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title: "Séries de Fourier"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier
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# Capítulo 14 — Séries de Fourier

Todo sinal periódico pode ser reconstruído a partir de senos e cossenos puros? O audacioso “sim” de Fourier criou um século de análise. Este capítulo demonstra os dois pilares ao alcance deste nível: o *teorema de Dirichlet* (reconstrução [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) para funções $C^1$ por partes, via o [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel)) e a *identidade de Parseval* (a energia de um sinal é a soma das energias de seus harmônicos), e colhe as séries numéricas clássicas — o $\sum 1/n^2 =
\pi^2/6$ de Basileia à frente de todas.

Em todo o capítulo, as funções são $2\pi$-periódicas, [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes e com valores complexos; $\mathcal{C}$ designa as [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

## 14.1 Coeficientes de Fourier

**Definição 14.1.**

Os *coeficientes de Fourier* de $f$ são

$$
c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd
t \qquad (n \in \Z),
$$

e os coeficientes na forma real $a_n = c_n + c_{-n}$, $b_n = \iu(c_n
- c_{-n})$, de modo que as *somas parciais de Fourier* são

$$
S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt}
= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin
nt\bigr).
$$

Em $\mathcal{C}$, defina o [produto interno hermitiano](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#def-b2-hermitian-def) $\langle f,
g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$: as exponenciais $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ são *ortonormais* ($\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$, cálculo direto), e $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$: a análise de Fourier é geometria [hermitiana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#def-b2-hermitian-adjoint) ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#ch-b2-hermitian)) em dimensão infinita.

**Proposição 14.2 (Desigualdade de Bessel).**

$S_N(f)$ é a projeção ortogonal de $f$ sobre o espaço $\mathcal{T}_N$ dos polinômios trigonométricos de grau $\leq N$, e

$$
\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 =
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :
$$

a série $\sum \abs{c_n}^2$ converge, e $c_n(f) \to 0$ quando $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue para coeficientes).

**Demonstração.** $f - S_N(f)$ é ortogonal a cada $e_k$, $\abs k \leq N$ ($\langle
e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$): $S_Nf$ é a projeção ortogonal sobre $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots,
e_N)$ (o teorema da projeção do volume do primeiro ano de graduação, palavra por palavra no contexto [hermitiano](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#def-b2-hermitian-adjoint)). Pitágoras: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 +
\norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}
\abs{c_n}^2$; faça $N \to \infty$. ∎

**Exemplo 14.3 (Melhor aproximação, medida).**

Quão bem os polinômios trigonométricos de grau baixo aproximam a dente de serra $f(t) = t$ (em $\intoo{-\pi}{\pi}$) na média quadrática? Pela [Proposição 14.2](#prop-b2-fourier-bessel), a melhor aproximação de grau $N$ *é* $S_N(f)$, com erro quadrático

$$
\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 -
\sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .
$$

Aqui $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t =
\frac{\pi^2}{3}$ e, de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ ([Exemplo 14.12](#ex-b2-fourier-basel)): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 =
\frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$. Logo

$$
\norm{f - S_Nf}_2^2
= \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2}
\qquad\text{: numericamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44
$$

para $N = 1, 2, 3, 4$ — decrescente, mas devagar: a cauda $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ é governada pelo decaimento lento $\frac1n$ dos coeficientes, que é ele próprio a assinatura do salto (o [Exercício 14.6](#exo-b2-fourier-6) lido ao contrário). Lição final: Parseval transforma a qualidade da aproximação numa cauda de série numérica — e prevê, antes de qualquer figura, que saltos fazem as séries de Fourier convergirem a contragosto.

**Método 14.4 (Calcular coeficientes de Fourier com eficiência).**

Antes de integrar seja o que for:

1. *Paridade:* $f$ par tem $b_n = 0$ , $f$ ímpar tem $a_n  = 0$ , e as integrais sobreviventes se reduzem a $\frac2\pi  \int_0^\pi$ — metade do trabalho, o dobro de confiabilidade.
2. *Os polinômios trigonométricos já estão prontos:* linearize produtos ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) e leia os coeficientes ( [Exercício 14.9](#exo-b2-fourier-9) ); a ortonormalidade torna qualquer integração adicional redundante.
3. *Exponenciais complexas para exponenciais:* para fatores $\eu^{at}$ ou oscilações amortecidas, calcule $c_n$ diretamente — uma integral de $\eu^{(a - \iu  n)t}$ vence duas integrações por partes ( [Exercício 14.10](#exo-b2-fourier-10) ).
4. *Derive um desenvolvimento conhecido:* se $f'$ tem coeficientes conhecidos e $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) , $c_n(f) =  \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) recupera tudo exceto $c_0$ , que é a média — muitas vezes a rota mais rápida, e legítima exatamente sob as hipóteses do [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1).

## 14.2 O teorema de Dirichlet

**Lema 14.5 (Núcleo de Dirichlet).**

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd
u$, em que

$$
D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu}
= \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2}
\quad (u \notin 2\pi\Z),
\qquad
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .
$$

**Demonstração.** Insira a definição de $c_n$ em $S_N$ e troque a soma com a integral (legítimo: a soma é finita):

$$
S_N(f)(x)
= \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx}
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)
\sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;
$$

substitua $u = t - x$ e desloque o segmento de integração de volta a $\intcc{-\pi}{\pi}$ pela $2\pi$-periodicidade do integrando; o intervalo [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) de índices faz $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$. A forma fechada: soma geométrica de razão $\eu^{\iu u}$,

$$
D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} -
1}
= \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}}
{\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,
$$

que é o quociente de senos. Sua média vale $1$: só $n = 0$ contribui. ∎

**Teorema 14.6 (Lema de Riemann–Lebesgue).**

Para $g$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes num segmento, $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ quando $\lambda
\to +\infty$.

**Demonstração.** Aproxime $g$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) por funções escada (o [Teorema 10.16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#thm-b2-funcseq-weierstrass) não é necessário — a aproximação elementar por funções escada de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes basta) e integre cada degrau explicitamente: cada peça contribui com $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$, e o erro de aproximação contribui com $\varepsilon(b - a)$. Esse argumento foi executado por inteiro como exercício final do capítulo de integração do volume do primeiro ano de graduação; para peças $C^1$ pode-se, em vez disso, integrar por partes e majorar por $\frac C\lambda$. ∎

**Exemplo 14.7 (Com que rapidez morrem os coeficientes?).**

Riemann–Lebesgue diz que os coeficientes tendem a $0$; sua *velocidade* é um medidor de suavidade. Três espécimes deste capítulo e de seus exercícios:

$$
\text{onda quadrada: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{ímpar}),
\qquad
\abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{ímpar}),
\qquad
\abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .
$$

Um salto em $f$ (onda quadrada, dente de serra) deixa coeficientes de ordem $\frac1n$: sem [convergência normal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series), com ultrapassagem de Gibbs nos saltos. A [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com um bico — um salto apenas em $f'$ — melhora a ordem para $\frac{1}{n^2}$: [convergência normal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series), reconstrução uniforme. Em geral $k$ derivadas compram $c_n =
O(n^{-k})$ ([Exercício 14.6](#exo-b2-fourier-6)) e, reciprocamente, um [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) que decai mais depressa que toda potência força $f$ a ser $C^\infty$ (derive termo a termo, agora legitimamente). Lição final: a regularidade do sinal e o decaimento do [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) são a mesma informação — um engenheiro lê uma na inclinação da outra sem nunca traçar a função.

**Teorema 14.8 (Dirichlet).**

Seja $f$ $2\pi$-periódica e $C^1$ por partes. Então, para todo $x$,

$$
S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{}
\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}
$$

(a média dos limites laterais) — em particular, $S_N(f)(x) \to
f(x)$ em todo ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Demonstração.** Pelo lema do núcleo e por sua média unitária, separando a integral nas metades $u > 0$ e $u < 0$ (cada uma de média $\frac12$):

$$
\begin{align*}
S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}
&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) -
f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\
&\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) -
f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u .
\end{align*}
$$

Trate a primeira (a segunda é [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint)). Escreva

$$
\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u)
= \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\,
\sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .
$$

A função $g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes em $\intoc{0}{\pi}$ e tem *limite finito em $0^+$*: escrevendo

$$
g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,
$$

o primeiro fator tende a $f'(x^+)$ (derivabilidade lateral, vinda de ser $C^1$ por partes) e o segundo a $2$ (o limite padrão $\frac{\sin v}{v} \to 1$ em $v = \frac
u2$): $g(0^+) = 2f'(x^+)$ existe. Assim $g$ estende-se [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes a $\intcc{0}{\pi}$, e Riemann–Lebesgue ([Teorema 14.6](#thm-b2-fourier-riemannlebesgue)) manda a integral para $0$. Esse é o ponto todo da hipótese: sem derivadas laterais, o fator $\frac{1}{\sin(u/2)}$ explode em $0$ mais depressa do que Riemann–Lebesgue consegue compensar, e a [convergência pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) pode falhar de verdade para $f$ meramente [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — a lacuna que o teorema de Fejér (problema de fim de semana) fecha promediando. ∎

**Exemplo 14.9 (Dirichlet num salto).**

Para a dente de serra $f(t) = t$ em $\intoo{-\pi}{\pi}$ ([Exemplo 14.12](#ex-b2-fourier-basel) adiante), a extensão periódica salta em $t = \pi$ de $f(\pi^-) = \pi$ a $f(\pi^+) = -\pi$. Dirichlet promete o valor $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ aí, e de fato todo termo de $\sum
\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ se anula em $t = \pi$: a série converge educadamente para o ponto médio, ignorando os dois valores laterais. Mover o ponto de avaliação para $t =
\frac\pi2$ (um ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)) transforma a mesma série na $\frac\pi4$ de Leibniz. Uma série, dois comportamentos — exatamente as duas cláusulas do teorema.

**Teorema 14.10 (Convergência normal para C1C^1C1; Parseval).**

1. Se $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) , $2\pi$ -periódica e $C^1$ por partes, então $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , a série de Fourier de $f$ converge *[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series)* em $\R$ , e sua soma é $f$ .
2. (Parseval) Para toda $f$ $2\pi$-periódica [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes: $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2  = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2  = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1}  \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$$ *(Demonstrado aqui para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $C^1$ por partes; admitido em geral.)*

**Demonstração.** (1) Integração por partes em cada peça $C^1$ (os termos de bordo se cancelam pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e pela periodicidade): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$. Então, por Cauchy–Schwarz nas duas famílias quadraticamente [somáveis](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) ([Proposição 14.2](#prop-b2-fourier-bessel) para $f'$):

$$
\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0}
\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n}
\leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2}
\Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :
$$

[convergência normal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) da série de Fourier. Sua soma é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e coincide com $f$ em todo ponto por Dirichlet ([Teorema 14.8](#thm-b2-fourier-dirichlet): $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)): a série converge para $f$, [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def).

(2) Para tal $f$: $S_N f \to f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def), logo $\norm{f - S_Nf}_2
\leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$, e Pitágoras ($\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f -
S_Nf}_2^2$) passa ao limite. A forma real é contabilidade com $a_n, b_n$. ∎

**Exemplo 14.11 (A cota da cauda em C1C^1C1, tornada quantitativa).**

A demonstração do [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1) esconde uma estimativa utilizável. Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $C^1$ por partes, a mesma Cauchy–Schwarz aplicada apenas à cauda dá

$$
\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)}
= \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n}
\leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2}
\Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2}
\leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,
$$

usando Bessel para $f'$ e $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$. Assim o erro uniforme das somas parciais obedece a

$$
\norm{f - S_Nf}_\infty
\leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)}
\leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .
$$

Para $f(t) = \abs t$: $\norm{f'}_2 = 1$ (a derivada é $\pm1$), de modo que dez termos já reconstroem $\abs t$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) a menos de $\sqrt{0.2} \approx 0.45$, e $N = 10^4$ a menos de $0.015$. Lição final: uma derivada compra a taxa uniforme $\frac{1}{\sqrt N}$; comparando com o mundo de coeficientes $\frac1n$ da onda quadrada (sem [convergência uniforme](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) alguma), o dicionário do [Exemplo 14.7](#ex-b2-fourier-decaytable) ganha números.

**Exemplo 14.12 (Basileia e companhia).**

Seja $f(t) = t$ em $\intoo{-\pi}{\pi}$, estendida $2\pi$-periodicamente (uma dente de serra, $C^1$ por partes). Calculando, $a_n = 0$ (imparidade) e

$$
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t
= \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .
$$

Dirichlet em $t = \frac\pi2$ recupera a série $\frac\pi4 = 1 -
\frac13 + \frac15 - \dots$ de Leibniz; Parseval dá

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3}
= \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2}
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}
$$

— a soma de Basileia de Euler, em duas linhas. A função $f(t) = t^2$ fornece igualmente $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ ([Exercício 14.3](#exo-b2-fourier-3)).

**Exemplo 14.13 (Um desenvolvimento completo com verificação embutida: ∣sin⁡t∣\abs{\sin t}∣sint∣).**

A função $f(t) = \abs{\sin t}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), par, $\pi$-periódica (logo $2\pi$-periódica) e $C^1$ por partes. A paridade mata os $b_n$; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}
\abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$; e, para $n \geq 1$, a fórmula produto-soma dá

$$
a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t +
\sin(1-n)t\bigr)\dd t
= \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}
$$

para $n \neq 1$ (e $a_1 = 0$ diretamente): zero para $n$ ímpar, e $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$. Pelo [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1) a convergência é normal, e

$$
\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}
\sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1}
\qquad (t \in \R) .
$$

Verificação embutida em $t = 0$: a identidade exige que $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$, o que a telescopagem confirma:

$$
\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1}
= \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} -
\frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark
$$

Lição final: o [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\abs{\sin}$ vive apenas nas frequências *pares* — retificar um seno dobra seu conteúdo de frequência, e é por isso que os retificadores de onda completa zumbem a $100$ ou $120$ hertz, o dobro da frequência da rede.

**Exemplo 14.14 (Parseval como dispositivo de cálculo).**

Parseval transforma desenvolvimentos em séries numéricas no atacado. Aplique-a a $f(t) = \abs t$ ([Exercício 14.2](#exo-b2-fourier-2): $a_0 =
\pi$, $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ para $n$ ímpar, o resto nulo):

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3}
= \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ ímpar}} a_n^2
= \frac{\pi^2}{4} +
\frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ ímpar}}\frac{1}{n^4} ,
$$

donde

$$
\sum_{n\text{ ímpar}}\frac{1}{n^4}
= \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} -
\frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .
$$

Confira contra o [Exercício 14.3](#exo-b2-fourier-3): separando $\sum\frac1{n^4}$ em partes ímpar e par obtém-se a contabilidade ao estilo $\zeta$ $S = S_{\mathrm{odd}} + \frac{S}{16}$, logo $S =
\frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — exatamente o valor achado lá por uma função diferente. Dois desenvolvimentos, um número: a coerência é a isometria de Parseval em ação. Lição final: cada novo desenvolvimento de Fourier é uma máquina geradora de identidades entre séries; a Parte II do problema de fim de semana explica por que a máquina nunca pode contradizer a si mesma.

![A onda quadrada (em cinza) e as somas parciais de Fourier S_1 (azul) e S_9 (vermelho): convergência em todo ponto de continuidade, mas uma ultrapassagem persistente de 9\% perto dos saltos — o fenômeno de Gibbs. A convergência uniforme falha exatamente porque o limite é descontínuo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-fourier/fig-6ce52b3434ba.svg)

*A onda quadrada (em cinza) e as [somas parciais de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients) $S_1$ (azul) e $S_9$ (vermelho): convergência em todo ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), mas uma ultrapassagem persistente de $\sim 9\%$ perto dos saltos — o *fenômeno de Gibbs*. A [convergência uniforme](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) falha exatamente porque o limite é descontínuo.*

**Exemplo 14.15 (Translação e modulação).**

Duas regras de uma linha geram muitos desenvolvimentos a partir de um. Para $a
\in \R$, substituindo $s = t - a$:

$$
c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr)
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t
= \eu^{-\iu na}\,c_n(f)
\qquad\text{(a translação modula o espectro)},
$$

e, diretamente da definição,

$$
c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f)
\qquad\text{(a modulação translada o espectro)}.
$$

Instância trabalhada: a dente de serra deslocada de $\pi$, $g(t) = f(t -
\pi)$ com $f(t) = t$, tem coeficientes $b_n$ iguais a $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$: o desenvolvimento $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ da dente de serra que salta em $0$ em vez de em $\pi$ — sem recalcular integral alguma. Lição final: deslocamentos no tempo só giram fases, nunca amplitudes ($\abs{c_n}$ é invariante por deslocamento), e é por isso que a energia (Parseval) e a classe de convergência são propriedades da *forma* do sinal, e não de onde o relógio começa.

**Observação 14.16 (Armadilhas comuns).**

*(i) Três convergências, três moedas:* a [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) (Dirichlet: precisa de $C^1$ por partes, paga o *ponto médio* em cada salto — nunca o valor lateral), a uniforme (precisa de um limite [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity); impossível através de um salto, sendo Gibbs o sintoma visível) e a em média quadrática (Parseval: a mais robusta, cega a pontos individuais). Diga sempre qual delas você está afirmando. *(ii) Nada de derivar termo a termo por padrão:* derivar a série da dente de serra do [Exemplo 14.12](#ex-b2-fourier-basel) termo a termo produz $\sum
2(-1)^{n+1}\cos nt$, cujos termos nem sequer tendem a $0$ — os teoremas de transferência do capítulo de sequências de funções precisam da [convergência uniforme](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) da série *derivada*, que o salto destrói. Suavidade primeiro, derivação depois (o [Exercício 14.6](#exo-b2-fourier-6) é o dicionário). *(iii) Somas parciais [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint):* o teorema de Dirichlet trata de $S_N =
\sum_{-N}^{N}$; reordenar ou somar primeiro um dos lados pode transformar divergência em convergência e vice-versa. *(iv) Deriva de normalização:* as convenções diferem entre livros ($\frac{1}{2\pi}$ ou $\frac1\pi$ na frente, período $2\pi$ ou $1$); os invariantes confiáveis são as relações de ortonormalidade — recalcule $\langle e_m, e_n\rangle$ na convenção em uso antes de confiar em qualquer fórmula.

**Observação 14.17 (Onde isso é usado).**

Parseval é o germe da teoria $L^2$ das séries de Fourier: o volume do terceiro ano de graduação [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) o quadro (as exponenciais são uma base hilbertiana de $L^2$, e a aplicação $f \mapsto (c_n)$ é uma isometria bijetiva). Dentro deste volume, o problema de fim de semana demonstra o *teorema de Fejér* — as médias de Cesàro da série de Fourier convergem [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) para toda $f$ periódica [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — o que eleva a Parseval geral admitida a teorema, fornece o teorema de Weierstrass trigonométrico e paga dois dividendos espetaculares: o teorema de equidistribuição de Weyl e a desigualdade isoperimétrica. A matemática aplicada lê este capítulo diariamente: [espectros](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de sinais, harmônicos de sistemas vibrantes e a transformada rápida de Fourier (o avatar finito foi o [Exercício 13.10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#exo-b2-hermitian-10)).

**Observação 14.18 (Perspectivas dentro deste volume).**

Três capítulos conversam com este. Para trás: o capítulo [hermitiano](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#def-b2-hermitian-adjoint) forneceu a geometria (famílias ortonormais, projeções, Bessel), e o capítulo de sequências de funções, a análise ([convergência uniforme](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def), teoremas de transferência, identidades aproximadas — o núcleo de Fejér está para as séries de Fourier assim como os [polinômios de Bernstein](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#thm-b2-funcseq-weierstrass) estavam para Weierstrass). De lado: a teoria de fronteira do capítulo de séries de potências volta pela [transformação de Abel](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-abel), aqui realizada pelo núcleo de Poisson ([Exercício 14.12](#exo-b2-fourier-12)) — com o raio $r$ do disco fazendo o papel do parâmetro de somação. Para a frente: o capítulo de equações diferenciais decompõe o forçamento periódico em harmônicos e alimenta cada um à resposta em frequência do oscilador; a ressonância acontece quando um modo de Fourier da entrada casa com uma frequência natural, e é por isso que o problema de fim de semana daquele capítulo e o deste são duas metades de uma só história.

![O núcleo de Dirichlet D_8 (azul) oscila e assume valores negativos; o núcleo de Fejér F_8 (vermelho) é não negativo, concentra-se em 0 e tem média 1: uma identidade aproximada. A positividade é exatamente o que falta ao núcleo de Dirichlet e o que torna incondicional o teorema de Fejér no problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-fourier/fig-01aa640fe8e7.svg)

*O [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel) $D_8$ (azul) oscila e assume valores negativos; o núcleo de Fejér $F_8$ (vermelho) é não negativo, concentra-se em $0$ e tem média $1$: uma *identidade aproximada*. A positividade é exatamente o que falta ao [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel) e o que torna incondicional o teorema de Fejér no problema de fim de semana.*

## 14.3 Exercícios

**Exercício 14.1 ★.**

Calcule os [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients) da onda quadrada ($f = -1$ em $\intoo{-\pi}{0}$, $+1$ em $\intoo{0}{\pi}$), enuncie a conclusão de Dirichlet em $t = \frac\pi2$ e no salto $t = 0$, e recupere a série de Leibniz.

**Solução de Exercício 14.1.**

A imparidade mata os $a_n$. Para $n \geq 1$:

$$
b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n}
= \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ ímpar},\\ 0 & n
\text{ par}. \end{cases}
$$

Assim $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t
\bigr)}{2k+1}$. Dirichlet em $t = \frac\pi2$ (um ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), valor $1$): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$, dando

$$
1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1}
\quad\Longrightarrow\quad
\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}
\quad\text{(Leibniz)}.
$$

No salto $t = 0$: a série soma $0 = \frac{f(0^+) +
f(0^-)}{2}$, como Dirichlet prescreve (todo termo se anula: coerente).

**Exercício 14.2 ★.**

Desenvolva $f(t) = \abs t$ ($\abs t \leq \pi$, $2\pi$-periódica) em série de Fourier; justifique a convergência *normal*; avalie em $t =
0$ para obter $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ e redemonstre Basileia a partir disso.

**Solução de Exercício 14.2.**

A paridade mata os $b_n$; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs
t\,\dd t = \pi$ e, para $n \geq 1$:

$$
a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2}
= \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ ímpar},\\ 0 & n
\text{ par}, \end{cases}
$$

(uma integração por partes). Logo

$$
\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0}
\frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,
$$

com convergência *normal* ($\sum (2k+1)^{-2} < \infty$) — como o [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1) prevê para essa função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $C^1$ por partes. Em $t = 0$:

$$
0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2}
\quad\Longrightarrow\quad
\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .
$$

Separando $\sum \frac{1}{n^2}$ em partes ímpar e par: $S =
\frac{\pi^2}{8} + \frac S4$, logo $S = \frac{\pi^2}{6}$: Basileia de novo.

**Exercício 14.3 ★.**

Desenvolva $f(t) = t^2$ ($\abs t \leq \pi$) e deduza

$$
\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12},
\qquad
\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}
\quad\text{(Parseval)}.
$$

**Solução de Exercício 14.3.**

Paridade: $b_n = 0$; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 =
\frac{2\pi^2}{3}$; duas integrações por partes dão $a_n =
\frac{4(-1)^n}{n^2}$ ($n \geq 1$). Logo

$$
t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1}
\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt
\qquad (\abs t \leq \pi),
$$

[normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) convergente. Em $t = 0$: $0 = \frac{\pi^2}{3} +
4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$, isto é, $\sum_{n\geq1}
\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$. Parseval:

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5}
= \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2
= \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,
$$

logo $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} -
\frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$.

**Exercício 14.4 ★★.**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $2\pi$-periódica com $c_n(f) = 0$ para todo $n$. Prove que $f = 0$ *(Parseval — para qual classe ela está demonstrada aqui? justifique que a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) mais $C^1$ por partes podem ser dispensadas admitindo a Parseval geral, ou dê o argumento de densidade em esboço)*.

**Solução de Exercício 14.4.**

Se, além disso, $f$ é $C^1$ por partes: Parseval (demonstrada) dá $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$, e a positividade estrita da integral da função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $\abs f^2$ força $f = 0$.

Para $f$ meramente [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), admita a Parseval geral: mesma demonstração de uma linha. (Esboço do caminho por densidade: a aproximação trigonométrica do tipo Fejér/Weierstrass mostra que os polinômios trigonométricos são $\norm\cdot_2$-densos entre as funções periódicas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity); como $f
\perp$ todos eles, $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq
\norm f_2\norm{f - P}_2$ para aproximantes $P$, forçando $\norm f_2 =
0$.)

**Exercício 14.5 ★★.**

Para $\alpha \notin \Z$, desenvolva $f(t) = \cos(\alpha t)$ ($\abs t
\leq \pi$) e deduza a decomposição em frações parciais da cotangente:

$$
\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}
\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .
$$

**Solução de Exercício 14.5.**

Paridade: $b_n = 0$;

$$
a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\cdot
\frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}
$$

(produto-soma e depois integre; $a_0 =
\frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$). Dirichlet em $t = \pi$ (um ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) da extensão periódica, cujos valores laterais coincidem por paridade):

$$
\cos(\pi\alpha)
= \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}
+ \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 -
n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi)
= \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} +
\sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),
$$

usando $(-1)^n\cos n\pi = 1$. Dividir por $\sin(\pi\alpha)/\pi$ dá o desenvolvimento da cotangente.

**Exercício 14.6 ★★.**

Prove que, se $f$ é $2\pi$-periódica e $C^k$ com $f^{(k)}$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, então $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$: a suavidade do sinal $=$ o decaimento de seu [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).

**Solução de Exercício 14.6.**

Iterando $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ($k$ vezes, integração por partes através das peças $C^{k}$ com valores de bordo coincidentes): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$. Os coeficientes da função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes $f^{(k)}$ são limitados (de fato $\to 0$, Bessel):

$$
\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k}
= O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .
$$

**Exercício 14.7 ★★★.**

(Desigualdade de Wirtinger) Seja $f$ de classe $C^1$, $2\pi$-periódica, com $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$. Prove que

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,
$$

com igualdade se e somente se $f(t) = a\cos t + b\sin t$. *(Parseval nos dois lados; compare $\abs{c_n}^2$ e $n^2\abs{c_n}^2$.)*

**Solução de Exercício 14.7.**

Parseval para $f$ e para $f'$ (as duas legítimas: $f$ é $C^1$, $f'$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes — de fato [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)):

$$
\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2
\quad (c_0 = 0 \text{ pela hipótese de média nula}),
\qquad
\frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .
$$

Termo a termo, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ para $\abs n \geq 1$: segue a desigualdade. A igualdade força $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ para todo $n$, isto é, $c_n = 0$ para $\abs n \geq 2$: $f(t) =
c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (forma real); reciprocamente, tais $f$ dão a igualdade.

**Exercício 14.8 ★★★.**

(A constante de Gibbs) Para a onda quadrada do [Exercício 14.1](#exo-b2-fourier-1), avalie a soma parcial em $x_N =
\frac{\pi}{2N}$: escrevendo $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ e $\Delta u
= \frac{\pi}{N}$, mostre que

$$
S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr)
= \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1}
= \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u
\xrightarrow[N\to\infty]{}
\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :
$$

uma soma de Riemann de $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ em $\intcc{0}{\pi}$ nos pontos médios. Conclua que a ultrapassagem além do valor do salto $1$ não desaparece quando $N \to \infty$.

**Solução de Exercício 14.8.**

De [Exercício 14.1](#exo-b2-fourier-1), $S_{2N-1}(x) =
\frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$. Em $x_N =
\frac{\pi}{2N}$, com $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$:

$$
S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1}
= \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot
\frac{u_k}{2k+1}
= \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot
\frac{\pi}{N},
$$

pois $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$. Os pontos $u_k$ são os pontos médios dos $N$ subintervalos de $\intcc{0}{\pi}$ de comprimento $\frac{\pi}{N}$: a soma é uma soma de Riemann por pontos médios da função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$, logo converge para

$$
\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u
\approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .
$$

As somas parciais perto do salto ultrapassam o valor $1$ em $\approx
18\%$ do meio salto para sempre: o fenômeno de Gibbs, quantificado.

**Exercício 14.9 ★.**

Desenvolva $\cos^3 t$ e $\sin^2 t\,\cos t$ em série de Fourier *(linearize; um polinômio trigonométrico é sua própria série de Fourier, pela unicidade dos coeficientes)*. Quais são $c_n$, $a_n$, $b_n$ para cada uma?

**Solução de Exercício 14.9.**

De $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$:

$$
\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4},
\qquad
\sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t
= \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .
$$

Cada uma é um polinômio trigonométrico, logo igual à sua própria série de Fourier (unicidade dos coeficientes: dois desenvolvimentos difeririam por um polinômio trigonométrico com todos os coeficientes nulos). Para $\cos^3t$: $a_1 = \frac34$, $a_3 =
\frac14$, todos os demais $a_n$ e todos os $b_n$ nulos; $c_{\pm1} =
\frac38$, $c_{\pm3} = \frac18$. Para $\sin^2t\cos t$: $a_1 =
\frac14$, $a_3 = -\frac14$; $c_{\pm1} = \frac18$, $c_{\pm3} =
-\frac18$.

**Exercício 14.10 ★★.**

Sejam $a > 0$ e $f(t) = \eu^{at}$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$, estendida $2\pi$-periodicamente. Calcule

$$
c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,
$$

aplique o teorema de Dirichlet no salto $t = \pi$ e deduza a decomposição em frações parciais da cotangente hiperbólica:

$$
\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}
\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .
$$

**Solução de Exercício 14.10.**

Cálculo direto:

$$
c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t
= \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}}
{2\pi(a - \iu n)}
= \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,
$$

usando $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$. Em $t = \pi$ a extensão periódica salta de $\eu^{a\pi}$ para $\eu^{-a\pi}$; Dirichlet (somas parciais [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint)) dá

$$
\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\,
= \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a +
\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} +
\frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr)
= \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a +
\sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,
$$

cancelando-se as partes imaginárias dos termos emparelhados. Divida por $\sinh(a\pi)$:

$$
\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} +
\sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,
$$

a gêmea hiperbólica do [Exercício 14.5](#exo-b2-fourier-5).

**Exercício 14.11 ★★.**

(Convolução) Para $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $2\pi$-periódicas, defina

$$
(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\,
\dd t .
$$

Mostre que $f * g = g * f$, que $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ *(para trocar as duas integrais de um integrando [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), compare as duas funções do limite superior: ambas se anulam na extremidade esquerda e têm a mesma derivada, pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e pela derivação sob o sinal de integral)*, e que $S_N(f) =
f * D_N$ para o [núcleo de Dirichlet](#lem-b2-fourier-kernel). (As médias de Fejér do problema de fim de semana também são convoluções, $\sigma_N(f) = f *
F_N$.)

**Solução de Exercício 14.11.**

Comutatividade: substitua $s = x - t$ e use a periodicidade do integrando. Para $c_n(f * g)$, o integrando $(x, t) \mapsto
f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity); as duas integrais iteradas coincidem (ambas, como funções do limite superior da variável externa, se anulam na extremidade esquerda e têm a mesma derivada — a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) mais o [Teorema 9.10](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-continuity) justificam derivar a integral iterada). Logo

$$
c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt}
\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t
= c_n(f)\,c_n(g),
$$

sendo a integral interna igual a $c_n(f)$ para todo $t$ (substituição e periodicidade). Por fim, [Lema 14.5](#lem-b2-fourier-kernel) diz que $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$; a substituição $u \mapsto -t$ e a paridade de $D_N$ transformam isso em $(f * D_N)(x)$.

**Exercício 14.12 ★★★.**

(Núcleo de Poisson: médias de Abel das séries de Fourier) Para $0 \leq r <
1$ ponha $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$.

1. Some as duas séries geométricas e mostre que $$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0,  \qquad  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$$
2. Mostre que, para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t)  \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ quando $r \to 1^-$ , [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) .
3. Deduza que, para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $2\pi$ -periódica, as *médias de Abel* $(f * P_r)(x) = \sum_n  r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ convergem para $f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) quando $r \to 1^-$ — a irmã com parâmetro [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) do teorema de Fejér, e a encarnação de Fourier da [transformação de Abel](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-abel) do capítulo de séries de potências.

**Solução de Exercício 14.12.**

1. Com $w = r\eu^{\iu t}$: $$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w}  = \Re\frac{1 + w}{1 - w}  = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2}  = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$$ Média $1$: a integração termo a termo da série [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) convergente retém apenas $n = 0$.
2. Para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq  \cos\delta$ , logo $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 -  2r\cos\delta + r^2}$ , cujo denominador tende a $2 -  2\cos\delta > 0$ enquanto o numerador tende a $0$ : [convergência uniforme](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) para $0$ fora de qualquer vizinhança de $0$ .
3. A integração termo a termo ([convergência normal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) em $t$) dá $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs  n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$. O argumento da identidade aproximada: com média $1$ e positividade, $$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)}  \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}  \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$$ separe em $\abs t = \delta$: no máximo $\varepsilon$ (Heine) mais $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs  t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$: [convergência uniforme](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) quando $r \to 1^-$. Essa é a [transformação de Abel](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-abel) da série de Fourier — a gêmea de Fourier da teoria de fronteira do capítulo de séries de potências.

## 14.4 Problema: o teorema de Fejér e seus dividendos

**Problema 14.1.**

O teorema de Dirichlet precisa de $f$ $C^1$ por partes; para $f$ meramente [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), as somas parciais $S_N(f)$ podem se comportar mal. A descoberta de Fejér: suas *médias de Cesàro* nunca se comportam. O motor é a positividade do núcleo de Fejér, e a colheita é imensa: aproximação trigonométrica uniforme (Weierstrass), unicidade dos [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients), Parseval para toda função deste capítulo (removendo o “admitido” do [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval)), o teorema de equidistribuição de Weyl e — coroando um século de geometria — a desigualdade isoperimétrica. Em todo o problema, $f$ é $2\pi$-periódica e [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, e

$$
\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots +
S_{N-1}(f)}{N} .
$$

**Parte I — O núcleo de Fejér.**

1. Mostre que $\sigma_N(f)(x) =  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ com $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , e que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
2. Demonstre a forma fechada, para $u \notin 2\pi\Z$: $$F_N(u) = \frac{1}{N}\,  \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)}  {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$$ *(some $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ como a parte imaginária de uma série geométrica)*.
3. Mostre a estimativa de concentração: para $0 < \delta \leq  \abs u \leq \pi$, $$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2}  \xrightarrow[N\to\infty]{} 0  \quad\text{uniformemente} :$$ $(F_N)$ é uma identidade aproximada positiva.
4. (Teorema de Fejér) Prove: se $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $2\pi$ -periódica, então $\sigma_N(f) \to f$ *[uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def)* em $\R$ *(separe a integral de $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ em $\abs u =  \delta$; use Heine e as questões 1–3)* .
5. Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes, mostre a versão [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) +  f(x^-)}{2}$ em todo $x$ , e a cota uniforme $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ *(positividade!)* .

**Parte II — Weierstrass, unicidade, Parseval.**

6. (Weierstrass trigonométrico) Deduza: toda função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $2\pi$ -periódica é limite uniforme de polinômios trigonométricos.
7. (Unicidade) Deduza: uma $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com $c_n(f) = 0$ para todo $n$ é identicamente nula — duas funções periódicas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com os mesmos [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients) coincidem ( [Exercício 14.4](#exo-b2-fourier-4) , agora sem admissão alguma).
8. (Parseval, caso [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)) Usando a propriedade de projeção de $S_N$ ([Proposição 14.2](#prop-b2-fourier-bessel)) e $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal  T_N$, prove que $$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2  \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty  \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$$ e conclua a identidade de Parseval para toda $f$ *[contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)* $2\pi$-periódica.
9. (Parseval, caso [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes) Dada $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes e $\varepsilon > 0$ , construa uma $g$ periódica [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com $\norm{f - g}_2 \leq  \varepsilon$ *(substitua $f$ por uma interpolação afim em intervalos minúsculos em torno dos saltos)* e deduza $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ *(use Bessel: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$)* : Parseval vale na generalidade plena enunciada no [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) — o “admitido” acabou.
10. (Sem Gibbs para Fejér) Contraste com o [Exercício 14.8](#exo-b2-fourier-8) : mostre que, para a onda quadrada $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ em toda parte, para todo $N$ — a promediação de Cesàro apaga a ultrapassagem que assombra $S_N$ . Explique em uma frase qual propriedade de $F_N$ é a responsável.

**Parte III — Taxas.**

11. Demonstre as duas cotas do núcleo, para $0 < \abs u \leq  \pi$: $$F_N(u) \leq N,  \qquad  F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$$ *(para a primeira, $\abs{\sin N\theta} \leq  N\abs{\sin\theta}$ por indução; para a segunda, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ em $\intcc{0}{\pi}$)*.
12. Deduza a estimativa do primeiro momento $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u  \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N}  \qquad (N \geq 2)$$ para uma constante explícita *(separe em $\abs u =  \frac1N$)*.
13. Conclua: se $f$ é $L$-lipschitziana e $2\pi$-periódica, então $$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$$
14. (Saturação) Calcule $\sigma_N(e_1)$ para $e_1(t) =  \eu^{\iu t}$ e mostre que $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty  = \frac1N$ : mesmo para as funções mais suaves, Fejér não converge mais depressa que $\frac1N$ — o análogo exato da saturação de Bernstein no problema de fim de semana do capítulo de sequências de funções.
15. (Localização) Mostre: se $f$ ( [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes) se anula em $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , então $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , por mais selvagem que $f$ seja fora dali — a convergência das médias em $x$ só enxerga $f$ perto de $x$ .

**Parte IV — O teorema de equidistribuição de Weyl.** Uma sequência $(x_n)_{n\geq1}$ em $\intco{0}{1}$ é *equidistribuída* quando, para todo intervalo $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$,

$$
\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N}
\xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .
$$

16. Mostre que $(x_n)$ é equidistribuída assim que $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ para toda $f$ *[contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)* $1$ -periódica *(comprima a indicadora de $\intcc ab$ entre duas funções afins por partes [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) cujas integrais diferem de $\varepsilon$)* .
17. (Critério de Weyl, suficiência) Suponha $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n}  \xrightarrow[N\to\infty]{} 0  \qquad\text{para todo } k \in \Z\setminus\{0\} .$$ Mostre $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ primeiro para polinômios trigonométricos e depois para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $1$-periódica pela questão 6 (transportada para o período $1$): com a questão 16, $(x_n)$ é equidistribuída.
18. Seja $\alpha$ irracional e $x_n = \{n\alpha\}$ (parte fracionária). Majore a soma geométrica $$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr|  \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}}  \qquad (k \neq 0),$$ e conclua o *teorema de Weyl*: $(\{n\alpha\})$ é equidistribuída em $\intco{0}{1}$.
19. Deduza que $(\{n\alpha\})$ é denso em $\intcc{0}{1}$ para $\alpha$ irracional, e explique em uma frase por que a equidistribuição é estritamente mais forte que a densidade.
20. (Primeiros algarismos) Prove que a proporção de inteiros $n \leq N$ tais que $2^n$ tem primeiro algarismo (decimal) $1$ tende a $\log_{10}2 \approx 0.301$ *(primeiro algarismo $1$ significa $\{n\log_{10}2\} \in  \intco{0}{\log_{10}2}$; mostre que $\log_{10}2$ é irracional)* .

**Parte V — A desigualdade isoperimétrica.** Seja $\Gamma$ uma curva fechada simples $C^1$ de comprimento $L$ que encerra uma área com sinal $A$, parametrizada por comprimento de arco reescalado: $z(t) =
x(t) + \iu y(t)$, $2\pi$-periódica, com $\abs{z'(t)} =
\frac{L}{2\pi}$ constante; a área encerrada é

$$
A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t
= \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t
$$

(tomada aqui como definição da área com sinal; o capítulo sobre integrais múltiplas demonstra que ela coincide com a intuitiva, via a fórmula de Green).

21. Desenvolva $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (a série de uma função $C^1$, [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) convergente) e prove, por Parseval aplicada a $z'$: $$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t  = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$$
22. Prove igualmente que $A = \pi\sum_{n\in\Z}  n\,\abs{c_n}^2$ *(Parseval em sua forma polarizada: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum  \conj{c_n(f)}c_n(g)$, aplicada a $f = z$, $g = z'$)* .
23. (Hurwitz) Conclua: $$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}  (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$$ com igualdade se e somente se $z(t) = c_0 +  c_1\eu^{\iu t}$ — um círculo. A desigualdade isoperimétrica: entre as curvas fechadas de comprimento $L$, só o círculo encerra área $\frac{L^2}{4\pi}$.
24. Verificações de bom senso: confira a igualdade para o círculo de raio $R$ e a desigualdade estrita para o quadrado de lado $a$ ; explique por que $n^2 - n \geq 0$ para todo inteiro $n$ , inclusive os negativos, e onde a velocidade constante da parametrização foi usada.
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) a única propriedade de $F_N$ da qual fluem as Partes I–III e que falta a $D_N$ ; (ii) como a somação de Cesàro aqui se relaciona com o problema de fim de semana do capítulo de séries de potências (Frobenius); (iii) qual dividendo usou apenas Weierstrass (questão 6) e qual precisou da Parseval [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) ; (iv) uma frase sobre o que o volume do terceiro ano de graduação acrescenta (a [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) de $L^2$ : as séries de Fourier como base hilbertiana).

**Solução de Problema 14.1.**

**1.** Promediar [Lema 14.5](#lem-b2-fourier-kernel) sobre $n = 0,
\dots, N-1$ (linearidade da integral) dá $\sigma_N(f)(x) =
\frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$; cada $D_n$ tem média $1$, logo $F_N$ tem média $1$.

**2.** Com $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu
u/2}\sin\frac u2$:

$$
\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr)
= \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u}
- 1}\Bigr]
= \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2}
= \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2}
= \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .
$$

Dividindo por $N\sin\frac u2$:

$$
F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1}
\frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2}
= \frac{1}{N}\,
\frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .
$$

**3.** Em $\delta \leq \abs u \leq \pi$: $\sin^2\frac u2
\geq \sin^2\frac\delta2$ e $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$: $F_N
\leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$, [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) aí.

**4.** Pela média unitária, $\sigma_Nf(x) - f(x) =
\frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$. Dado $\varepsilon$, Heine fornece $\delta$ com $\abs{f(x+u) - f(x)}
\leq \varepsilon$ para $\abs u \leq \delta$, uniformemente em $x$. Então, usando $F_N \geq 0$ e sua média unitária,

$$
\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)}
\leq \varepsilon +
2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi}
\int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N
\leq \varepsilon + \frac{2\norm
f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2}
\leq 2\varepsilon
$$

para $N$ grande, uniformemente em $x$: o teorema de Fejér.

**5.** $F_N$ é par de média $1$: cada metade $\intcc{0}{\pi}$, $\intcc{-\pi}{0}$ carrega média $\frac12$. Então

$$
\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}
= \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) -
f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u
+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) -
f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;
$$

em cada metade, separe em $\abs u = \delta$, onde o limite lateral está a menos de $\varepsilon$, e deixe a questão 3 matar a parte distante: as duas integrais tendem a $0$. A cota: $F_N \geq 0$ dá $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq
\frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$.

**6.** Cada $\sigma_N(f)$ é um polinômio trigonométrico (uma média das $S_n(f)$, $n < N$), e $\sigma_N(f) \to f$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def): o teorema de Weierstrass trigonométrico.

**7.** $c_n(f) = 0$ para todo $n$ torna todo $S_n(f) = 0$, logo todo $\sigma_N(f) = 0$; por Fejér, $f = \lim\sigma_Nf =
0$. Aplicando isso a uma diferença: as funções periódicas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) são determinadas por seus [coeficientes de Fourier](#def-b2-fourier-coefficients).

**8.** $S_Nf$ é a projeção ortogonal de $f$ sobre $\mathcal T_N$ ([Proposição 14.2](#prop-b2-fourier-bessel)), logo minimiza $\norm{f - P}_2$ em $P \in \mathcal T_N$; como $\sigma_Nf
\in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$:

$$
\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2
\leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0
$$

(a desigualdade do meio porque a média de $\abs\cdot^2$ é no máximo o quadrado do sup). Pitágoras $\norm f_2^2 = \sum_{\abs
n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ passa então ao limite: Parseval para toda $f$ periódica [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**9.** Sejam $t_1, \dots, t_p$ os saltos de $f$ num período, $M = \norm f_\infty$. Para $\eta$ pequeno, defina $g = f$ fora dos intervalos $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ e pela corda afim em cada um desses intervalos: $g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), periódica, $\norm g_\infty \leq M$, e

$$
\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta
\leq \varepsilon^2
$$

para $\eta$ pequeno. Bessel torna $S_N$ uma contração para $\norm\cdot_2$, logo

$$
\norm{f - S_Nf}_2
\leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g -
f)}_2
\leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,
$$

e a questão 8 dá $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq
2\varepsilon$ para todo $\varepsilon$: $\norm{f - S_Nf}_2 \to
0$, e Pitágoras fornece Parseval para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) por partes: o “admitido” do [Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) é agora um teorema.

**10.** A onda quadrada tem $\norm f_\infty = 1$, de modo que a questão 5 dá $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ em toda parte e para todo $N$ — sem ultrapassagem alguma — enquanto o [Exercício 14.8](#exo-b2-fourier-8) mostra que $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to
\approx 1.179$. A propriedade responsável: $F_N \geq 0$, de modo que $\sigma_Nf(x)$ é uma *média* ponderada de valores de $f$ e nunca pode sair de $\intcc{\min f}{\max f}$; $D_N$ assume valores negativos, logo $S_N$ pode.

**11.** $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por indução ($\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq
\abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} +
\abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq
(N+1)\abs{\sin\theta}$): com $\theta = \frac u2$,

$$
F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2}
\leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .
$$

A concavidade de $\sin$ em $\intcc{0}{\frac\pi2}$ dá $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ para $0 \leq u \leq \pi$, logo $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$.

**12.** Pela paridade e pela separação em $\frac1N$:

$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N
= \frac1\pi\int_0^\pi uF_N
\leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u +
\int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr)
= \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .
$$

Para $N \geq 2$: $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 +
\frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ e $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$, de modo que o momento é $\leq \frac{9\ln N}{N}$.

**13.** Para $f$ $L$-lipschitziana:

$$
\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)}
\leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u
\leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N
\leq \frac{9L\ln N}{N},
$$

uniformemente em $x$.

**14.** $c_0(e_1) = 0$ dá $S_0(e_1) = 0$, enquanto $S_n(e_1) = e_1$ para $n \geq 1$: $\sigma_N(e_1) =
\frac{N-1}{N}e_1$, logo $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty =
\frac1N$. Mesmo para esse sinal inteiro e de banda limitada, a taxa é $\frac1N$: Fejér satura, exatamente como o operador de Bernstein satura em $\frac1n$ (Voronovskaya, no problema de fim de semana do capítulo de sequências de funções).

**15.** Se $f$ se anula em $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$, então $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u
\leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$, de valor absoluto no máximo $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$: as médias de Cesàro em $x$ só enxergam $f$ perto de $x$.

**16.** Dados $\intcc ab$ e $\varepsilon$, escolha funções afins por partes $\varphi^\pm$, [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $1$-periódicas, com $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ e $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapézios com rampas em intervalos de comprimento total $\varepsilon$). Então

$$
\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N}
\leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n)
= \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,
$$

e simetricamente $\liminf \geq b - a - \varepsilon$: a proporção tende a $b - a$.

**17.** Para $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ com $k \neq 0$, a hipótese dá o limite $0 = \int_0^1f$; para $k = 0$ os dois lados valem $1$; a linearidade cuida de todo polinômio trigonométrico. Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $1$-periódica e $\varepsilon >
0$, a questão 6 (transportada por $t = 2\pi x$) fornece um polinômio trigonométrico $P$ com $\norm{f - P}_\infty \leq
\varepsilon$:

$$
\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr|
\leq 2\varepsilon +
\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr|
\longrightarrow 2\varepsilon .
$$

Com a questão 16: $(x_n)$ é equidistribuída.

**18.** Para $k \neq 0$ e $\alpha$ irracional, $w =
\eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$:

$$
\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr|
= \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr|
\leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,
$$

uma cota independente de $N$; dividir por $N$ dá o critério de Weyl, e a questão 17 conclui: $(\{n\alpha\})$ é equidistribuída.

**19.** Todo subintervalo recebe proporção assintótica igual a seu comprimento, em particular infinitos pontos: $(\{n\alpha\})$ é denso. A equidistribuição é mais forte: uma sequência pode ser densa e ainda assim passar quase todo o tempo num canto (a densidade diz *aonde* a sequência vai, a equidistribuição diz *com que frequência*).

**20.** $2^n$ tem primeiro algarismo $1$ se e somente se $10^m \leq 2^n <
2\cdot10^m$ para algum $m$, isto é, se e somente se $\{n\log_{10}2\} \in
\intco{0}{\log_{10}2}$. Irracionalidade: $\log_{10}2 =
\frac pq$ daria $2^q = 10^p = 2^p5^p$, impossível para $p
\geq 1$ pela unicidade da fatoração. O teorema de Weyl (questão 18 com $\alpha = \log_{10}2$; o intervalo [semiaberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) é comprimido entre fechados de comprimentos próximos) dá a proporção $\log_{10}2 \approx 0.301$: os primeiros algarismos de $2^n$ seguem a lei de Benford.

**21.** $z$ é $C^1$, logo sua série de Fourier converge [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) com soma $z$ ([Teorema 14.10](#thm-b2-fourier-parseval) (1)), e $c_n(z') = \iu n\,c_n$. Como $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ é constante,

$$
\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t
= 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2}
= \frac{L^2}{2\pi} ,
$$

e Parseval aplicada à [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $z'$ dá $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 =
\sum_n\abs{\iu nc_n}^2$, isto é, $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n
n^2\abs{c_n}^2$.

**22.** A Parseval polarizada $\frac{1}{2\pi}\int\conj
fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ decorre de Parseval aplicada a $f + g$ e $f + \iu g$ ([identidade de polarização](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def)), ambas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). Com $f = z$, $g = z'$:

$$
A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z'
= \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n)
= \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .
$$

**23.** Combinando as questões 21–22:

$$
L^2 - 4\pi A
= 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 -
4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2
= 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,
$$

pois $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ para todo inteiro. A igualdade força $c_n = 0$ para todo $n \notin \{0, 1\}$: $z(t) = c_0 +
c_1\eu^{\iu t}$, um círculo de centro $c_0$ e raio $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (velocidade constante). A demonstração de Hurwitz da desigualdade isoperimétrica: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$, só o círculo.

**24.** Círculo de raio $R$: $L = 2\pi R$, $A = \pi
R^2$: $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$: igualdade. Quadrado de lado $a$: $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (pois $16 > 4\pi \approx
12.57$). Para $n$ negativo, $n^2 - n = n(n - 1)$ é um produto de dois inteiros negativos: positivo — de modo que os modos que enrolam para trás custam área duas vezes. A velocidade constante entrou na questão 21, convertendo $\int\abs{z'}^2$ em $\frac{L^2}{2\pi}$; para uma velocidade não constante, Cauchy–Schwarz dá $\int\abs{z'}^2 \geq
\frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$, de modo que a desigualdade sobrevive, com o círculo ainda como único caso de igualdade.

**25.** (i) Tudo flui de $F_N \geq 0$ (com média unitária e concentração); $D_N$ tem média unitária e concentração de oscilação, mas não positividade, e Gibbs é o preço. (ii) A [somabilidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) de Cesàro da série de Fourier implica sua [somabilidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-summable) de Abel com a mesma soma (Frobenius, demonstrado no problema de fim de semana do capítulo de séries de potências) — o caminho pelo núcleo de Poisson do [Exercício 14.12](#exo-b2-fourier-12) é exatamente o método de Abel. (iii) O teorema de Weyl precisou apenas da aproximação uniforme (questão 6); a desigualdade isoperimétrica precisou da própria Parseval (questões 8, 21–22). (iv) O volume do terceiro ano de graduação demonstra a [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete): as exponenciais formam uma base hilbertiana de $L^2$, Parseval torna-se uma isometria de espaços de Hilbert, e o teorema de Fejér torna-se o enunciado de que essa isometria é calculável por médias positivas.