{i+1} = \lambda x_i$: jadi setiap [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) sebanding dengan $v$ — artinya tiap ruang eigen berdimensi tepat $1$. [Dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) bila dan hanya bila dimensi [ruang eigennya](#def-b2-reduction-eigen) berjumlah $k$ ([Teorema 3.6](#thm-b2-reduction-diagcrit)), bila dan hanya bila ada $k$ [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) berbeda, bila dan hanya bila $P$ punya $k$ akar berbeda (sebab [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) adalah akar $\chi_C = P$).

**4.** Tiap $(\lambda_i^n)_n$ menyelesaikan $(\mathcal R)$, sebab $\lambda_i^{n+k} = \lambda_i^n\,\lambda_i^k =
\lambda_i^n\sum_m a_m\lambda_i^m$. Kebebasannya: kombinasi yang nol, $\sum_i c_i\lambda_i^n = 0$ untuk $n = 0, \dots, k-1$, merupakan sistem Vandermonde ([Latihan 2.11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#exo-b2-linalg-11)) pada $c_i$: jadi semua $c_i = 0$. Ruang penyelesaiannya berdimensi $k$ (pertanyaan 6, yang buktinya dasar dan berdiri sendiri): jadi $k$ penyelesaian bebas membentuk basis, dan koordinatnya tunggal.

**5.** $P = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$: penyelesaian umumnya $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$. Syarat awalnya: $A + B = 1$, $3A -
2B = 8$, jadi $A = 2$ dan $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

(Periksa: $u_2 = u_1 + 6u_0 = 14$ dan $2\cdot9 - 4 = 14$.)

**6.** $P(S)\bigl((u_n)\bigr)$ adalah barisan $n \mapsto
u_{n+k} - a_{k-1}u_{n+k-1} - \dots - a_0u_n$: ia nol bila dan hanya bila $(\mathcal R)$ berlaku, jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\ker P(S)$, sebuah subruang. Pemetaan $\ker P(S) \to \C^k$, $u \mapsto (u_0, \dots,
u_{k-1})$, bersifat linear, injektif (sebab rekurensinya menentukan $u_{k}, u_{k+1}, \dots$ dari $k$ nilai pertamanya, secara induktif) dan surjektif (tetapkan $u_n$ secara rekursif dari data awal apa pun): jadi dimensinya $k$.

**7.** Bukti [Teorema 3.14](#thm-b2-reduction-kernels) hanya memakai kesamaan Bézout di $\C[X]$ serta kenyataan bahwa polinomial dalam satu endomorfisma tetap saling komutatif. Tak satu pun menyinggung dimensi ruang sekitarnya: jadi lemanya berlaku kata demi kata bagi $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$. Karenanya

$$
\ker P(S) = \bigoplus_{i=1}^{r}
\ker\,(S - \lambda_i\,\mathrm{id})^{m_i}.
$$

**8.** Untuk $Q \in \C[X]$: barisan $(S -
\lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr)_n$ bersuku ke-$n$ $Q(n{+}1)\lambda^{n+1} - \lambda Q(n)\lambda^n =
\lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$, dengan $\Delta Q = Q(X{+}1) - Q(X)$ berderajat $\deg Q - 1$ (sebab suku utamanya saling coret). Dengan mengiterasikannya, $(S - \lambda)^m\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) =
\bigl(\lambda^{n+m}(\Delta^m Q)(n)\bigr)_n$, dan $\Delta^m Q = 0$ bila $\deg Q \leq m - 1$: jadi himpunan di ruas kanan termuat di kernelnya. Kernel itu subruang berdimensi $m$: barisan $(n^j\lambda^n)_n$, $0 \leq j < m$, bersifat bebas, sebab $\sum_j c_j n^j\lambda^n = 0$ untuk setiap $n$ memaksa (setelah dibagi $\lambda^n \neq 0$) polinomial $\sum_j c_jX^j$ bernilai nol di setiap $n \in \N$, jadi memaksanya menjadi nol. Sebaliknya $\dim\ker(S -
\lambda)^m \leq m$: setelah $(S - \lambda)^m = \sum_j
\binom mj(-\lambda)^{m-j}S^j$ diuraikan, persamaan $(S - \lambda)^m u =
0$ menjadi rekurensi linear berorde $m$ (dengan koefisien utama $1$), sehingga $u$ ditentukan oleh $u_0, \dots, u_{m-1}$ seperti pada pertanyaan 6. Kesamaan dimensinya merampungkan buktinya.

**9.** Gabungkan pertanyaan 7 dan 8: setiap penyelesaian terurai secara tunggal sebagai jumlah unsur $\ker(S -
\lambda_i)^{m_i}$, yakni $u_n = \sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ dengan $\deg Q_i \leq m_i - 1$; polinomial $Q_i$ itu tunggal karena penguraiannya langsung dan, di dalam tiap sukunya, koefisien $Q_i$ adalah koordinat pada basis $(n^j\lambda_i^n)_j$ (pertanyaan 8). Pemeriksaan kewarasan pada dimensinya: $\sum_i m_i = k$.

**10.** $P = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$: penyelesaiannya $(a +
bn)2^n$. Data awalnya: $a = 1$, $2(a + b) = 0$, jadi $b = -1$:

$$
u_n = (1 - n)\,2^n .
$$

Periksa: $u_2 = 4u_1 - 4u_0 = -4$, dan $(1 - 2)\cdot4 = -4$.

**11.** Tulis $u_n = \lambda_1^n\bigl(c_1 + \sum_{i\geq2}
c_i(\lambda_i/\lambda_1)^n\bigr)$; tiap rasionya bermodulus $< 1$, jadi kurungnya menuju $c_1 \neq 0$: karenanya $u_n \sim c_1\lambda_1^n$. Khususnya $u_n \neq 0$ untuk $n$ yang besar, dan

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} =
\lambda_1\,\frac{c_1 + o(1)}{c_1 + o(1)} \longrightarrow
\lambda_1 .
$$

**12.** Hitunglah:

$$
q(a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n + 2b_n)^2 - 2(a_n + b_n)^2
= -a_n^2 + 2b_n^2 = -q(a_n, b_n).
$$

Karena $q(a_0, b_0) = 1 - 2 = -1$, diperoleh $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$. Secara struktural: $q(a, b) = (a - \sqrt2\,b)(a + \sqrt2\,b)$ dan pemetaan linear $M$ mengalikan faktor $a + \sqrt2 b$ dengan $1 +
\sqrt2$ serta faktor $a - \sqrt2 b$ dengan $1 - \sqrt2$ (hitunglah: $a_{n+1} + \sqrt2 b_{n+1} = (1 + \sqrt2)(a_n + \sqrt2 b_n)$); jadi hasil kalinya dikalikan $(1 + \sqrt2)(1 - \sqrt2) = -1 =
\det M$ pada tiap langkah.

**13.** Karena $a_n^2 - 2b_n^2 = (a_n - \sqrt2 b_n)(a_n +
\sqrt2 b_n) = (-1)^{n+1}$, berlaku

$$
\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr|
= \frac{\abs{a_n^2 - 2b_n^2}}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)}
= \frac{1}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)} \leq \frac1{2b_n^2},
$$

dengan memakai $a_n \geq b_n \geq 1$ (secara induktif keduanya naik) sehingga $a_n + \sqrt2 b_n \geq (1 + \sqrt2)b_n \geq 2b_n$. [Nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $M$: $\chi_M = X^2 - 2X - 1$, dengan akar $1 \pm \sqrt2$; karena $(a_0,
b_0)$ punya komponen tak nol pada [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) dominannya (semua unsurnya positif), berlaku $b_n \sim c(1 + \sqrt2)^n$ dengan $c > 0$ (pertanyaan 11). Karenanya galatnya $\asymp (1 + \sqrt2)^{-2n} = (3 +
2\sqrt2)^{-n}$: peluruhan geometri dengan rasio $1/(3 + 2\sqrt2) = 3
- 2\sqrt2 \approx 0.172$.

**14.** (a) Dari pertanyaan 9: $\abs{u_n} \leq \sum_i
\abs{Q_i(n)}\abs{\lambda_i}^n \leq \bigl(\sum_i
\abs{Q_i(n)}\bigr)\rho^n$, dan tiap $\abs{Q_i(n)} \leq C_i
n^{m_i - 1} \leq C_i n^{m-1}$ untuk $n \geq 1$: jumlahkan konstantanya. (b) Misalkan $\rho' = \max_{i \geq 2}\abs{\lambda_i} <
\abs{\lambda_1}$ dan $d = \deg Q_1$ dengan koefisien utama $c
\neq 0$. Maka $u_n = Q_1(n)\lambda_1^n + R_n$ dengan $\abs{R_n}
\leq Cn^{m-1}\rho'^n$, dan

$$
\frac{R_n}{Q_1(n)\lambda_1^n} = O\Bigl(n^{m-1-d}
\bigl(\rho'/\abs{\lambda_1}\bigr)^n\Bigr) \longrightarrow 0
$$

(sebab geometri mengalahkan polinomial). Jadi

$$
u_n \sim Q_1(n)\,\lambda_1^n \sim c\,n^d\lambda_1^n,
\qquad
\frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \lambda_1
\quad\text{(sebab } Q_1(n{+}1)/Q_1(n) \to 1\text{)}.
$$

Periksa pada pertanyaan 10: untuk $u_n = (1-n)2^n$ rasionya adalah

$$
\frac{(-n)2^{n+1}}{(1-n)2^n} = 2\,\frac{-n}{1-n}
\longrightarrow 2 = \lambda_1 .
$$

**15.** Induksi pada $n$. Untuk $n = 1$, $A_{ij}$ mencacah jalan berpanjang $1$. Langkahnya: jalan berpanjang $n + 1$ dari $i$ ke $j$ adalah jalan berpanjang $n$ dari $i$ ke suatu simpul $\ell$ yang disusul rusuk $\ell j$:

$$
\#\{\text{jalan}\} = \sum_{\ell} (A^n)_{i\ell}A_{\ell j} =
(A^{n+1})_{ij}.
$$

**16.** Di sini $J = 3\Pi$ dengan $\Pi = J/3$ proyeksi pada $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ sepanjang bidang $x + y + z = 0$ (sebab $\Pi^2 = \Pi$ karena $J^2 = 3J$). Maka $A = J - I = 2\Pi - (I -
\Pi)$, dan karena $\Pi$ dan $I - \Pi$ merupakan proyeksi yang saling melengkapi,

$$
A^n = 2^n\,\Pi + (-1)^n (I - \Pi),
\qquad\text{yakni}\qquad
(A^n)_{ij} = \frac{2^n}3 + (-1)^n\Bigl(\delta_{ij} -
\frac13\Bigr),
$$

sehingga diperoleh kedua rumus yang tertulis tadi. Pada $n = 2$: diagonalnya $(4 + 2)/3 = 2$ (yaitu jalan $i \to \ell \to i$ lewat kedua tetangga $\ell$); di luar diagonal $(4 - 1)/3 = 1$ (yaitu satu-satunya jalan $i \to
\ell \to j$ lewat simpul ketiga).

**17.** Misalkan $w_n^{(0)}, w_n^{(1)}$ mencacah kata yang sah dan berpanjang $n$, berturut-turut yang berakhiran $0$ dan $1$. Menambahkan satu huruf: angka $0$ boleh menyusul apa saja, angka $1$ hanya boleh menyusul $0$:

$$
\begin{pmatrix} w_{n+1}^{(0)}\\ w_{n+1}^{(1)}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} w_n^{(0)}\\ w_n^{(1)}\end{pmatrix}.
$$

Setelah dijumlahkan, $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ (atau: syaratkan huruf pertamanya). Dengan $w_1 = 2$, $w_2 = 3$: secara induktif $w_n = F_{n+2}$ (sebab $F_3 = 2$, $F_4 = 3$, dengan rekurensi yang sama). Laju tumbuhnya: akar $X^2 - X - 1$ adalah $\varphi > \abs\psi$ ([Latihan 3.5](#exo-b2-reduction-5)), dan komponen $\varphi$-nya tak nol (sebab $w_n$ positif dan $\psi^n \to 0$), jadi pertanyaan 11 memberi $w_{n+1}/w_n \to \varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$.

**18.** Di sini $A = \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\
0&1&0\end{smallmatrix}\right)$. Periksa:

$$
A(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T}
= (\pm\sqrt2, 2, \pm\sqrt2)^{\mathsf T}
= \pm\sqrt2\,(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T},
\qquad
A(1, 0, -1)^{\mathsf T} = 0 :
$$

sehingga [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt2, -\sqrt2, 0$ ($= 2\cos\frac\pi4,
2\cos\frac{3\pi}4, 2\cos\frac\pi2$). Uraikan $e_1$ pada basis eigennya lalu baca koordinat ketiganya, atau pakailah kesetangkupan: dengan $v_\pm = (1, \pm\sqrt2, 1)$, $v_0 = (1, 0, -1)$, terperiksa $e_1
= \frac14 v_+ + \frac14 v_- + \frac12 v_0$, sehingga untuk $n \geq 1$

$$
(A^n)_{13} = \Bigl(\tfrac14(\sqrt2)^n v_+ +
\tfrac14(-\sqrt2)^n v_- + 0\Bigr)_{\!3}
= \frac{(\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n}{4},
$$

yang nol untuk $n$ ganjil (grafnya bipartit: kedua ujungnya berjarak genap), dan $2\cdot 2^{n/2}/4 = 2^{n/2 - 1}$ untuk $n$ genap. Pada $n = 4$: $2^{1} = 2$, yang cocok dengan kedua jalan $1\,2\,1\,2\,3$ dan $1\,2\,3\,2\,3$.

**19.** Jalan tertutup berpanjang $n$ dari $i$ berjumlah $(A^n)_{ii}$; menjumlahkannya atas $i$ memberi $\operatorname{tr}(A^n)$. Setelah $A$ ditrigonalkan (atas $\C$), $A^n$ menjadi segitiga dengan diagonal $\lambda_i^n$: jadi $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i\lambda_i^n$. Untuk segitiganya: $\operatorname{tr}(A^n) = 3\,\frac{2^n + 2(-1)^n}3 =
2^n + 2(-1)^n = 2^n + (-1)^n + (-1)^n$, yakni [spektrum](#def-b2-reduction-eigen) $\{2, -1,
-1\}$, yang selaras dengan pertanyaan 16.

**20.** Kolom $W^{\mathsf T}$: $W^{\mathsf T}e_i =
e_{i-1}$ untuk $i \geq 1$ dan $W^{\mathsf T}e_0 = e_{k-1}$; setelah dinamai ulang menurut urutan $e_0, e_1, \dots$ inilah persis matriks pendamping bagi $X^k - 1$ (dengan $a_0 = 1$ dan $a_m = 0$ untuk yang lain). Menurut pertanyaan 2: $\chi_{W} = \chi_{W^{\mathsf T}} = X^k - 1 =
\mu_{W}$. Akarnya $\omega^j$ ($j = 0, \dots, k-1$) adalah $k$ akar ke-$k$ dari satu yang berbeda: jadi $W$ [dapat didiagonalkan](#def-b2-reduction-diag) (pertanyaan 3, atau [Latihan 3.8](#exo-b2-reduction-8): sebab $W^k = I$). [Vektor eigennya](#def-b2-reduction-eigen): $Wf_j = \sum_m \omega^{-jm}e_{m+1} =
\sum_{m'}\omega^{-j(m'-1)}e_{m'} = \omega^j f_j$.

**21.** Sirkulan adalah polinomial dalam $W$, dan polinomial dalam satu matriks tetap saling komutatif. Tiap $f_j$ merupakan [vektor eigen](#def-b2-reduction-eigen) bagi setiap pangkatnya: $W^m f_j = \omega^{jm}f_j$, jadi

$$
Cf_j = \sum_m c_m\omega^{jm} f_j = \widehat c(\omega^j)\,f_j :
$$

maka basis $(f_0, \dots, f_{k-1})$ (bebas: Vandermonde atas $\omega^{-j}$ yang berbeda, [Latihan 2.11](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#exo-b2-linalg-11)) mendiagonalkan setiap sirkulan sekaligus, dengan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) seperti dinyatakan tadi.

**22.** [Determinannya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#def-b2-linalg-det) adalah hasil kali [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) (diagonalkan saja): $\det C = \prod_{j}\widehat c(\omega^j)$. Untuk $k
= 3$, dengan $c_0 = a$, $c_1 = b$, $c_2 = c$ dan $\omega = j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj^4),
$$

dan $j^4 = j$: jadi persis pemfaktoran pada [Latihan 2.8](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/2-aljabar-linear#exo-b2-linalg-8).

**23.** $M = \frac12(W + W^{-1})$ adalah sirkulan (sebab $W^{-1} =
W^{k-1}$), dengan [nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) $\frac12(\omega^j + \omega^{-j}) =
\cos\frac{2\pi j}k$ pada basis $f_j$ yang sama. Koordinatnya: tulis $x^{(0)} = \sum_j \alpha_j f_j$. Koordinat $f_j$ berjumlah $\sum_m \omega^{-jm}$, yang bernilai $k$ untuk $j = 0$ dan $0$ selain itu (jumlah geometri dengan rasio $\omega^{-j} \neq 1$). Menjumlahkan koordinat $x^{(0)}$: $\sum_m x^{(0)}_m =
\alpha_0\,k$, jadi $\alpha_0 = \frac1k\sum_m x^{(0)}_m$, yakni rata-ratanya.

**24.** Di sini $x^{(n)} = M^nx^{(0)} = \sum_j
\alpha_j\cos^n\bigl(\tfrac{2\pi j}k\bigr)f_j$. Untuk $k$ ganjil, $\abs{\cos(2\pi j/k)} < 1$ bagi setiap $j \neq 0$ (sebab sudutnya tak pernah $0$ atau $\pi$), jadi semua sukunya kecuali $j = 0$ menuju $0$: $x^{(n)} \to \alpha_0 f_0$, yakni vektor konstan yang sama dengan rata-ratanya — perataan pada cincin ganjil menyeragamkan. Untuk $k = 4$ [nilai eigennya](#def-b2-reduction-eigen) $1, 0, -1, 0$: suku $j = 2$, yakni $\alpha_2(-1)^nf_2$ dengan $f_2 = (1, -1, 1, -1)^{\mathsf T}$, berayun selamanya. Halangannya adalah rata-rata berselang-seling: setelah koordinat $x^{(0)}$ dikalikan $(-1)^m$ lalu dijumlahkan, perhitungan jumlah geometri yang sama memberi $\sum_m
(-1)^mx^{(0)}_m = 4\alpha_2$: jadi prosesnya konvergen bila dan hanya bila $x^{(0)}_0 - x^{(0)}_1 + x^{(0)}_2 - x^{(0)}_3 = 0$, dan ketika itu ia konvergen ke rata-ratanya.

**25.** Matriks pendamping mengubah rekurensi skalar berorde $k$ menjadi rekurensi vektor berorde satu, sehingga rumus tertutupnya menjadi pernyataan tentang $C^n$ — yakni kandang reduksi sendiri (pertanyaan 1–5). Lema penguraian kernel murni aljabar polinomial (Bézout ditambah kekomutatifan), jadi ia memecah $\ker P(S)$ walaupun $\mathcal{S}$ berdimensi tak hingga (pertanyaan 7–9). [Nilai eigen](#def-b2-reduction-eigen) dominan menguasai laju tumbuh karena setiap sumbangan lain terabaikan secara geometri setelah dinormalkan — dan itu pula sebabnya galat Pell meluruh secepat kuadrat akar dominannya (pertanyaan 11–14). Pangkat matriks ketetanggaan mencacah jalan karena perkalian matriks menjumlah atas simpul antaranya, sehingga [spektrumnya](#def-b2-reduction-eigen) mencacah jalan tertutup (pertanyaan 15–19). Matriks yang komutatif berbagi basis eigen, dan satu basis Fourier lalu mendiagonalkan seluruh aljabar sirkulan dalam satu tarikan (pertanyaan 20–24). Puncaknya: teorema dasar rekurensi linear (pertanyaan 9); dan untuk matriks tak negatif, alasan mengapa akar dominan seperti $\varphi$ atau $1 +
\sqrt2$ otomatis real, positif dan sederhana adalah teorema Perron–Frobenius, yang dibuktikan pada jilid Tahun ke-3.