---
title: "Fungsi Peubah Real"
book: "Matematika Universitas — Tahun 2"
subject: math
language: id
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/8-fungsi-peubah-real
---

# Bab 8 — Fungsi Peubah Real

Sebelum analisis beralih ke fungsi atas fungsi ([Bab 10](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/10-barisan-dan-deret-fungsi#ch-b2-funcseq)), ada gunanya mengenal lanskap satu peubah lebih rinci daripada yang dituntut Tahun ke-1: seberapa tidak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) sebuah fungsi monoton bisa jadi, seberapa teratur sebuah fungsi cembung harus jadi, dan sifat istimewa apa yang dinikmati turunan (Darboux). Hasil struktural ini singkat, tajam, dan disukai para penguji.

## 8.1 Fungsi monoton

**Teorema 8.1 (Keteraturan fungsi monoton).**

Misalkan $f \colon I \to \R$ naik pada sebuah interval.

1. Di setiap titik dalam $a$, limit sepihaknya ada: $$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\;  f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$$ dan setiap ketakkontinuannya berupa *lompatan*.
2. Himpunan ketakkontinuan $f$ paling banyak [terbilang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-countable) .

**Bukti.** (1) Himpunan $\{f(x) : x < a\}$ tak kosong dan terbatas di atas oleh $f(a)$: supremumnya $s$ memenuhi $f(x) \to s$ ketika $x \to a^-$ (diberikan $\varepsilon$, ada $f(x_0) > s - \varepsilon$, lalu kemonotonannya menjebak $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ untuk $x
\in \intoo{x_0}{a}$). Setangkup dengan itu di sebelah kanan.

(2) Kepada tiap ketakkontinuan $a$ lekatkan interval [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) tak kosong $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (yakni lompatan yang sejati). Untuk dua ketakkontinuan $a < b$, himpunan $J_a$ dan $J_b$ saling lepas: sebab $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ untuk sembarang $c$ di antaranya. Tiap $J_a$ memuat sebuah bilangan rasional, dan ketakkontinuan yang berbeda mendapat rasional yang berbeda: jadi ada injeksi himpunan ketakkontinuannya ke $\Q$, yang [terbilang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-countable) ([Proposisi 1.6](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#prop-b2-structures-countablestable)). ∎

**Contoh 8.2.**

Batasnya tajam: tetapkan sebuah pencacahan $(r_n)$ bagi $\Q \cap
\intoo{0}{1}$ lalu tetapkan $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (yakni definisi lewat [keluarga terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable), [Definisi 7.8](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable)). Maka $f$ naik pada $\intcc{0}{1}$ dan tidak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) persis di setiap bilangan rasional $\intoo{0}{1}$ (dengan lompatan $2^{-n}$ di $r_n$): jadi fungsi monoton *dapat* tidak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada [himpunan terbilang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-countable) yang padat.

**Contoh 8.3 (Lompatannya tak dapat melebihi kenaikannya).**

Untuk $f$ yang naik pada $\intcc{a}{b}$, lompatannya punya anggaran: jika $a < c_1 < \dots < c_m < b$ merupakan ketakkontinuan dengan lompatan $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$, maka dengan memilih titik selang-seling $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ lalu memakai kemonotonan pada tiap potongannya,

$$
\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :
$$

jadi kenaikan totalnya membatasi lompatan totalnya. Akibatnya: untuk tiap $k$, paling banyak $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ ketakkontinuan berlompatan $\geq \frac1k$ — yakni perhalusan kuantitatif bagi [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) (2), sebab himpunan ketakkontinuannya adalah gabungan [terbilang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-countable) atas $k$ dari himpunan hingga itu. Pada fungsi berlompatan rasional di atas, anggarannya terpakai habis: lompatan $2^{-n}$ berjumlah $1 = f(1^+) - f(0^-)$ dalam arti perluasan yang jelas. Jadi fungsi monoton boleh melompat secara padat, tetapi hanya dengan tunjangan yang ketat.

## 8.2 Fungsi cembung

**Lema 8.4 (Ketaksamaan kemiringan).**

Misalkan $f$ cembung pada $I$ dan $x < y < z$ di $I$. Maka

$$
\frac{f(y) - f(x)}{y - x}
\;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x}
\;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :
$$

jadi kemiringan tali busurnya naik pada kedua ujungnya.

**Bukti.** Tulis $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$: yakni kombinasi cembung, sebab kedua koefisiennya positif dan berjumlah $1$. Kecembungannya memberi

$$
f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).
$$

Untuk ketaksamaan kirinya, kurangkan $f(x)$ dari kedua ruasnya, dengan memakai $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$:

$$
f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),
$$

lalu bagilah dengan $y - x > 0$. Untuk ketaksamaan kanannya, kurangkan justru dari $f(z)$:

$$
f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) -
\frac{y-x}{z-x}f(z)
= \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),
$$

lalu bagilah dengan $z - y > 0$. Kedua langkah yang tertulis itu adalah kesamaan barisentrik yang sama, dibaca terhadap ujung yang berbeda. ∎

**Teorema 8.5 (Keteraturan fungsi cembung).**

Misalkan $f$ cembung pada sebuah interval $I$.

1. Di setiap titik dalam, $f$ punya turunan sepihak yang hingga $f'_g \leq f'_d$ ; keduanya merupakan fungsi naik terhadap titiknya; khususnya $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada bagian dalam $I$ (tetapi boleh jadi tidak di ujungnya).
2. Fungsi $f$ terletak di atas tiap *garis penyangga*nya: untuk $a$ yang di dalam dan sembarang $m \in  \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$, $$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$$
3. (Jensen, berbobot) Untuk $x_i \in I$ dan bobot $\lambda_i  \geq 0$ dengan $\sum\lambda_i = 1$: $$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i  f(x_i) .$$

**Bukti.** (1) Tetapkan $a$ di bagian dalam. Menurut [Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes), kemiringan $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ merupakan fungsi naik terhadap $h$ (pada kedua sisinya, dan $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ untuk $h_- < 0 < h_+$). Karenanya $\tau$ punya limit hingga ketika $h \to 0^-$ (sebab naik dan terbatas di atas oleh kemiringan kanan mana pun) — itulah $f'_g(a)$ — dan juga ketika $h \to 0^+$ (itulah $f'_d(a)$), dengan $f'_g(a) \leq f'_d(a)$. Turunan sepihak yang hingga memaksa kekontinuan di $a$. Kemonotonan terhadap titiknya: untuk $a < b$ yang di dalam, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$, lagi-lagi lewat ketaksamaan kemiringannya.

(2) Untuk $x > a$: $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$; sedangkan untuk $x < a$: $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq
m$. Keduanya tertata ulang menjadi klaimnya.

(3) Induksi pada banyaknya titik, persis seperti pada jilid Tahun ke-1 (sebab kasus dua titiknya adalah definisinya) — atau dalam satu tarikan: terapkan (2) di $a = \sum\lambda_i x_i$ lalu rata-ratakan ketaksamaan garis penyangganya di titik $x_i$ dengan bobot $\lambda_i$: $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$. ∎

![Kecembungan dalam satu gambar: di antara -1.5 dan 2, grafik f(x) = x2 tetap di bawah tali busurnya (yakni definisinya) dan di atas garis penyangganya di x = 0.5 ( (2)) — setiap ketaksamaan pada soal akhir pekan bab ini tak lain penataan ulang kedua kedudukan itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-47eff30adb90.svg)

*Kecembungan dalam satu gambar: di antara $-1.5$ dan $2$, grafik $f(x) = x^2$ tetap di bawah tali busurnya (yakni definisinya) dan di atas garis penyangganya di $x = 0.5$ ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)) — setiap ketaksamaan pada soal akhir pekan bab ini tak lain penataan ulang kedua kedudukan itu.*

**Contoh 8.6 (Ketakkontinuan di ujung).**

Pada $\intcc{0}{1}$, fungsi dengan $f(0) = 1$ dan $f(x) = 0$ untuk $x >
0$ bersifat cembung tetapi tidak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di ujung $0$: jadi pernyataan (1) memang tajam.

**Contoh 8.7 (Sudut dan berkas garis penyangga).**

Untuk $f(x) = \abs x$ di $a = 0$: turunan sepihaknya adalah $f'_g(0) = -1$ dan $f'_d(0) = +1$, lalu [Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2) membagikan garis penyangga bagi *setiap* kemiringan $m \in \intcc{-1}{1}$:

$$
\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),
$$

yang masing-masing menjadi kesamaan persis pada sebuah setengah-garis atau di $0$. Fungsi cembung dapat diturunkan di $a$ persis ketika berkasnya runtuh menjadi satu garis ($f'_g(a) = f'_d(a)$); sedangkan sudut mengusung seinterval garis singgung. Berkas ini adalah benih berdimensi hingga bagi *subdiferensial* pada optimasi cembung — sekaligus alasan mengapa fungsi cembung begitu tangguh: sebab walaupun turunannya gagal, geometri penyangganya bertahan, dan hanya itulah yang dipakai bukti Jensen.

**Contoh 8.8 (Ketaksamaan rata-rata pangkat).**

Untuk $0 < p < q$ dan $x_i$ yang positif dengan bobot $\lambda_i$ berjumlah $1$, menerapkan Jensen pada $t \mapsto t^{q/p}$ yang cembung di titik $x_i^p$ memberi

$$
\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p}
\leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :
$$

jadi rata-rata pangkatnya naik seiring eksponennya — yang memuat AM–QM, dan pada limit $p \to 0$ ([Latihan 8.6](#exo-b2-realfun-6)) memuat ketaksamaan AM–GM sekali lagi.

![Rata-rata pangkat M_p atas nilai 1, 2, 4 (dengan bobot sama), sebagai fungsi eksponen p: naik dari = 1 (ketika p -∈fty) ke = 4 (ketika p +∈fty), melewati rata-rata harmonik (p = -1), geometri (yakni jurang di p = 0, bernilai 2), aritmetika (p = 1) dan kuadratik (p = 2). Seluruh rantai ketaksamaan rata-rata klasik menjadi satu kurva yang naik — yang dibuktikan pada soal akhir pekan bab ini, Bagian III.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-realfun/fig-251ea49e8840.svg)

*Rata-rata pangkat $M_p$ atas nilai $1, 2, 4$ (dengan bobot sama), sebagai fungsi eksponen $p$: naik dari $\min = 1$ (ketika $p \to -\infty$) ke $\max = 4$ (ketika $p \to
+\infty$), melewati rata-rata harmonik ($p = -1$), geometri (yakni jurang di $p = 0$, bernilai $2$), aritmetika ($p = 1$) dan kuadratik ($p
= 2$). Seluruh rantai ketaksamaan rata-rata klasik menjadi satu kurva yang naik — yang dibuktikan pada soal akhir pekan bab ini, Bagian III.*

**Contoh 8.9 (Entropi maksimal).**

Untuk vektor peluang $(p_1, \dots, p_n)$ (yang positif dan berjumlah $1$), entropinya $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ memenuhi

$$
H(p) \leq \ln n ,
\qquad\text{dengan kesamaan bila dan hanya bila } p_i = \frac1n \text{ untuk setiap }
i .
$$

Buktinya lewat Jensen ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)) yang diterapkan pada $\ln$ yang *cekung* dengan bobot $p_i$ di titik $\frac{1}{p_i}$:

$$
H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i}
\leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,
$$

dan kesamaannya memaksa semua titik $\frac1{p_i}$ sama (lewat kecekungan tegas), yakni $p$ seragam. Setara dengan itu, inilah [Latihan 8.7](#exo-b2-realfun-7) dengan $q$ yang seragam. Ketakpastiannya dimaksimumkan oleh ketidaktahuan yang tersebar seragam — itulah asas variasional di balik penyandian, mekanika statistik, dan kemunculan entropi pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar).

**Metode 8.10 (Menemukan fungsi cembung di balik sebuah ketaksamaan).**

Sebagian besar ketaksamaan klasik adalah Jensen yang berkostum; untuk menelanjanginya: (1) normalkan sehingga muncul sebuah *rata-rata berbobot* (dengan bobot positif berjumlah $1$ — bagilah dengan massa totalnya bila perlu); (2) lihatlah fungsi apa yang diterapkan di dalam dan di luar rata-ratanya: klaim “$f(\text{rata-rata}) \leq$ rata-rata $f$” menamai $f$ yang cembung itu; (3) sahkan kecembungannya lewat turunan keduanya, lalu tangani kesamaannya lewat ketegasannya; (4) bila tak ada rata-rata yang terlihat, ambillah logaritmanya lebih dulu — sebab hasil kali dan pangkat berubah menjadi rata-rata, dan kecekungan $\ln$ mengusung AM–GM, Young beserta kerabatnya (soal akhir pekan bab ini menjalankan langkah 1–4 pada masing-masingnya). Jika logaritma pun tak menyingkap sebuah rata-rata, cobalah membaca ketaksamaannya sebagai kemonotonan kemiringan ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) — sebab pernyataan kesuperaditifan seperti [Latihan 8.9](#exo-b2-realfun-9) hidup di sana.

**Catatan 8.11 (Jebakan yang sering muncul).**

(i) Kecembungan tidak awet terhadap hasil kali: $x$ dan $(x - 1)^2$ cembung pada $\intcc{0}{2}$, tetapi hasil kalinya $x(x-1)^2$ punya turunan kedua $6x - 4$, yang negatif pada $\intco{0}{\frac23}$ — jadi tidak cembung; kecembungan juga tidak awet terhadap penyusunan tanpa kemonotonan ([Latihan 8.10](#exo-b2-realfun-10)). (ii) Jensen terbalik untuk fungsi cekung: separuh ketaksamaan klasiknya adalah versi $\ln$ yang cekung; dan menerapkan bentuk cembungnya pada $\ln$ adalah cara tercepat membuktikan AM–GM secara *terbalik*. (iii) Kecembungan titik-tengah semata tidak berarti kecembungan — diperlukan kekontinuan (atau sekadar keterbatasan) ([Latihan 8.8](#exo-b2-realfun-8)); adapun contoh penyangkal yang patologis hidup di luar aksioma buku ini. (iv) Fungsi cembung pada interval *[terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology)* bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity), bahkan [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) secara lokal ([Latihan 8.12](#exo-b2-realfun-12)); sedangkan di ujungnya, tak ada yang gratis. (v) Turunan menuruti Darboux tetapi tidak harus [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) ([Contoh 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation)): “$f'$ tak punya lompatan” tak pernah berarti “$f'$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)”.

## 8.3 Sifat Darboux

**Teorema 8.12 (Darboux).**

Misalkan $f$ dapat diturunkan pada sebuah interval $I$. Maka $f'$ mengambil setiap nilai di antara dua nilainya — walaupun $f'$ tidak harus [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity).

**Bukti.** Misalkan $a < b$ di $I$ dan $v$ tegas di antara $f'(a)$ dan $f'(b)$, katakanlah $f'(a) < v < f'(b)$. Fungsi $g(x) = f(x) - vx$ dapat diturunkan dengan $g'(a) < 0 < g'(b)$: jadi minimumnya pada $\intcc{a}{b}$ (yang tercapai berkat kekontinuan pada himpunan [kompak](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-compact)) tidak di $a$ (sebab tepat sesudah $a$, $g$ turun di bawah $g(a)$) maupun di $b$ (sebab tepat sebelum $b$, $g$ berada di bawah $g(b)$): jadi ia di bagian dalam, dan di sana $g'(c) = 0$, yakni $f'(c) = v$. (Ini dulu latihan berbintang Tahun ke-1; tempatnya di dalam teori ada di sini.) ∎

**Contoh 8.13 (Fungsi mana yang merupakan turunan?).**

Teorema Darboux adalah mesin ketakadaan. Fungsi lantai $\lfloor x\rfloor$ bukan turunan fungsi apa pun pada $\R$: sebab ia mengambil nilai $0$ dan $1$ tetapi melewatkan $\frac12$ pada $\intcc{0}{1}$, dan [Teorema 8.12](#thm-b2-realfun-darboux) melarang hal itu bagi turunan. Vonis yang sama menimpa setiap fungsi yang berlompatan — fungsi tanda, Heaviside, semua fungsi tangga — betapa pun polos rupanya; “antiturunannya” ($\abs x$ untuk fungsi tanda, dan seterusnya) hanya ada di luar lompatannya lalu bersimpul di sana dengan sebuah sudut. Bandingkan: turunan $f'$ yang liar tak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada [Contoh 8.15](#ex-b2-realfun-oscillation) *memang* sebuah turunan — sebab ketakkontinuannya berupa ayunan, yang dimaklumi Darboux. Batas antara kedua perilaku itu persis akibat “tanpa lompatan” di bawah ini.

**Akibat 8.14.**

Sebuah turunan tak punya ketakkontinuan berupa lompatan: jika $f'(a^-)$ dan $f'(a^+)$ ada, maka keduanya sama dengan $f'(a)$. Ketakkontinuan sebuah turunan selalu bertipe ayunan (seperti turunan $x^2\sin\frac1x$ di $0$, jilid Tahun ke-1).

**Bukti.** Jika $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ ada dan berbeda dari $f'(a)$, maka nilai yang tegas di antara keduanya akan dilewatkan $f'$ pada persekitaran kanan — dan itu bertentangan dengan Darboux pada interval $\intcc{a}{a + h}$. (Cara lain: teorema nilai rata-rata memaksa $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$, sebab hasil bagi selisihnya adalah nilai $f'$ di suatu titik antara.) Demikian pula di sebelah kiri. ∎

**Contoh 8.15 (Turunan berayun yang kanonik).**

Misalkan $f(x) = x^2\sin\frac1x$ untuk $x \neq 0$ dan $f(0) = 0$. Di $0$: $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h}
\leq \abs h \to 0$, jadi $f'(0) = 0$ memang ada. Di luar $0$,

$$
f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,
$$

yang suku pertamanya menuju $0$ sedangkan $\cos\frac1x$ berayun melewati $\intcc{-1}{1}$ pada setiap interval $\intoo{0}{\delta}$: jadi limit $f'(0^+)$ tidak ada. Karenanya $f'$ terdefinisi di mana-mana tetapi tidak [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di $0$ — dan, persis seperti diramalkan [Akibat 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps), ketakkontinuannya berupa ayunan, bukan lompatan: sebab pada tiap $\intoo{0}{\delta}$, $f'$ masih menyapu seinterval penuh di sekitar $0$. Turunan boleh liar, tetapi hanya dengan cara yang selaras dengan Darboux.

**Catatan 8.16 (Di mana bab ini dipakai).**

Kecembungan adalah mesin bagi industri ketaksamaan: soal akhir pekan bab ini memproduksi Young, Hölder, Minkowski dan rantai rata-rata pangkat darinya, yang lalu dikonsumsi teori [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) pada [Bab 5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#ch-b2-nvs) dan taksiran integral pada [Bab 9](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/9-pengintegralan#ch-b2-integration); sedangkan Jensen muncul kembali di peluang sebagai ketaksamaan momen pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar). Keteraturan monoton kembali pada [Bab 9](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/9-pengintegralan#ch-b2-integration) (sebab fungsi monoton terintegralkan) dan, pada jilid Tahun ke-3, sebagai keterdiferensialan hampir di mana-mana bagi fungsi monoton — tempat “lompatan yang [terbilang](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/1-himpunan-dan-struktur#def-b2-structures-countable)” menjadi langkah pertama teori Lebesgue.

## 8.4 Latihan

**Latihan 8.1 ★.**

Tentukan himpunan ketakkontinuan beserta besar lompatannya: $\lfloor x
\rfloor$; $\;x - \lfloor x\rfloor$; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x
- \lfloor x\rfloor}$; dan fungsi pada contoh sesudah [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) yang dibatasi pada bilangan rasional diadik $r_n$.

**Solusi Latihan 8.1.**

$\lfloor x\rfloor$: lompatan berukuran $1$ di setiap bilangan bulat. $x -
\lfloor x\rfloor$: lompatan berukuran $-1$ di bilangan bulat (dengan limit kiri $1$ dan nilai $0$). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor
x\rfloor}$: di bilangan bulat $n$, limit kirinya $(n - 1) + 1 = n$ dan nilainya $n$, jadi *[kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)* di mana-mana (sebab akar kuadratnya memperbaiki lompatannya), walaupun tak dapat diturunkan di bilangan bulat. Adapun fungsi berlompatan rasional tadi: setelah konstruksinya dibatasi pada pencacahan bilangan diadik, ia melompat sebesar $2^{-n}$ persis di bilangan rasional diadik ke-$n$ dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) di tempat lain.

**Latihan 8.2 ★.**

Buktikan bahwa fungsi naik $f \colon I \to \R$ yang punya sifat nilai antara (yakni petanya atas sembarang subinterval berupa interval) pastilah [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity).

**Solusi Latihan 8.2.**

Andaikan $f$ yang naik punya ketakkontinuan di titik dalam $a$: maka $f(a^-) < f(a^+)$ ([Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone)) dan peta $I$ melewatkan interval [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) tak kosong $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ kecuali mungkin satu nilai $f(a)$: jadi peta sembarang subinterval yang memuat $a$ di bagian dalamnya bukan sebuah interval (sebab ia berjurang pada sedikitnya satu sisi $f(a)$). Hal ini bertentangan dengan sifat nilai antaranya. Adapun ketakkontinuan di ujungnya disingkirkan dengan cara sama lewat jurang sepihak.

**Latihan 8.3 ★.**

Manakah di antara berikut ini yang cembung pada daerah asalnya? $x
\mapsto x\ln x$ ($x > 0$); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$; $\;x \mapsto
\sqrt{1 + x^2}$; dan $\;x \mapsto x^3$.

**Solusi Latihan 8.3.**

$x\ln x$: turunan keduanya $\frac1x > 0$, jadi cembung. $\ln(1 +
\eu^x)$: turunannya $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 +
\eu^x}$, yang naik, jadi cembung. $\sqrt{1 + x^2}$: turunan keduanya $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$, jadi cembung. $x^3$: tidak cembung pada $\R$ (sebab $f'' = 6x$ berganti tanda); ia cembung hanya pada $\R_+$.

**Latihan 8.4 ★★.**

Misalkan $f$ cembung pada $\R$ dan terbatas di atas. Buktikan bahwa $f$ konstan. *(Jika $f(a) \neq f(b)$, ketaksamaan kemiringannya merambatkan kemiringan tali busur yang tak nol: melampaui titik bernilai lebih besar, $f$ tumbuh sedikitnya secara linear — yang bertentangan dengan keterbatasannya. Tangani kedua tanda kemiringannya.)* Turunkan bahwa fungsi cembung pada $\R$ yang berasimtot di kedua ujungnya adalah afin.

**Solusi Latihan 8.4.**

Andaikan $f(a) \neq f(b)$, katakanlah $f(b) > f(a)$ dengan $a < b$ (kasus $f(b) < f(a)$ setangkup, dengan memandang ke kiri). Untuk $x > b$, ketaksamaan kemiringan ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) pada $a < b < x$ memberi

$$
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,
$$

yang bertentangan dengan keterbatasannya di atas. Jadi $f$ konstan.

Tentang asimtotnya: jika $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ di $+\infty$ dan $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ di $-\infty$, maka fungsi cembung $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ terbatas di atas di dekat $+\infty$; lalu kecembungan beserta asimtot di $-\infty$ (yang memaksa $\alpha' \leq \alpha$ lalu $\alpha' = \alpha$ dengan membandingkan kemiringannya di $\mp\infty$: sebab kemiringan fungsi cembung naik) membuat $g$ terbatas di atas pada seluruh $\R$, jadi konstan $= 0$ pada limitnya: sehingga $f$ afin.

**Latihan 8.5 ★★.**

Misalkan $f$ dapat diturunkan pada $I$ dengan $f'$ yang monoton. Buktikan bahwa $f'$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) *(padukan [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) dan [Akibat 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps))*.

**Solusi Latihan 8.5.**

Fungsi $f'$ monoton, jadi menurut [Teorema 8.1](#thm-b2-realfun-monotone) satu-satunya ketakkontinuan yang mungkin berupa lompatan, dengan limit sepihak yang ada di mana-mana. Menurut [Akibat 8.14](#cor-b2-realfun-nojumps), sebuah turunan tak punya ketakkontinuan berupa lompatan. Karenanya $f'$ sama sekali tak punya ketakkontinuan: jadi [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity).

**Latihan 8.6 ★★.**

(Rata-rata geometri sebagai limit) Untuk $x_i$ yang positif dan bobot $\lambda_i$ berjumlah $1$, buktikan

$$
\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p}
= \prod_i x_i^{\lambda_i} ,
$$

lewat $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$, lalu turunkan ketaksamaan AM–GM berbobot dari [Contoh 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans).

**Solusi Latihan 8.6.**

Ambil logaritmanya:

$$
\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)
= \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i +
O(p^2)\Bigr)
= \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p)
\xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,
$$

dengan memakai $\sum\lambda_i = 1$ dan $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$. Setelah dieksponensialkan diperoleh rata-rata geometrinya. Kini untuk setiap $p \in \intoo{0}{1}$, ketaksamaan rata-rata pangkat ([Contoh 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans), dengan eksponen $p < 1$) memberi

$$
\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;
$$

lalu melewatkan $p \to 0^+$ di ruas kirinya menghasilkan $\prod_i
x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$: itulah ketaksamaan AM–GM berbobot.

**Latihan 8.7 ★★.**

(Ketaksamaan entropi) Dengan memakai kecembungan tegas $t \mapsto t\ln
t$, buktikan bahwa untuk $p_i, q_i$ positif dengan $\sum p_i = \sum q_i = 1$:

$$
\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,
$$

dengan kesamaan bila dan hanya bila $p = q$. *(Tulis ruas kirinya sebagai $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ dengan $\varphi(t) = t\ln t$ lalu terapkan Jensen dengan bobot $q_i$.)*

**Solusi Latihan 8.7.**

Dengan $\varphi(t) = t\ln t$ (yang cembung, sebab $\varphi'' = \frac1t >
0$) dan bobot $q_i$ di titik $t_i = \frac{p_i}{q_i}$:

$$
\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i}
= \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr)
\;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr)
= \varphi(1) = 0 ,
$$

lewat Jensen ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)). Kesamaan pada Jensen bagi fungsi cembung *tegas* memaksa semua titik $t_i$ berimpit: jadi $\frac{p_i}{q_i}$ konstan, dan setelah dijumlahkan, konstantanya $1$: yakni $p = q$. (Besaran ini — yaitu divergensi Kullback–Leibler — kembali pada dunia [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar).)

**Latihan 8.8 ★★★.**

(Kecembungan titik-tengah) Fungsi $f \colon I \to \R$ disebut *cembung titik-tengah* apabila selalu berlaku $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$. Buktikan bahwa fungsi cembung titik-tengah yang *[kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)* pastilah cembung. *(Tegakkan ketaksamaan kecembungannya untuk bobot diadik $\frac{k}{2^m}$ secara induktif pada $m$, lalu lewatkan ke limitnya dengan memakai kepadatan dan kekontinuannya.)*

**Solusi Latihan 8.8.**

*Bobot diadik.* Secara induktif pada $m$: kasus $m = 1$ tak lain hipotesisnya. Untuk bobot $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (dengan $k$ ganjil), tulis $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ dengan $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$, yang keduanya berpenyebut $2^m$ setelah disederhanakan; maka

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
= f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr)
\leq \frac{f(u) + f(v)}{2}
\leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),
$$

dengan $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ dan $v = \lambda_2 x +
(1-\lambda_2)y$, memakai kecembungan titik-tengah lalu hipotesis induksinya pada $u, v$.

*Pelewatan ke limit.* Untuk $\lambda \in \intcc{0}{1}$ yang sembarang, ambil bilangan diadik $\lambda_n \to \lambda$: kekontinuan $f$ beserta kekontinuan pemetaan afinnya melewatkan ketaksamaan $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) +
(1-\lambda_n)f(y)$ ke limitnya: jadi $f$ cembung.

**Latihan 8.9 ★★★.**

Misalkan $f$ cembung pada $\intco{0}{+\infty}$ dengan $f(0) \leq 0$. Buktikan bahwa $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ naik pada $\intoo{0}{+\infty}$, lalu turunkan bahwa untuk $f$ cembung dengan $f(0)
= 0$ berlaku $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ untuk $x, y \geq 0$ (yakni kesuperaditifan).

**Solusi Latihan 8.9.**

Untuk $0 < x < y$: ketaksamaan kemiringan ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)) di titik $0 < x < y$ memberi

$$
\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y},
\qquad\text{yakni}\qquad
\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} +
f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).
$$

Karena $f(0) \leq 0$ dan $\frac1x - \frac1y > 0$, suku terakhirnya $\leq 0$: jadi $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$. Karenanya $x
\mapsto \frac{f(x)}x$ naik.

Kesuperaditifan untuk $f(0) = 0$: untuk $x, y > 0$ (sebab kasus dengan peubah nol bersifat sepele),

$$
f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y},
\qquad
f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},
$$

lewat kemonotonan yang baru dibuktikan tadi; lalu menjumlahkannya memberi $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$.

**Latihan 8.10 ★.**

Misalkan $f$ cembung pada $I$ dan $g$ cembung serta *naik* pada sebuah interval yang memuat $f(I)$. Buktikan bahwa $g \circ f$ cembung, lalu tunjukkan lewat contoh penyangkal bahwa kemonotonan $g$ tak dapat dihilangkan.

**Solusi Latihan 8.10.**

Untuk $x, y \in I$ dan $\lambda \in \intcc01$: kecembungan $f$, lalu kemonotonan $g$, lalu kecembungan $g$ memberi

$$
g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr)
\leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr)
\leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).
$$

Contoh penyangkal tanpa kemonotonan: $g(t) = -t$ bersifat cembung (sebab afin) tetapi turun, sedangkan $f(x) = x^2$ cembung, dan $g \circ
f = -x^2$ cekung tegas.

**Latihan 8.11 ★★.**

(Hermite–Hadamard) Misalkan $f$ cembung dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\intcc{a}{b}$. Buktikan

$$
f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b -
a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .
$$

*(Kiri: integralkan sebuah garis penyangga di titik tengahnya. Kanan: batasi $f$ oleh tali busurnya.)*

**Solusi Latihan 8.11.**

*Ketaksamaan kirinya:* misalkan $m = \frac{a+b}2$ lalu ambil garis penyangga di $m$ ([Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (2)): $f(t) \geq
f(m) + \mu(t - m)$ untuk setiap $t \in \intcc ab$. Setelah diintegralkan atas $\intcc{a}{b}$: suku linearnya berintegral $\mu\int_a^b(t -
m)\dd t = 0$ (berkat kesetangkupan di sekitar $m$), jadi $\int_a^b f
\geq (b - a)f(m)$.

*Ketaksamaan kanannya:* pada $\intcc ab$, kecembungannya membatasi $f$ oleh tali busurnya: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t -
a)$. Setelah diintegralkan: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) -
f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$. Lalu bagilah dengan $b - a$.

**Latihan 8.12 ★★★.**

Buktikan bahwa fungsi cembung pada interval *[terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology)* $I$ bersifat [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) secara lokal: untuk setiap ruas $\intcc{a}{b} \subseteq I$ dan marjin $\delta > 0$ dengan $\intcc{a - \delta}{b + \delta}
\subseteq I$, pembatasan $f$ pada $\intcc{a}{b}$ bersifat [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity), dengan konstanta $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|,
\bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ *(jebaklah tiap kemiringan tali busurnya di antara kedua nilai itu lewat ketaksamaan kemiringan)*.

**Solusi Latihan 8.12.**

Misalkan $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$, semuanya di $I$. Dua kali penerapan ketaksamaan kemiringan ([Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes)), mula-mula pada $a - \delta < a \leq x <
y$, lalu pada $x < y \leq b < b + \delta$, memberi

$$
\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}
\leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x}
\leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}
$$

(sebab kemiringan tali busurnya naik ketika kedua ujungnya bergerak ke kanan). Karenanya tiap kemiringan tali busur di dalam $\intcc ab$ terjebak di antara dua bilangan tetap, dan

$$
\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x},
\qquad
K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|,
\Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):
$$

jadi $f$ bersifat [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\intcc ab$. Setiap titik $I$ yang [terbuka](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-topology) punya ruas bermarjin semacam itu di sekitarnya: jadi [Lipschitz](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) lokal, sehingga (sekali lagi) [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $I$.

## 8.5 Soal: Kotak Perkakas Kecembungan

Satu definisi — tali busur di atas grafiknya — menghasilkan seluruh kotak perkakas ketaksamaan klasik. Soal akhir pekan ini membangunnya menurut urutan logisnya: kriteria kecembungan dan Jensen yang tegas, lalu Young, Hölder dan Minkowski (yakni akta kelahiran norma-$p$), lalu rantai rata-rata pangkat yang [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) dari minimum ke maksimum, dan dua panen mahkota — ketaksamaan Carleman, dan Hölder yang dibaca sebagai dualitas. Semuanya dibuktikan; tak ada yang diimpor.

**Soal 8.1.**

Soal akhir pekan — Young, Hölder, Minkowski, dan rantai rata-rata pangkat

Di sepanjang soal ini, $p, q > 1$ merupakan *eksponen sekawan*: $\frac1p + \frac1q = 1$; vektornya $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$; dan bobot $\lambda_i > 0$ memenuhi $\sum_i\lambda_i = 1$.

**Bagian I — Kriteria dan Jensen yang tegas.**

1. Misalkan $f$ dapat diturunkan pada sebuah interval $I$ . Buktikan bahwa $f$ cembung bila dan hanya bila $f'$ naik *(satu arahnya lewat pelewatan ke limit pada ketaksamaan kemiringan [Lema 8.4](#lem-b2-realfun-slopes); arah satunya lewat teorema nilai rata-rata)* . Lalu turunkan kriteria $C^2$ -nya, yakni $f'' \geq 0$ .
2. Andaikan $f''> 0$ pada $I$ . Buktikan bahwa $f$ cembung *tegas* (yakni ketaksamaan tegas untuk $x \neq y$ dan $\lambda \in \intoo01$ ), dan bahwa fungsi cembung tegas memenuhi ketaksamaan Jensen ( [Teorema 8.5](#thm-b2-realfun-convexreg) (3)) dengan kesamaan *hanya* ketika semua $x_i$ berimpit.
3. Sahkan bahan mentah kotak perkakasnya: $-\ln$ cembung tegas pada $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ cembung tegas di sana untuk $r > 1$ dan cekung tegas untuk $0 < r < 1$ ; dan $\exp$ cembung tegas pada $\R$ .
4. (Ketaksamaan Young) Untuk $a, b \geq 0$, buktikan $$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$$ dengan kesamaan bila dan hanya bila $a^p = b^q$ *(terapkan kecekungan $\ln$ pada kedua titik $a^p, b^q$ dengan bobot $\frac1p, \frac1q$)*.
5. Turunkan kembali AM–GM berbobot dalam satu baris dari kecekungan $\ln$: $$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad  (x_i > 0),$$ beserta kasus kesamaannya; lalu bandingkan dengan jalur limit pada [Latihan 8.6](#exo-b2-realfun-6).

**Bagian II — Hölder dan Minkowski.** Tulis $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ dan $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$.

6. (Hölder) Buktikan $$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\;  \norm a_p\,\norm b_q ,$$ dengan kesamaan bila dan hanya bila vektor $(\abs{a_i}^p)$ dan $(\abs{b_i}^q)$ sebanding *(normalkan $\norm a_p = \norm b_q = 1$ lalu terapkan Young suku demi suku)*.
7. Kenali kasus khususnya: $p = q = 2$ (yakni Cauchy–Schwarz), dan pasangan ujungnya $(p, q) = (1,  \infty)$ : nyatakan dan buktikan $\sum\abs{a_ib_i} \leq  \norm a_1\norm b_\infty$ .
8. (Minkowski) Untuk $p \geq 1$, buktikan $$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$$ *(tulis $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i +  b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ lalu terapkan Hölder pada tiap hasil kalinya)*. Simpulkan: $\norm\cdot_p$ merupakan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) pada $\R^n$ untuk setiap $p \in \intco{1}{+\infty}$, sehingga melengkapi gambaran [Bab 5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#ch-b2-nvs).
9. Versi integralnya: untuk $f, g$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\intcc{a}{b}$ , nyatakan dan buktikan Hölder dan Minkowski bagi $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs  f^p\bigr)^{1/p}$ *(dengan bukti yang sama, memakai kepositifan tegas integralnya untuk membahas kesamaannya)* .
10. Buktikan kemonotonan $\norm a_q \leq \norm a_p$ untuk $1  \leq p \leq q$, limit $\norm a_p \to  \norm a_\infty$ ketika $p \to \infty$, dan perbandingan sebaliknya dengan konstanta yang tajam: $$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$$ *(lewat Hölder terhadap vektor konstan)*. Kenali vektor yang mencapai tiap kesamaannya.
11. (Interpolasi) Untuk $1 \leq p < r < q$ dan $\theta \in  \intoo01$ dengan $\frac1r = \frac\theta p +  \frac{1-\theta}q$, buktikan $$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\,  \norm a_q^{1-\theta}$$ *(terapkan Hölder dengan eksponen $\frac{p}{\theta  r}$ dan $\frac{q}{(1-\theta)r}$ pada $\abs{a_i}^{\theta  r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$)*.

**Bagian III — Rantai rata-rata pangkat, selengkapnya.** Untuk $p \neq 0$ tetapkan $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i
x_i^p\bigr)^{1/p}$ (dengan $x_i > 0$), dan $M_0 = \prod_i
x_i^{\lambda_i}$.

12. Buktikan bahwa $p \mapsto M_p$ naik pada seluruh $\R^*$ : tangani $p < q < 0$ lewat kesamaan kebalikan $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ , lalu jembatani lewat $0$ dengan menunjukkan $M_p \leq M_0 \leq M_q$ untuk $p < 0 < q$ *(terapkan kecekungan $\ln$ pada $x_i^q$, dan ketaksamaan terbaliknya untuk eksponen negatif)* .
13. Buktikan limitnya, yakni $M_p \to \max_i x_i$ ketika $p \to  +\infty$ dan $M_p \to \min_i x_i$ ketika $p \to -\infty$ .
14. Tuliskan rantai $\min \leq \mathrm{HM} \leq  \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq  \max$ untuk bobot yang sama, lalu buktikan akibat klasiknya: untuk $a_1, \dots, a_n$ yang positif, $$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr)  \geq n^2 .$$
15. Kaitkan rata-rata dengan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) : untuk bobot sama $\lambda_i =  \frac1n$ berlaku $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Damaikanlah kedua kemonotonannya — rata-rata *naik* terhadap $p$ sedangkan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) *turun* (pertanyaan 10) — dalam satu kalimat tentang faktor $n^{-1/p}$ .
16. Tentukan kasus kesamaan di sepanjang seluruh rantai pada pertanyaan 14 (dengan bobot positif): kesamaan di mana pun memaksa semua $x_i$ sama — jadi kecembungan tegas berbuah.

**Bagian IV — Panennya.**

17. (Young dengan kenop) Untuk $a, b \geq 0$ dan $\varepsilon >  0$, buktikan $$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} +  \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$$ beserta kasus kuda bebannya $ab \leq \varepsilon a^2 +  \frac{b^2}{4\varepsilon}$: yakni siasat penyerapan yang dipakai di sepanjang analisis.
18. (Menuju Carleman) Misalkan $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$. Buktikan kesamaan teleskopnya $\prod_{k=1}^{n}c_k =  (n+1)^n$, lalu turunkan, lewat AM–GM yang diterapkan pada bilangan $c_ka_k$, $$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq  \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k  \qquad (a_k > 0).$$
19. (Ketaksamaan Carleman) Jumlahkan atas $n$, tukarkan urutan penjumlahannya (lewat [keluarga terjumlahkan](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#def-b2-series-summable) yang positif, [Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#thm-b2-series-fubini)), lalu pakai $\sum_{n \geq  k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ dan $c_k/k = \bigl(1 +  \frac1k\bigr)^k < \eu$ untuk menyimpulkan: untuk setiap $\sum a_k$ yang konvergen dan bersuku positif, $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}  \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$$
20. Untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) dan positif pada $\intcc{0}{1}$, buktikan $$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr)  \geq 1,$$ dengan kesamaan bila dan hanya bila $f$ konstan *(lewat Cauchy–Schwarz pada $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt  f}$)*.
21. (Geometri bolanya) Dengan memakai kasus kesamaan Minkowski, tunjukkan bahwa untuk $1 < p < \infty$ permukaan bola satuan $\norm\cdot_p$ tak memuat satu pun ruas (yakni [normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) cembung tegas dalam arti [Soal 5.1](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#pb-b2-nvs-1) ), sedangkan untuk $p = 1$ dan $p =  \infty$ ia memuatnya: tunjukkanlah potongan datarnya.

**Bagian V — Dualitas dan rangkuman.**

22. (Hölder sebagai dualitas) Buktikan bahwa untuk setiap $a \in  \R^n$, $$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$$ beserta $b$ yang memaksimumkannya secara gamblang. (Jadi norma-$p$ adalah dual norma-$q$ — yakni benih berdimensi hingga bagi dualitas $L^p$.)
23. (Momen) Misalkan $X$ peubah acak yang mengambil berhingga banyak nilai positif $x_i$ dengan peluang $\lambda_i$ . Nyatakan ulang pertanyaan 12 sebagai: $r \mapsto  \E[X^r]^{1/r}$ naik — yakni ketaksamaan momen (Lyapunov), yang akan dipakai ulang pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar) .
24. Selesaikan dengan perkakas yang bernama, masing-masing dua baris: (i) untuk $a, b, c$ yang positif: $a^3 + b^3 + c^3 \geq  \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) untuk $x_1, \dots, x_n$ yang positif: $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
25. (Rangkuman) Gambarkan silsilahnya dalam lima kalimat: dari definisi tali busur ke lema kemiringan; dari kemiringan ke garis penyangga ke Jensen; dari kecekungan $\ln$ ke Young ke Hölder ke Minkowski ke norma- $p$ ; dari Jensen ke rantai rata-rata pangkat ke momen; dan dari AM–GM ke Carleman. Sebutkan puncaknya (Hölder–Minkowski; Carleman), lalu nyatakan ke mana kotak perkakas ini menuju: yakni ruang $L^p$ pada jilid Tahun ke-3, yang aksiomanya persis pertanyaan 6 dan 8.

**Solusi Soal 8.1.**

**1.** *Cembung $\Rightarrow$ $f'$ naik:* untuk $a <
b$, ketaksamaan kemiringan memberi, untuk $h > 0$ yang kecil, $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) -
f(b-h)}{h}$; lalu melewatkan $h \to 0$ memberi $f'(a) \leq \frac{f(b) -
f(a)}{b - a} \leq f'(b)$. *Sebaliknya*, jika $f'$ naik dan $x < y < z$: teorema nilai rata-rata memberi $c_1 \in
\intoo{x}{y}$ dan $c_2 \in \intoo yz$ dengan

$$
\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2)
= \frac{f(z) - f(y)}{z - y},
$$

lalu ketaksamaan kemiringan tiga titik itu, yang diterapkan dengan $y =
\lambda x + (1 - \lambda)z$, tertata ulang menjadi ketaksamaan kecembungannya. Untuk kasus $C^2$: $f'' \geq 0$ bila dan hanya bila $f'$ naik.

**2.** Jika $f'' > 0$, maka $f'$ naik tegas, dan perhitungan nilai rata-rata di atas memberi ketaksamaan *tegas* antara kedua kemiringan tali busurnya: jadi cembung tegas. *Penyangga tegas:* di titik dalam $a$ dengan kemiringan penyangga $m$, seandainya $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ untuk suatu $x_0 \neq a$, maka pada ruas dari $a$ ke $x_0$ garis penyangga dan tali busurnya berimpit, dan kecembungan tegas di titik tengahnya memberi $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$, yang bertentangan dengan ketaksamaan penyangganya. Jadi $f(x) > f(a) + m(x -
a)$ untuk setiap $x \neq a$. *Jensen yang tegas:* dengan $a =
\sum\lambda_ix_i$, merata-ratakan ketaksamaan penyangganya memberi $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$, dengan kesamaan bila dan hanya bila tiap sukunya menjadi kesamaan, yakni bila dan hanya bila setiap $x_i = a$.

**3.** $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$; $(t^r)'' = r(r -
1)t^{r-2}$, yang positif untuk $r > 1$ dan negatif untuk $0 < r < 1$; serta $\exp'' = \exp > 0$. Semuanya tegas menurut pertanyaan 2.

**4.** Kasus $ab = 0$ bersifat sepele. Untuk $a, b > 0$, kecekungan $\ln$ di titik $a^p, b^q$ dengan bobot $\frac1p, \frac1q$ memberi

$$
\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq
\frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),
$$

dan $\ln$ naik: jadi $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$. Kesamaannya bila dan hanya bila kedua titiknya berimpit (lewat kecekungan tegas), yakni $a^p = b^q$.

**5.** Kecekungan $\ln$ dengan bobot $\lambda_i$ memberi $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i =
\ln\prod x_i^{\lambda_i}$; lalu eksponensialkan. Kesamaannya bila dan hanya bila semua $x_i$ sama (pertanyaan 2). Jalur pada [Latihan 8.6](#exo-b2-realfun-6) memperoleh ketaksamaan yang sama sebagai limit rata-rata pangkat; sedangkan di sini ia satu penerapan Jensen — jadi kotak perkakasnya memang punya kelebihan pasokan.

**6.** Jika $a = 0$ atau $b = 0$, ketaksamaannya sepele. Normalkan: dengan mengganti $a$ oleh $a/\norm a_p$ dan $b$ oleh $b/\norm
b_q$, kita boleh mengandaikan $\norm a_p = \norm b_q = 1$ lalu wajib menunjukkan $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$. Young suku demi suku memberi

$$
\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq
\sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} +
\frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .
$$

Kesamaannya bila dan hanya bila tiap ketaksamaan Young-nya ketat: yakni $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ untuk setiap $i$ — dan setelah normalisasinya dibatalkan, $(\abs{a_i}^p)$ sebanding dengan $(\abs{b_i}^q)$.

**7.** Kasus $p = q = 2$ tak lain Cauchy–Schwarz dengan kasus kesamaan yang sama (yakni kesebandingan). Untuk ujungnya: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} =
\norm a_1\norm b_\infty$, langsung suku demi suku.

**8.** Untuk $p = 1$ ia tak lain ketaksamaan segitiga suku demi suku. Untuk $p > 1$, dengan $q$ yang sekawan:

$$
\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p
\leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} +
\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},
$$

lalu Hölder pada tiap jumlahnya, dengan mencatat $(p - 1)q = p$:

$$
\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq
\Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p
= \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,
$$

Demikian pula dengan $b$. Karenanya $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a +
b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p +
\norm b_p\bigr)$; lalu jika $a + b \neq 0$, bagilah dengan $\norm{a+b}_p^{p/q}$ lalu pakai $p - \frac pq = 1$. Bersama kehomogenan dan pemisahannya (yang jelas), $\norm\cdot_p$ merupakan [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) pada $\R^n$.

**9.** Untuk $f, g$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) pada $\intcc ab$: Hölder memberi

$$
\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs
f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}
$$

lewat normalisasi yang sama ditambah Young titik demi titik yang diintegralkan; sedangkan Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p +
\norm g_p$ diperoleh lewat pemecahan yang sama, dengan Hölder pada tiap potongannya. Pemisahan [normanya](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) memakai kepositifan tegas: sebab $\abs f^p$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity) dan berintegral nol pastilah nol secara identik (jilid Tahun ke-1).

**10.** *Kemonotonannya:* kita boleh mengandaikan $\norm a_p =
1$; maka tiap $\abs{a_i} \leq 1$, jadi $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ sehingga $\norm a_q^q \leq 1$: yakni $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$. Kesamaannya menuntut $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ untuk setiap $i$, yakni tiap $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$; dan dengan $\sum\abs{a_i}^p = 1$ tersisa tepat satu koordinat bermodulus $1$: jadi kesamaannya bila dan hanya bila $a$ punya paling banyak satu koordinat tak nol. *Limitnya:* $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm
a_\infty$, dan $n^{1/p} \to 1$. *Perbandingan sebaliknya:* Hölder dengan eksponen $\frac
qp$ beserta sekawannya $\frac{q}{q-p}$, yang diterapkan pada $\abs{a_i}^p\cdot 1$, memberi

$$
\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq
\Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q}
= \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},
$$

sehingga $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$, dengan kesamaan bila dan hanya bila semua $\abs{a_i}$ sama (yakni kasus kesamaan Hölder terhadap vektor konstan).

**11.** Tulis $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta
r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ lalu terapkan Hölder dengan eksponen sekawan $\frac{p}{\theta r}$ dan $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (yang sekawan justru karena $\frac{\theta
r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$):

$$
\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}
\leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p}
\Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q}
= \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .
$$

Lalu ambil akar ke-$r$: jadi norma-$p$ bersifat log-cembung pada $\frac1p$.

**12.** *Keduanya negatif:* jika $p < q < 0$ maka $0 < -q <
-p$, dan $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ untuk eksponen positifnya (yakni kasus di dalam pelajaran, [Contoh 8.8](#ex-b2-realfun-powermeans)) yang diterapkan pada $y = (1/x_i)$; lalu membalik kesamaan $M_p(x) =
M_{-p}(1/x)^{-1}$ membalik ketaksamaannya menjadi $M_p(x) \leq M_q(x)$. *Jembatannya:* untuk $q > 0$, kecekungan $\ln$ memberi $\ln M_q =
\frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq
\frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$; sedangkan untuk $p < 0$, kecekungan yang sama memberi $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq
p\sum\lambda_i\ln x_i$, lalu membaginya dengan $p < 0$ membaliknya: $\ln
M_p \leq \ln M_0$. Karenanya $M_p \leq M_0 \leq M_q$ setiap kali $p < 0
< q$: jadi bersama kedua kasus setandanya, $M$ naik pada seluruh $\R^*$ (dan menembus $0$).

**13.** Misalkan $x_{\max} = \max x_i$, yang tercapai di $i^*$. Untuk $p > 0$:

$$
\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},
$$

dan $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$: jadi $M_p \to x_{\max}$. Untuk $p \to
-\infty$: $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to
\bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$.

**14.** Dengan $\lambda_i = \frac1n$, rantai $M_{-\infty}
\leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ berbunyi

$$
\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod
a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq
\sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .
$$

AM–HM (yakni $M_{-1} \leq M_1$) tertata ulang langsung menjadi $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$.

**15.** Dengan bobot sama, $M_p(x) =
\bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$. Ketika $p$ membesar, $\norm x_p$ turun (pertanyaan 10) tetapi penormalnya $n^{-1/p}$ naik lebih cepat, sehingga hasil kalinya naik (pertanyaan 12): rata-rata itu merata-ratakan, [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) itu menghimpun, dan faktor $n^{-1/p}$ persis menjadi kurs tukar antara kedua kesepakatan pembukuan itu.

**16.** Tiap mata rantainya merupakan perwujudan Jensen yang tegas (pertanyaan 2) dengan fungsi cembung atau cekung tegas pada pertanyaan 3 (yakni $t^{q/p}$ dan $\ln$), jadi kesamaan pada mata rantai mana pun memaksa semua $x_i$ sama; dan $\min = M_p$ atau $M_p = \max$ demikian pula memaksa semua nilainya sama dengan ekstremum bersamanya. Jadi rantainya tegas begitu ada dua $x_i$ yang berbeda.

**17.** Terapkan Young (pertanyaan 4) pada pasangan $\varepsilon^{1/p}a$ dan $\varepsilon^{-1/p}b$:

$$
ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b)
\leq \varepsilon\,\frac{a^p}p +
\varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .
$$

Untuk $p = q = 2$, dengan mengganti $\varepsilon$ oleh $2\varepsilon$: $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — itulah ketaksamaan penyerapan: sebuah hasil kali ditukar dengan kelipatan kecil satu kuadrat ditambah kelipatan besar kuadrat lainnya.

**18.** Lewat teleskop:

$$
\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k}
{\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}}
= \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}}
= (n+1)^n,
$$

sebab tiap faktor $(k+1)^k$ pada pembilangnya tercoret dengan suku berikutnya pada penyebutnya. Lalu AM–GM pada $n$ bilangan $c_ka_k$:

$$
(a_1\cdots a_n)^{1/n} =
\frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)}
\leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .
$$

**19.** Setelah dijumlahkan atas $n$ lalu kedua penjumlahannya ditukar (sebab semua sukunya positif: [Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/7-barisan-dan-deret#thm-b2-series-fubini)):

$$
\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n}
\leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k
= \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)}
= \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},
$$

dengan memakai teleskop $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n -
\frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$. Akhirnya $\frac{c_k}k =
\frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (sebab barisan naik yang berlimit $\eu$, jilid Tahun ke-1):

$$
\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq
\eu\sum_{k\geq1}a_k :
$$

itulah ketaksamaan Carleman. (Konstanta $\eu$ bersifat optimal, walaupun kita tidak membuktikannya.)

**20.** Cauchy–Schwarz (pertanyaan 9 dengan $p = q = 2$) yang diterapkan pada $\sqrt f$ dan $\frac1{\sqrt f}$ memberi

$$
1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2}
\leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).
$$

Kesamaannya bila dan hanya bila $\sqrt f$ dan $\frac1{\sqrt f}$ sebanding, yakni $f^2$ konstan, yakni $f$ konstan (sebab $f > 0$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-continuity)).

**21.** Misalkan $1 < p < \infty$, $\norm a_p = \norm b_p = 1$, $a \neq b$, dan andaikan $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$, yakni Minkowski menjadi kesamaan bagi $a, b$. Dengan merunut bukti pertanyaan 8, kesamaannya memaksa kesamaan pada kedua penerapan Hölder sekaligus pada ketaksamaan segitiga suku demi sukunya: jadi $(\abs{a_i}^p)$ dan $(\abs{b_i}^p)$ keduanya sebanding dengan $(\abs{a_i + b_i}^p)$, dan $a_i, b_i$ bertanda sama — sehingga $b = ta$ untuk suatu $t \geq 0$, lalu $\norm b_p = \norm a_p$ memberi $t = 1$, yakni $b = a$: kontradiksi. Karenanya permukaan bola-$p$ tak memuat titik tengah dua titik permukaannya yang berbeda: jadi tanpa ruas. Untuk $p = \infty$ di $\R^2$: semua $(1, t)$ dengan $\abs t \leq 1$ terletak pada permukaan bola satuannya — yakni sebuah tepi datar; sedangkan untuk $p = 1$: ruas $(t, 1 - t)$, $t \in \intcc01$, demikian pula.

**22.** Untuk $a = 0$ kedua ruasnya nol. Selain itu Hölder membatasi setiap $\sum a_ib_i$ oleh $\norm a_p\norm b_q \leq \norm
a_p$. Ketercapaiannya: ambil

$$
b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}}
{\norm a_p^{p/q}} :
\qquad
\norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}}
= \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1,
\quad
\sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} =
\norm a_p ,
$$

dengan memakai $(p-1)q = p$ dan $p - \frac pq = 1$. Jadi supremumnya adalah maksimum, sama dengan $\norm a_p$: sehingga tiap norma-$p$ adalah [norma](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#def-b2-nvs-norm) dual sekawannya — yakni benih dualitas $L^p$–$L^q$.

**23.** Di sini $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$, jadi $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$, yang naik terhadap $r$ menurut pertanyaan 12 (dan menembus $r \to 0, \pm\infty$ menurut pertanyaan 12–13): itulah ketaksamaan momen Lyapunov, yang murni pernyataan tentang rata-rata pangkat berbobot. Ia kembali untuk peubah acak yang sejati pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/22-peubah-acak-diskret#ch-b2-randomvar).

**24.** (i) Rata-rata pangkat $M_1 \leq M_3$ dengan bobot sama memberi $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$; lalu kubikkan dan kalikan dengan $3$: $a^3 + b^3 + c^3 \geq
\frac{(a+b+c)^3}9$. (ii) Cauchy–Schwarz terhadap vektor konstan: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq
\bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$; lalu kuadratkan.

**25.** Definisi tali busurnya menghasilkan lema kemiringan lewat satu penataan ulang aljabar; lalu kemiringan yang diapit di sebuah titik menghasilkan turunan sepihak dan garis penyangga, yang rata-rata berbobotnya adalah Jensen. Diterapkan pada $-\ln$, Jensen menjadi Young, yang setelah dijumlahkan terhadap vektor ternormalkan menjadi Hölder, yang setelah dipecah lalu diserap ulang menjadi Minkowski — dan lahirlah norma-$p$ pada [Bab 5](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/5-ruang-vektor-bernorma#ch-b2-nvs), [lengkap](https://one-course.com/books/math/4/id/chapter/4-topologi-ruang-metrik#def-b2-metric-complete) dengan dualitasnya (pertanyaan 22) dan geometrinya (pertanyaan 21). Jensen yang diterapkan sepanjang skala pangkat merantai semua rata-rata dari $\min$ ke $\max$ (pertanyaan 12–14), yang dibaca pada peubah acak menjadi ketaksamaan momen (pertanyaan 23). Dan AM–GM, setelah dibobot oleh satu siasat teleskop, menghasilkan batas Carleman beserta konstantanya $\eu$ yang tak tereduksi (pertanyaan 18–19). Puncaknya: Hölder–Minkowski, dan Carleman. Tujuannya: ruang $L^p$ pada jilid Tahun ke-3, yang aksioma pendirinya persis pertanyaan 6 dan 8 dengan integral menggantikan jumlahnya.