---
title: "Differentiaalrekening"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2"
subject: math
language: nl
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening
---

# Hoofdstuk 15 — Differentiaalrekening

De rekening met twee veranderlijken uit het volume van bachelorjaar 1 rijpt tot de differentiaalrekening van afbeeldingen tussen genormeerde ruimten: de *[differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential)* als beste lineaire benadering, de kettingregel in volle algemeenheid, de symmetriestelling van Schwarz *bewezen*, formules van Taylor, en de volledige tweede-ordeanalyse van extrema. De stelling van de inverse functie, de kroon op de theorie, wordt geformuleerd met haar bewijsstrategie — een vast punt volgens Banach — expliciet gemaakt.

Overal is $U$ een [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) deelverzameling van $\R^n$ (of van een genormeerde ruimte; het eindigdimensionale geval draagt alle ideeën) en $f \colon U \to \R^m$.

## 15.1 De differentiaal

**Definitie 15.1.**

$f$ heet *differentieerbaar* in $a$ wanneer er een ([continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity)) lineaire afbeelding $\dd f_a \colon \R^n
\to \R^m$ bestaat met

$$
f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h)
\qquad (h \to 0).
$$

De afbeelding $\dd f_a$, de *differentiaal* van $f$ in $a$, is uniek; haar matrix in de canonieke basissen is de *jacobimatrix* $J_f(a) =
\bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$. Differentieerbaarheid impliceert [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) en het bestaan van alle richtingsafgeleiden $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv)
- f(a)}{t}$; het omgekeerde faalt ([Oefening 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)). Voor $m = 1$ is $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$: de gradiënt uit bachelorjaar 1, nu begrepen als de vector die de differentiaal voorstelt.

**Stelling 15.2 (C1C^1C1-criterium).**

Bestaan alle partiële afgeleiden van $f$ op $U$ en zijn zij [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) in $a$, dan is $f$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) in $a$. “$C^1$ op $U$” — [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) partiële afgeleiden — impliceert dus overal [differentieerbaarheid](#def-b2-diffcalc-differential), met [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential).

**Bewijs.** Component voor component ($m = 1$ volstaat). Het bewijs uit bachelorjaar 1 voor twee veranderlijken — verplaats één coördinaat tegelijk, pas op elk traject de middelwaardestelling in één veranderlijke toe, en gebruik de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van de partiële afgeleiden in $a$ — veralgemeent woordelijk tot $n$ trajecten:

$$
f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a +
h^{(j-1)})\bigr)
= \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),
$$

waarbij $h^{(j)}$ de eerste $j$ coördinaten van $h$ bevriest en $\xi_j$ op het $j$-de traject ligt; de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) maakt van elke $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ de uitdrukking $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) + o(1)$, en de fout is $o(\norm h)$. ∎

**Stelling 15.3 (Kettingregel).**

Is $f$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) in $a$ en $g$ in $f(a)$, dan is $g \circ
f$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) in $a$ met

$$
\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a ,
\qquad
J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :
$$

jacobimatrices vermenigvuldigen.

**Bewijs.** Schrijf $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ en $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ met $b = f(a)$ en $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$. Substitutie geeft

$$
g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr)
+ \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),
$$

en beide fouttermen zijn $o(\norm h)$: de eerste omdat $\dd g_b$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) is en $\varepsilon_1 \to 0$; de tweede omdat $\norm k \leq
C\norm h$ (begrensde lineaire afbeelding plus een kleine term) en $\varepsilon_2(k) \to 0$ als $h \to 0$. ∎

**Voorbeeld 15.4 (Radiale functies, eens en voor altijd).**

Zij $r(x) = \norm x_2$ op $\R^n\setminus\{0\}$ en $f = g \circ r$ met $g$ een $C^1$-functie van één veranderlijke. Eerst is $r$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) buiten $0$: uit $r^2 = \sum x_i^2$ volgt

$$
\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r},
\qquad\text{dat wil zeggen}\qquad
\nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,
$$

de radiale eenheidsvector (differentieer $r^2$ en deel — of pas de kettingregel toe op $\sqrt{\cdot}$). Vervolgens geeft de kettingregel voor elke radiale functie

$$
\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .
$$

Uitgewerkt geval: $g(r) = \frac1r$ levert $\nabla\frac{1}{\norm x}
= -\frac{x}{\norm x^3}$ op, het omgekeerd-kwadratische veld van de zwaartekracht en de elektrostatica — radiaal van richting, met grootte $\frac{1}{\norm x^2}$. Het inzicht om te onthouden: gradiënten van radiale functies zijn radiaal omdat de niveauverzamelingen bollen zijn en de gradiënt loodrecht op de niveauverzamelingen staat; in $x = 0$ daarentegen is $r$ *niet* [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) (geen enkele kandidaat-lineaire afbeelding past bij $\norm h$ uit alle richtingen) — gladde radiale profielen hebben $g'(0) = 0$ nodig om de oorsprong sierlijk te passeren.

**Stelling 15.5 (Middelwaardeongelijkheid).**

Zij $f$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) op $U$ en zij het segment $\intcc{a}{b}
= \{a + t(b-a)\}$ bevat in $U$. Dan is

$$
\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\,
\sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .
$$

In het bijzonder is een differentieerbare afbeelding met verdwijnende [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) op een *[samenhangende](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-connected)* [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) verzameling constant.

**Bewijs.** De functie $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ is [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) op $\intcc{0}{1}$ met $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (kettingregel), met [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $\leq M\norm{b-a}$ waarbij $M$ het getoonde supremum is. Voor $\R$-waardige $f$ besluit de middelwaardeongelijkheid in één veranderlijke; voor vectorwaarden past men haar toe op $t \mapsto \langle u, \varphi(t)\rangle$ met $u$ de eenheidsvector langs $f(b) - f(a)$. Constantheid: lokaal constant (segmenten in ballen) plus [samenhang](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-connected) (de verzameling waar $f$ een gegeven waarde aanneemt, is [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) en gesloten: [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#ch-b2-metric)). ∎

**Voorbeeld 15.6 (Een lipschitzconstante uit de middelwaardeongelijkheid).**

Is $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ lipschitz op $\R^2$, en met welke constante? Haar gradiënt is $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos
y)$, met kwadratische [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm)

$$
\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y
\leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1
$$

(begrens $\cos^2x$ en $\sin^2x$ afzonderlijk door $1$), dus $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ overal, en [Stelling 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) op het segment tussen twee willekeurige punten geeft

$$
\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :
$$

$f$ is $1$-lipschitz, en de constante is scherp (nabij de oorsprong heeft $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ helling $1$). Het inzicht om te onthouden: de middelwaardeongelijkheid zet een [puntsgewijze](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#def-b2-funcseq-def) grens op de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) om in een globale continuïteitsmodulus — de standaardweg naar lipschitzschattingen in elke dimensie, en de motor in [Oefening 15.12](#exo-b2-diffcalc-12).

## 15.2 Tweede afgeleiden

**Stelling 15.7 (Schwarz).**

Is $f$ van klasse $C^2$ op $U$ (alle tweede partiële afgeleiden bestaan en zijn [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity)), dan geldt voor alle $i,
j$:

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}
= \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .
$$

**Bewijs.** Twee veranderlijken volstaan ($x = x_i$, $y = x_j$, de rest bevroren). Beschouw het tweede verschil

$$
\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .
$$

Houd $h$ vast en zet $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$: dan is $\Delta(h) = \varphi(a + h) - \varphi(a)$, en twee toepassingen van de middelwaardestelling geven

$$
\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi)
= h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) -
\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr)
= h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),
$$

met $\xi \in \intoo{a}{a+h}$ en $\eta \in \intoo{b}{b+h}$. Wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) is $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2
f}{\partial y\partial x}(a, b)$ als $h \to 0$. Dezelfde berekening met verwisselde rollen van de veranderlijken (bevries eerst de tweede veranderlijke) geeft $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$: de twee limieten van dezelfde grootheid vallen samen. ∎

**Voorbeeld 15.8 (Waarom C2C^2C2 nodig is: het tegenvoorbeeld van Peano).**

Zij $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$, $f(0,0) = 0$. Buiten de oorsprong is $f$ van klasse $C^\infty$; in de oorsprong bestaan alle eerste en tweede partiële afgeleiden, maar de gemengde zijn verschillend. Reken langs de assen: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$, en voor $y \neq 0$ is

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)
= \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x}
= \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y ,
\qquad\text{en symmetrisch}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .
$$

Bijgevolg is

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0)
= \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial
x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1,
\qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :
$$

de twee gemengde partiële afgeleiden bestaan en verschillen. Geen tegenspraak met [Stelling 15.7](#thm-b2-diffcalc-schwarz): de tweede partiële afgeleiden van $f$ zijn niet [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) in $0$ (test langs $y = tx$). Het inzicht om te onthouden: de stelling van Schwarz is een echte stelling over *[continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity)*, geen formele identiteit — en de hypothese “$C^2$” in Taylor–Young hieronder doet echt werk.

**Stelling 15.9 (Taylor–Young van orde 2).**

Zij $f \colon U \to \R$ van klasse $C^2$ en $a \in U$. Dan geldt, als $h \to 0$,

$$
f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle
+ \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),
$$

waarbij $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial
x_j}(a)\bigr)$ de (volgens Schwarz [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint)) *hessiaan* is.

**Bewijs.** Pas de stelling van Taylor–Young in één veranderlijke (volume van bachelorjaar 1) toe op $\varphi(t) = f(a + th)$ op $\intcc{0}{1}$: volgens de kettingregel is $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th),
h\rangle$ en $\varphi''(t) = \langle H_{a+th}h, h\rangle$, beide [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) in $t$. Dan is $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) +
\frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) met $\theta \in
\intoo{0}{1}$, en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van de tweede partiële afgeleiden zet $\varphi''(\theta)$ om in $\varphi''(0) +
o(1)\cdot\norm h^2$, uniform: de getoonde ontwikkeling. ∎

**Voorbeeld 15.10 (Eén ontwikkeling, twee wegen).**

Ontwikkel $f(x, y) = \eu^x\cos y$ in de oorsprong tot orde $2$. *Door samenstelling van ontwikkelingen in één veranderlijke:*

$$
\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} +
o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr)
= 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .
$$

*Via partiële afgeleiden:* $f_x = \eu^x\cos y$, $f_y =
-\eu^x\sin y$, dus $\nabla f(0) = (1, 0)$; en $f_{xx} = f$, $f_{yy} = -f$, $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ geven $H_0 =
\operatorname{diag}(1, -1)$: [Stelling 15.9](#thm-b2-diffcalc-taylor) reproduceert $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$. De twee berekeningen stemmen overeen, en de weg via samenstelling was sneller — helemaal geen tweede partiële afgeleiden. Het inzicht om te onthouden: de oorsprong is *geen* kritiek punt ($\nabla f \neq
0$), zodat er ondanks de onbepaalde hessiaan geen zadelpunt te melden valt: de lineaire term regeert, en de tweede-ordetest spreekt uitsluitend in kritieke punten.

**Stelling 15.11 (Tweede-ordetest voor extrema, bewezen).**

Zij $f$ van klasse $C^2$ nabij een kritiek punt $a$ ($\nabla f(a) =
0$), met hessiaan $H = H_a$.

1. Is $H$ positief definiet, dan is $a$ een strikt lokaal minimum (negatief definiet: maximum).
2. Heeft $H$ [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van beide tekens, dan is $a$ een zadelpunt: geen extremum.
3. Is $H$ singulier (en semidefiniet), dan geen besluit.

De test “$rt - s^2$” uit bachelorjaar 1 is het geval $n = 2$: $\det H = rt - s^2$, en het teken van het spoor leest men af van $r$.

**Bewijs.** Volgens de spectraalstelling ([Stelling 12.13](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#thm-b2-quadratic-spectral)) wordt de [kwadratische vorm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-def) van $H$ ingeklemd tussen haar extreme [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen): $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle
\leq \lambda_{\max}\norm h^2$.

(1) Is $\lambda_{\min} > 0$, dan geeft Taylor–Young

$$
f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 -
o(\norm h^2) > 0
$$

voor kleine $h \neq 0$: strikt lokaal minimum.

(2) Langs een [eigenvector](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $v_+$ met $\lambda_+ > 0$ is $f(a + tv_+)
- f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ voor kleine $t$; langs $v_-$ met $\lambda_- < 0$ is het verschil negatief: beide tekens komen in elke omgeving voor.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$, $x^2 - y^4$ en $x^2 + y^3$ delen in $0$ dezelfde singuliere semidefiniete hessiaan, met drie verschillende gedragingen. ∎

**Voorbeeld 15.12 (Een volledige klassering, globaal inbegrepen).**

Klasseer alle extrema van $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ op $\R^2$. *Kritieke punten:* $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) = 0$ geeft $y = x^3$ en $x = y^3 = x^9$, dus $x(x^8 - 1) = 0$: de reële oplossingen zijn $(0,0)$, $(1,1)$ en $(-1,-1)$. *Hessianen:* $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}$. In $(\pm1, \pm1)$: $\begin{pmatrix} 12 & -4\\ -4 &
12\end{pmatrix}$, [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $8$ en $16$: positief definiet, strikte lokale minima met $f = -2$. In $(0,0)$: $\begin{pmatrix} 0
& -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$, [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\pm4$: een zadelpunt. *Globaliteit:* uit $2\abs{xy} \leq x^2 + y^2$ volgt

$$
f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2)
= (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2
\xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :
$$

$f$ is coërcief en neemt dus een globaal minimum aan ([compactheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) van de subniveauverzamelingen), noodzakelijk in een kritiek punt: de waarde $-2$, in zowel $(1,1)$ als $(-1,-1)$, is het globale minimum; een maximum is er niet ($f$ is naar boven onbegrensd). Het inzicht om te onthouden: de lokale test klasseert de kandidaten, maar alleen een groeiargument maakt van “lokaal” “globaal” — het tweestappenpatroon van elk optimalisatiebewijs in dit boek.

**Methode 15.13 (De extrema van f ⁣:Rn→Rf \colon \R^n \to \Rf:Rn→R klasseren).**

1. Los $\nabla f = 0$ op (alle kritieke punten; op een gebied met rand behandel je de rand apart, zoals in [Oefening 15.7](#exo-b2-diffcalc-7) ).
2. Bereken in elk kritiek punt de hessiaan en de tekens van haar [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) — in dimensie $2$ volstaan $\det H$ en $\operatorname{tr} H$ : $\det < 0$ zadelpunt; $\det > 0$ extremum, van het type dat het teken van het spoor aangeeft; $\det = 0$ : de test zwijgt, bestudeer $f$ langs krommen.
3. Voeg voor globale uitspraken een argument van [compactheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) of coërciviteit toe ( $f \to +\infty$ in het oneindige, of een [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) verzameling van nevenvoorwaarden), en vergelijk daarna de kritieke waarden.

## 15.3 De stelling van de inverse functie

**Stelling 15.14 (Stelling van de inverse functie).**

Zij $f \colon U \to \R^n$ van klasse $C^1$ en $a \in U$ met $\dd
f_a$ *inverteerbaar*. Dan bestaan er [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) omgevingen $V \ni a$ en $W \ni f(a)$ zodanig dat $f \colon V \to W$ een bijectie is met $C^1$-inverse, en

$$
\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 15.15 (Waarom zij waar is: de strategie met het vaste punt).**

Het oplossen van $f(x) = y$ nabij $a$ herschrijft zich als de vastepuntsvergelijking $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr)
=: \Phi_y(x)$; de afbeelding $\Phi_y$ heeft [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$, klein nabij $a$ wegens de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van $\dd f$, zodat $\Phi_y$ een contractie is op een kleine gesloten bal en de vastepuntsstelling van Banach ([Stelling 4.12](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#thm-b2-metric-banach)) de unieke lokale oplossing $x =
f^{-1}(y)$ levert. [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) en [differentieerbaarheid](#def-b2-diffcalc-differential) van de inverse volgen dan uit de schattingen in de contractie. De volledige boekhouding wordt in bachelorjaar 3 uitgevoerd; de strategie — en de uitspraak — worden vanaf nu vrij gebruikt. De bijbehorende *stelling van de impliciete functie* ($F(x, y) = 0$ oplossen naar $y(x)$ wanneer $\frac{\partial F}{\partial y}$ inverteerbaar is) volgt door de stelling toe te passen op $(x, y) \mapsto (x,
F(x,y))$.

**Voorbeeld 15.16 (Poolcoördinaten).**

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ heeft [jacobimatrix](#def-b2-diffcalc-differential)

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta &
r\cos\theta \end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = r :
$$

inverteerbaar voor $r \neq 0$, dus $\Phi$ is buiten de oorsprong een lokaal $C^1$-diffeomorfisme — de vergunning om “over te gaan op poolcoördinaten”, hernieuwd voor de meervoudige integralen van [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/20-lijnintegralen-en-meervoudige-integralen#ch-b2-multint).

**Voorbeeld 15.17 (Overal lokaal, nergens globaal).**

Zij $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ op $\R^2$. Haar [jacobimatrix](#def-b2-diffcalc-differential),

$$
J_f = \begin{pmatrix}
\eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\
\eu^x\sin y & \eu^x\cos y
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_f = \eu^{2x} > 0 ,
$$

verdwijnt nooit: volgens [Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) is $f$ in *elk* punt van het vlak een lokaal $C^1$-diffeomorfisme. Toch is $f$ verre van injectief: $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$, dus elke waarde wordt oneindig vaak aangenomen; en surjectief is zij evenmin, want $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ mist de oorsprong. Het inzicht om te onthouden: de stelling van de inverse functie is onherleidbaar *lokaal* — de inverteerbaarheid van elke $\dd f_a$ levert een lappendeken van lokale inversen die niet tot één geheel hoeven samen te vallen. (Wie complexe getallen kent, herkent $z \mapsto \eu^z$; de lappendeken is de familie van logaritmetakken.) Vergelijk [Oefening 15.12](#exo-b2-diffcalc-12), waar een kwantitatieve globale hypothese wél één globale inverse afdwingt.

**Opmerking 15.18 (Klassieke valkuilen).**

*(i) Richtingsafgeleiden zijn goedkoop, differentialen niet:* alle richtingsafgeleiden kunnen bestaan — en zelfs niet lineair van de richting afhangen — zonder [differentieerbaarheid](#def-b2-diffcalc-differential) ([Oefening 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)); alleen het $C^1$-criterium ([Stelling 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1)) verheft partiële afgeleiden tot een [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential). *(ii) Kritiek betekent niet extremaal:* zadelpunten ([Voorbeeld 15.12](#ex-b2-diffcalc-quarticrun)) en het zwijgende singuliere geval ([Stelling 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) (3)) verbergen zich beide achter $\nabla f = 0$. *(iii) Geen vectorwaardige middelwaardegelijkheid:* alleen de *ongelijkheid* van [Stelling 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) overleeft ([Oefening 15.9](#exo-b2-diffcalc-9)); schrijf nooit $f(b) - f(a) = \dd f_c(b-a)$ voor $f$ met waarden in $\R^m$, $m \geq 2$. *(iv) Lokale inverteerbaarheid is geen injectiviteit:* [Voorbeeld 15.17](#ex-b2-diffcalc-localnotglobal). *(v) De gradiënt hoort bij het inproduct:* $\nabla f$ is de vector die $\dd
f_a$ voorstelt in een gekozen inproduct; verander het product (zoals in het gewogen voorbeeld uit het hoofdstuk over [kwadratische vormen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-def)) en de gradiënt draait mee, terwijl de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) — het intrinsieke object — niet beweegt.

**Opmerking 15.19 (Waar dit wordt gebruikt).**

Alles stroomafwaarts van dit hoofdstuk is toegepaste differentiaalrekening: het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen lineariseert stromingen en gebruikt de determinantformule van Liouville (bewezen in de weekendopgave van dit hoofdstuk); de hoofdstukken over krommen en oppervlakken bestuderen niveauverzamelingen en parametriseringen via de stelling van de impliciete functie; meervoudige integralen wisselen van veranderlijke via jacobimatrices. De weekendopgave ontwikkelt de rekening *op de ruimte van de matrices zelf* — de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) van de [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det), van de inverse, de [matrixexponentiaal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#ex-b2-nvs-matrixexp), en de orthogonale groep als gladde niveauverzameling — de schaduw in bachelorjaar 2 van wat het volume van bachelorjaar 3 als variëteiten en lie-groepen formaliseert.

## 15.4 Oefeningen

**Oefening 15.1 ★.**

Bereken de jacobimatrices van $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ en van $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$; waar zijn de differentialen inverteerbaar?

**Oplossing van Oefening 15.1.**

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$, $\det J_f
= 4(x^2 + y^2)$: inverteerbaar buiten de oorsprong. (Deze $f$ is $z
\mapsto z^2$ in complexe vermomming.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $\det = r$: inverteerbaar voor $r \neq 0$ (cilindercoördinaten).

**Oefening 15.2 ★.**

Zij $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ ($f(0,0) = 0$). Bewijs dat alle richtingsafgeleiden van $f$ in $0$ bestaan, maar dat $f$ niet [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) is in $0$ *(de afbeelding $v \mapsto$ richtingsafgeleide is niet lineair)*.

**Oplossing van Oefening 15.2.**

Voor $v = (a, b) \neq 0$: $\frac{f(tv) - 0}{t} =
\frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$: elke richtingsafgeleide bestaat, met waarde $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$. Maar $v \mapsto D_v$ is niet lineair ($D_{(1,0)} = 1$, $D_{(0,1)} =
0$, $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$): geen enkele lineaire afbeelding kan deze waarden voortbrengen, dus $f$ is niet [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) in $0$ (de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) zou $v \mapsto D_v$ moeten zijn).

**Oefening 15.3 ★.**

Bepaal en klasseer de kritieke punten van $f(x, y) = x^3 + y^3 -
3xy$ met [Stelling 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema), en die van $g(x,y) = x^4 +
y^4 - 2(x - y)^2$.

**Oplossing van Oefening 15.3.**

$f = x^3 + y^3 - 3xy$: kritieke punten $(0,0)$ en $(1,1)$ (de berekening uit bachelorjaar 1). Hessianen: $H = \begin{pmatrix} 6x
& -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$. In $(0,0)$: gemengde tekens van de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) ($\det = -9 < 0$): zadelpunt. In $(1,1)$: $\det = 27 >
0$ en spoor $> 0$: positief definiet, strikt lokaal minimum — nu gerechtvaardigd door [Stelling 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) in plaats van per decreet.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$: $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 +
4(x-y))$; kritieke punten $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2,
\sqrt2)$ (bachelorjaar 1). In $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $H =
\begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$: positief definiet (diagonaal dominant; [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $24, 16$): strikte lokale minima. In $(0,0)$: $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$, singulier negatief semidefiniet: de test zwijgt; de studie langs richtingen ($g(x,x) = 2x^4 > 0$, $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ voor kleine $x$) toont een punt van zadeltype — geen extremum.

**Oefening 15.4 ★★.**

Zij $f \colon \R^n \to \R$ van klasse $C^1$ en *homogeen van graad $p$*: $f(tx) = t^pf(x)$ voor $t > 0$. Bewijs de identiteit van Euler

$$
\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,
$$

en haar omkering voor $C^1$-functies op $\R^n\setminus\{0\}$.

**Oplossing van Oefening 15.4.**

Differentieer $t \mapsto f(tx)$ in $t = 1$: volgens de kettingregel geeft dit $\langle \nabla f(x), x\rangle$; wegens de homogeniteit is dezelfde functie $t^pf(x)$, met afgeleide $pf(x)$ in $t = 1$: de identiteit van Euler.

Omkering: houd $x \neq 0$ vast en zij $\varphi(t) = f(tx) - t^p
f(x)$ op $t > 0$. Dan is $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx),
x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx),
tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$. De hypothese — de identiteit van Euler in het punt $tx$ — evalueert het haakje als $p\,f(tx) -
p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$. Dus $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ met $\varphi(1) = 0$: de unieke oplossing van deze lineaire differentiaalvergelijking is $\varphi \equiv 0$ (eenduidigheid uit bachelorjaar 1), dat wil zeggen $f(tx) = t^pf(x)$.

**Oefening 15.5 ★★.**

Zij $A$ [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) en $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle -
\langle b, x\rangle$. Bereken $\nabla f$ en $H_f$; wanneer is $f$ convex? Toon aan, aangenomen dat $A$ positief definiet is, dat $f$ een uniek globaal minimum heeft in de oplossing van $Ax = b$ — de bestaansreden van het gradiëntafdalen.

**Oplossing van Oefening 15.5.**

Uitwerken geeft $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle +
\frac12\langle Ah, h\rangle$ (symmetrie van $A$): $\nabla f(x) = Ax
- b$ en $H_f = A$ overal. $f$ is convex dan en slechts dan als $A$ positief semidefiniet is (de hessiaantest, hier globaal omdat $H$ constant is: de tweede-ordeformule van Taylor is exact). Is $A$ positief definiet, dan is het unieke kritieke punt $x^* = A^{-1}b$, en $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq
\frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ voor $h \neq 0$: strikt globaal minimum.

**Oefening 15.6 ★★.**

(Multiplicator van Lagrange, één nevenvoorwaarde, met de hand bewezen) Zijn $f, g$ van klasse $C^1$ op $\R^2$, en neem aan dat $f$ in $a$ een lokaal extremum aanneemt op de niveauverzameling $\{g = 0\}$, met $\nabla g(a) \neq 0$. Bewijs dat $\nabla f(a) =
\lambda\nabla g(a)$ voor een zekere $\lambda$. *(Parametriseer de niveauverzameling nabij $a$ met de stelling van de impliciete functie en differentieer $t \mapsto f(\gamma(t))$.)* Toepassing: de extrema van $f(x,y) = xy$ op de cirkel $x^2 + y^2 = 1$.

**Oplossing van Oefening 15.6.**

Omdat $\nabla g(a) \neq 0$, is één partiële afgeleide, zeg $\frac{\partial g}{\partial y}(a)$, ongelijk aan nul: de stelling van de impliciete functie (de metgezel van [Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) parametriseert $\{g = 0\}$ nabij $a
= (a_1, a_2)$ als $\gamma(t) = (t, y(t))$ met $y$ van klasse $C^1$ en $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (differentieer $g(t, y(t)) = 0$). De functie van één veranderlijke $t \mapsto f(\gamma(t))$ heeft een lokaal extremum in $t = a_1$:

$$
0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1}
= \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1)
= \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x
g(a)}{\partial_y g(a)} :
$$

de vectoren $\nabla f(a)$ en $\nabla g(a)$ hebben evenredige coördinaten: $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ met $\lambda =
\frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$.

Toepassing: op de cirkel dwingt $\nabla(xy) = (y, x)$ evenwijdig aan $(2x, 2y)$ af dat $y^2 = x^2$; met de nevenvoorwaarde zijn de kandidaten $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (waarde $\frac12$) en $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},
-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (waarde $-\frac12$): maximum $\frac12$, minimum $-\frac12$ (aangenomen: de cirkel is [compact](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact)).

**Oefening 15.7 ★★.**

Bepaal de extrema van $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ op $\R^2$, en vervolgens haar maximum en minimum op de gesloten driehoek met hoekpunten $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ *(inwendige kritieke punten, dan de drie zijden, dan de hoekpunten)*.

**Oplossing van Oefening 15.7.**

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$: oplossen geeft $x =
-\frac13$, $y = \frac13$. Hessiaan $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$, positief definiet: globaal minimum van de kwadratische $f$, met waarde $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) =
-\frac13$.

Op de driehoek $T$: het inwendige kritieke punt $(-\frac13,
\frac13)$ ligt niet in $T$ (negatieve $x$). Zijden: op $y = 0$, $x
\in \intcc{0}{1}$: $f = x^2 + x$, stijgend: uitersten $0$ en $2$. Op $x = 0$: $f = y^2 - y$, minimum $-\frac14$ in $y = \frac12$, waarden $0$ en $0$ in de uiteinden. Op $x + y = 1$: substitueer $y
= 1 - x$, $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$; op $\intcc{0}{1}$: minimum $-\frac{1}{12}$ in $x = \frac16$, waarden $0$ (in $x=0$) en $2$ (in $x=1$). Hoekpunten: $f(0,0) = 0$, $f(1,0)
= 2$, $f(0,1) = 0$. Globaal op $T$: minimum $-\frac14$ in $(0,
\frac12)$, maximum $2$ in $(1, 0)$.

**Oefening 15.8 ★★★.**

Zij $f \colon \R^2 \to \R^2$, $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$. Toon aan dat $f$ nabij $0$ een lokaal diffeomorfisme is, bereken $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$, en bepaal de grootste $r$ waarvoor $\dd f$ inverteerbaar is op de bal $\norm{(x,y)}_2 < r$ *(bereken $\det J_f$)*.

**Oplossing van Oefening 15.8.**

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$, $\det J_f = 1
- 4xy$. In $0$: $\det = 1 \neq 0$: lokaal diffeomorfisme ([Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)), met

$$
\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .
$$

Inverteerbaarheid op een bal: overal is $4\abs{xy} < 1$ nodig; op $\norm{(x,y)}_2 < r$ is $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} <
\frac{r^2}{2}$, dus $r = \frac{1}{\sqrt2}$ voldoet; en groter kan niet: in $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$, met [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $\frac{1}{\sqrt2}$, is $\det J_f = 0$.

**Oefening 15.9 ★★★.**

(Rolle faalt, de middelwaarde overleeft) Geef een $f \colon \R \to
\R^2$ van klasse $C^1$ met $f(0) = f(2\pi)$ maar $f'(t) \neq 0$ voor alle $t$ (geen vectorwaardige Rolle). Ga vervolgens op je voorbeeld de middelwaarde*ongelijkheid* van [Stelling 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) na.

**Oplossing van Oefening 15.9.**

$f(t) = (\cos t, \sin t)$: $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$, terwijl $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $1$ heeft en dus nooit nul is: geen punt waar de afgeleide verdwijnt — Rolle heeft geen vectoranalogon. De middelwaardeongelijkheid geldt ruimschoots: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$.

**Oefening 15.10 ★.**

Bereken de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) en de gradiënt van $f(x) = \norm x_2^2$ en van $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ op $\R^n$ ($A$ een vierkante matrix, niet verondersteld [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) te zijn), en de hessiaan van elk. Voor welke $A$ is $g$ convex?

**Oplossing van Oefening 15.10.**

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$: $\dd f_x =
2\langle x, \cdot\rangle$, $\nabla f(x) = 2x$, hessiaan $2I$ (constant). Voor $g$:

$$
g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle
+ \langle Ah, h\rangle
= \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle +
O(\norm h^2),
$$

dus $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ en $H_g = A + A^{\mathsf
T}$, constant. Volgens [Oefening 15.11](#exo-b2-diffcalc-11) is $g$ convex dan en slechts dan als $A + A^{\mathsf T}$ positief semidefiniet is — alleen het [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) deel van $A$ telt, zoals inderdaad $g(x) =
\langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$.

**Oefening 15.11 ★★.**

Zij $f \colon \R^n \to \R$ van klasse $C^2$. Bewijs dat $f$ convex is dan en slechts dan als haar hessiaan $H_x$ in elke $x$ positief semidefiniet is *(herleid tot één veranderlijke: $t \mapsto
f(a + t(b-a))$; gebruik Taylor–Lagrange in één richting, en evalueer voor de omkering $\varphi''$)*.

**Oplossing van Oefening 15.11.**

$f$ is convex dan en slechts dan als haar beperking tot elk segment convex is, dat wil zeggen dan en slechts dan als elke $\varphi(t) =
f(a + tv)$ convex is. Volgens de kettingregel is $\varphi''(t) =
\langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$.

Zijn alle hessianen positief semidefiniet, dan is $\varphi'' \geq
0$, dus is elke $\varphi$ convex (volume van bachelorjaar 1) en is $f$ convex. Omgekeerd, is $f$ convex, dan is elke $\varphi$ convex, dus $\varphi''(0) \geq 0$: $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ voor elke $a$ en elke richting $v$: alle hessianen zijn positief semidefiniet.

**Oefening 15.12 ★★★.**

(Een globale inversiestelling) Zij $g \colon \R^n \to \R^n$ van klasse $C^1$ met $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ voor alle $x$, en $f = \mathrm{id} + g$.

1. Toon aan dat $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x -  y}$ : $f$ is injectief, met [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) inverse op haar beeld.
2. Toon aan dat voor elke $y \in \R^n$ de afbeelding $x  \mapsto y - g(x)$ een contractie van de volledige ruimte $\R^n$ is, en besluit met de vastepuntsstelling van Banach ( [Stelling 4.12](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#thm-b2-metric-banach) ) dat $f$ surjectief is.
3. Besluit dat $f$ een bijectie van $\R^n$ is met een $(1-k)^{-1}$ -lipschitzinverse — een *globale* tegenhanger van [Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) , die daarentegen zuiver lokaal is.

**Oplossing van Oefening 15.12.**

1. Volgens de middelwaardeongelijkheid ([Stelling 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi)) toegepast op $g$ is $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$, dus $$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) -  g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$$ $f$ is injectief en $f^{-1}$ (gedefinieerd op het beeld) is $\frac{1}{1-k}$-lipschitz.
2. Houd $y$ vast; $T(x) = y - g(x)$ voldoet aan $\norm{T(x) -  T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : een contractie van de volledige ruimte $\R^n$ . Banach ( [Stelling 4.12](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#thm-b2-metric-banach) ) geeft een vast punt $x^* = y  - g(x^*)$ , dat wil zeggen $f(x^*) = y$ : $f$ is surjectief.
3. $f$ is dus een bijectie van $\R^n$ met een $\frac{1}{1-k}$ -lipschitzinverse: een globale inversiestelling, waarin de kleinheid van $\dd g$ overal de hypothese van lokale inverteerbaarheid uit [Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) vervangt.

## 15.5 Probleem: de rekening met matrices — Jacobi, exponentiaal en de orthogonale groep

**Probleem 15.1.**

De schoonste speeltuin voor differentiaalrekening is de ruimte $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ zelf: haar natuurlijkste afbeeldingen — product, inverse, [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det), exponentiaal — hebben differentialen van opvallende elegantie. Deze opgave berekent ze allemaal: de *reeks van Neumann*, de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) van de inverse, de *formule van Jacobi* voor de [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) met de *formule van Liouville* als dividend, de *matrixexponentiaal* met $\det\eu^A
= \eu^{\operatorname{tr}A}$, en ten slotte de orthogonale groep $O_n$ als gladde niveauverzameling met de antisymmetrische matrices als raakruimte — differentiaalmeetkunde in de kiem. Overal is $\vertiii\cdot$ de [operatornorm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#thm-b2-nvs-continuouslinear) ondergeschikt aan $\norm\cdot_2$, en $\langle X, Y\rangle =
\operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ het inproduct van Frobenius.

**Deel I — De reeks van Neumann.**

1. Bewijs de submultiplicativiteit $\vertiii{AB} \leq  \vertiii A\,\vertiii B$ en leid af dat veeltermafbeeldingen van $A$ (matrixproducten, [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) , spoor) [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) zijn op $\mathcal M_n(\R)$ .
2. Toon voor $\vertiii X < 1$ aan dat $\sum_{k\geq0}X^k$ [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) convergeert in $\mathcal M_n(\R)$ ([Stelling 5.21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)), dat haar som $(I  - X)^{-1}$ is, en dat $$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X},  \qquad  (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$$
3. Leid af dat $GL_n(\R)$ *[open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology)* is: is $A$ inverteerbaar en $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , dan is $A + H$ inverteerbaar. Leid ook af dat $GL_n(\R)$ *dicht* ligt in $\mathcal M_n(\R)$ *(verstoor $A$ met $\varepsilon I$: $\det(A + \varepsilon I)$ is een veelterm in $\varepsilon$ die niet nul is)* .
4. Toon aan dat de inversieafbeelding $\Phi(A) = A^{-1}$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) is op $GL_n(\R)$ .

**Deel II — Eerste differentialen.**

5. Toon aan dat de kwadrateringsafbeelding $A \mapsto A^2$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) is met [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto AH +  HA$ , en algemener dat $A \mapsto A^k$ de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) $H  \mapsto \sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}$ heeft. Waarom mag men in het algemeen *niet* $kA^{k-1}H$ schrijven?
6. Bewijs dat $\Phi(A) = A^{-1}$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) is op $GL_n(\R)$ met $$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$$ *(schrijf $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ en werk uit met vraag 2)*. Toets de formule aan het scalaire geval $n = 1$.
7. Leid voor een $C^1$ -kromme $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ af dat $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ , en ontwikkel $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ tot op eerste orde in $t = 0$ .
8. Bereken de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) van $f(A) =  \operatorname{tr}(A^k)$ en identificeer haar gradiënt voor het inproduct van Frobenius: $$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr),  \qquad  \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$$
9. Dezelfde vragen voor $f(A) = \operatorname{tr}(A^{\mathsf  T}A) = \norm A_F^2$ : [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) , gradiënt en de (constante) hessiaan; besluit dat $\norm\cdot_F^2$ strikt convex is.

**Deel III — De formule van Jacobi.**

10. Bewijs dat $$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +  O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$$ *(werk $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ uit met de multilineariteit in de kolommen: termen met minstens twee $h$-kolommen zijn $O(\vertiii H^2)$)*: $\dd(\det)_I =  \operatorname{tr}$.
11. Leid voor inverteerbare $A$ af dat $$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\,  \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$$
12. Toon aan dat voor *elke* $A$ (inverteerbaar of niet) geldt $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$, de cofactor op plaats $(i,j)$ *(ontwikkeling van Laplace langs rij $i$)*, zodat met de geadjungeerde $\operatorname{adj}A = \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$: $$\dd(\det)_A(H) =  \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr),  \qquad  \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$$ waarmee vraag 11 wordt teruggevonden als $A$ inverteerbaar is ($\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$). Dit is de *formule van Jacobi*: $\bigl(\det A(t)\bigr)' =  \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$.
13. (Formule van Liouville) Zij $A(t)$ een $C^1$-kromme van matrices die voldoet aan de lineaire differentiaalvergelijking $A'(t) = M(t)A(t)$. Bewijs dat $$\bigl(\det A(t)\bigr)' =  \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t),  \qquad\text{en dus}\qquad  \det A(t) = \det A(0)\,  \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$$ *(gebruik $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ en de cyclische invariantie van het spoor)* — de identiteit voor de wronskiaan die het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen voortdurend zal gebruiken.
14. Toon aan dat $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ een gladde niveauverzameling is: in elke $A \in SL_n(\R)$ is de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) $\dd(\det)_A$ een *surjectieve* lineaire afbeelding op $\R$ *(evalueer haar in $H =  \frac1nA$)* .

**Deel IV — De [matrixexponentiaal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#ex-b2-nvs-matrixexp).**

15. Toon aan dat $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ voor elke $A$ [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) convergeert, normaal op elke bal, met $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ ; en dat $\eu^A$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van $A$ afhangt.
16. Bewijs dat uit $AB = BA$ volgt dat $\eu^{A+B} =  \eu^A\eu^B$ *([Cauchy-product](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#thm-b2-series-fubini), geoorloofd wegens de [absolute convergentie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def))* ; leid af dat $\eu^A$ altijd inverteerbaar is met inverse $\eu^{-A}$ : $\exp$ beeldt $\mathcal M_n(\R)$ af in $GL_n(\R)$ .
17. Toon aan dat $t \mapsto \eu^{tA}$ van klasse $C^1$ is (zelfs $C^\infty$) met $$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} =  \eu^{tA}A$$ *(differentieer de reeks term voor term op segmenten: de afgeleide reeks convergeert normaal)*.
18. Bewijs de identiteit $$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$$ *(pas de formule van Liouville, vraag 13, toe op $A(t) = \eu^{tA}$)*. Verstandscontroles: $n = 1$; nilpotente $A$; en de matrices met spoor nul belanden in $SL_n(\R)$.
19. Toon aan dat $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , zodat $\exp$ [differentieerbaar](#def-b2-diffcalc-differential) is in $0$ met $\dd(\exp)_0 =  \mathrm{id}$ ; besluit met de stelling van de inverse functie ( [Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) ) dat $\exp$ een $C^1$ -diffeomorfisme is van een omgeving van $0$ op een omgeving van $I$ : elke matrix dicht bij de eenheidsmatrix heeft een logaritme.
20. Toon aan dat $\exp$ de [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) matrices bijectief afbeeldt op de [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) *positief definiete* matrices *(diagonaliseer; de inverse is de spectrale logaritme)* .

**Deel V — De orthogonale groep als niveauverzameling.**

21. Zij $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , van $\mathcal M_n(\R)$ naar de [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) matrices $S_n$ . Bereken $\dd F_A(H) =  A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ en toon aan dat deze [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) in elke $A \in O_n = F^{-1}(I)$ *surjectief* is op $S_n$ *(probeer voor gegeven $S \in S_n$ de matrix $H = \frac12 AS$)* : $O_n$ is een gladde niveauverzameling, van dimensie $n^2 -  \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
22. Toon aan dat elke $C^1$ -kromme $A(t) \in O_n$ met $A(0) =  I$ een *antisymmetrische* snelheid $A'(0)$ heeft, en omgekeerd dat voor antisymmetrische $K$ de kromme $\eu^{tK}$ in $O_n$ blijft: de raakruimte van $O_n$ in $I$ bestaat precies uit de antisymmetrische matrices.
23. Toon aan dat $\det\eu^{K} = 1$ voor antisymmetrische $K$ (vraag 18): de exponentiële kromme leeft in de rotatiegroep $SO_n$. Bereken haar [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete) voor $n = 2$: bewijs met $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 &  0\end{pmatrix}$ dat $$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta &  -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$$ de [matrixexponentiaal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#ex-b2-nvs-matrixexp) *is* de rotatie over $\theta$, en de reeksdefinities van cosinus en sinus duiken opnieuw op, binnen in een matrix.
24. (De truc met de dichtheid) Breid met de dichtheid van $GL_n(\R)$ (vraag 3) en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) de identiteit $$\operatorname{adj}(AB) =  \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$$ uit van inverteerbare tot alle matrices *(voor inverteerbare $A, B$ zijn beide leden gelijk aan $\det(AB)(AB)^{-1}$; beide leden zijn veeltermen in de elementen)*.
25. Synthese. In telkens één zin: (i) welke eerdere hoofdstukken de motor van elk deel leverden ( [volledigheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete) en genormeerde algebra’s; de spectraalstelling; de stelling van de inverse functie); (ii) op welke formule uit deze opgave het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen zal steunen, en waar; (iii) wat $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ en $\det\eu^A =  \eu^{\operatorname{tr}A}$ zeggen over spoor en [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) als “infinitesimaal en globaal volume”; (iv) wat het volume van bachelorjaar 3 van de vragen 21–23 maakt (lie-groepen en hun lie-algebra’s).

**Oplossing van Probleem 15.1.**

**1.** $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq \vertiii
A\vertiii B\norm x$: neem het supremum over $\norm x = 1$. Matrixproducten, $\det$ en $\operatorname{tr}$ zijn veeltermfuncties van de elementen en dus [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) ($\mathcal
M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$, alle [normen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) equivalent: [Stelling 5.13](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#thm-b2-nvs-finitedim)).

**2.** $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k < \infty$: de reeks convergeert [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) en dus convergeert zij ([Stelling 5.21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)). Uit $(I - X)\sum_{k\leq
N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ volgt dat de som $(I - X)^{-1}$ is. [Norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm): $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 - \vertiii X}$; en

$$
(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1},
\qquad
\vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq
\frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).
$$

**3.** $A + H = A(I + A^{-1}H)$ met $\vertiii{A^{-1}H} \leq
\vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$: inverteerbaar volgens vraag 2: de [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) bal met straal $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ rond $A$ ligt in $GL_n(\R)$. Dichtheid: $\det(A + \varepsilon I)$ is een veelterm van graad $n$ in $\varepsilon$ met leidende coëfficiënt $1$: zij heeft eindig veel nulpunten, dus er zijn $\varepsilon_k \to 0$ met $A + \varepsilon_kI$ inverteerbaar, convergerend naar $A$.

**4.** Voor $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$:

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1}
= \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},
$$

met [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) hoogstens $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 -
\vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq
2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$: $\Phi$ is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) in elke $A
\in GL_n(\R)$.

**5.** $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$: de afbeelding $H
\mapsto AH + HA$ is lineair en de fout $H^2$ is $O(\vertiii H^2)$. $(A + H)^k$ uitwerken en sorteren naar het aantal $H$-factoren: het lineaire deel is $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$, en de termen met $\geq 2$ factoren $H$ worden begrensd door $\binom k2$ producten van de orde $\vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$: $O(\vertiii H^2)$. Men kan de som niet tot $kA^{k-1}H$ laten inklappen omdat $H$ en $A$ niet hoeven te commuteren — de som is de juiste niet-commutatieve afgeleide.

**6.** Voor kleine $H$:

$$
(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}
= \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1}
= A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :
$$

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$, lineair in $H$. Voor $n = 1$: $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$, de vertrouwde afgeleide.

**7.** Kettingregel langs de kromme: $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) =
-A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$. Voor $A(t) = I + tB$ in $t = 0$: $(I +
tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$.

**8.** Volgens vraag 5 en de cyclische invariantie van het spoor:

$$
\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1}
A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .
$$

Tegenover het product van Frobenius vereist $\dd f_A(H) =
\operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ dat $(\nabla
f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$: $\nabla f(A) = k\,(A^{k-1})^{\mathsf
T}$.

**9.** $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) +
\operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$: de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) is $H \mapsto
2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) = 2\langle A, H\rangle$, dus $\nabla f(A) = 2A$; de tweede-ordeterm is precies $\norm H_F^2$: de hessiaan is tweemaal de identieke [kwadratische vorm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-def), positief definiet en constant, zodat $\norm\cdot_F^2$ strikt convex is (de formule van Taylor is hier exact).

**10.** Wegens de multilineariteit in de kolommen is $\det(I +
H) = \sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$, waarbij $M_S$ de kolom $h_j$ heeft voor $j \in S$ en $e_j$ anders. $S = \varnothing$ geeft $1$; $S = \{j\}$ geeft de [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) van $I$ met kolom $j$ vervangen door $h_j$, namelijk haar $j$-de element $h_{jj}$, wat samen $\operatorname{tr}H$ oplevert; elke term met $\abs S \geq 2$ is een [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) met minstens twee kolommen van de orde $O(\vertiii H)$ en dus $O(\vertiii H^2)$ (multilineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale ruimte zijn begrensd), en zulke termen zijn er eindig veel. Dus $\det(I + H) = 1 +
\operatorname{tr}H + O(\vertiii H^2)$: $\dd(\det)_I =
\operatorname{tr}$.

**11.** $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) = \det
A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) + O(\vertiii H^2)\bigr)$: de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) is $H \mapsto \det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$.

**12.** Ontwikkeling van Laplace langs rij $i$: $\det A =
\sum_j a_{ij}C_{ij}$, en de cofactoren $C_{ij}$ betreffen rij $i$ niet: $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$. Bijgevolg is

$$
\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij}
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T}
H\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr),
\qquad
\nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .
$$

Voor inverteerbare $A$ geeft $\operatorname{adj}A =
\det(A)A^{-1}$ vraag 11 terug. Langs een $C^1$-kromme luidt de kettingregel $(\det A(t))' =
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A(t))\,A'(t))$: de formule van Jacobi.

**13.** Met $A' = MA$ en $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$:

$$
(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA
\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr)
= \det A\;\operatorname{tr}M
$$

(cycliciteit; ook $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$). De scalaire lineaire differentiaalvergelijking $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ heeft de unieke oplossing $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t
\operatorname{tr}M\bigr)$ (bachelorjaar 1): de formule van Liouville.

**14.** Neem in $A \in SL_n(\R)$ de matrix $H = \frac1nA$: $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A)
\operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$: de [differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) is een lineaire vorm die niet nul is en dus in elk punt van de niveauverzameling surjectief op $\R$: $SL_n(\R)$ is een gladde niveauverzameling (van dimensie $n^2 - 1$).

**15.** $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq \sum\vertiii A^k/k! =
\eu^{\vertiii A}$: [absolute convergentie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) (het volledigheidsargument van vraag 2), met [normale convergentie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#def-b2-funcseq-series) op elke bal $\vertiii A \leq
R$ (grens $R^k/k!$ onafhankelijk van $A$). Elke partiaalsom is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) (een veelterm); de [uniforme](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#def-b2-funcseq-def) limiet op ballen is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity): $A
\mapsto \eu^A$ is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity), met $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii
A}$.

**16.** Beide reeksen convergeren [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def), dus het [Cauchy-product](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#thm-b2-series-fubini) is geoorloofd ([Stelling 7.14](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#thm-b2-series-fubini)):

$$
\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom
nkA^kB^{n-k}
= \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},
$$

waarbij de binomiale identiteit $AB = BA$ vereist. Met $B = -A$: $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$: elke $\eu^A$ ligt in $GL_n(\R)$.

**17.** De reeks $\sum t^kA^k/k!$ en haar afgeleide reeks $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergeren normaal op elk segment $\abs t \leq T$ (grenzen $T^k\vertiii
A^k/k!$): de differentiatiestelling voor reeksen ([Stelling 10.11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#thm-b2-funcseq-seriestransfer), element voor element toegepast) geeft $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$; $A$ in plaats daarvan rechts afzonderen geeft $\eu^{tA}A$. Herhalen: $C^\infty$.

**18.** $A(t) = \eu^{tA}$ voldoet aan $A'(t) = A\,A(t)$: de formule van Liouville (vraag 13) met constante $M = A$ geeft $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (waarde $1$ in $t = 0$); in $t = 1$: $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$. Controles: $n =
1$ is de exponentiële functie zelf; een nilpotente $A$ heeft $\operatorname{tr}A = 0$ en $\eu^A$ unipotent met [determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) $1$; en $\operatorname{tr}A = 0$ geeft $\det\eu^A = 1$: de matrices met spoor nul worden naar $SL_n(\R)$ gezonden.

**19.** $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$, met [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) $\leq
\vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$: $\dd(\exp)_0 =
\mathrm{id}$, inverteerbaar. Bovendien is $\exp$ van klasse $C^1$: volgens vraag 5 is de [kandidaat-differentiaal](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto
\sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ een normaal convergente reeks van lineaire afbeeldingen die [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van $A$ afhangen (grenzen $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ op ballen), zodat de partiële afgeleiden bestaan en [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) zijn ([Stelling 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1) en de overdrachtsstelling voor reeksen). De stelling van de inverse functie ([Stelling 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) is van toepassing in $0$: $\exp$ is een $C^1$-diffeomorfisme van een omgeving van $0$ op een omgeving van $I$ — matrices nabij $I$ hebben logaritmen.

**20.** Voor [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) $S = PDP^{\mathsf T}$ (spectraalstelling) is $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) met [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) $\eu^{\lambda_i} > 0$: positief definiet. Surjectiviteit: een positief definiete $Q =
P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ ($\mu_i > 0$) is $\eu^S$ voor $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$. Injectiviteit: $\eu^S$ legt haar [eigenruimten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) vast, en dat zijn precies die van $S$ (op elke [eigenruimte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) van $S$ bij $\lambda$ werkt $\eu^S$ als $\eu^\lambda$; verschillende $\lambda$ geven verschillende $\eu^\lambda$), en $\ln$ nemen van de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/3-reductie-van-endomorfismen#def-b2-reduction-eigen) geeft $S$ terug. Dus is $\exp$ een bijectie van de [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) matrices op de positief definiete.

**21.** $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$: $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}A$ (met waarden in $S_n$; fout $O(\vertiii H^2)$). Voor $A \in O_n$ en $S \in S_n$ geeft de keuze $H = \frac12AS$

$$
A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A
= \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :
$$

surjectief. $O_n = F^{-1}(I)$ is een gladde niveauverzameling van dimensie $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$.

**22.** $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ differentiëren in $t = 0$ (met $A(0) = I$): $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$: antisymmetrisch. Omgekeerd, voor $K^{\mathsf T} = -K$: $(\eu^{tK})^{\mathsf
T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}}\eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transponeer de reeks term voor term; de exponenten commuteren): de kromme blijft in $O_n$, met snelheid $K$ in $t = 0$. De raakruimte in $I$ bestaat dus uit de antisymmetrische matrices, van de verwachte dimensie $\frac{n(n-1)}2$.

**23.** $\operatorname{tr}K = 0$ voor antisymmetrische $K$, dus $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (vraag 18): de exponentiaal belandt in $SO_n$. Voor $n = 2$: $J^2 = -I$, dus $J^{2m} = (-1)^mI$ en $J^{2m+1} = (-1)^mJ$, en

$$
\eu^{\theta J}
= \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I
+ \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J
= \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,
$$

de rotatie over $\theta$: de reeksen van sinus en cosinus leven binnen in de [matrixexponentiaal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#ex-b2-nvs-matrixexp).

**24.** Voor inverteerbare $A, B$: $\operatorname{adj}(AB) =
\det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} =
\operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$. Beide leden van de identiteit zijn veeltermafbeeldingen (en dus [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity)) van de elementen van $(A, B)$; zij stemmen overeen op de dichte deelverzameling $GL_n\times GL_n$ van $\mathcal M_n\times\mathcal
M_n$ (vraag 3: benader elke factor), dus zij stemmen overal overeen.

**25.** (i) Deel I draaide op de [volledigheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete) van eindigdimensionale genormeerde ruimten ([absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) convergente reeksen convergeren), Deel IV op hetzelfde plus de spectraalstelling voor vraag 20, en de lokale logaritme van Deel V op de stelling van de inverse functie. (ii) Het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen steunt op de formule van Liouville (vraag 13) voor de wronskiaan van lineaire stelsels, en op $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (vraag 17), wat de uitspraak is dat $\eu^{tA}$ het stelsel $X' = AX$ oplost. (iii) $\dd(\det)_I
= \operatorname{tr}$ zegt dat het spoor de infinitesimale snelheid van volumeverandering is, en $\det\eu^A =
\eu^{\operatorname{tr}A}$ integreert die uitspraak globaal. (iv) Het volume van bachelorjaar 3 geeft de structuren hun naam: $O_n$ en $SL_n(\R)$ zijn lie-groepen, hun raakruimten in $I$ (antisymmetrische matrices en matrices met spoor nul) zijn lie-algebra’s, en $\exp$ is de brug tussen beide.