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title: "Formas hermitianas"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas
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# Capítulo 13 — Formas hermitianas

Os espaços vetoriais complexos têm sua própria geometria de produto interno, com uma reviravolta: linearidade em uma variável, linearidade *conjugada* na outra. A recompensa por aceitar a reviravolta é uma teoria espectral ainda mais limpa que a real — os [endomorfismos hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) têm [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais, os [unitários](#def-b2-hermitian-adjoint) têm [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de módulo um, e os dois diagonalizam em bases ortonormais. Este capítulo curto roda o programa euclidiano do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#ch-b2-quadratic) sobre $\C$.

## 13.1 Produtos internos hermitianos

**Definição 13.1.**

Um *produto interno hermitiano* num espaço vetorial complexo $E$ é uma aplicação $\langle\cdot,\cdot\rangle
\colon E \times E \to \C$ linear na segunda variável, [conjugada-simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) ($\langle y, x\rangle = \conj{\langle x,
y\rangle}$ — logo conjugada-linear na primeira variável) e positiva definida ($\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$). O exemplo padrão em $\C^n$:

$$
\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;
$$

sobre funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj
f\,g$. [Norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm): $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$; um espaço complexo de dimensão finita assim munido é um *espaço hermitiano*.

**Exemplo 13.2 (Primeiros cálculos).**

Em $\C^2$, tome $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ e $y = (\iu,\ 1)$. Então

$$
\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7,
\qquad
\norm y^2 = 1 + 1 = 2,
$$

e, conjugando o primeiro argumento,

$$
\langle x, y\rangle
= \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1
= (1-\iu)\iu + (2+\iu)
= (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .
$$

Cauchy–Schwarz confere: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 +
4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — perto da igualdade, porque $x$ está perto de ser um múltiplo de $y$. Note também que $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$: a simetria conjugada em ação, e a razão pela qual $\langle x,
x\rangle$ é sempre real.

**Teorema 13.3 (Cauchy–Schwarz, complexa).**

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$, com igualdade se e somente se $x, y$ são linearmente dependentes; $\norm\cdot$ é uma [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm). Além disso, existem bases ortonormais (Gram–Schmidt roda palavra por palavra), com

$$
x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i,
\qquad
\norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .
$$

**Demonstração.** Para $y \neq 0$ e $t \in \C$: $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2
- 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$. Escolha $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$:

$$
0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},
$$

que é a desigualdade; a igualdade força $x = ty$. Desigualdade triangular, por inteiro:

$$
\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle
+ \norm y^2
\leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2
\leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,
$$

usando $\Re z \leq \abs z$ e depois Cauchy–Schwarz; a homogeneidade e a separação são imediatas, logo $\norm\cdot$ é uma [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm). Gram–Schmidt: como no caso real, com os conjugados colocados pela definição (note a convenção: nossos produtos são conjugados-lineares na *primeira* casa, de modo que as coordenadas são $\langle e_i, x\rangle$; o exemplo seguinte roda o algoritmo uma vez por inteiro). ∎

**Exemplo 13.4 (Gram–Schmidt complexo, executado por inteiro).**

Ortonormalize a base $v_1 = (1, \iu)$, $v_2 = (0, 1)$ de $\C^2$. Primeiro vetor: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$, logo $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$. Projete $v_2$ — com o conjugado na primeira casa:

$$
\langle e_1, v_2\rangle
= \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 +
\conj{\iu}\cdot1\bigr)
= \frac{-\iu}{\sqrt2} ,
\qquad
v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1
= (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu)
= \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .
$$

Sua [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) é $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$: $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$. Verificação: $\langle e_1,
e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) =
\frac12(\iu - \iu) = 0$. Coordenadas de $v_2$ na nova base: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle
e_2$ com $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — atenção à [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated): $\langle v_2, e_1\rangle$ daria o coeficiente *conjugado*. Lição final: o algoritmo é o euclidiano palavra por palavra; a única armadilha é onde cai a conjugação, e calcular $\norm{v_2 -
\text{proj}}^2 > 0$ usa silenciosamente a positividade — o axioma que faz toda a geometria funcionar.

## 13.2 Adjunto, endomorfismos hermitianos e unitários

**Definição 13.5.**

O *adjunto* $u^*$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ define-se por $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$; numa base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =:
A^{\dagger}$ ([transposta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-transpose) conjugada) — de fato, se $B =
(b_{ij})$ é a matriz de $u^*$ na base ortonormal $(e_i)$, então $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$, e a identidade de definição dá

$$
\conj{b_{ij}}
= \langle u^*(e_j), e_i\rangle
= \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} ,
\qquad\text{logo}\qquad
B = \conj{A}^{\mathsf T} .
$$

$u$ é *hermitiano* quando $u^* = u$ ($A^\dagger = A$), *unitário* quando $u^*u =
\mathrm{id}$ ($A^\dagger A = I$: o grupo $U(n)$), *normal* quando $u^*u = uu^*$.

**Proposição 13.6.**

Os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de um [endomorfismo hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint) são *reais*; os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de um endomorfismo [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint) têm *módulo $1$*; nos dois casos, os [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) distintos são ortogonais.

**Demonstração.** [Hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint), $u(x) = \lambda x$, $x \neq 0$:

$$
\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle
= \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,
$$

logo $\lambda \in \R$. [Unitário](#def-b2-hermitian-adjoint): $\norm{u(x)} = \norm x$ (de $u^*u =
\mathrm{id}$), logo $\abs\lambda\norm x = \norm x$. Ortogonalidade (caso [hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint)): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x),
y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ para [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) com $\lambda \neq \mu$ reais. Caso [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint), por inteiro: para $u(x) = \lambda x$, $u(y) = \mu y$ com $\lambda \neq
\mu$ (ambos de módulo um),

$$
\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle
= \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,
$$

e $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$: o fator não é $1$, logo $\langle x, y\rangle = 0$. ∎

**Exemplo 13.7 (Uma matriz anti-hermitiana, diagonalizada).**

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ satisfaz $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: [anti-hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) (e também real antissimétrica — sobre $\R$ ela não tem [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) algum). [Polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) $X^2 + 4$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\pm2\iu$, puramente imaginários, como o [Exercício 13.9](#exo-b2-hermitian-9) prevê em geral. [Autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): $(A - 2\iu I)v = 0$ dá $v_1 =
\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, e $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,
-\iu)$ para $-2\iu$; eles são ortogonais:

$$
\langle v_1, v_2\rangle
= \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 +
\conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr)
= \tfrac12(1 - 1) = 0 .
$$

Assim $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ com $U =
(v_1\ v_2)$ [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint). Lição final: $H = -\iu A =
\begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ é [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) com o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) real $\{\pm2\}$ e os *mesmos* [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) — a bijeção $u \mapsto \iu u$ entre [endomorfismos hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) e [anti-hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) ([Exercício 13.9](#exo-b2-hermitian-9)), vista matriz a matriz; sobre $\R$ a mesma $A$ é uma rotação com escala sem [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) algum, e só a passagem a $\C$ revela sua forma normal.

**Teorema 13.8 (Teorema espectral hermitiano).**

Todo [endomorfismo hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint) de um [espaço hermitiano](#def-b2-hermitian-def) tem base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais): $A^\dagger = A$ implica $A = U D U^{\dagger}$ com $U \in U(n)$ e $D$ diagonal real.

**Demonstração.** Sobre $\C$, o [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) se decompõe: existe um [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction)) — nenhum argumento de [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) necessário, vantagem de $\C$. Normalize-o. Seu complemento ortogonal $F = e_1^\perp$ é estável: para $x \perp e_1$,

$$
\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle
= \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0
$$

($\lambda_1$ real). A restrição é [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint); faça indução sobre a dimensão e concatene. Em detalhe: a restrição $u|_F$ é um endomorfismo do [espaço hermitiano](#def-b2-hermitian-def) $F$ (dimensão $n - 1$) com $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ herdado de $u$; a hipótese de indução fornece uma base ortonormal $(e_2, \dots, e_n)$ de $F$ de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), e $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ é ortonormal em $E$ ($e_1 \perp
F$) e formada de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $u$. Tradução matricial: as colunas de $U$ são os $e_i$, $U^\dagger U = I$ exprime sua ortonormalidade, e $AU = UD$ reúne as equações de [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), donde $A = UDU^\dagger$ com $D$ diagonal real ([Proposição 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues)). ∎

**Exemplo 13.9.**

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ é [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) ($A^\dagger = A$): [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) a partir de $\chi_A = X^2 - 1$: $\pm 1$ (reais, como prometido), com [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ e $\frac{1}{\sqrt2}(1,
-\iu)^{\mathsf T}$. (Os físicos conhecem $A$ como matriz de Pauli; a realidade dos [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) [hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) é o motivo pelo qual os observáveis quânticos são modelados por operadores [hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint).)

**Exemplo 13.10 (Uma matriz hermitiana positiva definida, trabalhada).**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$: [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint), pois a diagonal é real e as entradas fora da diagonal são conjugadas. [Polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly):

$$
(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2
= \lambda^2 - 5\lambda + 4
= (\lambda - 1)(\lambda - 4) :
$$

[espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{1, 4\}$, real e positivo — $A$ é positiva definida. [Autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): para $\lambda = 4$, o sistema $(A -
4I)v = 0$ dá $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (confira a segunda linha: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); para $\lambda = 1$, $v_1 = (1 - \iu,\
-1)$. Ortogonalidade, com o conjugado na primeira casa:

$$
\langle v_4, v_1\rangle
= \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1)
= 2 - 2 = 0 . \checkmark
$$

Normalizando ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1
= 3$) obtém-se a [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\
\frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ com $A =
U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Lição final: a leitura de Rayleigh é imediata — na esfera unitária de $\C^2$, $\langle x, Ax\rangle$ percorre $\intcc{1}{4}$, atingido nos dois [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen); esse é o germe em $n = 2$ da teoria de Courant–Fischer construída no problema de fim de semana. Confira por amostragem que a forma é real fora dos [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) também: em $x = (1, \iu)$,

$$
Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr)
= (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),
$$

$$
\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) +
\conj{\iu}\,(1+4\iu)
= (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in
\R ,
$$

como o mecanismo de demonstração da [Proposição 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues) (simetria conjugada contra $A^\dagger = A$) garante para todo $x$.

**Exemplo 13.11 (Uma matriz unitária diagonalizada).**

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1
\end{pmatrix}$ ([unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) por [Exercício 13.2](#exo-b2-hermitian-2)). Seu [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) é $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2
+ \frac12$, com raízes

$$
\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},
$$

de módulo um, como a [Proposição 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues) prometeu, e [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$. Assim $U =
V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4},
\eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$: na base certa, $U$ é um par de rotações planas de $\pm\frac\pi4$ — uma matriz de rotação real não tem [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) real algum, mas sobre $\C$ ela se separa em dois escalares de módulo um. Lição final: os [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) [hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) vivem na reta real, os [unitários](#def-b2-hermitian-adjoint) no círculo unitário; ambos são sombras da mesma normalidade, e a transformada de Cayley do [Exercício 13.6](#exo-b2-hermitian-6) leva um retrato no outro.

**Exemplo 13.12 (A transformada de Cayley, calculada).**

Rode o [Exercício 13.6](#exo-b2-hermitian-6) em $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$ ([hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint), [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{1, -1\}$, [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$). Na base de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) tudo é escalar: a transformada $\lambda
\mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ leva

$$
1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu,
\qquad
-1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,
$$

(multiplique pelo conjugado do denominador), de modo que $U = (H -
\iu I)(H + \iu I)^{-1}$ é a [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mp\iu$ nesses mesmos [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen):

$$
U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .
$$

Verificação: $U^\dagger U = I$ e $1 \notin \operatorname{Sp}U =
\{\pm\iu\}$, como a teoria promete. Lição final: a reta real é levada sobre o círculo unitário menos o ponto $1$ — [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) por [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), a transformada de Cayley é a aplicação de Möbius $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$, e as matrizes apenas seguem seus [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).

**Observação 13.13 (Armadilhas comuns).**

*(i) Onde cai a barra:* este livro conjuga a *primeira* casa, de modo que as coordenadas são $\langle e_i, x\rangle$ e $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x,
y\rangle$; muitos textos conjugam a segunda casa — traduza antes de comparar fórmulas, ou os sinais de $\iu$ ficam errados em silêncio. *(ii) A [polarização](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) complexa é mais forte:* sobre $\C$, se $\langle x, u(x)\rangle = 0$ para *todo* $x$, então $u = 0$ (desenvolva $x + y$ e $x + \iu y$: tanto a parte real quanto a imaginária de $\langle x, u(y)\rangle$ se anulam); sobre $\R$ isso falha — a rotação de $\frac\pi2$ satisfaz $\langle x, u(x)\rangle = 0$ em toda parte. Por consequência, apenas sobre $\C$, “$\langle x, u(x)\rangle \in \R$ para todo $x$” já força $u$ [hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint). *(iii) Normal real não é [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag):* a matriz de [Exemplo 13.7](#ex-b2-hermitian-skewexample) é normal mas não tem [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) real; a diagonalização [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) é um teorema *sobre* $\C$, e sobre $\R$ só se obtêm reduções por blocos. *(iv) Verificar a unitariedade:* $U^\dagger U = I$ significa que as *colunas* são ortonormais para o produto [hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint) — testar $UU^{\mathsf T}$, ou esquecer a conjugação nos produtos de colunas, são os dois modos clássicos de certificar uma matriz errada.

**Exemplo 13.14 (As isometrias são exatamente as unitárias).**

Preservar a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) parece mais fraco que ser [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint), mas sobre $\C$ não é: se $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$, então $u^*u =
\mathrm{id}$. De fato, $v = u^*u - \mathrm{id}$ é [hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint) e satisfaz $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 =
0$ para todo $x$; pela [polarização](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) complexa (armadilha (ii) acima), uma aplicação com “diagonal” identicamente nula é nula: $v = 0$. Concretamente, a [polarização](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) roda

$$
0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle
= \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle,
\qquad
0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle
= \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,
$$

e as duas linhas juntas forçam $\langle x, v(y)\rangle = 0$ para todos $x, y$. Lição final: é por isso que “[unitário](#def-b2-hermitian-adjoint)” pode ser verificado só medindo comprimentos — uma rigidez que o capítulo de Fourier vai explorar, em que preservar a energia $\norm f_2$ (Parseval) é o mesmo que preservar todos os produtos internos de coeficientes.

**Observação 13.15 (Perspectivas dentro deste volume).**

A maquinaria [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) aqui construída é consumida quase imediatamente. O capítulo de Fourier *é* geometria [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) em dimensão infinita: as exponenciais $(e_n)$ são uma família ortonormal para $\langle f, g\rangle =
\frac{1}{2\pi}\int\conj fg$, a desigualdade de Bessel é a estimativa de projeção do [Teorema 13.3](#thm-b2-hermitian-cs) deste capítulo, e Parseval é sua igualdade limite. A transformada de Fourier finita ([Exercício 13.10](#exo-b2-hermitian-10)) reaparece sempre que a convolução tem de ser diagonalizada. E o problema de fim de semana deste capítulo — Courant–Fischer, Weyl, entrelaçamento — fornece a estabilidade dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) que o capítulo de equações diferenciais invoca ao afirmar que pequenas perturbações de um sistema movem suas frequências apenas ligeiramente. Para trás, tudo aqui é o espelho complexo do capítulo de [formas quadráticas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def): mantenha os dois dicionários lado a lado ($A^{\mathsf T} \leftrightarrow
A^\dagger$, ortogonal $\leftrightarrow$ [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint), Rayleigh real nos dois).

**Observação 13.16 (Endomorfismos normais).**

Sobre $\C$ o enunciado definitivo é: $u$ é *unitariamente [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) se e somente se é normal* ($u^*u = uu^*$) — cobrindo de uma vez as aplicações [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint), [unitárias](#def-b2-hermitian-adjoint) e [anti-hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint). A demonstração é um reforço agradável do argumento acima ([Exercício 13.8](#exo-b2-hermitian-8)). Sobre $\R$, em contraste, a normalidade só compra a diagonalização por blocos (blocos de rotação): a geometria complexa é genuinamente mais simples.

**Observação 13.17 (Onde isso é usado).**

A teoria espectral [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) é a matemática da mecânica quântica: os observáveis são modelados por operadores [hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) ([espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais = valores mensuráveis), a evolução temporal por operadores [unitários](#def-b2-hermitian-adjoint) (preservação da [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) = conservação da probabilidade). Dentro deste livro, o capítulo de Fourier repousa sobre a ortonormalidade das exponenciais — um enunciado sobre [produto interno hermitiano](#def-b2-hermitian-def) — e a diagonalização das matrizes circulantes ([Exercício 13.10](#exo-b2-hermitian-10)) é a transformada de Fourier finita. O problema de fim de semana desenvolve o cálculo variacional dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) (Courant–Fischer, Weyl, entrelaçamento), o pão de cada dia da análise numérica e da física matemática; o volume do terceiro ano de graduação o estende a operadores [autoadjuntos](#def-b2-hermitian-adjoint) [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) em espaços de Hilbert.

## 13.3 Exercícios

**Exercício 13.1 ★.**

Em $\C^2$: calcule $\langle x, y\rangle$, $\norm x$, $\norm y$ para $x = (1, \iu)$, $y = (\iu, 1)$; eles são ortogonais? Dê uma base ortonormal que contenha $\frac{x}{\norm x}$.

**Solução de Exercício 13.1.**

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu -
\iu = 0$: ortogonais. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$. Base ortonormal: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\;
\frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — o próprio par normalizado.

**Exercício 13.2 ★.**

Quais são [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint)? [unitárias](#def-b2-hermitian-adjoint)? normais?

$$
\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix},
\qquad
\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
$$

**Solução de Exercício 13.2.**

Primeira: é igual à sua [transposta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-transpose) conjugada (diagonal real, $\conj{\iu} =
-\iu$ trocados): [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) (logo normal); não [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) ($A^\dagger A
\neq I$: colunas não [unitárias](#def-b2-hermitian-adjoint)).

Segunda: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu &
1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} =
\frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$: [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) (logo normal); não [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint).

Terceira: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$: não normal (logo nem [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) nem [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint)) — o contraexemplo nilpotente padrão.

**Exercício 13.3 ★.**

Prove que uma matriz $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ se escreve de modo único $A =
H + \iu K$ com $H, K$ [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint) *(as “partes real e imaginária” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$, $K = \frac{A -
A^\dagger}{2\iu}$)*, e que $A$ é normal se e somente se $H$ e $K$ comutam.

**Solução de Exercício 13.3.**

Unicidade: $A = H + \iu K$ com $H^\dagger = H$, $K^\dagger = K$ força $A^\dagger = H - \iu K$, logo $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$, $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$; essas fórmulas são [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint) (confira: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{
A^\dagger - A}{-2\iu} = K$) e reconstroem $A$: existência.

Normalidade: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H
+ \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$: isso se anula se e somente se $HK = KH$.

**Exercício 13.4 ★★.**

Diagonalize numa base ortonormal: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\
-\iu & 2\end{pmatrix}$, e calcule $A^k$ para $k \in \N$.

**Solução de Exercício 13.4.**

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$ e $1$. [Autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), por cálculo direto:

$$
A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix}
= 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix},
\qquad
A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.
$$

Base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ ([autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $3$), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ ([autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$); ortogonalidade como no [Exercício 13.1](#exo-b2-hermitian-1). Potências, via as projeções espectrais $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\,
u_2u_2^\dagger$:

$$
A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger
= \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix}
3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\
-(3^k-1)\iu & 3^k + 1
\end{pmatrix}.
$$

(Confira $k = 1$: recupera $A$.)

**Exercício 13.5 ★★.**

Prove que $U(n)$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) e que a aplicação [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) é sobrejetiva: todo $\lambda$ de módulo um aparece para alguma matriz unitária. Prove que $\det U \in \mathbb{U}$ (o círculo unitário) para $U \in
U(n)$.

**Solução de Exercício 13.5.**

[Compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact): fechado (imagem inversa de $I$ pela aplicação [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $U \mapsto
U^\dagger U$) e limitado (as colunas são vetores unitários: entradas de módulo $\leq 1$) em $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$.

[Autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ é [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) para todo $\abs\lambda = 1$. [Determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det): $\abs{\det U}^2 = \det
U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (usando $\det A^\dagger =
\conj{\det A}$): $\det U$ está no círculo unitário.

**Exercício 13.6 ★★.**

(Transformada de Cayley) Seja $H$ [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint). Prove que $H + \iu I$ é invertível e que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ é [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint), com $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$. *(Trabalhe espectralmente: numa base de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $H$, tudo é escalar.)*

**Solução de Exercício 13.6.**

Pelo teorema espectral, trabalhe numa base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $H$: tudo se reduz a escalares $\lambda \in \R$ (os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)). $H + \iu I$ tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\lambda + \iu \neq 0$: invertível. $U$ tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$, de módulo $1$ ($\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ para $\lambda$ real): $U^\dagger U = I$ vale, pois $U$ é unitariamente [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de módulo um (ela é diagonal na base ortonormal escolhida). E $\mu = 1$ forçaria $-\iu = \iu$: impossível, logo $1 \notin \operatorname{Sp} U$. (A transformada de Cayley leva as [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint) nas [unitárias](#def-b2-hermitian-adjoint) menos um ponto — a versão matricial da aplicação de $\R$ no círculo.)

**Exercício 13.7 ★★.**

Para $A$ [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) positiva definida ($\langle x, Ax\rangle > 0$ para $x \neq 0$), prove que $\operatorname{Sp}(A) \subseteq
\intoo{0}{\infty}$, que $A = B^2$ para uma $B$ [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) positiva definida e que $\det A > 0$.

**Solução de Exercício 13.7.**

Para um par próprio $Ax = \lambda x$ ($x \neq 0$): $\lambda\norm x^2 =
\langle x, Ax\rangle > 0$, logo $\lambda > 0$ (já real, [Proposição 13.6](#prop-b2-hermitian-eigenvalues)). Raiz quadrada: numa base espectral, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$: [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint), positiva definida, $B^2 = A$. [Determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det): produto dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) positivos.

**Exercício 13.8 ★★★.**

(Teorema espectral para endomorfismos normais) Seja $u$ normal num [espaço hermitiano](#def-b2-hermitian-def).

1. Prove que $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ para todo $x$ e deduza que $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
2. Prove que os [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $u$ de [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) distintos são ortogonais e que o complemento ortogonal de um [autoespaço](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) é estável por $u$ .
3. Conclua por indução que $u$ é unitariamente [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) ; e reciprocamente.

**Solução de Exercício 13.8.**

1. $\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x,  u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle =  \norm{u^*(x)}^2$ . Aplicando isso ao normal $u -  \lambda\,\mathrm{id}$ (seu adjunto é $u^* -  \conj\lambda$ , e a normalidade é herdada): $\norm{(u -  \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , logo os núcleos coincidem.
2. Para [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $u(x) = \lambda x$, $u(y) = \mu y$ ($\lambda \neq \mu$): usando (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$; então $$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle  = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle  = \mu \langle y, x\rangle ,$$ logo $\langle y, x\rangle = 0$. Estabilidade de $E_\lambda^\perp$: para $x \perp E_\lambda$ e $z \in E_\lambda$, $\langle z,  u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle =  \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$.
3. Indução sobre a dimensão: sobre $\C$ , $u$ tem um [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $e_1$ (normalize); seu complemento ortogonal é estável por $u$ (por (2)) *e* por $u^*$ (mesmo argumento com os papéis trocados), de modo que a restrição é normal: faça indução e concatene bases ortonormais de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) . Reciprocamente, uma $u = UDU^\dagger$ unitariamente [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) satisfaz $u^*u  = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normal.

**Exercício 13.9 ★.**

Um endomorfismo é *[anti-hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint)* quando $u^* = -u$. Prove que seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são puramente imaginários, que $u \mapsto \iu
u$ é uma bijeção dos [endomorfismos hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) nos [anti-hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) e que os endomorfismos [anti-hermitianos](#def-b2-hermitian-adjoint) são unitariamente [diagonalizáveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) ([Exercício 13.8](#exo-b2-hermitian-8)).

**Solução de Exercício 13.9.**

[Autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): para $u(x) = \lambda x$, $x \neq 0$:

$$
\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle
= \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle
= -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,
$$

logo $\lambda = -\conj\lambda$: puramente imaginário. Como $(\iu
u)^* = -\iu\,u^*$ (o adjunto é conjugado-linear nos escalares), $u^* = u$ dá $(\iu u)^* = -\iu u$: a aplicação $u \mapsto \iu u$ leva as [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint) nas [anti-hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint), com inversa $w \mapsto -\iu
w$: uma bijeção. Uma $u$ [anti-hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) satisfaz $u^*u = -u^2 =
uu^*$: normal, logo unitariamente [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) pelo [Exercício 13.8](#exo-b2-hermitian-8).

**Exercício 13.10 ★★.**

(A transformada de Fourier finita) Seja $S$ o deslocamento [cíclico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) de $\C^n$: $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots,
x_{n-2})$, e $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$.

1. Mostre que $S$ é [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint) e que os vetores $f_k =  \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots,  \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , formam uma base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) : $Sf_k = \omega^{-k}  f_k$ .
2. Deduza que toda matriz *circulante* $C =  \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ é normal, diagonalizada pela mesma base, com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\widehat c(k) = \sum_j  c_j\,\omega^{-jk}$ .

**Solução de Exercício 13.10.**

1. $S$ permuta uma base ortonormal: $\norm{Sx} = \norm  x$, logo $S$ é [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint). Indexando as coordenadas por $j = 0,  \dots, n-1$ módulo $n$: $(Sx)_j = x_{j-1}$, de modo que, para $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$: $$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n}  = \omega^{-k}\,(f_k)_j :  \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$$ Ortonormalidade: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n  \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (a soma geométrica de uma raiz da unidade não trivial se anula).
2. $Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j  c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : toda circulante é diagonal na base ortonormal de Fourier, logo normal, com [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{\widehat c(k)\}$ . (A mudança de base é a transformada de Fourier discreta: a convolução vira multiplicação.)

**Exercício 13.11 ★★.**

Seja $P$ um endomorfismo idempotente ($P^2 = P$) de um [espaço hermitiano](#def-b2-hermitian-def). Prove que $P$ é a projeção *ortogonal* sobre $\operatorname{im} P$ se e somente se $P^* = P$. Dê a matriz da projeção ortogonal sobre $\C v$ ($\norm v = 1$) e sobre um subespaço de base ortonormal $(v_1, \dots, v_k)$.

**Solução de Exercício 13.11.**

($\Leftarrow$) Seja $P^2 = P = P^*$. Todo $v$ se separa em $v = Pv
+ (v - Pv)$ com $Pv \in \operatorname{im} P$ e $P(v - Pv) =
0$. As duas peças são ortogonais: para todo $x, y$,

$$
\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle
= \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :
$$

$\ker P \perp \operatorname{im} P$, logo $P$ é a projeção ortogonal sobre sua imagem. ($\Rightarrow$) Se $P$ é a projeção ortogonal sobre $F = \operatorname{im}P$: para todos $x, y$, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (a componente $y - Py \perp F$ cai) e simetricamente $\langle
x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$: $\langle Px, y\rangle =
\langle x, Py\rangle$, isto é, $P^* = P$. Matrizes: sobre $\C v$ ($\norm v = 1$): $Px = v\,\langle v, x\rangle$, isto é, $P =
vv^\dagger$; sobre $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ ortonormais: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$.

**Exercício 13.12 ★★★.**

(Projetores espectrais por interpolação) Seja $A$ [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) *distintos* $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ e decomposição em [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $E = \bigoplus_i E_i$. Defina os polinômios de Lagrange $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X -
\lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$. Prove que $P_i = L_i(A)$ é a projeção ortogonal sobre $E_i$, que $P_iP_j = 0$ para $i \neq j$, $\sum_i P_i = I$ e $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (a *decomposição espectral*); exprima $f(A)$ para um polinômio $f$ qualquer em termos dos $P_i$.

**Solução de Exercício 13.12.**

Diagonalize $A = U D U^\dagger$ (teorema espectral), $D$ diagonal com entradas entre os $\lambda_i$. Então $P_i = L_i(A) = U
L_i(D)U^\dagger$, e $L_i(D)$ é diagonal com entradas $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$: uns exatamente nas casas de $E_i$. Assim $P_i$ é [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) ($L_i$ real, $D$ real), idempotente, de imagem $E_i$ e núcleo $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (ortogonalidade dos [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen)): a projeção ortogonal sobre $E_i$ ([Exercício 13.11](#exo-b2-hermitian-11)). Padrões diagonais disjuntos dão $P_iP_j = 0$ ($i \neq j$); $\sum_i L_i = 1$ (grau $< p$, valor $1$ em $p$ pontos), logo $\sum P_i = I$; e $\sum_i
\lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ dá $A = \sum
\lambda_iP_i$. Para qualquer polinômio $f$: $f(D)$ tem diagonal $f(\lambda_j)$, logo

$$
f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :
$$

as funções de $A$ são calculadas espectralmente — o cálculo que o volume do terceiro ano de graduação estende a $f$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e além.

## 13.4 Problema: Courant–Fischer, Weyl e o cálculo dos autovalores

**Problema 13.1.**

Os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de uma matriz [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) não são apenas raízes de um polinômio: são soluções de *problemas de otimização*. Esse ponto de vista variacional — os [quocientes de Rayleigh](#pb-b2-hermitian-1) e o *teorema mín-máx de Courant–Fischer* — torna os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) comparáveis, estáveis e calculáveis, e este problema colhe suas safras clássicas: as *desigualdades de perturbação de Weyl*, o *entrelaçamento de Cauchy*, as desigualdades de traço de Schur e de Ky Fan, a monotonicidade da raiz quadrada de matrizes e o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) do laplaciano discreto. Em todo o problema, $A, B,
E$ são [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint) em $E = \C^n$ com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) listados em ordem decrescente $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$, e $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$, para $x \neq 0$, é o *quociente de Rayleigh*.

**Parte I — [Quocientes de Rayleigh](#pb-b2-hermitian-1) e mín-máx.** Fixe uma base ortonormal de [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(e_1, \dots, e_n)$, $Ae_i =
\lambda_ie_i$.

1. Mostre que $R_A(x)$ é real e que $$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1  \qquad (x \neq 0),$$ com as duas cotas atingidas: $\lambda_1 = \max R_A$, $\lambda_n = \min R_A$.
2. Mostre que os pontos críticos de $R_A$ são exatamente os [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ *(desenvolva $t \mapsto R_A(x +  tv)$ em $t = 0$ para $v$ arbitrário e depois substitua $v$ por $\iu v$)* .
3. Sejam $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ e $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$. Mostre que $$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k  = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$$
4. Demonstre o *teorema de Courant–Fischer*: para $1 \leq  k \leq n$, $$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in  V\setminus\{0\}} R_A(x)  = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in  W\setminus\{0\}} R_A(x)$$ *(para qualquer $V$ de dimensão $k$: $V \cap W_k \neq  \{0\}$ por Grassmann, logo $\min_V R_A \leq \lambda_k$; a questão 3 mostra que a cota é atingida)*.
5. (Monotonicidade) Escreva $A \leq B$ quando $B - A$ é positiva semidefinida. Deduza da questão 4: $A \leq  B$ implica $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ para todo $k$ .

**Parte II — As desigualdades de Weyl.**

6. Mostre que subespaços $V, W \subseteq \C^n$ com $\dim V  + \dim W > n$ se intersectam não trivialmente, e generalize: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 +  \dim V_3 - 2n$ .
7. Demonstre a *desigualdade de Weyl*: para $i + j - 1 \leq n$, $$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) +  \lambda_j(B)$$ *(intersecte os subespaços $W_i(A)$, $W_j(B)$ e $V_{i+j-1}(A+B)$ da questão 3 e conte as dimensões)*.
8. Defina $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ e mostre que $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ para $E$ [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint). Deduza o *teorema de perturbação de Weyl*: $$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq  \vertiii{E}_2  \qquad (1 \leq k \leq n) :$$ cada [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) é função $1$-lipschitziana da matriz.
9. (Perturbações de posto um) Seja $P$ [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) positiva semidefinida de posto $1$. Mostre que $$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq  \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$$ junto com $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$: os novos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) *entrelaçam* os antigos.
10. Confira a questão 8 numericamente: $A = \begin{pmatrix} 2 &  \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ ( [Exercício 13.4](#exo-b2-hermitian-4) : [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{3, 1\}$ ) e $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ( [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{1, -1\}$ ): calcule o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A +  E$ e os dois lados da desigualdade.

**Parte III — Entrelaçamento e desigualdades de traço.**

11. (Entrelaçamento de Cauchy) Seja $B$ a submatriz principal dominante $(n-1)  \times(n-1)$ de $A$. Prove que $$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)  \qquad (1 \leq k \leq n-1)$$ *(veja $\C^{n-1} \subseteq \C^n$; nele, $R_B$ é a restrição de $R_A$; aplique Courant–Fischer nos dois níveis)*.
12. Itere: para uma submatriz principal $B$ de tamanho $n - m$ , $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq  \lambda_k(A)$ .
13. (Schur) Sejam $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ as entradas diagonais de $A$, ordenadas. Prove, para todo $k$: $$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$$ com igualdade em $k = n$ (o traço) *(as $k$ entradas diagonais escolhidas formam uma submatriz principal $k\times k$; majore seu traço pela questão 12)*.
14. (Ky Fan) Prove que $$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A)  = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle  : (x_1, \dots, x_k) \text{ ortonormal}\Bigr\} .$$
15. Verifique as questões 11 e 13 em $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\  0 & 1 & 2\end{pmatrix}  \qquad  \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\  2+\sqrt2\}\bigr)$$ contra seu bloco dominante $2\times2$ ([espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{1,  3\}$) e contra sua diagonal.

**Parte IV — A [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) de Loewner.** $A \leq B$ continua significando $B - A$ positiva semidefinida; todas as matrizes desta parte são [hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint).

16. Mostre: $A \leq B$ implica $a_{ii} \leq b_{ii}$ para todos $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , e $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ para *toda* matriz complexa $C$ .
17. Mostre que elevar ao quadrado *não* é monótono: para $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$$ verifique que $0 \leq A \leq B$ mas $A^2 \not\leq B^2$.
18. Prove que a raiz quadrada *é* monótona: $0 \leq  A \leq B$ implica $\sqrt A \leq \sqrt B$ *(seja $\mu$ um [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\sqrt B - \sqrt A$ com autovetor unitário $v$; calcule $\langle v, (B - A)v\rangle =  \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v,  \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ e discuta)* .
19. Prove que a inversão é antítona nas matrizes positivas definidas: $0 < A \leq B$ implica $B^{-1} \leq A^{-1}$ *(faça a [congruência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) por $A^{-1/2}$ para reduzir a $I \leq M  \Rightarrow M^{-1} \leq I$, que é escalar numa base espectral)* .
20. Sejam $A, B$ positivas definidas. Mostre que os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $AB$ (não [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) em geral!) são reais e positivos, e que $$\lambda_{\max}(AB) \leq  \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$$ *(conjugue por $\sqrt A$: $AB \sim \sqrt  A\,B\sqrt A$)*.

**Parte V — O laplaciano discreto, trabalhado.** Seja $T_n$ a matriz tridiagonal $n \times n$ com $2$ na diagonal e $-1$ nas duas diagonais adjacentes.

21. Com $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$, verifique que os vetores $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq  n}$ satisfazem $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ *(identidade produto-soma; confira as linhas de bordo $j = 1, n$)*. Conclua: $$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2  \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$$ todos simples, todos positivos: $T_n$ é positiva definida.
22. (Um potencial) Para uma diagonal real $D =  \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$, enquadre o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): para todo $k$, $$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\;  \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i  d_i .$$
23. Verifique explicitamente o entrelaçamento de Cauchy entre $T_3$ e $T_2$ ( [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ e $\{1,  3\}$ ) e interprete: $T_2$ é $T_3$ com uma extremidade do caminho removida.
24. Mostre que os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) extremos satisfazem, quando $n \to  \infty$: $$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)}  \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2},  \qquad  \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$$ de modo que o número de condicionamento $\kappa_n =  \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ cresce como $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$: discretizar uma segunda derivada numa malha cada vez mais fina é intrinsecamente mal condicionado.
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) por que a caracterização variacional, e não o [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) , é o que torna os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) estáveis (questões 8–9); (ii) quais questões usaram apenas o $\lambda_1 = \max R_A$ e quais precisaram do mín-máx [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) ; (iii) o que a ordem de Loewner acrescenta à história; (iv) onde essas ferramentas reaparecem (análise numérica das matrizes de rigidez da questão 24; teoria quântica de perturbações; e, no volume do terceiro ano de graduação, o princípio mín-máx para operadores [autoadjuntos](#def-b2-hermitian-adjoint) [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ).

**Solução de Problema 13.1.**

**1.** $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle
= \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$: real. Escrevendo $x = \sum c_ie_i$:

$$
R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2}
{\sum_i\abs{c_i}^2} ,
$$

uma média ponderada dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen): ela está em $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$, com as cotas atingidas em $e_1$ e $e_n$.

**2.** Para $t$ real e qualquer $v$, desenvolva $R_A(x + tv) =
\frac{N(t)}{D(t)}$ com

$$
N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle +
t^2\langle v, Av\rangle,
\quad
D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .
$$

A derivada em $t = 0$ é

$$
\frac{2}{\norm x^2}\,
\Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .
$$

Ela se anula para todo $v$ se e somente se $\Re\langle v, w\rangle = 0$ para todo $v$, em que $w = Ax - R_A(x)x$; substituir $v$ por $\iu v$ mata também a parte imaginária: $w = 0$, isto é, $Ax = R_A(x)x$. Os pontos críticos de $R_A$ são exatamente os [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), com valor crítico igual ao [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).

**3.** Para $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$: $R_A(x)$ é uma média ponderada de $\lambda_1, \dots, \lambda_k$, logo $\geq \lambda_k$, com igualdade em $e_k$: $\min_{V_k} R_A =
\lambda_k$. Simetricamente, em $W_k$ a média envolve $\lambda_k, \dots, \lambda_n$: $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$.

**4.** Seja $\dim V = k$. Então $\dim V + \dim W_k = n + 1 >
n$, de modo que existe um [unitário](#def-b2-hermitian-adjoint) $x \in V \cap W_k$, e $R_A(x) \leq
\lambda_k$ (questão 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ para todo tal $V$. Como $V_k$ atinge $\lambda_k$, o máx-mín é igual a $\lambda_k$. A fórmula mín-máx é o mesmo argumento com os papéis invertidos ($\dim W = n - k + 1$ força $W \cap V_k \neq
\{0\}$, logo $\max_W R_A \geq \lambda_k$, atingido em $W_k$).

**5.** $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x,
(B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ [pontualmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def). Tomando $\min$ sobre qualquer $V$ de dimensão $k$ e depois $\max$ sobre $V$: $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ pela questão 4.

**6.** Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W -
\dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$. Aplicando isso duas vezes:

$$
\dim(V_1\cap V_2\cap V_3)
\geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n
\geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .
$$

**7.** Os subespaços $W_i(A)$, $W_j(B)$ (questão 3, para $A$ e $B$) e $V_{i+j-1}(A+B)$ têm dimensões $(n-i+1) +
(n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$: pela questão 6 existe um vetor unitário $x$ nos três. Então

$$
\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x)
= R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),
$$

a desigualdade da esquerda porque $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (questão 3), a da direita pelos dois $W$.

**8.** Numa base espectral de $E$: $\norm{Ex}^2 = \sum
\lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm
x^2$, atingido no [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) correspondente: $\vertiii E_2
= \max_k\abs{\lambda_k(E)}$. Weyl com $j = 1$: $\lambda_k(A+E)
\leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii
E_2$; aplicando isso a $(A+E) + (-E)$: $\lambda_k(A) \leq
\lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$. Juntando: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$.

**9.** Cotas inferiores: $P \geq 0$ e questão 5. Superior: $P$ tem posto $1$, logo $\lambda_2(P) = 0$; Weyl com $i = k-1$, $j =
2$:

$$
\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P)
= \lambda_{k-1}(A) .
$$

**10.** $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu &
2\end{pmatrix}$: [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) $(2-\lambda)^2 -
\abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$, [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2 + \sqrt2,\ 2
- \sqrt2\}$. Contra $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$:

$$
\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1
\approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark
$$

**11.** Veja $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_{n-1})$ dentro de $\C^n$ (base padrão): para $x$ aí, $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$, de modo que $R_B$ é a restrição de $R_A$. Cota superior: o máx-mín de $\lambda_k
(B)$ percorre subespaços de dimensão $k$ *de* $\C^{n-1}$, uma subfamília dos de $\C^n$: $\lambda_k(B) \leq
\lambda_k(A)$. Cota inferior: o mín-máx de $\lambda_k(B)$ percorre subespaços de $\C^{n-1}$ de dimensão $(n-1)-k+1 =
n-k$; cada um é também subespaço de $\C^n$ de dimensão $n -
(k+1) + 1$, logo seu máximo é $\geq \lambda_{k+1}(A)$: $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$.

**12.** Retire as linhas e colunas uma a uma e encadeie a questão 11: cada retirada desloca o índice inferior de um, dando $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$.

**13.** Conjugar $A$ por uma matriz de permutação ([unitária](#def-b2-hermitian-adjoint)) não muda nem o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) nem o multiconjunto das entradas diagonais: suponha que $d_1, \dots, d_k$ ocupem as posições iniciais. A submatriz principal dominante $k\times k$ $B$ tem então $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$, e seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) satisfazem $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (questão 12): somando, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$. Em $k =
n$ os dois lados valem $\operatorname{tr} A$.

**14.** Tomar $x_i = e_i$ dá o valor $\sum_{i\leq k}\lambda_i$: o máximo é $\geq$. Reciprocamente, uma família ortonormal $(x_1, \dots, x_k)$ estende-se a uma base ortonormal, isto é, a uma $U$ [unitária](#def-b2-hermitian-adjoint) com primeiras colunas $x_i$; então $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ é a soma das primeiras $k$ entradas diagonais de $U^\dagger AU$, que, pela questão 13, é no máximo a soma de seus $k$ maiores [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) — a saber, $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$. Segue o princípio do máximo de Ky Fan.

**15.** Entrelaçamento ($\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2,
2-\sqrt2\}$, $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$):

$$
2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2,
\qquad
2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark
$$

Schur com diagonal $(2,2,2)$: $2 \leq 2+\sqrt2$; $4 \leq 4 +
\sqrt2$; $6 = 6$ (traço). ✓**16.** $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle
\geq 0$; somando obtêm-se os traços. Para qualquer $C$: $\langle x,
C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq
0$: $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$.

**17.** $A \geq 0$ é claro; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\
1 & 1\end{pmatrix}$ é positiva semidefinida ([autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2,
0$): $A \leq B$. Mas

$$
B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},
\qquad
B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},
\qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :
$$

não é positiva semidefinida. Elevar ao quadrado não respeita a ordem de Loewner.

**18.** Sejam $S = \sqrt A$, $T = \sqrt B$ ([hermitianas](#def-b2-hermitian-adjoint) positivas semidefinidas, [Exercício 13.7](#exo-b2-hermitian-7) estendida ao caso semidefinido pela mesma fórmula espectral). $T - S$ é [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint); seja $\mu$ um [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) qualquer e $v$ um autovetor unitário. De $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$:

$$
0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle
= \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle
= \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v,
Sv\rangle\bigr)
$$

($\mu$ é real). Se $\langle v, Tv\rangle + \langle v,
Sv\rangle > 0$, então $\mu \geq 0$. Se ela se anula, os dois termos não negativos se anulam; $\langle v, Tv\rangle =
\norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ força $Tv = 0$, e do mesmo modo $Sv = 0$, logo $\mu v = (T - S)v = 0$ e $\mu = 0$. Todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $T -
S$ são $\geq 0$: $\sqrt A \leq \sqrt B$.

**19.** [Congruência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) por $A^{-1/2}$ (questão 16): $I \leq M
:= A^{-1/2}BA^{-1/2}$. Logo todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $M$ são $\geq 1$, e portanto os de $M^{-1}$ estão em $\intoc{0}{1}$: $M^{-1} \leq I$. Mas $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$; fazer a [congruência](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) de $M^{-1} \leq
I$ por $A^{-1/2}$ dá $B^{-1} \leq A^{-1}$.

**20.** $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$: assim $AB$ é semelhante à [hermitiana](#def-b2-hermitian-adjoint) positiva definida $\sqrt
A\,B\sqrt A$ (definida: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle =
\langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$): seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são reais e positivos. Além disso,

$$
\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle
\leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2
= \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle
\leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,
$$

logo $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq
\lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$.

**21.** Com $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ e a identidade $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) =
2\sin(j\theta)\cos\theta$: para $2 \leq j \leq n-1$,

$$
(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) -
\sin((j{+}1)\theta_k)
= (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .
$$

A linha $1$ funciona porque $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$, e a linha $n$ porque $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$: as condições de bordo selecionam exatamente $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$. Logo $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$; os $n$ valores são distintos em $\intoo04$ e os $v_k \neq 0$: esse é todo o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), positivo, de modo que $T_n$ é positiva definida.

**22.** $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$, logo $T_n +
\min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (somar $T_n$ preserva a ordem); a questão 5 e o $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ dão o enquadramento.

**23.** $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$ tem [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{3, 1\}$, e

$$
2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 +
\sqrt2 :
$$

entrelaçamento de Cauchy, verificado. (São os mesmos [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) da questão 15: conjugar por $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ inverte o sinal fora da diagonal.) Leitura em grafos: $T_2$ é a matriz do tipo laplaciano do caminho com o último vértice removido — uma submatriz principal, exatamente a situação da questão 11.

**24.** Os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) extremos comportam-se como

$$
\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)}
\sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2},
\qquad
\lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)}
\longrightarrow 4 .
$$

Logo

$$
\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}
\sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :
$$

quanto mais fina a malha, pior condicionada a segunda derivada discreta — um fato que orienta o projeto da álgebra linear numérica.

**25.** (i) As raízes do [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) podem se mover descontroladamente sob perturbações de uma matriz geral, mas a caracterização mín-máx prende cada [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) [hermitiano](#def-b2-hermitian-adjoint) entre valores explícitos de otimização, forçando a estabilidade $1$-lipschitziana das questões 8–9. (ii) As questões 1, 5 e 16–20 usaram apenas os valores extremos de Rayleigh; Weyl, entrelaçamento, Schur e Ky Fan (questões 7–14) precisaram genuinamente do mín-máx [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) sobre subespaços. (iii) A [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) de Loewner transforma essas desigualdades escalares num cálculo de desigualdades matriciais — com armadilhas reais (questão 17) e teoremas reais (questões 18–19). (iv) Essas ferramentas são o pão de cada dia da análise numérica (as matrizes de rigidez da questão 24), da teoria quântica de perturbações (Weyl: os níveis de energia se movem no máximo pela [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) da perturbação) e do princípio mín-máx do volume do terceiro ano de graduação para operadores [autoadjuntos](#def-b2-hermitian-adjoint) [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact).