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title: "Equações diferenciais"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais
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# Capítulo 16 — Equações diferenciais

O primeiro ano resolveu as equações lineares que admitem fórmulas. Este capítulo fornece o que as fórmulas não conseguem: o *teorema de Cauchy–Lipschitz* — existência e unicidade para $y' = f(t, y)$ — demonstrado com o teorema do ponto fixo de Banach, exatamente como prometido no [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric); e depois a teoria completa dos *sistemas lineares* $X' = A(t)X + B(t)$, com a [exponencial de matriz](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ex-b2-nvs-matrixexp) e o [wronskiano](#def-b2-diffeq-wronskian) como motores de cálculo.

## 16.1 O teorema de Cauchy–Lipschitz

**Teorema 16.1 (Cauchy–Lipschitz, versão globalmente lipschitziana).**

Seja $I$ um segmento e $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e *[lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) na segunda variável*, [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) na primeira: $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ para todos $t
\in I$. Então, para todo $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$, o problema de Cauchy

$$
y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0
$$

tem exatamente uma solução $y \colon I \to \R^n$ de classe $C^1$.

**Demonstração.** *Reformulação.* Uma $y$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) resolve o problema se e somente se satisfaz a equação integral

$$
y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s
=: T(y)(t)
$$

(teorema fundamental do cálculo nos dois sentidos; uma solução [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) da equação integral é automaticamente $C^1$).

*Uma contração, após renormar.* No [espaço de Banach](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-banach) $E =
C(I, \R^n)$ com a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) *ponderada*

$$
N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,
$$

(equivalente à [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) do sup: o peso é majorado e minorado no segmento $I$, de modo que $E$ continua [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete)), estime para $y, z \in
E$ e, digamos, $t \geq t_0$:

$$
\norm{T(y)(t) - T(z)(t)}
\leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s
\leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s
\leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .
$$

Multiplicando por $\eu^{-2k(t - t_0)}$ e tomando o sup (o caso $t
< t_0$ é [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint)): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y -
z)$: $T$ é uma $\frac12$-contração do [completo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) $(E, N)$. O teorema do ponto fixo de Banach ([Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-banach)) fornece um único ponto fixo: a única solução. ∎

**Observação 16.2.**

Para $f$ apenas $C^1$ (localmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)), o teorema vale *localmente*, com solução maximal num intervalo [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) maximal; as soluções podem explodir em tempo finito ($y' = y^2$, $y(0) = 1$: $y(t)
= \frac{1}{1-t}$, desaparecida em $t = 1$). A hipótese globalmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) é o que compra o segmento inteiro. Duas consequências que vale a pena gravar: as curvas solução de uma EDO com campo [lipschitziano](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) *nunca se cruzam*; e a função nula é a única solução que se anula em algum ponto de uma equação linear homogênea.

**Exemplo 16.3 (A unicidade é um teorema: um campo que vaza).**

Considere $y' = 2\sqrt{\abs y}$ com $y(0) = 0$. A função nula a resolve; e também

$$
y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0,
\end{cases}
$$

que é $C^1$ (as duas peças têm derivada $0$ no ponto de colagem) e satisfaz $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ para $t > 0$ — de fato, atrasar a decolagem dá uma solução para *cada* instante de largada $c \geq 0$: infinitas soluções pelos mesmos dados iniciais. Nenhuma contradição com o [Teorema 16.1](#thm-b2-diffeq-cauchylipschitz): perto de $y = 0$,

$$
\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}}
= \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,
$$

o campo não é [lipschitziano](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $y$, e o teorema se cala. Lição final: a leitura física é um balde esvaziando sob gravidade, rodado ao contrário — a partir do estado vazio, não se consegue dizer quando ele começou a encher; o determinismo das EDOs é exatamente a condição [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), não uma lei da natureza.

## 16.2 Sistemas lineares

**Teorema 16.4 (Estrutura dos sistemas lineares).**

Sejam $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ e $B \colon I \to \R^n$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num intervalo $I$. Para todo $(t_0, X_0)$ o problema

$$
X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0
$$

tem exatamente uma solução em *todo* o $I$. As soluções do sistema homogêneo ($B = 0$) formam um espaço vetorial $\mathcal{S}_H$ de dimensão exatamente $n$, e a avaliação $X \mapsto X(t_0)$ é um isomorfismo $\mathcal{S}_H \to \R^n$; solução geral $=$ particular $+$ homogênea.

**Demonstração.** Em todo segmento $J \subseteq I$ que contenha $t_0$: $f(t, X) =
A(t)X + B(t)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $X$ com constante $k
= \sup_J \vertiii{A(t)}$ (finita: [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num segmento): o [Teorema 16.1](#thm-b2-diffeq-cauchylipschitz) se aplica em $J$; fazendo $J$ esgotar $I$, a unicidade cola as soluções numa só em $I$. A linearidade do conjunto solução e da aplicação avaliação é clara; a avaliação é bijetiva por existência (sobrejetiva) e unicidade (injetiva): $\dim \mathcal{S}_H = n$. A estrutura afim é o argumento do primeiro ano, palavra por palavra. ∎

**Exemplo 16.5 (O isomorfismo de avaliação, concretamente).**

Para $y'' + y = 0$, visto como o sistema $X' =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ com $X = (y,
y')$: o teorema diz que o espaço de soluções é um plano e que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ é um isomorfismo sobre $\R^2$. As soluções $\cos$ e $\sin$ avaliam em $(1, 0)$ e $(0, 1)$ — a base canônica de $\R^2$ — de modo que elas formam uma base do espaço de soluções, e *toda* solução é

$$
y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,
$$

com os coeficientes lidos diretamente nos dados iniciais, sem sistema linear a resolver. Lição final: escolher o [sistema fundamental](#def-b2-diffeq-wronskian) cujos valores iniciais são a base canônica (aqui $\cos, \sin$) é exatamente escolher as colunas de $\eu^{tA}$; o isomorfismo de avaliação é a razão pela qual as condições iniciais parametrizam as trajetórias — o conteúdo geométrico de “dinâmica determinística” para equações lineares.

**Definição 16.6 (Wronskiano).**

Para soluções $X_1, \dots, X_n$ do sistema homogêneo, o *wronskiano* é $W(t) = \det\bigl(X_1(t),
\dots, X_n(t)\bigr)$. Pelo isomorfismo acima, ou $W$ se anula identicamente (a família é ligada) ou nunca se anula (um *sistema fundamental*); quantitativamente, $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)
W$, de modo que

$$
W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t}
\operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr)
\quad \text{(fórmula de Liouville)}.
$$

**Exemplo 16.7 (Liouville conferido numa equação de Euler).**

Em $\intoo{0}{\infty}$, a equação $t^2y'' + ty' - y = 0$ tem as soluções $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \frac1t$ (substitua). Seu [wronskiano](#def-b2-diffeq-wronskian):

$$
W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt]
1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix}
= -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,
$$

nunca nulo: um [sistema fundamental](#def-b2-diffeq-wronskian). Confira agora Liouville: na forma normalizada $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$, a matriz companheira $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2}
& -\frac1t\end{pmatrix}$ tem traço $-\frac1t$, logo

$$
W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr)
= -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark
$$

Lição final: Liouville prevê a *forma* do [wronskiano](#def-b2-diffeq-wronskian) antes de qualquer solução ser conhecida — aqui, que $W$ tem de ser $\frac{c}{t}$; é isso que move o método de redução de [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) ([Proposição 16.15](#prop-b2-diffeq-secondorder)), em que conhecer $y_1$ e a forma do [wronskiano](#def-b2-diffeq-wronskian) determina $y_2$ por uma quadratura.

**Demonstração da fórmula de Liouville.** $W(t) = \det M(t)$ com $M' = AM$. Derivando o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) como função multilinear das colunas,

$$
W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n)
= \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .
$$

Ora, a aplicação $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots,
AC_j, \dots, C_n)$ é $n$-linear e alternada (com duas colunas iguais $C_i = C_k$, os termos $j \notin \{i, k\}$ se anulam de saída, e os termos $j = i$ e $j = k$ se cancelam aos pares após uma troca de colunas): pelo teorema de unicidade ([Teorema 2.14](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#thm-b2-linalg-detspace)) ela vale $c \cdot \det$, com $c$ lido nas colunas canônicas: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots,
e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$. Logo $W' =
\operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$: uma EDO linear escalar, resolvida pela fórmula do primeiro ano. ∎

## 16.3 Coeficientes constantes: a exponencial de matriz

**Teorema 16.8.**

Para $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (ou $\C$), a exponencial $\eu^{tA}
= \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ ([Exemplo 5.22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#ex-b2-nvs-matrixexp)) satisfaz: $t \mapsto \eu^{tA}$ é $C^1$ (na verdade $C^\infty$) com

$$
\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A ,
\qquad
\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA},
\qquad
(\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;
$$

e $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ *quando* $AB = BA$. O problema de Cauchy $X' = AX$, $X(0) = X_0$ tem a única solução $X(t) =
\eu^{tA}X_0$; com um termo fonte, vale a fórmula de *variação das constantes*:

$$
X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd
s .
$$

**Demonstração.** *[Diferenciabilidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/15-calculo-diferencial#def-b2-diffcalc-differential):* a série $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ e sua série derivada termo a termo $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum
\frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ convergem [normalmente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-series) em todo segmento ([normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$): derive termo a termo ([Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#thm-b2-funcseq-seriestransfer), com valores vetoriais). As duas [ordens](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) $A\eu^{tA}$ e $\eu^{tA}A$ coincidem, pois toda soma parcial comuta com $A$.

*Lei de grupo:* para $A, B$ que comutam, o [produto de Cauchy](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#thm-b2-series-fubini) das duas séries exponenciais se reorganiza pelo binômio de Newton exatamente como no [Exemplo 7.15](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ex-b2-series-exp) (a convergência absoluta na [álgebra](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-algebra) de Banach o justifica): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$; com $B = sA$ isso dá a lei de grupo a um parâmetro, e $B = -A$ a inversa.

*Problema de Cauchy:* $X(t) = \eu^{tA}X_0$ o resolve (derive); a unicidade pelo [Teorema 16.4](#thm-b2-diffeq-linear). Variação das constantes: ponha $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$; derivando, $Y' = \eu^{-tA}(X' -
AX) = \eu^{-tA}B(t)$; integre de $t_0$ a $t$ e multiplique de volta por $\eu^{tA}$. ∎

**Método 16.9 (Calcular etA\eu^{tA}etA).**

Reduza $A$ ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ch-b2-reduction)): se $A = PDP^{-1}$ é diagonal, $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ com $\eu^{tD}$ diagonal de $\eu^{t\lambda_i}$; em geral use Dunford $A = D + N$ (que comutam): $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ com $\eu^{tN}$ um *polinômio* em $t$ (a nilpotência trunca a série). Os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) complexos se emparelham em blocos rotação vezes exponencial ([Exercício 16.5](#exo-b2-diffeq-5)).

**Observação 16.10 (Armadilhas comuns).**

*(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ sem comutação:* tome $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $B =
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Então $\eu^A = I +
A$, $\eu^B = I + B$ (nilpotência), logo

$$
\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},
\qquad\text{enquanto}\qquad
\eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B)
= \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1
\end{pmatrix},
$$

usando $(A+B)^2 = I$; e $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$. A lei de grupo do [Teorema 16.8](#thm-b2-diffeq-matrixexp) carrega uma hipótese de verdade. *(ii) Intuição não linear em terreno linear:* as soluções de um sistema *linear* com coeficientes [contínuos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) vivem no intervalo inteiro ([Teorema 16.4](#thm-b2-diffeq-linear)) — se uma candidata a solução explode dentro de $I$, ou a equação não era linear ou o cálculo está errado; reciprocamente, para equações não lineares nunca prometa globalidade sem argumento ($y' = y^2$). *(iii) Dividir pela incógnita:* separar variáveis em $y' = y(1-y)$ descarta silenciosamente as soluções constantes $0$ e $1$ — exatamente as que organizam a reta de fase ([Exercício 16.3](#exo-b2-diffeq-3)); liste primeiro as soluções constantes. *(iv) Dados iniciais fixam vetores, não escalares:* uma equação escalar de ordem $n$ precisa de $n$ condições ($y, y', \dots$ em $t_0$); casar apenas $y(t_0)$ deixa uma família a $(n-1)$ parâmetros, fonte clássica de constantes “perdidas”.

**Exemplo 16.11 (Uma exponencial 3×33\times33×3 por Dunford).**

Resolva $X' = AX$ para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 &
0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$. Dunford por blocos: $A = D + N$ com $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ e $N = E_{12}$, que comutam ($N$ vive dentro do bloco de [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2$) e $N^2 =
0$:

$$
\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}
= \begin{pmatrix}
\eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\
0 & \eu^{2t} & 0\\
0 & 0 & \eu^{3t}
\end{pmatrix} .
$$

A solução geral se lê coluna a coluna: $X(t) =
\bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\
\eu^{3t}z_0\bigr)$. Verificações de bom senso: em $t = 0$ a matriz é $I$; seu [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) vale $\eu^{7t} =
\eu^{t\operatorname{tr}A}$, como Liouville exige; e o fator $t$ aparece exatamente onde o [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $2$ é defeituoso. Lição final: polinômios vezes exponenciais não são um chute a decorar — são as séries truncadas $\eu^{tN}$, e seu grau é limitado pelo índice de nilpotência, nunca mais.

**Método 16.12 (Resolver X′=AX+B(t)X' = AX + B(t)X′=AX+B(t), do começo ao fim).**

1. [Espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ ; depois $\eu^{tA}$ pelo [Método 16.9](#met-b2-diffeq-computeexp) (diagonalize; ou Dunford, como no [Exemplo 16.11](#ex-b2-diffeq-dunford3) ; ou um truque polinomial como o do $A^2 = -I$ ).
2. Uma solução particular: a variação das constantes $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ sempre funciona; para $B$ do tipo exponencial vezes polinômio, um palpite da mesma forma (com grau elevado em caso de [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) , [Exercício 16.10](#exo-b2-diffeq-10) ) é mais rápido.
3. Solução geral $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particular; case os dados iniciais *por último* , na fórmula [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) .
4. Verificações de bom senso: $X(t_0)$ correto; o crescimento da parte homogênea casa com as partes reais dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) ( [Exercício 16.8](#exo-b2-diffeq-8) ); e o $\det$ de uma matriz fundamental obedece a Liouville.

**Exemplo 16.13 (Um retrato de fase).**

$X' = AX$ com $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$: $A^2 = -I$, de modo que a série se separa em

$$
\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A
= \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t
\end{pmatrix} :
$$

as trajetórias são círculos percorridos no sentido horário — o oscilador harmônico $x'' + x = 0$ em roupagem de primeira ordem. [Autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\pm\iu$ no eixo imaginário: um *centro*. Mais geralmente, as partes reais dos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ decidem o crescimento ou o decaimento de $\norm{X(t)}$ ([Exercício 16.8](#exo-b2-diffeq-8)).

![Dois retratos de fase lineares. À esquerda: um centro (autovalores ±) — órbitas circulares fechadas do oscilador harmônico. À direita: um nó estável (autovalores -1, -2) — todas as trajetórias caem na origem tangencialmente à direção própria lenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-diffeq/fig-e6a5565f0d22.svg)

![Dois retratos de fase lineares. À esquerda: um centro (autovalores ±) — órbitas circulares fechadas do oscilador harmônico. À direita: um nó estável (autovalores -1, -2) — todas as trajetórias caem na origem tangencialmente à direção própria lenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-diffeq/fig-f41c08dcc309.svg)

*Dois retratos de fase lineares. À esquerda: um *centro* ([autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\pm\iu$) — órbitas circulares fechadas do oscilador harmônico. À direita: um *nó estável* ([autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $-1, -2$) — todas as trajetórias caem na origem tangencialmente à direção própria lenta.*

![O plano traço–determinante para X' = AX em dimensão 2: abaixo do eixo horizontal, selas; entre o eixo e a parábola = 2/4, nós; dentro da parábola, espirais; no semieixo positivo de , centros. O problema de fim de semana demonstra essa classificação e segue uma reta vertical dela — o oscilador amortecido — até a ressonância.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-diffeq/fig-575e5c10d5ba.svg)

*O plano traço–determinante para $X' = AX$ em dimensão $2$: abaixo do eixo horizontal, selas; entre o eixo e a parábola $\delta = \tau^2/4$, nós; dentro da parábola, espirais; no semieixo positivo de $\delta$, centros. O problema de fim de semana demonstra essa classificação e segue uma reta vertical dela — o oscilador amortecido — até a [ressonância](#pb-b2-diffeq-1).*

**Observação 16.14 (Onde isso é usado).**

Os sistemas lineares são o modelo local de tudo o que é não linear: perto de um equilíbrio, um campo de vetores suave se comporta (nos casos hiperbólicos) como sua linearização, cujo retrato o plano traço–determinante classifica. O problema de fim de semana trabalha a história do oscilador por inteiro — amortecimento, forçamento, [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) e os teoremas de comparação de Sturm para coeficientes variáveis — a matemática por trás de amortecedores, circuitos de corrente alternada e lacunas espectrais. O volume do terceiro ano de graduação volta com a teoria qualitativa (fluxos, estabilidade, integrais primeiras) em variedades.

## 16.4 Segunda ordem com coeficientes variáveis

**Proposição 16.15.**

A equação $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ($a, b, c$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $I$) é o sistema $X' = A(t)X + B(t)$ para $X = (y, y')$: as soluções existem e são únicas em todo o $I$ para quaisquer dados iniciais $(y(t_0),
y'(t_0))$; as soluções homogêneas formam um plano. Se uma solução homogênea $y_1$ que não se anula é conhecida, uma segunda independente acha-se por *redução de [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated)*: pôr $y = y_1 z$ transforma a equação homogênea numa equação de primeira ordem para $z'$, resolvida por quadraturas.

**Demonstração.** A forma de sistema e o [Teorema 16.4](#thm-b2-diffeq-linear) dão tudo o que é estrutural. Redução: substituindo $y = y_1z$,

$$
y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' +
by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :
$$

uma equação linear de primeira ordem em $u = z'$, resolúvel pela fórmula do primeiro ano; integrar $u$ dá $z$, logo $y_2 = y_1 z$, independente de $y_1$ sempre que $z$ não é constante. ∎

**Exemplo 16.16.**

$t^2y'' - 2y = 0$ em $\intoo{0}{\infty}$: $y_1 = t^2$ é uma solução. Substitua $y = t^2z$: de $y' = t^2z' + 2tz$ e $y''
= t^2z'' + 4tz' + 2z$,

$$
t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0,
\qquad\text{i.e.}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :
$$

$z' = t^{-4}$ (a menos de constante), $z = -\frac{1}{3t^3}$ e $y_2
= t^2z = -\frac{1}{3t}$. Solução geral: $y = \alpha t^2 +
\frac{\beta}{t}$.

## 16.5 Exercícios

**Exercício 16.1 ★.**

Resolva $X' = AX$, $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$, para $A =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonalize) e $A =
\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

**Solução de Exercício 16.1.**

Primeira matriz: [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1, 2$, [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $(1,0)$ e $(1,1)$. Decomponha $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$: a solução é

$$
X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .
$$

(O vetor inicial é ele próprio um [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen).)

Segunda: $A = 2I + N$, $N = E_{12}$, $N^2 = 0$: $\eu^{tA} =
\eu^{2t}(I + tN)$, logo

$$
X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}
= \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.
$$

**Exercício 16.2 ★.**

Quais problemas de Cauchy têm solução global única em $\R$ pelo [Teorema 16.1](#thm-b2-diffeq-cauchylipschitz)? $y' = \sin(ty)$; $\;y' =
y^2$; $\;y' = \abs y$. Para o último, resolva explicitamente com $y(0) =
0$ e $y(0) = 1$.

**Solução de Exercício 16.2.**

$y' = \sin(ty)$: $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y -
z}$ — [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $y$ uniformemente em todo segmento de tempos: soluções globais únicas em $\R$ (aplique o teorema em cada segmento).

$y' = y^2$: apenas localmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity); sem teorema global e, de fato, $y(0) = 1$ explode em $t = 1$.

$y' = \abs y$: $\abs\cdot$ é $1$-lipschitziana: existência e unicidade globais. Com $y(0) = 0$: $y \equiv 0$ (unicidade!). Com $y(0)
= 1$: $y$ permanece positiva (não pode cruzar a solução nula), logo $y' =
y$: $y = \eu^t$.

**Exercício 16.3 ★.**

Prove que duas soluções maximais distintas de $y' = f(t,y)$ ($f$ [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $y$) nunca assumem o mesmo valor no mesmo instante, e deduza que as soluções de $y' = y(1 - y)$ que começam em $\intoo{0}{1}$ permanecem em $\intoo{0}{1}$ para sempre.

**Solução de Exercício 16.3.**

Se $y(t_1) = z(t_1)$ em algum instante, então $y$ e $z$ resolvem o mesmo problema de Cauchy em $t_1$: a unicidade força $y = z$ em seu intervalo comum — soluções distintas nunca se encontram.

Para $y' = y(1-y)$: as constantes $0$ e $1$ são soluções. Uma solução que começa em $\intoo{0}{1}$ nunca pode atingir $0$ nem $1$ (ela colidiria com uma solução constante): ela permanece em $\intoo{0}{1}$ e portanto é global (limitada: sem explosão — por exemplo, pelo critério do [Exercício 16.9](#exo-b2-diffeq-9), ou porque o campo de vetores é limitado na faixa em que fica presa).

**Exercício 16.4 ★★.**

Calcule $\eu^{tA}$ para $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 &
1\end{pmatrix}$ *(Dunford: $(A - 2I)^2 = 0$)* e resolva $X' =
AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$, $X(0) = 0$, por variação das constantes.

**Solução de Exercício 16.4.**

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$: Dunford com $D = 2I$, $N = A - 2I$:

$$
\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN)
= \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.
$$

Variação das constantes com $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$:

$$
X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s
= \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s)
\end{pmatrix}\dd s
= \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2}
\end{pmatrix},
$$

usando $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s},
0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf
T}$. (Confira: $X(0) = 0$; $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ por derivação.)

**Exercício 16.5 ★★.**

Para $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta &
\alpha\end{pmatrix}$, prove que $\eu^{tA} =
\eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\
\sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — trajetórias em espiral — de duas maneiras: pela série (escreva $A = \alpha I + \beta J$, $J^2 =
-I$) e pela identificação complexa $z' = (\alpha +
\iu\beta)z$.

**Solução de Exercício 16.5.**

*Série:* $A = \alpha I + \beta J$ com $J =
\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $J^2 = -I$; as duas parcelas comutam, de modo que $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$, e a série de $\eu^{\beta t J}$ se separa nas potências pares e ímpares em $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$: a matriz de rotação com escala enunciada.

*Complexo:* identifique $(x, y) \in \R^2$ com $z = x + \iu y$; o sistema $X' = AX$ lê-se $z' = (\alpha + \iu\beta)z$, cuja solução $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ é exatamente a espiral: módulo $\eu^{\alpha t}$, argumento avançando com velocidade $\beta$.

**Exercício 16.6 ★★.**

(Lema de Gronwall) Seja $u$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) não negativa com $u(t)
\leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ em $\intco{t_0}{T}$. Prove que $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ *(derive $v(t) =
\eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$)*. Deduza de novo a unicidade em Cauchy–Lipschitz e a dependência [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $\norm{y(t) -
z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ para duas soluções com dados iniciais diferentes.

**Solução de Exercício 16.6.**

Seja $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$. Então

$$
v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr)
\leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},
$$

pela hipótese. Integrando de $t_0$ a $t$ ($v(t_0) = 0$): $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$, isto é, $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$; reinjetando isso na hipótese: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$.

Unicidade/dependência: duas soluções $y, z$ da equação integral satisfazem

$$
\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} +
k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},
$$

e Gronwall com $C = \norm{y_0 - z_0}$ dá a cota exponencial; $C = 0$ dá a unicidade.

**Exercício 16.7 ★★.**

Sabendo que $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ resolve $ty'' + 2y' + ty =
0$ em $\intoo{0}{\pi}$, ache uma segunda solução independente por redução de [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) e dê a solução geral.

**Solução de Exercício 16.7.**

Substitua $y = y_1 z$ com $y_1 = \frac{\sin t}{t}$: a fórmula geral de redução ([Proposição 16.15](#prop-b2-diffeq-secondorder)) dá, para $u
= z'$,

$$
y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0
$$

(com a equação normalizada como $y'' + \frac2t y' + y = 0$). Calcule $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} +
\frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$: assim

$$
\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t}
= -2\cot t
\quad\Longrightarrow\quad
u = \frac{1}{\sin^2 t}
\quad (\text{a menos de constante}),
$$

e $z = -\cot t$, dando $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$. Solução geral em $\intoo{0}{\pi}$:

$$
y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .
$$

(Essas são as funções esféricas de Bessel de [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) zero.)

**Exercício 16.8 ★★★.**

Seja $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ com todos os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de parte real (estritamente) negativa. Prove que toda solução de $X' = AX$ tende a $0$ quando $t \to +\infty$, com taxa exponencial: $\norm{X(t)}
\leq C\,\eu^{-\alpha t}$ para algum $\alpha > 0$. *(Triangularize; trate o sistema triangular da última linha para cima, ou use Dunford: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ com $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ e $\eu^{tN}$ polinomial em $t$.)*

**Solução de Exercício 16.8.**

Dunford: $A = D + N$ comutando, $D$ [diagonalizável](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-diag) com os mesmos [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen), $N$ nilpotente, de modo que

$$
\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN},
\qquad
\eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!}
\ \text{(um polinômio matricial em } t).
$$

Seja $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$. Numa base que diagonaliza $D$, $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (entradas $\eu^{t\lambda_i}$ de módulo $\eu^{t\Re\lambda_i}$); [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) em bases diferentes diferem por constantes. Logo

$$
\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0}
\leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0}
\leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,
$$

absorvendo o polinômio num fator exponencial ($\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$, logo limitada).

**Exercício 16.9 ★★★.**

(Sem fuga em tempo finito para crescimento linear) Suponha $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ em $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ e localmente [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) em $y$. Usando Gronwall ([Exercício 16.6](#exo-b2-diffeq-6)) na forma integral, prove que as soluções maximais são globais (definidas em todo o $\intco{0}{\infty}$).

**Solução de Exercício 16.9.**

Seja $y$ uma solução maximal em $\intco{0}{T}$, $T \leq \infty$, e suponha $T < \infty$. A forma integral dá, para $t < T$,

$$
\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} +
b\bigr)\dd s
\leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,
$$

e Gronwall majora $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} +
bT)\,\eu^{aT} =: M$ em $\intco{0}{T}$: a solução permanece numa bola [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact). Então $y' = f(t, y)$ é limitada perto de $T$, de modo que $y$ é [lipschitziana](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) perto de $T$ e se estende [continuamente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) a $T$ (critério de Cauchy); resolver o problema de Cauchy em $(T, y(T))$ prolonga $y$ além de $T$, contradizendo a maximalidade. Logo $T = \infty$: sem fuga em tempo finito sob crescimento linear.

**Exercício 16.10 ★.**

Resolva $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$: soluções homogêneas e depois uma solução particular da forma $\alpha t\,\eu^{t}$ *(por que o palpite ingênuo $\alpha\eu^t$ falha?)*; solução geral e a solução com $y(0) = y'(0) = 0$.

**Solução de Exercício 16.10.**

Raízes características de $r^2 - 3r + 2$: $1$ e $2$, de modo que as soluções homogêneas são $a\eu^t + b\eu^{2t}$. O palpite $\alpha\eu^t$ falha porque $\eu^t$ já resolve a equação homogênea (a raiz $r = 1$ “entra em [ressonância](#pb-b2-diffeq-1)” com o membro da direita). Com $y = \alpha t\,\eu^t$: $y' = \alpha(1 +
t)\eu^t$, $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$, e

$$
y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr)
= -\alpha\,\eu^t :
$$

$\alpha = -1$, $y_p = -t\,\eu^t$. Solução geral: $y = a\eu^t
+ b\eu^{2t} - t\eu^t$. Dados iniciais $y(0) = y'(0) = 0$: $a + b
= 0$ e $a + 2b - 1 = 0$: $b = 1$, $a = -1$:

$$
y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .
$$

**Exercício 16.11 ★★.**

Calcule $\eu^{tA}$ para o bloco de Jordan

$$
A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},
$$

e descreva todas as soluções de $X' = AX$: exponenciais vezes vetores polinomiais, com graus até $2$. De onde vem o grau polinomial?

**Solução de Exercício 16.11.**

$A = \lambda I + N$ com $N = E_{12} + E_{23}$: $N^2 = E_{13}$, $N^3 = 0$, e $\lambda I$ comuta com $N$:

$$
\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN +
\frac{t^2}{2}N^2\Bigr)
= \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix}
1 & t & \frac{t^2}{2}\\
0 & 1 & t\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Soluções: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 +
\frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — cada componente é $\eu^{\lambda
t}$ vezes um polinômio de grau $\leq 2$. A cota do grau é o índice de nilpotência menos um: a série de $\eu^{tN}$ trunca em $N^2$.

**Exercício 16.12 ★★★.**

(Forçamento periódico, resposta periódica) Sejam $A \in
\mathcal{M}_n(\R)$ e $B \colon \R \to \R^n$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) e $T$-periódica.

1. Mostre que uma solução de $X' = AX + B(t)$ é $T$ -periódica se e somente se $X(T) = X(0)$ *(compare $X(\cdot + T)$ e $X$)* .
2. Mostre que os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\eu^{TA}$ são os $\eu^{T\lambda}$ , $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ *(triangularize sobre $\C$)* . Deduza: se nenhum [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ está em $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ , então $I - \eu^{TA}$ é invertível.
3. Sob essa hipótese, prove que o sistema tem exatamente uma solução $T$-periódica, com $$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1}  \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$$ A que corresponde o caso excluído, para o oscilador harmônico? (O problema de fim de semana responde: [ressonância](#pb-b2-diffeq-1).)

**Solução de Exercício 16.12.**

1. Se $X(T) = X(0)$ , então $Y(t) = X(t + T)$ resolve $Y' =  AY + B(t + T) = AY + B(t)$ com $Y(0) = X(0)$ : a unicidade ( [Teorema 16.4](#thm-b2-diffeq-linear) ) dá $Y = X$ , isto é, $X$ é $T$ -periódica. A recíproca é trivial.
2. Triangularize sobre $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ com $T'$ triangular superior, de diagonal $(\lambda_i)$ . Toda potência de uma matriz triangular é triangular com diagonal $(\lambda_i^k)$ , logo $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ é triangular na mesma base com diagonal $(\eu^{T\lambda_i})$ : esses são os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) . Então $I - \eu^{TA}$ é invertível se e somente se $\eu^{T\lambda} \neq  1$ para todo [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) , isto é, se e somente se $T\lambda \notin  2\iu\pi\Z$ , que é a hipótese enunciada.
3. Variação das constantes: $X(T) = \eu^{TA}X(0) +  \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$, de modo que $X(T) = X(0)$ se lê $$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) =  \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$$ que tem solução única $X(0)$ sob a hipótese de invertibilidade: exatamente uma solução $T$-periódica. Para o oscilador harmônico ($\lambda =  \pm\iu\omega$), o caso excluído é $\omega T \in  2\pi\Z$: forçamento cujo período é múltiplo do período natural — [ressonância](#pb-b2-diffeq-1), como o problema de fim de semana quantifica.

## 16.6 Problema: oscilações, ressonância e os teoremas de comparação de Sturm

**Problema 16.1.**

Uma equação governa o mundo mecânico e elétrico:

$$
x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t),
\qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .
$$

Este problema a estuda por completo — pela classificação traço–determinante dos sistemas lineares planos, os três regimes de amortecimento, a resposta em regime permanente ao forçamento periódico com seu pico de *ressonância* e a catástrofe de [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) — e depois deixa os coeficientes constantes pelos *teoremas de separação e comparação de Sturm*, que controlam os zeros das soluções de $y'' + q(t)y = 0$ sem fórmula alguma.

**Parte I — O plano traço–determinante.** Sejam $A \in \mathcal M_2(\R)$, $\tau = \operatorname{tr}A$, $\delta
= \det A$, $\Delta = \tau^2 - 4\delta$.

1. Mostre que os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $A$ são $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ e classifique: dois [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais de sinais opostos se e somente se $\delta < 0$ ; [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) reais de mesmo sinal se e somente se $\delta > 0$ , $\Delta  \geq 0$ (sinal de $\tau$ ); par conjugado não real se e somente se $\Delta < 0$ (parte real $\frac\tau2$ ).
2. (Sela, $\delta < 0$ ) Com [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\mu < 0 <  \lambda$ e [autovetores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $v_\pm$ , escreva a solução geral e descreva as trajetórias: duas semirretas estáveis e duas instáveis, e todas as demais órbitas assintóticas a ambas. Por que nenhuma solução além de $0$ pode permanecer limitada em todo o $\R$ ?
3. (Nós, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Para $\mu < \lambda  < 0$ : mostre que toda solução não nula tende a $0$ e que todas as órbitas, exceto as do eixo rápido, chegam *tangentes à direção própria lenta* *(compare $\eu^{\mu t}$ e $\eu^{\lambda t}$)* .
4. (Espirais e centros, $\Delta < 0$ ) Escrevendo os [autovalores](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\alpha \pm \iu\beta$ , use [Exercício 16.5](#exo-b2-diffeq-5) (após uma mudança de base real, admitida nessa generalidade ou demonstrada para os sistemas da Parte II, que são os usados adiante) para descrever as órbitas: espirais convergentes para $\alpha =  \frac\tau2 < 0$ , divergentes para $\tau > 0$ , curvas fechadas (centro) para $\tau = 0$ .
5. (Casos de fronteira) Para um [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) duplo ( $\Delta =  0$ ): mostre que $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ com $N  = A - \lambda I$ nilpotente, e distinga a estrela ( $N = 0$ ) do nó impróprio ( $N \neq 0$ ). Resuma a Parte I no retrato traço–determinante da figura deste capítulo.

**Parte II — O oscilador amortecido.** Agora $F =
0$: $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$, isto é, $X' = AX$ com $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 &
-2\zeta\omega\end{pmatrix}$.

6. Calcule $\tau, \delta, \Delta$ e situe os três regimes no plano traço–determinante: *subamortecido* $0 < \zeta < 1$ (espiral estável), *criticamente amortecido* $\zeta = 1$ ( [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) duplo), *superamortecido* $\zeta > 1$ (nó estável); $\zeta = 0$ é o centro.
7. Resolva os três regimes explicitamente: $$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t  + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d =  \omega\sqrt{1-\zeta^2};  \qquad  \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$$ $\zeta > 1$: duas exponenciais reais. Defina o pseudoperíodo $\frac{2\pi}{\omega_d}$ e mostre que a razão entre máximos sucessivos de $\abs x$ é a constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ (o decremento logarítmico).
8. (O princípio da mola de porta) Para $\zeta \geq 1$ a taxa de decaimento é governada pelo [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) mais lento $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta -  \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . Mostre que $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} =  \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ é função *decrescente* de $\zeta \geq 1$ : o amortecimento crítico $\zeta = 1$ dá o retorno ao repouso mais rápido sem oscilação.
9. (Energia) Seja $E(t) = \frac12x'^2 +  \frac12\omega^2x^2$ . Prove que $E' = -2\zeta\omega\,x'^2  \leq 0$ e deduza que, para $\zeta > 0$ , a equação não tem solução periódica não nula *(um período forçaria $E$ constante, logo $x' \equiv 0$)* .
10. Explique em duas frases por que o centro $\zeta = 0$ é *estruturalmente frágil* : qualquer $\zeta > 0$ , por menor que seja, destrói a periodicidade — e onde isso aparece no plano traço–determinante (a reta dos centros tem interior vazio).

**Parte III — Oscilações forçadas e [ressonância](#pb-b2-diffeq-1).** Agora $F(t) = F\cos(\gamma t)$ com $F, \gamma > 0$.

11. ($\zeta > 0$: o regime permanente) Procure $x_p =  \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$: mostre que $$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 +  2\iu\zeta\omega\gamma},  \qquad  A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 -  \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$$ e escreva $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ com $\tan\varphi =  \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$.
12. Mostre que *toda* solução é $x_p$ mais um transiente da Parte II, que tende a $0$ : quaisquer que sejam os dados iniciais, o sistema se trava no regime permanente — amplitude $A(\gamma)$ , atraso de fase $\varphi$ .
13. (A curva de [ressonância](#pb-b2-diffeq-1)) Maximize $A$: mostre que $A(\gamma)$ tem máximo interior se e somente se $\zeta <  \frac{1}{\sqrt2}$, em $$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2},  \qquad  A(\gamma_*) =  \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$$ e que, para $\zeta$ pequeno, o pico amplifica a resposta estática $A(0) = \frac F{\omega^2}$ pelo fator $\approx \frac{1}{2\zeta}$.
14. ($\zeta = 0$, fora da [ressonância](#pb-b2-diffeq-1)) Para $\gamma \neq \omega$, mostre que a solução com $x(0) = x'(0) = 0$ é $$x(t) = \frac{F}{\omega^2 -  \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr)  = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2}  \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2}  \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$$ limitada, com *batimentos* — uma oscilação rápida sob um envelope lento — quando $\gamma$ está próximo de $\omega$.
15. ( $\zeta = 0$ , [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) ) Para $\gamma = \omega$ , mostre que $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ é solução e recupere-a como limite da questão 14 quando $\gamma \to \omega$ : a amplitude cresce linearmente para sempre — a catástrofe de [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) .
16. (Elo com Fourier) Um forçamento periódico geral se decompõe em harmônicos (o capítulo de Fourier); por linearidade, o regime permanente é a soma das respostas harmônicas. Para um oscilador não amortecido de frequência $\omega = 3$ forçado pela onda quadrada do tipo [Exercício 14.1](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/14-series-de-fourier#exo-b2-fourier-1) (harmônicos em todos os inteiros ímpares), qual harmônico entra em [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) ? Uma frase sobre por que os engenheiros temem ondas quadradas.

**Parte IV — Os teoremas de Sturm.** Considere $y''
+ q(t)\,y = 0$ num intervalo $I$, com $q$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). (Toda equação $y'' + ay' + by = 0$ reduz-se a essa forma normal pela substituição $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$; a questão 21 mostra uma variante do truque em ação.)

17. Para duas soluções $y_1, y_2$ , mostre que o [wronskiano](#def-b2-diffeq-wronskian) $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ é *constante* , nulo se e somente se as soluções são proporcionais; e que uma solução não nula tem apenas zeros *simples e isolados* .
18. (Separação de Sturm) Sejam $y_1, y_2$ soluções independentes e $a < b$ dois zeros consecutivos de $y_1$ . Prove que $y_2$ se anula exatamente uma vez em $\intoo{a}{b}$ *(avalie a constante $W$ em $a$ e $b$: $W = y_1'y_2$ aí, e $y_1'(a)$, $y_1'(b)$ têm sinais opostos)* : os zeros de soluções independentes se intercalam.
19. (Comparação de Sturm) Sejam $q_1 \leq q_2$ em $I$ , $y \neq  0$ com $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ com $z'' + q_2z  = 0$ , e $a < b$ zeros consecutivos de $y$ . Mostre que $z$ se anula em $\intcc{a}{b}$ — estritamente dentro se $q_1 < q_2$ em algum ponto de $\intoo ab$ *(se $z \neq  0$ em $\intoo ab$, estude $(yz' - y'z)' = (q_1 -  q_2)yz$ com sinais fixos para $y, z$ e compare os valores de bordo)* .
20. Deduza as *cotas de espaçamento*: se $0 < m^2 \leq  q(t) \leq M^2$ em $I$, então dois zeros consecutivos $a < b$ de uma solução não nula de $y'' + qy = 0$ satisfazem $$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$$ *(compare com $u'' + M^2u = 0$ e $u'' + m^2u  = 0$, cujos zeros distam $\frac\pi M$ e $\frac\pi m$)*. Confira no oscilador harmônico.
21. Transforme $ty'' + 2y' + ty = 0$ ( [Exercício 16.7](#exo-b2-diffeq-7) ) por $u = ty$ em $u'' + u =  0$ , recupere instantaneamente suas soluções $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ e conclua que os zeros de toda solução não nula distam exatamente $\pi$ : a visão de mundo de Sturm — os zeros são controlados pelo coeficiente $q$ , com fórmula ou sem.

**Parte V — Duhamel e a fronteira da limitação.**

22. (Duhamel para o oscilador) Mostre que, para $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), a solução de $x'' + \omega^2x =  F(t)$ com $x(0) = x'(0) = 0$ é $$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t -  s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$$ e rededuza dela a solução ressonante da questão 15 com $F(s) = F\cos(\omega s)$ *(produto-soma)*.
23. ( $\zeta > 0$ : entrada limitada, saída limitada) Mostre que, para $\zeta > 0$ e *qualquer* $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) limitada, toda solução da equação amortecida é limitada em $\intco{0}{\infty}$ *(variação das constantes mais o decaimento exponencial $\vertiii{\eu^{tA}} \leq  C\eu^{-\alpha t}$ de [Exercício 16.8](#exo-b2-diffeq-8))* .
24. ( $\zeta = 0$ ) Mostre que, sem amortecimento, um forçamento periódico limitado mantém todas as soluções limitadas *exceto* exatamente na [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) ( $\gamma =  \omega$ , questão 15 contra questão 14): o amortecimento é o que transforma a fronteira da limitação em estabilidade uniforme.
25. Síntese. Uma frase para cada: (i) como o plano traço–determinante organiza as Partes I–II e onde o forçamento (Parte III) o deixa; (ii) o significado físico de $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ e do fator $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) o que os teoremas de Sturm dizem que as fórmulas explícitas não conseguem dizer; (iv) quais dois resultados deste problema o resto do livro vai reutilizar em silêncio (os [wronskianos](#def-b2-diffeq-wronskian) de constante de Liouville; a estabilidade com entrada limitada).

**Solução de Problema 16.1.**

**1.** O [polinômio característico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-charpoly) é $\lambda^2 -
\tau\lambda + \delta$, de raízes $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$. Se $\delta < 0$, então $\Delta =
\tau^2 - 4\delta > 0$ e as duas raízes reais têm produto $\delta < 0$: sinais opostos. Se $\delta > 0$ e $\Delta \geq
0$: raízes reais de produto $> 0$ e soma $\tau$: ambas do sinal de $\tau$. Se $\Delta < 0$: par conjugado $\alpha \pm
\iu\beta$ com $\alpha = \frac\tau2$, $\beta =
\frac{\sqrt{-\Delta}}2$.

**2.** $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$. As órbitas com $a = 0$ (resp. $b = 0$) correm ao longo da reta própria instável (resp. estável); todas as demais têm $\norm X \to \infty$ nas duas direções do tempo, assintóticas a $\R v_+$ quando $t \to
+\infty$ e a $\R v_-$ quando $t \to -\infty$: o retrato da sela. A limitação em todo o $\R$ força $b = 0$ (senão há explosão em $+\infty$) e $a = 0$ (em $-\infty$): só a origem.

**3.** Com $\mu < \lambda < 0$, as duas exponenciais decaem: $X(t) \to 0$. Se $b \neq 0$, ponha $\eu^{\lambda t}$ em evidência:

$$
X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu -
\lambda)t}v_\mu\bigr),
\qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :
$$

a direção de $X(t)$ tende a $\R v_\lambda$, a direção própria *lenta* — todas as órbitas exceto as do eixo rápido chegam tangentes a ela (o painel direito dos retratos de fase do capítulo).

**4.** Na base em que $A = \begin{pmatrix} \alpha &
-\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ ([Exercício 16.5](#exo-b2-diffeq-5); para os sistemas do oscilador da Parte II essa forma é atingida por uma mudança de base real explícita), a solução é $\eu^{\alpha t}$ vezes uma rotação de ângulo $\beta
t$: espirais logarítmicas, contraindo quando $\alpha = \frac\tau2
< 0$, expandindo quando $\tau > 0$, e curvas fechadas (elipses nas coordenadas originais) quando $\tau = 0$: o centro.

**5.** $\Delta = 0$ dá o [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) duplo $\lambda =
\frac\tau2$; por Cayley–Hamilton ([Teorema 3.21](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#thm-b2-reduction-cayleyhamilton)), $(A - \lambda I)^2 =
0$, de modo que $N = A - \lambda I$ é nilpotente, comuta com $\lambda I$, e $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$. Se $N =
0$: $A = \lambda I$, e todas as semirretas são órbitas (nó estrela). Se $N
\neq 0$: $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ e, para $NX_0
\neq 0$, a direção converge para a única direção própria $\operatorname{im}N$: nó impróprio. Isso [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) o retrato traço–determinante.

**6.** $\tau = -2\zeta\omega$, $\delta = \omega^2 > 0$, $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$. Assim: $0 < \zeta < 1$ dá $\Delta < 0$, $\tau < 0$: espiral estável; $\zeta = 1$: $\Delta =
0$: nó estável degenerado; $\zeta > 1$: $\Delta > 0$, $\tau <
0$, $\delta > 0$: nó estável; $\zeta = 0$: $\tau = 0$, $\delta > 0$: centro. Uma viagem vertical no plano em $\delta = \omega^2$.

**7.** Raízes $r = -\zeta\omega \pm
\omega\sqrt{\zeta^2-1}$. Para $\zeta < 1$: $r = -\zeta\omega
\pm \iu\omega_d$, $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$:

$$
x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt +
b\sin\omega_dt\bigr)
= R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .
$$

Para $\zeta = 1$: $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$. Para $\zeta >
1$: $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$, com as duas taxas negativas. Os máximos sucessivos de $\abs x$ no caso subamortecido ocorrem em instantes separados pelo pseudoperíodo $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (mesma fase do cosseno), e sua razão é $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} =
\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$: o decremento logarítmico, um medidor de amortecimento legível num osciloscópio.

**8.** Racionalizando,

$$
\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta -
\sqrt{\zeta^2-1}\bigr)
= \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,
$$

cujo denominador cresce com $\zeta \geq 1$: a taxa de decaimento é máxima em $\zeta = 1$, onde vale $\omega$. Uma porta superamortecida fecha sem bater, mas *devagar*; o amortecimento crítico é o ótimo do engenheiro.

**9.** $E' = x'x'' + \omega^2xx' =
x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' =
-2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$. Se $x$ fosse periódica e não constante, $E$ seria periódica e não crescente, logo constante, forçando $x' \equiv 0$: $x$ constante, e então $\omega^2x = 0$: $x \equiv 0$. Assim, para $\zeta > 0$, a única solução periódica é o repouso: o amortecimento mata todo [ciclo](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-sn).

**10.** O centro $\zeta = 0$ mora na reta $\tau =
0$ do plano traço–determinante — um conjunto de interior vazio: uma perturbação arbitrariamente pequena da matriz (qualquer amortecimento físico) tira $\tau$ do zero e transforma as órbitas fechadas em espirais. A periodicidade do oscilador não amortecido é, portanto, um fenômeno de fio de navalha, não robusto.

**11.** Substituindo $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ na equação:

$$
\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma +
\omega^2\bigr)z = F
\quad\Longrightarrow\quad
z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},
$$

logo $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ com $\varphi =
\arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$, isto é, $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 -
\gamma^2}$, e o $A(\gamma) = \abs z$ enunciado.

**12.** A diferença de duas soluções resolve a equação homogênea, que para $\zeta > 0$ decai a $0$ (questão 7): toda solução é $x_p$ mais um transiente que se anula no infinito. O regime permanente é um atrator global: as condições iniciais são esquecidas, restam apenas $A(\gamma)$ e o atraso de fase $\varphi$.

**13.** Minimize $g(u) = (\omega^2 - u)^2 +
4\zeta^2\omega^2u$ em $u = \gamma^2 \geq 0$: $g'(u) =
-2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ em $u = \omega^2(1 -
2\zeta^2)$, interior se e somente se $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$. Aí

$$
g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2)
= 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2),
\qquad
A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .
$$

Contra a resposta estática $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$: amplificação $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx
\frac{1}{2\zeta}$ para $\zeta$ pequeno — um sistema pouco amortecido perto de $\gamma_* \approx \omega$ multiplica a entrada cem vezes quando $\zeta = 0.005$.

**14.** O $x$ enunciado satisfaz $x(0) = x'(0) = 0$ e

$$
x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 -
\gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t
$$

(as partes $\cos\omega t$ se cancelam). A forma de produto decorre de $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ com $p = \gamma t$, $q = \omega t$. Para $\gamma$ próximo de $\omega$, o fator $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ é um envelope lento que modula a oscilação rápida $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$: batimentos, de amplitude $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — grande, mas limitada.

**15.** Para $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$:

$$
x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t -
\omega^2t\sin\omega t\bigr)
= F\cos\omega t - \omega^2x_p :
$$

é solução. E, com $t$ fixo, fazendo $\gamma \to \omega$ na questão 14:

$$
\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2
\sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}}
{(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)}
\longrightarrow
\frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma)
\cdot\sin\omega t}{2\omega}
= \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .
$$

A amplitude cresce linearmente sem limite: a catástrofe de [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) — a razão pela qual soldados quebram o passo em pontes.

**16.** A onda quadrada carrega harmônicos em toda frequência ímpar $n = 1, 3, 5, \dots$; por linearidade, cada harmônico $n$ é amplificado pela resposta do oscilador em $\gamma = n$. Para $\omega = 3$, o terceiro harmônico atinge a [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) exatamente. Os engenheiros temem entradas quadradas (e dente de serra) porque elas excitam *todos* os harmônicos ímpares de uma vez: qualquer que seja a frequência natural da estrutura, algum harmônico está à espera dela.

**17.** $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 =
0$: $W$ é constante (Liouville com uma matriz companheira de traço nulo). $W = 0$ num ponto torna os dados iniciais de $y_2$ proporcionais aos de $y_1$, logo $y_2$ proporcional a $y_1$ (unicidade); $W \neq 0$ se e somente se independentes. Se $y(t_0) =
y'(t_0) = 0$, então $y \equiv 0$ (unicidade): uma solução não nula tem zeros simples, e um zero simples é isolado ($y'$ de sinal fixo por perto).

**18.** Entre zeros consecutivos $a < b$, $y_1$ mantém um sinal, digamos $y_1 > 0$ em $\intoo ab$: então $y_1'(a) > 0$ e $y_1'(b) < 0$ (zeros simples). Avaliando a constante $W =
y_1y_2' - y_1'y_2$ em $a$ e $b$:

$$
W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,
$$

de modo que $y_2(a)$ e $y_2(b)$ têm sinais opostos ($W \neq 0$ proíbe que qualquer um se anule): $y_2$ se anula em $\intoo ab$ (valores intermediários). Ela não pode se anular duas vezes ali: dois zeros de $y_2$ ladeariam um zero de $y_1$ pelo mesmo argumento com os papéis trocados, contradizendo o fato de serem consecutivos: exatamente um zero — intercalação.

**19.** Suponha que $z$ não tenha zero em $\intoo ab$; substituindo $y, z$ por seus opostos, suponha $y > 0$ e $z > 0$ em $\intoo ab$. Ponha $\varphi = yz' - y'z$: $\varphi' = yz'' -
y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ em $\intoo ab$: $\varphi$ é não crescente. Mas $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (pois $y'(a) > 0$, $z(a) \geq 0$) e $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq
0$ (pois $y'(b) < 0$, $z(b) \geq 0$): uma função não crescente que vai de $\leq 0$ a $\geq 0$ anula-se identicamente, logo $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ em $\intoo ab$. Se $q_1 < q_2$ em algum ponto de $\intoo ab$, isso é absurdo ($y, z > 0$ ali): $z$ tem de se anular estritamente dentro. Em geral ($q_1 \leq q_2$), ou $z$ se anula em $\intoo ab$, ou $\varphi \equiv 0$ força $z$ proporcional a $y$, que se anula em $a$ e $b$: em todos os casos $z$ tem zero em $\intcc ab$.

**20.** Cota superior: compare $y$ (coeficiente $q \geq
m^2$) com $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coeficiente $m^2 \leq q$, de modo que $y$ faz o papel de $z$ na questão 19): se $y$ não tivesse zero em $\intoc{a}{a + \pi/m}$, os zeros $a$ e $a +
\frac\pi m$ de $u$ seriam consecutivos com $y \neq 0$ entre eles, contradizendo a questão 19: os zeros consecutivos de $y$ estão a distância $\leq \frac\pi m$. Cota inferior: se dois zeros consecutivos $a < b$ de $y$ tivessem $b - a < \frac\pi M$, então $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coeficiente $M^2 \geq q$) teria de se anular em $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M}
\cup\{a\}$, onde seu único zero é o próprio $a$ — mas a questão 19 aplicada em $\intoo{a}{b}$ com estrita nas extremidades dá um zero em $\intcc ab$, e $z > 0$ em $\intoc ab$: contradição. Logo $\frac\pi M \leq b - a \leq
\frac\pi m$; para $q \equiv \omega^2$ as duas cotas colapsam no espaçamento exato $\frac\pi\omega$ do oscilador harmônico.

**21.** Com $u = ty$: $u'' = ty'' + 2y'$, logo $ty'' + 2y'
+ ty = u'' + u = 0$: $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t +
\varphi)$, e $y = \frac{u}{t}$ recupera $\frac{\sin t}t$ e $\frac{\cos t}t$ ([Exercício 16.7](#exo-b2-diffeq-7)) sem redução de [ordem](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated). Os zeros de qualquer solução não nula são os de $R\sin(t + \varphi)$: espaçados exatamente de $\pi$ — a filosofia de Sturm em ação: o coeficiente $q \equiv 1$ dita os zeros, com fórmula ou sem.

**22.** Ponha $x(t) =
\frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$. Então $x(0) =
0$;

$$
x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) +
\int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s
= \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,
$$

logo $x'(0) = 0$; e $x''(t) = F(t) -
\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (derivação de uma [integral com parâmetro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/9-integracao#thm-b2-integration-continuity) de limite variável, como no capítulo de integração). Com $F(s) = F\cos\omega s$, produto-soma dá

$$
\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s
= \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t -
2\omega s)\bigr)\dd s
= \frac{t}{2}\sin\omega t ,
$$

(a segunda peça integra zero), logo $x =
\frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$: a questão 15 de novo, agora por Duhamel.

**23.** Na forma de sistema $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ com $\operatorname{Sp}A$ de partes reais negativas ($\zeta >
0$): a variação das constantes e [Exercício 16.8](#exo-b2-diffeq-8) ($\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$) dão

$$
\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0}
+ \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s
\leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :
$$

entrada limitada, saída limitada — [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def) nos dados iniciais após o transiente.

**24.** Para $\zeta = 0$ e $\gamma \neq \omega$, a solução da questão 14 é limitada, e somar qualquer solução homogênea (limitada: as órbitas do centro são círculos) a mantém limitada; em $\gamma = \omega$, a questão 15 cresce linearmente. Assim, para o oscilador não amortecido, a limitação sob forçamento periódico falha em exatamente uma frequência — a [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) — enquanto a questão 23 mostra que qualquer amortecimento positivo restaura a limitação para *todas* as entradas limitadas.

**25.** (i) O plano traço–determinante classifica toda dinâmica linear plana autônoma, e o oscilador da Parte II percorre uma reta vertical dele; o forçamento deixa o plano (não autônomo), e Duhamel assume. (ii) $\gamma_*$ é a frequência que o sistema prefere, $A(\gamma_*)$ o preço de excitá-la, e $\frac{1}{2\zeta}$ o fator de amplificação — a agudeza da [ressonância](#pb-b2-diffeq-1) que os engenheiros chamam de fator de qualidade. (iii) Os teoremas de Sturm leem a oscilação a partir do sinal e do tamanho de $q$ apenas: eles governam equações (Bessel, Schrödinger) cujas soluções não têm fórmulas elementares. (iv) Os [wronskianos](#def-b2-diffeq-wronskian) constantes (questão 17, via Liouville) e a estabilidade com entrada limitada (questão 23) são reutilizados em silêncio sempre que o livro encontra equações de coeficientes variáveis ou sistemas perturbados.