---
title: "Formas quadráticas"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas
---

# Capítulo 12 — Formas quadráticas

Uma [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) é a sombra algébrica de uma geometria: as partes de assinatura zero achatam, as positivas curvam para um lado, as negativas para o outro. Este capítulo reduz toda [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) real a uma soma de $\pm$ quadrados (Gauss), demonstra que as contagens de sinais são intrínsecas (Sylvester) e depois coroa a geometria euclidiana com o *teorema espectral*: os [endomorfismos simétricos](#def-b2-quadratic-adjoint) diagonalizam em bases ortonormais — o teorema mais usado de toda a álgebra linear aplicada.

## 12.1 Formas bilineares e quadráticas

**Definição 12.1.**

Uma *forma bilinear [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint)* num espaço vetorial real $E$ é uma aplicação bilinear $\varphi \colon E \times E \to \R$ com $\varphi(x, y) =
\varphi(y, x)$; a *forma quadrática* associada é $q(x) = \varphi(x, x)$. A forma $\varphi$ é recuperada a partir de $q$ por *polarização*:

$$
\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).
$$

Numa base $(e_i)$, a *matriz* de $\varphi$ é a matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) $B = (\varphi(e_i, e_j))$, com $q(x) = X^{\mathsf T} B X$; uma mudança de base de matriz $P$ substitui $B$ por $P^{\mathsf T} B P$ (*congruência* — não semelhança!). O *posto* de $q$ é $\operatorname{rk} B$ (invariante: a congruência multiplica por matrizes invertíveis).

**Exemplo 12.2.**

Em $\R^2$: $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ tem matriz $\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$. Um produto interno é exatamente uma [forma bilinear simétrica](#def-b2-quadratic-def) cuja [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) é positiva definida; este capítulo estuda o caso geral, de sinal indefinido.

**Exemplo 12.3 (Congruência em ação).**

Tome $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (matriz $B = \begin{pmatrix} 1
& 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$) e a nova base $e_1' = (1, 1)$, $e_2' = (1, -1)$, isto é, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &
-1\end{pmatrix}$. Então

$$
P^{\mathsf T}BP
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :
$$

nas coordenadas $(u, v)$ ao longo da nova base, $q = 6u^2 -
2v^2$ — confira: $x = u + v$, $y = u - v$ dá $x^2 + 4xy +
y^2 = 6u^2 - 2v^2$ diretamente. Note que as novas entradas diagonais $6,
-2$ *não* são os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ de $B$: a [congruência](#def-b2-quadratic-def) reescala, só a semelhança preserva [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) — mas os sinais coincidem, como exige o teorema de Sylvester. (A base aqui é ortogonal mas não ortonormal; normalizá-la por $\frac{1}{\sqrt2}$ dividiria a diagonal por $2$ e recuperaria os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).)

**Exemplo 12.4 (Determinantes de Gram medem área).**

Para $v_1, v_2$ num espaço euclidiano, a matriz de Gram $G =
\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ empacota comprimentos e ângulo; seu [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) empacota a *área*:

$$
\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2
= \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr)
= \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,
$$

o quadrado da área do paralelogramo sobre $v_1, v_2$ — e Cauchy–Schwarz é exatamente a afirmação $\det G \geq 0$. Instância trabalhada: $v_1 = (1, 2, 2)$, $v_2 = (2, 1, -2)$ em $\R^3$:

$$
G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix},
\qquad
\det G = 81 :
$$

os vetores são ortogonais de comprimento $3$, gerando um paralelogramo (aqui, um quadrado) de área $\sqrt{81} = 9$. Lição final: nenhum produto vetorial e nenhuma mágica da dimensão $3$ foram usados — $\sqrt{\det G}$ mede volume $k$-dimensional em *qualquer* dimensão, o ponto de partida da Parte I do problema de fim de semana e das integrais de área de superfície mais adiante neste volume.

## 12.2 Redução de Gauss e a inércia de Sylvester

**Teorema 12.5 (Redução de Gauss).**

Toda [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) $q$ num espaço real de dimensão finita pode ser escrita

$$
q = \sum_{i=1}^{s} \ell_i^2 - \sum_{j=1}^{t} m_j^2 ,
$$

em que $\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t$ são formas lineares linearmente independentes; equivalentemente, alguma base torna a matriz de $q$ diagonal com entradas $+1$ ($s$ vezes), $-1$ ($t$ vezes), $0$.

**Demonstração.** Indução no número de variáveis, em coordenadas: $q(x_1,
\dots, x_n)$.

*Caso 1: aparece algum quadrado*, digamos que o coeficiente $a$ de $x_1^2$ seja não nulo. Agrupe todos os termos em $x_1$ e complete o quadrado:

$$
q = a\Bigl(x_1 + \frac{1}{a}\,\lambda(x_2, \dots,
x_n)\Bigr)^{\!2} + q_1(x_2, \dots, x_n),
$$

em que $\lambda$ é linear e $q_1$ é quadrática nas variáveis restantes: uma forma independente foi destacada (ela envolve $x_1$, as outras não), a indução se aplica a $q_1$, e os sinais $\pm$ vêm do sinal de $a$ após reescalar por $\sqrt{\abs a}$.

*Caso 2: nenhum quadrado, mas algum termo cruzado*, digamos $b\,x_1x_2$ com $b \neq 0$. Use a identidade

$$
x_1x_2 = \tfrac14\bigl((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\bigr)
$$

após agrupar: escrevendo $q = b\,x_1x_2 + x_1\alpha + x_2\beta +
q_2$ (com $\alpha, \beta, q_2$ nas outras variáveis), verifica-se que

$$
q = \frac{b}{4}\Bigl[\Bigl(x_1 + x_2 + \frac{\alpha +
\beta}{b}\Bigr)^{2} - \Bigl(x_1 - x_2 + \frac{\beta -
\alpha}{b}\Bigr)^{2}\Bigr] + \widetilde q ,
$$

com $\widetilde q$ livre de $x_1, x_2$: duas formas independentes são destacadas, e a indução conclui.

Independência das formas colhidas: ordene os lotes como produzidos. As formas do primeiro lote contêm $x_1$ (Caso 1) ou $x_1, x_2$ (Caso 2); todas as formas posteriores são livres dessas variáveis. Suponha que uma combinação linear de todas as formas colhidas se anule. Lendo o coeficiente de $x_1$ (e de $x_2$): só o primeiro lote contribui e, dentro desse lote, a uma ou duas formas são visivelmente independentes ($\ell$ sozinha; ou $\ell \pm
m$ com $\ell, m$ independentes): os coeficientes do primeiro lote se anulam. Retire o lote e repita: por indução ao longo dos lotes, todos os coeficientes se anulam — a família inteira é livre, a triangularidade tornada explícita. ∎

**Teorema 12.6 (Lei de inércia de Sylvester).**

O par $(s, t)$ em [Teorema 12.5](#thm-b2-quadratic-gauss) depende apenas de $q$, e não da redução: é a *assinatura* de $q$. Além disso,

$$
s = \max\{\dim F : q|_F \text{ positiva definida}\},
$$

e simetricamente para $t$.

**Demonstração.** Seja $q = \sum_{i \leq s}\ell_i^2 - \sum_{j\leq t} m_j^2$ e seja $F_+$ o espaço [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) pelos vetores (pré-)[duais](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-dual) sobre os quais $(\ell_i)$ se restringem a coordenadas — concretamente: complete a família independente $(\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t)$ numa base do [dual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-dual) $E^*$ e seja $(u_1, \dots, u_n)$ a base de $E$ cujas formas coordenadas são essas (a base [pré-dual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-dual): $\ell_i(u_k) = \delta_{ik}$ para $k \leq s$, e as formas posteriores se anulam nos vetores anteriores). Ponha $F_+ =
\operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_s)$: para $x = \sum_{i\leq
s}x_iu_i \in F_+$,

$$
\ell_i(x) = x_i,
\qquad m_j(x) = 0,
\qquad\text{logo}\qquad
q(x) = \sum_{i\leq s}x_i^2 > 0 \quad (x \neq 0) :
$$

$q|_{F_+}$ é positiva definida e o máximo na fórmula exibida vale $\geq s$. Reciprocamente, seja $F$ um subespaço qualquer com $q|_F$ positiva definida, e $G = \{x : \ell_1(x) = \dots = \ell_s(x) =
0\}$, de codimensão $\leq s$; em $G$, $q(x) = -\sum m_j^2 \leq 0$. Então $F \cap G = \{0\}$ (um vetor não nulo aí teria $q > 0$ e $q \leq 0$), logo $\dim F \leq \dim E - \dim G \leq s$. Portanto o máximo vale $s$ para *toda* redução: $s$ é intrínseco, e $t
= \operatorname{rk} q - s$ do mesmo modo. ∎

**Exemplo 12.7.**

$q(x, y, z) = xy + yz + zx$ (sem quadrados). Com $x_1 = x$, $x_2 =
y$: $q = xy + z(x + y)$, e a identidade dos dois quadrados dá

$$
q = \tfrac14(x + y + 2z)^2 - \tfrac14(x - y)^2 - z^2 ,
$$

(desenvolva para conferir). Três formas independentes: assinatura $(1, 2)$, posto $3$. Uma direção positiva, duas negativas: a geometria do “cone de luz” desta forma.

**Exemplo 12.8 (Uma forma degenerada, reduzida por inteiro).**

$q(x, y, z) = xy + yz$ em $\R^3$: sem quadrados, logo Caso 2 com o agrupamento $q = y(x + z)$. A identidade dos dois quadrados no produto das formas independentes $y$ e $x + z$:

$$
q = \frac14\bigl(y + x + z\bigr)^2 -
\frac14\bigl(y - x - z\bigr)^2 .
$$

As duas formas lineares $y + x + z$ e $y - x - z$ são independentes (sua diferença é $2(x+z)$, sua soma $2y$), de modo que Sylvester informa: assinatura $(1, 1)$, posto $2$ — *degenerada*. O núcleo da forma polar acha-se resolvendo $\varphi(v, \cdot) = 0$: com a matriz $\frac12\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$, o núcleo é $\{y = 0,\ x + z = 0\} = \R\,(1, 0, -1)$, a direção ao longo da qual $q$ nada enxerga. Lição final: a deficiência de posto aparece em Gauss como “ficar sem variáveis” — a redução produziu apenas dois quadrados em três dimensões, e a dimensão que falta é exatamente o núcleo.

**Exemplo 12.9 (Uma forma, dois caminhos até a assinatura).**

$q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz$, matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$. *Caminho 1, Gauss:* complete quadrados em ordem,

$$
q = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32 y^2 + 2yz + 2z^2
= 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2}
+ \frac32\Bigl(y + \frac{2z}{3}\Bigr)^{\!2} + \frac43 z^2 :
$$

três quadrados positivos sobre formas independentes, assinatura $(3,
0)$: positiva definida. *Caminho 2, [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen):* a matriz é a tridiagonal $2I + N$, com $N$ a matriz de vizinhança; seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são $2 + \sqrt2$, $2$, $2 - \sqrt2$ (confira os [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ e $(1, 0, -1)$), todos positivos: mesmo veredicto, pelo [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes). Gauss é mais rápido; os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) dizem mais (dão os eixos principais e os valores extremos de $q$ na esfera). Lição final: os pivôs positivos $2, \frac32, \frac43$ de Gauss são exatamente as razões $\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}$ de menores principais dominantes ($\Delta_1 = 2$, $\Delta_2 = 3$, $\Delta_3 = 4$) — o problema de fim de semana demonstra isso em geral.

**Método 12.10 (Calcular uma assinatura: três caminhos).**

1. *Gauss* (sempre funciona, o mais rápido à mão): complete quadrados em ordem, Caso 2 quando não houver quadrado disponível; conte os sinais. Verifique que as formas lineares colhidas são independentes — menos formas que variáveis significa núcleo ( [Exemplo 12.8](#ex-b2-quadratic-degenerate) ).
2. *Menores dominantes* (para testes de definição): todos os $\Delta_k > 0$ se e somente se positiva definida ( [Exercício 12.8](#exo-b2-quadratic-8) ); os pivôs $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ dão até os coeficientes de Gauss (problema de fim de semana). Falha em silêncio se algum $\Delta_k = 0$ : recorra ao caminho 1.
3. *[Autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)* (o mais informativo, o mais caro): sinais do [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ( [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ); também fornece os eixos principais e os valores extremos de $q$ na esfera unitária. Prefira-o quando a estrutura própria for necessária de qualquer modo.

## 12.3 O teorema espectral

Seja agora $E$ euclidiano (produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$, volume do primeiro ano de graduação).

**Definição 12.11 (Adjunto; endomorfismos simétricos).**

Para $u \in \mathcal{L}(E)$, o *adjunto* $u^*$ é o único endomorfismo com

$$
\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle
\qquad (x, y \in E);
$$

numa base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) =
\operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$. $u$ é *simétrico* (autoadjunto) quando $u^* = u$ — equivalentemente, sua matriz numa base ortonormal é simétrica.

**Existência e unicidade do adjunto.** Para $y$ fixo, a forma $x \mapsto \langle u(x), y\rangle$ é linear, logo (dimensão finita) da forma $\langle x,
z_y\rangle$ para um único $z_y$ — sendo a aplicação $y \mapsto z_y =:
u^*(y)$ linear pela unicidade. A identificação matricial: $\langle u(e_i), e_j\rangle$ lido nos dois sentidos. ∎

**Exemplo 12.12 (O adjunto depende do produto interno).**

Em $\R^2$ tome o produto interno *ponderado* $\langle x,
y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (matriz $D =
\operatorname{diag}(1,2)$) e $u$ de matriz $A =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ na base canônica. De $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy =
x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ e $\langle x, u^*(y)\rangle_D
= x^{\mathsf T}(DA^*)y$, a matriz do adjunto é

$$
A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D
= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix}
\neq A^{\mathsf T} .
$$

Verificação de bom senso em $x = (1,0)$, $y = (0,1)$:

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D
= \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;
$$

em $x = (0,1)$, $y = (1,0)$:

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D =
\langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .
$$

Lição final: “$\operatorname{Mat}(u^*)
= \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$” é um enunciado sobre bases *ortonormais* apenas; em geral a métrica $D$ intervém, exatamente como na redução simultânea do problema de fim de semana.

**Teorema 12.13 (Teorema espectral).**

Seja $u$ um [endomorfismo simétrico](#def-b2-quadratic-adjoint) de um espaço euclidiano $E$. Então $E$ tem uma *base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)* de $u$; todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são reais, e os [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) distintos são ortogonais. Forma matricial: toda matriz real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) $A$ escreve-se

$$
A = P\,D\,P^{\mathsf T},
\qquad P \text{ ortogonal } (P^{\mathsf T} P = I),\ D
\text{ diagonal}.
$$

**Demonstração.** *Existe um [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).* A função $x \mapsto \langle u(x),
x\rangle$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) na esfera unitária $S$ de $E$, que é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) (dimensão finita, [Teorema 5.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#thm-b2-nvs-finitedim)): ela atinge seu máximo $\lambda$ em algum $a \in S$. Afirmamos que $u(a) = \lambda
a$. Para todo $y \perp a$ com $\norm y = 1$ e $t \in \R$, o vetor $x_t = \frac{a + ty}{\sqrt{1 + t^2}}$ está em $S$ ($\norm{a + ty}^2 = 1 + t^2$ por Pitágoras); desenvolvendo a função maximizada,

$$
g(t) = \langle u(x_t), x_t\rangle
= \frac{\langle u(a), a\rangle + 2t\langle u(a), y\rangle +
t^2\langle u(y), y\rangle}{1 + t^2}
$$

(a simetria de $u$ fundiu os dois termos cruzados: $\langle u(a),
y\rangle = \langle a, u(y)\rangle = \langle u(y), a\rangle$). $g$ é uma função derivável de $t$ com máximo em $t =
0$; a regra do quociente em $0$ dá

$$
g'(0) = \frac{2\langle u(a), y\rangle\cdot 1 - \langle u(a),
a\rangle\cdot 0}{1} = 2\langle u(a), y\rangle = 0 .
$$

Logo $u(a)$ é ortogonal a todo o hiperplano $a^\perp$: $u(a)
\in (a^{\perp})^{\perp} = \R a$, isto é, $u(a) = \mu a$; e $\mu =
\langle u(a), a\rangle = \lambda$.

*Indução.* O complemento ortogonal $F = a^\perp$ é estável por $u$: para $x \perp a$, $\langle u(x), a\rangle = \langle x,
u(a)\rangle = \lambda\langle x, a\rangle = 0$. A restrição $u|_F$ é [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) para o produto interno induzido; por indução sobre a dimensão, $F$ tem base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen); acrescente $a$ na frente.

*Complementos.* Os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são os números reais $\langle u(e),
e\rangle$ na base de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). Ortogonalidade dos [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): $u(x) =
\lambda x$, $u(y) = \mu y$ dão $\lambda\langle x, y\rangle =
\langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x,
y\rangle$, logo $\langle x, y\rangle = 0$ quando $\lambda \neq \mu$. Forma matricial: as colunas de $P$ são a base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). ∎

**Exemplo 12.14 (Uma execução espectral completa).**

Diagonalize ortogonalmente $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 &
1\end{pmatrix}$. [Polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) $(1 - \lambda)^2 -
4$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ e $-1$. [Autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): $(A - 3I)v = 0$ dá $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$; $(A + I)v = 0$ dá $v_2
= \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ — ortogonais, como o [Teorema 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral) garante sem cálculo. Com $P = (v_1\ v_2)$ (uma rotação de $\frac\pi4$):

$$
P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix},
\qquad
x^2 + 4xy + y^2 = 3u^2 - v^2
\quad\text{no referencial girado} .
$$

Assim a forma de [Exercício 12.1](#exo-b2-quadratic-1) é uma forma do tipo hipérbole: assinatura $(1,1)$, coerente com sua [redução de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) $(x + 2y)^2 - 3y^2$ — quadrados diferentes, mesma assinatura, como exige Sylvester. Lição final: Gauss deu a resposta mais depressa, mas o caminho espectral também informa que, no círculo unitário, $q$ percorre exatamente $\intcc{-1}{3}$, atingido ao longo de $v_2$ e $v_1$: o trabalho extra compra geometria.

**Corolário 12.15 (Eixos principais; testes de positividade).**

1. Toda [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) $q$ num espaço euclidiano diagonaliza em alguma base *ortonormal* : $q(x) = \sum_i \lambda_i  x_i^2$ com $\lambda_i$ os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) da matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) de $q$ ; a assinatura conta os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) positivos e negativos.
2. Uma matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) é positiva semidefinida (resp. definida) se e somente se todos os seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são $\geq 0$ (resp. $>  0$); e então os valores extremos do quociente de Rayleigh são $$\min_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\min},  \qquad  \max_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\max} .$$

**Demonstração.** (1) Escreva $q(x) = \langle A x, x\rangle$ com $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) (a matriz de $q$ numa base ortonormal); diagonalize $A$ pelo teorema espectral: para $x = \sum x_ie_i$ na base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen),

$$
q(x) = \Bigl\langle \sum_i \lambda_ix_ie_i,\ \sum_j
x_je_j\Bigr\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2
$$

(a ortonormalidade mata os termos cruzados). Os sinais $\pm$ dos $\lambda_i$ contam a assinatura por Sylvester: reescalar cada coordenada por $\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ exibe uma [redução de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) com formas independentes.

(2) Na base de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $\langle Ax, x\rangle = \sum \lambda_i
x_i^2$, preso entre $\lambda_{\min}\norm x^2$ e $\lambda_{\max}\norm x^2$, com igualdade nos [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) correspondentes; a positividade de todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) é assim equivalente à positividade da forma. ∎

**Exemplo 12.16.**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ ([autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$) e $1$ ($\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$). A [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) $2x^2 + 2xy + 2y^2$ torna-se $3X^2 + Y^2$ no referencial ortonormal girado: os eixos principais de uma elipse, calculados. A [redução de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) também chega a uma forma diagonal, mas só o teorema espectral chega a ela *sem distorcer comprimentos*.

**Exemplo 12.17 (Uma elipse plenamente identificada).**

Que curva é $5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6$? A matriz $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$ tem [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda -
6)$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$ e $6$, ambos positivos — uma elipse. [Autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ortonormais: para $\lambda = 1$, resolva $\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}v = 0$: $v_1 =
\frac{1}{\sqrt5}(1, -2)$; para $\lambda = 6$: $v_2 =
\frac{1}{\sqrt5}(2, 1)$. Nas coordenadas giradas $(X, Y)$ ao longo de $(v_2, v_1)$ a equação torna-se

$$
6X^2 + Y^2 = 6,
\qquad\text{i.e.}\qquad
X^2 + \frac{Y^2}{6} = 1 :
$$

semieixos $1$ (ao longo de $v_2$) e $\sqrt6$ (ao longo de $v_1$). Lição final: a forma grosseira saiu de graça — $\det
= 6 > 0$ e traço positivo anunciam uma elipse antes de qualquer [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ser calculado — mas só o teorema espectral entrega as direções e os comprimentos dos eixos, isto é, a geometria de fato.

**Exemplo 12.18 (Extremos na esfera, lidos no espectro).**

Quais são os valores extremos de $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ na esfera unitária? Sua matriz (a de uns fora da diagonal de [Exercício 12.2](#exo-b2-quadratic-2)) tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2$ e $-1$ (duplo), de modo que, pelo [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) (2):

$$
\max_{\norm v = 1} q(v) = 2
\ \text{ em } v = \tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),
\qquad
\min_{\norm v = 1} q(v) = -1
\ \text{ no círculo } x + y + z = 0 .
$$

Sem cálculo diferencial, sem multiplicadores de Lagrange: o teorema espectral resolve essa otimização com restrição de imediato — e exibe o maximizante. Lição final: compare com o método dos multiplicadores do capítulo de cálculo diferencial, que acha os mesmos pontos críticos com mais trabalho; para objetivos *quadráticos* em esferas, os [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são a via real (o problema de fim de semana do capítulo hermitiano constrói toda a teoria de Courant–Fischer sobre essa observação).

**Observação 12.19 (Armadilhas comuns).**

*(i) [Congruência](#def-b2-quadratic-def) não é semelhança:* uma mudança de base para uma forma age por $P^{\mathsf T}BP$, e não por $P^{-1}BP$; os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) *não* são invariantes de uma [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) ($I$ e $4I$ são congruentes via $P = 2I$) — só seus sinais o são (Sylvester). Fale dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de uma forma somente depois de fixado um produto interno. *(ii) Entradas positivas nada provam:* $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ tem todas as entradas positivas e no entanto assinatura $(1,1)$ ($\det = -3$); reciprocamente, uma matriz positiva definida pode ter entradas negativas fora da diagonal ([Exemplo 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads) deslocada: $2I - N$ funciona igualmente). Use o [Método 12.10](#met-b2-quadratic-signature). *(iii) Quadrados dependentes:* escrever $q = \ell_1^2 - \ell_2^2$ nada diz se $\ell_1, \ell_2$ são proporcionais — $x^2 + 2xy + y^2 =
(x+y)^2$ tem posto $1$, e não $2$; verifique sempre a independência antes de ler a assinatura. *(iv) Extremos na esfera sem [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact):* as cotas de Rayleigh do [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) são atingidas porque a esfera é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact); na bola [aberta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) ou no espaço todo, uma forma indefinida não tem máximo nem mínimo.

**Observação 12.20 (Onde isso é usado).**

O teorema espectral é o resultado mais exportado deste livro: a estatística diagonaliza matrizes de covariância com ele (análise de componentes principais), a mecânica extrai dele os modos normais de oscilação (a redução simultânea do problema de fim de semana), a análise numérica constrói sobre ele as decomposições de Cholesky e em valores singulares (mesmo problema), e o próximo capítulo o transporta para espaços hermitianos complexos. O volume do terceiro ano de graduação demonstra seu avatar em dimensão infinita para operadores autoadjuntos [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact), em que o argumento de [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) da demonstração em dimensão finita se torna a história inteira.

**Observação 12.21 (Perspectivas dentro deste volume).**

As [formas quadráticas](#def-b2-quadratic-def) atravessam o resto do Livro 4 sob três disfarces. Como *hessianas*: o capítulo de cálculo diferencial classifica pontos críticos pela assinatura da forma de segunda ordem, de modo que a invariância de Sylvester é o que torna “sela” uma palavra bem definida. Como *energias*: os osciladores do capítulo de equações diferenciais carregam a energia quadrática $\frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$, e a redução simultânea do problema de fim de semana deste capítulo é exatamente a extração dos modos normais. Como *geometria*: as cônicas deste capítulo crescem nas superfícies quádricas dos capítulos de geometria, em que a segunda forma fundamental de uma superfície — uma [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) em cada plano tangente — tem assinatura que decide se a superfície curva como uma tigela ou como uma sela. O capítulo hermitiano, a seguir, reexecuta a partitura inteira sobre $\C$.

## 12.4 Exercícios

**Exercício 12.1 ★.**

Reduza por Gauss e dê o posto e a assinatura:

$$
q_1(x,y) = x^2 + 4xy + y^2,
\qquad
q_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz .
$$

**Solução de Exercício 12.1.**

$q_1 = (x + 2y)^2 - 3y^2$: posto $2$, assinatura $(1, 1)$ (uma forma do tipo hipérbole).

$q_2$: complete o quadrado em $x$: $q_2 = (x + y)^2 + y^2 + 2yz +
3z^2 = (x+y)^2 + (y + z)^2 + 2z^2$: posto $3$, assinatura $(3, 0)$ — positiva definida.

**Exercício 12.2 ★.**

Diagonalize ortogonalmente $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ([autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) do cálculo do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction); agora torne a base ortonormal) e reduza a forma $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ a eixos principais.

**Solução de Exercício 12.2.**

[Autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2$ (em $\operatorname{Vect}(1,1,1)$) e $-1$ (no plano $x + y + z = 0$). Ortonormalize: $e_1 =
\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$; no plano, Gram–Schmidt em $(1,-1,0),
(1,0,-1)$ dá $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$, $e_3 =
\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$. Então $P = (e_1\ e_2\ e_3)$ é ortogonal com $P^{\mathsf T}AP = \operatorname{diag}(2,-1,-1)$.

A forma $q = 2xy + 2yz + 2zx$ tem matriz $A$: nas coordenadas giradas $q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$ — eixos principais; assinatura $(1,2)$, coerente com o [Exemplo 12.7](#ex-b2-quadratic-gaussexample) (a mesma forma!).

**Exercício 12.3 ★.**

Prove que $u^{**} = u$, $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$ e que $\ker u^* = (\operatorname{im} u)^{\perp}$. Deduza $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$.

**Solução de Exercício 12.3.**

$u^{**} = u$: $\langle u^{**}x, y\rangle = \langle x, u^*y\rangle =
\langle ux, y\rangle$ para todo $y$. $(uv)^* = v^*u^*$: $\langle
uvx, y\rangle = \langle vx, u^*y\rangle = \langle x,
v^*u^*y\rangle$. Núcleo: $y \in \ker u^* \iff \langle x, u^*y
\rangle = 0\ \forall x \iff \langle u(x), y\rangle = 0\ \forall x
\iff y \perp \operatorname{im} u$. Postos: $\dim\ker u^* = n -
\operatorname{rk} u$ (complemento ortogonal), logo $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ pelo teorema do núcleo e da imagem — o avatar euclidiano do teorema do posto da [transposta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-transpose).

**Exercício 12.4 ★★.**

Seja $A$ real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) com $A^3 = A$. Prove que $A^2$ é a matriz de uma projeção ortogonal. Mais geralmente, relacione as decomposições espectrais de $A$ e de $P(A)$ para um polinômio $P$.

**Solução de Exercício 12.4.**

Espectral: $A = PDP^{\mathsf T}$, $D$ diagonal com entradas $\lambda_i$ satisfazendo $\lambda_i^3 = \lambda_i$: $\lambda_i \in
\{-1, 0, 1\}$. Então $A^2 = PD^2P^{\mathsf T}$ com $D^2$ diagonal de entradas $0/1$: $A^2$ é [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) e idempotente ($(A^2)^2 = A^4 = A\cdot A^3 = A^2$) — [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) idempotente $=$ projeção ortogonal (é a projeção sobre $\ker(A^2 - I) = \ker(A-I)\oplus\ker(A+I)$ ao longo de $\ker A$, e esses são ortogonais pelo teorema espectral).

Em geral, $P(A) = P\!\left(\text{diag}\right)$: $P(A)$ tem os mesmos [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) e [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $P(\lambda_i)$ — a “aplicação espectral” no nível [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag).

**Exercício 12.5 ★★.**

Prove que $O(n) = \{P : P^{\mathsf T}P = I\}$ é uma parte [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) de $\mathcal{M}_n(\R)$ *(fechada: imagem inversa de $\{I\}$ por uma aplicação [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity); limitada: as colunas são vetores unitários)*. Ela é [conexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected)?

**Solução de Exercício 12.5.**

Fechado: $O(n) = g^{-1}(\{I\})$ para a aplicação [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $g(P) =
P^{\mathsf T}P$ (entradas polinomiais). Limitado: cada coluna de $P
\in O(n)$ é um vetor unitário, logo todas as entradas estão em $\intcc{-1}{1}$. Fechado e limitado em $\mathcal{M}_n(\R) \simeq \R^{n^2}$: [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-compactprops) (2)).

Não [conexo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected): $\det$ assume os dois valores $\pm1$ em $O(n)$, e uma sobrejeção [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) sobre $\{-1, 1\}$ reparte o espaço (o argumento do [Exemplo 4.28](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ex-b2-metric-glnr)).

**Exercício 12.6 ★★.**

(Raiz quadrada) Seja $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) positiva semidefinida. Construa uma $B$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) positiva semidefinida com $B^2 = A$ e prove que ela é *única* *(existência: tome raízes quadradas dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) numa base espectral; unicidade: uma candidata $B$ comuta com $A = B^2$, logo preserva seus [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) — reduza ao caso escalar em cada um)*.

**Solução de Exercício 12.6.**

*Existência:* $A = PDP^{\mathsf T}$ com $D =
\operatorname{diag}(\lambda_i)$, $\lambda_i \geq 0$; ponha $B =
P\sqrt D P^{\mathsf T}$ com $\sqrt D =
\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})$: [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint), positiva semidefinida, $B^2 = A$.

*Unicidade:* seja $B$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) psd com $B^2 = A$. $B$ comuta com $A$; logo $B$ preserva cada [autoespaço](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $E_\lambda(A)$ (para $Ax = \lambda x$: $A(Bx) = BAx = \lambda Bx$). Em $E_\lambda(A)$, a restrição de $B$ é [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) psd com quadrado $\lambda\,\mathrm{id}$; seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mu$ satisfazem $\mu^2
= \lambda$, $\mu \geq 0$: $\mu = \sqrt\lambda$ — logo a restrição, sendo [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) com o único [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt\lambda$, *é* $\sqrt\lambda\,\mathrm{id}$. Como $E =
\bigoplus E_\lambda(A)$, $B$ fica determinada: $B = \sqrt A$.

**Exercício 12.7 ★★.**

Para $A$ real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint), prove que $\vertiii{A}_2 :=
\sup_{\norm x_2 = 1}\norm{Ax}_2 = \max_i \abs{\lambda_i}$ (raio espectral) e calcule $\vertiii{A}_2$ para $A =
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$.

**Solução de Exercício 12.7.**

Numa base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $\norm{Ax}_2^2 = \sum \lambda_i^2
x_i^2 \leq (\max_i \lambda_i^2)\norm x_2^2$, com igualdade no [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) correspondente: $\vertiii A_2 = \max\abs{\lambda_i}$. Para a matriz dada: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ (a gêmea do [Exemplo 12.16](#ex-b2-quadratic-spectralexample)): $\vertiii A_2 = 3$.

**Exercício 12.8 ★★★.**

(Critério de Sylvester) Seja $A$ real [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) com menores principais dominantes $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ ([determinantes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) dos blocos superiores esquerdos). Prove que $A$ é positiva definida se e somente se todos os $\Delta_k > 0$. *(Para $\Rightarrow$: restrições de uma forma definida são definidas, e o [determinante de uma matriz](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) positiva definida — o produto de seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) — é positivo. Para $\Leftarrow$: faça indução sobre $n$; o bloco superior esquerdo $(n-1)$ é positivo definido, diagonalize a forma nesse subespaço e complete o quadrado na última variável; o sinal da última entrada diagonal é governado por $\det A = \Delta_n > 0$.)*

**Solução de Exercício 12.8.**

($\Rightarrow$) O bloco superior esquerdo $k \times k$ $A_k$ é a matriz da restrição da forma (definida) ao espaço [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) pelos primeiros $k$ vetores da base: positiva definida, logo seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são positivos e $\Delta_k = \det A_k > 0$.

($\Leftarrow$) Indução sobre $n$; $n = 1$ é claro. Suponha todos os $\Delta_k > 0$. Por indução, $A_{n-1}$ é positiva definida: a forma $q$ restrita a $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_{n-1})$ é definida. Diagonalize $q|_F$ (Gauss): coordenadas $y_1, \dots, y_{n-1}$ com $q|_F = \sum y_i^2$. No espaço todo, completando o quadrado na última variável,

$$
q = \sum_{i=1}^{n-1} \bigl(y_i + c_i x_n\bigr)^2 + c\,x_n^2
$$

para constantes adequadas (recolha os termos cruzados nos quadrados). A redução exibe a assinatura $(n-1 + \epsilon, \cdot)$, sendo $\epsilon$ a contribuição de sinal de $c$; e o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) guarda o sinal do produto dos coeficientes diagonais sob [congruência](#def-b2-quadratic-def) ($\det(P^{\mathsf T}AP) = (\det P)^2\det A$): $\Delta_n
> 0$ força $c > 0$. Logo $q$ é soma de $n$ quadrados de formas independentes: positiva definida.

**Exercício 12.9 ★★★.**

(Courant–Fischer, segundo [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)) Seja $u$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$. Prove

$$
\lambda_2 = \min_{\substack{H \text{ hiperplano}}}\;
\max_{\substack{x \in H,\ \norm x = 1}} \langle u(x), x\rangle .
$$

*(Para $\leq$: todo hiperplano encontra o plano $2$ [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) pelos dois [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de cima. Para $\geq$: escolha $H =
(e_1)^{\perp}$.)*

**Solução de Exercício 12.9.**

Seja $(e_1, \dots, e_n)$ uma base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\lambda_1
\geq \dots \geq \lambda_n$.

*$\lambda_2 \leq$ o mín-máx:* para qualquer hiperplano $H$, o espaço $V = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ de dimensão $2$ satisfaz $\dim(H \cap V) \geq 1$ (Grassmann): escolha um unitário $x \in H \cap V$, $x = ae_1 + be_2$, $a^2 + b^2 = 1$:

$$
\langle u(x), x\rangle = \lambda_1 a^2 + \lambda_2 b^2 \geq
\lambda_2 :
$$

o máximo em todo hiperplano é $\geq \lambda_2$.

*$\geq$:* para $H = e_1^{\perp}$, todo unitário $x = \sum_{i\geq2}
x_ie_i \in H$ tem $\langle u(x), x\rangle = \sum_{i \geq 2}
\lambda_i x_i^2 \leq \lambda_2$, atingido em $e_2$: o máximo nesse hiperplano é exatamente $\lambda_2$. O mínimo sobre $H$ é, portanto, $\lambda_2$.

**Exercício 12.10 ★★.**

Determine o posto e a assinatura de $q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i <
j} x_ix_j$ em $\R^n$ ($n \geq 2$), de duas maneiras: pela identidade algébrica $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ junto com a restrição de $q$ ao hiperplano $\sum x_i = 0$; e calculando os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de sua matriz $\frac12(J - I)$, em que $J$ é a matriz de uns.

**Solução de Exercício 12.10.**

*Caminho algébrico:* $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum
x_i^2$. No hiperplano $H : \sum x_i = 0$ (dimensão $n -
1$), $q = -\frac12\sum x_i^2$ é negativa definida; na reta $\R(1, \dots, 1)$, $q(t, \dots, t) = \binom n2 t^2 > 0$. Um subespaço em que $q$ é positiva definida encontra $H$ trivialmente, logo tem dimensão $\leq 1$: por Sylvester ([Teorema 12.6](#thm-b2-quadratic-sylvester)), $s = 1$, e $t \geq n-1$ de $H$; o posto $\leq n$ força assinatura $(1, n-1)$, posto $n$.

*Caminho espectral:* a matriz é $\frac12(J - I)$; $J$ tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $n$ (em $(1,\dots,1)$) e $0$ (em $H$), logo $\frac12(J-I)$ tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\frac{n-1}{2}$ (uma vez) e $-\frac12$ ($n-1$ vezes): um positivo, $n-1$ negativos — mesma assinatura, pelo [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes).

**Exercício 12.11 ★★.**

Sejam $A$ e $B$ reais [simétricas](#def-b2-quadratic-adjoint) com $B$ positiva semidefinida. Prove que

$$
\lambda_{\min}(A)\operatorname{tr} B
\;\leq\;
\operatorname{tr}(AB)
\;\leq\;
\lambda_{\max}(A)\operatorname{tr} B .
$$

*(Escreva $B = C^{\mathsf T}C$ e $\operatorname{tr}(AB) =
\sum_i \langle A c_i, c_i\rangle$ sobre as colunas $c_i$ de $C^{\mathsf T}$.)* Em particular, $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ quando ambas são positivas semidefinidas.

**Solução de Exercício 12.11.**

Escreva $B = C^{\mathsf T}C$ ([Exercício 12.6](#exo-b2-quadratic-6) via $C =
\sqrt B$). Então, com $c_1, \dots, c_n$ as colunas de $C^{\mathsf T}$:

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AC^{\mathsf T}C)
= \operatorname{tr}(CAC^{\mathsf T})
= \sum_{i=1}^n \langle A c_i, c_i\rangle .
$$

Pelo [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) (2), cada termo fica entre $\lambda_{\min}(A)\norm{c_i}^2$ e $\lambda_{\max}(A)\norm{c_i}^2$, e $\sum\norm{c_i}^2 =
\operatorname{tr}(C^{\mathsf T}C)^{\vphantom1} =
\operatorname{tr} B$: a dupla desigualdade segue. Se $A$ é também positiva semidefinida, $\lambda_{\min}(A) \geq 0$: $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$.

**Exercício 12.12 ★★★.**

Em $E = \mathcal{M}_n(\R)$, considere $q(M) =
\operatorname{tr}(M^2)$.

1. Mostre que $q$ é uma [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) de forma polar $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ .
2. Mostre que as matrizes [simétricas](#def-b2-quadratic-adjoint) e as antissimétricas formam subespaços $\varphi$ -ortogonais nos quais $q$ é respectivamente positiva definida e negativa definida *(calcule $\operatorname{tr}(M^2)$ entrada a entrada em cada caso)* .
3. Conclua: $q$ tem assinatura $\bigl(\frac{n(n+1)}{2},  \frac{n(n-1)}{2}\bigr)$ e posto $n^2$ .

**Solução de Exercício 12.12.**

1. $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ é bilinear e [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) ( $\operatorname{tr}(MN) =  \operatorname{tr}(NM)$ ), e $\varphi(M, M) = q(M)$ : $q$ é a [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) de $\varphi$ .
2. Para $S$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) e $K$ antissimétrica: $\operatorname{tr}(SK) =  \operatorname{tr}\bigl((SK)^{\mathsf T}\bigr) =  \operatorname{tr}(K^{\mathsf T}S^{\mathsf T}) =  -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)$ , logo $\varphi(S, K) = 0$ : os dois subespaços são $\varphi$ -ortogonais. Entrada a entrada, $\operatorname{tr}  (M^2) = \sum_{i,j} m_{ij}m_{ji}$ : para $M$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) isso é $\sum m_{ij}^2 > 0$ ( $M \neq 0$ ); para $M$ antissimétrica é $-\sum m_{ij}^2 < 0$ .
3. $\mathcal M_n(\R) = S_n \oplus A_n$ com dimensões $\frac{n(n+1)}2$ e $\frac{n(n-1)}2$ ; uma [redução de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) adaptada a essa decomposição $\varphi$ -ortogonal escreve $q$ como $\frac{n(n+1)}2$ quadrados positivos e $\frac{n(n-1)}2$ negativos: assinatura $\bigl(\frac{n(n+1)}2, \frac{n(n-1)}2\bigr)$ (Sylvester), posto $n^2$ : a forma é não degenerada.

## 12.5 Problema: Cholesky, Hadamard e a decomposição polar

**Problema 12.1.**

O teorema espectral é um microscópio; este problema o usa como fábrica. A partir de matrizes de Gram fabricamos a *fatoração de Cholesky* (e identificamos os pivôs de Gauss como razões de menores), depois demonstramos a *desigualdade de Hadamard* sobre [determinantes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det), construímos a *decomposição polar* $A =
QS$ e a *decomposição em valores singulares*, classificamos as cônicas do plano e terminamos com a redução simultânea de duas formas — o teorema por trás dos modos normais de oscilação. Em todo o problema, $E =
\R^n$ com seu produto interno padrão.

**Parte I — Matrizes de Gram e Cholesky.** Para vetores $v_1, \dots, v_n \in E$, sua *matriz de Gram* é $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{i,j}$.

1. Mostre que $G$ é [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) positiva semidefinida, e positiva definida se e somente se $(v_1, \dots, v_n)$ é linearmente independente *(calcule $X^{\mathsf T}GX$)* .
2. Reciprocamente, mostre que toda $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) positiva semidefinida é uma matriz de Gram: $A = C^{\mathsf T}C$ para alguma $C$ (use a raiz quadrada de [Exercício 12.6](#exo-b2-quadratic-6) ), com $C$ invertível se e somente se $A$ é definida.
3. Deduza que uma $A$ positiva semidefinida satisfaz $\abs{a_{ij}} \leq \sqrt{a_{ii}\,a_{jj}}$ para todos $i,  j$ *(restrinja a duas coordenadas)* — a desigualdade de Cauchy–Schwarz, relida matricialmente.
4. (Cholesky) Seja $A$ positiva definida. Prove que existe uma *única* $T$ triangular superior com entradas diagonais positivas tal que $$A = T^{\mathsf T}\,T$$ *(existência: aplique Gram–Schmidt a vetores que realizem $A$ como matriz de Gram; unicidade: se $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$, mostre que $T_1T_2^{-1}$ é ortogonal e triangular com diagonal positiva, logo $I$)*.
5. Mostre que os menores principais dominantes satisfazem $\Delta_k = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$ e deduza que os pivôs produzidos pela [redução de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) de uma forma positiva definida, tomados na ordem natural das variáveis, são $$d_k = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}  \qquad (\Delta_0 = 1) :$$ os menores do critério de Sylvester ([Exercício 12.8](#exo-b2-quadratic-8)) e os pivôs de Gauss são os mesmos dados. Verifique em [Exemplo 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads).

**Parte II — A desigualdade de Hadamard.**

6. Seja $A$ positiva definida. Prove que $$\det A \leq a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}$$ *(normalize: $B = DAD$ com $D =  \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ tem diagonal de uns; majore $\det B = \prod \mu_i$ por MA–MG contra $\operatorname{tr} B = n$)*.
7. Mostre que vale a igualdade se e somente se $A$ é diagonal.
8. Deduza a *desigualdade de Hadamard*: para toda matriz quadrada real $M$ de colunas $c_1, \dots, c_n$, $$\abs{\det M} \leq \prod_{i=1}^{n}\norm{c_i}_2 ,$$ com igualdade (para $M$ invertível) se e somente se as colunas são duas a duas ortogonais *(aplique as questões 6–7 a $M^{\mathsf T}M$)*.
9. Dividendos geométricos e combinatórios: interprete a questão 8 como “o volume de um paralelepípedo é no máximo o produto dos comprimentos de suas arestas”; e mostre que uma matriz com todas as entradas em $\intcc{-1}{1}$ tem $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ . (As matrizes que atingem essa cota — as matrizes de Hadamard — existem para $n = 1, 2$ e muitos múltiplos de $4$ ; se existem para *todos* os múltiplos de $4$ é um famoso problema em aberto.)

**Parte III — [Decomposição polar](#pb-b2-quadratic-1) e valores singulares.**

10. Seja $A$ invertível. Mostre que $A^{\mathsf T}A$ é positiva definida e que $$S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}  \quad\text{(a raiz quadrada do~\text{Exercício 12.6})},  \qquad Q = AS^{-1}$$ dão uma fatoração $A = QS$ com $Q$ ortogonal e $S$ positiva definida.
11. Prove que essa fatoração de uma $A$ invertível é única.
12. Estenda a existência a $A$ arbitrária: escolha $\varepsilon_k \to 0$ com $A + \varepsilon_k I$ invertível, escreva $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ e use a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) de $O(n)$ ( [Exercício 12.5](#exo-b2-quadratic-5) ) para extrair $Q_k \to Q$ ; mostre que $S_k = Q_k^{\mathsf T}(A + \varepsilon_kI)$ converge para alguma $S$ positiva semidefinida com $A =  QS$ e $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ . Onde a unicidade falha para $A$ singular?
13. (Decomposição em valores singulares) Deduza que toda $A$ quadrada real escreve-se $$A = U\,\Sigma\,V^{\mathsf T},  \qquad U, V \in O(n),\quad  \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots,  \sigma_n),\ \sigma_i \geq 0 ,$$ em que os $\sigma_i$ (os *valores singulares*) são os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\sqrt{A^{\mathsf T}A}$.
14. Três consequências: $\vertiii{A}_2 = \sigma_{\max}$ para *toda* $A$ real (generalizando o [Exercício 12.7](#exo-b2-quadratic-7) ); $\abs{\det A} =  \sigma_1\cdots\sigma_n$ ; e a imagem da esfera unitária por uma $A$ invertível é um elipsoide de semieixos $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ ao longo das colunas de $U$ .

**Parte IV — Cônicas, pelo teorema espectral.** Uma cônica plana é o conjunto de zeros de $f(x) = q(x) + \langle b,
x\rangle + c$, com $q \neq 0$ uma [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) de matriz $A$, $b \in \R^2$, $c \in \R$.

15. Reduza $f$ por uma rotação (eixos principais, [Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ) seguida de uma translação, e classifique as formas não vazias e não degeneradas possíveis pela assinatura de $q$ : elipse ( $\det A > 0$ ), hipérbole ( $\det A < 0$ ), parábola ( $\det A = 0$ , posto $1$ , com o termo linear não absorvido).
16. Execute a redução por inteiro para $$x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y = 4 :$$ coordenadas giradas, equação reduzida, natureza e centro da cônica.
17. (Cônicas centrais) Suponha $\det A \neq 0$. Mostre que o *centro* é $x_0 = -\frac12 A^{-1}b$ e que a [congruência](#def-b2-quadratic-def) por $\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &  1\end{pmatrix}$ da matriz $3\times3$ $\widetilde Q  = \begin{pmatrix} A & b/2 \\ b^{\mathsf T}/2 &  c\end{pmatrix}$ dá $$\det\widetilde Q = f(x_0)\,\det A :$$ a cônica central é degenerada (um ponto ou duas retas) exatamente quando $\det\widetilde Q = 0$.
18. Verifique a questão 17 no exemplo da questão 16: calcule $x_0$ , $f(x_0)$ e $\det\widetilde Q$ , e conclua de novo que a cônica é uma hipérbole não degenerada.
19. (Um feixe de quádricas) Para $\lambda \in \R$, classifique a superfície $$x^2 + y^2 + z^2 + 2\lambda(xy + yz + zx) = 1$$ pelos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de sua matriz *(estrutura de uns: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ e $1 -  \lambda$ duplo)*: esfera/elipsoide, cilindro, par de planos, hiperboloides de uma e de duas folhas, conforme $\lambda$.

**Parte V — Duas formas de uma vez: redução simultânea.**

20. Seja $q$ positiva definida e $q'$ uma [forma quadrática](#def-b2-quadratic-def) arbitrária em $E$ . Prove que existe uma base de $E$ que é ortonormal para $q$ e ortogonal para $q'$ : nela, $q = \sum x_i^2$ e $q' = \sum \mu_i  x_i^2$ *(use $q$ como produto interno e aplique o teorema espectral ao endomorfismo que representa $q'$)* .
21. Forma matricial: para $A$ positiva definida e $B$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) , existe $P$ invertível com $P^{\mathsf T}AP = I$ e $P^{\mathsf T}BP =  \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ , em que os $\mu_i$ são as raízes de $\det(B - \mu A) = 0$ .
22. Execute-a por inteiro para $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} :$$ os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) generalizados $\mu_\pm$ e os vetores que diagonalizam as duas formas.
23. Mostre que a definição positiva não pode ser dispensada: para $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$$ nenhuma base diagonaliza as duas formas *(se $P$ diagonalizasse ambas, $\det(B - \mu A)$ se decomporia com raízes reais; calcule-o)*.
24. Mostre que os $\mu_i$ da questão 21 são os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A^{-1}B$ e que $A^{-1}B$ , embora não [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) em geral, é sempre [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais *(conjugue por $\sqrt A$)* .
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) o único teorema em que toda Parte se apoiou; (ii) quais resultados das Partes I–III sobrevivem para matrizes positivas *semi* definidas e quais precisam de definição estrita; (iii) o sistema físico cujas pequenas oscilações as questões 20–22 diagonalizam (energias cinética e potencial como as duas formas), e o que os $\mu_i$ significam ali.

**Solução de Problema 12.1.**

**1.** $G$ é [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) pela simetria do produto interno, e

$$
X^{\mathsf T}GX = \sum_{i,j}x_ix_j\langle v_i, v_j\rangle
= \Bigl\|\sum_i x_iv_i\Bigr\|^2 \geq 0 ,
$$

com igualdade se e somente se $\sum x_iv_i = 0$: $G$ é definida se e somente se a única combinação nula é a trivial, isto é, se e somente se a família é independente.

**2.** Com $B = \sqrt A$ ([Exercício 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $A
= B^2 = B^{\mathsf T}B$, a matriz de Gram das colunas de $B$; tome $C = B$. E $X^{\mathsf T}AX = \norm{CX}^2$, logo $A$ é definida se e somente se $CX \neq 0$ para $X \neq 0$, se e somente se $C$ é invertível.

**3.** A restrição da forma a $\operatorname{Vect}(e_i, e_j)$ tem matriz $\begin{pmatrix} a_{ii} & a_{ij}\\ a_{ij} & a_{jj}
\end{pmatrix}$, ainda positiva semidefinida: seu [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) (produto de seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) não negativos) é $\geq 0$: $a_{ij}^2 \leq a_{ii}a_{jj}$. Essa é Cauchy–Schwarz para os vetores $v_i, v_j$ de uma realização de Gram.

**4.** *Existência:* escreva $A$ como matriz de Gram de uma família independente $(v_1, \dots, v_n)$ (questões 1–2). Gram–Schmidt produz uma base ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ com

$$
v_k = \sum_{i \leq k} t_{ik}\,e_i,
\qquad t_{kk} = \bigl\| v_k - \operatorname{proj}_{k-1}v_k
\bigr\| > 0 ,
$$

de modo que $T = (t_{ik})$ é triangular superior com diagonal positiva, e

$$
a_{jk} = \langle v_j, v_k\rangle
= \sum_i t_{ij}t_{ik} = (T^{\mathsf T}T)_{jk} .
$$

*Unicidade:* se $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$, então $R = T_1T_2^{-1}$ satisfaz $R^{\mathsf T}R = I$: $R$ é ortogonal e também triangular superior com diagonal positiva (produto de tais). Então $R^{-1} = R^{\mathsf T}$ é simultaneamente triangular superior (inversa de superior) e inferior ([transposta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-transpose) de superior): diagonal; uma matriz diagonal ortogonal tem entradas $\pm1$, e a positividade força $R = I$: $T_1 = T_2$.

**5.** Para $i, j \leq k$, $(T^{\mathsf T}T)_{ij} = \sum_m
t_{mi}t_{mj}$ só envolve $m \leq \min(i,j) \leq k$: o bloco dominante $k\times k$ de $A$ é $T_k^{\mathsf T}T_k$, com $T_k$ o bloco dominante de $T$. Logo $\Delta_k = (\det T_k)^2
= (t_{11}\cdots t_{kk})^2$. Ora, a [redução de Gauss](#thm-b2-quadratic-gauss) de uma forma positiva definida na ordem natural nunca encontra coeficiente quadrático nulo (os pivôs são as entradas diagonais dos blocos positivos definidos sucessivamente reduzidos): ela produz $q
= \sum_k d_k\ell_k^2$ com $\ell_k = x_k + (\text{termos em }
x_{k+1}, \dots)$, isto é, $A = L^{\mathsf T}DL$ com $L$ triangular unipotente; então $T = \sqrt D\,L$ é um fator de Cholesky, logo, pela unicidade, $t_{kk}^2 = d_k$ e

$$
d_k = \frac{(t_{11}\cdots t_{kk})^2}
{(t_{11}\cdots t_{k-1,k-1})^2}
= \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} .
$$

Em [Exemplo 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads): $\Delta_1, \Delta_2,
\Delta_3 = 2, 3, 4$ e os pivôs eram $2, \frac32, \frac43$.

**6.** Cada $a_{ii} = e_i^{\mathsf T}Ae_i > 0$. Sejam $D =
\operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ e $B = DAD$: positiva definida ([congruência](#def-b2-quadratic-def)), com $b_{ii} = 1$, logo $\operatorname{tr}
B = n$. Seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mu_i > 0$ satisfazem, por MA–MG,

$$
\det B = \prod_i\mu_i
\leq \Bigl(\frac{\sum\mu_i}{n}\Bigr)^{\!n} = 1 ,
$$

e $\det B = (\det D)^2\det A = \dfrac{\det A}{\prod
a_{ii}}$: $\det A \leq \prod a_{ii}$.

**7.** MA–MG é igualdade se e somente se todos os $\mu_i$ são iguais (a $1$); uma matriz [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) com único [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$ é $PIP^{\mathsf T} = I$. Logo igualdade se e somente se $B = I$, se e somente se $a_{ij} = 0$ para $i \neq j$: $A$ diagonal.

**8.** Se $M$ é singular, os dois lados valem $\geq 0 =
\abs{\det M}$. Caso contrário, $A = M^{\mathsf T}M$ é positiva definida com $a_{ii} = \norm{c_i}^2$ e $\det A = (\det
M)^2$: a questão 6 dá $(\det M)^2 \leq \prod\norm{c_i}^2$. Igualdade se e somente se $A = M^{\mathsf T}M$ é diagonal (questão 7), isto é, se e somente se as colunas são duas a duas ortogonais.

**9.** $\abs{\det M}$ é o volume do paralelepípedo [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) pelas colunas: o volume é no máximo o produto dos comprimentos das arestas, com igualdade exatamente para caixas retangulares. Se $\abs{m_{ij}} \leq 1$, então $\norm{c_i} \leq \sqrt n$, logo $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$. (Atingir isso força colunas ortogonais de entradas $\pm1$: uma matriz de Hadamard.)

**10.** $X^{\mathsf T}A^{\mathsf T}AX = \norm{AX}^2 > 0$ para $X \neq 0$ ($A$ invertível): $A^{\mathsf T}A$ é positiva definida. Sua raiz quadrada $S$ é positiva definida ([autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\sqrt{\lambda_i} > 0$), logo invertível, e $Q = AS^{-1}$ satisfaz

$$
Q^{\mathsf T}Q = S^{-1}A^{\mathsf T}AS^{-1}
= S^{-1}S^2S^{-1} = I :
$$

$A = QS$ com $Q$ ortogonal e $S$ positiva definida.

**11.** Se $A = QS = Q'S'$, então $S'^{\,2} =
S'^{\mathsf T}Q'^{\mathsf T}Q'S' = A^{\mathsf T}A = S^2$; duas matrizes positivas semidefinidas com o mesmo quadrado coincidem ([Exercício 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $S' = S$, e depois $Q' = AS^{-1} =
Q$.

**12.** $\det(A + \varepsilon I)$ é um polinômio não nulo em $\varepsilon$: ele tem finitas raízes, logo alguma sequência $\varepsilon_k \to 0$ as evita. Escreva $A + \varepsilon_kI =
Q_kS_k$ (questão 10). $O(n)$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ([Exercício 12.5](#exo-b2-quadratic-5)): uma subsequência dá $Q_{\varphi(k)}
\to Q \in O(n)$. Então

$$
S_{\varphi(k)} = Q_{\varphi(k)}^{\mathsf T}
\bigl(A + \varepsilon_{\varphi(k)}I\bigr)
\longrightarrow Q^{\mathsf T}A =: S,
$$

[simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint) positiva semidefinida como limite de tais (condições fechadas), e $A = QS$. Além disso, $S^2 = S^{\mathsf T}S =
A^{\mathsf T}QQ^{\mathsf T}A = A^{\mathsf T}A$, logo $S =
\sqrt{A^{\mathsf T}A}$ pela unicidade. Para $A$ singular, $S$ é singular e $Q$ não é única: ela pode ser modificada arbitrariamente em $(\operatorname{im} S)^{\perp}$ — caso extremo $A = 0$, em que toda $Q$ ortogonal serve.

**13.** Diagonalize $S = P\Sigma P^{\mathsf T}$ (teorema espectral), $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_i)$ com $\sigma_i \geq 0$ os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $S =
\sqrt{A^{\mathsf T}A}$. Então

$$
A = QS = (QP)\,\Sigma\,P^{\mathsf T} = U\Sigma V^{\mathsf T},
\qquad U = QP,\ V = P \in O(n) .
$$

**14.** $\norm{Ax}^2 = x^{\mathsf T}S^2x \leq
\sigma_{\max}^2\norm x^2$ com igualdade num [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de topo de $S$: $\vertiii A_2 = \sigma_{\max}$ — para $A$ [simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint), $S = \sqrt{A^2}$ tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\abs{\lambda_i}$, recuperando o [Exercício 12.7](#exo-b2-quadratic-7). [Determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det): $\abs{\det A} =
\abs{\det U}\det\Sigma\abs{\det V} = \sigma_1\cdots\sigma_n$. Esfera: escrevendo $x = Vy$ com $\norm y = 1$, $Ax = U\Sigma y$ tem coordenadas $z_i = \sigma_iy_i$ no referencial ortonormal das colunas de $U$: a imagem é $\{\sum z_i^2/\sigma_i^2 =
1\}$, um elipsoide de semieixos $\sigma_i$.

**15.** Uma rotação para eixos principais ([Corolário 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes)) transforma $f$ em $\lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2 + \beta_1X + \beta_2Y + c$, com $\lambda_1\lambda_2 = \det A$. Se $\det A \neq 0$, absorva os termos lineares pela translação $X \mapsto X -
\frac{\beta_1}{2\lambda_1}$ (e do mesmo modo $Y$): $\lambda_1X'^2
+ \lambda_2Y'^2 = c'$. Para $\det A > 0$ (sinais iguais): uma elipse ($c'$ do sinal certo), um ponto ou o vazio. Para $\det
A < 0$: uma hipérbole ($c' \neq 0$) ou duas retas concorrentes. Se $\det A = 0$ com posto $1$ (digamos $\lambda_2 = 0 \neq
\lambda_1$): $\lambda_1X'^2 + \beta_2Y + c''$, uma parábola quando $\beta_2 \neq 0$; caso contrário, duas retas paralelas, uma reta ou o vazio. Formas não degeneradas: elipse, hipérbole, parábola, governadas pelo sinal de $\det A$.

**16.** A parte quadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tem matriz $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ e $-1$ com direções ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$, $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$. Nas coordenadas giradas $u =
\frac{x+y}{\sqrt2}$, $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$: $x^2 + y^2 = u^2
+ v^2$, $2xy = u^2 - v^2$, de modo que a forma é $3u^2 - v^2$, e $2x
- 2y = 2\sqrt2\,v$. A equação torna-se

$$
3u^2 - v^2 + 2\sqrt2\,v = 4
\quad\Longleftrightarrow\quad
3u^2 - \bigl(v - \sqrt2\bigr)^2 = 2 :
$$

uma hipérbole, de centro $(u, v) = (0, \sqrt2)$, isto é, $(x, y) =
(1, -1)$, com eixos ao longo do referencial girado.

**17.** $f(x) = (x - x_0)^{\mathsf T}A(x - x_0) + f(x_0)$ sempre que $Ax_0 = -\frac b2$, isto é, $x_0 = -\frac12A^{-1}b$: o gradiente de $f$ se anula exatamente aí ($x_0$ é o centro de simetria). Com $M = \begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &
1\end{pmatrix}$:

$$
M^{\mathsf T}\widetilde QM
= \begin{pmatrix}
A & Ax_0 + \frac b2\\[2pt]
\bigl(Ax_0 + \frac b2\bigr)^{\mathsf T} &
x_0^{\mathsf T}Ax_0 + b^{\mathsf T}x_0 + c
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & f(x_0)\end{pmatrix},
$$

e $\det M = 1$: $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A$. A equação centrada lê-se $q(X) = -f(x_0)$: para $f(x_0) = 0$ ela degenera em $q(X) = 0$ (duas retas pelo centro se a assinatura é $(1,1)$, o único ponto $x_0$ se $q$ é definida); para $f(x_0) \neq 0$ a cônica é uma elipse ou hipérbole genuína.

**18.** $A^{-1} = -\frac13\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 &
1\end{pmatrix}$, $\frac b2 = (1, -1)$: $x_0 =
-A^{-1}\frac b2 = (1, -1)$, como se achou na questão 16. $f(x_0) =
q(1,-1) + 2 + 2 - 4 = (1 - 4 + 1) + 0 = -2 \neq 0$, e $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A = (-2)(-3) = 6 \neq 0$: não degenerada; $\det A = -3 < 0$: uma hipérbole — e de fato a equação centrada $3u^2 - (v - \sqrt2)^2 = -f(x_0) = 2$ coincide com a da questão 16.

**19.** A matriz é $(1-\lambda)I + \lambda J$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ (direção $(1,1,1)$) e $1 -
\lambda$ (duplo, em $x + y + z = 0$). Casos:

- $-\frac12 < \lambda < 1$ : todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) positivos: um elipsoide de revolução em torno de $(1,1,1)$ (uma esfera para $\lambda = 0$ );
- $\lambda = 1$ : $q = (x+y+z)^2$ : a equação dá os dois planos paralelos $x + y + z = \pm1$ ;
- $\lambda = -\frac12$ : [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $0, \frac32,  \frac32$ : um cilindro circular de eixo $(1,1,1)$ ;
- $\lambda > 1$ : assinatura $(1, 2)$ : um hiperboloide de duas folhas;
- $\lambda < -\frac12$ : assinatura $(2, 1)$ : um hiperboloide de uma folha.

**20.** A forma polar de $q$ é um produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ em $E$. Para $x$ fixo, $y \mapsto
\varphi'(x, y)$ (forma polar de $q'$) é linear, logo é igual a $\langle z_x, y\rangle_q$ para um único $z_x$; $u(x) := z_x$ é linear (unicidade), e $\langle u(x), y\rangle_q =
\varphi'(x,y) = \varphi'(y,x) = \langle u(y), x\rangle_q$: $u$ é [simétrico](#def-b2-quadratic-adjoint) no espaço euclidiano $(E,
\langle\cdot,\cdot\rangle_q)$. O teorema espectral ([Teorema 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral)) dá uma base $(\varepsilon_i)$ ortonormal para $q$ e de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $u(\varepsilon_i) =
\mu_i\varepsilon_i$: nela $q(x) = \sum x_i^2$ e $q'(x) =
\langle u(x), x\rangle_q = \sum\mu_ix_i^2$.

**21.** Seja $P$ a matriz dessa base: a [congruência](#def-b2-quadratic-def) dá $P^{\mathsf T}AP = I$ e $P^{\mathsf T}BP =
\operatorname{diag}(\mu_i)$. Então

$$
\det(B - \mu A) = \det(P^{-\mathsf T})
\det\bigl(\operatorname{diag}(\mu_i) - \mu I\bigr)
\det(P^{-1})
= (\det P)^{-2}\prod_i(\mu_i - \mu) :
$$

os $\mu_i$ são as raízes do feixe $\det(B - \mu A)$.

**22.** $\det(B - \mu A) =
\det\begin{pmatrix} -2\mu & 1-\mu\\ 1-\mu & -\mu\end{pmatrix}
= 2\mu^2 - (1-\mu)^2 = \mu^2 + 2\mu - 1$: raízes $\mu_\pm = -1
\pm \sqrt2$. Resolvendo $(B - \mu_\pm A)v = 0$: $v_\pm = (1 -
\mu_\pm,\ 2\mu_\pm)$ (a identidade da segunda linha $(1-\mu)^2 =
2\mu^2$ nas raízes confirma). As [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $A$ saem limpas: $q_A(v_\pm) = 2(1 + \mu_\pm^2)$, e verifica-se que $\varphi_A(v_+, v_-) = 0$ usando $\mu_+ + \mu_- = -2$, $\mu_+\mu_- = -1$. A base $\Bigl(\frac{v_+}{\sqrt{2(1 +
\mu_+^2)}}, \frac{v_-}{\sqrt{2(1+\mu_-^2)}}\Bigr)$ é ortonormal para $A$ e diagonaliza $B$ com entradas $\mu_\pm$.

**23.** Se alguma $P$ invertível diagonalizasse as duas formas, o cálculo da questão 21 daria $\det(B - \mu A) = (\det
P)^{-2}\prod(d_{2i} - \mu d_{1i})$, um polinômio real que se decompõe em fatores lineares reais. Mas aqui

$$
\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -\mu & 1\\ 1 &
\mu\end{pmatrix} = -\mu^2 - 1 ,
$$

de grau $2$ sem raiz real: contradição. (A assinatura de Lorentz $A$ admite “rotações” $B$ sem eixos reais.)

**24.** $A^{-1}B = A^{-1/2}\bigl(A^{-1/2}BA^{-1/2}\bigr)
A^{1/2}$ com $A^{1/2} = \sqrt A$ positiva definida ([Exercício 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $A^{-1}B$ é semelhante à matriz *[simétrica](#def-b2-quadratic-adjoint)* $A^{-1/2}BA^{-1/2}$, logo é [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais. E $\det(B - \mu A) = \det A\cdot
\det(A^{-1}B - \mu I)$: as raízes do feixe $\mu_i$ da questão 21 são exatamente os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A^{-1}B$.

**25.** (i) Toda Parte se apoiou no teorema espectral: pela raiz quadrada (Cholesky, polar), pelas cotas de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (Hadamard), pelos eixos principais (cônicas) e pela versão adaptada a $q$ (redução simultânea). (ii) As realizações de Gram, Hadamard e a [decomposição polar](#pb-b2-quadratic-1) sobrevivem no mundo semidefinido; a unicidade de Cholesky, a fórmula dos pivôs e a redução simultânea precisam da definição estrita (as questões 12 e 23 mostram exatamente como elas falham). (iii) Pequenas oscilações acopladas: a energia cinética (positiva definida) e a energia potencial são duas [formas quadráticas](#def-b2-quadratic-def); a base das questões 20–22 é a dos *modos normais* do sistema, e os $\mu_i$ são os quadrados das frequências angulares.