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title: "Sequências e séries de funções"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes
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# Capítulo 10 — Sequências e séries de funções

Quando funções convergem para uma função, quais propriedades sobrevivem à passagem ao limite? A [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def) preserva quase nada; a convergência *uniforme* — convergência na [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) do sup — preserva a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), as integrais em segmentos e, com uma reviravolta, as derivadas. Este capítulo demonstra os três teoremas de transferência, suas versões para séries, e os coroa com o teorema de aproximação de Weierstrass, demonstrado pelos belíssimos polinômios probabilísticos de Bernstein.

## 10.1 Convergência pontual e convergência uniforme

**Definição 10.1.**

Sejam $f_n, f \colon X \to \R$ (ou $\C$, ou um espaço normado) e $X$ um conjunto qualquer. $(f_n)$ converge para $f$ *pontualmente* quando $f_n(x) \to
f(x)$ para todo $x$; *uniformemente* quando

$$
\norm{f_n - f}_\infty = \sup_{x \in X}\, \abs{f_n(x) - f(x)}
\xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .
$$

Uniforme implica pontual; em $C(\intcc{a}{b})$, a convergência uniforme é exatamente a convergência no [espaço de Banach](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-banach) $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ de [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ch-b2-nvs).

**Exemplo 10.2.**

Em $\intcc{0}{1}$, $f_n(x) = x^n$ converge [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) para o limite *descontínuo* $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$; a convergência não é uniforme: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 -
\tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$. Em $\intcc{0}{a}$ com $a < 1$ ela *é* uniforme ($\sup = a^n \to
0$): a uniformidade é uma propriedade do domínio tanto quanto da sequência.

![A sequência xn em (0, 1): os gráficos afundam rumo a 0 mas todos têm de subir até 1 em x = 1 — a distância do sup ao limite pontual descontínuo nunca fica abaixo de uma constante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-funcseq/fig-c2aaada593b5.svg)

*A sequência $x^n$ em $\intcc{0}{1}$: os gráficos afundam rumo a $0$ mas todos têm de subir até $1$ em $x = 1$ — a distância do sup ao limite [pontual](#def-b2-funcseq-def) descontínuo nunca fica abaixo de uma constante.*

**Exemplo 10.3 (Dois limites que se recusam a comutar).**

O capítulo inteiro trata de trocar limites, então eis o menor fracasso possível. Seja $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ para $n, m \geq 1$. Então

$$
\lim_{m\to\infty}\Bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n,m}\Bigr)
= \lim_{m\to\infty} 1 = 1,
\qquad
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\lim_{m\to\infty}a_{n,m}\Bigr)
= \lim_{n\to\infty} 0 = 0 :
$$

os dois limites iterados existem e diferem. Todo teorema de transferência deste capítulo é uma licença para comutar dois limites — $\lim_n$ com $\lim_{x\to a}$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)), com $\int$ (integração), com $\frac{\dd}{\dd x}$ (derivação) — e a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) é precisamente a taxa que torna a comutação legal. Lição final: sempre que uma “demonstração” troca silenciosamente duas operações de limite, este quadro de duas linhas é o contraexemplo a levantar contra ela; as corcovas deslizantes do [Exercício 10.2](#exo-b2-funcseq-2) são o mesmo fenômeno vestido de sinal de integral.

## 10.2 Os três teoremas de transferência

**Teorema 10.4 (Continuidade).**

Se cada $f_n$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $a$ e $f_n \to f$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) numa vizinhança de $a$, então $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $a$. Um limite uniforme de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) é [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Demonstração.** O argumento dos $3\varepsilon$ já usado no [Teorema 4.9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-rncomplete): escolha $n$ com $\norm{f_n -
f}_\infty \leq \varepsilon$ e depois $\delta$ pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f_n$ em $a$; para $\abs{x - a} \leq \delta$,

$$
\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_n(x)} + \abs{f_n(x) - f_n(a)}
+ \abs{f_n(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon . \qedhere
$$

∎

**Exemplo 10.5 (A uniformidade falha exatamente onde o limite quebra).**

Em $\intcc{0}{2}$, seja $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$. O limite [pontual](#def-b2-funcseq-def) é uma função de três peças:

$$
f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1,\\[2pt]
\tfrac12 & x = 1,\\[2pt]
1 & 1 < x \leq 2, \end{cases}
$$

descontínua em $1$, de modo que, pelo [Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity), a convergência não pode ser uniforme em $\intcc{0}{2}$. Nas peças fechadas que evitam o limiar ela é: para $0 \leq x \leq
a < 1$,

$$
\sup_{\intcc{0}{a}}\abs{f_n - 0}
= \frac{a^n}{1 + a^n} \leq a^n \to 0 ,
$$

e para $1 < b \leq x \leq 2$,

$$
\sup_{\intcc{b}{2}}\abs{f_n - 1}
= \frac{1}{1 + b^n} \leq b^{-n} \to 0 ,
$$

os dois supremos calculados pela monotonicidade de $u \mapsto
\frac{u}{1+u}$ e de $x \mapsto x^n$. Lição final: o fracasso da uniformidade está localizado na descontinuidade do limite — a mesma geometria do [Exemplo 10.2](#ex-b2-funcseq-xn), e a razão pela qual a disciplina do “uniforme em todo segmento interior” volta o capítulo inteiro.

**Teorema 10.6 (Integração num segmento).**

Se $f_n \to f$ uniformemente em $\intcc{a}{b}$, com $f_n$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes com [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes ($f$ idem), então

$$
\int_a^b f_n \longrightarrow \int_a^b f .
$$

**Demonstração.** A linearidade e a desigualdade triangular para integrais dão

$$
\Bigl|\int_a^b f_n - \int_a^b f\Bigr|
= \Bigl|\int_a^b (f_n - f)\Bigr|
\leq \int_a^b\abs{f_n - f}
\leq (b - a)\,\norm{f_n - f}_\infty \longrightarrow 0 .
$$

O fator de comprimento $(b - a)$ é onde entra a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) do segmento: em intervalos não [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) a mesma estimativa produz a cota inútil $\infty\cdot0$, e a conclusão realmente falha sem dominação — as corcovas achatadas $f_n =
\frac1n\mathbf 1_{\intcc{0}{n}}$ convergem [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) para $0$ em $\intco{0}{\infty}$ e no entanto mantêm $\int f_n = 1$ (observação sobre armadilhas adiante), e as corcovas deslizantes da observação do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#ch-b2-integration) fazem o mesmo com a [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def); a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) controla alturas, nunca larguras. ∎

![As corcovas g_n(x) = nx\, -nx2 do : elas convergem para 0 em todo ponto, mas os picos (altura √n/(2 ), derivando rumo a 0) crescem sem limite — convergência pontual com g_n_∈fty ∈fty e ∈t_01 g_n 1/2 ≠ 0: a massa se esconde sob o pico móvel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-funcseq/fig-1d9ac541e2b1.svg)

*As corcovas $g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2}$ do [Exercício 10.1](#exo-b2-funcseq-1): elas convergem para $0$ em todo ponto, mas os picos (altura $\sim\sqrt{n/(2\eu)}$, derivando rumo a $0$) crescem sem limite — [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def) com $\norm{g_n}_\infty \to \infty$ e $\int_0^1 g_n \to \frac12
\neq 0$: a massa se esconde sob o pico móvel.*

**Teorema 10.7 (Derivação).**

Sejam $f_n$ de classe $C^1$ num intervalo $I$, com: $(f_n')$ convergindo *[uniformemente](#def-b2-funcseq-def)* em $I$ (ou em todo segmento de $I$) para alguma $g$, e $(f_n(x_0))$ convergindo em um ponto $x_0$. Então $(f_n)$ converge (uniformemente em segmentos) para uma função $f$ de classe $C^1$, e $f'
= g$: pode-se derivar o limite.

**Demonstração.** Defina $f(x) = \lim f_n(x_0) + \int_{x_0}^x g$: legítimo, sendo $g$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — de fato $g$ é o limite *uniforme* em segmentos das [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $f_n'$, de modo que o [Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity) se aplica, e a integral de uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) está bem definida com, pelo teorema fundamental do cálculo,

$$
f'(x) = g(x) \qquad (x \in I) :
$$

o candidato a limite é $C^1$ com a derivada certa *por construção*, antes de qualquer convergência ser demonstrada. Pelo teorema fundamental de novo, $f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x
f_n'$; subtraindo,

$$
\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \abs{f_n(x_0) - \lim f_n(x_0)}
+ \abs{x - x_0}\,\norm{f_n' - g}_{\infty} ,
$$

que tende a $0$ uniformemente em todo segmento. E $f$ é $C^1$ com $f' = g$ por construção. ∎

**Exemplo 10.8 (Por que a hipótese recai sobre as derivadas).**

Seja $F_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac1n}$ em $\R$. Cada $F_n$ é $C^1$ (aliás $C^\infty$), e a convergência para $\abs x$ é uniforme em todo o $\R$:

$$
0 \leq F_n(x) - \abs x
= \frac{(x^2 + \frac1n) - x^2}{\sqrt{x^2+\frac1n} + \abs x}
= \frac{1/n}{\sqrt{x^2 + \frac1n} + \abs x}
\leq \frac{1/n}{1/\sqrt n} = \frac{1}{\sqrt n} .
$$

E no entanto o limite $\abs x$ não é derivável em $0$: a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) das *funções*, por mais rápida que seja, não transfere derivabilidade alguma. O fracasso é visível nas derivadas:

$$
F_n'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \frac1n}}
\longrightarrow \begin{cases} 1 & x > 0,\\ 0 & x = 0,\\
-1 & x < 0, \end{cases}
$$

um limite [pontual](#def-b2-funcseq-def) descontínuo, de modo que $(F_n')$ não pode convergir [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) perto de $0$ ([Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity) de novo). Lição final: o [Teorema 10.7](#thm-b2-funcseq-differentiation) supõe deliberadamente a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) das $f_n'$, e não das $f_n$ — este exemplo é a razão.

## 10.3 Séries de funções

**Definição 10.9.**

Uma série de funções $\sum u_n$ converge [pontualmente](#def-b2-funcseq-def)/[uniformemente](#def-b2-funcseq-def) quando suas somas parciais convergem. Ela converge *normalmente* (em $X$) quando $\sum
\norm{u_n}_\infty < \infty$. A convergência normal implica a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) (no [espaço de Banach](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-banach) das funções limitadas: [Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)), que implica a [pontual](#def-b2-funcseq-def); as duas implicações são estritas.

**Exemplo 10.10 (Uma série, três veredictos).**

Tome $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ em $\intco{0}{1}$. *[Pontualmente](#def-b2-funcseq-def):* converge para todo $x \in \intco01$ (comparação com a série geométrica). *[Normalmente](#def-b2-funcseq-series) em $\intcc{0}{a}$, $a < 1$:* $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, [somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable). *Não [normalmente](#def-b2-funcseq-series) em $\intco{0}{1}$:* $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, e $\sum\frac1n$ diverge. *Nem sequer uniformemente em $\intco{0}{1}$:* o resto resiste perto de $1$,

$$
R_N(x) = \sum_{n>N}\frac{x^n}{n}
\geq \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x^n}{n}
\geq \frac{N\,x^{2N}}{2N} = \frac{x^{2N}}{2}
\xrightarrow[x\to1^-]{} \frac12 ,
$$

logo $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ para todo $N$. Lição final: os quatro veredictos convivem em paz — a soma $-\ln(1-x)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intco{0}{1}$ porque a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) só precisa de uniformidade *perto de cada ponto*, isto é, nos segmentos $\intcc0a$; explodir na borda é direito da soma.

**Teorema 10.11 (Transferência para séries).**

Se $\sum u_n$ converge [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) (por exemplo, [normalmente](#def-b2-funcseq-series)) no conjunto relevante: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de todas as $u_n$ em $a$ passa à soma; a integração num segmento pode ser feita termo a termo; e se $\sum u_n(x_0)$ converge enquanto $\sum u_n'$ converge uniformemente em segmentos, a soma é $C^1$ com derivada $\sum u_n'$.

**Demonstração.** Tudo é o teorema correspondente aplicado às somas parciais $S_N = \sum_{n\leq N}u_n$, que são somas finitas de funções com a regularidade relevante. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity): cada $S_N$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $a$ e $S_N \to \sum u_n$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def): [Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity). Integração: no segmento,

$$
\int_a^b \sum_{n\geq0} u_n
= \lim_N \int_a^b S_N
= \lim_N \sum_{n=0}^{N}\int_a^b u_n
= \sum_{n\geq0}\int_a^b u_n
$$

pelo [Teorema 10.6](#thm-b2-funcseq-integration) (primeira igualdade) e pela linearidade da integral (segunda). Derivação: as $S_N$ são $C^1$, $S_N(x_0)$ converge e $S_N' =
\sum_{n\leq N}u_n'$ converge uniformemente em segmentos: o [Teorema 10.7](#thm-b2-funcseq-differentiation) dá que a soma é $C^1$ com derivada $\lim S_N' = \sum u_n'$. ∎

**Observação 10.12 (Armadilhas comuns).**

Quatro armadilhas, todas vistas em provas. *(i) Supremos verificados pela metade:* avaliar $f_n$ ao longo de uma sequência $x_n$ bem escolhida só minora $\norm{f_n - f}_\infty$ por *baixo* — suficiente para refutar a uniformidade (como no [Exemplo 10.2](#ex-b2-funcseq-xn)), nunca para demonstrá-la; para demonstrá-la, majore o sup por um cálculo válido para *todo* $x$. *(ii) Uniformidade no conjunto errado:* a [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) ou uniforme costuma valer em todo $\intcc{-a}{a}$ ou $\intco\delta\infty$ mas falhar na união [aberta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology); isso não é obstáculo — a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e a derivabilidade são locais, de modo que a disciplina segmento a segmento do [Exemplo 10.13](#ex-b2-funcseq-zeta) as fornece em todo o [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology). *(iii) Integrar fora de segmentos:* o [Teorema 10.6](#thm-b2-funcseq-integration) é um enunciado sobre segmentos; em $\intco0\infty$, a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) não impede a massa de escapar para o infinito ($f_n =
\frac1n\mathbf 1_{\intcc{0}{n}}$ converge [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) para $0$, com $\int f_n = 1$) — use a convergência dominada ali. *(iv) Derivar o limite:* [Exemplo 10.8](#ex-b2-funcseq-sqrtabs); a hipótese sobre derivadas recai sobre $(f_n')$, e nenhuma velocidade de convergência de $(f_n)$ pode substituí-la.

**Exemplo 10.13 (A função ζ\zetaζ de Riemann).**

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ converge [normalmente](#def-b2-funcseq-series) em toda semirreta $\intco{a}{+\infty}$, $a > 1$ ($\norm{n^{-s}}_\infty =
n^{-a}$, [somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable)): $\zeta$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intoo{1}{+\infty}$; derivando termo a termo (a série derivada $\sum -\ln n\; n^{-s}$ também converge [normalmente](#def-b2-funcseq-series) em $\intco{a}{\infty}$), $\zeta$ é $C^1$ — e, iterando, $C^\infty$ — com $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln
n}{n^s}$. Note a disciplina: a [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) é verificada em *sub*-semirretas, nunca no [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $\intoo{1}{\infty}$ propriamente dito, onde ela falha.

**Exemplo 10.14 (Uma série logarítmica, trabalhada até o fim).**

Seja $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ em $\intoo{0}{\infty}$. Cada termo é majorado em $\intco{\delta}
\infty$ por $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$, uma série geométrica convergente: [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) em todo $\intco\delta\infty$, logo $F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intoo{0}{\infty}$. A série derivada $\sum -\eu^{-nx}$ é igualmente [normalmente](#def-b2-funcseq-series) convergente em $\intco\delta\infty$ ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} =
\eu^{-n\delta}$), de modo que $F$ é $C^1$ com derivada geométrica:

$$
F'(x) = -\sum_{n\geq1}\eu^{-nx}
= \frac{-\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}}
= \frac{-1}{\eu^{x} - 1} .
$$

Iterando, $F$ é $C^\infty$. Integrando $F'$ (tanto $F$ quanto $x
\mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ se anulam em $+\infty$ e têm a mesma derivada em $\intoo0\infty$):

$$
F(x) = -\ln\bigl(1 - \eu^{-x}\bigr),
$$

a série logarítmica em $t = \eu^{-x}$. Lição final: quando $x
\to 0^+$, $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — a série diverge logaritmicamente na fronteira, exatamente como a série harmônica em que ela se transforma em $x = 0$; a [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) em $\intco\delta\infty$ mas não em $\intoo0\infty$ é o sintoma.

**Método 10.15 (Demonstrar ou refutar a convergência uniforme).**

Para $f_n \to f$ [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) em $X$:

1. Calcule ou majore $\norm{f_n - f}_\infty$ : estude a função $x \mapsto \abs{f_n(x) - f(x)}$ (derivada, monotonicidade) para localizar seu máximo; uma cota válida para todo $x$ que tenda a $0$ demonstra a uniformidade.
2. Para *refutar* : exiba pontos $x_n$ com $\abs{f_n(x_n) - f(x_n)} \not\to 0$ (muitas vezes $x_n$ acompanha a corcova móvel, como no [Exercício 10.1](#exo-b2-funcseq-1) ); ou invoque um teorema de transferência na contrapositiva — um limite descontínuo de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ( [Exemplo 10.5](#ex-b2-funcseq-threshold) ), ou $\int f_n  \not\to \int f$ num segmento.
3. Para séries, tente primeiro a [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) ( $\sum\sup\abs{u_n} < \infty$ ); se ela falhar globalmente, teste-a nos subsegmentos que importam ( [Exemplo 10.10](#ex-b2-funcseq-threemodes) ); se falhar em toda parte, a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) ainda pode valer pela cota do resto alternado ( [Exercício 10.4](#exo-b2-funcseq-4) ) ou por somação por partes.

## 10.4 O teorema de aproximação de Weierstrass

**Teorema 10.16 (Weierstrass, via Bernstein).**

Toda $f \colon \intcc{0}{1} \to \R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) é limite uniforme de polinômios — explicitamente, de seus *polinômios de Bernstein*

$$
B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f\Bigl(\frac kn\Bigr)\binom nk x^k
(1-x)^{n-k} .
$$

**Demonstração.** Fixe $x \in \intcc{0}{1}$ e ponha $p_k(x) = \binom nk x^k(1 -
x)^{n-k}$. Três identidades binomiais, obtidas avaliando $(x + y)^n$ e suas duas derivadas em $x$ em $y = 1 - x$:

$$
\sum_k p_k = 1,
\qquad
\sum_k k\,p_k = nx,
\qquad
\sum_k k(k-1) p_k = n(n-1)x^2 .
$$

Em detalhe: $(x+y)^n = \sum_k\binom nk x^ky^{n-k}$ em $y = 1-x$ é a primeira; derivando em $x$,

$$
n(x+y)^{n-1} = \sum_k k\binom nk x^{k-1}y^{n-k} ,
$$

depois multiplicando por $x$ e pondo $y = 1 - x$ obtém-se a segunda; derivando duas vezes e multiplicando por $x^2$ obtém-se a terceira. Desenvolvendo $(k - nx)^2 = k(k-1) + k(1 - 2nx) +
n^2x^2$ e combinando as três:

$$
\sum_k (k - nx)^2 p_k
= n(n-1)x^2 + nx(1 - 2nx) + n^2x^2
= nx(1 - x) \leq \frac n4 ,
$$

a *identidade da variância*.

Agora estime, usando $\sum p_k = 1$:

$$
\abs{B_n(f)(x) - f(x)}
\leq \sum_{k} \Bigl| f\Bigl(\frac kn\Bigr) - f(x)\Bigr|\, p_k(x)
= \Sigma_{\text{perto}} + \Sigma_{\text{longe}} ,
$$

separando conforme $\abs{\frac kn - x} \leq \delta$ ou não. Dado $\varepsilon > 0$, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme de $f$ (Heine) fornece $\delta$ com $\Sigma_{\text{perto}} \leq \varepsilon$. Para a soma distante, com $M = \norm f_\infty$: pela identidade da variância e pelo truque de contagem de Chebyshev,

$$
\Sigma_{\text{longe}} \leq 2M \sum_{\abs{k - nx} > n\delta} p_k
\leq 2M\,\frac{\sum_k (k - nx)^2 p_k}{n^2\delta^2}
\leq \frac{2M}{4 n \delta^2} \cdot 1
= \frac{M}{2n\delta^2}
\xrightarrow[n\to\infty]{} 0 ,
$$

uniformemente em $x$. Logo $\norm{B_n(f) - f}_\infty \leq \varepsilon +
\frac{M}{2n\delta^2} \leq 2\varepsilon$ para $n$ grande. ∎

**Observação 10.17.**

Por substituição afim o teorema vale em qualquer segmento $\intcc{a}{b}$. Ele falha em $\R$ (um limite uniforme de polinômios em $\R$ é um polinômio: [Exercício 10.8](#exo-b2-funcseq-8)). A leitura probabilística — $B_n(f)(x)$ é o valor esperado de $f$ numa média binomial, e a cota da variância é a desigualdade de Chebyshev — é tornada honesta no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/23-funcoes-geradoras-de-probabilidade#ch-b2-genfun).

![Aproximação de Bernstein de f(x) = x2 (em vermelho), usando a fórmula exata B_nf = x2 + x(1-x)/n do : B_1f é a corda, e cada duplicação de n divide o vão pela metade. Confiável mas lento — a saturação em 1n que o teorema de Voronovskaya (problema de fim de semana) torna exata.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-funcseq/fig-2abb4eedd98f.svg)

*Aproximação de Bernstein de $f(x) = x^2$ (em vermelho), usando a fórmula exata $B_nf = x^2 + \frac{x(1-x)}{n}$ do [Exercício 10.7](#exo-b2-funcseq-7): $B_1f$ é a corda, e cada duplicação de $n$ divide o vão pela metade. Confiável mas lento — a saturação em $\frac1n$ que o teorema de Voronovskaya (problema de fim de semana) torna exata.*

**Observação 10.18 (Onde isso é usado).**

A aproximação de Weierstrass é o teorema de densidade da análise clássica: ele torna $C(\intcc ab)$ separável, permite verificar identidades integrais apenas em polinômios (problemas de momentos) e sustenta a versão trigonométrica demonstrada no capítulo de Fourier pelo núcleo de Fejér. O problema de fim de semana deste capítulo extrai o conteúdo quantitativo da demonstração de Bernstein — taxas de convergência governadas pelo módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — e depois isola o que realmente a fez funcionar, no teorema de Korovkin: positividade mais três funções de teste. O volume do terceiro ano de graduação generaliza o enunciado de densidade a subálgebras arbitrárias (Stone–Weierstrass) e a espaços [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact).

**Exemplo 10.19 (Aproximação poligonal, com uma taxa).**

Para $f$ $L$-lipschitziana em $\intcc{0}{1}$, seja $I_nf$ a interpolante afim por partes nos nós $\frac kn$. Numa célula $\intcc{\frac kn}{\frac{k+1}n}$, tanto $f(x)$ quanto $I_nf(x)$ ficam entre os valores extremos que uma função $L$-lipschitziana pode assumir dados os dois valores nodais, de modo que, para $x$ na célula, escrevendo $x_k = \frac kn$:

$$
\abs{I_nf(x) - f(x)}
\leq \abs{I_nf(x) - f(x_k)} + \abs{f(x_k) - f(x)}
\leq L\,\abs{x - x_k} + L\,\abs{x - x_k}
\leq \frac{2L}{n}
$$

(a interpolante é ela própria $L$-lipschitziana na célula: sua inclinação é um quociente de diferenças de $f$). Logo $\norm{I_nf -
f}_\infty \leq \frac{2L}{n}$: a aproximação poligonal de funções [lipschitzianas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) converge com velocidade $\frac1n$ — *mais rápido* que o $\frac{1}{\sqrt n}$ de Bernstein para a mesma classe (problema de fim de semana, Parte II). Lição final: o polígono interpola mas não é suave, Bernstein é suave mas lento; não há almoço grátis entre a regularidade do aproximante e a velocidade — um compromisso precisado pelos resultados de saturação do problema de fim de semana.

**Observação 10.20 (Perspectivas dentro deste volume).**

A [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) é o cavalo de batalha deste livro daqui em diante. O capítulo de séries de potências roda inteiramente sobre a [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) em subdiscos [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) — todo teorema termo a termo lá é um caso particular dos teoremas de transferência deste capítulo. O capítulo de Fourier mora um andar acima: suas somas parciais $S_N$ falham exatamente onde este capítulo avisa que poderiam ([pontualmente](#def-b2-funcseq-def) mas não [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) nos saltos), e suas médias de Fejér têm êxito pela mesma mecânica dos $3\varepsilon$ que demonstrou o [Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity). O capítulo de equações diferenciais define $\eu^{tA}$ por uma série [normalmente](#def-b2-funcseq-series) convergente e a deriva termo a termo — literalmente o [Teorema 10.11](#thm-b2-funcseq-seriestransfer) aplicado às entradas das matrizes. Quando, mais adiante no livro, restar dúvida sobre “por que podemos fazer isso”, a resposta costuma ser um teorema deste capítulo.

## 10.5 Exercícios

**Exercício 10.1 ★.**

Estude a [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def) e a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) em $\intcc{0}{1}$, e depois em $\intcc{0}{a}$ ($a < 1$) ou $\intco{\delta}{1}$ conforme o caso, de:

$$
f_n(x) = \frac{x}{1 + nx},
\qquad
g_n(x) = n x\,\eu^{-n x^2},
\qquad
h_n(x) = x^n(1 - x^n).
$$

**Solução de Exercício 10.1.**

$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$: limite [pontual](#def-b2-funcseq-def) $0$ em $\intcc{0}{1}$. [Uniformemente](#def-b2-funcseq-def): $f_n$ cresce em $\intcc{0}{1}$ (derivada $\frac{1}{(1+nx)^2} > 0$), logo $\norm{f_n}_\infty = f_n(1) =
\frac{1}{1+n} \to 0$: *uniforme* em $\intcc{0}{1}$.

$g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2}$: limite [pontual](#def-b2-funcseq-def) $0$ (a exponencial vence). Sup: $g_n' = n\eu^{-nx^2}(1 - 2nx^2)$ anula-se em $x_n =
\frac{1}{\sqrt{2n}}$, onde $g_n(x_n) = \sqrt{\frac n2}\,\eu^{-1/2}
\to \infty$: não uniforme em $\intcc{0}{1}$ — mas uniforme em $\intco{\delta}{1}$, pois aí $g_n(x) \leq n\,\eu^{-n\delta^2}
\to 0$.

$h_n(x) = x^n(1 - x^n)$: limite [pontual](#def-b2-funcseq-def) $0$ em $\intcc{0}{1}$ (os dois fatores; em $x = 1$, $h_n = 0$). Sup: com $u = x^n \in
\intcc{0}{1}$, $u(1-u) \leq \frac14$ atingido em $u = \frac12$, isto é, $x = 2^{-1/n} \in \intoo{0}{1}$: $\norm{h_n}_\infty =
\frac14 \not\to 0$: não uniforme em $\intcc{0}{1}$; uniforme em $\intcc{0}{a}$ ($\sup \leq a^n \to 0$).

**Exercício 10.2 ★.**

Prove que $\displaystyle\int_0^1 g_n \not\to \int_0^1 \lim g_n$ para as $g_n$ do [Exercício 10.1](#exo-b2-funcseq-1), e concilie com o [Teorema 10.6](#thm-b2-funcseq-integration).

**Solução de Exercício 10.2.**

$\int_0^1 nx\,\eu^{-nx^2}\dd x = \bigl[-\tfrac12
\eu^{-nx^2}\bigr]_0^1 = \frac{1 - \eu^{-n}}{2} \to \frac12$, enquanto $\int_0^1 \lim g_n = 0$. Não há contradição: o [Teorema 10.6](#thm-b2-funcseq-integration) exige convergência *uniforme* no segmento, o que aqui falha (a corcova de altura $\sim\sqrt n$ desliza rumo a $0$).

**Exercício 10.3 ★.**

Prove que $S(x) = \sum_{n\geq1} \dfrac{x^n}{n^2}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{-1}{1}$ e que $S$ é $C^1$ em $\intoo{-1}{1}$ com $S'(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x}$ para $0 < \abs x < 1$.

**Solução de Exercício 10.3.**

[Convergência normal](#def-b2-funcseq-series) em $\intcc{-1}{1}$: $\norm{x^n/n^2}_\infty =
\frac{1}{n^2}$, [somável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable): $S$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) aí ([Teorema 10.11](#thm-b2-funcseq-seriestransfer)).

Derivada: a série derivada $\sum \frac{x^{n-1}}{n}$ converge [normalmente](#def-b2-funcseq-series) em todo $\intcc{-a}{a}$, $a < 1$ ($\sup =
\frac{a^{n-1}}{n}$): $S$ é $C^1$ em $\intoo{-1}{1}$ com

$$
S'(x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^{n-1}}{n} = \frac1x \sum_{n\geq1}
\frac{x^n}{n} = -\frac{\ln(1 - x)}{x}
\qquad (0 < \abs x < 1),
$$

sendo a última identidade a série logarítmica do primeiro ano (redemonstrada honestamente no [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/11-series-de-potencias#ch-b2-powerseries)).

**Exercício 10.4 ★★.**

Seja $F(x) = \sum_{n \geq 0} \dfrac{(-1)^n}{n + x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$. Prove a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) (não normal) em $\intco{\delta}{\infty}$ pela cota do resto de série alternada, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e a equação funcional $F(x) + F(x + 1) =
\frac1x$.

**Solução de Exercício 10.4.**

Para $x > 0$ fixo a série é alternada com $\frac{1}{n + x}
\downarrow 0$: [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def), e a cota do resto $\abs{R_N(x)} \leq \frac{1}{N + 1 + x} \leq \frac{1}{N+1}$ é *uniforme* em $\intco{\delta}{\infty}$ (de fato, em $\intoo{0}{\infty}$): [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def). (Não normal: $\norm{\frac{(-1)^n}{n+x}}_\infty = \frac{1}{n + \delta}$, divergente.) A [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) decorre do [Teorema 10.11](#thm-b2-funcseq-seriestransfer).

Equação funcional: reindexe $F(x + 1)$ com $m = n + 1$:

$$
F(x+1) = \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n}{n + 1 + x}
= \sum_{m\geq1}\frac{(-1)^{m-1}}{m+x} ,
$$

de modo que, isolando o termo $m = 0$ de $F(x)$,

$$
F(x) + F(x+1)
= \frac{1}{x} + \sum_{m\geq1}
\frac{(-1)^m + (-1)^{m-1}}{m+x} = \frac1x .
$$

**Exercício 10.5 ★★.**

(Dini) Sejam $f_n \colon K \to \R$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num *[espaço métrico compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact)*, com $f_n \to f$ *[pontualmente](#def-b2-funcseq-def)*, $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $(f_n(x))$ *decrescente* em $n$ para cada $x$. Prove que a convergência é uniforme. *(Dado $\varepsilon$, os [abertos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $U_n = \{x : f_n(x) - f(x) < \varepsilon\}$ crescem e cobrem $K$; extraia uma subcobertura finita — [Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue).)*

**Solução de Exercício 10.5.**

Ponha $g_n = f_n - f \geq 0$ (decrescente em $n$, por hipótese; o limite é $0$ [pontualmente](#def-b2-funcseq-def)); cada $g_n$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). Fixe $\varepsilon
> 0$ e ponha $U_n = \{x : g_n(x) < \varepsilon\}$: [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) (imagem inversa de um [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology)), crescente ($g_{n+1} \leq g_n$) e cobrindo $K$ ([convergência pontual](#def-b2-funcseq-def)). Por Borel–Lebesgue ([Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue)), um número finito de $U_{n_1}
\subseteq \dots \subseteq U_{n_k}$ cobre $K$: logo $K = U_{n_k}$, isto é, $\norm{g_{n_k}}_\infty \leq \varepsilon$ e, pela monotonicidade, $\norm{g_n}_\infty \leq \varepsilon$ para todo $n \geq n_k$: [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def). (A monotonicidade é essencial: as corcovas deslizantes do [Exercício 10.2](#exo-b2-funcseq-2) convergem [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) num [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) sem uniformidade.)

**Exercício 10.6 ★★.**

Prove que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^1
\frac{n\,f(x)}{1 + n^2x^2}\,\dd x = \frac{\pi}{2} f(0)$ para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{0}{1}$. *(Substitua $u = nx$; separe $f(0)$; domine.)*

**Solução de Exercício 10.6.**

Substitua $u = nx$:

$$
\int_0^1 \frac{n f(x)}{1 + n^2x^2}\dd x
= \int_0^n \frac{f(u/n)}{1 + u^2}\,\dd u .
$$

Os integrandos $h_n(u) = \frac{f(u/n)}{1+u^2}\mathbf{1}_{u \leq n}$ convergem [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) para $\frac{f(0)}{1+u^2}$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f$ em $0$) e são dominados por $\frac{\norm f_\infty}{1 + u^2}$, integrável em $\intco{0}{\infty}$: a convergência dominada ([Teorema 9.6](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-dominated)) dá o limite

$$
\int_0^\infty \frac{f(0)}{1 + u^2}\dd u = \frac{\pi}{2} f(0) .
$$

(Os núcleos se concentram em $0$: uma identidade aproximada.)

**Exercício 10.7 ★★.**

Calcule explicitamente os [polinômios de Bernstein](#thm-b2-funcseq-weierstrass) de $f(x) = x^2$ e verifique o erro uniforme $\norm{B_n f - f}_\infty =
O\bigl(\frac1n\bigr)$ previsto pela demonstração do [Teorema 10.16](#thm-b2-funcseq-weierstrass) — aqui exatamente $\frac{x(1 -
x)}{n}$ em cada ponto.

**Solução de Exercício 10.7.**

Para $f(x) = x^2$, use a segunda família de identidades binomiais da demonstração: $\sum_k k^2 p_k = n(n-1)x^2 + nx$. Logo

$$
B_n(f)(x) = \sum_k \frac{k^2}{n^2}\,p_k
= \frac{n(n-1)x^2 + nx}{n^2}
= x^2 + \frac{x(1 - x)}{n} :
$$

$B_n(f) - f = \frac{x(1-x)}{n}$, de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) do sup $\frac{1}{4n} =
O\bigl(\frac1n\bigr)$, como previsto.

**Exercício 10.8 ★★.**

Prove que, se polinômios $P_n$ convergem [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) *em todo o $\R$* para $f$, então $f$ é um polinômio. *(Para $m, n$ grande, $P_n - P_m$ é um polinômio limitado em $\R$, logo constante; assim a sequência se estabiliza a menos de constantes.)*

**Solução de Exercício 10.8.**

Para $\varepsilon = 1$ existe $N$ com $\norm{P_n - P_m}_{\infty,
\R} \leq 1$ para $m, n \geq N$. Um polinômio limitado em $\R$ é constante (um não constante tende a $\pm\infty$): $P_n - P_m =
c_{n,m}$, constantes. Logo, para $n \geq N$: $P_n = P_N + c_n$ com $c_n = P_n(0) - P_N(0)$ convergente ([convergência pontual](#def-b2-funcseq-def) em $0$). Portanto $f = \lim P_n = P_N + \lim c_n$: um polinômio.

**Exercício 10.9 ★★★.**

(Uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em nenhum ponto derivável — guiado) Seja $\varphi$ a distância ao inteiro mais próximo ($1$-periódica, $\norm{\varphi}_\infty = \frac12$, $1$-lipschitziana) e

$$
W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{\!n}
\varphi(4^n x) .
$$

Prove: (a) $W$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\R$ ([convergência normal](#def-b2-funcseq-series)); (b) para todo $x$ e todo $m$, escolhendo $h_m = \pm\frac12\cdot 4^{-m}$ com o sinal que torna $\varphi$ afim no segmento de $4^m x$ a $4^m(x + h_m)$, o quociente de diferenças satisfaz

$$
\Bigl|\frac{W(x + h_m) - W(x)}{h_m}\Bigr| \geq 3^m -
\sum_{n<m} 3^n \geq \frac{3^m + 1}{2} \xrightarrow[m\to\infty]{}
\infty
$$

(os termos $n > m$ se anulam por periodicidade; o termo $n = m$ contribui exatamente com $3^m$; os termos $n < m$ são majorados pela propriedade [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)). Conclua que $W$ não é derivável em ponto algum.

**Solução de Exercício 10.9.**

(a) $\norm{(3/4)^n\varphi(4^n\cdot)}_\infty = \frac12
(3/4)^n$: [convergência normal](#def-b2-funcseq-series), logo $W$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 10.11](#thm-b2-funcseq-seriestransfer)).

(b) Fixe $x$, $m$; escolha o sinal de $h_m = \pm\frac12 4^{-m}$ de modo que o segmento $\intcc{4^mx}{4^m(x + h_m)}$ (de comprimento $\frac12$) não contenha semi-inteiro algum, tornando $\varphi$ afim de inclinação $\pm1$ nele (possível: um intervalo de comprimento $\frac12$ encontra no máximo um ponto semi-inteiro; escolha o lado que o evita).

Para $n > m$: $4^n h_m = \pm\frac12 4^{n-m}$ é inteiro, e $\varphi$ é $1$-periódica: o $n$-ésimo termo da diferença se anula.

Para $n = m$: $\abs{\varphi(4^m x + 4^m h_m) - \varphi(4^m x)} =
\abs{4^m h_m} = \frac12$ ($\varphi$ afim de inclinação $\pm 1$ no segmento), de modo que o termo contribui exatamente com $(3/4)^m \cdot
\frac{1/2}{\abs{h_m}} = (3/4)^m\,4^m = 3^m$ no quociente.

Para $n < m$: a $1$-lipschitziana $\varphi$ dá $\bigl|(3/4)^n\bigl(\varphi(4^nx + 4^nh_m) -
\varphi(4^nx)\bigr)\bigr| \leq (3/4)^n 4^n\abs{h_m} =
3^n\abs{h_m}$: cada um contribui no máximo com $3^n$ para o quociente.

Logo

$$
\Bigl|\frac{W(x + h_m) - W(x)}{h_m}\Bigr|
\geq 3^m - \sum_{n=0}^{m-1} 3^n
= 3^m - \frac{3^m - 1}{2} = \frac{3^m + 1}{2}
\longrightarrow \infty .
$$

Se $W$ fosse derivável em $x$, todo quociente de diferenças ao longo de $h_m \to 0$ convergiria para $W'(x)$: contradição. $W$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em toda parte e derivável em nenhuma.

**Exercício 10.10 ★.**

Seja $u_n(x) = (-1)^n x^n(1 - x)$ em $\intcc{0}{1}$. Mostre que $\sum u_n$ converge [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) em $\intcc{0}{1}$ e calcule sua soma; mostre que a convergência é uniforme em $\intcc{0}{1}$ *(majore o resto $R_N(x) = \sum_{n > N} u_n(x)$, uma cauda geométrica, por seu primeiro termo e maximize $x^{N+1}(1-x)$)* mas *não* normal *(calcule $\norm{u_n}_\infty$)*: a [convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def) é estritamente mais fraca que a [convergência normal](#def-b2-funcseq-series). Contraste com $\sum x^n(1-x)$, cuja soma é descontínua em $1$: ali até a uniformidade falha.

**Solução de Exercício 10.10.**

[Pontualmente](#def-b2-funcseq-def): para $x \in \intco{0}{1}$ a série é geométrica de razão $-x$,

$$
\sum_{n\geq0}(-1)^n x^n(1-x) = \frac{1-x}{1+x},
$$

e em $x = 1$ todo termo se anula: soma $0 = \frac{1-1}{2}$, coerente — a soma é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\intcc{0}{1}$. Uniformidade: o resto é uma cauda geométrica,

$$
\abs{R_N(x)} = \frac{x^{N+1}(1-x)}{1+x} \leq x^{N+1}(1 - x)
\leq \max_{\intcc01} t^{N+1}(1-t)
= \frac{1}{N+2}\Bigl(\frac{N+1}{N+2}\Bigr)^{\!N+1}
\leq \frac{1}{N+2} \to 0 ,
$$

uniformemente em $x$. Não normal: $\norm{u_n}_\infty =
\max x^n(1-x) = \frac{1}{n+1}\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^n \sim
\frac{1}{\eu\,n}$, e $\sum \frac1{\eu n}$ diverge. Contraste: $\sum x^n(1-x)$ tem somas parciais $1 - x^{N+1}$, convergindo [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) para a *descontínua* $\mathbf 1_{\intco01}$: pelo [Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity), essa convergência não pode ser uniforme em $\intcc{0}{1}$.

**Exercício 10.11 ★★.**

Seja $f_n \to f$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) num [espaço métrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-def) $X$, cada $f_n$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), e seja $x_n \to x$ em $X$. Prove que $f_n(x_n) \to
f(x)$. Mostre, por um exemplo em $X = \intcc{0}{1}$, que a [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def) não basta, mesmo com $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) *(use as corcovas $g_n$ do [Exercício 10.1](#exo-b2-funcseq-1) e $x_n =
\frac{1}{\sqrt{2n}}$)*.

**Solução de Exercício 10.11.**

O limite $f$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 10.4](#thm-b2-funcseq-continuity)). Então

$$
\abs{f_n(x_n) - f(x)}
\leq \abs{f_n(x_n) - f(x_n)} + \abs{f(x_n) - f(x)}
\leq \norm{f_n - f}_\infty + \abs{f(x_n) - f(x)} ,
$$

e os dois termos tendem a $0$ ([convergência uniforme](#def-b2-funcseq-def); [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f$ em $x$). Contraexemplo sob mera [convergência pontual](#def-b2-funcseq-def): $g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2} \to 0$ [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) em $\intcc{0}{1}$ com $g_n$ e o limite [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), e no entanto, em $x_n =
\frac{1}{\sqrt{2n}} \to 0$:

$$
g_n(x_n) = \sqrt{\frac n2}\,\eu^{-1/2} \longrightarrow +\infty
\neq 0 = f(0) .
$$

**Exercício 10.12 ★★★.**

(Uma equação integral de Volterra por séries) Para $f \in
C(\intcc{0}{1})$ defina $Tf(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$.

1. Mostre por indução que, para $n \geq 1$: $$T^n f(x) = \int_0^x \frac{(x -  t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f(t)\,\dd t,  \qquad  \norm{T^n f}_\infty \leq \frac{\norm f_\infty}{n!} .$$
2. Deduza que $S = \sum_{n\geq0} T^n f$ converge [normalmente](#def-b2-funcseq-series) em $\intcc{0}{1}$ e resolve a equação integral $S = f  + TS$ .
3. Verifique que $S(x) = f(x) + \int_0^x \eu^{x-t}f(t)\,\dd  t$ resolve a mesma equação e demonstre a unicidade das soluções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) *(se $S = TS$ então $\norm{S}_\infty \leq \norm{T^nS}_\infty \to 0$)* : conclua a forma fechada da soma.

**Solução de Exercício 10.12.**

1. Indução. $n = 1$ é a definição. Suponha a fórmula para $n$ e ponha $g(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!}  f(t)\dd t$. Para um integrando [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $(x,t)$ e $C^1$ em $x$, a [integral com parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-continuity) de limite variável deriva-se como $$g'(x) = \frac{(x-x)^n}{n!}f(x)  + \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)\dd t  = T^nf(x)$$ (separe $g(x+h) - g(x)$ na faixa $\int_x^{x+h}$, que é $O(h\cdot\sup)$ com o integrando anulando-se em $t = x$ como $h^n$, e na integral fixa do incremento em $x$, tratada pela desigualdade do valor médio e pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)). Além disso, $(T^{n+1}f)' = T^nf$ (teorema fundamental do cálculo) e $g(0) =  T^{n+1}f(0) = 0$: duas primitivas de $T^nf$ que se anulam em $0$ coincidem, logo $T^{n+1}f = g$. A cota: $$\abs{T^nf(x)} \leq \norm f_\infty  \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\dd t  = \norm f_\infty\,\frac{x^n}{n!}  \leq \frac{\norm f_\infty}{n!} .$$
2. $\sum_n \norm{T^nf}_\infty \leq \eu\,\norm f_\infty$ : [convergência normal](#def-b2-funcseq-series) , logo uniforme; $S$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) . As somas parciais satisfazem $S_N = f + T S_{N-1}$ , e $T$ é $1$ -lipschitziana para $\norm\cdot_\infty$ ( $\abs{Tg(x)} \leq x\norm g_\infty$ ): fazendo $N \to  \infty$ nos dois lados obtém-se $S = f + TS$ .
3. Ponha $V(x) = f(x) + \eu^x\int_0^x \eu^{-t}f(t)\dd t$. Então $V - f$ é $C^1$ com $(V-f)'(x) =  \eu^x\int_0^x\eu^{-t}f + f(x) = V(x)$, e $(TV)' = V$ com $(V - f)(0) = TV(0) = 0$: logo $V - f = TV$, isto é, $V$ resolve a equação. Unicidade: se $S_1, S_2$ são soluções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), $D = S_1 - S_2$ satisfaz $D =  TD$, logo $D = T^nD$ para todo $n$ e $\norm D_\infty  \leq \frac{\norm D_\infty}{n!} \to 0$: $D = 0$. Portanto $$\sum_{n\geq0} T^nf(x) = f(x) +  \int_0^x \eu^{x-t}f(t)\,\dd t .$$ (A série $\sum T^n$ é uma série geométrica de operadores: um primeiro gostinho do resolvente $(\mathrm{Id} - T)^{-1}$, desenvolvido no volume do terceiro ano de graduação.)

## 10.6 Problema: taxas de aproximação e o teorema de Korovkin

**Problema 10.1.**

A demonstração de Bernstein do [Teorema 10.16](#thm-b2-funcseq-weierstrass) esconde dois tesouros. Primeiro, ela é *quantitativa*: quão rápido $B_nf
\to f$ é governado pelo módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f$, com a taxa ótima atingida por $\abs{x - \frac12}$. Segundo, ela é *estrutural*: tudo o que importou foi que $B_n$ é um operador linear positivo que se comporta bem em $1$, $x$, $x^2$ — essa observação, isolada, é o *teorema de Korovkin*. Este problema demonstra os dois e fecha com a assintótica exata de Voronovskaya. Em todo o problema, $f \in C(\intcc{0}{1})$, $M = \norm f_\infty$, $p_k(x) = \binom
nk x^k(1-x)^{n-k}$ e $e_j$ denota $x \mapsto x^j$.

**Parte I — O operador de Bernstein.**

1. Mostre que $B_n$ é linear, *positivo* ( $f \geq 0  \Rightarrow B_nf \geq 0$ ), logo monótono ( $f \leq g  \Rightarrow B_nf \leq B_ng$ ), com $\norm{B_nf}_\infty \leq \norm f_\infty$ , e que $B_nf$ interpola $f$ nas duas extremidades.
2. Redemonstre as identidades $B_n e_0 = e_0$ , $B_n e_1 =  e_1$ e $B_n e_2 = e_2 + \frac{e_1 - e_2}{n}$ *(derive $(x + y)^n$ duas vezes e ponha $y = 1 -  x$)* .
3. Deduza a identidade da variância $\sum_k \bigl(\frac kn -  x\bigr)^2 p_k(x) = \frac{x(1-x)}{n}$ e, por Cauchy–Schwarz, a cota do primeiro momento $$\sum_{k=0}^{n}\Bigl|\frac kn - x\Bigr|\,p_k(x)  \leq \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt n} .$$
4. Mostre que, se $f$ é convexa, então $B_nf \geq f$ em $\intcc{0}{1}$ *(desigualdade de Jensen finita para os pesos $p_k(x)$)* .
5. (A cota de contagem de Chebyshev, reformulada) Para $\delta > 0$ mostre que $$\sum_{\abs{k/n - x} > \delta} p_k(x)  \leq \frac{x(1-x)}{n\delta^2}  \leq \frac{1}{4n\delta^2} ,$$ e dê a leitura probabilística: $B_nf(x)$ promedia $f$ sobre uma média amostral binomial que se concentra em $x$.

**Parte II — Taxas: o módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).** Para $\delta > 0$ ponha $\omega(\delta) = \sup\{\abs{f(s) - f(t)}
: s, t \in \intcc{0}{1},\ \abs{s - t} \leq \delta\}$.

6. Mostre: $\omega$ é finito, não decrescente, $\omega(\delta) \to 0$ quando $\delta \to 0^+$ (Heine), subaditivo ( $\omega(\delta_1 + \delta_2) \leq  \omega(\delta_1) + \omega(\delta_2)$ ) e $\omega(\lambda\delta) \leq (1 +  \lambda)\,\omega(\delta)$ para todos $\lambda > 0$ .
7. Demonstre a estimativa mestra, para todo $\delta > 0$: $$\abs{B_nf(x) - f(x)}  \leq \sum_k \omega\Bigl(\Bigl|\frac kn -  x\Bigr|\Bigr)p_k(x)  \leq \Bigl(1 + \frac1\delta\sum_k\Bigl|\frac kn -  x\Bigr|p_k(x)\Bigr)\,\omega(\delta) .$$
8. Escolha $\delta = n^{-1/2}$ e conclua o *teorema de Weierstrass quantitativo*: $$\norm{B_nf - f}_\infty \leq  \frac32\,\omega\Bigl(\frac{1}{\sqrt n}\Bigr)  \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 .$$
9. Deduza as taxas: $\norm{B_nf - f}_\infty \leq  \frac{3L}{2\sqrt n}$ para $f$ $L$ -lipschitziana, e $\leq  \frac32 C n^{-\alpha/2}$ para $f$ $\alpha$ -hölderiana ( $\abs{f(s) - f(t)} \leq C\abs{s-t}^\alpha$ ).
10. (O exemplo ótimo — uma identidade binomial) Para $m  \geq 1$ prove $$\sum_{k=m+1}^{2m} (k - m)\binom{2m}{k}  = \frac{m}{2}\binom{2m}{m},  \qquad\text{logo}\qquad  \sum_{k=0}^{2m}\abs{k - m}\binom{2m}{k}  = m\binom{2m}{m}$$ *(use $k\binom{2m}k = 2m\binom{2m-1}{k-1}$ e a simetria da linha binomial, que dá $\sum_{j=m}^{2m-1}\binom{2m-1}{j} = 2^{2m-2}$)*.
11. Para $f(t) = \abs{t - \frac12}$ deduza o valor exato e sua assintótica (binomial central, [Exemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-centralbinomial)): $$B_{2m}f\Bigl(\frac12\Bigr) - f\Bigl(\frac12\Bigr)  = \frac{\binom{2m}{m}}{2\cdot4^{m}}  \;\sim\; \frac{1}{2\sqrt{\pi m}} :$$ a taxa $\omega(n^{-1/2})$ da questão 8 é atingida (a menos de uma constante) — para $f$ apenas [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), o $n^{-1/2}$ de Bernstein é honesto.

**Parte III — O teorema de Korovkin.** Seja $(L_n)$ uma sequência de operadores *lineares positivos* de $C(\intcc{0}{1})$ em si mesmo tal que $L_ne_j \to e_j$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) para $j = 0, 1, 2$.

12. Mostre que um $L$ linear positivo é monótono e satisfaz $\abs{Lf} \leq L\abs f$ [pontualmente](#def-b2-funcseq-def) .
13. Mostre: para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, para *todos* $s, x \in \intcc{0}{1}$: $$\abs{f(s) - f(x)} \leq \varepsilon +  \frac{2M}{\delta^2}(s - x)^2$$ *(trate $\abs{s - x} \leq \delta$ por Heine e $\abs{s-x} > \delta$ pela cota bruta $2M$)*.
14. Fixe $x$, aplique $L_n$ à desigualdade da questão 13 na variável $s$ e deduza $$\abs{L_nf(x) - f(x)\,L_ne_0(x)}  \leq \varepsilon\,L_ne_0(x) + \frac{2M}{\delta^2}  \bigl(L_ne_2(x) - 2x\,L_ne_1(x) + x^2 L_ne_0(x)\bigr).$$
15. Mostre que $\sup_x \bigl(L_ne_2(x) - 2x\,L_ne_1(x) + x^2  L_ne_0(x)\bigr) \to 0$ e depois monte o *teorema de Korovkin* : $L_nf \to f$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) para *toda* $f \in C(\intcc{0}{1})$ .
16. Verifique que $(B_n)$ satisfaz as hipóteses de Korovkin: Weierstrass pela terceira vez, a partir de três monômios.
17. Seja $I_n$ o operador de interpolação afim por partes nos nós $\frac kn$ . Mostre que $I_n$ é linear positivo, $I_ne_0 = e_0$ , $I_ne_1 = e_1$ , e $\norm{I_ne_2 - e_2}_\infty = \frac{1}{4n^2}$ *(em cada célula o erro da interpolação afim de $t^2$ é $(t - a)(b - t)$)* . Conclua por Korovkin: as interpolantes poligonais convergem [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) .

**Parte IV — Dividendos: densidade, momentos, derivadas.**

18. Mostre que os polinômios com coeficientes *racionais* são densos em $\bigl(C(\intcc{0}{1}),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ : esse [espaço de Banach](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-banach) é separável.
19. (Os momentos determinam a função) Seja $f \in  C(\intcc{0}{1})$ com $\int_0^1 f(t)\,t^n \dd t = 0$ para todo $n \in \N$ . Mostre que $\int_0^1 f P = 0$ para todo polinômio, depois que $\int_0^1 f^2 = 0$ e por fim que $f = 0$ .
20. Demonstre a identidade da derivada $$(B_nf)'(x) = n\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(  f\Bigl(\frac{k+1}{n}\Bigr) -  f\Bigl(\frac kn\Bigr)\Bigr)\,  \binom{n-1}{k}x^k(1-x)^{n-1-k}$$ *(derive $p_k$ e reindexe — uma [transformação de Abel](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-abel))*.
21. Suponha $f$ de classe $C^1$ . Usando o teorema do valor médio em cada incremento e comparando com $B_{n-1}(f')$ , mostre que $(B_nf)' \to f'$ uniformemente em $\intcc{0}{1}$ . Deduza: para $f \in C^1$ existem polinômios que convergem para $f$ *junto com* suas derivadas.
22. Suponha $f$ de classe $C^2$. Por Taylor–Lagrange em $x$ mostre que $$\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq  \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\cdot\frac{x(1-x)}{n}  \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{8n} :$$ a suavidade eleva a taxa de $n^{-1/2}$ para $n^{-1}$.

**Parte V — Saturação: o teorema de Voronovskaya.**

23. Demonstre a identidade do quarto momento $$\sum_k (k - nx)^4 p_k(x)  = nx(1-x)\bigl(1 + 3(n-2)x(1-x)\bigr) \leq n^2  \quad (n \geq 1)$$ *(desenvolva $k^4$ em fatoriais descendentes $k(k-1)\cdots$ e use o truque de derivação da questão 2 mais duas vezes)*.
24. (Voronovskaya) Seja $f$ de classe $C^2$ e $x \in  \intcc{0}{1}$. Escrevendo $f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) +  \frac{f''(x)}2(t-x)^2 + \eta(t)(t-x)^2$ com $\eta$ limitada e $\eta(t) \to 0$ quando $t \to x$, prove que $$n\bigl(B_nf(x) - f(x)\bigr)  \xrightarrow[n\to\infty]{}  \frac{x(1-x)}{2}\,f''(x)$$ *(separe a soma em $\eta$ em $\abs{t - x} \leq  \delta$; controle a parte distante com a questão 23)*. Assim o erro da questão 22 é exato em ordem *e* em constante: $B_n$ *satura* em $\frac1n$, por mais suave que $f$ seja — compare com o [Exercício 10.7](#exo-b2-funcseq-7).
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) o que só a positividade comprou (Partes I e III); (ii) onde a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) de $\intcc{0}{1}$ entrou em todas as partes; (iii) por que três funções de teste bastam no teorema de Korovkin; (iv) o compromisso que Bernstein faz ( $n^{-1/2}$ robusto para $f$ rugosa, mas um teto de $\frac1n$ para $f$ suave), e qual capítulo deste livro jogará o mesmo jogo com polinômios trigonométricos.

**Solução de Problema 10.1.**

**1.** A linearidade é clara pela fórmula. Positividade: os pesos $p_k(x) \geq 0$, de modo que $f \geq 0$ força $B_nf \geq
0$; a monotonicidade segue aplicando isso a $g - f$. Cota: $\pm f \leq
\norm f_\infty$ dá $\pm B_nf \leq \norm f_\infty B_ne_0 =
\norm f_\infty$. Extremidades: $p_k(0) = \mathbf 1_{k=0}$ e $p_k(1) = \mathbf 1_{k=n}$, logo $B_nf(0) = f(0)$, $B_nf(1) =
f(1)$.

**2.** Derive $(x+y)^n = \sum_k\binom nk x^ky^{n-k}$ em $x$, multiplique por $x$ e ponha $y = 1 - x$:

$$
nx = \sum_k k\,p_k(x) ;
$$

duas vezes, multiplicando por $x^2$: $n(n-1)x^2 = \sum_k k(k-1)p_k(x)$. Logo $B_ne_0 = 1$ (binômio de Newton), $B_ne_1(x) =
\frac{nx}{n} = x$ e

$$
B_ne_2(x) = \frac{\sum_k k^2p_k}{n^2}
= \frac{n(n-1)x^2 + nx}{n^2}
= x^2 + \frac{x(1-x)}{n} .
$$

**3.** Desenvolva:

$$
\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^{\!2} p_k
= B_ne_2(x) - 2x\,B_ne_1(x) + x^2
= \frac{x(1-x)}{n} .
$$

Cauchy–Schwarz com a decomposição $\abs{k/n - x}\sqrt{p_k}
\cdot \sqrt{p_k}$:

$$
\sum_k\Bigl|\frac kn - x\Bigr| p_k
\leq \Bigl(\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2
p_k\Bigr)^{\!1/2}
= \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt n},
$$

usando $x(1-x) \leq \frac14$.

**4.** Os pesos $p_k(x)$ são não negativos, somam $1$ e têm baricentro $\sum_k \frac kn p_k(x) = x$ (questão 2). A desigualdade de Jensen finita para a convexa $f$ (indução a partir da definição com dois pontos, volume do primeiro ano de graduação) dá

$$
f(x) = f\Bigl(\sum_k \frac kn\,p_k\Bigr)
\leq \sum_k f\Bigl(\frac kn\Bigr)p_k = B_nf(x) .
$$

**5.** Em $\{k : \abs{k/n - x} > \delta\}$ tem-se $\bigl(\frac{k/n - x}{\delta}\bigr)^2 > 1$, logo

$$
\sum_{\abs{k/n-x}>\delta} p_k
\leq \frac{1}{\delta^2}\sum_k\Bigl(\frac kn -
x\Bigr)^2p_k
= \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2} .
$$

Leitura: $p_k(x)$ é a lei de uma frequência amostral $S_n/n$ de $n$ lançamentos de moeda de viés $x$; sua média é $x$, sua variância $\frac{x(1-x)}n \to 0$, e a fórmula exibida é a desigualdade de Chebyshev: a massa se concentra em $x$, de modo que promediar $f$ contra ela reproduz $f(x)$ no limite (o [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/23-funcoes-geradoras-de-probabilidade#ch-b2-genfun) torna o vocabulário oficial).

**6.** $\omega \leq 2M < \infty$; a monotonicidade é clara (sup sobre um conjunto maior). Heine: $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) é uniformemente contínua, o que diz exatamente que $\omega(\delta) \to 0$ quando $\delta \to 0^+$. Subaditividade: se $\abs{s - t} \leq
\delta_1 + \delta_2$, o ponto $u$ do segmento $\intcc st$ a distância $\min(\delta_1, \abs{s-t})$ de $s$ satisfaz $\abs{s-u} \leq \delta_1$, $\abs{u-t} \leq \delta_2$ e $\abs{f(s)-f(t)} \leq \abs{f(s)-f(u)} + \abs{f(u)-f(t)}$. Iterando, $\omega(p\delta) \leq p\,\omega(\delta)$ para $p \in
\N^*$; para $\lambda > 0$, com $p = \lceil\lambda\rceil \leq 1
+ \lambda$: $\omega(\lambda\delta) \leq \omega(p\delta) \leq
p\,\omega(\delta) \leq (1+\lambda)\omega(\delta)$.

**7.** Como $\sum p_k = 1$:

$$
\abs{B_nf(x) - f(x)}
= \Bigl|\sum_k\bigl(f(k/n) - f(x)\bigr)p_k\Bigr|
\leq \sum_k\omega\bigl(\abs{k/n - x}\bigr)p_k .
$$

Para cada $k$, a questão 6 com $\lambda = \abs{k/n - x}/\delta$ dá $\omega(\abs{k/n-x}) \leq \bigl(1 +
\frac{\abs{k/n-x}}\delta\bigr)\omega(\delta)$; somando contra os $p_k$ obtém-se a estimativa mestra.

**8.** Insira a cota da questão 3:

$$
\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \Bigl(1 +
\frac{1}{2\delta\sqrt n}\Bigr)\omega(\delta),
$$

uniformemente em $x$; com $\delta = n^{-1/2}$ o parêntese vale $\frac32$: $\norm{B_nf - f}_\infty \leq
\frac32\omega(n^{-1/2}) \to 0$ pela questão 6 (Heine). Isso redemonstra o [Teorema 10.16](#thm-b2-funcseq-weierstrass) com uma taxa.

**9.** $L$-lipschitziana significa $\omega(\delta) \leq L\delta$: taxa $\frac{3L}{2\sqrt n}$. $\alpha$-hölderiana significa $\omega(\delta) \leq C\delta^\alpha$: taxa $\frac{3C}{2}
n^{-\alpha/2}$.

**10.** Usando $k\binom{2m}k = 2m\binom{2m-1}{k-1}$:

$$
\sum_{k=m+1}^{2m}k\binom{2m}k
= 2m\sum_{j=m}^{2m-1}\binom{2m-1}{j}
= 2m\cdot 2^{2m-2},
$$

porque $j \mapsto 2m-1-j$ leva bijetivamente $\{m,\dots,2m-1\}$ em $\{0,\dots,m-1\}$, de modo que a soma é metade de $2^{2m-1}$. Além disso, $\sum_{k=m+1}^{2m}\binom{2m}k = \frac{2^{2m} -
\binom{2m}m}{2}$ (mesma simetria). Logo

$$
\sum_{k=m+1}^{2m}(k-m)\binom{2m}k
= m\,2^{2m-1} - m\,\frac{2^{2m} - \binom{2m}m}{2}
= \frac m2\binom{2m}m .
$$

A substituição $k \mapsto 2m-k$ leva os termos com $k < m$ nos com $k > m$ (binomiais iguais, $\abs{k-m}$ iguais): a soma absoluta é o dobro da soma de um lado, $m\binom{2m}m$.

**11.** Em $x = \frac12$, $p_k(\tfrac12) =
\binom{2m}k2^{-2m}$ e $f(\tfrac12) = 0$:

$$
B_{2m}f\Bigl(\frac12\Bigr)
= \sum_k\Bigl|\frac{k}{2m} - \frac12\Bigr|
\binom{2m}k 2^{-2m}
= \frac{2^{-2m}}{2m}\,m\binom{2m}m
= \frac{\binom{2m}m}{2\cdot4^m}
\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi m}}
$$

pelo [Exemplo 6.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/6-comparacao-de-funcoes#ex-b2-comparison-centralbinomial). Como aqui $\omega_f
(\delta) = \delta$ (a função é $1$-lipschitziana e a cota é atingida), a questão 8 prevê no máximo $\frac32(2m)^{-1/2}$: o erro verdadeiro $\frac{1}{2\sqrt{\pi m}}$ tem exatamente a ordem $n^{-1/2}$ — a taxa é ótima a menos da constante.

**12.** $f \leq g$ dá $g - f \geq 0$, logo $L(g-f) \geq
0$, isto é, $Lf \leq Lg$. De $-\abs f \leq f \leq \abs f$: $-L\abs f \leq Lf \leq L\abs f$, isto é, $\abs{Lf} \leq
L\abs f$.

**13.** Por Heine escolha $\delta$ com $\abs{f(s)-f(x)}
\leq \varepsilon$ sempre que $\abs{s-x} \leq \delta$. Se $\abs{s - x} > \delta$, então $\frac{(s-x)^2}{\delta^2} > 1$ e $\abs{f(s)-f(x)} \leq 2M \leq \frac{2M}{\delta^2}(s-x)^2$. Nos dois casos a cota afirmada vale.

**14.** Fixe $x$; a questão 13 diz, como funções de $s$:

$$
-\varepsilon e_0 - \frac{2M}{\delta^2}q_x
\;\leq\; f - f(x)e_0
\;\leq\; \varepsilon e_0 + \frac{2M}{\delta^2}q_x,
\qquad q_x = e_2 - 2x\,e_1 + x^2e_0 .
$$

Aplique o $L_n$ monótono linear (questão 12) e avalie em $x$:

$$
\abs{L_nf(x) - f(x)L_ne_0(x)}
\leq \varepsilon L_ne_0(x)
+ \frac{2M}{\delta^2}\bigl(L_ne_2(x) - 2xL_ne_1(x)
+ x^2L_ne_0(x)\bigr) .
$$

**15.** Escreva $\alpha_j = L_ne_j - e_j$, de modo que $\norm{\alpha_j}_\infty \to 0$. Como $e_2(x) - 2xe_1(x) +
x^2e_0(x) = 0$:

$$
L_ne_2(x) - 2xL_ne_1(x) + x^2L_ne_0(x)
= \alpha_2(x) - 2x\,\alpha_1(x) + x^2\alpha_0(x),
$$

de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) do sup no máximo $\norm{\alpha_2} + 2\norm{\alpha_1} +
\norm{\alpha_0} \to 0$. Além disso, $L_ne_0 \to e_0$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def), logo $L_ne_0 \leq 2$ para $n$ grande, e $\abs{f(x)}\abs{L_ne_0(x) -
1} \leq M\norm{\alpha_0} \to 0$. Juntando com a questão 14: para $n$ grande, uniformemente em $x$,

$$
\abs{L_nf(x) - f(x)} \leq 2\varepsilon +
\frac{2M}{\delta^2}\,o(1) + M\,o(1) \leq 3\varepsilon :
$$

$L_nf \to f$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) — o teorema de Korovkin.

**16.** $B_ne_0 = e_0$ e $B_ne_1 = e_1$ exatamente, e $\norm{B_ne_2 - e_2}_\infty = \max_x\frac{x(1-x)}{n} =
\frac{1}{4n} \to 0$ (questão 2): Korovkin se aplica, e Weierstrass segue pela terceira vez.

**17.** $I_nf$ é linear em $f$ (os valores nodais o são) e, em cada célula, a interpolante afim de valores nodais não negativos é não negativa: positivo. $I_ne_0 = e_0$ e $I_ne_1 = e_1$ porque uma função afim é igual à própria interpolante. Numa célula $\intcc ab$ ($b - a = \frac1n$), a interpolante afim de $e_2$ é $L(t) = (a+b)t - ab$, e

$$
L(t) - t^2 = (t-a)(b-t) \in
\intcc{0}{\tfrac{(b-a)^2}{4}} ,
$$

com o máximo no ponto médio: $\norm{I_ne_2 - e_2}_\infty =
\frac{1}{4n^2} \to 0$. Korovkin: $I_nf \to f$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — aproximação poligonal, sem necessidade de mais nenhuma estimativa.

**18.** Dados $f$ e $\varepsilon$: Weierstrass fornece um polinômio $P = \sum_{j=0}^d a_jx^j$ com $\norm{f -
P}_\infty \leq \frac\varepsilon2$; substituir cada $a_j$ por um racional $b_j$ com $\abs{a_j - b_j} \leq
\frac{\varepsilon}{2(d+1)}$ move a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) do sup em $\intcc{0}{1}$ em no máximo $\frac\varepsilon2$. O conjunto dos polinômios de coeficientes racionais é uma união [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable) (sobre $d$) de [conjuntos enumeráveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable), logo é [enumerável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-countable), e é denso: $C(\intcc{0}{1})$ é separável.

**19.** Por linearidade, $\int_0^1 fP = 0$ para todo polinômio $P$. Escolha polinômios $P_n \to f$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) (Weierstrass):

$$
\Bigl|\int_0^1 f^2\Bigr|
= \Bigl|\int_0^1 f\,(f - P_n)\Bigr|
\leq \norm f_\infty\,\norm{f - P_n}_\infty
\longrightarrow 0 ,
$$

logo $\int_0^1 f^2 = 0$. Se $f(x_0) \neq 0$, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) dá $f^2 \geq c > 0$ num subintervalo, contradizendo a integral nula: $f = 0$. Por consequência, duas funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com os mesmos momentos $\int f t^n$ coincidem.

**20.** Com $p_{n,k}(x) = \binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ e as convenções $p_{n-1,-1} = p_{n-1,n} = 0$, a regra do produto e $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$, $(n-k)\binom nk =
n\binom{n-1}{k}$ dão

$$
p_{n,k}'(x) = n\bigl(p_{n-1,k-1}(x) - p_{n-1,k}(x)\bigr) .
$$

Somando contra $f(k/n)$ e deslocando o índice na primeira soma ([transformação de Abel](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-abel)):

$$
(B_nf)'(x) = n\sum_{j=0}^{n-1}\Bigl(f\Bigl(\frac{j+1}n\Bigr)
- f\Bigl(\frac jn\Bigr)\Bigr)p_{n-1,j}(x) .
$$

**21.** Pelo teorema do valor médio, $f(\frac{j+1}n) -
f(\frac jn) = \frac1n f'(\xi_j)$ com $\xi_j \in
\intoo{j/n}{(j+1)/n}$, logo $(B_nf)'(x) = \sum_j
f'(\xi_j)\,p_{n-1,j}(x)$. O nó $\frac{j}{n-1}$ também está em $\intcc{j/n}{(j+1)/n}$ (as duas desigualdades se reduzem a $j \leq
n-1$), logo $\abs{\xi_j - \frac j{n-1}} \leq \frac1n$ e

$$
\bigl|(B_nf)'(x) - B_{n-1}(f')(x)\bigr|
\leq \sum_j\Bigl|f'(\xi_j) -
f'\Bigl(\frac{j}{n-1}\Bigr)\Bigr| p_{n-1,j}(x)
\leq \omega_{f'}\Bigl(\frac1n\Bigr) \longrightarrow 0
$$

[uniformemente](#def-b2-funcseq-def). Como $B_{n-1}(f') \to f'$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def) ([Teorema 10.16](#thm-b2-funcseq-weierstrass) aplicado à [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $f'$), a desigualdade triangular dá $(B_nf)' \to f'$ [uniformemente](#def-b2-funcseq-def). Os polinômios $P_n = B_nf$ convergem então para $f$ no sentido $C^1$.

**22.** Taylor–Lagrange em $x$: $f(\frac kn) - f(x) =
f'(x)(\frac kn - x) + \frac{f''(\xi_k)}2(\frac kn - x)^2$. Somando contra $p_k$, o termo linear morre (questão 2):

$$
\abs{B_nf(x) - f(x)}
\leq \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\sum_k\Bigl(\frac kn -
x\Bigr)^2p_k
= \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\cdot\frac{x(1-x)}{n}
\leq \frac{\norm{f''}_\infty}{8n} .
$$

**23.** Mais duas derivações de $(x+y)^n$ dão os momentos fatoriais, com $n_{(j)} = n(n-1)\cdots(n-j+1)$:

$$
\sum_k k_{(j)}\,p_k = n_{(j)}\,x^j \qquad (j = 3, 4),
$$

e $k^3 = k_{(3)} + 3k_{(2)} + k$, $k^4 = k_{(4)} + 6k_{(3)} +
7k_{(2)} + k$ os convertem em momentos de potências:

$$
\sum_k k^3p_k = n_{(3)}x^3 + 3n_{(2)}x^2 + nx,
\qquad
\sum_k k^4p_k = n_{(4)}x^4 + 6n_{(3)}x^3 + 7n_{(2)}x^2 + nx .
$$

Desenvolvendo $(k - nx)^4$ e reunindo (um cálculo paciente mas puramente mecânico com os quatro momentos de potências):

$$
\sum_k(k-nx)^4p_k = nx(1-x)\bigl(1 + 3(n-2)x(1-x)\bigr) .
$$

Com $x(1-x) \leq \frac14$: o membro da direita é no máximo $\frac n4\bigl(1 + \frac{3n}4\bigr) = \frac{3n^2}{16} +
\frac n4 \leq n^2$ para $n \geq 1$.

**24.** A forma de Peano de Taylor em $x$ define $\eta(t) =
\frac{f(t) - f(x) - f'(x)(t-x) - \frac12f''(x)(t-x)^2}
{(t-x)^2}$ para $t \neq x$, $\eta(x) = 0$: por Taylor–Lagrange $\eta(t) = \frac12\bigl(f''(\xi) - f''(x)\bigr)$ para algum $\xi$ entre $t$ e $x$, logo $\abs\eta \leq \norm{f''}_\infty$ e $\eta(t) \to 0$ quando $t \to x$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $f''$). Somando o desenvolvimento contra $p_k$ e usando as questões 2–3:

$$
n\bigl(B_nf(x) - f(x)\bigr)
= \frac{x(1-x)}{2}f''(x)
+ n\sum_k\eta\Bigl(\frac kn\Bigr)\Bigl(\frac kn -
x\Bigr)^2p_k .
$$

Dado $\varepsilon$, escolha $\delta$ com $\abs\eta \leq
\varepsilon$ em $\abs{t - x}\leq\delta$. Parte próxima: no máximo $\varepsilon\,n\cdot\frac{x(1-x)}n \leq \varepsilon$. Parte distante: com $C = \norm{f''}_\infty$ e a questão 23,

$$
n\,C\sum_{\abs{k/n-x}>\delta}\Bigl(\frac kn -
x\Bigr)^2p_k
\leq \frac{nC}{\delta^2}\sum_k\Bigl(\frac kn -
x\Bigr)^4p_k
= \frac{nC}{\delta^2 n^4}\sum_k(k-nx)^4p_k
\leq \frac{C}{\delta^2 n} \longrightarrow 0 .
$$

Logo $n(B_nf(x) - f(x)) \to \frac{x(1-x)}2f''(x)$ — o teorema de Voronovskaya. Para $f = e_2$ isso é exato em todo $n$ ([Exercício 10.7](#exo-b2-funcseq-7)): o teto $\frac1n$ é real.

**25.** (i) A positividade transformou desigualdades [pontuais](#def-b2-funcseq-def) em desigualdades de operadores: ela deu a cota da [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm), Jensen, Chebyshev e todo o Korovkin — só a linearidade nada demonstra aqui. (ii) A [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) entrou por Heine (questões 6 e 13), pela limitação de $f$ e pelo próprio fato de a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $\norm\cdot_\infty$ ser finita. (iii) Três funções de teste bastam porque a positividade reduz tudo a controlar $L_n$ na única família $(s-x)^2 = e_2 - 2xe_1 + x^2e_0$, cujo espaço [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) é o de $e_0, e_1, e_2$. (iv) Bernstein converge à taxa honesta $\omega(n^{-1/2})$ para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) (ótima, questão 11) mas satura em $\frac1n$ para $f$ suave (questão 24); o capítulo de Fourier roda o mesmo programa para funções periódicas com o núcleo de Fejér — outro operador positivo com as mesmas virtudes e a mesma modéstia.