---
title: "Lijnintegralen en meervoudige integralen"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2"
subject: math
language: nl
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/20-lijnintegralen-en-meervoudige-integralen
---

# Hoofdstuk 20 — Lijnintegralen en meervoudige integralen

Dit hoofdstuk breidt de integratie uit van intervallen naar krommen en naar gebieden van het vlak en van de ruimte. Lijnintegralen integreren een *[differentiaalvorm](#def-b2-multint-lineint)* $P\,\dd x + Q\,\dd y$ langs een georiënteerde boog; dubbele en drievoudige integralen integreren functies over twee- en driedimensionale gebieden. De twee theorieën ontmoeten elkaar in de *stelling van Green–Riemann*, de tweedimensionale hoofdstelling van de integraalrekening, en het voornaamste rekengereedschap is overal de *formule voor de verandering van veranderlijken*, waarvan de vervormingsfactor de absolute waarde van de jacobideterminant is.

## 20.1 Lijnintegralen

**Definitie 20.1 (Differentiaalvorm; lijnintegraal).**

Zij $U \subseteq \R^2$ [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology). Een *differentiaalvorm* van graad $1$ en van klasse $\mathcal{C}^0$ op $U$ is een uitdrukking $\omega =
P\,\dd x + Q\,\dd y$ met $P, Q \colon U \to \R$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) — formeel een [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) afbeelding van $U$ in de [duale ruimte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-dual) van $\R^2$, $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$. Voor een $\mathcal{C}^1$-boog $\gamma \colon [a, b] \to U$, $\gamma(t) =
(x(t), y(t))$, is de *lijnintegraal* van $\omega$ langs $\gamma$

$$
\int_\gamma \omega
= \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t)
+ Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .
$$

De definities breiden woordelijk uit tot $\R^3$ (vormen $P\,\dd x +
Q\,\dd y + R\,\dd z$) en tot stuksgewijs $\mathcal{C}^1$-bogen (som over de stukken).

**Propositie 20.2 (Invariantie en oriëntatie).**

De [lijnintegraal](#def-b2-multint-lineint) verandert niet onder een stijgende $\mathcal{C}^1$-parameterverandering, en verandert van teken onder een dalende. Zij hangt dus alleen van de *georiënteerde* [meetkundige boog](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-reparam) af.

**Bewijs.** Is $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ een [parameterverandering](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-reparam) en $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$, dan geldt volgens de kettingregel en de verandering van veranderlijke $t = \theta(u)$ in één veranderlijke

$$
\int_{\tilde\gamma}\omega
= \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u))
+ Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u
= \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,
$$

met teken $+$ als $\theta$ stijgt ($\theta(c) = a$) en $-$ als zij daalt (de grenzen verwisselen). ∎

**Voorbeeld 20.3 (Arbeid van een kracht; circulatie).**

Is $F = (P, Q)$ een krachtveld, dan is $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y
= \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ de *arbeid* van $F$ langs $\gamma$. Voor $\omega = -y\,\dd x +
x\,\dd y$ langs de eenheidscirkel tegen de wijzers van de klok in, $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$:

$$
\int_\gamma \omega
= \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t)
+ \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,
$$

tweemaal de omsloten [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) — een eerste hint van Green–Riemann.

**Voorbeeld 20.4 (Eén integraal, twee parametriseringen, één tekenval).**

Bereken $\int_\gamma x\,\dd y$ langs de bovenste eenheidshalfcirkel van $(1, 0)$ naar $(-1, 0)$. Met $\gamma(t) =
(\cos t, \sin t)$, $t \in \intcc0\pi$:

$$
\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .
$$

Met de grafiekparametrisering $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$, $x$ van $1$ naar $-1$ (let op de richting!):

$$
\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x
= \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x
= \frac\pi2
$$

($x = \sin u$ herleidt haar tot een integraal van Wallis). Dezelfde waarde, zoals [Propositie 20.2](#prop-b2-multint-lineinv) waarborgt — maar alleen omdat beide doorlopen van $(1,0)$ naar $(-1,0)$ gaan; de reis omkeren keert het teken om. Het pad sluiten langs de $x$-as (waar $\dd y = 0$) voegt niets toe, en het totaal $\frac\pi2$ is de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) van de halve schijf: het eerste geval van de randformules voor [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/19-oppervlakken#def-b2-surfaces-area) van Green–Riemann hieronder.

**Definitie 20.5 (Exacte en gesloten vormen).**

De vorm $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ van klasse $\mathcal{C}^0$ heet *exact* op $U$ wanneer er een $f \in
\mathcal{C}^1(U)$ bestaat (een *potentiaal*) met $\omega = \dd f$, dat wil zeggen $P = f_x$ en $Q = f_y$. Een $\mathcal{C}^1$-vorm heet *gesloten* wanneer $P_y = Q_x$ op $U$.

**Stelling 20.6 (Hoofdstelling voor lijnintegralen).**

Is $\omega = \dd f$ [exact](#def-b2-multint-exact) en $\gamma$ een stuksgewijs $\mathcal{C}^1$-boog in $U$ van $A$ naar $B$, dan is

$$
\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .
$$

In het bijzonder is de integraal van een [exacte vorm](#def-b2-multint-exact) langs elke [gesloten](#def-b2-multint-exact) boog nul, en is elke exacte $\mathcal{C}^1$-vorm [gesloten](#def-b2-multint-exact).

**Bewijs.** $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) +
f_y(\gamma(t))y'(t)$ volgens de kettingregel ([Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#ch-b2-diffcalc)), dus is de integrand in [Definitie 20.1](#def-b2-multint-lineint) de afgeleide van $t \mapsto
f(\gamma(t))$, en de hoofdstelling van de integraalrekening geeft het resultaat op elk stuk; de tussenwaarden telescoperen. Dat exacte $\mathcal{C}^1$-vormen [gesloten](#def-b2-multint-exact) zijn, is de stelling van Schwarz: $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. ∎

**Voorbeeld 20.7 (Een potentiaal reconstrueren).**

Zij $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ op $\R^2$. Zij is [gesloten](#def-b2-multint-exact): beide gemengde afgeleiden zijn gelijk aan $\eu^{xy}(1 + xy)$. Om een [potentiaal](#def-b2-multint-exact) te vinden, integreer je $P$ naar $x$ bij vaste $y$:

$$
f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),
$$

en pas je $c$ aan door $f_y$ te laten kloppen: $x\,\eu^{xy} + c'(y)
= x\,\eu^{xy} + 2y$ geeft $c(y) = y^2$. Dus $f(x,y) = \eu^{xy} +
y^2$, en voor elke stuksgewijs $\mathcal C^1$-boog van $(0,0)$ naar $(1,1)$ is

$$
\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,
$$

onafhankelijk van het pad — het recept in twee stappen (integreren naar $x$, corrigeren in $y$) is de praktische omkering van [Stelling 20.6](#thm-b2-multint-ftc) op gebieden waar gesloten vormen [exact](#def-b2-multint-exact) zijn.

**Voorbeeld 20.8 (Gesloten impliceert niet exact).**

Op $U = \R^2 \setminus \{0\}$ is de *hoekvorm*

$$
\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}
$$

[gesloten](#def-b2-multint-exact) (rechtstreekse berekening: zowel $P_y$ als $Q_x$ is gelijk aan $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), maar haar integraal langs de eenheidscirkel is $2\pi \neq 0$ (dezelfde berekening als in [Voorbeeld 20.3](#ex-b2-multint-work), gedeeld door $1$): $\omega$ is niet [exact](#def-b2-multint-exact) op $U$. Lokaal is $\omega = \dd\theta$ voor een bepaling $\theta$ van de poolhoek; het falen is globaal — de hoek kan niet [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) rond het gat worden gedefinieerd. Op gebieden zonder gaten verdwijnt de pathologie: op een *stervormige* [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) verzameling is elke [gesloten](#def-b2-multint-exact) $\mathcal{C}^1$-vorm [exact](#def-b2-multint-exact) (het lemma van Poincaré, [Oefening 20.8](#exo-b2-multint-8)).

## 20.2 Dubbele integralen

Wij nemen de theorie van de riemann-integraal in één veranderlijke als bekend aan (volume van bachelorjaar 1, en [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration)) en schetsen haar versie met twee veranderlijken. Een functie $f$ die [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) is op een rechthoek $R
= [a, b] \times [c, d]$ heeft een dubbele integraal $\iint_R f$, gedefinieerd met Riemannsommen over roosters precies als in één veranderlijke, en berekend door iteratie:

**Stelling 20.9 (Fubini op een rechthoek).**

Voor $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op $R = [a,b] \times [c,d]$ geldt

$$
\iint_R f
= \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x
= \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .
$$

**Bewijs.** Zet $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$. De uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van $f$ op het [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) $R$ maakt $F$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) (gedomineerde schatting: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$). Verdeel nu $[a,b]$ en $[c,d]$ elk in $n$ gelijke delen, wat een rooster van cellen $R_{ij}$ met [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\Delta x\,\Delta y$ geeft. Op elke cel is $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq
\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq
\sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ wegens de monotonie van de integraal in één veranderlijke (tweemaal toegepast). Sommeren over de cellen klemt de herhaalde integraal $\int_a^b F$ tussen de onder- en bovensommen van Riemann van het rooster; wegens de uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) convergeren beide sommen naar de gemeenschappelijke waarde die $\iint_R f$ definieert als $n \to
\infty$. Hetzelfde argument werkt met de rollen van $x$ en $y$ verwisseld, dus beide herhaalde integralen zijn gelijk aan $\iint_R
f$. ∎

**Opmerking 20.10.**

De [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op een [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) rechthoek doet in het bewijs van Fubini echt werk: zij levert de uniforme [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) die de Riemannsommen inklemt. Voor wildere integranden faalt de uitspraak werkelijk — er bestaan functies waarvan de twee herhaalde integralen bestaan en verschillen. De eerlijke algemene stelling, met integreerbaarheid als enige hypothese, is de stelling van Fubini voor de lebesgue-integraal, bewezen in het volume van bachelorjaar 3; alles in dit hoofdstuk blijft binnen het [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) kader waar het elementaire bewijs hierboven [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete) is.

**Definitie 20.11 (Elementaire gebieden).**

Een gebied $D \subseteq \R^2$ heet *$y$-elementair* wanneer

$$
D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\
\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}
$$

met $\varphi_1 \leq \varphi_2$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op $[a,b]$ ($x$-elementair: [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint)). Voor $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op een $y$-elementair gebied $D$ is

$$
\iint_D f
= \int_a^b\Bigl(
\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,
$$

en men gaat na (door $f$ met een benaderingsargument uit te breiden, of door onder te verdelen) dat wanneer $D$ in beide richtingen elementair is, de twee herhaalde integralen overeenstemmen. Gebieden die in eindig veel elementaire stukken worden gesneden, worden met de additiviteit behandeld, en de *oppervlakte* van $D$ is $\operatorname{Area}(D) = \iint_D 1$.

**Voorbeeld 20.12.**

Op de driehoek $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$:

$$
\iint_D xy \,\dd x\,\dd y
= \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x
= \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .
$$

De volgorde verwisselen ($x$ van $y$ tot $1$): $\int_0^1
y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 -
y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — dezelfde waarde, een andere berekening: de volgorde van integreren goed kiezen is de helft van het vak.

**Voorbeeld 20.13 (Wanneer maar één volgorde werkt).**

Bereken $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1
\eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. Zoals zij er staat, heeft de binnenste integraal $\int\eu^{y^2}\dd y$ geen elementaire primitieve: de berekening loopt vast. Maar het gebied is de driehoek $0 \leq x
\leq y \leq 1$, die in beide richtingen elementair is; de volgorde verwisselen geeft

$$
I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y
= \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y
= \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .
$$

De binnenste veranderlijke $x$ kwam in de integrand nergens voor, dus haar eerst integreren bracht precies de factor $y$ voort die de buitenste integraal onmiddellijk maakt. Moraal: Fubini is niet alleen een vergunning om te itereren — het is een vergunning om te *kiezen*, en de juiste volgorde kan van een onmogelijke integraal een regel van één zin maken. Schets altijd het gebied en lees beide beschrijvingen af voordat je begint.

**Stelling 20.14 (Verandering van veranderlijken).**

Zij $\Phi \colon U' \to U$ een $\mathcal{C}^1$-diffeomorfisme tussen [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) verzamelingen van $\R^2$, zij $K \subseteq U$ een [compact](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) gebied dat in elementaire stukken is gesneden met $K' =
\Phi^{-1}(K)$, en zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op $K$. Dan is

$$
\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y
= \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\,
\abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 20.15.**

Het volledige bewijs — $\Phi$ door haar [differentiaal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#def-b2-diffcalc-differential) benaderen op een fijn rooster en de randcellen beheersen — is lang maar niet diep; het wordt [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete) uitgevoerd in de maattheorie van bachelorjaar 3, als gevolg van de theorie van Lebesgue. De heuristiek is het beeld dat al voor de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) van een oppervlak werd gebruikt: een klein vierkant met zijde $\dd u$ in $(u, v)$ wordt tot op eerste orde afgebeeld op het parallellogram opgespannen door $\Phi_u\,\dd u$ en $\Phi_v\,\dd v$, waarvan de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ is ([Lemma 19.18](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/19-oppervlakken#lem-b2-surfaces-lagrange)).

**Opmerking 20.16 (Methode: de verandering van veranderlijken kiezen).**

Drie reflexen dekken de meeste gevallen. *Symmetrie van de integrand*: $x^2 + y^2$ roept om poolcoördinaten, een productstructuur roept om het behouden van de cartesische assen. *Vorm van de rand*: randen $u(x,y) = c_1$, $v(x,y) = c_2$ smeken om de coördinaten $(u, v)$ zelf, zoals in het voorbeeld met het hyperbolische gebied hieronder — het gebied wordt een rechthoek, en dat is de hele overwinning. *Lineaire structuur*: uitdrukkingen in $x + y$ en $x - y$ nodigen uit tot de rotatie over $45$ graden of tot een afschuiving ([Voorbeeld 20.18](#ex-b2-multint-affine)). In alle gevallen zijn er drie hokjes aan te vinken voordat je integreert: de afbeelding is een bijectie van het nieuwe gebied op het oude; haar jacobideterminant wordt berekend *in de richting die werkelijk wordt gebruikt* (inverteer op het einde als dat gemakkelijker is); en de jacobideterminant komt binnen met haar absolute waarde.

**Voorbeeld 20.17 (Poolcoördinaten).**

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ heeft

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\
\sin\alpha & \rho\cos\alpha
\end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = \rho ,
$$

dus $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$. Voor de schijf $D_R$ met straal $R$:

$$
\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr)
\xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .
$$

Vergelijken met het vierkant $[-R, R]^2$ (dat tussen de schijven $D_R$ en $D_{R\sqrt2}$ geklemd zit, met overal positieve integranden) geeft $\bigl(\int_{-\infty}^\infty
e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$:

$$
\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }
$$

— opnieuw de integraal van Gauss, nu met haar beroemdste bewijs (vergelijk de afleiding in één veranderlijke in [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration)).

**Voorbeeld 20.18 (Affiene veranderingen van veranderlijken).**

Voor een [affiene afbeelding](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/17-affiene-ruimten#def-b2-affine-subspace) $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ met $M$ inverteerbaar is de [jacobimatrix](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#def-b2-diffcalc-differential) de constante matrix $M$: [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/19-oppervlakken#def-b2-surfaces-area) worden vermenigvuldigd met de constante factor $\abs{\det M}$ — de belofte uit [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/17-affiene-ruimten#ch-b2-affine) is nu een stelling. Twee onmiddellijke toepassingen. De ellips $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ is het beeld van de eenheidsschijf onder $(u, v) \mapsto (au, bv)$, dus is haar [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $ab \cdot \pi$ — zonder berekening. En voor de integraal van $f(x + y)$ over het vierkant $K = \intcc01^2$ maakt de afschuiving $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ ([determinant](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/2-lineaire-algebra#def-b2-linalg-det) $1$) er een integraal van $f(u)$ over een parallellogram van, dat Fubini bij constante $u$ in schijven snijdt: met $f = \exp$,

$$
\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y
= \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,
$$

zoals de productstructuur bevestigt. Coördinaten kiezen die bij de integrand passen — niet bij het gebied — is de andere helft van het vak.

**Voorbeeld 20.19 (Coördinaten aangepast aan een kromlijnig gebied).**

Zij $D$ het gebied in het eerste kwadrant begrensd door de hyperbolen $xy = 1$ en $xy = 3$ en de rechten $y = x$ en $y = 3x$. In de coördinaten $u = xy$, $v = y/x$ wordt het gebied het vierkant $\intcc13 \times \intcc13$; inverteren geeft

$$
x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv},
\qquad
\det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}
$$

(een berekening van twee regels met $x = u^{1/2}v^{-1/2}$, $y =
u^{1/2}v^{1/2}$). Bijgevolg is

$$
\operatorname{Area}(D)
= \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v}
= 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .
$$

$D$ in cartesische coördinaten in schijven snijden betekent haar in drie stukken met hyperbolische en lineaire randen snijden — haalbaar, vreugdeloos en foutgevoelig. De moraal herhaalt [Voorbeeld 20.18](#ex-b2-multint-affine) in volle kracht: lees de randvergelijkingen, en laat *hen* de coördinaten kiezen; de jacobideterminant zet dan de celoppervlakte van het kromlijnige rooster om, precies zoals $\rho$ dat voor poolcoördinaten deed.

**Voorbeeld 20.20 (Gemiddelde waarden).**

De *gemiddelde waarde* van $f$ over een gebied $D$ is $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$. Voorbeeld: de gemiddelde afstand tot het middelpunt voor een uniform gekozen punt van de schijf met straal $R$ is

$$
\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R
\rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,
$$

niet $R/2$: een uniforme [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) legt meer massa bij grote stralen (de ring op straal $\rho$ heeft gewicht evenredig met $\rho$), zodat het gemiddelde voorbij het halverwegepunt ligt. Deze factor juist krijgen is precies de jacobiaan van de poolcoördinaten aan het werk, en dezelfde weging verklaart het zwaartepunt $\bar z
= 3R/8$ van de halve bol dat verderop in het hoofdstuk wordt berekend, in plaats van $R/2$.

## 20.3 De stelling van Green–Riemann

**Stelling 20.21 (Green–Riemann).**

Zij $K \subseteq \R^2$ een [compact](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) gebied dat in beide richtingen elementair is (of een eindige vereniging van zulke gebieden, langs segmenten aaneengelijmd), met als rand $\partial K$ een stuksgewijs $\mathcal{C}^1$ [gesloten](#def-b2-multint-exact) kromme, georiënteerd *tegen de wijzers van de klok in* (het gebied blijft links). Voor $P, Q$ van klasse $\mathcal{C}^1$ op een omgeving van $K$ geldt

$$
\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y
= \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}
- \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .
$$

**Bewijs.** Ten eerste zijn beide leden additief wanneer $K$ langs een segment in twee stukken $K_1, K_2$ wordt gesneden: de dubbele integralen tellen op wegens de additiviteit van $\iint$; en wat de randintegralen betreft, doorlopen de randen van $K_1$ en $K_2$ tegen de wijzers van de klok in de inwendige snede elk eenmaal, in *tegengestelde* richtingen, zodat in de som

$$
\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2}
= \oint_{\partial K} + (\text{de snede, in beide richtingen})
= \oint_{\partial K},
$$

de twee passages langs de snede elkaar opheffen ([Propositie 20.2](#prop-b2-multint-lineinv)) en alleen de buitenrand overblijft. Door eindig veel sneden te herhalen, volstaat het een [elementair gebied](#def-b2-multint-domain) te behandelen. Wij bewijzen $\oint P\,\dd x =
-\iint_K P_y$ op een $y$-elementair gebied $D = \{a \leq x \leq
b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$; de identiteit $\oint
Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ is [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) ($x$-elementair), en de stelling is hun som.

Bereken de dubbele integraal met Fubini en de hoofdstelling in één veranderlijke:

$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y
= \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr)
\,\dd x .
$$

Nu bestaat de rand van $D$, tegen de wijzers van de klok in, uit: de onderste grafiek $y = \varphi_1(x)$ van links naar rechts doorlopen, het rechtse verticale segment $x = b$ (omhoog), de bovenste grafiek $y = \varphi_2(x)$ *van rechts naar links* doorlopen, en het linkse verticale segment $x = a$ (omlaag). Langs de verticale segmenten is $x$ constant, dus dragen zij $0$ bij aan $\oint P\,\dd x$; de grafieken, geparametriseerd met $x$, geven

$$
\oint_{\partial D} P\,\dd x
= \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x
- \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x
= -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y .
\qedhere
$$

∎

**Gevolg 20.22 (Oppervlakte via de rand).**

Onder de hypothesen van [Stelling 20.21](#thm-b2-multint-green) is

$$
\operatorname{Area}(K)
= \oint_{\partial K} x\,\dd y
= -\oint_{\partial K} y\,\dd x
= \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .
$$

**Bewijs.** Pas Green–Riemann toe op $(P, Q) = (0, x)$, $(-y, 0)$ en $\frac12(-y, x)$: telkens is $Q_x - P_y = 1$. ∎

**Opmerking 20.23 (Kiezen tussen de drie oppervlakteformules).**

De drie randformules zijn gelijk, maar in de praktijk niet onderling verwisselbaar. Gebruik $\oint x\,\dd y$ wanneer de parametrisering $\dd y$ eenvoudig maakt (grafieken boven de $y$-as), $-\oint y\,\dd x$ [symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint), en de [symmetrische](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) halve som wanneer de parametrisering $x$ en $y$ gelijk behandelt — voor de ellips leverde zij een constante integrand op, zonder enige goniometrische linearisatie. Op veelhoekige randen wordt de halve som de veterformule van [Oefening 20.12](#exo-b2-multint-12), het algoritme van de landmeters. En wordt de rand door de gegeven parametrisering met de wijzers van de klok mee doorlopen, dan geven alle drie de formules *min* de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain): een negatief resultaat is geen rekenfout maar een melding over de oriëntatie — keer het teken om, of de parametrisering.

**Voorbeeld 20.24 (Oppervlakte van de ellips).**

Voor $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $t \in [0, 2\pi]$:

$$
\operatorname{Area}
= \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t
- b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t
= \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .
$$

**Voorbeeld 20.25 (Green–Riemann als kruiscontrole).**

Neem $P = -y^3$, $Q = x^3$ op de [gesloten](#def-b2-multint-exact) eenheidsschijf $D$. De randkant, met $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$:

$$
\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t
= 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,
$$

door lineariseren ($\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 +
\tfrac14\cos4t$). De inwendige kant:

$$
\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y
= \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y
= 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha
= \frac{3\pi}2 .
$$

Hetzelfde getal, twee heel verschillende berekeningen — en dat is het praktische nut: welke kant van de identiteit van Green ook gemakkelijker is, wordt de berekening, en de andere de controle. Voor circulaties van veeltermvelden rond [gesloten](#def-b2-multint-exact) krommen is de dubbele integraal bijna altijd de gemakkelijke kant.

**Opmerking 20.26.**

Green–Riemann verklaart [Voorbeeld 20.8](#ex-b2-multint-angleform): voor een gesloten vorm ($Q_x = P_y$) verdwijnt de integraal rond de rand van elk gebied dat in $U$ bevat is. De hoekvorm faalt alleen omdat het gat in de oorsprong verhindert dat de schijf begrensd door de eenheidscirkel binnen $U$ ligt — lijnintegralen van gesloten vormen sporen de gaten van het gebied op. (Doorgedreven wordt deze waarneming de cohomologie van de Rham.)

## 20.4 Drievoudige integralen

De theorie breidt zich zonder enig nieuw idee uit tot drie veranderlijken: Fubini herleidt $\iiint$ tot drie integralen in één veranderlijke (ofwel door *in schijven te snijden*: $\iiint_K
f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ over de horizontale schijven $K_z$, ofwel door *te stapelen*: eerst naar $z$ integreren langs verticale staafjes), en de formule voor de verandering van veranderlijken geldt met de $3 \times 3$-jacobimatrix.

**Voorbeeld 20.27 (Cilinder- en bolcoördinaten).**

*Cilindrisch* $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha,
z)$: $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$. *Bolvormig* $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\
r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ($\theta$ de lengtegraad, $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ de breedtegraad): de $3
\times 3$-determinant langs de laatste rij ontwikkelen geeft

$$
\det J = r^2\cos\varphi ,
\qquad
\dd x\,\dd y\,\dd z
= r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .
$$

[Volume van de bol](#pb-b2-multint-1) met straal $R$:

$$
V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2}
r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r
= \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2
= \boxed{\frac43\pi R^3} ,
$$

waarmee eindelijk de formule wordt gekweten die in de volumehoofdstukken van de eerdere boeken werd aangenomen.

**Voorbeeld 20.28 (Het viervlak, tweemaal).**

Het volume van $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$, door stapelen: voor vaste $(x, y)$ in de driehoek $x + y \leq 1$ loopt $z$ over $\intcc0{1 - x - y}$, dus

$$
V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x
= \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .
$$

Door in schijven te snijden: de doorsnede op hoogte $z$ is de driehoek $\{x, y \geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$, met [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\frac{(1-z)^2}2$, en $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z =
\frac16$ opnieuw — de twee berekeningen zijn dezelfde integralen in een andere volgorde, en meer beweert Fubini niet. De waarde $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ is de kegelformule ([Voorbeeld 20.30](#ex-b2-multint-cone)) met driehoekige grondvlak, en de $n$-dimensionale versie $1/n!$ wordt in de weekendopgave met precies dit snijden bewezen.

**Voorbeeld 20.29 (Zwaartepunt van een halve bol).**

Voor de bovenste halve bol $H$ met straal $R$ ($z \geq 0$) is de hoogte van het zwaartepunt $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$, met $V =
\frac23\pi R^3$. In bolcoördinaten ($z = r\sin\varphi$, $\varphi
\in \intcc0{\pi/2}$):

$$
\iiint_H z
= \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta
\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi
= \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,
$$

dus

$$
\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :
$$

het evenwichtspunt van een massieve halve bol ligt op drie achtste van de straal boven het platte vlak — onder de halve hoogte $R/2$, zoals het moet, omdat het lichaam nabij het grondvlak dikker is. Elke berekening van een zwaartepunt heeft deze gedaante: één momentintegraal, één volume, één verhouding, en een controle op aannemelijkheid tegen de meetkunde.

**Voorbeeld 20.30 (Volume door in schijven te snijden: de kegel).**

Een kegel met grondvlak van [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $A$ en hoogte $h$ (top boven, grondvlak op $z = 0$): de schijf op hoogte $z$ is het grondvlak geschaald met de factor $(1 - z/h)$, met [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $A(1
- z/h)^2$. Bijgevolg is

$$
V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :
$$

het één derde van de schoolformules, geldig voor *elke* vorm van het grondvlak — in schijven snijden maakt er de integraal van een kwadraat van.

**Voorbeeld 20.31 (Drempels voor integreerbaarheid in het vlak).**

Voor welke $\alpha > 0$ convergeert $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd
x\,\dd y$ op de geperforeerde eenheidsschijf $D$ (als limiet over ringen $\varepsilon \leq \rho \leq 1$)? In poolcoördinaten is

$$
\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\,
\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,
$$

wat convergeert als $\varepsilon \to 0$ dan en slechts dan als $1 -
\alpha > -1$, dat wil zeggen $\alpha < 2$: in dimensie $2$ is de kritieke exponent van de singulariteit de dimensie zelf, waarbij de extra $\rho$ uit de jacobiaan de singulariteit met één macht verzacht. (Evenzo $\alpha < 3$ voor een puntsingulariteit in de ruimte, via $r^2$.) Deze radiale boekhouding is hoe de integreerbaarheid in het kader van Lebesgue van bachelorjaar 3 in één oogopslag wordt beslist — en zij is de reden waarom $\iiint
1/r$ in [Oefening 20.7](#exo-b2-multint-7) moeiteloos convergeerde.

**Opmerking 20.32 (Klassieke valkuilen).**

(i) *Oriëntatie*: een [lijnintegraal](#def-b2-multint-lineint) verandert van teken met de richting van het doorlopen, en Green–Riemann vereist de rand tegen de wijzers van de klok in (het gebied links); voor een gebied met een gat wordt de binnenrand *met* de wijzers van de klok mee doorlopen. (ii) *De jacobiaan komt binnen met een absolute waarde*: een verandering van veranderlijken brengt nooit een negatieve [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) voort, en $\abs{\det}$ vergeten keert gewoonlijk precies de tekens om wanneer de afbeelding de oriëntatie omkeert. (iii) *De poolfactor $\rho$*: $\dd x\,\dd y =
\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$, niet $\dd\rho\,\dd\alpha$ — de meest voorkomende fout van het hele hoofdstuk; dimensieanalyse vangt haar op, want $\dd\rho\,\dd\alpha$ heeft de dimensie van een [lengte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-length), niet van een [oppervlakte](#def-b2-multint-domain). (iv) *Oneigenlijke dubbele integralen*: de limieten over groeiende schijven en over groeiende vierkanten stemmen hier overeen omdat de integranden positief zijn (inklemmen); voor integranden die van teken wisselen kan de limiet van de uitputting afhangen, en zonder [absolute convergentie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) wordt niets beweerd. (v) *Gebieden tegenover integranden*: een productintegrand op een gebied dat geen product is, ontbindt de integraal *niet* — de ontbinding heeft beide nodig, zoals bij het vierkant van [Voorbeeld 20.17](#ex-b2-multint-polar).

**Opmerking 20.33 (Vooruitblik binnen dit volume).**

De integraal van Gauss die hier wordt berekend, zit stilzwijgend overal in de kanshoofdstukken: de constante $\sqrt\pi$ binnen de formule van Stirling ([Stelling 6.13](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#thm-b2-comparison-stirling)) is de integraal van dit hoofdstuk, en via Stirling legt zij de asymptoten $1/\sqrt{\pi n}$ vast van de terugkeerkansen van de toevalswandeling in [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#ch-b2-proba). Ook de [integralen van Wallis](#pb-b2-multint-1) uit de weekendopgave duiken daar op en drijven dezelfde schattingen van de centrale binomiaalcoëfficiënten aan. In de andere richting maken de oppervlakte- en volume-elementen van dit hoofdstuk de meetkunde van [Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/19-oppervlakken#ch-b2-surfaces) af, en de [formule van Green](#pb-b2-multint-1) berekent de [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/19-oppervlakken#def-b2-surfaces-area) van de [omhullenden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#pb-b2-curves-1) van [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#ch-b2-curves) opnieuw (de [astroïde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#pb-b2-curves-1), in [Oefening 20.5](#exo-b2-multint-5)). Eén hoofdstuk, drie diensten: maat voor de meetkunde, constanten voor de kansrekening, en de discipline van de verandering van veranderlijken voor beide.

## 20.5 Oefeningen

**Oefening 20.1 ★.**

Bereken $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ langs: (a) het segment van $(0,0)$ naar $(1,1)$; (b) de paraboolboog $y = x^2$ van $(0,0)$ naar $(1,1)$. Is de vorm [exact](#def-b2-multint-exact)?

**Oplossing van Oefening 20.1.**

(a) Segment $\gamma(t) = (t, t)$, $t \in [0,1]$:

$$
\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y
= \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .
$$

(b) Parabool $\gamma(t) = (t, t^2)$:

$$
\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t
= \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .
$$

De twee waarden verschillen, dus hangt de integraal van het pad af: de vorm is *niet* [exact](#def-b2-multint-exact) — daarmee in overeenstemming is $P_y
= 2y \neq 1 = Q_x$, zodat zij niet eens [gesloten](#def-b2-multint-exact) is.

**Oefening 20.2 ★.**

Toon aan dat $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd
y$ [gesloten](#def-b2-multint-exact) is op $\R^2$, bepaal een [potentiaal](#def-b2-multint-exact), en bereken $\int_\gamma\omega$ langs een willekeurige boog van $(0, 0)$ naar $(1, 2)$.

**Oplossing van Oefening 20.2.**

$P = 2xy + y^3$, $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$: $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$, [gesloten](#def-b2-multint-exact) op $\R^2$. Zoek $f$ met $f_x = P$: $f = x^2y + xy^3 +
g(y)$; dan dwingt $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ af dat $g'(y) =
1$, zeg $g(y) = y$. Dus is

$$
f(x, y) = x^2y + xy^3 + y
$$

een [potentiaal](#def-b2-multint-exact) ($\R^2$ is stervormig, dus moest er volgens het lemma van Poincaré een [potentiaal](#def-b2-multint-exact) bestaan — maar hem aanwijzen gaat sneller). Volgens [Stelling 20.6](#thm-b2-multint-ftc) is voor elke boog van $(0,0)$ naar $(1,2)$

$$
\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .
$$

**Oefening 20.3 ★.**

Bereken $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$, waarbij $D$ het gebied is begrensd door $y = x^2$ en $y = x$ ($0 \leq x \leq 1$), in beide volgorden van integratie.

**Oplossing van Oefening 20.3.**

Het gebied is $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$. Eerst $y$:

$$
\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x
= \int_0^1\Bigl(x(x - x^2)
+ \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x
= \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x
= \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .
$$

Eerst $x$: de schijf op hoogte $y \in [0, 1]$ is $y \leq x \leq
\sqrt y$, dus

$$
\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y
= \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2}
+ y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y
= \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .
$$

**Oefening 20.4 ★★.**

Bereken met poolcoördinaten $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 +
y^2)^2}$ over het hele vlak (als limiet over schijven), en $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ over de kwartschijf $D' = \{x, y \geq
0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$.

**Oplossing van Oefening 20.4.**

*Eerste integraal.* Op de schijf $D_R$, in poolcoördinaten:

$$
\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R
\frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2}
= 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R
= \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr)
\xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .
$$

*Tweede integraal.* De kwartschijf is $0 \leq \alpha \leq
\frac\pi2$, $0 \leq \rho \leq 1$, en $xy =
\rho^2\cos\alpha\sin\alpha$:

$$
\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y
= \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha
\int_0^1 \rho^3\,\dd\rho
= \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .
$$

**Oefening 20.5 ★★.**

Bereken de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) omsloten door de [astroïde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#pb-b2-curves-1) $x = \cos^3 t$, $y
= \sin^3 t$, $t \in [0, 2\pi]$, met [Gevolg 20.22](#cor-b2-multint-area). *(Lineariseer $\sin^2 t\cos^2 t$.)*

**Oplossing van Oefening 20.5.**

Volgens [Gevolg 20.22](#cor-b2-multint-area) met $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3
t$: $x' = -3\cos^2 t\sin t$, $y' = 3\sin^2 t\cos t$, dus

$$
xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t
= 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t
= \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .
$$

Bijgevolg is

$$
A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t
= \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .
$$

(De [astroïde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#pb-b2-curves-1) past in de eenheidsschijf met [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\pi$; drie achtste van $\pi$ is aannemelijk voor haar stervorm met vier keerpunten.)

**Oefening 20.6 ★★.**

Bereken het volume van het lichaam dat onder wordt begrensd door de paraboloïde $z = x^2 + y^2$ en boven door het vlak $z = 1$, met beide methoden: stapelen (integreer $1 - x^2 - y^2$ over de eenheidsschijf, poolcoördinaten) en in schijven snijden (de horizontale schijven zijn schijven met straal $\sqrt z$).

**Oplossing van Oefening 20.6.**

*Stapelen:* boven elke $(x, y)$ van de eenheidsschijf $D$ loopt $z$ van $x^2 + y^2$ tot $1$:

$$
V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y
= \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha
= 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .
$$

*In schijven snijden:* de schijf op hoogte $z \in [0, 1]$ is de schijf $x^2 + y^2 \leq z$, met [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\pi z$:

$$
V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .
$$

**Oefening 20.7 ★★.**

(Zwaartekrachtige aantrekking van een bol — de stelling van Newton, bijzonder geval) Toon aan dat het volume van de bolschil $a
\leq r \leq b$ gelijk is aan $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ en bereken $\iiint_{B} \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ over de bol $B$ met straal $R$ ($r$ de afstand tot de oorsprong). *(Bolcoördinaten.)*

**Oplossing van Oefening 20.7.**

In bolcoördinaten is het volume-element $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ ([Voorbeeld 20.27](#ex-b2-multint-spherical)), en het hoekgedeelte integreert tot $4\pi$ ($2\pi$ uit $\theta$, $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$). Het volume van de schil is

$$
\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).
$$

Voor de tweede integraal hangt de integrand $1/r$ alleen van $r$ af:

$$
\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}
= \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r
= 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .
$$

(De integrand explodeert in de oorsprong, maar onschadelijk: $r^2/r = r$ is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) — de integraal over de schillen $\varepsilon \leq r \leq R$ convergeert als $\varepsilon \to 0$, en dat is de precieze zin van de uitspraak. Dit soort berekening is de eerste stap naar de stelling van Newton dat een homogene bol aantrekt als een puntmassa in haar middelpunt.)

**Oefening 20.8 ★★★.**

(Lemma van Poincaré, stervormig geval) Zij $U$ stervormig ten opzichte van $0$ (dat wil zeggen $M \in U \Rightarrow [0, M]
\subseteq U$) en $\omega = P\dd x + Q\dd y$ een [gesloten](#def-b2-multint-exact) $\mathcal{C}^1$-vorm op $U$. Definieer

$$
f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .
$$

Toon met differentiatie onder het integraalteken ([Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration)) en $P_y = Q_x$ aan dat $f_x = P$ en $f_y
= Q$: elke gesloten vorm op een stervormige [open](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) verzameling is [exact](#def-b2-multint-exact).

**Oplossing van Oefening 20.8.**

De integrand $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ is $\mathcal{C}^1$ in $(x, y)$ en [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) in $t$, met partiële afgeleiden die [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) zijn op $[0,1] \times U$; differentiatie onder het integraalteken ([Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration), toegepast op het [compacte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-compact) $t$-interval $[0,1]$, waar de dominatie vanzelf geldt) geeft

$$
f_x(x, y)
= \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty)
+ ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .
$$

Met de geslotenheid $Q_x = P_y$:

$$
tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty)
= t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,
$$

dus is de integrand $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) =
\frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ en

$$
f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .
$$

[Symmetrisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/12-kwadratische-vormen#def-b2-quadratic-adjoint) is $f_y = Q$ (dezelfde berekening met $P_y = Q_x$ in de andere richting gebruikt). Merk op waar de hypothese binnenkomt: $f$ is gedefinieerd door langs het segment $[0, M]$ te integreren, dat precies in $U$ ligt omdat $U$ stervormig is.

**Oefening 20.9 ★★★.**

(De integraal van Dirichlet via dubbele integratie) Verantwoord en buit uit

$$
\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x
\quad\text{tegenover}\quad
\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y
$$

op $[0, A] \times [0, \infty)$: toon aan dat $\int_0^A \frac{\sin
x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A +
\cos A}{1 + y^2}\dd y$ en vind $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd
x = \frac\pi2$ terug, in vergelijking met het bewijs via [parameterintegralen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#thm-b2-integration-continuity) uit [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration).

**Oplossing van Oefening 20.9.**

Op de strook $[0, A] \times [0, \infty)$ is de functie $(x, y)
\mapsto e^{-xy}\sin x$ niet in naïeve zin uniform [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) integreerbaar tot $y = \infty$, maar elke herhaalde integraal convergeert en hun gelijkheid volgt uit Fubini op $[0, A] \times
[0, B]$ plus een limiet $B \to \infty$ (de staart $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq
\int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx}
\dd x\to 0$, met $\abs{\sin x} \leq x$).

*Eerst $y$:* $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ voor $x
> 0$, dus is de eerste integraal $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd
x$.

*Eerst $x$:* twee partiële integraties (of het imaginaire deel van $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$ nemen) geven

$$
\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x
= \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .
$$

Naar $y$ integreren over $[0, \infty)$ zondert de term $\int_0^\infty \frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ af:

$$
\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x
= \frac{\pi}{2}
- \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .
$$

De rest wordt begrensd door $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 +
y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y
\to 0$ als $A \to \infty$ (gedomineerde convergentie, of de ruwe grens $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$ die $\frac{3}{2A}$ geeft). Bijgevolg is $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x =
\frac\pi2$ — dezelfde waarde als die in [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration) werd verkregen door een [parameterintegraal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#thm-b2-integration-continuity) te differentiëren; hier doet Fubini het werk.

**Oefening 20.10 ★★★.**

(Isoperimetrische ongelijkheid via Wirtinger) Zij $\gamma$ een enkelvoudige [gesloten](#def-b2-multint-exact) $\mathcal{C}^1$-kromme met [lengte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-length) $2\pi$, geparametriseerd naar [booglengte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-length) op $[0, 2\pi]$, die de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $A$ omsluit. Bewijs met [Gevolg 20.22](#cor-b2-multint-area), Parseval en de ongelijkheid van Wirtinger (oefeningen van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/14-fourierreeksen#ch-b2-fourier)) dat $A \leq \pi$, met gelijkheid voor de cirkel. *(Normaliseer $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$; schrijf $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd
x$ en begrens $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ zorgvuldig via $2A =
\int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ en $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$.)*

**Oplossing van Oefening 20.10.**

Parametriseer naar [booglengte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-length) $s \in [0, 2\pi]$, zodat $x'^2 +
y'^2 = 1$, en transleer zo dat $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$. Volgens [Gevolg 20.22](#cor-b2-multint-area) is

$$
2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x
= \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .
$$

$\oint y\,\dd x$ partieel integreren over de periode (de randtermen heffen elkaar op wegens de periodiciteit) geeft $-\int yx' = \int
y'x$, dus is in feite $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$. Dan geeft $2xy' \leq x^2 + y'^2$ dat

$$
2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s
= \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr)
= 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .
$$

De ongelijkheid van Wirtinger (oefeningen van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/14-fourierreeksen#ch-b2-fourier): voor een $2\pi$-periodieke $\mathcal{C}^1$-functie met gemiddelde nul is $\int x^2 \leq \int
x'^2$) maakt de laatste integraal niet-negatief: $A \leq \pi$. Gelijkheid vereist gelijkheid in Wirtinger ($x(s) = a\cos s + b\sin
s$) en in $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ($y' = x$ puntsgewijs), wat $y =
a\sin s - b\cos s + c$ afdwingt: de kromme is de eenheidscirkel (passend gecentreerd). Omdat een kromme met [lengte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-length) $L$ tot [lengte](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-length) $2\pi$ herschaalt, luidt de algemene uitspraak $A \leq
\frac{L^2}{4\pi}$: van alle [gesloten](#def-b2-multint-exact) krommen met gegeven omtrek omsluit de cirkel de grootste [oppervlakte](#def-b2-multint-domain).

**Oefening 20.11 ★★.**

(Momenten van de bol) Bereken voor de bol $B$ met straal $R$ in $\R^3$ de integraal $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ in bolcoördinaten, en leid met de symmetrie $\iiint_B (x^2 + y^2 +
z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ af. Toets de laatste aan de berekening met schillen $\int_0^R r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$.

**Oplossing van Oefening 20.11.**

In bolcoördinaten is $z = r\sin\varphi$ en $\dd x\,\dd y\,\dd z =
r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$:

$$
\iiint_B z^2
= \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi
= \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot
\Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= \frac{4\pi R^5}{15}.
$$

Wegens de symmetrie van de bol onder het permuteren van de coördinaten is $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$, dus $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi
R^5}5$. Controle met schillen: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r =
\frac{4\pi R^5}5$ — de integrand $r^2$ is constant op de bol met straal $r$, die [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $4\pi r^2$ heeft.

**Oefening 20.12 ★★.**

(Veterformule) Zij $K$ een veelhoek met hoekpunten $(x_1, y_1),
\dots, (x_m, y_m)$ tegen de wijzers van de klok in geordend (indices modulo $m$). Leid uit [Gevolg 20.22](#cor-b2-multint-area) af dat

$$
\operatorname{Area}(K)
= \frac12\sum_{i=1}^m
\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,
$$

en ga de formule na op de driehoek $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$.

**Oplossing van Oefening 20.12.**

Parametriseer de zijde van $(x_i, y_i)$ naar $(x_{i+1}, y_{i+1})$ met $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i +
ty_{i+1}\bigr)$. Haar bijdrage aan $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd
x)$ is

$$
\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i +
tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i +
ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,
$$

en omdat $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$, is dit gelijk aan

$$
\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i +
y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr)
= \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),
$$

waarbij de kruistermen wegvallen. Sommeren over de $m$ zijden geeft volgens [Gevolg 20.22](#cor-b2-multint-area) de veterformule. Driehoek $(0,0), (1,0), (0,1)$: $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) +
(1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$, de juiste [oppervlakte](#def-b2-multint-domain).

## 20.6 Probleem: het volume van de bol in dimensie $n$

**Probleem 20.1.**

Weekendopgave — $V_n =
\pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$, en de vreemdheid van hoge dimensies

De schijf heeft [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\pi$, de bol volume $\frac43\pi$ — en dan? Deze opgave berekent het volume van de eenheidsbol van $\R^n$ voor elke $n$, tweemaal (met een recursie door in schijven te snijden, aangedreven door de [integralen van Wallis](#pb-b2-multint-1), en daarna met de $\Gamma$-functie en de integraal van Gauss uit [Voorbeeld 20.17](#ex-b2-multint-polar)), en leest daarna de meetkunde af: de volumes pieken in dimensie vijf en snellen naar nul, en bijna heel een hoogdimensionale bol verbergt zich in een dunne schil nabij haar rand. Voor een [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) functie op een bol van $\R^n$ wordt de integraal opgevat als de $n$-voudig herhaalde integraal (één coördinaat tegelijk in schijven gesneden, als in het hoofdstuk voor $n \leq
3$); wij schrijven $B_n(R)$ voor de [gesloten](#def-b2-multint-exact) bol met straal $R$ en middelpunt $0$, $v_n(R)$ voor haar volume, en $V_n = v_n(1)$, met $V_0 = 1$ per afspraak.

**Deel I — De recursie door in schijven te snijden.**

1. Toon met de substitutie $x_i = Ru_i$ in elk van de $n$ herhaalde integralen aan dat $v_n(R) = V_nR^n$ .
2. Toon, door $B_n(1)$ langs haar laatste coördinaat in schijven te snijden, aan dat $$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 -  t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$$
3. Identificeer met $t = \sin\theta$ de integraal als een integraal van Wallis: $\int_{-1}^1(1 -  t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , met $W_n =  \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta =  \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
4. Bewijs de twee identiteiten van Wallis (partieel integreren; dan $nW_nW_{n-1}$ telescoperen): $$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2),  \qquad  W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$$

**Deel II — De recursie opgelost.**

5. Combineer de vragen 2–4 tot de recursie met twee stappen $$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2}  \qquad (n \geq 2).$$
6. Leid de gesloten vormen af, voor $k \geq 0$: $$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!},  \qquad  V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots  (2k+1)} .$$
7. Zet $V_1, \dots, V_7$ numeriek in een tabel. Bewijs met de verhouding $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ en de waarden van $2W_5$ en $2W_6$ dat de rij $(V_n)$ stijgt tot haar maximum $V_5 =  \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ en daarna daalt.
8. Toon aan dat $V_n \to 0$ sneller dan elke meetkundige rij, en dat $\sum_{n\geq1} V_n$ convergeert: alle eenheidsbollen samen hebben een eindig totaal volume.
9. Bewijs de voortbrengende identiteit $$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2}  \qquad (x \in \R),$$ en leid af dat $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx  23.14$.

**Deel III — Tweede weg: $\Gamma$ en de integraal van Gauss.**

10. Toon met Fubini aan (de integrand is een product) dat $$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm  x^2}\dd x  = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}  \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$$ de $n$-dimensionale integraal van Gauss, opgevat als een limiet over kubussen $\intcc{-R}{R}^n$.
11. Herinner je $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd  t$ ([Definitie 9.17](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#def-b2-integration-gamma)). Bereken uit $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ ([Stelling 9.18](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#thm-b2-integration-gammaprops)) en $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (substitueer $t = u^2$ en roep de integraal van Gauss in): $$\Gamma(k + 1) = k!,  \qquad  \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) =  \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$$
12. Bewijs met inductie via de recursie van vraag 5 de ene formule $$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 +  1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$$ en ga na dat zij beide gesloten vormen van vraag 6 reproduceert.
13. Toon aan dat $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r =  \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ en leid de identiteit $$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r$$ af. Interpreteer haar: de gaussische massa van $\R^n$ wordt verzameld langs bolschillen waarvan de “$(n-1)$-dimensionale [oppervlakte](#def-b2-multint-domain)” op straal $r$ gelijk is aan $nV_nr^{n-1}$ — beide leden zijn nu onafhankelijk bewezen, dus de interpretatie kost niets.
14. Zet $s_{n-1} = nV_n$ (de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) van de eenheidssfeer $S^{n-1}$ , in overeenstemming met $v_n(R) = \int_0^R  s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Zet $s_0, \dots, s_3$ in een tabel en ga na dat $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

**Deel IV — Hoge dimensies zijn vreemd.**

15. Toon met de formule van Stirling ([Stelling 6.13](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#thm-b2-comparison-stirling)) toegepast op $k!$ aan dat voor even $n = 2k$ $$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}  \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2}  \qquad (n \to \infty, \ n \text{ even}),$$ en leg uit waarom dezelfde grens van supermeetkundig verval zich via de recursie uitbreidt tot oneven $n$.
16. De eenheidsbol ligt in de kubus $\intcc{-1}1^n$ met volume $2^n$ . Bereken de vulverhouding $V_n/2^n$ voor $n = 2, 3,  10$ , en toon aan dat zij naar $0$ streeft: in hoge dimensie ligt vrijwel de hele kubus in haar hoeken.
17. Toon aan dat het aandeel van $v_n(1)$ dat binnen afstand $\varepsilon$ van de randsfeer ligt, gelijk is aan $1 - (1  - \varepsilon)^n \to 1$ ; welk aandeel van een bol in $100$ dimensies ligt numeriek in de buitenschil met dikte $1\%$ ?
18. Bewijs de asymptotiek van Wallis $W_n \sim  \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ *(de monotonie van $(W_n)$, de verhouding $W_n/W_{n-2} \to 1$, en $W_nW_{n-1} =  \frac\pi{2n}$)* , en de ondergrens $W_n \geq  \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ voor alle $n$ .
19. (Concentratie op een plak) Het aandeel van de eenheidsbol met eerste coördinaat voorbij $\delta$ is $\int_\delta^1(1  - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$. Toon met $1 -  u \leq \eu^{-u}$ en de staartgrens $\int_\delta^\infty  \eu^{-a x^2}\dd x \leq \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$ aan dat dit aandeel hoogstens $$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta}  \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$$ is, en besluit: voor $\delta = s/\sqrt{n-1}$ ligt op een aandeel $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ na de hele bol in de plak $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$. Een bol van hoge dimensie is statistisch een dunne pannenkoek, in alle richtingen tegelijk.
20. Zet de vragen 16–19 in elkaar tot één alinea: waar het volume van $B_n(1)$ zit (nabij de randsfeer, en toch binnen plakken van dikte $O(1/\sqrt n)$ van elk hypervlak door het middelpunt), en waarom deze twee uitspraken elkaar niet tegenspreken.

**Deel V — Andere lichamen, en synthese.**

21. (Simplex) Zij $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum  x_i \leq 1\}$ . Toon met in schijven snijden en inductie aan dat $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
22. (Kruispolytoop) Leid af dat $C_n = \{x : \sum\abs{x_i} \leq  1\}$ volume $\frac{2^n}{n!}$ heeft, en ga de insluiting $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ op het niveau van de volumes na: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq  2^n$ .
23. Bereken $V_4$ op een derde manier: snijd $\R^4 = \R^2  \times \R^2$ in schijven, integreer de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) van de $(z, w)$ -schijf over de $(x, y)$ -schijf in poolcoördinaten, en vind $V_4 = \frac{\pi^2}2$ terug.
24. (Monte Carlo in moeilijkheden) Er wordt uniform een punt getrokken in de kubus $\intcc{-1}1^{20}$ . Toon aan dat de kans dat het in de ingeschreven bol belandt gelijk is aan $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , zodat er ongeveer veertig miljoen trekkingen nodig zijn voordat de eerste treffer wordt verwacht: $V_n$ schatten met verwerpende steekproeven stort in hoge dimensie in (de vloek van de dimensionaliteit).
25. Synthese. Twee onafhankelijke afleidingen ontmoetten elkaar in $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : som op welke stelling van dit hoofdstuk elk ervan gebruikte (Fubini, de verandering van veranderlijken, de integraal van Gauss in poolcoördinaten), en welke ingrediënten uit één veranderlijke (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). Waar doet het volume van bachelorjaar 3 deze berekening opnieuw met de theorie van Lebesgue, en wat voegt zij toe?

**Oplossing van Probleem 20.1.**

**1.** De bol $B_n(R)$ wordt beschreven door de herhaalde grenzen $-R \leq x_n \leq R$, dan $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 -
x_n^2}$, enzovoort; $x_i = Ru_i$ substitueren in elk van de $n$ integralen in één veranderlijke vermenigvuldigt elke met $R$ en beeldt de grenzen af op die van $B_n(1)$: $v_n(R) = R^n\,v_n(1) =
V_nR^n$.

**2.** In schijven snijden langs $x_n = t$: de schijf van $B_n(1)$ is de bol $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$, dus is volgens vraag 1

$$
V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t
= V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .
$$

**3.** Met $t = \sin\theta$, $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ en $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ op $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$:

$$
\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t
= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,
$$

en $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ verwisselt de sinus- en de cosinusvorm van $W_n$.

**4.** Schrijf $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ en integreer $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ partieel ($v =
\frac{\sin^{n-1}}{n-1}$):

$$
W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1}
\quad\Longrightarrow\quad
W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.
$$

Bijgevolg is $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$: de rij $(nW_nW_{n-1})$ is constant, gelijk aan $1\cdot W_1W_0 =
1\cdot\frac\pi2$, dus $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$.

**5.** De vragen 2–3 geven $V_n = 2W_nV_{n-1}$, tweemaal:

$$
V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2}
= 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.
$$

**6.** Uit $V_0 = 1$: $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2} =
\frac\pi kV_{2k-2}$, dus $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ met inductie. Uit $V_1 = 2$: $V_{2k+1} = \frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$, dus

$$
V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1}
= \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .
$$

**7.** $V_1 = 2$, $V_2 = \pi \approx 3.142$, $V_3 =
\frac{4\pi}3 \approx 4.189$, $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$, $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$, $V_6 = \frac{\pi^3}6
\approx 5.168$, $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$. De verhouding met één stap is $V_n/V_{n-1} = 2W_n$, en $(W_n)$ is dalend ($\sin^n \leq \sin^{n-1}$ puntsgewijs). Nu is $2W_5 =
2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$ terwijl $2W_6 =
2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 =
\frac{5\pi}{16} < 1$: de verhoudingen zijn groter dan $1$ tot en met $n = 5$ en kleiner dan $1$ vanaf $n = 6$ — $(V_n)$ stijgt tot haar maximum $V_5$ en daalt daarna.

**8.** Voor $n \geq 13 > 4\pi$ is $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n <
\tfrac12$, dus $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ met een vaste constante; sterker nog, voor elke $q > 0$ is $2\pi/n < q^2$ voor grote $n$, dus $V_n/q^n \to 0$: het verval verslaat elke meetkundige rij. De convergentie van $\sum V_n$ volgt uit de verhouding $V_n/V_{n-2} \to 0$ (vanaf een zekere rang met een meetkundige reeks vergelijken).

**9.** $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi
x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$, de exponentiële reeks ([Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries)), convergent voor elke $x$. In $x = 1$: $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$.

**10.** Op de kubus $\intcc{-R}R^n$ is de integrand het product $\prod_i\eu^{-x_i^2}$, dus ontbindt de herhaalde integraal: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$. Met $R \to \infty$ en $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ ([Voorbeeld 20.17](#ex-b2-multint-polar)): $I_n = \pi^{n/2}$.

**11.** $t = u^2$ geeft $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty
t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$. $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ herhalen: $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) =
k!$, en

$$
\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr)
= \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots
\frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)
= \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .
$$

**12.** Zet $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$. Omdat $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac
n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$, is $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$: dezelfde recursie als voor $V_n$ (vraag 5). Basisgevallen: $F_1 =
\sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ en $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$. Met inductie is $V_n = F_n$ voor alle $n$; vraag 11 zet dit terug om in de twee gesloten vormen van vraag 6.

**13.** Met $r = \sqrt t$: $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd
r = \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t =
\frac12\Gamma(\frac n2)$. Bijgevolg is

$$
n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r
= V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr)
= V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .
$$

Omdat beide leden bewezen zijn, kan de identiteit worden *gelezen* als de ontbinding in schillen van de integraal van Gauss: de sfeer met straal $r$ draagt [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $nV_nr^{n-1}$, en het gaussische gewicht $\eu^{-r^2}$ wordt over de schillen geïntegreerd.

**14.** $s_0 = V_1 = 2$ (de $0$-sfeer bestaat uit twee punten), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$, $s_2 = 3V_3 = 4\pi$, $s_3 = 4V_4 =
2\pi^2$; en $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$: de [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) is de radiale afgeleide van het volume.

**15.** Voor $n = 2k$ geeft Stirling ([Stelling 6.13](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#thm-b2-comparison-stirling)) dat $k! \sim \sqrt{2\pi
k}\,(k/\eu)^k$, dus

$$
V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}
\sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}}
= \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2}
\qquad (n = 2k).
$$

Voor oneven $n$: $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$, dus gelden dezelfde grenzen van supermeetkundig verval (op een factor $2$ en een verschuiving van één in de exponent na) — voor elke $q
> 0$ is $V_n = o(q^n)$.

**16.** $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$; $V_3/8 = \pi/6 \approx
0.524$; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx
0.0025$. In het algemeen is $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} =
\frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$: de verhouding streeft (supermeetkundig) naar $0$. De ingeschreven bol neemt een verdwijnend aandeel in: het volume van de kubus verhuist naar haar hoeken.

**17.** Volgens vraag 1 heeft de binnenste bol met straal $1 -
\varepsilon$ volume $V_n(1-\varepsilon)^n$, dus draagt de buitenschil het aandeel $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$. Voor $n =
100$ en $\varepsilon = 0.01$: $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99}
\approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$: ongeveer $63\%$ van de bol ligt binnen $1\%$ van haar oppervlak.

**18.** $(W_n)$ daalt, dus $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} =
\frac{n}{n-1}W_n$: inklemmen geeft $W_{n-1}/W_n \to 1$. Vermenigvuldigen met $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$: $W_n^2 \sim
\frac\pi{2n}$, dat wil zeggen $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$. Ondergrens: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$, dus $W_n
\geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ voor elke $n$.

**19.** Teller: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ geeft $(1 -
x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$, en met $a =
\frac{n-1}2$ is

$$
\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x
\leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x
\leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x
= \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}
= \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.
$$

Noemer: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ volgens vraag 18. Delen geeft de getoonde grens. Voor $\delta = s/\sqrt{n-1}$ wordt zij $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl(
\eu^{-s^2/2}/s\bigr)$, uniform in $n$: buiten de plak $\abs{x_1}
\leq s/\sqrt{n-1}$ zit vrijwel geen volume, voor matig grote $s$ — en wegens de symmetrie geldt hetzelfde in elke richting.

**20.** De twee uitspraken bestaan naast elkaar omdat zij verschillende coördinaten van hetzelfde punt beschrijven. Vrijwel elk punt van $B_n(1)$ heeft een [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) dicht bij $1$ (vraag 17: radiale concentratie nabij de sfeer), en toch is elk van zijn $n$ coördinaten klein, van de orde $1/\sqrt n$ (vraag 19), wat verenigbaar is omdat $n$ coördinaten van grootte $1/\sqrt n$ een [norm](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/5-genormeerde-vectorruimten#def-b2-nvs-norm) van de orde $1$ hebben. Het volume in hoge dimensie concentreert zich waar alle coördinaten het normbudget gelijk delen — nabij de sfeer, maar ver van elke pool op een coördinaatas.

**21.** Snijd $\Delta_n$ in schijven bij $x_n = t \in
\intcc01$: de schijf is $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i
\leq 1 - t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$, met volume $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ wegens de homogeniteit. Dus

$$
\operatorname{vol}(\Delta_n) =
\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t =
\frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n}
\quad\Longrightarrow\quad
\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.
$$

**22.** De $2^n$ tekenorthanten snijden $C_n$ in $2^n$ kopieën van $\Delta_n$ (met verwaarloosbare overlappingen op de coördinaathypervlakken): $\operatorname{vol}(C_n) =
\frac{2^n}{n!}$. Geldt $\sum\abs{x_i} \leq 1$, dan is $\sum x_i^2
\leq \bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$: $C_n \subseteq B_n(1)$; en $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ omdat $\abs{x_i} \leq \norm x$. Bijgevolg is $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ — in overeenstemming met vraag 15, die $V_n$ tussen de faculteits- en de meetkundige schaal plaatst.

**23.** Voor $(x, y)$ in de eenheidsschijf is de schijf van $B_4(1)$ de schijf met straal $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ in het $(z,
w)$-vlak, met [oppervlakte](#def-b2-multint-domain) $\pi(1 - x^2 - y^2)$. In poolcoördinaten:

$$
V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y
= \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\,
\dd\rho\,\dd\alpha
= \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,
$$

in overeenstemming met vraag 6.

**24.** De kans is de volumeverhouding $\dfrac{V_{20}}{2^{20}}
= \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx
\dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$. Het aantal trekkingen tot de eerste treffer is van de orde van het omgekeerde, ongeveer $4\cdot10^7$: een verwerpende steekproef die voor de schijf prachtig werkte ($\pi/4$ van de treffers) is nutteloos in dimensie $20$ — de vloek van de dimensionaliteit in één regel.

**25.** Weg één (Delen I–II) gebruikte: het in schijven snijden van de herhaalde integraal in de stijl van Fubini, de substitutie in één veranderlijke in elke coördinaat (homogeniteit) en de [integralen van Wallis](#pb-b2-multint-1) — zuivere analyse in één veranderlijke plus inductie. Weg twee (Deel III) gebruikte: Fubini voor de productstructuur van $I_n$, de verandering naar poolcoördinaten via de integraal van Gauss uit [Voorbeeld 20.17](#ex-b2-multint-polar), en de functionaalvergelijking van de $\Gamma$-functie. Zij ontmoeten elkaar in $V_n =
\pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$, waarbij Stirling ([Stelling 6.13](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#thm-b2-comparison-stirling)) de formule in asymptotiek omzet. Het volume van bachelorjaar 3 bouwt dit alles opnieuw op met de integraal van Lebesgue: daar zijn Fubini en de verandering van veranderlijken stellingen voor algemene integreerbare functies, bestaan bolcoördinaten in elke dimensie, en duiken dezelfde volumes van de bol op als de uitgewerkte dividenden van de opgaven over productmaten en Stirling — met de gedomineerde convergentie in de plaats van onze zelfgemaakte insluitingen.