---
title: "Kansgenererende functies"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2"
subject: math
language: nl
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/23-kansgenererende-functies
---

# Hoofdstuk 23 — Kansgenererende functies

De machtreeksen van [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries) keren terug met een kansrekenkundige opdracht: aan een [toevalsveranderlijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) met waarden in $\N$ hangen wij de machtreeks met coëfficiënten $\P(X = n)$. Die *[genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci)* zet sommen van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) veranderlijken om in producten, momenten in afgeleiden in $1$, en moeilijke combinatorische identiteiten in vermenigvuldigingen van één regel. Het hoofdstuk sluit het boek af met twee pronkstukken: de poisson-benadering van zeldzame [gebeurtenissen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-space), en het uitstervingscriterium voor vertakkingsprocessen — een werkelijk oneindige kansberekening, [volledig](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-complete) opgelost door de meetkunde van een convexe kromme.

## 23.1 Definitie en eerste eigenschappen

**Definitie 23.1 (Kansgenererende functie).**

Zij $X$ een [toevalsveranderlijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) met waarden in $\N$ en $p_n = \P(X
= n)$. De *kansgenererende functie* van $X$ is de som van de machtreeks

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

**Voorbeeld 23.2 (Eerste reflexen).**

Een constante veranderlijke $X = c$ heeft $G_X(t) = t^c$; een verschuiving voldoet aan $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; en evalueren in bijzondere punten leest informatie af zonder enige ontwikkeling: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$ en $G_X(-1) =
\P(X\text{ even}) - \P(X\text{ oneven})$, de pariteitsbalans die in [Oefening 23.10](#exo-b2-genfun-10) wordt uitgebuit. Deze eenregelige feiten worden hieronder stilzwijgend overal gebruikt — en de evaluatie $G_X(0)$ is precies hoe aan het eind van het hoofdstuk uitstervingskansen uit geïtereerde [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) zullen worden gehaald.

**Propositie 23.3 (Straal en eerste eigenschappen).**

De reeks die $G_X$ definieert, heeft [convergentiestraal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#def-b2-powerseries-radius) $\geq 1$; $G_X$ is gedefinieerd en [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op $\intcc{-1}{1}$, van klasse $\mathcal{C}^\infty$ op $\intoo{-1}{1}$, met $G_X(1) = 1$ en $\abs{G_X(t)} \leq 1$ daar. Bovendien legt $G_X$ de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van $X$ vast:

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**Bewijs.** Omdat $\sum p_n = 1$ convergeert, zijn de termen $p_n\,1^n$ begrensd, dus is de straal $\geq 1$ (het lemma van Abel, [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries)); in $t = \pm1$ convergeert de reeks [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) ($\sum p_n = 1$ domineert); sterker nog, op het hele interval $\intcc{-1}1$ is

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{met}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

de reeks convergeert *normaal* op $\intcc{-1}1$, dus is haar som daar [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) (Stellingen [10.16](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#thm-b2-funcseq-weierstrass) en [10.4](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#thm-b2-funcseq-continuity)). De gladheid binnenin en de formule voor de coëfficiënten zijn de algemene theorie van de machtreeksen; omdat de coëfficiënten terugvindbaar zijn, hebben twee veranderlijken met dezelfde [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) dezelfde [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law). ∎

**Voorbeeld 23.4 (De klassieke verdelingen).**

- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
- Binomiaal $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (binomium).
- Meetkundig $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (straal $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (straal $\infty$ ).

**Voorbeeld 23.5 (De genererende functie integreren).**

Afgeleiden van $G_X$ in $1$ geven positieve momenten; de *integraal* geeft een negatief moment. Uit $\int_0^1t^k\dd t =
\frac1{k+1}$ en termsgewijze integratie ([normale convergentie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/10-rijen-en-reeksen-van-functies#def-b2-funcseq-series) op $\intcc01$):

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

Voor $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

waarmee de reeksberekening van [Voorbeeld 22.10](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#ex-b2-randomvar-transferex) in één regel wordt teruggevonden. De [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) is een instrument dat beide kanten op werkt: differentieer in $1$ voor de momenten $\E(X)$ en $\E(X(X-1))$, integreer over $\intcc01$ voor $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — één [analytisch](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#def-b2-powerseries-analytic) object, bevraagd in de richting die het probleem vraagt.

**Voorbeeld 23.6 (Een verdeling met straal precies één).**

Zij $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ voor $k \geq 1$ — een [kansverdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) wegens de identiteit van Basel ([Voorbeeld 14.12](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/14-fourierreeksen#ex-b2-fourier-basel)). Haar [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G(t) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ heeft [convergentiestraal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#def-b2-powerseries-radius) precies $1$: de algemene grens “straal $\geq
1$” van [Propositie 23.3](#prop-b2-genfun-radius) kan niet worden verbeterd. En het gemiddelde is

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

$G$ is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) op $\intcc{-1}1$ en glad binnenin, maar haar afgeleide explodeert in $1^-$ — de grafiek komt met een verticale [raaklijn](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-arc) in het punt $(1, 1)$ aan. Zware staarten zijn *meetkundig* zichtbaar op de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci), in het ene punt $t = 1$; de stelling over de momenten hieronder maakt die overeenkomst exact.

**Stelling 23.7 (Momenten uit de genererende functie).**

$X$ heeft een [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation) dan en slechts dan als $G_X$ [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#def-b2-diffcalc-differential) is in $1^-$ (eindige linkerafgeleide), en dan is $\E(X) = G_X'(1)$. Evenzo heeft $X$ een tweede moment dan en slechts dan als $G_X$ tweemaal [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#def-b2-diffcalc-differential) is in $1^-$, en dan is

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**Bewijs.** Voor $t \in \intoo{0}{1}$ geeft termsgewijs differentiëren binnen de schijf $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$, een reeks met niet-negatieve coëfficiënten: $t \mapsto G_X'(t)$ is niet-dalend op $\intoo{0}{1}$, en wegens de monotone convergentie van de partiaalsommen (of de stelling van Abel voor niet-negatieve coëfficiënten, [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries)) is

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

waarbij elk lid eindig is precies wanneer het andere dat is. Is het eindig, dan klemt de middelwaardestelling de differentiequotiënten $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ tussen waarden van $G_X'$, zodat $G_X$ [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#def-b2-diffcalc-differential) is in $1^-$ met $G_X'(1) = \sum np_n =
\E(X)$ (wegens de overdracht). De uitspraak van tweede orde herhaalt het argument één niveau hoger: $G''_X(t) =
\sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ is niet-dalend op $\intoo01$ met monotone limiet $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$, eindig precies wanneer $X$ een tweede moment heeft. De formule voor de [variantie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-variance) volgt dan uit König–Huygens:

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**Voorbeeld 23.8.**

Poisson: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, dus $\E(X) = \lambda$; $G''(1) = \lambda^2$, dus $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 =
\lambda$ — de berekeningen van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#ch-b2-randomvar), elk in één regel.

**Voorbeeld 23.9 (De modus van een poisson-verdeling).**

Waar is $\P(X = k)$ het grootst voor $X \sim \mathcal
P(\lambda)$? Opeenvolgende gewichten vergelijkt men met de verhouding

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

die groter is dan $1$ zolang $k < \lambda - 1$ en onder $1$ zakt zodra $k > \lambda - 1$: de gewichten stijgen en dalen dan, met modus $\floor\lambda$ (en een gelijkspel tussen $\lambda - 1$ en $\lambda$ wanneer $\lambda$ geheel is: voor $\lambda = 3$ is $\P(X
= 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$). Verhoudingstesten op de coëfficiënten zijn vaak de snelste weg naar kwalitatieve feiten over een discrete [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) — geen [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) nodig, maar de coëfficiënten *zijn* de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci), term voor term gelezen.

## 23.2 Sommen van onafhankelijke veranderlijken

**Stelling 23.10 (Multiplicativiteit).**

Zijn $X$ en $Y$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) [toevalsveranderlijken](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) met waarden in $\N$, dan is

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

en met inductie $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ voor [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) $X_1, \dots, X_n$.

**Bewijs.** Twee bewijzen, beide leerzaam. *Via [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation):* $t^X$ en $t^Y$ zijn [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) begrensde veranderlijken, dus ([Stelling 22.11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*Via [Cauchy-producten](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#thm-b2-series-fubini):* de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van $X + Y$ is de convolutie $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$, en de stelling over het [Cauchy-product](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#thm-b2-series-fubini) voor [absoluut](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-def) convergente reeksen ([Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#ch-b2-series)) vermenigvuldigt de twee machtreeksen precies langs deze convolutie. ∎

**Voorbeeld 23.11 (Stabiliteit van de klassieke verdelingen).**

[Onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) binomiale [verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) met dezelfde $p$ tellen op: $(1 - p + pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$, dus $\mathcal{B}(m, p) + \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — in het bijzonder is een som van $n$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) bernoulli-veranderlijken binomiaal, wat de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van het aantal successen opnieuw bewijst. [Onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) [poisson-verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) tellen op: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda +
\mu)(t-1)}$, dus $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) =
\mathcal{P}(\lambda + \mu)$ — de convolutieberekening van [Oefening 22.2](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#exo-b2-randomvar-2), nu zonder berekening.

**Voorbeeld 23.12 (Twee dobbelstenen, één veelterm gekwadrateerd).**

Voor één eerlijke dobbelsteen is $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots +
t^6}{6}$; voor de som van twee is

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

de driehoekige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van de dobbelsteensommen ($7$ is de modus, met kans $\frac6{36} = \frac16$), afgelezen van een gekwadrateerde veelterm die men eens in zijn leven uitwerkt. De convolutieformule zou elf afzonderlijke telargumenten hebben vereist; de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) doet ze alle tegelijk, omdat veeltermen vermenigvuldigen *is* coëfficiënten convolueren. Deze mechanische vertaling — [verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) naar coëfficiënten, sommen naar producten — is het hele verdienmodel van het hoofdstuk, en [Oefening 23.11](#exo-b2-genfun-11) drijft haar tot de verrassende dobbelstenen van Sicherman.

**Voorbeeld 23.13 (Drie dobbelstenen en een coëfficiënt eruit halen).**

Voor de som $S$ van drie eerlijke dobbelstenen is $\P(S = 10)$ de coëfficiënt van $t^{10}$ in $\bigl(\frac{t + \dots + t^6}6\bigr)^3$. Ontbind en werk uit met het binomium en de meetkundige reeks:

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

De coëfficiënt van $t^{10}$ vraagt $t^7$ uit het product: $j = 7$ met de term $1$, en $j = 1$ met de term $-3t^6$:

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

De $27$ drietallen rechtstreeks opsommen is foutgevoelig; de algebra is mechanisch en schaalt naar elk aantal dobbelstenen — de in- en uitsluiting zichtbaar in $(1 - t^6)^3$ doet het gevalsonderscheid vanzelf.

**Voorbeeld 23.14 (Een verdeling van haar genererende functie aflezen).**

Welke [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) heeft $G(t) = \dfrac1{2 - t}$? Ontwikkel tot een machtreeks:

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

niet-negatieve coëfficiënten die tot $G(1) = 1$ sommeren, dus is dit een echte [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law), $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ op $\N$ — een meetkundige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) die in $0$ begint. Wegens de eenduidigheid ([Propositie 23.3](#prop-b2-genfun-radius)) deelt geen andere [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) deze $G$. [Verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) herkennen aan hun [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) is een vaardigheid die het oefenen waard is: zo wordt de kritieke iterant $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ van de weekendopgave ontmaskerd als een meetkundige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) onder de voorwaarde van overleven.

**Opmerking 23.15.**

De stabiliteit werkt maar één kant op: sommen van [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) poisson-veranderlijken zijn poisson, maar verschillen niet — $X -
Y$ neemt negatieve waarden aan, dus heeft zij helemaal geen [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci), en haar [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) (de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van Skellam) ligt buiten de gereedschapskist van dit hoofdstuk. Evenmin is $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ met $p \neq p'$ binomiaal: het product $(1 - p + pt)^m(1 - p' + p't)^n$ heeft twee verschillende plaatsen voor zijn nulpunten, terwijl elke binomiale [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) één herhaald nulpunt heeft. Stabiliteit aflezen van de patronen van de nulpunten is een kleine voorproef van hoeveel structuur de veelterm codeert.

**Opmerking 23.16 (Het filter met de eenheidswortels).**

Evalueren in $-1$ scheidt even van oneven; evalueren in alle $m$-de eenheidswortels scheidt elke restklasse: met $\omega =
\eu^{2\iu\pi/m}$ is

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

omdat $\omega^{j(k-r)}$ over $j$ middelen $1$ oplevert als $k
\equiv r$ en $0$ anders. Voorbeelddividend: voor de som $S$ van twee eerlijke dobbelstenen is elke $G(\omega^j) =
\frac16\sum_{k=1}^6 \omega^{jk} = -\frac16$ voor $j \neq 0$ (de zeven zevende eenheidswortels sommeren tot nul), dus

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

wat de telling uit [Voorbeeld 23.12](#ex-b2-genfun-twodice) bevestigt — en de methode schaalt naar vragen waar rechtstreeks tellen dat niet doet.

**Stelling 23.17 (Toevallige sommen: de identiteit van Wald voor genererende functies).**

Zij $(X_k)_{k\geq1}$ een rij [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) veranderlijken met waarden in $\N$, dezelfde [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) en [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, en zij $N$ een veranderlijke met waarden in $\N$, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) van de $X_k$, met [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_N$. Dan heeft de toevallige som $S = X_1 + \dots + X_N$ (met $S = 0$ wanneer $N = 0$) als [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

Hebben $N$ en $X_1$ in het bijzonder [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation), dan is $\E(S) = \E(N)\,\E(X_1)$.

**Bewijs.** Stel voorwaardelijk op $N$ (totale kans, [Stelling 21.14](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#thm-b2-proba-bayes)): voor $\abs t \leq 1$ is

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

met de multiplicativiteit voor elke vaste $n$ en de [sommeerbaarheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-summable) van de hele dubbele familie ($\abs{G_X(t)} \leq
1$). De verwisseling van de sommaties is Fubini voor [sommeerbare families](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-summable) ([Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#ch-b2-series)). Differentiëren in $1^-$ met de kettingregel en [Stelling 23.7](#thm-b2-genfun-moments): $\E(S) =
G_N'(G_X(1))\,G_X'(1) = G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$. ∎

**Voorbeeld 23.18 (Samengestelde Poisson: jaarlijkse verzekeringsschade).**

Een verzekeraar ontvangt $N \sim \mathcal P(\lambda)$ claims per jaar, elk met kosten $X_k$ (gehele eenheden, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) en identiek verdeeld, [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$, gemiddelde $\mu$, onafhankelijk van $N$). Volgens [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound) heeft de totale schade $S$

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

en tweemaal differentiëren in $1^-$ geeft

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

De [variantie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-variance) betreft het *tweede* moment van één claim, niet haar [variantie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-variance): een samengestelde poisson-som voelt de af en toe grote claim tweemaal — eenmaal via hoeveel, eenmaal via hoe groot. Voor $\lambda = 10$ claims met een meetkundige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) met gemiddelde $2$ ($\E X^2 = 6$): $\E S = 20$, $V(S) = 60$, en Chebyshev ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#ch-b2-randomvar)) levert al bruikbare solvabiliteitsmarges. Dit patroon van de “toevallig gestopte som” is hetzelfde dat de vertakkingsrecursie van [Propositie 23.23](#prop-b2-genfun-branching) zal aandrijven: de samenstelling van [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) is de algebra van toevallige populaties.

**Opmerking 23.19.**

De [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) van $N$ van de termen is niet decoratief. Neem $X_k \in \{0, 2\}$ met gelijke kansen en zij $N = X_1$ (flagrant afhankelijk): dan is $S = X_1 + \dots + X_N$ gelijk aan $0$ wanneer $X_1 = 0$, en aan $2 + X_2$ wanneer $X_1 = 2$, dus $\E(S) =
\frac12(2 + 1) = \frac32$, terwijl $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 = 1$: de identiteit van Wald faalt. Zodra het aantal termen op de termen zelf mag *reageren*, stort de nette productstructuur in — de volledige theorie van zulke “stopregels” is het hoofdstuk over martingalen van het volume van bachelorjaar 3.

## 23.3 Poisson-benadering

**Stelling 23.20 (Wet van de zeldzame gebeurtenissen).**

Zij $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ met $n\,p_n \to \lambda > 0$. Dan geldt voor elke $k \in \N$

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

de binomiale [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van veel zeldzame [onafhankelijke gebeurtenissen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) convergeert naar de [poisson-verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) met parameter $\lambda$.

**Bewijs.** Rechtstreekse berekening met $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$, $\lambda_n \to \lambda$:

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

Als $n \to \infty$ met vaste $k$: de eerste factor streeft naar $1$ (een product van $k$ factoren $\to 1$); $\lambda_n^k \to
\lambda^k$; en $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} =
\exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to e^{-\lambda}$ omdat $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr) \sim
-\lambda_n \to -\lambda$ ([Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#ch-b2-comparison)). Alternatief, op het niveau van de [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci): $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ voor elke vaste $t \in [0, 1]$ — convergentie van [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci), wat (voor veranderlijken met waarden in $\N$) gelijkwaardig is met de convergentie van elke $\P(X_n = k)$; zie [Oefening 23.9](#exo-b2-genfun-9). ∎

**Opmerking 23.21.**

Daarom modelleren [poisson-verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) tellingen van zeldzame [gebeurtenissen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-space) — tikfouten per bladzijde, radioactieve vervallen per seconde, ongevallen per dag op een kruispunt: elke gelegenheid is bijna verwaarloosbaar, de gelegenheden zijn talrijk, en alleen het gemiddelde tempo $\lambda$ overleeft in de limiet.

**Voorbeeld 23.22 (De poisson-limiet zien convergeren).**

Houd $\lambda = 2$ vast en zij $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$. De kans op geen enkele [gebeurtenis](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-space) is precies $\P(X_n = 0) = (1 -
2/n)^n$:

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

tegenover de limiet $\eu^{-2} \approx 0.135$. De convergentie is monotoon en van snelheid $O(1/n)$ — uitwerken geeft $(1 - 2/n)^n
= \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — zodat het poisson-model voor $n$ in de honderdtallen al tot op het derde cijfer nauwkeurig is. Dat is de praktische inhoud van de wet van de zeldzame [gebeurtenissen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-space): de modelleerder kent $n$ en $p$ nooit afzonderlijk (hoeveel micro-gelegenheden voor een tikfout bevat een bladzijde?), maar alleen hun product $\lambda$, en de limietverdeling hangt genadig van niets anders af.

## 23.4 Vertakkingsprocessen

Beschouw een populatie die met één voorouder begint; elk individu krijgt [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) een toevallig aantal kinderen met [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k \in \N}$ en [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ (de *nakomelingenverdeling*). Zij $Z_n$ de grootte van generatie $n$ ($Z_0 = 1$), en zij $m = G'(1) = \E(Z_1)$ het gemiddelde aantal nakomelingen.

**Propositie 23.23.**

De [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van $Z_n$ is de $n$-de iterant $G_{Z_n} = G
\circ G \circ \dots \circ G$ ($n$ maal), en de uitstervingskansen $q_n = \P(Z_n = 0)$ voldoen aan

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

en stijgen naar de kans $q$ op uiteindelijk uitsterven, die een vast punt van $G$ is.

**Bewijs.** Generatie $n + 1$ is de toevallige som van de nakomelingen van de $Z_n$ leden van generatie $n$, met aantallen die [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) zijn van elkaar en van $Z_n$: [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound) geeft $G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G$, en inductie vanaf $G_{Z_0}(t) = t$ levert de $n$-voudige iterant — die wegens de associativiteit van de samenstelling evengoed als $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$ kan worden gelezen. Die tweede vorm in $0$ evalueren geeft $q_{n+1} =
G_{Z_{n+1}}(0) = G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$. De [gebeurtenissen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-space) $\{Z_n = 0\}$ stijgen (uitgestorven populaties blijven uitgestorven), dus $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n
= 0\}\bigr)$ wegens de monotone [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) ([Stelling 21.6](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#thm-b2-proba-continuity)), en de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) van $G$ op $[0, 1]$ maakt van $q_{n+1} = G(q_n)$ in de limiet $q = G(q)$. ∎

**Voorbeeld 23.24 (Het uitsterven zien convergeren).**

Voor de nakomelingenverdeling $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14,
\tfrac14, \tfrac12)$ van [Voorbeeld 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample) is $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$, en geeft de iteratie $q_{n+1} = G(q_n)$

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

klimmend naar de uitstervingskans $q = \tfrac12$. De gaten $q -
q_n$ zijn $0.25$, $0.156$, $0.105$, $0.073$, $0.052$: elk is ruwweg $\tfrac34$ van het vorige, en inderdaad geeft de middelwaardestelling $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ met $G'(q) =
\tfrac14 + q = \tfrac34$. Twee lessen: een familielijn die in generatie $n$ nog leeft, heeft volgens dezelfde berekening kans $q
- q_n$ om later alsnog te sterven; en het convergentietempo van de trap in de figuur hieronder is de afgeleide in het vaste punt — de weekendopgave maakt van beide waarnemingen stellingen.

**Stelling 23.25 (Uitstervingscriterium).**

Neem aan dat $p_1 \neq 1$. De uitstervingskans $q$ is het *kleinste* vaste punt van $G$ in $\intcc{0}{1}$, en:

- is $m \leq 1$ (subkritisch of kritisch), dan $q = 1$ : het uitsterven is zeker;
- is $m > 1$ (superkritisch), dan $q < 1$ : de populatie overleeft voor altijd met positieve kans $1 - q$ .

**Bewijs.** $G$ is [convex](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/17-affiene-ruimten#def-b2-affine-convex) op $\intcc{0}{1}$ (een machtreeks met niet-negatieve coëfficiënten: $G'' \geq 0$), niet-dalend, met $G(1) = 1$.

*Kleinste vaste punt:* zij $r \in \intcc{0}{1}$ een willekeurig vast punt. Dan is $q_0 = 0 \leq r$, en met inductie $q_{n+1} = G(q_n) \leq G(r) = r$ (monotonie): dus $q = \lim q_n
\leq r$.

*Geval $m \leq 1$:* stel dat $r < 1$ een vast punt is. Volgens de middelwaardestelling op $[r, 1]$ is er een $c \in \intoo{r}{1}$ met $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$. Maar $G'$ is niet-dalend (convexiteit) met $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m
\leq 1$, dus $G' \leq 1$ op $\intoo{0}{1}$; de gelijkheid $G'(c) =
1$ dwingt dan af dat $G'$ constant gelijk aan $1$ is op $\intco{c}{1}$, en dus dat $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ daar. Een machtreeks met niet-negatieve coëfficiënten die op een interval verdwijnt, heeft al die coëfficiënten nul: $p_n = 0$ voor $n \geq 2$, dus $G(t) = p_0 + p_1t$ en $1 = G'(c) = p_1$ — in tegenspraak met de hypothese $p_1 \neq 1$. Dus is $1$ het enige vaste punt: $q = 1$.

*Geval $m > 1$:* nabij $1$ heeft $G(t) - t$ afgeleide $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ als $t \to 1^-$, dus $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ op een zeker interval $\intoo{1 - \delta}{1}$: de [continue](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) functie $G(t) - t$ is $\geq 0$ in $t = 0$ ($G(0) = p_0 \geq 0$) en $< 0$ net onder $1$, dus verdwijnt zij in een zekere $r < 1$ (tussenwaardestelling). Het kleinste vaste punt is dan $q \leq r <
1$. ∎

![Uitstervingskansen als een vastepuntsiteratie q_n+1 = G(q_n) startend in q_0 = 0 (de rode trap). Links: een subkritische nakomelingenverdeling — de convexe kromme blijft boven de diagonaal en de iteratie klimt naar het unieke vaste punt 1. Rechts: een superkritische verdeling — de kromme kruist de diagonaal in q < 1, waar de iteratie stopt: overleven heeft kans 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-b000951f5d4d.svg)

![Uitstervingskansen als een vastepuntsiteratie q_n+1 = G(q_n) startend in q_0 = 0 (de rode trap). Links: een subkritische nakomelingenverdeling — de convexe kromme blijft boven de diagonaal en de iteratie klimt naar het unieke vaste punt 1. Rechts: een superkritische verdeling — de kromme kruist de diagonaal in q < 1, waar de iteratie stopt: overleven heeft kans 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-126f02aa14b3.svg)

***Figuur 23.1.** Uitstervingskansen als een vastepuntsiteratie $q_{n+1} =
G(q_n)$ startend in $q_0 = 0$ (de rode trap). Links: een subkritische nakomelingenverdeling — de convexe kromme blijft boven de diagonaal en de iteratie klimt naar het unieke vaste punt $1$. Rechts: een superkritische [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) — de kromme kruist de diagonaal in $q < 1$, waar de iteratie stopt: overleven heeft kans $1 - q > 0$.*

**Opmerking 23.26 (Hoe je het spinnenwebdiagram leest).**

In de figuur past een verticale beweging $G$ toe (van $(q_n, q_n)$ omhoog naar $(q_n, G(q_n))$), en zet een horizontale beweging naar de diagonaal de uitvoer om in invoer: de trap *is* de recursie $q_{n+1} = G(q_n)$. De convexiteit van $G$ en $G(1) = 1$ laten maar twee meetkundes toe. Ofwel blijft de kromme op $\intco01$ boven de diagonaal (gemiddelde $m \leq 1$): de trap heeft nergens om te stoppen vóór $1$. Ofwel kruist de kromme haar in een zekere $q < 1$ ($m > 1$): de trap zit onder het kruispunt gevangen en convergeert ernaartoe, met het meetkundige tempo $G'(q) < 1$ dat in [Voorbeeld 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics) werd gekwantificeerd. De hele analyse van de uitstervingsstelling is in dit ene beeld zichtbaar — en daarom is het de moeite waard het te tekenen voordat je rekent.

**Voorbeeld 23.27.**

Nakomelingenverdeling: geen kind, één kind, twee kinderen met kansen $\frac14, \frac14, \frac12$. Dan is $m = \frac14 + 1 =
\frac54 > 1$ en $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$. Vaste punten: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$, dat wil zeggen $2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$: $q = \frac12$. De familielijn sterft uit met kans $\frac12$ — en met kans $\frac12$ leeft zij voor altijd voort.

**Opmerking 23.28 (Vooruitblik binnen dit volume).**

Het hoofdstuk is het kruispunt van het boek, en elk ingrediënt kwam van een met naam genoemde plaats: de algebra van de reeksen uit [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#ch-b2-series) en [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries), de kansrekening uit [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#ch-b2-proba) (de monotone [continuïteit](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) bewijst $q_n \uparrow q$) en [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#ch-b2-randomvar) ($G_X =
\E(t^X)$ is een [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation), de multiplicativiteit is de productstelling), de convexiteit uit [Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/8-functies-van-een-reele-veranderlijke#ch-b2-realfun) via [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/17-affiene-ruimten#ch-b2-affine). Zelfs de pathologieën met zware staarten sluiten aan: de Sint-Petersburgveranderlijke van het vorige hoofdstuk heeft $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$, een volmaakt convergente reeks op $\intcc01$ waarvan de afgeleide in $1^-$ divergeert — een oneindig gemiddelde, in één oogopslag zichtbaar. Eén object, elk gereedschap van het jaar: een passend laatste hoofdstuk.

**Opmerking 23.29 (Klassieke valkuilen).**

(i) [Genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) zijn alleen van toepassing op veranderlijken met waarden in $\N$: voor veranderlijken met tekens of niet-gehele waarden verliest het object $\E(t^X)$ zijn structuur als machtreeks (bachelorjaar 3 vervangt haar door transformaties die aan $\R$ zijn aangepast). (ii) De eerste verstandscontrole van elke berekende $G$ is $G(1) = 1$; de tweede is dat de coëfficiënten niet-negatief zijn — een negatieve coëfficiënt betekent een algebrafout, geen nieuwe [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law). (iii) Bij toevallige sommen doet de volgorde van de samenstelling ertoe: $G_S = G_N \circ G_X$, met de *buitenste* functie die de termen telt; andersom samenstellen is zinloos ($G_X \circ G_N$ zou voorwerpen van voorwerpen tellen). (iv) De multiplicativiteit vereist [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) en verschillende bronnen van toeval: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$, niet $G_X(t)^2$. (v) Differentiëren in $1$ is een randbewerking: is de straal precies $1$, zoals in [Voorbeeld 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail), dan kan $G'(1^-)$ oneindig zijn, en is de formulering met de monotone limiet in de stelling over de momenten geen muggenzifterij maar de eerlijke uitspraak.

## Het volume afsluiten

De [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) is een passend laatste object voor dit boek: zij is tegelijk een machtreeks ([Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries)), een gereedschap van de [sommeerbare families](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-summable) ([Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#ch-b2-series)), een [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation) ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#ch-b2-randomvar)), een convexe functie waarvan de meetkunde over het uitsterven beslist ([Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/8-functies-van-een-reele-veranderlijke#ch-b2-realfun)), en een vastepuntsiteratie ([Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#ch-b2-metric)). De wiskunde van bachelorjaar 2 is één vak. Het volume van bachelorjaar 3 zal de deuren [openen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-topology) die hier opzettelijk gesloten bleven: de integraal van Lebesgue (die de stelling van de gedomineerde convergentie uit [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/9-integratie#ch-b2-integration) kwijt), de maattheoretische kansrekening op overaftelbare ruimten, en het volledige bewijs van de stelling van de inverse functie ([Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/15-differentiaalrekening#ch-b2-diffcalc)) in het kader van de differentiaalmeetkunde.

## 23.5 Oefeningen

**Oefening 23.1 ★.**

Bereken de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van de uniforme [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) op $\{1,
2, \dots, 6\}$ (een eerlijke dobbelsteen). Toon aan dat de som van twee eerlijke dobbelstenen *niet* uniform kan zijn op $\{2,
\dots, 12\}$: ontbind $G_{X+Y}$ en tel nulpunten. *(Een uniforme som zou $G_X(t)G_Y(t) =
\frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$ afdwingen, waarvan de nulpunten ongelijk aan nul de elfde eenheidswortels behalve $1$ zijn — geen enkele daarvan reëel — terwijl $G_X/t$ en $G_Y/t$ reële veeltermen van graad $5$ zijn, die elk minstens één reëel nulpunt bezitten.)*

**Oplossing van Oefening 23.1.**

Eerlijke dobbelsteen: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) =
\frac t6(1 + t + \dots + t^5)$. Was de som van twee eerlijke dobbelstenen uniform op $\{2, \dots, 12\}$, dan zou

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

Nu is $h$ een reële veelterm van oneven graad $5$, dus heeft zij een reëel nulpunt (tussenwaardestelling; concreet $h(-1) = 0$), en dus heeft $h^2$ een reëel nulpunt. Maar $\sum_{k=0}^{10}t^k$ heeft er geen: zij is positief voor $t \geq 0$, en voor $t < 0$ is zij gelijk aan $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$, een quotiënt van twee negatieve getallen. Tegenspraak — de som van twee eerlijke dobbelstenen is nooit uniform (zoals de vertrouwde driehoekige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van dobbelsteensommen bevestigt).

**Oefening 23.2 ★.**

Vind met [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\E$ en $V$ terug voor de binomiale en de meetkundige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) ([Stelling 23.7](#thm-b2-genfun-moments)).

**Oplossing van Oefening 23.2.**

*Binomiaal:* $G(t) = (1 - p + pt)^n$, $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$, $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$, dus

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*Meetkundig* ($q = 1 - p$): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$, dus $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ en $G''(t) = \frac{2pq}{(1 -
qt)^3}$; in $t = 1$ (met $1 - q = p$):

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

in overeenstemming met [Oefening 22.1](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#exo-b2-randomvar-1), met minder werk.

**Oefening 23.3 ★.**

Twee verzwaarde dobbelstenen: is het mogelijk twee dobbelstenen zo te verzwaren ([onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence), identiek of niet) dat hun som uniform is op $\{2, \dots, 12\}$? *(Dezelfde obstructie via de ontbinding als in [Oefening 23.1](#exo-b2-genfun-1): het antwoord is nee, zelfs met verschillende verzwaringen, omdat elke factor $G_X(t)/t$ oneven graad $5$ heeft en dus een reëel nulpunt, terwijl het doel er geen heeft.)*

**Oplossing van Oefening 23.3.**

Nee, zelfs niet met verschillende verzwaringen. Stel dat $X, Y$ [verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) op $\{1, \dots, 6\}$ zijn met een uniforme som. Dan is $G_X(t) = t\,a(t)$ en $G_Y(t) = t\,b(t)$ met $a, b$ reële veeltermen van graad *hoogstens* $5$ — en hun graden moeten tot $10$ sommeren (de som bereikt $12$ met positieve kans), dus $\deg a = \deg b = 5$, beide oneven. Als in [Oefening 23.1](#exo-b2-genfun-1) zou

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

links een reëel nulpunt afdwingen (elke reële veelterm van oneven graad heeft er een) en rechts geen. Geen enkele verzwaring van twee [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) dobbelstenen — gelijk of niet — brengt dus een uniforme som voort.

**Oefening 23.4 ★★.**

Zijn $X_1, X_2, \dots$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) bernoulli-veranderlijken $\mathcal{B}(p)$ en $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) van hen. Toon met [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound) aan dat $S = X_1 +
\dots + X_N \sim \mathcal{P}(\lambda p)$: een poisson-aantal voorwerpen, elk met kans $p$ bewaard, laat een poisson-aantal over — *uitdunning*. Bereken ook de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van het weggegooide aantal en bewonder: zij is $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$, en men kan aantonen dat zij [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) is van $S$.

**Oplossing van Oefening 23.4.**

Volgens [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound) met $G_N(s) =
e^{\lambda(s-1)}$ en $G_X(t) = 1 - p + pt$:

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$. Het weggegooide aantal $D = N - S$ telt dezelfde voorwerpen, bewaard met kans $1 - p$, dus is volgens dezelfde berekening $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$. [Onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence), rechtstreeks: voor $j, k \in \N$ is

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

met $q = 1 - p$: de gezamenlijke [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) ontbindt als $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$. Een poisson-stroom die willekeurig wordt gesplitst, levert *[onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence)* poisson-stromen op — een klein wonder dat in de wachtrijtheorie voortdurend wordt gebruikt.

**Oefening 23.5 ★★.**

(Negatief binomiaal) Zij $T_r$ het aantal worpen om $r$ maal kop te verkrijgen (kanskop $p$). Schrijf $T_r$ als een som van $r$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) meetkundige veranderlijken, leid af dat

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

en ontwikkel $G_{T_r}$ om $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$ te vinden.

**Oplossing van Oefening 23.5.**

De wachttijden tussen opeenvolgende koppen zijn [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) meetkundige veranderlijken $\mathcal{G}(p)$ (geheugenloosheid: na elke kop begint het spel opnieuw), dus $T_r = W_1 + \dots + W_r$ en geeft de multiplicativiteit ([Stelling 23.10](#thm-b2-genfun-product))

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$; de [varianties](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-variance) tellen op wegens de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence)). Ontwikkeling: volgens de veralgemeende binomiale reeks ([Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries)) is $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0}
\binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$, dus is de coëfficiënt van $t^n$ in $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ (met $m = n - r$)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

de *negatief binomiale* [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) — combinatorisch: de $r$-de kop valt op worp $n$ dan en slechts dan als de vorige $r -
1$ koppen hun plaatsen kiezen onder de eerste $n - 1$ worpen.

**Oefening 23.6 ★★.**

Bereken voor de nakomelingenverdeling $p_0 = \frac18$, $p_1 =
\frac38$, $p_2 = \frac38$, $p_3 = \frac18$ het gemiddelde $m$, beslis over de superkritikaliteit, en bereken de uitstervingskans $q$ exact. *(Zonder het nulpunt $t = 1$ van $G(t) - t$ af.)*

**Oplossing van Oefening 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$: superkritisch. De [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) is

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

dus lossen de vaste punten $(1 + t)^3 = 8t$ op, dat wil zeggen $t^3
+ 3t^2 - 5t + 1 = 0$. Het gewaarborgde nulpunt $t = 1$ afzonderen geeft

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

en $t^2 + 4t - 1 = 0$ geeft $t = -2 \pm \sqrt5$. Het nulpunt in $\intco{0}{1}$ is $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$: volgens [Stelling 23.25](#thm-b2-genfun-extinction) is

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(Een aangename controle: de nakomelingenverdeling is die van $3$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) eerlijke munten, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3,
\frac12)$.)

**Oefening 23.7 ★★★.**

(Totale nakomelingschap) Zij in een subkritisch [vertakkingsproces](#pb-b2-genfun-1) ($m < 1$) $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ het totale aantal individuen dat ooit geboren wordt. Toon aan dat $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 -
m}$ (verantwoord de verwisseling van de sommaties), en bewijs dat de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ voldoet aan de functionaalvergelijking $H(t) = t\,G(H(t))$. *(De voorouder, plus de totale nakomelingschappen van elk van haar kinderen, die [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) kopieën van $Y$ zijn.)*

**Oplossing van Oefening 23.7.**

*[Verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation).* Eerst $\E(Z_n) = m^n$: volgens [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound) is $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$, en $\E(Z_0) = 1$. De familie $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ is niet-negatief, dus is Fubini voor families onvoorwaardelijk van toepassing:

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(in het bijzonder is $Y$ bijna zeker eindig: in overeenstemming met het zekere uitsterven in het subkritische geval).

*Functionaalvergelijking.* Ontbind de populatie naar de kinderen van de voorouder: heeft de voorouder $Z_1 = k$ kinderen, dan is de totale nakomelingschap $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$, waarbij $Y_i$ de totale nakomelingschap van de lijn van het $i$-de kind is — en de $Y_i$ zijn [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) kopieën van $Y$, onafhankelijk van $Z_1$ (verschillende lijnen gebruiken disjuncte, [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) voortplantingsgebeurtenissen). Voorwaardelijk stellen op $Z_1$ als in [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound) geeft

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

waarbij de factor $t$ de voorouder zelf verantwoordt. (Voor de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) $p_0 = 1 - p$, $p_2 = p$ van de binaire vertakking kan deze kwadratische vergelijking in $H$ expliciet worden opgelost en ontwikkeld — de [Catalangetallen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-catalan) van [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ch-b2-powerseries) tellen de stambomen.)

**Oefening 23.8 ★★★.**

Zij $X$ met [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ met [convergentiestraal](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#def-b2-powerseries-radius) $> 1$. Bewijs de *exponentiële staartgrens*: er zijn een $C > 0$ en een $\rho \in \intoo{0}{1}$ met $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$. *(Markov toegepast op $t^X$ voor een vaste $t > 1$ binnen de schijf.)* Toon omgekeerd aan dat als $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ met $\rho < 1$, de straal van $G$ minstens $1/\rho > 1$ is.

**Oplossing van Oefening 23.8.**

Zij $R > 1$ de straal en houd $t \in \intoo{1}{R}$ vast. Dan is $\E(t^X) = G(t) < \infty$, en de ongelijkheid van Markov ([Stelling 22.15](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#thm-b2-randomvar-markov)) toegepast op de niet-negatieve veranderlijke $t^X$ op niveau $t^n$ geeft

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*Omkering:* geldt $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$, dan is $p_n
\leq \P(X \geq n) \leq C\rho^n$, dus wordt voor $\abs t <
\frac1\rho$ de reeks $\sum p_n\abs t^n$ gedomineerd door de convergente meetkundige reeks $C\sum(\rho\abs t)^n$: de straal is minstens $\frac1\rho > 1$. De straal van de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) en het meetkundige verval van de staart zijn twee gezichten van dezelfde eigenschap.

**Oefening 23.9 ★★★.**

(Continuïteitsstelling, elementair geval) Zijn $X, X_1, X_2, \dots$ veranderlijken met waarden in $\N$ met $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ voor elke $t \in \intco{0}{1}$. Toon aan dat $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ voor elke $k$. *(Inductie naar $k$: voor $k = 0$ laat je $t
\to 0$ gaan — zorgvuldig: houd $t$ klein vast en gebruik $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)} \leq \frac{t}{1-t}$, geldig omdat de staart $\sum_{j \geq 1}p_jt^j \leq \frac{t}{1 - t}$ is; en diagonaliseer dan. Beschouw voor de inductiestap $\frac{G(t) - \P(X
= 0)}{t}$, de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van een verschoven [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law).)*

**Oplossing van Oefening 23.9.**

Schrijf $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$ en $p_k = \P(X = k)$.

*Geval $k = 0$.* Voor $t \in \intoo{0}{1}$ en elke [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) $(q_j)$ met $\sum_j q_j \leq 1$ is

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

Bijgevolg is

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

Gegeven $\varepsilon > 0$, kies $t$ met $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$, en dan $n_0$ zodanig dat de laatste term $<
\frac\varepsilon2$ is voor $n \geq n_0$: dus $p_0^{(n)} \to p_0$.

*Inductiestap.* Neem aan dat $p_j^{(n)} \to p_j$ voor $j < k$. Beschouw de *verschoven* functies

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

[genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van de rijen deelkansen $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (totale massa $\leq 1$, en meer gebruikte het argument voor $k = 0$ niet). Voor vaste $t \in \intoo{0}{1}$ is $g_n(t) \to g(t)$ wegens de hypothese en het geval $k = 0$. Het argument voor $k = 0$ toepassen op $g_n$ geeft $p_1^{(n)} \to p_1$; de verschuiving $k$ maal herhalen geeft $p_k^{(n)} \to p_k$ voor elke $k$. (Dit is het discrete, elementaire geval van de continuïteitsstelling van Lévy, waarvan de algemene vorm — voor karakteristieke functies — een mijlpaal van bachelorjaar 3 is.)

**Oefening 23.10 ★.**

(Pariteitstruc) Toon aan dat voor een veranderlijke $X$ met waarden in $\N$

$$
\P(X \text{ even}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2}
$$

geldt, en bereken deze kans voor $X \sim \mathcal P(\lambda)$ en $X
\sim \mathcal B(n, p)$. Wat betekent $G_X(-1) \to 0$ in kansrekenkundige termen?

**Oplossing van Oefening 23.10.**

Puntsgewijs is $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ gelijk aan $1$ wanneer $X$ even is en $0$ wanneer zij oneven is, dus geeft [verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-expectation) nemen (overdracht)

$$
\P(X \text{ even}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

Poisson: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ als $\lambda$ groeit. Binomiaal: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$. In beide gevallen zegt $G_X(-1) \to 0$ dat de pariteit van $X$ een eerlijke munt wordt: de [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) spreidt zich over veel gehele getallen uit en vergeet haar pariteit.

**Oefening 23.11 ★★.**

(Dobbelstenen van Sicherman) Ga de ontbinding van de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van de eerlijke dobbelsteen na,

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

en toon aan dat de twee dobbelstenen met zijden $\{1, 2, 2, 3, 3,
4\}$ en $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ als [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ en $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$ hebben, waarvan het product dat van twee gewone dobbelstenen is: deze exotische dobbelstenen brengen elke som $2, \dots, 12$ voort met precies de gewone kansen.

**Oplossing van Oefening 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ en $1 - t^6 = (1 -
t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$, wat de gestelde ontbinding geeft. Voor de eerste dobbelsteen is $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 + 2t
+ 2t^2 + t^3$, dus $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t + 2t^2 +
2t^3 + t^4}6$: zijden $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$. Voor de tweede geeft uitwerken

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

dus $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4 +
t^5 + t^6 + t^8}6$: zijden $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. Het product van de twee [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) hergroepeert de zes factoren tot $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6 \bigr)^2$, het kwadraat van de functie van de gewone dobbelsteen: het paar van Sicherman heeft voor de som precies de gewone [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) — [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) klasseren al zulke hergroeperingen.

**Oefening 23.12 ★★★.**

(Wachten op twee maal kop op rij) Met een munt met kanskop $p$ wordt geworpen tot er tweemaal achter elkaar kop verschijnt; zij $T$ het aantal worpen (het spel van [Oefening 21.6](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#exo-b2-proba-6)). Leid, door voorwaardelijk op de eerste worpen te stellen, een lineair stelsel af voor de [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) vanuit de toestanden “geen lopende kop” en “één lopende kop”, en besluit dat

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p);
$$

ga $G_T(1) = 1$ en $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ na ($= 6$ voor een eerlijke munt).

**Oplossing van Oefening 23.12.**

Zijn $A$ en $B$ de [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van de resterende duur vanuit “geen lopende kop” en “één lopende kop”. Eén worp gaat eraan op, en dan: vanuit toestand $0$ keert munt terug naar toestand $0$ en gaat kop naar toestand $1$; vanuit toestand $1$ beëindigt kop het spel en keert munt terug naar toestand $0$:

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

Substitueren geeft $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$, dus

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

In $t = 1$ is de noemer $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$: $G_T(1) =
1$, het spel eindigt bijna zeker (zoals [Oefening 21.6](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#exo-b2-proba-6) met een recursie toonde). Logaritmisch differentiëren in $1$: $\E(T) =
2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ met $D(t) = 1 - qt - pqt^2$ en $D'(1) = -q
- 2pq$:

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

wat $6$ is voor $p = \frac12$.

## 23.6 Probleem: het proces van Galton en Watson, opgelost

**Probleem 23.1.**

Weekendopgave — groeitempo’s, exacte oplossingen, totale nakomelingschap en de kritieke schatting van Kolmogorov

Het uitstervingscriterium ([Stelling 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) splitst vertakkingsprocessen in subkritisch, kritisch en superkritisch — maar het zegt niets over *tempo’s*: hoe snel een gedoemde lijn sterft, hoe groot een overlevende wordt. Deze opgave berekent ze. Wij houden de notatie van het hoofdstuk aan: nakomelingenverdeling $(p_k)$ met [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$, gemiddelde $m = G'(1)$, generatiegroottes $Z_n$ ($Z_0 = 1$), iteranten $G_n = G_{Z_n}$, en uitstervingskansen $q_n = \P(Z_n = 0) \uparrow q$; wij nemen altijd $p_1 \neq 1$ aan en, waar tweede momenten optreden, $G''(1) <
\infty$, en wij schrijven $\sigma^2 = V(Z_1)$.

**Deel I — Momenten van de generaties.**

1. Toon aan dat $\E(Z_n) = m^n$ *(kettingregel op $G_n =  G \circ G_{n-1}$ in $1^-$, met $G_{n-1}(1) = 1$ en [Stelling 23.7](#thm-b2-genfun-moments))* .
2. Stel de recursie $G_n''(1) = G''(1)\,m^{2(n-1)} +  m\,G_{n-1}''(1)$ op en los haar op: $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ voor $m \neq 1$ , en $G_n''(1) = n\,G''(1)$ voor $m = 1$ .
3. Leid af dat $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (Subkritisch tempo, bovengrens) Toon voor $m < 1$ aan dat $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(Markov op de geheeltallige $Z_n$)* : het uitsterven is zeker, met een meetkundig tempo — een kwantitatieve verfijning van het criterium van het hoofdstuk.
5. (Subkritisch tempo, ondergrens) Toon met Cauchy–Schwarz op $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$ aan dat $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{met}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ het meetkundige tempo $m^n$ is op constanten na exact.

**Deel II — De meetkundige familie, exact opgelost.** Zij de nakomelingenverdeling meetkundig op $\N$: $p_k =
qp^k$ ($k \geq 0$), met $0 < p < 1$ en $q = 1 - p$.

6. Bereken $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ en $m = \dfrac pq$ ; lokaliseer de drie regimes in termen van $p$ .
7. Los $G(t) = t$ op: toon aan dat de vaste punten $1$ en $q/p = 1/m$ zijn, en vind de uitstervingskans $q_{\mathrm{uit}} = \min(1, 1/m)$ terug.
8. Bewijs met inductie de gesloten vormen $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. Leid de exacte tempo’s af: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ in het subkritische geval, en $q_{\mathrm{uit}} - q_n \sim  \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ in het superkritische geval; ga na dat de superkritische contractieverhouding $G'(q_{\mathrm{uit}}) = 1/m$ is.
10. Kritiek geval ( $p = \tfrac12$ ): bereken $\sigma^2 = 2$ en merk op dat $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : het overleven vervalt als $\frac1n$ — noch meetkundig, noch [sommeerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-summable) .
11. Nog steeds kritiek: bewijs met inductie de volledige iterant $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ en leid af dat $Z_n$, onder de voorwaarde van overleven, meetkundig is op $\N^*$ met parameter $\frac1{n+1}$: $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ De gemiddelde lijn sterft, maar de overlevende lijnen hebben een grootte van de orde $n$.

**Deel III — Totale nakomelingschap.** Zij $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ het totale aantal individuen dat ooit geboren wordt, en $H(t) = \sum_{k\geq1}\P(Y =
k)t^k$.

12. Verantwoord dat $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{uit}}$ , en herinner je uit [Oefening 23.7](#exo-b2-genfun-7) de functionaalvergelijking $H(t) = t\,G(H(t))$ (waarvan de afleiding $m < 1$ niet gebruikte).
13. (Binaire vertakking) Los voor $p_0 = p_2 = \frac12$ (kritiek) de functionaalvergelijking op: $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ en ontwikkel haar met [Voorbeeld 11.21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-catalan) om $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k$$ te krijgen; ga de waarden $\P(Y = 1) = \frac12$ en $\P(Y =  3) = \frac18$ door rechtstreeks tellen na.
14. Toon, door de functionaalvergelijking in $1^-$ te differentiëren, aan dat $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ voor $m <  1$ , terwijl de kritikaliteit $\E(Y) = \infty$ afdwingt: de kritieke totale nakomelingschap is bijna zeker eindig met oneindig gemiddelde.
15. Toon met de asymptotiek van de centrale binomiaalcoëfficiënt ([Voorbeeld 6.14](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#ex-b2-comparison-centralbinomial)) aan dat $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ een zware staart $k^{-3/2}$, en leid af dat $\P(Y > n)  \asymp n^{-1/2}$ (boven- en ondergrenzen van deze orde volstaan).
16. Vergelijk met de eerlijke [toevalswandeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#pb-b2-proba-1) (de weekendopgave van [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#ch-b2-proba) ): daar zekere terugkeertijden met oneindig gemiddelde, hier een zekere totale nakomelingschap met oneindig gemiddelde, beide met lokale [verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) $n^{-3/2}$ . Eén alinea over waarom de kritikaliteit dit handschrift voortbrengt.

**Deel IV — De schatting van Kolmogorov bij kritikaliteit.** Neem aan dat $m = 1$ en $0 < \sigma^2 = G''(1) <
\infty$.

17. Toon aan dat $G''$ zich [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) uitbreidt tot $\intcc01$ *(niet-negatief en stijgend met eindige limiet)* en leid de ontwikkeling van Taylor in $1$ af: $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. Zet voor $t \in \intco01$ de functie $h(t) = \dfrac1{1 -  G(t)} - \dfrac1{1 - t}$. Toon aan dat $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. Telescopeer langs de iteratie $q_{j+1} = G(q_j)$: $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ en besluit met een argument van Cesàro dat $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ — de *schatting van Kolmogorov*: elk kritiek [vertakkingsproces](#pb-b2-genfun-1) sterft met het universele tempo $1/n$, waarbij alleen de constante zich de nakomelingenverdeling herinnert.
20. Toets de schatting aan het kritieke meetkundige geval van vraag 10.
21. Leid af dat $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n}  \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ *(merk op dat $\E(Z_n  \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* , en toets dit aan vraag 11: onder de voorwaarde van overleven groeit de populatie *lineair* — het kritieke koorddansen tussen dood en explosie.

**Deel V — Toepassingen en synthese.**

22. (Epidemieën, kettingreacties) Schrijf voor een poisson-nakomelingenverdeling $\mathcal P(\lambda)$ — elk geval besmet $\mathcal P(\lambda)$ nieuwe gevallen — de uitstervingsvergelijking $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ op en los haar numeriek op voor $\lambda = 1.5$ ( $q \approx  0.417$ ) en $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): vanaf één geval is een grote uitbraak *niet* zeker, zelfs niet wanneer $\lambda > 1$ . Leg uit waarom de iteratie $q_{n+1}  = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ vanaf $q_0 = 0$ naar het juiste nulpunt convergeert.
23. Toon aan dat de uitstervingskans, uitgaande van $k$ voorouders in plaats van één, gelijk is aan $q^k$ . Toepassing: hoeveel beginnende gevallen maken bij $\lambda  = 1.5$ een uitbraak minstens $99\%$ waarschijnlijk?
24. (Een superkritisch proces voorwaardelijk stellen op uitsterven) Bewijs voor $m > 1$ met uitstervingskans $q \in  \intoo01$ eerst met de convexiteit dat $G'(q) < 1$ in het kleinste vaste punt, en leid af dat $q_{\mathrm{uit}} - q_n  = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (meetkundige convergentie, zoals vraag 9 illustreerde). Toon vervolgens aan dat $\widehat  G(t) = G(qt)/q$ de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) is van een echte nakomelingenverdeling, met gemiddelde $\widehat m = G'(q) <  1$ : een subkritisch begeleidend proces. Ga dit na op de meetkundige familie: het superkritische $(p, q)$ -proces voorwaardelijk stellen op uitsterven verwisselt $p$ en $q$ . (De volledige uitspraak — het voorwaardelijk gestelde proces *is* het begeleidende proces — wordt in het volume van bachelorjaar 3 bewezen; hier heb je haar schaduw op de [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) nagegaan.)
25. Synthese: stel de tabel van de driedeling op — voor $m <  1$ , $m = 1$ , $m > 1$ : de waarde van $q$ ; het tempo van $\P(Z_n > 0)$ of van $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; de grootte van een overlevende generatie. Formuleer in één zin per gereedschap hoe de samenstelling van [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) , de convexiteit, Taylor in $1^-$ en het middelen volgens Cesàro de hele opgave hebben gedragen, en wat het volume van bachelorjaar 3 toevoegt (de martingaal $Z_n/m^n$ en de exponentiële limietverdeling van Jaglom).

**Oplossing van Probleem 23.1.**

**1.** Voor $t \in \intoo01$ geeft de kettingregel op $G_n = G
\circ G_{n-1}$ dat $G_n'(t) = G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$. Als $t \to 1^-$ is $G_{n-1}(t) \uparrow 1$, en $G'$ is niet-dalend met linkerlimiet $m$ in $1$, dus streeft de eerste factor naar $m$; met inductie streeft de tweede naar $m^{n-1}$. Volgens [Stelling 23.7](#thm-b2-genfun-moments) is $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$.

**2.** Nog eens differentiëren geeft

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

en $t \to 1^-$ laten gaan: $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\, a_{n-1}$ met $a_n = G_n''(1)$ en $a_1 = G''(1)$. Voor $m \neq 1$ gaat men met inductie na dat $a_n = G''(1)\,m^{n-1} \frac{m^n - 1}{m - 1}$ (de recursie telt $G''(1)m^{2n-2}$ op bij $m\cdot
G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$, en $m^{n-1} +
\frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$); voor $m = 1$ is $a_n
= a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$.

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ en $G''(1) = \sigma^2 +
m^2 - m$. Voor $m \neq 1$ heft het stuk $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ precies $m^n - m^{2n}$ op, waardoor $V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$ overblijft. Voor $m = 1$: $V(Z_n) = nG''(1) = n\sigma^2$.

**4.** $Z_n$ is een niet-negatieve geheeltallige veranderlijke, dus $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) =
m^n$ volgens Markov ([Stelling 22.15](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#thm-b2-randomvar-markov)). Voor $m < 1$ vervalt dit meetkundig — en [sommeerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-summable), zodat Borel–Cantelli zelfs geeft dat slechts eindig veel generaties niet leeg zijn, wat opnieuw het uitsterven is.

**5.** Cauchy–Schwarz: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf
1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$. Met vraag 3 en $m < 1$:

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

dus, $m^{2n}$ door deze grens delen en met $m^n$ vereenvoudigen:

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

met $m^n \leq 1$ in de noemer. Samen met vraag 4: $\P(Z_n > 0)
\asymp m^n$.

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$, en $m =
G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$. Subkritisch voor $p <
\frac12$, kritisch voor $p = \frac12$, superkritisch voor $p >
\frac12$.

**7.** $G(t) = t$ luidt $pt^2 - t + q = 0$, met nulpunten $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$, dat wil zeggen $1$ en $\frac qp =
\frac1m$. De uitstervingskans is het kleinste vaste punt in $\intcc01$ ([Stelling 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)): $q_{\mathrm{uit}} =
1$ als $m \leq 1$, en $\frac1m$ als $m > 1$.

**8.** Voor $m \neq 1$, met $p = \frac m{m+1}$ en $q =
\frac1{m+1}$: is $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$, dan is

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

dus $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} - 1}{m^{n+2} -
1}$; het basisgeval $q_0 = 0$ klopt. Voor $m = 1$: $G(t) =
\frac1{2 - t}$ en $q_{n+1} = \frac1{2 - \frac{n}{n+1}} =
\frac{n+1}{n+2}$, met $q_0 = 0$.

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$. Voor $m <
1$ streeft de noemer naar $-1$: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$. Voor $m > 1$:

$$
q_{\mathrm{uit}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

En $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ geëvalueerd in $t = \frac qp$ (waar $1 - pt = 1 - q = p$) geeft $G'(q_{\mathrm{uit}}) = \frac qp
= \frac1m$: de waargenomen verhouding $m^{-1}$ is precies de afgeleide in het aantrekkende vaste punt.

**10.** Voor $p = \frac12$: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 -
t/2)^3}$, dus $G''(1) = 2$ en $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 = 2$. De gesloten vorm geeft $1 - q_n = \frac1{n+1}$: de overlevingskans vervalt als $1/n$ — te traag om [sommeerbaar](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/7-rijen-en-reeksen#def-b2-series-summable) te zijn, anders dan elk subkritisch tempo.

**11.** Inductie: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ past bij de formule voor $n = 1$, en

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

Dan is

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

de [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) van de meetkundige [verdeling](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) $\mathcal
G\bigl(\frac1{n+1} \bigr)$ op $\N^*$ ([Voorbeeld 23.4](#ex-b2-genfun-classical)): gegeven het overleven is $\P(Z_n =
k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$, met voorwaardelijk gemiddelde $n + 1$. Het onvoorwaardelijke gemiddelde $1 = \E(Z_n)$ is het product van een verdwijnende overlevingskans en een lineair groeiende voorwaardelijke grootte.

**12.** Sterft de lijn in generatie $n$ uit, dan is $Y = Z_0 +
\dots + Z_{n-1}$ eindig; sterft zij nooit uit, dan is $Y \geq
\sum_n 1 = \infty$. Dus is $\{Y < \infty\}$ de uitstervingsgebeurtenis en $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{uit}}$. De afleiding van $H(t) = tG(H(t))$ in [Oefening 23.7](#exo-b2-genfun-7) — de voorouder draagt de factor $t$ bij, haar kinderen stichten [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) kopieën van $Y$, geteld via $G$ — gebruikte alleen [Stelling 23.17](#thm-b2-genfun-compound), geldig in elk regime.

**13.** Met $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ luidt de vergelijking $tH^2 - 2H + t = 0$, dus $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (het nulpunt met $H(0) = 0$). Vergelijking met de reeks van Catalan $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([Voorbeeld 11.21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-catalan)): $H(t) = \frac
t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$, dat wil zeggen $\P(Y
= 2k+1) = C_k2^{-2k-1}$. Controles: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (de voorouder heeft geen kind); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (twee kinderen, beide kinderloos: $\frac12\cdot\frac12\cdot \frac12$).

**14.** $H = tG(H)$ differentiëren op $\intoo01$ en $t \to
1^-$ laten gaan (monotone limieten als in [Stelling 23.7](#thm-b2-genfun-moments)): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr) =
G(H(1))$. In het subkritische geval is $H(1) = 1$ en $\E(Y) = H'(1)
= \frac1{1 - m}$. In het kritieke geval maakt $G'(1) = 1$ de linkerfactor nul terwijl het rechterlid $1$ is: er kan geen eindige $H'(1)$ bestaan, dus $\E(Y) = \infty$ — en toch is $\P(Y <
\infty) = q = 1$.

**15.** $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ volgens [Voorbeeld 6.14](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/6-vergelijking-van-functies#ex-b2-comparison-centralbinomial), dus

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

De staart sommeren (vergelijking met $\int_K^\infty
k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$, van boven en van onder): $\P(Y > 2K)
\asymp K^{-1/2}$, dat wil zeggen $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — een zware staart met oneindig gemiddelde, wat vraag 14 kwantificeert.

**16.** Beide kritieke objecten — de terugkeertijd van de eerlijke wandeling (de weekendopgave van [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#ch-b2-proba)) en de kritieke totale nakomelingschap — zijn bijna zeker eindig met oneindig gemiddelde, met lokale [verdelingen](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/22-discrete-toevalsveranderlijken#def-b2-randomvar-law) van exponent $-3/2$ en staarten van exponent $-1/2$. Dat is geen toeval: een stamboom kind voor kind verkennen brengt een $\pm1$-pad voort (één stap omhoog per geboorte, één omlaag per sterfte), dat precies een eerlijke wandeling is, en $Y$ wordt een eerste doorgangstijd. Kritikaliteit betekent drift nul: het proces staat altijd op de rand van zowel uitsterven als explosie, en de fluctuaties op de vierkantswortelschaal van toeval zonder drift brengen precies deze exponenten voort.

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ heeft niet-negatieve termen, dus is zij niet-dalend op $\intco01$ met eindige limiet $G''(1) = \sigma^2$ (de kritikaliteit maakt $\E
Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$); een niet-dalende functie waarvan de limiet gelijk is aan de randwaarde, is [continu](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/4-topologie-van-metrische-ruimten#def-b2-metric-continuity) in $1$. Taylor met integraalrest in het punt $1$:

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

omdat $G''(s) = G''(1) + o(1)$ als $s \to 1^-$.

**18.** Onder één noemer brengen geeft $h(t) = \frac{G(t) -
t}{(1 - G(t))(1 - t)}$. Volgens vraag 17 is de teller $b(1-t)^2 +
o((1-t)^2)$ en $1 - G(t) = (1 - t)\bigl(1 - b(1-t) +
o(1-t)\bigr)$, dus $h(t) \to b$.

**19.** Per definitie van $h$ in $t = q_j$ en met $G(q_j) =
q_{j+1}$: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$; sommeren vanaf $j = 0$ ($q_0 = 0$) geeft de getoonde formule. Omdat het kritieke proces uitsterft, is $q_j \uparrow 1$, dus $h(q_j) \to b$ en streeft het gemiddelde van Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j)$ naar $b$: $\frac1{1-q_n} \sim bn$, dat wil zeggen

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** Kritiek meetkundig geval: $\sigma^2 = 2$ (vraag 10), dus voorspelt Kolmogorov $1 - q_n \sim \frac1n$ — en de exacte waarde is $\frac1{n+1}$.

**21.** Omdat $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$, is $\E(Z_n \mid
Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 - q_n} \sim
\frac{\sigma^2n}2$. In het meetkundige geval is dit $n + 1$, wat precies met vraag 11 overeenstemt ($\sigma^2 = 2$). Het kritieke beeld: het uitsterven is zeker, de gemiddelde grootte staat vast op $1$, en de zeldzame overlevende lijnen hebben een lineair groeiende grootte — de twee factoren houden elkaar in evenwicht.

**22.** Voor nakomelingen $\mathcal P(\lambda)$ is $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$ en is de uitstervingskans het kleinste nulpunt van $q = \eu^{\lambda(q-1)}$. Numeriek: $\lambda = 1.5$ geeft $q
\approx 0.417$ (itereer $q \mapsto \eu^{1.5(q-1)}$: $0, 0.223,
0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$); $\lambda = 2$ geeft $q \approx
0.203$. Eén beginnend geval ontsteekt dus een grote uitbraak met kans $58\%$ ($\lambda = 1.5$) of $80\%$ ($\lambda = 2$) — waarschijnlijk, niet zeker. De iteratie vanaf $q_0 = 0$ convergeert naar het *kleinste* nulpunt omdat $G$ niet-dalend is: met inductie is $q_n \leq r$ voor elk vast punt $r$, en $(q_n)$ stijgt (zij is $\P(Z_n = 0)$), dus is haar limiet een vast punt onder alle andere.

**23.** De $k$ voorouders stichten [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) stambomen, en het totale uitsterven is de doorsnede van $k$ [onafhankelijke](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/21-kansrekening-op-aftelbare-ruimten#def-b2-proba-independence) uitstervingsgebeurtenissen: kans $q^k$. Voor $\lambda = 1.5$: een uitbraakkans $1 - q^k \geq 0.99$ vereist $q^k \leq 0.01$, dat wil zeggen $k \geq \frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$: zes beginnende gevallen maken de uitbraak voor $99\%$ zeker.

**24.** *$G'(q) < 1$:* $G - \mathrm{id}$ is [convex](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/17-affiene-ruimten#def-b2-affine-convex) en verdwijnt in $q$ en $1$, dus is zij $\leq 0$ op $\intcc q1$; was $G'(q) = 1$, dan zou de [raaklijn](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/18-krommen#def-b2-curves-arc) in $q$ (die de convexiteit onder $G$ legt) $G(t) \geq t$ op $\intcc q1$ afdwingen, en dus $G \equiv
\mathrm{id}$ daar, wat alle coëfficiënten $p_n$ ($n \geq 2$) doodt en $m > 1$ tegenspreekt. *Meetkundige convergentie:* $q_n < q$ voor alle $n$ (inductie, $G$ stijgend), en de middelwaardestelling geeft $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ met $c_n \in \intoo{q_n}q$, dus $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ en $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$. *Begeleidend proces:* $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ heeft niet-negatieve coëfficiënten en $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$: een [genererende functie](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci); haar gemiddelde is $\widehat G'(1) = G'(q) < 1$: subkritisch. Meetkundige familie: $G(t) = \frac{q}{1-pt}$, $q_{\mathrm{uit}} = \frac qp$, en

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

de meetkundige nakomelingenverdeling met $p$ en $q$ verwisseld — het superkritische proces, bekeken op zijn uitstervingsgebeurtenis, is het gespiegelde subkritische proces.

**25.** De tabel: $m < 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ (vragen 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$, en overlevende generaties met begrensd voorwaardelijk gemiddelde. $m = 1$: $q = 1$, $\P(Z_n > 0)
\sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogorov), $\E(Y) = \infty$ met $\P(Y >
n) \asymp n^{-1/2}$, en overlevenden van grootte $\sim
\frac{\sigma^2n}2$. $m > 1$: $q < 1$ is het kleinste vaste punt, $q
- q_n = O(G'(q)^n)$, groei $\E(Z_n) = m^n$, en voorwaardelijk op sterven is het proces het subkritische begeleidende proces (vraag 24). De gereedschappen: de samenstelling van [genererende functies](https://one-course.com/books/math/4/nl/chapter/11-machtreeksen#ex-b2-powerseries-fibonacci) maakte van de populatierecursie een iteratie van functies; de convexiteit legde de meetkunde van de vaste punten vast; Taylor in $1^-$ zette hypothesen over momenten om in lokale ontwikkelingen; en het middelen volgens Cesàro haalde de $1/n$ van Kolmogorov uit een telescoperende som. Het volume van bachelorjaar 3 voegt de martingaal $Z_n/m^n$ toe — waarvan de bijna-zekere limiet $\E(Z_n)
= m^n$ verfijnt tot een groeitempo baan voor baan — en de stelling van Jaglom, de limietverdeling achter de voorwaardelijke meetkunde die in vraag 11 werd waargenomen.