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title: "Curvas"
book: "Matemática universitária — Graduação 2"
subject: math
language: pt
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/18-curvas
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# Capítulo 18 — Curvas

A geometria agora se torna diferencial. Uma curva é um ponto que se move pelo espaço; o cálculo nos dá sua velocidade e sua aceleração, e a geometria pergunta o que é intrínseco — independente da rapidez com que percorremos a trajetória. As respostas são o *[comprimento de arco](#def-b2-curves-length)*, que mede a própria trajetória, e a *[curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d)*, que mede quanto ela se dobra. Em dimensão $3$ um segundo invariante, a *[torção](#thm-b2-curves-frenet3d)*, mede quanto a curva se torce para fora de seu plano. O dispositivo de contabilidade de tudo isso é o *referencial de Frenet* móvel.

## 18.1 Arcos parametrizados

**Definição 18.1 (Arco parametrizado).**

Um *arco parametrizado* de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) é uma aplicação $\gamma \colon I \to \R^n$ de classe $\mathcal{C}^k$ num intervalo $I$. Um ponto $\gamma(t)$ é *regular* se $\gamma'(t) \neq 0$, e o arco é *regular* se todos os seus pontos o são. A reta por $\gamma(t)$ dirigida por $\gamma'(t)$ é a *reta tangente* num ponto regular.

**Definição 18.2 (Mudança de parâmetro).**

Uma *mudança de parâmetro* de classe $\mathcal{C}^k$ é um difeomorfismo $\theta \colon J \to I$ de classe $\mathcal{C}^k$ entre intervalos ($\theta' \neq 0$ em toda parte). Os arcos $\gamma$ e $\gamma \circ \theta$ dizem-se *equivalentes*; um *arco geométrico* (ou curva) é uma classe de equivalência. As noções invariantes por mudança de parâmetro — a trajetória, a [reta tangente](#def-b2-curves-arc), o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length), a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) — são ditas *geométricas*.

**Observação 18.3.**

A trajetória sozinha não determina o [arco geométrico](#def-b2-curves-reparam): as parametrizações $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ em $[0, 2\pi]$ e em $[0, 4\pi]$ têm a mesma imagem, mas percorrem o círculo uma e duas vezes. Um [arco geométrico](#def-b2-curves-reparam) lembra a multiplicidade e a orientação do percurso, não sua velocidade.

**Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico).**

Parametrize o círculo unitário por

$$
\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2),
\qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .
$$

A velocidade escalar $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ cresce linearmente, e no entanto

$$
L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,
$$

o mesmo [comprimento](#def-b2-curves-length) que a velocidade constante — como o [Teorema 18.7](#thm-b2-curves-lengthinv) promete, via a [mudança de parâmetro](#def-b2-curves-reparam) $t \mapsto t^2$. A [reta tangente](#def-b2-curves-arc), a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) calculada a partir de [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula) e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só $t = 0$ merece um olhar, onde $\gamma'(0) = 0$ torna *esta parametrização* irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

**Exemplo 18.5.**

O arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ é $\mathcal{C}^\infty$ mas não é regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$. Sua trajetória, a parábola semicúbica $y^2 = x^3$, tem uma *cúspide* na origem: a suavidade da parametrização não impede uma singularidade geométrica onde a velocidade se anula. É por isso que a hipótese de regularidade $\gamma' \neq 0$ não é cosmética.

## 18.2 Comprimento de arco

**Definição 18.6 (Comprimento de arco).**

Seja $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ um arco $\mathcal{C}^1$. Seu *comprimento* é

$$
L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,
$$

em que $\norm{\cdot}$ é a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) euclidiana. A *função comprimento de arco* com base em $t_0$ é $s(t) = \int_{t_0}^t
\norm{\gamma'(u)}\,\dd u$.

**Teorema 18.7 (O comprimento é geométrico; caracterização poligonal).**

1. Se $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ é uma [mudança de parâmetro](#def-b2-curves-reparam) $\mathcal{C}^1$ , então $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
2. $L(\gamma)$ é o supremo dos [comprimentos](#def-b2-curves-length) das poligonais inscritas: $$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$$

**Demonstração.** *1.* Pela mudança de variáveis $t = \theta(u)$ (volume do primeiro ano de graduação, válida pois $\theta$ é $\mathcal{C}^1$ monótona),

$$
\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u
= \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u
= \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,
$$

em que usamos $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot
(\gamma'\circ\theta)$ e, se $\theta$ é decrescente, o sinal de $\theta'$ é absorvido pela inversão dos limites.

*2.* Para qualquer subdivisão, $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) =
\int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$, de modo que, pela desigualdade triangular para integrais, $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})}
\leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$: toda poligonal é mais curta que $L(\gamma)$, logo $\sup \leq L(\gamma)$.

Para a desigualdade recíproca, seja $\varepsilon > 0$. Como $\gamma'$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) no [compacto](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-compact) $[a,b]$, ela é uniformemente contínua: existe $\delta > 0$ com $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq
\varepsilon$ sempre que $\abs{t - u} \leq \delta$. Tome uma subdivisão de passo $\leq \delta$. Em cada pedaço, para $t \in [t_{i-1}, t_i]$,

$$
\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})
= \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t
= (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i,
\qquad
\norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),
$$

pois $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) -
\gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$. Logo

$$
\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})}
\geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}
- \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .
$$

Somando e comparando $\sum (t_i -
t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ com $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (uma soma de Riemann da função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $\norm{\gamma'}$, a menos de $\varepsilon(b - a)$ da integral para $\delta$ pequeno o bastante, de novo pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) uniforme), obtemos uma poligonal de [comprimento](#def-b2-curves-length) $\geq
L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$. Fazendo $\varepsilon \to 0$ prova-se a afirmação. ∎

**Exemplo 18.8 (Arquimedes e as poligonais inscritas).**

Para o círculo unitário, o $n$-ágono regular inscrito tem [comprimento](#def-b2-curves-length) $L_n = 2n\sin\frac\pi n$, e o desenvolvimento $\sin x = x -
\frac{x^3}6 + O(x^5)$ dá

$$
L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :
$$

os [comprimentos](#def-b2-curves-length) poligonais do [Teorema 18.7](#thm-b2-curves-lengthinv) convergem *quadraticamente*. Numericamente: $L_6 = 6$ (o hexágono, dando o rústico $\pi > 3$), enquanto $L_{96} =
192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ contra $2\pi \approx
6.28319$ — o erro $0.00113$ concorda com o previsto $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$. É por isso que Arquimedes, dobrando o hexágono cinco vezes até $96$ lados, conseguiu enquadrar $\pi$ com três algarismos à mão: cada duplicação divide o erro por quatro. O supremo da caracterização poligonal não é apenas atingido no limite; ele é atingido *rápido*, porque uma curva suave se separa de suas cordas apenas em segunda ordem.

**Teorema 18.9 (Parametrização por comprimento de arco).**

Seja $\gamma \colon I \to \R^n$ um arco $\mathcal{C}^k$ regular ($k \geq 1$). A [função comprimento de arco](#def-b2-curves-length) $s$ é um difeomorfismo $\mathcal{C}^k$ de $I$ sobre um intervalo $J$, e $\tilde\gamma =
\gamma \circ s^{-1}$ satisfaz $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ em toda parte. A menos de translação do parâmetro e de orientação, essa parametrização por *[comprimento de arco](#def-b2-curves-length)* (ou de *velocidade unitária*) é única.

**Demonstração.** $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ e $s'$ é $\mathcal{C}^{k-1}$ (composição da aplicação $\gamma'$ de classe $\mathcal{C}^{k-1}$ com a [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm), suave fora de $0$), de modo que $s$ é $\mathcal{C}^k$, estritamente crescente, uma bijeção sobre $J = s(I)$, e sua inversa é $\mathcal{C}^k$ pelo teorema da função inversa em dimensão $1$ (volume do primeiro ano de graduação). Então

$$
\tilde\gamma'(\sigma)
= \frac{\gamma'(t)}{s'(t)}
= \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}},
\qquad t = s^{-1}(\sigma),
$$

um vetor unitário. Se $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ é outra parametrização de velocidade unitária, então $\abs{\theta'} = 1$, logo $\theta'
= \pm 1$ é constante ([continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity)), isto é, $\theta(u) = \pm u + c$. ∎

**Observação 18.10.**

O [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) é o parâmetro que separa a geometria da dinâmica. Uma trajetória pode ser percorrida com qualquer perfil de velocidade — a física do movimento — mas toda questão invariante por parametrização (forma, dobramento, osculação) tem um relógio canônico, a distância percorrida. É por isso que todas as fórmulas de [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) abaixo são *definidas* com velocidade unitária e depois *traduzidas* para parametrizações arbitrárias pela regra da cadeia: os fatores de tradução são potências de $v = s'$, e acompanhá-los corretamente é todo o conteúdo da [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula).

**Exemplo 18.11 (Círculo e hélice).**

Para o círculo $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $\norm{\gamma'} =
R$, de modo que $s = Rt$ e o [comprimento](#def-b2-curves-length) de uma volta completa é $2\pi R$. Para a hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ com $a > 0$, $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ é constante: a hélice é percorrida com velocidade constante, e $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$.

**Exemplo 18.12 (Comprimento de arco em coordenadas polares).**

Uma curva polar $r = r(\theta)$ é o arco $\gamma(\theta) =
(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$, com

$$
\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\
r'\sin\theta + r\cos\theta),
\qquad
\norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2
$$

(os termos cruzados se cancelam): o elemento polar de [comprimento](#def-b2-curves-length) é $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$. Para a cardioide $r = 1 +
\cos\theta$:

$$
r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 +
2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,
$$

e em $\intcc{-\pi}{\pi}$ o cosseno do arco metade é não negativo, logo

$$
L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta
= \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}
= 4 - (-4) = 8 :
$$

como o arco de cicloide do [Exercício 18.1](#exo-b2-curves-1), uma curva construída a partir de círculos tem [comprimento](#def-b2-curves-length) racional, sem $\pi$ em lugar algum. A fatoração pelo arco metade é o truque padrão para [comprimentos](#def-b2-curves-length) de curvas [geradas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por círculos; quando ele falha (a elipse), o [comprimento](#def-b2-curves-length) é uma função genuinamente nova — uma integral elíptica, além das formas fechadas elementares.

## 18.3 Curvatura no plano

Em toda esta seção, os arcos são $\mathcal{C}^2$ e regulares no plano euclidiano orientado. Parametrizamos por [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) e escrevemos $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ para a tangente unitária e $N(s)$ para o vetor unitário diretamente ortogonal a $T(s)$ (rotação de $T$ por $+\pi/2$).

**Teorema 18.13 (Fórmulas de Frenet no plano).**

Seja $\tilde\gamma$ um arco $\mathcal{C}^2$ de velocidade unitária no plano orientado. Existe uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $\kappa$, a *curvatura* (algébrica), tal que

$$
T'(s) = \kappa(s)\, N(s),
\qquad
N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).
$$

**Demonstração.** Como $\norm{T(s)}^2 = 1$ para todo $s$, derivar o produto escalar dá $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$: $T'(s)$ é ortogonal a $T(s)$, logo colinear com $N(s)$ (dimensão $2$); escreva $T'(s)
= \kappa(s) N(s)$ com $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$, [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). Do mesmo modo, $N' \perp N$, logo $N' = \lambda T$; e derivar $\langle T, N\rangle = 0$ dá $\langle T', N\rangle +
\langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$. ∎

**Definição 18.14.**

Quando $\kappa(s) \neq 0$, o *raio de curvatura* é $R(s) =
1/\abs{\kappa(s)}$ e o *centro de curvatura* é $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$; o círculo com esse centro e raio $R(s)$ é o *círculo osculador*, a melhor aproximação circular da curva em $\tilde\gamma(s)$.

**Exemplo 18.15 (O círculo osculador da exponencial).**

Para $y = \eu^x$ no ponto $(0, 1)$: $f'(0) = f''(0) = 1$, de modo que, pela fórmula do gráfico adiante,

$$
\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2},
\qquad R = 2\sqrt2 .
$$

A tangente unitária é $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$, a normal direta $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$, e o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature) é

$$
(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :
$$

o [círculo osculador](#def-b2-curves-curvature) tem equação $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 =
8$. Como verificação da afirmação “melhor aproximação circular”: resolver a equação do círculo em $y$ perto de $(0,1)$ e desenvolver dá $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — exatamente o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de $\eu^x$. O [círculo osculador](#def-b2-curves-curvature) casa valor, inclinação *e* segunda derivada; um círculo tangente comum casaria apenas os dois primeiros.

**Exemplo 18.16 (A evoluta de um círculo é seu centro).**

Para o círculo de raio $R$ percorrido no sentido anti-horário, $\kappa = 1/R$ e $N$ aponta para o centro, de modo que o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature) $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ é o centro do círculo, para todo $s$: o [círculo osculador](#def-b2-curves-curvature) de um círculo é o próprio círculo, e o lugar dos [centros de curvatura](#def-b2-curves-curvature) colapsa num ponto. Esse caso degenerado calibra o [Exercício 18.6](#exo-b2-curves-6): ali a velocidade da evoluta é $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$, que se anula identicamente precisamente quando $\kappa$ é constante.

**Proposição 18.17 (Curvatura numa parametrização arbitrária).**

Para um arco plano $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ regular de classe $\mathcal{C}^2$,

$$
\kappa(t)
= \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)}
       {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,
$$

em particular $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ para um gráfico $y = f(x)$.

**Demonstração.** Escreva $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$, de modo que $\gamma' = vT$ (compondo os dados de velocidade unitária com $s$). Derivando,

$$
\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .
$$

Tome agora o [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) (na base canônica orientada) de $(\gamma', \gamma'')$: como $\det(T, T) = 0$ e $\det(T, N) = 1$,

$$
\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N)
= v^3\kappa .
$$

O membro da esquerda é $x'y'' - y'x''$, e $v^3 = (x'^2 +
y'^2)^{3/2}$. O caso do gráfico é a parametrização $t \mapsto (t,
f(t))$. ∎

**Exemplo 18.18 (Círculo, reta, parábola).**

Uma reta tem $\kappa = 0$ (e reciprocamente: $T' = 0$ significa $T$ constante, logo $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$, uma reta). O círculo de raio $R$ percorrido no sentido anti-horário tem $\kappa = 1/R$: com $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, a fórmula dá $\kappa =
R^2/R^3$. Para a parábola $y = x^2/2$: $\kappa(x) = 1/(1 +
x^2)^{3/2}$, máxima no vértice — a parábola é mais fortemente dobrada onde ela dá a volta.

**Observação 18.19 (Armadilhas comuns em torno da curvatura).**

(i) A [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) algébrica de um arco plano muda de sinal quando se inverte a orientação do arco ou do plano: só $\abs\kappa$ e $R = 1/\abs\kappa$ são puramente geométricos. Um círculo percorrido no sentido horário tem $\kappa = -1/R$. (ii) A fórmula do gráfico $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ escolhe silenciosamente a parametrização por $x$; aplicá-la a uma curva que não é gráfico perto do ponto (tangente vertical) é o erro clássico. (iii) Num ponto em que $\gamma' = 0$ nada está definido — nem $T$ nem $\kappa$ — e a trajetória pode realmente quebrar ([Exemplo 18.5](#ex-b2-curves-cusp)); verifique sempre a regularidade antes de derivar a tangente unitária. (iv) No espaço, $\kappa =
\norm{T'} \geq 0$ por convenção: não há sinal a errar, mas também não há sinal a explorar — a informação do tipo inflexão migra para a [torção](#thm-b2-curves-frenet3d). (v) Por fim, $\kappa$ é uma derivada *em relação ao [comprimento de arco](#def-b2-curves-length)*: para uma parametrização que não é de velocidade unitária, esquecer o fator $v^3$ em [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula) é o erro mais frequente na prática.

![A parábola y = x2/2, seu referencial de Frenet móvel (T, N) e o círculo osculador no vértice (raio 1, pois (0) = 1). O referencial gira à medida que o ponto se move; a curvatura é a taxa desse giro por unidade de comprimento de arco.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-curves/fig-777915dcc0d1.svg)

***Figura 18.1.** A parábola $y = x^2/2$, seu referencial de Frenet móvel $(T,
N)$ e o [círculo osculador](#def-b2-curves-curvature) no vértice (raio $1$, pois $\kappa(0) = 1$). O referencial gira à medida que o ponto se move; a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) é a taxa desse giro por unidade de [comprimento de arco](#def-b2-curves-length).*

**Teorema 18.20 (A curvatura determina a curva).**

Seja $\kappa \colon J \to \R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity). Existe um arco $\mathcal{C}^2$ de velocidade unitária no plano com [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) $\kappa$, e ele é único a menos de uma isometria direta (rotação seguida de translação).

**Demonstração.** *Existência.* Fixe $s_0 \in J$ e ponha $\varphi(s) =
\int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$, depois

$$
\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\
\int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).
$$

Então $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ é um vetor unitário, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ e

$$
T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi)
= \kappa(s)\,N(s) :
$$

o arco tem velocidade unitária e [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) $\kappa$.

*Unicidade.* Sejam $\gamma_1, \gamma_2$ arcos de velocidade unitária com a mesma [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d). Cada tangente unitária se levanta a uma função ângulo, por uma construção explícita: veja $T_j$ como o número complexo $z_j = a_j + \iu b_j$ de módulo $1$, escolha $\varphi_j(0)$ com $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ e ponha

$$
\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j,
T_j'\bigr)(u)\,\dd u .
$$

De $\abs{z_j} = 1$: $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') =
0$, logo $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') =
\iu\,\varphi_j'$, isto é, $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$; então

$$
\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)'
= \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,
$$

de modo que $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ em toda parte: $T_j =
(\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ com $\varphi_j$ de classe $\mathcal C^1$. Além disso, $\det(T_j, T_j') = \det(T_j,
\kappa N_j) = \kappa$, logo $\varphi_j' = \kappa$. Portanto $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ para uma constante $c$: $T_2$ é $T_1$ girado pelo ângulo fixo $c$, de modo que, integrando, $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$, em que $\rho$ é a rotação de ângulo $c$ e $w$ um vetor constante. ∎

**Observação 18.21.**

Esse é o protótipo unidimensional de um *teorema fundamental da geometria*: um conjunto completo de invariantes locais (aqui, uma função) classifica o objeto a menos de movimento rígido. A versão tridimensional adiante precisa de dois invariantes.

**Exemplo 18.22 (Curvatura constante significa círculo).**

Tome $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ na fórmula de existência: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ e

$$
\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\
\frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :
$$

o círculo de raio $1/\kappa_0$ centrado em $(0,
1/\kappa_0)$, percorrido com velocidade unitária. Pela metade de unicidade do teorema, *todo* arco de velocidade unitária de [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) constante $\kappa_0$ é um pedaço de círculo de raio $1/\kappa_0$ (ou uma reta se $\kappa_0 = 0$) — a recíproca do cálculo do [Exemplo 18.18](#ex-b2-curves-kappaexamples), e o caso plano do [Exercício 18.9](#exo-b2-curves-9).

**Exemplo 18.23 (Reconstruir uma curva a partir de sua curvatura).**

Que curva de velocidade unitária tem [raio de curvatura](#def-b2-curves-curvature) $R(s) = 1 +
s^2$? Seguindo a demonstração de existência com $\kappa(s) =
\frac1{1+s^2}$ e $s_0 = 0$: $\varphi(s) = \arctan s$, logo

$$
T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s)
= \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\
\frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),
$$

e, integrando,

$$
\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\
\sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).
$$

Pondo $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$, isto é, $s = \sinh x$, a segunda coordenada é $\cosh x - 1$: a curva é a *catenária* $y = \cosh x - 1$. Isso fecha o círculo com o [Exercício 18.3](#exo-b2-curves-3), em que calculamos $R = \cosh^2 x = 1 +
\sinh^2 x = 1 + s^2$ diretamente: o teorema fundamental garante que a catenária é a *única* curva com esse perfil de [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d), a menos de isometria direta.

**Observação 18.24 (Onde a curvatura é usada em seguida).**

A decomposição $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ obtida na demonstração da [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula) é a cinemática de todo movimento curvo: aceleração tangencial contra aceleração centrípeta. A [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) volta para superfícies ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces)) pela [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) das curvas nelas desenhadas, e o cálculo de [envoltórias](#pb-b2-curves-1) do problema de fim de semana deste capítulo — evolutas, cáusticas — é a ótica geométrica das frentes de onda. O volume do terceiro ano de graduação retoma o ponto de vista intrínseco para subvariedades de $\R^n$.

## 18.4 Referencial de Frenet no espaço

Seja agora $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ um arco $\mathcal{C}^3$ de velocidade unitária que seja *birregular*: $T'(s) \neq 0$ para todo $s$. Então $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ define a *[curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d)* (sem sinal no espaço: não há orientação normal preferida), e pomos:

$$
N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)}
\quad\text{(normal principal)},
\qquad
B(s) = T(s) \wedge N(s)
\quad\text{(binormal)} ,
$$

de modo que $(T, N, B)$ é um referencial ortonormal direto, o *referencial de Frenet*. O plano por $\tilde\gamma(s)$ [gerado](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/1-conjuntos-e-estruturas#def-b2-structures-generated) por $T, N$ é o *plano osculador*.

**Teorema 18.25 (Fórmulas de Frenet no espaço).**

Existe uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) $\tau$, a *torção*, com

$$
T' = \kappa N, \qquad
N' = -\kappa T + \tau B, \qquad
B' = -\tau N .
$$

**Demonstração.** A primeira fórmula é a definição de $N$. Cada um dos vetores $T, N, B$ tem [norma](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) constante $1$ e eles são dois a dois ortogonais; derivar as seis relações $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ mostra que a matriz de $(T', N', B')$ na base $(T, N, B)$ é antissimétrica: de fato, $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ e $\langle X', X\rangle = 0$. Sua entrada $(N, T)$ vale $\langle N', T\rangle =
-\langle N, T'\rangle = -\kappa$, e a entrada da coluna $(T, B)$ vale $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$. Chamar a entrada livre restante de $\tau = \langle N', B\rangle$ dá exatamente as três fórmulas exibidas: a antissimetria preenche $\langle B', N\rangle = -\tau$ e $\langle B', T\rangle = 0$. A [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de $\tau = \langle N', B\rangle$ é clara, pois $N'$ e $B$ são [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) ($\tilde\gamma$ é $\mathcal{C}^3$, logo $N = T'/\kappa$ é $\mathcal{C}^1$). ∎

**Exemplo 18.26 (O vetor de Darboux).**

As três fórmulas de Frenet se comprimem numa só. Ponha $\omega(s) =
\tau\,T + \kappa\,B$ (o *vetor de Darboux*). Usando $B
\wedge T = N$, $T \wedge N = B$, $N \wedge B = T$:

$$
\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad
\omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad
\omega \wedge B = -\tau\,N = B' :
$$

cada vetor do referencial evolui por $X' = \omega \wedge X$, a assinatura cinemática de uma *rotação instantânea* de vetor velocidade angular $\omega$. O referencial gira à taxa $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ em torno do eixo móvel $\omega$; a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) é a componente do giro em torno da binormal, a [torção](#thm-b2-curves-frenet3d) a componente em torno da tangente. Para a hélice, $\omega$ é um vetor constante ao longo do eixo do cilindro — que é exatamente por que o referencial da hélice precessa [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def). A antissimetria da matriz de Frenet, explorada no [Exercício 18.7](#exo-b2-curves-7), é a forma matricial desse único fato geométrico.

**Proposição 18.27 (A torção mede a planaridade).**

Um arco birregular está contido num plano se e somente se $\tau
\equiv 0$; nesse caso o plano é o plano osculador (constante).

**Demonstração.** Se $\tau \equiv 0$, então $B' = 0$, de modo que $B$ é um vetor unitário constante $B_0$, e

$$
\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle
= \langle T(s), B_0\rangle = 0 :
$$

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ é constante, logo o arco está num plano ortogonal a $B_0$. Reciprocamente, se o arco está num plano $P$, então $T$ e $T'$ (logo $N$) são paralelos à direção de $P$ para todo $s$; assim $B = T \wedge N$ é uma das duas normais [unitárias](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/13-formas-hermitianas#def-b2-hermitian-adjoint) de $P$ e, sendo [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), é constante; então $0 = B'
= -\tau N$ com $N \neq 0$ força $\tau \equiv 0$. ∎

**Exemplo 18.28 (Um círculo inclinado tem torção nula).**

O arco $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\
\tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ está no plano $y = z$ e é o círculo unitário desse plano (confira: $\norm{\gamma(t)} =
1$, e a base ortonormal $(1,0,0)$, $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ do plano exibe a parametrização padrão). Sem cálculo de Frenet algum, a [Proposição 18.27](#prop-b2-curves-torsion) prevê $\tau \equiv 0$, e a binormal fixa tem de ser a normal unitária do plano $\pm(0,
\tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$. A [torção](#thm-b2-curves-frenet3d) não mede estar “inclinado no espaço”; ela mede *sair* de um plano. Só o $b$ não nulo da hélice, adiante, produz [torção](#thm-b2-curves-frenet3d) genuína.

**Exemplo 18.29 (A hélice).**

Para a hélice $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$, $a > 0$, calculamos $s = ct$ com $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Então

$$
T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b),
\qquad
T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s}
= \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),
$$

logo $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ e $N = (-\cos t, -\sin t,
0)$: a normal principal aponta horizontalmente para o eixo. Em seguida, $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$, e $B'
\frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ dá

$$
\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad
\tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }
$$

Os dois invariantes são constantes — e pode-se mostrar, reciprocamente, que as únicas curvas birregulares com $\kappa > 0$ constante e $\tau$ constante são hélices (círculos quando $\tau = 0$). Note os sinais: $b >
0$ dá uma hélice destra de [torção](#thm-b2-curves-frenet3d) positiva.

**Exemplo 18.30 (Curvatura e torção sem comprimento de arco; a cúbica reversa).**

Reparametrizar por [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) é em geral impossível em forma fechada, de modo que os invariantes precisam ser extraídos das derivadas brutas. Escreva $v = \norm{\gamma'} = s'$; então $\gamma' =
vT$ e, como na demonstração da [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula),

$$
\gamma'' = v'T + v^2\kappa N,
\qquad
\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) =
v^3\kappa\,B .
$$

Tomando [normas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/5-espacos-vetoriais-normados#def-b2-nvs-norm) ($\kappa \geq 0$ no espaço):

$$
\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .
$$

Derivando $\gamma''$ mais uma vez e convertendo $N' =
v(-\kappa T + \tau B)$ (regra da cadeia via $s$), a única componente em $B$ vem do último termo:

$$
\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T +
\bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,
$$

de modo que, emparelhando com $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$,

$$
\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge
\gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau,
\qquad\text{i.e.}\qquad
\tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'',
\gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .
$$

Aplicação à *cúbica reversa* $\gamma(t) = (t,\
t^2,\ t^3)$ em $t = 0$: $\gamma' = (1, 0, 0)$, $\gamma'' =
(0, 2, 0)$, $\gamma''' = (0, 0, 6)$, logo $v = 1$,

$$
\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2,
\qquad
\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) =
\frac{12}{4} = 3 .
$$

Lição final: as duas fórmulas são razões em que a velocidade $v$ se cancela exatamente no grau necessário — $\kappa$ escala como uma derivada segunda por unidade de [comprimento](#def-b2-curves-length), $\tau$ como o volume misto de três derivadas por área ao quadrado — e é *por isso* que elas são geométricas enquanto o próprio $\gamma''$ não é.

**Observação 18.31 (Teorema fundamental para curvas no espaço).**

Como no plano, o par $(\kappa, \tau)$ com $\kappa > 0$ determina um arco birregular a menos de isometria direta de $\R^3$: as fórmulas de Frenet formam um sistema diferencial linear para o referencial $(T, N, B)$, ao qual se aplica a teoria de Cauchy–Lipschitz do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq); a ortonormalidade do referencial solução é preservada porque a matriz de coeficientes é antissimétrica (mesmo argumento da matriz de Gram do [Exercício 18.7](#exo-b2-curves-7)), e a curva é recuperada integrando $T$. Deixamos os detalhes ao leitor como um exercício substancial mas instrutivo.

## 18.5 Estudo local: posição em relação à tangente

**Proposição 18.32 (Forma local num ponto regular).**

Seja $\gamma$ um arco plano de classe $\mathcal{C}^k$ em $t_0$, com $p$ o menor índice tal que $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ e $q$ o menor índice $> p$ com $\gamma^{(q)}(t_0)$ não colinear com $\gamma^{(p)}(t_0)$ (supondo que ambos existam, $q \leq k$). Na base $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ centrada em $\gamma(t_0)$, Taylor–Young dá as coordenadas

$$
X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!},
\qquad
Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .
$$

O retrato local depende apenas das paridades de $p$ e $q$:

| $p$ ímpar, $q$ par | *ponto ordinário* | a curva fica de um só lado da tangente |
| --- | --- | --- |
| $p$ ímpar, $q$ ímpar | *ponto de inflexão* | a curva cruza sua tangente |
| $p$ par, $q$ ímpar | *cúspide de primeira espécie* | os dois ramos em lados opostos |
| $p$ par, $q$ par | *cúspide de segunda espécie* | os dois ramos do mesmo lado |

**Demonstração.** Taylor–Young na ordem $q$ (a função $\gamma$ é $\mathcal{C}^q$ perto de $t_0$):

$$
\gamma(t) - \gamma(t_0)
= \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0)
+ o\bigl((t-t_0)^q\bigr).
$$

Pela escolha de $p$ e $q$, cada $\gamma^{(j)}(t_0)$ com $p
\leq j < q$ é colinear com $u$; recolhendo as componentes na base $(u, v)$: $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ e $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$. A tabela de sinais de $X$ e $Y$ para $t \gtrless t_0$ — governada exatamente pelas paridades — dá os quatro retratos: por exemplo, se $p$ é par, $X > 0$ dos dois lados (os dois ramos partem na direção $+u$: uma cúspide), e o lado da [reta tangente](#def-b2-curves-arc) ($\operatorname{sign} Y$) se inverte com $q$ ímpar. ∎

**Exemplo 18.33.**

Para $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ em $t_0 = 0$ ([Exemplo 18.5](#ex-b2-curves-cusp)): $\gamma'' (0)= (2, 0)$, $\gamma'''(0) =
(0, 6)$, logo $p = 2$, $q = 3$: uma cúspide de primeira espécie, o retrato familiar da parábola semicúbica. Para $\gamma(t) = (t,
t^3)$ em $0$: $p = 1$, $q = 3$: inflexão — a cúbica cruza sua tangente.

**Observação 18.34 (Perspectivas dentro deste volume).**

As curvas alimentam os capítulos seguintes de três maneiras. Desenhadas numa superfície, elas definem seus planos tangentes e sua primeira forma fundamental ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/19-superficies#ch-b2-surfaces)), e seus [comprimentos](#def-b2-curves-length) são calculados restringindo a métrica ambiente — o capítulo adiante é em grande parte este capítulo relativizado. O cálculo de [envoltórias](#pb-b2-curves-1) do problema de fim de semana encontra as integrais duplas no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#ch-b2-multint), em que a área do [astroide](#pb-b2-curves-1) é recalculada pela fórmula de Green ([Exercício 20.5](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/20-integrais-de-linha-e-integrais-multiplas#exo-b2-multint-5)) — uma curva, duas teorias, respostas coincidentes. E o sistema de Frenet já usou as equações diferenciais lineares do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq) (existência, unicidade e o argumento de preservação da ortogonalidade do [Exercício 18.7](#exo-b2-curves-7)): o teorema fundamental das curvas é um teorema de equações diferenciais vestido de geometria.

**Observação 18.35 (Método: executando o estudo local).**

Na prática, a classificação é uma rotina de quatro passos. *Um*, derive em $t_0$ até aparecer a primeira derivada não nula: seu índice é $p$, seu valor o vetor $u$. *Dois*, continue derivando até aparecer uma derivada não colinear com $u$: índice $q$, vetor $v$. *Três*, leia as paridades $(p, q)$ na tabela. *Quatro*, desenhe: a curva parte ao longo de $+u$ se $p$ é ímpar (ao longo de $u$ e depois de volta por $u$ se $p$ é par), do lado de $v$ ditado pelo sinal de $Y$. Duas advertências. O referencial $(u, v)$ em geral *não* é ortonormal — a tabela descreve posições relativas à [reta tangente](#def-b2-curves-arc), não ângulos nem distâncias, de modo que não leia a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) no desenho. E derivadas intermediárias colineares com $u$ são permitidas entre os postos $p$ e $q$ (elas só deslocam o desenvolvimento de $X$); o que *não* pode acontecer é parar na primeira derivada não nula e chutar $q = p + 1$: para $\gamma(t)
= (t^2, t^4 + t^5)$ o palpite ingênuo $q = 3$ está errado, pois $\gamma^{(3)}(0)$ ainda é colinear com $\gamma''(0)$ — isso é precisamente o [Exercício 18.5](#exo-b2-curves-5).

## 18.6 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Calcule o [comprimento](#def-b2-curves-length) de um arco da cicloide $\gamma(t) = (t -
\sin t,\ 1 - \cos t)$, $t \in [0, 2\pi]$. *(Use $1 - \cos t =
2\sin^2(t/2)$.)*

**Solução de Exercício 18.1.**

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$, logo

$$
\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t
= 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,
$$

e $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (não negativo em $[0,
2\pi]$). Portanto

$$
L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t
= \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :
$$

um arco da cicloide tem [comprimento](#def-b2-curves-length) $8$ (para uma roda de raio $1$) — um resultado célebre de Wren, sem $\pi$ algum à vista.

**Exercício 18.2 ★.**

Calcule a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) da elipse $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin
t)$ ($a > b > 0$) e localize os pontos de [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) máxima e mínima.

**Solução de Exercício 18.2.**

Com $x = a\cos t$, $y = b\sin t$: $x' = -a\sin t$, $y' = b\cos
t$, $x'' = -a\cos t$, $y'' = -b\sin t$, logo, pela [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula)

$$
\kappa(t)
= \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
= \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t}
       {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}}
= \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .
$$

O denominador é mínimo quando $\sin t = 0$ (valor $b^3$, pontos $(\pm a, 0)$) e máximo quando $\cos t = 0$ (valor $a^3$, pontos $(0, \pm b)$), pois $a > b$. Portanto $\kappa$ é máxima nas extremidades do eixo maior, $\kappa_{\max} = a/b^2$, e mínima nas extremidades do eixo menor, $\kappa_{\min} = b/a^2$: a elipse se dobra mais acentuadamente nas pontas de seu eixo longo.

**Exercício 18.3 ★.**

Mostre que o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) do gráfico de $f(x) = \cosh x$ em $[0, x]$ vale $\sinh x$ e calcule a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) dessa curva (a *catenária*). Verifique que $R(x) = 1/\kappa(x) =
\cosh^2 x$.

**Solução de Exercício 18.3.**

Para o gráfico $\gamma(x) = (x, \cosh x)$: $\norm{\gamma'(x)} =
\sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$, logo o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) de $0$ a $x$ vale $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$. [Curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) de um gráfico ([Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula)):

$$
\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}}
= \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,
$$

logo $R(x) = \cosh^2 x$, como anunciado. Note a bela coincidência $R(x) = 1 + s(x)^2$ com $s = \sinh x$ o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length): o [raio de curvatura](#def-b2-curves-curvature) da catenária cresce com o quadrado do [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) medido a partir do vértice.

**Exercício 18.4 ★★.**

(Espiral logarítmica) Sejam $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$, $t
\in \R$. Mostre que o ângulo entre $\gamma(t)$ e $\gamma'(t)$ é constante, calcule o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) de $\gamma$ em $(-\infty, 0]$ (finito!) e a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d).

**Solução de Exercício 18.4.**

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$, logo

$$
\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t}
\bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr)
= e^{2t},
$$

enquanto $\norm{\gamma(t)} = e^t$ e $\norm{\gamma'(t)} =
e^t\sqrt 2$. Portanto

$$
\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr)
= \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :
$$

a tangente faz sempre o ângulo $\pi/4$ com o raio — a propriedade *equiangular* da espiral logarítmica. [Comprimento de arco](#def-b2-curves-length) em $(-\infty, 0]$:

$$
\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t
= \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,
$$

finito embora a espiral dê infinitas voltas em torno da origem. [Curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d): com $x'y'' - y'x''$ calculado a partir de $\gamma'' =
e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$,

$$
x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t)
+ 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},
$$

logo $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} =
\dfrac{1}{e^t\sqrt2}$: a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) vale $1/(\sqrt2\,
\norm{\gamma})$, decaindo à medida que a espiral cresce.

**Exercício 18.5 ★★.**

Determine $p$, $q$ e a forma local (ordinário, inflexão, cúspide) de $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ em $t = 0$, e de $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ em $t = 0$.

**Solução de Exercício 18.5.**

*Primeiro arco:* $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$. Derivadas em $0$: $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$, logo $p = 2$. Em seguida $\gamma^{(3)}(0)
= (0, 0)$, $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$, não colinear com $(2,
0)$: $q = 4$. Ambos pares: *cúspide de segunda espécie* — os dois ramos partem na direção $+u = (1,0)$ e ficam do mesmo lado da tangente. (De fato $y = x^2 \pm x^{5/2}$ nos dois ramos: mesmo sinal para $x$ pequeno.)

*Segundo arco:* $\gamma(t) = (t^3, t^4)$. $\gamma'(0) =
\gamma''(0) = 0$, $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$: $p = 3$, ímpar. Em seguida $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$: $q = 4$, par. Ímpar–par: *ponto ordinário* — apesar da velocidade nula, a trajetória $y = x^{4/3}$ atravessa a origem suavemente, mantendo-se acima de sua tangente $y = 0$.

**Exercício 18.6 ★★.**

Seja $\gamma$ um arco plano de velocidade unitária com $\kappa(s) > 0$ para todo $s$, e seja $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature) (a curva $c$ é a *evoluta*). Supondo $\kappa$ de classe $\mathcal{C}^1$, mostre que $c'(s) =
-\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$: a evoluta é tangente às retas normais de $\gamma$.

**Solução de Exercício 18.6.**

Derive $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ usando as fórmulas de Frenet no plano ([Teorema 18.13](#thm-b2-curves-frenet2d)):

$$
c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)
+ \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr)
= -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,
$$

os termos tangenciais se cancelando exatamente. Assim a velocidade da evoluta é carregada por $N(s)$, que dirige a reta normal de $\gamma$ em $\gamma(s)$ — e o ponto $c(s)$ está sobre essa mesma reta normal: a evoluta é a *[envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais*. (Onde $\kappa' = 0$ a evoluta tem um ponto singular; é isso que produz as cúspides da evoluta de uma elipse.)

**Exercício 18.7 ★★★.**

Seja $A(s)$ uma família [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) de matrizes antissimétricas $3 \times 3$ e $F' = F A$ uma solução matricial com $F(s_0)$ ortogonal. Mostre que $F(s)$ é ortogonal para todo $s$. *(Derive $G = F F^{\mathsf T}$ e use a unicidade em Cauchy–Lipschitz.)* Explique a relevância para o sistema de Frenet.

**Solução de Exercício 18.7.**

Seja $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$. Então, usando $F' = FA$ e $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$,

$$
G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})'
= FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T}
= F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0
$$

por antissimetria. Logo $G$ é constante no intervalo, igual a $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$: $F(s)$ é ortogonal para todo $s$. (Alternativamente, sem calcular $G'$ até zero: tanto $G$ quanto a constante $I$ resolvem o sistema linear $Y' = YA +
A^{\mathsf T}Y$ com o mesmo valor inicial, e a unicidade de Cauchy–Lipschitz para sistemas lineares, [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#ch-b2-diffeq), força $G
\equiv I$.)

*Relevância:* o sistema de Frenet $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ tem a matriz de coeficientes antissimétrica

$$
A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\
0 & \tau & 0\end{pmatrix}
$$

(colunas exprimindo $T', N', B'$). O cálculo acima mostra que um referencial solução que começa ortonormal *permanece* ortonormal — o passo-chave do teorema fundamental que reconstrói uma curva a partir de $(\kappa, \tau)$.

**Exercício 18.8 ★★★.**

([Curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) total de uma curva [convexa](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-convex) fechada) Seja $\tilde\gamma$ um arco plano fechado $\mathcal{C}^2$ de velocidade unitária e [comprimento](#def-b2-curves-length) $L$ (de modo que $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$), percorrido uma vez no sentido anti-horário. Usando a função ângulo $\varphi$ com $T =
(\cos\varphi, \sin\varphi)$ do [Teorema 18.20](#thm-b2-curves-fundamental), explique por que $\varphi(L) -
\varphi(0)$ é múltiplo de $2\pi$ e mostre que $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$. (Para um círculo de raio $R$: $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$. O teorema das tangentes girantes afirma o valor $2\pi$ para toda curva fechada simples; não se pede que você o demonstre.)

**Solução de Exercício 18.8.**

Pelo [Teorema 18.20](#thm-b2-curves-fundamental) (parte de unicidade), existe uma função ângulo $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ com $T(s) =
(\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ e $\varphi' = \kappa$. Portanto

$$
\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .
$$

Como o arco é fechado de período $L$, $T(L) = T(0)$: $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0),
\sin\varphi(0))$, logo $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$. A [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) total de uma curva fechada é portanto sempre um múltiplo inteiro de $2\pi$ — sendo o inteiro o *número de voltas* da tangente (a quantidade de voltas [completas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-complete) que $T$ dá). Para o círculo de raio $R$: $\kappa = 1/R$ e $L = 2\pi R$, [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) total $2\pi$, número de voltas $1$; o teorema das tangentes girantes afirma que esse valor vale para toda curva fechada simples.

**Exercício 18.9 ★★★.**

Mostre que uma curva espacial birregular com $\kappa > 0$ constante e $\tau = 0$ é (um arco de) um círculo de raio $1/\kappa$. *(Use [Proposição 18.27](#prop-b2-curves-torsion) e depois mostre que o centro $\gamma + \frac1\kappa N$ é constante.)*

**Solução de Exercício 18.9.**

Como $\tau \equiv 0$, a curva está num plano ([Proposição 18.27](#prop-b2-curves-torsion)); trabalhe nesse plano. Considere o centro candidato

$$
c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s)
\qquad (\kappa \text{ constante}).
$$

Derivando com as fórmulas de Frenet ($N' = -\kappa T + \tau B
= -\kappa T$ aqui):

$$
c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,
$$

logo $c$ é um ponto constante $\Omega$. Então $\norm{\gamma(s) -
\Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ para todo $s$: a curva está no círculo de centro $\Omega$ e raio $1/\kappa$ (em seu plano) e, sendo um arco não constante dele, é um arco desse círculo.

**Exercício 18.10 ★.**

Calcule o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) da parábola $y = x^2/2$ em $\intcc0a$ e mostre que ele vale

$$
\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 +
a^2}\bigr)\Bigr).
$$

**Solução de Exercício 18.10.**

Para o gráfico $\gamma(x) = (x, x^2/2)$, $\norm{\gamma'(x)} =
\sqrt{1 + x^2}$, logo $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$. Substituindo $x = \sinh u$ ($\dd x = \cosh u\,\dd u$, $u$ indo de $0$ a $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$):

$$
L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u
= \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a}
= \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) +
a\sqrt{1+a^2}\Bigr),
$$

usando $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ e $\sinh u_a = a$, $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$.

**Exercício 18.11 ★★.**

Seja $\gamma$ um arco $\mathcal C^2$ regular em $\R^n$ cujas [retas tangentes](#def-b2-curves-arc) passam todas por um ponto fixo $P$. Prove que a trajetória de $\gamma$ está contida numa reta. *(Parametrize por [comprimento de arco](#def-b2-curves-length), escreva $\gamma(s) +
\lambda(s)T(s) = P$ e derive.)*

**Solução de Exercício 18.11.**

Parametrize por [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) ([Teorema 18.9](#thm-b2-curves-arclength)) e ponha $\lambda(s) =
\langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$, uma função $\mathcal C^1$; como $P$ está sobre a [reta tangente](#def-b2-curves-arc) em $\gamma(s)$, o vetor $P - \gamma(s)$ é colinear com $T(s)$, logo $P =
\gamma(s) + \lambda(s)T(s)$. Derivando,

$$
0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s)
= \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),
$$

e $T'(s) \perp T(s)$ (derive $\norm T^2 = 1$), de modo que ambas as componentes se anulam: $\lambda' = -1$ e $\lambda T' = 0$. Ora, $\lambda(s) = c - s$ se anula no máximo uma vez, logo $T' = 0$ num conjunto denso e, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), em toda parte: $T$ é um vetor unitário constante e $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s -
s_0)T$: uma reta (passando por $P$, como deve ser).

**Exercício 18.12 ★★★.**

(Teorema fundamental para curvas no espaço) Sejam $\kappa > 0$ e $\tau$ funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) num intervalo $J$. Execute o programa da observação que segue a [Exemplo 18.29](#ex-b2-curves-helixfrenet): (a) mostre que o sistema linear $F' = FA(s)$, com $A(s)$ a matriz antissimétrica de Frenet construída a partir de $\kappa, \tau$ e $F(s_0)$ um referencial ortonormal direto, tem solução global única, que permanece um referencial ortonormal direto; (b) construa uma curva birregular de velocidade unitária com [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) $\kappa$ e [torção](#thm-b2-curves-frenet3d) $\tau$; (c) demonstre a unicidade a menos de uma isometria direta de $\R^3$.

**Solução de Exercício 18.12.**

(a) A matriz de Frenet

$$
A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\
0 & \tau & 0\end{pmatrix}
$$

tem entradas [contínuas](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity), logo o sistema linear $F' = FA(s)$, $F(s_0) = F_0$ (uma matriz ortogonal direta) tem solução única em todo $J$ ([Teorema 16.4](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/16-equacoes-diferenciais#thm-b2-diffeq-linear)). Pelo [Exercício 18.7](#exo-b2-curves-7), $F(s)$ é ortogonal para todo $s$; $\det F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/4-topologia-dos-espacos-metricos#def-b2-metric-continuity) com valores em $\{\pm1\}$ e vale $1$ em $s_0$, logo $F(s)$ é direta para todo $s$.

(b) Leia as linhas $T, N, B$ de $F$ (de modo que $T' = \kappa
N$, $N' = -\kappa T + \tau B$, $B' = -\tau N$) e ponha $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$. Então $\gamma' = T$ é um vetor unitário: velocidade unitária; $T' = \kappa N$ com $\kappa > 0$ e $N$ unitário ortogonal a $T$, logo $\gamma$ é birregular com [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) $\norm{T'} = \kappa$ e normal principal $N$; a binormal é $T \wedge N = B$ (referencial ortonormal direto), e $B' = -\tau N$ identifica a [torção](#thm-b2-curves-frenet3d) como $\tau$.

(c) Sejam $\gamma_1, \gamma_2$ curvas birregulares de velocidade unitária com os mesmos $(\kappa, \tau)$. Existe uma única isometria direta $\Phi = \rho + w$ ($\rho \in SO(3)$) levando $\gamma_1(s_0)$ em $\gamma_2(s_0)$ e o referencial de Frenet de $\gamma_1$ em $s_0$ no de $\gamma_2$ em $s_0$. A curva $\Phi\circ\gamma_1$ tem velocidade unitária e os mesmos invariantes (seu referencial é $\rho$ aplicada ao de $\gamma_1$, e $\rho$ preserva produtos vetoriais, por ser direta). Ora, os referenciais de $\Phi\circ\gamma_1$ e de $\gamma_2$ resolvem ambos $F' =
FA(s)$ com o mesmo valor inicial, logo coincidem por unicidade; em particular as tangentes coincidem e, integrando a partir do ponto comum $s_0$: $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$.

## 18.7 Problema: envoltórias — o astroide, duas evolutas e uma cáustica

![Uma escada de comprimento 1 escorregando por uma parede (posições em azul) nunca cruza o astroide x2/3 + y2/3 = 1 (vermelho): o astroide é a envoltória da família de segmentos, tangente a cada um deles.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-curves/fig-86eeb596a0c4.svg)

*Uma escada de [comprimento](#def-b2-curves-length) $1$ escorregando por uma parede (posições em azul) nunca cruza o [astroide](#pb-b2-curves-1) $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (vermelho): o [astroide](#pb-b2-curves-1) é a *[envoltória](#pb-b2-curves-1)* da família de segmentos, tangente a cada um deles.*

**Problema 18.1.**

Problema de fim de semana — a máquina das envoltórias e quatro curvas clássicas

Uma família de retas a um parâmetro geralmente não cobre o plano [uniformemente](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/10-sequencias-e-series-de-funcoes#def-b2-funcseq-def): as retas se acumulam ao longo de uma curva tangente a todas elas, sua *envoltória*. Os raios de luz tornam as [envoltórias](#pb-b2-curves-1) visíveis como *cáusticas* — a curva luminosa com cúspides numa xícara de café. Este problema constrói a máquina geral das [envoltórias](#pb-b2-curves-1) e depois a roda quatro vezes: a escada que escorrega ([astroide](#pb-b2-curves-1)), as normais da parábola e da cicloide (evolutas, com o pêndulo de Huygens no fim) e a cáustica da xícara de café ([nefroide](#pb-b2-curves-1)). Em todo o problema, $D_t$ designa a reta de equação $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$, em que $a, b, c$ são funções $\mathcal C^2$ com $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$, e $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$.

**Parte I — A máquina das [envoltórias](#pb-b2-curves-1).**

1. Suponha $\Delta(t) \neq 0$. Mostre que o *sistema característico* $$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\  a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$$ tem solução única $E(t) = (x(t), y(t))$, dada por $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$, $y = \dfrac{ac' -  a'c}{\Delta}$.
2. Suponha além disso que $E$ é $\mathcal C^1$ perto de $t$ com $E'(t) \neq 0$ . Derivando a primeira equação do sistema, mostre que $a(t)\,x'(t) +  b(t)\,y'(t) = 0$ e conclua que a curva $E$ passa por um ponto de $D_t$ *com a direção de* $D_t$ : a família é tangente a $E$ , que se chama sua *[envoltória](#pb-b2-curves-1)* .
3. Verificação de bom senso: as [retas tangentes](#def-b2-curves-arc) da parábola $y =  x^2/2$ nos pontos $(t, t^2/2)$ são $tx - y =  t^2/2$ . Verifique que a máquina das [envoltórias](#pb-b2-curves-1) devolve a própria parábola.
4. ( [Envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais) Seja $\gamma$ de velocidade unitária com $\kappa(s) \neq 0$ . A reta normal em $\gamma(s)$ é $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s)  \rangle = 0\}$ . Mostre que seu sistema característico força $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle =  1/\kappa(s)$ , logo que o ponto característico é o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature) : *a [envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais é a evoluta* , recuperando o [Exercício 18.6](#exo-b2-curves-6) . Confira $\Delta(s) =  \kappa(s)$ .
5. Duas degenerações. Para o feixe $D_\theta : x\cos  \theta + y\sin\theta = 0$ , mostre que o ponto característico é a origem para todo $\theta$ (a “ [envoltória](#pb-b2-curves-1) ” colapsa num ponto, e $E' = 0$ : a questão 2 não se aplica). Para uma família de retas paralelas ( $a, b$ constante), mostre que $\Delta \equiv 0$ e que o sistema característico é em geral incompatível: não há [envoltória](#pb-b2-curves-1) .

**Parte II — A escada que escorrega e o [astroide](#pb-b2-curves-1).** Um segmento de [comprimento](#def-b2-curves-length) $1$ escorrega com uma ponta $P_t =
(\cos t, 0)$ no chão e a outra $Q_t = (0, \sin t)$ na parede, $t \in \intoo0{\pi/2}$.

6. Mostre que a reta $(P_tQ_t)$ tem equação $x\sin t +  y\cos t = \sin t\cos t$ e que a máquina das [envoltórias](#pb-b2-curves-1) dá o ponto característico $$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$$ o *astroide*, de equação implícita $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (estendida aos outros quadrantes por simetria).
7. Mostre que $E'(0) = 0$ e, usando a classificação local ( [Proposição 18.32](#prop-b2-curves-local) ), que o [astroide](#pb-b2-curves-1) tem uma cúspide de primeira espécie em $(1, 0)$ — e do mesmo modo em seus quatro pontos sobre os eixos.
8. Calcule $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ e deduza que o [comprimento](#def-b2-curves-length) total do [astroide](#pb-b2-curves-1) é $6$ .
9. Onde a escada toca o [astroide](#pb-b2-curves-1) ? Mostre que $E(t) =  P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : o ponto de contato divide a escada na razão $\sin^2 t : \cos^2  t$ , varrendo-a de uma ponta à outra à medida que a escada escorrega.
10. Calcule a área encerrada pelo [astroide](#pb-b2-curves-1) : mostre que a área no primeiro quadrante é $3\int_0^{\pi/2}\sin^4  t\cos^2 t\,\dd t$ , avalie a integral por linearização ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ) e conclua que a área total é $3\pi/8$ .

**Parte III — A evoluta da parábola.** Seja $\gamma(t) = (t, t^2/2)$.

11. Mostre que a reta normal em $\gamma(t)$ tem equação $x + t\,y = t + t^3/2$ .
12. Rode a máquina das [envoltórias](#pb-b2-curves-1): mostre que a [envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais é $$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$$ de equação implícita $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$: uma parábola semicúbica.
13. Confira com a questão 4: calcule o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature) $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ a partir de $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ ( [Exemplo 18.18](#ex-b2-curves-kappaexamples) ) e recupere o mesmo ponto.
14. Mostre que a evoluta tem uma cúspide de primeira espécie em $(0, 1)$ , o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature) no vértice — o ponto em que $\kappa$ é extremal, como prevê a fórmula $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ do [Exercício 18.6](#exo-b2-curves-6) .
15. Quantas normais da parábola passam por um dado ponto $(x_0, y_0)$ ? Mostre que a resposta é governada pela cúbica $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; trate completamente o caso do eixo $x_0 = 0$ (uma normal para $y_0 < 1$ , três para $y_0 > 1$ ) e interprete a evoluta como a curva de transição.

**Parte IV — A cáustica da xícara de café.** Raios paralelos de direção $(1, 0)$ atingem o interior do espelho circular $x^2 + y^2 = 1$; o raio que atinge $P_\theta =
(\cos\theta, \sin\theta)$ se reflete segundo a lei da reflexão.

16. Pela simetria especular em relação à normal (o raio), justifique que a direção refletida é $v = u -  2\langle u, n\rangle n$ com $u = (1,0)$ , $n =  (\cos\theta, \sin\theta)$ , e calcule $v =  -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
17. Mostre que o raio refletido está na reta $$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$$
18. Rode a máquina das [envoltórias](#pb-b2-curves-1) ($\Delta = 2$): mostre que a cáustica é $$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta -  \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta -  \sin3\theta}4\Bigr),$$ a *nefroide*.
19. Calcule $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\,  (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; confira que a direção tangente é a direção do raio refletido (questão 16), localize as duas cúspides $(\pm\tfrac12, 0)$ e mostre que o raio refletido cruza o eixo $y = 0$ em $x = \frac1{2\cos\theta}$ — de modo que raios quase axiais focalizam em $x = \tfrac12$ : a distância focal $R/2$ de um espelho de raio $R$ .
20. Mostre que a [nefroide](#pb-b2-curves-1) tem [comprimento](#def-b2-curves-length) total $6$ e que, perto de $\theta = 0$, $$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) =  \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 +  o(\theta^3)\bigr) :$$ uma cúspide de primeira espécie, apontando ao longo do eixo.
21. Explique num parágrafo por que a cáustica é brilhante: por cada ponto logo fora da cáustica passam dois raios refletidos, e por cada ponto sobre ela os raios estão “infinitamente concentrados” (a aplicação $(\theta,  \text{distância ao longo do raio}) \mapsto \R^2$ tem ponto crítico exatamente na [envoltória](#pb-b2-curves-1) ).

**Parte V — Huygens: a cicloide é sua própria evoluta.** Sejam $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$, $t \in
\intoo0{2\pi}$, um arco da cicloide.

22. Calcule $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ e o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature); mostre que a evoluta é $$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$$ e que a substituição $t = u + \pi$ a exibe como a cicloide original transladada por $(\pi, -2)$: *a evoluta de uma cicloide é uma cicloide congruente* (Huygens).
23. Verifique que o [raio de curvatura](#def-b2-curves-curvature) no ápice $t =  \pi$ vale $4$ , que é metade do [comprimento](#def-b2-curves-length) $8$ de um arco ( [Exercício 18.1](#exo-b2-curves-1) ); localize a cúspide da evoluta diretamente abaixo do ápice, à distância $4$ .
24. (A propriedade do fio) Seja $\gamma$ de velocidade unitária com $\kappa > 0$ , $\kappa$ de classe $\mathcal C^1$ e $R = 1/\kappa$ estritamente monótona. Usando $c' = R'N$ , mostre que o [comprimento de arco](#def-b2-curves-length) da evoluta entre $c(s_0)$ e $c(s_1)$ vale $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interprete: um fio esticado desenrolado da evoluta, de [comprimento](#def-b2-curves-length) $R(s_0)$ no início, tem sua ponta livre traçando a curva original — de modo que um pêndulo oscilando entre duas faces cicloidais do relógio de Huygens descreve uma cicloide.
25. Síntese. A máquina da Parte I produziu o [astroide](#pb-b2-curves-1) , uma parábola semicúbica, uma [nefroide](#pb-b2-curves-1) e uma cicloide. Para cada uma das quatro famílias, diga em uma frase onde as hipóteses $\Delta \neq 0$ e $E' \neq 0$ valeram ou falharam, e que evento geométrico (cúspide, foco, degeneração) cada falha de $E' \neq 0$ sinalizou. Onde devem aparecer os extremos de [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) na [envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais, e por quê?

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** O sistema é linear em $(x, y)$ com [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$: a regra de Cramer dá a solução única

$$
x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad
y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.
$$

**2.** Como $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ identicamente, derivar dá $a'x + b'y + ax' + by' = c'$; a segunda equação característica mata $a'x + b'y - c'$, logo $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$: $E'(t)$ é ortogonal a $(a,
b)$, portanto paralelo a $(-b, a)$, a direção de $D_t$. Como $E(t) \in D_t$ (primeira equação) e $E'(t) \neq 0$, a reta $D_t$ é exatamente a [reta tangente](#def-b2-curves-arc) da curva $E$ em $E(t)$.

**3.** Aqui $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$, logo $\Delta =
t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ e

$$
x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 +
t = t, \qquad
y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 =
\tfrac{t^2}2 :
$$

a [envoltória](#pb-b2-curves-1) das [retas tangentes](#def-b2-curves-arc) da parábola é a parábola, como devia ser.

**4.** A reta normal é $\langle M, T(s)\rangle =
\langle\gamma(s), T(s)\rangle$: coeficientes $a = T_1$, $b =
T_2$, $c = \langle\gamma, T\rangle$. Derivando com Frenet ($T' = \kappa N$): $a' = \kappa N_1$, $b' = \kappa
N_2$ e $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa
N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$. A segunda equação característica $\kappa\langle M, N\rangle = 1 +
\kappa\langle\gamma, N\rangle$ dá $\kappa\langle M -
\gamma, N\rangle = 1$. A primeira diz $M - \gamma \perp T$, logo $M - \gamma = \mu N$ com $\mu = 1/\kappa$: o ponto característico é $\gamma + \frac1\kappa N$, o [centro de curvatura](#def-b2-curves-curvature), e a [envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais é a evoluta de [Exercício 18.6](#exo-b2-curves-6). Por fim, $\Delta = T_1\kappa N_2 -
\kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$.

**5.** Feixe: o sistema $x\cos\theta + y\sin\theta =
0$, $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ tem [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) $1$ e solução $(0,0)$ para todo $\theta$: $E \equiv (0,0)$, $E'
\equiv 0$, e não há curva alguma — apenas o ponto comum a todas as retas. Família paralela: $a' = b' = 0$ dá $\Delta \equiv 0$ e a segunda equação $0 = c'(t)$, que falha assim que a família de fato se move: nenhum ponto característico e, de fato, uma família de retas paralelas não toca curva alguma ao longo de todos os seus membros.

**6.** A reta por $(\cos t, 0)$ e $(0, \sin t)$ é $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$, isto é, $x\sin t +
y\cos t = \sin t\cos t$. Com $(a, b, c) = (\sin t, \cos t,
\sin t\cos t)$: $a' = \cos t$, $b' = -\sin t$, $c' = \cos
2t$, $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$. Cramer:

$$
\begin{align*}
x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t
= \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\
y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t
= \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t .
\end{align*}
$$

E $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$: o [astroide](#pb-b2-curves-1).

**7.** $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ se anula em $t = 0$. Ali, $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ dá $p = 2$; a componente em $x$ de $E$ é par em $t$, logo $E'''(0) = (0, 6)$, não colinear: $q = 3$. Par–ímpar: cúspide de primeira espécie em $(1, 0)$ ([Proposição 18.32](#prop-b2-curves-local)), com tangente ao longo do eixo $x$. As simetrias $x \mapsto -x$, $y \mapsto -y$, $(x,
y) \mapsto (y, x)$ do [astroide](#pb-b2-curves-1) transportam a cúspide para $(-1,
0)$ e $(0, \pm1)$.

**8.** $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$, logo $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$. Um quadrante: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t =
\tfrac32$, e por simetria o [comprimento](#def-b2-curves-length) total é $4 \cdot
\tfrac32 = 6$.

**9.** $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) =
\sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$. Assim o ponto de contato é o [baricentro](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-barycenter) de $(P_t, \cos^2 t)$ e $(Q_t, \sin^2 t)$: quando $t$ vai de $0$ a $\pi/2$, ele desliza da ponta no chão à ponta na parede da escada.

**10.** No primeiro quadrante a região sob o [astroide](#pb-b2-curves-1) tem área $\int_0^1 y\,\dd x$ com $x = \cos^3 t$ decrescendo de $1$ a $0$ quando $t$ vai de $0$ a $\pi/2$:

$$
\int_0^1 y\,\dd x
= \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t
= 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .
$$

Linearize: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t =
\tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$, e $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ enquanto $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t =
\bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$. Logo a integral vale $\tfrac\pi{32}$, a área do quadrante $\tfrac{3\pi}{32}$ e a área encerrada $4 \cdot
\tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$.

**11.** A tangente em $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ é dirigida por $(1, t)$, logo a reta normal é $\{(x, y) : (x -
t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$, isto é, $x + t\,y = t +
\tfrac{t^3}2$.

**12.** $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$: $a' = 0$, $b' =
1$, $c' = 1 + \tfrac32 t^2$, $\Delta = 1$. Então $y = ac' -
a'c = 1 + \tfrac32t^2$ e

$$
x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 +
\tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .
$$

Eliminando $t$: $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ e $x^2 = t^6 =
\tfrac8{27}(y - 1)^3$: uma parábola semicúbica de vértice $(0, 1)$.

**13.** $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$, $N = (-t,
1)/\sqrt{1+t^2}$ e $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$, logo

$$
\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) +
(1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),
$$

a mesma curva: a [envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais é o lugar dos [centros de curvatura](#def-b2-curves-curvature), como prometia a questão 4.

**14.** $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ se anula em $t = 0$; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ dá $p = 2$ e $E'''(0) = (-6,
0)$ dá $q = 3$: uma cúspide de primeira espécie em $(0, 1)$. O vértice é onde $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ é máxima, logo $\kappa'(0) = 0$ e a velocidade da evoluta $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ se anula exatamente ali: as cúspides da evoluta ficam nos extremos da [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d).

**15.** A normal de parâmetro $t$ passa por $(x_0, y_0)$ se e somente se $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$, isto é,

$$
\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,
$$

uma cúbica em $t$: uma ou três raízes reais (contadas sem multiplicidade, para pontos genéricos). Sobre o eixo $x_0 = 0$ ela se fatora como $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$: a raiz $t = 0$ (o eixo é a normal no vértice), mais $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ quando $y_0 > 1$. Assim: uma normal para $y_0 < 1$, três para $y_0 > 1$ e, em $y_0 = 1$, a raiz tripla marca a cúspide da evoluta. Em geral, uma raiz dupla da cúbica significa que o ponto satisfaz tanto a equação da reta quanto sua derivada em $t$ — ele está *sobre a [envoltória](#pb-b2-curves-1)*: a evoluta é precisamente a fronteira entre as regiões de uma e de três normais.

**16.** A reflexão no espelho inverte a componente normal da direção e conserva a tangencial: escrevendo $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$, a direção refletida é $u_{\mathrm{tan}} - \langle u,
n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$. Aqui $\langle u,
n\rangle = \cos\theta$, logo

$$
v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta)
= (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta)
= -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).
$$

**17.** O raio refletido passa por $P_\theta =
(\cos\theta, \sin\theta)$ com direção $(\cos2\theta,
\sin2\theta)$; um vetor normal é $(-\sin2\theta,
\cos2\theta)$, de modo que a reta é

$$
-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y -
\sin\theta) = 0,
$$

e a constante vale $-\sin2\theta\cos\theta +
\cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$: multiplicando por $-1$, $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$.

**18.** $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta,
\sin\theta)$: $a' = 2\cos2\theta$, $b' = 2\sin2\theta$, $c' =
\cos\theta$, $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$. Cramer e, em seguida, as fórmulas de produto em soma:

$$
\begin{align*}
x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta +
\cos\theta\cos2\theta}{2}
= \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta +
\cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\
y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2
= \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta -
\sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 :
\end{align*}
$$

a [nefroide](#pb-b2-curves-1), uma curva fechada com duas cúspides.

**19.** Derivando e fatorando com $\sin3\theta
- \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$, $\cos\theta -
\cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$:

$$
E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\
\cos\theta - \cos3\theta\bigr)
= \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),
$$

paralelo à direção refletida da questão 16: cada raio refletido é tangente à cáustica, como exige a propriedade de [envoltória](#pb-b2-curves-1). $E' = 0$ exatamente em $\sin\theta = 0$: $E(0) = (\tfrac12, 0)$ e $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$, as duas cúspides. Pondo $y = 0$ na equação da reta: $x\sin2\theta =
\sin\theta$, logo $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ quando $\theta \to 0$: os raios paraxiais focalizam à distância $R/2$ do centro — a distância focal do espelho esférico.

**20.** $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$, logo o [comprimento](#def-b2-curves-length) vale $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\,
\dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$. Perto de $\theta = 0$, com $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ e $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 +
O(\theta^5)$:

$$
x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4}
= \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4),
\qquad
y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4}
= \theta^3 + O(\theta^5) :
$$

$p = 2$, $q = 3$, uma cúspide de primeira espécie apontando ao longo do eixo — o ponto brilhante da cáustica da xícara de café.

**21.** Parametrize os pontos iluminados por $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (posição ao longo de cada raio refletido). O [determinante](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/2-algebra-linear#def-b2-linalg-det) jacobiano $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) =
\det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ é [afim](https://one-course.com/books/math/4/pt/chapter/17-espacos-afins#def-b2-affine-subspace) em $r$ e se anula para exatamente um $r = r_*(\theta)$ — e $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ é o ponto característico, pois ali a direção do raio e a variação da família se tornam dependentes. Fora da [envoltória](#pb-b2-curves-1) a aplicação é um difeomorfismo local e um ponto logo dentro da cáustica é atingido por dois raios próximos (duas soluções $\theta$), um ponto de fora por nenhum daquela parte da família; sobre a cáustica os dois se fundem. A intensidade luminosa é inversamente proporcional ao valor absoluto do jacobiano, de modo que ela explode ao longo da [envoltória](#pb-b2-curves-1): a cáustica é a curva brilhante, mais brilhante de todas na cúspide, onde a degenerescência é máxima.

**22.** $x' = 1 - \cos t$, $y' = \sin t$, $x'' = \sin
t$, $y'' = \cos t$, logo $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ e $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$; pela [Proposição 18.17](#prop-b2-curves-kappaformula),

$$
\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2}
= \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2}
= -\frac1{4\sin\tfrac t2}
\qquad (0 < t < 2\pi).
$$

Com $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ (divida $\gamma'$ por $2\sin\tfrac t2$) e $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac
t2)$:

$$
\gamma + \frac1\kappa N
= \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\
\sin\tfrac t2\Bigr)
= \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos
t)\bigr),
$$

isto é, $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$. Substituindo $t = u
+ \pi$:

$$
c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr)
= \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :
$$

a cicloide $\gamma(u)$ transladada por $(\pi, -2)$. A evoluta de uma cicloide é uma cicloide congruente, pendurada um nível abaixo.

**23.** $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$, logo $R(\pi) = 4$: metade do [comprimento](#def-b2-curves-length) $8$ do arco, calculado no [Exercício 18.1](#exo-b2-curves-1). A velocidade da evoluta $c'(t) = (1 +
\cos t, -\sin t)$ se anula em $t = \pi$: a cúspide é $c(\pi)
= (\pi, -2)$, diretamente abaixo do ápice $\gamma(\pi) = (\pi,
2)$, à distância $4 = R(\pi)$, exatamente o [comprimento](#def-b2-curves-length) do raio osculador ali.

**24.** De [Exercício 18.6](#exo-b2-curves-6), $c'(s) =
-\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$, logo $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ e, para $R$ monótona,

$$
\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s =
\Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) -
R(s_0)} .
$$

Digamos que $R$ decresça. Um fio estendido ao longo da evoluta além de $c(s_0)$ e prolongado pelo segmento de $c(s_0)$ a $\gamma(s_0)$ (que é tangente à evoluta, pela questão 4) tem, ao ser desenrolado até $c(s)$ e esticado, parte reta de [comprimento](#def-b2-curves-length) $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ apontando de $c(s)$ ao longo da normal — caindo exatamente sobre $\gamma(s)$: a ponta livre traça a curva original (“evolvente”). Huygens pendurou um pêndulo entre duas faces cicloidais: o cordão se enrola na evoluta, de modo que o peso descreve uma cicloide — a tautócrona, cujo período de oscilação não depende da amplitude.

**25.** Tangentes da parábola: $\Delta = 1$ e $E' =
(1, t) \neq 0$ em toda parte — [envoltória](#pb-b2-curves-1) suave (a própria parábola). Escada que escorrega: $\Delta = -1$, mas $E' =
\tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ se anula nas extremidades do quadrante — as quatro cúspides do [astroide](#pb-b2-curves-1). Normais da parábola e da cicloide: $\Delta = \kappa \neq 0$, e $E' = R'N$ se anula exatamente onde a [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) é extremal — cúspides das evolutas em $(0,1)$ e $(\pi, -2)$. Cáustica: $\Delta = 2$, e $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta,
\sin2\theta)$ se anula em $\theta = 0, \pi$ — as duas cúspides da [nefroide](#pb-b2-curves-1), os pontos focais do espelho. Extremos de [curvatura](#thm-b2-curves-frenet2d) *têm* de produzir cúspides na [envoltória](#pb-b2-curves-1) das normais, pois a velocidade da evoluta é $R'N$: é por isso que a evoluta da elipse tem quatro cúspides (quatro vértices), e as famílias degeneradas (feixe, paralelas) são os casos em que a máquina devolve um ponto ou nada.