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title: "Espaços afins"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 17
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins
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# Capítulo 17 — Espaços afins

Os espaços vetoriais têm um ponto privilegiado — a origem — que a geometria não quer. Um *[espaço afim](#def-b2-affine-def)* é um espaço vetorial que esqueceu sua origem: pontos e vetores tornam-se espécies diferentes, relacionadas por translação. Este capítulo curto constrói o dicionário (pontos, [baricentros](#def-b2-affine-barycenter), subespaços e [aplicações afins](#def-b2-affine-subspace)), a visão [afim](#def-b2-affine-subspace) da convexidade e as ferramentas de classificação usadas nos capítulos de geometria adiante.

## 17.1 Pontos e vetores

**Definição 17.1.**

Um *espaço afim* dirigido por um espaço vetorial real $E$ é um conjunto não vazio $\mathcal{E}$ munido de uma aplicação $(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E$ satisfazendo

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}
\quad \text{(Chasles)},
\qquad
\text{para cada } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ é uma bijeção }
\mathcal{E} \to E .
$$

Escreve-se $B = A + u$ para o único ponto com $\vect{AB} = u$. A *dimensão* de $\mathcal{E}$ é $\dim E$. Todo espaço vetorial é um espaço [afim](#def-b2-affine-subspace) sobre si mesmo ($\vect{AB} = B - A$); toda escolha de origem $O \in \mathcal{E}$ identifica $\mathcal{E}$ com $E$ via $M \mapsto \vect{OM}$.

**Exemplo 17.2 (Um espaço afim sem origem natural).**

O plano solução $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y
+ z = 1\}$ não é um subespaço vetorial ($0 \notin \mathcal E$), mas é um [espaço afim](#def-b2-affine-def) dirigido por $E = \{x + y + z =
0\}$: para $A, B \in \mathcal E$ a diferença $\vect{AB} = B
- A$ cai em $E$ (as somas se cancelam), Chasles é herdado de $\R^3$, e $B \mapsto \vect{AB}$ é bijetiva sobre $E$. Nenhum ponto de $\mathcal E$ é distinguido — qualquer escolha de “origem” $O \in \mathcal E$ funciona igualmente bem, e todas as identificações $M \mapsto \vect{OM}$ diferem por translações. Essa é a situação típica: os conjuntos solução de problemas lineares não homogêneos (sistemas lineares, equações diferenciais lineares no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq)) são [afins](#def-b2-affine-subspace), nunca lineares, e o lema “solução particular mais núcleo” é exatamente o enunciado $\mathcal F = A + F$ da definição seguinte.

**Definição 17.3 (Baricentro).**

Sejam $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ pontos ponderados com $\sum\lambda_i \neq 0$. O *baricentro* $G
= \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ é o único ponto com

$$
\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0
\qquad\text{equivalentemente}\qquad
\vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i}
\quad (\text{quaisquer } O).
$$

Os baricentros são *associativos* (subgrupos de pontos podem ser substituídos por seu baricentro parcial com o peso somado) e invariantes por reescalamento de todos os pesos.

**Demonstração da existência e das fórmulas.** Fixe $O$ e escreva $s = \sum_i\lambda_i \neq 0$. Por Chasles,

$$
\sum_i\lambda_i\,\vect{GA_i} = 0
\iff \sum_i\lambda_i\bigl(\vect{GO} + \vect{OA_i}\bigr) = 0
\iff s\,\vect{OG} = \sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i},
$$

o que determina $G = O + \frac1s\sum_i\lambda_i\vect{OA_i}$ univocamente. *Independência de $O$:* para outra origem $O'$,

$$
\frac1s\sum_i\lambda_i\,\vect{O'A_i}
= \frac1s\sum_i\lambda_i\bigl(\vect{O'O} + \vect{OA_i}\bigr)
= \vect{O'O} + \frac1s\sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i}
= \vect{O'G} :
$$

o mesmo ponto $G$. *Associatividade:* separe o conjunto de índices como $I \sqcup J$ com $s_I = \sum_{i\in I}\lambda_i \neq 0$, e seja $G_I$ o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(A_i, \lambda_i)_{i\in
I}$, de modo que $\sum_{i\in I}\lambda_i\vect{OA_i} =
s_I\,\vect{OG_I}$. Então

$$
s\,\vect{OG}
= \sum_{i\in I}\lambda_i\vect{OA_i} +
\sum_{j\in J}\lambda_j\vect{OA_j}
= s_I\,\vect{OG_I} + \sum_{j\in J}\lambda_j\vect{OA_j} :
$$

$G$ é o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(G_I, s_I)$ junto com $(A_j,
\lambda_j)_{j\in J}$, como afirmado. *Reescalamento:* substituir cada $\lambda_i$ por $t\lambda_i$ ($t \neq 0$) multiplica $s$ e a soma ponderada por $t$, deixando $\vect{OG}$ inalterado. ∎

**Observação 17.4 (Armadilhas comuns).**

Duas armadilhas cercam a definição. Primeiro, se os pesos somam *zero*, não há [baricentro](#def-b2-affine-barycenter): a aplicação $O \mapsto
\sum\lambda_i\vect{OA_i}$ é então independente de $O$ e define um *vetor*, não um ponto — por exemplo, $(A, -1;\ B, 1)$ codifica $\vect{AB}$. Acompanhar qual dos dois objetos um cálculo produz é metade da higiene baricêntrica. Segundo, os pesos só fazem sentido a menos de um fator comum não nulo; fórmulas como “as coordenadas de $G$ são $\lambda_1, \dots, \lambda_k$” pressupõem uma normalização (em geral $\sum\lambda_i = 1$), e esquecer de normalizar é a fonte padrão de razões erradas numa figura.

**Definição 17.5 (Subespaços afins; aplicações afins).**

Um *subespaço afim* é um conjunto $\mathcal{F} = A + F = \{A + u :
u \in F\}$ com $F$ um subespaço vetorial (sua *direção*); equivalentemente, um conjunto não vazio estável por [baricentros](#def-b2-affine-barycenter). Os subespaços afins de $\R^n$ são exatamente os conjuntos solução de sistemas lineares $MX = B$ (primeiro ano: solução particular mais núcleo). Uma aplicação $f \colon
\mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ é *afim* quando preserva [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) — equivalentemente, quando

$$
f(A + u) = f(A) + \varphi(u)
$$

para uma (única) aplicação linear $\varphi = \vec f$, a *parte linear*. Aplicações afins de $\R^n$: $X \mapsto MX + C$. As composições são afins com partes lineares compostas; $f$ é bijetiva se e somente se $\vec f$ o é.

**Demonstração da equivalência para aplicações.** Se $f(A + u) = f(A) + \varphi(u)$: para um [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) $G$ de $(A_i,
\lambda_i)$, desenvolvendo todos os pontos a partir de $A$, $f(G) = f(A) +
\varphi(\vect{AG})$ e $\varphi(\vect{AG}) =
\frac{\sum\lambda_i\varphi(\vect{AA_i})}{\sum\lambda_i}$: $f(G)$ é o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) das imagens. Reciprocamente, fixe $A$ e defina $\varphi(u) = \vect{f(A)\,f(A + u)}$. *Homogeneidade:* $A + tu =
\operatorname{bar}\bigl(A, 1-t;\ A + u, t\bigr)$ para todo real $t$, de modo que a preservação de [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) (com pesos reais arbitrários, como hipotetizado) dá $\varphi(tu) = t\,\varphi(u)$ diretamente. *Aditividade:* $A + u + v = \operatorname{bar}\bigl(A + 2u,
\tfrac12;\ A + 2v, \tfrac12\bigr)$, logo $\varphi(u + v) =
\tfrac12\varphi(2u) + \tfrac12\varphi(2v) = \varphi(u) +
\varphi(v)$, usando a homogeneidade. Portanto $\varphi$ é linear. ∎

**Observação 17.6.**

A demonstração usou [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) com pesos *reais arbitrários*: o passo de homogeneidade leva $t$ para fora de $\intcc01$. Se apenas se supõe que uma aplicação preserva [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) com pesos não negativos — equivalentemente, pontos médios e segmentos — a linearidade da aplicação vetorial deixa de ser gratuita: obtém-se apenas $\Q$-linearidade, e é preciso uma hipótese de [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) para concluir, exatamente como no [Exercício 17.5](#exo-b2-affine-5). Distinguir “preserva todos os [baricentros](#def-b2-affine-barycenter)” de “preserva combinações [convexas](#def-b2-affine-convex)” é uma sutileza pequena mas real do vocabulário [afim](#def-b2-affine-subspace).

**Exemplo 17.7 (Geometria baricêntrica clássica).**

O centroide de um triângulo $ABC$ é o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) $G =
\operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$. A associatividade com o ponto médio $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ mostra que

$$
G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :
$$

$G$ está na mediana $AA'$ a dois terços dela — e o mesmo para as outras duas medianas: as três medianas são concorrentes, em uma linha de cálculo baricêntrico.

**Exemplo 17.8 (As bimedianas de um quadrilátero).**

Seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer (plano ou não!) e considere suas *bimedianas*: os segmentos que unem os pontos médios de lados opostos, $M_{AB}M_{CD}$ e $M_{BC}M_{DA}$. Introduza o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) $G$ de $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ e agrupe os pesos de duas maneiras:

$$
G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr)
= \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :
$$

$G$ é o ponto médio de *ambas* as bimedianas — de modo que as duas bimedianas sempre se bissectam, e o quadrilátero dos quatro pontos médios é um paralelogramo (suas diagonais são as bimedianas). Sem análise de casos, sem coordenadas, e o argumento sobrevive intacto para um quadrilátero reverso em $\R^3$, em que uma demonstração baseada em figura já seria delicada: a associatividade não se importa com a dimensão.

**Exemplo 17.9 (Classificar uma aplicação afim, do começo ao fim).**

Seja $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ em $\R^2$. Sua parte linear é $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$, cujo [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{2, 3\}$ evita $1$: pelo critério de ponto fixo demonstrado adiante ([Proposição 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint)), $f$ tem exatamente um ponto fixo, achado resolvendo

$$
x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4
\qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).
$$

Recentrando em $\Omega$ (ponha $x = 1 + u$, $y = 2 + v$):

$$
f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :
$$

no referencial em $\Omega$, $f$ *é* sua parte linear, uma dilatação anisotrópica que estica por $2$ na horizontal e por $3$ na vertical a partir do centro $(1, 2)$. A lição geral: uma [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) é “aplicação linear mais dado de posição”, e o dado de posição colapsa numa única origem bem escolhida sempre que $1$ não é [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen). Reciprocamente, transladar mal a origem *cria* os termos constantes: a geometria [afim](#def-b2-affine-subspace) é a arte de escolher onde pôr $0$.

**Observação 17.10 (Método: concorrência e alinhamento por baricentros).**

O [Exemplo 17.7](#ex-b2-affine-median) é um caso de uma receita geral. Para provar que três cevianas de um triângulo são concorrentes, exiba um *único* sistema ponderado $(A,
\alpha; B, \beta; C, \gamma)$ e use a associatividade de três maneiras: agrupar $(B, C)$ mostra que o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) está na ceviana que sai de $A$, agrupar $(C, A)$ que está na ceviana que sai de $B$, agrupar $(A, B)$ que está na terceira. Para as medianas, o sistema $(A, 1; B, 1; C, 1)$ faz todo o trabalho; para cevianas que cortam os lados em razões prescritas, os pesos são lidos nas razões. Para provar que três pontos são *alinhados*, escreva um como [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) dos outros dois ([Exercício 17.2](#exo-b2-affine-2)), ou use o critério do [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) do [Exercício 17.11](#exo-b2-affine-11). As duas receitas substituem a engenhosidade geométrica pela contabilidade de pesos — é precisamente para isso que serve o cálculo baricêntrico.

## 17.2 Convexidade, afinamente

**Definição 17.11.**

Uma parte $C$ de um [espaço afim](#def-b2-affine-def) é *convexa* quando contém todo [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) com pesos *não negativos* de seus pontos — equivalentemente, todo segmento $\intcc{A}{B} = \{\operatorname{bar}(A,
1-t; B, t) : t \in \intcc{0}{1}\}$ entre seus pontos. A *envoltória convexa* $\operatorname{conv}(S)$ é o conjunto de todos os [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) com pesos não negativos de pontos de $S$ — o menor convexo que contém $S$.

**Exemplo 17.12 (Os epígrafos são conjuntos convexos).**

A região $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ acima da parábola é [convexa](#def-b2-affine-convex): para $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ e $t \in
\intcc01$, a desigualdade de convexidade da função quadrado dá

$$
\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2
\leq (1-t)y_1 + ty_2 ,
$$

de modo que o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) permanece acima da parábola. O cálculo é geral: $\{y \geq f(x)\}$ é [convexo](#def-b2-affine-convex) exatamente quando $f$ é uma função [convexa](#def-b2-affine-convex) — os *conjuntos* [convexos](#def-b2-affine-convex) e as *funções* [convexas](#def-b2-affine-convex) ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/8-funcoes-de-uma-variavel-real#ch-b2-realfun)) são duas faces de uma só noção, sendo os epígrafos o dicionário. Essa é a razão geométrica pela qual existem retas de suporte para funções [convexas](#def-b2-affine-convex), fato que demonstrará a desigualdade de Jensen no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar).

**Exemplo 17.13 (Geradores redundantes de uma envoltória convexa).**

Seja $S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}$. O quinto ponto é o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter)

$$
(1,1) = \operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (2,2),
\tfrac12\bigr),
$$

de modo que ele já está na envoltória dos outros quatro: $\operatorname{conv}(S)$ é o quadrado com os quatro cantos como vértices. Em geral, um ponto de $S$ que é um [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de pesos não negativos dos *outros* pontos de $S$ pode ser apagado sem mudar a envoltória; os pontos que nunca podem ser apagados (aqui os quatro cantos) são os *pontos extremos* da envoltória. Determiná-los é um puro cálculo de [baricentros](#def-b2-affine-barycenter): $(2,0)$, digamos, não pode ser escrito como $\operatorname{bar}$ dos pontos restantes com pesos não negativos, porque a primeira coordenada forçaria todo o peso sobre pontos com $x = 2$, e a segunda coordenada então falha. As questões de convexidade se reduzem, vez após vez, a resolver pequenos sistemas ponderados.

**Teorema 17.14 (Carathéodory).**

Num [espaço afim](#def-b2-affine-def) de dimensão $n$, todo ponto de $\operatorname{conv}(S)$ é [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de no máximo $n + 1$ pontos de $S$.

**Demonstração.** Seja $G = \operatorname{bar}(A_0, \lambda_0; \dots; A_k, \lambda_k)$ com $\lambda_i > 0$, $\sum\lambda_i = 1$ e $k + 1 > n + 1$ pontos. Os $k$ vetores $\vect{A_0A_i}$ ($i \geq 1$) são ligados ($k > n$): $\sum_{i\geq1}\mu_i \vect{A_0A_i} = 0$ não trivialmente; pondo $\mu_0 = -\sum_{i\geq1}\mu_i$, obtemos pesos $(\mu_i)$ com $\sum\mu_i = 0$, $\sum \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ (qualquer $O$), não todos nulos. Então, para todo real $t$, os pesos $\lambda_i - t\mu_i$ ainda somam $1$ e, como $\sum_i\mu_i\vect{OA_i} = 0$,

$$
\sum_i(\lambda_i - t\mu_i)\,\vect{OA_i}
= \sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i} :
$$

eles produzem o *mesmo* ponto $G$. Deslize agora $t$ a partir de $0$: algum $\mu_i$ é positivo (eles somam zero e não são todos nulos), de modo que

$$
t^* = \min\Bigl\{\frac{\lambda_i}{\mu_i} : \mu_i > 0\Bigr\}
$$

está bem definido e é positivo. Em $t = t^*$: para os índices com $\mu_i > 0$, $\lambda_i - t^*\mu_i \geq 0$ pela minimalidade, com igualdade num índice minimizante; para os índices com $\mu_i
\leq 0$, $\lambda_i - t^*\mu_i \geq \lambda_i > 0$. Todos os pesos permanecem não negativos e ao menos um morreu: $G$ é reescrito como [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de menos pontos. Itere enquanto restarem mais de $n + 1$ pontos. ∎

**Exemplo 17.15.**

No plano ($n = 2$): todo ponto da [envoltória convexa](#def-b2-affine-convex) de um conjunto finito está num triângulo com vértices no conjunto — o conteúdo geométrico de Carathéodory, usado tanto em otimização quanto em probabilidade (misturas).

**Exemplo 17.16 (Rodando o algoritmo de Carathéodory).**

Escreva o centro do quadrado do [Exemplo 17.13](#ex-b2-affine-squarehull) com seus quatro cantos $A_1 =
(0,0)$, $A_2 = (2,0)$, $A_3 = (2,2)$, $A_4 = (0,2)$:

$$
(1,1) = \operatorname{bar}\bigl(A_1, \tfrac14;\ A_2,
\tfrac14;\ A_3, \tfrac14;\ A_4, \tfrac14\bigr),
$$

quatro pontos em dimensão $2$ — um a mais do que o necessário. A receita da demonstração pede pesos $(\mu_i)$ com $\sum\mu_i = 0$ e $\sum\mu_i\vect{OA_i} = 0$: aqui $\mu = (1, -1, 1, -1)$ funciona (as duas diagonais compartilham o ponto médio). Deslizar $\lambda_i
\mapsto \lambda_i - t\mu_i$ mantém o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) fixo para todo $t$; o valor admissível extremo $t = \frac14$ torna os pesos $(0, \tfrac12, 0, \tfrac12)$, matando $A_1$ e $A_3$ simultaneamente:

$$
(1,1) = \operatorname{bar}\bigl(A_2, \tfrac12;\ A_4,
\tfrac12\bigr),
$$

uma representação por dois pontos — melhor ainda que os três garantidos pelo teorema, porque o centro por acaso está num segmento entre geradores. O algoritmo é inteiramente mecânico: ache uma dependência, deslize até um peso morrer, repita.

## 17.3 Ferramentas de classificação afim

**Proposição 17.17 (Pontos fixos de aplicações afins).**

Seja $f$ um endomorfismo [afim](#def-b2-affine-subspace) de um [espaço afim](#def-b2-affine-def) de dimensão finita, com parte linear $\varphi$. Se $1 \notin
\operatorname{Sp}(\varphi)$, então $f$ tem exatamente um ponto fixo $\Omega$ e, na vetorialização em $\Omega$, $f$ *é* sua parte linear. (As translações, com $\varphi = \mathrm{id}$ e sem ponto fixo, são a obstrução básica.)

**Demonstração.** Fixe $O$ e escreva $f(O + x) = f(O) + \varphi(x)$. O ponto $O + x$ é fixo se e somente se $O + x = f(O) + \varphi(x)$, isto é,

$$
(\mathrm{id} - \varphi)(x) = \vect{O f(O)} .
$$

Em dimensão finita, $\mathrm{id} - \varphi$ é invertível se e somente se $0$ não é [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de $\mathrm{id} - \varphi$, se e somente se $1 \notin \operatorname{Sp}\varphi$ — e, nesse caso, a equação exibida tem exatamente uma solução $x^*$, dando o ponto fixo único $\Omega = O + x^*$. Recentramento: para qualquer vetor $u$,

$$
f(\Omega + u) = f(\Omega) + \varphi(u) = \Omega + \varphi(u),
$$

de modo que, no referencial de origem $\Omega$, a aplicação se lê $u \mapsto
\varphi(u)$: puramente linear. Quando $1 \in
\operatorname{Sp}\varphi$, ou não existe ponto fixo (a equação exibida pode ser insolúvel, como para uma translação), ou existe todo um subespaço [afim](#def-b2-affine-subspace) deles (some qualquer [autovetor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) de [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$ a uma solução): a unicidade é exatamente a condição espectral. ∎

**Exemplo 17.18 (Isometrias do plano, completadas).**

Uma isometria [afim](#def-b2-affine-subspace) do plano euclidiano tem parte linear em $O(2)$: uma rotação $R_\theta$ ou uma reflexão (volume do primeiro ano de graduação). Se $\theta \neq 0$: $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$, de modo que a aplicação é uma *rotação em torno de um centro único* ([Proposição 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint)). Se a parte linear é uma reflexão: ou uma reflexão num eixo (há pontos fixos) ou uma *reflexão deslizante* (reflexão composta com uma translação ao longo do eixo, sem ponto fixo). Com as translações, essa é a classificação [completa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) das isometrias do plano.

**Observação 17.19 (As isometrias do plano, num relance).**

Reunindo os casos: identidade; translações ($\vec f =
\mathrm{id}$, sem ponto fixo salvo a trivial); rotações (parte linear $R_\theta$, $\theta \neq 0$: um centro); reflexões (parte linear uma reflexão, uma reta de pontos fixos); reflexões deslizantes (mesma parte linear, sem ponto fixo). Quatro famílias mais a identidade, cada uma reconhecida por apenas dois dados: a parte linear e o conjunto de pontos fixos — o padrão da [Proposição 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) tornado exaustivo.

**Exemplo 17.20 (Uma reflexão deslizante, pega em flagrante).**

Seja $f(x, y) = (y + 1,\ x + 1)$. A parte linear $(x, y)
\mapsto (y, x)$ é a reflexão na diagonal $y = x$, logo $1 \in \operatorname{Sp}\vec f$ e a [Proposição 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) se cala. Pontos fixos exigiriam $x = y + 1$ e $y = x + 1$ simultaneamente: impossível — não existem, de modo que $f$ não é uma reflexão. Elevar ao quadrado resolve a classificação:

$$
f\bigl(f(x, y)\bigr) = f(y + 1,\ x + 1) = (x + 2,\ y + 2),
$$

a translação por $(2, 2)$: $f$ é a *reflexão deslizante* de eixo a reta $y = x$ (deslocada adequadamente: o ponto médio de $M$ e $f(M)$ está sempre em $y = x + {}$constante, aqui $y = x$, como se verifica em $M = (0,
0) \mapsto (1,1)$) e vetor de deslizamento $(1, 1)$, metade de $f
\circ f$. Compare com o [Exercício 17.6](#exo-b2-affine-6), em que a mesma parte linear mas uma constante diferente produziu uma reflexão honesta: com o [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$ presente, o termo constante decide tudo.

**Exemplo 17.21 (Recorrências afins são dinâmica afim).**

A recorrência clássica $u_{n+1} = au_n + b$ ($a \neq 1$) itera a [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) $f(x) = ax + b$ da reta, cuja parte linear $a$ evita o [autovalor](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $1$: existe um único ponto fixo $\omega = \frac{b}{1-a}$ e, recentrando aí (o caso unidimensional da proposição acima), $f$ vira multiplicação por $a$:

$$
u_{n+1} - \omega = a\,(u_n - \omega)
\qquad\Longrightarrow\qquad
u_n = \omega + a^n(u_0 - \omega) .
$$

Para $u_{n+1} = \frac{u_n}2 + 3$: $\omega = 6$ e $u_n = 6 +
(u_0 - 6)2^{-n} \to 6$. A receita ensinada para tais recorrências no [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/7-sequencias-e-series#ch-b2-series) — “subtraia o ponto fixo” — é exatamente a vetorialização de uma [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) em seu ponto fixo; a convergência para $\abs a < 1$ é o fenômeno de contração que o [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#ch-b2-metric) transformou no teorema do ponto fixo de Banach. Uma ideia, três capítulos.

**Exemplo 17.22 (Achar o centro de uma rotação).**

Seja $f(x, y) = (-y + 2,\ x)$. A parte linear é $\varphi(x, y) = (-y, x)$: a rotação de ângulo $\frac\pi2$, cujo [espectro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#def-b2-reduction-eigen) $\{\iu, -\iu\}$ evita $1$. Pela [Proposição 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) existe exatamente um ponto fixo: $x = -y + 2$ e $y = x$ dão $x = 1$, $y = 1$, logo $\Omega = (1, 1)$, e $f$ *é* a rotação de centro $(1, 1)$ e ângulo $\frac\pi2$. A lição geral: quando $1
\notin \operatorname{Sp}\vec f$, classificar $f$ custa um sistema linear — a geometria está inteiramente na parte linear, a aritmética inteiramente em localizar o centro.

**Observação 17.23 (Onde a linguagem afim é usada em seguida).**

Os [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) e as [aplicações afins](#def-b2-affine-subspace) são a gramática dos capítulos de geometria adiante: retas e planos tangentes são objetos [afins](#def-b2-affine-subspace) (Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#ch-b2-curves) e [19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces)), uma mudança [afim](#def-b2-affine-subspace) de variáveis multiplica áreas e volumes por $\abs{\det \vec f}$ ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint)), e a esperança é um [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) com pesos dados por uma lei de probabilidade, e é por isso que a convexidade governa a desigualdade de Jensen ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)). No volume do terceiro ano de graduação, o mesmo vocabulário de convexidade sustenta o estudo das [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) $L^p$ e das desigualdades integrais.

**Observação 17.24 (Perspectivas dentro deste volume).**

Dois fios saem deste capítulo. O fio *[afim](#def-b2-affine-subspace)*: as retas tangentes ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas#ch-b2-curves)) e os planos tangentes ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces)) são subespaços [afins](#def-b2-affine-subspace) ligados a objetos não lineares, e a classificação das quádricas no capítulo de superfícies roda sobre a equação do centro $A\Omega = -b$ deste capítulo. O fio *[convexo](#def-b2-affine-convex)* é mais longo: a convexidade dos semiplanos e dos discos move a teoria de Helly do problema de fim de semana; a convexidade das funções dá a desigualdade de Jensen ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/22-variaveis-aleatorias-discretas#ch-b2-randomvar)); e o teorema final do livro — o critério de extinção para processos de ramificação ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/23-funcoes-geradoras-de-probabilidade#ch-b2-genfun)) — é decidido pela posição de uma curva [convexa](#def-b2-affine-convex) em relação à diagonal, um retrato que pertence a este capítulo tanto quanto à probabilidade. Os [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) voltam lá também: uma esperança é um [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) com pesos de probabilidade.

## 17.4 Exercícios

**Exercício 17.1 ★.**

Em $\R^3$, os seguintes são subespaços [afins](#def-b2-affine-subspace)? Dê direções e dimensões. $\{x + y + z = 1\}$; $\;\{x + y + z = 1,\ x - z =
3\}$; $\;\{x^2 + y^2 = 1\}$; o conjunto solução de $MX = B$ para um sistema compatível dado.

**Solução de Exercício 17.1.**

$\{x + y + z = 1\}$: plano [afim](#def-b2-affine-subspace), de direção o plano vetorial $\{x
+ y + z = 0\}$, dimensão $2$. Acrescentando $x - z = 3$: uma reta [afim](#def-b2-affine-subspace) (duas equações independentes), direção $\{x + y + z = 0,\ x = z\}
= \operatorname{Vect}\bigl((1, -2, 1)\bigr)$, dimensão $1$. $\{x^2
+ y^2 = 1\}$: um cilindro — não estável por [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) (o ponto médio de $(1,0,0)$ e $(-1,0,0)$ é a origem, fora do cilindro): não é [afim](#def-b2-affine-subspace). Um sistema compatível $MX = B$: subespaço [afim](#def-b2-affine-subspace) $X_0 + \ker M$ de dimensão $\dim\ker M$, como lembrado na [Definição 17.5](#def-b2-affine-subspace).

**Exercício 17.2 ★.**

Prove que três pontos distintos $A, B, C$ de um [espaço afim](#def-b2-affine-def) são alinhados se e somente se $C$ é [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $A$ e $B$, se e somente se os vetores $\vect{AB}, \vect{AC}$ são ligados. Deduza a contabilidade de pesos ao estilo Menelau: se $C = \operatorname{bar}(A, 1 - t; B, t)$, localize $C$ para $t = \frac12$, $t = 2$, $t = -1$.

**Solução de Exercício 17.2.**

$C = \operatorname{bar}(A, 1-t; B, t)$ significa $\vect{AC} =
t\,\vect{AB}$: a existência de tal $t$ é exatamente a ligação de $\vect{AC}$ com $\vect{AB} \neq 0$, isto é, o alinhamento. Posições: $t
= \frac12$: ponto médio; $t = 2$: além de $B$, à distância de $B$ dele ($\vect{AC} = 2\vect{AB}$); $t = -1$: o [simétrico](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/12-formas-quadraticas#def-b2-quadratic-adjoint) de $B$ por $A$.

**Exercício 17.3 ★.**

Seja $f$ a [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) de $\R^2$ dada por $f(X) = MX + C$ com $M = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ e $C =
(1, 0)^{\mathsf T}$. Determine a imagem de $f$, seus pontos fixos (se houver) e $f \circ f$.

**Solução de Exercício 17.3.**

$M$ é a matriz da projeção sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $(1,-1)$ (confira $M^2 = M$). Imagem de $f$: $\{MX + C\} = C +
\operatorname{im} M$: a reta [afim](#def-b2-affine-subspace) por $(1,0)$ dirigida por $(1,1)$. Pontos fixos: $X = MX + C$, isto é, $(I - M)X = C$; mas $C =
(1, 0)^{\mathsf T}$ e $\operatorname{im}(I - M) =
\operatorname{Vect}(1,-1)$; será que $(1,0)$ está nela? $(1, 0) =
\alpha(1,-1)$ força $\alpha = 1$ e $0 = -1$: não. Nenhum ponto fixo. E

$$
f(f(X)) = M(MX + C) + C = MX + MC + C = f(X) + MC,
\qquad MC = \tfrac12(1,1)^{\mathsf T} :
$$

$f\circ f$ é $f$ seguida de uma translação ao longo da reta imagem — $f$ é uma “projeção deslizante”: projeção sobre a reta composta com um deslizamento.

**Exercício 17.4 ★★.**

(Associatividade em ação) Num triângulo $ABC$, sejam $I, J, K$ os pontos que dividem $BC$, $CA$, $AB$ nas razões $\vect{BI} = \frac13\vect{BC}$, $\vect{CJ} = \frac13\vect{CA}$, $\vect{AK} = \frac13\vect{AB}$. Exprima $I, J, K$ como [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) e calcule o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(I,1;J,1;K,1)$: o que você encontra, e por que era previsível?

**Solução de Exercício 17.4.**

$I = \operatorname{bar}(B, 2; C, 1)$ (pois $\vect{BI} =
\frac13\vect{BC}$ coloca $I$ mais perto de $B$: pesos $2$ em $B$, $1$ em $C$ — confira: $\vect{BI} = \frac{1}{3}\vect{BC}$). Do mesmo modo, $J = \operatorname{bar}(C, 2; A, 1)$, $K =
\operatorname{bar}(A, 2; B, 1)$. Somando os três sistemas ponderados, o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(I, 1; J, 1; K, 1)$ (cada um de peso total $3$, de modo que se substitui $I$ por seu sistema, etc.) é

$$
\operatorname{bar}\bigl(A, 1 + 2;\ B, 2 + 1;\ C, 1 + 2\bigr)
= \operatorname{bar}(A, 1; B, 1; C, 1) = G ,
$$

o centroide de $ABC$: o triângulo $IJK$ tem o mesmo centroide — previsível, porque a construção trata $A, B, C$ ciclicamente e o centroide é o único ponto fixo da simetria [cíclica](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) dos pesos.

**Exercício 17.5 ★★.**

Prove que uma aplicação $f \colon \R^n \to \R^n$ que preserva *pontos médios* ($f\bigl(\frac{A+B}{2}\bigr) = \frac{f(A) + f(B)}{2}$) e é *[contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)* é [afim](#def-b2-affine-subspace). *(Mostre que a aplicação vetorial $u \mapsto
f(O + u) - f(O)$ é aditiva via pontos médios, depois $\Q$-homogênea, depois $\R$-homogênea por [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) — a mesma estratégia de densidade usada para a equação funcional de Cauchy no volume do primeiro ano de graduação; refaça aqui os passos necessários.)*

**Solução de Exercício 17.5.**

Ponha $g(u) = f(O + u) - f(O)$ (trabalhando em $\R^n$ vetorializado em $O$), $g(0) = 0$.

*Aditividade:* $\frac{(O + u) + (O + v)}{2} = O + \frac{u +
v}{2}$, de modo que a preservação de pontos médios dá $g\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr)
= \frac{g(u) + g(v)}{2}$; com $v = 0$: $g(u/2) = g(u)/2$; combinando, $g(u + v) = 2g\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr) = g(u) + g(v)$.

*$\Q$-homogeneidade:* a aditividade dá $g(nu) = ng(u)$ ($n \in
\N$, indução), depois $g(-u) = -g(u)$ (some), depois $g(\frac pq u) =
\frac pq g(u)$ (aplique $q$, use a injetividade do reescalamento).

*$\R$-homogeneidade:* para $t \in \R$, tome racionais $t_n \to
t$: $g(t_nu) = t_ng(u)$, e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $g$ (herdada de $f$) passa ao limite: $g(tu) = tg(u)$. Logo $g$ é linear e $f =
f(O) + g$: [afim](#def-b2-affine-subspace).

**Exercício 17.6 ★★.**

Classifique a [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) $f(x, y) = (y + 1,\; x - 1)$ do plano euclidiano: parte linear, pontos fixos, natureza geométrica (reflexão? deslizante?). Calcule $f \circ f$ e conclua.

**Solução de Exercício 17.6.**

Parte linear $\varphi(x,y) = (y, x)$: a reflexão na diagonal $y = x$ (ortogonal, [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $-1$). Pontos fixos: $(x, y) = (y
+ 1, x - 1)$ reduz-se à única equação $y = x - 1$ (as duas componentes são equivalentes): todo ponto da reta $y = x - 1$ é fixo. Assim $f$ fixa essa reta ponto a ponto: $f$ é a *reflexão* nesse eixo (uma isometria com uma reta de pontos fixos e parte linear uma reflexão). Coerentemente, $f \circ
f(x,y) = f(y+1, x-1) = (x - 1 + 1, y + 1 - 1) = (x, y)$: uma involução, como toda reflexão deve ser.

**Exercício 17.7 ★★★.**

(Radon) Sejam $A_1, \dots, A_{n+2}$ pontos de um [espaço afim](#def-b2-affine-def) de dimensão $n$. Prove que eles podem ser separados em dois grupos disjuntos cujas [envoltórias convexas](#def-b2-affine-convex) se intersectam. *(Como na demonstração de Carathéodory, ache pesos $\mu_i$, não todos nulos, com $\sum\mu_i = 0$ e $\sum\mu_i\vect{OA_i} = 0$; separe os pesos positivos dos negativos e normalize os dois lados.)*

**Solução de Exercício 17.7.**

Os $n + 1$ vetores $\vect{A_1A_i}$ ($i \geq 2$) são ligados em dimensão $n$: existem $\mu_i$, não todos nulos, com $\sum_{i\geq2}
\mu_i\vect{A_1A_i} = 0$; ponha $\mu_1 = -\sum_{i \geq 2}\mu_i$, de modo que $\sum_{i}\mu_i = 0$ e $\sum_i \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ para toda $O$, com nem todos os $\mu_i$ nulos. Separe os índices: $P = \{i : \mu_i >
0\}$, $N = \{i : \mu_i < 0\}$, ambos não vazios (os $\mu_i$ somam zero e não são todos nulos). Com $s = \sum_{i\in P}\mu_i =
-\sum_{i \in N}\mu_i > 0$:

$$
\operatorname{bar}\bigl(A_i, \tfrac{\mu_i}{s}\bigr)_{i \in P}
= \operatorname{bar}\bigl(A_i, \tfrac{-\mu_i}{s}\bigr)_{i \in N},
$$

(os dois lados valem o ponto $X$ com $\vect{OX} = \frac1s\sum_{i\in
P}\mu_i\vect{OA_i}$, pela relação): um ponto comum às duas [envoltórias convexas](#def-b2-affine-convex), com grupos de índices disjuntos.

**Exercício 17.8 ★★★.**

Seja $f$ um endomorfismo [afim](#def-b2-affine-subspace) de $\R^n$ com $f \circ f = f$. Prove que $f$ é a projeção [afim](#def-b2-affine-subspace) sobre o subespaço [afim](#def-b2-affine-subspace) $\operatorname{Fix}(f) = \operatorname{im} f$ na direção $\ker\vec f$, e que, reciprocamente, todas essas projeções são idempotentes. *(Mostre primeiro que $\operatorname{im} f$ consiste em pontos fixos.)*

**Solução de Exercício 17.8.**

*Imagem = pontos fixos:* para $Y = f(X)$, $f(Y) = f(f(X)) =
f(X) = Y$: todo ponto imagem é fixo; reciprocamente, os pontos fixos são imagens. Assim $\mathcal{F} = \operatorname{im} f =
\operatorname{Fix}(f)$ é não vazio e é um subespaço [afim](#def-b2-affine-subspace) (imagem de uma [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace)), de direção $\operatorname{im}\vec f$.

*Estrutura de projeção:* $\vec f$ é idempotente ($\vec{f\circ
f} = \vec f^{\,2} = \vec f$), logo $E = \operatorname{im}\vec f
\oplus \ker \vec f$ ([Exemplo 3.18](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/3-reducao-de-endomorfismos#ex-b2-reduction-projections)). Para qualquer ponto $X$, considere o vetor $\vect{f(X)\,X}$; aplicando $\vec f$:

$$
\vec f\bigl(\vect{f(X)\,X}\bigr) = \vect{f(f(X))\,f(X)} = 0
\qquad (f \circ f = f),
$$

logo $\vect{f(X)\,X} \in \ker\vec f$. Portanto $X = f(X) +
\vect{f(X)X}$ exibe $X$ como um ponto de $\mathcal{F}$ transladado por um vetor de $\ker\vec f$: $f$ é exatamente a projeção sobre $\mathcal{F}$ ao longo de $\ker\vec f$. Reciprocamente, tais projeções claramente satisfazem $f \circ f = f$.

**Exercício 17.9 ★.**

Sejam $G = \operatorname{bar}(A, 1;\ B, 2;\ C, 3)$ num triângulo $ABC$. Usando a associatividade, mostre que a reta $AG$ encontra $BC$ em $M = \operatorname{bar}(B, 2;\ C, 3)$ e localize $G$ no segmento $\intcc AM$; localize do mesmo modo a interseção de $BG$ com $CA$.

**Solução de Exercício 17.9.**

Seja $M = \operatorname{bar}(B, 2;\ C, 3)$, de peso total $5$. A associatividade dá $G = \operatorname{bar}(A, 1;\ M, 5)$, logo $\vect{AG} = \frac56\,\vect{AM}$: $G$ está no segmento $\intcc AM$ a cinco sextos dele a partir de $A$. Como $A \notin
(BC)$, a reta $(AG) = (AM)$ encontra $(BC)$ no único ponto $M$, com $\vect{BM} = \frac35\,\vect{BC}$. Do mesmo modo, com $N =
\operatorname{bar}(C, 3;\ A, 1)$ (peso total $4$, $\vect{CN}
= \frac14\,\vect{CA}$), a associatividade dá $G =
\operatorname{bar}(B, 2;\ N, 4)$: a reta $(BG)$ encontra $(CA)$ em $N$, e $\vect{BG} = \frac46\,\vect{BN} =
\frac23\,\vect{BN}$.

**Exercício 17.10 ★★.**

Para $\lambda \neq 0$, a *homotetia* $h_{\Omega,
\lambda}$ é a [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) que fixa $\Omega$ com parte linear $\lambda\,\mathrm{id}$. Prove que a composição $h_{\Omega', \mu} \circ h_{\Omega, \lambda}$ é uma homotetia de razão $\lambda\mu$ quando $\lambda\mu \neq 1$, e uma translação quando $\lambda\mu = 1$; no caso $\lambda = \mu = -1$ (duas simetrias centrais), calcule o vetor de translação.

**Solução de Exercício 17.10.**

Vetorialize numa origem $O$ e escreva os pontos como vetores: $h_{\Omega, \lambda}(x) = \omega + \lambda(x - \omega)$ com $\omega = \vect{O\Omega}$. A composição $g = h_{\Omega',
\mu} \circ h_{\Omega, \lambda}$ é [afim](#def-b2-affine-subspace) com parte linear $\mu\lambda\,\mathrm{id}$. Se $\lambda\mu \neq 1$: $1 \notin
\operatorname{Sp}(\lambda\mu\,\mathrm{id})$, de modo que a [Proposição 17.17](#prop-b2-affine-fixedpoint) fornece um único ponto fixo $\Omega''$ e, vetorializada aí, $g =
\lambda\mu\,\mathrm{id}$: a homotetia $h_{\Omega'',
\lambda\mu}$. Se $\lambda\mu = 1$, a parte linear é a identidade, logo $g$ é uma translação; desenvolvendo,

$$
g(x) = \omega' + \mu\bigl(\omega + \lambda(x - \omega) -
\omega'\bigr) = x + (1 - \mu)\,\omega' + \mu(1 -
\lambda)\,\omega .
$$

Para $\lambda = \mu = -1$ (simetrias centrais) o vetor é $2\omega' - 2\omega = 2\,\vect{\Omega\Omega'}$: a composição das simetrias centrais em $\Omega$ e depois $\Omega'$ é a translação por $2\,\vect{\Omega\Omega'}$.

**Exercício 17.11 ★★.**

(Menelau) Num triângulo $ABC$, sejam $A' \in (BC)$, $B' \in
(CA)$, $C' \in (AB)$, todos distintos dos vértices, e defina $\alpha, \beta, \gamma$ por $\vect{A'B} =
\alpha\,\vect{A'C}$, $\vect{B'C} = \beta\,\vect{B'A}$, $\vect{C'A} = \gamma\,\vect{C'B}$. Prove que $A', B', C'$ estão alinhados se e somente se $\alpha\beta\gamma = 1$. *(Escreva cada ponto como [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de dois vértices; mostre que três pontos estão alinhados se e somente se suas linhas de coordenadas baricêntricas em relação a $(A, B, C)$ formam uma matriz $3 \times 3$ singular.)*

**Solução de Exercício 17.11.**

$\vect{A'B} = \alpha\,\vect{A'C}$ diz exatamente que $1\cdot
\vect{A'B} - \alpha\,\vect{A'C} = 0$, isto é, $A' =
\operatorname{bar}(B, 1;\ C, -\alpha)$ (peso total $1 -
\alpha \neq 0$, pois $B \neq C$); do mesmo modo $B' =
\operatorname{bar}(C, 1;\ A, -\beta)$ e $C' =
\operatorname{bar}(A, 1;\ B, -\gamma)$.

*O critério de alinhamento.* Dê a cada ponto $P$ sua linha baricêntrica normalizada $p = (p_A, p_B, p_C)$, $p_A + p_B +
p_C = 1$, em relação a $(A, B, C)$. Se $\sum_i c_i p_i = 0$ com $(c_1, c_2, c_3) \neq 0$ para três pontos $P_1, P_2,
P_3$, então somar as entradas dá $\sum c_i = 0$, e $\sum_i c_i \vect{OP_i} = \sum_j \bigl(\sum_i
c_ip_{ij}\bigr)\vect{OV_j} = 0$: os $P_i$ são afinmente dependentes, isto é, alinhados. Reciprocamente, uma dependência [afim](#def-b2-affine-subspace) $(t_i)$ dá $w = \sum t_ip_i$ com entradas somando $0$ e $\sum_j w_j\vect{OV_j} = 0$; desenvolvendo a partir de $A$, $w_B
\vect{AB} + w_C\vect{AC} = 0$, logo $w = 0$ pela independência [afim](#def-b2-affine-subspace) de $(A, B, C)$: as linhas são linearmente dependentes. Assim o alinhamento equivale à anulação de um [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $3 \times 3$, e reescalar as linhas pelos fatores não nulos $1 - \alpha$, $1 -
\beta$, $1 - \gamma$ nada muda:

$$
\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -\alpha\\ -\beta & 0 & 1\\ 1 &
-\gamma & 0\end{pmatrix}
= 1 - \alpha\beta\gamma .
$$

Logo $A', B', C'$ estão alinhados se e somente se $\alpha\beta\gamma = 1$: o teorema de Menelau.

**Exercício 17.12 ★★★.**

Prove que a [envoltória convexa](#def-b2-affine-convex) de uma parte [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) $K$ de $\R^n$ é [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact). *(Pelo [Teorema 17.14](#thm-b2-affine-caratheodory), $\operatorname{conv}(K)$ é a imagem de um [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) por uma aplicação [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity).)* Mostre, por um exemplo em $\R^2$, que a [envoltória convexa](#def-b2-affine-convex) de um conjunto *fechado* não precisa ser fechada.

**Solução de Exercício 17.12.**

Seja $\Delta = \{\lambda \in \R^{n+1} : \lambda_i \geq 0,\
\sum\lambda_i = 1\}$: fechado e limitado em $\R^{n+1}$, logo [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact), e $K^{n+1}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) como produto finito. A aplicação

$$
\Phi \colon \Delta \times K^{n+1} \to \R^n, \qquad
\Phi(\lambda, x_0, \dots, x_n) = \sum_{i=0}^n \lambda_i x_i
$$

é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), e o [Teorema 17.14](#thm-b2-affine-caratheodory) diz precisamente que $\operatorname{conv}(K) = \Phi(\Delta \times
K^{n+1})$: imagem [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de um [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ([Teorema 4.16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-compactprops)), logo [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact).

Para um conjunto fechado: tome $S = (\R \times \{0\}) \cup \{(0,
1)\}$, fechado em $\R^2$. Uma combinação [convexa](#def-b2-affine-convex) que põe peso $t$ em $(0,1)$ e $1 - t$ em pontos do eixo tem segunda coordenada $t$, de modo que

$$
\operatorname{conv}(S) = \bigl(\R \times \intco01\bigr) \cup
\{(0,1)\}
$$

(para $0 \leq t < 1$, $(x, t) = t\,(0,1) + (1-t)\,\bigl(\tfrac
x{1-t}, 0\bigr)$). O ponto $(1, 1) = \lim_{t \to 1}(1, t)$ é aderente mas não está na envoltória: não é fechada.

## 17.5 Problema: de Radon a Helly, pontos centrais e o teorema de Jung

![Os dois tipos de Radon para quatro pontos do plano em posição geral: um ponto interior ao triângulo dos demais (partição \A_4\ \A_1, A_2, A_3\) ou posição convexa, em que o ponto de Radon (laranja) é a interseção das duas diagonais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-affine/fig-3fd6518615fc.svg)

![Os dois tipos de Radon para quatro pontos do plano em posição geral: um ponto interior ao triângulo dos demais (partição \A_4\ \A_1, A_2, A_3\) ou posição convexa, em que o ponto de Radon (laranja) é a interseção das duas diagonais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-affine/fig-f12d89fd9901.svg)

*Os dois tipos de Radon para quatro pontos do plano em posição geral: um ponto interior ao triângulo dos demais (partição $\{A_4\} \mid \{A_1, A_2, A_3\}$) ou posição [convexa](#def-b2-affine-convex), em que o ponto de Radon (laranja) é a interseção das duas diagonais.*

**Problema 17.1.**

Problema de fim de semana — o teorema de Helly e dois de seus dividendos

O lema de Radon ([Exercício 17.7](#exo-b2-affine-7)) diz que $n + 2$ pontos de um [espaço afim](#def-b2-affine-def) de dimensão $n$ sempre se separam em dois grupos com [envoltórias convexas](#def-b2-affine-convex) que se intersectam. Este problema transforma esse único fato de álgebra linear numa cadeia de teoremas de geometria combinatória: o teorema de interseção de Helly, o teorema do ponto central (uma mediana bidimensional) e o teorema de recobrimento de Jung. Em todo o problema, o plano é $\R^2$ com sua estrutura euclidiana usual, e $\det$ é o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) na base canônica.

**Parte I — Coordenadas baricêntricas.** Pontos $A_0, \dots, A_k$ são *afinmente independentes* quando os vetores $\vect{A_0A_1}, \dots, \vect{A_0A_k}$ são linearmente independentes.

1. Mostre que a independência [afim](#def-b2-affine-subspace) não depende da escolha do ponto-base $A_0$ e que ela equivale a: sempre que duas famílias de pesos, cada uma somando $1$ , definem o mesmo [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) de $(A_0,  \dots, A_k)$ , os pesos coincidem.
2. Sejam $(A, B, C)$ afinmente independentes no plano. Mostre que todo ponto $M$ admite uma única tripla $(\alpha, \beta, \gamma)$ com $\alpha + \beta +  \gamma = 1$ e $M = \operatorname{bar}(A, \alpha; B,  \beta; C, \gamma)$ — suas *coordenadas baricêntricas* .
3. Demonstre as fórmulas com [determinantes](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $$\alpha = \frac{\det(\vect{MB},  \vect{MC})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})},  \qquad  \beta = \frac{\det(\vect{MC},  \vect{MA})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})},  \qquad  \gamma = \frac{\det(\vect{MA},  \vect{MB})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})} :$$ as coordenadas baricêntricas são razões de áreas com sinal.
4. As retas $BC$ , $CA$ , $AB$ são as retas de coordenada $\{\alpha = 0\}$ , $\{\beta = 0\}$ , $\{\gamma = 0\}$ . Mostre que $M$ está no triângulo fechado $\operatorname{conv}\{A, B, C\}$ se e somente se $\alpha, \beta,  \gamma \geq 0$ , e que as três retas cortam o plano em exatamente sete regiões, classificadas pelos sinais de $(\alpha, \beta, \gamma)$ (sendo impossível o padrão de sinais $(-, -,  -)$ ).
5. Seja $u \colon \R^2 \to \R$ uma [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) (uma *forma [afim](#def-b2-affine-subspace)* ). Mostre que $u(M) = \alpha\,u(A) +  \beta\,u(B) + \gamma\,u(C)$ , que os conjuntos de nível de uma forma [afim](#def-b2-affine-subspace) não constante são retas, que toda reta surge assim, e que os semiplanos fechados $\{u  \geq c\}$ são [convexos](#def-b2-affine-convex) .

**Parte II — Partições de Radon, refinadas.** Uma família de $n + 2$ pontos de $\R^n$ está em *posição geral* quando quaisquer $n + 1$ deles são afinmente independentes. Uma *dependência [afim](#def-b2-affine-subspace)* de $(A_1, \dots, A_{n+2})$ é uma família $(\mu_i)$ com $\sum_i \mu_i = 0$ e $\sum_i
\mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ para uma (logo toda) origem $O$.

6. Calcule uma dependência [afim](#def-b2-affine-subspace) não nula dos quatro pontos $A_1 = (0,0)$ , $A_2 = (3,0)$ , $A_3 = (0,3)$ , $A_4 = (1,1)$ ; dê a partição de Radon e o ponto de Radon.
7. Mostre que, para pontos em posição geral, o espaço vetorial das dependências [afins](#def-b2-affine-subspace) tem dimensão exatamente $1$ , e que uma dependência não nula *não* tem coeficiente nulo.
8. Deduza que a partição de Radon de $n + 2$ pontos em posição geral é única (a menos de trocar os dois blocos), sendo cada bloco o conjunto dos índices em que $\mu_i$ tem um sinal fixo.
9. Para quatro pontos do plano em posição geral, mostre a dicotomia: ou a partição é do tipo $(1, 3)$ — um ponto interior ao triângulo dos outros três — ou do tipo $(2, 2)$ : os quatro pontos estão em posição [convexa](#def-b2-affine-convex) e os segmentos que unem os dois pares (as diagonais) se intersectam, no ponto de Radon.
10. Execute a questão 6 para o quadrado unitário $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(0,1)$ : dependência, partição, ponto de Radon.

**Parte III — O teorema de Helly no plano.**

11. Sejam $C_1, C_2, C_3, C_4$ partes [convexas](#def-b2-affine-convex) de $\R^2$ , quaisquer três das quais têm ponto comum. Escolha $x_i \in  \bigcap_{j \neq i} C_j$ e aplique o lema de Radon a $x_1, \dots, x_4$ : mostre que o ponto de Radon pertence aos quatro conjuntos. *(Para cada $k$, o bloco que não contém $x_k$ é formado por pontos de $C_k$.)*
12. (Helly) Sejam $C_1, \dots, C_m$ ( $m \geq 3$ ) partes [convexas](#def-b2-affine-convex) de $\R^2$ , quaisquer três das quais se intersectam. Prove que $\bigcap_{i=1}^m C_i \neq \emptyset$ , por indução sobre $m$ : substitua $C_{m-1}$ e $C_m$ por $C_{m-1} \cap C_m$ e verifique a hipótese para a nova família usando a questão 11.
13. Três contraexemplos, um por hipótese: (a) os três lados fechados de um triângulo se intersectam dois a dois mas não têm ponto comum ( $3$ não pode baixar para $2$ ); (b) os quatro conjuntos $S_i = \{x_1, \dots, x_4\}  \setminus \{x_i\}$ , para quatro pontos em posição geral, satisfazem a hipótese das interseções triplas mas não a conclusão (a convexidade importa); (c) os semiplanos fechados $H_k = \intco{k}{+\infty} \times  \R$ , $k \in \N$ , se intersectam dois a dois e três a três mas $\bigcap_k H_k = \emptyset$ (famílias infinitas precisam de [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ).
14. (Helly [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) ) Seja $(K_i)_{i \in I}$ uma família arbitrária de partes [convexas](#def-b2-affine-convex) [compactas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) de $\R^2$ , quaisquer três das quais se intersectam. Usando a questão 12 e a propriedade de Borel–Lebesgue ( [Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue) ), mostre que $\bigcap_{i \in I} K_i \neq \emptyset$ .
15. (Primeiro dividendo) Sejam $S$ um conjunto finito de pontos do plano e $r > 0$ . Mostre: se quaisquer três pontos de $S$ estão em algum disco fechado de raio $r$ , então $S$ está num único disco fechado de raio $r$ . *(Aplique Helly aos discos $\overline D(p, r)$, $p \in S$.)*

**Parte IV — O teorema do ponto central.** Um *ponto central* de um conjunto finito $S$ de $n$ pontos do plano é um ponto $c$ (não necessariamente em $S$) tal que todo semiplano fechado que contém $c$ contém ao menos $n/3$ pontos de $S$.

16. (Dimensão $1$ ) Para reais $x_1 \leq \dots \leq x_n$ , mostre que a mediana $c = x_{\lceil n/2 \rceil}$ satisfaz: toda semirreta fechada que contém $c$ contém ao menos $n/2$ dos $x_i$ .
17. (Lema de contagem) Se $A, B, C$ são partes de $S$ com $\abs A, \abs B, \abs C > \tfrac{2n}3$ , mostre que $A \cap  B \cap C \neq \emptyset$ .
18. Sejam $m = \floor{2n/3} + 1$ e seja $\mathcal F$ a família (finita) das [envoltórias convexas](#def-b2-affine-convex) $\operatorname{conv}(T)$ , $T \subseteq S$ , $\abs T =  m$ . Mostre que quaisquer três membros de $\mathcal F$ têm ponto comum e deduza de Helly um ponto $c$ comum a todos eles.
19. Prove que esse $c$ é um ponto central de $S$ : o *teorema do ponto central* . *(Se um semiplano fechado por $c$ contivesse menos de $n/3$ pontos, seu complementar [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) conteria um conjunto $T$ de $m$ pontos, e $\operatorname{conv}(T)$ evitaria $c$.)*
20. Otimalidade: seja $n = 3k$ e coloque $k$ pontos em cada um de três discos de raio pequeno $\varepsilon$ centrados nos vértices de um triângulo grande. Mostre que, para *todo* ponto $c$ do plano, algum semiplano fechado contendo $c$ contém no máximo $n/3$ pontos de $S$ , de modo que a constante $1/3$ não pode ser melhorada. *(Entre as três direções de $c$ aos centros dos discos, duas formam ângulo no máximo $2\pi/3$.)*

**Parte V — O teorema de Jung e síntese.**

21. (Lema do triângulo) Sejam $P, Q, R$ três pontos com distâncias mútuas $\leq 1$ . Mostre que eles estão num disco fechado de raio $1/\sqrt3$ . *(Se algum ângulo é $\geq \pi/2$, tome o disco de diâmetro o maior lado, usando a fórmula da mediana $\norm{RM}^2 = \tfrac12\norm{RP}^2 +  \tfrac12\norm{RQ}^2 - \tfrac14\norm{PQ}^2$; se o triângulo é acutângulo, majore o raio da circunferência circunscrita $a/(2\sin  \widehat A)$ usando seu maior ângulo, que está em $\intco{\pi/3}{\pi/2}$.)*
22. (Jung) Deduza: toda parte [compacta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) do plano de diâmetro $\leq 1$ está contida num disco fechado de raio $1/\sqrt3$ .
23. Otimalidade: para o triângulo equilátero $A_1A_2A_3$ de lado $1$ e centroide $G$ , demonstre a identidade de Leibniz $\sum_i \norm{\vect{OA_i}}^2 =  3\norm{\vect{OG}}^2 + \sum_i \norm{\vect{GA_i}}^2$ para todo ponto $O$ e conclua que todo disco que contém os três vértices tem raio $\geq  1/\sqrt3$ , com igualdade apenas para o disco circunscrito.
24. (Helly em $\R^n$ ) Enuncie e demonstre o teorema de Helly em $\R^n$ : se um número finito de [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex) é tal que quaisquer $n + 1$ deles se intersectam, então todos eles se intersectam. *(O lema de Radon [Exercício 17.7](#exo-b2-affine-7) trata de $n + 2$ conjuntos; depois faça indução como na questão 12.)*
25. Síntese. Monte a cadeia $$\text{dependência afim} \Rightarrow \text{Radon}  \Rightarrow \text{Helly} \Rightarrow  \text{ponto central e Jung},$$ indicando em uma frase cada: onde entra a álgebra linear, onde entram os sinais dos pesos, onde entra a convexidade e qual único passo usou a dimensão do plano. O que se tornam as constantes $3$ (em Helly), $1/3$ (ponto central) e $1/\sqrt3$ (Jung) em $\R^n$? (Enuncie sem demonstrar.)

**Solução de Problema 17.1.**

**1.** Rebase em $A_j$: para $i \neq j$, $\vect{A_jA_i} =
\vect{A_0A_i} - \vect{A_0A_j}$. Se $\sum_{i \neq j}
c_i\vect{A_jA_i} = 0$, desenvolver dá $\sum_{i \notin \{0,
j\}} c_i\,\vect{A_0A_i} - \bigl(\sum_{i\neq j}
c_i\bigr)\vect{A_0A_j} = 0$; a independência dos $\vect{A_0A_i}$ força $c_i = 0$ para $i \notin \{0, j\}$, e depois $c_0 = 0$: independência em $A_j$. Para a equivalência: duas famílias de pesos $(\lambda_i)$, $(\lambda_i')$ somando $1$ com o mesmo [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) dão, com $\nu = \lambda -
\lambda'$: $\sum\nu_i = 0$ e (origem $A_0$) $\sum_{i \geq
1}\nu_i\,\vect{A_0A_i} = 0$, logo $\nu = 0$ sob a independência. Reciprocamente, uma relação não trivial $\sum_{i\geq1}\mu_i
\vect{A_0A_i} = 0$, completada por $\mu_0 = -\sum_{i\geq1}
\mu_i$, permite somar $t(\mu_i)$ a qualquer família de pesos sem mover o [baricentro](#def-b2-affine-barycenter): não unicidade.

**2.** $(\vect{AB}, \vect{AC})$ é uma base de $\R^2$: escreva $\vect{AM} = \beta\,\vect{AB} + \gamma\,\vect{AC}$ (único) e ponha $\alpha = 1 - \beta - \gamma$; a condição de [baricentro](#def-b2-affine-barycenter) na origem $A$ lê-se exatamente $\vect{AM} =
\beta\,\vect{AB} + \gamma\,\vect{AC}$. A unicidade é a questão 1.

**3.** De $\alpha\vect{MA} + \beta\vect{MB} +
\gamma\vect{MC} = 0$ e Chasles, $\vect{MA} =
-\beta\,\vect{AB} - \gamma\,\vect{AC}$. Com $D =
\det(\vect{AB}, \vect{AC})$:

$$
\begin{align*}
\det(\vect{MB}, \vect{MC})
&= \det(\vect{MA} + \vect{AB},\ \vect{MA} + \vect{AC})\\
&= \det(\vect{MA}, \vect{AC}) + \det(\vect{AB}, \vect{MA}) +
D = -\beta D - \gamma D + D = \alpha D,
\end{align*}
$$

usando a bilinearidade e $\det(\vect{MA}, \vect{AC}) = -\beta D$, $\det(\vect{AB}, \vect{MA}) = -\gamma D$. As outras duas fórmulas seguem do mesmo cálculo com os papéis permutados ciclicamente.

**4.** Por definição, $\operatorname{conv}\{A, B, C\}$ é o conjunto dos [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) com pesos não negativos; normalizando os pesos para somar $1$ e invocando a unicidade (questão 2), $M \in \operatorname{conv}\{A,B,C\}$ se e somente se $\alpha, \beta,
\gamma \geq 0$. Cada coordenada é uma função [afim](#def-b2-affine-subspace) de $M$ (questão 3: um [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $2\times2$ com uma coluna [afim](#def-b2-affine-subspace) em $M$), de modo que cada condição [aberta](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) de sinal define um semiplano [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology). O padrão $(-,-,-)$ contradiz $\alpha + \beta
+ \gamma = 1$; cada um dos sete padrões restantes é realizado: reescale uma tripla que respeite os sinais e tenha ao menos uma entrada $+$ de modo que a soma (positiva) valha $1$ — por exemplo, $(-1, 1, 1)$, $(3, -1, -1)$, $(\frac13, \frac13, \frac13)$, e permutações.

**5.** Uma [aplicação afim](#def-b2-affine-subspace) preserva [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) ([Definição 17.5](#def-b2-affine-subspace)), logo $u(M) = \alpha u(A) +
\beta u(B) + \gamma u(C)$. Escrevendo $u(x, y) = ax + by + c$ com $(a, b) \neq (0,0)$: $\{u = c'\}$ é uma reta, e toda reta $ax + by = c'$ é um tal conjunto de nível. Se $u(M), u(N) \geq
c$ e $t \in \intcc01$, então $u\bigl(\operatorname{bar}(M,
1-t; N, t)\bigr) = (1-t)u(M) + tu(N) \geq c$: os semiplanos são [convexos](#def-b2-affine-convex).

**6.** As condições $\sum\mu_i = 0$, $3\mu_2 + \mu_4 =
0$, $3\mu_3 + \mu_4 = 0$ dão (tomando $\mu_4 = 3$) a dependência $(\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4) = (-1, -1, -1, 3)$. Os sinais se separam como $\{A_4\} \mid \{A_1, A_2, A_3\}$ e, normalizando cada lado por $3$:

$$
A_4 = \operatorname{bar}\bigl(A_1, \tfrac13;\ A_2, \tfrac13;\
A_3, \tfrac13\bigr) = (1,1),
$$

o centroide do triângulo: o ponto de Radon é o próprio $A_4$, que de fato está dentro do triângulo $A_1A_2A_3$.

**7.** A aplicação linear $\Phi \colon \R^{n+2} \to \R
\times \R^n$, $\mu \mapsto (\sum\mu_i,\
\sum\mu_i\vect{OA_i})$, tem posto $\leq n + 1$, logo $\dim\ker
\Phi \geq 1$. Se existissem duas dependências independentes $\mu, \mu'$, uma combinação adequada $\nu = \mu'_{n+2}\mu -
\mu_{n+2}\mu'$ (ou o próprio $\mu$, se os dois últimos coeficientes se anulassem) seria uma dependência *não nula* com $\nu_{n+2}
= 0$; restringindo a $A_1, \dots, A_{n+1}$ e rebaseando em $A_1$, algum $\nu_i \neq 0$ com $i \geq 2$ (um único peso não nulo não pode somar zero), dando uma relação não trivial $\sum_{i\geq2}\nu_i\vect{A_1A_i} = 0$: os $n+1$ pontos seriam afinmente dependentes, contra a posição geral. Logo $\dim\ker
\Phi = 1$. O mesmo argumento de restrição mostra que uma dependência não nula não tem coeficiente nulo.

**8.** Seja $\mu \neq 0$ uma dependência, $P = \{i :
\mu_i > 0\}$ e $N = \{i : \mu_i < 0\}$: ambos não vazios ($\sum\mu_i = 0$, $\mu \neq 0$) e exaustivos (nenhum coeficiente nulo). A construção de Radon ([Exercício 17.7](#exo-b2-affine-7)) produz o ponto comum das envoltórias exatamente a partir dessa partição. Como a dependência é única a menos de escalar não nulo (questão 7), o par não ordenado $\{P, N\}$ — logo a partição de Radon — é único.

**9.** Os blocos são não vazios, de modo que o tipo é $(1,3)$ ou $(2,2)$. Tipo $(1,3)$, bloco $\{j\}$: o ponto de Radon está em $\operatorname{conv}\{A_j\} = \{A_j\}$, logo $A_j \in
\operatorname{conv}$ dos outros três; ele não pode estar numa aresta (três dos pontos seriam alinhados, contra a posição geral), de modo que $A_j$ é interior ao triângulo. Tipo $(2,2)$, blocos $\{i,j\} \mid \{k,l\}$: o ponto de Radon $z$ está em $\intcc{A_i}{A_j} \cap \intcc{A_k}{A_l}$, e $z$ não é extremidade (isso alinharia três pontos): os dois segmentos se cruzam num ponto interior. Além disso, nenhum ponto está na envoltória dos outros: uma tal contenção $A_l =
\operatorname{bar}(A_i, \lambda_i)_{i \neq l}$ com $\lambda_i \geq 0$ é uma dependência [afim](#def-b2-affine-subspace) de padrão de sinais $(+,+,+,-)$, o que, pela unicidade (questão 8), tornaria a partição $(1,3)$. Assim, no caso $(2,2)$, os quatro pontos estão em posição [convexa](#def-b2-affine-convex) e os segmentos que se cruzam são as diagonais.

**10.** As equações $\mu_2 + \mu_3 = 0$, $\mu_3 +
\mu_4 = 0$, $\sum\mu_i = 0$ dão a dependência $(1, -1, 1,
-1)$: partição $\{(0,0), (1,1)\} \mid \{(1,0), (0,1)\}$, e

$$
\operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (1,1),
\tfrac12\bigr) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr) =
\operatorname{bar}\bigl((1,0), \tfrac12;\ (0,1),
\tfrac12\bigr) :
$$

o ponto de Radon é o centro do quadrado, onde as duas diagonais se cruzam — tipo $(2,2)$, como a figura prevê.

**11.** Radon aplicado a $x_1, \dots, x_4$ dá blocos $I \mid J$ e um ponto $z \in \operatorname{conv}\{x_i : i
\in I\} \cap \operatorname{conv}\{x_j : j \in J\}$. Fixe $k
\in \{1, \dots, 4\}$, digamos $k \in I$. Todo $j \in J$ satisfaz $j \neq k$, logo $x_j \in C_k$ pela escolha $x_j \in
\bigcap_{l \neq j}C_l$; como $C_k$ é [convexo](#def-b2-affine-convex), $z \in
\operatorname{conv}\{x_j : j \in J\} \subseteq C_k$. Como $k$ era arbitrário, $z \in C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cap C_4$.

**12.** Indução sobre $m$. Para $m = 3$ a hipótese é a conclusão; $m = 4$ é a questão 11. Seja $m \geq 4$, suponha o enunciado para $m$ conjuntos e tome $C_1, \dots,
C_{m+1}$ com a propriedade das interseções triplas. Ponha $C_m' =
C_m \cap C_{m+1}$, [convexo](#def-b2-affine-convex). A família $C_1, \dots, C_{m-1},
C_m'$ tem $m$ membros; uma tripla que evita $C_m'$ se intersecta por hipótese, e uma tripla $\{C_i, C_j, C_m'\}$ tem interseção $C_i \cap C_j \cap C_m \cap C_{m+1}$, não vazia pela questão 11 aplicada a $C_i, C_j, C_m, C_{m+1}$ (quaisquer três deles se encontram, por hipótese). A hipótese de indução agora fornece um ponto comum à nova família, isto é, aos $m+1$ conjuntos.

**13.** (a) Os lados fechados $\intcc PQ$, $\intcc QR$, $\intcc RP$ de um triângulo não degenerado: quaisquer dois compartilham um vértice, mas um ponto comum aos três estaria em $\intcc
PQ \cap \intcc RP = \{P\}$ e em $\intcc QR$, o que exclui $P$. (b) Quaisquer três dos conjuntos $S_i = \{x_1, \dots, x_4\}
\setminus \{x_i\}$ omitem três dos quatro pontos, deixando exatamente um ponto comum; a interseção total omite todos os pontos. Os $S_i$ são finitos, não [convexos](#def-b2-affine-convex): a convexidade é essencial. (c) Um número finito de $H_k = \intco{k}{+\infty} \times
\R$ se intersecta em $\intco{k_{\max}}{+\infty} \times \R \neq
\emptyset$, e no entanto nenhum ponto tem $x \geq k$ para todo $k \in \N$: para famílias infinitas, a [compacidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) é essencial.

**14.** Suponha $\bigcap_{i \in I}K_i = \emptyset$ e fixe $i_0$. Todo $x \in K_{i_0}$ escapa de algum $K_i$, logo $K_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in I}(\R^2 \setminus K_i)$, uma cobertura por [abertos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) ($K_i$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact), logo fechado). Por Borel–Lebesgue ([Teorema 4.20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#thm-b2-metric-borellebesgue)), um número finito basta: $K_{i_0} \cap K_{i_1} \cap \dots \cap K_{i_N} =
\emptyset$. Mas quaisquer três membros dessa família finita de [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex) se intersectam, de modo que a questão 12 torna a interseção não vazia: contradição.

**15.** Ponha $D_p = \overline D(p, r)$ para $p \in S$: [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex) [compactos](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact). Para $p, q, s \in S$, a hipótese dá um disco fechado $\overline D(z, r)$ que contém $p, q, s$; então $\norm{\vect{zp}}, \norm{\vect{zq}}, \norm{\vect{zs}}
\leq r$, isto é, $z \in D_p \cap D_q \cap D_s$. Por Helly (questão 12; a família é finita) existe $c \in
\bigcap_{p \in S}D_p$: todo $p \in S$ satisfaz $\norm{\vect{cp}} \leq r$, logo $S \subseteq \overline D(c,
r)$.

**16.** Seja $c = x_{\lceil n/2\rceil}$. Uma semirreta fechada que contém $c$ é $\intoc{-\infty}{t}$ com $t \geq
c$ ou $\intco{t}{+\infty}$ com $t \leq c$. A primeira contém $x_1, \dots, x_{\lceil n/2\rceil}$: ao menos $\lceil n/2\rceil \geq n/2$ pontos. A segunda contém $x_{\lceil n/2\rceil}, \dots, x_n$: exatamente $n - \lceil
n/2\rceil + 1 = \floor{n/2} + 1 > n/2$ pontos.

**17.** $\abs{A \cap B} = \abs A + \abs B - \abs{A \cup
B} \geq \abs A + \abs B - n > \tfrac{4n}3 - n = \tfrac n3$, logo

$$
\abs{A \cap B \cap C} \geq \abs{A \cap B} + \abs C - n >
\tfrac n3 + \tfrac{2n}3 - n = 0 .
$$

**18.** Note que $m > 2n/3$. Para $T_1, T_2, T_3 \subseteq S$ de cardinalidade $m$, a questão 17 fornece um ponto $x \in T_1
\cap T_2 \cap T_3$; então $x \in \operatorname{conv}(T_i)$ para cada $i$: quaisquer três membros de $\mathcal F$ se encontram. A família é finita (finitos subconjuntos de $S$) e consiste em [conjuntos convexos](#def-b2-affine-convex), de modo que Helly (questão 12) dá $c \in
\bigcap_{\abs T = m}\operatorname{conv}(T)$.

**19.** Suponha que algum semiplano fechado $H \ni c$ contenha menos de $n/3$ pontos de $S$. Seu complementar $U$ é um semiplano [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology), [convexo](#def-b2-affine-convex), com $\abs{S \cap U} > 2n/3$, logo $\abs{S \cap U} \geq \floor{2n/3} + 1 = m$; escolha $T
\subseteq S \cap U$ com $\abs T = m$. Então $\operatorname{conv}(T) \subseteq U$ pela convexidade de $U$, de modo que $c \in \operatorname{conv}(T) \subseteq U$: contradição com $c \in H$. Portanto todo semiplano fechado que contém $c$ contém ao menos $n/3$ pontos: $c$ é um ponto central.

**20.** Tome o triângulo equilátero de lado $L$ e $\varepsilon = L/100$. Seja $c$ um ponto qualquer; exibimos um semiplano fechado que contém $c$ e no máximo $k$ pontos.

*Caso 1: $c$ está a menos de $L/10$ de um vértice, digamos $B$.* As direções de $c$ para $A$ e para $C$ desviam das direções $B \to A$, $B \to C$ em no máximo $\arcsin\bigl(\tfrac{L/10}{9L/10}\bigr) = \arcsin\tfrac19$, de modo que fazem um ângulo $\leq \tfrac\pi3 + 2\arcsin\tfrac19 <
\tfrac{2\pi}3$. *Caso 2: $c$ está a distância $> L/10$ de todos os vértices.* Se $c$ está no triângulo, as três lacunas angulares entre as direções $u_A, u_B, u_C$ de $c$ aos vértices somam $2\pi$, de modo que alguma lacuna é $\leq 2\pi/3$; se $c$ está fora, as três direções estão num semiplano [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) de direções e duas delas fazem um ângulo $<
\pi/2$. Em todos os casos duas direções, digamos rumo a $X$ e $Y$, fazem um ângulo $\leq 2\pi/3$; seja $w$ sua bissetriz unitária, de modo que $\langle u_X, w\rangle, \langle u_Y, w\rangle \geq
\cos\tfrac\pi3 = \tfrac12$. Para qualquer ponto $b$ do disco em torno de $X$:

$$
\langle \vect{cb}, w\rangle \geq
\tfrac12\norm{\vect{cX}} - \varepsilon > 0,
$$

pois $\norm{\vect{cX}} \geq L/10 > 2\varepsilon$ (e do mesmo modo para $Y$): o semiplano [aberto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-topology) $\{\langle \vect{cx},
w\rangle > 0\}$ engole os dois aglomerados. Seu complementar fechado contém $c$ e no máximo os $k$ pontos do terceiro aglomerado. Assim nenhum ponto do plano supera $n/3$: com a questão 19, a constante do ponto central é exatamente $1/3$.

**21.** Ordene os ângulos; o maior, $\theta$, satisfaz $\theta \geq \pi/3$ (os três somam $\pi$). Se $\theta \geq \pi/2$, digamos em $R$, seja $M$ o ponto médio do lado oposto $\intcc PQ$. A fórmula da mediana ($\vect{RM}
= \tfrac12(\vect{RP} + \vect{RQ})$, desenvolva e elimine $\langle\vect{RP}, \vect{RQ}\rangle$ pela lei dos cossenos) dá

$$
\norm{\vect{RM}}^2 = \tfrac12\norm{\vect{RP}}^2 +
\tfrac12\norm{\vect{RQ}}^2 - \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2 \leq
\tfrac12\norm{\vect{PQ}}^2 - \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2 =
\tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2,
$$

usando $\norm{\vect{PQ}}^2 = \norm{\vect{RP}}^2 +
\norm{\vect{RQ}}^2 - 2\langle\vect{RP}, \vect{RQ}\rangle \geq
\norm{\vect{RP}}^2 + \norm{\vect{RQ}}^2$ (o produto interno é $\leq 0$). Assim o disco de diâmetro $\intcc PQ$, de raio $\leq \tfrac12 < \tfrac1{\sqrt3}$, contém os três pontos (as triplas alinhadas degeneradas caem sob $\theta = \pi$). Se $\theta < \pi/2$, o triângulo é acutângulo; pela lei dos senos o raio da circunferência circunscrita é $R_c = a/(2\sin\theta)$, com $a \leq 1$ o lado oposto a $\theta$, e $\theta \in
\intco{\pi/3}{\pi/2}$ dá $\sin\theta \geq \sqrt3/2$, logo $R_c \leq 1/\sqrt3$: o disco circunscrito resolve.

**22.** Para $p \in S$ seja $K_p = \overline D(p,
1/\sqrt3)$: [convexo](#def-b2-affine-convex) [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact). Quaisquer três pontos $p, q, s$ de $S$ estão dois a dois a distância $\leq 1$, de modo que a questão 21 dá um disco de raio $1/\sqrt3$ que os contém: seu centro está em $K_p \cap K_q \cap K_s$. Por Helly [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) (questão 14, famílias arbitrárias permitidas) existe $c \in \bigcap_{p\in
S}K_p$: todo $p \in S$ está a menos de $1/\sqrt3$ de $c$, isto é, $S
\subseteq \overline D(c, 1/\sqrt3)$. Esse é o teorema de Jung no plano.

**23.** Com $G$ o centroide, $\sum_i\vect{GA_i} = 0$, logo

$$
\sum_i\norm{\vect{OA_i}}^2 = \sum_i\norm{\vect{OG} +
\vect{GA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + 2\Bigl\langle
\vect{OG}, \sum_i\vect{GA_i}\Bigr\rangle +
\sum_i\norm{\vect{GA_i}}^2,
$$

e o termo do meio se anula: a identidade de Leibniz. Para o triângulo equilátero de lado $1$, $\norm{\vect{GA_i}} =
1/\sqrt3$ (dois terços da altura $\sqrt3/2$), logo $\sum_i\norm{\vect{GA_i}}^2 = 1$. Se $\overline D(O, r)$ contém os vértices, então $3r^2 \geq
\sum_i\norm{\vect{OA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + 1 \geq 1$: $r \geq 1/\sqrt3$, com igualdade forçando $O = G$ e as três distâncias iguais a $r$ — o disco circunscrito. A constante $1/\sqrt3$ de Jung é ótima.

**24.** *Helly em $\R^n$: se $C_1, \dots, C_m$ ($m \geq n + 1$) são partes [convexas](#def-b2-affine-convex) de $\R^n$ e quaisquer $n + 1$ delas se intersectam, então todas se intersectam.* Caso base $m = n +
2$: escolha $x_i \in \bigcap_{j\neq i}C_j$; o lema de Radon ([Exercício 17.7](#exo-b2-affine-7)) separa $x_1, \dots, x_{n+2}$ em blocos $I \mid J$ com um ponto comum das envoltórias $z$ e, para cada $k$, o bloco que não contém $k$ consiste em pontos de $C_k$, logo $z \in C_k$ por convexidade, exatamente como na questão 11. Passo de indução para $m \geq n + 2$: substitua $C_m,
C_{m+1}$ por $C_m \cap C_{m+1}$; uma $(n+1)$-upla da nova família que contenha o membro intersectado equivale a $n + 2$ dos conjuntos antigos, tratados pelo caso base, e as demais uplas estão cobertas pela hipótese. Conclua pela hipótese de indução.

**25.** A álgebra linear entra uma única vez: $n + 2$ vetores no espaço de dimensão $(n+1)$ dos pares (peso total, posição ponderada) têm de ser dependentes — essa é a dependência [afim](#def-b2-affine-subspace). Os sinais de seus coeficientes separam os pontos nos dois blocos de Radon e transformam uma relação linear numa igualdade de dois [baricentros](#def-b2-affine-barycenter) não negativos. A convexidade é usada exatamente duas vezes: no passo de Helly (a envoltória de pontos de $C_k$ permanece em $C_k$) e nas aplicações (semiplanos e discos são [convexos](#def-b2-affine-convex)). A dimensão do plano entrou apenas pelo número $4 = 2 + 2$ de pontos entregues a Radon, isto é, o “$3 = 2 + 1$” da hipótese de Helly; todo o resto foi independente da dimensão, como a questão 24 confirma. Em $\R^n$ as constantes tornam-se: número de Helly $n + 1$; constante do ponto central $\frac1{n+1}$ (todo conjunto finito tem um ponto tal que todo semiespaço fechado que passa por ele contém uma fração $\geq
\frac1{n+1}$ do conjunto); raio de Jung $\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$ para conjuntos de diâmetro $1$ — igual a $1/\sqrt3$ quando $n = 2$.