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title: "Cálculo diferencial"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial
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# Capítulo 15 — Cálculo diferencial

O cálculo a duas variáveis do volume do primeiro ano de graduação amadurece no cálculo diferencial de aplicações entre espaços normados: a *[diferencial](#def-b2-diffcalc-differential)* como melhor aproximação linear, a regra da cadeia em plena generalidade, o teorema da simetria de Schwarz *demonstrado*, fórmulas de Taylor e a análise completa de segunda ordem dos extremos. O teorema da função inversa, coroa da teoria, é enunciado com sua estratégia de demonstração — um ponto fixo de Banach — explicitada.

Em todo o capítulo, $U$ é um [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) de $\R^n$ (ou de um espaço normado; o caso de dimensão finita carrega todas as ideias), $f \colon U \to
\R^m$.

## 15.1 A diferencial

**Definição 15.1.**

$f$ é *diferenciável* em $a$ quando existe uma aplicação linear ([contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)) $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ com

$$
f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h)
\qquad (h \to 0).
$$

A aplicação $\dd f_a$, a *diferencial* de $f$ em $a$, é única; sua matriz nas bases canônicas é a *matriz jacobiana* $J_f(a) =
\bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$. A diferenciabilidade implica a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e a existência de todas as derivadas direcionais $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv)
- f(a)}{t}$; a recíproca falha ([Exercício 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)). Para $m = 1$, $\dd f_a(h) = \langle
\nabla f(a), h\rangle$: o gradiente do primeiro ano, agora entendido como o vetor que representa a diferencial.

**Teorema 15.2 (Critério C1C^1C1).**

Se todas as derivadas parciais de $f$ existem em $U$ e são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $a$, então $f$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $a$. “$C^1$ em $U$” — parciais [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — implica portanto a [diferenciabilidade](#def-b2-diffcalc-differential) em toda parte, com [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).

**Demonstração.** Componente a componente ($m = 1$ basta). A demonstração do primeiro ano para duas variáveis — mova uma coordenada de cada vez, aplique o teorema do valor médio de uma variável em cada trecho e use a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) das parciais em $a$ — generaliza-se palavra por palavra a $n$ trechos:

$$
f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a +
h^{(j-1)})\bigr)
= \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),
$$

em que $h^{(j)}$ congela as $j$ primeiras coordenadas de $h$ e $\xi_j$ está no $j$-ésimo trecho; a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) transforma cada $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ em $\frac{\partial
f}{\partial x_j}(a) + o(1)$, e o erro é $o(\norm h)$. ∎

**Teorema 15.3 (Regra da cadeia).**

Se $f$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $a$ e $g$ em $f(a)$, então $g \circ f$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $a$ com

$$
\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a ,
\qquad
J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :
$$

as jacobianas se multiplicam.

**Demonstração.** Escreva $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ e $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ com $b = f(a)$, $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$. Substituindo,

$$
g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr)
+ \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),
$$

e os dois termos de erro são $o(\norm h)$: o primeiro porque $\dd g_b$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $\varepsilon_1 \to 0$; o segundo porque $\norm k
\leq C\norm h$ (aplicação linear limitada mais termo pequeno) e $\varepsilon_2(k) \to 0$ quando $h \to 0$. ∎

**Exemplo 15.4 (Funções radiais, de uma vez por todas).**

Sejam $r(x) = \norm x_2$ em $\R^n\setminus\{0\}$ e $f = g \circ
r$ com $g$ uma função $C^1$ de uma variável. Primeiro, $r$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) fora de $0$: de $r^2 = \sum x_i^2$,

$$
\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r},
\qquad\text{i.e.}\qquad
\nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,
$$

o vetor radial [unitário](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#def-b2-hermitian-adjoint) (derive $r^2$ e divida — ou aplique a regra da cadeia a $\sqrt{\cdot}$). Então a regra da cadeia dá, para toda função radial,

$$
\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .
$$

Instância trabalhada: $g(r) = \frac1r$ fornece $\nabla\frac{1}{\norm
x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, o campo inverso do quadrado da gravitação e da eletrostática — direção radial, magnitude $\frac{1}{\norm x^2}$. Lição final: os gradientes de funções radiais são radiais porque as superfícies de nível são esferas e o gradiente é ortogonal às superfícies de nível; em $x = 0$, em contraste, $r$ *não* é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) (nenhuma aplicação linear candidata casa com $\norm h$ vinda de todas as direções) — perfis radiais suaves precisam de $g'(0) = 0$ para cruzar a origem com elegância.

**Teorema 15.5 (Desigualdade do valor médio).**

Seja $f$ [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $U$ e suponha que o segmento $\intcc{a}{b}
= \{a + t(b-a)\}$ esteja em $U$. Então

$$
\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\,
\sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .
$$

Em particular, uma aplicação [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) de [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) nula num [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) *[conexo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected)* é constante.

**Demonstração.** A função $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $\intcc{0}{1}$ com $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (regra da cadeia), de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $\leq M\norm{b-a}$ com $M$ o sup exibido. Para $f$ com valores em $\R$, a desigualdade do valor médio de uma variável conclui; para valores vetoriais, aplique-a a $t \mapsto \langle u,
\varphi(t)\rangle$ com $u$ o vetor unitário ao longo de $f(b) - f(a)$. Constância: localmente constante (segmentos em bolas) mais [conexidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-connected) (o conjunto em que $f$ vale um dado valor é [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) e fechado: [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric)). ∎

**Exemplo 15.6 (Uma constante de Lipschitz pela DVM).**

$f(x, y) = \sin x\,\sin y$ é [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\R^2$, e com qual constante? Seu gradiente é $\nabla f = (\cos x\sin y,\
\sin x\cos y)$, de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) ao quadrado

$$
\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y
\leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1
$$

(majore $\cos^2x$ e $\sin^2x$ por $1$ separadamente), logo $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ em toda parte, e [Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) no segmento entre dois pontos quaisquer dá

$$
\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :
$$

$f$ é $1$-lipschitziana, e a constante é ótima (perto da origem, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ tem inclinação $1$). Lição final: a desigualdade do valor médio converte uma cota [pontual](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) sobre a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) num módulo global de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — a rota padrão para estimativas [lipschitzianas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em qualquer dimensão, e o motor dentro do [Exercício 15.12](#exo-b2-diffcalc-12).

## 15.2 Derivadas segundas

**Teorema 15.7 (Schwarz).**

Se $f$ é $C^2$ em $U$ (todas as parciais segundas existem e são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)), então, para todos $i, j$:

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}
= \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .
$$

**Demonstração.** Duas variáveis bastam ($x = x_i$, $y = x_j$, as outras congeladas). Considere a diferença segunda

$$
\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .
$$

Fixe $h$ e ponha $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$: então $\Delta(h)
= \varphi(a + h) - \varphi(a)$, e duas aplicações do teorema do valor médio dão

$$
\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi)
= h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) -
\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr)
= h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),
$$

com $\xi \in \intoo{a}{a+h}$, $\eta \in \intoo{b}{b+h}$. Pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial
y\partial x}(a, b)$ quando $h \to 0$. O mesmo cálculo com os papéis das variáveis trocados (congele primeiro a segunda variável) dá $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x
\partial y}(a,b)$: os dois limites da mesma quantidade coincidem. ∎

**Exemplo 15.8 (Por que C2C^2C2 é necessário: o contraexemplo de Peano).**

Seja $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$, $f(0,0) = 0$. Fora da origem $f$ é $C^\infty$; na origem, todas as parciais primeiras e segundas existem, mas as mistas discordam. Calcule ao longo dos eixos: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$ e, para $y \neq 0$,

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)
= \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x}
= \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y ,
\qquad\text{simetricamente}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .
$$

Logo

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0)
= \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial
x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1,
\qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :
$$

as duas parciais mistas existem e diferem. Nenhuma contradição com o [Teorema 15.7](#thm-b2-diffcalc-schwarz): as parciais segundas de $f$ não são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $0$ (teste ao longo de $y = tx$). Lição final: o teorema de Schwarz é um teorema genuíno sobre *[continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)*, e não uma identidade formal — e a hipótese “$C^2$” no Taylor–Young a seguir está fazendo trabalho de verdade.

**Teorema 15.9 (Taylor–Young de ordem 2).**

Seja $f \colon U \to \R$ de classe $C^2$ e $a \in U$. Então, quando $h \to 0$,

$$
f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle
+ \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),
$$

em que $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial
x_j}(a)\bigr)$ é a *matriz hessiana* ([simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint), por Schwarz).

**Demonstração.** Aplique o teorema de Taylor–Young de uma variável (volume do primeiro ano de graduação) a $\varphi(t) = f(a + th)$ em $\intcc{0}{1}$: pela regra da cadeia, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ e $\varphi''(t)
= \langle H_{a+th}h, h\rangle$, ambas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $t$. Então $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) com $\theta \in \intoo{0}{1}$, e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) das parciais segundas converte $\varphi''(\theta) =
\varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def): o desenvolvimento exibido. ∎

**Exemplo 15.10 (Um desenvolvimento de duas maneiras).**

Desenvolva $f(x, y) = \eu^x\cos y$ na origem até a ordem $2$. *Por composição de desenvolvimentos de uma variável:*

$$
\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} +
o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr)
= 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .
$$

*Por derivadas parciais:* $f_x = \eu^x\cos y$, $f_y =
-\eu^x\sin y$, logo $\nabla f(0) = (1, 0)$; e $f_{xx} = f$, $f_{yy} = -f$, $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ dão $H_0 =
\operatorname{diag}(1, -1)$: [Teorema 15.9](#thm-b2-diffcalc-taylor) reproduz $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$. Os dois cálculos coincidem, e a rota por composição foi mais rápida — nenhuma parcial segunda. Lição final: a origem *não* é um ponto crítico ($\nabla f \neq 0$), de modo que, apesar da hessiana indefinida, não há sela a declarar: o termo linear manda, e o teste de segunda ordem só fala em pontos críticos.

**Teorema 15.11 (Teste de extremo de segunda ordem, demonstrado).**

Seja $f$ de classe $C^2$ perto de um ponto crítico $a$ ($\nabla f(a) = 0$), com hessiana $H = H_a$.

1. Se $H$ é positiva definida, $a$ é mínimo local estrito (negativa definida: máximo).
2. Se $H$ tem [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) dos dois sinais, $a$ é uma sela: sem extremo.
3. Se $H$ é singular (e semidefinida), nada se conclui.

O teste “$rt - s^2$” do primeiro ano é o caso $n = 2$: $\det H = rt -
s^2$, com o sinal de $\operatorname{tr}$ lido em $r$.

**Demonstração.** Pelo teorema espectral ([Teorema 12.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#thm-b2-quadratic-spectral)), a [forma quadrática](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) de $H$ fica espremida entre seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) extremos: $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq
\lambda_{\max}\norm h^2$.

(1) Se $\lambda_{\min} > 0$: Taylor–Young dá

$$
f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 -
o(\norm h^2) > 0
$$

para $h \neq 0$ pequeno: mínimo local estrito.

(2) Ao longo de um [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $v_+$ com $\lambda_+ > 0$: $f(a + tv_+) -
f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ para $t$ pequeno; ao longo de $v_-$ com $\lambda_- < 0$ a diferença é negativa: os dois sinais ocorrem em toda vizinhança.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$, $x^2 - y^4$, $x^2 + y^3$ compartilham a mesma hessiana singular semidefinida em $0$ com três comportamentos diferentes. ∎

**Exemplo 15.12 (Uma classificação completa, global inclusive).**

Classifique todos os extremos de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ em $\R^2$. *Pontos críticos:* $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) =
0$ dá $y = x^3$ e $x = y^3 = x^9$, logo $x(x^8 - 1) = 0$: as soluções reais são $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$. *Hessianas:* $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 &
12y^2\end{pmatrix}$. Em $(\pm1, \pm1)$: $\begin{pmatrix} 12 &
-4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$, [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $8$ e $16$: positiva definida, mínimos locais estritos com $f = -2$. Em $(0,0)$: $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$, [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\pm4$: uma sela. *Globalidade:* de $2\abs{xy} \leq x^2 +
y^2$,

$$
f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2)
= (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2
\xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :
$$

$f$ é coerciva, logo atinge um mínimo global ([compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) dos conjuntos de subnível), necessariamente num ponto crítico: o valor $-2$, tanto em $(1,1)$ quanto em $(-1,-1)$, é o mínimo global; não há máximo ($f$ é ilimitada superiormente). Lição final: o teste local classifica candidatos, mas só um argumento de crescimento transforma “local” em “global” — o padrão em dois passos de toda demonstração de otimização deste livro.

**Método 15.13 (Classificar os extremos de f ⁣:Rn→Rf \colon \R^n \to \Rf:Rn→R).**

1. Resolva $\nabla f = 0$ (todos os pontos críticos; num domínio com fronteira, trate a fronteira à parte, como no [Exercício 15.7](#exo-b2-diffcalc-7) ).
2. Em cada ponto crítico, calcule a hessiana e os sinais de seus [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) — em dimensão $2$ , apenas $\det H$ e $\operatorname{tr} H$ : $\det < 0$ sela; $\det >  0$ extremo, do tipo dado pelo sinal do traço; $\det = 0$ : o teste se cala, estude $f$ ao longo de curvas.
3. Para enunciados globais, acrescente um argumento de [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ou de coercividade ( $f \to +\infty$ no infinito, ou um conjunto de restrições [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ) e depois compare os valores críticos.

## 15.3 O teorema da função inversa

**Teorema 15.14 (Teorema da função inversa).**

Seja $f \colon U \to \R^n$ de classe $C^1$ e $a \in U$ com $\dd f_a$ *invertível*. Então existem vizinhanças [abertas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $V \ni a$, $W
\ni f(a)$ tais que $f \colon V \to W$ é uma bijeção com inversa $C^1$, e

$$
\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 15.15 (Por que é verdade: a estratégia do ponto fixo).**

Resolver $f(x) = y$ perto de $a$ reescreve-se como a equação de ponto fixo $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$; a aplicação $\Phi_y$ tem [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$, pequena perto de $a$ pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\dd f$, de modo que $\Phi_y$ é uma contração numa bola fechada pequena e o teorema do ponto fixo de Banach ([Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-banach)) fornece a única solução local $x = f^{-1}(y)$. A [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e a [diferenciabilidade](#def-b2-diffcalc-differential) da inversa decorrem então das estimativas da contração. A contabilidade [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) é executada no terceiro ano; a estratégia — e o enunciado — são usados livremente daqui em diante. O *teorema da função implícita* companheiro (resolver $F(x, y) = 0$ em $y(x)$ quando $\frac{\partial F}{\partial y}$ é invertível) segue aplicando o teorema a $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$.

**Exemplo 15.16 (Coordenadas polares).**

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ tem jacobiana

$$
J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta &
r\cos\theta \end{pmatrix},
\qquad \det J_\Phi = r :
$$

invertível para $r \neq 0$, de modo que $\Phi$ é um difeomorfismo local $C^1$ fora da origem — a licença para “passar a coordenadas polares”, renovada para as integrais múltiplas do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint).

**Exemplo 15.17 (Local em toda parte, global em lugar nenhum).**

Seja $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ em $\R^2$. Sua jacobiana,

$$
J_f = \begin{pmatrix}
\eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\
\eu^x\sin y & \eu^x\cos y
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_f = \eu^{2x} > 0 ,
$$

nunca se anula: pelo [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse), $f$ é um difeomorfismo local $C^1$ em *todo* ponto do plano. E no entanto $f$ está longe de ser injetiva: $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$, de modo que todo valor é assumido uma infinidade de vezes; e ela também não é sobrejetiva, pois $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ nunca atinge a origem. Lição final: o teorema da função inversa é irredutivelmente *local* — a invertibilidade de todo $\dd f_a$ produz uma colcha de retalhos de inversas locais que não precisam se juntar numa só. (Quem conhece números complexos reconhecerá $z \mapsto
\eu^z$; a colcha é a família de ramos do logaritmo.) Compare com o [Exercício 15.12](#exo-b2-diffcalc-12), em que uma hipótese global quantitativa força de fato uma inversa global.

**Observação 15.18 (Armadilhas comuns).**

*(i) Derivadas direcionais são baratas, [diferenciais](#def-b2-diffcalc-differential) não são:* todas as derivadas direcionais podem existir — e até deixar de depender linearmente da direção — sem [diferenciabilidade](#def-b2-diffcalc-differential) ([Exercício 15.2](#exo-b2-diffcalc-2)); só o critério $C^1$ ([Teorema 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1)) eleva as parciais a uma [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential). *(ii) Crítico não significa extremo:* as selas ([Exemplo 15.12](#ex-b2-diffcalc-quarticrun)) e o caso singular silencioso ([Teorema 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) (3)) se escondem os dois atrás de $\nabla f = 0$. *(iii) Não há igualdade do valor médio para valores vetoriais:* só a *desigualdade* do [Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi) sobrevive ([Exercício 15.9](#exo-b2-diffcalc-9)); nunca escreva $f(b) - f(a) = \dd
f_c(b-a)$ para $f$ com valores em $\R^m$, $m \geq 2$. *(iv) A invertibilidade local não é injetividade:* [Exemplo 15.17](#ex-b2-diffcalc-localnotglobal). *(v) O gradiente pertence ao produto interno:* $\nabla f$ é o vetor que representa $\dd f_a$ num produto interno escolhido; mude o produto (como no exemplo ponderado do capítulo de [formas quadráticas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def)) e o gradiente gira, enquanto a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) — o objeto intrínseco — não se move.

**Observação 15.19 (Onde isso é usado).**

Tudo o que vem depois deste capítulo é cálculo diferencial aplicado: o capítulo de equações diferenciais lineariza fluxos e usa a fórmula do [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) de Liouville (demonstrada no problema de fim de semana deste capítulo); os capítulos sobre curvas e superfícies estudam conjuntos de nível e parametrizações pelo teorema da função implícita; as integrais múltiplas mudam de variáveis por jacobianos. O problema de fim de semana desenvolve o cálculo *no próprio espaço das matrizes* — [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) do [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det), da inversa, a [exponencial de matriz](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ex-b2-nvs-matrixexp) e o grupo ortogonal como conjunto de nível suave — a sombra, no segundo ano, do que o volume do terceiro ano formaliza como variedades e grupos de Lie.

## 15.4 Exercícios

**Exercício 15.1 ★.**

Calcule as [matrizes jacobianas](#def-b2-diffcalc-differential) de $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ e de $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$; onde são invertíveis as [diferenciais](#def-b2-diffcalc-differential)?

**Solução de Exercício 15.1.**

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$, $\det J_f
= 4(x^2 + y^2)$: invertível fora da origem. (Essa $f$ é $z
\mapsto z^2$ disfarçada de complexa.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $\det = r$: invertível para $r \neq 0$ (coordenadas cilíndricas).

**Exercício 15.2 ★.**

Seja $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ ($f(0,0) = 0$). Prove que todas as derivadas direcionais de $f$ em $0$ existem, mas que $f$ não é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $0$ *(a aplicação $v \mapsto$ derivada direcional não é linear)*.

**Solução de Exercício 15.2.**

Para $v = (a, b) \neq 0$: $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot
t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$: toda derivada direcional existe, com valor $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$. Mas $v
\mapsto D_v$ não é linear ($D_{(1,0)} = 1$, $D_{(0,1)} = 0$, $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$): nenhuma aplicação linear pode produzir esses valores, logo $f$ não é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $0$ (a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) teria de ser $v \mapsto D_v$).

**Exercício 15.3 ★.**

Ache e classifique os pontos críticos de $f(x, y) = x^3 + y^3 -
3xy$ usando [Teorema 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema), e de $g(x,y) = x^4 +
y^4 - 2(x - y)^2$.

**Solução de Exercício 15.3.**

$f = x^3 + y^3 - 3xy$: pontos críticos $(0,0)$ e $(1,1)$ (cálculo do primeiro ano). Hessianas: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 &
6y\end{pmatrix}$. Em $(0,0)$: sinais próprios mistos ($\det = -9 < 0$): sela. Em $(1,1)$: $\det = 27 > 0$, traço $> 0$: positiva definida, mínimo local estrito — agora justificado pelo [Teorema 15.11](#thm-b2-diffcalc-extrema) em vez de decretado.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$: $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 +
4(x-y))$; pontos críticos $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (primeiro ano). Em $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $H =
\begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$: positiva definida (diagonalmente dominante; [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $24, 16$): mínimos locais estritos. Em $(0,0)$: $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$, singular negativa semidefinida: o teste se cala; o estudo direcional ($g(x,x) = 2x^4 > 0$, $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ pequeno) mostra um ponto do tipo sela — sem extremo.

**Exercício 15.4 ★★.**

Seja $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^1$ e *homogênea de grau $p$*: $f(tx) = t^pf(x)$ para $t > 0$. Demonstre a identidade de Euler

$$
\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,
$$

e sua recíproca para funções $C^1$ em $\R^n\setminus\{0\}$.

**Solução de Exercício 15.4.**

Derive $t \mapsto f(tx)$ em $t = 1$: pela regra da cadeia, $\langle \nabla f(x), x\rangle$; por homogeneidade, a mesma função é $t^pf(x)$, de derivada $pf(x)$ em $t = 1$: a identidade de Euler.

Recíproca: fixe $x \neq 0$ e ponha $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ em $t > 0$. Então $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle -
pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle -
p\,t^pf(x)\bigr)$. A hipótese — a identidade de Euler no ponto $tx$ — avalia o colchete como $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) =
p\,\varphi(t)$. Logo $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ com $\varphi(1)
= 0$: a única solução da EDO linear é $\varphi \equiv 0$ (unicidade do primeiro ano), isto é, $f(tx) = t^pf(x)$.

**Exercício 15.5 ★★.**

Sejam $A$ [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) e $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle -
\langle b, x\rangle$. Calcule $\nabla f$ e $H_f$; quando $f$ é convexa? Supondo $A$ positiva definida, mostre que $f$ tem um único mínimo global na solução de $Ax = b$ — a razão de ser do método do gradiente.

**Solução de Exercício 15.5.**

Desenvolvendo $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle +
\frac12\langle Ah, h\rangle$ (simetria de $A$): $\nabla f(x) = Ax -
b$ e $H_f = A$ em toda parte. $f$ é convexa se e somente se $A$ é positiva semidefinida (o teste da hessiana, global aqui pois $H$ é constante: a fórmula de Taylor de segunda ordem é exata). Se $A$ é positiva definida: o único ponto crítico é $x^* = A^{-1}b$, e $f(x^*
+ h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq
\frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ para $h \neq 0$: mínimo global estrito.

**Exercício 15.6 ★★.**

(Multiplicador de Lagrange, uma restrição, demonstrado à mão) Sejam $f, g$ de classe $C^1$ em $\R^2$ e suponha que $f$ atinja, em $a$, um extremo local no conjunto de nível $\{g = 0\}$, com $\nabla g(a) \neq 0$. Prove que $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ para algum $\lambda$. *(Parametrize o conjunto de nível perto de $a$ pelo teorema da função implícita e derive $t \mapsto f(\gamma(t))$.)* Aplicação: extremos de $f(x,y) = xy$ no círculo $x^2 + y^2 = 1$.

**Solução de Exercício 15.6.**

Como $\nabla g(a) \neq 0$, alguma parcial, digamos $\frac{\partial
g}{\partial y}(a) \neq 0$: o teorema da função implícita (companheiro do [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) parametriza $\{g =
0\}$ perto de $a = (a_1, a_2)$ como $\gamma(t) = (t, y(t))$ com $y$ $C^1$, $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (derive $g(t, y(t)) = 0$). A função de uma variável $t
\mapsto f(\gamma(t))$ tem extremo local em $t = a_1$:

$$
0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1}
= \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1)
= \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x
g(a)}{\partial_y g(a)} :
$$

os vetores $\nabla f(a)$ e $\nabla g(a)$ têm coordenadas proporcionais: $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ com $\lambda =
\frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$.

Aplicação: no círculo, $\nabla(xy) = (y, x)$ paralelo a $(2x, 2y)$ força $y^2 = x^2$; com a restrição, os candidatos são $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valor $\frac12$) e $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},
-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valor $-\frac12$): máximo $\frac12$, mínimo $-\frac12$ (atingidos: o círculo é [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact)).

**Exercício 15.7 ★★.**

Determine os extremos de $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ em $\R^2$, e depois seu máximo e mínimo no triângulo fechado de vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ *(pontos críticos interiores, depois os três lados, depois os vértices)*.

**Solução de Exercício 15.7.**

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$: resolvendo, $x =
-\frac13$, $y = \frac13$. Hessiana $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 &
2\end{pmatrix}$, positiva definida: mínimo global da quadrática $f$, valor $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$.

No triângulo $T$: o ponto crítico interior $(-\frac13,
\frac13) \notin T$ (negativo, $x$). Lados: em $y = 0$, $x \in
\intcc{0}{1}$: $f = x^2 + x$, crescente: extremos $0$ e $2$. Em $x = 0$: $f = y^2 - y$, mínimo $-\frac14$ em $y = \frac12$, valores $0$ e $0$ nas pontas. Em $x + y = 1$: substitua $y = 1 - x$, $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$; em $\intcc{0}{1}$: mínimo $-\frac{1}{12}$ em $x = \frac16$, valores $0$ (em $x=0$) e $2$ (em $x=1$). Vértices: $f(0,0) = 0$, $f(1,0)
= 2$, $f(0,1) = 0$. Global em $T$: mínimo $-\frac14$ em $(0,
\frac12)$, máximo $2$ em $(1, 0)$.

**Exercício 15.8 ★★★.**

Sejam $f \colon \R^2 \to \R^2$, $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$. Mostre que $f$ é um difeomorfismo local perto de $0$, calcule $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$ e ache o maior $r$ tal que $\dd f$ seja invertível na bola $\norm{(x,y)}_2 < r$ *(calcule $\det J_f$)*.

**Solução de Exercício 15.8.**

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$, $\det J_f =
1 - 4xy$. Em $0$: $\det = 1 \neq 0$: difeomorfismo local ([Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)), com

$$
\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .
$$

Invertibilidade numa bola: é preciso $4\abs{xy} < 1$ em toda parte; em $\norm{(x,y)}_2 < r$, $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} <
\frac{r^2}{2}$, logo $r = \frac{1}{\sqrt2}$ serve; e é o maior: em $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$, de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $\frac{1}{\sqrt2}$, $\det J_f = 0$.

**Exercício 15.9 ★★★.**

(Rolle falha, o valor médio sobrevive) Dê $f \colon \R \to \R^2$, $C^1$, com $f(0) = f(2\pi)$ mas $f'(t) \neq 0$ para todo $t$ (sem Rolle com valores vetoriais). Depois verifique em seu exemplo a *desigualdade* do valor médio do [Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi).

**Solução de Exercício 15.9.**

$f(t) = (\cos t, \sin t)$: $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$, e no entanto $f'(t) =
(-\sin t, \cos t)$ tem [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $1$, nunca nula: não há ponto em que a derivada se anule — Rolle não tem análogo vetorial. A desigualdade do valor médio vale confortavelmente: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq
2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$.

**Exercício 15.10 ★.**

Calcule a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) e o gradiente de $f(x) = \norm
x_2^2$ e de $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ em $\R^n$ ($A$ uma matriz quadrada, não suposta [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint)) e a hessiana de cada uma. Para quais $A$ a função $g$ é convexa?

**Solução de Exercício 15.10.**

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$: $\dd f_x =
2\langle x, \cdot\rangle$, $\nabla f(x) = 2x$, hessiana $2I$ (constante). Para $g$:

$$
g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle
+ \langle Ah, h\rangle
= \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle +
O(\norm h^2),
$$

logo $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ e $H_g = A +
A^{\mathsf T}$, constante. Pelo [Exercício 15.11](#exo-b2-diffcalc-11), $g$ é convexa se e somente se $A + A^{\mathsf T}$ é positiva semidefinida — só a parte [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) de $A$ importa, como de fato $g(x) =
\langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$.

**Exercício 15.11 ★★.**

Seja $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^2$. Prove que $f$ é convexa se e somente se sua hessiana $H_x$ é positiva semidefinida em todo $x$ *(reduza a uma variável: $t \mapsto f(a + t(b-a))$; use Taylor–Lagrange numa direção e, para a recíproca, avalie $\varphi''$)*.

**Solução de Exercício 15.11.**

$f$ é convexa se e somente se sua restrição a todo segmento é convexa, isto é, se e somente se toda $\varphi(t) = f(a + tv)$ é convexa. Pela regra da cadeia, $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$.

Se todas as hessianas são positivas semidefinidas: $\varphi'' \geq 0$, de modo que cada $\varphi$ é convexa (volume do primeiro ano de graduação) e $f$ é convexa. Reciprocamente, se $f$ é convexa, cada $\varphi$ é convexa, logo $\varphi''(0) \geq 0$: $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ para todo $a$ e toda direção $v$: todas as hessianas são positivas semidefinidas.

**Exercício 15.12 ★★★.**

(Um teorema de inversão global) Seja $g \colon \R^n \to \R^n$ de classe $C^1$ com $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ para todo $x$, e $f =
\mathrm{id} + g$.

1. Mostre que $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : $f$ é injetiva, com inversa [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em sua imagem.
2. Mostre que, para cada $y \in \R^n$ , a aplicação $x \mapsto y -  g(x)$ é uma contração do espaço [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) $\R^n$ , e conclua pelo teorema do ponto fixo de Banach ( [Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-banach) ) que $f$ é sobrejetiva.
3. Conclua que $f$ é uma bijeção de $\R^n$ com inversa $(1-k)^{-1}$ -lipschitziana — uma contrapartida *global* do [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) (que, em contraste, é puramente local).

**Solução de Exercício 15.12.**

1. Pela desigualdade do valor médio ([Teorema 15.5](#thm-b2-diffcalc-mvi)) aplicada a $g$: $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$, logo $$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) -  g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$$ $f$ é injetiva e $f^{-1}$ (definida na imagem) é $\frac{1}{1-k}$-lipschitziana.
2. Fixe $y$ ; $T(x) = y - g(x)$ satisfaz $\norm{T(x) -  T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : uma contração do espaço [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) $\R^n$ . Banach ( [Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-banach) ) dá um ponto fixo $x^*  = y - g(x^*)$ , isto é, $f(x^*) = y$ : $f$ é sobrejetiva.
3. $f$ é assim uma bijeção de $\R^n$ com inversa $\frac{1}{1-k}$ -lipschitziana: um teorema de inversão global, em que a pequenez de $\dd g$ em toda parte substitui a hipótese de invertibilidade local do [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) .

## 15.5 Problema: o cálculo das matrizes — Jacobi, exponencial e o grupo ortogonal

**Problema 15.1.**

O playground mais limpo para o cálculo diferencial é o próprio espaço $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$: suas aplicações mais naturais — produto, inversa, [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det), exponencial — têm [diferenciais](#def-b2-diffcalc-differential) de elegância marcante. Este problema as calcula todas: a *série de Neumann*, a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) da inversa, a *fórmula de Jacobi* para o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) com a *fórmula de Liouville* como dividendo, a *exponencial de matriz* com $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$, e por fim o grupo ortogonal $O_n$ como conjunto de nível suave com as matrizes antissimétricas como espaço tangente — geometria diferencial em embrião. Em todo o problema, $\vertiii\cdot$ é a [norma de operador](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#thm-b2-nvs-continuouslinear) subordinada a $\norm\cdot_2$, e $\langle X, Y\rangle =
\operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ o produto interno de Frobenius.

**Parte I — A série de Neumann.**

1. Demonstre a submultiplicatividade, $\vertiii{AB} \leq  \vertiii A\,\vertiii B$ , e deduza que as aplicações polinomiais de $A$ (produtos de matrizes, [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) , traço) são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $\mathcal M_n(\R)$ .
2. Para $\vertiii X < 1$, mostre que $\sum_{k\geq0}X^k$ converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) em $\mathcal M_n(\R)$ ([Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)), que sua soma é $(I - X)^{-1}$ e que $$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X},  \qquad  (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$$
3. Deduza que $GL_n(\R)$ é *[aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology)* : se $A$ é invertível e $\vertiii H <  \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , então $A + H$ é invertível. Deduza também que $GL_n(\R)$ é *denso* em $\mathcal M_n(\R)$ *(perturbe $A$ por $\varepsilon I$: $\det(A + \varepsilon I)$ é um polinômio não nulo em $\varepsilon$)* .
4. Mostre que a aplicação inversão $\Phi(A) = A^{-1}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $GL_n(\R)$ .

**Parte II — Primeiras [diferenciais](#def-b2-diffcalc-differential).**

5. Mostre que a aplicação quadrado $A \mapsto A^2$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) com [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto AH + HA$ , e, mais geralmente, que $A \mapsto A^k$ tem [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1}  A^iHA^{k-1-i}$ . Por que *não* se pode escrever $kA^{k-1}H$ em geral?
6. Prove que $\Phi(A) = A^{-1}$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $GL_n(\R)$ com $$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$$ *(escreva $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ e desenvolva pela questão 2)*. Confira a fórmula contra o caso escalar $n = 1$.
7. Para uma curva $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ de classe $C^1$ , deduza que $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ e desenvolva $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ até a primeira ordem em $t = 0$ .
8. Calcule a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) de $f(A) =  \operatorname{tr}(A^k)$ e identifique seu gradiente para o produto interno de Frobenius: $$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr),  \qquad  \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$$
9. Mesmas questões para $f(A) = \operatorname{tr}  (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) , gradiente e a hessiana (constante); conclua que $\norm\cdot_F^2$ é estritamente convexa.

**Parte III — A fórmula de Jacobi.**

10. Prove que $$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +  O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$$ *(desenvolva $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ pela multilinearidade nas colunas: os termos com ao menos duas colunas de $h$ são $O(\vertiii H^2)$)*: $\dd(\det)_I =  \operatorname{tr}$.
11. Para $A$ invertível, deduza que $$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\,  \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$$
12. Mostre que, para *toda* $A$ (invertível ou não), $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$, o cofator $(i,j)$ *(desenvolvimento de Laplace ao longo da linha $i$)*, de modo que, com a adjunta $\operatorname{adj}A =  \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$: $$\dd(\det)_A(H) =  \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr),  \qquad  \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$$ recuperando a questão 11 quando $A$ é invertível ($\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$). Essa é a *fórmula de Jacobi*: $\bigl(\det  A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(  \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$.
13. (Fórmula de Liouville) Seja $A(t)$ uma curva $C^1$ de matrizes satisfazendo a equação diferencial linear $A'(t) = M(t)A(t)$. Prove que $$\bigl(\det A(t)\bigr)' =  \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t),  \qquad\text{logo}\qquad  \det A(t) = \det A(0)\,  \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$$ *(use $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ e a invariância [cíclica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) do traço)* — a identidade do wronskiano que o capítulo de equações diferenciais usará constantemente.
14. Mostre que $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ é um conjunto de nível suave: em todo $A \in SL_n(\R)$ a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) $\dd(\det)_A$ é uma aplicação linear *sobrejetiva* sobre $\R$ *(avalie-a em $H = \frac1nA$)* .

**Parte IV — A [exponencial de matriz](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ex-b2-nvs-matrixexp).**

15. Mostre que $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) para toda $A$ , [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) em toda bola, com $\vertiii{\eu^A} \leq  \eu^{\vertiii A}$ ; e que $\eu^A$ depende [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $A$ .
16. Prove que $AB = BA$ implica $\eu^{A+B} =  \eu^A\eu^B$ *([produto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini), legítimo pela convergência absoluta)* ; deduza que $\eu^A$ é sempre invertível, de inversa $\eu^{-A}$ : $\exp$ leva $\mathcal M_n(\R)$ em $GL_n(\R)$ .
17. Mostre que $t \mapsto \eu^{tA}$ é $C^1$ (na verdade $C^\infty$) com $$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} =  \eu^{tA}A$$ *(derive a série termo a termo em segmentos: a série derivada converge [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series))*.
18. Demonstre a identidade $$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$$ *(aplique a fórmula de Liouville, questão 13, a $A(t) = \eu^{tA}$)*. Verificações de bom senso: $n = 1$; $A$ nilpotente; e as matrizes de traço nulo caem em $SL_n(\R)$.
19. Mostre que $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , de modo que $\exp$ é [diferenciável](#def-b2-diffcalc-differential) em $0$ com $\dd(\exp)_0 =  \mathrm{id}$ ; conclua pelo teorema da função inversa ( [Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse) ) que $\exp$ é um difeomorfismo $C^1$ de uma vizinhança de $0$ sobre uma vizinhança de $I$ : toda matriz próxima da identidade tem um logaritmo.
20. Mostre que $\exp$ leva as matrizes [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) nas [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) *positivas definidas* , bijetivamente *(diagonalize; a inversa é o logaritmo espectral)* .

**Parte V — O grupo ortogonal como conjunto de nível.**

21. Seja $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , de $\mathcal M_n(\R)$ nas matrizes [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) $S_n$ . Calcule $\dd F_A(H) =  A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ e mostre que, em todo $A \in O_n = F^{-1}(I)$ , essa [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) é *sobrejetiva* sobre $S_n$ *(dada $S \in S_n$, tente $H = \frac12 AS$)* : $O_n$ é um conjunto de nível suave, de dimensão $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
22. Mostre que toda curva $A(t) \in O_n$ de classe $C^1$ com $A(0) =  I$ tem velocidade *antissimétrica* $A'(0)$ e, reciprocamente, que para $K$ antissimétrica a curva $\eu^{tK}$ permanece em $O_n$ : o espaço tangente de $O_n$ em $I$ é exatamente o das matrizes antissimétricas.
23. Mostre que $\det\eu^{K} = 1$ para $K$ antissimétrica (questão 18): a curva exponencial vive no grupo de rotações $SO_n$. Calcule-a por inteiro para $n = 2$: com $J =  \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, prove que $$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta &  -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$$ a [exponencial de matriz](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ex-b2-nvs-matrixexp) *é* a rotação de $\theta$, e as definições em série do cosseno e do seno reaparecem dentro de uma matriz.
24. (O truque da densidade) Usando a densidade de $GL_n(\R)$ (questão 3) e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), estenda das invertíveis a todas as matrizes a identidade $$\operatorname{adj}(AB) =  \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$$ *(para $A, B$ invertível os dois lados valem $\det(AB)(AB)^{-1}$; os dois lados são polinomiais nas entradas)*.
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) quais capítulos anteriores forneceram o motor de cada Parte (a [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) e as [álgebras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) normadas; o teorema espectral; o teorema da função inversa); (ii) qual fórmula deste problema o capítulo de equações diferenciais vai usar, e onde; (iii) o que $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ e $\det\eu^A =  \eu^{\operatorname{tr}A}$ dizem sobre o traço e o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) como “volume infinitesimal e global”; (iv) o que o volume do terceiro ano de graduação faz das questões 21–23 (grupos de Lie e suas [álgebras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) de Lie).

**Solução de Problema 15.1.**

**1.** $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq
\vertiii A\vertiii B\norm x$: tome o sup sobre $\norm x = 1$. Os produtos de matrizes, $\det$ e $\operatorname{tr}$ são funções polinomiais das entradas, logo [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ($\mathcal M_n(\R)
\simeq \R^{n^2}$, todas as [normas equivalentes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-equivalent): [Teorema 5.13](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#thm-b2-nvs-finitedim)).

**2.** $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k <
\infty$: a série converge [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def), logo converge ([Teorema 5.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#thm-b2-nvs-absoluteconvergence)). De $(I -
X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$: a soma é $(I -
X)^{-1}$. [Norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm): $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 -
\vertiii X}$; e

$$
(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1},
\qquad
\vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq
\frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).
$$

**3.** $A + H = A(I + A^{-1}H)$ com $\vertiii{A^{-1}H}
\leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$: invertível pela questão 2: a bola [aberta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) de raio $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ em torno de $A$ está em $GL_n(\R)$. Densidade: $\det(A + \varepsilon I)$ é um polinômio de grau $n$ em $\varepsilon$ com coeficiente dominante $1$: ele tem finitas raízes, de modo que existem $\varepsilon_k \to 0$ com $A + \varepsilon_kI$ invertível, convergindo para $A$.

**4.** Para $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$:

$$
(A + H)^{-1} - A^{-1}
= \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},
$$

de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) no máximo $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 -
\vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq
2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$: $\Phi$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em todo $A \in GL_n(\R)$.

**5.** $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$: a aplicação $H
\mapsto AH + HA$ é linear e o erro $H^2$ é $O(\vertiii H^2)$. Desenvolvendo $(A + H)^k$ e ordenando pelo número de fatores $H$: a parte linear é $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$, e os termos com $\geq 2$ fatores $H$ são majorados por $\binom k2$ produtos de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) de escala $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$: $O(\vertiii H^2)$. Não se pode colapsar a soma em $kA^{k-1}H$ porque $H$ e $A$ não precisam comutar — a soma é a derivada não comutativa correta.

**6.** Para $H$ pequena:

$$
(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}
= \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1}
= A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :
$$

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$, linear em $H$. Para $n = 1$: $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$, a derivada familiar.

**7.** Regra da cadeia ao longo da curva: $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) =
-A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$. Em $A(t) = I + tB$, $t = 0$: $(I +
tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$.

**8.** Pela questão 5 e pela invariância [cíclica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) do traço:

$$
\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1}
A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .
$$

Contra o produto de Frobenius, $\dd f_A(H) =
\operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ exige $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$: $\nabla f(A) =
k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$.

**9.** $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr}
(A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$: a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) é $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) =
2\langle A, H\rangle$, logo $\nabla f(A) = 2A$; o termo de segunda ordem é exatamente $\norm H_F^2$: a hessiana é o dobro da [forma quadrática](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-def) identidade, positiva definida e constante, de modo que $\norm\cdot_F^2$ é estritamente convexa (a fórmula de Taylor é exata aqui).

**10.** Pela multilinearidade nas colunas, $\det(I + H) =
\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$, em que $M_S$ tem coluna $h_j$ para $j \in S$ e $e_j$ caso contrário. $S = \varnothing$ dá $1$; $S = \{j\}$ dá o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) de $I$ com a coluna $j$ substituída por $h_j$, a saber sua $j$-ésima entrada $h_{jj}$, somando $\operatorname{tr}H$; cada termo com $\abs S \geq 2$ é um [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) com ao menos duas colunas de tamanho $O(\vertiii H)$, logo $O(\vertiii H^2)$ (aplicações multilineares num espaço de dimensão finita são limitadas), e há um número finito delas. Assim $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H +
O(\vertiii H^2)$: $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$.

**11.** $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) =
\det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) +
O(\vertiii H^2)\bigr)$: a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) é $H \mapsto
\det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$.

**12.** Desenvolvimento de Laplace ao longo da linha $i$: $\det A =
\sum_j a_{ij}C_{ij}$, e os cofatores $C_{ij}$ não envolvem a linha $i$: $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$. Logo

$$
\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij}
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T}
H\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr),
\qquad
\nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .
$$

Para $A$ invertível, $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ recupera a questão 11. Ao longo de uma curva $C^1$, a regra da cadeia lê-se $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}
(A(t))\,A'(t))$: a fórmula de Jacobi.

**13.** Com $A' = MA$ e $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$:

$$
(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA
\bigr)
= \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr)
= \det A\;\operatorname{tr}M
$$

(ciclicidade; $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ também). A EDO linear escalar $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ tem solução única $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t
\operatorname{tr}M\bigr)$ (primeiro ano): a fórmula de Liouville.

**14.** Em $A \in SL_n(\R)$, tome $H = \frac1nA$: $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A)
\operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$: a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) é uma forma linear não nula, logo sobrejetiva sobre $\R$ em todo ponto do conjunto de nível: $SL_n(\R)$ é um conjunto de nível suave (de dimensão $n^2 - 1$).

**15.** $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq
\sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$: convergência absoluta (o argumento de [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) da questão 2), com [convergência normal](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) em toda bola $\vertiii A \leq R$ (majore $R^k/k!$ independentemente de $A$). Cada soma parcial é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) (polinomial); o limite uniforme em bolas é [contínuo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity): $A \mapsto \eu^A$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), com $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$.

**16.** As duas séries convergem [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def), de modo que o [produto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini) é legítimo ([Teorema 7.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini)):

$$
\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom
nkA^kB^{n-k}
= \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},
$$

exigindo a identidade binomial que $AB = BA$. Com $B = -A$: $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$: toda $\eu^A \in GL_n(\R)$.

**17.** A série $\sum t^kA^k/k!$ e sua série derivada $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergem [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) em todo segmento $\abs t \leq T$ (cotas $T^k\vertiii A^k/k!$): o teorema de derivação para séries ([Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#thm-b2-funcseq-seriestransfer), aplicado entrada a entrada) dá $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$; fatorar $A$ à direita, em vez disso, dá $\eu^{tA}A$. Iterando: $C^\infty$.

**18.** $A(t) = \eu^{tA}$ satisfaz $A'(t) = A\,A(t)$: a fórmula de Liouville (questão 13) com $M = A$ constante dá $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (valor $1$ em $t =
0$); em $t = 1$, $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$. Verificações: $n = 1$ é a própria exponencial; uma $A$ nilpotente tem $\operatorname{tr}A = 0$ e $\eu^A$ unipotente de [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $1$; $\operatorname{tr}A = 0$ dá $\det\eu^A = 1$: as matrizes de traço nulo são enviadas em $SL_n(\R)$.

**19.** $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$, de [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$: $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$, invertível. Além disso, $\exp$ é $C^1$: pela questão 5, a candidata a [diferencial](#def-b2-diffcalc-differential) $H \mapsto
\sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ é uma série [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) convergente de aplicações lineares dependendo [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $A$ (cotas $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ em bolas), de modo que as parciais existem e são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ([Teorema 15.2](#thm-b2-diffcalc-c1) e o teorema de transferência para séries). O teorema da função inversa ([Teorema 15.14](#thm-b2-diffcalc-inverse)) aplica-se em $0$: $\exp$ é um difeomorfismo $C^1$ de uma vizinhança de $0$ sobre uma vizinhança de $I$ — matrizes perto de $I$ têm logaritmos.

**20.** Para $S = PDP^{\mathsf T}$ [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) (teorema espectral): $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ é [simétrica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\eu^{\lambda_i} > 0$: positiva definida. Sobrejetividade: uma $Q =
P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ positiva definida ($\mu_i > 0$) é $\eu^S$ para $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$. Injetividade: $\eu^S$ determina seus [autoespaços](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), que são exatamente os de $S$ (em cada [autoespaço](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $S$ associado a $\lambda$, $\eu^S$ age como $\eu^\lambda$; $\lambda$ distintos dão $\eu^\lambda$ distintos), e tomar $\ln$ dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) recupera $S$. Assim $\exp$ é uma bijeção das matrizes [simétricas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) sobre as positivas definidas.

**21.** $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$: $\dd F_A(H) =
A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (valores em $S_n$; erro $O(\vertiii H^2)$). Em $A \in O_n$ e para $S \in S_n$, a escolha $H = \frac12AS$ dá

$$
A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A
= \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :
$$

sobrejetiva. $O_n = F^{-1}(I)$ é um conjunto de nível suave de dimensão $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$.

**22.** Derivando $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ em $t
= 0$ (com $A(0) = I$): $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$: antissimétrica. Reciprocamente, para $K^{\mathsf T} = -K$: $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}}
\eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transponha a série termo a termo; os expoentes comutam): a curva permanece em $O_n$, com velocidade $K$ em $t = 0$. O espaço tangente em $I$ $=$ o das matrizes antissimétricas, da dimensão esperada $\frac{n(n-1)}2$.

**23.** $\operatorname{tr}K = 0$ para $K$ antissimétrica, logo $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (questão 18): a exponencial cai em $SO_n$. Para $n = 2$: $J^2 = -I$, logo $J^{2m} =
(-1)^mI$, $J^{2m+1} = (-1)^mJ$, e

$$
\eu^{\theta J}
= \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I
+ \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J
= \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,
$$

a rotação de $\theta$: as séries do seno e do cosseno vivem dentro da [exponencial de matriz](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ex-b2-nvs-matrixexp).

**24.** Para $A, B$ invertível: $\operatorname{adj}(AB) =
\det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} =
\operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$. Os dois lados da identidade são aplicações polinomiais (logo [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)) das entradas de $(A, B)$; eles coincidem no subconjunto denso $GL_n\times GL_n$ de $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (questão 3: aproxime cada fator), logo coincidem em toda parte.

**25.** (i) A Parte I rodou sobre a [completude](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) dos espaços normados de dimensão finita (as séries [absolutamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#def-b2-series-def) convergentes convergem), a Parte IV sobre a mesma coisa mais o teorema espectral na questão 20, e o logaritmo local da Parte V sobre o teorema da função inversa. (ii) O capítulo de equações diferenciais apoia-se na fórmula de Liouville (questão 13) para o wronskiano de sistemas lineares, e em $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (questão 17), que é o enunciado de que $\eu^{tA}$ resolve $X' = AX$. (iii) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ diz que o traço é a taxa infinitesimal de variação de volume, e $\det\eu^A =
\eu^{\operatorname{tr}A}$ integra globalmente esse enunciado. (iv) O volume do terceiro ano de graduação nomeia as estruturas: $O_n$ e $SL_n(\R)$ são grupos de Lie, seus espaços tangentes em $I$ (matrizes antissimétricas e de traço nulo) são [álgebras](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) de Lie, e $\exp$ é a ponte entre eles.