---
title: "Hermitische vormen"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2"
subject: math
language: nl
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/13-hermitische-vormen
---

# Hoofdstuk 13 — Hermitische vormen

Complexe vectorruimten hebben hun eigen meetkunde van het inproduct, met één wending: lineariteit in de ene veranderlijke, *geconjugeerde* lineariteit in de andere. De beloning voor het aanvaarden van die wending is een spectraaltheorie die nog schoner is dan de reële — [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) endomorfismen hebben reële [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen), [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) endomorfismen hebben [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van modulus $1$, en beide diagonaliseren in orthonormale basissen. Dit korte hoofdstuk speelt het euclidische programma van [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#ch-b2-quadratic) over $\C$.

## 13.1 Hermitische inproducten

**Definitie 13.1.**

Een *hermitisch inproduct* op een complexe vectorruimte $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ die lineair is in de tweede veranderlijke, geconjugeerd [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) ($\langle y,
x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — en dus geconjugeerd lineair in de eerste veranderlijke) en positief definiet ($\langle
x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$). Het standaardvoorbeeld op $\C^n$:

$$
\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;
$$

op [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) functies, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj
f\,g$. [Norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm): $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$; een eindigdimensionale complexe ruimte die hiermee is uitgerust, heet een *hermitische ruimte*.

**Voorbeeld 13.2 (Eerste berekeningen).**

Neem in $\C^2$ de vectoren $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ en $y = (\iu,\
1)$. Dan is

$$
\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7,
\qquad
\norm y^2 = 1 + 1 = 2,
$$

en, met conjugatie van het eerste argument,

$$
\langle x, y\rangle
= \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1
= (1-\iu)\iu + (2+\iu)
= (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .
$$

Cauchy–Schwarz klopt: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13
\leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — dicht bij gelijkheid, omdat $x$ dicht bij een veelvoud van $y$ ligt. Merk ook op dat $\langle y,
x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$: geconjugeerde symmetrie in actie, en de reden waarom $\langle x, x\rangle$ altijd reëel is.

**Stelling 13.3 (Cauchy–Schwarz, complex).**

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$, met gelijkheid dan en slechts dan als $x, y$ lineair afhankelijk zijn; en $\norm\cdot$ is een [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm). Bovendien bestaan er orthonormale basissen (Gram–Schmidt verloopt woordelijk hetzelfde), met

$$
x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i,
\qquad
\norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .
$$

**Bewijs.** Voor $y \neq 0$ en $t \in \C$: $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2
- 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$. Kies $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$:

$$
0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},
$$

wat de ongelijkheid is; gelijkheid dwingt $x = ty$ af. Driehoeksongelijkheid, [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete):

$$
\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle
+ \norm y^2
\leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2
\leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,
$$

met $\Re z \leq \abs z$ en vervolgens Cauchy–Schwarz; homogeniteit en scheiding zijn onmiddellijk, dus $\norm\cdot$ is een [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm). Gram–Schmidt: als in het reële geval, met de conjugaten op de plaatsen die de definitie voorschrijft (let op de afspraak: onze producten zijn geconjugeerd lineair in de *eerste* sleuf, zodat de coördinaten $\langle e_i, x\rangle$ zijn; het volgende voorbeeld doorloopt het algoritme eenmaal [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete)). ∎

**Voorbeeld 13.4 (Complexe Gram–Schmidt, volledig doorlopen).**

Orthonormaliseer de basis $v_1 = (1, \iu)$, $v_2 = (0, 1)$ van $\C^2$. Eerste vector: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$, dus $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$. Projecteer $v_2$ — met de conjugatie in de eerste sleuf:

$$
\langle e_1, v_2\rangle
= \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 +
\conj{\iu}\cdot1\bigr)
= \frac{-\iu}{\sqrt2} ,
\qquad
v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1
= (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu)
= \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .
$$

De [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) hiervan is $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$: $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$. Controle: $\langle e_1,
e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) =
\frac12(\iu - \iu) = 0$. Coördinaten van $v_2$ in de nieuwe basis: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ met $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — let op de volgorde: $\langle v_2, e_1\rangle$ zou de *geconjugeerde* coëfficiënt geven. Het inzicht om te onthouden: het algoritme is woordelijk het euclidische; de enige valkuil is waar de conjugatie valt, en het berekenen van $\norm{v_2 - \text{proj}}^2 > 0$ gebruikt stilzwijgend de positiviteit — het axioma dat de hele meetkunde laat werken.

## 13.2 Adjunct, hermitische en unitaire endomorfismen

**Definitie 13.5.**

De *[adjunct](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint)* $u^*$ van $u \in \mathcal{L}(E)$ is gedefinieerd door $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$; in een orthonormale basis is $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf
T} =: A^{\dagger}$ (de geconjugeerde [getransponeerde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-transpose)) — immers, is $B = (b_{ij})$ de matrix van $u^*$ in de orthonormale basis $(e_i)$, dan is $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$, en de definiërende identiteit geeft

$$
\conj{b_{ij}}
= \langle u^*(e_j), e_i\rangle
= \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} ,
\qquad\text{dus}\qquad
B = \conj{A}^{\mathsf T} .
$$

En $u$ heet *hermitisch* wanneer $u^* = u$ ($A^\dagger = A$), *unitair* wanneer $u^*u = \mathrm{id}$ ($A^\dagger A = I$: de groep $U(n)$), en *normaal* wanneer $u^*u = uu^*$.

**Propositie 13.6.**

[Eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van een [hermitisch endomorfisme](#def-b2-hermitian-adjoint) zijn *reëel*; [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van een [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) endomorfisme hebben *modulus $1$*; in beide gevallen staan de [eigenruimten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) bij verschillende [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) loodrecht op elkaar.

**Bewijs.** [Hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint), $u(x) = \lambda x$, $x \neq 0$:

$$
\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle
= \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,
$$

dus $\lambda \in \R$. [Unitair](#def-b2-hermitian-adjoint): $\norm{u(x)} = \norm x$ (uit $u^*u =
\mathrm{id}$), dus $\abs\lambda\norm x = \norm x$. Orthogonaliteit ([hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) geval): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x),
y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ voor [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) met reële $\lambda \neq \mu$. [Unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) geval, [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete): voor $u(x) = \lambda x$, $u(y) = \mu y$ met $\lambda \neq
\mu$ (beide van modulus $1$) is

$$
\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle
= \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,
$$

en $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$: de factor is niet $1$, dus $\langle x, y\rangle = 0$. ∎

**Voorbeeld 13.7 (Een antihermitische matrix, gediagonaliseerd).**

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ voldoet aan $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: [antihermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) (en ook reëel antisymmetrisch — over $\R$ heeft zij helemaal geen [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen)). [Karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly) $X^2 + 4$: [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\pm2\iu$, zuiver imaginair, zoals [Oefening 13.9](#exo-b2-hermitian-9) in het algemeen voorspelt. [Eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): $(A - 2\iu I)v = 0$ geeft $v_1 =
\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, en $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ voor $-2\iu$; zij staan loodrecht op elkaar:

$$
\langle v_1, v_2\rangle
= \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 +
\conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr)
= \tfrac12(1 - 1) = 0 .
$$

Dus $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ met $U =
(v_1\ v_2)$ [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint). Het inzicht om te onthouden: $H = -\iu A =
\begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ is [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) met het reële spectrum $\{\pm2\}$ en *dezelfde* [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) — de bijectie $u \mapsto \iu u$ tussen [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) en [antihermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) endomorfismen ([Oefening 13.9](#exo-b2-hermitian-9)), matrix voor matrix gezien; over $\R$ is diezelfde $A$ een draaivermenigvuldiging zonder enige [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen), en pas de overgang naar $\C$ onthult haar normaalvorm.

**Stelling 13.8 (Hermitische spectraalstelling).**

Elk [hermitisch endomorfisme](#def-b2-hermitian-adjoint) van een [hermitische ruimte](#def-b2-hermitian-def) bezit een orthonormale basis van [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) (met reële [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen)): $A^\dagger = A$ impliceert $A = U D U^{\dagger}$ met $U \in U(n)$ en $D$ reëel diagonaal.

**Bewijs.** Over $\C$ valt de [karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly) in lineaire factoren uiteen: er bestaat een [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ ([Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#ch-b2-reduction)) — geen compactheidsargument nodig, een voordeel van $\C$. Normaliseer haar. Haar orthogonale complement $F = e_1^\perp$ is stabiel: voor $x \perp e_1$ is

$$
\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle
= \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0
$$

($\lambda_1$ reëel). De beperking is [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint); pas inductie naar de dimensie toe en plak aaneen. In detail: de beperking $u|_F$ is een endomorfisme van de [hermitische ruimte](#def-b2-hermitian-def) $F$ (dimensie $n - 1$) met $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$, geërfd van $u$; de inductiehypothese levert een orthonormale basis $(e_2,
\dots, e_n)$ van $F$ uit [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen), en $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ is orthonormaal in $E$ ($e_1 \perp F$) en bestaat uit [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $u$. Matricieel vertaald: de kolommen van $U$ zijn de $e_i$, $U^\dagger U = I$ drukt hun orthonormaliteit uit, en $AU = UD$ verzamelt de eigenwaardevergelijkingen, waaruit $A =
UDU^\dagger$ met $D$ reëel diagonaal ([Propositie 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues)). ∎

**Voorbeeld 13.9.**

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ is [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) ($A^\dagger = A$): [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) uit $\chi_A = X^2 - 1$: $\pm 1$ (reëel, zoals beloofd), met orthonormale [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ en $\frac{1}{\sqrt2}(1,
-\iu)^{\mathsf T}$. (Natuurkundigen kennen $A$ als een Pauli-matrix; dat [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) spectra reëel zijn, is de reden waarom kwantumobservabelen door [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) operatoren worden gemodelleerd.)

**Voorbeeld 13.10 (Een positief definiete hermitische matrix, uitgewerkt).**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$: [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint), want de diagonaal is reëel en de elementen buiten de diagonaal zijn elkaars complex geconjugeerde. [Karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly):

$$
(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2
= \lambda^2 - 5\lambda + 4
= (\lambda - 1)(\lambda - 4) :
$$

spectrum $\{1, 4\}$, reëel en positief — $A$ is positief definiet. [Eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): voor $\lambda = 4$ geeft het stelsel $(A -
4I)v = 0$ dat $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (controleer de tweede rij: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); voor $\lambda = 1$: $v_1 = (1 - \iu,\
-1)$. Orthogonaliteit, met de conjugatie in de eerste sleuf:

$$
\langle v_4, v_1\rangle
= \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1)
= 2 - 2 = 0 . \checkmark
$$

Normaliseren ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 =
3$) geeft de [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\
\frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ met $A =
U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Het inzicht om te onthouden: de lezing volgens Rayleigh is onmiddellijk — op de eenheidssfeer van $\C^2$ doorloopt $\langle x, Ax\rangle$ precies $\intcc{1}{4}$, aangenomen in de twee [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen); dit is de kiem voor $n = 2$ van de theorie van Courant en Fischer die in de weekendopgave wordt opgebouwd. Ga ook buiten de [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) na dat de vorm reëel is: in $x = (1, \iu)$ is

$$
Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr)
= (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),
$$

$$
\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) +
\conj{\iu}\,(1+4\iu)
= (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in
\R ,
$$

zoals het bewijsmechanisme van [Propositie 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues) (geconjugeerde symmetrie tegen $A^\dagger = A$) voor elke $x$ garandeert.

**Voorbeeld 13.11 (Een unitaire matrix gediagonaliseerd).**

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1
\end{pmatrix}$ ([unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) volgens [Oefening 13.2](#exo-b2-hermitian-2)). Haar [karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly) is $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 +
\frac12$, met nulpunten

$$
\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},
$$

van modulus $1$ zoals [Propositie 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues) beloofde, en met orthonormale [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\frac{1}{\sqrt2}(1,
\pm1)$. Dus $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4},
\eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$: in de juiste basis is $U$ een paar vlakke rotaties over $\pm\frac\pi4$ — een reële rotatiematrix heeft geen reële [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen), maar over $\C$ valt zij uiteen in twee scalairen van modulus $1$. Het inzicht om te onthouden: [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) spectra leven op de reële rechte, [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) spectra op de eenheidscirkel; beide zijn schaduwen van dezelfde normaliteit, en de Cayley-transformatie van [Oefening 13.6](#exo-b2-hermitian-6) beeldt het ene beeld op het andere af.

**Voorbeeld 13.12 (De Cayley-transformatie, berekend).**

Voer [Oefening 13.6](#exo-b2-hermitian-6) uit op $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$ ([hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint), spectrum $\{1, -1\}$, orthonormale [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$). In de eigenbasis is alles scalair: de transformatie $\lambda \mapsto \frac{\lambda -
\iu}{\lambda + \iu}$ zendt

$$
1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu,
\qquad
-1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,
$$

(vermenigvuldig met de geconjugeerde van de noemer), dus $U = (H -
\iu I)(H + \iu I)^{-1}$ is de [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) matrix met [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\mp\iu$ op diezelfde [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen):

$$
U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .
$$

Controle: $U^\dagger U = I$, en $1 \notin \operatorname{Sp}U =
\{\pm\iu\}$, zoals de theorie belooft. Het inzicht om te onthouden: de reële rechte wordt afgebeeld op de eenheidscirkel zonder het punt $1$ — [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) voor [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) is de Cayley-transformatie de möbiusafbeelding $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$, en matrices volgen eenvoudigweg hun spectrum.

**Opmerking 13.13 (Klassieke valkuilen).**

*(i) Waar de streep valt:* dit boek conjugeert de *eerste* sleuf, zodat de coördinaten $\langle e_i, x\rangle$ zijn en $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x,
y\rangle$; veel teksten conjugeren in plaats daarvan de tweede sleuf — vertaal dus voordat je formules vergelijkt, of tekens van $\iu$ gaan stilzwijgend mis. *(ii) Complexe polarisatie is sterker:* geldt over $\C$ dat $\langle x, u(x)\rangle = 0$ voor *alle* $x$, dan is $u = 0$ (werk $x + y$ en $x + \iu y$ uit: zowel het reële als het imaginaire deel van $\langle x,
u(y)\rangle$ verdwijnt); over $\R$ faalt dit — de rotatie over $\frac\pi2$ voldoet overal aan $\langle x, u(x)\rangle = 0$. Bijgevolg dwingt, alleen over $\C$, de uitspraak “$\langle x,
u(x)\rangle \in \R$ voor alle $x$” al af dat $u$ [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) is. *(iii) Reëel normaal is niet [diagonaliseerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag):* de matrix van [Voorbeeld 13.7](#ex-b2-hermitian-skewexample) is normaal maar heeft geen reële [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen); [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) diagonalisatie is een stelling *over* $\C$, en over $\R$ krijgt men slechts blokreducties. *(iv) Unitariteit nagaan:* $U^\dagger U = I$ betekent dat de *kolommen* orthonormaal zijn voor het [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) product — $UU^{\mathsf T}$ testen, of de conjugatie in de kolomproducten vergeten, zijn de twee klassieke manieren om een verkeerde matrix goed te keuren.

**Voorbeeld 13.14 (Isometrieën zijn precies de unitaire afbeeldingen).**

Normbehoud lijkt zwakker dan unitariteit, maar over $\C$ is het dat niet: geldt $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$, dan is $u^*u =
\mathrm{id}$. Immers, $v = u^*u - \mathrm{id}$ is [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) en voldoet aan $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 =
0$ voor elke $x$; volgens de complexe polarisatie (valkuil (ii) hierboven) is een afbeelding met identiek verdwijnende “diagonaal” nul: $v = 0$. Concreet verloopt de polarisatie als

$$
0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle
= \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle,
\qquad
0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle
= \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,
$$

en de twee regels samen dwingen $\langle x, v(y)\rangle = 0$ af voor alle $x, y$. Het inzicht om te onthouden: hierdoor kan “[unitair](#def-b2-hermitian-adjoint)” louter door lengten te meten worden nagegaan — starheid die het hoofdstuk over Fourierreeksen zal uitbuiten, waar het behoud van de energie $\norm f_2$ (Parseval) hetzelfde is als het behoud van alle inproducten van coëfficiënten.

**Opmerking 13.15 (Vooruitblik binnen dit volume).**

De [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) machinerie die hier wordt gebouwd, wordt vrijwel onmiddellijk verbruikt. Het hoofdstuk over Fourierreeksen *is* [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) meetkunde in oneindige dimensie: de exponentiëlen $(e_n)$ vormen een orthonormale familie voor $\langle
f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$, de ongelijkheid van Bessel is de projectieschatting uit [Stelling 13.3](#thm-b2-hermitian-cs) van dit hoofdstuk, en Parseval is haar gelijkheid in de limiet. De eindige Fouriertransformatie ([Oefening 13.10](#exo-b2-hermitian-10)) duikt telkens op wanneer een convolutie gediagonaliseerd moet worden. En de weekendopgave van dit hoofdstuk — Courant–Fischer, Weyl, interlacering — levert de stabiliteit van [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) waarop het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen zich beroept wanneer het beweert dat kleine verstoringen van een systeem zijn frequenties slechts weinig verplaatsen. Terugkijkend is alles hier de complexe spiegel van het hoofdstuk over [kwadratische vormen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-def): houd de twee woordenboeken naast elkaar ($A^{\mathsf T} \leftrightarrow
A^\dagger$, orthogonaal $\leftrightarrow$ [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint), Rayleigh reëel in beide).

**Opmerking 13.16 (Normale endomorfismen).**

Over $\C$ luidt de definitieve uitspraak: $u$ is *[unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) [diagonaliseerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag) dan en slechts dan als $u$ normaal is* ($u^*u =
uu^*$) — waarmee [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint), [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) en [antihermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) afbeeldingen in één klap gedekt zijn. Het bewijs is een aangename versterking van het argument hierboven ([Oefening 13.8](#exo-b2-hermitian-8)). Over $\R$ levert normaliteit daarentegen alleen blokdiagonalisatie op (rotatieblokken): de complexe meetkunde is werkelijk eenvoudiger.

**Opmerking 13.17 (Waar dit wordt gebruikt).**

De [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) spectraaltheorie is de wiskunde van de kwantummechanica: observabelen worden gemodelleerd door [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) operatoren (reële spectra = meetbare waarden), de tijdsevolutie door [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) operatoren (normbehoud = behoud van waarschijnlijkheid). Binnen dit boek rust het hoofdstuk over Fourierreeksen op de orthonormaliteit van de exponentiëlen — een uitspraak over een [hermitisch inproduct](#def-b2-hermitian-def) — en de diagonalisatie van circulante matrices ([Oefening 13.10](#exo-b2-hermitian-10)) is de eindige Fouriertransformatie. De weekendopgave ontwikkelt de variationele rekening van [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) (Courant–Fischer, Weyl, interlacering), het dagelijks brood van de numerieke wiskunde en de wiskundige fysica; het volume van bachelorjaar 3 breidt haar uit tot [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) [zelftoegevoegde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) operatoren op hilbertruimten.

## 13.3 Oefeningen

**Oefening 13.1 ★.**

Bereken op $\C^2$ de grootheden $\langle x, y\rangle$, $\norm x$, $\norm y$ voor $x = (1, \iu)$, $y = (\iu, 1)$; staan zij loodrecht op elkaar? Geef een orthonormale basis die $\frac{x}{\norm x}$ bevat.

**Oplossing van Oefening 13.1.**

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu -
\iu = 0$: orthogonaal. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} =
\sqrt2$. Orthonormale basis: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\;
\frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — het genormaliseerde paar zelf.

**Oefening 13.2 ★.**

Welke zijn [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint)? [Unitair](#def-b2-hermitian-adjoint)? Normaal?

$$
\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix},
\qquad
\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
$$

**Oplossing van Oefening 13.2.**

Eerste: gelijk aan haar geconjugeerde [getransponeerde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-transpose) (reële diagonaal, en $\conj{\iu} = -\iu$ verwisseld): [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) (en dus normaal); niet [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) ($A^\dagger A \neq I$: de kolommen hebben geen [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $1$).

Tweede: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu &
1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} =
\frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$: [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) (en dus normaal); niet [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint).

Derde: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$: niet normaal (dus noch [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) noch [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint)) — het standaard nilpotente tegenvoorbeeld.

**Oefening 13.3 ★.**

Bewijs dat een matrix $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ zich op precies één manier laat schrijven als $A = H + \iu K$ met $H, K$ [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) *(de “reële en imaginaire delen” $H = \frac{A +
A^\dagger}{2}$, $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$)*, en dat $A$ normaal is dan en slechts dan als $H$ en $K$ commuteren.

**Oplossing van Oefening 13.3.**

Eenduidigheid: $A = H + \iu K$ met $H^\dagger = H$, $K^\dagger = K$ dwingt $A^\dagger = H - \iu K$ af, dus $H = \frac{A +
A^\dagger}{2}$ en $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$; deze formules zijn [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) (controle: $\bigl(\frac{A -
A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{A^\dagger - A}{-2\iu} = K$) en bouwen $A$ opnieuw op: bestaan.

Normaliteit: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) -
(H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$: dit verdwijnt dan en slechts dan als $HK = KH$.

**Oefening 13.4 ★★.**

Diagonaliseer in een orthonormale basis: $A = \begin{pmatrix} 2 &
\iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$, en bereken $A^k$ voor $k \in \N$.

**Oplossing van Oefening 13.4.**

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$: [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $3$ en $1$. [Eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen), door rechtstreekse berekening:

$$
A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix}
= 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix},
\qquad
A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.
$$

Orthonormale eigenbasis: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ ([eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $3$), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ ([eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $1$); de orthogonaliteit als in [Oefening 13.1](#exo-b2-hermitian-1). Machten, via de spectrale projecties $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\,
u_2u_2^\dagger$:

$$
A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger
= \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix}
3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\
-(3^k-1)\iu & 3^k + 1
\end{pmatrix}.
$$

(Controleer $k = 1$: dit geeft $A$ terug.)

**Oefening 13.5 ★★.**

Bewijs dat $U(n)$ [compact](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) is en dat de eigenwaardeafbeelding surjectief is: elke $\lambda$ van modulus $1$ treedt op bij een zekere [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) matrix. Bewijs dat $\det U \in \mathbb{U}$ (de eenheidscirkel) voor $U \in U(n)$.

**Oplossing van Oefening 13.5.**

[Compact](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact): gesloten (origineel van $I$ onder de [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) afbeelding $U \mapsto U^\dagger U$) en begrensd (de kolommen zijn eenheidsvectoren: elementen van modulus $\leq 1$) in $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$.

[Eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ is [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) voor elke $\abs\lambda = 1$. [Determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det): $\abs{\det U}^2 =
\det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (met $\det A^\dagger
= \conj{\det A}$): $\det U$ ligt op de eenheidscirkel.

**Oefening 13.6 ★★.**

(Cayley-transformatie) Zij $H$ [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint). Bewijs dat $H + \iu I$ inverteerbaar is en dat $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) is, met $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$. *(Werk spectraal: op een eigenbasis van $H$ is alles scalair.)*

**Oplossing van Oefening 13.6.**

Werk volgens de spectraalstelling in een orthonormale eigenbasis van $H$: alles herleidt tot scalairen $\lambda \in \R$ (de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen)). $H + \iu I$ heeft [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\lambda + \iu \neq
0$: inverteerbaar. $U$ heeft [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\mu = \frac{\lambda -
\iu}{\lambda + \iu}$, van modulus $1$ ($\abs{\lambda - \iu} =
\abs{\lambda + \iu}$ voor reële $\lambda$): $U^\dagger U = I$ geldt omdat $U$ [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) [diagonaliseerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag) is met [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van modulus $1$ (zij is diagonaal in de gekozen orthonormale basis). En $\mu =
1$ zou $-\iu = \iu$ afdwingen: onmogelijk, dus $1 \notin
\operatorname{Sp} U$. (De Cayley-transformatie beeldt het [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) geval af op het [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) min één punt — de matrixversie van de afbeelding van $\R$ naar de cirkel.)

**Oefening 13.7 ★★.**

Bewijs voor [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) positief definiete $A$ ($\langle x,
Ax\rangle > 0$ voor $x \neq 0$) dat $\operatorname{Sp}(A)
\subseteq \intoo{0}{\infty}$, dat $A = B^2$ voor een [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) positief definiete $B$, en dat $\det A > 0$.

**Oplossing van Oefening 13.7.**

Voor een eigenpaar $Ax = \lambda x$ ($x \neq 0$) is $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$, dus $\lambda > 0$ (reëel was zij al, [Propositie 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues)). Vierkantswortel: in een spectrale basis is $B =
U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$: [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint), positief definiet, $B^2 = A$. [Determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det): het product van de positieve [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen).

**Oefening 13.8 ★★★.**

(Spectraalstelling voor normale endomorfismen) Zij $u$ normaal op een [hermitische ruimte](#def-b2-hermitian-def).

1. Bewijs dat $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ voor alle $x$ , en leid af dat $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* -  \conj\lambda)$ .
2. Bewijs dat de [eigenruimten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $u$ bij verschillende [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) orthogonaal zijn, en dat het orthogonale complement van een [eigenruimte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $u$ -stabiel is.
3. Besluit met inductie dat $u$ [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) [diagonaliseerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag) is; en omgekeerd.

**Oplossing van Oefening 13.8.**

1. $\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x,  u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle =  \norm{u^*(x)}^2$ . Toegepast op de normale $u -  \lambda\,\mathrm{id}$ (haar [adjunct](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) is $u^* -  \conj\lambda$ , en de normaliteit wordt geërfd): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , dus de kernen vallen samen.
2. Voor [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $u(x) = \lambda x$, $u(y) = \mu y$ ($\lambda \neq \mu$) geeft (1) dat $u^*(x) = \conj\lambda  x$; dan is $$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle  = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle  = \mu \langle y, x\rangle ,$$ dus $\langle y, x\rangle = 0$. Stabiliteit van $E_\lambda^\perp$: voor $x \perp E_\lambda$ en $z \in  E_\lambda$ is $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z),  x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$.
3. Inductie naar de dimensie: over $\C$ heeft $u$ een [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ (normaliseer haar); haar orthogonale complement is stabiel onder $u$ (volgens (2)) *en* onder $u^*$ (hetzelfde argument met verwisselde rollen), dus de beperking is normaal: pas inductie toe en plak de orthonormale eigenbasissen aaneen. Omgekeerd voldoet een [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) [diagonaliseerbare](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag) $u = UDU^\dagger$ aan $u^*u  = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normaal.

**Oefening 13.9 ★.**

Een endomorfisme heet *[antihermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint)* wanneer $u^* = -u$. Bewijs dat zijn [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) zuiver imaginair zijn, dat $u \mapsto
\iu u$ een bijectie is van de [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) naar de [antihermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) endomorfismen, en dat [antihermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) endomorfismen [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) [diagonaliseerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag) zijn ([Oefening 13.8](#exo-b2-hermitian-8)).

**Oplossing van Oefening 13.9.**

[Eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): voor $u(x) = \lambda x$, $x \neq 0$:

$$
\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle
= \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle
= -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,
$$

dus $\lambda = -\conj\lambda$: zuiver imaginair. Omdat $(\iu u)^* =
-\iu\,u^*$ (de [adjunct](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) is geconjugeerd lineair in de scalairen), geeft $u^* = u$ dat $(\iu u)^* = -\iu u$: de afbeelding $u \mapsto
\iu u$ zendt [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) naar [antihermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint), met inverse $w \mapsto
-\iu w$: een bijectie. Een [antihermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) $u$ voldoet aan $u^*u =
-u^2 = uu^*$: normaal, en dus [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) [diagonaliseerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-diag) volgens [Oefening 13.8](#exo-b2-hermitian-8).

**Oefening 13.10 ★★.**

(De eindige Fouriertransformatie) Zij $S$ de cyclische verschuiving van $\C^n$: $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1},
x_0, \dots, x_{n-2})$, en $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$.

1. Toon aan dat $S$ [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint) is en dat de vectoren $f_k =  \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots,  \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , een orthonormale basis van [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) vormen: $Sf_k = \omega^{-k}  f_k$ .
2. Leid af dat elke *circulante* matrix $C =  \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ normaal is, gediagonaliseerd door dezelfde basis, met [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\widehat c(k) =  \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

**Oplossing van Oefening 13.10.**

1. $S$ permuteert een orthonormale basis: $\norm{Sx} = \norm  x$, dus $S$ is [unitair](#def-b2-hermitian-adjoint). Indexeren we de coördinaten met $j = 0, \dots, n-1$ modulo $n$, dan is $(Sx)_j =  x_{j-1}$, dus voor $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt  n}$: $$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n}  = \omega^{-k}\,(f_k)_j :  \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$$ Orthonormaliteit: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n  \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (de meetkundige som van een niet-triviale eenheidswortel verdwijnt).
2. $Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j  c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : elke circulante matrix is diagonaal in de orthonormale Fourierbasis, en dus normaal, met spectrum $\{\widehat  c(k)\}$ . (De basisovergang is de discrete Fouriertransformatie: convolutie wordt vermenigvuldiging.)

**Oefening 13.11 ★★.**

Zij $P$ een idempotent ($P^2 = P$) endomorfisme van een [hermitische ruimte](#def-b2-hermitian-def). Bewijs dat $P$ de *orthogonale* projectie op $\operatorname{im} P$ is dan en slechts dan als $P^* = P$. Geef de matrix van de orthogonale projectie op $\C v$ ($\norm v = 1$), en op een deelruimte met orthonormale basis $(v_1, \dots, v_k)$.

**Oplossing van Oefening 13.11.**

($\Leftarrow$) Zij $P^2 = P = P^*$. Elke $v$ splitst als $v = Pv +
(v - Pv)$ met $Pv \in \operatorname{im} P$ en $P(v - Pv) = 0$. De twee stukken zijn orthogonaal: voor alle $x, y$ is

$$
\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle
= \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :
$$

$\ker P \perp \operatorname{im} P$, dus $P$ is de orthogonale projectie op haar beeld. ($\Rightarrow$) Is $P$ de orthogonale projectie op $F = \operatorname{im}P$, dan is voor alle $x, y$ $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (de component $y -
Py \perp F$ valt weg) en [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) $\langle x, Py\rangle =
\langle Px, Py\rangle$: dus $\langle Px, y\rangle = \langle x,
Py\rangle$, dat wil zeggen $P^* = P$. Matrices: op $\C v$ ($\norm v
= 1$): $Px = v\,\langle v, x\rangle$, dat wil zeggen $P =
vv^\dagger$; op $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ orthonormaal: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$.

**Oefening 13.12 ★★★.**

(Spectrale projectoren via interpolatie) Zij $A$ [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) met *verschillende* [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ en eigenruimteontbinding $E = \bigoplus_i E_i$. Definieer de Lagrange-veeltermen $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X -
\lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$. Bewijs dat $P_i = L_i(A)$ de orthogonale projectie op $E_i$ is, dat $P_iP_j = 0$ voor $i \neq
j$, dat $\sum_i P_i = I$ en dat $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (de *spectrale ontbinding*); druk $f(A)$ voor een willekeurige veelterm $f$ uit in de $P_i$.

**Oplossing van Oefening 13.12.**

Diagonaliseer $A = U D U^\dagger$ (spectraalstelling), met $D$ diagonaal met elementen uit de $\lambda_i$. Dan is $P_i = L_i(A) =
U L_i(D)U^\dagger$, en $L_i(D)$ is diagonaal met elementen $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$: enen precies op de plaatsen van $E_i$. Dus $P_i$ is [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) ($L_i$ reëel, $D$ reëel), idempotent, met beeld $E_i$ en kern $\bigoplus_{j\neq i}E_j =
E_i^\perp$ (orthogonaliteit van de [eigenruimten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen)): de orthogonale projectie op $E_i$ ([Oefening 13.11](#exo-b2-hermitian-11)). Disjuncte diagonaalpatronen geven $P_iP_j = 0$ ($i \neq j$); $\sum_i L_i = 1$ (graad $< p$, waarde $1$ in $p$ punten), dus $\sum P_i = I$; en $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ geeft $A = \sum
\lambda_iP_i$. Voor een willekeurige veelterm $f$ heeft $f(D)$ de diagonaal $f(\lambda_j)$, dus

$$
f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :
$$

functies van $A$ worden spectraal berekend — de rekenkunde die het volume van bachelorjaar 3 uitbreidt tot [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) $f$ en verder.

## 13.4 Probleem: Courant–Fischer, Weyl en de rekening met eigenwaarden

**Probleem 13.1.**

De [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van een [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) matrix zijn niet zomaar nulpunten van een veelterm: het zijn oplossingen van *optimalisatieproblemen*. Dat variationele standpunt — [Rayleigh-quotiënten](#pb-b2-hermitian-1) en de *min-maxstelling van Courant–Fischer* — maakt [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) vergelijkbaar, stabiel en berekenbaar, en deze opgave oogst haar klassieke gewassen: de *verstoringsongelijkheden van Weyl*, de *interlacering van Cauchy*, de spoorongelijkheden van Schur en Ky Fan, de monotonie van de matrixvierkantswortel, en het spectrum van de discrete laplaciaan. Overal zijn $A, B, E$ [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) op $E =
\C^n$ met [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) in dalende volgorde opgesomd, $\lambda_1(A)
\geq \dots \geq \lambda_n(A)$, en is $R_A(x) = \frac{\langle x,
Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ voor $x \neq 0$ het *Rayleigh-quotiënt*.

**Deel I — [Rayleigh-quotiënten](#pb-b2-hermitian-1) en min-max.** Leg een orthonormale eigenbasis $(e_1, \dots, e_n)$ vast met $Ae_i =
\lambda_ie_i$.

1. Toon aan dat $R_A(x)$ reëel is en dat $$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1  \qquad (x \neq 0),$$ waarbij beide grenzen worden aangenomen: $\lambda_1 =  \max R_A$, $\lambda_n = \min R_A$.
2. Toon aan dat de kritieke punten van $R_A$ precies de [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $A$ zijn *(werk $t \mapsto R_A(x +  tv)$ uit in $t = 0$ voor willekeurige $v$, en vervang $v$ vervolgens door $\iu v$)* .
3. Zij $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ en $W_k =  \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$. Toon aan dat $$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k  = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$$
4. Bewijs de *stelling van Courant–Fischer*: voor $1  \leq k \leq n$ is $$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in  V\setminus\{0\}} R_A(x)  = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in  W\setminus\{0\}} R_A(x)$$ *(voor elke $V$ van dimensie $k$ is $V \cap W_k \neq  \{0\}$ volgens Grassmann, dus $\min_V R_A \leq  \lambda_k$; vraag 3 toont dat de grens wordt aangenomen)*.
5. (Monotonie) Schrijf $A \leq B$ wanneer $B - A$ positief semidefiniet is. Leid uit vraag 4 af: uit $A \leq B$ volgt $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ voor elke $k$ .

**Deel II — De ongelijkheden van Weyl.**

6. Toon aan dat deelruimten $V, W \subseteq \C^n$ met $\dim V  + \dim W > n$ elkaar niet-triviaal snijden, en veralgemeen: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 +  \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
7. Bewijs de *ongelijkheid van Weyl*: voor $i + j - 1  \leq n$ is $$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) +  \lambda_j(B)$$ *(snijd de deelruimten $W_i(A)$, $W_j(B)$ en $V_{i+j-1}(A+B)$ uit vraag 3 en tel dimensies)*.
8. Definieer $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ en toon aan dat $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ voor [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) $E$. Leid de *verstoringsstelling van Weyl* af: $$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq  \vertiii{E}_2  \qquad (1 \leq k \leq n) :$$ elke [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) is een $1$-lipschitzfunctie van de matrix.
9. (Verstoringen van rang één) Zij $P$ [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) positief semidefiniet van rang $1$. Toon aan dat $$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq  \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$$ samen met $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$: de nieuwe [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) *interlaceren* de oude.
10. Ga vraag 8 numeriek na: $A = \begin{pmatrix} 2 &  \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ ( [Oefening 13.4](#exo-b2-hermitian-4) : spectrum $\{3, 1\}$ ) en $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 &  0\end{pmatrix}$ (spectrum $\{1, -1\}$ ): bereken het spectrum van $A + E$ en beide leden van de ongelijkheid.

**Deel III — Interlacering en spoorongelijkheden.**

11. (Interlacering van Cauchy) Zij $B$ de leidende hoofdondermatrix van $A$ van formaat $(n-1)\times(n-1)$. Bewijs dat $$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)  \qquad (1 \leq k \leq n-1)$$ *(beschouw $\C^{n-1} \subseteq \C^n$; daarop is $R_B$ de beperking van $R_A$; pas Courant–Fischer op beide niveaus toe)*.
12. Herhaal: voor een hoofdondermatrix $B$ van formaat $n -  m$ geldt $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq  \lambda_k(A)$ .
13. (Schur) Zij $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ de gesorteerde diagonaalelementen van $A$. Bewijs voor elke $k$: $$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$$ met gelijkheid bij $k = n$ (het spoor) *(de $k$ gekozen diagonaalelementen vormen een hoofdondermatrix van formaat $k\times k$; begrens haar spoor met vraag 12)*.
14. (Ky Fan) Bewijs dat $$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A)  = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle  : (x_1, \dots, x_k) \text{ orthonormaal}\Bigr\} .$$
15. Ga de vragen 11 en 13 na op $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\  0 & 1 & 2\end{pmatrix}  \qquad  \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\  2+\sqrt2\}\bigr)$$ tegenover haar leidende blok van formaat $2\times2$ (spectrum $\{1, 3\}$) en haar diagonaal.

**Deel IV — De ordening van Loewner.** $A \leq B$ betekent nog altijd dat $B - A$ positief semidefiniet is; alle matrices in dit deel zijn [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint).

16. Toon aan: uit $A \leq B$ volgt $a_{ii} \leq b_{ii}$ voor alle $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , en $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ voor *elke* complexe matrix $C$ .
17. Toon aan dat kwadrateren *niet* monotoon is: ga voor $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$$ na dat $0 \leq A \leq B$ maar $A^2 \not\leq B^2$.
18. Bewijs dat de vierkantswortel *wel* monotoon is: uit $0 \leq A \leq B$ volgt $\sqrt A \leq \sqrt B$ *(zij $\mu$ een [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $\sqrt B - \sqrt A$ met [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $v$ van [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $1$; bereken $\langle v, (B -  A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle +  \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ en bespreek)* .
19. Bewijs dat inverteren antitoon is op positief definiete matrices: uit $0 < A \leq B$ volgt $B^{-1} \leq A^{-1}$ *(congrueer met $A^{-1/2}$ om te herleiden tot $I  \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$, wat in een spectrale basis scalair is)* .
20. Zijn $A, B$ positief definiet. Toon aan dat de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $AB$ (in het algemeen niet [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint)!) reëel en positief zijn, en dat $$\lambda_{\max}(AB) \leq  \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$$ *(conjugeer met $\sqrt A$: $AB \sim \sqrt  A\,B\sqrt A$)*.

**Deel V — De discrete laplaciaan, uitgewerkt.** Zij $T_n$ de tridiagonale matrix van formaat $n \times n$ met $2$ op de diagonaal en $-1$ op de twee aangrenzende diagonalen.

21. Ga met $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ na dat de vectoren $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ voldoen aan $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ *(identiteit die een product in een som omzet; controleer de randrijen $j = 1, n$)*. Besluit: $$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2  \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$$ alle enkelvoudig, alle positief: $T_n$ is positief definiet.
22. (Een potentiaal) Klem voor een reële diagonaalmatrix $D =  \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ het spectrum in: voor elke $k$ geldt $$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\;  \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i  d_i .$$
23. Ga de interlacering van Cauchy tussen $T_3$ en $T_2$ expliciet na (spectra $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ en $\{1,  3\}$ ), en interpreteer: $T_2$ is $T_3$ met één uiteinde van het pad verwijderd.
24. Toon aan dat de extreme [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) voor $n \to \infty$ voldoen aan $$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)}  \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2},  \qquad  \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$$ zodat het conditiegetal $\kappa_n =  \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ groeit als $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$: het discretiseren van een tweede afgeleide op een steeds fijner rooster is intrinsiek slecht geconditioneerd.
25. Synthese. In telkens één zin: (i) waarom de variationele karakterisering, en niet de [karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly) , [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) stabiel maakt (vragen 8–9); (ii) welke vragen alleen $\lambda_1 = \max R_A$ gebruikten en welke de volledige min-max nodig hadden; (iii) wat de ordening van Loewner aan het verhaal toevoegt; (iv) waar deze gereedschappen terugkeren (de numerieke wiskunde van de stijfheidsmatrices uit vraag 24; de kwantumverstoringstheorie; en, in het volume van bachelorjaar 3, het min-maxprincipe voor [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) [zelftoegevoegde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) operatoren).

**Oplossing van Probleem 13.1.**

**1.** $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle
= \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$: reëel. Schrijven we $x = \sum c_ie_i$, dan is

$$
R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2}
{\sum_i\abs{c_i}^2} ,
$$

een gewogen gemiddelde van de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): het ligt in $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$, met de grenzen aangenomen in $e_1$ en $e_n$.

**2.** Werk voor reële $t$ en willekeurige $v$ uit dat $R_A(x
+ tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ met

$$
N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle +
t^2\langle v, Av\rangle,
\quad
D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .
$$

De afgeleide in $t = 0$ is

$$
\frac{2}{\norm x^2}\,
\Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .
$$

Zij verdwijnt voor alle $v$ dan en slechts dan als $\Re\langle v,
w\rangle = 0$ voor alle $v$, met $w = Ax - R_A(x)x$; $v$ door $\iu
v$ vervangen doodt ook het imaginaire deel: $w = 0$, dat wil zeggen $Ax = R_A(x)x$. De kritieke punten van $R_A$ zijn dus precies de [eigenvectoren](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen), met als kritieke waarde de [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen).

**3.** Voor $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ is $R_A(x)$ een gewogen gemiddelde van $\lambda_1, \dots, \lambda_k$, en dus $\geq \lambda_k$, met gelijkheid in $e_k$: $\min_{V_k} R_A =
\lambda_k$. [Symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) betreft het gemiddelde op $W_k$ de waarden $\lambda_k, \dots, \lambda_n$: $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$.

**4.** Zij $\dim V = k$. Dan is $\dim V + \dim W_k = n + 1 >
n$, dus er is een eenheidsvector $x \in V \cap W_k$, en $R_A(x)
\leq \lambda_k$ (vraag 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ voor elke zulke $V$. Omdat $V_k$ de waarde $\lambda_k$ aanneemt, is het max-min gelijk aan $\lambda_k$. De min-maxformule is hetzelfde argument met omgekeerde rollen ($\dim W = n - k + 1$ dwingt $W \cap
V_k \neq \{0\}$ af, dus $\max_W R_A \geq \lambda_k$, aangenomen in $W_k$).

**5.** $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}
{\norm x^2} \geq R_A(x)$ puntsgewijs. Nemen we het minimum over een willekeurige $k$-dimensionale $V$ en daarna het maximum over $V$, dan geeft vraag 4 dat $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$.

**6.** Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V +
W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$. Tweemaal toegepast:

$$
\dim(V_1\cap V_2\cap V_3)
\geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n
\geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .
$$

**7.** De deelruimten $W_i(A)$, $W_j(B)$ (vraag 3, voor $A$ en $B$) en $V_{i+j-1}(A+B)$ hebben dimensies $(n-i+1) + (n-j+1) +
(i+j-1) = 2n + 1 > 2n$: volgens vraag 6 is er een eenheidsvector $x$ in alle drie. Dan is

$$
\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x)
= R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),
$$

de linkerongelijkheid omdat $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (vraag 3), de rechter wegens de twee $W$’s.

**8.** In een spectrale basis van $E$: $\norm{Ex}^2 = \sum
\lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$, aangenomen in de bijbehorende [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): $\vertiii E_2 =
\max_k\abs{\lambda_k(E)}$. Weyl met $j = 1$: $\lambda_k(A+E) \leq
\lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$; dit toegepast op $(A+E) + (-E)$ geeft $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E)
+ \vertiii E_2$. Samen: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq
\vertiii E_2$.

**9.** Ondergrenzen: $P \geq 0$ en vraag 5. Bovengrens: $P$ heeft rang $1$, dus $\lambda_2(P) = 0$; Weyl met $i = k-1$, $j =
2$:

$$
\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P)
= \lambda_{k-1}(A) .
$$

**10.** $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu &
2\end{pmatrix}$: [karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly) $(2-\lambda)^2 -
\abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$, spectrum $\{2 + \sqrt2,\ 2 -
\sqrt2\}$. Tegenover $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$:

$$
\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1
\approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark
$$

**11.** Beschouw $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_{n-1})$ binnen $\C^n$ (standaardbasis): voor $x$ daarin is $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$, dus $R_B$ is de beperking van $R_A$. Bovengrens: het max-min voor $\lambda_k(B)$ loopt over de $k$-dimensionale deelruimten *van* $\C^{n-1}$, een deelfamilie van die van $\C^n$: $\lambda_k(B) \leq
\lambda_k(A)$. Ondergrens: het min-max voor $\lambda_k(B)$ loopt over deelruimten van $\C^{n-1}$ van dimensie $(n-1)-k+1 = n-k$; elk daarvan is ook een deelruimte van $\C^n$ van dimensie $n -
(k+1) + 1$, dus haar maximum is $\geq \lambda_{k+1}(A)$: $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$.

**12.** Verwijder de rijen en kolommen één voor één en rijg vraag 11 aaneen: elke verwijdering verschuift de onderste index met één, wat $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ geeft.

**13.** Conjugeren van $A$ met een permutatiematrix ([unitair](#def-b2-hermitian-adjoint)) verandert noch het spectrum noch de multiverzameling van diagonaalelementen: neem dus aan dat $d_1, \dots, d_k$ de leidende posities innemen. De leidende hoofdondermatrix $B$ van formaat $k\times k$ heeft dan $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$, en haar [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) voldoen aan $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (vraag 12): sommeren geeft $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq
k}\lambda_i(A)$. Bij $k = n$ zijn beide leden $\operatorname{tr}
A$.

**14.** De keuze $x_i = e_i$ geeft de waarde $\sum_{i\leq
k}\lambda_i$: het maximum is $\geq$. Omgekeerd laat een orthonormale familie $(x_1, \dots, x_k)$ zich uitbreiden tot een orthonormale basis, dat wil zeggen tot een [unitaire](#def-b2-hermitian-adjoint) $U$ met de $x_i$ als eerste kolommen; dan is $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ de som van de eerste $k$ diagonaalelementen van $U^\dagger AU$, die volgens vraag 13 hoogstens de som van haar $k$ grootste [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) is — namelijk $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$. Het maximumprincipe van Ky Fan volgt.

**15.** Interlacering ($\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2,
2-\sqrt2\}$, $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$):

$$
2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2,
\qquad
2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark
$$

Schur met diagonaal $(2,2,2)$: $2 \leq 2+\sqrt2$; $4 \leq 4 +
\sqrt2$; $6 = 6$ (het spoor). ✓**16.** $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq
0$; sommeren geeft de sporen. Voor elke $C$: $\langle x,
C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$: $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$.

**17.** $A \geq 0$ is duidelijk; $B - A = \begin{pmatrix} 1 &
1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ is positief semidefiniet ([eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $2,
0$): $A \leq B$. Maar

$$
B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},
\qquad
B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},
\qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :
$$

niet positief semidefiniet. Kwadrateren eerbiedigt de ordening van Loewner niet.

**18.** Zij $S = \sqrt A$ en $T = \sqrt B$ ([hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint) positief semidefiniet; [Oefening 13.7](#exo-b2-hermitian-7) met dezelfde spectrale formule uitgebreid tot het semidefiniete geval). $T - S$ is [hermitisch](#def-b2-hermitian-adjoint); zij $\mu$ een willekeurige [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) en $v$ een [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $1$. Uit $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ volgt

$$
0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle
= \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle
= \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v,
Sv\rangle\bigr)
$$

($\mu$ is reëel). Is $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle >
0$, dan is $\mu \geq 0$. Verdwijnt zij, dan verdwijnen beide niet-negatieve termen; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 =
0$ dwingt $Tv = 0$ af, en evenzo $Sv = 0$, dus $\mu v = (T - S)v =
0$ en $\mu = 0$. Alle [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $T - S$ zijn $\geq 0$: $\sqrt A \leq \sqrt B$.

**19.** Congruentie met $A^{-1/2}$ (vraag 16): $I \leq M :=
A^{-1/2}BA^{-1/2}$. Dus zijn alle [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $M$ groter dan of gelijk aan $1$, en die van $M^{-1}$ liggen in $\intoc{0}{1}$: $M^{-1} \leq I$. Maar $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$; $M^{-1} \leq
I$ congrueren met $A^{-1/2}$ geeft $B^{-1} \leq A^{-1}$.

**20.** $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$: dus is $AB$ gelijkvormig met de [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) positief definiete $\sqrt
A\,B\sqrt A$ (definiet: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle =
\langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$): haar [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) zijn reëel en positief. Bovendien is

$$
\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle
\leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2
= \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle
\leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,
$$

dus $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq
\lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$.

**21.** Met $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ en de identiteit $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ geldt voor $2 \leq j \leq n-1$:

$$
(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) -
\sin((j{+}1)\theta_k)
= (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .
$$

Rij $1$ werkt omdat $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$, rij $n$ omdat $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$: de randvoorwaarden selecteren precies $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$. Dus $T_nv_k =
4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$; de $n$ waarden zijn verschillend en liggen in $\intoo04$, en de $v_k \neq 0$: dit is het hele spectrum, positief, dus $T_n$ is positief definiet.

**22.** $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$, dus $T_n +
\min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (het optellen van $T_n$ bewaart de ordening); vraag 5 en $\lambda_k(T_n + cI) =
\lambda_k(T_n) + c$ geven de insluiting.

**23.** $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$ heeft spectrum $\{3, 1\}$, en

$$
2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 +
\sqrt2 :
$$

de interlacering van Cauchy is nagegaan. (Dit zijn dezelfde spectra als in vraag 15: conjugeren met $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ verandert het teken buiten de diagonaal.) Lezing via grafen: $T_2$ is de matrix van laplaciaantype van het pad waarvan het laatste punt is geschrapt — een hoofdondermatrix, precies de situatie van vraag 11.

**24.** De extreme [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) gedragen zich als

$$
\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)}
\sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2},
\qquad
\lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)}
\longrightarrow 4 .
$$

Bijgevolg is

$$
\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}
\sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :
$$

hoe fijner het rooster, hoe slechter geconditioneerd de discrete tweede afgeleide — een feit dat het ontwerp van de numerieke lineaire algebra stuurt.

**25.** (i) De nulpunten van de [karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-charpoly) kunnen bij verstoringen van een algemene matrix wild bewegen, maar de min-maxkarakterisering klemt elke [hermitische](#def-b2-hermitian-adjoint) [eigenwaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) tussen expliciete optimalisatiewaarden, wat de $1$-lipschitzstabiliteit van de vragen 8–9 afdwingt. (ii) De vragen 1, 5 en 16–20 gebruikten alleen de extreme Rayleigh-waarden; Weyl, interlacering, Schur en Ky Fan (vragen 7–14) hadden werkelijk de volledige min-max over deelruimten nodig. (iii) De ordening van Loewner maakt van deze scalaire ongelijkheden een rekenkunde van matrixongelijkheden — met echte valkuilen (vraag 17) en echte stellingen (vragen 18–19). (iv) Deze gereedschappen zijn het dagelijks brood van de numerieke wiskunde (de stijfheidsmatrices van vraag 24), van de kwantumverstoringstheorie (Weyl: de energieniveaus verplaatsen zich hoogstens over de [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) van de verstoring) en van het min-maxprincipe voor [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) [zelftoegevoegde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) operatoren in het volume van bachelorjaar 3.